Başlangıç değerleri. olduğundan iterasyona devam!

Transkript

1 ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİESİ Mühedl Mmlı Fülte İşt Mühedlğ Bölümü E-Pot: Web: Blgy Detel Nüme Alz De otlı Ahmet OPÇU m X X X Bşlgıç değele M > ε. olduğud teyo devm! > ε., teyo devm! > ε., teyo devm! > ε., teyo devm! ε., teyo duduuldu! İteyo o Çözüm 7 DENKLEM SİSEMİ ÇÖZÜMÜ, İERASYON YÖNEMLERİ: Jcob Gu-Sedel GG(Cojugte Gdet Cl Gutv Job JACOBI (8-85 Phlpp Ludwg vo SEIDEL (8 896

2 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG b b b A b (7. A b doğul delem tem, ço büyü e ve A ço eye e teyo yötemle le çözülü. Çüü det metodl ço fzl belle, döt şlem ve hep üe geetle. Be yuvlm htlı çözümü tehleye o. İteyo yötemlede A ı elemlı değşmez, bu edele A ı dece ıfıd flı elemlı depolı, ıfı le döt şlem ypılmz. Hem belle hem hep üe hem de yuvlm htlı öeml mtd zlı. Uygulmd şılşıl A mt geelde ço eyet, ıfıd flı elem oı ylşı %-5 cvıddı. İteyo (elme lmı: telm, yeleme yötemle A b delem tem çözümüü şğıd leye göe çözmeye çlışıl: Bşlgıç: blmeyele vetöü ç b bşlgıç değe thm edl, öeğ: ( [ ] İteyo: dım: ht vetöü hb-a üçülece şelde ye b ylşım buluu: (.dım: ht vetöü hb-a üçülece şelde ye b ylşım buluu: (.dım: ht vetöü hb-a üçülece şelde ye b ylşım buluu: ( İteyou dudum oşulu ğlıcy d telı. Kç dım oud çözüme vılbleceğ, ı üt ııı, öcede etlemez. İteyou dudum oşulu gee vdı. Dudum oşulu ç flı ylşıml vdı, bzı öele:. teyo yııı üt ııı, m. h b-a ( olm üzee, h h ε. h - (- olm üzee, h h ε. m ε,,,, Bud ε bul edlebl ht değed, vetöüü fzel lmı bğlı ol, ε. - ε - gb tp b değe olbl. Ço yıd teyo metodu vdı. Bud JACOBI, GAUSS-SEIDEL ve CG (Cojugte Gdet metotlı ye velecet. JACOBI ve GAUSS-SEIDEL metodlı tyıl mt met vey met olmy delem temlede ullılbl. CG Metodu e dece tyıl mt met ve poztf tımlı delem temle ç ullılı. JACOBI metodu : İteyo bşlmd öce, 7. delem tem dygol elemlı olc şelde yede düzele. Buu ç geee tılı yele değştl. 7. temde,,, çelee. (b - (b - (b - şelde yzılı (7. Cl Gutv Job JACOBI (8-85, Alm: 85 de yyıldı. Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 85

3 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG 86 İteyo,,,, blmeyele ç, fzel lmı göe, b bşlgıç değe thm edlee bşlı. Hehg b thm ypılmıyo vey b b,,..., b lıbl. Bu değele 7. ğ tfıd yee ou, old ye değele heplı. İteyou dudum oşulu otol edl, ğlıyo teyo duduulu. Sğlmıyo ye değele 7. ğ tfıd yee ou ve old ye değele heplı. İteyou dudum oşulu ğlıcy d bu şlem telı. Öe: A b,? Delem tem det yötemlele çözümü [ ] d. Çözümde odlı yıd o he velmşt. Ayı delem tem JACOBI teyou le çözelm. Delem tem ( ( ( ( şelde yzlım.. blmeye. Ve -. dımd hepl değe fı olm üzee, M εoşulu ğlıc teyou dudulım. ε. eçelm. Çözümde odlı he ulllım. Bşlgıç ç ( [ ] llım. X X X Bşlgıç değele M > ε. olduğud teyo devm! > ε., teyo devm! > ε., teyo devm! > ε., teyo devm! ε., teyo duduuldu! İteyo o. teyo oud bulu çözüm Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 86

4 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG Çözüm: GAUSS-SEIDEL metodu : İteyo bşlmd öce, 7. delem tem dygol elemlı olc şelde düzele. Buu ç geee tılı yele değştl. 7. temde,,, çelee. (b - (b - (b (7. şelde yzılı. İteyo,,,, blmeyele ç, fzel lmı göe, b bşlgıç değe thm edlee bşlı. Hehg b thm ypılmıyo vey b b b,,..., lıbl. değele 7. ü. delem ğ tfıd yee ou, ye değe buluu. ye değe ve,,, öce değele. delem ğ tfıd yee ou, ye değe buluu. ve ye değe le,, öce değele. delem ğ tfıd yee ou, ye değe buluu.,,, - ye değele. delem ğ tfıd yee ou, ye değe buluu. İteyou dudum oşulu otol edl, ğlıyo teyo duduulu. Sğlmıyo o değele le şlem telı. GAUSS-SEIDEL metodu le JACOBI metodu temelde yıdı. e f şudu: GAUSS-SEIDEL metodud he ye değe heme ullılı. Öe: A b,,? Delem tem det yötemlele çözümü [ ] d. Çözümde odlı yıd o he velmşt. Ayı delem tem GAUSS-SEIDEL teyou le çözelm. Delem tem Phlpp Ludwg vo SEIDEL (8 896, Alm: 87 yılıd yyıldı. Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 87

5 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG 88 ( ( ( ( şelde yzlım.. blmeye. ve -. dımd hepl değe fı olm üzee, M εoşulu ğlıc teyou dudulım. ε. eçelm. Çözümde odlı he ulllım. Bşlgıç ç ( [ ] llım. X X X Bşlgıç değele M > ε. olduğud teyo devm! > ε., teyo devm! ε., teyou dudu! İteyo dımlı Çözüm: 7. teyo oud bulu çözüm Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 88

6 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG 89 Ate teyo hızldııcıı Yuıd öelede göüldüğü gb, teyo geçe çözüme olduç yvş yımtdı. JACOBI ve GAUSS-SEIDEL teyolı doğul ylşım eglele. Doğul ylşımlı teyo metotlıd AIKEN hızldııcıı ullıl teyo hızldıılbl. Hehg b blmeye bb zleye üç teyo dımı oud bulu,, değele ullıl ı değe yleştlebl. AIKEN e göe ( ı yleştlmş değe d. Bu fomülü ull şğıd öeğ JACOBI metodu le çözelm: A b,,? ( ( ( ( X X X (.667 (.67 (-.8 ( (.667 İteyo dımlı.6 ( (-.8. teyo oud bulu çözüm.56 (.667 Bşlgıç değele M > ε. olduğud teyo devm! Ate ( (.8. ε. teyou dudu! Alede Cg Ate( Ptez çde oyu yzılmış değele AIKEN fomülü le yleştlmş değeled. Göüldüğü gb yım hızlmış, teyo yee dece teyo yetel olmuştu. AIKEN hızldııcıı, fomülü ypıı geeğ, e ee. dım oud uygulbl. Ac, l dımld değele ço b olduğud, büyü delem temlede 5.-. dımd o uygulmı dh uygu olu. İteyou o dımlıd d y ğlmz, çüü dece o helede ço üçü değşlle olmtdı. M εolduğud AIKEN hızldııcııı deve dışı bıılmı uygu olu. AIKEN hızldııcııı te ıclı yöü, dşı üç teyo vetöüü bellete tutulmı zoululuğudu. A. C. AIKEN ( , Ye Zeldlı mtemtç, ülü fomülü 96 d yyıldı. CG (Cojugte Gdet metodu A met ve poztf tımlı, y A > olm üzee A b (7. delem tem f ( A b (7.5 foyouu mmum ypc çözümü ı. f( mmum olm oşulu f ( f ( dı: A b d A b delem tem olu. Mgu R. HESENES(96-99, Amelı ve Edud L. SIEFEL(99-978, İvçel: 95 yılıd yyıldıl. Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 89

7 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, Çözüme bşlgıç vetöü thm edlee bşlı. Geellle lıı. oplm teyo dımıd öyle,,,, vetöle belle o bulu vetöü 7.5 fde mmum yp. Mmum teyo yıı teo ol blmeye yıı ddı:. Bu edele CG metoduu det metot ol göe yzl d vdı. Ac, yuvlm htlı edeyle > olbl. CG Metoduu teyo dımlı: Çözülece delem tem: A b Bşlgıç vetöü eçl: Kbul edlebl ht ııı ε eçl. Hzılı: b, b lıı (ydımcı bşlgıç vetöle..dımı:.dımı:.dımı:.dımı: Not: He dımı fomüllede ez göüle A çpımı he dımd b ez ypılı. He dımı fomüllede ez göüle A değe he dımd b ez heplı. (l ht vetöüdü. eo ol olduğud teyo o ee. Ac, yıl hepld tm ıfı geelde ylmz, htlı ele eöü bul edlebl ht ııı ltıd lıc teyou dudum dh y b yoldu: ε. Dğe b eçee: elemlıd mutl değece e büyüğü<ε oluc teyo duduulu. ç ve otogoldı, olmlıdı. Bu oşul ydımıyl teyou, yuvlm htlı edeyle, tehleye gp gmedğ otol edlebl. Öe:?, b A, Bşlgıç vetöü eçl: [ ] llım. Kbul edlebl ht ııı eçl: ε. olu. Hzılı, ydımcı vetöle: [ ], [ ] Hepld odlı yıd o he yüütelm.. dım: A A A A ε e dudu! A A A A ε e dudu! A A A A ε e dudu! A A A A ε e dudu!

8 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG 9 A 6, 6 A, ,.875 A A ,.875. > ε. olduğud teyo devm edlece! A,. dım: A A., , A A.56.56, ,.88 A , , < ε. olduğud teyo duduuldu!.667 Çözüm: Sdece dımd çözüm bulumuştu. Ayı öe ç JACOBI, GAUSS-SEIDEL 7, AIKEN hızldııcılı JACOBI teyo dımı geetmşt. CG metoduu dğe teyo metotlı göe ütülüğü bu üçü öe le dh göülmeted. Ac, CG metoduu dece met ve poztf tımlı A özel duumu ç geçel olduğuu htıltlım. Geel ol, GAUSS-SEIDEL metodu JACOBI metodud, CG metodu d he de ço dh çbu yı. JACOBI metodu uygulmd heme hç ullılmz. Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 9

9 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG Not: CG (Cojugte Gdet teyo metodu 95 yılıd M. R. HESENES ve E. SIEFEL tfıd yyıldı. B: Hetee, M. L., Stefel, E., 95. Method of Cojugte Gdet fo Solvg Le Sytem. J. of Reech of the Ntol Bueu of Stdd 9 (6. CG (Cojugte Gdet teyo metodu dece A tyıl mt met ve pozff tımlı temle çözümüde ullılbl. A b delem temde A met değle, A A A b döüşümü ypıl CG metodu A A A b teme uygulbl. Çüü A A A b temde A A tyıl mt met ve poztf tımlıdı. CG (Cojugte Gdet teyo metodu. yüzyılı e y lgotmlıd b eçlmşt. B: Mgu R. HESENES(96-99 Edud L. SIEFEL( Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 9

10 7. İERASYON YÖNEMLERİ: JACOBI, GAUSS-SEIDEL, CG 9 İteyo yötemle vtjlı A b delem tem det metodl le çözülemeyece d büyü e ve A eye b mt e teyo yötemle le çözülebl. İteyo yötemle le çözüleblece delem tem büyülüğü güümüzde - mly dymıştı. A eye mt e ço z belle geet. A eye mt e ço z döt şlem, ço dh z hep üe geet. Optmzyo gb tel poblemle çözümüe uygudu. Çüü b öce çözüm b o çözümü bşlgıç vetöü ol lıbl, çözüm ço çbu yı. İteyo metotlıd A b delem tem A tyıl mt değşlğe uğmz. Bu şı; det metotld A ı elemlı değş, ıfı eleml ıfıd flı olul. Seye mtle gdee dolu mt olul. İteyo metotlıd yuvlm htlı det metotl z ço dh z ou ytı. Bç teyo dımı oud olduç ylşı b çözüm oluşu. Kbc b çözümü yetel olduğu poblem tülede bç teyo dımı yetel olu. Det metotld çözüm bulm mümü değld. ümü bellete depolmyc d büyü delem temlede A ı hd dte depolmı ve çözümü tt-tt ypılmı ço dh btt. İteyo yötemle dezvtjlı Ktyıl mt tm dolu e, y eye değl e, teyo metotlı ullm uygu olmz (ço fzl belle, ço fzl şlem yüü, be yuvlm htlı. Kşı tf vetöüü teyo bşlmd öce blme zouludu. Bde ço he şı tf vetöü ç tyou telmı gee. İteyou ç dımd o eeceğ, dolyııyl hep üe öcede etlemez. Bzı özel duuml hç, he delem temde teyou yıycğı gt yotu. Çözüm yıyblde, ıyblde. Ayı delem tem ç teyo metotlıd b yıe b dğe ıybl. Ac; tyıl mt e dygol ğılılı vey met poztf tımlı e JACOBI ve GAUSS-SEIDEL metodu mutl yı. CG metodu e dece met ve poztf tımlı mtle ç dm yı. Çözümü yımmı duumud teyo, teo ol, ouz d devm ede. Bu edele teyo yıı mmum teyo yıı le ııldıılm zouddı. Mmum teyo yııı e olmı geetğ et b cevbı yotu. Ço üçü tutulu doğu ouc ulşılmz, ço büyü tutulu geez yee hep üe uz. İteyou yımmı duumud ouu ullıl metott mı yo delem tem ypııd mı yldığıı belleme zodu. Öeğ delem tem htlı uulmuş e, tyıl mt detemtı ıfı e çözüm yımz. İteyo metotlıd detemt hebı mümü olmdığıd ht yğı belleemez. Htıltm: Ke dygol ğılılı mt tımı ç b: bölüm, yf 5. Smet poztf tımlı mt tımı ç b : : bölüm, yf 5 ve bölüm 6 yf 78. Hg çözüm yötem dh y? blmeyel A b doğul delem tem çözümü ç hg metot dh uygudu? Cevbı olduç zo b oudu bu! Çüü ço yıd ete vdı: Delem tem büyülüğü, A ı ypıı, çözüm üe, çözümde belee hyet, ullılc blgyı özellle, pet pogm v mı vey pogmlc mı? B f veme üzee şğıd youmlı ypblz: Delem tem üçü e det metotld (GAUSS, DOOLILE, CROU, CHOLESKY b ullm uygudu. Ac üçü ed? Souu çı şımız. A tm dolu e, güümüz blgylı ç blmeye üçü yılbl. A bt mt e, bt ve met e blmeye üçü yılbl. Delem tem büyü ve A eye b mt e; teyo yötem ullılm zouddı. Ac, yıız delece d, z yd ço bbde flı, teyo metodu vdı. E uygu teyo metoduu eçm zodu. Yuvlm htlıı ou ytcğı temlede teyo yötemle uygu olu. A ı met ve poztf tımlı olduğu blyo CG metodu e uygu teyoyo yötemd. İteyo yötemlede, elde geldğce, çım gee. Uygu b teyo yötem m yee det metotl le çözümü ypılbleceğ uygu b blgyı mı bel de dh doğu b yoldu. Ahmet OPÇU, Blgy Detel Nüme Alz, Eşeh Omgz Üvete,, 9