CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Transkript

1 ÖABT CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Ysin ŞAHİN

2 ÖABT CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hkkı sklıdır. Bu kitbın tmmı y d bir kısmı, yzrın izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi y d herhngi bir kyıt sistemi ile çoğltılmz, yyınlnmz, depolnmz. Bu kitptki bilgilerin her türlü sorumluluğu yzr ittir. Eser Shibi Ysin ŞAHİN ISBN Aybil Bsımevi Sertifik No 79 Bskı & Cilt Aybil Dijitl Bskı Reklm Mühendislik Turizm Snyi ve Ticret Limited Şirketi Ferhuniye Mh. Sultnşh Cd. No/A KONYA Tel. 7 Fx. 7 KONYA KASIM 6

3 İÇİNDEKİLER Soyut Mtemtik Önermeler ve İspt Yöntemleri.. Test 8 Çözümler. Konu Trm Testi. Çözümler. 4 Küme Teorisi Test. 9 Çözümler. Konu Trm Testi. Çözümler. Bğıntı.. 4 Test. 8 Çözümler Konu Trm Testi. 6 Çözümler. 7 Fonksiyon 8 Test 4 44 Çözümler 46 Konu Trm Testi Çözümler. 49 İşlem.. Test Çözümler Konu Trm Testi. 7 Çözümler. 8 Syılbilir Sonlu ve Sonsuz Kümeler 9 Test 6. 6 Çözümler 6 Genel Trm Sınvı. 6 Çözümler. 69 Syılr Teorisi Tm Syılrd Bölünebilme. 7 Test Çözümler. 8 Konu Trm Testi 6. 8 Çözümler 8 Kongrünslr. 84 Test 8 89 Çözümler 9 Konu Trm Testi Çözümler. 98

4 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler 99 Test 9. Çözümler. 4 Konu Trm Testi Çözümler.. 7 Genel Trm Sınvı.. 8 Çözümler.. 4 Soyut Cebir Gruplr.. 9 Test.. Çözümler. Konu Trm Testi 9.. Çözümler.. 6 Alt Gruplr.. 7 Test 9 Çözümler.. Konu Trm Testi Çözümler.. Simetrik Gruplr.. Test 7 Çözümler.. 9 Konu Trm Testi 4 Çözümler. 4 Devirli Alt Gruplr.. 4 Test 4 Çözümler.. 48 Konu Trm Testi Çözümler.. Sol ve Sğ Yn Kümeler (Ksetler) Test 4 4 Çözümler. Konu Trm Testi 6 Çözümler. 7 Norml Alt Gruplr ve Bölüm Gruplrı 8 Test.. 6 Çözümler. 6 Konu Trm Testi 4 6 Çözümler. 6 Grup Homomorfizmlrı.. 64 Test 6 66 Çözümler. 68 Konu Trm Testi 7 Çözümler.. 7

5 Direkt Çrpımlr (Toplmlr) 7 Test 7 74 Çözümler.. 7 Konu Trm Testi 6 76 Çözümler.. 77 Hlklr. 78 Test 8 8 Çözümler.. 8 Konu Trm Testi 7 84 Çözümler.. 8 Alt Hlk ve İdeller.. 86 Test 9 88 Çözümler.. 89 Konu Trm Testi 8 9 Çözümler.. 9 Polinom Hlklrı 9 Test 9 Çözümler.. 96 Konu Trm Testi 9 97 Çözümler.. 98 Genel Trm Sınvı. 99 Çözümler. Lineer Cebir Mtris Cebiri.. 9 Test Çözümler.. Konu Trm Testi 7 Çözümler.. 8 Elementer İşlemler.. 9 Test Çözümler.. Konu Trm Testi Çözümler.. 4 Determinntlr.. Test Çözümler.. Konu Trm Testi 7 Çözümler.. 8 Lineer Denklem Sistemleri. 4 Test 4 4 Çözümler.. 46 Konu Trm Testi 47 Çözümler.. 48

6 Vektör Uzylrı. 49 Test Çözümler.. 7 Konu Trm Testi 4 9 Çözümler.. 6 Lineer Dönüşümler 6 Test 6 64 Çözümler.. 6 Konu Trm Testi 66 Çözümler.. 67 Özdeğerler Özvektörler ve Köşegenleştirme. 68 Test 7 7 Çözümler.. 7 Konu Trm Testi 6 76 Çözümler.. 77 Genel Trm Sınvı.. 78 Çözümler.. 86

7 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Arkdşlr, ÖABT sorulrı kdemik konulrdn ve okul müfredtındki temel konulrdn oluşmktdır. Hepimizin mcı bu sınvd bşrılı olmk ve istediğimiz bir okul tnmktır. Yeni sınv sisteminde bu mc ulşmk için lisns öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi pekiştirmeniz, çıkck soru tiplerine uygun çok syıd ve sistemli soru çözmeniz yrıc sık sık tekrr ypmnız gerekmektedir. Cebir Konu Anltımlı Çözümlü Soru Bnksı Kitbı, yukrıdki belirlemeye uygun olrk değişen sınv sistemine göre, sizleri ÖABT sınvın en iyi biçimde hzırlmk mcıyl düşünülmüştür. Bu kitbın hzırlnmsınd çok emek srf edildiğinden, kitbı kısmen y d tmmen çoğltnlr hkkımı helâl etmiyorum. Fydlnck tüm öğretmen rkdşlr bşrılr diler, bugünlere gelmemde büyük py shibi oln sevgili eşime ve dostlrım şükrnlrımı sunrım. Ysin ŞAHİN

8 Cebir Bğıntı Soyut Mtemtik Sırlı İkili Sırlı n-li ve b gibi herhngi iki elemnın rlrınd sır gözetilerek (, b) biçiminde yzılmsın sırlı ikili denir. y sırlı ikilinin birinci bileşeni, b ye de sırlı ikilinin ikinci bileşeni denir. (,,. n) ifdesine de sırlı n-li denir. Teorem (, b) = (c, d) = c ve b = d dir. KARTEZYEN ÇARPIM A ve B herhngi iki küme olmk üzere, birinci bileşeni A dn ve ikinci bileşeni B den lınrk elde edilen tüm sırlı ikililerin kümesine A ile B nin krtezyen çrpımı denir ve A x B = ( x,y) x A ve y B biçiminde gösterilir. Örnek A =, b ve B =,, kümeleri verilsin. A x B = (, ), (, ), (, ), (b, ), (b, ), (b, ) B x A = (, ), (, b), (, ), (, b), (, ), (, b) Krtezyen Çrpımın Özellikleri A, B, C ve D herhngi dört küme olsun. i) A x A = A, A x A x x A = A n ii) A x B B x A (A B) n tne iii) A x (B C) = (A x B) (A x C) iv) A x (B C ) = (A x B) ( A x C) v) A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C) vi) s(a x B) = s(b x A) = s(a). s(b) vii) A x = x A = viii) A x B = ise A = V B = ix) A B A x C B x C Teorem A = verilmiş olsun. A i i I ve B = j J i) A xb j (Ai xb ii jj (i,j) IxJ i j ) x) A B C D A x C B x D - = (, ), (b, ), (, ) B x A xi) (A C) x (B D) = (A x B) (C x D) ii) ii BAĞINTI A i x B j (Ai xb j ) jj (i,j) IxJ B j ileleri A ve B boş kümeden frklı herhngi iki küme olmk üzere, A x B nin her lt kümesine A dn B ye bir bğıntı denir. Eğer A = B ise bu bğıntıy kısc A d bir bğıntı denir. A kümesine bğıntının tnım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir. Bğıntılr,,,. gibi sembollerle gösterilir. Örnek A =, b, c ve B = olsun. A x B = (, ), (b, ), (c, ) B x A = (, ), (, b), (, c) = (, ), (c, ) A x B = (, b) B x A olduklrındn, A dn B ye; d B den A y bir bğıntıdır. Tnım, A dn B ye bir bğıntı olsun. Eğer (x, y) ise B nin y elemnı A nın x elemnın bğıntısı ile bğlıdır (yx) y d A nın x elemnı B nin y elemnı ile eşlenmiştir (x y) denir. Bir Bğıntının Tersi, A dn B ye tnımlı bir bğıntı olsun. B den A y (y, x) (x, y) bğıntısın bğıntısının tersi denir ve - ile gösterilir. Örnek A =,, ve B =, b olsun. A x B = (, ), (, b), (, ), (, b), (, ),, b) B x A = (, ), (, ), (, ), (b, ), (b, ), (b, ) = (, ), (, b), (, ) A x B 4

9 Cebir Bğıntı Soyut Mtemtik Bğıntının Özellikleri, A kümesinde tnımlı bir bğıntı ( A x A) olsun.. Ynsım Özelliği ynsıyndır x [x A (x, x) ] dır. x A için (x, x) x A kümesine A kümesinin köşegeni denir ve IA ile gösterilir. Örnek A =,, kümesi üzerinde tnımlnn = (, ), (, ), (, ) = (, ), (, ) (, ), (, ) bğıntılrı ynsıyn olup = (, ), (, ) bğıntısınd (, ) olduğundn ynsıyn değildir.. Simetri Özelliği simetriktir (x, y) [(x, y) (y, x) ] dır. Örnek A =,, kümesi üzerinde tnımlnn = (, ), (, ), (, ) = (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) bğıntılrı simetrik olup = (, ), (, ), (, ), (, ) bğıntısınd (, ) iken (, ) olduğundn simetrik değildir. Teorem A kümesinde tnımlnn bğıntısının simetrik olmsı için gerek ve yeter şrt = - olmsıdır. simetriktir = - dir.. Ters Simetri Özelliği ters simetriktir (x, y) [(x, y) (y, x) x = y] dir. Örnek A =,, kümesi üzerinde tnımlnn = (, ), (, ), (, ) = (, ), (, ), (, ) bğıntılrı ters simetrik olup = (, ), (, ), (, ), (, ) bğıntısınd (, ) iken (, ) olduğundn ters simetrik değildir. 4. Geçişme Özelliği geçişkendir (x, y), (y, z) [(x, y) (y, z) (x, z) ] dır. Örnek A =,, kümesi üzerinde tnımlnn = (, ), (, ), (, ) = (, ), (, ), (, ), (, ) bğıntılrı geçişken olup = (, ), (, ), (, ), (, ) bğıntısınd (, ) ve (, ) iken (, ) olduğundn geçişken değildir. DENKLİK BAĞINTISI VE DENKLİK SINIFLARI Tnım Boş kümeden frklı bir küme üzerinde tnımlnn bğıntı ynsım, simetri ve geçişme özelliklerini sğlıyors bu bğıntıy denklik bğıntısı denir. Denklik bğıntılrı genelde sembolü ile gösterilir. (x, y) yerine dh çok x y kullnılır. Aynı zmnd denklik bğıntılrı simetrik olduğundn y x yerine x y de yzılbilir. Örnek A =,, kümesi üzerinde tnımlnn = (, ), (, ), (, ) ters simetriktir (x, y) [(x y) (x, y) = (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (y,x) ] dır. bğıntılrı birer denklik bğıntısıdır. Bu bğıntıy denk olrk

10 Cebir Bğıntı Soyut Mtemtik Tnım, A kümesinde tnımlı bir denklik bğıntısı olsun. (x, y) olmk üzere, A kümesinde x elemnın denk oln tüm y elemnlrının kümesine x in denklik sınıfı denir ve x = y y A ve (x, y) biçiminde gösterilir. Örnek = (x, y) x - y çift tm syı, x, y Z bğıntısının bir denklik bğıntısı olduğunu gösterip ve nin denklik sınıflrını bullım. i) x Z için x - x = çift syı olduğundn (x, x) dır. Yni ynsıyndır. ii) (x, y) için x - y çift y - x = - (x - y) çift olcğındn (y, x) dır. Yni simetriktir. iii) [(x, y) ve (y, z) ] için x - y = k (k, m Z) y - z = m x - z = (m + k) olcğındn (x, z) dır. Yni geçişkendir. bğıntısı ynsım, simetri ve geçişme özelliklerini sğldığındn bir denklik bğıntısıdır. Şimdi de ve nin denklik sınıflrını bullım. = y y Z ve - y çift tm syı =. -, -, -,,,,. = y y Z ve - y çift tm syı =. -4, -,,, 4,. Teorem, A kümesi üzerinde tnımlı bir denklik bğıntısı olsun. i) A nın her bir elemnının boş kümeden frklı bir denklik sınıfı vrdır. x A için x ii) A nın iki elemnının denklik sınıfı y eşittir y d yrıktır. x, y A için x y = x y iii) Tüm denklik sınıflrının birleşimi A kümesine eşittir. A xa x Tnım, A kümesi üzerinde tnımlı bir denklik bğıntısı olsun. nın A kümesinden yırdığı tüm denklik sınıflrının kümesine A nın bğıntısın göre bölüm kümesi denir ve A/ biçiminde gösterilir. Örnek = (x, y) (x, y) Z ve x - y bğıntısı bir denklik bğıntısıdır. Bu bğıntının Z den yırdığı denklik sınıflrı, =..,-6, -,,, 6,.. =..,-, -,, 4, 7,.. =..,-4, -,,, 8,.. olduğundn Z / =,, dir. Teorem A /, A kümesinin bir yrımını, A nın yrımındki her küme ise bir denklik sınıfı oluşturck biçimde sdece bir denklik bğıntısı belirler. Örnek A =,,, 4,, 6 kümesinin bir yrımı A =,, 4,,, 6 olrk verilsin. Bu yrımın belirlediği denklik bğıntısı = (,), (,), (,), (4,4), (,), (6,6), (,), (,), (,), (,), (,6), (6,), (,6), (6,) biçimindedir. Ayrıc A/ =,, 4 dir. Örnek A =, b, c, d kümesinde tnımlı = (,), (b,b), (c,c), (d,d), (,b), (b,) bğıntısının belirlediği yrımı bullım. ynsıyn, simetrik ve geçişken olduğundn bir denklik bğıntısıdır. ve b ynı denklik sınıfınd, c ile d ise tek bşın birer denklik sınıfı oluşturduğundn nın belirlediği yrım,b, c, d biçimindedir. 6

11 Cebir Bğıntı Soyut Mtemtik SIRALAMA BAĞINTISI x (x B x b) Boş kümeden frklı A kümesi üzerinde tnımlnn bir bğıntı ynsım, ters simetri ve geçişme özelliklerini sğlıyors bu bğıntıy prçlı sırlm bğıntısı y d kısc sırlm bğıntısı, A kümesine de sırlı küme denir ve bu kümede tnımlı sırlm bğıntısı simgesi ile gösterilir. (x, y) x y dir. Burd x ile y elemnlrın bğıntısın göre krşılştırılbilir elemnlr denir. Tnım A kümesinde tnımlnn bir sırlm bğıntısı olsun. A kümesinin her elemn çifti bu bğıntı yrdımıyl krşılştırılbiliyors A kümesine tm sırlı küme denir. Örnek A =, b kümesinin P (A) kuvvet kümesinde tnımlı bğıntısı bir sırlm bğıntısıdır. P (A) =,, b,, b, b olduğundn ve, b elemnlrı bu bğıntıy göre krşılştırılbilir elemnlrdır. b olduğundn ve b elemnlrı bu bğıntıy göre krşılştırılmz. Bu nedenle P (A) kümesi bğıntısın göre prçlı sırlı bir kümedir. Fkt tm sırlı bir küme değildir. Örnek A =,,, 4, kümesi üzerinde tnımlnn bğıntısı bir sırlm bğıntısıdır. A nın herhngi iki elemnı bu bğıntıy göre krşılştırılbilir olduğundn A kümesi tm sırlı bir kümedir. Teorem Bir küme üzerinde tnımlnn sırlm bğıntısının tersi de bir sırlm bğıntısıdır. Tnım A kümesinde tnımlı bir sırlm bğıntısı ve B A olsun. x (x B x) olck biçimde B kümesinin bir b elemnı vrs b ye B nin en büyük (mksiml) elemnı denir. Tnım A kümesinde tnımlı bir sırlm bğıntısı ve B A olsun. A x B, x önermesi doğru ise B kümesi lttn sınırlıdır ve elemnın B kümesinin bir lt sınırı (miniml elemn) denir. B nin lt sınırlrının en büyüğüne de B nin en büyük lt sınırı (minimumu) denir ve inf B vey ebs B ile gösterilir. b A x B, x b önermesi doğru ise B kümesi üstten sınırlıdır ve b elemnın B kümesinin bir üst sınırı (mksiml elemn) denir. B nin üst sınırlrının en küçüğüne de B nin en küçük üst sınırı (mksimumu) denir ve sup B vey eküs B ile gösterilir. Tnımdn d görüldüğü gibi B kümesinin üst sınırı, lt sınırı, infumumu ve supremumu kümeye it olmk zorund değildir. Tnım Hem lttn hem de üstten sınırlı oln kümeye sınırlı küme denir. Teorem Bir B A kümesinin infumumu ve supremumu vrs tektir. Tnım A kümesinde tnımlı bir sırlm bğıntısı olsun. A kümesinin boş kümeden frklı her lt kümesinin bir en küçük elemnı vrs A y iyi sırlı küme denir. Örnek Doğl syılr kümesinin boş kümeden frklı her lt kümesinin en küçük elemnı olduğundn doğl syılr kümesi bğıntısın göre iyi sırlı bir kümedir. Tm syılr kümesi iyi sırlı bir küme değildir. Çünkü negtif tm syılr kümesinin bir en küçük elemnı yoktur. olck biçimde B kümesinin bir elemnı vrs Teorem İyi sırlı her küme tm sırlıdır. Fkt tm y B nin en küçük (miniml) elemnı denir. sırlı her küme iyi sırlı olmybilir. 7

12 Cebir Bğıntı Test. B A, B s(c) = s[(a x C) (B x C)] = olduğun göre, s(a) en çok kçtır? A) B) C) 4 D) E) 6. A = -, -,,, ve B =,,, 4 kümeleri veriliyor. A x B kümesinin noktlrını dışrıd bırkmyn en küçük çemberin çpı kç birimdir? A) B) C) D) 4 E). = (x, y) x + y, x, y Z bğıntısının elemn syısı kçtır? A) 7 B) 8 C) D) E) 4. A =, b, c ve B =, kümeleri veriliyor. Bun göre, A dn B ye tnımlnn bğıntılrın kç tnesinde (, ) bulunur, (c, ) bulunmz? A) 6 B) 4 C) D) 48 E) 6. A =, b, c kümesi üzerinde tnımlnn elemnlı ynsıyn bğıntı syısı kçtır? A) B) 6 C) 9 D) E) 6. 4 elemnlı bir küme üzerinde ynsıyn ve simetrik kç bğıntı tnımlnbilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 6 8

13 Cebir Bğıntı Test 7. elemnlı bir küme üzerinde ynsıyn oln simetrik ve ters simetrik olmyn bir bğıntı en z kç elemnlıdır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. = (x, y) x + y = 6, x, y Z) bğıntısı veriliyor. - bğıntısı şğıdkilerden hngisidir? A) (-, ) B) (, ) C) (-, -) D) (4, ) E) (4, -) 9. Tm syılr kümesinde bir denklik bğıntısı = (x, y) x - x = y - y şeklinde tnımlnıyor. Bun göre, sıfırın denklik sınıfı şğıdkilerden hngisidir? A) -,, B) -, C), D) -, E). A = x x -, x Z kümesi üzerinde tnımlnn = (x, y) y x ve x, y A bğıntısının noktlrını dışrıd bırkmyn en küçük üçgenin lnı kç br dir? A) 8 B) C) D) 6 E). = (x, y) x + y 9, x, y R bğıntısı için I. Ynsıyndır. II. Simetriktir. III. Geçişkendir. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) Ylnız III D) I ve II D) II ve III., kn gruplrı kümesi üzerinde birinin diğerine kn verebilmesi bğıntısı olsun. bğıntısı ile ilgili olrk, I. Ynsıyndır. II. Simetriktir. III. Ters simetriktir. IV. Geçişkendir. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) I ve II B) I ve III C) I, II ve IV D) I, III ve IV E) I, II, III ve IV 9

14 Cebir Çözümler Test... SCx A B S AB 6 Cevp D Cevp E x y, x y, x y, x y bğıntısını sğlyn tne elemnı vrdır. 4. AxB,,,, b,, b,, c,, c, 4 6 Cevp A Cevp A. AxA,, b,b, c,c, 9 6,, b,b, c,c,, 6. 4 elemnlı bir küme A,b,c,d olsun,,b,b,c,c,d,d, AxA,, b,b, c,c, d,d, 6 Cevp E geriye kln elemn simetri özelliğinden dolyı ikili gruplndırılırs, 6 elemn için 6 hem ynsıyn hem de simetrik bğıntı syısı olur. 7. elemnlı bir kümeyi A Cevp B,,,4, seçelim.,,,,,, 4,4,,,,,,,, seçilirse ynsıyn oln simetrik ve ters simetrik olmyn bir bğıntı olur. 8. x y 6 / yx 6 y, x B, Cevp D Cevp B

15 Cebir Bğıntı Test 9. x x y y. I) Ynsıyndır. x için x,x,. y y y, y,, x A,,,4, 9 x x 9 x 9 x Cevp A II) Simetriktir. x y 9, y x 9 x y 9 III)Geçişkendir. x z 9 gelmez y z 9 Cevp B Cevp A,,A,A,B,B,AB,AB,,A,,B,.,AB, A,AB, B,AB bğıntısı ynsıyn, ters simetrik, geçişkendir. Cevp D

16 Cebir Bğıntı Konu Trm Testi. A, B, C, D kümeleri verilmiş olsun. I. (A x B) (C x D) = (A C) x (B D) II. (A x B) (C x D) = (A C) x (B D) III. A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C) Yrgılrındn hngileri dim doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III. A ve B herhngi iki küme olmk üzere, I. A = B II. A = B = III. A B B A yrgılrındn hngileri A x B = B x A eşitliğini sğlr? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. Tm syılr kümesinde tnımlnn ( x,y) x tek syı yçift syı bğıntısı I. Ynsım II. Simetri III. Ters simetri IV. Geçişme özelliklerinden hngilerini sğlr? A) Ylnız III B) Ylnız IV C) III ve IV D) I ve III E) II ve IV 4. Reel syılr kümesi üzerinde bir denklik bğıntısı, (x,y) x 4x y 4y biçiminde tnımlnıyor. Bun göre, in denklik sınıfı kç elemnlıdır? A) B) C) D) E) 4. ve, A kümesi üzerinde tnımlı denklik bğıntılrı olmk üzere, I. II. III. \ bğıntılrındn hngileri A kümesinde dim bir denklik bğıntısı belirtir? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 6. I. İyi sırlı bir kümenin her lt kümesi de iyi sırlıdır. II. Tm sırlı bir kümenin her lt kümesi de tm sırlıdır. III. Tm sırlı bir küme ynı zmnd iyi sırlı bir kümedir. Yrgılrındn hngileri dim doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 6

17 Cebir Çözümler Konu Trm Testi. I ve III doğrudur. 4. x 4x y 4y Cevp B. Verilen yrgılrın her üçü de doğrudur. Cevp E. I) T,T Ç,Ç II) T,Ç iken Ç,T simetriktir. olduğundn ters IV) bğıntısının çift tmsyı ile biten elemnı vrdır. Am çift tmsyı ile bşlyn elemnı olmdığındn geçişkendir. Cevp C 4. y 4y y 4y y. y y old.için iki reel kök gelir. y Cevp D. I) birleşim her zmn sğlmz. II) kesişim her zmn sğlr. III) \ ynsım bozulur. Cevp B 6. İyi sırlı her küme tm sırlıdır. Fkt tm sırlı her küme iyi sırlı değildir. Cevp C 7

18 Cebir Kongrünslr Syılr Teorisi Kongrünslr, bir tm syının sıfırdn frklı bşk bir tm syı ile bölümünden elde edilen kln üzerinde ypıln ritmetiktir. Tnım, b Z ve m > olmk üzere, eğer m - b ise ile b, m modülüne göre kongrüenttir (denktir) denir ve b (mod m) biçiminde gösterilir. Teorem, b, m Z ve m > b (mod m) = b + m. k olck biçimde bir k Z vrdır. Teorem Tm syılrd m modülüne göre kongrüent olm bğıntısı bir denklik bğıntısı olduğundn tm syılr kümesini m tne denklik (kln) sınıfın yırcktır. m modülüne göre en küçük klnlr,,,..(m ) olduğundn her tm syı m modülüne göre bu syılrdn bir tnesine kongrüenttir denir. m modülüne göre oluşn tüm denklik sınıflrının kümesi Z / m Zm,,,..(m ) ile gösterilir. Burd Zm e tm kln sınıfı denir. Örnek modülüne göre oluşn tüm kln sınıflrının kümesi Z / Z biçimindedir.,,,, 4 Örnek m = 7 modülüne göre tm syılr kümesini denklik sınıflrın yırlım. Tm syılr kümesi 7 modülüne göre yedi tne denklik sınıfın yrılır. Bunlr,.. 4, 7,,7,4,..., 6,,8,...,,,9,..., 4,,,. 4..,,4,,... 9,,,, ,,6,,. biçimindedir.,,,, 4,, 6 syılrı 7 modülüne göre en küçük klnlr y d tüm klnlr sistemidir. Özellikleri, b, c, d, m, n Z, m >, b (mod m) ve c d (mod m) olsun. i) c b d (mod m) ii). c b. d (mod m) iii) n b n (mod m) iv). n b. n (mod m) v) n b n (mod m) Teorem, b, c, m Z, m >, c (c, m) = d olsun.. c b. c (mod m) ise b (mod d m ) dir. (mod m) ve İspt. c b. c (mod m) mc. ( - b) olduğundn c. ( - b) = m. k olck şekilde bir k Z vrdır. (c, m) = d olduğundn d m ve d c dir. Burdn m = d. k ve c = d. k olck biçimde k, k Z vrdır ve (k, k) = dir. c. ( - b) = m. k denkleminde m yerine d. k ve c yerine d. k yzılırs d. k. ( - b) = d. k. k k. ( - b) = k. k k - b = k - b = k m k k ve tz d k m t olcğındn d m b elde edilir. d m Bu d b (mod ) demektir. d Örnek (mod ) kongrünsınd.. (mod ) ve (, ) = olduğundn (mod 4) tür. 84

19 Cebir Kongrünslr Syılr Teorisi Sonuç (c, m) = ise. c b. c (mod m) ise b (mod m) dir. Örnek 4 (mod ) kongrünsınd (mod ) ve (7, ) olduğundn (mod ) tür. Teorem, b Z, mi Z +, i =,,. n olsun. b (mod mi) ise b (mod [m, m, mn]) dir. Örnek x (mod 4) x (mod 6) ve [4, 6] = olduğundn x (mod ) dir. Teorem f(x), ktsyılrı tm syılr oln bir polinom fonksiyon ve b (mod m) olsun. Bu tkdirde, dir. f() f(b) (mod m) Tnım m modülüne göre m ile rlrınd sl oln kln sınıfın indirgenmiş (sl) kln sınıfı * denir ve Z ile gösterilir. m Teorem m modülüne göre indirgenmiş (sl) kln sınıflrının syısı (m) tnedir. Örnek (6) = ve (7) = 6 olduğundn Z 6,,,, 4,, 6 ise Z, * 6 tir. Z 7,,,, 4,, 6 ise,,, 4,, 6 Z * 7 dır. Teorem (Euler) (, m) = olmk üzere, (m) (mod m) dir. Örnek =, m = olsun. şeklindedir. (, ) = ve () = 4 olduğundn () (mod ) 4 (mod ) tir. Teorem (Fermt) p sl ve p olmk üzere, p - (mod p) dir. Örnek = ve p = 7 için 7 olduğundn 7 - (mod 7) 6 (mod 7) Teorem (Wilson) Herhngi bir p slı için, (p - )! - (mod p) dir. Örnek! - (mod ) dir. Lineer Kongrünslr, b, m Z, m >, (mod m) ve x bilinmeyeni göstermek üzere, x b (mod m) şeklindeki kongrünslr bir bilinmeyenli lineer kongrünslr denir. Bu denkliği gösteren x tm syılrının kümesine lineer kongrünsın çözüm kümesi denir. Kongrünsın çözümlerinden ynı kln sınıfın it oln çözümlere kongrüent çözümler, ynı kln sınıfın it olmyn çözümlere de kongrüent olmyn çözümler denir. Teorem, b, m Z, m > ve (, m) = d olsun. x b (mod m) kongrünsının çözülebilir olmsı için gerek ve yeter şrt d b olmsıdır. Eğer bu kongrüns çözülebilirse m modülüne göre birbirlerine kongrüent olmyn d tne çözüm vrdır. Örnek x (mod 7) kongrünsını çözelim. (, 7) = ve olduğundn kongrünsın tne çözümü vrdır. x = 4 kongrünsı sğlr. O hlde tüm çözümler x 4 (mod 7) vey x = 4 + 7k (k Z) 8

20 Cebir Kongrünslr Syılr Teorisi Örnek x (mod 4) kongrünsını çözelim tne çözüm vrdır. (, 4) = ve olduğundn kongrünsın ) Euler teoremi kullnılrk lineer kongrünslr birbirine kongrüent olmyn tne çözümü vrdır. çözülebilir. x (mod 4) (, m) = olmk üzere, 4x 7 (mod ) (m) (mod m) dir. kongrünsınd x = - (mod) bir çözüm x b (mod m) kongrünsının her iki trfı (m)- oldu-ğundn tüm çözümler k =,,,.. (d-) ile çrpılırs, m olmk üzere, x = x + k. şeklindedir. Burdn x = d (m)-. x (m)-. b (mod m) + k ve k =,, için tne birbirine (m). x (m)-. b (mod m) kongrüent olmyn çözüm bulunur ki bu çözümler (m) (mod m) olduğundn, 8 ve 4 tür. x (m)-. b (mod m) Sonuç, b, m Z, m > ve (mod m) olsun. elde edilir. i) (, m) = ise x b (mod m) kongrünsının ii) tek çözümü vrdır. m sl syı ise x b (mod m) kongrünsının tek çözümü vrdır. Lineer Kongrüns Denklemlerinin Çözümünde Kullnıln Bzı Metotlr Modülün küçük bir syı olmsı durumund m modülüne göre tüm klnlr denenerek çözüm vey çözümler bulunbilir. Fkt modülün büyük bir syı olmsı durumund bu metod uygun değildir. Lineer kongrüns denklemlerinin çözümü için bzı metodlr geliştirilmiştir. Bunlrdn bzılrını verelim ) Kongrünsın temel özellikleri kullnılrk lineer kongrüns denklemleri çözülebilir. Örnek 8 x (mod 8) kongrünsını çözelim. 8x (mod 8) 9 x (mod 4) - x (mod 4) -x (mod 4) x (mod 4) olrk bulunur. x = + 4k, k =, için x = ve x = 6 olmk üzere birbirine kongrüent olmyn iki Örnek x (mod 7) kongrünsınd (, 7) =, (7) = 6 olduğundn her iki trf ile çrpılırs 6. x. (mod 7) 6 (mod 7) olduğundn x. (mod 7) dir. Burdn. 4 (mod 7) olduğundn x 4 (mod 7) elde edilir. ) Lineer Diophntine denklemleri yrdımıyl d lineer kongrünslr çözülebilir. Örnek x (mod ) kongrünsını çözelim. Verilen kongrüns, y Z olmk üzere x = + y..(i) x - y = Diophntine denklemine dönüşmüş olur. Son denklem -y (mod ) şeklinde yzılrk modül küçültülmüş olur. Burdn - 4 (mod ) olduğundn 86

21 Cebir Kongrünslr Syılr Teorisi 4 y (mod ) y (mod ) x - (mod 8) x (mod 8) y = + k (k Z) değeri I. denklemde yerine konulur ve her iki trf ile bölünürse x = +. ( + k) x = + k bulunur ve burdn x (mod ) rnıln çözümdür. 4) Lineer kongrünslrın çözümünde diğer bir metot Euclid bölme lgoritmsıdır. Örnek x (mod 7) kongrünsını çözelim. (, 7) = olup = (-) olrk yzılır ve her iki trf üç ile çrpılırs = (-) olur. Bu ifde kongrüns şeklinde yeniden düzenlenirse,. (-) (mod 7) elde edilir. - 4 (mod 7) olduğundn x 4 (mod 7) elde edilir. Örnek x (mod 4) kongrünsını çözelim (, 4) = ve olduğundn çözüm vr ve tnedir. Kongrünsı ile sdeleştirirsek, 7x (mod 8) (7, 8) = olduğundn = (-) = (-) 7. (-) (mod 8) yzılbilir. Bu durumd bir çözüm dir. x = + 8k ve k =,, için tne birbirine kongrüent olmyn çözüm vrdır ve bu çözümler de,, 9 dur. Tnım (, m) = olmk üzere, x (mod m) kongrünsının çözümüne nın m modülüne göre inversi (tersi) denir. Örnek in modülüne göre inversini bullım. Bunun için x (mod ) kongrünsını çözmeliyiz. Bu kongrüns çözüldüğünde x 6 (mod ) bulunur. modülüne göre 6 y denk oln bütün tm syılr in modülüne göre inversleridir. Tnım, b, c, m Z, m > ve x, y bilinmeyenler olmk üzere, x + by c (mod m) şeklindeki kongrünslr iki bilinmeyenli lineer kongrünslr denir ve bu kongrünsın çözümleri (x, y) tm syı sırlı çifti ile gösterilir. Teorem, b, c, m Z ve m > olmk üzere, x + by c (mod m) kongrünsınd (, b, m) = d ve d c ise d. m tne birbirine kongrüent olmyn çözüm vrdır. d c ise çözüm yoktur. (, b, m) = ise çözümlerin syısı m tnedir. Örnek 4x + 7y (mod ) kongrünsını çözelim. (4, 7, ) = ve olduğundn çözüm vrdır ve tnedir. Verilen denklik, 4x - 7y (mod ) -7x 4-7y (mod ) -x - y (mod ) x - + y (mod ) şeklinde düzenlenebilir. y nin lbileceği değerler,,,. olduğundn bu değerlere krşılık 87

22 Cebir Kongrünslr Syılr Teorisi gelen (x, y) tm syı çözümleri, (9, ), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (4, 6), (, 7), (6, 8), (7, 9), (8, ) olrk bulunur. Teorem (Çin Kln) m, m,, mr ikişer ikişer rlrınd sl oln pozitif tm syılr olsun. Bu durumd, x (mod m) x (mod m). x r (mod mr) lineer kongrüns sistemi M = m. m.. mr modülüne göre bir tek çözüme shiptir. M M m M M m M Mr m r M y (mod m) M y (mod m). Mr yr (mod mr) olmk üzere, sistemin x ortk çözümü x. M. y +. M. y +. + r. Mr. yr (mod M) şeklindedir. Örnek x (mod ) x (mod ) x 4 (mod 7) kongrüns sistemini çözelim. M =.. 7 = M, M, M, 7. y (mod ) ise y (mod ). y (mod ) ise y (mod ). y (mod 7) ise y (mod 7) 4 olrk bulunur. Burdn sistemin x ortk çözümü, x (mod ) x (mod ) elde edilir. Teorem p bir sl syı ve d p - ise x d - (mod p) kongrünsının birbirine kongrüent olmyn d tne kökü vrdır. Örnek x - (mod 7) kongrünsının birbirine kongrüent olmyn köklerini bullım. 7 sl ve 7 - olduğundn kongrünsın birbirine kongrüent olmyn tne kökü vrdır. Bu kökler, ve 4 tür. 88

23 Cebir Kongrünslr Test 8., b, c, m Z, m > ve b (mod m) olsun. I. + c b + c (mod m) II.. c b. c (mod m) III. b (mod m), (c ) c c yrgılrındn hngileri dim doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III toplmının ile bölümünden elde edilen kln kçtır? A) B) C) D) 99 E). x + y (mod 7) x. y 6 (mod 7) x + y (mod 7) kongrüns sistemini sğlyn en küçük sym syısı kçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) modülüne göre kç tne indirgenmiş (sl) kln sınıfı vrdır? A) B) 6 C) 8 D) 4 E) x (mod ) kongrünsını sğlyn en küçük x doğl syısı kçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) 6. 7 syısının ile bölümünden elde edilen kln kçtır? A) B) C) 9 D) E) 79 89

24 Cebir Kongrünslr Test ! syısının ile bölümünden elde edilen kln kçtır?. 8 syısının birler ve onlr bsmğındki rkmlrın syı değerleri çrpımı kçtır? A) B) C) D) 4 E) 8. m > olmk üzere, 4 (mod m) kongrünsını sğlyn kç frklı m sym syısı vrdır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 9. p bir sl syı olmk üzere, x + x (mod p) kongrünsının tüm çözümleri şğıdkilerin hngisinde verilmiştir? A) x (mod p) vey x p - (mod p) B) x (mod p) vey x p - (mod p) C) x (mod p) vey x p + (mod p) A) 8 B) C) D) E) 8. x + x (mod 6) kongrünsının birbirine kongrüent olmyn kç tne kökü vrdır? A) B) C) D) 4 E). x 4 - (mod ) kongrünsının birbirine kongrüent olmyn kç tne kökü vrdır? D) x (mod p) vey x p + (mod p) A) B) C) D) E) 4 E) x (mod p) 9

25 Cebir Çözümler Test 8. I ve II öncülleri kongrüns özelliklerinden dolyı doğrudur. III. öncül c,m durumund doğru olur. b m c, m d ise mod c c d olduğundn..? mod mod 99 mod... mod Cevp C 99? mod? mod? mod kln olur.. x y mod 7 x yx xy y mod7 x yx y xy mod 7.6 mod 7 8 mod 7 mod 7 Cevp A 4. 7 ile rlrınd sl oln ve 7 den küçük syılr indirgenmiş klnlrdır. 7 Cevp A Cevp E 7? ve olduğundn. sl ve Fermt teoremi gereğince, mod ve mod Cevp D olur. 6 x mod.. x mod 9 mod x mod min x 6. Cevp E 7, olduğundn Euler teoremi gereğince, 7 mod olur mod ? mod 4 7? mod 4.7? mod.7? mod 7? mod? mod 9

26 Cebir Çözümler Test 8 7. p sl olmk üzere, p! mod p dir. Wilson Teoremi sl olduğundn,! mod! mod 9!. mod 9! mod 8. 4 mod m 4 km, k Cevp B km m ün pozitif bölen syısın bkılır k tne m değeri vr dır. m çıkrılırs 7 tne m değeri olur. 9. x x mod p Cevp D x x mod p x. x mod p x mod p vey x mod p x mod p vey x mod p x mod p vey x p mod p Cevp B 8.? mod, ise Euler Teoremi mod.. 4 mod ? mod ve mod 4.? mod? 4mod? mod 4? mod 4. Cevp C. 6 sl olmdığındn tüm kln sınıflrın tek tek bkılır. x için mod 6 x için mod 6 x için 4 mod 6 x için 9 mod 6 x 4 için 64 mod 6 x için mod 6 4tnevrdır. Ç.K.,,, 4. Cevp D x mod x x x mod x 4 x x x 4 mod x x x x x mod x 4 Cevp E 9

27 Cebir Kongrünslr Konu Trm Testi 7. m > olmk üzere, - (mod m) kongrünsını sğlyn kç frklı m değeri vrdır? A) B) 4 C) D) 7 E) 8. 9 modülüne göre kç tne indirgenmiş (sl) kln sınıfı vrdır? A) B) C) 8 D) E) 4.! syısının ile bölümünden elde edilen kln kçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7. x - (mod ) kongrünsınd birbirine kongrüent olmyn en küçük x sym syılrının çrpımı kçtır? A) B) C) 7 D) 6 E) 4 6. syısının 7 modülüne göre inversi (tersi) şğıdkilerden hngisidir? A) 8 B) 9 C) D) 4 E) 7. x (mod ) x (mod ) x (mod 7) kongrüns sistemini sğlyn en küçük x doğl syısının rkmlrı toplmı kçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7 8. syısının ile bölümünden elde x (mod 4) edilen kln kçtır? kongrünsını sğlyn en küçük x doğl syısı kçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) A) B) 9 C) D) E) 8 97

28 Cebir Çözümler Konu Trm Testi 7. modm. x. x x mod modm m m, 7,,, 7., 7.,., 7.. m olduğu için 7 tne değeri vr dır. Cevp D ! mod..! mod..! mod.! mod! 6 mod 4. Cevp E Cevp D mod4 4 4 mod mod4 4 6 mod4. mod4 mod4 4 6 mod4 4 9 mod4 6 x mod4 x mod4 x x mod x4. x x mod, x x mod x mod 7 69x mod7 4 7x 4mod7 x 4 mod7 x 4, x x 9 7. x k t 7z k,t,z x k k için x x 4 8. x mod.. 4. xmod. 4 x x mod mod. 9mod Cevp C Cevp D Cevp B 9 Cevp A Cevp C 98

29 Cebir Hlklr Soyut Cebir Tnım +* ve boş kümeden frklı bir H kümesi üzerinde tnımlı iki işlem olsun. Aşğıdki ksiyomlrı sğlyn (H, +, ) cebirsel ypısın hlk denir. H) (H, +) değişmeli bir gruptur. H) işleminin H de birleşme özelliği vrdır. Diğer bir ifdeyle,, b, c H için. (b. c) = (. b). c H) işleminin + işlemi üzerine sğdn ve soldn dğılm özelliği vrdır. Diğer bir ifdeyle,, b, c H için. (b + c) =. b +. c (Soldn Dğılm Özelliği) (b + c). = b. + c. (Sğdn Dğılm Özelliği) Toplm işlemine göre birim elemn hlknın sıfırı denir ve H ile gösterilir. Fkt çrpm işlemine göre birim elemn olmybilir. Eğer çrpm işlemine göre de birim elemn vrs bu hlky birimli hlk denir ve hlknın birimi H ile gösterilir. Ayrıc, b H için. b = b. oluyors H ye değişmeli hlk denir. Örnek (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (, +, ) birer birimli ve değişmeli hlkdır. Bu hlklr sırsıyl tm syılr hlksı, rsyonel syılr hlksı, reel syılr hlksı ve kompleks syılr hlksı denir. Örnek (Z6,, ), (Z7,, ) birimli ve değişmeli bir hlkdır. NOT m Z + olmk üzere, (Zm,, ) birimli ve değişmeli bir hlkdır. Örnek (Z, +, ) değişmeli bir hlkdır. Fkt birimli değildir. Çünkü işleminin birim elemnı yoktur. Yni Z dir. Örnek (M(R), +, ) birimli fkt değişmeli olmyn bir hlkdır. NOT n olmk üzere n. mertebeden reel mtrislerin kümesi toplm ve çrpm işlemleri ile birlikte (Mn(R), +, ) birimli fkt değişmeli olmyn bir hlkdır. Teorem H bir hlk olmk üzere,, b, c H için i). H = H. = H ii). (-b) = (-). b = -(. b) iii) (-). (-b) = b iv). (b - c) =. b -. c (b - c). = b. - c. Sonuç H birimli bir hlk ve H için i) (-H). = - ii) (-H). (-H) = H Tnım H hlksınd H için ( H). b = H vey b. = H olck şekilde b H (b H) vrs ile b ye hlknın sıfır bölenleri denir. Örnek (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) (, +, ) birimli ve değişmeli hlklrı sıfır bölensizdir. Örnek (Z7,, ) birimli ve değişmeli hlksı sıfır bölensizdir. Çünkü Z7 ( ) için. b = olck şekilde bir b Z7 (b ) yoktur. NOT m sl ise (Zm,, ) hlksı sıfır bölensizdir. Örnek (Z6,, ) birimli ve değişmeli bir hlkdır. =, 4 = olduğundn, ve 4 (Z6,, ) hlksının sıfır bölenleridir. Örnek (Z8,, ) hlksının kç tne sıfır böleninin olduğunu bullım. 8 den küçük ve 8 ile rlrınd sl oln,, 7,,, 7 syılrı ile syısı, (Z8,, ) hlksının sıfır bölenleri değildir. O hlde (Z8,, ) hlksının sıfır bölenleri o(z8) - [(8) + ] = 8 - (6 + ) = tnedir. Bu sıfır bölenler,, 4, 6, 8, 9,,, 4,, 6 78

30 Cebir Hlklr Soyut Cebir NOT m Z, m > ve m sl syı değilse (Zm,, ) hlksının o(zm) - [(m) + ] tne sıfır böleni vrdır. Teorem m ve Zm ( ) için şğıdki önermeler denktir. i) (, m) = ii) - Zm iii), Zm nin sıfır böleni değildir. Tnım Sıfır bölensiz bir hlky tm hlk denir. Birimli değişmeli ve sıfır bölensiz bir hlky d tmlık bölgesi denir. Örnek (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) ve (, +, ) birimli ve değişmeli hlklrı sıfır bölensiz olduklrındn birer tmlık bölgesidir. Örnek (Z,, ) birimli ve değişmeli hlksının sıfır bölenleri olduğundn tmlık bölgesi değildir. Fkt (Z,, ) birimli ve değişmeli hlksı sıfır bölensiz olduğundn tmlık bölgesidir. NOT m sl syısı ise (Zm,, ) birimli ve değişmeli hlksı sıfır bölensiz olduğundn tmlık bölgesidir. Teorem H bir hlk ve H nin sıfır bölen olmyn bir elemnı c olsun., b H için c = bc ise = b (sğdn kıslm) c = cb ise = b (soldn kıslm) özellikleri sğlnır. Tnım (F, +, ) birimli ve değişmeli bir hlk olsun. Eğer F* = F - F olmk üzere, (F*, ) bir grup ise (F, +, ) hlksın bir cisim denir. Örnek (Q, +, ), (R, +, ) ve (, +, ) birer cisimdir. Fkt (Z, +, ) bir cisim değildir. Çünkü (Z*, ) bir grup değildir. Teorem i) Her cisim bir tmlık bölgesidir. Fkt her tmlık bölgesi bir cisim değildir. ii) Sonlu elemnlı her tmlık bölgesi bir cisimdir. Örnek (Q, +, ) bir cisimdir ve ynı zmnd bir tmlık bölgesidir. Fkt (Z, +, ) hlksı tmlık bölgesi olduğu hlde bir cisim değildir. Örnek (Z,, ) birimli ve değişmeli hlksı * sonlu bir tmlık bölgesi ve ( Z,) bir grup olduğundn (Z,, ) bir cisimdir. Örnek (Z8,, ) birimli ve değişmeli hlksı tmlık bölgesi olmdığındn cisim değildir. NOT m sl ise (Zm,, ) birimli ve değişmeli hlksı bir cisimdir. Tnım Bir cismin kendisinden bşk hiçbir lt cismi yoks bu cisme sl cisim denir. Teorem Her cismin sl bir lt cismi vrdır. Tnım H bir hlk olsun. H için n. = H olck şekildeki en küçük n sym syısın H hlksının krkteristiği denir. Eğer böyle bir n sym syısı yoks hlknın krkteristiği sıfırdır. Örnek (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) ve (, +,) hlklrının krkteristikleri sıfırdır. Örnek (Z6,, ) hlksının krkteristiği 6, (Z7,, ) hlksının krkteristiği ise 7 dir. NOT m Z + olmk üzere, (Zm,, ) hlksının krkteristiği m dir. Ayrıc ktsyılrı Zm içinde oln polinomlrın oluşturduğu Zm[x] hlksının d krkteristiği m dir. Teorem Bir tmlık bölgesinin krkteristiği y sıfırdır y d sldır. Teorem H birimli bir hlk ve birim elemnı H olsun. i) H nin (H, +) grubundki mertebesi sonsuz ise H nin krkteristiği sıfırdır. ii) H nin (H, +) grubundki mertebesi n ise H nin krkteristiği de n dir. 79

31 Cebir Hlklr Test 8. Aşğıdkilerden hngisi bir hlk değildir? A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, ) * 7 D) (, +, ) E) ( Z,, ). Aşğıdkilerden hngisi birimli bir hlk değildir? A) (Z, +, ) B) (Z, +, ) C) (Z8,, ) D) (Q, +, ) E) (Z,, ). (Z7,, ) hlksının kç tne sıfır böleni vrdır? A) 4 B) 46 C) 47 D) 48 E) Aşğıdkilerden hngisi (Z4,, ) hlksının sıfır bölenlerinden biri değildir? A) B) 4 C) D) 8 E). Aşğıdkilerden hngisi Z Z6 nın bir sıfır böleni değildir? A) (, ) B) (, 4 ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 6. Aşğıdkilerden hngisi bir tmlık bölgesi değildir? A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, ) D) (, +, ) E) (Z,, ) 8

32 Cebir Hlklr Test 8 7. Aşğıdkilerden hngisi bir cisim değildir? A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, ) D) (, +, ) E) (Z,, ) 8. I. Her cisim bir tmlık bölgesidir. II. Sonlu elemnlı her tmlık bölgesi bir cisimdir. III. Bir cisim içerisinde sıfır bölen yoktur. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 9. I. Bir tmlık bölgesinin krkteristiği y sıfırdır y d sldır. II. (Z, +, ) hlksının krkteristiği sıfırdır. III. (Z6,, ) hlksının krkteristiği 6 dır. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III. (Z4 x Z6,, ) hlksının krkteristiği şğıdkilerden hngisidir? A) B) C) 6 D) E) 4. H bir hlk ve H olsun. Eğer = ise H ye Boole Hlksı, y d H nin bir idempotent elemnı denir. Bun göre, şğıdkilerden hngisi (Z,, ) hlksının bir idempotent elemnıdır? A) 4 B) C) 7 D) 8 E) 9. H birimli bir hlk ve H olsun. n = H olck şekilde bir n sym syısı vrs y H nin bir nilpotent elemnı denir. Bun göre, şğıdkilerden hngisi (Z8,, ) hlksının bir nilpotent elemndır? A) B) C) 4 D) 6 E) 9 8

33 Cebir Çözümler Test 8. 7,,, 4,, 6 olduğundn 7, Bir grup olmz. Dolyısıyl 7,, hlk olmz. cebirsel ypısı d. x için x.e x olck biçimde bir e bulmyız. Yni,, hlksı birimli değildir.. Sıfır bölen syısı Sıfır bölen syısı ,k ise k 4,, Cevp E Cevp B Cevp C hlksının bir sıfır böleni değildir. Yni, gerekir. 4, ile rsınd sl olmsı olduğundn 8 syısı z,, hlksının sıfır böleni değildir. 4 Cevp D. H,, bir hlk olmk üzere,, b,.b H H H olmk üzere.b H oluyors ve b elemnlrı hlknın sıfır bölenidir. 6,, hlksının birim elemnı, dır.,,.,, sıfır bölenidir, 4, 4.,, sıfır bölenidir,,.,, sıfır bölenidir,,.,, sıfır bölenidir,,.,, Bşk bir elemn sğlmz, bu hlknın sıfır böleni değildir. Cevp D 6. Tmlık bölgesi Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz,, Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz,, Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz,, Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz,, Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz,, Birimli, değişmeli fkt sıfır bölensiz değil. olduğundn ve sıfır bölenidir. Cevp E 8

34 Cebir Çözümler Test 8 7. F,, ypısı birimli ve değişmeli bir hlk ve F, bir grup ise F,, F F F ypısın cisim denir.,, birimli ve değişmeli hlk,, grup,, birimli ve değişmeli hlk,, grup,, birimli ve değişmeli hlk,, grup,, birimli ve değişmeli hlk, grup bir bir bir bir,, birimli ve değişmeli hlk nck, bir grup değildir. Dolyısıyl,, ypısı cisim değildir. 8. I) Teorem gereği doğrudur. II) Teorem gereği doğrudur. III) Her cisim içerisinde sıfır bölen yoktur. 9. I) Teorem gereği doğrudur. Cevp A Cevp E II) x için n. x koşulunu sğlyn tek syı olduğu için,, hlksının krkteristiği sıfırdır. III) 6,, hlksı için, n.,,,, 4, Denkliğini sğlyn en küçük sym syı dır. Kr 6 Chr 6 6 Cevp E. okek 4, 6 4, mod, 7 9 mod, 8 4 mod, 9 mod, mod, H nin bir idempotent elemnıdır Cevp D Cevp B 8. sl çrpnlrı ve oln elemnlrı incelemek yeterli. Bu koşul uyn şıklrd sdece 6 vr. Gerçekten de, 6 6 mod8 6, 8,, hlksının bir nilpotent elemnıdır. Cevp D 8

35 Cebir Hlklr Konu Trm Testi 7. Aşğıdkilerden hngisi birimli ve değişmeli. Aşğıdkilerden hngisi Z Z8 in bir sıfır bir hlkdır? böleni değildir? * A) ( Z,, ) B) ( Z,, ) C) (Z,, ) D) (Q*,, ) E) (Z,, ). I. Her tmlık bölgesi bir cisimdir. II. Bir tmlık bölgesinin krkteristiği y sıfırdır y d sldır. III. m Z + olmk üzere, (Zm,, ) hlksının krkteristiği m dir. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız II B) Ylnız III C) II ve III * 7 D) I ve III E) I, II ve III. (Z9,, ) hlksının kç tne sıfır böleni vrdır? A) (, ) B) (, ) C) (, 7 ) D) (, 9) E) (, 6) 6. (Z6 x Z,, ) hlksının krkteristiği şğıdkilerden hngisidir? A) 6 B) C) D) E) 6 7. Aşğıdki hlklrdn hngisi birimli fkt değişmeli değildir? A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, ) D) (M(R), +, ) E) (Z, +, ) A) 6 B) 64 C) 6 D) 66 E) H bir hlk olsun. H, = oluyors y H nin bir idempotent elemnı 4. Aşğıdkilerden hngisi bir tmlık bölgesi değildir? denir. Bun göre, (Z6,, ) hlksının kç tne A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, ) idempotent elemnı vrdır? D) (Z6, +, ) E) (Z,, ) A) B) C) D) 4 E) 84

36 Cebir Çözümler Konu Trm Testi 7.,, hlksı birimli ve değişmelidir. Cevp E. II ve III doğrudur. Cevp C. o 9 9 o sıfır bölen syısı ,,,,,,,,,,, Cevp C birimli, değişmeli, sıfır bölensiz olduğu için tnımlık bölgesidir. 6,, birimli, değişmeli fkt sıfır bölensiz değildir., ve sıfır bölenidir. Cevp D 8,, hlksının birim elemnı., dır.,,6, sıfır bölenidir, 6,6, sıfır bölenidir,9,, sıfır bölenidir,6,, sıfır bölenidir,7,, bşk bir elemn sğlmz,7 bu hlknın sıfır böleni değildir. okek 6, M,, değildir. 8. mod 6 Cevp C Cevp D hlksı birimli fkt değişmeli 4 mod6 mod6 4 4 mod6 mod6 mod6 Cevp D Cevp D 8

37 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Lineer Cebir Tnım,,..n, b R ve x, x,..xn bilinmeyenler olmk üzere, x + x nxn = b şeklindeki denkleme lineer denklem denir. Eğer b = ise bu durumd x + x nxn = denklemine de homojen lineer denklem denir. Tnım x + x nxn = b x + x nxn = b.. mx + mx mnxn = bm şeklindeki sisteme lineer denklem sistemi denir. A m x x X x n, m n n mn b b B b olmk üzere AX = B denklemine lineer denklem sisteminin mtris gösterimi denir. A ktsyılr mtrisine B sbitler mtrisini eklemekle elde edilen [A B] mtrisine ilveli y d rtırılmış mtris denir. A B m m n n mn m b b bm Elementer Stır İşlemleri ile Bir Mtrisin Rnkının Bulunmsı Bir mtrise elementer stır işlemleri uygulnrk eşelon hâle getirildikten sonr sıfırdn frklı stırlrının syısı bu mtrisin rnkını verir. Örnek 4 A mtrisinin rnkını elementer stır işlemleri yrdımıyl bullım şeklinde eşelon form indirgenmiş olur. Elde edilen eşelon mtrisin sıfırdn frklı stırlrının syısı olduğundn rnk A = dir. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü ) A m x x X, x n m n n mn b b B b olmk üzere, homojen olmyn AX = B lineer denklem sisteminde. rnk [A B] = rnk A = r olsun. Bu durumd i) n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü vrdır. Örnek x + x - x = x - x + x = x + x + x = - lineer denklem sisteminin çözümünü rştırlım. m 4

38 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Lineer Cebir 4 B] A [ Elde edilen son mtriste [A B] mtrisinin sıfırdn frklı stırlrının syısı ve A mtrisinin de sıfırdn frklı stırlrının syısı olduğundn rnk [A B] = rnk A = tür. Burdn lineer denklem sisteminin tek çözümünün olduğu nlşılır. ii) r < n ise lineer denklem sisteminin (n - r) prmetreye bğlı sonsuz syıd çözümü vrdır. Örnek x + x - x = x - x + x = -4 x + x + x = - lineer denklem sisteminin çözümünü rştırlım. 4 B] A [ rnk [A B] = rnk A = ve bilinmeyen syısı olduğundn - = prmetreye bğlı sonsuz çözüm vrdır.. rnk [A B] rnka ise lineer denklem sisteminin çözümü yoktur. Örnek x + x + x = x - x - x = 4 x - x + x = lineer denklem sisteminin çözümünün mevcut olup olmdığını rştırlım. 4 B] A [ Elde edilen son mtriste [A B] mtrisinin sıfırdn frklı stırlrının syısı ve A mtrisinin sıfırdn frklı stırlrının syısı olduğundn rnk [A B] =, rnk A = dir. Burdn rnk [A B] rnk A olduğundn verilen denklem sistemi bir çözüme ship değildir. Diğer bir ifdeyle tutrsızdır. b) AX = homojen lineer denklem sisteminde. rnka = r olsun. i) n = r ise homojen lineer denklem sisteminin şikâr (sıfır) çözümden bşk çözümü yoktur.

39 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Lineer Cebir Örnek x + x + x = x - x - x = x + x - x = homojen lineer denklem sisteminin çözümünü bullım. A Elde edilen son mtriste rnka = ve bilinmeyen syısı olduğundn denklem sisteminin şikâr (sıfır) çözümden bşk çözümü yoktur. ii) r < n ise homojen lineer denklem sisteminin (n-r) prmetreye bğlı sonsuz syıd çözümü vrdır. Örnek x + x + x = x + 4x + x = x + 8x + 7x = lineer homojen denklem sisteminin çözümünü bullım. A Elde edilen son mtriste rnk A = (sıfırdn frklı stırlrının syısı) ve bilinmeyen syısı olduğundn - = prmetreye bğlı sonsuz çözüm vrdır. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Bilinmeyen syılrı ynı oln iki lineer denklem sisteminin çözüm kümeleri de ynı ise bu iki denklem sistemi birbirine denktir, denir. Lineer denklem sisteminin denklemlerine uygulnn şğıdki elemnter işlemlerin her biri verilen denklem sistemine denk bir denklem sistemi meydn getirir. Bu elemnter işlemler, i) Lineer denklem sistemindeki herhngi iki denklemin yer değiştirmesi ii) Lineer denklem sistemindeki herhngi bir denklemin her iki trfının sıfırdn frklı bir syı ile çrpılmsı iii) Lineer denklem sistemindeki herhngi bir denklemin belirli bir ktının diğer bir denkleme ilve edilmesi. Guss Eliminsyon Yöntemi Lineer denklem sistemini eşelon form indirgeme işlemidir. Örnek x + x - x = - x - x - x = - x + x + x = lineer denklem sistemini Guss Eliminsyon Yöntemi ile çözelim. Birinci denklemi - ile çrpıp ikinci denkleme, - ile çrpıp üçüncü denkleme ekleyip ikinci ve üçüncü denklemdeki x leri yok edelim. x + x - x = - -x + x = -x + 7x = 9 ikinci denklemi - e bölüp üçüncü denkleme ekleyelim. x + x - x = - x - x = - 6x = 8 x =, x =, x = bulunur. 4

40 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Lineer Cebir. Crmer Yöntemi Bilinmeyen syısı denklem syısın eşit oln lineer denklem sisteminin çözümünde Örnek x - x + x = - kullnıln bir yöntemdir. x + x + x = - n x b n x b x + x - x = n n nn x n b lineer denklem sistemini Crmer Yöntemi ile çözelim. n A. X = B 6 denklem sisteminde n n n n nn olsun. Bu determinntt. sütundki elemnlrın yerine sbitler mtrisinin elemnlrı yzılrk elde edilen determinnt,. sütundki elemnlrın yerine sbitler mtrisinin elemnlrı yzılrk elde edilen determinnt,, n. sütundki elemnlrın yerine sbitler mtrisinin elemnlrı yzılrk elde edilen determinnt n ise b b n n n b n,.. dir. n nn n n n b b bn i) ise denklem sisteminin tek çözümü vrdır. Bu çözüm, x, x,.., xn n ii) = ve,,. n lerden en z biri sıfırdn frklı ise denklem sisteminin çözümü yoktur. iii) = = = = n = ise denklem sisteminin sonsuz çözümü vrdır. b b b n n n nn 6 6 x, x, x bulunur.. Guss - Jordn Yöntemi Ax = B lineer denklem sisteminin [A B] ilveli mtrisinde A mtrisi birim mtris hline dönüştürülünceye kdr [A B] mtrisine elemnter stır işlemleri uygulnır ve [A B] mtrisi [I C] formun dönüştürülür. Burd C sütun mtrisi rnn çözümdür. 4

41 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Lineer Cebir 44 Örnek x + x + x = x - x - x = - x + x + x = lineer denklem sistemini Guss-Jordn yöntemi ile çözelim. Verilen lineer denklemi Ax = B formund yzrsk, B, A mtrislerini elde ederiz. B] A [ elde edilen son mtris [I C] formund olduğundn x x x C istenilen çözümdür. 4. Ters Mtris Yöntemi Bilinmeyen syısı denklem syısın eşit ve A tersinir bir mtris olsun. AX = B lineer denklem sisteminin çözümü A -. AX = A -. B X = A -. B biçimindedir.

42 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Test 4. + b + c = - b + c = 7 + b - c = doğrusl denklem sisteminde. b. c çrpımı kçtır? A) -6 B) - C) D) E) 6. x - y - z =. x + y + z = x + z = homojen lineer denklem sisteminin şikâr olmyn çözümleri olduğun göre, kçtır? A) B) C) D) 4 E) A olduğun göre, şğıdkilerden hngisi ynlıştır? A) A, tekil olmyn bir mtristir. B) A mtrisinin determinntı! dir. C) A mtrisinin rnkı tir. D) Ax = denkleminin şikâr olmyn bir çözümü vrdır. E) iz(a) = tir. 4. x - y + z = x +. z = - x +. y + z = lineer denklem sisteminin çözümü olmdığın göre, kçtır? A) - B) - C) D) E). x + x - x = - x - x + x = x + x + x = lineer denklem sisteminde A ktsyılr mtrisi, B sbitler mtrisi ve [A B] ilveli mtris olmk üzere, I. Bir prmetreye bğlı sonsuz syıd çözüm vrdır. II. rnk [A B] = rnk A dır. III. Çözümsüzdür. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) Ylnız III 6., b, c, d R D) I ve II E) II ve III A c b d düzgün bir mtris olduğun göre, şğıdkilerden hngisi ynlıştır? A) d - bc dır. B) A, I birim mtrisine stır denktir. C) A, elementer mtrislerin çrpımıdır. D) Ax = homojen lineer denklem sisteminin sonsuz syıd çözümü vrdır. E) rnk A = dir. 4

43 Cebir Çözümler Test 4.. ve. denklemler trf trf toplnırs c. denklemin iki ktı ile. denklem toplnırs 7 c 4 /c c c 4 7 c 4, c İse.b.c.b.. rnk A Cevp C olurs denklem sisteminin tek çözümü şıkr çözümdür. rnka r ise Denklem sisteminin -r prmetreye bğlı sonsuz çözümü olur. Bu sorud şıkr olmyn çözümlerden bhsettiğine göre rnk A olmlı yni A olmlıdır. A olmlı Cevp A. A mtrisi üst üçgensel bir mtristir. Üçgen mtrislerin determinntı ess köşegen üzerindeki elemnlrın çrpımın eşittir. det A 4.! b şıkkı doğru det A olduğundn rnk A c şıkkı doğru A.ekA A A A olsun şıkkı doğru iz A ess köşegendeki elemnlrın toplmıdır. iz A 4 e şıkkı doğru Ax denklem sisteminde A ise rnk olur ve dolyısıyl sistemin tek çözümü şikr sıfır çözümdür. Cevp D 4. n bilinmeyen syısı olmk üzere, rnk A rnk A B r n r ise tek çözüm vrdır. r < n ise n r prmetreye bğlı sonsuz çözüm vrdır. rnk A rnk A B ise sistemin çözümü yoktur. AB rnk A rnk A B olmsı için olmlı yni Cevp B. AB rnk A B rnk A Bilinmeyen syısı olduğundn prmetreye bğlı sonsuz çözüm vrdır. Cevp D 6. A mtrisi düzgün (tersi oln) mtris olduğun göre det A olmlıdır. det A.d b.c Teorem Bir kre mtrisin tersinir olmsı için gerek ve yeter şrt bu mtrisin birimin mtrise stır denk olmsıdır. A tersinir bir mtris olduğundn I birim mtri sine stır denktir. Teorem Tersinir her mtris elementer mtrislerin çrpımı şeklinde yzılbilir.(c şıkkı doğru) det A olduğundn rnk A dir. Ax homojen lineer denklem sisteminde, rnk A bilinmeyen syısı olduğundn sistemin sdece şikr çözümü vrdır. Cevp D 46

44 Cebir Lineer Denklem Sistemleri Konu Trm Testi. x - y + z = 4 x + y - z = -4 x + y - z = doğrusl denklem sisteminde (x + y + z) toplmı kçtır? A) -4 B) - C) D) 4 E) 6. + b - c = + b + c = + m. b = homojen lineer denklem sisteminin şikâr olmyn çözümleri olduğun göre, m kçtır? A) - B)- C) D) E). x + x + x = x + x = b x + x - x = c lineer denklem sisteminin çözümü olduğun göre,, b ve c rsındki bğıntı şğıdkilerden hngisidir? A) b + c = 8 B) + c = b C) b + c = D) b + c = 4 E) + b = c 4. A 4 6 olduğun göre, I. A, lt üçgen mtristir. II. A, tersinir bir mtristir. III. rnk A = tür. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III., b, c, x, y, z, m, n, k R A x m b y n c z k mtrisi düzgün bir mtris olduğun göre, I. A, elementer mtrislerin çrpımıdır. II. A, I birim mtrisine stır denktir. III. AX = B lineer denklem sisteminin sonsuz syıd çözümü vrdır. Yrgılrındn hngileri doğrudur? A) Ylnız I B) Ylnız III C) I ve III D) I ve II E) I, II ve III 6. Bir lineer denklem sistemine şğıdki elementer işlemlerin hngileri uygulnırs bu denklem sistemine denk oln bir denklem sistemi elde edilir? I. Lineer denklem sistemindeki iki denklemin yer değiştirmesi II. Lineere denklem sistemindeki denklemlerden birinin ile çrpılmsı III. Lineer denklem sistemindeki denklemlerden birinin ktının diğer bir denkleme ilve edilmesi IV. Lineer denklem sistemindeki denklemlerden her birinin sğ trfın eklenmesi B) I ve II B) I ve III C) I, II ve III D) I, II ve IV E) I, II, III ve IV 47

45 Cebir Çözümler Konu Trm Testi. denklemi ( - ) ile çrpıp denklem trf trf toplnırs xyz 4 x y z 4 xyz x z 9 z. ve. denklemin trf trf toplnırs xyz 4 x y z 4 x z x z x 6 x x, y, z xyz 6. rnk A = Cevp E olurs denklem sisteminin tek çözümü şikr çözümdür. rnk A = r < ise denklem sisteminin r prmetreye bğlı sonsuz çözümü olur. Bu sorud şikr olmyn çözümlerden bhsettiğine göre rnka olmlı yni A olmlıdır. A. m.. m m mm m m Cevp D. n bilinmeyen syısı olmk üzere, rnka rnk A B r n = r ise tek çözüm vrdır. r n ise n r prmetreye bğlı sonsuz çözüm vrdır. b b b c c cb cb cb Cevp B 4. * A mtrisi lt üçgensel bir mtristir. Üçgen mtrislerin determinntı ess köşegen üzerindeki elemnlrın çrpımın eşittir. (I. öncül doğru) * A olduğu için tersinir bir mtristir. (II. öncül doğru) * A olduğu için rnk A = tür. (III. öncül doğru) Cevp E. A mtrisi düzgün bir mtris ise A dır. Teorem Tersinir her mtris elemnter mtrislerin çrpımı şeklinde yzılbilir. (I. öncül doğru) Teorem Bir kre mtrisin tersinir olmsı için gerek ve yeter şrt bu mtrisin birim mtrise stır denk olmsıdır. A tersinir bir mtris olduğundn birim mtrisine stır denktir. (II. Öncül doğru) Ax = B lineer denklem sisteminde, rnk A B rnka ise, n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü vrdır. (III. Öncül ynlış) Cevp D 6. Verilen yrgılrın üçü de doğrudur. Cevp C 48