Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli)

Transkript

1 ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS 2 NOTLAR Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) X, karar değişkenlerinin bir vektörü olsun. z, g 1, g 2,...,g m fonksiyonlardır. Ve; b 1,b 2,..., b m de kaynakları(kısıtları) temsil eden sabit sayılardır. Amaç Fonksiyonu: amaç fonksiyonunu maksimize et Kısıtlar: kısıtları sağla genellikle Doğrusal Modeller... Doğrusal fonksiyonlar; biçimindeki fonksiyonlardır. Doğrusal eşitsizlikler; biçimindedir. Bir sayısal modelin doğrusal programlama (D.P.) modeli olabilmesi için; amaç fonksiyonunun doğrusal bir fonksiyon, kısıtların ise doğrusal eşitlikler veya eşitsizlikler olması gereklidir. Kesin eşitsizliklere ( vb.) izin verilmez. Genel olarak bir D.P. modelinde genellikle karar değişkenlerinin herbiri için pozitif olma kısıtı (negatif olmama kısıtı) vardır.

2 Doğrusal Programlama Doğrusal bir amaç fonksiyonunu maksimize ya da minimize et Doğrusal eşitlikler veya doğrusal eşitsizliklerden oluşan kısıtları sağla Mutlu İnek Çiftliği İçin Bir Karışım Problemi Büyük bir sığır sürüsüne sahip olan Mutlu İnek Çiftliğinin sahibi, şu anda kullanmakta olduğu ve ülke çapında pazarlanan bir yem markasını bırakarak kendi sığır yemini kendisi üretmek istemektedir. Çiftlik sahibi, kendi yem karışımını geliştirerek maliyetlerini kısabilmeyi ummaktadır. Hazırlanacak yem, sığırların beslenmesi için gerekli günlük besin değerlerini taşıyacak maddeleri içermelidir. Çiftlik sahibinin veteriner arkadaşı tarafından belirlenen günlük besin değerleri için alt sınırlar şöyledir: A besin maddesinden 15 miligram, B besin maddesinden 1600 miligram, C besin maddesinden 120 miligram. Sağlıklı bir beslenme için başka besin maddelerine de ihtiyaç vardır ancak; tüm yemlerde bu maddeler yeterli miktarlarda bulunduğundan özel bir çabaya gerek yoktur. Yem (kg) Marka No1 Marka No2 Marka No3 A besin maddesi (mg) 0,8 3,7 2,4 B besin maddesi (mg) 200,0 125,0 300,0 C besin maddesi (mg) 35,0 60,0 45,0 Çiftlik sahibi, kendi yem karışımını oluşturmak için piyasada satılmakta olan üç hazır yem markasının ürünlerini kullanacaktır. Yukarıda bu üç markanın hazır yemlerine ilişkin bilgi bir tabloda özetlenmiştir. Yemler için toptan satış rakamları; 1 numaralı markanın yemlerininin 25 er kiloluk çuvalları için 3800TL, 2 numaralı markanın yemlerinin 50 şer kiloluk çuvalları için 9500TL ve 3 numaralı markanın yemlerinin 50 şer kiloluk çuvalları için 7700TL şeklindedir. Yukarıdaki bilgilerin ışığında çiftlik sahibinin günlük yem karışımını en düşük maliyetli bir biçimde elde etmesinde kullanacağı D.P. modelini oluşturunuz.

3 Not: Adım1. Karar değişkenlerini belirle o x 1, 1 numaralı hazır yemden karışımda kullanılan kilo bazında günlük miktar, o x 2, 2 numaralı hazır yemden karışımda kullanılan kilo bazında günlük miktar ve o x 3, 3 numaralı hazır yemden karışımda kullanılan kilo bazında günlük miktar Adım2. Amaç fonksiyonunu belirle Amaç fonksiyonu katsayılarını (hazır yem fiyatlarını) karar değişkenlerine uyumlu hale getirmeliyiz: TL/kg TL/kg TL/kg Amaç fonksiyonu katsayılarını kilo başına fiyat olarak dönüştürmemizin nedeni doğrusal programlamanın varsayımlarından bölünebilirliktir (sürekliliktir). Bu varsayıma göre karar verici (çiftlik sahibi pozitif bir reel sayı miktarında yem çuvalını karışıma katabilecektir. Mutlu İnek Çiftliği nin günlük yem ihtiyacının maliyetini hesapladığımız unutulmamalıdır. Amaç fonksiyonu ile elde edilen değer, çiftliğin hazır yem alımlarından kaynaklanan negatif nakit akımı tutarı ile karıştırılmamalıdır. o Günlük yem karışımı maliyetini minimize et Adım3. Kısıtları belirle o A besin maddesi kısıtı o B besin maddesi kısıtı o C besin maddesi kısıtı o Pozitif olma kısıtı Doğrusal Programlama Modellerinin Çözülmesinde Grafik Yöntemi Gepetto Marangozhanesi, tahtadan oyuncak askerler ve trenler üretip satmaktadır. Bir tahta asker oyuncağı 27TL den satılmakta ve yapımında 10TL değerinde hammadde kullanılmaktadır. Üretilen herbir asker için 14TL lik ilave işçilik ve genel yönetim gideri oluşmaktadır. Bir tahta tren oyuncağı 21TL den satılmakta ve yapımında 9TL değerinde hammadde kullanılmaktadır. Üretilen herbir tren için 10TL lik ilave işçilik ve genel yönetim gideri oluşmaktadır. Tahta oyuncakların üretimi için iki tür nitelikli işçilik işlemi gereklidir: marangozluk ve süsleme. Bir tahtadan asker, 2 saatlik süsleme işçiliği ve 1 saatlik marangozluk işçiliği sonucunda üretilebilmektedir. Bir tahtadan tren de, 1 saatlik süsleme işçiliği ve 1 saatlik marangozluk işçiliği sonucunda üretilebilmektedir.

4 Her hafta Gepetto dilediği kadar hammadde getirtebilmekte ancak; toplamda 100 saatlik süsleme ve 80 saatlik marangozluk yapabilmektedir. Tahta trenlere yönelik talepte herhangi bir sınırlama yoktur ancak; 40 dan fazla tahtadan asker satılamamaktadır. Gepetto haftalık karını (hasılat-maliyetler) maksimize etmek istemektedir.gepetto nun durumuna uygun ve haftalık karını maksimize etmekte kullanabileceği bir matematiksel modeli oluşturunuz ve optimum kar değerini veren üretim planını belirleyiniz. a) Haftalık kar maksimizasyonu için D.P. modeli: x 1, üretilecek tahtadan asker oyuncağı sayısını ve x 2 de üretilecek tahtadan tren oyuncağı sayısını göstersin. Amaç: Haftalık karı maksimize etmek Kısıtlar: Süsleme İşçiliği İçin Zaman Kısıtı Marangozluk İşçiliği İçin Zaman Kısıtı Asker Oyuncağı için Talep Kısıtı Pozitif olma kısıtı b) Modelin Grafik Yöntemi ile Çözümü x 1, (üretilecek tahtadan asker oyuncağı sayısı) yatay eksende (x ekseninde) temsil edilsin. x 2, (üretilecek tahtadan tren oyuncağı sayısı) dikey eksende (y ekseninde) temsil edilsin. Gepetto örneğinde belirlediğimiz 4 kısıtımızı sırasıyla analitik düzleme aktarılacak olursa; o Süsleme işçiliği için zaman kısıtı

5 o Marangoz işçiliği için zaman kısıtı o o Asker oyuncağı için talep kısıtı Pozitif olma kısıtları (Analitik düzlemin 1. bölgesi) Analitik düzlemde eksenlerin ve 3 kısıtın(kırmızı, mavi ve turuncu) çevrelediği bölgeye uygun çözüm bölgesi (kısıtlar kümesi) denir. Uygun çözüm bölgesi, tüm kısıtları sağlayan, uygun çözümlerin dışbükey bir kümesidir ve bu bölgenin köşe noktaları (uç nokta çözümleri) optimal çözüm adaylarıdır. Gepetto örneği için uç nokta çözümleri şöyledir: A(0,0) Hiç asker veya tren üretmeme kararı. Haftalık kar değeri 0TL. B(0,80) 80 tren üretip hiç asker üretmeme kararı. Haftalık kar değeri 160TL. C(20,60) 20 asker ve 60 tren üretme kararı. Haftalık kar değeri 180TL. D(40,20) 40 asker ve 20 tren üretme kararı. Haftalık kar değeri 160TL. E(40,0) 40 asker üretip hiç tren üretmeme kararı. Haftalık kar değeri 120TL. Optimal Çözüm:

6 Gepetto marangozhanesi için optimal üretim planı 20 tahtadan asker oyuncağı ve 60 tahtadan tren oyuncağı üretip satarak amaç fonksiyonu değerini (maksimum haftalık karı) 180TL yapmaktır. Temel Kavramlar (devam) Not: Mikro-iktisat dersinizdeki farksızlık (eşfayda) eğrileri bilgilerinizi hatırlayınız. Grafik yöntemi ile çözümde bu bakış açısı ile de optimal çözüme ulaşılabilir. Analitik geometri dersinizdeki bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini bulma bilgilerinizi hatırlayınız. Farksızlık Eğrileri: Bu eğriler üzerindeki noktaların herbiri için amaç fonksiyonu değeri sabit ve aynıdır. Farksızlık eğrileri, hasılat ya da kar maksimizasyonu içeren problemlerde eşkazanç eğrileri; maliyet minimizasyonu problemlerinde de eşmaliyet eğrileri olarak adlandırılırlar. örneğin aynı parasal değerde kar/zarar, bir yatırım portföyü için aynı getiri/risk seviyesi, bir reklam faaliyetinde ulaşılan müşteri sayısı için aynı değer, vb. Gepetto örneği için; Amaç Fonksiyonu: x 1, yatay eksende; x 2 de dikey eksende gösterilmişti. Öyleyse amaç fonksiyonunu buna göre yeniden düzenleyerek eşkazanç eğrileri için genel denklem bulunur: sabit bir sayıdır. Eşkazanç eğrileri için eğim, z Gepetto nun haftalık karının parasal değerini ifade eden olan uç nokta çözümleri de bilindiğine göre; olarak bulunur. Optimal çözüm adayları A(0,0) noktası için B(80,0) noktası için C(20,60) noktası için D(40,20) noktası için E(40,0) noktası için

7 B ve D noktaları ile ifade edilen üretim planlarının aynı eşkazanç eğrisi üzerinde yeraldığına dikkat ediniz. Her iki üretim planı da aftalık 160TL kar getirmektedir. Bağlayıcı Kısıtlar: Bağlayıcı kısıtlar optimal çözüm noktasından geçen kısıtlardır. (Gepetto örneği için C(20,60) noktası optimal çözüm noktasıdır.) Gepetto örneğinde bağlayıcı Süsleme işçiliği için zaman kısıtı Marangozluk işçiliği için zaman kısıtı Bağlayıcı kısıtların ötesine erişilebilirse, amaç fonksiyonu değerinde bir iyileştirme sağlanabilir. (Bağlayıcı kısıtlar darboğazları temsil eder.) Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar: optimal çözüm noktasından geçmeyen kısıtlardır. Gepetto örneğinde asker oyuncağı için talep kısıtı ve pozitif olma kısıtları C(20,60) noktasından geçmemektedir. Bu kısıtlar bağlayıcıolmayan kısıtlardır. Bağlayıcı olmayan kısıtlarda küçük değişimler amaç fonksiyonu değerinde herhangi bir değişikliğe neden olmazlar.

8 Ödev 2 1. Bir D.P. modelinin amaç fonksiyonu için aşağıdaki iki matematiksel ifade özdeş midir? Eğer özdeş ise nasıl ve neden özdeştir? i. ii. Aşağıdaki sorulardan 3 tanesini seçerek cevaplayınız. Aşağıdaki D.P. modelleri için optimal çözümü bulunuz, bağlayıcı kısıtları ve bağlayıcı-olmayan kısıtları belirleyiniz Grafik çiziminde bu internet sitesinden yararlanabilirsiniz: Cevaplarınızı bir Word dosyasında hazırlayınız. Ödevlerinizi ÖĞRENCİNOÖ2SOYAD (örnek : Ö2YILDIZ) biçiminde kaydederek e-posta yoluyla teslim ediniz. Ödevlerin teslimi için tanınan süre bir sonraki dersin başlama saatinde dolmaktadır.