Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri"

Transkript

1 Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Doğan Erbahar 2015, Gebze

2 Bu itapçı son biraç yıldır Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü nde lisans laboratuarları öğrencilerine dönem başında giriş mahiyetinde yaptığım 2 saatli dersin notlarının genişletilip derlenmesi ile oluşmuştur. Anlatımda bilimsel esinli ve teori urulumdan ziyade sunum olaylığı, bağlamsallı, fiirsel bütünlü ve aış ön planda tutulmuştur. Bu bağlamda onuları soyut ve teori olara işlemeten ziyade seçilen örneler üzerinden anlatma tercih edilmiştir. Örneler özelinde aybolması ve atlanması muhtemel detaylar dipnotlar ile vurgulanara itapçığa dâhil edilmeye çalışılmıştır. Bu il sürüm olduğu için başta içeri olma üzere imlâ, dilbilgisi ve anlatım baımından birço esiği olduğu muhaatır ve zaman içerisinde bütün bu yönlerde iyileştirilmesi planlanmatadır. Bu bağlamda her seviyeden ouyucunun görüşlerine önem veriyor ve bu görüşlerini benimle paylaşmalarını arzu ediyorum. Böyle bir çalışmanın üniversitemize özgün olara yapılması geresinimini vurgulayan ve beni bu anlamda teşvi eden bölümümüz laboratuar sorumlularından Ali Kaya ya ve yazım aşamasında görüş alışverişinde bulunduğum mesletaşlarım Yasin Şale, Mehmet Aras, Mustafa Öztür ve Dile Erbahar a teşeür ederim. Doğan Erbahar İÇİNDEKİLER Fizite deneyin önemi..1 Ölçüm...1 Fizisel Niceliler 1 Standart Birimler..2 Boyut Analizi...3 Belirsizli Belirsizlilerin atarılması...4 Anlamlı raamlar ve yuvarlama...5 Hatalar..8 Aritmeti ortalama ve standart sapma..9 Grafi çizimi...12 Eğri uydurma (fit bulma) Kaynalar 19 E: En üçü areler yöntemi...20

3 Fizite deneyin önemi Fizi, tabiat anunlarını en temel seviyeden inceleyen bilim dalıdır. Bu incelemelerden sonuç çıarmada ise yegane arar verici mercii ontrollü deney ve gözlemlerdir. Öyle i bir tabiat olayını veya gözlemi açılamada deney veya gözlemlerle en ufa bir anlaşmazlığı olan bir teorinin geçerliliği almaz ve yeni bir teori arayışına girilir. Dolayısı ile fizi bilimine yön vermede ontrollü deneyler ve gözlemler en ön sırada yer alır. Ölçüm Deneyler ve gözlemler ölçüm adı verilen işlemler vasıtası ile gerçeleştirilir. Ölçülen şeylere fizisel niceliler ismi verilir. Ölçme en basit ifadesi ile bir fizisel niceliği endi türünden ve standart abul edilen bir birim ile arşılaştırma ve o birimden aç tane barındırdığını sayısal olara belirleme demetir. Her ölçüm ölçüm aletinin hassasiyetine bağlı olara belli bir mitar belirsizli içerir ve ölçüm sonucunu rapor ederen bu belirsizlilerin de gösterilmesi ve işlenmesi gereir. Ölçümleri genelde doğrudan ve dolaylı olara iiye ayırma mümündür. Doğrudan ölçme, ölçülen niceliği endi türünden başa bir niceli ile arşılaştırılara gerçeleştirilir. Bir ürenin hacmini dereceli bir silindirde bulunan bir sıvıya batırıp yüselttiği su mitarının hacmini ölçme suretiyle belirleme ürenin hacmini doğrudan ölçmeye bir örnetir. Doğrudan ölçmeye bir diğer örne ise belli bir uzunluğu cetvel ile ölçme olara verilebilir. Şeil 1 Bir ürenin hacmini (a) doğrudan ve (b) dolaylı ölçme Dolaylı ölçme ise genelde ölçülme istenen niceliten başa türde bir niceliğin ölçümüne dayanır ve buradan sonuca hesap yolu ile ulaşılır. Bir öncei paragraftai ürenin hacmi örneği göz önüne alınaca olursa bir umpas yardımı ile çapı ölçme, bunu iiye bölüp yarıçapı bulma ve buradan ürenin hacim formülü olan (4/3) r 3 ü ullanara hacime ulaşma dolaylı ölçmenin tipi bir örneğidir. Şimdi il paragrafta itali yazı tipleri ile tadim ettiğimiz avramları biraz detaylandıralım: Fizisel Niceliler Fizisel niceliler temel ve türetilmiş niceliler olara iiye ayrılır. Uluslararası bilimsel standartlarda abul edilmiş temel niceliler: ütle, mesafe, zaman, sıcalı, madde mitarı, eletri aımı ve ışı şiddetidir. Tabiatta bunlar haricindei diğer bütün niceliler bunlardan türetilebilir. (örne: hız = uzunlu/zaman, alan = uzunlu 2, yoğunlu = ütle/uzunlu 3, uvvet = ütle x uzunlu/zaman 2, vs...) 1

4 Standart birimler (SI: Système International) Temel fizisel nicelilerin uluslararası standartlarca belirlenmiş birimleri ve boyut sembolleri Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1 Temel fizisel niceliler, birimleri, birim ısaltmaları ve boyut sembolleri Fizisel Niceli SI birimi Kısaltması Boyut sembolü Kütle ilogram g M Zaman saniye s T Uzunlu metre m L Sıcalı Kelvin K Eletri aımı Amper A I Madde mitarı mol mol N Işı şiddeti andela cd J Türetilmiş fizisel niceliler de bir öncei bölümün sonunda örne verilen mantı çerçevesindei türetilme şeli ile birimlendirilirler. (örne: hızın birimi m/s, yoğunluğun birimi g/m 3, alanın birimi m 2, vs...) Bunun haricinde uzun türetimler sonucu elde edilen nicelileri olaylı açısından farlı biçimde isimlendirme de olduça yaygındır. Bu tip özel adlandırılmış nicelilerin en sı ullanılanları Tablo 2 de SI temel birimleri cinsinden ifadeleri ile birlite verilmiştir. Tablo 2 Birimleri özel isimlendirilen türetilmiş fizisel niceliler. Fizisel Niceli Birim Kısaltması Diğer birimler cinsinden SI birimleri cinsinden Açı radyan rad m.m -1 Katı açı steradyan sr m 2.m -2 Freans Hertz Hz s -1 Kuvvet, ağırlı Newton N g.m.s -2 Basınç, stres Pascal Pa N/m2 g.m -1.s -2 Enerji, iş, ısı Joule J N.m g.m 2.s -2 Güç, ışıma aısı Watt W J/s g.m 2.s -3 Yü Coulomb C A.s Potansiyel farı Volt V W/A g.m 2.s -3.A -1 Kapasitans Farad F C/V g -1.m -2.s 4.A 2 Direnç Ohm V/A g.m 2.s -3.A -2 İletenli Siemens S A/V g -1.m -2.s 3.A -2 Manyeti aı Weber Wb V.s g.m 2.s -2.A -1 Manyeti alan Tesla T Wb/m 2 g.s -2.A -1 İndütans Henry H Wb/A g.m 2.s -2.A -2 Radyoativite Becquerel Bq s -1 Işı aısı lümen lm cd.sr Cd Aydınlanma lüx lx lm/m 2 m -2.cd 2

5 Boyut analizi Boyut analizi temel bilimlerde ve mühendislite sılıla ullanılan ço güçlü bir analiz yöntemdir. En basit tanımı ile yazılan bir eşitliğin sağ ve sol tarafının boyutlarının birbiri ile aynı olması gereliliğini ifade eder. Eğer ii fizisel niceli birbirleri ile muayese edilebilir büyülüleri ifade ediyorlarsa bunlar aynı boyuta sahiptir denir. Örne olara 2 cm ile 3 inç farlı birimlerle ifade edilmiş olsalar bile uzunlu [L] boyutuna sahip nicelilerdir. Öte yandan 3 g ile 4 s birbirleri ile muayese edilemez çünü biri ütle [M] diğeri ise zaman [T] boyutundadır. (bz. Tablo 1) Boyut analizi, verilen veya türetilen bir denlemin tutarlılığını ontrol etme gibi basit bir sağlama işlemi olara ullanılabileceği gibi fizisel bir niceliğin hangi diğer fizisel nicelilere bağlı olduğunu araştırma gibi sofistie amaçlar için de ullanılabilir. Bunu bir örne ile inceleyece olursa serbest bıraılan bir cismin ne adar sürede yere düşeceğinin hangi nicelilere ve nasıl bağlı olduğunu bulmaya çalışalım: Denlemimizin sol tarafına cismin düşme süresini sağ tarafına da bunun nelere bağlı olabileceğini yazalım. Bu olası niceliler genelde aba gözlemlerle belirlenebilir. Olası niceliler olara cismin ütlesi (m), cismin bıraıldığı yüseli (h) ve yerçeimi ivmesini (g) seçerse aşağıdai gibi bir denlem varsayabiliriz. t = C. m α. h β. g γ Burada C denlemde yer alması muhtemel boyutsuz bir matematisel sabittir. Bunun değeri anca bir deney ile tespit edilebilir anca diğer bilinmeyenler olan, ve boyut analizi ile araştırılabilir. Denlemin sol ve sağ taraflarının boyutlarını yerine yazaca olursa aşağıdai eşitliği elde ederiz. [T] = [M] α. [L] β. [L]γ [T] 2γ Sol ve sağ tarafın boyutlarının birbirine eşit olması gereliliği bize üsler haında bağıntılar verir. Herşeyden önce eşitlite ne solda ne de sağda ütle boyutunda başa bir büyülü olmadığından α = 0 olması geretiği hemen görülebilir. Öte yandan eşitliğin sol tarafında uzunlu boyutu olmadığından sağ taraftailerin de birbirini yo etmesi gereir. Buradan da β + γ = 0 gereliliği ortaya çıar. Son olara solda zaman boyutunun üssü 1 olduğundan sağda da 1 olması gereliliği 2γ = 1 denlemini verir i buradan γ = 1/2 ve dolayısı ile bir öncei denlemden β = 1/2 bulunur. Sonuçta cismin düşme zamanı için aşağıdai denlemi elde ederiz. t = C. h g Serbest düşen bir cismin düştüğü yüseli ile düşme zamanı arasındai h = ( 1 2 ). g. t2 bağıntısını liseden hatırlayaca olursa buradai C sabitinin 2 olması geretiğini bilme için deney yapmamıza da gere almaz. Görüldüğü üzere boyut analizi sayesinde fizisel bir bağıntının ana hatlarını hiçbir fizisel ara plan bilgisine gere duymadan sadece aba 3

6 varsayımlarla dahi çıarma mümündür. Elbette i boyut analizinin başarısı başta seçilece olası değişenlere bağlıdır. Örne problem: Bir gitar telinin titreşim freansını (f) veren formülü telin üzerindei gerilme uvveti (F), telin boyu (L) ve telin boyca yoğunluğu ( ρ boy ) üzerinden boyut analizi yapara bulunuz. (Boyca yoğunlu uzunlu başına düşen ütle anlamına gelmetedir.) Belirsizli Herhangi bir ölçüm aleti ne adar hassas olursa olsun ölçtüğü büyülüğü sonsuz sayıda raam (dolayısı ile sonsuz bir esinli) ile rapor etmesi mümün olamayacağından bütün ölçümler belli bir esinli aralığı içerisinde anlaşılıp değerlendirilme zorundadırlar. Bu aralığa o ölçümün belirsizliği ismi verilir ve ölçülen değerin yanına ± işareti oyulara ifade edilir. Örne olara boyu 123,4 ± 0.3 mm olara rapor edilmiş bir çubuğun boyunun 123,1 mm ve 123,7 mm arasında bir değere sahip olduğu anlaşılır. Elbette i daha hassas bir alet ullanara belirsizliği daha da üçültme mümündür anca belirsizli hiçbir zaman sıfır olamaz. Dolayısı ile belirsizli bilgisini barındırmayan bir ölçüm bilimsel olara değerlendirilemez. Bazı armaşı cihazların ouduları değerlerdei belirsizliler açıça cihazın üzerinde yazaren çoğu cihaz bu bilgiyi rapor ettileri raam sayısı ile belli ederler. Eğer bir cihazda belirsizli açıça verilmiyorsa cihazdan ounan sayının en sağ hanesinin basamağının yarısı adar bir belirsizli olduğunu abul etme yerinde olur. Örne olara eletroni bir tartıda 32,82 gr olara ölçülen bir ağırlı 32,82 ± 0,005 gr olara anlaşılmalıdır. (Son hanenin basamağı yüzde birler olduğu için belirsizli bunun yarısı yani 1/200 = 5/1000 = 0,005 olara yazılmıştır). Bir örne daha verme gereirse milimetri çizgileri olan bir cetvelle ölçülen uzunlu en yaın milimetreye yuvarlanır ve belirsizli 0,5 mm olara yazılır. Belirsizlilerin atarılması: Fizite çoğu zaman ölçülen büyülülerin birbirleri ile işleme soulması geremetedir. Örne olara bir levhanın alanını dolaylı bir ölçümle ölçme isterse enini ve boyunu ayrı ayrı ölçüp çarpma gereecetir. Yine başa bir örne olara uzun bir mesafeyi ölçme geretiğinde (ve metremizin boyu te bir ölçüm için yeterli değilse) biraç ölçüm yapıp toplama gereecetir. Bu durumda her birinin ayrı belirsizliği olan değerler işleme soulduğunda bu belirsizlilerin sonuca nasıl yansıyacağını bilme gereir. Dört işlem için aşağıdai urallar geçerlidir. Toplamada ve çıarmada belirsizliler toplanır. Örne: (23,48 ± 0,18) + (12,11 ± 0,33) = 35,59 ± 0,51 (23,48 ± 0,18) (12,11 ± 0,33) = 11,37 ± 0,51 Çarpmada ve bölmede yüzde belirsizliler toplanır. Bulunan sonuç işlem sonucundai yüzde belirsizliği ifade eder. Bunu aşağıdai örne üzerinde inceleyelim: (23,48 ± 1,80) (12,11 ± 0,33) = 284,34±? Normal çarpım yaptıtan sonra belirsizliği hesaplama için önce sol taraftai yüzde belirsizliler hesaplanır ve toplanır: 4

7 (23,48 ± %7,66) (12,11 ± %2,72) = 284,34 ± %10,38 Daha sonra istenirse yüzde belirsizli 284,34 ± 29,51 olara değer belirsizliğine çevrilebilir. Aynı sayılar üzerinden bölme örneği verirse yüzdeleri ve toplamını zaten hesapladığımız için aşağıdai şeilde sonucu bulabiliriz. (23,48 ± 1,80) = 1,94 ± %10,38 = 1,94 ± 0,20 (12,11 ± 0,33) Belirsizlilerin atarımında her fonsiyona ve işleme uygulanabilece en genel yöntemlerden biri üç defa hesaplama yöntemidir. Bu yöntemde işleme giren büyülü (veya büyülüler) sırasıyla nominal değerleriyle, en büyü sonucu verece şeilde ve en üçü sonucu verece şeilde hesaplanır ve sonuçtai belirsizli nominal değerin sonucu etrafında bu üç sonucu içerece rapor edilir. Örne: 21,3 ± 0,4 ün sinüsünü almamız gereiyor. Nominal değer: sin(21,3) = 0, En büyü değer: sin(21,7) = 0, En üçü değer: sin(19,9) = 0, olara bulunur. Bu durumda sonuç sin(21,3 ± 0,4) = 0,3633(+0,0064 0,0229) şelinde asimetri olara yazılır. Anlamlı raamlar ve yuvarlama Belirsizlilerin açıça yazılmadığı ölçüm aletlerini hatırlayaca olursa bu durumda gözlemcinin, ouduğu sayının en sağındai raamın basamağının yarısı adar bir belirsizli olduğunu abul etmesi geretiğini söylemişti. Ölçüm söz onusu olduğunda sayı avramı artı bir matematiçi ile bir fiziçi için farlı şeyler ifade etmeye başlar. Bir matematiçi için 1,200 ile 1,2 aynı şeyi ifade ederen bir fiziçi bu sayıları ii farlı ölçüm cihazında ouduğunda birinci sayıda ±0,0005 adar iincide ise ±0,05 adar bir gizli belirsizli olduğunu anlar. Dolayısı ile ölçüm sonuçlarını yazaren geresiz yere basama veya üsurat yazmatan esinlile açınma gerelidir çünü son basama aynı zamanda sizin belirsizliğinizi belirler. Başa bir değişle yazılan her basamağın bir anlamı olup olmadığına diat edilmesi gereir. Bu bağlamda bir ölçümde ounan bir sayıda hangi raamların anlamlı abul edilip edilemeyeceği aşağıdai urallarla belirlenir: Sıfırdan farlı tüm raamlar anlamlıdır. (123,45 5 anlamlı raam) Sıfırdan farlı raamların arasında yer alan sıfırlar anlamlıdır. (10023, anlamlı raam) En başta yer alan sıfırlar anlamsızdır. (00123,45 5 anlamlı raam 0, anlamlı raam) En sonda yer alan sıfırlar söz onusu olduğunda sayı ondalı sayı ise bu sıfırlar anlamlıdır. Tam sayı ise anlamsızdır. (12,300 5 anlamlı raam, anlamlı raam) Burada muhtemelen yegane afa arıştırıcı olan şey sayısının 3 anlamlı raama sahip olduğu abûlüdür. Bunun neden böyle olması geretiği birazdan bir örne üzerinde anlatılacatır. Anca önce şu istisnâi durumu açılığa avuşturalım: Bir gözlemci, aletinin eranında tam olara bu sayıyı ouyorsa ve dolayısıyla illa sondai sıfırların da anlamlı 5

8 olduğunu ifade etme istiyorsa bir arışılığa mahal vermeme için bilimsel notasyona geçip bu sayıyı 1, şelinde ifade etmesi en doğru olan şeydir. 1 Anlamlı raam avramı ölçüm sonuçlarını ullanara işlem yaparen yuarıda anlatılan ve nispeten çetrefilli olan belirsizlilerin atarımı meselesini büyü ölçüde olaylaştırır. Bunun için aşağıdai urallara diat edilmesi yeterlidir. İi sayı çarpılır ve bölünüren çıan sonuç işleme girenler arasında en az sayıda anlamlı raam içerenin anlamlı raam sayısına sahip olana adar yuvarlanır. Örneler: 8 x 8 = matematisel olara 64 dür. Anca 64 ii anlamlı raam içerdiğinden ve girenlerin her biri bir anlamlı raama sahip olduğundan sonuç bir anlamlı raama yuvarlanmalıdır yani 60 olara yazılmalıdır. İl baışta yadırganabilece bu durumu şöyle açalım: 8 olara ölçülen bir büyülüğün ±0,5 gibi bir gizli belirsizli içerdiğini söylemişti. Dolayısı ile 7,5 ila 8,5 arasında değişebilen bu sayının aresini aldığımızda sonucu 64 olara yazar ise 63,5 ile 64,5 arasında alan sahte bir esinli atfetmiş oluruz. Oysa gerçete olan şey esinliğin 56 (~7,5 2 ) ile 72 (~8,5 2 ) gibi ço daha geniş bir aralıta olduğudur ve sonucu te anlamlı raam olan 60 olara yazma bu belirsizliği ±5 gibi ço daha iyi (en azından doğru mertebede) temsil eder. 8 8,0 = 60 (İinci sayı ii anlamlı raam içermesine rağmen il sayı te anlamlı raama sahip dolayısı ile sonucu yine te anlamlı raam içerece şeilde yuvarlıyoruz.) 8,0 8,0 = 64 (Artı ii sayı da ii anlamlı raam içeriyor dolayısı ile sonuç şimdi 64 olara yazılabilir.) 8,02 8,02 = 64,3 (Girenlerin iisi de 3 anlamlı raama sahip, 64,3204 olan sonuç 3 anlamlı raam içerece adar yuvarlanmış) 8 / 2,0 = 4 8,6 /2,0012 = 4, = 2 12,250 x 21,3 = 261 (matematisel olara 260,925 olan sonucu işleme girenler arasında en az sayıda anlamlı raam içerenin anlamlı raam sayısına yani 3 anlamlı raama yuvarladı.) Toplamada ve çıarmada sonuç, işleme girenler içerisinde son anlamlı raamı en yüse basama değerine sahip olanın son anlamlı basamağına adar yuvarlanır. Örneler: 1 + 1,1 = 2 (1 in son anlamlı raamı birler basamağında 1,1 in ise onda birler basamağında. Sonuç birler basamağına yuvarlanır.) = 180 (123 ün son anlamlı raamı birler, 60 ın son anlamlı raamı onlar basamağıdır. Dolayısı ile sonuç onlar basamağına yuvarlanır.) 1 Bu arışılığı giderme için sayının sonuna fazladan bir virgül oyma veya son anlamlı raamın üzerine bir çizgi çeme gibi gösterimler mevcuttur anca bunların hiçbiri heres tarafından abul görmüş şeilde yeteri adar yaygın bir biçimde ullanılmamatadır. Bilimsel gösterim ile gösterme en güvenli yoldur. 6

9 123, ,0 + 86,26 = 255,5 (46,0 ın son anlamlı raamı onda birler basamağında diğerlerinin yüzde birler basamağında dolayısı ile sonuç onda birler basamağına yuvarlanır.) 5,67 3 = 3 (5,67 nin son anlamlı raamı yüzde birler, 3 ün ise birler basamağında. Sonuç birler basamağına yuvarlanır.) Anlamlı raamlar ile işlem yaparen diat edilmesi gereen önemli hususlardan bir tanesi de matematisel sabitlerin anlamlı raam değerlendirmelerinin dışında tutulması gereliliğidir. Çünü matematisel bir sabit belirsizliği olmayan, TAM bir esinli ifade eder. (Dolayısı ile sonsuz sayıda anlamlı raam içerir gibi de düşünülebilir.) Örne olara ineti enerji hesabında 1 2 mv2 denlemi ullanılıyorsa anlamlı raamlar (ve aralarındai işlemler) fizisel niceliler olan m ve v üzerinden tartışılmalıdır. Baştai ½ yi 1 anlamlı raama sahip bir sayı gibi düşünme YANLIŞTIR. Ya değerlendirmeye hiç atmama ya da 0, gibi sonsuz sayıda anlamlı raama sahip olduğunu düşünme gereir (i zaten ii yalaşım da aynı sonucu verir). Bunun çarpıcı bir örneği olara bir saracın peryodunu 12,3 s olara ölçtüğümüzü varsayalım. Freans 1/T formülü ile tanımlandığından bu saracın freansını ifade ederen formüldei 1 sayısı 1 anlamlı raama sahip gibi düşünülmez çünü o matematisel bir sabittir. Dolayısı ile sonuç yine 3 anlamlı raama yuvarlanır ve 0,0813 Hz gibi ifade edilir. Anlamlı raamlarla işlem yaparen bazı özel fonsiyonlar ile arşılaşıldığında ne yapılması geretiği aşağıda anlatılmıştır: Sayının uvveti veya öü alınıren sonuçtai anlamlı raam sayıdai anlamlı raam adar olmalıdır. ln(x) veya log(x) fonsiyonu ullanıldığında sonuç x in anlamlı raam sayısı adar ondalı muhafaza etmelidir. Örne: ln(8,3) = 2, diye gideren virgülden sonra ii anlamlı raama yuvarlanır: 2,12 10 x durumunda sonuç x in virgülden sonrai ısmındai anlamlı raam sayısı adar anlamlı raam içerir. Örne:10 4,3 = 2 x 10 4 olara te anlamlı raama yuvarlanmalıdır. e x durumunda anlamlı raam sayısı muhafaza edilir. Örne: e 5,32 = 204 sin(x) durumunda sonuçtai anlamlı raam sayısı x in anlamlı raam sayısı ile virgülden sonrai anlamlı raam sayısının toplamıdır. Örne: sin(34,21) = 0, gibi 6 anlamlı raamla yazılabilir. (Sayının endisi 4 virgülden sonra 2 anlamlı raama sahip) cos(x) ve tan(x) durumlarında anlamlı raam sayısı muhafaza edilir. Örne: cos(12,3) = 0,977 Yuvarlama ile ilgili önemli bir not: Sayıları yuvarlaren sıça yapılan hatalardan biri en sağdai raamdan başlayara sola doğru gelmetir. Bu yalaşım işlemi geresiz yere uzatıren bazı durumlarda hataya dahi sebep olabilir. Doğru olan yöntem sayı aç anlamlı raama yuvarlanma isteniyorsa bir fazla sayıda anlamlı raamdan sonrasını baştan tamamen atıp sadece son raamı yuvarlamatır. Örne: 25, sayısını 4 anlamlı raama yuvarlama istiyoruz. En sağdan başlarsam bu işlem bana 25,88 sonucunu verir. Oysa bu sayı 25,87 ye daha yaındır. Doğru olan yöntem 5. anlamlı raamdan sonrasına hiç bamayıp sayıyı baştan 25,874 olara görme dolayısı ile 25,87 ye yuvarlamatır. 7

10 Hatalar Ölçülen bir fizisel niceliğin ölçülen değeri ile gerçe değeri arasındai fara hata denir. Deneylerde veya gözlemlerde arşılaşılabilece hatalar iiye ayrılır. 1. Sistemati hata Her ölçümde sonucu aynı yönde saptıran hatalara sistemati hatalar denir. Bunlar da endi içinde üç alt sınıfa ayrılabilir. a) Aletsel hatalar b) Yöntemsel hatalar c) Çevresel etenler Aletsel hatalara örne olara ayarsız bir saat, sıfır notası aymış veya iyi alibre edilmemiş bir cihaz örne gösterilebilir. Gözlemci, bir aletin ibresine tam arşıdan bama yerine süreli aynı yanlış doğrultudan baıyorsa yöntemsel bir sistemati hata yapıyor demetir. Ço hassas deneyler sıcalı, nem, rüzgar, sarsıntılar vs. gibi çevresel etilere de diat edilmesini geretirebilir. Örne olara ço sıca bir ortamda bıraılmış ve genleşmiş metal bir cetvel ile alınan ölçümler daima gerçeten üçü sonuçlar bulunmasına yol açacatır. Sistemati hatalar gözden ço olay açabilmelerine rağmen tesirleri aynı yönde olduğundan dolayı diatli bir sorgulama ile tespitleri ve düzeltilmeleri mümün olan hatalardır. 2. Rastlantısal hata Rastlantısal hatalar ölçüm aletlerinin duyarlılığından veya gözlemcinin duyu organlarının sınırından aynalanan, yönü estirilemeyen ve her ölçümde bulunan hatalardır. Tamamen rastlantısal oldularından bu hataların pozitif veya negatif yönlü olma olasılığı eşittir. Bunların sebepleri bilinse bile giderilmeleri mümün değildir. Bu hatalar ile baş etmenin en etili yolu ço sayıda ölçüm alıp aşağıda bahsedilen istatistisel metotları ullanmatır. 2 Şeil 2 Bir ölçümde sistemati ve rastlantısal hatalar sonucu ölçülen değerlerin dağılımı. Kırmızı çizgi ölçülen değerlerin hangi sılıta ölçüldüğünü temsil ediyor. 2 Bu istatistisel metotlar sistemati hatalar ile baş etmede bir işe yaramaz, sadece rastlantısal hataların ontrol altında tutulmasını sağlar. 8

11 Aritmeti ortalama ve standart sapma Rastlantısal hatalar tanımları gereği ölçüm sonuçlarını gerçe değerin üstüne ve altına doğru eşit olasılılarla saptırırlar. Dolayısıyla gerçe değeri araren ölçülen değerlerin aritmeti ortalamasını alma ala en yatın olan işlemdir. 3 n tane ölçüm sonucunda bulduğumuz raamları x 1, x 2, x 3,, x n ile temsil ederse bu topluluğun aritmeti ortalaması x sembolü ile gösterilir ve aşağıdai formül ile hesaplanır. x = x 1 + x 2 + x x n n Bu formül toplam sembolünü ullanara daha ısa ve ullanışlı bir biçimde aşağıdai gibi de yazılabilir. Bundan sonrai ısımlarda bu sembolü ullanacağız. x = n x i Bir örne üzerinden devam edelim. Aynı deneyi farlı metotlarla yapan ii gözlemci rastlantısal hataları azaltma için 10 tane ölçüm almış ve aşağıda gösterilen sayısal verileri elde etmiş olsunlar. Tablo 3 Örne bir ölçüm tablosu. 2 ayrı gözlemci farlı hassasiyetlerle aynı olayı on defa gözlemlemişlerdir. Gözlem sayısı 1. gözlemci 2. gözlemci 1 15,08 14,7 2 15,02 15,2 3 14,91 15,1 4 14,86 14,9 5 15,06 15,0 6 14,77 14,2 7 15,22 15,7 8 14,90 15,3 9 15,12 14, ,06 15,1 ORTALAMA 15,00 15,0 Bu ii gözlemci farlı metotları ullandılarından muhtemelen cihazlarının hassasiyetinden dolayı birincisi virgülden sonra ii anlamlı raam ifade edebilmişen iincisi ise anca bir anlamlı raam yazabilmiştir. İi veri ümesinin de ortalamasını hesaplarsanız birincisi için 15,00 iincisi için 15,0 buluruz. İi ölçümün ortalaması sayısal olara aynı olmasına rağmen ölçüm belirsizlileri arasında bariz bir far vardır ve rastlantısal hataların incelenmesinde bu farın da bir şeilde ifade edilmesi için bir ölçüye ihtiyacımız vardır. (Bu ölçü aynı zamanda Şeil 2 dei ırmızı çizginin genişliğinin bir ölçüsüdür.) Bu ölçüye standart sapma ismi verilir. n 3 Sistemati hatayı sıfır abul ederse ortalama almanın gerçe değer için en olası yalaştırma olduğu matematisel olara da ispatlanabilir anca bu ispata burada girmiyoruz. İlgilenenler Erhan Gülmez in Basic Data Analysis for Experiments in the Physical Sciences itabına başvurabilir. 9

12 Standart sapma en basit tanımı ile isminden de hissedilebileceği gibi bir veri ümesindei değerlerin ortalamalarından ortalama olara ne adar saptığının bir göstergesidir. Standart sapma σ sembolü ile gösterilir ve aşağıdai formül ullanılara hesaplanır. 4 σ = n (x i x) 2 n Formülü ullanma için elbette önce ümenin ortalamasının ( x ) hesaplanması geremetedir. Yine örneğimiz üzerinden devam edelim. Birinci gözlemci ortalamasını 15,00 olara hesaplamıştır. Standart sapmasını hesaplaması için sırasıyla ölçtüğü her değeri bu ortalamadan çıartıp arelerini almalı ve bunların toplamını veri sayısına böldüten sonra areöünü hesaplamalıdır. Bu işlem Tablo 4 ve altındai işlemde gösterilmiştir. Tablo 4 Birinci gözlemcinin ölçtüğü değerler, bunların ortalamadan farları ve bu farların areleri. Farların ve arelerinin toplamı son satırda göterilmiştir. x x x (x x) 2 15,08 0,08 0, ,02 0,02 0, ,91-0,09 0, ,86-0,14 0, ,06 0,06 0, ,77-0,23 0, ,22 0,22 0, ,90-0,10 0,01 15,12 0,12 0, ,06 0,06 0,0036 TOPLAM 0,00 0,1674 σ = 0,1674/10 = 0,13 Tablodan da görülebileceği gibi değerlerin ortalamadan farları te başına bir sapma ölçütü olara ullanılamaz çünü bunların toplamı daima sıfırı verir. (Bunun her zaman böyle olması geretiği matematisel olara da olayca ispatlanabilir. 5 ) Dolayısı ile farların arelerinin alınmasının sebebi açığa çımış olur. 6 Ortalamadan farların areleri boyutsal olara ölçülen niceliğin boyutunun aresine sahip olacağından sonucun yine değer ile aynı boyuta gelebilmesi (ve arşılaştırılabilir olması) için elbette en sonda areöünün alınması gerelidir. 4 Burada verdiğimiz tanım anaütle standart sapması olara isimlendirilir. Farlı amaçlar için farlı standart sapma tanımları mevcuttur. Detaylı bilgi için https://en.wiipedia.org/wii/standard_deviation adresine başvurulabilir. 5 n n n (x i x) = x i x olur. Buradai il terim değerlerin toplamıdır yani ortalamanın değer sayısı ile çarpımı olan n. x olara yazılabilir. İinci terimdei ortalama zaten önceden hesaplanmış sabit bir sayı olduğundan toplamın dışına çıar ve içeride n tane 1 in toplamından yine n. x elde edilir. Dolayısıyla iisinin farı sıfırdır. 6 Sıfırdan urtulma için mutla değer fonsiyonu ullanma ala gelebilir anca mutla değer fonsiyonunun türevi are gibi süreli değildir, are almanın bir diğer avantajı da büyü farları iyice büyütere cezalandırmasıdır. 10

13 Yuarıdai işlemleri iinci gözlemcinin de sonuçlarına uygularsa 7 standart sapmasının 0,38 olara çıtığını görürüz. Dolayısı ile ii gözlemcinin ham verilerine baara sezebildiğimiz esinli farı endini standart sapmalarda nicelisel olara göstermiş olur. Bu örnetei gibi ço sayıda ölçüm alındığı durumlarda sonuç genelde x ± σ biçiminde rapor edilir. Bu durumda birinci gözlemci 15,00 ± 0,13 yazaren iinci gözlemcinin standart sapmasını, verilerinde olduğu gibi virgülden sonra bir anlamlı raama yuvarlayıp 15,0 ± 0,4 gibi yazması gereir. 7 Bu hesabı endiniz yapınız ve sonucu doğrulayınız. 11

14 Grafi Çizimi Pozitif bilimlerde deneyler bir fizisel niceliğin ontrollü olara değiştirilip bir diğer niceliği nasıl etilediğini gözlemleme ve aydetme yoluyla gerçeleştirilir. Bu ayıtlar aşağıdai örnete gösterileceği gibi genelde bir tablo biçiminde alınır. Anca deneyin sonunda bu tablolardai sayılara baıp aralarındai ilişiyi eşfetmeye çalışma insan beyni için uygun bir işlem değildir. İnsanlar bağıntıları soyut raam sembollerinden ziyade (beş duyularından en önemlisine doğrudan hitap eden) görsel yollarla ço daha verimli bir şeilde avrayabilir. Bu yüzden verilerin bir şeilde görselleştirilmesi tercih edilir. Bu görselleştirme işlemine grafi çizimi ismi verilir. Bir grafi temel olara birbirine di olara seçilmiş ii sayı doğrusu çizilere urulur. Bu sayı doğrularından biri deneyde değiştirilen, diğeri ise ölçülen nicelileri temsil ederler. Veriler bu nicelilerin birbirlerine arşılı gelen sayısal değerlerinden sayı doğrularına çıılan dimelerin esiştirilmeleriyle oluşan notalar ile temsil edilir. Daha sonra bu notaların dağılımını en uygun şeilde temsil edece bir eğri önerilir. Seçilen eğriyi en uygun hale getiren parametrelerin hesaplanır ve son olara eğrinin çizilmesi ile işlem sona erer. Grafiler grafi ağıdı (veya milimetri ağıt) ismi verilen özel ağıtlara çizilir. Örne bir boş grafi ağıdı aşağıda gösterilmiştir. Şeil 3 Grafi âğıdı. Hem yatayda hem dieyde milimetre aralığında ince, santimetre aralığında alın çizgilere ayrılmıştır. Düzgün bir grafi çizme için gereli olan uralları bir örne üzerinde aşama aşama gösterelim. Bir meani deneyinde sabit hızla giden bir cismin onumunun (x) zamana (t) arşı ölçülmüş olduğunu varsayalım. Bu ölçümün sonucu aşağıdai tabloda gösterilmiştir. 12

15 Tablo 5 Zamana arşı onumun aydedildiği örne bir ölçümün tablosu. t (s) x (m) 0 0,8 1 1,6 2 3,5 3 6,0 4 7,8 5 11,2 6 12,0 Bu verileri bir grafi üzerinde inceleme ve analizini yapma istiyoruz. Grafi çizmenin il aşaması esenleri belirlemetir. 1. Esenleri belirleme Grafi ağıdının sol alt öşesine yaın bir yerde orjin seçilere buradan sağa ve yuarı doğru ii sayı doğrusu çizilir. Bunlardan birisi t diğeri de x olara isimlendirilir. İsim açıca zaman ve onum gibi yazılabileceği gibi aşağıda yaptığımız gibi sembol de ullanılabilir. Her hâlüârda parantez içine bu niceliğin biriminin yazılması gereir. Esenleri isimlendirilmemiş veya birimleri yazılmamış bir grafiğin hiçbir bilimsel değeri yotur. Şeil 4 Orijinin ve esenlerin çizilip belirlenmesi. Esen sembolleri ve birimler esinlile unutulmamalıdır. 13

16 2. Ölçelendirme Esenleri çizditen, isimlendirditen ve birimlerini yazdıtan sonra yapılması gereen iş bunları uygun şeilde ölçelendirmetir. Bununla astedilen şey herşeyden önce esenin her santimetresine o esende temsil edilen niceliten aç birim arşılı geldiğinin tespitidir. İyi ölçelenmiş bir esen verilen veri ümesinin tamamını içerece şeilde, dışarı taşmasına mahal vermeden ve boyunun büyü ısmını ullanaca şeilde ölçelenir. Bunu yapma için en doğru yol o esende temsil edilen verilerin hangi aralıta değiştiğine baıp bu farı esenin boyu ile ıyaslamatır. Örneğimize geri dönerse t değerlerinin 0 ile 6 arasında olduğunu görüyoruz. Öte yandan grafiğimizde t için belirlediğimiz esen 18 cm den biraz uzun olduğundan esen üzerinde her 3 cm yi 1 sn gibi alma uygundur. Diey esende temsil ettiğimiz x değerleri ise 0 ila 12 aralığında değişmete ve esenin boyu da cm civarındadır. Dolayısı ile burada da her cm ye 1 m yerleştirilmiştir. Bu analiz yapıldıtan sonra esenler üzerine çizimde yardımcı olabilece bazı sayısal değerler yazılır. Burada diat edilmesi gereen husus, çizim olaylığı sağlayabilece adar sı anca eseni alabalı gösterece adar sı olmayan bir aralı seçmetir. Aşağıdai grafite her ii esende de 3 cm de bir değerler yazılmıştır. Böyle bir grafi ağıdı için 3 veya 4 cm ideal aralıtır denilebilir. Burada önemli olan çizim olaylığı ve lüzumsuz raam alabalığı arasındai dengeyi gözetmetir. Şeil 5 İi esene de o esende temsil edilen verilere uygun bir ölçe seçilmeli ve çizimi olaylaştırma amacı ile belli aralılarla sayısal değerler yazılmalıdır. 14

17 3. Notaları yerleştirme Esenleri ölçelendirditen sonra notalar yerleştirilmeye başlanabilir. Bunu yaparen grafi âğıdının çizgilerinden faydalanılır. Dolayısı ile notaların esenler üzerinde nerelere arşılı geldiğini gösteren yardımcı çizgiler çizmeye veya esenler üzerinde notaların değerlerini gösteren sayılar yazmaya gere yotur. Grafiği ouyaca olan işi isterse bu bilgileri ağıdın çizgileri vasıtası ile zaten bulabilir. Bilimsel bir gösterim esisiz anca sade olmalıdır. Notalar için sonradan üzerinden bir eğri geçse bile gözle olayca seçilebilece bir büyülü seçilmelidir. Şeil 6 Grafiğe notalar yardımcı çizgi ullanmadan âğıdın çizgilerinden yararlanara yerleştirilmelidir. Esenler üzerine veri değerleri yazılmamalıdır. 4. Eğri uydurma (fit bulma) Notaları yerleştirme ile grafi çizme işlemi tamamlanmış olmaz. Esas önemli olan bu notaların temsil ettiği bağıntıyı grafi üzerinde süreli bir eğri ile gösterebilmetir. Bu işlemi üç alt başlıta inceleyelim. 15

18 a) Denlem önerme Fizisel niceliler arasındai bağıntılar fizisel teorilerden türetilirler. Bizim örneğimizin sabit hızlı hareet olduğunu başta söylemişti. Sabit hızlı hareette onum ile zaman arasındai bağıntıyı veren inemati formülü aşağıdai gibidir. x = x 0 + v 0 t Bu ifade t ve x değişenlerine göre bir doğru denlemidir. x0 ile v0 ise bu doğruyu tanımlayan parametrelerdir. 8 Bir deneyde hangi teori sınanma isteniyorsa o teoriden türetilen bağıntının temsil ettiği eğriyi de veri notaları ile beraber grafiğe çizme lazımdır. Böylece teorinin (çizginin) deneye (notalara) ne adar uyduğu görselleştirilmiş olur. Verilerin hangi bağıntı ile temsil edileceğini belirlediten sonrai aşama önerdiğimiz denlemi bu verilere en uygun hale getiren parametrelerini bulmatır. b) Uygun hale getirme (Fit yapma) Seçilen eğrinin (bizim örneğimizde doğru) parametrelerinin belirlenmesi işleminde dünyada en yaygın ullanılan yöntemlerden biri en üçü areler yöntemidir. Bu yöntemde en uygunlu ıstası veri notalarının bağımlı değişenleri ile eğrinin bağımlı değişenleri arasındai farların arelerinin toplamının en üçü olması olara tanımlanmıştır. Bu tanım matematisel olara ifade edildiğinde seçilen eğrinin parametrelerini, veriler (yani notaların oordintaları) cinsinden ifade eden denlemler bulma mümündür. 9 Bu bağlamda eğer bağıntı olara y = mx + n biçiminde bir doğru seçilmişse bu doğrunun m ve n parametreleri veri notaları cinsinden aşağıdai ifadeler ile hesaplanır. 10 m = x iy i x i y i 2 x i ( x i ) 2 n = x i 2 y i x i y i x i 2 x i ( x i ) 2 8 Bunlar matematisel olara sırasıyla doğrunun x esenini estiği nota ve eğimine arşılı geliren fizisel olara cismin il onumuna ve hızına arşılı gelirler. 9 Bu prosedür aşağıdai adreste bulunabilece videoda detaylı olara anlatılmıştır: https://www.youtube.com/watch?t=1&v=t48f7_e5sfm En üçü areler yöntemi 10 Burada verdiğimiz m ve n formülleri sadece doğrusal bağıntılar için işe yarıyor gibi görünse de aıllıca ullanıldığı tadirde ço daha geniş bir bağıntı ailesinin de incelenmesine olana tanır. x ve y değerleri arasında y = A. x α gibi genel bir bağıntı olduğu bir durumda ii tarafın logaritmasını alma bize log(y) = log(a) + α. log (x) denlemini verir i bu da bir doğru denleminden başa bir şey değildir. Dolayısı ile verilerin endileri yerine logaritmaları aynı yöntem ile incelenirse doğrusal fit formülleri bize A ve parametrelerini verir. 16

19 Bu formülde (xi, yi) çiftleri veri notalarını ise toplam veri notası sayısını ifade etmetedir. Bizim örneğimizde bu formülleri ullanabilme için değişenleri ve parametreleri aşağıdai gibi yeniden isimlendirelim. t x x y v0 m x0 n m ve n formüllerinde ullanılması gereen dört toplamı hesaplayalım x i y i = = 21 = 0,8 + 1,6 + 3,5 + 6,0 + 7,8 + 11,2 + 12,0 = 42,9 2 x i = = 91 x i y i = 0.0, , , , , , ,0 = 185,8 Bu toplamları m ve n formülünde yerlerine yazarsa m = 2,02 ve n = 0,01 değerlerini buluruz. Değişenlerin ve parametrelerin il baştai adlarına geri dönece olursa verilerimize en uygun doğrunun x = 0,01 + 2,03t denlemine sahip olduğunu görürüz. c) Eğriyi çizme Son aşama olara parametreleri tespit edilmiş olan eğri artı grafi âğıdına çizilebilir. Bizim örneğimizde olduğu gibi bu eğri bir doğru ise çizim nispeten olaydır 11 : Doğrunun üzerinden geçtiği ii nota belirlenir ve bu notalar grafi âğıdına (veri notaları ile arışmaması için) sili bir biçimde işaretlenditen sonra cetvel ile birleştirilip çizilir. Bu doğrunun denlemi grafi âğıdında belirtilir. 11 Doğru haricindei eğrileri çizme olay olmayabilir, bu durumda göze yardımcı olma için eğrinin ana hatlarını ortaya çıaran geretiği adar sayıda nota tespit edilip bunların alem ile birleştirilmesi yoluna gidilebilir. 17

20 Şeil 7 Teori eğrisi çizilere tamamlanmış bir grafi. Notalar deneyi, çizgiler ise teoriyi temsil etmetedir. Bu işlemler günümüzde bilgisayarlar aracılığıyla olayca yapılabilmetedir. En yaygın olara ullanılan veri işleme programlarından biri olan Microsoft Office Excel de bu işin nasıl yapılabileceği aşağıdai videoda gösterilmiştir. https://www.youtube.com/watch?v=n8weh6zlrm Excel ullanara eğri uydurma (fit bulma) 18

21 KAYNAKLAR: Hacettepe Üniversitesi FİÖ 213 Fizi Laboratuarı Deney Föyü Basic Data Analysis for Experiments in the Physical Sciences, Erhan Gülmez, Bogazici University Publications, Temmuz, 1997 https://en.wiipedia.org/wii/significant_figures https://en.wiipedia.org/wii/significance_arithmetic https://en.wiipedia.org/wii/standard_deviation https://www.youtube.com/watch?v=bnyqajihtf0 Doğrusal fit bulma https://www.youtube.com/watch?v=t48f7_e5sfm En üçü areler yöntemi https://www.youtube.com/watch?v=n8weh6zlrm Excel ullanara eğri uydurma (fit bulma) 19

22 EK: En üçü areler yöntemi Bir veri ümesine uydurma için seçilen eğrinin denleminin y = f(x) gibi genel bir ifadeye sahip olduğunu varsayalım. f(x) fonsiyonu içinde a, b, c, d, gibi çeşitli parametreler barındırıyor olsun. En üçü areler yöntemi seçilen bu eğrinin veri ümemize en uygun olması şartını şu şeilde tanımlar: veri notalarının bağımlı değişenleri ile eğrinin bağımlı değişenleri arasındai farların arelerinin toplamı en üçü olmalıdır. Bu bağlamda elimizde tane veri notası olsun ve biz bu notalara y = f(x) eğrisini uydurma istiyoruz. Bağımsız değişenleri x, bağımlı değişenleri y ile gösterirse seçilen bir (xi, yi) veri notası için tanımda bahsedilen far y i f(x i ) şelinde yazılabilir. Bu farları bütün veri notaları için bulup arelerini toplayalım ve bu toplama S ismini verelim. S = (y i f(x i )) 2 xi ve yi ler deneyden bildiğimiz sayılar olduğundan S nin bağlı olduğu niceliler f(x) fonsiyonunun içindei parametrelerdir. Tanımda söylendiği üzere toplamı minimum yapaca parametreleri bulma için S nin her parametreye göre ısmi türevini alıp sıfıra eşitleme gerelidir. S a = 0, S b = 0, S c = 0, Sonuçta elde aç parametre varsa yuarıda gösterildiği gibi o adar sayıda denlem üretme mümündür ve bu denlemlerin çözümü bize aranan parametrelerin sayısal değerlerini verir. En üçü areler yönteminin teorisi bundan ibarettir. Burdan itibaren bir örne üzerinden somutlaştırırsa f(x) = mx + n şelinde bir doğru denlemi ifade ettiğini varsayalım. Bu durmda S toplamını aşağıdai gibi yazabiliriz. S = (y i mx i n) 2 Şimdi değerlerini aradığımız m ve n parametrelerine göre ısmi türevleri alırsa aşağıdai ifadeleri buluruz. S m = 2(y i mx i n)x i S n = (y i mx i n) Bu denlemlerin iisi de sıfıra eşit olacağından sadeleştirmeler ile aşağıdai gibi yazılabilirler. 20

23 (y i mx i n)x i = 0 (y i mx i n) = 0 Parantezleri açıp toplam işaretlerini düzenleme mümündür. içeri dağıttığımızda denlemlerimizi aşağıdai gibi 2 m x i + n x i x i y i = 0 m x i + n 1 y i = 0 Dolayısı ile m ve n bilinmeyenleri için ii denlemden oluşan lineer bir denlem sistemi elde etmiş oldu. Bu denlem sistemi istenilen bir metotla çözüldüğünde (bu çözümü tamamlayınız) m ve n için 16. sayfada verilen aşağıdai denlemler elde edilebilir.. m = x iy i x i y i 2 x i ( x i ) 2 n = x i 2 y i x i y i x i 2 x i ( x i ) 2 Doğru haricindei eğrilerin parametreleri için formüller türetilme istenildiğinde S toplamının yazıldığı adıma gidip f(x) ifadesini burada yerine yazıp ısmi türevler alınara denlemler türetilmeli ve daha sonra bu denlemler cebirsel olara çözülmelidir. 21

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε Farlı Malzemelerin Dieletri Sabiti maç Bu deneyde, ondansatörün plaalarına uygulanan gerilim U ile plaalarda birien yü Q arasındai ilişiyi bulma, bu ilişiyi ullanara luğun eletri geçirgenli sabiti ı belirleme,

Detaylı

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

Kuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI

Kuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI 1. Kuvvet avramı. Newton un 1. yasası ve eylemsiz sistemler 3. Kütle 4. Newton un. yasası 5. Kütle-çeim uvveti ve ağırlı 6. Newton un 3. yasası 7. Newton yasalarının bazı uygulamaları

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere

Detaylı

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler . TRANSFORMATÖRLER. Temel Bilgiler Transformatörlerde hareet olmadığından dolayı sürtünme ve rüzgar ayıpları mevcut değildir. Dolayısıyla transformatörler, verimi en yüse (%99 - %99.5) olan eletri maineleridir.

Detaylı

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu

Detaylı

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.

Detaylı

elde ederiz

elde ederiz Deney No : M1 Deney Adı : NEWTON YASASI Deneyin Amacı : Sabit kuvvet altında hareketin incelenmesi, konum-zaman, hız-zaman grafiklerinin çizilmesi. Newton un ikinci hareket kanununun gözlemlenmesi, kuvvet-ivme

Detaylı

ELEKTRİK MOTORLARI VE SÜRÜCÜLERİ

ELEKTRİK MOTORLARI VE SÜRÜCÜLERİ ELEKTRİK MOTORLARI VE SÜRÜCÜLERİ SINIFLANDIRILMASI, TEMEL YASALAR VE KURALLAR Yrd. Doç. Dr. Ufuk DURMAZ ADAPAZARI MESLEK YÜKSEKOKULU *SINIFLANDIRILMASI, TEMEL YASALAR VE KURALLAR Bu bölümde elektrik makineleri

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 1. x,y,z pozitif tam sayılardır. 1 11 x + = 8 y + z olduğuna göre, x.y.z açtır? 3 B) 4 C) 6 D)1 3 1 4. {,1,1,1,...,1 } 1 ümesinin en büyü elemanının diğer 1 elemanın toplamına oranı, hangi tam sayıya en

Detaylı

Fiziksel Büyüklük (kantite- quantity): Fiziksel olayları açıklayan uzaklık, ağırlık, zaman, hız, enerji, gerilme, sıcaklık vb. büyüklük.

Fiziksel Büyüklük (kantite- quantity): Fiziksel olayları açıklayan uzaklık, ağırlık, zaman, hız, enerji, gerilme, sıcaklık vb. büyüklük. Fiziksel Büyüklük (kantite- quantity): Fiziksel olayları açıklayan uzaklık, ağırlık, zaman, hız, enerji, gerilme, sıcaklık vb. büyüklük. Fiziksel büyüklüğün 2 özelliği vardır: 1- Nümerik ölçü, 2- özellik

Detaylı

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif

Detaylı

1.Hafta: Ölçme ve önemi, Ölçü sistemleri, Temel ve Türetilmiş Birimler

1.Hafta: Ölçme ve önemi, Ölçü sistemleri, Temel ve Türetilmiş Birimler 1.Hafta: Ölçme ve önemi, Ölçü sistemleri, Temel ve Türetilmiş Birimler ÖLÇMENİN TANIMI Bir büyüklüğü karakterize eden şey ölçebilme olanağıdır. Diğer bir ifade ile bir büyüklüğü ölçmek demek; o büyüklüğü

Detaylı

Teknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 9. Alıştırma Toleransları. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ. [ ES (es) = EBÖ AÖ ]

Teknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 9. Alıştırma Toleransları. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ. [ ES (es) = EBÖ AÖ ] TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Toleransın Tanımı ve Önemi Elde edilen ölçü ve şekil, çizim üzerinde belirtilen değerden biraz büyük veya biraz küçük olabilir. İşte bu iki sınır arasındaki

Detaylı

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının

Detaylı

Resmi Gazete Tarihi: 21.06.2002 Resmi Gazete Sayısı: 24792

Resmi Gazete Tarihi: 21.06.2002 Resmi Gazete Sayısı: 24792 ULUSLARARASI BĐRĐMLER SĐSTEMĐNE DAĐR YÖNETMELĐK (80/181/AT) Resmi Gazete Tarihi: 21.06.2002 Resmi Gazete Sayısı: 24792 Değişik birinci fıkra:r.g-17/1/2010-27465 BĐRĐNCĐ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Hukuki Dayanak

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

1. BÖLÜM FİZİĞİN DOĞASI - VEKTÖRLER DENGE - MOMENT - AĞIRLIK MERKEZİ

1. BÖLÜM FİZİĞİN DOĞASI - VEKTÖRLER DENGE - MOMENT - AĞIRLIK MERKEZİ 1. BÖLÜM FİZİĞİN DĞASI - VEKÖRLER DENGE - MMEN - AĞIRLIK MERKEZİ FİZİĞİN DĞASI - VEKÖRLER - DENGE - MMEN - AĞIRLIK MERKEZİ SRULAR 1. I. ork (x) II. Güç (P) III. Açısal momentum (L) Yukarıdakilerden hangisi

Detaylı

Rentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü

Rentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü 1 Anara-2015 Paetleme Listesi 1. Yaylar ve Maaralar Deney Düzeneği 1.1. Farlı Yay Sabitine Sahip Yaylar 1.2. Maaralar (Teli, İili

Detaylı

Fizik 101: Ders 24 Gündem

Fizik 101: Ders 24 Gündem Terar Fizi 101: Ders 4 Günde Başlangıç oşullarını ullanara BHH denlelerinin çözüü. Genel fizisel saraç Burulalı saraç BHHte enerji Atoi titreşiler Proble: Düşey yay Proble: taşıa tuneli BHH terar BHH &

Detaylı

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri)

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri) ÖRNEKLEM TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARDA ÖRNEKLEM TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr BAĞIMLI İKİDEN ÇOK GRUBUN KARŞILAŞTIRILMASINA

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR.

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. 28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: ELEKTRĠK PĠYASASI DENGELEME VE UZLAġTIRMA YÖNETMELĠĞĠ

Detaylı

Türetilmiş Büyüklükler

Türetilmiş Büyüklükler Birim Sistemi Fiziksel Nicelik Birim Sembol Kütle kilogram kg Işık şiddeti candela cd Termodinamik sıcaklık kelvin K Elektrik akımı Amper A Madde Miktarı mol mol Uzunluk metre m Zaman saniye s Türetilmiş

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni 3. Bölüm Emrah Ayar Anadolu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Binom Teoremi Binom Teoremi ( ) n 1. Derste

Detaylı

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ KMB 405 KİMYA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI - 3

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ KMB 405 KİMYA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI - 3 ONOKUZ MAYIS ÜNİVERSİESİ MÜHENİSLİK FAKÜLESİ KİMYA MÜHENİSLİĞİ BÖLÜMÜ KMB 405 KİMYA MÜHENİSLİĞİ LABORAUVARI - 3 ENEY 5: KABUK ÜP ISI EĞİŞİRİCİ ENEYİ (SHALL AN UBE HEA EXCHANGER) EORİ ISI RANSFERİ Isı,

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Ünite. Madde ve Özellikleri. 1. Fizik Bilimine Giriş 2. Madde ve Özellikleri 3. Dayanıklılık, Yüzey Gerilimi ve Kılcal Olaylar

Ünite. Madde ve Özellikleri. 1. Fizik Bilimine Giriş 2. Madde ve Özellikleri 3. Dayanıklılık, Yüzey Gerilimi ve Kılcal Olaylar 1 Ünite Madde ve Özellikleri 1. Fizik Bilimine Giriş 2. Madde ve Özellikleri 3. Dayanıklılık, Yüzey Gerilimi ve Kılcal Olaylar 1 Fizik Bilimine Giriş Test Çözümleri 3 Test 1'in Çözümleri 1. Fizikteki

Detaylı

BASINÇ BİRİMLERİ. 1 Atm = 760 mmhg = 760 Torr

BASINÇ BİRİMLERİ. 1 Atm = 760 mmhg = 760 Torr BASINÇ BİRİMLERİ - Sıı Sütunu Cinsinden anılanan Biriler:.- orr: C 'de yüseliğindei cıa sütununun tabanına yaış olduğu basınç bir torr'dur..- SS: + C 'de yüseliğindei su sütununun tabanına yaış olduğu

Detaylı

DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: Bir nesnenin sabit hızda, net gücün etkisi altında olmadan düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplanmaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

TANIMLAR, STANDARTLAR, STEMĐ, HATALAR, BELĐRS YER DEĞĐŞ MLERĐ KUMPASLAR, MĐKROMETRELER, ÇÜMLER KOMPARATÖRLER. RLER BOYUTSAL ve ŞEK EN KÜÇÜK

TANIMLAR, STANDARTLAR, STEMĐ, HATALAR, BELĐRS YER DEĞĐŞ MLERĐ KUMPASLAR, MĐKROMETRELER, ÇÜMLER KOMPARATÖRLER. RLER BOYUTSAL ve ŞEK EN KÜÇÜK Metroloji ve SI Temel Birimleri TANIMLAR, STANDARTLAR, BOYUTLAR VE BĐRĐMLER, B GENELLEŞTĐRĐLM LMĐŞ ÖLÇME SĐSTEMS STEMĐ, HATALAR, BELĐRS RSĐZL ZLĐK K ANALĐZĐ, ĐSTAT STATĐKSEL ANALĐZ YER DEĞĐŞ ĞĐŞTĐRME ÖLÇÜ

Detaylı

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin.

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin. LINEER SISTEMLER Muhendislite herhangibir sistem seil(ref: xqs402) dei gibi didortgen blo icinde gosterilir. Sisteme disaridan eti eden fatorler giris, sistemin bu girislere arsi gosterdigi tepi ciis olara

Detaylı

MÜHENDİSLİK ÖĞRENCİLERİ İÇİN FİZİK -1 LABORATUVARI 2014-2015 GÜZ YARIYILI

MÜHENDİSLİK ÖĞRENCİLERİ İÇİN FİZİK -1 LABORATUVARI 2014-2015 GÜZ YARIYILI MÜHENDİSLİK ÖĞRENCİLERİ İÇİN FİZİK - LABORATUVARI 04-05 GÜZ YARIYILI DENEY - BİR DENEYİN ANALİZİ DENEY - 5 DENEY - YAYLI ve BASİT SARKAÇ NEWTON HAREKET YASALARI FOTOĞRAF Ad Soyad: Öğrenci No: Bölüm: Grup

Detaylı

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES Mehmet YÜCEER, İlnur ATASOY, Rıdvan BERBER Anara Üniversitesi Mühendisli Faültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan- 0600 Anara (berber@eng.anara.edu.tr)

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

= + ise bu durumda sinüzoidal frekansı. genlikli ve. biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün.

= + ise bu durumda sinüzoidal frekansı. genlikli ve. biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün. 4.2. çı Modülasyonu Yüse reanslı bir işaret ile bilgi taşıa, işaretin genliğinin, reansının veya azının bir esaj işareti ile odüle edilesi ile gerçeleştirilebilir. Bu üç arlı odülasyon yöntei sırasıyla,

Detaylı

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON 01 Mayıs VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON KİRİŞTE BURUŞMA 1-03 Güven KUTAY Semboller ve Kaynalar için "1_00_CeliKonstrusiyonaGiris.doc" a baınız. Koordinat esenleri "GENEL GİRİŞ" de belirtildiği gibi DIN 18800

Detaylı

KONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No

KONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No KONTRO SİSTEMERİ YI İÇİ UYGUAMA Problem No AD SOYAD 10 haneli öğrenci NO Şeil 1 Şeil 1 dei sistem için transfer fonsiyonunu bulalım. Sistem ii serbestli derecesine sahiptir.her bir ütle diğerinin sabit

Detaylı

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon Shigley s Mechanical Engineering Design Richard G. Budynas and J. Keith Nisbett Malzeme Bağıyla Konstrüsiyon Hazırlayan Prof. Dr. Mehmet Fırat Maine Mühendisliği Bölümü Saarya Üniversitesi Çözülemeyen

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar

Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar Matemati Dünyası Hesaplamalı Tarifler I: Newton ve Benzeri Metodlar İler Birbil / sibirbil@sabanciunivedutr / wwwbolbilimcom Princeton Üniversitesi Yayınları ndan 15 yılında bir itap çıtı [1] Kapsamlı

Detaylı

Uçlarındaki gerilim U volt ve içinden t saniye süresince Q coulomb luk elektrik yükü geçen bir alıcıda görülen iş:

Uçlarındaki gerilim U volt ve içinden t saniye süresince Q coulomb luk elektrik yükü geçen bir alıcıda görülen iş: Etrafımızda oluşan değişmeleri iş, bu işi oluşturan yetenekleri de enerji olarak tanımlarız. Örneğin bir elektrik motorunun dönmesi ile bir iş yapılır ve bu işi yaparken de motor bir enerji kullanır. Mekanikte

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır.

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Deney : Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) & Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) Amaç Bu deneyin amacı Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Giriş Bir öncei deneyde ayrı-zamanlı

Detaylı

SANAL RASGELELĐK. Sanal sözcüğü ile ilgili olarak Güncel Türkçe Sözlük, ve Wikipedia Ansiklopedisi,

SANAL RASGELELĐK. Sanal sözcüğü ile ilgili olarak Güncel Türkçe Sözlük, ve Wikipedia Ansiklopedisi, SANAL RASGELELĐK Rasgeleli sözcüğü Đstatisti Bilim Dalında bir temel avram olup, fizisel, biyoloji, sosyal, eonomi, olgular (nesneler, olaylar, fenomenler) ile ilgili meansal, anlı veya zaman içindei gelişigüzelliği

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde

Detaylı

MAK 309 Ölçme Tekniği ve Değerlendirme. Temel Kavramlar

MAK 309 Ölçme Tekniği ve Değerlendirme. Temel Kavramlar MAK 309 Ölçme Tekniği ve Değerlendirme Temel Kavramlar Ölçme nedir? Ölçme bilinmeyen bir niceliği, bilinen bir nicelikle karşılaştırarak değerlendirme işlemidir. Odanın sıcaklığı kaç derece? Ölçme yaparken...

Detaylı

DALMIŞ YÜZEYLERDEKİ KUVVETLER

DALMIŞ YÜZEYLERDEKİ KUVVETLER 9 DALMIŞ YÜZEYLERDEKİ KUVVETLER Kalınlığı olmayan bir yüzeyi göz önüne alalım. Sıvı içine almış bir yüzeye Arşimet Prensipleri geçerli olmala birlite yüzeyinin her ii tarafı aynı sıvı ile oluruluğuna uvvet

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi

Detaylı

TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ

TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ EK SERBESLİK DERECELİ İREŞİM SİSEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MARİS ÇÖZÜMÜ Mehmet ÇEVİK a, Nurcan BAYKUŞ b a Celal Bayar Üniversitesi Maine Mühendisliği Bölümü, Muradiye 454, Manisa. b Douz Eylül Üniversitesi,

Detaylı

Kİ KARE TESTLERİ. Biyoistatistik (Ders 2: Ki Kare Testleri) Kİ-KARE TESTLERİ. Sağlıktan Yakınma Sigara Var Yok Toplam. İçen. İçmeyen.

Kİ KARE TESTLERİ. Biyoistatistik (Ders 2: Ki Kare Testleri) Kİ-KARE TESTLERİ. Sağlıktan Yakınma Sigara Var Yok Toplam. İçen. İçmeyen. Biyoistatisti (Ders : Ki Kare Testleri) Kİ KARE TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr Kİ-KARE TESTLERİ 1. Ki-are testleri

Detaylı

Çok Yüksek Mobiliteli Sönümlemeli Kanallardaki OFDM Sistemleri için Kanal Kestirimi

Çok Yüksek Mobiliteli Sönümlemeli Kanallardaki OFDM Sistemleri için Kanal Kestirimi 9-11 Aralı 2009 Ço Yüse Mobiliteli Sönümlemeli Kanallardai OFDM Sistemleri için Kanal Kestirimi İstanbul Üniversitesi Eletri-Eletroni Mühendisliği Bölümü {myalcin, aan}@istanbul.edu.tr Sunum İçeriği Giriş

Detaylı

PI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ

PI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ PI ONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ ONTROLÖR İLE TASARIM ontrolör Taarım riterleri Taarım riterleri genellile itemine yapmaı geretiğini belirtme ve naıl yaptığını değerlendirme için ullanılır. Bu riterler her bir

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS MTEMTĐK ĐM YILLR 00 003 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - HREKET PROLEMLERĐ Hız msaa verildiğinden süre de saa olmalıdır lınan yol : x Hız: Zaman : ir araç x yolunu hızıyla sürede alır Yol Hız

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek:

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek: doğru orantı Kazanım :Doğru orantılı ii çolu arasındai ilişiyi tablo veya denlem olara ifade eder. Doğru orantılı ii çoluğa ait orantı sabitini belirler ve yorumlar. doğru orantı İi çolutan biri artaren

Detaylı

5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri

5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Elektrik devrelerinde ölçülebilen büyüklükler olan; 5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Akım Gerilim Devrede bulunan kaynakların tiplerine göre değişik şekillerde olabilir. Zamana bağlı

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için

Detaylı

Temel Kimya Dersi. Doç.Dr.Levent ÇAVAŞ Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü, İZMİR. Matter And Measurement

Temel Kimya Dersi. Doç.Dr.Levent ÇAVAŞ Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü, İZMİR. Matter And Measurement Temel Kimya Dersi Doç.Dr.Levent ÇAVAŞ Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü, İZMİR Levent ÇAVAŞ, Kim? Nerde? Nasıl? Doç.Dr.Levent ÇAVAŞ Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü,

Detaylı

Birimler. Giriş. - Ölçmenin tanımı. - Birim nedir? - Birim sistemleri. - Uluslararası (SI) birim sistemi

Birimler. Giriş. - Ölçmenin tanımı. - Birim nedir? - Birim sistemleri. - Uluslararası (SI) birim sistemi Birimler Giriş - Ölçmenin tanımı - Birim nedir? - Birim sistemleri - Uluslararası (SI) birim sistemi 1 Ölçme: Değeri bilinmeyen bir büyüklüğün birim olarak isimlendirilen ve özelliği bilinen başka bir

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

Çözüm: Çözüm: Çözüm: Elektrik Ölçme Ders Notları-Ş.Kuşdoğan&E.Kandemir Beşer 16

Çözüm: Çözüm: Çözüm: Elektrik Ölçme Ders Notları-Ş.Kuşdoğan&E.Kandemir Beşer 16 Soru: Elimizde 0.5 sınıfından 500V luk bir voltmetre ile 1.5 sınıfından 120V luk bir voltmetre bulunmaktadır. Değeri 1V olan bir gerilimi hangi ölçü aleti ile ölçmek daha doğru olur? Neden? Soru: Bir direncin

Detaylı

Elektrik Müh. Temelleri

Elektrik Müh. Temelleri Elektrik Müh. Temelleri ELK184 2 @ysevim61 https://www.facebook.com/groups/ktuemt/ 1 Akım, Gerilim, Direnç Anahtar Pil (Enerji kaynağı) V (Akımın yönü) R (Ampül) (e hareket yönü) Şekildeki devrede yük

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Chapter 1. Elektrik Devreleri. Principles of Electric Circuits, Conventional Flow, 9 th ed. Floyd

Chapter 1. Elektrik Devreleri. Principles of Electric Circuits, Conventional Flow, 9 th ed. Floyd Elektrik Devreleri Ders sorumlusu Bekir DİZDAROĞLU Web: www.bekirdizdaroglu.com http://aves.ktu.edu.tr/bekir/dokumanlar E-Posta: bekir@ktu.edu.tr Tel: (0462) 377 31 26 Ders kitabı Principles of Electric

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Ei Aralı Seviyesinde Denee Sınavı. Uzunluğu R/ olan bir zincirin ucu yarıçapı R olan pürüzsüz bir ürenin tepe notasına bağlıdır (şeildei ibi). Bilinen bir anda bu uç serbest bıraılıyor. )Uç serbest bıraıldığı

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

GÜNEŞ ENERJİSİ SİSTEMLERİNDE KANATÇIK YÜZEYİNDEKİ SICAKLIK DAĞILIMININ SONLU FARKLAR METODU İLE ANALİZİ

GÜNEŞ ENERJİSİ SİSTEMLERİNDE KANATÇIK YÜZEYİNDEKİ SICAKLIK DAĞILIMININ SONLU FARKLAR METODU İLE ANALİZİ TEKNOLOJİ, Cilt 7, (2004), Sayı 3, 407-414 TEKNOLOJİ GÜNEŞ ENERJİSİ SİSTEMLERİNDE KANATÇIK YÜZEYİNDEKİ SICAKLIK DAĞILIMININ SONLU FARKLAR METODU İLE ANALİZİ ÖZET Himet DOĞAN Mustafa AKTAŞ Tayfun MENLİK

Detaylı

Doğru Akım Devreleri

Doğru Akım Devreleri Doğru Akım Devreleri ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için elektromotor kuvvet (emk) adı verilen bir enerji kaynağına ihtiyaç duyulmaktadır. Şekilde devreye elektromotor

Detaylı

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan;

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan; 7. FORMÜLLER SEKMESİ Excel in en çok kullanılan yönü hesaplama yönüdür. Hesaplamalar Formüller aracılığıyla yapılır. Formüller sekmesi anlatılırken sık kullanılan formüller ve formül yazımı da anlatılacaktır.

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Electronic Letters on Science & Engineering 6(1) (2010) Available online at www.e-lse.org

Electronic Letters on Science & Engineering 6(1) (2010) Available online at www.e-lse.org Electronic Letters on Science & Engineering 6(1) (2010) Available online at www.e-lse.org FUZZY Control Strategy Adapting to ISPM-15 Standarts Aydın Mühürcü 1, Gülçin Mühürcü 2 1 Saarya University, Electrical-Electronical

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi M. Ozan AKI Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan aynalı meydana

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

Türk Milleti bir ölür, bin dirilir

Türk Milleti bir ölür, bin dirilir Ne x t Le v e l A a d e mi Kaymaaml ı Sı navı nahazı r l ı Tür çeaçı Uçl usor u Banası Tür i ye de Bi ri l Necat i beycd.50.yı li şhanı Apt.no: 19/ 5 Çanaya/ ANKARA 03124189999 Sevgili Kaymaam Adayları,

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

ŞARTNAME DİJİTAL PENS AMPERMETRE GARANTİ GÜVENLİK BİLGİLERİ. Uyarı ELEKTRİK SEMBOLLERİ

ŞARTNAME DİJİTAL PENS AMPERMETRE GARANTİ GÜVENLİK BİLGİLERİ. Uyarı ELEKTRİK SEMBOLLERİ DİJİTAL PENS AMPERMETRE Pil apağını açmadan veya AC aımı ölçmeden önce sayaçtan test uçlarını ve test edilen iletenden germe GARANTİ Bu cihazın bir yıl süreyle malzeme ve işçili hatası bulunmadığı garanti

Detaylı

MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ OPTİMİZASYONU. Ercan ŞENYİĞİT 1, *

MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ OPTİMİZASYONU. Ercan ŞENYİĞİT 1, * Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25 (1-2) 168-182 (2009) http://fbe.erciyes.edu.tr/ ISSN 1012-2354 MOBİLYA ENDÜSTRİSİNDE AŞAMALAR ARASINDA FİRE BULUNAN ÇOK AŞAMALI TEDARİK ZİNCİRİ AĞININ

Detaylı

SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER. Abdullah Can

SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER. Abdullah Can SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER SPSS in üzerinde işlem yapılabilecek iki ana ekran görünümü vardır. DATA VIEW (VERİ görünümü) VARIABLE VIEW (DEĞİŞKEN görünümü) 1 DATA VIEW (VERİ görünümü) İstatistiksel

Detaylı

BÖLÜM 7. BİRİM SİSTEMLERİ VE BİRİM DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 7. BİRİM SİSTEMLERİ VE BİRİM DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 7. BİRİM SİSTEMLERİ VE BİRİM DÖNÜŞÜMLERİ 7.1. Birim Sistemleri Genel Kimya, Akışkanlar Mekaniği, Termodinamik, Reaksiyon Mühendisliği gibi birçok temel ve mühendislik derslerinde karşılaşılan problemlerde,

Detaylı

MAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr.

MAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr. MAK3 MAKİNA EEMANARI I. Yarıyıl içi imtihanı /0/0 Müddet: 90 daia Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Himet Kocabas, Doç.Dr. Cemal Bayara. (0 puan) Sıı geçmelerde sürtünme orozyonu nasıl ve neden meydana gelir? Geçmeye

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı