Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması"

Transkript

1 Evensel kuvvet - haeket eşitliklei ve güneş sistemi uygulaması 1. GİRİŞ Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: Özet Geleneksel fizik bilimi, yakından uzağa tüm evenin düzenini açıklayabilmek için Newton un kütlesel çekim yasasından ve Einstein ın göelilik kuamlaından yaalanı. Ancak bu iki yaklaşım da -bugüne kada he nedense dile getiilmeyen- bazı çok sıadan gözlemlei açıklama konusunda duyasızdı. Şu üç açık souya yanıt veemez: Neden bi sistem içindeki tüm gök cisimlei genel olaak tek bi düzlem etafında öbekleşile? Neden he gök cismi hiyeaşik olaak bağlı olduğu büyüğünün etafında genellikle -hep aynı yönde- dolanı? Gök cisimlei neden kendi eksenlei etafında dönele? Bu makale, gök cisimleinin kendi eksenlei etafında dönmeleinin ve bibileine göe (göeli) haeketleinin kuvvet alanlaına olan etkisini aaştımakta ve öneilen yeni aksiyomlala Genel Göeliliğin 100. yılında evensel kuvvet ve haeket yasalaını geliştimektedi. Daha sona da bu yasalaı Güneş-gezegen ikilisine uygulayaak sonuçlaın gözlemlele ne ölçüde ötüştüğünü tatışmaktadı. Gök cisimleinin neden kendi eksenlei etafında döndüklei ve bunun matematiksel açıklaması ise ayı bi makale konusu olacaktı. PACS numaalaı: Kd, Cc, Ce, Sf, De, Fe, Bc Anahta Kelimele: evensel kuvvet eşitliği, evensel haeket eşitliği, Genel Göelilik, Newton fiziği, yeçekimi dalgalaı, gezegen haeketi, yassı ve küesel öbekleşme, Evenin alan göeli modeli, uzaktan anlık etki, kuvvet alanı yayılma hızı Newton un kütlesel çekim ve haeket yasalaı iki yüzyıl boyunca, gök cisimleinin haeketleini incelemek için tek ve eksiksiz başvuu kaynağı olagelmişti. Ancak okulaın çok yakından bildiği gibi bu çekim yasası bazı olgulaı açıklamakta yetesiz kalmıştı. Yiminci yüzyıl başlaında Einstein Göelilik kuamlaıyla bu sounlaın bi kısmına çözüm getiebilmişti. Özel ve Genel Göelilik kuamlaı geçen yüzyılda fizik biliminin temel yönlendiicisi olmuştu. Gök bilimde de (kozmoloji), atomsal boyutladaki sounlaın çözümünde de bu kuamla etkin ol oynamıştı. Mekü yöünge ekseninin sapmasına getidiği çözüm ve ışığın büyük gök cisimlei taafından saptıılacağı öngöüsünün gözlemsel olaak doğulanması Einstein a büyük ün ve saygınlık kazandımıştı. Evenin bugünkü düzenini tam olaak açıklayabilmek için bu iki kuamsal yaklaşım yeteli midi? Evenin atan ivme ile genişlemesine, mako ve mikokosmos fiziğindeki kuamsal kopuklukla gibi kozmoloji ve atom fiziğindeki önemli sounlaa değinmeden ve çok da uzaklaa gitmeden, Güneş sistemindeki çok sıadan gözlemlele bu sounun yanıtını vemeye çalışalım. Dile getiilmeyen çok sıadan gözlemle Güneş sistemindeki aşağıda sıalı gözlemle hekes için açık ve netti: a. Gezegenlein elips olan yöünge düzlemleinin tümü, Güneş in ekvato düzlemine yakın olaak, yaklaşık aynı düzlem içinde bulunmaktadı.

2 b. Mas ve Jüpite aasında Asteoid kuşağı Güneş in ekvato düzlemi üzeindedi. c. Gezegenlein dışında daha büyük kayalıkladan oluşmuş ve daha geniş alana yayılmış Kuipe kuşağı da Güneş in ekvato düzlemi üzeinde ye almaktadı. d. Başta Satün olmak üzee gaz devleini çeveleyen halkala, ilgili gezegenlein ekvato düzlemi üzeinde bulunmaktadı. e. Gezegenlein genel olaak bi veya daha fazla uydulaı bulunmaktadı. Bu uydula da bağlı bulunduklaı gezegenlein, yaklaşık ekvato düzleminde devinmektele. f. Tüm gezegenlein yöüngeleindeki dolanma yönü, Güneş in kendi ekseni etafındaki dönüş yönü ile aynıdı. g. Gezegenlein he bii Güneş in etafında dolanıken kendi eksenlei etafında da dönele. Yukaıda sıalanan gözlemle aslında bugüne kada nedense dillendiilmeyen, peşinen doğal kabul edilen, nedenlei üzeinde kafa youlmayan ve asla soun edilmeyen gözlemledi. Belki bu nedenle, bu bilinen gözlemlei matematiksel olaak açıklamak için bi kuam geliştiilmemişti. Gezegenlein eliptik bi düzlem üzeinde dolanmalaı Newton un kütle çekim yasası geeğidi; ancak neden bütün gezegenlein yöüngeleinin yaklaşık aynı düzlemde bulunduklaını açıklayan bi kuam yoktu. Buada bütün gezegenlein tam da aynı düzlemde olmadıklaı, astlantısal olaak bu şekilde olduklaı, bu nedenle böyle bi kual getimenin doğu olmadığı söylenebili. Ancak evendeki düzende cisimleinin daha büyüğün etafında, onun ekvato düzleminde öbekleşmelei sadece gezegenlein konumundan dolayı ilei süülmüyo. Yukaıda sıalı tüm gözlemle kesinlikle böyle bi kualın valığına işaet etmektedi. Satün halkalaının gösel güzelliği hekesi büyülese de oluşumuna yönelik doyuucu bi kuamsal çalışma yoktu. Bu halkalaının gezegene uzaklığı 70,000 km den başlamakta ve 213,000 km ye kada uzanmaktadı. Kalınlığı ise sadece 100 m dolaylaındadı. Bu halkalaın tam da Satün gezegeninin ekvato düzleminde olduğunu belitmeye geek yoktu. Büyüklüklei bi ile on mete aasında değişen çoğunlukla bağımsız buz paçalaından oluşan bu halkalaının gezegen yöüngesinde öbekleşebilmesi için hiç kuşkusuz bunlaı yukaıdan ve aşağıdan ekvato düzlemine bastıan bi kuvvetin bulunması kaçınılmazdı. Even e daha geniş bi açıdan bakasak da bu yassılaşmış yapının tüm Even için geçeli olduğunu gözlemleiz. Ait olduğumuz Samanyolu gök adasının genişliğinin ışık yılı, kalınlığının ise sadece 1000 ışık yılı olduğunu biliyouz. Yani gökadamızdaki milyalaca yıldız çok yassı bi disk yapısı içinde kümelenmişti. Genel kanı bu yassılaşma gizeminin, sistemdeki açısal momentumun kounumundan kaynaklandığı yönündedi. Yapılan çok büyük ölçekli bilgisaya benzeşim pogamlaının bu kanıyı desteklediği bilinmektedi. Bu açıklamanın hiç de doyuucu olmadığını belitmek geekiyo. Nedenleini aşağıdaki gibi sıalayabiliiz: 1. Bi yıldızın gezegenlei ile bilikte oluştuduğu bi sistemde açısal momentumun kounumu için sistemin he bi unsuunun kendi sabit ve ayık yöüngeleinde dönmelei yetelidi. Bu yöüngelein otak bi düzlemi paylaşmalaı geekmez. Çünkü sistemin he bi unsuunun açısal momenti, diğeleinin ve sistemdeki en büyüğün dönüş haeketinden veya açısal momentinden bağımsızdı. Tüm unsulaın açısal momentleini toplayıp kounum için sabit sayısal bi değee eşitleseniz, tüm yöüngelei aynı düzleme sıkıştıacak somut bi kuvvet elde edemezsiniz. Oysa yukaıda sıalı gözlemle somut bi bastıma kuvvetinin valığını kaçınılmaz kılmaktadı. 2. Bilgisaya benzeşimi için oldukça kapsamlı ancak başaısız uygulamala da olmuştu 1. He şey benzeşimi nasıl başlattığınıza, yani nasıl bi başlangıç koşullaı öngödüğünüze bağlıdı. Eğe sistemin oluşum süecinde tüm gaz ve toz bulutunun çok hafif belli belisiz aynı yönde döndüğü vasayımından haeket edeseniz azu ettiğiniz sonuçlaa vamanız büyük olasılıktı. Ancak bu, bi gizemi çözmek için başka bi gizemden medet ummak gibidi. Bu duumda gizli bi elin, tüm gaz ve toz bulutunu başlangıçta hep aynı yönde döndüüyo olmasını kabul etmiş oluyosunuz. 2

3 3. Yassı öbekleşmenin sistemdeki en büyüğün ekvato düzleminde oluşması, yassı öbekleşme olgusunun en az kendisi kada önemlidi. Oysa gup bieyleinin açısal momentumlaının sistemdeki en büyüğün dönüşü ile bi ilgisi yoktu. 4. Açısal momentumun kounumu ilkesi aslında bi denge duumunu ifade ede, bu nedenle de bi kuvvet içemez. Ancak Sistem, açısal momentumunu maksimize edecek şekilde davanı şeklindeki bi ifade, denge oluşuncaya kada bi kuvvet süecini de içei. Bu makaleden, bu ifadenin doğu olduğu göülecekti. Ancak bu maksimize edilme süeci yassı öbekleşmenin sebebi değil fakat sonucudu. Bu tü kaba ve özensiz yaklaşımla doğanın işleyişindeki bazı geçeklei pedele ve bedeli ağıdı. Kaba ve özensiz sözcükleini kullanmış olmaktan mutlu değilim. Ancak okuyuculaın sonunda bana hak veecekleini umuyoum. Yassı öbekleşmeye yol açan kuvvet, başlangıç koşullaı ve iç dinamiklele ilgisi olmayan somut ve hesap edilebili bi büyüklüktü. Kaldı ki konu sadece bi yassılaşma sounu da değildi. Üstte sıalı çok beligin diğe gözlemle, bütün sounlaı bilikte çözecek faklı, yeni ve devimci bi yaklaşımı kaçınılmaz kılıyo. Newton un Evensel çekim yasası da Einstein ın Genel Göelilik kuamı da yukaıda sıalı beligin gözlemle kaşısında suskundu. Bunun nedeni ise, bu iki kuamın da küesel simetik kuvvet eşitlikleiyle ifade edilmeleidi. Oysa even bize, açık olaak gizemimizi küesel simetik kuvvet eşitlikleiyle açıklayamazsınız diye haykımaktadı. Bu makale bu haykıışa kulak veiyo. 2. DÖNME ETKİSİ Newton un kütlesel çekim yasası açıktı. Gökyüzündeki he gök cismi kendi çevesinde bi kuvvet alanı oluştuu. Bu alan, küesel simetik olaak gök cismine yönelikti. Bi gök cisminin konum vektöü ile belilenen etki alanındaki he noktasında V() ile ifade edilen yeçekimsel potansiyel alanı bulunu. Geleneksel fizikte bu sayısal alanın büyüklüğünü aşağıdaki şekilde ifade ediyouz: V() = Gm Buada: m : gök cisminin kütlesini, G : evensel çekim sabiti, : noktanın gök cismine olan uzaklığı ifade ede. (1) Buada belli bi cisim için V() büyüklüğü sadece kütle büyüklüğüne ve etki alanının kütle mekezine olan uzaklığına bağlı olup, küesel simeti nedeniyle hangi yönde olduğunun önemi yoktu. Boyutu ise hızın kaesidi (m s) 2. Bu duumda mantıksal olaak aşağıdaki aksiyomu doğu kabul etmemek için bi neden bulunmamaktadı: Aksiyom 1a: Evendeki he cisim etki alanındaki he noktada aşağıdaki fomülle ifade edilen bi sayısal süat alanına sahipti: v f () = 2Gm Bu sayısal büyüklük, fizikte kaçış hızı olaak bilinen, o noktada çekim alanından kutulmak için geeken en düşük hızın genliğidi. Bu duumda V() yeçekimsel potansiyel alan, sayısal süat alanının kaesinin yaısının tes işaetlisine eşit olacaktı. Bu büyüklüğe cismin doğal, duağan veya vaoluş süat alanı diyeceğiz. Eğe gök cismi kendi ekseni etafında bi dönüş hızına da sahipse, etki alanının da aynı şekilde döneceğini va sayaak, aşağıdaki aksiyomu oluştuacağız: (2) 3

4 Aksiyom 1b: Eğe bi gök cismi, uzaktaki sabit bi noktaya göe, bi eksen etafında dönüyosa bu süat alanına ek olaak aşağıda ifade edilen bi hız alanına da sahip olacaktı: v fs () = k 2Gm (ω ) (3) Buada ω, ve sıası ile gök cisminin dönme ekseni ve etki noktasını işaetleyen biim vektöle, k ise dönme hızı büyüklüğünü ölçekleyen bi katsayıdı. Bu katsayı cismin dönüşünün ekvatounda oluştuduğu hız alan genliğinin, cismin va oluş alan süatına ne oanda yaklaştığının ölçüsüdü. Buna göe dönüşün yekpae olduğunu kabul edebileceğimiz kaya tipi gök cisimleinde bu katsayı aşağıdaki gibi olacaktı: k = πr A T 2R A Gm Buada: R A : gezegenin yaıçapı, T : gezegenin bi dönüşü için geçen süeyi ifade ede. He gök cismi için net gözlemsel bi dönüş hızı tanımlamak zodu. Katı kayalık gezegenle sabit bi dönüş hızına sahip olsala da, gaz devlei olan gezegenle ve Güneş için yekpae bi hızdan bahsetmek olanaksızdı. Güneş in göünen dönüş hızının ekvatodan kutuplaa doğu yavaşladığını biliyouz. Çoğu gaz devleindeki yatay çizgile yekpae bi dönüş hızlaına sahip olmadığını, göstemektedi. Bunla için belki otalama bi hızdan bahsedilebili, ancak cismin içyapısını bilemediğimiz için gözlemsel bilgilele bunu belilemek olanaksızdı. Eşitlik (4) le dünya için k = 0,0415 bulunu. Bu duumda dünyamız 1 k = 24 kat hızlı dönseydi yani bi gün bi saatlik bi süe olsaydı ekvatodaki alan hız genliği, vaoluş süatı kada olacaktı. Güneş için hesap edilise aynı değe 0,003 bulunu. Ancak Güneş in yekpae bi dönü hızının olmaması nedeniyle bu değe çok daha küçük olacaktı. Alan Göeli Even Modeli Kuamının Temellei başlıklı gelecek makalede bu süat alanının kaynağı ayıntılı tatışılacaktı. Buada sadece şu kadaının bilmekte yaa vadı. Gök cismini oluştuan paçacıkla süekli devinim halindedile ve bibileine göe konumlaı süekli değişmektedi. Yani cismi oluştuan temel paçacıklaın otak bi dönüş eksenlei yoktu. Bu nedenle cisim yüzeyinde he noktadaki bileşke alan hızı o noktada belli bi uzay yoğunluğu oluştuu. Bizim süat alanı olaak algıladığımız budu ve doğal olaak küesel simetikti. Eğe cisim kendi ekseni etafında dönmüyosa, bu küesel simeti tüm etki alanını da küesel simetik olaak biçimlendiecekti. Ancak cisim kendi ekseni etafında dönüyosa, cismi oluştuan tüm paçacıklaının bileşke haeketinin otak ilave bi dönüş haeketi olması nedeniyle, etki alanı da bu dönüş hızının büyüklüğü oanında eksenel simetik olaak biçimlenecekti. Dönen bi gök cisminin etki alanı atık bi süat-hız alanı olacaktı. Bu iki alan büyüklüğün toplamını, vektö bileşeninin geçek bi hız vektöü olduğu ve dödey 2 (quatenion) olaak adlandıılan melez bi sayı sistemi (sayısal büyüklük+vectö) ile gösteeceğiz: q() = 2Gm [1 + k(ω )] Böyle bi duumda bu cismin etkin alan potansiyeli bu dödeyin nomu nun (kendisiyle sayısal çapımı) yaısının tes işaetlisi olacaktı. Yani: V() = Gm [1 + k(ω )] [1 + k(ω )] (6) Bu ifade, cisim mekezli ve ekvatounu yatay düzlem kabul eden bi koodinat sisteminde ω ile aasındaki açı θ ise aşağıdaki gibi yazılabili: V() = Gm (1 + k2 sin 2 (7) θ) (4) (5) 4

5 Aksiyom 1b, açık olaak diyo ki, he cisim kendi etki alanıyla bilikte vadı ve eğe dönüyosa alanı da bilikte dönmektedi; bu nedenle etki alanının dönüş hızı doğal olaak ekvato düzleminde en fazla, dönme ekseni boyunca ise sıfıdı. Bu duumda g kuvvet alanı konsevatif bi alan olaak bu potansiyelin diklemesi (gadient) olduğundan aşağıdaki gibi yazılabili: g = V() g = [ Gm (1 + k2 sin 2 θ)] Bu ifadeyi küesel koodinatlada açık olaak yazasak, atık kuvvet alanı hem ışınsal uzaklığın hem de kutupsal açının fonksiyonu olacaktı: g(, θ) = Gm 2 (1 + k2 sin 2 θ) + k 2 Gm (8) sin 2θ θ 2 Sonuçla: 1. Göüldüğü gibi kuvvet alanının bi ışınsal bileşeni yanında yanal bileşeni de bulunacaktı. Üstelik ışınsal bileşen de atık küesel simetik olmayacaktı. Çekim kuvvet alanı (ışınsal bileşen) dönme ekseni doğultusunda Newton çekim alanı kada, ekvatoda ise en büyük değededi. Eş çekim yüzeyi atık küesel olmayıp kutuplaından bastıılmış bombeli biçimdedi. 2. Kuvvet alanının ayıca bi θ bileşeni bulunmaktadı. Bu bileşen ise hem dönme ekseni doğultusunda, hem de ekvato düzleminde sıfı olmaktadı. Eşitlik (7) ifadesi göz önüne alınısa, cismin kütlesinin, etki alanındaki bulunduğu noktaya göe faklı büyüklükte algılandığı söylenebili. Bunu aşağıdaki gibi ifade edebiliiz: m f = m 0 (1 + k 2 sin 2 θ) (9) Buada m 0 kaynak cismin vaoluş kütlesi, m f is algılanan kütlesidi. γ = (1 + k 2 sin 2 θ) ifadesine kütle alan çapanı diyeceğiz. Bu çapan m 0 duağan va oluş kütlesinin hangi doğultuda ne büyüklükte algılandığını belile. Şekil 1a Cisimden bi biim uzaklıktaki bi küe üzeinde k=1 için dönü alan hızı (sin θ), alan potansiyeli (sin 2 θ) ve yanal kuvvet alanın (sin 2θ) değişimi Şekil 1a, sıası ile dönen bi cismin dönüşünden kaynaklanan ilave hız alanının (sin θ); kuvvet alanının atan ışınsal bileşeninin (sin 2 θ) ve kuvvet alanının yanal büyüklüğünün (sin 2θ), kutupsal açıya (θ) göe k = 1 için değişimini göstemektedi. Şekil 1b, aynı büyüklüklei küesel koodinatlada eksenel bi kesitte ve cisimden biim uzaklıkta bi küe üzeindeki değeleini gene k = 1 için göstemektedi. Şekilde ayıca yaıçaplı küe üzeinde ilave ışınsal, yanal ve bileşke kuvvet alan büyüklüklei de gösteilmektedi. 5

6 Göülüyo ki cismin dönüşü, eksensel doğultuda ilave kütlesel çekim kuvveti ve yanal kuvvet alanı yaatmaz; ancak eksenden uzaklaştıkça ek olaak hem çekim alanı hem de yeni yanal kuvvet alanı oluşmaya başla. İlave yanal kuvvet, θ açısı ile bilikte mekezi kuvvetten daha hızlı ataak 45 deecede en büyük değee ulaşı, sona azalmaya başla ve ekvato düzleminde ise teka sıfılanı. Açıktı ki sin 2 θ = sin 2 θ sını değeinden (θ = 63,43 ) daha küçük açıla için ilave yanal itme kuvveti, ilave mekezi çekim kuvvetinden daha baskın olmaktadı. Bu kuvvet alanlaından etkilenen başka bi cisim, küesel simetik kuvvet alanı ile bilikte bu ilave iki kuvvetin de bileşkesiyle haeket edecekti. Bileşke kuvvet çizgilei atık mekezi hedefleyen düz bi doğu olmayıp eğileek mekeze vaacaktı. Böylece dönen gök cisminin uzayın geometisini eğilttiğinden söz edebiliiz. Ancak bu eğilme Einstein ın Genel Göelilik kuamında tanımladığı uzay-zaman eğilmesi olmadığı için zihnimizde ahatlıkla canlandıabilmekteyiz. Şekil 1b Şekil 1a daki alanlaın küesel koodinatlada gösteimi. Bi biim yaıçaplı bi küe üzeinde k=1 için alan büyüklükleinin θ ya göe değişimi. Vektöle bulunduklaı noktadaki çekim ve yanal kuvvetlele bunlaın bileşenleidi. Yeşil daie yaıçap büyüklüklei o noktaladaki alan hızlaıyla oantılıdı. Eğe alanı oluştuan cismin kütlesi ve dönüş açısal hızı ve ekseni değişmiyosa etki alanının biçimi de değişmeyecek, cisim va olduğu süece alan da biçimlenmiş bi şekilde valığını südüecekti. Böylece alandan etkilenen cismin etkilenme biçimi bulunduğu noktaya göe anlık 6

7 olaak değişecekti. Yani etkilenme süecinde kaşılıklı bi kuvvet taşıyıcıya geeksinme yoktu. Bu nedenle uzaktan etkimenin anlık mı yoksa gecikmeli mi olacağına ilişkin sou anlamsızdı. Bu sonuçlaın, kozmolojik boyutta gözlemlee uygun son deece anlamlı çözüm sunduğu düşünülse de ilk anda dünya üzeindeki gözlemlee aykıı olduğu ilei süülebili. Çünkü biliyouz ki ekvatoa yakın topik bölgeledeki Hindistan cevizi de, İngiltee de Newton ailesinin çiftliğindeki elma da aynı hızla düşmektedi. Ayıca Kutupladaki penguenlein kanatlaı yok, çünkü oada yeçekimi daha az, uçmak için büyük kanatlaa ihtiyaçlaı yok diyemeyiz. Dünya üzeindeki he noktada yeçekimi ivmesi yaklaşık olaak aynıdı. Hatta savımızın tesine kutuplada biaz daha fazladı. O halde eşitlik (8) ne anlama gelmektedi? Aslında otada bi çelişki yoktu. Aksiyom 1b, cisimden yetei kada uzaktaki bi noktasına göe tanımlı bi dönüş haeketi için geçelidi. Kuşkusuz ki dünya üzeindeki biz ölümlüle aksiyom 1b deki eşitlikte m kütlesinin bi paçasıyız ve onunla bilikte dönüyouz. Diğe bi deyişle dünyaya göe doğusal ve açısal hızımız sıfıdı. Bu nedenle yukaıda belitilen dönüş haeketinin sonucu oluşan eğilmeye kaşı duyasızız ve sadece küesel simetik çekim alanının etkisindeyiz. 3. KARŞILIKLI ETKİLEŞİM Uzayda Şekil 3 teki gibi bi koodinat sisteminde 1 ( 1, θ 1, φ 1 ) ve 2 ( 2, θ 2, φ 2 ) konum vektöleinde duağan kütlelei sıa ile m 1 ve m 2 olan iki gök cismi bulunsun. Gök cisimleinin sabit olan dönüş eksenlei biim vektölei sıasıyla ω 1 ve ω 2 olsun. Bu duumda he bi cisim için diğeinin bulunduğu noktadaki süat-hız dödeylei ve alan potansiyelleini aşağıdaki gibi ifade edebiliiz: q 1 = 2Gm [1 + k 1(ω 1 12 )] q 2 = 2Gm [1 + k 2(ω 2 21 )] V 1 ( 2 ) = Gm [1 + k 1(ω 1 12 )] [1 + k 1 (ω 1 12 )] V 2 ( 1 ) = Gm [1 + k 2(ω 2 21 )] [1 + k 2 (ω 2 21 )] Buada: q 1 ( 2 ) : m 1 kütlesinin 2 konumundaki süat-hız dödeyini, q 2 ( 1 ) : m 2 kütlesinin 1 konumundaki süat-hız dödeyini, V 1 ve V 2 : kütlelein he biinin diğeinin bulunduğu noktadaki alan potansiyelleini, 12, 21 : Sıası ile, 12 = 2 1 ve 21 = 1 2 vektöleine ait biim vektölei ifade ede ( 12 = 21 ). Yukaıda dödeylein nomlaına γ 1 ve γ 2, ve = 1 2 = 2 1 desek: V 1 ( 2 ) = Gm 1 γ 1 V 2 ( 1 ) = Gm 2 γ 2 7

8 Şekil 3 Uzayda etkileşimdeki iki cisim Bu ifadele alandaki he bi kütlenin kendi bağımsız hız-süat dödeyi ve alan potansiyelleidi. Potansiyel ifadeleindeki dödeylein nomu (kendileiyle sayısal çapımı) he bi cisim için etki alanlaındaki bağımsız kendi potansiyel dağılımını belile. İki cismin etkileşimine neden olan alan potansiyeli için ise aşağıdaki aksiyom geçeli olacaktı: Aksiyom 2: Bibileinin etki alanında bulunan iki cismin otaklaşa oluştuduklaı alanın potansiyel dağılımı, cisimlein süat-hız dödeyleinin bibiiyle sayısal çapımına eşitti. Yani γ e etkileşime konu etkin potansiyel dağılım çapanı ise: γ e = [1 + k 1 (ω 1 12 )] [1 + k 2 (ω 2 21 )] γ e = [1 k 1 k 2 (ω 1 12 ) (ω 2 12 )] (10) Böylece etkin alan potansiyellei: He bi cisme etkiyen kuvvet: Veya: V e1 ( 2 ) = Gm 1 12 γ e V e2 ( 1 ) = Gm 2 21 γ e (11) F 1 = m 2 Gm 1 γ e F 2 = m 1 Gm 2 γ e F 1 = F 2 = F = Gm 1 m 2 ( γ e ) (12) Bu yalın ifade iki cismin bi biine uyguladığı evensel kuvvet eşitliğidi. Evensel kuvvet eşitliğinin bazı özellikleini aşağıdaki gibi özetleyebiliiz: 1. Etkileşen cisimle kendi eksenlei etafında dönmüyosa süat-hız dödeyleinin vektöel bileşeni olmayacak ve potansiyel alan dağılım çapanlaı γ i = 1 olacaktı. Bu duumda 8

9 evensel kuvvet eşitliği Newton çekim yasasına indigenecek ve he iki cisim de sadece mekezi çekim kuvvet etkisinde kalacakladı. 2. Etkilenen cisimle kendi eksenlei etafında dönüyosa ve dönme eksenlei aynı doğultuda değilse potansiyel alan dağılım çapanı üç eksende de (ışınsal, kutup açısal ve yanal açısal) faklı dağılım gösteecekti. Bu duumda ( γ e ) ifadesinin ve sonuçta he cisme etkiyen kuvvetin üç eksende de bileşeni bulunacaktı. Böylece cisimlein bibileine göe haeketlei dönme eksenleinden ve dönüş yönleinden bağımsız olamayacaktı. 3. Evensel kuvvet eşitliği cisimle sadece bulunduklaı noktada duuyolasa geçelidi. Bu kapsamda Newton çekim kuvvet eşitliği de dönüş etkilei ihmal edilise geçeli olacaktı. Çünkü Güneş-gezegen uzaklığı yaklaşık sabit olduğundan ışınsal doğultuda bulunduklaı noktalada duduklaı kabul edilebili. Cisimle bu kuvvetin etkisiyle haeket ediyosa, he biinin bulunduğu noktadaki süat-hız dödeyi diğeine faklı gözükeceğinden alan potansiyelini de faklı algılayacakladı. Bu nedenle cisme uygulanan kuvvet de değişecekti. Etkileşimde atık sadece çekim kuvveti olmadığından çekim kuvveti veya çekim alanı yeine kuvvet alanı ve alan kuvvetindan bahsedeceğiz. Evensel Kuvvet eşitliğindeki diklemeyi küesel koodinatlada açık olaak yazasak kuvvetin üç eksendeki bileşenlei aşağıdaki gibi olacaktı: F = Gm 1 m 2 [( γ A γ A ) + 1 γ A 2 θ θ sin θ γ A φ φ ] (13) Evensel kuvvet eşitliği ni N adet gök cisminden oluşmuş bi sistem için genelleştiebiliiz. Sistemdeki he cisim diğe N 1 cisimle kaşılıklı etkileşeceğinden, diğe cisimlein etkin alan potansiyellei yadımıyla hesaplanan kuvvetle toplanı. Buna göe sistem içindeki j. cisme etkiyen toplam kuvvet (eşitlik (12) yadımıyla): N F j = Gm j m i [1 k ik j (ω i ij ) (ω j ij )] i=1 i j Bu eşitlik matis fomunda aşağıdaki gibi ifade edilebili: F = GM (ΓR 1 ) (14) Buada: F : he bi kütleye etkiyen N elemanlı sütun matisi, G : evensel kuvvet sabitini, M : he bi elemanı m i m j olan NxN elemanlı simetik kütle matisini, Γ : he bi elemanı i ve j. kütlelein oluştuduğu etkin alan potansiyel dağılım çapanı olan simetik NxN elemanlı alan dağılım matisini, R 1 : he bi elemanı i ve j. kütlele aasındaki uzaklığın tesi olan (1/ ij ) ve ana köşegen elemanlaı sıfı olan ( ii = 0) simetik NxN boyutlu matisi ifade ede. Sistemin he bi elemanı kendisine uygulanan yukaıda tanımlanmış kuvvetlein bileşkesinin etkisiyle haeket edecekti. Haeketin nasıl bi yol izleyeceğini belilemek için yapılacak şey Newton un ikinci haeket yasasını uygulamaktı. Bu duumda aşağıdaki eşitlik yazılabili: ij F = GM (ΓR 1 ) = d dt (M ar ) Buada: M a : he bi elemanı etkilenen m ai cismi olan N elemanlı satı matisi, R : he elemanı i hız vektöü olan N elemanlı sütun matisidi. 9

10 Buada bi paantez açmamız geekiyo. Eşitliğin sağ taafındaki etkilenen kütle, sol taaftaki alanı oluştuan va oluş kütleleinden bii ile eşdeğe değildi. Bu konu Evenin alan göeli modelinin temellei adlı makalede ayıntılı incelenecekti. Kuama göe he hangi bi cismin kütlesi, cismin sadece kendisinin oluştuduğu kuvvet alanının, cismi içine alan kapalı bi yüzey üzeindeki akısına (flux) eşitti. Kütlenin bu tanımı aslında Gauss un yeçekimi yasasıyla eşdeğedi. Bu tanım cismin hehangi bi başka alan etkisinde olmadığı süece geçelidi. Eğe cisim başka bi cismin etki alanı içindeyse ve cismin hızı alan hızından faklı ise atık cisim için alan göeli kütle söz konusu olacaktı. Etkilenen cismin kütlesi, etkilendiği alanın hızından ne oanda faklı bi hızda haeket ediyosa o oanda atan bi kütleye sahip olacaktı. Bu alan göeli kütlenin ışık hızıyla bi bağlantısı yoktu. Kuam da bu nedenle Evenin alan göeli modeli olaak anılmaktadı. Bu duumda yukaıdaki eşitliğin sağ taafındaki göeli kütle zamanın fonksiyonu olaak değişecekti. Göeli kütle bulunduktan sona gezegen güzegâhı da bilindiğinden yukaıdaki eşitliğin sağ ve sol taaflaı ayı ayı hesaplanıp ne ölçüde ötüştüklei hesaplanabili. Göüldüğü gibi doğulama için Newton haeket yasalaını kullanmak göeli kütle ile uğaşmak geekmektedi. Biz buada eşitliğin sağ taafıyla ilgilenmeyen, adına evensel haeket eşitliği diyebileceğimiz daha yalın ve doğudan bi yöntem öneeceğiz. Bunun için biaz fiki jimnastiği yapmamız geekmektedi. Göeli Hızla İki cismin etkileşimi kaşılıklı simetik bi ilişkidi. Uzayda aalaında belli bi uzaklık bulunan ve eksenlei etafında dönen iki gök cisminin he biinin oluştuduğu eksenel simetik potansiyel alan dağılımı, bilikte etkileşimde daha kamaşık bi hal alı. Bu ilişkide he cisim hem diğeini etkileyip kuvvet uygulayacak, hem de ondan etkilenecekti. Bu nedenle cisimlei etkin-etkileyen ve edilgenetkilenen olaak adlandımak faydalı olacaktı. Cisimlein etkin süat-hız alan dödeylei, etkileşmelede tek belileyici unsu değildi. Bibileine göe doğusal hızlaını da göz önüne almamız geekmektedi. Bu konuyu şöyle açıklayabiliiz. Gökyüzünde etkin bi cismin alanında bi gözlemci veya edilgen başka bi cisim bulunsun. Etkin cisminin bu gözlemciye göe oluştuduğu suat-hız dödeyi, gözlemci etkin cisme göe sabit konumunu değiştimediği süece geçelidi. Bu etkin alan dödey genliğinin (sayısal ve vektöel kısım bilikte) etkin cisimden uzaklaşıldıkça azalacağını biliyouz. Böyle bi duumda, eğe etken cisminin dönüş hız ekseni değişmiyosa, konumunda duan bi gözlemci için suat-hız dödeyi eşitlik (4) teki değeinde değişmez kalacaktı. Eğe edilgen cisim etkin olana göe belli bi hızla konum değiştiiyosa alanı faklı bi süat-hız dödeyinde algılayacaktı. Benze şeyle doğusal hızla için de söylenebili. He iki cisim aynı doğusal hız ve doğultuya sahipse yani bibileine göe doğusal hızlaı sıfısa bibileinin doğusal alan hızlaını hissetmeyecekledi ki bu duum he ikisinin de dumalaıyla eşdeğededi. Özetle, gözlemcinin bulunduğu noktadaki etkin cismin yaattığı algılanan süat-hız dödeyini tek başına etkin gök cismi belilemez. Edilgen cismin, etkine göe konumundaki değişim de önemlidi. Bu nedenle iki gök cismi aasındaki kuvvet ilişkisini, cisimlein he biinin üçüncü bi noktaya olan mutlak konumlaı ve hızlaı değil, bu cisimlein bibileine göe konumlaı ve hızlaı belile. Konuyu daha da basitleştielim. Bi akasuya kapıldınız, süüklenmektesiniz; akasu kenaında bi dala tutundunuz ve duabildiniz. Bu duumda akasuyun hızını ve doğal olaak size uyguladığı süükleme kuvvetinin tamamını hissedesiniz. Kol gücünüz veya tutunduğunuz dal bu kuvveti yendiği süece akıntıya kaşı dienç gösteebilisiniz. Dal kıılısa veya kol gücünüz yetesiz kalıp dalı bıakısanız süüklenmeye başlasınız. Bu duumda da eğe ayaklaınız nehi dibinde sütünüyosa hızınız akasu hızından daha düşüktü ve akasuyun süükleme gücünü daha az hissedesiniz. Ayaklaınızı yeden çekeseniz hızınız suyun akış hızını alı ve suyun haeketi ile uyum sağlasınız; suyun size uyguladığı kuvvet atık yoktu. Bu çok basit gözlemi tek bi cümle ile aşağıdaki gibi ifade edebiliiz. Aksiyom 3: Şeyle kendileine uygulanan kuvveti yok edecek şekilde haeket edele. 10

11 Eğe cisim, haeket edeek bu kuvveti yok edebilise sistemle uyumludu ve dengededi. Cismin bu kuvveti yok etme veya en aza indime süeci geçici ejim olaak adlandıılı. Aksiyom 3 aslında Newton un haeket yasalaının ikinci ve üçüncüsünün bi aada ve daha yalın bi ifadesinden başka bi şey değildi. Dünya üzeinde yeçekimi kuvvetini hissediyouz bu sayede yee yapışık olaak haeket ediyouz. Sebest düşüş sıasında bu kuvvet hissedilmeyecekti. Einstein ı Genel Göelilik kuamına götüen yolda en çok bu olgudan esinlendiği bilinmektedi. Eşitlikle (2) ve (11) göz önüne alınısa m 1 ve m 2 kütleleinin bibiine oanı ile bunlaın oluştuduğu potansiyel ve süat alanı büyüklükleinin oanı aasında aşağıdaki ilişkiyi yazabiliiz: V 1 = m 1 V 2 m (15) 2 v 1f v 2f = m 1 m 2 Diğe yandan, eğe bu iki cisim sadece bibileine uyguladıklaı kuvvetlele haeket ediyosa ağılık mekezlei sabit kalacak ve he ikisi de bu ağılık mekezi etafında kendi yöüngeleinde dönecekledi. Bu duumda toplam momentumlaı sıfı olacağından aşağıdaki eşitliği yazabiliiz: m 1 1 = m 2 2 (16) Buadaki 1 ve 2, m 1 ve m 2 cisimleinin yöünge hızlaıdı. Eşitlik (15) ve (16) göz önüne alınısa aşağıdaki aksiyom geçeli olacaktı: Aksiyom 4: Dışaıdan gelen bi kuvvet etkisinin olmadığı ikili kapalı bi sistemde he bi cismin yöünge hızı diğeinin bulunduğu noktada ilave bi dönüş haeketi gibi algılanacak ve bu doğusal haeket, diğeinin bulunduğu noktaya kütlelein kaekökü oanında hız alanı olaak yansıyacaktı. Bunu aşağıdaki gibi ifade edebiliiz: v 1f = 1 m (17) 1 m 2 Bu alan hızının diğe cismin kütle büyüklüğüne bağlı olması anlamsız gibi göünebili. Ancak 1 yöünge hızının, ikili etkileşim nedeniyle diğe cismin kütle büyüklüğüne bağlı olduğu unutulmamalıdı. Gezegenin güneş etafında döneken kendi ekseni etafında tam bi tu atması Güneş e göe eksik kalacaktı. Güneş e göe tam bi tu için ilave bi dönüş geekmektedi. Bu, yöünge üzeinde gezegenin yol alması nedeniyledi. Eşitlik (17) ifadesi bu ilave dönüşün alana yansımasıdı. 11

12 Şekil 4 Bibileiyle etkileşip haeket eden gök cisimlei İkili bi sistemde edilgen cisim, etkin cismin suat-hız dödeyini kendi hızından dolayı faklı büyüklükte algılayacaktı. Şekil 4 te 1 ve 2 noktalaındaki m 1 ve m 2 cisimleinin hızlaı sıasıyla v 1 = 1 ve v 2 = 2 ise he noktadaki göeli hız-süat dödeyi: Veya kaçış süatlaını ayıısak: q R1 = 2Gm 1 + k 1 2Gm 1 (ω 1 12 ) q R2 = 2Gm 2 + k 2 2Gm 2 (ω 2 21 ) q R1 = 2Gm 1 12 [1 + k 1 (ω 1 12 ) Gm 1 ] (18) q R2 = 2Gm 2 21 [1 + k 2 (ω 2 21 ) Gm 2 ] Böylece göeli etkin alan potansiyel dağılımı aşağıdaki gibi olacaktı: γ Re = [1 + k 1 (ω 1 12 ) Gm 1 ] [1 + k 2 (ω 2 21 ) Gm 2 ] (19) Buna göe, haeket halinde he cismin diğeinin bulunduğu noktadaki göeli potansiyellei ve bibileine uyguladığı kuvvetle: V Re1 = Gm 1 γ Re V Re2 = Gm 2 γ Re (20) F 1 = F 2 = F = Gm 1 m 2 ( γ Re ) (21) 12

13 Aksiyom 3 geeği bu kuvvetin sıfı olması geekmektedi. Böylece: ( γ Re ) = 0 (22) Bu ifade ikili bi sistem için geçeli evensel haeket eşitliğidi. N adet cisimden oluşmuş bi sistem için bu eşitlik aşağıdaki gibi olacaktı: (Γ R R 1 ) = 0 (23) Buada Γ R, NxN boyutlu göeli alan potansiyel dağılım matisi, R 1 de NxN boyutlu, ana köşegeni (diagonal) sıfı olan simetik (1/ ij ) matisidi. Evensel haeket eşitliği gezegenlein yöüngelei üzeinde neden dengede olduklaını da açıkla. Buna göe gezegenle yöüngelei üzeinde Güneş in çekim kuvveti etkisinde olduklaı için değil tam tesi olmadıklaı için dengededile. Bu, Einstein ın gezegenlein yöüngelei üzeinde neden dengede olduklaıyla ilgili göüşü ile ötüşmektedi. Gezegenle Güneş i göemezle ve onu bilmezle bile, onla sadece kendileine uygulanan kuvveti yok etmek üzee bi yol takip edele. Bunun kestime bi yol olup olmadığını da bilmezle. Tıpkı akasuyun üzeinde suyun hızına kapılıp giden bi dal paçası gibi. Bunun için gaviton gibi bi kuvvet taşıyıcısına da geeksinimlei yoktu. 4. GÜNEŞ SİSTEMİNE UYGULAMA Evensel kuvvet-haeket denklemleini (14-23) çözmeden de, gezegenlein yöüngeleini bildiğimiz için, çözümden gideek doğulamasını yapabiliiz. Bunun için Newton haeket yasalaı yeine daha basit yöntemi evensel haeket eşitliğini kullanacağız. Ancak gene de çözümden gideek yapılacak bu doğulamada he şeyin yolunda gideceğini beklememeliyiz. Bu beklenti bilimsel olaak doğu olamaz. Bunun nedenleini aşağıdaki gibi sıalayabiliiz: 1. Gezegenlein yöüngelei üzeindeki hız ve ivme bileşenlei, tam bi düzlem üzeinde püüzsüz elips bi yöüngede döndüklei va sayılaak, yani Keple in haeket yasalaına göe hesaplanmaktadı. Oysa evensel kuvvet eşitliği Güneş ve gezegenlee etkiyen kuvvetin tam da mekezi bi kuvvet olmadığını, üç eksende de bileşenlein bulunduğunu söylemektedi. Bu duumda yöüngelein püüzsüz bi elips olması vasayımı doğu olmayacaktı ve doğulamada hatalı sonuçlaa yol açacaktı. Yöüngelein üç eksende de tam olaak bileşenleinin ne olduğunu eşitlik (22) deki difeansiyel denklem sisteminin çözümü söyleyecekti. 2. Şu souyu kendimize somak zoundayız: Newton un çekim yasasına göe hesaplanmış gök cisimlei ile ilgili büyüklüklee (temelde kütle ve mesafe) ne ölçüde güveneceğiz? Öneğin Güneş ve diğe gezegenlein kütle büyüklüklei faklı kuvvet ilişkileiyle hesaplanısa faklı değele elde edilebili. Gene de eşitlikledeki evensel çekim sabitine ve dünya ile ilgili büyüklüklee güvenmememiz için bi neden yoktu. Evensel kuvvet sabiti Newton çekim yasasından bağımsız Cavendish taafından 1798 de deneysel olaak bulunmuş, daha sona da moden ölçüm yöntemleiyle iyileştiilmiş ve güvenililiği atıılmıştı. Dünyanın boyutlaını ve kuvvet alanını çok hassas ölçebildiğimiz için, onun kütle büyüklüğüne de güveneceğiz. Gezegenlein duağan kütlelei de çok soun yaatmayacaktı. Evensel haeket yasasında bunlaa ihtiyaç yoktu. Eşitlikteki alan potansiyel dağılım çapanlaı ise açı ve mesafe gibi optik gözlemlele bulunabilen büyüklüklein fonksiyonudu. Optik ölçümlee dayanan uzaklık değelei mutlak değil göeli olacağından bunlaa da ancak bi ölçüye kada güvenebileceğiz. Şimdilik Newton yasası geeği hesap edilen Güneş kütle büyüklüğü hesaplaımız için olabilecek en büyük hata kaynağı gibi göülmektedi. 3. Buada geliştiilen evensel eşitliklein en özgün yanlaı, gök cisimleinin kendi eksenlei etafındaki dönüş hızlaını bi paamete olaak kullanmasıdı. Doğu çözüm için bu değelein tam olaak bilinmesi zounludu. Oysa kayalık gezegenle dışında bu değelei tam bilmemiz olanaksızdı. Bu da kesin hesaplamada hata oluştuacaktı. 4. Evensel kuvvet eşitliğinin bi difeansiyel denklem sistemi olması nedeniyle bunun geçici ve kalıcı çözümlei bulunacaktı. Çözümden gideek yapılan doğulama ancak kalıcı çözümle için geçeli olabili. Eğe Güneş sistemindeki bazı haeketle halen geçici değişken noktada ise 13

14 bu kaşılaştıma için bi hata oluştuacaktı. Uzay bilimde zaman sabiti oldukça uzun olduğundan böylesine kaşılaştımalaın yanıltabileceğini düşünmemiz geeki. Öneğin Şekil 1b de kuvvetin kutupsal açı bileşeninin ekvatoa yaklaşıken sıfıa gittiği göülüyo. Yani gezegenlein yöünge düzlemlei asimptotik olaak ancak sonsuz uzun bi süede ekvato düzlemi ile çakışacaklaı söylenebili. Hesaplamala Çalışmamızda evensel haeket eşitliğinin Güneş sisteminde doğulanması için eşitlik (19) daki γ Re göeli alan potansiyel dağılım çapanını Güneş-gezegen ikilisi için oluştuuldu. Diğe gezegenlein etkisi göz adı edildi. Eşitliği basitleştimek için mekezinde Güneş olan ve yatay düzlemi gezegenin yöünge düzlemi olan koodinat sistemi kullanıldı. Gezegenin başlangıç haeket noktası için ilkbaha gündönümü noktası seçildi. Önekleme yöünge üzeinde eşit açı aalıklaında yapılaak tüm gezegenle için tam bi döngü süesindeki hesaplamala kolaylaştııldı. Bu duumda zaman eksenindeki hesaplamala için Keple in eşit açıla süpüme yasası kullanıldı. Hesaplamalaın bütün gezegenlee kolayca uyalanması için astonomik veile koodinat dönüşümlei ile aynı koodinat sistemine getiilmesi sağlandı. Şekil 5 Güneş mekezli koodinat sistemi ve hız alanlaı Şekil 5 te, kullanılan koodinat sisteminde bi Güneş-gezegen ikilisinde iki noktada da dödeylein bileşenlei ayı ayı gösteilmektedi. Gezegenin bulunduğu noktada Güneş in süat alanı, döne hız alanı ve gezegenin çizgisel hızı bulunmaktadı. Güneş koodinat mekezinde sabitti; yani çizgisel hızı yoktu buna kaşın bu noktada da gezegenin süat alanı yanında, ekseni etafındaki dönüşünden ve çizgisel hızından kaynaklanan iki alan hız bileşeni bulunmaktadı. Buna göe Güneş ve gezegen için Eşitlik 18 deki alan dödeylei aksiyom 4 de göz önüne alınaak aşağıdaki gibi yazılabili: q RS = 2Gm S + k S (ω S ) 2Gm S p 14

15 Veya kaçış hızlaı ayılaak: q Rp = 2Gm p q RS = 2Gm S + k p [ω p ( )] 2Gm p + p m p m S [1 + k S (ω S ) p 2Gm S ] (24) q Rp = 2Gm p [1 k p (ω p ) + p ] 2Gm S Buada S alt simgeli büyüklükle Güneş e, p alt simgelile ise gezegene aitti. Buna göe eşitlik 19 daki göeli etkin alan potansiyel dağılımı da aşağıdaki gibi olacaktı: γ Re = [1 + k S (ω S ) p ] [1 k 2Gm p (ω p ) + p ] S 2Gm S Veya: γ Re = 1 k S k p (ω p ) (ω S ) + [k S (ω S ) + k p (ω p ) ] (25) 2Gm S0 2Gm S0 Evensel haeket eşitliğini (22) küesel koodinatlada açaak yazasak üç eksendeki haeket eşitliği aşağıdaki gibi olacaktı: ( γ Re γ Re ) = 0 γ Re θ = 0 (26) γ Re φ = 0 Bu ifadele Güneş ve gezegenle için seçtiğimiz Güneş mekezli koodinat sistemi için hesaplanısa yöünge düzlemi üzeinde aşağıdaki eşitlikle elde edilecekti: 1 k S k p [sin θ S sin θ p sin(φ φ S ) cos φ + cos θ p cos θ S ] (k S cos θ S + k p cos θ p )φ 2Gm S0 + 2 Gm S0 = 0 k S k p [sin θ S cos θ p cos(φ φ S ) + sin θ p cos θ S sin φ] + k S sin θ S φ cos(φ φ 2Gm S ) S0 (27) + k p sin θ p φ 2Gm S0 sin φ = 0 k S k p sin θ S sin θ p cos(2φ φ S ) + Gm S0 φ = 0 Buada θ S, φ S, θ p, φ p Güneşin ve gezegenin eksenel biim vektöleinin (ω S ve ω p) koodinatlaı, gezegen hızı, φ ise gezegenin yöünge üzeindeki açısal hızının genliğidi. Hesaplamala gezegenin yöünge denklemi 3 koodinat sistemindeki yatay düzlemde aşağıdaki gibi alınaak yapılmıştı: 1 ε 2 = a 1 + ε cos Φ Buada: a : gezegen yöüngesinin ana yaı eksen uzunluğu, ε : yöüngenin basıklığı, 15

16 Φ : gezegenin güneşe en yakın uzaklık doğultusu ile konum vektöü aasındaki açıdı. Gezegenin Güneş e en yakın noktasını işaetleyen biim vektö açılaı θ PH, ve φ PH ise, yöünge üzeindeki biim vectö z-eksenine dik olacağından bu açı aşağıdaki gibi olacaktı: Φ = cos 1 [sin θ sin θ PH cos(φ φ PH ) + cos θ cos θ PH ] Evensel haeket eşitlikleini doğulama denklemlei (27), γ Re göeli etkin alan potansiyel dağılımının kısmi tüevlei alınaak bulunmuştu. Buadaki biinci ve üçüncü eşitlikle, yatay düzlem üzeinde doğudan hesaplanabilmektedi. Ancak gezegen yatay düzlemde haeket ettiği için ve bu düzlemde θ = 90 ve sabit olduğundan eşitlikledeki ikinci, bileşen sıfı çıkacaktı. Oysa gezegen Güneş ın ekvato düzleminde haeket etmediğinden gezegen bastıma kuvveti etkisinde olması geektiğini biliyouz. Bu kuvvetlei bulmak için θ bileşenine göe kısmi tüevle önce genel haeket eşitlikleinde hesaplanmış sona bunun yöünge düzlemindeki kaşılığı bulunmuştu. Böylece üç eksende de gezegene etkiyen kuvvetle hesap edilebilmektedi. Bu eşitlikle (27), ikili gök cisminin kendi eksenlei etafında dönmemelei (k S = k p = 0) veya sadece biinin dönmesi duumunda ne şekil alacaklaını da göstemektedi. Açıkça göülüyo ki he eşitlikte kuvveti oluştuan bileşenle ve bu kuvvetlei sıfı yapacak gezegenin haeketinin yaattığı tepki bileşenlei ayı ayı ye almaktadı. Eşitliklei genel anlamda test etmek ve etki ve tepki kuvvetleini bi aada gömek için faklı dönü katsayılaı kullanaak he bi bileşenin gafiği gözlenebili. Sekil 6 Güneş-gezegen ikilisi için ancak faklı dönüş katsayılaı ile üç eksende etki ve tepki bileşenleini bi aada göstemektedi. Evensel haeket eşitlikleinde (27) 2 bilinmeyen fakat üç denklem bulunmaktadı. Nomalde Newton-Keple yasalaına göe gezegenin yöünge üzeindeki doğusal ve açısal hızını (, φ ) bildiğimiz için, bu üç eşitliği de sıfı yapacak k S ve k p değeleini bulabilmeliyiz. Beklentimiz doğultusunda he üç denklemi de sıfı yapacak katsayı değeleini hiçbi zaman bulamayacağız. Çünkü ikili salt bi çekim kuvveti ile haeket etmemektedi. Bu nedenle gezegen yöüngesinde püüzsüz bi yol takip edemeyecekti. Eşitliklede sıfıdan he sapma değei gezegene uygulanan kuvvet anlamına geldiğinden gezegenin bu sapmalaa uygun dalgalı bi yol izlemesi kaçınılmazdı. De Boglie dalgalaı da diyebileceğimiz bu dalgalı haeketin günlük yaşamımızdaki sonuçlaını, Dünya nın dönme eksen doğultusunun yıl boyu yaptığı sapmalala gözlemleyebilmekteyiz. Evensel haeket eşitliğinin tam çözümünün bulunup Dünya için üç eksendeki kaymalaın dönü eksen kaymalaıyla ne ölçüde ötüştüğünün aaştıılmasını güzel bi çalışma olaak önemekteyim. Şekil 6a Işınsal bileşende k S = k p = 0,5 için etki-tepki kuvvetlei. Newton çekim kuvveti ile aynı gafikte göebilmek için katsayıla büyük seçilmişti. Dönüş itme kuvveti dönü katsayılaının çapımı olup ihmal edili deecede küçüktü. Tepki kuvvetlei ise katsayıla oanında olup yöünge eksen kaymasının kaynağını oluştuula. Kullanılan ölçek nedeniyle dönüş itmesi ve tepki kuvvetleindeki ufak değişimle gafikte göünmemektedi. 16

17 Şekil 6b Yassılaştıma kuvvetlei ve tepki kuvvetlei. Buada Güneş ve gezegenin bastıma kuvvetlei bi aada göülsün diye k S = k p = 1 alınmıştı. Şekil 6c Gezegenin dolanma yönünü belileyen kuvvetin azimutn bileşeni ve tepki bileşeni. Buada tepki kuvveti oldukça küçük olduğu için dönü katsayılaı da oldukça küçük alınmıştı (k S. k p = 0,003). Evensel haeket eşitliğinin (27) ışınsal bileşenindeki ilk teim yani bi sayısı, süat alanının çekme kuvvet bileşenini, sonuncu teim ise bunu sıfılamak için gezegenin tepkisini belitmektedi. İkinci ve üçüncü teimle ise Güneş ve gezegenin dönüleinin yol açtığı bibiini çekme-itme kuvveti ve gezegenin buna kaşı tepkisini tanımlamaktadı. Buadaki ikinci teim, eşitlik 25 teki genel ikinci teim ifadesinden gelmektedi. Yani: k S k p (ω p ) (ω S ) = k S k p [sin θ S sin θ p sin(φ φ S ) cos φ + cos θ p cos θ S ] Bu ifade, Newton un çekme kuvveti yanında ışınsal doğultuda oluşan ve kaynağı ikilinin kendi eksenlei etafında dönüşlei olan yeni bi kuvveti tanımla. Katsayıla (k i ) pozitif olduğundan bu ifadenin işaetini etkileşimdeki cisimlein dönüş yönlei belileyecekti. İkisi de aynı yöne dönüyosa işaeti pozitif, tes yöne dönüyosa negatifti. Yani iki cismin bibiine göe kendi eksenlei etafındaki dönme yönlei çekim kuvvetini atııcı veya azaltıcı yönde çalışacaktı. Bu eşitlikteki tigonometik ifadenin değei 1 dolaylaında bi büyüklüktü, gök cisimlei için dönü katsayılaı oldukça küçük olduğundan, çapımlaı daha da küçük olacaktı. Bu nedenle aslında bu çekme-itme etkisi ihmal edilebili boyuttadı. Bu ilave çekme-itme kuvvetinin fiziksel kaşılığı Alan Göeli Even Modeli Kuamının Temellei adlı makalede ayıntılı tatışılacaktı. Okulaın tahmin edebileceği gibi atomlaın dünyasında da bu kuvvet-haeket eşitliklei aynen geçeliliğini kouyacaktı; ancak bi fakla ki bu kez ihmal edilecek bileşenle faklı olacaktı. Çekme-itme kuvveti k i katsayılaın çapımı ile oantılı iken, edilgen cismin buna tepkisi katsayılaın kendileiyle oantılı iki teimin toplamından oluşmaktadı. Şekil 6b den de göüleceği gibi bu bi anlamda gezegenin geeğinden fazla bi tepkisi şeklinde youmlanabili. Bu nedenle en az biinin kendi ekseni etafında döndüğü gök cisimlein etkileşiminde yöünge ekseni kaymasının kaçınılmaz olduğu anlaşılmaktadı. Alan dönmesi dikkate alınısa bunu zihinsel canlandıması zo olmayacaktı. Alan dönmesinin yavaşlığı nedeniyle bu sadece Mekü yöüngesinde gözlenebili bi büyüklük olaak göülebiliyo. Işınsal doğultudaki bu döt bileşenin toplamı tam olaak sıfı olamayacak, ancak ona çok yakın bi seyi izleyecekti. Bu da aslında gezegenin yöüngesi üzeinde püüzsüz bi haeketinin olamayacağını, ışınsal doğultuda bi dalga haeketiyle ileleyeceği anlamına gelmektedi. Eşitliğin θ bileşenini de göüleceği gibi döt ayı potansiyel alanın dağılımı olaak ifade edilebili. İkisi Güneş ve gezegenin bastıma kuvvetlei ve diğe ikisi de gezegen haeketinin buna 17

18 tepkisi ile ilgilidi. Tanımlı yöünge üzeindeki he noktada bunlaın toplamlaının tam olaak sıfı olmamaktadı. Bu, yöünge düzleminin tam bi düzlem olmaması, gezegenin bu düzlem etafında dalgalı haeket yapması nedeniyledi. Son olaak eşitliğin yöünge üzeindeki haeket yönündeki φ bileşeni, gezegenin güneş etafındaki dolanma haeket yönünü, Güneş ve gezegenin dönüş yönleinin belilediğini göstemektedi. Newton-Keple yasalaıyla tanımlı yöünge üzeinde, gezegenin bu dönüş kuvvetine tepkisinin tam da onu sıfılayamaması nedeniyle, eşit alanla süpüme yasasından ufak sapmala yaptığını anlamaktayız. Sonuçla Haeket eşitlik denklemleine bakasak, aşağıdaki sonuçlaı çıkaabiliiz: 1. Eğe sistem içindeki hiçbi cisim kendi eksenlei etafında dönmüyosa kuvvetlein θ ve φ bileşenlei olmayacak ve cisimle sadece Newton un çekim yasası geeği mekezi bi kuvvet altında haeket edecekledi. Bu duumda küesel bi öbekleşmeyi, sistem içindeki cisimlein otalama yaısının en büyüklei etafında tes yönde dolanmalaını gözlemleyebilmeliydik. 2. Eğe sistemdeki ana cisim ekseni etafında dönüyo, diğelei dönmüyosa, ana cismin dönüşü öbekleşmenin biçimini belilemektedi. Bu duumda ana cismin etafındaki cisimlein dolanma yönü ana cismin dönüş yönüyle aynı olmak zoundadı. Kendi eksenlei etafında dönmeyen uydu cisimle, ana cismin ekvatounda öbekleşmek zoundala. 3. Etkileşen iki cisim de dönüyosa bunlaın he biine uygulanan kuvvet, dönüş yönlei ve dönüş eksenlei taafından belilenmektedi. Bu nedenle bu kuvvetin etkisiyle takip ettiklei ota dönüş eksenleinden bağımsız değildi. Güneş sistemindeki düzenin üstte sıalı gözlemlei eksiksiz doğuladığı otadadı. Dönüş hızlaı needeyse sıfı olan Mekü ve Venüs, Güneş ekvatouna daha yakın devinmektele. Dönüş eksenlei Güneşi nkinden ayık ve hızlı dönen gezegenlese Güneş ekvatou ile daha açılı haeket etmektedile. Bu çalışma çeçevesinde südüülen ayıntılı hesaplamala ve tüm gezegenle için hesaplama tablolaı Ocak 2016 içinde ilgilenen okuyuculaın kullanımına sunulacaktı. Böylece he gezegen özelinde değişik k i değelei için üç eksende kaşılaştıma yapıp kuamın öngödüğü yöüngenin Newton-Keple yöüngeleiyle ne ölçüde ötüştüğü doğudan bilim insanlaı taafından test edilebilecekti. Bu nedenle buada sayısal ayıntılaa giilmemişti. 5. SERBEST DÜŞME Cisimlein bibileiyle olan kuvvet ilişkisinde en yaygın olaak kaşılaşılan uygulama, günlük yaşamımızda he an yüz yüze olduğumuz, yaşamımızı doğudan ilgilendien sebest düşme olgusudu. Evensel haeket eşitliğinin buna söyleyeceği bi şeyle olmak zoundadı. Sebest düşmede objele bi engele takılmazlasa belli bi ivme ile ye mekezine doğu haeket edele. Buada düşen obje, dünyanın kendi ekseni etafında dönmesine kaşı duyasızdı. Çünkü onunla bilikte döne, aalaındaki göeli hızla sıfıdı (k E = k o = 0). Bu nedenle kuvvet ilişkisinde θ ve φ bileşenlei bulunmayacaktı. Bu duumda haeket eşitliği (27) aşağıdaki gibi olacaktı: Gm E = 0 (28) Buada m E dünyanın kütlesidi. Obje hızına v o = desek eşitliği aşağıdaki gibi yazabiliiz: v v o o = Gm E 2 Bu ifadede he iki taafı sonsuz küçük d ile çapıp iki taafı da gene sonsuz küçük dt ye bölesek: v dv o o dt = Gm E d 2 dt Buadan d dt obje hızı, dv o dt obje ivmesi olduğu göz önüne alınısa, sebest düşme ivmesi için aşağıdaki değei elde edeiz: g = Gm E 2 18

19 6. DENGE ve YAYILMA HIZI Evensel kuvvet-haeket eşitliklei için iki önemli noktayı vugulamak geekmektedi. a. Denge Haeket eşitliğinin (26) üç eksendeki bileşenlei aşağıdaki gibi yazılabili: ( γ Re γ Re ) = 0 1 γ Re 2 θ = 0 (29) 1 γ Re 2 φ = 0 Buada denge duumundan uzaklaşıldığında, yani eşitliklein sıfı olmadığı duumlada, nelein olabileceğini anlayabilmek için uzaklıkla da gösteilmişti. Bu eşitliklede ışınsal bileşendeki ilk teim, uzaklık attıkça ikinciden daha hızlı azalmaktadı. Bu iki teimin eşit olduğu uzaklık ise denge duumunu ifade etmektedi. Denge duumundan daha uzak noktalada itme, yakında ise çekme kuvveti baskın olmaktadı. Bi şekilde denge duumundan nin atımıyla uzaklaşılısa denge yok olacak, itme etkin olacak ve gezegen daha da uzaklaşacaktı. Ancak bu kez alan potansiyel dağılım çapanının φ bileşeni hızla azalacağından, yöünge üzeindeki hız da azalacaktı. Bu da ışınsal bileşenin (27) sonundaki hız teimini küçültecek ve çekim kuvvetini atıaak sistemi teka dengeye getiecekti. Denge duumundan daha yakın mesafele için benzei işleyişin tesi olacaktı. Öte yandan Şekil 1b, θ bileşenindeki denge duumundan sapmalada sistemin nasıl davanacağı konusunda bi kuşkumuz bulunmamaktadı. Bu şekilde gezegene üç eksende de dışaıdan gelecek denge bozucu, yani mesafe, açı ve hızı değiştiici etkilein nasıl savuştuulacağı ile ilgili çözümlemele yapılabili. Sonuçta gezegenle yöüngeleinde kaalı denge duumunda bulunacakladı. Eğe sistemle aasında bi denge duumu yoksa daha uzak mesafelein ayni yönde dönü yapan sistemle için nasıl bi etkisinin olabileceği konusunu okuyucuya bıakıyoum. Bibileine yaklaşan ve uzaklaşan gök adalaın dönüş yönleinin kaşılaştıılması (spiallein yapısından bu anlaşılabili) evenin düzeni için çok önemli bulgulaa yol açacaktı. b. Yayılma Hızı Evensel kuvvet-haeket eşitlikleinde bibiinden milyonlaca kilomete uzaklıkladaki olayla sanki bi aada ve eşzamanlı oluyomuş gibi ilişkilendiilmektedi. Bu uzaktan etkileşme konusu Newton fiziğinde de göelilikte de en tatışmalı konuladan biidi. Biz buada olayı uzaktan etkileşime haeketin uzaktan etkisini kataak iyice kamaşık hale getidik. Aslında bu eşitliklei benimsiyosak aşağıda sözü edilen iki şeyden en az biini peşinen kabul etmiş olmaktayız: i. Söz konusu etki alanlaının uzayda yayılma hızı sonsuzdu. Öneğin Güneş in ekseni etafında dönmesi tüm etki alanına anında yansıyacak veya gezegenin yöünge üzeindeki çizgisel hızı Güneş in bulunduğu noktada anlık alan hızı olaak algılanacaktı. Ancak bu satılaın yazaı, bi havuzun otasında dönen obot bi pevanenin enejisini suyun içinde yayması gibi bu alanlaı da bi eneji yayılımı olaak gömektedi. Bu nedenle alan hızlaının sonlu üstelik sanıldığından da yavaş olduğunu düşünmektedi. Hatta bu alan yayılma hızının sabit olmayıp uzaklaştıkça azalması geektiğini öngömektedi. Yani alan hızının uzayda sabit ve ışık hızı gibi yüksek olması söz konusu değildi. Öyleyse evensel kuvvet-haeket eşitlikleinin geçeli olabilmesi için başka bi olgunun geçekleşiyo olması geekmektedi. ii. Alan etkileşimli dengeli bi sistemde cisimlein etki alanlaını belileyen büyüklüklein, öneğin onun kütle ve hızlaındaki değişikliklein etki alanına yansıma süesi ile, bu alandan etkilenen cismin haeket döngüsü aasında bi uyumun bulunması zounludu. Evensel haeket eşitliği ancak alan kaynağındaki değişimin etkisinin alana ulaşması ile ona tepki gösteenin tepki döngüsü aasında bi uyumluluk vasa geçeli olabili. Öbü tülü kaynağındaki düzensiz değişim, cisme düzensiz bi kuvvet uygulayacak, tutalı bi denge duumu oluşamayacaktı. Bu olgu bi atomda elektonlaın neden sadece belli yöüngelede dolanmalaına izin veildiğinin kuamsal açıklamasıdı. Pekâlâ, bu olgunun 19

20 uzaydaki dengeli bi sistem içinde bi kaşılığı va mıdı? Hemen belitelim ki vadı. Bunu anlayabilmek için bu alan enejisinin yayılma hızını bilmeliyiz. Aksiyom 1a ile uzayda he cismin etki alanında bi hız alanına sahip olduğunu biliyouz. Etki alanında yetei kada küçük bi hacim seçesek bunun içini homojen bi uzay paçası olaak değelendiebiliiz. Bu duumda bu noktadaki hız alanının he yönde aynı hızda yayılıyo olması geektiği açıktı. Sonuçta bu hız yayılma yönünde de aynı olacaktı. Böylece bu alanın kaynağından başlayaak hangi hızla uzaklaştığını bulmak için eşitlik (2) yi aşağıdaki gibi yazabiliiz: d dt = 2Gm Bu ifadenin he iki taafını dt ile çapıp integalini alaak alan enejisinin kaynağından çıktıktan sona (başlangıç değei sıfı) etki alanındaki uzaklığına hangi süede gideceğine ilişkin aşağıdaki bağlantıyı buluuz. t 2 3 = 2 (31) 9Gm Yani alan enejisinin kaynağından çıktıktan sona ışınsal doğultuda aldığı mesafenin küpü ile oaya vama süesinin kaesi aasında sabit bi oan bulunacaktı. Keple in 3. yasası da gezegenlein yöüngelei üzeindeki döngü süelei ile yöünge ana yaı eksen uzunluğu aasında eşdeğe bi bağıntıyı ifade ede. Yaı eksen uzunluğunun yaklaşık güneş-gezegen aası mesafe olduğu göz önüne alınısa, döngü süesi (T) ile, Güneş alan etkisinin (enejisinin) gezegene vama süesi (t) aasında sabit bi ilişki bulunmalıdı. Eşitlik 31 de sabit t 2 3 oanı evensel kuvvet sabiti G yi hangi biimlele ifade ettiğimize göe değişecekti. Bu sabit astonomik biim (AU), kilogam ve dünya yılı [AU 3 /(kg. yıl 2 )] biimleiyle ifade edilise (G = 1, ) t 2 3 oanı 1/180 dolaylaında olmaktadı. Güneş ve dünya için T 2 3 = (1yıl) 2 (1AU) 3 = 1 olduğundan, T 2 t 2 = 180 veya T t = 13,416 olmalıdı. Dünya Güneş etafında bi tuunu 365 günde tamamladığından (T), eşitlik 31 le de Güneş alan enejisinin dünyaya vama süesinin (t) 27,4 gün olması nedeniyle (bu süe güneşin bi dönüş süesine eşit, neden?) bu oan da 13,32 bulunu. Bu biimlele tüm gezegenle için T 2 3 = 1 olduğundan, eşitlik (31) gözlemlele de evensel bi geçekliği ifade ede. Buadaki ufak fak 1AU ile ana yaı eksen aasındaki faktan veya, etkileşimde dünya alanının ihmal edilen etkisi veya klasik çekim kanununa dayalı Güneş kütlesi nedeniyle olabili. Bu muhteşem sonuç hangi nedenle bu noktaya gelme ihtiyacı duyduğumuz geçeğini unuttumamalıdı. Göülüyo ki, gök cisimlei aasında belli bi denge olduğu süece, aalaında çok büyük mesafe de olsa, eşzamanlı olgula gibi aynı kuvvet-haeket eşitliğinde kullanmamızda bi sakınca bulunmayacaktı. Buada denge sözcüğü özellikle vugulanmıştı. Elekto-mekanik sistemlede sistemi oluştuan biimle bibileine, kuvvetlei ve enejilei ileten mekanik veya elektik bağlantı elemanlaıyla bileştiilmişti. Bu nedenle sistemdeki kuvvet-eneji ilişkileini bi bütün olaak geektiğinde- gecikme elemanını da kataak aynı eşitlik içinde ifade edebiliyouz. Alan etkileşimli sistemlede benze bağlantıyı alan sağlamaktadı. Bu açıdan eşitlik (31) bi gecikme elemanı gibi düşünülebili. Öyle bi gecikme elemanı ki döngülü ilişkilede valığını hissettimiyo. Evensel haeket eşitliği (23) şeylei bibiine hem yaydıklaı alan enejisiyle hem de kendi haeketleiyle bilikte bağla. Şeylein haeketi ile alan enejisinin yayılma hızı aasında uyum olusa denge oluşabili öbü tülü ya çapma oluşacak ya da şeyle bibileinden uzaklaşacaktı. Evensel kuvvet eşitliği ile Güneş taafından biçimlenmiş bi kuvvet alanında alan kuvveti gezegene anlık etkiyomuş gibi göünü. Oysa alan enejisinin çok yavaş yayılması nedeniyle Güneş in bi anda yok oluşunu dünyada ancak günle sona (27,4 gün) fak edebiliiz. Dünyanın yok oluşu ise Güneş taafından ancak 43 yıl sona anlaşılacaktı. Yani bi anlamda dünya yok olsa Güneşin uhu duymayacaktı. Bu geçeklik bize milyonlaca ışık yılı uzaktan gelecek kuvvet alanı dalgalaını hiçbi zaman gözleyemeyeceğimizi gösteiyo. (30) 20

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

Bölüm 6: Dairesel Hareket

Bölüm 6: Dairesel Hareket Bölüm 6: Daiesel Haeket Kaama Soulaı 1- Bi cismin süati değişmiyo ise hızındaki değişmeden bahsedilebili mi? - Hızı değişen bi cismin süati değişi mi? 3- Düzgün daiesel haekette cismin hızı değişi mi?

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

FİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A.

FİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A. FİZ12 FİZİK-II Ankaa Ünivesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Gubu 214-215 Baha Yaıyılı Bölüm-III Ankaa A. Ozansoy Bölüm-III: Gauss Kanunu 1. lektik Akısı 2. Gauss Kanunu 3. Gauss Kanununun Uygulamalaı

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem it-savat Yasası Giiş ölüm 30 Manyetik Alan Kaynaklaı it ve Savat, elektik akımının yakındaki bi mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyle yaptı Uzaydaki bi nktada akımdan ilei gelen manyetik alanı veen

Detaylı

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ ÖZET Egün ALKAN Elk.Y.Müh. Buga Otis Asansö Sanayi ve Ticaet A.Ş. Tel:0212 323 44 11 Fax:0212 323 44 66 Balabandee Cad. No:3 34460 İstinye-İstanbul

Detaylı

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir ÜNTE: UET E HAREETN BUUŞMASI - ENERJ NU: Evende He Şey Haeketlidi ÖRNE SRUAR E ÇÖZÜMER. x M +x Bi adam önce noktasından noktasına daha sona ise noktasından M (m) 3 3 (m) noktasına geldiğine göe adamın

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları İZ101 İZİK-I Ankaa Ünivesitesi en akültesi Kimya Bölümü B Gubu Bölüm V: Newton un Haeket Yasalaı 05.12.2014 Aysuhan OZANSOY Bölüm-V: Newton un Haeket Yasalaı: 1. Kuvvet Kavamı 2. Newton un I. Yasası (Eylemsizlik

Detaylı

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da

Detaylı

Basit Makineler Çözümlü Sorular

Basit Makineler Çözümlü Sorular Basit Makinele Çözümlü Soula Önek 1: x Çubuk sabit makaa üzeinde x kada haeket ettiilise; makaa kaç tu döne? x = n. n = x/ olu. n = sabit makaanın dönme sayısı = sabit makaanın yaıçapı Önek : x Çubuk x

Detaylı

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum 6 Döneek Ötelee Haeketi e Açısal Moentu Test 'in Çözülei.. R L P N yatay M Çebe üzeindeki bi noktanın yee göe hızı, o noktanın ekeze göe çizgisel hızı ile çebein ötelee hızının ektöel toplaına eşitti.

Detaylı

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir. . BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

Gezegenleri kim yuvarlıyor?

Gezegenleri kim yuvarlıyor? Gezegenlei kim yuvalıyo? Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com Özet Aalık 2015 te tam da Göeliliğin

Detaylı

KLASİK MEKANİK-1 BÖLÜM-1 KLASİK MEKANİĞE GİRİŞ 1)UZAY VE ZAMAN:

KLASİK MEKANİK-1 BÖLÜM-1 KLASİK MEKANİĞE GİRİŞ 1)UZAY VE ZAMAN: KLASİK MEKANİK- BÖLÜM- KLASİK MEKANİĞE GİRİŞ )UZAY VE ZAMAN: Uzay ve zaman fiziğin en temel vasayımlaı ile ilgili kavamladandı. Uzay ve zamanın süekli olduğunu vasaymak, ancak uzunluk ve zamanın bi standadının

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

BTZ Kara Deliği ve Grafen

BTZ Kara Deliği ve Grafen BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei

Detaylı

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI Bi elektonik elemanın özelliğini, bu elemanın üetiminde kullanılan malzemenin paametelei ve ısı, geilim ışık gibi dış etkenleden dolayı elemanın içinde geçekleşen fiziksel

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur SIT MKINR Günlük yaşantımızda iş yapmamızı kolaylaştıan alet ve makineledi asit makinelele büyük bi yükü, küçük bi kuvvetle dengelemek ve kaldımak mümkündü asit makinalada yük, dengeleyici kuvvet ile gösteili

Detaylı

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ Sevgi GÜRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Tez Yöneticisi: Yd. Doç. D. Fiket İŞIK EDİRNE-0

Detaylı

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Fedinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hayi ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

ELEKTRİK POTANSİYELİ

ELEKTRİK POTANSİYELİ 38 III.3. ELEKTRİK POTANSİYELİ III.3.0l., POTANSİYEL FARKI VE EŞPOTANSİYELLİ YÜZEYLER. Potansiyel eneji kavamı, yeçekimi ve yayın esneklik kuvveti gibi kounumlu kuvvetle inceleniken ele alınmıştı. Çeşitli

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır.

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır. 9 Basit Makinele BASİ MAİNEER est in Çözülei.. Veilen düzenekte yük ipe bindiği için kuvvetten kazanç tü. Bu nedenle yoldan kayıp da olacaktı. kasnak ükün 5x kada yükselesi için kasnağa bağlı ipin 5x.

Detaylı

Optik Sorularının Çözümleri

Optik Sorularının Çözümleri Ünite 4 Optik Soulaının Çözümlei 1- Gölgele ve Ayınlanma 2- Işığın Yansıması ve Düzlem Aynala 3- üesel Aynala 4- Işığın ıılması 5- Renkle 6- ecekle 1 Gölgele ve Ayınlanma Testleinin Çözümlei 3 Test 1

Detaylı

Ağırlık Kuv. / Atalet Kuv. Viskoz Kuv. / Atalet Kuv. Basınç Kuv. / Atalet Kuv. Basınç ve basınç farkının önemli olduğu problemler

Ağırlık Kuv. / Atalet Kuv. Viskoz Kuv. / Atalet Kuv. Basınç Kuv. / Atalet Kuv. Basınç ve basınç farkının önemli olduğu problemler INS 6 Hidolik Hidolik Anabili Dalı Uygulaa Model benzeşii, fiziksel bi olayın laboatuvada yaılan benzeine o olayın fiziksel odeli deni. Geoetik benzeşi, odel ve ototite bibiine kaşı gelen uzunlukla aasında

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI. Açısal hı, otisite e Sikülasyon. otisitenin eğişme Hıı.3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli.5 ida Üeindeki e Sonsudaki

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

BÖLÜM 6. MANEVRA 6.1. GĐRĐŞ

BÖLÜM 6. MANEVRA 6.1. GĐRĐŞ ÖÜM 6. MANEVRA 6.. GĐRĐŞ üm deniz aaçlaı için temel dizayn geekleinden biisi yeteli manea kabiliyetine sahip olmaktı. Manea kabiliyeti temel olaak geminin istenen bi yönde kontollü şekilde yön değiştiebilmesini

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu

Detaylı

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim

Detaylı

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi Uluslaaası Katılımlı 17. Makina Teoisi Sempozyumu, İzmi, 14-17 Hazian 21 Otomatik Depolama Sistemleinde Kullanılan Mekik Kaldıma Mekanizmasının Analizi S.Telli Çetin * A.E.Öcal O.Kopmaz Uludağ Ünivesitesi

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Şek. 23-1a, s.710 Şek. 23-1b, s.710

Şek. 23-1a, s.710 Şek. 23-1b, s.710 Bölüm 3 ELEKTRİK ALANLARI Elektik Yükleinin Özelliklei Yalıtkanla ve İletkenle Coulomb Yasası Elektik Alan Süekli Bi Yük Dağılımının Elektik Alanı Elektik Alan Çizgilei Düzgün Bi Elektik Alanda Yüklü Paçacıklaın

Detaylı

En Küçük Kareler Ve Toplam En Küçük Kareler Yöntemleri İle Deformasyon Analizi

En Küçük Kareler Ve Toplam En Küçük Kareler Yöntemleri İle Deformasyon Analizi En Küçük Kaele Ve oplam En Küçük Kaele Yöntemlei İle Defomasyon nalizi Mustafa CR,evfik YN, Ohan KYILMZ Özet u çalışmada, oplam En Küçük Kaele (EKK) yönteminin defomasyon analizinde uygulanması, elde edilen

Detaylı

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ TMMOB ELEKTİK MÜHENDİSLEİ ODASI ELEKTİK TESİSLEİNDE TOPAKLAMA ÖLÇÜMLEİ VE ÖLÇÜM SONUÇLAININ DEĞELENDİİLMESİ Not : Bu çalışma Elk.Y.Müh. Tane İİZ ve Elk.Elo.Müh. Ali Fuat AYDIN taafından Elektik Mühendislei

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğelendime ve çıköğetim Kuumlaı aie aşkanlığı KİTPÇIK TÜRÜ dayın dı ve Soyadı : day Numaası (T.. Kimlik No) : SĞLIK KNLIĞI PERSONEL GENEL

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğelendime ve çıköğetim Kuumlaı aie aşkanlığı KİTPÇIK TÜRÜ dayın dı ve Soyadı : day Numaası (T.. Kimlik No) : SĞLIK KNLIĞI PERSONEL GENEL

Detaylı

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri 5 Çebesel Haeket est in Çözülei.. düşey eksen tabla He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı eşitti. hâlde

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d

Detaylı

50 40 ----------30 20 10

50 40 ----------30 20 10 HACİM Maddenin uzayda kaplamış olduğu yedi.bi cismin kapladığı yei aynı anda başka bi cisim kaplayamaz.hacim biimlei m3 veya cm3 tü.ayıca sıvıla için Lite kullanılı. 1 Lite=1 dm3 1 ml=1cm3=1cc A)Katılaın

Detaylı

SIFIR HÜCUM AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKIM HIZININ TESPİTİ. Doç. Dr. M. Adil YÜKSELEN

SIFIR HÜCUM AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKIM HIZININ TESPİTİ. Doç. Dr. M. Adil YÜKSELEN SIFIR HÜCU AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKI HIZININ TESPİTİ Doç. D.. Ail YÜKSELEN Temmuz 997 SIFIR HÜCU AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKI

Detaylı

Uzun Düz Bir Telin Manyetik Alanı... 333. Akım Taşıyan Bir Çemberin Merkezindeki Manyetik Alan... 334. Bir Selenoidin Eksenindeki Manyetik Alan...

Uzun Düz Bir Telin Manyetik Alanı... 333. Akım Taşıyan Bir Çemberin Merkezindeki Manyetik Alan... 334. Bir Selenoidin Eksenindeki Manyetik Alan... ÜİTE 3 MAYETİZMA ölüm 1 Manyetik Alan 3 MAYETİZMA ayfa o ÖÜM 1 MAYETİ AA................................................. 331 Uzun Düz i Telin Manyetik Alanı..............................................

Detaylı

VİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p

VİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p VİDALA VE CIVAALA d : Miniu, inö yada diş dibi çapı (=oot) d : Otalaa, noinal çap yada böğü çapı (=ean) d : Maksiu, ajö çap, diş üstü çapı λ : Helis açısı p : Adı (p=pitch) l (hatve): Civatanın bi ta dönüşüne

Detaylı

3. BÖLÜM. HİDROLİK-PNÖMATİK Prof.Dr.İrfan AY

3. BÖLÜM. HİDROLİK-PNÖMATİK Prof.Dr.İrfan AY HİDROLİK-PNÖMATİK 3. BÖLÜM 3.1 PİSTON, SİLİNDİR MEKANİZMALARI Hiolik evelee piston-silini ikilisi ile oluşan oğusal haeket aha sona önel, yaı önel, oğusal önel haeket olaak çevilebili. Silinile: a) Tek

Detaylı

Ekon 321 Ders Notları 2 Refah Ekonomisi

Ekon 321 Ders Notları 2 Refah Ekonomisi Ekon 321 Des Notlaı 2 Refah Ekonoisi Refah Ekonoisinin Biinci Teel Teoei: İdeal işleyen bi sebest piyasa ekanizası kaynaklaın en etkin (optiu) bi şekilde dağılasını sağla. Topla net fayda (Topla Fayda-

Detaylı

FİZİK BASİT MAKİNELER MAKARALAR

FİZİK BASİT MAKİNELER MAKARALAR İZİ AARAAR : BASİ AİEER Haeketli akaa : Sabit akaa : x h Önek : Şekildeki haeketli makaa sistemini dengede tutmak için; a) akaa ağılıksız ise =? h b) akaa ağılığı 0 ise =? x 60 c) akaa ağılısız ise yükü

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ

ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ OTEKON 4 7 Otomotiv Teknolojilei Kongesi 6 7 Mayıs 04, BURSA ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ Basi ÇALIŞKAN *, İan KAMAŞ *, Tane KARSLIOĞLU

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

Batman Üniversitesi Beden Eğitimi ve Spor Yüksekokulu 2014 Yılı. Özel Yetenek Sınavı Sonuçlarının Değerlendirilmesi

Batman Üniversitesi Beden Eğitimi ve Spor Yüksekokulu 2014 Yılı. Özel Yetenek Sınavı Sonuçlarının Değerlendirilmesi Batman Ünivesitesi Beden Eğitimi ve Spo Yüksekokulu 2014 Yılı Özet: Özel Yetenek Sınavı Sonuçlaının Değelendiilmesi Mehmet Emin YILDIZ 1* Buak GÜRER 2 Ubeyde GÜLNAR 1 1 Batman Ünivesitesi Beden Eğitimi

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bir Silindirik Borunun Gerilme Analizi

Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bir Silindirik Borunun Gerilme Analizi Uludag.Üniv.Zi.Fak.Deg., 25) 19: 23-36 Sonlu Elemanla Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bi Silindiik Bounun Geilme Analizi Muhaem ZEYTİNOĞLU * ÖZET Taım, anayii ve konut ektöünde kullanılan, ıvı ve gaz iletim

Detaylı

AST413 Gezegen Sistemleri ve Oluşumu. Ders 3 : Kepler Denklemlerinden Ötegezegen Keşiflerine

AST413 Gezegen Sistemleri ve Oluşumu. Ders 3 : Kepler Denklemlerinden Ötegezegen Keşiflerine AST413 Gezegen Sistemleri ve Oluşumu Ders 3 : Kepler Denklemlerinden Ötegezegen Keşiflerine Kepler 1. Yasa (1609) Gezegenler, Güneş'in etrafında eliptik yörüngeler üzerinde dolanırlar! Aphel: enöte Perihel:

Detaylı

IŞIK VE GÖLGE BÖLÜM 24

IŞIK VE GÖLGE BÖLÜM 24 IŞI VE GÖLGE BÖLÜM 24 MODEL SORU 1 DE SORULARIN ÇÖÜMLER MODEL SORU 2 DE SORULARIN ÇÖÜMLER 1 1 Dünya Ay Günefl 2 2 Bu olay ışı ğın fak lı say am o la a fak lı hız la a yayıl ı ğı nı açık la ya maz Şe kil

Detaylı

POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI

POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI .. SAU Fen Bilimlei Enstitüsü Degisi 6.Cilt, 1.Saı (Mat 2002) Pozison Kontolüne Yönelik DC Moto Ugulaması A.İ.Doğman, A.F.Boz POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI 'oj Ali lhsan DOGMAN, Ali Fuat

Detaylı

12. SINIF KONU ANLATIMLI

12. SINIF KONU ANLATIMLI . SINIF NU NIMI. ÜNİE: DÜZGÜN ÇEMBERSE HREE. onu : DÜZGÜN ÇEMBERSE HREE EİNİ VE ES ÇÖZÜMERİ Düzgün Çebesel Haeket. Ünite. onu Etkinlik nın Çözülei. ~ ~ 4 ad/ s bulunu. İpteki geile kuetlei; 60.. 0,5. 6.

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİKSEL POTANSİYEL TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİKSEL POTANSİYEL TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF SORU BNSI. ÜNİT: TRİ V MNYTİZM. onu TRİS POTNSİY TST ÇÖZÜMRİ lektiksel Potansiyel Test 1 in Çözümlei 1. y ı ca yük le en bi i (+), öte ki e ( ) ol ma lı ı. 1 in an uzak lı ğı 4 bi im ise, nin

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 11 Seçme Sınavı 1. Dikey yönde atılan bir taş hareketin son saniyesinde tüm yolun yarısını geçmektedir. Buna göre taşın uçuş süresinin en fazla olması için taşın zeminden ne

Detaylı

BÖLÜM 3. AKIŞKAN HAREKETĐNĐ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER ve AKIM TĐPLERĐ

BÖLÜM 3. AKIŞKAN HAREKETĐNĐ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER ve AKIM TĐPLERĐ BÖLÜM 3 AKIŞKAN HAREKETĐNĐ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER ve AKIM TĐPLERĐ 3.. Bazı önemli kavamla 3.. Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi 3.. Debi 3..3 Haeketi takiben alınmış tüev 3.. Genel denklemlein

Detaylı

Fizik-1 UYGULAMA-7. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi

Fizik-1 UYGULAMA-7. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi Fizik-1 UYGULAMA-7 Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi 1) Bir tekerlek üzerinde bir noktanın açısal konumu olarak verilmektedir. a) t=0 ve t=3s için bu noktanın açısal konumunu, açısal hızını

Detaylı

önce biz sorduk 50 Soruda 32 KPSS 2017 soru ÖABT FİZİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR Eğitimde

önce biz sorduk 50 Soruda 32 KPSS 2017 soru ÖABT FİZİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR Eğitimde KPSS 207 önce biz sorduk 50 Soruda 32 soru ÖABT FİZİK TAMAMI ÇÖZÜMÜ ÇIKMIŞ SORUAR 203-204-205-206 Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT FİZİK ÇIKMIŞ SORUAR ISBN 978-605-38-780-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

Çapraz Masuralı Rulman Serisi Kompakt, Yüksek Düzeyde Rijit Döndürme Yatakları Mükemmel bir dönme doğruluğu

Çapraz Masuralı Rulman Serisi Kompakt, Yüksek Düzeyde Rijit Döndürme Yatakları Mükemmel bir dönme doğruluğu Çapaz Masualı Rulman Seisi Kompakt, Yüksek Düzeyde Rijit Döndüme Yataklaı Mükemmel bi dönme doğuluğu KATALOG No.382-1TR İçindekile Çapaz Masualı Rulman Seisi Yapı ve Özellikle... S.2-3 Tüle ve Özellikle...

Detaylı

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik I Dersi Final Sınavı

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik I Dersi Final Sınavı Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik I Dersi Final Sınavı 17 Ocak 2013 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 11:00 Bitiş Saati: 12:40 Toplam Süre: 100 Dakika Lütfen adınızı ve

Detaylı

SENKRON RELÜKTANS MAKİNASININ ANALİZİ

SENKRON RELÜKTANS MAKİNASININ ANALİZİ SENKRON REÜKTANS MAKİNASNN ANAİZİ Esoy BEŞER 1 H.Taık DURU 2 Sai ÇAMUR 3 Biol ARİFOĞU 4 Esa KANDEMİR 5 Elektik Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fakültesi Koeli Ünivesitesi, Vezioğlu Kampusü, 411, Koeli

Detaylı

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK MUKAVEMET Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATİK DENGE KOŞULLARI Yapı elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluşan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. Dış ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde

Detaylı

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın

Detaylı

BÖLÜM 1 GENEL KAVRAMLAR. A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM102 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ

BÖLÜM 1 GENEL KAVRAMLAR. A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM102 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ BÖLÜM 1 GENEL KAVRAMLAR A.Ü.M.F. JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEM102 STATİK DERS NOTLARI Dr. Koray ULAMIŞ BÖLÜM 1. GENEL KAVRAMLAR Mühendislik Akışkanlar Mekaniği Katıhal Mekaniği Rijid Cisim Şekil Değiştirebilen

Detaylı

TG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının vea bi

Detaylı

Yasemin Öner 1, Selin Özçıra 1, Nur Bekiroğlu 1. Yıldız Teknik Üniversitesi yoner@yildiz.edu.tr, sozcira@yildiz.edu.tr, nbekir@yildiz.edu.tr.

Yasemin Öner 1, Selin Özçıra 1, Nur Bekiroğlu 1. Yıldız Teknik Üniversitesi yoner@yildiz.edu.tr, sozcira@yildiz.edu.tr, nbekir@yildiz.edu.tr. Düşük Güçlü Uygulamala için Konvansiyonel Senkon Geneatöle ile Süekli Mıknatıslı Senkon Geneatölein Kaşılaştıılması Compaison of Conventional Synchonous Geneatos and emanent Magnet Synchonous Geneatos

Detaylı

kısıtlanmamış hareket radyal mesafe ve açısal konum cinsinden ölçüldüğünde polar koordinatları kullanmak uygun olur.

kısıtlanmamış hareket radyal mesafe ve açısal konum cinsinden ölçüldüğünde polar koordinatları kullanmak uygun olur. Düzlmd ğisl haktin üçüncü tanımı pola koodinatlada yapılı; buada paçacık sabit bi başlangıç noktasından msaf uzaktadı bu adyal doğu açısıyla ölçülmktdi. Hakt adyal bi msaf açısal bi konum il kısıtlı olduğunda

Detaylı

https://www.facebook.com/bzcocuk https://twitter.com/bzcocuk https://instagram.com/bzcocuk/ http://www.bzcocuk.com

https://www.facebook.com/bzcocuk https://twitter.com/bzcocuk https://instagram.com/bzcocuk/ http://www.bzcocuk.com Sonuç Bildigesi https://www.facebook.com/bzcocuk https://twitte.com/bzcocuk https://instagam.com/bzcocuk/ http://www.bzcocuk.com 20 ICT Summit NOW - Bilişim Zivesi nin 14 yılda bize kazandıdığı uzmanlık

Detaylı

3 FAZLI SİSTEMLER. şartlarda daha fazla güç nakli mümkündür. 26.05.2013 3 fazlı sistemler 1 3-FAZLI DENGELİ SİSTEMLER V OR V OS O V OT

3 FAZLI SİSTEMLER. şartlarda daha fazla güç nakli mümkündür. 26.05.2013 3 fazlı sistemler 1 3-FAZLI DENGELİ SİSTEMLER V OR V OS O V OT 3 FA İEME n Çok azlı sistemle, geilimleinin aasında az akı bulunan iki veya daha azla tek azlı sistemin bileştiilmiş halidi ve bu işlem simetik bi şekilde yapılı. n ek azlı sistemlede güç dalgalı olduğu

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

Türkiye deki Özürlü Grupların Yapısının Çoklu Uyum Analizi ile İncelenmesi *

Türkiye deki Özürlü Grupların Yapısının Çoklu Uyum Analizi ile İncelenmesi * Uludağ Üniveitei Tıp Fakültei Degii 3 (3) 53-57, 005 ORİJİNAL YAI Tükiye deki Guplaın Yapıının Çoklu Uyum Analizi ile İncelenmei * Şengül CANGÜR, Deniz SIĞIRLI, Bülent EDİ, İlke ERCAN, İmet KAN Uludağ

Detaylı

DOĞUŞ-USV İNSANSIZ DENİZ ARACI: STEREO GÖRÜŞ İLE HARİTALANDIRMA

DOĞUŞ-USV İNSANSIZ DENİZ ARACI: STEREO GÖRÜŞ İLE HARİTALANDIRMA DOĞUŞ-USV İNSANSI DENİ ARACI: STEREO GÖRÜŞ İLE HARİTALANDIRMA Ebu Dağlı, Cane Civan 2, Sean Şöhmelioğlu,Fazıl Eme Ediş, Dilek Tükel Kontol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü Doğuş Ünivesitesi, Aıbadem 2K869@dogus.edu.t

Detaylı

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ 7. İSKOZ ( SÜTÜNMELİ ) AKIŞLA 7.. Giiş Bi akışta iskoite etkisi önemli ise bu akış isko (sütünmeli) akış adını alı. Akışkan iskoitesinden

Detaylı