BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI-ATALET MOMENTİ
|
|
|
- Kudret Demirbaş
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ BÖLÜM 5: ĞRLK MERKEZ-TLET MOMENTİ 5.. ĞRLK MERKEZİ HESB [LNN BİRİNCİ MOMENTİ] ğılık, csme uulnn kütle çekm kuvvetd. Dnmomete le ölçülü. Dün'd csm ele lısk ükseğe çıkıldıkç ğılık zlı, kutupl dldkçe ğılık fzllşı, ekvto ttkçe ğılık zlı, dünnın mekezne nldkçe ğılık zlı. ğılık m newton'du ve kısc N le östel. Yt tn üzene konn csmn, o tn üzene ptığı sınc d nokt sılı csmn, o nokt uuldığı e çekm kuvvetne velen d. Bu kımdn, ğılığın önü, e çekm kuvvetnn önünded. Bu d, csmn kütlesne ve o en vmesne ğlıdı. İvme, eüzünde csmn ulunduğu ee öe değşeldğne öe, kütles st oln csmn mutlk ğılığı, küe üzende ulunduğu ee öe değşel. ğılık Mekez; B csmn pçcıklı üzene etk eden eçekmle leşkesnn uulm noktsın velen d. Boşluğ ıkıln e csm, eçekmnn etks ltınd klk düşe. Yeçekm, csmn ee düşmesn, dolısıl ğılığı olmsını sğl. Yeçekm kuvvet, kütles (m) oln nokt tslnn csmn pçcıklın ı ı etk p. B csmn ğılık mekez, o csmn medn elmesn sğln noktl sstemnn, o noktd toplnmış ve eçekm kuvvet o nokt etk edomuş oln ld. : lnın ğılık mekez: Sttk; eketsz ldek csmlen denesn nceleen meknğn ölümüdü. Bun öe csmlen dene denklemlen elde etmek çn ğılık mekezlen lmek eek. Çünkü zı csm ve sstemlen denes nck sstemn ğılık mekeznn lnmesle mümkün oll. Öneğn düzün olmn ılı üklü kşn dene denklemlen zlmek çn ılı ükün leşkesn dolsıl ğılık mekeznn lmekle mümkün olu. ğılık mekez csmlen duumlın öe,. lnın [klınlığı ml edlel]. Teln. Hcmn. Kütlenn 5. Yukıdklen kışımı olk esplnı. Yukıdklen e nn kendne öe özellkle mevcuttu. Düzün olmn eşt klınlıklı ve omojen lev şekldek lınk üzende elemente pç lını. t d d dd.d - kest
2 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Küçük pçcığın kütlesdv γ d t γ d d t γ [γm cm ğılığı] Csmn tmmının u şeklde [dd d] n det küçük pç ıldığı düşünülüse, n [ d d t γ] t γ d d t γ d d dd dd d d t γ dd t γ dd dd dd d d Csm eomets lnmeen şeklde olmsı lnde n fonksonel se; d d Bğıntılı le esplnı. d d B: Kuvvetlen ğılık mekez F F F F F F + F + F + F +...F N F F + F + F + F +...nfn F F F F + F + F + F +...nfn F F Bğıntılı le esplnı. C: Eğnn [ TEL: ou>>>enşlk ] ğılık mekez; eğlen eşt klınlıklınd olmlındn dolı olı etkld. Eğe eğle eşt klınlıkt olmı değşk klınlıkt olmlı duumund şğıdk ğıntıl eçel değld. L L + L + L + L +...L N L L + L + L + L +...nln L L L L + L + L + L +...nln L L ➀ ➁ ➃ ➂ 5
![..F N F F + F + F + F +...nfn F F F F + F + F + F +...nfn F F Bğıntılı le esplnı. C: Eğnn [ TEL: ou>>>enşlk ] ğılık mekez; eğlen eşt klınlıklınd olmlındn dolı olı etkld.](/docs-images/47/10264674/images/page_2.jpg "Eğe eğle eşt klınlıkt olmı değşk klınlıkt olmlı duumund şğıdk ğıntıl eçel değld. L L + L + L + L +...L N L L + L + L + L +...nln L L L L + L + L + L +...nln L L ➀ ➁ ➃ ➂ 5")
3 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Bğıntılı le esplnı. D: Hcmn ğılık mekez V V V V z z zv V V V V Bmlen FONSİYONEL olmsı duumund ğılık mekez. ln d d d d z z zd d df df zdf Kuvvet z z df df df Eğ dl dl dl dl z z zdl dl Hcm dv dv dv dv z z zdv dv Kütle dm dm dm dm z z zdm dm ÖRNEK 5.. Üçenn ğılık mekeznn koodntlının [??] ulunmsı. d[/]d d [/][/] 6
4 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ d d d d d d d d d d d[-]/]d d ve [ ] d [ ] [ ] d d [ ] d ÖRNEK 5.7. Şeklde velen tlı lnın ğılık mekeznn esplnmsı. k k.5.5 k d d d d d d d d d d dd k 5 d d d 5 d d d d / + [ ]d d d d d [ ] [ ]d [ ]d [ ]d / / / / [ ]d d d d d d d d[-]d [+]/ k d 7
5 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK fonksonun [??] ğılık mekeznn koodntlının esı. Yt dlm lınk sınıl şekldek se se 9 zılı / d lınn pçnın (dlmn) lnı d d 5 8 [ 9] d [ 8 8]d 8 8 d d d d [ 9 7] [ 9] d [ 9] d 9 9 [ 9 ]d [ 9 ]d d [ d ] d d [ 9 7] [ 9 ]d [ 9 ]d 9-9 lınn pçnın (dlmn) lnı d d / 9 d [ ( 9 )]d [ 8 + 8]d d d d d [ 9 7] [ 9 ]d [ 9 ]d 9 ÖRNEK 5.9. Şekldek lnın ğılık mekeznn koodntlının [??] esı. - - / d 8
![6 d d [ 9 7] [ 9] d [ 9] d 9 9 [ 9 ]d [ 9 ]d d [ d ] + 8 8.](/docs-images/47/10264674/images/page_5.jpg "5 d d [ 9 7] [ 9 ]d [ 9 ]d 9-9 lınn pçnın (dlmn) lnı d d / 9 d 5 9 9 9 8 8 [ ( 9 )]d [ 8 + 8]d + 6 + 8 d d.")
6 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ lınn pçnın (dlmn) lnı d d [ ]d [ ]d d d d d [ ]d [ ]d [ ] d [6 8 ] d d d d d 6 [ ]d [ ]d ÖRNEK 5.. İk fonkson sındk lnın ğılık mekeznn [ ] esplnmsı. 8 5 P [,] [,] - P [,] [+ ]/ d d [ ]d [ ]d 6 d [ ] [ ] d d d [ ] [ ] 5 d [[ + ] / ][ ] 6 d d d [ ] [ ] 5 9
![. İk fonkson sındk lnın ğılık mekeznn [ ] esplnmsı.](/docs-images/47/10264674/images/page_6.jpg "8 5 P [,] [,] - P [,] [+ ]/ d d [ ]d [ ]d 6 d [ ] [ ] d d d [ ] [ ] 5 d [[")
7 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.. Şekldek k fonkson [, 8- ] sınd kln lnın ğılık mekeznn koodntlının esplnmsı. 8-8 d [-] -8 8 d d 8 d d d d d 8 d 8 ÖRNEK 5.. İk fonkson sındk lnın ğılık mekeznn esplnmsı. d, d d d 6 d [ / ][d] d d d d 5 6 d [d] d 6 6 5
8 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.. Tlı lnın ğılık mekeznn koodntlının [??] ulunmsı. Çözüm: velen şekl eomets lnen şekle şğıdk şeklde ılı. 6 9 Csm eomets lnen pçl ılı. 6 6 d d [ [ + ] [ 6 + [6 + (/ ) ].5 ] [ ] + ].8 d d [ [ + ] [ 6 + ( / ).5 ] [ ] + ].86 ÖRNEK 5.. Tlı lnın ğılık mekeznn koodntlının [??] ulunmsı. m 8 m 6 m m m 8 m 8 m Çözüm: Şekl eomets lnen dkdöten ve üçene ılk şğıdk ğıntıll ğılık mekeznn koodntlı esplnı. d d [ [ + ] [ 8 + [(/ ) 6 + 8].5 6 ] [ ] + ] 5.6 d d [ [ + ] [6 8 + [( / ) ].5 6 ] [ ] + ]
![8 d d [ [ + ] [ 6 + ( / ).5 ] [ 6 +.5 ] + ].86 ÖRNEK 5.. Tlı lnın ğılık mekeznn koodntlının [??] ulunmsı.](/docs-images/47/10264674/images/page_8.jpg "m 8 m 6 m m m 8 m 8 m Çözüm: Şekl eomets lnen dkdöten ve üçene ılk şğıdk ğıntıll ğılık mekeznn koodntlı esplnı.")
9 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5... Şeklde velen lnın ğılık mekez koodntlının esplnmsı [] 5 [] 5 [c] 5 5 ➂ ➅ ➃ ➄ Çözüm: Şekl eomets lnen şekllee [] ılk tlo lnde şğıdk şeklde esplnı. Pç No ➀ ➁ ➂ ➃ 9 [ ke] ➄ -76 [/ de] ➅ Toplm ğılık mekeznn koodntlı [ ] Pç No ➀ ➁ ➂ ➃ 9 [ ke] ➄ -76 [/ de] ➅ Toplm ğılık mekeznn koodntlı [ ] ÖRNEK 5... Şeklde velen lnın ğılık mekeznn koodntlının esplnmsı
![5 9 8 ➂ 75-8. - 75 ➃ 9 [ ke] 5 7 5 ➄ -76 [/ de].6 7.6-776 -86 ➅ 5-7.5 7-5 Toplm 79 959 ğılık mekeznn koodntlı [ ] Pç No 959 9.7 5.66 ➀ 6 79-5 87.](/docs-images/47/10264674/images/page_9.jpg "5-79 55 ➁ 7.5 9 8 ➂ 75-8. - 75 ➃ 9 [ ke] 5 7 5 ➄ -76 [/ de].6 7.6-776 -86 ➅ 5-7.5 7-5 Toplm 79 959 ğılık mekeznn koodntlı [ ] 9.7 79 959 5.66 79 ÖRNEK 5.")
10 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pç 868 (6/) Σ ğılık mekeznn. koodntlı ÖRNEK 5... Şeklde velen lnın, [denn ıçpı ]. Velen ve eksenlene öe tlet momentle [ ]. ğılık mekeznn koodntlı [ ]. ğılık mekeznden eçen eksenlene öe tlet momentlenn [ ] esı ğılık mekeznn koodntlı [ ] Pç
![.. Şeklde velen lnın, [denn ıçpı ]. Velen ve eksenlene öe tlet momentle [ ].](/docs-images/47/10264674/images/page_10.jpg "ğılık mekeznn koodntlı [ ]. ğılık mekeznden eçen eksenlene öe tlet momentlenn [ ] esı.")
11 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Σ Csm Tel St B Klınlıkt Çuuk Şeklnde olmsı duumund dl - kest n [ dl] dl dl dl dl dl dl dl dl dl ÖRNEK 5.. Yım denn eksen le oln ğılık mekeznn esplnmsı. dldθ dθ θ cosθ dl π / π / dθ [θ] π / π / π/ π / dl dl dl dl π / π / π / π / [ sn] π π / π / / [ θ π ] π / π / π / π [ cos θ]dθ dθ ÖRNEK 5.5. Şekldek de pçsının eksen le ğılık mekeznn esplnmsı. α α dl dθ [θ] α α α α α α dl [ cos θ]dθ α dl α α [ sn] α snα α dl α α α α dθ θ cosθ dldθ ÖRNEK 5.6. fonksonunun [,] noktsın kd oln kısmın ğılık mekeznn esı. 5
![dldθ dθ θ cosθ dl π / π / dθ [θ] π / π / π/ π / dl dl dl dl π / π / π / π / [ sn] π π / π / / [ θ π ] π / π / π / π [ cos θ]dθ dθ ÖRNEK 5.](/docs-images/47/10264674/images/page_11.jpg "5. Şekldek de pçsının eksen le ğılık mekeznn esplnmsı. α α dl dθ [θ] α α α α α α dl [ cos θ]dθ α dl α α [ sn] α snα α dl α α α α dθ θ cosθ dldθ ÖRNEK 5.6.")
12 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ dl d + d d + d d d d dl + d se.5 se.5 Toplm o L dl d d se dl dl + d + d.57 ÖRNEK 5.. Şekldek 5 pçdn oluşn teln ğılık mekeznn esplnmsı. L /π L 6 L L L 5 5 o o /π /π Elemn L ELEMNLRN L 7 [7/]cos56. [7/]sn56. L 6 7cos5. 7sn5+5. L. 7cos5+. 7sn5+6+/π.9 L 6 7cos5+. 7sn L 5 /cos++7cos5. /sn6 SİSTEMİN L L L L PPPUS-ULDNUS TEOREMLERİ 55
![L /π L 6 L L L 5 5 o o /π /π Elemn L ELEMNLRN L 7 [7/]cos56. [7/]sn56. L 6 7cos5. 7sn5+5. L. 7cos5+. 7sn5+6+/π.](/docs-images/47/10264674/images/page_12.jpg "9 L 6 7cos5+. 7sn5+5. 5 L 5 /cos++7cos5. /sn6 SİSTEMİN L 7 6.+ 6. +.. + 6. +. L 7 + 6 +. + 6 +.59 L 7 6.+ 6 5. +..9 + 6 5.")
13 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pul uldn, 577-6, İsvçel Mtemtk, stonom uldn kulı (dönel smetk csmlen mnto lnı ve cmnn st esı). Not: uldn kulı MS ıllınd İskendeel Pppus(Pppos) tfındn velmşt. Bu nedenle Pppus ve Pppus-uldn kullı olk d nılı. uldn kulı:.kul: B düzlem eğnn eksen etfınd dönmes sonucu oluşn csmn mnto(üze) lnı şğıdk st oll esplnı. mnto π L d L: eğnn uzunluğu d :Eğnn ğılık mekeznn eksene mesfes.kul: B düzlem lnın eksen etfınd dönmes sonucu oluşn csmn cm şğıdk st oll esplnı. V π d : düzlem csmn lnı d : lnın ğılık mekeznn eksene mesfes Önek: Yım çemen eksen etfınd dönmes le küe oluşu: B çeme ve denn eksen etfınd dönmes le tous oluşu: d Lπ (ım çeme uzunluğu) dd /π (çemen ğılık mekeznn eksene mesfes) üze π (π ) ( /π) π (küenn üze) Yım denn eksen etfınd dönmes le küe oluşu: π / (ım denn lnı) dd //π (ım denn ğılık mekeznn eksene mesfes) Vπ (π /) (//π) π / (küenn cm) R üze π Ld π (π) (R) π R (Tous üze lnı) Vπ (π ) (R) π R (Tous cm). B eğnn kend düzlem çnde ve kendn kesmeen eksen etfınd döndüülmesle oluşn dönel üzen lnı, eğnn uzunluğu le dönme esnsınd eğnn ğılık mekeznn kt ettğ uzunluğun çpımın eştt. [ L. çı (dn). ] 56
14 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ L L L olu eğnn şekldek dönmes lnde oluşn ln 9 o dönüş L.5π 8 o dönüş L π 7 o dönüş L.5π 6 o dönüş L π Poflden öünüş. B üzen [lnın] kend düzlem çnde ve kendn kesmeen eksen etfınd döndüülmesle oluşn dönel üzen cm, üzen lnı le dönme esnsınd lnın ğılık mekeznn ktettğ uzunluğun [-π] çpımın eştt. [V. çı (dn). ]. Velen lnın eksene öe cmnn esplnmsı,. Velen lnın ğılık mekez koodntı lnen öntem le esplnı.. ğılık mekez le eksen sındk mesfe ulunu. [ + ] c. Bu duumd kış önü çok önemld. Önden kış Üstten kış Velen ln üstten ve poflden kış öüntüle veleek cmn nsıl esplndığı şğıdk şekl üzende nltılmıştı [ lık olk lınmlı] lnlı düzlemn şekldek [7 o -.5π] dönmes le oluşn cm Dönüş eksen 9 o dönüş V.5π 8 o dönüş V π 7 o dönüş V.5π 6 o dönüş V π Poflden kış 8 o dönüş NOT: Pppus-uldnus teoemle zı eometk şekllen ğılık mekezlenn ulunmsınd d uun öntemd. 57
![Velen lnın eksene öe cmnn esplnmsı,. Velen lnın ğılık mekez koodntı lnen öntem le esplnı.. ğılık mekez le eksen sındk mesfe ulunu. [ + ] c. Bu duumd kış önü çok önemld.](/docs-images/47/10264674/images/page_14.jpg "Önden kış Üstten kış Velen ln üstten ve poflden kış öüntüle veleek cmn nsıl esplndığı şğıdk şekl üzende nltılmıştı [ lık olk lınmlı] lnlı düzlemn şekldek [7 o -.")
15 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.. Şekldek dötte de çemenn ğılık mekeznn koodntlının ulunmsı. - eksen ounc Pppus-uldnus teoem eeğ ln, π. L. π. (π/). π Şekln - eksen etfınd dönmes sonucu ım küe oluşu ve unun lnı π d. [.5 π ] π π.l. π π se π - eksen ounc Pppus-uldnus teoem eeğ ln, π. L. π π π[.5π] se π ÖRNEK 5.5. Şekldek ım de çemenn ğılık mekeznn koodntlının ulunmsı. Pppus-uldnus teoem eeğ ln, π. L. Şekln - eksen etfınd dönmes sonucu küe oluşu ve u küenn lnı π d. π π[ π] se π - eksen ounc dönmes sonucu dötte denn nısı olu. Pppus-uldnus teoem eeğ ln, π. L. π πl. [.5π] π π se π 58
![5π] se π ÖRNEK 5.5. Şekldek ım de çemenn ğılık mekeznn koodntlının ulunmsı. Pppus-uldnus teoem eeğ ln, π. L.](/docs-images/47/10264674/images/page_15.jpg "Şekln - eksen etfınd dönmes sonucu küe oluşu ve u küenn lnı π d. π π[ π] se π - eksen ounc dönmes sonucu dötte denn nısı olu.")
16 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.6. Şeklde velen ım de lnın - eksen etfındn dönmesnden lnk ım denn ğılık mekez koodntının [ ] esı. V π π / V π [π /]. π[.5 π ] Yım denn - eksen etfınd dönmes sonucund küe oluşu. Küenn cm π π V π.5 π ulmk çn V π[.5 π ] π Yım denn - eksen etfınd dönmes smetk olmsı sonucu dötte denn [.5π ] dönmesne eşt olu ve unun sonucund ım küe oluşu. Yım küenn cm V π π π.5 π π Ve ım denn lnı.5π Yım de π kd dönese ım küe tmmlnı. Bun öe, V π π π.5 π π ÖRNEK 5.7. Şeklde velen eğnn,. Velen eksenlee öe ğılık mekezn [ cm]. c-c ve - eksen etfınd [6 o ] dönmes le oluşn üzen lnının esplnmsı c c ➀ ➁ ➂ ➄.8 ➃ 59
![5 π ] π Yım denn - eksen etfınd dönmes smetk olmsı sonucu dötte denn [.5π ] dönmesne eşt olu ve unun sonucund ım küe oluşu. Yım küenn cm V π π π.](/docs-images/47/10264674/images/page_16.jpg "5 π π Ve ım denn lnı.5π Yım de π kd dönese ım küe tmmlnı. Bun öe, V π π π.5 π π ÖRNEK 5.7. Şeklde velen eğnn,. Velen eksenlee öe ğılık mekezn [ cm].")
17 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pç L L L ➀ / / ➁.5.5 ➂ π/ +/π 5.7 -[-/π] [π/][--/π] ➃ π [+/π] [π][--/π] ➄ cm çn π π + π π 8 π π [] + π cm π. cm [].98 c-c eksen π.98 (+.)π.98 [].[]7.7 cm - eksen π.98.5π.98 [].5[] cm c c ➀ ➁.+.. ➂ ➄.8 ÖRNEK 5.8. Şeklde velen mdenlen kütle mekeznn esplnmsı. ➃ m 5.5/.5 m Çelk [8 kn/m ] m m m Kuşun [98 kn/m ] m m ltın [6 kn/m ] m m 6
![98 c-c eksen π.98 (+.)π.98 [].[]7.7 cm - eksen π.98.5π.98 [].5[]695.68 cm c c ➀ ➁.+.. ➂ ➄.8 ÖRNEK 5.8. Şeklde velen mdenlen kütle mekeznn esplnmsı.](/docs-images/47/10264674/images/page_17.jpg "➃ m 5.5/.5 m Çelk [8 kn/m ] m m m Kuşun [98 kn/m ] m m ltın [6 kn/m ] m m 6")
18 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Elemn m kütles [kn] ELEMNLRN m m z z m Çelk Kuşun 9878 [+] ltın 68 [++] Σ SİSTEMİN m m. m z.5 m m
![9878 [+] 6 78.5 9 ltın 68 [++]7 6.](/docs-images/47/10264674/images/page_18.jpg "5 96 Σ 58 7776 58 6 SİSTEMİN m 7776 58 6. m. m z.")
19 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ln [ğılık mekezne öe] Pol O O π π π π π π Jo 8 π 6 9π π 8 8 9π π 8 J o π π π π π Jo π π π π J o [ 5.. STTİK MOMENT [LNN BİRİNCİ MOMENTİ] Ypı elemnlının şekl değştmelenn esınd özellkle kesme kuvvetnden dolı oluşn km elmelenn esplnmsınd kullnıln, S d S d d ρ ğıntısıl esplnn değee lnın nc sttk moment den. Velen ğıntıd V:kesttek kesme kuvvet, :tlet moment ve :kest enşlğ olmk üzee kestn km elmes [τ] şğıdk ğıntı le esplnı. V S τ V[ ] 6
![. STTİK MOMENT [LNN BİRİNCİ MOMENTİ] Ypı elemnlının şekl değştmelenn esınd özellkle kesme kuvvetnden dolı oluşn km](/docs-images/47/10264674/images/page_19.jpg "elmelenn esplnmsınd kullnıln, S d S d d ρ ğıntısıl esplnn değee lnın nc sttk moment den.")
20 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Velen şeklde m noktsındk km elmes çn eekl oln S lnın sttk moment, S m m m m: m noktsı üzende kln lnın ğılık mekez :Şekln tmmının ğılık mekez olk esplnı. Sstemn ğılık mekezndek sttk moment SFRDR [çünkü ]. ÖRNEK 5.9. Velen şekln,. - ve - eksenlene öe sttk momentlenn [S S ]. m noktsındk km elmesne ess oln sttk momentn esı. m 8 m 6 m 8 m m m m 8 m Çözüm : Önce eksenlee öe sttk momentle esplnı. 8 m S d [ + ] [ 8 + [(/ ) 6 + 8].5 6 ] 7.8m S d [ + ] [6 8 + [( / ) ].5 6 ] 86.6 m Çözüm : Sstemn ğılık mekez koodntlı esplnı. Bu şekln ğılık mekez koodntlı ukıd olk esplnmıştı. 6 m.67 8 m m m 8 m S d [ + ] [ [( ).67] 6.6m 6
![m noktsındk km elmesne ess oln sttk momentn esı. m 8 m 6 m 8 m m m m 8 m Çözüm : Önce eksenlee öe sttk momentle esplnı. 8 m S d [ + ] [ 8 + [(/ ) 6 + 8].5 6 ] 7.](/docs-images/47/10264674/images/page_20.jpg "8m S d [ + ] [6 8 + [( / ) ].5 6 ] 86.6 m Çözüm : Sstemn ğılık mekez koodntlı esplnı. Bu şekln ğılık mekez koodntlı ukıd 5.6 6. 55 olk esplnmıştı. 6 m.67 8 m m.75 6.")
21 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ 5.. TLET MOMENTİ [LNN İKİNCİ MOMENTİ ()] Elemszlk kuvvet, csmlee etken kuvvet. Elemszlk kuvvet sstemn vmesle zıt önde oluşu. Elemszlk kuvvet oktn v edlemez. V oln enej csm ne kend ln n eketsz lne dönmek çn kend eket önüne zıt kuvvet oluştuup kullnı... evende mdde e zmn lk eketlen koumk ste, n duuos dumk eket lndese o ızd eke devm etmek ste. Csme kuvvet uulndığınd csm ekete tes önde cevp veeek lk ln koumk steecekt. şte u kuvvet elemszlk kuvvetd. B csme uulnn ç kuvvet oks d csme uuln kuvvetlen leşkes se csm eketsz klı d düzün doğusl eket p. Öneğn sı üzende dun kt dışıdn kuvvet uulnmdıkç sonsuz kd ıkıldığı ede klı. Bşk csme eşt üüklükte zıt önde k kuvvet uulnıs kuvvetle n ok edeceğnden csm eket etmez. Sütünmesz otmd msket ekete eçdğmzde msket düzün doğusl eket p. Dun otoüste ktk olculın e olmdn otoüs nden eket edese olcul k doğu tl. Heket lndek otoüsün nden fen pmsı sonund ktk ve otun olculın öne fılmlı olculın ulunduklın duumlı koumk stemelenden knklnı. Tfk kzlınd lın ön koltuklınd otunlın n fen sonund kflını cm çpmmlı çn emnet keme tkmlı zounludu. Dun csm en kuvvet etklemedkçe süekl duu. Heket lndek csm eketn enelleecek kuvvet etk etmedkçe eketne devm ede. Bu özellğe elemszlk den. Elemszlk Moment; ve tlet moment (S m klom meteke - k m²), dönme eket pn csmn dönme elemszlğd. Ypı elemnlının,. Eğlme. Buulm esınd. Kestlede M.. elme σ 5 ql.. Deplsmn 8 E ql.. Dönüş φ 8 E.. Dğe R Hesplınd kullnıln ve le östelen mtemtk ğıntı lnın knc moment ve tlet moment den. Müendslkte olmzs olmz özellkleden d. d d d d d dd ρ 6
22 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Bundn dolı tlet momentne lnın. moment den. eksenne öe tlet moment eksenne öe tlet moment d d d d ρ d Çpım tlet moment d Pol tlet moment J ρ d [ + ]d + ÖRNEK 5.. Şeklde velen dkdötenn,. Tndn eçen eksene öe. ğılık mekeznden eçen eksene öe tlet momentnn ulunmsı. / d d d d d Tndn eçen eksene öe [-] d / / / ğılık mekeznden eçen eksene öe d d / d d / Tndn eçen eksene öe[-] [şet plel lını] d d ğılık mekeznden eçen eksene öe / d d / 65
23 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.. Şeklde velen üçenn tlet momentnn,. Tndn [ ]. ğılık mekeznden eçen eksene [ ] öe ulunmsı dd [] Tndn eçen eksene öe tlet moment [] d d [] d d d d se d d d d [ ]d ğılık mekeznden eçen eksene öe tlet moment [] d d d d [ / ] se [ / ] d [ / ] d / / [ / ] d d [[ / ] ]d / / 6 ÖRNEK 5.. k fonksonun eksenne öe tlet momentnn esplnmsı. k dd d / k k.5.5 d d 66
24 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ d d d d d d d d 6 7 d d d d d d 5 d 5 5 ÖRNEK 5.. Şeklde velen fonksonun eksenne öe tlet momentnn [ ] ve json [tlet] ıçpının [R] esplnmsı d d d d d [ d ] [6 ] d [ ] [6 ] d 7.7 B dkdöten lnın ken öe tlet moment, dkdötenn lnı le dğe kenının uzunluğunun kes çpımın / e eştt. Tndn eçen eksene öe tlet moment d d d d d [ d ] d [ 9 ][ / ] 8 mm cm m R.9 mm cm m 8 67
25 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ 5.5. PRLEL EKSEN TEOREMİ eksenne öe tlet moment eksenne öe tlet moment + d + d + ' d + d Çpım tlet moment + d d + dd Pol tlet moment J o J ' o + d ρ [lnı] d d [ğılık mekez] d ρ d ğılık mekeznden ve eçen eksene öe ğılık mekez koodntlı, ' 'd d ' 'd d ve değelen sstemn tmmını dkkte lınc sıfı olu. Bun öe ve eksenlene öe ğılık mekez koodntlı, ' 'd d ""d d ' 'd d ""d d olu. Velen lnın ve eksenlene öe tlet moment, 68
26 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ d d [' + d] [' + d] [' + d] d [' + d] d ' d + d 'd + d d ' d + d 'd + d d ' d + + d d ' d + + d d ' + d ' + d olk ulunu. şğıdk şeklde özet olk velmşt. + d + d ÖRNEK 5.. Şeklde ğılık mekez le lkte velen dkdötenn tndn eçen eksene öe tlet momentnn plel eksen teoemnden lnk ulunmsı. / / / Yukıd ğılık mekeznden eçen eksene öe tlet moment olduğu ulunmuştu. Bun öe, + d + olk ulunu. 69
27 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.5. Üçenn tepesnden eçen eksene öe tlet momentnn esı. d z z Çözüm: Üçenn ğılık mekeznden eçen eksene öe tlet moment, z 6 olk ulunmuştu. Üçenn lnı / ve ğılık mekeznn z-z eksenne mesfes d/ olduğun öe üçenn z-z eksenne öe tlet moment, z + d + olk ulunu. 6 ÖRNEK 5.6. Şeklde velen leşk kestn ğılık mekezne öe tlet momentnn [ ] ve json [tlet] ıçpının [R] esplnmsı Çözüm: Şekl üç tne dkdöten elemn ılk şlemle tlo lnde şğıd pılmıştı. Pç
28 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ mm cm m mm cm m R mm cm m Json ıçpı [R] z R R R R z R R ÖRNEK 5.7. Şeklde velen konnn ğılık mekeznn koodntının esplnmsı. d klınlığındk kısmın cm dv π d z dv z d / d dv π d V dv V π d π 7
29 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.8. Kütles velen çuuğun tlet momentnn esplnmsı şğıdk önek üzende pılmıştı [Mçuuğun toplm kütles] dm L/ L/ M dm M dm d L M dm M dm d L L / L / M M d L L L L ML L / L / M M d L L L L ML Tndn eçen eksene öe ğılık mekeznden eçen eksene öe ML L ML + M + M Plel eksen teoem le tndn eçen eksene öe Plel eksen teoem L/ dm L/ L/ ÖRNEK 5.9. Şeklde velen lnın,. ğılık mekeznn koodntlını [ ]. Bu lnın eksen etfınd π kd dönmesle oluşn cm ulunuz. 75 ➂ 75 ➂ 75 [] [] [c] Çözüm: Şekl eomets lnen şekllee [] ılk tlo lnde şğıdk şeklde pılı. 7
30 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pç No ➀ ➁ ➂ Toplm ğılık mekeznn koodntlı [ ] 55 7 PPUS-OLDEN TEOREMİ V π π cm m ÖRNEK 5.. Şeklde velen denn eksenel tlet momentnn esplnmsı. d d Çözüm: De üzende lınn d dlmnn lını. π π d d d [ d] d Tm de çn ÖRNEK 5.. Şeklde velen slndn,. Yoğunluğunun omojen olmsı duumund slndn,. Kütlesn [m?]. ğılık mekez koodntını [?]. Yoğunluğunun omojen olmıp ρ ρ [+ / L] olmsı duumund slndn,. Kütlesnn[m?]. ğılık mekez koodntını [?] esplnmsı. dv z z d L L d 7
31 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Slndn cm V L d pçcığının cm dv d [..] Slndn, oğunluğu omojen se kütles L V L m ρ dv ρ d ρ ρl [..] Slndn, oğunluğu omojen se ρ dv ρ dv ρ d V L V L ρ d L [..] Slndn, oğunluğu omojen değl se kütles L ρ L m ρ dv [ ρ (+ /L )] d V [..] Slndn, oğunluğu omojen değl se ğılık mekez koodntı Slndn kütles ρ dv ρ dv L [ ρ [ ρ (+ / L)] d V L V (+ / L)] d 9L 5 ÖRNEK 5.. Velen şekln. ve eksenlene öe. ğılık mekeznden eçen eksene öe [ ] tlet momentlenn ve tlet ıçpının ulunmsı. m 8 m 6 m m m 8 m 8 m Çözüm d 8 7m d 57m [ / ] Pol p m tlet ıçpı R 9.89m 7
32 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Çözüm [8].55 + [6.5 ] cm [8].6 + [6.5 ] cm R. mm cm m ÖRNEK 5.. Velen şekln eksenne öe tlet momentlenn ve tlet ıçpının ulunmsı cm 5 cm π 5 5 π 5 97 cm tlet ıçpı R 97 [5 5 π 5 ].9 cm ÖRNEK 5.. : Velen şekln ğılık mekeznn koodntlının ulunmsı [, ] : ğılık mekeznden eçen eksenlee öe tlet momentlenn ulunmsı [, ] c: eksenne öe tlet momentle ve ıçpının ulunmsı. 5 cm 9. ➂ 5 cm 5 cm cm cm cm.67 ➃ cm cm 5 cm cm 5 cm 5 cm 75
33 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Çözüm : Kollık olmsı ve kışmmsı çn sstem pçl ılk tlo şeklnde esp pılmıştı. Pç cm cm ➂ 5 cm ➃ cm cm cm 5 cm 5 cm Çözüm : ğılık mekeznden eçen eksenlee öe tlet momentle şğıdk şeklde tlo üzende esplnmıştı. Pç d 55 / + 55(.6) / + 6(.9) / (.) 7. ((π/8)-(8/9π) - (π /)(.9) (5+6/)9 ➂ 5 cm ➃ cm cm cm (-.56)+(5/). 5 cm 5 cm 76
34 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pç d 55 / + 55(.) / + 6(.7) / (.7).5 (π /8 - (π /)(.7) -.55 Çözüm c: Velen şekln eksenne öe tlet momentle ve ıçpının ulunmsı cm ➂ 5 cm cm cm cm ➃ cm cm cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm X-X π d π cm 6 8 π d d d 6 8 Y-Y π π [ 6 8 ] cm 77
35 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.5. : Velen şekln ğılık mekeznn koodntlının ulunmsı [, ] : ğılık mekeznden eçen eksenlee öe tlet momentlenn ulunmsı [, ] c: eksenne öe tlet momentle ve ıçpının ulunmsı. cm cm cm cm ➂ ➁ ➃ cm cm cm 6 cm cm 6 cm Çözüm : Kollık olmsı ve kışmmsı çn sstem pçl ılk tlo şeklnde esp pılmıştı. Pç / cm cm cm cm ➂ 9.7 ➁ 9.7 ➃ cm cm 6 cm Çözüm : ğılık mekeznden eçen eksenlee öe tlet momentle şğıdk şeklde tlo üzende esplnmıştı. Pç d /6 +.5(+.9) 67.6 / + (9.7-) (π /6) + -(π /) (9.7-()/π) / + 6 (9.7-)
36 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pç d /6 +.5(9.7-) 79. / + (9.7-) 6.67 (π /6) + -(π /) (9.7-()/π) / + 6 (-9.7) Çözüm c: Velen şekln eksenne öe tlet momentle ve ıçpının ulunmsı. π d 6 6 π cm 6 6 π d 6 π cm 6 ÖRNEK 5.6. Tlı lnın : O noktsın öe kutupsl tlet momentn ulunuz : ğılık mekeznden eçen eksene öe [??] m. m.6 m π π. Yol: m ıçplı de çn Jo.578m.6 m ıçplı de çn Tlı lnın tlet moment π(.6) Jo Jc+ d + π(.6) (.).5m J m o. YOL: π π π () π(.6) X.686m Jo +.65m π π π () π(.6) d π(.6) (.).588m π() π(.6)..688 π() π(.6) ğılık mekezne öe : π() π(.6).686 m π π() (.6) + π() (.688) π (.6) ( ).56 m 79
37 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.7. Şeklde velen lnın,. ğılık mekeznn koodntlını. ğılık mekeznden eçen eksenlee öe [?? ] tlet momentlenn esplnmsı Çözüm: Şekl eomet özellğ lnen st eometk şekllee ılı. 6 7 Pç Σ Pç d [ - ] [.75] [/π [/π π π π π 5 - [ ] [/-.75] [/π+.75]5.6 π π Σ
38 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Pç d [ - ] [-/π+[-.6]] π π -. [-/π+[-.6]] π π [-.6+[/]] [-.6] π Σ ÖRNEK 5.7. Şeklde velen lnın, [denn ıçpı ]. Velen ve eksenlene öe tlet momentle [ ]. ğılık mekeznn koodntlı [ ]. Şekln m-m ve n-n eksen etfınd 8 o dönmes sonucu oluşn cmn. ğılık mekeznden eçen eksenlene öe tlet momentlenn [ ] esı. n 8 m 5 m Çözüm: Şekl eomet özellğ lnen st eometk şekllee ılı n 8 8 Velen ve eksenlene öe tlet momentle [ ] No d [ - ] π [+5/]5.67 π π Σ
39 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ğılık mekeznn koodntlı [ ] Pç Σ PPUS-OLDEN TEOREMİ Vm m π π mm cm m Vn n π π 9.96 [ +.69] cm m ğılık mekeznden eçen eksenlene öe tlet momentle [ ] No d [ - ] π π π π π π π Σ ln [ğılık mekezne öe] Pol O O π π π π π π π π π 8 8 9π π 6 9π π π 8 J J o o π 8 π π Jo 8
40 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ ÖRNEK 5.8. Değşk metlleden oluşn şekln kütle mekez koodntlının esplnmsı. z 8 Çp 5 6 z ğılık mekeznn koodntlı [ ] Pç B.ğılık [N/cm ] m m m z m z , , , , - -8, -, -688,57 - -,. -,5 -, -,5 -,5 5.8, 8,,6 - -, 6.8, 6 6,9, - -, Σ m 5.8. m.89 m m.89 m 8.9 z m.89 Önek: Velen şekln ğılık mekeznden eçen eksene öe tlet momentlenn [, ] ulunuz. Üçen Üçen 5 Yıçp Üçen Yıçp Üçen
41 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ π π () ( ) π + π π.95.6 π π π() π π π() () ( ) ( ) π π π 6 8 π() π π (.9 ) ().9 (.9 ) 6 9 π π 6 π π π (.9 ) (.78 ) π (.9 ) π 8 68(.6 ) () π 8 9π 86 π π + π π (.6 ).6 π 6 6 π 5.6. ÇRPM TLET MOMENTİ Çpım tlet moment,. lnı oln elemnın [] [Şekl 8]. Bu lnı çok küçük d pçlın ılsın [d] c. Bu küçük d lnının eksenlee oln uzklıklı oln ve çpılsın [ d] d. c dek çpım şlem lnın tüm d pçlı çn ntee edeek d ğıntısıl ulunn tlet momentne çpım tlet moment den. Bu şekln dışındk eksene öe çpım tlet moment [Şekl 8] şğıdk ğıntıll ulunu. [] [] O d d 8
42 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ d [' + ][' + ] d ' 'd + 'd + 'd + d ğılık mekezne öe tlet momentnde ' ' ' 'd + 'd + 'd + d '' d d NOT: Bun öe düzlemn ğılık mekezne [ ] öe çpım tlet moment [ ] sıfıdı. ÖRNEK 5.9. Şekln çpım tlet momentnn [?] esı. d[/]d d [/][/] Çözüm: Şekldek enşlğ d oln dlm lını. [ / ] [ / ] [ / ] 8 d dd d d d d 8 ÖRNEK cm cm.?. m? mn? esplnmsı. ve [ ] se, ulunu. m 8 m 6 m m m 8 m 8 m ç d [m] d [m] [m ] [m ] d.d.[m ] Σ [m ] o tn θ θ tn tn 88. θ sl tlet momentle, o 85
43 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ m,mn ± + + ± + m mn m. m Özellk : Velen sstemn [elemnın] eksenleden en ve e ks de smetk se n ve se çpım tlet moment sıfı [ ] olu. He k eksene öe smetk eksenne öe smetk eksenne öe smetk Özellk : Velen sstemn [elemnın] eksenlene öe çpım tlet moment netf ve poztf oll
44 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ 5.7. SL EKSEN VE TLET MOMENTİ B lnının - eksenlene öe tlet momentle [,, ] d önce esplnmıştı. Şmd u tlet momentlen [,, ] kullnk - eksenne öe tlet momentnn esplnmsı düşünülmekted. Bunun çn şğıdk sstem çzl. d snθ O cosθ θ - eksenlene öe - eksenlene öe d eksenne öe tlet moment? d eksenne öe tlet moment? d Çpım tlet moment? eksenne öe tlet moment eksenne öe tlet moment Çpım tlet moment Pol tlet moment J ρ d Pol tlet moment? - le - eksenle sındk çı θ kd olduğun öe d pçcığını. - le - eksenle sındk çı θ olsun. d pçcığının eksenne oln dk uzklığı cosθ + snθ. d pçcığının eksenne oln dk uzklığı cosθ - snθ. eksen çn d ğıntısınd değele ene zılıs [ cos θ sn θ] d cos θ d sn θ cos θ d + sn θ d cos θ sn θ cos θ + sn θ 5. eksen çn d ğıntısınd değele ene zılıs sn θ sn θ cos θ + cos θ 6. Çpım tlet moment çn '' ' ' d ğıntısınd ene zılıs '' cos θ sn θ + [cos θ sn θ] cos θ sn θ olu. 87
45 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ 7. - ve - eksenlene öe tlet momentle [ + ] [' + ' ] ştındn dolı + ' + cosθ snθ + ' cosθ+ snθ '' snθ+ cosθ sn θcos θ-] [snθsnθcosθ cosθcos θ- sn θ- + + ' + θ θ ' θ θ cos sn cos sn 8. '' snθ+ cosθ '' snθ+ cosθ mddedek değele tf tf toplnıs [θ çısındn ğımsız değele elde edlmş olu] ' + '' [sn θ+ cos θ] + + ' + + '' + [ ] ' ot + '' R + R u ğıntı ojn O ot ve çpı R oln denn denklemd. Bu de elde etmek çn velen sstemn ğılık mekezne öe ve tlet momentle le çpım tlet momentnn [ ] lnmes duumund şğıdk dıml zleneek elde edl.. Yt eksen - ve düşe eksen oln eksen sstem çzl [Şekl 7].. Koodntlı ve oln P[, ] noktsı şetlen [Şekl 7]. c. Koodntlı ve - oln R[, - ] noktsı şetlen [Şekl 7]. d. P ve R noktlı leştleek t eksen [ ] kestğ O noktsı ulunu. O noktsı mekez olmk üzee OPOR ıçplı de çzl [Şekl 7]. Bu dee uln kşnn dıl MOHR [lmn-otto Mo 85-98] des den e. Çzlen denn t eksen [ ] kestğ, noktsın mksmum sl tlet moment [ m ], B noktsın mnmum sl tlet moment [ mn ] den. f. Bu Mo desnn ıçpı, olk d ulunu. R + 88
46 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ +. O noktsının e ot. θ çısını ulmk çn '' snθ + cos θ ğıntısı sıfı eştlense, tn θ olk ulunu. Bu ğıntı nden 8 o fklı θ değen tnıml ve k θ değele nden 9 o fklı olduğunu öste. Bnc değe m ve knc değe mn olup noktsındn eçen ve sl eksen denen düşe eksene öe sl tlet momentlen tnıml. Bun öe, m ot +R mn ot R olu. Bud çpım tlet moment sıfıdı. ı. B lnın sl tlet momentnn mksmum ve mnmum değele esp olu le, + m, mn ± ğıntısıl ulunu. + [] P[, ] [] P[, ] R - - mn - O θ B R[, ] R[, ] m NOT: Mo des sl tlet momentlenn çzm olul ulunmsını sğl..98m.5m olduğun öe, ÖRNEK 5.. Şekldek kestn ğılık mekez [ ]. Çpım tlet momentn [ ]. sl tlet momentn esp öntemle c. Çzm öntemle [Mo desnde] pılmsı
47 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Çözüm : Çpım tlet moment, +d d Pç d [m] d [m] [m ] [m ] d.d. [m ] Σ [m ] Çözüm : m,mn + ± + tn θ ; ( 8.8 ) tnθ. θ 8 o.95 θ o m cm mn cm Çözüm c: 58.59cm -8.8 cm cm mn6.5cm 8.8cm R O m θ8 mn o cm B X65. cm -8.8 cm X65. cm m 96.cm 9
48 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ 58.59cm -8.8 cm cm 8.8cm mn6.5cm O m mn R θ8 o.95 B -8.8 cm X65. cm -8.8 cm X65. cm m 96.cm 9
49 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Önek: Şeklde velen sstemn,. ğılık mekeznn koodntlını ulunuz.. ğılık mekeznn eçen eksenlee öe tlet momentn ulunuz. c. - eksenne öe tlet momentn ulunuz Boşlukl - ğılık mekeznn koodntlı (- eksenlene öe) Pç TÜM.5.5/ Σ ğılık mekeznn koodntlı ğlk mekeznden eçen eksene öe tlet moment - ( 7. çn eçel) ( 8.5 çn eçel) Pç / d / d TÜM.5 / / / / / / / / / / 5-9 / / ve eksenlene öe tlet moment - - Pç / d / d TÜM.5 / / Boşlukl / / / / / / / / / /
50 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Önek: Velen şekllen ğılık mekeznden eçen eksenlee öe tlet momentlen ulunuz KÜÇÜK BÜYÜK , , , , ,. -66, ,. -66, , (ek) ğılık mekeznden eçen eksene öe ğılık mekeznden eçen eksene öe KÜÇÜK BÜYÜK / d / d 8.6 / ,9 8.6 / ,86.5 / ,5.5 / ,5.5 / ,99.5 / , / , / ,8 7, / ,9 86,6 9
51 BÖLÜM ĞLK MERKEZİ-TLET MOMENTİ Önek: Velen şekllen mukvemet ve tlet momentlenn esplnmsı nolu ek.nolu ek.nolu ek W 5 55 ( 55/) eksz det det.nolu ek.nolu ek.nolu ek ( ) ( ) 78775mm det det W 5 55 (55/) ek det det ( ) det ( ) det + 5 ( ) 685mm det Mukvemet moment (-) W 5 55 ( 55/) ek det det ( ) ( ) det + 5 ( ) + 5 ( ) 755mm det det det W. ek 5 55 ( 55/) det det ( ) ( ) det det det det + 5 ( ) + 5 ( ) + 5 ( ) 95mm det eksz det det.57 mm tlet moment (-) 5. ek eksz + det mm 5. ek. ek + det mm +. ek. ek det mm 9
xda da yda da zda da r = Yarıçap xel da=ρdθdρ 4R 3π
ĞLK MEKEZİ (CENTD) ğılık meke plel kuvvetleen ot çıkn geometk kvmı. Ylnıc plel kuvvetlen ğılık meke vı. ğılık meke fksel csmn ve pçcıkl sstemnn tüm ğılığının toplnığı nokt olk üşünülü. Dügün geometk csmlee
θ A **pozitif dönüş yönü
ENT B Kuvvetn B Noktaa Göe oment o o d θ θ d.snθ o..snθ d. **poztf dönüş önü noktasına etk eden hehang b kuvvetnn noktasında medana geteceğ moment o ; ı tanımlaan e vektöü le kuvvet vektöünün vektöel çapımıdı.
AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ
ĞLK MEKEZİ VE LN TLET MMENTİ 1 1. ĞLK MEKEZİ (CENTD) ğılık meke paalel kuvvetleen otaa çıkan geometk kavamı. Yalnıca paalel kuvvetle ağılık meke vaı. ğılık meke fksel csmn vea paçacıkla sstemnn tüm ağılığının
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GOMRİ NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. 9 9 de [] hem çı oty hem yükseklik olduğu için ikizken üçgen u duumd 9 cm ve olu. de [ ] ot tbn olduğu için cm. α 0 0 α 0 m ^ h α olsun. 0 - - 90 üçgenini çizip desek ve
LYS1 / 4.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
. İki bsmklı toplm sı vdı. ile lınd sl olmsı için ve e tm bölünmemeli e bölünen sıl 8 det e bölünen sıl det LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLİ 8. - ` j - 8 k - 8 8-8 8 nck ʼin ktı oln sıl ( tne) kee lındı. -
DRC. 1. x 2 + 2xy + y 2 = 25 x + y = ± , 4, 6,..., 48 numaralı bölmeler yakılıyor. ( 24 tane ) 5. f ( x + 3 ) = x.
eneme - 8 / YT / MT MTMTİK NMSİ. + + + ± + 8 9 9. s( + ) s() İ İ + 9 9 7... ( I ) + 9 + 9 7... ( II ) I ve II den [ 7, 7 ] fklı tm sı değei lbili. evp.,,,..., 8 numlı bölmele kılıo. ( tne ), 9,,..., numlı
KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir.
I İSİMLR tı isimlein İsimlendiilmesi ve Özeliklei şğıdki şekilde, tnlı sekizgen dik pizmsı veilmişti. Pizml tnlındki çokgene ve diklikeğiklik duumun göe ' ' ' ' isim lıl., ' ' ' ', dikdötgenleine ynl yüzey
2005/2006 ÖĞRETİM YILI GÜZ YARIYILI MUKAVEMET 1 DERSİ FİNAL SORU VE CEVAPLARI
5/6 ÖĞRETİ GÜZ R UKVEET 1 ERSİ FİN SORU VE EVPR SORU 1 8 P Şekildeki gerilme durumund; ) sl gerilmeleri ve düzlemlerini ulrk elemn üzerinde gösteriniz. ) ksimum km gerilmesi ve düzlemini ulrk elemn üzerinde
DERS 12. Belirli İntegral
DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili
VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
Y / Rİ N ÇÖZÜRİ eneme -. de ' çizilise + olcğındn cm, cm ve cm bulunu. ikizken üçgeninde m^\ m ^\ desek iki iç çının toplmı bi dış çı olcğındn m^\ olu. ikizken üçgeninde m^\ m^\ dı. m^\ m^\ dı. (Yöndeş
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
YS / GMTİ NM ÇÖZÜMİ eneme -.. 70 70 b desek olu. b Ç ` j cm olduğundn + b b - dı. de 6 @ ot tbnı çizilise benzelik ydımıyl biim bulunu. 6@ ' 6@ olduğundn m^\ h m ^\ h 70c di. ikiz ken üçgen çıktığındn
5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mt MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 ulunu.. P ve pd eklenecek sı olsun. - + =- + + & - + =-- - & + = ^--h + & =- ulunu. + 3. Veilen
a 2 =h 2 +r 2 DERS: MATEMATĐK 8 KONU:KONĐ FORMÜLLERĐ ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN ADI: SOYADI:
1) KONĐ: Bi çembein bütün noktlının çembein dışındki bi nokt ile bileştiilmesinden elde edilen cisme koni deni. Kısc Koni, tbnı die oln pimitti. DĐK KONĐ PĐRAMĐT 1-A)DĐK KONĐ: Bi dik üçgenin, dik kenlındn
1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln
1. y(m) Kütle merkezinin x koordinatı x = 3 br olduğundan, Kütle merkezinin x koordinatı, ... x KM = = 5m + 4m K = 10m olur.
0. BÖLÜM AĞIRLI MEREZİ ALIŞTIRMALAR ÇÖZÜMLER AĞIRLI MEREZİ. y(m) m m m 8m (m) 0 8m ütle mekezinin koodintı, m+ m+ M m + m + m.( ) + m. + 8m. + m.( ) + 8m. m+ m+ 8m+ m+ 8m + 9+ 8+ 6 8 m olu. ütle mekezinin
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
YS / EETRİ EEE ÇÖZÜERİ enee -.. H E desek E E EH (E uğund ot tn) olu. ` j $ $ c hlde, ^h $ $ 0 0 0 0 üüüş esfesi 0 c di. ulunu. evp de 0 0 0 ile c di. de 0 0 0 ile c di. hlde, lnın nık klcğı üüüş esfesi
21. İlk 5 dakikanın sonunda Burak ve Onur un bulundukları. Cevap B. Burak 100. = 45 olup farkları = 22 bulunur. Cevap C
Deneme - / Mt MEMİK DENEMESİ Çözümle.. c + m. d ı. 4 4 6 4 4 6 ( 6) ( 4) ( ) ( ) y 5 7. y c + m. y d ı. 4 8 6 ( ) ( ) ( ) olduğun göe, 6 6y 8y bulunu.. y - + + y - y - y y - y 6 6. ^009, h. ^0, 07h > c
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ
ÖÜM MANETİMA MDE SRU - DEİ SRUARIN ÇÖÜMERİ 0c 8A 5 0c A M M M M kıının noktsın oluştuuğu netk ln; 7 8 0 6 0 T ; 9 0 kıının noktsın oluştuuğu netk ln; 7 0 80 T ; 9 0 noktsınk topl netk ln; olsun, ve M noktlınk
BASİT MAKİNELER BÖLÜM 4
BASİ AİNEER BÖÜ 4 ODE SORU DE SORUARIN ÇÖZÜER fi ip fiekil-i fi fiekil-i ip N fiekil-ii fiekil-ii Çuuklın he iinin ğılığın diyelim Şekil-I de: Desteğe göe moment lısk, Şekil-I de: Şekil-II de: 4 ESEN AINARI
MAK 207: MEKANİK. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ AĞIRLIK MERKEZİ. X. da. W4 W5 W6 W7 W = W1 + W2 + W3 +...Wn = ΣW i. Öğr.Gör.Dr.
MK 07: MEKNİK Öğr.Gör.Dr. het Tşkesen ğırlık Merkez ĞRK MERKEZİ ğırlık Merkez W W W W ĞRK MERKEZİ W W5 W6 W7 W W + W + W +...Wn W W8 G M 0 B.R W W W W..W n n 0 ve den W R W W İk outlu r csde R W. d d.
2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
STATİK-MUKAVEMET FİNAL SINAVI. Kenar uzunlukları 2cm olan altı gen şeklindeki levhaya etkiyen kuvvetler sistemini O noktasına indirgeyiniz.
dı /Sodı : 13-08-2010 No : İmz: STTİK-MUKVEMET İN SINVI Öğrenci No 010030403 --------------bcde Kenr uzunluklrı 2cm oln ltı gen şeklindeki levh etkien kuvvetler sistemini noktsın indirgeiniz. =(+e) kn
LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
.. (,! Z ) min için! `, j LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp:. {,,,,,, 7,, 9} Z/'te $ 7,,. $,,. $ 9,,. k ve k ve k ve k f p f p f p f pf pf p evp:. ` j! k 7 ` j! ` j` j 7 ` j!! `-j! `- j!!!.. b. c b c b
2 Diğer sayfaya geçiniz
TYT / MTEMTİK Deneme - 5. + c m $ ^+ & & + & Cevp : 5. ^ ise 'dn son gelen tm ke oln syı ^ + di. Yni ^ + + + ulunu. Cevp : E 6. 5! + 6! + 7! 5! + 6$ 5! + 7$ 6$ 5! 8! 7! 8$ 7! 7!. ise ^ + ^ + > H ^ + +
Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır.
RİJİT (KTI) CİSMİN KİNEMTİĞİ Ktı cisimlein heketleinin tnımlnmsı e nlizi iki yönden önem tşı. iincisi sıkç kşılşıln bi duum olup mç, değişik tipte km, dişli, çubuk e bu gibi mkin elemnlını kullnk belili
ÜNITE. Uzay Geometri. Katı Cisimler Test Katı Cisimler Test Katı Cisimler Test Katı Cisimler Test
ÜNI Uzy Geometi tı isimle est -... tı isimle est -... tı isimle est -... tı isimle est -... tı isimle est -...7 tı isimle est -...9 Uzy oğu ve üzlem est -...0 Uzy oğu ve üzlem est -... Uzy oğu ve üzlem
TYT Temel Yeterlilik Testi
Otöğetim lnı MF - 01 TYT Temel Yetelilik Testi Geometi Des Föyü Geometik Kvml Doğud çıl Nokt: Klemin syfy bıktığı ize deni. Uygulylım 1. şğıdki boşluklı dolduunuz. ) Doğu...boyutludu. Noktsı noktsı oyutsuzdu.,,
ELEKTRIKSEL POTANSIYEL
FİZK 14-22 Des 7 ELEKTRIKSEL POTANSIYEL D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kynkl: -Fizik 2. Cilt (SERWAY) -Fiziğin Temellei 2.Kitp (HALLIDAY & RESNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt 2) (SEARS ve ZEMANSKY) www.ovgun.com
AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ
AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.
TEST 1 ÇÖZÜMLER MANYETİZMA
TEST ÇÖZÜER ANETİZA Akımlın noktsın oluştuuklı bleşke ı mnyetk ln, ı ı ı, noktsın oluştuuklı bleşke mnyetk ln, ı ı ı ı tel tel Son suz uzun b tel en kı mı ge çe ken tel en k uzk t mn ye tk l nın bü yük
( x y ) 2 = 3 2, x. y = 5 tir. x 2 + y 2 2xy = 9. x 2 + y 2 = 19 bulunur. Cevap D / 24 / 0 ( mod 8 ) Pikaçu.
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ. I. KK (, ) = : Z II. KK (, ) = : Z III. KK ( 8, ) = 7 7 : Z. - - = = ( ) ile. rlrınd sl ise ( ) =,. = tir. + = + = bulunur. evp evp. + / / ( mod 8 ) Pikçu. M n + n n + 8
Adı ve Soyadı : Nisan 2011 No :... Bölümü :... MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI
Adı ve Soydı :................ 16 Nisn 011 No :................ Bölümü :................ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI 1) Aşğıdkile hngisi/hngilei doğudu? I. Coulomb yssındki Coulomb sbiti k
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MTMTİK NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. ) - - + ) - 7 - + ) - - +. + m ; + m + ^ ^ > H + ) - - + ^ ) 7- - + Sılın plı eşit olduğun göe, pdsı en üük oln sı en küçüktü. un göe seçeneğindeki sının pdsı en üük olduğundn
KÜRESEL AYNALAR. 1. Çukur aynanın odağı F, merkezi M (2F) dir. Aşağıdaki ışınlar çukur aynada yansıdıktan sonra şekillerdeki gibi yol izler.
. BÖLÜ ÜRESEL AYNALAR ALŞRALAR ÇÖZÜLER ÜRESEL AYNALAR. Çukur ynnın odğı, merkez () dr. Aşğıdk ışınlr çukur ynd ynsıdıktn sonr şekllerdek b yol zler. / / 7 / / / / / 8 / / / / / 9 / / / / N 0 OPİ . Çukur
3. A. ABD de sin a = olduğuna göre. Cevap: B 4. A
0 - LYS/MT GOMTRİ ÇÖZÜMLRİ NM.. 70 k k 70 40 m ( X ) m ( ) m ( ) 70 kolsun.. k ln( ) sn m ( ) 80-40 40 + 40 70 0 evp: de sn olduğun göe k k ln( ). 8 cm k evp: 4.. 0 0 y y H çıotyın kollın ndlen dkmele
ÜNITE. Analitik Geometri. Düzlemde Vektörler Test Düzlemde Vektörler Test Düzlemde Vektörler Test
ÜNITE nlitik Geometi üzleme Vektöle Test -... üzleme Vektöle Test -... üzleme Vektöle Test -... üzleme Vektöle Test -... önüşüm Geometisi Test -... önüşüm Geometisi Test -... önüşüm Geometisi Test -...7
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
YS / TTİ N ÇÖZÜRİ eneme -. +. + + ti. - + + - + + > ise - + - + evp. ^ + ^- ^- +. z z + + + + evp z + -. c- m z z + - + + + z z z ^ ^ evp. çift sı olmlı Ç+ T T. Ştı sğln sdece vdı.. + + lde tne sl sı vdı.
DRC sayısının kendisi hariç en büyük üç farklı pozitif tam. Deneme - 3 / Mat. Cevap B. 2 ve 5 numaralı kutular açık olur. Cevap E.
nm - / Mt MTMTİK NMSİ Çözüml. + + -. + + + + + 8 + 8 bulunu. 8-0, 90 & 0, - 90-0+ - & - 0+ - 9+ 9+ 7 + 8 + 5 5 5 5 5 +. + - ^ h - - 9-0 -9 bulunu. - - k. R vp. 5 6 çık çık Kplı çık Kplı çık 5 6 Kplı Kplı
GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI
GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumund, ir Q noktsını üç outlu olrk temsil eden küik gerilme elemnı üzerinde 6 ileşeni gösterileilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z. Söz konusu
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
TOPLAM FARK FORMÜLLERİ İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER ANALİZ TESTLERİ
ÖÜ OP OÜİ inüs oplm - k omülü... osinüs oplm - k omülü...9 njnt ve otnjnt oplm - k omüllei... oplm - k omülleinin Geometik Şekillee ygulnmsı... G İ...9 ÖÜ İİ Ç OÜİ inüs İki t çı omülü... osinüs İki t çı
INSA 473 Çelik Tasarım Esasları. Kirişler
INSA 473 Çelik Tsrım Esslrı Kirişler Eğilmeye Çlışn Elemnlr Ylnızc eğilme momenti etkisinde oln elemnlr, eğilmeye çlışn elemnlr, kiriş dı verilmektedir. Çelik ypılrd kullnıln kirişler; 1) Dolu gövdeli
KKKKKKK. Adı Soyadı : Numarası : Bölümü : İmzası : VERİLER
Adı Soydı : Numsı : Bölümü : İmzsı : EİLE e - =e + =p=1,6x10-19 C Metik Ön Tkıl g=10 m/s 2 k=(1/4πε0)=9x10 9 N.m 2 /C 2 10 9 gig G εo=9,0x10-12 C 2 /N.m 2 10 6 meg M π=3 10 3 kilo k mp =1,7x10-27 kg 10-2
Ağırlık - kütle merkezi hesaplamaları. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler
ğırlık - kütle merkez hesplmlrı Konulr: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kvrmı Merkez hesın önelk öntemler ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Düzlem ln üzerndek sonsuz det elemndn r oln 'nc elemnın ğırlık
Aydınlanma. I x. 4. Her iki du rum da ki ay dın lan ma lar ya zı lıp oran la nır sa, 5. a) Kay nağın top lam ışık akı sı,
ADAA BÖÜ Alıştıml Sınıf Çlışmsı Ayınlnm ve noktlınki yınlnml yzılıp onlnıs, ( + ) 5 ( + ) 6 m 3 ı sy m m e ışı ğın % 4 ını ge çi i ğin en, ge çen ışı ğın şi e ti, 4 4 Ι Ι 9 36 c olu Şe kile nok t sın ki
SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.
GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde
VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER
VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet :
11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi. KOORDİNAT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER
KOORDİNT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER i önceki bölümde Kteen koodint sisteminde işlemleimii ptık. Kteen koodint sisteminden bşk biçok koodint sistemlei vdı. u bölümde kteen koodint sistemine ek olk silindiik
1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-4 30.03.2015 Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ2 FİZİK-II Ank Ünivesitesi Fen Fkültesi Kimy Bölümü 24-25 Bh Yıyılı Bölüm-4 Ank Aysuhn OZANSOY Bölüm 4. Elektiksel Potnsiyel. Elektiksel Potnsiyel Eneji 2. Elektiksel Potnsiyel ve Potnsiyel Fk 3. Noktsl
1983 ÖYS A) 410 B) 400 C) 380 D) 370 E) işleminin sonucu kaçtır. 7. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a= 2 A) 9 B) 3 C) 2 E) 8 D) 4
98 ÖYS. işleminin sonucu kçtır. 6. Bir stıcı ir mlı üzde 0 krl strken, stış fitı üzerinden üzde 0 indirim prk 8 lir stıor. Bu mlın mlieti kç lirdır? A) 0 B) 00 C) 80 D) 70 E) 60 7.,, c irer pozitif tm
LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
![LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.](/thumbs/63/48686411.jpg "LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.")
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
İntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
TYT / MATEMATİK Deneme - 3
TYT / MTEMTİK Deneme -. (0,) 0 (0,) = 0 00 00 0 80 00 = = = bulunu. 00 00 00 6. 7! 8! = 7 6! 8! =! ( 8) = 0! = 0 0 = = b c budn b c = = 8 bulunu.. Syı = olsun = & = 8 & = 0 u syının ü ise 0 = bulunu. 7.
TEST SORULARI STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI. Adı /Soyadı : No : İmza: Örnek Öğrenci No xaxxxxbcd
dı /Sodı : No : İmz: STTİK-MUKVEMET 1. YI İÇİ SINVI 01-11-013 Örnek Öğrenci No 010030403 bcd 3 α3 α α4 4 α1 1 Şekildeki kuvvetler sistemini ) O noktsın indirgeiniz. ) ileşkenin etki çizgisinin ve ekseninin
1.Hafta. Statik ve temel prensipler. Kuvvet. Moment. Statik-Mukavemet MEKANİK
Ders Notlrı 1.hft 1.Hft Sttik ve temel prensipler Kuvvet Moment MEKNİK Kuvvetlerin etkisi ltınd kln cisimlerin denge ve hreket şrtlrını nltn ve inceleyen bilim dlıdır. Meknikte incelenen cisimler Rijit
2010 Ağustos. MİLLER ve KİRİŞLER. 06a. Özet. M. Güven KUTAY
00 ğustos www.guven-kut.ch İR ve KİRİŞR 0 Özet. Güven KUTY İ Ç İ N D K İ R Ortdn tek kuvvet etkisindeki klsik kiriş... simetrik tek kuvvet etkisindeki klsik kiriş... 5 Simetrik iki kuvvet etkisindeki klsik
DERS 12. Belirli İntegral
DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i f fonksionu veilmiş olsun ve e [, ] için f olduğunu kul edelim. f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz
η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA)
ölüm Đzosttik-Hipersttik-Elstik Şekil Değiştirme TESİR ÇİZGİSİ ÖRNEKLERİ Ypı sistemlerinin mruz kldığı temel yükler sit ve hreketli yüklerdir. Sit yükler için çözümler önceki konulrd ypılmıştır. Hreketli
İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06
PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...
MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ
9. BÖÜM ESİŞE UVVEERİ DEESİ MDE SRU - DEİ SRUAR ÇÖZÜMERİ.....cos 0 0 0.sn.cos..sn mvkg 0v Csm dengede olduğun göre, ve kuvvetler bleşenlerne yrılırs,.sn.sn.cos +.cos eştlkler sğlnır. Bu durumd verlen eştlklerden
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,
KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER KATI CİSİMLER
KTI ÝSÝMLR KTI İSİMLR YILLR 1966 1967 1968 1969 1970 1971 197 197 197 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 198 198 198 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 199 1995 1996 1997 1998 1999 001 001 00 00 00 005
Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425
Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MEMİK ENEME ÇÖZÜMLERİ enee -. - + - + - - + - + - 7 - evp E. - + + 9 ifdelei tf tf çplı. ^- h^ + + 9h - 7. + + + ifdesinde zlı. + 7 ise + 7 evp + + + + + + + + + + +. z + z + + + z + z + dı. z z
LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ
LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n
Bir kuvvet tarafından yapılan iş ve enerji arasındaki ilişki
Elektk Ptansyel kuvvet taaından yapılan ş ve enej aasındak lşk csm üzene kuvvet uygulayıp csm vmelend dlayısıyla hızlandıısanız, csmn knetk enejsn attımış lusunuz KE dek bu değşmle enej tanse sebebyled:
A, A, A ) vektör bileşenleri
Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği
Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün
ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge
KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A)
KOCELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendslk akültes Makna Mühendslğ Bölümü Mukavemet I Vze Sınavı () dı Soyadı : 18 Kasım 013 Sınıfı : No : SORU 1: Şeklde verlen levhalar aralarında açısı 10 o la 0 o arasında olacak
yasaktır. Öğrenci İmza:
YTÜ Fizik ölümü 08-09 hr Dönemi Sınv Trihi: 9.0.09 Sınv Süresi: 90 dk. FIZ00 FİZİK-.rsınv YÖK ün 47 sılı Öğrenci Disiplin Yönetmeliğinin 9. Soru Kitpçığı d-sod Öğrenci No Grup No ölümü Sınv Slonu Öğretim
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GOMTRİ NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. m ( ) + m( ) > 0 m ( ) + m ( ) > 90 + m ( ) + m ( ) + m( ) + m ( ) > 0 m ( ) > 40 4444444444 0 O hlde, çısının çısının ölçüsünün lbileceği en küçük tmsı değeri 4 evp.
Fizik 101: Ders 19 Gündem
Fzk 101: Ders 19 Gündem Açısal Momentum: Tanım & Türetmeler Anlamı nedr? Sabt br eksen etrafında dönme L = I Örnek: 2 dsk Dönen skemlede br öğrenc Serbest hareket eden br csmn açısal momentumu Değneğe
FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle
FRENLER 25.02.2012 FRENLERİN SINIFLANDIRILMASI
RENLER RENLER renler çlışmlrı itiriyle kvrmlr enzerler. Kvrmlr ir hreketin vey momentin diğer trf iletilmesini sğlrlr ve kıs ir süre içinde iki trftki hızlr iririne eşit olur. renler ise ir trftki hreketi
DRC sayısının kendisi hariç en büyük üç farklı pozitif tam. Deneme - 3 / Mat. Cevap B. 2 ve 5 numaralı kutular açık olur. Cevap E.
nm - / Mt MTMTİK NMSİ Çözüml. + + -. + + + + + 8 + 8 bulunu. 8 y - 0, y 90 & 0, y y - y 90 y - 0+ y- & y - y 0y+ -y 9+ y 9y+ 7 + y 8y + 5 5y 5 y 5 5 +. + - ^ h - - 9-0 -9 bulunu. - - k. R vp. 5 6 çık çık
Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının İhtiyaç Yayıncılık ın yazılı izni olmadan kopya
KMU PERSONEL SEÇME SINVI LİSNS ÖĞRETMENLİK LN BİLGİSİ ORTÖĞRETİM MTEMTİK TESTİ ÇÖZÜM KİTPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMRSI : DI : SOYDI : TG Mıs DİKKT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ ŞĞID VERİLEN UYRILRI MUTLK OKUYUNUZ.. Tstli
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U
MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ
. BÖÜ T BSNC ODE SORU - DEİ SORURN ÇÖZÜERİ... Şe kil - e : Şe kil - e :. olu F i. F F e ifl mez. CEV D Tuğllın e biinin ğılığın iyelim. Sistemlein e uyulıklı bsınç kuvvetlei ğılıklın eşitti. F F F Bun
Kütle Merkezi ve Merkezler. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler
Kütle Merkez ve Merkezler Konulr: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kvrmı Merkez hesın önelk öntemler ğırlıklı Ortlm Merkez kvrmının rçok ugulm lnı vrdır. Öncelkle ğırlıklı ortlm kvrmın klım: Örneğn, sınıftk
1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.
.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine
Temel Elektrik Kavramlar Aşağıdaki notlar, D.J.Griffit s in Elektromanyetik Teori kitabından alınmıştır.
1 Temel Elektik Kvml Aşğıdki notl, D.J.Giffit s in Elektomnyetik Teoi kitındn lınmıştı. 1- Elektik Aln (E) Yüklü i cisim, fzl elekton vey potonu oln i cisimdi. Cisimdeki u fzl net yükün üyüklüğü, fzl oln
4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;
![4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;](/thumbs/24/3918052.jpg "4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;")
4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;
TEST 17-1 KONU KÜRESEL AYNALAR. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ 6. K Çukur aynada cisim merkezin dışında ise görüntü
OU 17 ÜRS R - - - - Çözümler S 17-1 ÇÖÜR 5. α 1. - - - - ve ynlış çizilmiş olup doğru çizimleri yukrıd verilmiştir.. sü ise doğru çizilmiştir. Cevp: Odk nin sğınddır. den çizilen doğru normldir. Bundn
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
ÇÖZÜM SORU. Küpün yan yüzünü açal m. En k sa yol, do rusal uzakl k oldu undan, Bir dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar a, b, c dir.
GMTR eginin bu sy s nd Uzy Geometi, isimlein ln ve Hcimlei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ve ptik yoll, soul m z n çözümü içinde t ltmy mçld
1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
II.1 KUVVETLER -VEKTÖRLER-SISTEM
II. KUVVETLE -VEKTÖLE-SISTEMİ: Brden fazla kuvvet ya da vektörden meydana gelmş br sstemdr. Bz bu sstemden bahsederken vektörler sstem yerne kuvvetler sstem dye bahsedeceğz. Br kuvvetler sstemn belrleyen
Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
ITAP_Exam_20_Sept_2011 Solution
ITAP_Exam Sept_ Soluton. Şekldek makara sstem aff kütlel makaralardan, mükemmel pten ve kütleler şeklde şaretlenen csmlerden oluşmaktadır. Sürtünmey mal ederek O makaranın eksennn vmesn bulunuz. İpn makaralara
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Rjt csmn knetğ, csme etk eden kuvvetler le csmn şekl, kütles ve bu kuvvetlern yarattığı hareket arasındak bağıntıları nceler. Parçacığın knetğ konusunda csm yalnızca