Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu"

Transkript

1 Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve Dr. Sezgin SUCU Lisans Dersin Kredisi 3 Dersin Türü Dersin İçeriği Dersin Amacı Dersin Süresi Eğitim Dili Zorunlu Ölçülebilir kümeler, Ölçü,, ölçülebilir fonksiyonlar ve ölçülebilir fonksiyonların ölçülebilir kümeler üzerindeki integrasyonu, integral ile ilgili teoremler incelenecektir. Bu dersi alan bir öğrenci: Ölçü, ölçülebilir küme, ölçülebilir fonsiyonların temel özelliklerini açıklayabilir. Ölçülebilir fonksiyonların ölçülebilir kümeler üzerindeki integrasyonu ve integral kavramlarını açıklayabilir ve yorumlayabilir. Yarıyıl Haftada toplam 4 saat Türkçe Ön Koşul Önerilen Kaynaklar Dersin Kredisi 3 Yok. Natanson, I. P., Theory of functions of a real variable. 2. Bartle, R. G., Elements of Integration Theory Royden H. L., Real analysis Halmos, P.R., Measure Theory Charalambos D. A., Principles of Real Analysis Balcı M., Reel Analiz 2009 Laboratuvar Yok

2 Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Çalışma Planı Çalışma Takvimi Haftalar.Hafta 2.Hafta 3.Hafta 4.Hafta 5.Hafta 6.Hafta 7.Hafta 8.Hafta 9.Hafta Haftalık Konu Başlıkları Giriş Cümle dizileri, Alt ve üst limit ve yakınsaklık σ-halka ve σ-cebir Ölçülebilir cümleler Ölçü, dış ölçü Lebesgue dış ölçüsü ve ölçüsü Ölçülebilir fonksiyonlar, ölçülebilir fonksiyon sınıfları Basit fonksiyonların integralleri Pozitif fonksiyonların integrasyonu 0. Hafta İntegrallenebilen fonksiyonlar. Hafta Ara Sınav 2.Hafta Lebesgue yakınsaklık ve sınırlı yakınsaklık teoremleri 3.Hafta Lebesgue integrali ve Riemann integrali arasındaki ilişki 4. Hafta Lp Uzayları ve Temel Özellikleri

3 . GİRİŞ. Temel Bilgiler SORU : A n bir X kümesinin alt kümelerinin bir dizisi olsun. E 0 = olmak üzere n E n = A k, F n = A n \E n şeklinde tanımlanan E n ve F n dizileri veriliyor. a b c E n dizisinin artan F n dizisinin ayrık E n = F n = A n olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM : a E n dizisi artan n N için E n E n+. E n+ = = n+ A k n A k A n+ = E n A n+ E n olduğundan E n artandır. b m, n N m n olmak üzere F n F m = olduğunu göstermeliyiz. İki durum söz konusudur.

4 i m > n olsun. Bu durumda m n olur. F n = A n \E n, F m = A m \E m olduğu dikkate alınırsa F n F m = A n = = = A n A n n n A t k n A t k t A k A m A m m n m A t k A m A t k A t n t A k m k=n+ A t k ii n > m olsun. Bu durumda n m > m olur. n t m t F n F m = A n A k A m A k = = A n m A t k A t m n k=m+ A t k A m m A t k bulunur. c n E n = A k = A A A 2 A A 2 A 3... = A n 2

5 bulunur. F n = A n \E n = A \E 0 A 2 \E A 3 \E 2... = A A 2 \A [A 3 \ A A 2 ]... = A A 2 [A 3 \ A A 2 ]... = A A 2 A 3 [A 4 \ A A 2 A 3 ]... = A n elde edilir. SORU 2: A n bir X kümesinin alt kümelerinin artan bir dizisi olsun. A ; k = S k := A k \A k ; k > olarak tanımlansın. a S n dizisinin ayrık n b A n = S k ve A n = olduğunu gösteriniz. S n ÇÖZÜM 2: a m, n N ve m n olsun. S n S m = olduğunu göster- 3

6 meliyiz. S n S m = A n \A n A m \A m = A n A t n Am A t m yazılabilir. m > n olsun. m n olacağından A m A n gerçeklenir. Buradan S n S m = A n An t Am A t m A m An t Am A t m = elde edilir. Benzer olarak n > m için de S n S m = gerçeklenir. b A n kümeler dizisi artan olduğundan n n S k = S = A k=2 S k n A k \A k k=2 = A A 2 \A A 3 \A 2... A n \A n = A A 2 A 3 \A 2... A n \A n = A... A n = A n 4

7 ilk ifade elde edilir. İkinci ifade ise S n = A A n \A n olarak bulunur. n=2 = A A 2 \A A 3 \A 2... A n \A n... = A... A n... = A n dizisi SORU 3: B n bir X kümesinin alt kümelerinin azalan bir dizisi olsun. T n T n := B \B n olarak tanımlansın. a T n dizisinin artan b T n = B \ B n olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 3: a m, n N ve m > n olsun. T m T n olduğunu göstermeliyiz. B n azalan bir dizi olduğundan B m B n sağlanıp B t n B t m = B B t n B B t m = B \B n B \B m = T n T m 5

8 istenilen elde edilir. b T n = B \B n bulunur. = B \B B \B 2 B \B 3... = B B2 t B B3 t... = B B2 t B3 t... = B = B \ B n Bn t SORU 4: E i i I, X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfıolsun. a X\ E i = X\E i i I i I b X\ E i = X\E i i I i I olduğunu gösteriniz. 6

9 ÇÖZÜM 4: a x X\ E i i I x X ve x / i I E i x X ve i I için x / E i i I için x X ve x / E i i I için x X\E i x X\E i i I olup istenilen elde edilir. b x X\ E i i I x X ve x / i I E i x X ve i 0 I için x / E i0 i 0 I için x X ve x / E i0 i 0 I için x X\E i0 x X\E i i I istenilen bulunmuş olur. 7

10 .2 Küme Dizilerinin Yakınsaklığı SORU : a A n artan bir dizi olsun. Bu durumda lim A n = A n n N gerçeklenir. Gösteriniz. b B n azalan bir dizi olsun. Bu durumda lim B n = B n n N gerçeklenir. Gösteriniz. ÇÖZÜM : a lim sup A n = lim inf A n = A n olduğunu göstermeliyiz. n N A n dizisi artan olduğundan lim sup A n = A n = A n = m= n=m m= ve lim inf A n = A n = A m A m+... = bulunup istenilen elde edilmiş olur. A n m= n=m m= m= A m b lim sup B n = lim inf B n = B n n N olduğunu göstermeliyiz. B n dizisi azalan olduğundan lim sup B n = B n = m= n=m m= B m

11 ve bulunur. lim inf B n = = = = B n m= m= m= n=m B m B m+... B B 2... B n... B n = m= B n SORU 2: A n, X kümesinin alt kümelerinin ayrık bir dizisi olsun. lim A n = olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 2: m n olmak üzere m, n N için A n A m = dır. lim sup A n = lim inf A n = olduğunu göstermeliyiz. A n dizisi ayrık olduğundan lim inf A n = A n = m= n=m sağlanır. Şimdi kabul edelim ki lim sup A n = A n olsun. m= n=m Bu durumda m N için x 0 A n vardır. Bu ise m N için m 0 N n=m m 0 m x A m0 olmasını gerektirir. Arakesit işlemini m = m 0 + için 2

12 başlatırsak x elemanı m 0 + ve daha sonraki indislere sahip bir kümenin elemanıolmak zorundadır. Bu ise A n dizisinin ayrık olmasıile çelişir. Dolayısıyla lim sup A n = olmak zorundadır. Sonuç olarak lim A n = elde edilir. SORU 3: Aşağıda genel terimleri verilen küme dizilerinin yakınsaklığınıinceleyiniz. a A n = [ n, n ] b B n = { n,...,, 0,,..., n} ÇÖZÜM 3: a n N için n < n+ < n+ < n olduğundan A n dizisi azalan bir dizidir. O halde olmalıdır. lim A n = A n n N A n = A... A n... = [, ] = {0} [ 2, ] [... 2 n, ]... n olup lim A n = {0} elde edilir. b n N için B n B n+ olduğundan B n artan bir dizidir. O halde lim B n = 3 B n

13 olmalıdır. B n = {, 0, } { 2,, 0,, 2}... = Z olup lim B n = Z gerçeklenir. SORU 4: 0, n ; n tek ise E n = [, ; n çift ise n şeklinde tanımlanan E n dizisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. ÇÖZÜM 4: A n = B n = 0, 2n [ 2n, olmak üzere A n ve B n dizileri E n dizisinin alt dizileridir. dir. A n azalan dizi olduğundan lim A n = A n = B n artan dizi olduğundan lim B n = B n = 0, 4

14 olur. E n dizisinin alt dizilerinin limiti birbirlerinden farklıolduğundan E n dizisinin limiti mevcut değildir. SORU 5: A ; n çift ise E n = B ; n tek ise şeklinde tanımlanan E n dizisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. ÇÖZÜM 5: lim sup E n = E n = E m E m+... = A B m= n=m m= ve lim inf E n = E n = E m E m+... = A B m= n=m m= olup lim sup E n lim inf E n olduğundan lim E n mevcut değildir. SORU 6: E n herhangi bir dizi ve F herhangi bir küme olsun. a F \ lim sup E n = lim inf F \E n b F \ lim inf E n = lim sup F \E n olduğunu gösteriniz. 5

15 ÇÖZÜM 6: a F \ lim sup E n = F \ E n m= n=m { } t = F E n m= n=m { t } = F E n = F m= n=m m= n=m = F E t n = En t m= n=m m= n=m b F \ lim inf E n = F \ E n m= n=m { } t = F E n m= n=m { } = F m= n=m = F E t n = En t m= n=m m= n=m SORU 7: Sınırlıbir x n dizisi için F E t n = lim inf F \En F E t n = lim sup F \En a lim sup x n = lim inf x n b lim inf x n = lim sup x n olduğunu gösteriniz. 6

16 b ÇÖZÜM 7: a lim sup x n = inf sup x n m n m = inf inf x n m n m = sup inf x n = lim inf x n m n m lim inf x n = sup inf x n m n m = sup supx n m n m = inf m supx n = lim sup x n n m SORU 8: A n, X kümesinin alt kümelerinin bir dizisi olsun. lim inf A n lim sup A n X gerçeklenir. ÇÖZÜM 8: Keyfi x lim inf A n için x lim sup A n olduğu gösterilmelidir. Ya da bu önermenin kontro pozitifi olan x / lim sup A n ise x / lim inf A n öner- 7

17 mesinin doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Bu amaçla x / lim sup A n = x / A n m= n=m = m N için m 0 m m 0 N, x / = m 0 N ve n m 0 için x / A n = m 0 N x / n=m 0 A n n=m 0 A n elde edilir. m m 0 için A n A n olduğu dikkate alınırsa x / n=m n=m 0 olduğu görülür. Buradan m N için x / A n m= n=m n=m A n elde edilir. Yani x / lim inf A n olduğu görülür. SORU 9: A n dizisi A n = { k N : n n 2 + k } n n + 2 olmak üzere A n dizisinin yakınsaklık durumunu araştırınız. ÇÖZÜM 9: A = {}, A 2 = {2, 3}, A 3 = {4, 5, 6},...olup A n dizisi ayrıktır. Bundan dolayılim A n = dir. SORU 0: a < b olmak üzere A n dizisi A n = [ a, b n] olsun. Bu durumda 8

18 a A n b A n kümelerini bulunuz. ÇÖZÜM 0: a b A n = A n = [ a, b n] = [a, b ] [ a, b n] = [a, b 9

19 2. ÖLÇÜLER 2. BazıKüme Sınıfları SORU : X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM : A := {B P X : B sonlu} X / A olduğundan A sınıfıσ cebir değildir. SORU 2: X sayılamayan bir küme a A := {A X : A sayılabilir} b A 2 := {A X : A sayılabilir veya X\A sayılabilir} sınıflarıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 2: a X / A olduğundan A sınıfıx üzerinde σ cebir değildir. b i X t = sayılabilir olduğundan X A 2 dir. ii Keyfi A A 2 için X\A A 2 olduğunu gösterelim: A A 2 = A sayılabilir } {{ } X\A t =A X\A A 2 veya X\A sayılabilir } {{ } X\A A 2

20 iii n N için A n A 2 olsun. A n A 2 olduğunu gösterelim. Üç durum söz konusudur: n N için A n A 2 sayılabilir olsun. Bu durumda A n sayılabilirdir. Yani A n A 2 olur. t 2 n N için A t n A 2 sayılabilir olsun. Bu durumda A t n = A n sayılabilirdir. Dolayısıyla A n A 2. 3 B = {A n : A n sayılabilir} C = { A n : A t n sayılabilir } olarak tanımlayalım. olarak yazılabilir. A n = t A n = t A n }{{} B A n }{{} B t A n }{{} C A n }{{} C t A n }{{} C gerçeklenir. C sınıfına ait olan A n kümelerinin A t n tümleyenleri sayılabilir olduğundan A t n sayılabilirdir. Sayılabilir bir kümenin her alt kümeside sayılabilir ola- t cağından A n sayılabilirdir. Dolayısıyla 2 A n A 2 sağlanır.

21 Sonuç olarak A 2 sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 3: A, X kümesi üzerinde bir cebir ve B n de A daki elemanların ayrık dizisi olsun. B n A ise A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 3: n N için A n A olmak üzere A n A olduğunu göstermeliyiz. E 0 : =, E n := B n : = A n \E n n A k kümelerini tanımlayalım. Bu durumda B n dizisi ayrık olup A n = B n gerçeklenir. Hipotezden B n A olduğundan sınıfıx üzerinde σ cebirdir. A n A dır. Dolayısıyla A SORU 4: X kümesi üzerindeki σ cebirlerin birleşimi de X üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 4: A : = {, N, {2n : n N}, {2n + : n N}} B : =, N, {3n : n N}, {3n + : n N}, {3n + 2 : n N}, A B, A C, B C } {{ } } {{ } } {{ } =A =B =C 3

22 A ve B sınıfların üzerinde σ cebirdir. A B = {, N, {2n : n N}, {2n + : n N}, A, B, C, A B, A C, B C} olur. {2n : n N} A / A B olduğundan A B sınıfı N üzerinde σ cebir değildir. SORU 5: Her tipten aralık, ışın ve tek nokta kümelerinin Borel cebirinin elemanıolduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 5: a, b] = [a, b] = b, =, a = a, b + n B R a, b + n n B R b, b + n B R a n, a B R, a] =, a 2 [ a 2, a] B R [b, = [b, 2b] 2b, B R {a} = a n n B R SORU 6: f : X Y bir fonksiyon ve B sınıfıda Y üzerinde σ cebir olsun. A := {A X : f A B} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? 4

23 ÇÖZÜM 6: i X A olduğunu göstermeliyiz. Eğer f fonksiyonu örten ise f X = Y B olup X A dır. ii Keyfi A A için A t A olduğunu göstermeliyiz. f fonksiyonu ve örten ise A A f A B = [f A] t B = f A t B = A t A elde edilir. iii n N için A n A olsun. B nin Y üzerinde σ cebir olduğu kullanılırsa = bulunur. A n A f A n B = f A n B = f A n B A n A Sonuç olarak f fonksiyonu ve örten ise A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 7: f : X Y bir fonksiyon ve A sınıfıda X üzerinde σ cebir olsun. B := { B Y : f B A } 5

24 sınıfıy üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 7: i f Y = X A olduğundan Y B dir. ii Keyfi B B olsun. A sınıfının X üzerinde σ cebir olduğu dikkate alınırsa B B f B A = [f B] t A = f B t A = B t B elde edilir. iii n N için B n B olsun. B B f B n A = f B n A = f B n A = B n B gerçeklenir. Dolayısıyla B sınıfıy üzerinde σ cebirdir. üzere SORU 8: X ve A sınıfıx üzerinde σ cebir olsun. B A olmak E := {A X : A = B C, C A} sınıfıb kümesi üzerinde σ cebir midir? 6

25 ÇÖZÜM 8: i B = B X veya B = B B olduğundan X, B A olması dikkate alınırsa B E elde edilir. ii Keyfi A E için B\A E olduğu gösterilmelidir. A E = A = B C, C A = B\A = B\ B C = B\A = B B C t = B\A = B B t C t = B\A = B B t B C t = B\A = B C t gerçeklenir. C t A olduğu dikkate alınırsa B\A E elde edilir. iii n N için A n E olsun. A n E = A n = B C n, C n A = A n = B C n = A n = B C n olur. C n A olduğu dikkate alınırsa E sınıfının tanımından edilir. A n E elde Dolayısıyla E sınıfıb kümesi üzerinde σ cebirdir. 7

26 SORU 9: B herhangi bir küme olmak üzere A := {A X : A B X} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 9: i B = X alınırsa A sınıfının tanımından X A dır. ii Keyfi A A kümesini dikkate alalım. B = X alınırsa A t X X gerçeklenir. O halde A t A sağlanır. iii n N için A n A olsun. A n A = A n B X, B X = A n B X olup A n A sağlanır. O halde A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 0: A sabitlenmiş bir küme olmak üzere A := { B X : A B X veya A B t X } sınıfıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 0: i X A olduğu tanımdan açıktır. ii Keyfi B A olsun. Bu durumda A B X veya A B t X olacağından B t A gerçeklenir. 8

27 iii n N için B n A olsun. Buradan A B n X veya A Bn t X olacağından A B n X veya A Bn t X sağlanır. Yani, B n A dır. Dolayısıyla A sınıfıx kümesi üzerinde σ cebirdir. 9

28 2.2 Ölçüler SORU : En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P X kuvvet kümesi veriliyor. P X üzerinde 0 ; A = µ A := ; A şeklinde tanımlanan µ dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM : i Tanımdan µ = 0. ii A P X için µ A 0 dır. iii n N için A n, P X deki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Üç durum söz konusudur: n N için A n = ise µ A n = µ A n gerçeklenir. 2 n 0 N olmak üzere n n 0 için A n =, m, n n 0 için A n, A m ve A n A m = olsun. A n = A n n=n 0 + olup µ A n = dir. Diğer yandan µ A n = µ A n = = + n=n 0 +

29 olduğu dikkate alınırsa µ A n µ A n olduğu görülür. Üçüncü duruma bakmaya gerek yoktur. Dolayısıyla µ fonksiyonu P X üzerinde bir ölçü değildir. SORU 2: A sınıfıx üzerinde σ cebir, µ dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçü ve A A sabitlenmiş bir küme olsun. E A için ν E := µ E\A olarak tanımlanan ν dönüşümü A üzerinde ölçü müdür? ÇÖZÜM 2: i ν := µ \A = µ = 0. ii µ, A üzerinde bir ölçü olduğundan ν E = µ E\A 0 gerçeklenir. iii n N için E n, A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Bu durumda m n olmak üzere E n \A E m \A = olup E n \A dizisi A daki ayrık kümelerin bir dizisidir. Dolayısıyla µ dönüşümü 2

30 A üzerinde ölçü olduğundan ν E n = µ E n \A = µ E n \A = µ E n \A = ν E n sağlanır. Sonuç olarak ν dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçüdür. SORU 3: µ,..., µ n ; A σ cebiri üzerinde ölçü ve a,..., a n negatif olmayan reel sayıise A üzerinde ν E := n a k µ k E ile tanımlıν dönüşümü ölçü müdür? n ÇÖZÜM 3: i ν = a k µ k = 0. ii µ,..., µ n ölçü olduğundan E A için ν E = n a k µ k E 0. iii E m, A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. k n için µ k dönüşüm- 3

31 leri ölçü olduğundan ν E m m= olup istenilen elde edilir. = = = = n a k µ k E m m= [ n ] a k µ k E m n m= m= a k µ k E m n a k µ k E m = m= m= ν E m Dolayısıyla ν dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçüdür. SORU 4: X, A ölçülebilir uzay ve µ n ölçü dizisi için µ n X = n N 2 olsun. A üzerinde tanımlı β E := dönüşümü ölçü müdür? Ayrıca β X =? n 2 µ 3 n E ÇÖZÜM 4: i β = 2 n µn = 0. 3 ii Keyfi E A ve n N için µ n E 0 olduğundan gerçeklenir. 2 n µn E 0 3 4

32 iii E m A daki ayrık kümelerin dizisi olsun. µ n ölçü dizisi olduğundan β m= E m = = = = n 2 µ 3 n E m m= n 2 µ 3 n E m m= n 2 µ 3 n E m β E m m= m= yazılabilir. Burada µ n E m µ n X = 2 ve serilerin yerleri değiştirilebilmiştir. tanımlar. Diğer yandan elde edilir. β X = 2 n 3 serisi yakınsak olduğundan O halde β dönüşümü A üzerinde bir ölçü n 2 µ 3 n X = 2 n 2 = 3 SORU 5: A sınıfıx üzerinde σ cebir, µ dönüşümü A üzerinde ölçü olsun. B ve B A olmak üzere K := {A X : A = B C, C A} olsun. ν A := µ A B şeklinde tanımlıν dönüşümü K üzerinde ölçü müdür? 5

33 ÇÖZÜM 5: 2. Bazı Küme Sınıfları kesimindeki Soru 8 den K sınıfı X üzerinde σ cebirdir. i ν = µ B = 0 dır. ii Keyfi A K için ν A = µ A B 0 sağlanır. iii A n dizisi K daki ayrık kümelerin dizisi olsun. A n B dizisini dikkate alalım. m n olmak üzere A n B A m B = olduğu göz önüne alınırsa A n B A daki ayrık kümelerin bir dizisidir. Ayrıca µ dönüşümü A üzerinde ölçü olduğundan ν A n = µ A n B = µ A n B = µ A n B = bulunur. O halde ν dönüşümü K üzerinde ölçüdür. ν A n SORU 6: a n negatif olmayan sayıların dizisi olsun. P N üzerinde tanımlı 0 ; E = µ E := a n ; E n E 6

34 biçiminde tanımlanan µ dönüşümü P N üzerinde ölçü müdür? a n = nn+ ise µ N =? ÇÖZÜM 6: i µ = 0 dır. dır. ii KeyfiE P N alalım. E = ise µ E = 0, E ise µ E = n E a n 0 iii E n, P N deki ayrık kümelerin dizisi olsun. Üç durum söz konusudur: n N için E n = olsun. Bu durumda E n = olup µ E n = µ = 0 dır. Diğer yandan n N için µ E n = 0 olduğundan µ E n = µ E n gerçeklenir. 2 n 0 N olmak üzere m, n n 0 için E n, E m, E n E m = m n ve 7

35 n n 0 için E n = olsun. Bu durumda E,..., E n0 kümeleri ayrık olduğundan istenilen elde edilir. µ E k = µ = = n0 E k a n n 0 n E k n E... E n0 a n = n E a n n E n0 a n = µ E µ E n0 = n 0 µ E k = µ E k 3 m, n N için E n E m = m n ve E n olsun. E n kümeleri ayrık olduğundan µ E k = = a n n E k n E... E n... a n = a n a n +... n E n E n = µ E k olur. 8

36 Dolayısıyla µ dönüşümü P N üzerinde ölçüdür. µ N = n N bulunur. n n + = lim m m n = lim = n + m m + SORU 7: X bir küme, A sınıfıda X üzerinde σ cebir olsun. E, E 2 A ve µ dönüşümü A üzerinde bir ölçü olmak üzere µ E E 2 = µ E + µ E 2 µ E E 2 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 7: E E 2 = ise µ E E 2 = 0 olup µ ölçü olduğundan µ E E 2 = µ E + µ E 2 gerçeklenir. E E 2 olsun. E E 2 = E E 2 \E olduğu dikkate alınırsa µ E E 2 = µ E E 2 \E = µ E + µ E 2 \E yazılabilir. Ayrıca E 2 = E E 2 E 2 \E olarak yazılabileceğinden µ E 2 = µ E E 2 + µ E 2 \E 2 9

37 gerçeklenir. µ E E 2 < ise 2 ifadesi ifadesinde dikkate alındığında µ E E 2 = µ E + µ E 2 µ E E 2 elde edilir. SORU 8: X, A, µ bir ölçü uzayıolsun. B := {E A : µ E = 0} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? a E B, F A ise E F B b n N için E n B ise olduğunu gösteriniz. E n B ÇÖZÜM 8: üzerinde N = {, 2, 3,...} olmak üzere doğal sayıların kuvvet kümesi µ E := n E ; E sonlu ise + ; E sonlu değil ise dönüşümü tanımlansın. Burada n E ifadesi E kümesinin eleman sayısıdır. dönüşümü P N üzerinde ölçüdür. O halde N, P N, µ ölçü uzayıdır. Şimdi B sınıfını µ ölçüsü için tanımlayalım: µ B := { E P N : } µ E = 0 0

38 µ N = + 0 olduğundan N / B dir. Dolayısıyla B sınıfı σ cebir olmak zorunda değildir. a E B ise E A dir. A sınıfıσ cebir olduğundan E F A olmalıdır. E F E gerçeğinden 0 µ E F µ E = 0 sağlanıp µ E F = 0 olur. Yani E F B bulunur. b F = E F n = E n \ n E k, n > olmak üzere F n dizisini göz önüne alalım. Bu durumda F n, A daki ayrık kümelerin dizisi olup gerçeklenir. E n = F n E n A olduğu açıktır. µ ölçü olduğundan µ E n = µ F n = µ F n 3 yazılabilir. n N için F n E n olduğundan µ F n µ E n gerçeklenir. n N için E n B olmasından E n A ve µ E n = 0 sağlanır. Buradan da n N için µ F n = 0 elde edilir. 3 ifadesi dikkate alınırsa µ E n = 0 olup E n B istenileni bulunur.

39 2.3 Dış Ölçüler SORU : P R üzerinde tanımlı 0 ; A = µ A := + ; A dönüşümü dış ölçü müdür? ÇÖZÜM : i µ = 0 olduğu tanımdan açıktır. ii A P R için µ A 0 olduğu tanımdan görülmektedir. iii A, B P R ve A B olduğunda µ A µ B olduğunu göstermeliyiz. İki durum söz konusudur: A = ise B ya da B = dir. O halde µ A = 0, µ B = + ya da µ B = 0 dır. Dolayısıyla µ A µ B gerçeklenir. 2 A ise B olmak zorundadır. O halde µ A = + ve µ B = + olup µ A µ B sağlanır. iv A n, P R deki kümelerin herhangi bir dizisi için µ A n µ A n sağlandığıgösterilmelidir. Üç durum söz konusudur: n N için A n = olsun. A n = olup µ A n = 0 olur. µ A n = = 0 olduğu da göz önüne alınırsa µ A n =

40 µ A n sağlanır. 2 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve n > n 0 için A n = olsun. Bu durumda ve µ A n = µ µ A n = n 0 n0 A n = + µ A n = + gerçeklenip istenilen eşitsizlik sağlanır. 3 n N için A n olsun. µ A n = + ve µ A n = + olduğundan yine istenilen eşitsizlik elde edilir. Dolayısıyla µ, P R üzerinde dış ölçüdür. SORU 2: P R üzerinde tanımlı 0 ; A = µ 2 A := ; A ve sınırlı + ; A ve sınırsız dönüşümü dış ölçü müdür? ÇÖZÜM 2: i µ 2 = 0 dır. 2

41 ii A P R için µ 2 A ifadesi 0, veya + değerlerinden birini alıp µ 2 A 0 gerçeklenir. iii A, B P R olmak üzere A B olsun. A = için B = = µ 2 A = µ 2 B = 0 A = için B ve B sınırlı = µ 2 A = 0 µ 2 B = A = için B ve B sınırsız = µ 2 A = 0 µ 2 B = + A ve A sınırlı için B ve B sınırlı = µ 2 A = = µ 2 B A ve A sınırlı için B ve B sınırsız = µ 2 A = µ 2 B = + A ve A sınırsız için B ve B sınırsız = µ 2 A = + = µ 2 B olup bütün durumlarda µ 2 A µ 2 B gerçeklenir. iv A n, P R deki kümelerin herhangi bir dizisi için µ 2 A n µ 2 A n sağlandığıgösterilmelidir. Yedi durum söz konusudur: n N için A n = olsun. µ 2 A n = 0 ve µ 2 A n = 0 dır. 2 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve A n sınırlı, n > n 0 için A n = olsun. A n = n 0 A n ve bu küme sınırlıolduğundan µ 2 A n = dir. Ayrıca µ 2 A n = n 0 µ 2 A n = n 0 dır. Dolayısıyla µ 2 A n µ 2 A n eşitsizliği gerçeklenir. 3 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve A n sınırsız, n > n 0 için A n = 3

42 olsun. A n = n 0 A n ve bu küme sınırsız olduğundan µ 2 A n = + dur. Ayrıca µ 2 A n = n 0 µ 2 A n = + dır. Dolayısıyla istenilen eşitsizlik sağlanır. 4 n N için A n ve A n sınırlıolsun. da olabilir sınırsız da olabilir. Bu durumlarıincelersek A n ve sınırlı = µ 2 A n = A n ve sınırsız = µ 2 A n = + A n olup bu küme sınırlı olur. Ayrıca µ 2 A n = + olduğu dikkate alınırsa istenilen eşitsizlik yine sağlanır. 5 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve A n sınırlı, n > n 0 için A n ve A n sınırsız olsun. A n ve sınırsız olup µ 2 A n = + dur. Ayrıca µ 2 A n = + olduğu dikkate alınırsa istenilen eşitsizlik tekrar sağlanır. µ 2 6 n N için A n ve A n sınırsız olsun. A n ve sınırsız olup A n = + dur. Ayrıca µ 2 A n = + olup istenilen elde edilir. 7 n 0, m 0 N öyle ki n n 0 için A n =, n 0 < n < m 0 için A n ve A n sınırlı, n m 0 için A n ve A n sınırsız olsun. A n ve sınırsız olacaktır. O halde istenilen eşitsizlik tekrardan sağlanır. 4

43 2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ A = λ G olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ B = 0 gerçeklenir. G = A B olarak tanımlayalım. A A B olduğu dikkate alınırsa λ A λ A B λ A + λ B = λ A olur. Bu ifade aşağıda kullanırsa λ A λ A B λ A elde edilir. O halde λ A = λ G sağlanır. SORU 2: B R alt kümesinin Lebesgue ölçülebilir olmasıiçin gerek ve yeter koşul I R açık aralığıiçin λ I = λ I B + λ I B t olmasıdır. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2:= B R Lebesgue ölçülebilir olsun. A R herhangi bir kümesini dikkate alalım. A = A B A B t

44 olarak yazılabilir. Bu durumda λ A = λ A B + λ A B t gerçeklenir. Özel olarak A = I alınırsa istenilen elde edilir. = Kabul edelim ki I R aralığıiçin λ I = λ I B + λ I B t olsun. Hatırlatmak gerekirse "B R Lebesgue ölçülebilir E R için λ E λ E B + λ E B t ". λ E = için eşitsizlik geçerlidir. λ E < olduğunu kabul edelim. λ Lebesgue dış ölçüsünün tanımından ve infimum özelliğinden ɛ > 0 için I n = a n, b n τ E vardır öyle ki gerçeklenir. E l I n < λ E + ɛ a n, b n olduğundan E B E B t [a n, b n B] [ an, b n B t] yazılabilir. λ Lebesgue dış ölçüsünün özelliğinden λ E B λ λ E B t λ [a n, b n B] λ a n, b n B [ an, b n B t] λ a n, b n B t 2

45 eşitsizlikleri elde edilir. Hipotez ve ifadesi kullanılırsa ɛ > 0 için λ E B + λ E B t λ a n, b n B + λ a n, b n B t = λ a n, b n = l a n, b n = l I n < λ E + ɛ yazılabilir. Sol taraf ɛ dan bağımsız olduğundan istenilen λ E λ E B + λ E B t eşitsizliği elde edilir. SORU 3: X bir küme; µ dönüşümü P X üzerinde dış ölçü olsun. A, B P X ve µ B = 0 olduğunda a µ A B = 0. b µ A B = µ A. c B kümesi µ ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 3: a A B B olduğundan µ A B µ B = 0 sağlanıp µ A B = 0 bulunur. b A A B olduğundan µ A µ A B µ A + µ B = µ A olup bu eşitsizlikten µ A B = µ A elde edilir. 3

46 c F X için µ F µ F B + µ F B t eşitsizliğinin gerçeklendiğini göstermek yeterlidir. F B t F olduğu kullanılırsa µ F B t µ F olur. µ F B = 0 olduğu dikkate alınırsa µ F B + µ F B t µ F elde edilir. Dolayısıyla B kümesi µ ölçülebilirdir. SORU 4: λ Lebesgue dış ölçüsü olmak üzere A R kümesi λ ölçülebilir olsun. a λ A + x = λ A x R b A + x := {a + x : a A} kümesi λ ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 4: a τ A := olduğunu biliyoruz. τ A+x := { I k = a k, b k : A } a k, b k olmak üzere { } λ A = inf l I k : I k τ A { } = inf b k a k : I k τ A { I k + x = a k + x, b k + x : A + x } a k + x, b k + x 4

47 olup { } λ A + x = inf l a k + x, b k + x : a k + x, b k + x τ A+x { } = inf b k a k : a k, b k τ A = λ A elde edilir. b A + x kümesinin λ ölçülebilir olmasıiçin E R için λ E = λ E A + x + λ E A + x t olduğu gösterilmelidir. Hatırlatmak gerekirse E A + x = [E x A] + x E A + x t = [ E x A t] + x eşitlikleri gerçeklenir. Gerçekten bu eşitliklerden birincisini elde edelim: y [E A + x] y E y A + x y E y x A y x E x y x A y x E x A y [E x A] + x 5

48 bulunur. a şıkkındaki ifade kullanılırsa λ E A + x = λ [E x A] + x = λ E x A ve λ E A + x t = λ [ E x A t] + x = λ E x A t elde edilir. Buradan A kümesinin Lebesgue ölçülebilir olmasıkullanılarak λ E A + x + λ E A + x t = λ E x A + λ E x A t = λ E x = λ E gerçeklenir. Yani sonuç olarak A + x kümesi λ ölçülebilirdir. SORU 5: α > 0 olmak üzere A R için αa := {αa : a A} olsun. Bu durumda λ αa = αλ A olduğunu gösteriniz. 6

49 ÇÖZÜM 5: I n = α J n olmak üzere { } λ αa = inf l J n : J n τ αa { } = inf l J n : αa J n, J n = c n, d n { = inf l J n : { = inf l αi n : { = α inf l I n : = αλ A } A α J n, J n = c n, d n } A I n, I n = α J n } A I n, I n τ A elde edilir. SORU 6: Cantor kümesinin Lebesgue ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Lebesgue ölçüsünün sıfır olacağınıbulunuz. Sayılamayan fakat ölçüsü sıfır olan kümeler var mıdır? 7

50 ÇÖZÜM 6: Şekil. Cantor Kümesi Cantor kümesi C := C i dir. Herbir C i Lebesgue ölçülebilir olduğundan C i= Cantor kümesi de Lebesgue ölçülebilirdir. λ C = λ C 2 = 3 olup λ C 3 = λ C 4 = λ C = 2 n 3 n = = 0 bulunur. Ayrıca belirtmek gerekirse C Cantor kümesi sayılamayan küme olup λ C = 0 dır. 8

51 SORU 7: Aşağıdaki kümelerin Lebesgue ölçülerini bulunuz. a A := b B := c C := d D := e E := f F := g G := { x R : x < } k+ k { } x R : a < x < a+ k k { x R : 2 k+ x < 2 k } { x R : 0 < x < 3 k } { x R : 0 < x < 3 k } { x R : < x < + } k k { x R : 2 + < x < 5 } k k ÇÖZÜM 7: a I k := { x R : k+ x < k} diyelim. Ik kümeleri Borel kümesi olduğundan λ Lebesgue dış ölçüsüne göre ölçülebilirdir. Lebesgue dış ölçüsüne göre ölçülebilen A R kümelerinin sınıfım R, λ ile gösterilirse λ Lebesgue dış ölçüsünün M R, λ σ cebirine kısıtlaması ölçüdür. Bu ölçüye Lebesgue ölçüsü adıverilir. I k ayrık kümelerin bir dizisi olduğundan λ A = λ I k = λ I k = k = k + 9

52 bulunur. b k N için I k := { x R : } a < x < a+ k k olsun. Dikkat edilirse Ik kümelerin azalan dizisidir. Bunun yardımıyla gerçeklenir. λ B = λ a + I k = lim λ I k = lim a = 0 k k k k c k N için I k := { x R : 2 k+ x < 2 k } olsun. Ik ayrık kümelerin dizisi olup λ C = λ I k = λ I k = 2 = k 2 k+ 2 bulunur. d k N için I k := { x R : 0 < x < 3 k } olsun. Ik kümelerin azalan dizisidir. O halde elde edilir. λ D = λ I k = lim λ I k = lim k k 3 = 0 k e k N için I k := { x R : 0 < x < 3 k } olsun. Ik kümelerin azalan dizisi olup λ E = λ I k = λ 0, = 3 3 0

53 bulunur. f k N için I k := { x R : k < x < + k} olsun. Ik kümelerin azalan dizisidir. Buna göre bulunur. λ F = λ 2 I k = lim λ I k = lim k k k = 0 g k N için I k := { x R : 2 + k < x < 5 k} kümelerini tanımlayalım. I k kümelerin artan dizisidir. Böylece elde edilir. λ G = λ I k = lim λ I k = lim 3 2 = 0 k k k SORU 8: µ dönüşümü X üzerinde dış ölçü olsun. E X kümesi µ ölçülebilir ise A X için µ E A + µ E A = µ E + µ A olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 8: E kümesi µ ölçülebilir olduğundan A X için µ A = µ A E + µ A E t 2 dır. 2 ifadesi A X için gerçeklendiğinden A E X için de geçerlidir.

54 Yani, µ A E = µ A E E + µ A E E t = µ E + µ A E t yazılabilir. Bu ifade 2 ifadesinde dikkate alınırsa µ A = µ A E + µ E A µ E istenileni elde edilir. 2

55 3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU : f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM : Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f α, := {x R : f x > α} B R olduğunu göstermeliyiz. α < 0 olsun. {x R : f x > α} =, a B R 0 α < b olsun. {x R : f x > α} =, a 2 B R α b olsun. {x R : f x > α} =, a 3 B R

56 olup f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 2: Pozitif f fonksiyonu ölçülebilir ise f fonksiyonu da ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2: α R için { x X : } f x > α A olduğu gösterilmelidir. α < 0 olsun. { x X : } f x > α = X A α 0 olsun. { x X : f x > α } = {x X : f x > α 2 } A olup f fonksiyonu ölçülebilirdir. için SORU 3: X, A ölçülebilir uzay olsun. f fonksiyonu ölçülebilir ise α R {x X : f x = α} kümesinin ölçülebilir olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 3: {x X : f x = α} = {x X : f x α} {x X : f x α} olarak yazılabilir. f fonksiyonu ölçülebilir olduğundan yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki iki küme ölçülebilirdir. Yani A σ cebirine aittir. Dolayısıyla {x X : f x = α} A olup ölçülebilirdir. 2

57 SORU 4: f : R R, f x = sgnx ise f fonksiyonunun Borel ölçülebilir olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 4: α R için {x R : f x > α} B R olduğunu göstermeliyiz. f x = sgnx = ; x < 0 0 ; x = 0 ; x > 0. α < ise {x R : f x > α} = R B R α < 0 ise {x R : f x > α} = [0, + B R 0 α < ise {x R : f x > α} = 0, + B R α > ise {x R : f x > α} = B R olup f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 5: f : R R, f x = x ; x < 0 ; x = 0 x ; x > 0 ile tanımlanan f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. Gösteriniz. 3

58 ÇÖZÜM 5: Şekil 3. f fonksiyonunun grafiği α < 0 ise {x R : f x > α} = a, B R 0 α < ise {x R : f x > α} = [0, B R α 3 ise {x R : f x > α} = 0, B R α > 3 ise {x R : f x > α} = a 2, B R olup f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 6: f : R R ölçülebilir fonksiyon ve c > 0 olsun. f x ; f x c f c x := c ; f x > c c ; f x < c şeklinde tanımlanan f c fonksiyonunun ölçülebilir olduğunu gösteriniz. 4

59 ÇÖZÜM 6: Şekil 4. f c fonksiyonunun grafiği α < c ise {x R : f x > α} = R B R c α < c ise {x R : f x > α} = a, B R α c ise {x R : f x > α} = B R olup f c fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 7: X, A ölçülebilir uzay ve A A olsun. f : A R fonksiyonu için aşağıdaki önermeler denktir. Gösteriniz. a f, A σ cebirine göre ölçülebilirdir. b U R açık alt kümesi için f U A. c F R kapalıalt kümesi için f F A. 5

60 d B R Borel alt kümesi için f B A. ÇÖZÜM 7: a = b f fonksiyonu A σ cebirine göre ölçülebilir olsun. a k, b k açık aralıklar olmak üzere R nin herbir U açık alt kümesi U = a k, b k şeklinde bir gösterime sahiptir. f fonksiyonu ölçülebilir olmasından elde edilir. f U = f = = = a k, b k f a k, b k f, b k a k, + f, b k f a k, + A b = c F kapalı ise F t açıktır. Hipotezden f F t A olacaktır. A σ cebir olduğundan gerçeklenir. f F t A = [f F ] t A { = [f F ] t} t A = f F A c = d F := {F R : f F A} sınıfı σ cebirdir. f F A olduğundan F F olup F t F sağlanır. Borel cebiri açık kümelerin en küçük 6

61 σ cebiri olduğundan B R F olmalıdır. O halde keyfi B R Borel kümesi için B F gerçeklenir. Hipotezden ise f B A elde edilir. d = a B R Borel kümesi için f B A olsun. B = α, alalım. Bu durumda yukarıdaki ifadeden f α, = {x A : f x > α} A olacaktır. O halde f fonksiyonu ölçülebilirdir. SORU 8: X, A ölçülebilir uzay, f : X R fonksiyonu A ölçülebilir ve g : R R sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda gof : X R fonksiyonu A ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 8: α R için {x X : gof x > α} A olduğunu göstermeliyiz. {x X : gof x > α} = gof α, = f og α, olarak yazılabilir. g fonksiyonu sürekli olduğundan g α, kümesi R nin açık alt kümesidir. f ölçülebilir fonksiyon olduğundan Soru 7 nin b şıkkından f g α, A 7

62 olmalıdır. Bu ise gof fonksiyonunun A ölçülebilir olduğunu gösterir. SORU 9: X, A, µ ölçü uzayıtam olsun. f : X R ölçülebilir fonksiyon ve hemen hemen heryerde h.h.h. f = g ise g : X R fonksiyonu da ölçülebilirdir. ÇÖZÜM 9: α R için {x X : g x > α} A olduğunu göstermeliyiz. X : = {x X : f x = g x} X 2 : = {x X : f x g x} olmak üzere X = X X 2 dir. Bu durumda hipotez yardımıyla µ X 2 = 0 gerçeklenir. {x X : g x > α} = {x X : f x = g x > α} {x X 2 : f x g x > α} olarak yazılabilir. X A olduğu açıktır. f fonksiyonu ölçülebilir olduğundan {x X : f x = g x > α} A 2 dır. Diğer taraftan {x X 2 : f x g x > α} X 2, X 2 A ve µ X 2 = 0 olduğundan {x X 2 : f x g x > α} kümesi µ boş kümedir. X, A, µ ölçü uzayıtam olduğundan {x X 2 : f x g x > α} A 3 gerçeklenir. 2 ve 3 ifadeleri ifadesinde dikkate alınırsa g fonksiyonunun ölçülebilir olmasıelde edilir. 8

63 SORU 0: "Görüntü kümesi sonlu elemanlıolan fonksiyona basit fonksiyon denir." X, A ölçülebilir uzay, ϕ : X R basit fonksiyon ve ϕ X = {a,..., a p } olsun. ϕ fonksiyonu ölçülebilir k =,..., p için {x X : ϕ x = a k } A önermesi doğrudur. Gösteriniz. ÇÖZÜM 0: = ϕ fonksiyonu ölçülebilir olsun. Bu durumda α R için {x X : ϕ x α} A ve {x X : ϕ x α} A sağlanır. Bu ifadeler aşağıda dikkate alınırsa {x X : ϕ x = a k } = {x X : ϕ x a k } {x X : ϕ x a k } A elde edilir. = k =,..., p için {x X : ϕ x = a k } A olsun. α < a ise {x X : ϕ x > α} = X A a α < a 2 {x X : ϕ x > α} = X\ {x X : ϕ x = a } A a 2 α < a 3 {x X : ϕ x > α} = X\ {x X : ϕ x = a } {x X : ϕ x = a 2 }

64 sağlanır. İşlemlere bu şekilde devam edilirse ϕ fonksiyonunun ölçülebilir olması elde edilir. SORU : Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz. a χ A B = χ A.χ B b χ A B = χ A + χ B χ A B c χ A t = χ A ÇÖZÜM : a x A B ise x A ve x B olup χ A B =, χ A =, χ B = olup eşitlik sağlanır. x / A B ise x / A veya x / B dir. O halde üç durum söz konusudur: x / A x B = χ A = 0, χ B = ve χ A B = 0 x A x / B = χ A =, χ B = 0 ve χ A B = 0 x / A x / B = χ A = 0, χ B = 0 ve χ A B = 0 olup istenilen eşitlik elde edilir. b x A B ise x A veya x B dir. Dolayısıyla üç durum söz konusudur: x A x / B = χ A =, χ B = 0, χ A B = 0 ve χ A B = x / A x B = χ A = 0, χ B =, χ A B = 0 ve χ A B = x A x B = χ A =, χ B =, χ A B = ve χ A B = incelemeleri dikkate alınırsa b şıkkındaki eşitlik sağlanır. 0

65 x / A B ise x / A ve x / B dir. Bu durumda da b şıkkındaki eşitlik gerçeklenir. c x A ise x / A t olup χ A = ve χ A t = 0 dır. x / A ise x A t olup χ A = 0 ve χ A t = bulunur. Dolayısıyla c şıkkındaki istenilen eşitlik gerçeklenir. SORU 2: Aşağıdaki kümeler Borel ölçülebilir midir? a { x R : } e x x 2 b { x R : } xsgnx = 3 2 ÇÖZÜM 2: Hatırlatacak olursak: "X, A ölçülebilir uzay, A A olsun. f ile g, A üzerinde tanımlıölçülebilir fonksiyon ise bu durumda {x A : f x < g x} {x A : f x g x} {x A : f x = g x} kümeleri ölçülebilirdir." a f x = x 2, g x = ex fonksiyonları sürekli olduğundan Borel ölçülebilir fonksiyonlardır. O halde yukarıda verilen hatırlatmadan { x R : e x x } B R 2 elde edilir.

66 b { { } { x R : xsgnx = 2} 3 = x R : x = 3 2 = 3, 3 2 2} B R olup verilen küme Borel ölçülebilirdir. 2

67 4. İNTEGRAL 4. Basit Fonksiyonların İntegrali SORU : c R + olmak üzere X cdµ = cµ X olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM : A A olsun. X = A A t olup c = cχ A + cχ A t olarak yazılabilir. cdµ = cµ A + cµ A t X = c [ µ A + µ A t] = cµ A A t = cµ X bulunur. SORU 2: R, B R, λ ölçü uzayı ve c R + olmak üzere ifadesini hesaplayınız. b cdλ = a [a,b] cdλ ÇÖZÜM 2: Soru dikkate alınırsa elde edilir. b a cdλ = cλ [a, b] = c b a SORU 3: R, B R, λ ölçü uzayıve 2 ; 0 x < f x := 3 ; 2 < x 4 ; 4 < x 5

68 olmak üzere f dλ integralini hesaplayınız. [0, 2,5] n ÇÖZÜM 3: A k kümeleri ayrık, A k = X, f = n a k χ Ak ise f dµ = X n a k µ A k olduğu bilinmektedir. X = [0, 2, 4] 4, 5] olup f = 2χ [0, + 3χ 2,4] + χ 4,5] şeklinde ifade edilebilir. Yukarıda verilen bilgi ışĭgında f dλ = 2λ [0, + 3λ 2, 4] + λ 4, 5] [0, 2,5] = = 9 elde edilir. SORU 4: R, B R, λ ölçü uzayı, ϕ : [0, 2] R olmak üzere ϕ x = [ 2x ] için [0,2] ϕ dλ integralini hesaplayınız. 2

69 ÇÖZÜM 4: 0 ; 0 x < 2 ϕ x = [ 2x ] = ; 2 x < 2 ; x < ; 3 2 x < 2 4 ; x = 2 ve [0, 2] = [ 0, 2 [ 2, [, 3 2 [ 3 2, 2 {2} olduğu dikkate alınırsa ϕ = 0χ [0, 2 + χ [, + 2χ 2 [, 2 + 3χ 3 [ 3,2 + 4χ {2} 2 olarak yazılabilir. Sayılabilir kümenin Lebesgue ölçüsü sıfır olduğundan [0,2] [ ϕ dλ = 0λ 0, [ [ + λ 2 2, + 2λ, 3 [ 3 + 3λ 2 2, 2 + 4λ {2} = 3 elde edilir. SORU 5: N, P N, µ ölçü uzayı, ϕ : {0,, 2} R, ϕ x = [ 2x ] olmak üzere {0,,2} ϕ dµ integralini hesaplayınız. Burada µ sayma ölçüsüdür. 3

70 ÇÖZÜM 5: ϕ x = 0 ; x = 0 2 ; x = 4 ; x = 2 ve ϕ = 0χ {0} + 2χ {} + 4χ {2} olduğu göz önüne alınırsa ϕ dµ = 0µ {0} + 2µ {} + 4µ {2} {0,,2} = = 6 bulunur. SORU 6: R, B R, λ ölçü uzayı, f : 0, R 2 ; x Q 0, f x := ; x I 0, olmak üzere 0, f dλ integralini hesaplayınız. ÇÖZÜM 6: f = 2χ Q 0, + χ I 0, olup 0, f dλ = 2λ Q 0, + λ I 0, yazılabilir. Q 0, kümesi sayılabilir olduğundan Lebesgue ölçüsü λ Q 0, = 0 dır. Diğer yandan λ 0, = λ [Q 0, ] [I 0, ] = λ Q 0, + λ I 0, 4

71 eşitliğinden λ I 0, = elde edilir. Dolayısıyla bu ifadeler ifadesinde dikkate alınırsa 0, f dλ = = bulunur. SORU 7: X, A, µ ölçü uzayıve A A olsun. a dµ = µ A. A b x A için ϕ n x K ise ϕ n dµ Kµ A. olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 7: a dµ = χ A dµ =.µ A = µ A A b A ϕ n dµ A X ϕ n dµ A A Kdµ = K A dµ = Kµ A bulunur. 5

72 4.2. Pozitif Fonksiyonların İntegrali SORU : f n, M + X, A kümesinde bulunan fonksiyonların monoton artan dizisi ve h.h.h. lim f n = f ise lim X f n dµ = X f dµ gerçeklenir. Gösteriniz Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık yerine hemen hemen heryerde yakınsaklığın alınabileceğini göstermektedir. ÇÖZÜM : Hemen hemen heryerde lim f n = f ve f n monoton artan dizi olsun. A := { x X : } lim f n x f x kümesini tanımlayalım. Bu durumda µ A = 0 dır. Dolayısıyla f n χ A t dizisi fχ A t fonksiyonuna yakınsak olacaktır. Diğer yandan f n dizisi monoton artan olduğundan f n χ A t dizisi de monoton artandır. n N için f n ölçülebilir ve χ A t ölçülebilir olduğundan f n χ A t ölçülebilir fonksiyonların dizisidir. Ayrıca n N için f n negatif olmayan fonksiyon dizisi olduğundan f n χ A t negatif olmayan fonksiyon dizisidir. Sonuç olarak f n χ A t M + X, A sağlanır. Bu bilgiler yardımıyla Monoton yakınsaklık teoreminden lim X f n χ A t dµ = X fχ A t dµ gerçeklenir.

73 f = fχ A + fχ A t olup f dµ = fχ A + fχ A t dµ = fχ A dµ + fχ A t dµ 2 X X X X sağlanır. Lebesgue integralinin tanımından fχ A dµ = f dµ = sup ϕ dµ : X A A ϕ S +, ϕ f 3 n n yazılabilir. A k A ayrık kümeler, A k = A ve ϕ = a k χ Ak olmak üzere n ϕ dµ = a k µ A k 4 A olduğunu biliyoruz. A k A olduğunda µ A k = 0 gerçeklenmelidir. Dolayısıyla ϕ dµ = 0 olup 2 ifadesi dikkate alınırsa fχ A dµ = 0 bulunur. Bulunan bu A sonuç ifadesinde göz önüne alındığında X X f dµ = X fχ A t dµ 5 bulunur. Diğer yandan benzer düşünce ile X f n dµ = X f n χ A t dµ 6 elde edilebilir. 5 ve 6 ifadesi ifadesinde kullanılırsa lim X f n dµ = X f dµ istenilen sonuç elde edilir. 2

74 SORU 2: ϕ S + Basit, ölçülebilir ve negatif olmayan ve E A olmak üzere γ E := ϕχ E dµ şeklinde tanımlanan dönüşüm A üzerinde ölçüdür. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2: γ E := ϕχ E dµ = ϕ dµ olduğu bilinmektedir. X X i γ = ϕχ dµ = ii E A için X ϕ dµ = E n a k µ = 0. γ E = ϕχ E dµ = ϕ dµ 0 dµ = 0µ E = 0 X E E gerçeklenir. iii E i A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Beppo-Levi teoreminden γ elde edilir. E i i= X = ϕχ dµ E i = ϕ = X i= i= χ Ei dµ ϕχ Ei dµ = i= X i= γ E i O halde γ dönüşümü A üzerinde ölçüdür. 3

75 SORU 3: f : N R, f x = xx+ olmak üzere N f dµ integralini a µ = λ Lebesgue ölçüsü olmasıdurumunda b µ ölçüsünün sayma ölçüsü olmasıdurumunda hesaplayınız. ÇÖZÜM 3: µ ölçüsünün özelliklerini kullanarak bulunur. f dµ = N {n} f dµ = {n} x + x dµ = {n} n + n dµ = dµ = n + n {n} n + n µ {n} dır. a µ = λ Lebesgue ölçüsü olmasıdurumunda µ {n} = 0 olacağından f dµ = 0 N b µ ölçüsünün sayma ölçüsü olmasıdurumunda ise µ {n} = olacağından f dµ = N n + n = 4

76 elde edilir. SORU 4: R, B R, λ ölçü uzayıve n N için f n x = χ [0,n] x olsun. Bu durumda a f n dizisi monoton artan mıdır? b lim f n = χ [0,n] := f olduğunu gösteriniz. c lim f n dλ = f dλ gerçeklenir mi? R R ÇÖZÜM 4: a n N için ; x [0, n] f n x = 0 ; x / [0, n] ; x [0, n + ] ; f n+ x = 0 ; x / [0, n + ] dır. Bu fonksiyonlar dikkate alınırsa x [0, n] = f n x =, f n+ x = x n, n + ] = f n x = 0, f n+ x = x / 0, n + = f n x = 0 f n+ x = 0 olup x R ve n N için f n x f n+ x gerçeklenir. O halde f n dizisi fonksiyonların monoton artan dizisidir. 5

77 b x R olmak üzere lim f n x = lim χ [0,n] = = lim ; x [0, 0 ; x / [0, ; x [0, n] 0 ; x / [0, n] = χ [0, x sağlanır. c lim f n x dλ = lim R R χ [0,n] x dλ = lim dλ = lim λ [0, n] = + [0,n] ve f dλ = χ [0, dλ = R R dλ = + [0, olup istenilen eşitlik sağlanır. SORU 5: R, B R, λ ölçü uzayıve n N için f n x = n χ n+ [ n+ n, n+ n ] x olmak üzere lim f n x dλ R ifadesini hesaplayınız. ÇÖZÜM 5: n N için f n fonksiyonlarıbasit fonksiyon olup n ; x [ n+ n+ f n x =, ] n+ n n 0 ; x / [ n+, ] n+ n n 6

78 dır. Şimdi Monoton yakınsaklık teoreminin hipotezlerini sağlatalım: i x R ve n N için f n x 0. ii [ n+, ] n+ n n kümesi ölçülebilir olduğundan n N için fn fonksiyonları da ölçülebilirdir. iii x R için lim f n x = lim = = χ [,] x n ; x [ n+, ] n+ n+ n n ] 0 ; x / [ n+, n+ n n ; x [, ] 0 ; x / [, ] elde edilir. iv x R ve n N için f n x f n+ x olduğunu göstermeliyiz. n ; x [ n+ n+ n f n x =, ] n+ n ve f ] n+ x = olup 0 ; x / [ n+, n+ n n n+ ; x [ n+2, ] n+2 n+2 n+ n+ ] 0 ; x / [ n+2, n+2 n+ n+ x [ n+2, ] n+2 n+ n+ = f n x = n, f n+ n+ x = n+ n+2 x / [ n+, ] [ n+ n n \ n+2, ] n+2 n+ n+ = fn x = n, f n+ n+ x = 0 x / [ n+, ] n+ = f n n n x = 0, f n+ x = 0 7

79 ifadelerinden f n dizisinin fonksiyonların monoton artan dizisi olmasıelde edilir. Dolayısıyla f n dizisi Monoton yakınsaklık teoreminin hipotezlerini gerçekler. Böylece bulunur. lim R f n x dλ = lim R = R lim = χ [,] dλ = R n n + χ [ n+ n, n+ n n n + χ [ n+ n, n+ [,] ] dλ dλ n ] dλ = 2 SORU 6: R, B R, λ ölçü uzayıve n N için f n x = n χ [n, x olmak üzere lim f n x dλ f x dλ R R olduğunu gösteriniz. Bu sonuç Monoton yakınsaklık teoremi ile çelişir mi? Burada f fonksiyonu f n dizisinin yakınsadığıfonksiyondur. ÇÖZÜM 6: n N için f n M + R, B R dir. Ayrıca lim f n x = lim = 0 := f x ; x [n, n 0 ; x / [n, 8

80 gerçeklenir. Bu ifadeler yardımıyla lim R f n x dλ = lim R n χ [n, dλ = lim λ [n, = + n ve bulunur. Dolayısıyla f dλ = 0 dλ = 0 R R lim f n x dλ f x dλ R R sağlanır. Diğer yandan x [n, n + için f n x = n, f n+ x = 0 olduğundan f n dizisi fonksiyonların monoton artan dizisi olamaz. Böylece elde edilen sonuç Monoton yakınsaklık teoremi ile çelişmez. SORU 7: R, B R, λ ölçü uzayıolmak üzere n N için f n x = n χ [0,n] x ve f = 0 fonksiyonları veriliyor. f n fonksiyon dizisinin f = 0 fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz. mıdır? lim f n x dλ = f x dλ R R ÇÖZÜM 7: n N ve x R için f n x f x = n χ [0,n] x 0 n 9

81 olup c n = n dizisi sıfıra yakınsayan dizi olduğundan fn fonksiyon dizisi f = 0 fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Diğer yandan lim R f n x dλ = lim R n χ [0,n] dλ = lim λ [0, n] = n ve gerçeklenip f x dλ = 0 dλ = 0 R R lim f n x dλ f x dλ R R olduğu görülür. SORU 8: Monoton yakınsaklık teoremini kullanarak olduğunu gösteriniz. lim 0 + x n n dx = e ÇÖZÜM 8: n N ve x [0, ] için f n x = + x n n olarak belirleyelim. i n N ve x [0, ] için f n x > 0 dır. ii n N ve x [0, ] için f n x = + x n n fonksiyonlarısürekli olduğundan ölçülebilirdir. 0

82 iii lim f n x = lim + x n n = e x := f x. iv Bernoulli eşitsizliği kullanılırsa n N ve x [0, ] için f n+ x f n x = = = + x n+ n+ + x + x n n n 2 n+ + nx + n n + x n 2 + nx + n + x n n+ x n + x n + x n + n x n + x = n + x n gerçeklenir. Dolayısıyla n N ve x [0, ] için f n x f n+ x sağlanır. O halde Monoton yakınsaklık teoreminden lim 0 istenilen eşitlik bulunmuş olur. + x n dx = n 0 e x dx = e SORU 9: α > için x α e x 0 e dx = Γ α x olduğunu gösteriniz. Burada Γ α = e x x α dx Gama fonksiyonu dır. ÇÖZÜM 9: u k = e x < olduğundan u u 0 n α u < serisi düzgün yakınsaktır. x 0, için e x e = x e kx

83 gerçeklenir. n N için s n x := x α n tanımlayalım. Bu durumda soruda verilen ifade e kx ; α >, x > 0 x α e x 0 e dx = x 0 lim s n x dx olarak yazılabilir. O halde s n fonksiyon dizisine Monoton yakınsaklık teoremini uygulayalım: i x 0, ve n N için s n x > 0 dır. ii x 0, ve n N için s n fonksiyonlarısürekli olduğundan s n fonksiyonlarıölçülebilirdir. iii x 0, için gerçeklenir. lim s n x = lim n x α e kx = x α e kx = x α e x e x iv x 0, ve n N için s n x = x α n e kx x α n+ 2 e kx = s n+ x

84 olup s n fonksiyonların artan dizisidir. Dolayısıyla Monoton yakınsaklık teoreminden x α e x 0 e dx = x 0 istenilen eşitlik gerçeklenmiş olur. lim s n x dx = lim s n x dx 0 = lim x α n 0 e kx dx n = lim x α e kx dx 0 = x α e kx dx 0 = Γ α n α SORU 0: R, B R, λ ölçü uzayıolsun. Aşağıda verilen fonksiyon dizileri için Fatou lemmasının geçerli olup olmadığınıaraştırınız. a f n x = nχ [ n, 2 n] x b g n x = χ [n,n+ x c h n x = χ [n, x 2n ; a x < b n n d r n x = 0 ; b x < b n 3

85 ÇÖZÜM 0: a f n x = n ; x [, ] 2 n n ] 0 ; x / [ n, 2 n olup n N ve x R için f n x 0 ve ölçülebilirdir. Ayrıca x R için lim inf f n x = 0 dır. R lim inf f n dx = 0 dx = 0 R ve lim inf R f n dx = lim inf R [ nχ [ n, dx = lim inf n] nλ 2 n, 2 ] = n sağlanıp Fatou lemmasıgerçeklenir. ; x [n, n + b g n x = 0 ; x / [n, n + olup n N ve x R için g n x 0 ve ölçülebilirdir. x R için lim g n x = 0 olup lim inf g n x = 0 dır. R lim inf g n dx = 0 dx = 0 R ve lim inf R g n dx = lim inf R χ [n,n+ dx = lim infλ [n, n + = olup Fatou lemmasısağlanır. ; x [n, c h n x = 0 ; x / [n, olup n N ve x R için h n x 0 ve ölçülebilirdir. Ayrıca x R için lim h n x = 0 olup lim inf h n x = 0 dır. R lim inf h n dx = 0 dx = 0 R 4

86 ve lim inf h n dx = lim inf R [n, dx = eşitlikleri dikkate alınırsa Fatou lemmasının gerçeklendiği görülür. d n N ve x [ b n, b için r n x < 0 olduğundan Fatou lemmasıgeçerli değildir. SORU : X, A, µ ölçü uzayı ve f n dizisi f fonksiyonuna yakınsayan, pozitif, ölçülebilir fonksiyonların dizisi olsun. n N için f n f ise gerçeklenir. Gösteriniz. f dµ = lim inf f n dµ X X ÇÖZÜM : Fatou lemmasından lim inf f n dµ lim inf f n dµ X gerçeklenir. f n f olduğundan lim inf f n = f dir. Bu durumda X f dµ lim inf f n dµ 7 X X sağlanır. f n, f fonksiyonlarıpozitif ölçülebilir fonksiyonlar ve n N için f n f olduğundan f n dµ f dµ = lim inf f n dµ f dµ 8 X X X X bulunur. 7 ve 8 ifadesinden istenilen eşitlik bulunur. 5

87 SORU 2: X, A, µ ölçü uzayı, h M + X, A ve h dµ < olsun. Eğer X f n dizisi n N için h f n olacak şekilde ölçülebilir fonksiyonların dizisi ise olduğunu gösteriniz. lim inf f n dµ lim inf f n dµ X X ÇÖZÜM 2: n N için h f n olduğundan g n = f n + h ile tanımlıg n dizisi pozitif ölçülebilir fonksiyonların dizisidir. Dolayısıyla g n dizisine Fatou lemmasıuygulanabilir. 9 ifadesi kullanılırsa lim inf f n + h dµ lim inf f n + h dµ X X [ = lim inf f n dµ + ] h dµ X X = lim inf f n dµ + h dµ 9 X X X X lim inf f n + h lim inf f n dµ + X dµ lim inf f n dµ + h dµ X X h dµ lim inf f n dµ + h dµ X X elde edilir. X h dµ < olduğundan istenilen eşitsizlik gerçeklenir. 6

88 4.3. İntegrallenebilen Fonksiyonlar SORU : N, P N, µ ölçü uzayıve µ sayma ölçüsü olsun. f L f n < önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. Bu durumda dır. f dµ = f n N ÇÖZÜM : µ sayma ölçüsünün özelliğinden N f dµ = {n} = {n} f dµ f dµ = f n dµ = f n µ {n} = f n {n} eşitliği gerçeklenir. Bu eşitlikten f L f n < önermesinin doğru olduğu görülür. Yukarıda yapılan işlemler f yerine f alınması ile tekrardan yapılırsa f dµ = f n N elde edilir.

89 SORU 2: X, A, µ ölçü uzayı, f L, µ E = 0 olsun. Bu durumda f dµ = 0 olduğunu gösteriniz. E ÇÖZÜM 2: f ; x E fχ E = 0 ; x / E olup µ E = 0 olduğundan hemen hemen heryerde fχ E = 0 dır. Bu durumda 0 dµ = fχ E dµ X X gerçeklenir. Bu ifade ise f dµ = fχ E dµ = 0 E X olmasınıgerektirir. SORU 3: R, B R, λ ölçü uzayı ; x Q f x := x 3 2 ; x / Q olmak üzere [0,] f dλ integralini hasaplayınız. ÇÖZÜM 3: λ Q = 0 olduğundan hemen hemen heryerde f x = x 3 2 dir. g : R R x gx=x 3 2 2

90 olarak tanımlayalım. Bu durumda f dλ = g dλ [0,] [0,] sağlanır. g fonksiyonu Riemann anlamında integrallenebilir olduğundan Lebesgue anlamında da integrallenebilirdir ve bu iki integral değerleri birbirine eşittir. Dolayısıyla f dλ = g dλ = [0,] [0,] 0 x 3 2 dx = 7 4 bulunur. SORU 4: R, B R, λ ölçü uzayı e x ; x Q f x := x 3 ; x / Q olmak üzere [0,] ÇÖZÜM 4: f dλ integralini hasaplayınız. g : R R x gx=x 3 olarak tanımlayalım. λ Q = 0 olduğundan hemen hemen heryerde f = g dir. Bu durumda f dλ = g dλ [0,] [0,] sağlanır. g x = x 3 fonksiyonu [0, ] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğundan Lebesgue anlamında da integrallenebilir olup bu integraller 3

91 birbirlerine eşittir. Dolayısıyla f dλ = g dλ = x 3 dx = 0 4 bulunur. [0,] [0,] SORU 5: R, B R, λ ölçü uzayıve f : [0, ] R _ + ; x / Q f x := 0 ; x Q olmak üzere [0,] f dλ integralini hesaplayınız. ÇÖZÜM 5: Hatırlatacak olursak "X, A, µ ölçü uzayı, f : X [, + ] olsun. f L = H.h.h. x X için f x <." önermesi doğrudur. Soruya dönecek olursak λ Q = 0 olduğundan h.h.h. x [0, ] için f x = + dur. O halde hatırlatmadan f / L dir. SORU 6: f L ve g fonksiyonu sınırlıve ölçülebilir fonksiyon ise fg L olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 6: x X için g x K olacak şekilde K > 0 vardır. f L olduğu dikkate alınırsa fg dµ = X X elde edilir. Böylece fg L sağlanır. f g dµ K f dµ = K f dµ < X X 4

92 SORU 7: X, A, µ ölçü uzayı, n N için f n L olsun. f n dizisi f fonksiyonuna yakınsak ve lim f n f dµ = 0 X ise lim f n dµ = f dµ olduğunu gösteriniz. X X ÇÖZÜM 7: n N için f n L olduğu dikkate alınırsa 0 = lim X gerçeklenir. Buradan f n f dµ lim f n f dµ lim X lim olup istenilen ifade elde edilir. f n dµ f dµ = 0 X X f n f dµ 0 X SORU 8: Lebesgue yakınsaklık teoremini kullanarak ifadesini hesaplayınız. lim 0 + x n n dx ÇÖZÜM 8: n N ve x [0, ] için f n x = + x n n olsun. Şimdi Lebesgue yakınsaklık teoreminin hipotezlerini sağlatalım: i n N ve x [0, ] için f n fonksiyonlarısürekli olduğundan f n fonksiyonlarıölçülebilirdir. 5

93 ii x [0, ] için lim f n x = lim + x n n = e x dir. iii f x = e x fonksiyonu sürekli olduğundan ölçülebilirdir. iv n N için f n x = + x n n = g x olup 0 g x dx < sağlanır. Dolayısıyla Lebesgue yakınsaklık teoreminden elde edilir. lim 0 + x n dx = e x dx = n e 0 SORU 9: Lebesgue yakınsaklık teoreminden olduğunu gösteriniz. lim e x2 n n dx = 0 ÇÖZÜM 9: n N ve x [, için f n x = e x 2 n n olsun. i n N ve x [, için f n fonksiyonlarısürekli olduğundan f n fonksiyonlarıölçülebilirdir. e x 2 n n ii x [, için lim f n x = lim = 0 olur. iii f x = 0 sabit fonksiyon olduğundan ölçülebilirdir. 6

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği 3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU 1: f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM 1: Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f 1 ((α, )) := {x R : f (x) > α} B (R) olduğunu

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu

REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu REEL ANALİZ Tunç Mısırlıoğlu 9 Ocak 2011 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Tunç Mısırlıoğlu C Matematik-Bilgisayar

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

ANAL IZ III Aras nav Sorular

ANAL IZ III Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları

Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Reel Analiz I MATH 244 Bahar 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

Diziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2)

Diziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2) 2 86 Bölüm 9 Diziler Tanım 9. a 0, a, a 2,..., a n,... (9.) biçiminde sıralanmış sayılar kümesine dizi denilir. {a n }, (a n ) n=0, {a n} n=0 gibi gösterimler kullanılır. Bu gösterimlerde, i doğal sayısına

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz

Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz İçerik Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz 1 3 0 0 3 8 Ön Koşul Derse Kabul Koşulları Dersin Dili Türü Dersin Düzeyi Dersin Amacı İçerik Kaynaklar Türkçe

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı