hesaplayıcıyı; yanı bugün FACİT ya da kollu mekanik hesap makinesi olarak da bilinen mekanik hesaplama aracını elde edilmiştir.

Transkript

1 . GİRİŞ ımış trihçi LAFARA 973 sölediğie göre; bugü bile ilk kullım trihi ve sıırlrı kesi olrk bilimemekle birlikte, Nümerik Alizi çok eski ıllrd beri frklı şekillerde ve isimler ltıd kullıldığı ilgili birçok kklrd er ldığı sölemektedir. Buu çık bir kıtı olrk; bud klşık 37 ıl öce, Bbilliler i ikici derecede bir deklemi çözülerek köklerii sıl bulubileceğii, tm sılrı kreköklerii klşık olrk sıl hesplbileceğii ve bileşik fizle ilgili bzı problemleri lieer eterpolso ötemile sıl çözülebileceğii, bildiklerii ilgili kklrd rstlmk mümküdür AKAŞ, ÖNCÜL, URAL, 98. Yie bud klşık ıl öce, güümüzde Guss Elimiso Yötemi olrk bilie, lieer deklem sistemlerii çözümüle ilgi bir örekte mtris gösterimii kullılmış olduğu bzı Çili kklrd rıc ifde edilmektedir. Bezer şekilde, bzı Çili mtemtikçileri ıllrı rsıd üksek dereceli deklemleri ümerik çözümü içi, itertif klşm ötemii geelleştirdiklerie de ilgili kklrd rstlmk mümküdür FAUSE, 3. Buu eticeside; öceleri lieer deklem sistemlerii çözümüde kullılmış ol mtris gösterimi ve geelleştirile ei çözüm tekikleri, ı zmd üksek dereceli deklemleri çözümü içi de geişletilmiş olmktdır. Koul ilgili bir diğer örek; bud klşık 9 ıl öce şmış Ö. Hm ı üçücü derecede deklemleri çözümüle ilgili pmış olduğu rştırmlr ve eticede keşfetmiş olduğu ei çözüm ötemi, ılmış olduğu kedi eseride er lmktdır. Buu tkıp ede ıllrd, hle güümüzde Horer ötemi olrk geel cebir deklemlerii çözümüde kullılmkt ol bir diğer lgoritmı 436 ılıd öle Çemşid El-Kşi, trfıd kübik deklemeleri itertif ve trigoometrik ötemlerle çözümüde kullılmış olduğuu rıc ilgili kklrd rstlmk mümküdür. Htırlcğı gibi, ; W.G. Horer dh sor, 89 ılıd, bu koudki eski çlışmlrd hbersiz olrk pmış olduğu bzı çlışmlrı kedi dıl eide ılmıştır. Bezer şekilde, İskoçlı Joh Npier 64 ılıd logritm tblosuu düzeleerek ılmış ve eticede böle bir çlışm soucud birçok hesplmlr içi kullılbilecek ve güü koşullrı cevp verecek şekilde bir hesplm rcı hizmete suulmuştur. Bugü Newto d diğer dıl Newto-Rphso ötemi olrk bilie bir ötemi; 7 ılıd öce sdece bir poliomu köklerii itertif klşım olul bulmd kullıldığıı ve dh sorlrı, 74 ıllrıd homs Simpso trfıd bu ötemi dh d geişletilerek geel foksiolr içide kullılbilir olduğuu kıtldığı ilgili kklrd rıc er lmktdır. Nümerik lizde, dıd sıkç söz edile lor serisi; Brook lor trfıd 75 ılıd kurmsl olrk ele lırk icelemiş ve souçlrı geel htlrı ile ılmıştır. Ack, bu

2 formülü kl terimi hkkıd ilk bilgi dh sorlrı, 797 ılıd Joseph Louis Lgrge trfıd iceleerek verilmiştir. Güümüzde di difersiel deklemleri çözümüle ilgili kullıl ve bilie şimdiki dıl Ruge-Kutt ötemi; bud klşık ıl öce lm ugulmlı mtemtikçileride Crl Ruge ve M. W. Kutt trfıd geliştirildiği ilgili kklrd rıc belirtilmektedir FAUSE, 3. Ugulmlı mtemtikte koul ilgili bu gibi gelişmelere prlel olrk, çoğu zm sısl çözümleme ile rılmz bir bütü ol hesplm rçlrıd d bu geçe süre içeriside bezer şekilde çeşitli gelişmelerde bhsetmek mümküdür. Bu mçl kullılmış ilk ve e ilkel hesplm rcı; üzerie düğümler tılmış bir ipi olduğu ilgili kklrd sölemektedir. Dh sorlrı ı mc öelik geliştirilmiş bir diğer hesplm rcı; Çililer ve Greekler i birbirleride hbersiz keşfettikleri Abkus lerdir. Abkusler bugü dhi birçok doğu ülkeleride çeşitli prtik mçlı ritmetik işlemleri pılmsıd bir hesplm rcı olrk kullılmktdır. Ack, Abkusle pıl hesplmlrd eldekileri işlemlere ktmk oldukç zor ve eteek gerektirdiğide bulrı kullmk sıldığı kdr kol olmmktdır. Çoğu zm, bir hesplm rcı olrk kullılbilmeleri içi özel beceri gerektirmektedir. Bu gibi zorluklrd kurtulmk içi dh sorki ıllrd Abkus leri erie, birz dh prtik sılbile bir diğer mekik hesplm rcı ol sürgülü hesp cetvelleri i geliştirildiği görülmektedir. Bu mc öelik kou ile ilgili pılmış ilk olumlu çlışmlr; 6 ılıd, İgiliz mtemtikçi, Edmud Guter, dh öce 64 ılıd Joh Npier i bulmuş olduğu logritmlrı bir doğru üzeride işretlemei bşrmsıl bşlmıştır. Sürgülü hesp cetvelleri i de tsı sılbilecek bu hesplm rcı ile çrpm ve bölme işlemleri pbilmek içi de bir pergel geliştirilerek kullılmıştır. Bud bir ıl sor, bir bşk İgiliz mtemtikçi ol Willim Oughtred, 6 ılıd, Guter i geliştirdiği bu sistemi dh d ileri düzelere tşırk; çizgilerii her ikisii birbiri üzeride kbilecek bir şekildeki düzeekte geliştirerek, hesplmlrd pergel kullm ihticıı ortd kldırmıştır. Koul ilgili birçok çlışmlr soucud, 654 ılıd Robert Bissker, sbit bir gövdei iki kısmı rsıd kbile bir sürgüde ve iki trfı sbit bir gövdede oluş ilk sürgülü hesp cetvelii pmıştır. 85 ılıd, verier-grvet, sürgülü hesp cetvelleride gösterge cmı kullrk Mheim sürgülü hesp cetvelii ict etmiştir. Hesplm rçlrı ile ilgili frklı ıllrd pılmış bu gibi olumlu gelişmelere ilvete, dh ileri düzede ritmetik işlem pbile ilk mekik hesp mkiesi; ülü Frsız düşüürü Blise Pscl trfıd 64 ılıd geliştirilmiştir. Öceleri sdece toplm işlemi pbile bu tür hesp mkieleri 67 ılıd Gottfried Wilhelm Leibiz trfıd geliştirilerek çrpm işlemi de pbile mekik

3 hesplıcıı; ı bugü FACİ d kollu mekik hesp mkiesi olrk d bilie mekik hesplm rcıı elde edilmiştir. Bilidiği gibi, bu hesplm rçlrı ile hesp pmd işlemleri sırsı büük öem tşımktdır. Bu tür mkieleri mekik sistemler olmlrı, eticede bulr böle bir eteeği vermek oldukç zor htt bulrı çoğu prtik mçlr içi kullılbilmelerii zm zm olksızlştırmktdır. Çükü, bu mkielerde işlem sırsı kullıcılr trfıd dışrd idre edilmektedir. Souçt bu mkielerde böle bir işlemi hesplıcı ptırılbilmesi içi, 8 ılıd Frsız sıllı Jcqurd ı gerçekleştirdiği otomtik dokum tezghlrıdki sistemi, mkieler; üzeride belli rlıklrd delikler bulu bir krtou her bir deliğie sır geldiğide hgi rek ipliği kullcğı krr vermesi presibi çok büük fikir ktkısı sğlmıştır. rihide, dokumcılıkt devrim sılbilecek bu buluşt sor, İgiliz Mtemtikçi; Chrles Bbbge i 8 ılıd işlemleri birbiri rdı sırd pbile bir litik mkie tsrldığı ilgili kklrd mevcuttur. Bu gü dhi bilgisrlrı ilk tsı sılbilecek bir eilik ol bu düşüce, e zık ki o ıllrd heme ugulm olğı bulmdığı ilgili kklrd vurgulmktdır. Bbbge i bugükü bilgisrlr düşüce ve kvrm bkımıd çok kı sıl bu so derece öemli fikirleride sor bu ödeki rştırmlr bzı edelerde dolı bir sure durklmlr şmıştır. Ack, 89 ılıd, ABD pıl üfus sımı souçlrıı dh hızlı lbilmek içi H. Hollerith trfıd geliştirile mkiei pılmsıd, dh öce vrlığı bilie, Pscl, Jcqurd ve Bbbge i bu ödeki buluşlrıd çok büük ord fdlılmıştır. Bölece; delikli krt sistemii bilgisrlrd kullılmsıı ilk dımı d tılmıştır. Bilidiği gibi, bilgisr tekolojiside kullılmış ol bu delikli krt sistemie ugulmd Hollerith krtlrı ve kısc delikli krt sistemi de demektedir. Dh sorlrı, ilk bilgisr, 945 ılıd ABD de skeri mçlr içi pılmış ve eticeside kullılmıştır. UNIVAC dlı bu bilgisrlr 3 to ğırlığıd dev bir sistemde oluşmktdır. Öceleri sdece skeri mçlı işler içi geliştirilmiş ol bu mkielerde birkçı ABD ve İgiltere de sılı üiversitelerde kullılbildise de sivil mçlı kullılmlrı ilk def 953 ılıd geçilerek pislrd stılmlrı bşlmıştır. Aı ıllrd, mıktıslı şerit ve çekirdek bellekler geliştirilerek, hızlı zıcılr pılm bşlmıştır. 958 ılıd bilgisrlrı pımıd trsistörleri kullılmsı ile de bilgisr tekolojiside ei bir devir çılmıştır. Bölece ikici kuşk sılbile bu döemde, dh küçük boutlu ve geiş kpsiteli bilgisrlrı üretimi söz kousu olmuştur. 965 ılıd üçücü kuşk sıl dh krmşık 3

4 fkt çok dh eteekli, trsistörleri erie bütüleşik devreleri kulldığı bilgisrlr geliştirilmiştir. Her geçe gü bilgisr tekolojiside ei gelişmeler birbirii tkıp ederek, Persoel computer die tı PC ler ve dh sorlrı ilgili her türlü ei gelişmeler gerçekleştirilerek güümüzdeki durum ulşılmıştır. Burd pıl özet bzı çıklmlrd görüldüğü gibi; trihii belirli döemleride sısl hesp pm ötem ve tekikleri, kısc ümerik liz koulrı ile ilgili çeşitli trihsel gelişmeler, eskileri ile birlikte hierrşik bir düze sırsıd ele lıırs; öceleri Approimte Computtio ve Computtiol Mthemtics gibi isimler ltıd ele lımış olslr bile, 95 ıllrd sor bu isimler ıd so zmlrd, Numericl Alsis, so zmlrd ülkemizde bu isim erie gı olrk Sısl Çözümleme kullılmktdır, dıı d sıkç kullıldığı görülmektedir. Aı zmd bu trih, bilimde sırd bir trih olmıp, dh öce koul ilgili pılmış bzı çıklmlrd d lşılcğı gibi, frklı bilimsel ve tekolojik gelişmeleri birlikte htırlcğı bir trih olmktdır. Özetle bu gelişmelerde biri; 947 ılıd Los Ageles deki Klifori üiversitesii büeside kurulmuş ol Istitu of Numericl Alsis dlı estitüü ilk def bu trihte kurulmuş olmsıdır. Bir diğeri ise; Bilgisr tekolojisideki çok öemli gelişmeleri bu trihlere rstlmış olmsıdır. Bu durum, her iki frklı ödeki gelişmeleri birbirile e derece kı ilişkide olduğuu bir kıtı olmktdır. Arıc bu trih; ugulmlı mtemtik koulrı ile ilitili olrk mtrisler kousud olduğu kdr birçok diğer lieer cebir koulrıd d öemli gelişmeleri pıldığı trih olmktdır. Bu geel bilgileri ışığı ltıd Sısl Çözümleme ; ilk bkışt sdece kousu itibrile ele lıdığıd, mtemtiği ve ugulmlı mtemtiği bir lt kousudur gibi düşüülebilir. Bezer şekilde, sdece kullıl hesplm rçlrı ve işlem lgoritmsı öüde ele lıdığıd bilgisrlrl ol kı ilişkiside dolı ski bilişim ve bilgisr mühedisliğii bir lt kousu olduğu şeklide düşüülebiliir. Ack, ugulmlı mtemtikte koulr ğırlıklı olrk; sdece bir problemi çözümü içi gerekli ol mtemtik modelleri kurulmsı ı lgoritm kurm ve çözme işlemleri üzeride oğulşmktdır. Bu krşılık, bu bilgileri sıkç ugulm lı bulduğu bilgisr mühedisliğide ise; sdece modeli ve lgoritmsı bilie bir problemi bilgisr rdıml çözümü içi gerekli dilleri geliştirilmesi, doımlrı, lgoritmik çözüm süreçleri ve çeşitli sısl işlemler kou edilmektedir. Sısl çözümlemede ise hiçbir zm mç; sdece e böle bir modeli kurmk e de sdece çözmektir. Sısl çözümlemei mcı, bir 4

5 problemi çözümü içi dh öcede bilie bir modele göre çeşitli hesplm rçlrıı bir vsıt olrk kullıp e doğru ve etki souçlr z emek srf ederek e kıs ve hızlı old ulşmktır. Bu durumul, sısl çözümleme doğrud e ugulmlı mtemtiği, e de bilgisr mühedisliğii bir lt disipliidir. Her ikisile belli bir ord ilitili ol ve kedie özgü mç ve hesplm özelliklerii içere ortk bir disipli olduğu söleebilir. Kouu böle olduğuu dh lşılır olbilmesi içi koul ilgili, şğıd verilecek bzı çıklmlrı derilemesie icelemesi dh d fdlı olur. Koul ilgili bsit bir örek olrk, A şehride B şehrie doğru kr olu ile gide bir rcı hızı belli zmlrd ölçülerek, belli oktlr içi, t s v m s olrk elde edilior. Bu şekilde litik bğıtılr erie gözlemlere dlı deesel veriler elde edilerek bu rcı t, 35 siedeki hızı, ivmesii ve bşlgıç oktsıd itibre kt ettiği olu e kdr olduğuu hesplmsı isteebilir. Şüphesiz burd bu rcı zm bğlı olrk hızı bu şekilde değil de litik bir foksio ol v f t şeklide sürekli türde litik bir bğıtı ile verilmiş olsdı; soruu cevbı bilie mtemtik kurllr göre bu litik foksiod t. 35 lırk hızı, zm göre türevi lrk ivmesi ve bşlgıç oktsıd itibre etegrli lırk d bu kdr kt ettiği ol doğrud hesplbilir. Ack, burd rcı hızı bu gibi bir litik foksio erie, gözlemlere dlı deesel verilerle verilmiş olduğud problemi çözümü bu oll gerçekleştirilemez. Prtikte böle bir soru ck, sısl çözümlemei bilie koulrıd biri ol bsit Eterpolso ötemile cevpldırılbiliir. Bezer şekilde ı problemde, rcı belli oktlrdki hızı ıd ivmesi de verilmiş olsdı, işlemler dh d krmşık bir durum döüşecektir. Bu gibi durumlrd hız değerleri ivme değerleri ile birlikte ele lırk rzul souc ck Hermite çözüm klşımı ile ulşılbiliir. Koul ilgili ikici bir örek, Arzide koorditlrı bilie bir P p, oktı p p H üksekliği, çevrede H i ; i,, 3, 4, 5 ükseklikleri ve Pi i, i ; i,, 3, 4, 5 koordit değerleri bilie oktlr göre sısl rzi modeli biçimide belirlemek isteiorşekil. 5

6 . P,,. P,, H. P,, H3 H * P,, H p p p. P,, H4. P 5 5, 5, H5 Şekil : Sısl rzi modeli oktlrı Bu mçl, çevre oktlrı düzlem koordit değerleri; H ükseklikleri ve P, ; i,, 3, 4, 5 i i i i H i m P i, P, P, P, P, P, olrk verilmektedir. Burd verilmiş ol böle bir problemi çözümü, eğer okt üksekliklerii koordit değerlerie göre üze deklemi H f, biçimide koordit değişkelerii litik foksio hlide bilimiş olsdı, bu deklemde P p, p oktsıı p, p koordit değerlerii erie zmkl oktı H p üksekliği doğrud hesplbilirdi. Ack, sısl ugulmd böle bir litik deklem hiçbir zm doğrud biliemediğide, koordit değerleri bilie ve p p p H ükseklik değeri biliemee P,, H oktsıı p p p üksekliği, koordit ve ükseklik değerleri doğrud bilie P i i, i, Hi çevre d dk oktlrı göre ugulck bir sısl rzi modeli çözümü olul kolc hesplbilir. Bezer şekilde bir diğer örek; fizikte mgetik l problemii formülüze ede iki boutlu Poisso deklemi; A: vektörel potsieli, J : Akım oğuluğuu, v : çözüm pılck ortmı mgetik direcii göstermek üzere, A A v v J 6

7 olrk bilimektedir. Burd verilmiş ol Poisso deklemide v değeri A değerii doğrusl olm bir o-lieer bir foksioudur. Bu deklem fizikçiler trfıd uzu ıllr bilimesie rğme bzı özel durumlr dışıd, çözümü gerçekleştirilememektedi. Bugü ise gı bir şekilde ugul sısl çözümleme ötemleri ile bu deklem fzl sıd doğrusl deklemlere döüştürülerek, geiş kpsiteli bilgisrlrı d kullılmsı ile çözümü rtık soru olmkt çıkmış, kolc gerçekleştirilebilir hle gelmiştir. Öreği, bu deklem solu frklr d solu elemlr ötemile çözülmek istediğide; ile 5 det doğrusl eşitlik kurulmsı gerekmektedir. Bu gibi fzl sıd doğrusl deklemde oluş bir deklem sistemii elle çözmek öceleri oldukç zor bir işlem olmsı edeile, güümüzde gerek mtrisleri lt mtrislere bölümesi ve gerekse geiş kpsiteli bilgisrlrı kullılmsı ile rtık soru olmkt çıkmıştır AKPINAR, 994. Bezer bir diğer örekte, bir ülke d kıt büüklüğüdeki rzi prçlrıı ölçmek içi rzie birkç kilometre rlıklrl işretlee sbit oktlrı Niregi oktlrıı koorditlrıı tek bir koordit sistemide belirlemek içi; her oktd pıl gözlemlerde oktlrı kesi koordit değerlerii; E küçük kreler çözümüe göre hesplmkt d rstlmk mümküdür. Bu durumd, gözlem sısı kdr düzeltme deklemleri kurulmkt ve düzeltmeleri ğırlıklı krelerii toplmıı miimum kıl mç foksiou göre de bilimee sısı kdr orml deklemler elde edilmektedir. Bu deklemleri, ktsılr mtrisii boutlrı çok büük olcğıd bulrı her hgi bir şekilde çözmei çok zor olbileceği gibi, bzı durumlrd kodiso bozukluklrı d rstlmktdır. Bu gibi sorulrd kurtulmk içi; dh etki çözüm ötemleri kullılrk, ugu kpsiteli bilgisrlr rdımıl ck lmlı souçlr ulşmk mümkü olmktdır. Bölece; hızlı ve geiş kpsiteli hesplm rcı ol bilgisrlrı ilk gelişme ve kullm trihi ol 95 ıllr; ı zmd sısl çözümlemei ve mtris mtemtiği gibi lieer cebir koulrıı d büük gelişme ve öem kzdığı ıllr olmktdır. Neticede, pıl çıklmlrd, bu tekikleri birbirile e kdr kı ilişkili ve iç içe olduklrı, her durumd birbirlerii tmmlr koulr olduklrı bir kez dh, verilmiş ol öreklerde çıkç görülmektedir. Mtemtikte bir problemi rzul çözümü; gerek bilgisr, gerekse frklı hesplm rçlrı kullılrk çözüm içi gerekli ol solu sıdki tüm r işlemleri belli bir sırd sürekli pılrk elde edilmektedir. Çözüm içi bu şekilde düzeli olrk pılmsı ögörüle tüm işlem dımlrı hesplm ötemii mtemtik lgoritmsı olrk dldırılır. Böle bir lgoritm bşlıc; İput, İşlem ve Output d bir diğer ifde ile giriş, işlem ve souç bilgilerii içere üç rı üite hlide ele lıbilir Digrm. 7

8 Giriş Bilgileri İşlem Algoritmsı Çıkış Bilgileri İput Output Digrm.: Sısl çözümlemede işlem kışı Bir probleme ilişki mtemtik modeli çözümü içi kullılbilecek çeşitli lgoritmlrıd hgisii dh elverişli olduğu rgısı, lgoritmı hızı, etki ve doğru souçlr vermesi gibi özellikleride fdlılrk krr verilir. Zmı e ekoomik kullrk e kıs sürede souc ulşm r ötem hız bkımıd ekoomik olmkt ve dim tercih edilmektedir. Bu krşılık, souçlrı doğruluğu d gerçekçi olmsı, hfızlrı e fzl or ve sürekli emek gerektire bir diğer kou olrk her zm öemii korumktdır. Neticede, bir çözümde durlık kbı ede olbilecek fktörleri kğıı teşkil ede iput veri htlrı ve lgoritm htlrı deetim ltıd tutulduğu sürece elde edilecek output d çıktı bilgileri istee durlıkt ve güveirlikte değerler olmktdır. Özetle, bir çözüm lgoritmsı içi bu durum, Girişİput Bilgilerideki İşlem Algoritmsıd- ÇıktıOutput Bilgilerideki Htlr kkl Htlr Htlr Digrm. : Sısl çözümlemedeki htlr biçimide ifde edilebilir Digrm. Sısl çözümlemede, çeşitli problemleri çözmek içi geellikle litik foksiolrd elde edilmiş kesi veriler erie, gözlemlere dlı deesel veriler kullıldığıd her zm iput d giriş bilgilerideki htlrı souçlr üzerideki etkileride söz etmek mümkü olur. Verilerdeki bu htlr souç bilgilerie, çözüm içi kullıl lgoritmı foksioel özelliklerie bğlı etki ederek souçlrı olumsuz öde etkiler. Çözüm içi iput verisi olrk kullılck veriler htsız olslr bile, her problemle ilgili çözüm işlemleri, çözüm lgoritmsı ugu belli işlem sırsıd bilgisrlr gibi çeşitli hesplm rçlrı kullılrk pılmktdır. Güümüzde, bütü hesplm rçlrı her e kdr geiş kpsiteli olslr bile, oud bir sıırı olmsı edeile, belli bir doğrulukt işlem pm kpsitesie shiptirler. Bu hesplm rçlrı işlemleri prke kpsite sıırıı ş terimleri dikkte lmd d uvrltrk işlemlere devm eder. Bu edele, lgoritm 8

9 çözümüde elde edilecek souç bilgileri belli bir ord htlı olrk, gerçek değerde frklı değerler olrk elde edilecektir. Sısl çözümlemede bu özellikteki htlr uvrltm htlrı Roudoff error ve kesme htlrı ructio error olrk dldırılmktdırlr. Souçt; sısl çözümleme problemlerii çözümü sırsıd oluş bu tür htlr; uvrltm htlrı Roudoff error, kesme htlrı ructio error ve her türlü veri htlrı, çözüm soucud elde edile değerleri gerçek ve gerçeğe e kı doğru kbul edilebilecek değerler olmsı öüde büük öem tşımktdır. Bu mçl, hesplmlrd pılbilecek bu tür htlrı souçlr üzerideki olumsuz etkileri ve souçlrı doğruluğu, bir diğer ifde ile hespl souç bilgilerii gerçek değerleri e derece ifde edebildikleri bzı ht ölçütleri tımlrk d kullılrk deetleebilir. Sısl çözülmede bu durum her türlü problem çözümleri içi bilimesi gereke bir diğer kou olmktdır. Koul ilgili bu gibi kıs çıklmlrd sor; sısl çözümlemei mcı, krmşık ümerik liz problemlerii çok dh bsit sısl işlemleri kullrk çözmek ve eldeki solu sıdki verilerde istee ümerik souçlr ulşmk içi etki ötemleri seçerek, mevcut souçlrı değerledirmektir die ifde edilebilir. Bu göre sısl çözümleme ve diğer dıl ümerik liz, mtemtiksel modellerle ifde edilmiş çeşitli disiplilere ilişki problemleri çözümüde belli sıd ve sırd belirlemiş işlemleri bilgisrlr rdımıl prk belli bir durlığ ship souçlrı elde etmesi içi kullılbilecek ötemleri bulumsı, geliştirilmesi ve vr ollrı irdelemesi rıc e etki ollrı tespit edilmesi die tımlmk mümküdür. Souç olrk; ukrıd sözü edildiği gibi sısl çözümlemei, fizik, kim, bioloji, işletme, ekoomi ve dh birçok mühedislik dllrı gibi bzı ugulmlı mtemtiğe dlı disiplilerde kullılmsı her geçe gü öemii dh d rtırmktdır. Deesel bilgilere ve ugulmlı bilim dllrı dlı ol mühedislik disiplileri, her zm doğd vr ol ollrl uğrştıklrıd sısl olrk ifde edilebile gerçek, esel değerleri kou lırlr. Sl koulrl uğrşmzlr. Hlbuki, ümerik lizi geel koulrı içeriside sl çözümlere de er verilmektedir. Böle bir klşım çerçeveside, frklı mühedislik disiplileri ile ilgili koulr ele lıdığıd, burd dh çok tekik öde her zm bsitçe ugulbilir ve çözüm souçlrı gerçek d reel sılrd oluş sısl ötemleri çözüm lgoritmlrı üzeride durulcktır. Yeri geldikçe bzı problemler içi z d ols sl çözümlerde rıc söz edilecektir. Bu edele burd kou; dh çok reel problemlerle ilgili ve mühedislik disiplileri öüde öemli ol çözüm ötemleri üzeride oğulştırılmıştır. 9

10 . BÖLÜM RAKAM VE SAYILARLA İLGİLİ BAZI ANIMLAR VE EMEL İŞLEMLER. RAKAMLAR VE SAYILAR Nümerik lizde d diğer dıl sısl çözümlemede her zm bir lmı ol e temel birim sılrdır. Sılr; belli ktittif büüklükleri ifde etmek içi kullıl kesi ve ı zmd özel lm ve değerleri ol miktr bildire ifdelerdirler. Bulr, is htıd ollrı kesi bir dille i ikici bir lm med vermede, diğer bir ifde ile hiçbir şüphe ve belirsizliğe ede olmd, tek lmlı olrk ifde etmek içi kullıldıklrıd, çok büük öem tşımktdırlr. Her zm belli bir kurl ve sistem içeriside tımlırlr. ımlmış olduklrı her bir kurl ou sı sistemii oluşturur. Htırlcğı gibi, trihte bu mçl kullılmış ilk sı sistemi sç sistemidir. Bu sistemde bir sı; sdece çizilmiş çizgilerle ifde edilmektedir. Dh sorlrı geliştirile, bu güde çeşitli şekillerde kullıl sı sistemleri erel sistemler olrk isimledirilmektedir. Bu sistemde sılr, mtemtiğe dlı ilimleride sdece ortk bir gösterim simgesi özelliği ol rkmlrd, rkmlrı zılmsı ile oluşturulmktdır. Sılrı büüklük d miktr değerleri olmsı krşılık rkmlrı böle bir özelliği oktur. Sdece sılrı zılı olrk ifde etmek içi kullılırlr... Rkmlr ve Frklı Rkm Sistemleri Rkmlr bir simge olup sılrı zı ile ifde etmek içi kullıl gösterimlerdir. Bu edele, rkmlrı sdece sembol özellikleri bulumktdır. Ack, rkmlr büüklük d miktr özelliği tşıdıklrı sürece bir sı iteliğide olurlr. Yi, rkmlr ı zmd bir sı olbilir. Rkmlrı öüde egtif pozitif işreti buluduğu, diğer bir ifde ile değer bildirdikleri sürece, her rkm bir sı özellide olur. Bu edele, çoğu zm rkmlr sı olrk d kullılbilir. Arıc, bir ve birkç rkmı belli kurl göre getirilmeside oluş rkmlr topluluğu d her zm bir sı olmktdır. Bu gibi rkm topluluklrı sürekli miktr bildirecekleride sı olmktdırlr. Sılrı ifde etmek içi eskide beri çeşitli rkmlr kullılmıştır. Bu rkmlr trihi belli döemleride belli kültür ve

11 medeietler trfıd değişik simge d semboller kullılrk ifde edilmişlerdir. Bzı medeietlerde rkm olrk kullıl simgeler ı zmd hrf olrk d kullılmıştır. Rkmlrı çeşitli kültürlere göre bir tsifi pılırs şğıdki Rkm sistemii oluşturmk mümküdür Digrm 3. Hit-Arp Rkmlrı Doğu Arp Brhmi Btı Arp Hit Khmer Kültürlere Göre Rkm Sistemleri Doğu As Rkmlrı Çi Jpo Suzhou Kore Çubuk Sm Moğol Alfbetik Rkmlr Ebced İbri Ermei Yu Kiril Arbht Ge ez Diğer Sistemler Mısır Rome Bbil M Ati Etrüsk İgiliz Umfield Digrm 3: Frklı kültürlere göre rkm sistemleri Digrm de sözü edile ve her bir medeieti frklı şekillerde kullmış olduğu rkm sistemlerii icelemesi soucud görülebileceği gibi, bzı kültürlerde kullıl rkmlr lfbetik hrflerde frklı simgeler olmsı rğme, bzılrıd doğrud lfbetik simgelere verile değerlerle ifde edilmektedirler. Rkmlrı, lfbetik simgelerde frklı sembollerle ifde edildiği kültür ve rkm gösterimlerie ilişki bzı örekler blo de özet bir biçimde rıc gösterilmektedir.

12 blo : Bzı değişik kültürlerde kullılmış rkmlr Alfbetik simgeleri rkm olrk kullıldığı kültürlerde ise her hrfe bir sı değeri ti edilerek bulrı sılrı zılmsıd rkm olrk kullılmsı sğlmıştır. Bu durum örek olrk; Ermeice ve İbricedeki.vs. gösterim şekilleri verilebilir blo ve blo 3. blo : Ermei rkmlrı Ermei rkmlrı Ermei Çeviri Arp Ermei Çeviri Arp Ermei Çeviri Arp Ա A Խ X KH 4 Չ Č CH 7 Բ B Ծ C 'tdz 5 Պ P' 8 Գ G 3 Կ K' 6 Ջ J' 9 Դ D 4 Հ H 7 Ռ RR Ե E / YE 5 Ձ DZ 8 Ս S Զ Z 6 Ղ GH 9 Վ V 3 Է É 7 Ճ Č 'CH Տ ' 4 Ը Ě Ə/ə 8 Մ M Ր `R 5 Թ 9 Յ Y 3 Ց C S 6 Ժ Ž Ն N 4 Ւ Y / I / V H 7 Ի I Ē Շ Š SH 5 Փ P 8 Լ L 3 Ո O / V 6 Ք K 9

13 blo 3: İbri rkmlrı İbri Rkmlrı Simge Hrf dı Ses değeri Sısl Sısl Simge Hrf dı Ses değeri değeri değeri א lef - ל lmed l 3 ב bet, vet b, v מ ev ם* mem m 4 ג gimel g 3 ן* ev נ u 5 ד dlet d 4 ס smek s 6 ה he h 5 ע ı 5-7 ו vv v 6 פ ev ף* pe ve fe p, f 8 ז zi z 7 צ ev ץ* sdi tz/z ts 9 ח khet kh d h 3 8 ק kuf k d q ט tet t 9 ר reş r י od 4 ש şı, si ş, s 3 ך* ev כ kof ve kf, hf k, kh ת tof, thof t 4 Ack, burd geel öüle diğer rkm sistemleride birz frklılık göstere ve hle güümüzde çok olmmkl birlikte bzı özel mçlr içi kullıl Rome rkmlrı blo de sözü edile gösterim şeklie ilvete büük değerli bzı sılrı ifde edilmesi öüde de frklılık göstermektedir blo 4. blo 4: Rome rkmlrı Rome rkmlrı ve oluk sı sistemdeki lmlrı I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XV XVI XIX XX XXV XXX XXXV XL L LX XC C CL CC CCXC CD D M blo 4 de de görüleceği gibi bu frklılıklr, Rome rkmlrıd sıfır gibi bir özel rkmı bulummsı krşılık,,,.9, kdr ol rkmlrl sılrı ifdesi içi bulrı doğrud kullılmış olmsı eterli olmıp buu ıd bzı özel değerleri; öreği 5,, 5, gibi sılrı içi de frklı ei sembolleri rkm olrk kullıldığı görülmektedir. Ack, burd sölemek gerekirse; bu rkmlrl zılck sılr oldukç krmşık olduklrıd, bulrl hesp pmk oldukç zor bir işlem olmktdır. Bu edele, bulrı erie güümüzde dh sde ve bsit gösterim ol Avrup d Arp rkmlrı die tı sembol d simgeleride oluş rkmlr kullılrk sılr bulrl zılmktdır. Bu rkmlr ilk def Hit mtemtikçiler trfıd tımlmış 3

14 olduklrıd Hit kklı rkmlr olmktdır. Ack dh sorlrı, bu rkmlr kuze Afriklı Arplr trfıd eide düzeleerek ort çğd i;. üzıld Arp medeieti seside kuze Afrik olu ile Avrup kıtsı geçerek ılmıştır. Bölece, Avruplılrı sömürgecilik flietleri sorsı ıllrd düd gı olrk kullılır hle gelmişlerdir. Hle güümüzde bu rkmlrı e çok kullılır olmkt ve her sistemdeki sılr bu rkmlrl zılrk ifde edilmektedir. Ack burd tekrr vurgulmk gerekirse, bu rkmlr hiçbir zm Doğu Arp Rkmlrı ile krıştırılmmsı gerektiğidir. Souçt bu rkmlr frklı rkmlrdırblo... Sılr ve Sı Sistemleri Htırlcğı gibi sı bir çokluğu ifde etmek içi kullıl sout birimdir. Prtikte, her bir birim sergiledikleri temel özellikler bkımıd bzı frklılıklr gösteririler. Bu gibi frklılr dikkte lırk her birii ortk özellikleri bir rd düşüüldüğüde sılr frklı gruplr ltıd ele lıbilirler. Bu gruplr şğıdki gibi sırlbilir. blo 5 : Bzı sı türleri Adı Kümesi Açıklmlr,, 3, 4, 5... Sm sılrı N Bu sılr sıfır hriç tüm pozitif tm sılrd oluşmktdır N... 5, 3,,, 3,... ile klsız bölüemee ek sılr sılr tek sı deir. N... 4,,,, 4,... ile tm bölüebile sılr çift sı deir. Çift sılr Pozitif tm sılr Pozitif sılr Negtif tm sılr Negtif sılr m sılr Kesirli N,, 3,... 5, 7,... Sıfır hriç tüm pozitif değerli sm sılrıd oluşur. A,, 3,....7, / 7,... İşretçe pozitif değerli ol bütü sılr N... 9, 5,... 3,, İşretçe egtif değerli ol bütü tm ılr A,, 3,....7, / 7,... İşretçe egtif değerli ol bütü sılr N..., 5,,, 7,... Negtif ve pozitif değerli bütü tm sılr İşretçe egtif ve pozitif A..., 5/ 3, /, / / 3, 7 / 3,... değerli ol bütü kesirli sılr sılr Rsoel Sılr Bu sılr A, b N b şeklide iki b m sılrı bir 4

15 orlı sılr Irrsoel sılr Reel Gerçek tmsıı orı biçimide elde edilebile sılr A..., 5,, / 3 3/, 7,... olmktdır Bu tür sılr, rsoel sılr kümesie dhil edilemee sılr olmktdır. A 9 /8,,, e 5 A /8, / 4, 3, 3 sılr Sl sılr Komp-leks sılr Mutlk Bu sılr; z bi biçimide ifde edilebile krmşık sılrı sl kısmi ol ikici terimi içi kullıl i değerli sılrdır. Reel ve sl sı terimlerii z bi birlikte kullıldığı krmşık sılrdır. örek 3 i sılr Asl sılr Doğl M örek, 3 3 Bulr sdece kedisie ve sısı bölüebile de büük pozitif tm sılr biçimide de tımlbilir sılr N,,, 3,... Üslü sılr Köklü sılr rsdt sılr Bu sılr N biçimie ifde edilebile sılrdır. ve olmk üzere; biçimide ifde edilebile sılrdır. Bu sılr, e, e, sılrıd oluşmktdır., log gibi geişlemesi olmktdırlr. Bulr kesir olrk ifde edilemee, sosuz kdr değerler lırlr. Devrik kesirli sılr olmktdır. Bu sılr; rsoel sılrı stdrt metriğe göre bütülemesile elde edilirler. Bu sılr dim sl değerlidir. Değeri i dır. Bulr kompleks sılr olrk d biliir. Bir sıı sıfır ol uzklığı olrk d tımlbilir. Bulr lız iki bölei ol doğl sılrdır. Bu sılr sıfır dhil, sıfırd bşl tüm tm sılrd oluşur. Bu sı, bir doğl sıı kedisi ile olmk üzere kez çrpımıı kıs gösterimidir. Bu sılr tm sı olbileceği gibi rsoel sılr d olbilir. Bu sılr 85 ılıd Frsız mtemtikçisi Liouville trfıd kullılmıştır. Bulrı hricide, prtikte bzı ugulmlr içi sıkç kull ve ihtiç duul çok büü ve küçük sılrı gösterimidir. Çok büük d küçük sılr içi bu mçlı kullılmkt ol üslü gösterim şekilleri çık bir ifde ile N=5=5 5.5 E6 ; A=.35= E4 biçimide verilebilir. 5

16 6... B-blı Sı Sistemleri Bütü sılr belli bir kurl d tb göre ifde edilirler. Bu tb sıı zıldığı sı sistemideki rkm detii gösterir. Geel lmd bir S sısıı; B tbı kullıl rkm deti=sı sistemi ve i ler de sıı tm kısmıdki rkmlrı, j K ler ise kesirli kısmıdki rkmlrı göstermek üzere geel ifdesi; tmsı olmsı hlide;... S B ve kesirli sı olmsı hlide de; m m B K K K K S...,... şeklide gösterilebilir. Aı sılrı tb değeri de kullılrk dh kıs gösterimle; toplm biçimideki ifdesi içi, i i i B B S ve kesirli sı içi de, m j j j i i i B B K B S toplm biçimideki bir diğer şekildeki kıs ifdeleri de kullılbilir. Bu ifdeler; terimlere çılmış, çık şekilleri ve seri biçimideki gösterimleri kullılırs, tm sılr içi,... B B B B B S i i i B ve kesirli sılr içi de, m m m j j j i i i B B K B K B K B B B B B K B S şeklideki gösterimler de kullılbilir. Burd; i, B K j ; i =,,, 3,..., ve j =,, 3,..., m

17 özelliklerie ship değerler olmktdır. Souçt, burd B tblı sılrı ortk özellikleri; E küçük rkm : E büük rkm : B- Rkm sısı : B k. bsmğ zılck e büük sı k : B k k. bsmğ zılck değişik sı deti : B şeklide sırlbilir.... O blı Deciml Sı Sistemi O tblı sı sistemi güümüzde e gı kullıl bir sı sistemidir. Bu sistemde kullıl rkmlrı sısı tedir. Bulr;,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şeklideki simgelerde oluş rkmlrdır. Bu sistemde bir sıı zılışı ve değeri; ukrıd verilmiş ol geel gösterimide B= lırk, tm sı içi, kesirli sı içi, S S......, K K... Km olrk verilebilir. Bezer şekilde, tb değeri kullılrk bir diğer şekildeki ifdeleri, tmsılr içi, K m S i i... i ve kesirli sılr içi de S i i i m j j j K... K K... K m m biçimide olur. Burd; i, K ; i =,,, 3,..., ve j =,, 3,..., m j 7

18 özelliklerie ship değerlerdir. Souçt, bezer şekilde B= tblı sılrı ortk özellikleri; E küçük rkm : E büük rkm : 9 Rkm sısı : k. bsmğ zılck e büük sı k : k k. bsmğ zılck değişik sı deti : olrk sırlbilir. Souçt; kou ilişki sısl birer örek olrk, tm sı içi, ve kesirli sı içi de, 3 7* 8* 4* * ,7 ifdeleri verilebilir. 4 3 * * 3* 4* 6* * 7* Ack, güümüzde, o tblı sı sistemi ile ilgili olrk böle gösterimler erie; lışıl gele ve dh sde bir gösterim şekli ol, tm sılr içi 784 ve kesirli sılr içi de; 3456,7 şeklideki gösterim şekli, sıı tbıı belirtmede herkes trfıd ortklş kullılır. Alışıl gele bir lışklık olrk d bu sılrı B= tblı sı sistemide olduklrı, hiç kimsei tb kousuu düşümede bütü sılrı o tblı sı sistemide olduklrıı kbullemiş olurlr. Aksi durumlrd, lışıl gele kurl dışı olrk özel mçlr içi kullıl diğer sılrı hgi sı sistemide olduklrı tb gösteri ile belirtilir.... İki blı Bir Sı Sistemi İki tblı, diğer dıl Bir sı sistemide kullıl sı tbı B= dır. Bu prlel lrk d kullıl rkmlr gibi iki frklı sembolde ibrettir. Souçt bu sı sistemide bir sıı değeri, o tblı sı sistemie bezer şekilde, geel gösterimdeki ifdelerde B = lırk tmsılr içi, S... 8

19 kesirli sı içi de S..., K K... Km olrk zılbilir. Aı sılrı tb değeri kullılrk diğer şekildeki ifdeleri, tmsılr içi K m S i i... i ve kesirli sılr içi de S i i i m j j j K... K K... K m m biçimide olur. Burd; i, K ; i =,,, 3,..., ve j =,, 3,..., m j özelliklerie ship değerlerdir. Souçt, bezer şekilde B= tblı sılrı ortk özellikleri; E küçük rkm : E büük rkm : Rkm sısı : k. bsmğ zılck e büük sı k : k. bsmğ zılck değişik sı deti : olrk sırlbilir. Bu durumlr ilişki sısl bir örek olrk tm sı içi, ve kesirli sı içi de,, sılrı verilebilir. k...3. İki blı Bir Sıı O blı Bir Sı Döüştürülmesi İki tblı bir tm sıı ve kesirli bir sıı o tblı sı döüştürülmeside izlemesi gereke işlem olu şğıd verile iki örekle çıkldığı gibi gerçekleştirilebilir. 9

20 İki blı Bir m Sıı O blı Sı Döüştürülmesi Prtikte,? biçimdeki problemde olduğu gibi iki tblı bir sıı o tblı bir sı döüştürülmeside izleecek işlem olu; bu sıı öcelikle B= tb değerie göre çık bir şekilde ifde edilmesi ile bşlılır. İki tblı sılr içi böle bir ifde, * * * * * * şeklide olur. Dh sor, bu ifdei bütü terimleri teker teker hesplrk her bir terimi oluk sistemdeki krşılık değerleri * * * * * * 3 8 olrk elde edilir. Souçt bu değerleri toplmsıd d oluk sı sistemideki krşılığı, olrk hesplmış olur. Bölece, iki tblı sıı o tblı sı sistemideki krşılık değeri; 4 olrk elde edilmiş olur iki blı Kesirli Bir Sıı O tblı Sı Döüştürülmesi Bezer bir örek problem de,? gibi iki tblı bir kesirli sıı o tblı sı sistemideki krşılık değerii e olduğuu hesplmsı şeklide verilebilir. Böle bir problemi çözümüde bir öceki prgrf...3. verilmiş ol örek problem çözümüe bezer şekilde hreket edilerek şğıd çözümü gerçekleştirilmiş ol,? örek problemii çözümü gibi çıklbilir. Kou bir örek:,? iki tblı bir sıı o tblı sı olrk krşılığıı hesplmsıd öce bu sı tb değerie göre çık bir şekilde;, * * * * * * * * * olrk ifde edilir. Sor, her terimi oluk sı sistemideki krşılıklrı, 4,5,5 4,375 4,375

21 hesplrk bulr toplır. Souçt, bu şekilde pılmış hesplmlr eticeside, iki tblı bir sıı o tblı sı sistemideki krşılık değeri; 4,375 olrk elde edilmiş olur O blı Bir Sıı İki blı Sı Döüştürülmesi O tblı sı sistemi ile iki tblı sı sistemi rsıdki döüşüm; gerek tm sılr ve gerekse kesirli sılr içi prgrf...3 de ltılmış ol işlemleri tersi bir işlem olu dizisi tkıp edilerek, mc ugu döüşüm şğıd verile öreklerde çıklcğı gibi gerçekleştirilebiliir O tblı Bir m Sıı İki blı Sı Döüştürülmesi 4? gibi bir problemde, böle bir işlemi gerçekleştirilebilmesi içi o tbıd verile sı sürekli Bir sı sistemii tbı ol ikie bölüerek her bölme işlemide elde edile kl değerleri sı zmı tersi sırd sğd sol doğru sırd zılrk bu sıı iki tblı sı sistemideki krşılığı elde edilmiş olur. Bu döüşüme bir örek; 4? problemii çözümü verilebilir. Sı Kl 4 5 İşlem sırsı 4 Böle bir çözüm içi B= tbıd zılmış ol sı her seferide ifde edilmek d döüştürülmek istee B= tblı sı sistemii tb değerie rdışık bir şekilde bölüerek kl değerleri elde edilir. Sor bu kl değerleri bölme işlemide tkıp edile işlem dımlrı sırsıı tersi öde, soud bşı doğru sold sğ zılrk 4? sorusu içi çözüm ol

22 iki tblı sı sistemideki krşılığı 4 olrk elde edilmiş olur O blı Kesirli Bir Sıı İki blı Sı Döüştürülmesi Burd prgrf...4. de tm sı döüşümü içi ltıllr kesirli sılr içi geişletilerek kou, 4, şeklideki o tblı kesirli sılrı iki tblı sı sistemideki krşılıklrıı hesplmsı biçimie döüşmüş olur. Böle bir problemi çözümüü gerçekleştirilebilmesi içi; o tblı sı öce tm ve kesirli kısımlrı biçimide iki rı prç hlide düşüülür. Bu durum bir örek olrk; 4,375 gibi kesirli bir sıı birici prçsı ol 4 tm sı kısmı, bir öceki prgrf...3 de olduğu gibi 4 olrk iki tblı sı döüştürülür. Dh sor, kesirli kısmıdki,375 sısı d sürekli Bir sı sistemii tbı ol B= sısı ile çrpılrk, her çrpım soucud elde edilecek sıı tm kısmı d sılrıd olur o tblı sıı tm sı kısmıı döüştürülmeside elde edilmiş iki tblı 4 sısıı sğı d sou virgülde sor sırsı ile zılır. Bu işleme souç sıfır oluc kdr devm edilir. Souç, sıfır olduğud rzul döüşüm gerçekleştirilmiş olmktdır. Kou dh kol lşılır olmsı mcıl böle bir problem şğıd çözümü verilmiş ol 4,375? kesirli sısıı iki tblı sı döüştürülmesi işlemi rdımıl tekrr özetlemektedir. Prtikte böle bir döüşüm işlemi, sırsı ile Sı Kl,375 Döüşümü m kısmı 4,375* =,75,75* =,5,5* =, 5 Bu rkmlr tersi sır zılrk tm kısım içi 4,375, işlem dımlrı izleerek gerçekleştirilir.

23 ikte, bu gibi işlemleri pılmsı eticeside, o tblı 4,375 sısıı iki tblı sı sistemideki krşılık değeri, biçimide hesplmış olur. Souçt tekrr özetlemek gerekirse; o tblı sı sistemideki bir sıı iki tblı sı sistemie döüştürülmeside; o tblı sıı tm kısmıdki sı öce sürekli ikie bölüerek elde edile kllrı tersi sırd zılrk iki tblı sıı tm kısmı, o tblı sıı odlık kısmı iki ile çrpılrk her çrpm işlemi soucud elde edile sılrı tm kısmıdki sılr işlem sırsıı öüde zılrk kesirli kısmı bu çrpım işlemi soucu, oluc kdr devm edilir bulurk tm ve kesirli kısımlrd oluş iki tblı sı elde edilir İki blı Sı Sistemide Dört İşlem İki tblı sı sistemide dört işlem e tblı sı sistemide olduğu gibi pılır. Ack, bu sistemde bütü sılr iki det;, gibi iki frklı rkml zıldığıd ve bir bsmktki e büük sı olduğud her işlem içi şğıd belirtile kurllr geçerlidir oplm İşlemi İki tblı sı sistemide bir toplm işlemii pılbilmesi içi; + = elde vr + = + = + = toplm kurllrıd fdlılır. Bu göre; şğıdki örekte de görüldüğü gibi iki sıı toplmı; İki tblı sı o tblı sı 7 6 oplmı 3 kotrol şeklide pılmktdır. 3

24 Çıkrm İşlemi Bezer şekilde, iki tblı sılr ilişki çıkrm işlemide kurllr - = - = - = - = sold ödüç l şeklide verilebilir. Bu göre; şğıdki örekte de görüldüğü gibi iki tblı sıı frkı; İki tblı sı O tblı sı Frk 7 kotrol 5 olrk bulubilir. Çıkrm işlemie bir bşk örek ise; İki tblı sı O tblı sı 6 Frk 5 kotrol şeklide verilebilir Çrpm İşlemi Mtemtikte toplm işlemi kıs şekli olrk tıml çrpm işlemi, gülük kullıl oluk sistemide olduğu gibi iki tblı sı sistemide de bezer şekilde pılmktdır. Ack, iki tblı sı sistemide çrpm işlemii gerçekleştirebilmek içi bu sistemi rkm özellikleri gereği, çrpımı işlemie ilişki bzı kurllrı dikkte lımış olmsı gerekir. İki tblı sı sistemi içi bu gibi çrpm kurllrı, 4

25 * = ; * = * = ; * = olrk verilebilir. Bu göre iki tblı sı sistemide bir çrpm işlemi; İki tblı sı oplm O tblı sı kotrol olrk pılbilir Bölme İşlemi Htırlcğı gibi mtemtikte çıkrm işlemii kıs ifdesi ol bölme işlemi, bir çıkrm işlemide böle sısıı bölüe sıd sürekli çıkrtılmsıdki gerçekleştirile çıkrm işlemi sısı olmktdır. Aı düşüce iki tblı sılrı bölmeside de geçerliliğii korumktdır. Bu göre; iki tblı sı sistemide bir bölme işlemii gerçekleştirilebilmesi içi oluk sistemdeki bezer ollr izleir. Ack, burd oluk sistemde pıl bölme işlemide frkı iki tblı sı sistemide rkmlrı, gibi iki det rkmd oluşmuş olmsıı dikkte lımsı ile ilgilidir. Bu durum şğıd gerek iki tblı gerekse o tblı sı sistemideki bölme işlemi örekleride de çıkç görülebilir. İki tblı sı o tblı sı 3,,5 kl sıfır ilve, bölüme virgül z kl kl 5

26 Oltı blı Hedeciml Sı Sistemi Bu sı sistemide, diğer sı sistemlerie bezer şekilde, tb özellikleri gereği, 6 o ltı det frklı sembol rkm olrk kullılmktdır. Bu rkmlr sırsı ile,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F olrk gösterilirler. Bu göre o ltı tblı sı sistemideki bir sı; geel gösterimde B=6 lırk tm sı içi, kesirli sı içi de, S S , K K... Km biçimide ifde edilebilir. Diğer sı sistemleridekie bezer şekilde,bu sı sistemide de B=6 tb değeri kullılrk toplm şeklideki ifdeleri; tmsılr içi, K m S i 6 i i ve kesirli sılr içi de S 6 i i i m j j j 6 K K 6 K 6... K 6 m m şeklide zılbilir. Burd; i, K 6; i =,,, 3,..., ve j =,, 3,., m j özelliklerie ship değerlerdir. Arıc, diğer tblı sı sistemleridekie bezer şekilde bu sı sistemide de sı tbı içi B=6 değeri lırk ortk özellikleri; E küçük rkm : E büük rkm : 5 6

27 Rkm sısı : 6 k k. bsmğ zılck e büük sı : 6 k k. bsmğ zılck değişik sı deti : 6 olrk sırlbilir Oltı blı Bir Sıı O blı Sı Döüştürülmesi Bu sı sistemide de dh öce diğer sı sistemleri içi ltılmış ollr bezer ollr izleerek diğer sı sistemleri ile rsıdki döüşüm gerçekleştirilebilir. Bu durum örek olrk, Oltı tblı sı sistemide; A= lırk, S 6 3A 6..?. tm sısıı ve S 6 3A,4 6..?.., kesirli bir sıı o tblı bir sı sıl döüştürüleceği problemi örek verilebilir. Bu mçl her bir sı türü içi gerçekleştirilecek çözümler şğıdki öreklerde gerekli işlemleri pılmsı eticeside, m sılr içi, ve kesirli sılr içi de 6 3A 3*6 A*6 * A,4 3*6 A*6 *6 4*6 99,5 olrk elde edilir. 99, O blı Bir Sıı Oltı blı Sı Döüştürülmesi O tblı bir sıı oltı tblı sı döüştürülmeside; bir öceki koud pıl işlemleri tersi öde hreket edilerek, iki tblı sılrd olduğu gibi, öce sıı tm kısmı bir iki tblı sı sistemideki işlemlerde kullıl iki erie o ltı bölüerek elde edile kl sılrı e so kld itibre ters sırd rdı sır zılmlrı ile tm kısmı, sor kesirli kısmıdki sı 6 ile çrpılrk elde edile sıı tm kısımlrı ı sırd tm sıı devmı virgülde sor kesirli kısım biçimide zılrk istee sı krşılığı buluur. Böle bir döüşümü dh çık öreği şğıdki ugulmlrd görülebilir. 7

28 Bir tm sı döüştürme öreği Örek: m sılrl ilgili bu problemde 46? 6 döüşümüü gerçekleştirilmesi istemektedir. Böle bir problemi çözümü içi ukrıd söleelerde hreket edilerek, dh öce o tblı sılrı diğer frklı tblı sılr döüştürülmeside sölee ve izlee ollr bezer şekilde hreket edilerek burd d O tblı Oltı tblı 46 4 E 77 3 D 4 ersi sır 6 bölme işlemleri pılrk kl değerlerde B=6 tblı sı sistemideki krşılığı 46 4DE6 olrk hesplır. b Bir kesirli sı döüştürme öreği Bu problemde o tbıd zılmış 46.3? 6 sısıı 6 tbıdki değerii hesplmsı istemektedir. Böle bir problemi çözümü içi burd, öce ukrıdki diğer tblı öreklerde izlediği ollrd olduğu gibi sıı tm kısmı döüştürülür. Dh sor kesirli kısmı; rdı sır o ltılı sı sistemii tbı ol 6 sısı ile çrpılrk, her çrpım soucudki tm kısım; m kısmı Kl odlıklı kısım.3*6=5. çrpımı 5 lıır..*6=.9.9.9*6=4.7 4 E.7... çrpm işlemlerie..... oluc kdr devm edilir. Burd, çrpm işlemi soucud elde edile çrpım souçlrıdki tm kısımd elde edile 5,, 4. sılrı ı sırd virgülde sor, o ltılı sı sistemide 4=E gösterimi kullılrk,,3 =,3 değeri içi o ltılık sı sistemideki krşılığı olrk.5e 6 sısı elde edilir. Neticede 8

29 oluk sı sistemide olrk verilmiş ol ve oltılık sı sistemide krşılığı istee sı ukrıdki örekte olduğu gibi döüştürülme soucud elde edilmiş ol tm sı kısmı bu değer ilve edilerek, bu sıı krşılığı ol DE. 5E6 sısı elde edilir Sekiz blı Octl Sı Sistemi Bu sı sistemide, tb B=8 olduğu içi kullıl rkm deti 8 olur. Bulr;,,, 3, 4, 5, 6, 7 rkmlrıd oluşur. Bu göre; sekiz tblı sı sistemide bir sıı gösterimi, B=8 lırk tm sı içi, kesirli sı içi de, S S , K K... Km biçimide ifde edilebilir. Bulrı toplm şeklideki bir diğer ifdeleri; tmsılr içi ve kesirli sılr içi de, S i 8 i i K m i i 8 i m j j j 8 S K K 8 K 8... K 8 8 m m şeklide olur. Burd; i, K 8; i =,,, 3,..., ve j =,, 3,., m j özelliklerie ship değerlerdir. Bezer şekilde B=8 lırk ortk özellikleri; E küçük rkm : E büük rkm : 7 Rkm sısı : 8 k. bsmğ zılck e büük sı k : 8 k. bsmğ zılck değişik sı deti : k 8 9

30 olrk verilebilir Sekiz blı Bir Sıı O blı Sı Döüştürülmesi Böle bir döüşüm ukrıd pıllrı bezeri şeklide pılır. Durum bir örekle ele lıırs, 6 8? tm sısı ve 6.5 8? kesirli sısı içi şğıdki gibi çıklbilir. Bu mçl, Her iki sı dh öceki koulrd bezer problemlerde gerçekleştirile döüşüm problemleride olduğu gibi çık ifdeleri tm sı içi, *8 *8 *8 6*8 646 ve kesirli bir sı içi de, 6,5 biçimide zılır. 8 3 *8 * *8 6* * *8 Bu işlemleri devmıd d B=8 tblı gerek tm sı gerekse kesirli sı içi olsu; herhgi birile ilgili her terimdeki sı değeri ve dh sor d bütü terimlerii sı değerlerii toplmı hesplrk rzul döüşüm tm sı içi ve kesitli sı içi de 6, olrk gerçekleştirilmiş olur O blı Bir Sıı Sekiz blı Sı Döüştürülmesi Böle bir işlemi gerçekleştirilmeside öceki koulrd ltıldığı gibi prgrf d pıl işlemleri tersi işlem sırsıd bir işlem olu izleir. Buu mçl, öce o tbd verilmiş ol sı, B=8 tb değerie rdı sır bölüerek her seferide kl değerleri elde edilir. Dh sor bu kl değerleri, bölme işlemide izlee işlem oluu tersi öde sold sğ doğru zılrk odlıklı tm sılr içi sekiz tblı sı sistemideki krşılığı bulumuş olur. O tblı döüştürülecek sı eğer kesirli sı ise, tm sı kısmı bu şekilde döüştürüldükte sor kesirli kısmı d rdı sır B=8 tb değeri ile çrpılır. Her çrpım işlemi soucud elde edile sıı tm sı değeri kısmı lırk çrpım işlemi öüde sold sğ doğru 3

31 zılmsı ile sekiz tblı sıı kesirli kısmı elde edilmiş olur. Bu işleme çrpım soucud elde edilecek sıı sıfır olmsı kdr devm edilir. Kouu dh lşılır olmsı mcıl her iki duruml ilgili örek problemleri çözümü şğıd verilmiştir. Örek : Bu problemde, o tblı sı sistemide değeri 646? 8 olrk verilmiş ol bir tm sıı B=8 sekiz tblı sı sistemideki krşılığıı hesplmsı istemektedir. Çözüm : Bu mçl, ukrıd ltıllr göre gerçekleştirilecek çözümde, öce 646 sısı döüştürülmek istee sı sistemii tb değeri ol B=8 e rdı sır bölüerek kl değerleri, O tblı Sekiz tblı ersi sırd olrk elde edilir. Dh sor bu kl değerleri bölme işlemii tersi öde lırk sold sğ doğru zılmsı ile sekiz tblı sı sistemideki krşılığı olrk hesplmış olur. Örek : O tblı sı sistemide değeri ? 8 olrk verilmiş ol bir tm sıı B=8 tblı sı sistemideki krşılığıı hesplmsı istemektedir. Çözüm : Böle bir problemi çözümü içi ukrıd söleelere bezer bir mtıkt hreket edilerek, öce bu kesirli sı içi sıı tm kısmı ukrıdki gibi döüştürülür. Böle bir döüşüm eticeside tm sı kısmıı sekiz tblı sı sistemideki krşılığı olrk elde edilir. Dh sor kesirli kısmı ol. 385 sısıı döüşümü içi şğıd çıkldığı gibi, 3

32 m kısmı Kl odlıklı kısım.385*8=.65 çrpımı lıır.65.6*8=5. 5. rdı sır çrpım işlemleri soucud elde edile sılrı tm kısımlrı lırk işlem sırsıd zılır. Bölece, sekiz tblı sı döüştürülmek istee o tblı sısıı kesirli kısmı ol. 385 sısı sekiz tblı sı sistemideki krşılığı,58 olrk elde edilmiş olur. Dh sor bu,5 8 sısı, sısıı tm kısmıı döüştürülmeside elde edile sısı ilve edilmeside o tblı sıı sekiz tblı sistemideki krşılığı olrk hesplmış olur. ÇÖZÜLMÜŞ ÖRNEK PROBLEMLER Örek : Bu örek işlemde;??? 4,iki tbıd verilmiş ol iki sıı o ve dört tbıdki değerlerii hesplmsı istemektedir. Çözüm : Bu soruu cevpldırılbilmesi içi, öce iki tbıd verilmiş ol sı + biçimide toplrk iki Bir sı sistemideki B= tbıdki toplm değeri olrk hesplır. Sor bu sı iki tbı göre, * * * * * * biçimide ifde edilerek her bir terimii ve bu sı krşılık gele oluk sı sistemideki değeri * * * * * *

33 olrk elde edilir. Dh sor, B=4 dört tblı sı sistemideki krşılık değeri, m sı Kl değeri Sod itibre 3 = 3 4 işlemleri eticeside 3 4 olrk hesplır. Bölece, problemde sorulmkt ol sorulrı cevbı,??? 35 3 olrk hesplmış olur. 4 4 Örek : Bir diğer örek işlemde;??? 4, iki tbıd verilmiş iki sıı o ve dört tbıdki değerlerii hesplmsı istemektedir. Çözüm : Böle bir işlemi çözümüde iki tblı iki sıı hem çrpılmsı işlemi hem de bşk bir tbdki krşılığıı hesplmsı işlemi birlikte ugulmktdır. Böle bir çözüm içi öce iki sı tblı iki sıı çrpımı biçimide gerçekleştirilerek bu iki sıı çrpımı olrk elde edilir. Sor bu sıı o tblı sı sistemideki krşılığı, burd d Örek de izlee işlem olu bezer hreket edilerek, * * * * * * *

34 olrk hesplır. Dh sor bu 5? 4 sısıı B=4 dört tbıdki krşılığı, m sı Kl değeri Sod itibre 3 3 = 33 4 olrk elde edilir. Souçt, bu problemde sorulmkt ol sorulrı cevbı, şeklide hesplmış olur. Örek 3: Bu problemde; :??? 4 işlemlerii pılrk souçlrı iki, o ve dört tblı sı sistemleride hesplmsı istemektedir. Çözüm 3: Böle bir problemi çözümüe iki tblı iki sıı bölümüde bşlrk ilk iki terim içi, bölüm heside : değeri elde edilir. Dh sor bu değer üçücü terimle toplrk, + 34

35 toplrk, : olrk elde edilir. Bu göre de, işlemi iki tblı sı sistemideki?? 4 souç değerii o ve dört tblı sı sistemideki krşılık sılrı, dh öceki öreklerde pıl işlemlere bezer şekilde bir ol izleerek, o tblı sistem içi, * * * * * * ve kl. kl 3. kl 3 Bölme işlemleri soucud kl değerleri sold sğ doğru öce 3. kl, sor. klı dh sord. kl sılrı zılmsı ile dört tblı sı sistemideki krşılık değeri 3 4 olrk elde edilmiş olur. Souçt, soruu cevbı : olur. Örek 4: Koul ilgili bir diğer problem de :?? 4 olrk verilebilir. Çözüm 4: Böle bir problemi çözümü içi dh öceki öreklerde olduğu gibi öce prtez içi hlledilir. Bu mçl pılck bölme işlemi eticeside : değeri elde edilir. Dh sor bu souçl üçücü terim ol sısı çpılrk, çrpm işlemi eticeside + çrpm işlemi eticeside değeri elde edilir. Bölece, problemde sorulmkt ol : iki tblı sı sistemideki 35

36 krşılığı hesplmış olur. Dh sor, burd dört tblı sı sistemideki krşılık değerii elde edebilmek içi öce o tblı sı sistemideki krşılığı hesplır. Bu mçl, * * * * * * * * zılrk pıl hesplmlrd o tblı sı sistemideki krşılığı elde edilerek buu dört tblı sı döüştürülmeside : 33 4 sısı buluur. ALIŞIRMALAR Problem 49..?.., 6..?.., 8.4..?.. b.56..?..,.48..?..,...?.. c..?..,..?..,...?.. d...?..,...?..,...?.. e..?....?....?.. 8..?.. 4 işlemleri hesplmk istemektedir. Problem ?.., ?.., 6 8..?.. b 5A 7 6..?.., 5A 7 6..?.. 8, 5A 7..?.. 9 d..?....?....?.. 4 e..?....?....?.. 8..?.. 4 işlemleri hesplmk istemektedir. Problem ?.., ?.. b ?.., ?.. c 6 8 : 8..?.., 6 8 : 6..?.. d 5A ?.. e 5A 7 6,63 8,..?.., f 6 8..?....?....?.. 8..?.. 4 g,..?....?....?.. 8..?.. 4 işlemleri hesplmk istemektedir. 36

37 . BÖLÜM HAALAR VE HAA ÖLÇÜLERİ 3. SAYISAL ÇÖZÜMLEMEDE HAALAR VE HAA ÖLÇÜLERİ Sısl çözümlemede bir lgoritmı çözümüde output bilgisi olrk elde edile souç d çıktı değerlerii klitesi her birii gerçeği e derece temsil etmesi ile ölçülür. Bu gibi bilgilerde oluşbilecek htlr; girdi bilgileri de dhil lgoritmı çözümüde ugul işlem dımlrıı her biride med gelecek çeşitli htlrı bir birikimi eticeside oluşurlr. Bu htlr, ht ede ol olı buluduğu birime göre Digrm de de görüleceği gibi Girdi Iput üiteside birimide oluş htlr, İşlem Üiteside birimide oluş lgoritm çözme htlrı şeklide ele lıbilirler. Ht kurmıd bu ht türlerii her biri frklı edeli olduğud frklı özellikleri de sergilerler. Output üiteside çıktı bilgilerii klitesii göstere bu tür htlrı toplm etkisii temsil ede çıktı htsı; girdi Iput ve bilgi işleme d lgoritm çözme üiteleride oluş bu tür htlrı çözüm lgoritmsı göre souç değerleri üzerideki toplm etkisii göstermektedir. Htırlcğı gibi ugulmd bu durum, htlrı ılmsı kurlı olrk dldırılır. Sısl çözümlemede veri htlrı frklı şekillerde olbilir. Bulrd biri; çözüm lgoritmsıd iput bilgilerii deemeler soucud elde edilmiş örekleme d gözlem değerleri olmsı hlide oluşck htlr, bir diğerii de; bir işlem lgoritmsıd iput verilerii irrsoel sılrd d kesme ve uvrltm htlrıı içere uvrltılmış sılrd olmsı hlıdır. Bu htlrd her biri, özellikleri gereği frklı şekillerde ele lırk iceleebilirler. 3.. Iput Veri d Ölçü Htlrı Sısl çözümlemede iput veri htsı olrk ölçü htlrıı kullılmış olduğu durum, dh çok sısl işlem lgoritmlrıd deesel gözlem 37

38 değerlerii d doğrud ölçüleri veri olrk kullıldığı durumlrd rstlmk mümküdür. Bu htlr, dh çok ortmd, lette ve kişilerde kkldıklrı içi bulrd her biri bir deesel soucu ve verii frklı krkterde etkilerler. Bu edele, özellikleri gereği frklı şekillerde ele lıbilirler. Bu durum ugu olrk girdi bilgisi olrk kullılbilecek bu tür veri htlrı Kb htlr, Sistemtik htlr, 3 Düzesiz htlr biçimide bşlıc üç grup ltıd ele lıbilirler. Bulrd sistemtik htlr, krkterleri gereği kedi rlrıd d; - Sbit sistemtik htlr, -b ek trflı sistemtik htlr, -c Çift trflı sistemtik htlr şeklide üç grub rılbilirler. Kb htlr, deesel verilerdeki büük ılmlrı temsil etmektedir. Bulr dh çok deei p kişide ve letlerdeki klibrso bozukluklrıd kklırlr. Klibrsou tm bir leti kullılmsı hlide, bu htlr; dee sısıı rtırmkl ve verileri krşılştırılmlrı eticeside frk olubilirler. İkici tür htlr sistemtik krkterlidir, bulr dh çok, deede kullıl letlerde ve ortm koşullrıd kklırlr. Sbit krkterli ollrı, geellikle letlerde kklmktdır. Aletleri ugu şekilde kullılmlrı ile, bir diğer deişle, ugu dee ötemleri kullılrk giderilebilirler. ek trflı ol sistemtik krkterli htlr ise; değerce frklı ck işretçe sbit öde souçlrı etkilerler. Geelde, kişi d ortmd kklırlr. Bulr, hiçbir zm tm giderilemezler, dee sısıı ve şeklii rtırrk zltbilirler. Çift trflı sistemtik htlr, geelde ortmd kklırlr. İşretçe ve miktrc frklı olurlr. Ht ede ol prmetrei buluup etkileri hespldıkt sor verilerde özel hesplmlr olul giderilebilirler. Üçücü tür htlr, düzesiz htlr olmktdır. Bulr, bulrı edeleri hiçbir zm biliemez. ekrr sısıı rtırmkl verilerde giderilemezler. İşret ve değerce değişkedirler. Her zm deesel verilerde buluduklrı 38