Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,"

Transkript

1 Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700 Zonguldak Özet: Bu çal şmada, belirli rasyonel çekirdekli integral operatörlerin özde¼gerlerinin yaklaş k hesaplar n Ritz yaklaş m yöntemini kullanarak hesaplayaca¼g z. 00 AMS Konu S n and r lmas : 45C05 Anahtar Kelimeler: Özde¼ger, integral operatörü 0. Giriş Tan m 0.. V bir vektör uzay ve T L(V ) olsun. Bir F skaleri için T (x) = x denklemi s f rdan farl bir x V çözümüne sahipse ya T nin bir özde¼geri denir ve s f rdan farkl böyle bir x çözümüne özvektör ad verilir. Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, a) T nin pozitif özde¼gerleri + (T ) + (T ) + 3 (T ) ::: azalan s ralamas içinde katl l klar tekrar etmek üzere ( + n (T )) ile gösterilir ve T nin negatif özde¼gerleri artan s ralama içinde katl l klar tekrar etmek üzere n (T ) ile gösterilir. b) T nin pozitif özde¼gerlerinin say s n ve negatif özde¼gerlerinin say s n s ras yla N + (T ) ve N (T ) ile gösterece¼giz. a;b = f(s; t) : a s b; a t bg = [a; b] [a; b] R

2 olmak üzere k : a;b! C ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Şimdi, herhangi bir f L [a; b] için g(s) = Z b a k(s; t)f(t)dt (0..) ile bir g : [a; b]! C fonksiyonu tan mlan r. g fonksiyonu bilinen ve f da bilinmeyen olarak kabul edilirse o zaman (0..) formundaki denkleme birinci tipten Fredholm integral denklemi ad verilir. Burada k ya denklemin çekirde¼gi denir. Kf(s) = Z b a k(s; t)f(t)dt (0..) ile tan ml K : L [a; b]! L [a; b] operatörüne bir (k çekirdekli ya da k çekirde¼ginin üretti¼gi) Fredholm integral operatörü veya k saca bir integral operatör ad verilir. I = [a; b] ; < a < b < + denirse k : I I! C ölçülebilir fonksiyonu verildi¼ginde k çekirdekli K I : L (I)! L (I) integral operatörünü Z K I f(s) = I k(s; t)f(t)dt ile gösterelim. Hangi I aral ¼g nda çal şt ¼g m z aç ksa K I yerine basitçe K yazar z. Hepsi ayn anda s f r olmayan a; b; c; d R say lar için p(s; t) = a + b(s + t) + cst ve q(s; t) = d+e(s+t)+f st olsun ve k = p=q oldu¼gunu kabul edelim. Kapal (s n rl ) bir I aral ¼g e¼ger her s; t I için q(s; t) 6= 0 özelli¼gini sa¼glarsa k için kabul edilebilirdir denir. Bu durumda L (I) üzerinde f L (I); s I için K I f(s) = R p(s;t) f(t)dt ile tan ml q(s;t) I sürekli bir k çekirdekli kompakt ve simetrik bir K I integral operatörünü elde ederiz. Bu durumda k çekirdekli K integral operatörü, L (I) üzerinde kompakt ve simetriktir. k için kabul edilebilir tüm aral klar n kümesini göstermek için Ad(k), T nin kesin pozitif özde¼gerlerinin katl l klar n n toplam için N + (k; I), T nin negatif özde¼gerlerinin katl l klar n n toplam için N (k; I) notasyonlar kullan lacakt r. Daha önce verilen notasyonlarla N + (k; I) = N + (K) ve N (k; I) = N (K) olur. Ayr ca + (k; I) için + (K), (k; I) içinde (K) gösterimleri kullan lmaktad r. K I n n pozitif ve negatif özde¼gerlerin yaklaş k hesaplamalar n yapaca¼g z. K I n n pozitif ve negatif özde¼geri say lar ile ilgili temel bilgileri verebiliriz. Bu bilgiler (Abbas, 997)

3 den al nm şt r. 0.. k(s; t) = a + b(s + t) + cst DURUMU E¼ger b = ac N + (K) = ve N (K) = 0 E¼ger b > ac ise N + (K) = ve N (K) = 0 E¼ger b < ac N + (K) = ve N (K) = 0.. k(s; t) = a 0 kabul edebiliriz.. b = 0 olsun. a + c = 0 ise a + b(s + t) + cst st DURUMU N + (K) = ve N (K) = 0 E¼ger a + c > 0 ise N + (K) = ve N (K) = 0 E¼ger a + c < 0 ve a = 0 ise N + (K) = 0 ve N (K) = E¼ger a + c < 0 ve a > 0 ise N + (K) = ve N (K) = 3

4 . b 6= 0 olsun. a > 0 ve ac ise N + (K) = ve N (K) = 0 E¼ger ac < ise aşa¼g daki üç durum söz konusudur. (i) a + c ve a > ise N + (K) = ve N (K) = 0 (ii) a + c ve c > ise N + (K) = ve N (K) = (iii) 0 a + c < ise N + (K) = ve N (K) = 0. Ritz Yöntemi Bu bölümde özde¼gerlerin bulunmas için kullan lacak yöntem tan t lacakt r. Burada (Reddy 998, Yaşar 988) kaynaklar ndan yararlan lm şt r. Ritz Yönteminde kullan lacak Legendre ve Chebyshev polinomlar n tan tarak başlayaca¼g z. Aşa¼g da verilen iki tan m Yaşar dan (988) al nm şt r. Tan m 0.. d n P n (s) = n n! ds n s n ile tan mlanan polinoma Legendre polinomu denir. Bir kaç Legendre polinomu olarak P 0 (s) = ; P (s) = s; P (s) = 3s ; P 3 (s) = 5s3 3s ; P 4 (s) = 8 35s4 30s + 3 ; P 5 (s) = 8 63s5 70s 3 + 5s 4

5 yaz labilir. Bütün durumlarda P n () = ; P n ( ) = ( ) n Tan m 0.. T n (s) = cos(n: cos s); n = 0; ; ; ::: ile tan mlanan polinoma Chebyshev polinomu denir. T n (s) için indirgeme formülü T n+ (s) = st n (s) T n (s) ile verilir. Chebyshev polinomlar n n birkaç T 0 (s) = ; T (s) = s; T (s) = s ; T 3 (s) = 4s 3 3s Çekirde¼gi simetrik olan, yani K(s; t) = K(t; s) ba¼g nt s n gerçekleyen aşa¼g daki integral denklem ele al nmaktad r: Z b '(s) = K(s; t)'(t)dt; a s b: a f n (s)g ; ilk n eleman [a; b] aral ¼g üzerinde lineer ba¼g ms z ve L (a; b) de tam olan bir fonksiyonlar dizisi olsun. ' n (s) = nx a j j (s) j= (0..) şeklindedir ve burada a j katsay lar k' n k = olacak şekilde belirlenecektir. Bu koşul alt nda hk' n ; ' n i kuadratik formunun de¼gerleri aranacakt r. Sonunda a j ler cinsinden yaz lm ş homojen lineer bir denklem sistemine ulaş lmaktad r (burada bir Lagrange çarpan d r). nx K i ; j j= i; j aj = 0; i = ; :::; n (0..) 5

6 (0..) nin s f rdan farkl bir çözümünün olmas için (0..) nin determinant s f rdan farkl olmal d r. hk ; i h ; i hk ; i h ; i : : : hk ; n i h ; n i hk ; i h ; i hk ; i h ; i hk ; n i h ; n i = 0... hk n ; i h n ; i hk n ; i h n ; i hk n ; n i h n ; n i (0..3) (0..3) denkleminin kökleri k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerini yaklaş k olarak verir. (0..) denkleminin en büyük kökü, özde¼gerlerinin en büyü¼günün de¼gerini oldu¼gundan daha küçük olarak verir. (0..3) den yü bulup ve (0..) de yerine koyarak (0..) sisteminin s f rdan farkl a j (j = ; ; :::; n) çözümleri araşt r lmaktad r. Böylece, bulunan bu a j de¼gerlerinin (0..) de yerine yaz lmas ile elde edilen özde¼gerlere karş l k gelen özfonksiyonlar yaklaş k olarak bulunmaktad r (Kythe and Puri 00). Ritz yönteminde, P n ; (0..) de oldu¼gu gibi n:inci Legendre polinomunu göstermek üzere n(s) = P n (s); n = ; :::; n olsun. Bu polinomlar ( ; ) aral ¼g nda ortogonal olduklar ndan, i 6= j için hp i ; P j i = 0 ve di¼ger durumda hp i ; P i i = = (i + ) eşitli¼gi elde edilir. (s) = P 0 (s) = ; (s) = P (s) = s; 3(s) = P (s) = 3s ; 4 (s) = P 3 (s) = 5s3 3s oldu¼gundan aşa¼g daki eşitlikler elde edilir: h ; i = h ; 3 i = h ; i = h ; 4 i = h 3 ; 4 i = Z Z Z Z Z ds = ; h ; i = 3s Z ds = 0; h ; 4 i = s ds = 3 ; h ; 3 i = s 5s3 3s ds = 0; h 3 ; 3 i = 4 3s 5s 3 3s ds = 0; h 4 ; 4 i = Z Z Z Z sds = 0; 5s3 3s ds = 0; s 3s ds = 0; 4 3s ds = 5 ; 4 5s3 3s ds = 7 : 6

7 T n ; n:inci Chebshyev polinomunu göstermek üzere n(s) = T n (s); n = ; :::; n olsun. Bu polinomlar da ( ; ) aral ¼g nda ortogonal olduklar ndan ht i ; T j i = 0; i 6= j; ht i ; T j i = ; i = j = 0; ht i ; T j i = ; i = j = ; ; :::; n: elde edilir. (s) = T 0 (s) = ; (s) = T (s) = s; 3 (s) = T (s) = s ; 4 (s) = T 3 (s) = 4s 3 3s olmak üzere basit hesaplamalarla aşa¼g daki eşitliklerin sa¼gland ¼g görülür: h ; i = h ; i = h ; 3 i = h ; 4 i = h 3 ; 4 i = h 4 ; 4 i = Z Z Z Z Z Z s ds = ; h ; i = s s ds = ; h 3; 3 i = s (s )ds = 0; h ; 3 i = s 4s 3 3s ds = 0; h ; 4 i = s (s ) 4s 3 3s ds = 0; s 4s 3 3s ds = : Z Z Z Z s sds = 0; s (s ) ds = ; s s(s )ds = 0; s s 4s 3 3s ds = 0; 0.3 Özde¼ger Hesaplar Bu bölümde Ritz yöntemi kullan larak baz özel çekirdekli integral operatörlerinin özde¼gerleri hesaplanacakt r. Örneklerde, Legendre ve Chebyshev polinomlar al narak Ritz yöntemi kullan lacakt r. Örneklerde çözüm içinde (a) da Legendre polinomlar (b) de Chebyshev polinomlar al nm şt r. 7

8 0.4 N + (K) = ve N (K) = 0 durumu ile ilgili örnek Örnek 0.4. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 9 + 3(s + t) + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde n (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmekte n(s) = P n (s); n = ; :::; n (0..) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 5: (s + t) + st st 3 dsdt = 6: (s + t) + st 8

9 Bu yüzden (0..3) sistemi 0: : : : = : :33 9 3: = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:49 70; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 4: :49 70 = 9: : olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = 4: Şimdi ayn örnek için (0..) formülünde n = 3 al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 5: (s + t) + st st 3 dsdt = 6: (s + t) + st (3t ) 3 dsdt = 7: (s + t) + st s (3t ) 4 dsdt = 8: (s + t) + st 4 (3s ) (3t ) dsdt = : (s + t) + st 9

10 elde edilir. Ayn şekilde (0..3) sistemi 0: : : : : : : : : = 0: : : : = 0 haline gelir ve = 0:5; = 3: ; 3 = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = 3 = 0:5 = 4:0 = : : = 8: : Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 4:0 olarak bulunmaktad r. (b) n (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmekte Dolay s yla n(s) = T n (s); n = ; :::; n al nacakt r. Yine (0..) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0: s (9 + 3(s + t) + st) t p dsdt = 0: s (9 + 3(s + t) + st) st p dsdt = 0:0539 s (9 + 3(s + t) + st) 0

11 iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (0..3) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0: : : :0539 = 4: : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:5 58; = 3: bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 3: :5 58 = 30: 84 3: olarak elde edilir. En küçük pozitif özde¼ger = 3: olarak bulunur. Yine (0..) formülünde n = 3 al nacakt r. Chebyshev polinomlar kullan larak s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0: s (9 + 3(s + t) + st) t p dsdt = 0: s (9 + 3(s + t) + st) st p dsdt = 0:0539 s (9 + 3(s + t) + st) t p dsdt = 0:40469 s (9 + 3(s + t) + st) s(t ) p dsdt = 0:04579 s (9 + 3(s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 0: s (9 + 3(s + t) + st)

12 elde edilir. (0..3) sistemi 0: : : : :0539 0: : : : = 7: : : : = 0 haline gelir ve bu denklemi çözüldü¼günde = 0:93 08; = 4: ; 3 = 4: bulunur. Buradan = = 3 = 0:93 08 = 3:4, 4: = 3:83, 3 4: = :88 elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 3:4 olarak bulunur. 0.5 N + (K) = ve N (K) = 0 durumu ile ilgili örnekler Örnek 0.5. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 3 + s + t + st st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün özde¼gerleri yaklaş k olarak bulunacakt r.

13 Çözüm. a + c ve a > oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 (a) Koordinat fonksiyonlar için Legendre polinomlar seçilerek (0..) denkleminde n = al nm şt r. Böylece yine bu yöntemde kullan lan aşa¼g daki eşitlikler hk ; i = Z Z 3 + s + t + st st dsdt = 5:78 hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z elde edilir. (0..3) sistemi 3 + s + t + st t st 3 + s + t + st st st 5:78 :9348 :9348 3:78 3 = : : : 353 = 0 dsdt = :9348 dsdt = 3:78 şeklindedir ve buradan = 3: 387 ; = 9: 57 0 O zaman ilk iki yaklaş k özde¼ger = = = 0:95 4 3: 387 = 0:09 9: 57 0 olarak bulunur ve en küçük özde¼ger ise yaklaş k olarak = 0:09 Şimdi yine ayn çekirdek için (0..) denkleminde n = 3 al n r. Benzer hesapla- 3

14 malar yap larak hk ; i = Z Z 3 + s + t + st st dsdt = 5:78 hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 3 + s + t + st t st 3 + s + t + st st st dsdt = :9348 dsdt = 3: s + t + st (3t ) st 3 + s + t + st s (3t ) st dsdt = :864 dsdt = 0: s + t + st (3s ) (3t ) st eşitlikleri elde edilir. Böylece (0..3) sistemi 5:78 :9348 :864 :9348 3:78 3 0:93480 :864 0:93480 :795 5 = 0: : 6 6 3: : 9 = 0 dsdt = :795 halini al r ve bu denklem çözüldü¼günde = 0: 83; = 3: 5 0; 3 = : olarak bulunur. Buradan yaklaş k olarak üç özde¼gerin = = 3 = 0: 83 = 0:09803 = 0: : 5 0 : = 0:556 oldu¼gu görülür. Dikkat edilirse yine en küçük olan özde¼ger yaklaş k olarak = 0:

15 (b) Bu çekirdek için Ritz yönteminde Chebyshev polinomlar kullan larak yine s ras yla (0..) denkleminde n = ve n = 3 al nm şt r. Öncelikle n = al nd ¼g nda hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z 3 + s + t + st p dsdt = 3:40 s ( st) 3 + s + t + st t p dsdt = 8:5 s ( st) 3 + s + t + st st p dsdt = :978 s ( st) eşitlikleri elde edilir. (0..3) sistemi çözüldü¼günde 3:40 8:5 8:5 :978 = 4: : : 36 = 0 ve buradan = 4: 793 6; : = : 84 elde edilir. Böylece yaklaş k özde¼gerler = = = 0:08 6 4: : 84 = 0: olarak bulunmuş olur. En küçük olan özde¼ger = 0: E¼ger (0..) denkleminde n = 3 al n rsa hk ; i = Z Z 3 + s + t + st p dsdt = 3:40 s ( st) 5

16 Z Z hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z 3 + s + t + st t p dsdt = 8:5 s ( st) 3 + s + t + st st p dsdt = :978 s ( st) 3 + s + t + st (t ) p dsdt = :047 s ( st) 3 + s + t + st s(t ) p dsdt = :98405 s ( st) 3 + s + t + st (s )(t ) p dsdt = 6:757 s ( st) eşitlikleri elde edilir. Bu sonuçlar (0..3) sisteminde yerine yaz lmaktad r ve elde edilen denklem çözülürse 36:787 8:5 :047 8:5 :978 :98405 :047 : :757 = 7: : 57 4:0 + 00: 9 = 0 = 4: 0; = 6: 9 ; 3 = 3: 7 bulunur. Böylece yine yaklaş k özde¼gerler = = 3 = 4: 0 = 0: : 9 = 0:634 : 973 = 0:33634 olarak elde edilir ve en küçük olan özde¼ger yaklaş k olarak = 0:07043 Örnek 0.5. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 3 5(s + t) + st 6

17 simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün en küçük pozitif özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b > ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde n (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmekte n(s) = P n (s); n = ; :::; n (0..) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Bu yüzden (0..3) sistemi 3 5(s + t) + st dsdt = 0: t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = 0: (s + t) + st 0: : : : = : : : = 0 7

18 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:83 09; = 5: bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 5: :83 09 = 97: 5 5: olarak elde edilir. Aranan en küçük pozitif özde¼ger; = 5: 46 8 Şimdi ayn örnek için (0..) formülünde n = 3 al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = 0: (s + t) + st elde edilir. Ayn şekilde (0..3) sistemi (3t ) dsdt = 0: (s + t) + st s(3t ) dsdt = 0: (s + t) + st 4 (3s ) (3t ) dsdt = 0: (s + t) + st 0: : : : : : : : : = 0: :0 6 6: : = 0 8

19 haline gelir ve = 0:83 68; = 6: ; 3 = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = 3 = = 5: :83 68 = 64: 7 6: : = 944: 9 4 Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 5: olarak bulunmaktad r. (b) n (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmekte Dolay s yla n(s) = T n (s); n = ; :::; n al nacakt r. Yine (0..) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0: s (3 5(s + t) + st) t p dsdt = 0:08047 s (3 5(s + t) + st) st p dsdt = 0:0639 s (3 5(s + t) + st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (0..3) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0: : : :0639 = 4: : : = 0 9

20 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:85 90; = 8: bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 5: 379 0:85 90 = 6: 69 8: olarak elde edilir. Istenen en küçük pozitif özde¼ger oldu¼gundan = 5: 379 Yine (0..) formülünde n = 3 al nacakt r. Chebyshev polinomlar kullan larak s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0: s (3 5(s + t) + st) t p dsdt = 0:08047 s (3 5(s + t) + st) st p dsdt = 0:0639 s (3 5(s + t) + st) (t ) p dsdt = 0:66484 s (3 5(s + t) + st) s(t ) p dsdt = 0:03456 s (3 5(s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 4:7969 s (3 5(s + t) + st) 0

21 elde edilir. (0..3) sistemi 0: : : : :0639 0: : : :7969 = 7: : 848 4: : = 0 haline gelir ve bu denklemi çözüldü¼günde = 0:83 77; = 3: 03 ; 3 = 8: bulunur. Buradan = = 3 = = 5: :83 77 = 0: : 03 = 6: 75 8: elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 5: 44 6 Örnek Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 3 + 4st st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün pozitif olan en küçük özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = 0 ve a + c > 0 oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde n (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legen-

22 dre polinomlar sistemi seçilmekte n(s) = P n (s); n = ; :::; n (0..) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Bu yüzden (0..3) sistemi 3 + 4st dsdt = 8:5436 st (3 + 4st)t dsdt = 0 st (3 + 4st)st dsdt = 6:5436 st 8: : = : : : 34 = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 9: 60 4; = 9: 87 6 bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 0: : 60 4 = 0:0 75 9: 87 6

23 olarak elde edilir. Aranan en küçük pozitif özde¼ger = 0:0 75 Şimdi ayn örnek için (0..) formülünde n = 3 al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 3 + 4st dsdt = 8:5436 st (3 + 4st)t dsdt = 0 st (3 + 4st)st dsdt = 6:5436 st (3t ) (3 + 4st) dsdt = 3:789 st s (3t ) (3 + 4st) st dsdt = 0 4 (3s ) (3t ) (3 + 4st) st elde edilir. Ayn şekilde (0..3) sistemi 8: : : :789 0 : = 0: : 35 99: : 30 = 0 dsdt = :35904 haline gelir ve = 3: 088 0; = 9: 87 3; 3 = : 079 3

24 bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = 3 = = 0: : = 0:0 86 9: 87 3 : 079 = 0:00878 Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 0:0 86 olarak bulunmaktad r. (b) n (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmekte Dolay s yla n(s) = T n (s); n = ; :::; n al nacakt r. Yine (0..) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z 3 + 4st p dsdt = 43:9545 s ( st) (3 + 4st)t p s ( st) dsdt = 0 (3 + 4st)st p dsdt = 4:3735 s ( st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (0..3) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 43: :3735 = 4: : : 78 = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 3: 99; = 9:

25 bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = 3: 99 = 0:07475 = 0:09 8 9: 50 4 olarak elde edilir. Fakat istenen özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = 0:07475 Yine (0..) formülünde n = 3 al nacakt r. Chebyshev polinomlar kullan larak s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (0..3) sistemi 3 + 4st p dsdt = 43:9545 s ( st) (3 + 4st)t p s ( st) dsdt = 0 (3 + 4st)st p dsdt = 4:3735 s ( st) (3 + 4st)(t ) p dsdt = 8:37758 s ( st) s(t )(3 + 4st) p dsdt = 3:8448 s ( st) (s )(t )(3 + 4st) p dsdt = 05:98 s ( st) 43: : :3735 3:8448 8: : :98 = 7: : : = 0 5

26 haline gelir ve bu denklemi çözüldü¼günde = 4: 7; = : 508 ; 3 = 74: 337 bulunur. Buradan = = 3 = 4: 7 = 0: = 0: : : 337 = 0:0345 elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 0: Çizelge 3.3 Rasyonel çekirdekli baz integral operatörlerin Ritz Yöntemi ile bulunan yaklaş k özde¼gerleri k(s; t) çekirde¼gi Legendre P olynomials Chebsyev P olynomials n = için n = 3 için n = için n = 3 için 3+s+t+ st st 0:09 0:0983 0: : (s+t)+st 5:468 5:4443 5:379 5: st st 0:075 0:086 0: : N + (K) = ve N (K) = durumu ile ilgili örnek Örnek 0.6. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = + 3(s + t) + 4st st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün özde¼gerleri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. a + c ve c > oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 6

27 (a) k(s; t) çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörlerin özde¼gerlerini yaklaş k olarak bulurken Ritz yönteminde yine öncelikle koordinat fonksiyonlar için Legendre polinomlar seçilmektir. (0..) denkleminde öncelikle n = al n r ve daha sonra ilk iki Legendre polinomu kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z + 3(s + t) + 4st dsdt = 6:066 st + 3(s + t) + 4st t dsdt = 8:8044 st + 3(s + t) + 4st st dsdt = 0:46740 st eşitlikleri elde edilir. Bu de¼gerler (0..3) sisteminde yaz ld ¼g nda 6:066 8:8044 8:8044 4:066 3 = : : 55 5: 409 = 0 bulunur ve buradan = 3: 085 0; = : 498 Böylece ilk iki yaklaş k özde¼ger = = = 0:34 5 3: : 498 = 0:08003 Bu yüzden pozitif olan özde¼gerin yaklaş k olarak = 0:08003 oldu¼gu görülür. 7

28 Şimdi Legendre polinomlar n n ilk üçü al n rsa hk ; i = Z Z + 3(s + t) + 4st dsdt = 6:066 st hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z + 3(s + t) + 4st t dsdt = 8:8044 st + 3(s + t) + 4st st dsdt = 4:066 st + 3(s + t) + 4st (3t ) dsdt = :3967 st + 3(s + t) + 4st s (3t ) dsdt = :8044 st + 3(s + t) + 4st (3s ) (3t ) dsdt = :565 st eşitlikleri elde edilir. Böylece (0..3) sistemi 6:066 8:8044 :3967 8:8044 4:066 3 :8044 :3967 :8044 :565 5 = 0: : : 089 3: 585 = 0 halini al r ve buradan = 3: 44 8; = : 45 ; 3 = 5: 50 bulunur. Bundan dolay ilk üç özde¼gerin yaklaş k de¼gerleri = = 3 = = 0: : 44 8 = 0:873 : 45 = 6: : 50 Böylece pozitif olan en küçük özde¼ger yaklaş k olarak = 0:873 8

29 elde edilir. (b) Ayn integral operatörün yaklaş k özde¼gerleri bulunurken Chebshyev polinomlar n n ilk ikisi kullan l rsa hk ; i = Z Z + 3(s + t) + 4st p dsdt = 9:805 s ( st) hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z + 3(s + t) + 4st t p dsdt = 5:5637 s ( st) + 3(s + t) + 4st st p dsdt = 0:74 s ( st) iç çarp mlar elde edilir. Bu de¼gerler (0..3) sisteminde yerine yaz l r ve elde edilen denklemler çözülürse 9:805 5:5637 5:5637 0:74 = 4: : : 59 = 0 = 3: 340; = : 936 olarak bulunur. Böylelikle yine yaklaş k özde¼gerler = = 3: 340 = 0: : 936 = 0: dir ve buradan da pozitif özde¼gerin yaklaş k olarak = 0: oldu¼gu görülür. (0..) denkleminde şimdi n = 3 al nacakt r. Yine Chebshyev polinomlar n n ilk üçü kullan l rsa hk ; i = Z Z + 3(s + t) + 4st p dsdt = 9:805 s ( st) 9

30 Z Z hk ; i = hk ; i = hk ; 3 i = hk ; 3 i = hk 3 ; 3 i = Z Z Z Z Z Z Z Z + 3(s + t) + 4st t p dsdt = 5:5637 s ( st) + 3(s + t) + 4st st p dsdt = 0:74 s ( st) + 3(s + t) + 4st (t ) p dsdt = 8:37758 s ( st) + 3(s + t) + 4st s(t ) p dsdt = 7:407 s ( st) + 3(s + t) + 4st (s )(t ) p dsdt = 8:00688 s ( st) eşitlikleri elde edilir. Bulunan de¼gerler (0..3) sisteminde yerine yaz l rsa 9:805 5:5637 8: :5637 0:74 7:407 8: :407 8:00688 = 7: : : 3 940:0 = 0 = 8: 868; = 9: 36 0; 3 = 4: 46 olarak bulunur. Böylece özde¼gerlerin yaklaş k de¼gerleri = = 3 = 8: 868 = 0:053 9: 36 0 = 0:0734 4: 46 = 0:07095 dir ve bundan dolay da pozitif olan en küçük özde¼gerin yaklaş k de¼geri = 0:07095 olarak elde edilir. 30

31 Kaynakça [] Abbas M A A (997) Integral Operators With Rational Kernels. PhD. Thesis, University of Manchester, Department of Mathematics, UK [] Göcen, M. (00) Integral Operatörleri, Zonguldak Karaelmas Üniversitesi (doktora tezi). [3] Krasnov M, K selev A and Makeronko G (976) Integral Denklemler, Cerit Yay nlar, Istanbul. [4] Kythe P K and Puri P (00) Computational Methods for Linear Integral Equations, Birkhauser, Boston. [5] Yaşar I B (988) Uygulamal Matematik, Gazi Üniversitesi Yay nlar, Ankara. 3

Erkan TAŞDEMĐR. Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır

Erkan TAŞDEMĐR. Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır POZĐTĐF ĐNTEGRAL OPERATÖRLER Erkan TAŞDEMĐR Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır ZONGULDAK Haziran 0 i ÖZET Yüksek

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,

Detaylı

2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI

2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI 2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI Deprem yüklerinin belirlenmesi için esas alınacak olan Spektral İvme Katsayısı, A(T), Denk.(2.1) ile verilmiştir. %5 sönüm oranı için

Detaylı

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları

Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunayozmen@hotmail.com 1. Giriş Çağdaş deprem yönetmeliklerinde, en çok göz önüne

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

SORU 6: Su yapılarının tasarımında katı madde hareketinin (aşınma, oyulma, yığılma vb. olayları) incelenmesi neden önemlidir, açıklayınız (4 puan).

SORU 6: Su yapılarının tasarımında katı madde hareketinin (aşınma, oyulma, yığılma vb. olayları) incelenmesi neden önemlidir, açıklayınız (4 puan). KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 014-015 GÜZ YARIYILI SU KAYNAKLARI MÜHENDİSLİĞİ I ARASINAV SORULARI Tarih: 16 Kasım 014 SORULAR VE CEVAPLAR Adı Soyadı: No: İmza:

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

2015-2016 ÖZEL İZMİR AMERİKAN KOLEJİ KAYIT TAKVİMİ VE KILAVUZU : İNÖNÜ CADDESİ NO. 476, 35290 GÖZTEPE / İZMİR

2015-2016 ÖZEL İZMİR AMERİKAN KOLEJİ KAYIT TAKVİMİ VE KILAVUZU : İNÖNÜ CADDESİ NO. 476, 35290 GÖZTEPE / İZMİR 2015-2016 ÖZEL İZMİR AMERİKAN KOLEJİ KAYIT TAKVİMİ VE KILAVUZU İRTİBAT ADRESİ : İNÖNÜ CADDESİ NO. 476, 35290 GÖZTEPE / İZMİR TELEFONLAR : 0232 355 0 555 FAX : 0232 355 0 411 http e-mail : www.aci.k12.tr

Detaylı

... ANADOLU L SES E T M YILI I. DÖNEM 10. SINIF K MYA DERS 1. YAZILI SINAVI SINIFI: Ö RENC NO: Ö RENC N N ADI VE SOYADI:

... ANADOLU L SES E T M YILI I. DÖNEM 10. SINIF K MYA DERS 1. YAZILI SINAVI SINIFI: Ö RENC NO: Ö RENC N N ADI VE SOYADI: 2009-2010 E T M YILI I. DÖNEM 10. SINIF K MYA DERS 1. YAZILI SINAVI A 1. Plastik bir tarak saça sürtüldü ünde tara n elektrikle yüklü hale gelmesinin 3 sonucunu yaz n z. 2. Katot fl nlar nedir? Katot fl

Detaylı

ANAL IZ III Aras nav Sorular

ANAL IZ III Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİNDE BAZI GENİŞLETMELER.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİNDE BAZI GENİŞLETMELER. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİNDE BAZI GENİŞLETMELER Rabia AKTAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır TEZ ONAYI

Detaylı

17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A

17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TAR IH I VE SAAT I : 24 MART 2012 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu s nav 25 sorudan oluşmaktad

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

e e ex α := e α α +1,

e e ex α := e α α +1, s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 20. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 3 May s 2015 - Pazar

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri. 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır.

6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri. 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır. 6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır. olduğu biliniyor buna göre; hipotezinin doğruluğu altında test istatistiği

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

1. Mesaj Tipi ve Mesaj Fonksiyonu Bazında Bildirim Mail Adresi Tanımlama Đşlemleri

1. Mesaj Tipi ve Mesaj Fonksiyonu Bazında Bildirim Mail Adresi Tanımlama Đşlemleri MERKEZĐ KAYDĐ SĐSTEM KULLANICI KILAVUZU MESAJ TĐPĐ VE MESAJ FONKSĐYONU BAZINDA BĐLDĐRĐM MAIL ADRESĐ TANIMLAMA Đçindekiler Đçindekiler... 2 1. Mesaj Tipi ve Mesaj Fonksiyonu Bazında Bildirim Mail Adresi

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3052 OTOMATİK KONTROL

ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3052 OTOMATİK KONTROL ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3052 OTOMATİK KONTROL 2009-200 BAHAR ÖDEV 3 Konu: MATLAB ve Simulink programı ile PID ayarlarının bulunması ÖDEVDE İSTENENLER: Örnek olarak belirlenen

Detaylı

TEOG ÖZEL OKULLAR MODELİ İLE ÖĞRENCİ ALACAK ÖZEL OKULLARIN KAYIT TAKVİMİ 2016

TEOG ÖZEL OKULLAR MODELİ İLE ÖĞRENCİ ALACAK ÖZEL OKULLARIN KAYIT TAKVİMİ 2016 TEOG ÖZEL OKULLAR MODELİ İLE ÖĞRENCİ ALACAK ÖZEL OKULLARIN KAYIT TAKVİMİ 2016 1)TABAN PUAN İLANI Haziran 2016 2). ÖN KAYIT DÖNEMİ Haziran 2016 Temmuz 2016 Özel Okullar Kayıt Komisyonunca alınacak karara

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012 OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ

Detaylı

YABANCI PARALAR LE YABANCI PARA C NS NDEN ALACAK VE BORÇLARIN DÖNEM SONLARI T BAR YLE DE ERLEMES

YABANCI PARALAR LE YABANCI PARA C NS NDEN ALACAK VE BORÇLARIN DÖNEM SONLARI T BAR YLE DE ERLEMES YABANCI PARALAR LE YABANCI PARA C NS NDEN ALACAK VE BORÇLARIN DÖNEM SONLARI T BAR YLE DE ERLEMES brahim ERCAN* 1- G R fi Bilindi i üzere, yabanc paralar n de erlemesi, 213 Say l Vergi Usul Kanunu nun (VUK)

Detaylı

DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012. Hazırlayanlar. Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi

DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012. Hazırlayanlar. Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012 Hazırlayanlar Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi Laura D. Tyson, Kaliforniya Berkeley Üniversitesi Saadia Zahidi, Dünya Ekonomik Forumu Raporun

Detaylı

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ. BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ. BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç: Madde 1. (1) Bu yönergenin amacı, İstanbul Kemerburgaz Üniversitesinin önlisans, lisans ve lisansüstü

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 1 Denklemlerin Köklerini Bulma Giriş Denklemlerin Köklerini Bulma

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA YÖNTEMLER VE DİĞER BİLİM DALLARI AÇISINDAN BİR BAKIŞ

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA YÖNTEMLER VE DİĞER BİLİM DALLARI AÇISINDAN BİR BAKIŞ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA YÖNTEMLER VE DİĞER BİLİM DALLARI AÇISINDAN BİR BAKIŞ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ SINIFLANDIRILMASI Yöneylem Araştırması (YA) iki ana yönde dallanmıştır: 1- Uygulama Alanlarına Göre:

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. 1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLĐKLERĐ A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi

Detaylı

Is Hesab na Bir Örnek*

Is Hesab na Bir Örnek* TÜRK TES SAT MÜHEND SLER DERNE Is tma, So utma, Havaland rma, Klima, Yang n ve S hhi Tesisat Dergisi Temel Bilgiler, Tasar m ve Uygulama Eki Say : 20 TTMD Ad na Sahibi Hüseyin Erdem Sorumlu Yaz flleri

Detaylı

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

Basit Kafes Sistemler

Basit Kafes Sistemler YAPISAL ANALİZ 1 Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları

Detaylı

1 SUDA SERTLİK ve CO2 TAYİNİ 1.SUDA SERTLİK TAYİNİ Suyun sertliği kavramı ile kalsiyum (Ca +2 ) ve magnezyum (Mg +2 ) iyonlarının toplamı anlaşılır ve 1 litre suyun içerdiği Ca ve Mg iyonlarının kalsiyum

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

KARADENĠZ TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ MADEN MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ KAYA MEKANĠĞĠ DERSĠ LABORATUVARI. (2015-2016 Güz Dönemi)

KARADENĠZ TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ MADEN MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ KAYA MEKANĠĞĠ DERSĠ LABORATUVARI. (2015-2016 Güz Dönemi) KARADENĠZ TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ MADEN MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ KAYA MEKANĠĞĠ DERSĠ LABORATUVARI (2015-2016 Güz Dönemi) KAYA SERTLĠĞĠ BELĠRLEME DENEYĠ (SCHMIDT ÇEKĠCĠ) DETERMINATION OF ROCK HARDNESS TEST ( SCHMIDT

Detaylı

Başbakanlık (Hazine Müsteşarlığı) tan: 30.11.2015

Başbakanlık (Hazine Müsteşarlığı) tan: 30.11.2015 Başbakanlık (Hazine Müsteşarlığı) tan: 30.11.2015 BİREYSEL EMEKLİLİK SİSTEMİ HAKKINDA YÖNETMELİKTE DEĞİŞİKLİK YAPILMASINA DAİR YÖNETMELİĞİN UYGULANMASINA İLİŞKİN GENELGE (2015/50) Bu Genelge, 25.05.2015

Detaylı

EĞİTİM YAPILARI GÜÇLENDİRME VE ONARIM İNŞAATI SÖZLEŞME PAKETİ (EIB-WB3-GUCL-ONAR-18)

EĞİTİM YAPILARI GÜÇLENDİRME VE ONARIM İNŞAATI SÖZLEŞME PAKETİ (EIB-WB3-GUCL-ONAR-18) TÜRKİYE CUMHURİYETİ İSTANBUL VALİLİĞİ İSTANBUL PROJE KOORDİNASYON BİRİMİ (İPKB) İSTANBUL SİSMİK RİSKİN AZALTILMASI VE ACİL DURUM HAZIRLIK PROJESİ (ISMEP) Kredi No: 24383 EĞİTİM YAPILARI GÜÇLENDİRME VE

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

BÜTÇE HAZIRLIK ÇALIŞMALARINDA KULLANILACAK FORMLARA İLİŞKİN BİLGİLER

BÜTÇE HAZIRLIK ÇALIŞMALARINDA KULLANILACAK FORMLARA İLİŞKİN BİLGİLER BÜTÇE HAZIRLIK ÇALIŞMALARINDA KULLANILACAK FORMLARA İLİŞKİN BİLGİLER Kuruluşlar bütçe hazırlık çalışmalarında bu bölümde örnekleri yer alan formları, aşağıda belirtilen bilgi ve açıklamalar doğrultusunda

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 10 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 8 Aralık 1999 Saat: 09.54 Problem 10.1 (a) Bir F kuvveti ile çekiyoruz (her iki ip ile). O

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS erdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

Detaylı