CHAPTER 1 INTRODUCTION NUMBER SYSTEMS AND CONVERSION. Prof. Dr. Mehmet Akbaba CME 221 LOGİC CİRCUITS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "CHAPTER 1 INTRODUCTION NUMBER SYSTEMS AND CONVERSION. Prof. Dr. Mehmet Akbaba CME 221 LOGİC CİRCUITS"

Transkript

1 CHAPTER 1 INTRODUCTION NUMBER SYSTEMS AND CONVERSION Prof. Dr. Mehmet Akbaba CME 221 LOGİC CİRCUITS 1 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

2 This Chapter includes: Digital Systems and Switching Circuits Number Systems and Conversion Binary Arithmetic 2 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

3 DIGITAL SYSTEMS AND SWITCHING CIRCUITS Figure 1-1: Switching circuit 3 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

4 Prof. M. Akbaba Digital Logic R d R d R d R d S n n n n R d R d R d R d R d R d S n n n n 1. Number Systems In a number system a number S, with base value (taban değeri) R and weighting coefficients (ağırlık katsayıları) d, can be represented as (without decimal digits (tam sayı)): Fractional numbers (kesirli sayılar) similarly can be represented as: 10/12/2015

5 I. Decimal (onluk, on tabanlı) number system Base in decimal system is 10 and wighting coefficients are numbers from 0 to 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. The standard form is: n n D d 10 d d 10 d 10 d 10 d n n For example a decimal number 523 can be represented as: (R=10, d 2 =5, d 1 =2, d 0 =3) 523= 5x x x10 0 = II. Binary (ikili, iki tabanlı) number system İn Binary number system weight coefficients are numbers 0 and 1 and base is 2. In this system each step is one BIT (BInary DigiT). For example is a binary number. Leftmost digit is the most significant bit (MSB) (first 1 (red) ) in the above example) and the rightmost digit is the less significant bit (LSB) (last 0 (blue) in above example) 5 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

6 In the binary number system if we denote the number with B the general form of representation is; B d n 2 n Example: d n n d12 d02 d 12 d = 1x x x x x x x2-3 MSB: Most significant bit MSB LSB III. Octal (sekizli, sekiz tabanlı) number system Base in octal system is 8 and the weights are from 0 to 7 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). The standard form is: n n O d 8 d 8... d 8 d 8 d 8 d 8... n n Example: O= (76.45) 8 = 7x8 1 +6x8 0 +4x8-1 +5x8-2 LSB: Less significant bit 6 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

7 IV. Hexadecimal (onaltılı, onaltı tabanlı) number system Base in hexadecimal (or shortly hex) system is 16 and weights are from 0 to 15 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). The standard form is: H d n 16 n d n n d116 d016 d 116 d (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) Examples: H= (26.75) 16 = (2x x x x16-2 ) 10 H=(A5D.2C) 16 =(10x x x x x16-2 ) 10 7 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

8 NUMBER CONVERSION Division Result Remainder 1271 / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = LSB MSB Therefore (1271) 10 =( ) 2 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM /12/2015

9 NUMBER CONVERSION 9 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

10 10 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

11 Turkish convension for number conversion: SIMPLIFICATION OF NOTATION IN NUMBER CONVERSION Convert (256.45) 10 to binary sistem: Therefore (256) 10 = ( ) 2 Division Remainder 11 Prof. M. Akbaba 256 /2= /2= /2= /2= /2=8 0 8 /2=4 0 4 /2=2 0 2 /2= Digital Logic 10/12/2015

12 Therefore (256) 10 = ( ) 2 Fractional part: X... X... X... X... X... X... X (0.45) 10 =( ) 2 0/2+1/4+1/8+1/16+1/128= = Therefore (256.45) 10 ( ) 2 12 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

13 Another Example Convert (256.45) 10 to base 6 : Division Remainder 256 /6= /6=7 0 7/6= Therefore (256) 10 = (1104) 6 =1*6 3 +1*6 2 +0*6 3 +4*6 0 = *1= Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

14 Fractional part: X... X... X... X... X Threfore (0.45) 10 =( ) 6 2/6+4/62 + 1/63 +1/64 +1/65= =0.45 Therefore (256.45) 10 ( ) 6 14 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

15 SIMPLIFICATION OF NOTATION IN NUMBER CONVERSION EXAMPLE: COVERT ( ) 10 to: a) Binary b) Hex a) To binary: 269/2=134 remainder=1 134/2= 67 remainder=0 67/2=33 remainder=1 33/2=16 remainder=1 16/2=8 remainder=0 8/2=4 remainder=0 4/2=2 remainder=0 2/2=1 remainder =0 1/2=0 remainder=1 15 Logic Circuits Prof.Dr. M. Akbaba 10/12/2015

16 THEREFORE (269) 10 = ( ) 2 (1x2 8 +0x2 7 +0x2 6 +0x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 = = =269) Fractional part: 0.125x2=0.250, whole number= x2=0.500, whole number= x2=1.00, whole number=1 Hence: ( ) 10 =( ) 2 16 Logic Circuits Prof.Dr. M. Akbaba 10/12/2015

17 b) To hexadecimal 269/16=16 remainder= 13 16/16=1 remainder=0 1/16=0 remainder=1 Therefore (269) 10 =(10D) 16 Fractional part: 0.125x16=2.000 whole number part=2 Hence: ( ) 10 =(10D.2) 16 (1x x x x16-1 = = ) 17 Logic Circuits Prof.Dr. M. Akbaba 10/12/2015

18 Example: Convert ( ) 8 to binary and then to hexadecimal number system = 110 2, 7 10 = 111 2, 3 10 = 011 2, 1 10 = 001 2, 2 10 = 010 2, 4 10 = ( ) 8 = ( ) 2 To convert to hex we group binary number 4 by 4: ( ) 8 = ( ) (B) 11(B). 2 10(A) (Correspondence of each group) Therefore ( ) 8 =(1BB.2A) Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

19 BINARY ARITHMETIC Arithmetic operations in digital systems are usually done in binary, because design of logic circuits to perform binary arithmetic is much easier than for decimal. Binary arithmetic is carried out in much the same way as decimal, except the addition and multiplication tables are much simpler. 19 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

20 The addition table for binary numbers is: = = = = 0 and carry 1 to the next column Carrying 1 to a column is equivalent to adding 1 to that column. 20 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

21 Example: Add and in binary Carries = = = =1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =8 100=1x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =4 1=1x2 0 =1 [ (1101) 2 =(13) 10 ] 1000=1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =8 10=1x2 1 +0x2 0 =2+0=2 1=1x2 0 =1 [ (1011) 2 =(11) 10 ] 21 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

22 11000=1x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =24 Example 2: Add decimal numbers 64 and 99 in binary addition 1 Carrie = = = x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = = = ( ) 2 =(163) 10 (binary = decimal 163) 22 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

23 Binary Subtraction The subtraction table for binary numbers is 0 0 = = 1 and borrow 1 from the next column 1 0 = = 0 Borrowing 1 from a column is equivalent to subtracting 1 from that column. 23 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

24 Examples of Binary Subtraction a) 1 Indicates a borrow from the third column Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

25 b) (notice how the barrow propagates from column to column in this example. In order to borrow 1 from the second column, we must in turn borrow 1 from the third column, etc. ) borrows Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

26 c) An alternative to binary subtraction is the use of 2 s complement arithmetic, as will be discussed later. 1 1 borrows Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

27 Binary multiplication The multiplication table for binary numbers is 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 27 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

28 Binary multiplication example The following example illustrates multiplication of by in binary: = Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

29 When doing binary multiplication, a common way to avoid carries greater than 1 is to add in the partial products one at a time as illustrated by the following example: multiplicand multiplier st partial product nd partial product ( ) sum of first two partial products rd partial product ( ) sum after adding 3rd partial product th partial product final product (sum after adding 4th partial product) 29 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

30 Binary Division a) Divide by 10 2 in binary (Answer) 30 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

31 b) Divide by in binary: (Answer) 31 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

32 c) Divide by in binary: = = (Answer) The quotient is 1101 and remainder Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

33 d) Divide by 8 10 (= ) Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

34 e) Full divide by 6 10 up to four factional digits 100, Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

35 ÖRNEK: ( )10 sayısını ikili sisteme çeviriniz. Tamsayı kısmı 41 / 2 = 20, kalan = 1 20 / 2 = 10, kalan = 0 10 / 2 = 5, kalan = 0 5 / 2 = 2, kalan = 1 2 / 2 = 1, kalan = 0 1 / 2 = 0, kalan = 1 (41) 10 = (101001) 2 Kesirli kısım = tamsayı = = tamsayı = = tamsayı = 1 Example in Turkish = tamsayı = 1 (0.6875) 10 = (1011) 2 ( ) 10 = ( ) 2 35 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

36 REPRESENTATION OF NEGATIVE NUMBERS In most computers to represent both the positive and and negative numbers, the first bit in a word is used as sign bit. 0 is used for positive numbers and 1 is used for negative numbers. In n bit word first bit is sign bit and n-1 bits represents the amplitude. For example represents +5 and Represents -5. Different codes are possible to represent negative numbers. For example: 36 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

37 1000 represents minus zero in sign and magnitude System, where as - 8 in the 2 s complement system. 2 s complement and 1 s complement systems are special systems to represent negative numbers. Using one of these systems subtraction of numbers are easily performed using rules of addition, as will be discussed later in this section. 2 s complement of a number -N is defined as: N* = 2 n N (2 s complement) n: number of digits used For n=4, -N is represented by 16-N. For example -3 is represented by 16-3=13=(1101) 2 (2 s complement of -3) (sign bit is not complemented) For n=4, -5 in 2 s complement =16-5=11=(1011) 2 37 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

38 Positive numbers remain in their natural form. 1 s complement of an integer -N is defined as: N=(2 n -1)-N (1 s complement) (1-3) In 1 s complement, for n=4, -5 is represented by =10 = As a shortcut 1 s complement of a negative number can be obtained by complementing each bit, i.e., replacing 0 with 1 and 1 with 0. For example +6 = and -6 in 1 s complement is = in 1 s complement=1001 Notice that sign bit is not complemented. 38 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

39 2 s complement can be obtained in two ways: 1) Get 1 s complement and add 1 +3 = s complement of -3 is s complement 1 add s complement 2) Start from right and keep the digits same until first 1. Then complement all bits to the left of the first 1 (simplest way). +3 = = and 2 s complement of -3 is: 1101 Table 1.1 shows 1 s and 2 s complements for n=4. 39 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

40 Sayı Sistemlerinin İncelenmesi 1.3 Sekizli (Octal) Sayı Sistemi Taban değeri sekiz olan ve 0-7 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; O= d n 8 + d n-1 8 n d d d d_ şeklinde olur. Örnek: X= (47.2) 8 X= 4x8 1 +7x8 0 +2x8-1 KBUZEM

41 Sayı Sistemlerinin İncelenmesi 1.4 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Taban değeri 16 olan ve 0-15 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) H= d n 16 n + d n-1 16 n d d d d olur

42 Sayı Sistemlerinin İncelenmesi Örnekler: a) H=(2A.C) 16 =2x x x16-1 b) H= (26.75) 16 = (2x x x x16-2 ) 10 c) H=(A5D.2C) 16 =(10x x x x x16-2 ) 10 KBUZEM

43 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.1 Onluk sayıların ikili, sekizli ve onaltılı sayılara dönüştürülmesi Onluk sayı sisteminde tamsayıyı diğer sayı sistemine dönüştürmek için onluk sayı dönüştürülecek sayıya sürekli bölünür ve sondan başa doğru kalan yazılır. KBUZEM

44 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların ikilik sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1 : (53) 10 sayısını ikili sayı sistemine çeviriniz. 53 / 2 = 26, kalan = 1 En küçük bit (LSB: Less Significant Bit) 26 / 2 = 13, kalan = 0 13 / 2 = 6, kalan = 1 6/ 2 = 3, kalan = 0 3 / 2 = 1, kalan = 1 1/ 2 = 0, kalan = 1 En büyük bit (MSB: Most Significant Bit) KBUZEM

45 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Tam sayı kısmı için sıralama aşağıdan yukarıya doğrudur. (53) 10 = (110101) 2 Örnek 2: (1271) 10 dönüştürelim. sayısını ikili sayıya Çözüm: KBUZEM

46 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi İşlem Bölüm Kalan 1271 / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = / 2 = KBUZEM

47 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sonuç olarak kalan kolonunu aşağıdan yukarıya doğru sıralarsak; (1271) 10 = ( ) 2 eşitliği bulunur. Kesirli onluk sayılar ikili sayıya dönüştürülürken kesirli kısım sürekli 2 ile çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının tam sayı kısmı yazılır. kesirli kısım 2 ile yeniden çarpılır. Bu işleme kesirli kısım 0 değerine (veya 0 a çok yakın bir değere) ulaşıncaya kadar devam edilir

48 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kesirli onlu sayılar ikili sayılara dönüştürülürken kesir kısmı 2 ile çarpılır. tam kısmı kaydedilir ÖRNEK 2 : ( ) 10 sayısını ikili sisteme çeviriniz. Tamsayı kısmı 41 / 2 = 20, kalan = 1 20 / 2 = 10, kalan = 0 10/ 2 = 5, kalan = 0 5/ 2 = 2, kalan = 1 1/ 2 = 1, kalan = 0 1/ 2 = 0, kalan =

49 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kalan kolonu aşağıdan yukarıya doğru sıralanırsa: (41) 10 = (101001) 2 Kesirli kısım *2 = tamsayı = *2 = tamsayı = *2 = tamsayı = *2 = tamsayı = 1 Kesirli kısım için sıralama yukarıdan aşağıya doğrudur. (0.6875) 10 = (1011) 2 ( ) 10 = ( )

50 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Örnek 3: (0.65) 10 sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Tam sayı Kısım yok. Sadece kesirli kısım vardır * 2 = (s1) 0.30 * 2 = (s2) 0.60 * 2 = (s3) Sıralama yönü yukarıdan aşağıya doğru olduğundan s1, s2, s3 sıralaması takip edilir. Sonuç; (0.65) 10 (0.101)

51 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların sekizlik sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46) 10 sayısını sekizli sayıya dönüştürün 46 / 8 = 5, kalan = 6 5/ 8 = 5, kalan = 5 (46) 10 = (56) 8 Kesirli sayılar sekizli sayıya çevrilirken kesirli kısım 8 ile çarpılarak devam edilir. Tam sayı kısımlar alınıp yukarıdan aşağıya sıralanır

52 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46.15) 10 sayısını sekizli sayıya dönüştrün. Tamsayı Kısmı Kesirli Kısım, 46/ 8 = 5, kalan = * 8 = 1.200, tamsayı= 1 5/ 8 = 5, kalan = * 8 = tamsayı = * 8 = tamsayı = 4 (53.15) 10 = (56.114) 8 (Daha fazla hassasiyet istenirse kesirli kısım için işlem devam ettirilebilir)

53 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların onaltılık sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46) 10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün. 46/16 = 2, kalan = 14 2/ 16 = 0, kalan = 2 (46) 10 = (2E) 16 Kesirli kısım 16 ile çarpılarak çikan sayının tam sayı kısmı alınıp yukarıdan aşağıya doğru sıralanır

54 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 2: ( ) 10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştrün. Tamsayı kısmı 220 / 16 = 13 kalan = 12 (C) 13 / 16 = 0 kalan = 13 (D Kesirli kısım 0.975x16 = tamsayı = 15 (F) 0.600x16 = tamsayı = x 16 = tamsayı = 9 ( ) 10 = (DC.F99)

55 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.2. İkili Sayıların Dönüştürülmesi İkili sistemdeki bir sayı her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp bulunan değerlerin toplanması ile onlu sayı sistemine dönüştürülür. ÖRNEK: ( ) 2 sayısını onlu sayıya dönüştürünüz. ( ) 2 = 1 x x x x x 2 0, 1 x x x 2-3 = , = (23.625)

56 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi İkili Sayıların Onaltılı Sayılara Dönştürülmesi İkili sayılar onaltılı sayıya dönüştürürken sayıların tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa doğru dörderli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı kendi katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: ( ) 2 sayısını onaltılı sayıya çeviriniz. ( ) 2 = 0 x x x x x x x x 2 0, 1 x x x 2 1 = (1D.A)

57 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.3 Sekizli Sayıların Dönüştürülmesi Sekizli Sayıların İkili Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayılar ikili sayılara dönüştürürken her basamağın ikili sayıdaki karşılığı yazılır. ÖRNEK: ( ) 8 sayısını ikili sayıya dönüştürün. 6= 110, 7 = 111, 3 = 011, 1 = 001, 2 = 010, 4 = 100 ( ) 8 = ( )

58 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sekizli Sayıların Onlu Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayı onlu sayıya dönüştürürken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK : (32.12) 8 sayısını onlu sayıya çeviriniz (32.12) 8 = 3 x x 8 0, 1 x 8' x 8-2 = , = ( )

59 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sekizli Sayının Onaltılı Sayıya dönüştürülmesi Sekizli sayıyı onaltılı sayıya dönüştürmenin en kolay yolu sekizli sayıyı ikili sayıya dönüştrüp sonra onaltılı sayıya dönştürmektir (İkili sayıya dönüştürüldükten sonra 4 lü guruplar alınır). ÖRNEK : (32.12) 8 sayısını onaltılı sayıya dönüştürün. 3= 011, 2 = 010, 1 = 001, 2 = 010 (32.12) 8 = ( ) 2 = 0 x x x x x x x x 2 0, 0 x x x x x 2 3 = (1A.28)

60 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.4 Onaltılı sayıların Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların ikili sayılara dönüştürülmesi Onaltılı sayılar ikili sayılara dönüştürürken onaltılı sayının her basamağındaki sayının ikili sayı karşılığı 4 bit olarak yazılır. ÖRNEK: (32.12) 16 sayısını ikili sayıya dönüştürün 3= 0011, 2 = 0010, 1 = 0001, 2 = 0010 (32.12) 16 = ( )

61 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların sekizli sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayıları sekizli sayıya dönüştrmenin en kolay yolu onaltılı sayıyı önce ikili sayıya dönüştürüp sonra sekizli sayıya dönüştürmektir. ÖRNEK: (32.12) 16 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. = ( ) 2 (32.12) 16 = (62.044)

62 Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların onlu sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayı onlu sayıya çevrilirken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK: (32.12) 16 sayısını onlu sayıya dönüştürün (32.12) 16 = 3 x x 16 0, 1 x x 16-2 = , = ( )

63 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.0 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Bütün sayı sistemlerinde işaret (+ veya -) kullanılabilir ve aşağıdaki bağıntılar bütün sayı sistemlerinde uygulanabilir. 1) +a + (+b) = a + b 2) +a + (-b) = a - b 3) +a - (+b) = a - b 4) +a - (-b) = a + b

64 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.1 İkili (Binary) Sayı Sisteminde Toplama İkili sayılarda toplama onlu sayılarda olduğu gibi basamak basamak toplamak suretiyle yapılır. Binary (ikili) sayı sisteminde toplama kuralı aşağıdaki gibidir: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 ve bir önceki (bir soldaki) kolona 1 ekle = = = = 0 ve bir önceki kolona 1 ekle

65 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (111) 2 sayısı ile (011) 2 sayısını toplayınız Eklemeler

66 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 2: ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 sonucunu bulunuz Örnek 3: Desimal 64 ve 99 sayılarını binary (ikili) sayı sistemi kullanarak toplayınız. (carrie: elde)

67 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1 Carrie = = = x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = = ( ) 2 =(163) 10 (binary = desimal 163)

68 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1.İkili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır. 0-0 = 0, 1-0 = 1, 1-1 = 0, 0-1 = 1 (Borç 1, bir soldaki kolondan 1 borç alınır ) ÖRNEK: ( ) 2 - ( ) 2 sonucunu bulunuz

69 Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1.İkili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır. 0-0 = 0, 1-0 = 1, 1-1 = 0, 0-1 = 1 (Borç 1, bir soldaki kolondan 1 borç alınır ) ÖRNEK: ( ) 2 - ( ) 2 sonucunu bulunuz

70 Sayı Sistemlerinde Hesaplama İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma işlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiğine göre çıkarma işlemi uygulanmaktadır. İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma işlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiğine göre çıkarma işlemi uygulanmaktadır. ÖRNEK 1: (11) 2 sayısını (111001) 2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç)

71 Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (11) 2 sayısını (111001) 2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç) 1 1 borrows

72 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: borrows

73 İkili Sayı Sisteminde (Binary) Çarpma Binary çarpmanın temeli aşağıdaki gibidir: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = /12/2015 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

74 Örnek ve sayılarının binary çarpımını bulalım: = /12/2015 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

75 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: Binary çarpma yaparken eldeleri şaşırmadan doğru yapmak için ara çarpımlar yapmak kolaylık sağlar ara çarpım ara çarpım ( ) 1. ve 2. ara çarpımların toplamı ara çarpım ( ) 3. ara çarpımdan sonraki toplam ara çarpım Sonuç

76 İkili Sayı sisteminde (Binary) Bölme Binary bölme normal ondalık sayıdaki bölme gibidir Örnek 1: sayısını 10 2 sayısına bölelim ( binary bölme) (Sonuç) 76 10/12/2015 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

77 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: Sayısını sayısına binary olarak bölelim (= )

78 REFEENCES 1. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim Yayınları, 4. Baskı, Prof. M. Akbaba Mantık Devreleri Notları 3.Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New Jersey, M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, /12/2015