NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ"

Soner Ergin
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ÖZEL EGE LİSESİ NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Fatma Gizem DEMİRCİ Hasan Atakan İŞBİLİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gülşah ARACIOĞLU İZMİR 2013

2 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI GİRİŞ YÖNTEM ÖN BİLGİLER KOMPLEKS DÜZLEMDE EŞKENAR ÜÇGEN OLMA KOŞULLARI NAPOLEON TEOREMİNİN FARKLI BİR İSPATI... 7 SONUÇ KAYNAKLAR TEŞEKKÜR

KOMPLEKS DÜZLEMDE EŞKENAR ÜÇGEN OLMA KOŞULLARI... 4 6.

3 1. PROJENİN AMACI Bu projenin amacı, ilginç bir problem olarak bilinen Napoleon Teoremi nin kompleks düzlemde geliģtirilen eģkenar üçgen olma koģulu ile farklı bir ispatının verilmesidir. 2. GİRİŞ Napoleon un bilimi ve matematiği sevdiği, hatta bir ölçüde yetenekli olduğu da bilinir. Napoleon un kanıtladığı söylenen ilginç bir teorem vardır ([1], [2], [3], [4]): Napoleon Problemi: Herhangi bir üçgen alınsın. Üçgenin üç kenarının üstüne, ister üçgenin dıģına, ister içene doğru birer eģkenar üçgen çizilip bu çizilen eģkenar üçgenlerin merkezleri birleģtirildiğinde yine bir eģkenar üçgen oluģur. Literatürde bu problemin sentetik, trigonometrik ve geometrik ispatları yer almaktadır ([1], [2], [3], [4]). Bu çalıģmamızda, karmaģık sayılar yardımıyla Napoleon Teoremi nin yeni bir ispatı yapılmıģtır. Öncelikle karmaģık sayılarda eģkenar üçgen olma koģulları incelenmiģ ve yeni bir eģkenar üçgen olma koģulu bulunmuģtur. Daha sonra, Napoleon Teoremi nin ispatı elde edilen eģkenar üçgen yöntemi ile yapılmıģtır. 3. YÖNTEM Bu proje boyunca doğrudan ispat yöntemi kullanılmıģtır. 4.ÖN BİLGİLER Bu bölümde proje boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiģtir ([5], [6]). TANIM 4.1 (Uzaklık) Her bir karmaģık sayı analitik düzlemde bir noktaya karģılık geldiğinden iki nokta arasında uzaklık z ve w karmaģık sayıları için; olarak hesaplanır. TEOREM 4.2 (Açı) KarmaĢık sayılar z 1, z 2 sırasıyla A, B, C ve ve z 3 (z 2 açının köģesi olsun) ve karģılık gelen noktalar olmak üzere; olarak hesaplanabilir. 3

Napoleon un kanıtladığı söylenen ilginç bir teorem vardır ([1], [2], [3], [4]): Napoleon Problemi: Herhangi bir üçgen alınsın.

4 İSPAT z 1, z 2 ve z 3 karmaģık sayılarının orijinle birleģmesi sonucu elde edilen vektörleri düģünelim. Bu vektörler arasındaki açı karmaģık sayıların argümentleri ile aģağıdaki Ģekilde ifade edilebilir. A A Z 1 Z 2 B Z 3 C C B Elde edilen açı bir köģesi orijin olacak Ģekilde ötelenirse açı ölçüsünde bir değiģiklik olmaz. Burada argüment özelliklerinden ve açıların farkı kullanılarak aradaki açı olmak üzere, ile elde edilir. 5. KOMPLEKS DÜZLEMDE EŞKENAR ÜÇGEN OLMA KOŞULLARI TEOREM 5.1 A(z), B(w) ve C(k) için aģağıdaki koģullar birbirine denktir [5]: 1) ABC bir eģkenar üçgendir. 2) 3) 4) 5), 6) ; 7) Verilen bu koģullar incelendiğinde her birinin birbirine denk olduğu ve eģkenar üçgen olma koģulu olarak kullanılabileceği görülmektedir. ÇalıĢmamızda bu koģulların dıģında argüment, reel ve imajiner kısımlar yardımıyla eģkenar üçgen olma koģulu oluģturmaya çalıģtık. 4

A A Z 1 Z 2 B Z 3 C C B Elde edilen açı bir köģesi orijin olacak Ģekilde ötelenirse açı ölçüsünde bir değiģiklik olmaz.

5 TEOREM 5.2 (Eşkenar Üçgen Olma Koşulu) Analitik düzlemde verilen A(z 1 ), B(z 2 ) ve C(z 3 ) karmaģık sayılarının bir eģkenar üçgen belirtmesi için gerek ve yeter koģul aģağıdaki eģitliği sağlamasıdır: İSPAT ) Öncelikle ispat kolaylığını sağlamak açısından z 1 karmaģık sayısını orijin olarak seçelim. Bu durumda z 1 = 0, z 2 = a 2 +i.b 2 ve z 3 = a 3 + i.b 3 olarak düģünelim. B Z 2 C Z 3 ġekildeki ABC üçgeni eģkenar üçgen ise burada m(bac)=60 0 ve m(abc)=60 0 olmak zorundadır. Buradan hareketle açı formülü kullanılırsa; A Z 1 ve elde edilir. Burada z 1 orijin olduğundan, elde edilir. Argümentin özellikleri kullanılarak; ve ve bulunur. Buradan α=arg z ) olmak üzere, ( 2 z3 ve olarak alınır ve ve ile argüment özellikleri kullanılırsa; 5

sağlamasıdır: İSPAT ) Öncelikle ispat kolaylığını sağlamak açısından z 1 karmaģık sayısını orijin olarak seçelim. Bu durumda z 1 = 0, z 2 = a 2 +i.b 2 ve z 3 = a 3 + i.

6 ve Buradan gerekli iģlemler yapılırsa; koģulunu sağlayan her z 2 ve z 3 sayısı orijinle birlikte bir eģkenar üçgen belirtir sonucuna ulaģılır. Eğer burada z 1 karmaģık sayısı orijin alınmaz ise bu durumda öteleme formülleri gereği genel formül olarak; elde edilir. )Tersine A(z 1 ), B(z 2 ) ve C(z 3 ) karmaģık sayıları koģulunu sağlasın. ġimdi, bu noktaların oluģturduğu üçgenin eģkenar üçgen olduğunu gösterelim. (5.1) (5.2) eģitlikleri sağlanır. Bu eģitlikler düzenlenip sırasıyla (5.1) ve (5.2), (5.2) ve (5.3) ve (5.1) ve (5.3) taraf tarafa toplanırsa, (5.3) elde edilir. O halde ABC üçgeni eģkenar üçgendir. 6

)Tersine A(z 1 ), B(z 2 ) ve C(z 3 ) karmaģık sayıları koģulunu sağlasın. ġimdi, bu noktaların oluģturduğu üçgenin eģkenar üçgen olduğunu gösterelim. (5.

7 ÖRNEK 5.3 sayıları analitik düzlemde eģkenar üçgen belirtir mi? Elde edilen formül uygulanırsa; olduğundan eģkenar üçgen belirtmediği gösterilebilir. ÖRNEK 5.4 sayıları analitik düzlemde bir eģkenar üçgen belirtir. Elde edilen formül uygulanırsa; olduğu görülür. 6. NAPOLEON TEOREMİ NİN FARKLI BİR İSPATI TEOREM 6.1 (Napoleon Teoremi) Herhangi bir üçgenin kenarlarına ait dıģ veya iç eģkenar üçgenlerin ağırlık merkezlerinin birleģmesiyle oluģan üçgen bir eģkenar üçgendir. İSPAT Herhangi bir ABC üçgenini düģünelim. AĢağıdaki Ģekilde gösterildiği gibi bu üçgenin kenarlarına ait dıģ (iç) eģkenar üçgenler çizilsin ve AA B nin ağırlık merkezi D noktası, BB C nin ağırlık merkezi E noktası, CC A nın ağırlık merkezi F noktası olsun. Bu noktalara karģılık gelen karmaģık sayılar z = a + i.b formatında olmak üzere A(z 1 ), B(z 2 ), C(z 3 ), A (z 4 ), B (z 5 ), C (z 6 ) ve ağırlık merkezleri D(w), E(k) ve F(z) olarak alınsın. A A C F D C B E B 7

1 (Napoleon Teoremi) Herhangi bir üçgenin kenarlarına ait dıģ veya iç eģkenar üçgenlerin ağırlık merkezlerinin birleģmesiyle oluģan üçgen bir eģkenar üçgendir.

8 Ġspat, dıģ eģkenar üçgenler üzerinde gösterilecek olup iç eģkenar üçgenler için de benzer Ģekilde yapılabilir. Daha önce elde ettiğimiz eģkenar üçgen olma koģulu herhangi bir üçgen için; dır. ġimdi, bu ifadede yer alan Re ve Im gösterimlerinin özellikleri incelenecek olursa, c bir sabit sayı olmak üzere Re(z+w) = Re(z) + Re(w) Re(z.w) = Re(z).Re(w) Re(z/w) = Re(z)/Re(w) Re(z/c)=Re(z)/c Im(z+w) = Im(z) + Im(w) Im(z.w) = Im(z).Im(w) Im(z/w) = Im(z)/Im(w) Im(z/c) = Im(z)/c olarak alınabilir. Öncelikle, D(w), E(k) ve F(z) ağırlık merkezleri için aģağıdaki ifadenin doğruluğunu gösterelim: (6.1) Burada AA B, BB C ve CC A üçgenleri eģkenar olduklarından sırasıyla aģağıdaki eģitlikleri sağlarlar: (6.2) Analitik düzlemde bir üçgenin ağrılık merkezinin koordinatları bulunurken üçgenin köģe koordinatlarının aritmetik ortalaması alınır. Burada köģe koordinatlarını temsilen karmaģık sayı alındığından aģağıdaki eģitlikler ağırlık merkezlerini temsil eden karmaģık sayılar için de gerçeklenir: (6.3) 8

+ Re(w) Re(z.w) = Re(z).Re(w) Re(z/w) = Re(z)/Re(w) Re(z/c)=Re(z)/c Im(z+w) = Im(z) + Im(w) Im(z.w) = Im(z).Im(w) Im(z/w) = Im(z)/Im(w) Im(z/c) = Im(z)/c olarak alınabilir.

9 ġimdi göstermek istediğimiz (6.2) ifadesinde w, k, z karmaģık sayıları yerine (6.4) eģitliklerinde yer alan ifadeler yazılırsa; (6.4) olduğu bulunur. Bu ifade de gerekli sadeleģtirmeler yapıldığında; (6.5) elde edilir. (6.1) de yer alan özellikler gereği, gerekli sadeleģtirmeler yapılır ve ifade düzenlenirse; (6.6) ifadesi elde edilir ki bu ifadelerin değerleri (6.3) de olarak hesaplandığından (6.6) elde edilir. Böylece, ağırlık merkezlerinin birleģmesi ile oluģan DEF üçgenin eģkenar üçgen olduğu gösterilmiģ olur. 9

5) elde edilir. (6.1) de yer alan özellikler gereği, gerekli sadeleģtirmeler yapılır ve ifade düzenlenirse; (6.

10 SONUÇ Bu çalıģma ile analitik düzlemde herhangi üç nokta için yeni bir eģkenar üçgen oluģturma koģulu bulunmuģtur ve bu üretilen koģul ile Napoleon Teoremi için yeni bir ispat türü elde edilmiģtir. KAYNAKLAR [1] H. Martini, 1996, On the theorem of Napoleon and related topics, Math. Semesterber, 43, pp [2] (EriĢim Tarihi: ). [3] Serkan Küpeli, 2010, 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın Nokta Yayınevi, Ġzmir. [4] John E. Wetzel, 1992, Converses of Napoleon's Theorem. Amer. Math. Monthly 89, pp [5] Titu Andreescu, Dorin Andrica, 2006, Complex Numbers from A to Z, Birkhauser, Berlin. [6] L. S. Hahn, Complex Numbers and Geometry, Math Assoc. of America, TEŞEKKÜR Proje çalıģmamızın yönlendirilmesi ve sonuçlandırılmasında büyük emeği geçen Dokuz Eylül Üniversitesi, Özel Eğitim Bölümü, Yrd. Doç. Dr. Burak KARABEY e, proje danıģmanımız GülĢah ARACIOĞLU ve Bilim Kurulu EĢ BaĢkanı (Matematik) Dr. Gizem GÜNEL e, bugüne dek yetiģmemizde katkısı olan değerli öğretmenlerimize, her zaman yanımda olan ve bizleri destekleyen, yüreklendiren ailelerimize teģekkür ederiz. 10

pdf (EriĢim Tarihi: 23.01.2013). [3] Serkan Küpeli, 2010, 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın Nokta Yayınevi, Ġzmir. [4] John E. Wetzel, 1992, Converses of Napoleon's Theorem. Amer. Math.

Benzer belgeler

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR ÖZEL EGE LİSESİ TAM DEĞER VE ARDIŞIK TOPLAMLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 01 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.... GİRİŞ..YÖNTEM. ÖN BİLGİLER.. 5.ARDIŞIK TOPLAMLARIN