PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

Transkript

1 PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara farklı bir bakış açısıyla yaklaşıp sistemli bir düşünme tarzı geliştirerek tekrarlı permütasyon sorularını daha kolay bir şekilde çözmelerine yardımcı olmak amaçlanmaktadır. GİRİŞ: Bu çalışmanın konu ile ilgili diğer çalışmalardan farkı, tekrarlı permütasyonun binom açılımı yardımıyla hesaplanabileceğini göstermesidir. Genel olarak, tane, tane,, tane olan n-harfli bir kelimenin harfleriyle yazılabilecek n-harfli kelimelerin sayısını veren formülün, açılımındaki teriminin katsayısı olduğu gösterildi. Böylece binom açılımının pek çok kullanımının yanı sıra tekrarlı permütasyonda da kullanılabileceği gösterilmiş oldu. 1

2 ANA BÖLÜM: (1) özdeşliğini 7. sınıfta öğrenmiştik. Bu açılımdan aklımıza şu soru geldi: ve harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak 2 harfli kaç farklı kelime yazabiliriz? Bu kelimeleri açık açık yazacak olursak kelimelerini elde ederiz. Bu dört kelime yukarıdaki (1) özdeşliğinde de elde edilmişti. Bu kelimelerin sayısı açılımının terim sayısıdır. Bu açılımın terim sayısının yazarak bulunduğunu biliyoruz. O halde terim sayısı olarak bulunur. [4] Şimdi ve harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak 3 harfli kaç farklı kelime yazabiliriz? Elde edilebilecek kelimeleri açık açık yazalım. AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB den oluşan sekiz kelime elde edilir. Her kelimedeki harfler arasında çarpım işlemi varmış gibi düşünüp, çarpmanın değişme özelliği de kullanılarak, bu sekiz kelime eşitliğinin sağ tarafındaki terimlerle de birebir örtüşmektedir. 2

3 açılımındaki terim sayısı olarak bulunur. Bu sayı aynı zamanda ve harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak 3 harfli yazılabilecek kelime sayısıdır. Şimdi de özdeşliğini ele alalım. Terim sayısı dir. Yani harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak, 3 harfli yazılabilecek kelime sayısı 27 dir. Eşitliğin son terimi olan 6ART deki 6 katsayısı ise harflerini, her bir kelimede birer kez kullanarak 3 harfli yazılabilecek kelime sayısıdır. Çünkü 6ART terimi, çarpma işleminin değişme özelliği kullanılarak açılımında ART, ATR, RAT, RTA, TAR, TRA terimlerinden elde edilmektedir. Binom Açılımı: [4] Örnek: CANAN kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır? Çözüm. CANAN kelimesinde 2 tane A ve 2 tane de N harfi olduğundan bu harflerle yazılabilecek her bir kelimede de 2 tane A ve 2 tane de N harfi olacaktır. O halde bu 3

4 kelimelerin sayısı açılımındaki teriminin katsayısıdır. O halde teriminin katsayısı dir. Bu katsayı da Tekrarlı permütasyon formülüyle de, CANAN kelimesinde 2 tane A ve 2 tane de N olduğundan bu harflerle yazılabilecek kelimelerin sayısı olarak hesaplanır. Örnek: MATEMATİK kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır? Çözüm: MATEMATİK kelimesinde 2 tane M, 2 tane A ve 2 tane de T harfi olduğundan, tekrarlı permütasyon formülüyle, bu harflerle yazılabilecek kelimelerin sayısı olarak hesaplanır. Şimdi bunu Binom açılımı kullanarak hesaplayalım. Kelimede 2 tane M, 2 tane A ve 2 tane de T harfi olduğundan bu harflerle yazılabilecek her bir kelimede de 2 tane M, 2 tane A ve 2 tane de T harfi olacaktır. O halde bu kelimelerin sayısı açılımındaki teriminin katsayısıdır. 4

5 O halde teriminin katsayısı dir. Bu katsayı da dir. Örnek: KARAKARTALLAR kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır? Çözüm: KARAKARTALLAR kelimesinde 2 tane K, 5 tane A, 3 tane R, 2 tane de L harfi olduğundan, tekrarlı permütasyon formülüyle, bu harflerle yazılabilecek kelimelerin sayısı olarak hesaplanır. 5

6 Şimdi bunu binom açılımı kullanarak hesaplayalım. Kelimede 2 tane K, 5 tane A, 3 tane R, 2 tane de L harfi olduğundan bu harflerle yazılabilecek her bir kelimede de 2 tane K, 5 tane A, 3 tane R, 2 tane de L harfi olacaktır. O halde bu kelimelerin sayısı açılımındaki teriminin katsayısıdır. O halde teriminin katsayısı dir. Bu katsayı da dir. Şimdi genel durumu inceleyelim. n-harfli bir kelime ele alalım. Bu kelimede tane, tane,, tane olsun. Tekrarlı permütasyondan, n-harfli kelimenin harfleriyle yazılabilecek n-harfli kelimelerin sayısı dir.[2], [3] Şimdi bunu binom açılımından yapalım. 6

7 Kelimede tane, tane,, tane harfi olduğundan bu harflerle yazılabilecek her bir kelimede de tane, tane,, tane harfi olacaktır. O halde bu kelimelerin sayısı açılımındaki teriminin katsayısıdır... O halde teriminin katsayısı dır. Bu katsayı da dır. 7

8 SONUÇLAR VE TARTIŞMA: Bu çalışmada tekrarlı permütasyonun binom açılımı yardımıyla hesaplanabileceği sonucuna varıldı. Ayrıca tüm harfleri farklı, n-harfli bir kelimenin tüm permütasyonlarının sayısının da binom yardımıyla hesaplanabileceği görüldü. Bu yöntemin her harfi farklı n-harfli bir kelimenin, olmak koşuluyla k- harfli permütasyonları için de uygulanıp uygulanamayacağı araştırılabilir. KAYNAKLAR: [1] Alizade, R. & Ufuktepe, Ü., (2006), Sonlu Matematik, Tubitak Yayınları, Ankara. [2] Berman, G. & Fryer,K.D.,(1970), Introduction To Combinatorics, Academic Press New York and London. [3] Tucker, A.,(2002), Applied Combinatorics, Fourth Edition, John Wiley&Sons, Co., NewYork. [4] Orta Öğretim Matematik Ders Kitabı ; MEB 8

9 EKLER: Resim1: Binom açılımı ve permütasyon sorularının çözüm yöntemleri araştırıldı. Resim 2: Binom açılımı yoluyla kelimelerin permütasyonları hesaplandı 9

10 Resim 3: Binom açılımı yoluyla kelimelerin permütasyonları hesaplandı Resim 4: Proje rapor edildi. 10