kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 Önce biz sorduk kpss Soruda 0 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

2 Fikret Hemek ÖABT Lise Matematik Analiz-Diferansiel Denklemler ISBN Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, aın ve satış hakları Pegem Akademi Ya. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü a da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manetik, kaıt a da başka öntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuucularımızın bandrolü olmaan kitaplar hakkında aınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz aınları satın almamasını dilioruz. 5.Baskı: 018, Ankara Proje-Yaın: Çağla Bardakçıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanai 8. Cadde 84 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA ( ) Yaıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızıla / ANKARA Yaınevi: Yaınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adaları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı aınımız Analiz ve Diferansiel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adalarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanazın taraması apılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haatınızda ihtiacınızı maksimum derecede karşılaacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detalı, güncel ve anlaşılır bir dilde azılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detalı açıklamalarıla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına ugun, çözümlü test sorularıla pekiştirilmiştir. Arıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uarı kutucuklarıla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı adresine e-posta olula a da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz eterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede azarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidile... Başarılar...

4 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adalarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Ugulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmei hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Ugulamalı Matematik % 4 % 16 % 16 % 4 Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde apılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

5 İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... III 1. KISIM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR... 5 MUTLAK DEĞER FONKSİYONU... 6 MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER... 8 SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ... 1 TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU... 1 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ... 1 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ LİMİT LİMİT... 7 SAĞ SOL LİMİT... 7 GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ... 9 LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER... 0 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ... MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ... SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ... 5 TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ... 6 BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ... 7 TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ... 8 / BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN / FORMU SÜREKLİLİK SÜREKLİLİK TEOREMLERİ SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ Kaldırılabilir Süreksizlik Sıçrama Süreksizliği Sonsuz Süreksizliği Balzano Teoremi DÜZGÜN SÜREKLİLİK TÜREV TÜREV SAĞ SOL TÜREV LİMİT SÜREKLİLİK TÜREV İLİŞKİSİ TÜREV ALMA KURALLARI YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ Parçalı Fonksionların Türevi MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ... 81

6 vi TÜREVİN UYGULAMALARI L'Hospital Kuralı ÜSTEL BELİRSİZLİKLER , 0 0, 0 Belirsizlikleri TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU POLİNOM TÜREV İLİŞKİSİ DİFERANSİYEL UYGULAMALARI MAKSİMUM MİNİMUM PROBLEMLERİ Maksimum Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısaollar TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet Eğim Türev İlişkisi ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR YEREL EKSTREMUM DEĞERLER Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası TÜREV EKSTREMUM İLİŞKİSİ Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ ASİMPTOT KAVRAMI Düşe Asimptot FONKSİYONUN GRAFİKLERİ TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER İNTEGRAL BELİRSİZ İNTEGRAL TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi ÖZEL DÖNÜŞÜMLER a - İfadesini İçeren İntegraller RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ İndirgeme Bağıntıları KISMİ İNTEGRASYON BELİRLİ İNTEGRAL Reimann Kavramları İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ Belirli İntegralin Özellikleri ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ İNTEGRALDE ALAN İNTEGRALDE HACİM Kabuk Yöntemi Dönel Yüzein Alanı Pappus Guldin Teoremi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ Sevie Eğrileri Çok Değişkenli Fonksionlarda Limit ve Süreklilik Süreklilik Çok Değişkenli Fonksionlarda Türev (Kısmi Türev) Çok Değişkenli Fonksionların. Türevi... 09

7 vii Zincir Kuralı Çok Değişkenli Fonksionlarda Teğet Düzlem Denklemi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM MİNİMUM... 1 Yerel Maksimum... 1 Yerel Minimum... 1 Kritik Nokta Eer Nokta... 1 Kritik Nokta İçin. Türev Testi... 1 Maksimum Minumum Problemleri ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL Çift Katlı İntegral Sınır Değiştirme Bölge Değiştirme Dönüşüm Jakobieni (Fonksionel Determinantı)... 0 İki Katlı İntegralin Ugulamaları... 1 Hacim Hesabı... 4 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ... 6 Kütle Hesabı... 6 AĞIRLIK MERKEZİ... 7 ÜÇ KATLI İNTEGRALLER... 7 KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR... 5 KARDİYOİD EĞRİSİ... 7 Gül Eğrilerinin Çizimi... 4 DİZİLER SERİLER DİZİ... 5 Sonlu Dizi... 5 Sabit Dizi... 5 EŞİT DİZİLER ALT DİZİ DİZİLERDE DÖRT İŞLEM DİZİLERDE SINIRLILIK DİZİLERDE MONOTONLUK ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi DİZİLERDE LİMİT Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler Dizilerde En Büük Alt Sınır (Ebas) En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları... 6 SERİLER... 6 Geometrik Seri Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri Genel Terim Testi İntegral Testi p Testi Karşılaştırma Testi Karşılaştırma Testinin Limit Formu Cauch Kök Testi D'alambert Oran Testi Alterne Seriler... 7

8 viii Mutlak Yakınsaklık Yakınsaklık İlişkisi... 7 KUVVET SERİLERİ... 7 Yakınsaklık Yarıçapı... 7 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrason Talor ve Maclaurin Serileri Önemli Maclaurin Seri Açılımları ÇÖZÜMLÜ TESTLER KISIM DİFERANSİYEL DENKLEMLER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Giriş Diferansiel Denklemlerin Çözümü Genel ve Özel Çözümler Bir Eğri Ailesinin Diferansiel Denkleminin Oluşturulması DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Homojen Diferansiel Denklemlerin Çözümü HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ LİNEER DENKLEMLER Lineer Diferansiel Denklemin Çözüm Yöntemi BERNOULLİ DENKLEMLERİ... 4 RİCCATİ DENKLEMİ BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Türeve, 'e vea 'e Göre Çözülebilen Denklemler Türeve Göre Çözülebilen Denklemler 'e Göre Çözülebilen Denklemler... 4 'e Göre Çözülebilen Denklemler... 4 CLAİRAUT DENKLEMİ... 4 LAGRANGE DENKLEMİ İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Mertebe İndirgeme Sabit Katsaılı Denklemler Farklı Reel Kökler Katlı Reel Kökler Kompleks Kök Homojen Olmaan (. Yanlı) Lineer Diferansiel Denklemler Belirsiz Katsaılar Yöntemi PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ CAUCHY EULER DENKLEMİ ÇÖZÜMLÜ TESTLER

9 1. KISIM

10

11 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

12

13 5 PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR Bir fonksionun tanım kümesi alt kümelere arılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksionlara parçalı tanımlı fonksion denir. Z f ( ), # a 1 f ( ) = ] [ f ( ), a 1 < b ] f ( ), b # \ şeklinde azılabilen f() parçalı tanımlı fonksiondur. b > a olmak üzere; = a ve = b değerlerine f nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksionların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır. = f^h+ k, k 0, = f ^ hin ekseninde k birim pozitif önde ötelenmişidir. = f^h- k, k 0, = f ^ hin ekseninde k birim negatif önde ötelenmişidir. = f^+ kh, k 0 ise = f^h in ekseninde k birim sola ötelenmişidir. = f^+ kh, k 1 0 ise = f^h in ekseninde k birim sağa ötelenmişidir. =- f^h, = f ^ h eksenine göre simetriğidir. Uarı! = f^- h, = f ^ hin eksenine göre simetriğidir. -, < -1 f ( - ) = * ise f() in grafiğini çizelim., $ -1-1 =f() Çözüm f( - ) fonksionunda + için; -1, < -1 f ( ) = * olup; ( + ), $ -1 = ^ + h = - 1 = f^hin grafiği verilmiştir. Buna göre =- f^+ 1h fonksionunun grafiğini çizelim. Çözüm = f^+1h ; f^hin ekseninde 1 birim sola ötelenmişidir olur =f(+1) - Buradan =-f(+1) elde edilir.

14 6 Tek - Çift Fonksionlar f A " B için! A iken -! A olsun. f^- h= f ^ h eşitliğini sağlaan fonksionlara çift fonksion adı verilir. f^- h=-f ^ h eşitliğini sağlaan fonksionlara tek fonksion adı verilir. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Z f ^ h ; f ^ h 0 ] f ^ h = [ 0 ; f ^ h = 0 ]-f ^ h ; f ^ h 1 0 \ şekilde tanımlanan fonksionlara mutlak değer fonksionu adı verilir. Tek fonksionlar orijin noktasına göre simetriktir. Çift fonksionlar eksenine göre simetriktir. Uarı! Mutlak değer fonksionlarının grafikleri çizilirken, önce mutlak değer okmuş gibi fonksionun grafiği çizilir ve daha sonra ekseninin altında kalan grafiklerin eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır. NOT Hem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiondur. İki tek fonksionun çarpımı vea bölümü çift fonksiondur. Bir fonksion çift vea tek olmak zorunda değildir. NOT f ^ h = - fonksionunun grafiğini çizelim: = - iin ç = 0 & =- ve= 0 & = olur. =- - $ tan f ^ h = fonksionu için; ^1 - h oldu- ^-h $ tan$ ^- h - $ tan f^- h = = =-f ^ h 1 _ -^- h i ^1 - h ğundan f ^ h tektir. Bu grafikten 4 cos $ g ^ h = fonksionu için; 1 + f^h = oldu- cos ^-h $ ^-h cos $ g^- h = = 1 + ^-h 1 + ğundan g ^ h çifttir. = g ^ h grafiği elde edilir.

15 7 =f() -4 1 Çözüm = & = ve =-tir. = =- =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =- f^h grafiğini çizelim. Çözüm = f^h& = f ^ h, f ^ h in mutlak değer fonksionu olup =- f^h fonksionunun grafiği ise = f^h in eksenine göre simetriğidir. $ = 4 bağıntısının grafiğinde koordinatları tam saı olan noktaların saısını bulunuz. -4 = f^h 1 $ = 4 Buradan -4 1 grafiği elde edilir. =- f^h şeklinde bir grafiği vardır. Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsaılı koordinat varsa bağıntıı sağlaan noktalar bunun 4 katı kadardır. 4 ün pozitif bölen saısı; 4 = $ & 4$ = 8 olduğundan koordinatları tam saı olan 8$ 4 = farklı nokta vardır. = bağıntısının grafiğini çizelim.