Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Yrd. Doç. Dr. Coþkun YAKAR"

Transkript

1 Türev Notasyonu : TÜREV Türev bulma işlemine diferasiyel alma prosesi denir Diferansiyel alma işlemine fonksiyonlar üzerinde bir operasyon olarak bakabiliriz ve bu operasyon 0 ile alakalı olup 0 'den türetilir Eğer bağımsız değişken ise diferansiyel operasyonu sıklıkla aşağıdaki gibi gösterilir 0 ÐÑ Ò0ÐÑÓß H Ò0ÐÑÓß C ÐÑ ß 0 ÐÑ ß CÐÑ u 0 fonksiyonunun değişkeninegöre türevidir Ò Ó ß Ò78Ó7ß È Ò Ó È C0ÐÑfonksiyonunun noktasındaki türevi Ò0ÐÑÓ ¹ 0 Ð Ñ olarak gösterilir Ò Ó ¹ ß Ò7 8Ó¹ 7 8 ß ÒCÓ 0 ÐÑ ve ÒCÓ ¹ 0 Ð Ñ C C C 0ÐÑve ¹ CÐÑ 0ÐÑ C C 'nin 'e göre türevi olarak okunur ağımsız değişkenin değiştirilmesi sonucu değiştirilemez C C??? C 0Ð?Ñ Ê C Ð?Ñ veya ¹ C Ð? Ñ 0 Ð? ÑÞ Diğer notasyonlar : 0ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 0Ð Ñ 0ÐÑ Ä 0ÐÑ7 ir Aralığın Uç Noktalarındaki Türev : C Ä >+8 Ä 0Ð Ñ0ÐÑ C0ÐÑ fonksiyonu Ò+ß,Óüzerinde tanımlanmış olsun 77

2 Eğer 0ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ mevcut ise 0ÐÑ0ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ 0 ÐÑ ve 0 ÐÑ mevcut ve eşit olduğunu biliyoruz una göre C0ÐÑfonksiyonu, noktasında soldan diflenebilir eğer 0Ð,Ñ 0Ð,Ñ0Ð,Ñ mevcut ise benzer olarak C0ÐÑfonksiyonu + noktasında sağdan diflenebilirdir denir 0Ð+Ñ0Ð+Ñ ancak 0Ð+Ñ mevcut ise ir C 0ÐÑ fonksiyonu Ò+ß,Ó üzerinde diflenebilirse Ð+ß,Ñ üzerinde 0ÐÑ 0ÐÑ a Ð+ß,Ñ sağdan ve soldan diflenebilir ve ek olarak ta + ve, noktasında sırası ile 0 sağdan 0 Ð+Ñ ve soldan 0 Ð,Ñ diflenebilir olmalıdır Diferansiyel Alma Teknikleri : Sabit Fonksiyonun Türevi : 0ÐÑ - Sabit fonksiyonunun grafiği 9 /5=/83 ne yatay olan bir doğru olup bu doğrunun tanjant (teğet) doğrusunun eğimi her x için sıfırdır unun için sabit fonksiyonun her reel sayısı için türevinin sıfır olmasını bekleriz Teorem : C0ÐÑ - sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır Ò-Ó İspat : C 0ÐÑ - ve 0 ÐÑ -- C1 ß/ßßß8ß7ßÞÞÞ ÒCÓ 'in kuvvetlerinin türevi : 0ÐÑ0ÐÑ Teorem : Eğer 8 bir pozitif tamsayı ise, o zaman Ò Ó8Þ ÐCÑ ˆ 5 ÞC 5 İspat : C0ÐÑ 8 olsun türevin tanımını ve binomial açılımı kullanarak ˆ 8 8x 5 ÐÐ85ÑxÞ5x Ñ 78

3 8 0ÐÑ 0ÐÑ ÐÑ 0 ÐÑ Ò Ó ˆ 8 8x 5 ÐÐ85ÑxÞ5x Ñ 8 8 ˆ 8 ˆ 8 ˆ 8 ÞÞÞ ˆ ÞÐ8Ñ x 8 ÞÞÞ 8 8 Ð8 Þ Ð8ÑÑ 8 8 Ò 8 ÞÞÞÞ 8 x 8 8 * Ò Ó ß ÒÓ Þß ÒÓ Teorem : 0 fonksiyonu noktasında diflenebilir ve - herhangi bir sabit olmak üzere Ò-0ÐÑÓ - İspat : Ò-0ÐÑÓ Ò0ÐÑÓ -Þ0 ÐÑ -Þ0ÐÑ-Þ0ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ -Þ - Þ Ò0ÐÑÓ - Þ 0 ÐÑ ) ) ( Ò Ó Þ Ò Ó Þ ) Þ ß Ò Ó Ò1Ó 1 ÒÓ Ò Óß Toplamın ve Farkın Türevleri : Teorem : 0 ve 1 fonksiyonları diflenebilir iki fonksiyon olsun buna göre Ð0 1Ñ ve Ð0 1Ñ 'de diflenebilirdir Ð01ÑÐÑ Ð01ÑÐÑ İspat : Ò0 1Ó ÐÑ 0ÐÑ1ÐÑ0ÐÑ1ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 1ÐÑ 79

4 Ò0ÐÑÓ Ò1ÐÑÓ Toplamın türevleri türevler toplamına eşittir una göre farkın türevini türevler farkıdır Yani Ò0 1ÓÐÑ Ò0ÐÑÓ Ò1ÐÑÓ Ò Ó ß Ò Ó ß Ò C Ó ß Ò 1Ó ß Çarpımın Ve ölümün Türevleri 0 ve 1 fonksiyonları noktasında diflenebilirse çarpımları da 'de diflenebilir ve Ò0ÐÑ Þ 1ÐÑÓ 0ÐÑ Ò1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ İspat : İspatı kolay olup tanımı uyguladıktan sonra paya 0ÐÑÞ1ÐÑ ekleyip çıkartmalıyız una göre 0ÐÑÞ1ÐÑ0ÐÑÞ1ÐÑ Ò0ÐÑ Þ 1ÐÑÓ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ0ÐÑÞ1ÐÑ0ÐÑ1ÐÑ 0ÐÑ Ò1ÐÑ 1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò0ÐÑ 0ÐÑÓ 0Ð Ñ Þ 1ÐÑ Þ 1ÐÑ 1ÐÑ 0ÐÑ0ÐÑ f sürekli oldu1undan 0ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ Ò1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ % ÒCÓ bulunuz eğer C Ð& Ñ Þ Ð Ñ ise ölümün Türevi : Teorem : Eğer 0 ve 1 fonksiyonları ' de diflenebilir ve 1ÐÑ Á ise, o zaman 0Î1 de 'de diflenebilir ve 0ÐÑ 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ 0ÐÑ Ò1ÐÑÓ Ò1ÐÑ Ó Ò1ÐÑÓ 80

5 Önce tanımı uygular payı ve paydayı organize ettikten sonra paya 0ÐÑÞ1ÐÑ ekleyip çıkarırsak ispat aşikar olur 0ÐÑ 1ÐÑ Ò0ÐÑ Î 1ÐÑÓ 0ÐÑÞ1ÐÑ0ÐÑÞ1ÐÑ Þ1ÐÑÞ1ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ Ò0ÐÑ Þ 1ÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑÓ Þ1ÐÑÞ1ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 1ÐÑ 1ÐÑÞ1ÐÑ Ò 1ÐÑ Þ 0ÐÑ Þ Ó Þ Ò Ó Ò 1ÐÑ Þ Ò0ÐÑÓ 0ÐÑ Þ Ò1ÐÑÓÓ Þ Ò1ÐÑÓ Þ % 0ÐÑ % ise Ò0ÐÑÓ? 1ÐÑ Fonksiyonunun Türevi : ölümün türevinde 0ÐÑ alırsak Ò1ÐÑÓ 1ÐÑ Ò1ÐÑÓ Ò Ó ÐÑ 0ÐÑ ß 1ÐÑ ß ÐÑ Yüksek Dereceden Türevler : 0 ß 0 Ð0 Ñ ß 0 Ð0 Ñ ÒÐ0 Ñ Ó ÞÞÞ 8 8 Ð8Ñ 8 0 ÐÑ Ò0ÐÑÓ Þ Ð8Ñ C ß C ß C ß ÞÞÞ ß C 8 C C C C ß ß ß ÞÞÞ ß 8 ß Ÿ 0ÐÑ olarak verilen 0ÐÑfonksiyonu ß için 0 ÐÑ 0 ÐÑ olduğunu fakat 0 ÐÑ 'ın mevcut olmadığını gösteriniz Ä Ä 0ÐÑ ß Ÿ 0 ÐÑ ß 'ın mevcut fakat 0 ÐÑ olmadığını gösteriniz 'ın mevcut 81

6 ß Ÿ 0ÐÑ 0 'nin +,ß olması için + ve, değerleri ne olmalıdır? noktasında diflenebilir ) Kabul edeki 0ÐÑ olsun buna göre 0 ÐÑ0 ÐÑ 0 ÐÑ 0 ÐÑ ve Ä ß 0 ÐÑ 0 ÐÑ 8

7 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ W38ß G9=ß >+8ß -9>ß =/-ve -=-gibi trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulmak için, radyan olarak kabul edilecek ve aşağıdaki itlere ihtiyacımız olacaktır unlar : =38-9= ve Þ W38ve G9= fonksiyonlarının türevleri ile işe başlayalım =38 ÐÑ =38 Ò W38Ó =38 Þ -9= -9= Þ=38=38-9= -9= Þ=38-9= =38 Š -9= =38 Š =38 Þ =38 Þ -9= Þ Ò W38Ó -9=Þ enzer olarak Ò -9=Ó =38 olarak elde edilir Geri kalan trigonometrik fonksiyonların türevleri ise sırası ile: Ò>+8 Ó >+8 =/- Ò-9>Ó Ð-9> Ñ -=- Ò=/- Ó =/-Þ>+8 Ò-=- Ó -=-Þ-9> u türevler trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerden elde edilir unlar ; =38-9= >+8-9= ß -9> =38 ß -=- =38 ß =/- -9= Þ Örneğin >+8 'in türevi : =38-9= Ò=38Ó=38 Ò-9=Ó Ò>+8 Ó Ò-9=Ó Ò-9=Ó -9= =38-9= -9= =/- Ò >+8 Ó >+8 =/- ÖRNEK: 0ÐÑ Ð ÑÞ>+8 fonksiyonunun türevini bulunuz 0 ÐÑ Ð Ñ=/- Þ>+8 C =38 C -9= C Ð-9=ÑÞ Ò=38Ó=38 Ò-9=Ó Ð-9=Ñ ÖRNEK: Eğer ise, türevini bulunuz Ð-9=ÑÞ-9==38=38-9=-9= =38 Ð-9=Ñ Ð-9=Ñ -9= Ð-9=Ñ -9= -9= yol: =38 Ð-9=Ñ C À -9= -9= =38 =38 =38-9= ÖRNEK: CÐÑ =/- ise =/- ¹ 1 83 %

8 C C =/-Þ>+8ß =/-Þ >+8 >+8 =/- =/-Þ=/- >+8Þ=/-Þ>+8 =/- =/- >+8 =/- >+8 C % % È ¹ =/-Ð Ñ >+8 Ð Ñ Ð Ñ È % =38 ÖDEV: 0ÐÑ -9= 0ÐÑ -9= 0ÐÑ Ð Ñ-=- -=- =/- 0ÐÑ >+8 0ÐÑ >+8 0ÐÑ =38-9= =38 =/- 0ÐÑ-9==38 0ÐÑ >+8 0ÐÑ =38-9= 0ÐÑ =38Þ-9= 0ÐÑ >+8Þ-9> 0ÐÑ =/-Þ-9= ÖRNEK: Kabul ede ki güneş 100 m yüksekliğindeki bir binanın üzerinden yükseliyor ve ) da güneşin yükselme açısı olsun ) =45 olduğunda binanın gölgesinin uzunluğu ' deki değişim oranının ) ya bağlı olarak bulunuz >+8 Ê >+8) -9>) Ð) Ñ -9>) 1 ) -=-Ð) Ñ Ê ) ¹ ) 1 % % -=-Ð Ñ Ð È Ñ ÖRNEK: ir uçak 3800 mt yükseklikte yere paralel olarak uçuyor ve uçakla 1 kule arasındaki uzaklık = ise buna göre yolun ) 'ya bağlı değişim oranı ) ' olduğunda ne olur? ) = =Ð) Ñ ) ) =Ð ' Ñ ) -=- ' -9> ' 1 È ' 1 1 ' azaldı, sin ) =Ð) Ñ )Þ-=-Ð) Ñ ) ) Ð -=- -9> Ñ =Ð Ñ )ÞÞ ) È Ðyani azalma var) Ä ) Ä ) È + rttı 84

9 ÖRNEK: Dünyanın yarıçapı < '() km ve uydu ile uydunun kontrol merkezine olan uzaklığı olsun una göre 'nin )'ya bağlı değişim oranın ) olduğunda bulunuz < -9=) =38) =r Ð-=-) Ñ >+8) Ê < -9>) < < -=-) =38 ) < =38) Ê <-=-) ß < -=-) <Þ-=-) Þ-9= ) < -9=)-=-) -9= ) < =38 ) < -=- ) < =38 ) < Ð Ñ =38 ) % ÖRNEK: A >+8ve > > > ise A A > Þ > Ð >+8 ÑÞÐ%> > Ñ % =/- Ð> > >ÑÞÐ%> > Ñ ÖRNEK: 0ÐÑÐ Ñ À? 0Ð?Ñ Ð?Ñ 0 0?? Ð Ñ Ð Ñ ÞÐ Ñ? % ÖRNEK: ÐÑ a Ò=38Ð ÑÓ ÐÑ b Ò>+8Ð ÑÓ ÐÑ c È -=- ÐÑ d ' Ð >+8Ñ ÐÑ e È =38Ð -9= Ñ ÐÑ f eger =secèa> à A =,> ÖRNEK: ÐÑEger a CE-9=ÐA>Ñise C > C > ACÞ ÐÑEger b C E=38Ð>Ñ ise C %=38Ð>ÑÞ ÖRNEK: C-9=ÐÑfonksiyonunun 1 noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz CŠ ß C=38Ð Ñ ß Þ 85

10 ZİNCİR KURALI : Problem : Kabul ede ki 0 ve 1 fonksiyonlarının diferansiyellenebilir iki fonksiyon olsunlar, o zaman Ð091ÑÐÑ 0Ð1ÐÑÑ 'in türevini nasıl bulabiliriz C Ð091ÑÐÑ 0Ð1ÐÑÑ À? 1ÐÑ Ê C 0Ð1ÐÑÑ 0Ð?Ñ?? 0Ð?Ñ 1ÐÑ? 0Ð?Ñ 1ÐÑ? 1 ÐÑ Teorem : 1ÐÑ fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir ve 0ÐÑ fonksiyonu 1ÐÑ noktasında diferansiyellenebilir ise Ð091ÑÐÑ fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir urada ; C C?? C0Ð1ÐÑÑ ve?1ðñ ise C0Ð?Ñolup Þ % ÖRNEK : C-9=Ð Ñ %? ÊC-9=Ð?Ñ C C? %? =38Ð?ÑÐ% Ñ =38Ð Ñ Þ % % =38 Ð Ñ C 0Ð?Ñ?? Eger C0Ð?Ñ Ê 0Ð?Ñ Ters Fonksiyonların Türevi :? A, IR ve 0 À E Ä F birebir ve örten bir fonksiyon olsun 0 fonksiyonu E da diferansiyellenebilir ve 0 Ð Ñ Á ise 0 À F Ä E fonksiyonu da C 0Ð Ñ da diferansiyellenebilir ve Ðf Ñ ÐC Ñ 0 Ð Ñ 0 ÐCÑ0 ÐC Ñ C CÄC CC 0ÐÑ0Ð Ñ CC 0ÐÑÄ0Ð Ñ İspat : Ò0 ÐC ÑÓ º Ä 0ÐÑ 0ÐÑ0Ð Ñ 0 fonksiyonu da diflenebilir olduğundan aynı zamanda süreklidir 0 ÐC Ñ da C 'da süreklidir unun için C Ä C için Ä dır 86

11 ) 0ÐÑ À0ÀMVÄMV C y Ò0 ÐCÑÓ º bulunuz C ) ve Ê 0ÐÑ 0ÐÑ Ð0 Ñ ÐÑ Ð* )( Ñ ¹ ) Ters trigonometrik Fonksiyonların Türevi : Ð0 ÐÑÑ 0ÐCÑ 1 1 1) C +<-=38 0 À Ò ß Ó Ä Ò ß Ó fonksiyonunun türevini bulalım u fonksiyon, 1ÐCÑ =38C şeklinde tanımlanan 1 1 1À Ò ß ÓÄÒßÓ fonksiyonunun ters fonksiyonu, yani C +<-=38 Í =38C olduğundan Ð=38CÑ -9=C È=38 C Ð+<-=38Ñ Ð+<-=38Ñ È ) 0ÐÑ +<--9= fonksiyonu için Ð+<--9=Ñ ß 1 1 È 3) 0ÐÑ +<->+8 0 À MV Ä Ò ß Ó fonksiyonu 1 1 >+8 À Ò ß Ó Ä MV fonksiyonunun ters fonksiyonudur Dolayısı ile C +<->+8 Í >+8C Ð>+8CÑ >+8 C Ð+<->+8Ñ Ð Ñ 4) enzer şekilde Ð+<--9>Ñ ß 5) 0ÐÑ +<-=/- şeklinde tanımlanan 0 ÀMVÐßÑÄÒß1Ó fonksiyonu 1À Òß1Ó Ä MVßÐßÑ CÄ1ÐCÑ=/-C fonksiyonunun tersi olduğu için Ð+<-=/- Ñ Ð>+8C È=/- Ñ Ð=/-CÑ =/-C Þ >+8C 87

12 È ±± È Ð ± ± Ñ enzer şekilde ±± È Ð+<--=- Ñ Ð ± ± Ñ olduğu gösterilebilir C+<-=/-Ð Ñ C +<->+8Ð C +<-=38Ð Ñ È Ñ C È + + +<--9=Ð+ Ñ 0ÐÑ Ð Ñ +<--9=ÐÈ Ñ È 0 ÐÑ ß 0 ÐÑ 0ÐÑ È +<--9=/-ÐÑß 0 Ð È Ñ ß 0 Ð ÈÑ Kapalı Fonksiyonların Türevi JÐßCÑ olacak şekildeki fonksiyonlara kapalı fonksiyonlar denir Örneğin % % JÐßCÑ C C C fonksiyondur unun türevi : fonksiyonu bir kapalı ÒJ Ðß CÑÓ % %C C CC C CC % C %C C C Ð%C CÑ 88

13 JÐßCÑC C C fonksiyonunun noktasındaki türevini hesaplayınız ÒJ Ðß CÑÓ ¹ ßC %C C C CC %CC C Ð C%CÑ C %C C ¹ ßC C %C C%C % * % C +<-=38 Ê =38C Logaritmik Fonksiyonların Türevi : ÊÐ-9=CÑC -9=C C È 0ÐÑ 691+ şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MV türevini bulunuz fonksiyonunun + + ( 691 ) Ð Ñ Ð 5 dersekñ ÐÑ691 Ð Ä ise 5 Ä Ñ Î5 + 5Ä Ð5Ñ Ð < dersekñ 691+ Ð5Ñ 5Ä 5 <Ä_ + < < Ð5 Ä ise < Ä _Ñ 691 Ð Ñ olur Ð Ñ / <Ä_ < < olduğundan < + <Ä_ < 691 Ð Ñ / Eğer +/ alırsak, log / olup ÐM8Ñ + 0ÐÑ 691 Ð %Ñ À 0ÐÑ 691 Ð>Ñ 89

14 > % 0ÐÑ 0 > > Þ Yrd Doç Dr Coþkun YAKAR dersek > Ð691 /ÑÐÑ % 691 / Not: 0ÐÑ 691+ Ò?ÐÑÓ ise 0ÐÑ 0?? Þ?ÐÑ + Þ 691 Ò/ÓÞ? ÐÑ 0ÐÑ M8Ð>+8Ñ için 0 Ð Ñ 1 % türevini hesaplayınız Ð>+8Ñ >+8 >+8 >+8 0 ÐÑ Üstel Fonksiyonların Türevi : + MV Ö olmak üzere 0ÐÑ + şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MV logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğunda C+ Ê 691+ C Ð691 CÑ 691 / Ð+ Ñ + C691+ / / Ð+ Ñ + M8+ C + Özel olarak +/ ise Ð/ Ñ / M8/ / 90

15 % % C/ %??% denirse C/ C C? C? Þ Genel olarak /?? % Ð% Ñ C / Ð' %Ñ?ÐÑ?ÐÑ?ÐÑ?ÐÑ Ò+ Ó? ÐÑÞ+ ÞM8+ ve Ò/ Ó? ÐÑÞ/ =38Ð Ñ 0ÐÑ? =38Ð Ñ ß? =38Ð@Ñ 0 0? 0??? Þ? Þ? Þ 0 =38Ð Ñ ¹ -9=Ð Ñ Þ ÐÑ Þ Þ M8-9=ÐÑÞM8Þ =38ÐÑ Logaritmik Türev Alma Kuralı : C Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ ifadesinin türevini bulalım M8C 1ÐÑ Þ M8Ò0ÐÑÓ C C 1 ÐÑ Þ M8 Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ Þ 0 ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 0 ÐÑ 0ÐÑ C Ò0ÐÑÓ š 1 ÐÑ M8Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ % CÐÑ % % % M8C ÞÐM8Ð ÑÑ %M8ÐÑ Þ % C C % % % % % % % % C Ð Ñ š % Þ M8Ð Ñ Þ % 91

16 -9= 0ÐÑ À0 Ð Ñ 1 M8C Þ-9=ÞM8-9= C Þ-9=ÞÒ =38ÞM8Ó 1 È 1 1 ÞÐ ÑÞÒ Þ Þ M8Ð ÑÓ Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri : ¹ 1 1) Ð-9=Ñ =38 3) Ð>+8Ñ =/- ) Ð=38Ñ -9= 4) Ð-9>Ñ -9=/- 5) Ð=/-Ñ =/- Þ >+8 6) Ð-=-Ñ -=- Þ -9> C =38Ð?ÐÑÑ À?ÐÑ > denilirse C =38Ð>Ñ olup zincir kuralında C C > > Þ -9=Ð>Ñ Þ? ÐÑ -9=Ð?ÐÑÑ Þ? ÐÑ C =38ÐM8Ñ C -9=ÐM8ÑÞ / / M8 M8 Ò ÓÞ Ò ÓÞ C +<->+8Ð>+8Ñ C Ð>+8Ñ =/- >+8 >+8 0 ÐÑ 9

17 0ÐÑ M8 Ð=38Ð+ÑÑ M8Ð-9=Ð+ÑÑ M8Ð =38Ð+Ñ -9=Ð+Ñ Ñ M8Ð>+8Ð+ÑÑ Ð>+8Ð+ÑÑ + =/- Ð+Ñ >+8Ð+Ñ >+8Ð+Ñ 0 ÐÑ Þ / / // // =/-ÐÑ ß >+8ÐÑ / / // // =/-Ð+Ñ ß >+8Ð+Ñ ÐÑ +=/- Ð+ Ñ >+8Ð+ Ñ CÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ M8CÐÑ M80ÐÑ M81ÐÑ C 0 1 C C Ò Ó Þ1 1Þ0 0 Þ C CÐÑ 0ÐÑ Þ 1ÐÑ M8 CÐÑ M8 Ð0Þ1ÑÐÑ C ÐÑ 0 ÐÑ 1 ÐÑ CÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ 80ÐÑM81ÐÑ C ÐÑ 0 ÐÑ Þ 1 ÐÑ Ò Ó C ÐÑ 1ÐÑ Þ 0 ÐÑ 0ÐÑ Þ 1 ÐÑ È Ð% Ñ CÐÑ Ð Ñ CÐÑ Þ Ð Ñ =38 CÐÑ Î Ð &Ñ Þ Ð Ñ È' 0ÐÑ ÐÑÞÐÑÞÐÑ 93

18 0 ÐÑ % ' %ÞÞÐÑ ) % È( È( Þ % È( È( Þ Üstel Fonksiyonun Türevi : + MV olmak üzere 0ÐÑ + şeklinde tanımlanan 0ÀMVÄMV fonkisyonu logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğundan + Í 691+ Cdir u nedenle C Ð691 CÑ Þ691 / / Ð+ Ñ C Þ Ð+ Ñ + Þ M8+ Özel olarak + C + +/ alınırsa Ð/ Ñ / C/ için C'nin türevini hesaplayınız?? dersek C / olur Zincir kuralından C C??? Þ / ÞÐ Ñ C / Ð Ñ Genel olarak?ðñ?ðñ Ò+ Ó? ÐÑÞ+ ÞM8+ ve?ðñ?ðñ Ò/ Ó? ÐÑ Þ / 94

19 =38ÐÑ 0ÐÑ için 0 ÐÑ'ın türevini hesaplayınız =38ÐÑ 0 ÐÑ Ð=38Ñ Þ Þ M8-9=ÐÑ Þ 0 ÐÑ Þ M8 =38ÐÑ ÞM8 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi : Daha önceki bölümde gördüğümüz gibi, hiperbolik fonksiyonlar // // -9=ÐÑ ß =38ÐÑ =38-9=ÐÑ -9= =38ÐÑ >+8 >+8ÐÑ ß -9>ÐÑ -9=ÐÑ =38ÐÑ =/-ÐÑ ß -=-ÐÑ olarak tanımlanmışlardı 1) 0ÐÑ -9=ÐÑ fonksiyonunun türevi : // // Ð-9=Ñ Ð Ñ =38ÐÑ Ñ 0ÐÑ =38ÐÑ fonksiyonunun türevi : // // Ð=38ÐÑÑ Ð Ñ -9=ÐÑ 3) 0ÐÑ >+8ÐÑ fonksiyonunun türevi : Ð>+8ÐÑÑ Ð Ñ >+8 ÐÑ =/- ÐÑ =38ÐÑ -9=ÐÑ Þ -9=ÐÑ =38ÐÑ Þ =38ÐÑ -9=ÐÑ Ð-9=ÐÑÑ 4) 0ÐÑ -9>ÐÑ fonksiyonunun türevi : -9=ÐÑ =38ÐÑ 0 ÐÑ Ð-9>ÐÑÑ Ð Ñ =38ÐÑ Þ =38ÐÑ -9=ÐÑ Þ -9=ÐÑ =38 ÐÑ -9> ÐÑ -9=/- ÐÑ 95

20 5) 0ÐÑ =/-ÐÑ fonksiyonunun türevi : -9=ÐÑ =38ÐÑ -9= ÐÑ 0 ÐÑ Ð Ñ =/-ÐÑ Þ >+8ÐÑ 6) 0ÐÑ -9=/-ÐÑ fonksiyonunun türevi : =38ÐÑ -9=ÐÑ =38 ÐÑ 0 ÐÑ Ð Ñ -9=/-ÐÑÞ -9>ÐÑ bağlantıları elde edilir C =38Ð?ÐÑÑ ise C ÐÑ? ÐÑ Þ -9=Ð?ÐÑÑ urada?ðñ > denirse C =38Ð>Ñ ve C C > > > Þ -9=Ð>ÑÞ C >+8ÐM8ÐÑÑ için C türevini bulunuz C ÐÑ 'ı hesaplayınız C C > > Þ burada > M8ÐÑdir =/- Ð>ÑÞ =/- ÐM8ÐÑÑÞ / / Þ Þ / M8ÐÑ/ M8ÐÑ M8ÐÑ M8ÐÑ C Þ C ÐÑ C 0ÐÑ +<->+8Ð>+8Ð ÑÑ için 0 ÐÑ ve 0 ÐÈM8Ñ 'nin türevlerini hesaplayınız? >+8 dersek 0ÐÑ +<->+8Ð?ÐÑÑ olur 0 0???? 0 ÐÑ Þ dersek?ðñ >+8Ð@ÐÑÑ olup =/- =/- Ð@ÐÑÑ =/- Ð Ñ Þ ÐÑ Þ Ð>+8 Ð ÑÑ 0 ÐÑ Þ Þ =/- Ð Ñ Þ ÐÑ >+8 ÐÑ 0 ÐÑ Þ =/- ÐÑ Þ Ð Þ Ñ 0 ÐÈ M8Ñ Þ=/- ÐM8Ñ Þ ÞÈM8 >+8 ÐM8Ñ 96

21 M8 M8 / / / M8 / M8 & & >+8ÐM8Ñ ve % / M8 / M8 & & =/-ÐM8Ñ unlara göre 0 ÐÈ ' M8Ñ Þ Þ È * M8 & & ŸŸ/ ' M8 Ÿ M8 Ÿ M8/ Þ È ' % M8 ( ÞÈM8 ŸM8Ÿ Ÿ ' ( M8 0ÐÑ M8Ð>+8Ð&ÑÑ M8Ð=38Ð&ÑÑ için 0 Ð & Ñ hesaplayınız 'ün türevini Ð>+8Ð&ÑÑ Ð=38Ð&ÑÑ =/- Ð&Ñ -9=Ð&Ñ >+8Ð&Ñ =38Ð&Ñ >+8& =38Ð&Ñ 0 ÐÑ &Þ &Þ M8 =/- ÐM8Ñ -9=ÐM8Ñ & >+8ÐM8Ñ =38ÐM8Ñ 0 Ð Ñ & Þ &Þ &Þ Ò Ó ' Ð Ñ Ð Ñ ) ) % Î & & % % % Ð Ñ & &ÞÒ Ó &ÞÒ Ó &Ò Ó &Þ Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri : 1) 0ÐÑ +<--9=ÐÑ 'in türevini hesaplayalım & -9=ÐCÑ olup Ð=38ÐCÑÑ Þ C Ê C =38ÐCÑ -9= ÐCÑ =38 ÐCÑ denkliğinden -9= ÐCÑ =38 ÐCÑ È -9= ÐCÑ =38ÐCÑ È =38ÐCÑ una göre C È Yada È +<--9=ÐÑ M8Ð Ñ ÐÈ Ñ È ÐÈ Ñ È Ð+<--9=ÐÑÑ olduğunu göstermiştik una göre È ) 0ÐÑ +<-=38ÐÑ 'in türevini hesaplayalım 97

22 -9=ÐCÑ =38ÐCÑ olup Ð-9=ÐCÑÑ C Ê C +<-=38ÐÑ M8Ð È Ñ dan È yada ÐÈ Ñ È È È È Ð+<-=38ÐÑÑ 3) ±± için C+<->+8ÐÑ fonksiyonunun türevini hesaplayalım >+8ÐCÑ olup =/- ÐCÑ Þ C Ê C =/- C >+8 ÐCÑ Ê C >+8 ÐCÑ =/- ÐCÑ enzer olarak fonksiyonunun tersini bularak çözdüğümüzde C // // C C C C C C C Ê/ / / / C C Ê/ / C C / ÐÑ Ê / C M8Ð Ñ ve C M8Ð Ñ Ð ± ± Ñ ÐÑ ÐÑ Ò Ó ÐÑ ÐÑ Ð Ñ C Þ Þ olarak bulunur 98

23 %Ñ enzer olarak C +<--9>ÐÑ fonksiyonunun türevini hesaplayalım -9>ÐCÑ Ê Ð -9> ÐCÑÑÞ C -9>ÐCÑ Ê C +<--9>ÐÑ M8Ð Ñ ÒM8Ð Ñ M8Ð ÑÓ C Ò Ó Ò Ó -9> ÐCÑ Sonuç olarak C 5) enzer olarak C+<-=/-ÐÑ fonksiyonunun türevi için È È C ve C +<--=-ÐÑ ise için C C +<->+8Ð-9=ÐÑÑ fonksiyonu için C Ð Ñ 'ini hesaplayınız Ð-9=Ñ =38-9= -9= C È % -9= Ð Ñ 1 1 =38Ð Ñ % C Ð Ñ 1 % Þ È % È % 1 % C È Þ +<--9=ÐÑ ß için Þ È È È È C Þ +<--9=ÐÑ Þ +<--9=ÐÑ % C Ð Ñ Þ +<--9>Ð Ñ ß ise C ÐÑ? % % C % Þ +<--9>Ð Ñ % Þ +<--9>Ð Ñ Þ Ð Ñ C ÐÑ % +<--9>Ð%Ñ ß +<--9>ÐÑ M8Ð Ñ ß %Þ ÞM8Ð Ñ %'ÞM8Ð Ñ & & 99

24 Parametrik Denklemi Verilen Fonksiyon Türleri : 0 À E MV Ä MV fonksiyonu C 0ÐÑ bağıntısı ile verildiği gibi?ð>ñ ve biçiminde de verildebilir u bölümde fonksiyonun C parametrik olarak verilmesi halinde türevinin nasıl bulunabileceğini göstereceğiz urada C 0ÐÑ fonksiyonunun 'in ve?ð>ñ 'de > 'nin türevlenebilen birer fonksiyon olsunlar una göre?ð> >Ñ?Ð>Ñ ß olduğundan >Ñ@Ð>Ñ >?Ð> >Ñ?Ð>Ñ yazılabilir ve fonksiyonları diflenebilir olduklarından > süreklidirler Dolayısı ile t Ä Í Ä Þuna göre 0ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ 0Ð Ñ C Ä Ä C C Ò Ó > >?Ð> >Ñ?Ð>Ñ? > > bulunur C C C? > > una göre > Þ İ ve Ú ile gösterilirse > C? C İ Ú, biçiminde yazılabilir Ð>Ñ + Þ -9=Ð7>Ñ CÐ>Ñ + Þ =38Ð7>Ñ parametrik denklemiyle verilen bağıntının > 7 ß( 7Á için) anındaki türevini bulunuz C C > +Þ7Þ-9=Ð7>Ñ +Þ7Þ=38Ð7>Ñ -9=Ð7>Ñ > 1 1 C Ð Ñ È > > Ð>Ñ / Ð -9=Ð>ÑÑ > CÐ>Ñ / Ð =38Ð>ÑÑ 1 ise C Ð Ñ? > C /Ð-9=>=38>Ñ / > Ð=38>-9=>Ñ Ê C ÐÑ > Ð>Ñ / Þ =38Ð>Ñ ve +Ð-9=Ð>Ñ >=38Ð>ÑÑ > CÐ>Ñ / Þ -9=Ð>Ñ C +Ð=38Ð>Ñ >-9=Ð>ÑÑ 100

25 C > Türevlenebilen Fonksiyonlar Olmak Üzere Fonksiyonunun İkinci Mertebeden Türevi : C 0ÐÑ C C? İ Ú?? İ Ú Ê C ÒC Ó Ò Ó İ > > Ú? C ÞÒ ÓÞ > ÞÒ? > İ Ú Ó CÞ?? ÞC Ð? Ñ?? C Þ?? ÞC C Ð? Ñ Ð>Ñ + Þ -9=Ð7>Ñ Ê + Þ 7 Þ =38Ð7>Ñ CÐ>Ñ + Þ =38Ð7>Ñ C + Þ 7 Þ -9=Ð7>Ñ C +Þ7 Þ-9=Ð7>Ñ +Þ7 Þ=38Ð7>Ñ C + Þ7 Þ=38 Ð7>Ñ+ Þ7 Þ-9= Ð7>Ñ + Þ7 Þ=38 Ð7>Ñ 1 + =38 Ð7>Ñ 7 Þ Ò=38 Ð7>Ñ -9= Ð7>ÑÓ Þ > ) % + % % È Þ + È + È ÞÒ ÓÞ Þ Þ Yüksek Mertebeden Türevler : % C C 0ÐÑ fonksiyonu verildiğinde C 'nin 1türevi C 0 ÐÑ eğer C C C ÐÑ türevlenebilirse C ÞÒ Ó 0 ÐÑ enzer olarak eğer 8 8 türevlenebilirse Ð8Ñ 8 Ð8Ñ C Ò Ó0 ÐÑ 8 ' CÐÑ 0ÐÑ için Ð&Ñ 0 ÐÑ hesaplayınız türevini & C ' ' C C C % ' ' ' ' 101

26 Ð&Ñ C ( Ê C ÐÑ ( CM8ÐÑfonksiyonu için y ÐÑ Ð8Ñ değerini bulunuz C ÐÑ ß C ÐÑ ß C ÐÑ Þ Þ ß % Ð8Ñ 8 8 C ÐÑ ÞÞÞ ÞÞÞ C ÐÑÐÑ ÞÐ8ÑxÞ ß 8 ß ß ß ÞÞÞ Ð8Ñ 8 C ÐÑ Ð Ñ Ð8 Ñ x + Ð8Ñ C/ fonksiyonu için 0 ÐÑ türevini hesaplayınız + + Ð8Ñ 8 + C ÐÑ + Þ / ß C ÐÑ + Þ / ß ÞÞÞ ß C ÐÑ + Þ / Ð8Ñ 8 Ð8Ñ Ð8Ñ C ÐÑ+ Þ Eğer + ise C/ ve C ÐÑ/ ßC ÐÑ Ð8Ñ 8 Ð8Ñ enzer olarak + ise C / ve C ÐÑ Ð Ñ Þ /, y ÐÑ ÐÑ 8 Ð8Ñ // Ð8Ñ /ÐÑ Þ/ C-9=ÐÑ ÊC ÐÑÒ Ó 8 Ð8Ñ ÐÑ ß 8 5 C ÐÑ ß 8 5 Ð8Ñ C =38ÐÑ Ê C ÐÑ Ò Ó 8 // Ð8Ñ /ÐÑ Þ/ 8 Ð8Ñ Ð8Ñ ÐÑ ß 8 5 C ÐÑ ß

27 CÐÑ Ð Ñ C ÐÑ Ð Ñ ß C ÐÑ ÞÞÐ Ñ ß % C ÐÑ ÞÞÞÐ Ñ ÞÞÞ C C Ð8Ñ 8 Ð8Ñ ÐÑÐÑ ÞÐÑ Ð8Ñ 8 8 ÐÑ Ð Ñ Þ ÐÑ Ð Ñ ß Ð8Ñ 8 Ð8Ñ C ÐÑ Ð Ñ Þ Ð Þ Ð8 ÑÑ Ð8Ñ Ð8Ñ CÐÑ Ð Ñ Ê C ÐÑ Ð Ñ Ð8Ñ Ð8Ñ 8 Ê C ÐÑ ß C ÐÎÑ Ð Ñ irbirine ağlı Oranlar : 8 Problem : ir göktaşı okyanusa düşüyor ve düştüğü yerde halkalar oluşturuyor u halkaların yarıçapı 6 cm/sn lik oranla artıyor ise 3 sn 'de çemberlerin alanındaki değişim oranı ne olur? E 1 < ß < > '-7Î=8ß >=8<Þ' )-7 E < > > 1Þ Þ < Þ 1Þ Þ Ð)Ñ Þ ' 1Ð)Ñ Þ ' 1-7 Î=8 Çevresindeki değişim oranı : Ç= 1< G < > > 1 Þ 1Þ ' 1-7Î=8 Problem : 10 metre uzunluğundaki bir merdiven duvara yaslanıyor Merdivenin alt ayağının duvardan 8 metre uzaklaştığında merdiven dışarı doğru 4 m/sn oranla hareket ediyor una göre merdivenin üst kısmı hangi hızla aşağı doğru hareket eder? C > > )? ¹ % 7Î=8 C C > > Þ C Þ C ) Þ % > > Þ ' C ' Þ Î C ' 7Î=8 103

28 Problem : Helyum gazı ile şişirilen küre şeklindeki bir balonun < yarıçapının artma oranı, < -7 olduğunda Þ) -7Î=8 'dir una göre : (i) u anda balonun hacmindeki değişme oranı nedir? (ii) u anda balonun alanındaki değişim oranı nedir? (ii) Kürenin =8sonraki hacmindeki ve alanındaki değişim oranı nedir? < > < < > < -7 için ¹ Þ) -7Î=8 Þ % < > > < Ð3Ñ Z Z Ð<Ñ 1< Ê ¹ Þ 1Þ Þ < Þ ¹ Z < % 1< % Þ 1Þ ÐÑ Þ ÐÞ)Ñ % Þ 1 Þ Þ ÐÞ)Ñ Ð33Ñ E % 1 < E ¹ E < Þ ¹ > < > 1-7 Î=8 < > < % Þ 1Þ Ð<Ñ Þ ¹ % Þ 1Þ Ð Þ Ñ Þ ÐÞ)Ñ '% 1-7Î=8 < > <Þ% Ð333Ñ > =8 < Þ% Þ% ¹ % > Ð+Ñ ¹ Þ 1Þ ÞÐÞ%Ñ Þ ÐÞ)Ñ '%Þ 1 &&Þ&% -7 Î=8 E E < > < > Ð,ÑE %Þ1Þ< Ê Þ )Þ1Þ< ¹ ÞÐÞ)Ñ ) Þ 1 Þ ÐÞ%Ñ Þ ÐÞ)Ñ (*Þ' -7 Î=8 <Þ% 104

29 Problem : ) metreye & metre boyutundaki bir levha ile köşelerinden eşit parça alınarak (kesilerek) maximum hacimli bir kutu yapılmak isteniyor una göre kutunun boyutlarını bulunuz Maximum hacimi bulunuz Z ÐÑ ÐÑ Þ Ð) Ñ Þ Ð& Ñ Ð) Ñ Þ Ð& Ñ Z ÐÑ % %' Z ÐÑ Þ %' Þ Z ÐÑ Þ % Þ * '* * * Ð Ñ %ÞÞ * ' ß & ' '* É & % & & % & oyutları ß ve Þ Maximum hacim = Þ Þ *Þ(%( 7 Problem : Yarıçapı ' 7 yüksekliği 7 olan bir düzgün koni 'nin içine maximum hacimli bir düzgün silindir konmak isteniyor una göre silindirin yüksekliğini ve yarıçapını bulunuz Maximum hacmi nedir? İstenen silindirin hacmi Þ< ÞÞ enzer üçgenleri kullanarak < & &< ' Ê < Ê &< Ê &< & Z 1Þ< ÞÐ ÑÞ1Þ< Þ1Þ< ß Ÿ< Ÿ' Z < Þ1Þ< &Þ1Þ< &Þ1Þ<Ð%<Ñ < % <% Ê ' Z 1Þ< Þ 1ÞÐ'ÑÞ Þ1Þ7 105

30 Problem : Kapalı silindir şeklinde bir kutu -7 sıvı tutabiliyor u silindiri en az malzemeyle yapmak için bu cismin yüksekliğini ve yarıçapını bulunuz W 1< Þ 1< 1 < Z 1< Þ Ê 1Þ < Þ Ê 1< < È 1 WÐ<Ñ 1<ÞÐ Ñ 1< 1< Ê < Maksimum Minimum : Teorem : M bir aralık, 0 À M Ä MV fonksiyonu sürekli ve + M 'da türevli olsun Öyle bir vardır ki, 0 Ð+Ñ ise 0fonksiyonu Ð+ ß+ Ñda artan, 0Ð+Ñ ise Ð+ ß+ Ñde azalandır 0ÐÑ0Ð+Ñ İspat : 0 Ð+Ñ olsun u takdirde Ä+ + olur u durumda öyle bir vardır ki Ð+ ß +Ñ ve Ð+ß + Ñ için zira 0ÐÑ0Ð+Ñ + olur u da 0 'nin Ð+ ß+ Ñda artan olduğunu gösterir + ise 0ÐÑ 0Ð+Ñ Ê 0ÐÑ 0Ð+Ñ + için ÐÑ 0Ð+Ñ Ê 0ÐÑ 0Ð+Ñ olur enzer olarak 0 Ð+Ñ olduğunda 0 'nin Ð+ ß+ Ñaralığında azalan olduğu gösterilebilir Sonuç : 0 fonksiyonu Ò+ß,Óde sürekli ve Ð+ß,Ñ'nin herbir noktasında türevli olsun Her Ð+ß,Ñ için 0 ÐÑ ise 0, Ò+ß,Ó de artan, 0 ÐÑ ise Ò+ß,Ó de azalandır 0ÐÑ '& fonksiyonunun artan yada azalan oldukları aralıkları bulunuz 0 ÐÑ ' u ifadenin işaretini incelersek O halde 0 fonksiyonu Ð_ßÓde azalan, Òß _Ñda artandır Verilen fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir bulunuz 0ÐÑ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları 0 ÐÑ olduğundan fonksiyon Ð_ß _Ñ aralığında artandır 106

31 Not : 0ß Ò+ß,Ó de sürekli ve -ß Ð+ß,Ñ olsun 0 fonksiyonu Ð+ß-Ñ'de artan, Ð-ß,Ñ 'de azalan yada 0 ÐÑ fonksiyonu ise - 'de bir yerel maksimuma sahiptir Eğer 0 Ð+ß Ñ 'de azalan, Ðß,Ñ 'de artan yada 0 ÐÑ ise 'de bir yerel minimuma sahiptir 0ÐÑ ( fonksiyonunun yerel ekstremmum noktalarını ve değerlerini bulunuz 0 ÐÑ ( Þ Ð *Ñ Þ Ð Ñ Þ Ð Ñ inceleye türevinin işaretini u tabloya göre 0ÐÑfonksiyonu Ð_ß Óaralığında artan ÒÞÓ aralığında azalan ve Òß _Ñ aralığında artandır 'ün solunda artan sağında azalan olduğundan de yerel maksimum ve benzer olarak da 'de yerel minimuma sahiptir Yerel maksimum değeri 0ÐÑÐÑ (ÞÐÑ ( Þ Ð Ñ &%Þ Yerel minimum değeri 0ÐÑ ÐÑ ( Þ ÐÑ ( Þ Ð Ñ &% Yerel extremum noktalarının sağında ve solunda türev farklı işaretlidir Extremum noktalarında türev sıfırdır Teorem (Fermat Teoremi) : 0 À Ò+ß,ÓÄMV fonksiyonunun bir - Ð+ß,Ñ noktasında bir yerel minimumu veya maksimumu varsa ve 0 fonksiyonu - noktasında türevlenebiliyorsa 0 Ð-Ñ dır İspat : Kabul ede ki 0 fonksiyonu - Ð+ß,Ñ'de yerel maksimuma sahip olsun u taktirde öyle bir MV vardır ki ± - ± şartını sağlayan her için 0ÐÑ Ÿ 0Ð-Ñ ± ± olacak şekilde seçilen her için - ' da bu komşuluğa dahil olacağından ister negatif ister pozitif olsun 0Ð- Ñ Ÿ 0Ð-Ñ Ê 0Ð- Ñ0Ð-Ñ Ÿ dolayısı ile 0Ð-Ñ0Ð-Ñ için Ÿ Ê0 Ð-ÑŸ 0Ð-Ñ0Ð-Ñ için Ê0 Ð-Ñ f, c noktasında türevlenebilir olduğundan yada için 0Ð-Ñ0Ð-Ñ Ð-Ñ 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ Ÿ Not : 0 À Ò+ß,Ó Ä MV fonksiyonu için 0 - Ð+ß,Ñ ve 0 Ð-Ñ 0 Ð-Ñ olup 0 Ð-Ñ 'de türevli ve

32 0 Ð-Ñ olması, fonksiyonun - noktasında bir extremuma sahip olmasını gerektirmez Yani Fermat Teoreminin karşıtı her zaman doğru değildir 0ÐÑ Þ 0 À MV Ä MV 0 ÐÑ için 0ÐÑ Þ için 0ÐÑ ne yerel maksimuma ne de yerel minimuma sahiptir Not : Fonksiyon bir noktada yerel ekstremuma sahip olduğu halde o noktada türevli olmayabilir Örneğin : 0ÐÑ Î ß1ÐÑ ±± È fonksiyonları için 0 ÐÑ Þ olup ise 0 ÐÑ ß ise 0 ÐÑ için 0ÐÑ bir yerel minimumdur fakat noktasında 0ÐÑ Î fonksiyonunun türevi yoktur enzer şekilde 1ÐÑ ±± için ise 1 ÐÑ ve ise 1 ÐÑ olup 1ÐÑ 'da yerel minimuma sahip 1ÐÑ Þ Fakat 1 ÐÑ noktasında türevi mevcut değildir Tanım : 0À+ MVÄMV fonksiyonu için 0 Ð-Ñ şartını sağlayan - noktasına 0 fonksiyonunun duraklama yada kritik noktaları denir & & 0ÐÑ & Þ Þ fonksiyonunun varsa kritik noktalarını bulunuz unlardan hangileri yerel ekstremum noktalarıdır? % 0 ÐÑ & Þ Þ Ð &Ñ Þ Ð &Ñ Þ Ð &Ñ Ê ß &ß & % Kritik noktalar kümesi ß &ß & türevin işaret tablosu yapılırsa : bulunur Tablodan görüldüğü gibi, & 'de yerel maksimum & 'de yerel minimum vardır kritik noktası bir ekstremum nokta değildir & & & C0ÐÑ 108

33 0ÐÑ Þ/ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ve değerlerini bulunuz 0 ÐÑ ÐÑÞ/ Ê 0ÐÑ / Teorem : 0 À Ò+ß,Ó Ä MV fonksiyonunun kritik noktalarını c ß - ß ÞÞÞ ß - : ß türevsiz olduğu noktalar D ß D ßÞÞÞß D< ise 0Ð+Ñß0Ð-Ñß0Ð-ÑßÞÞÞß0Ð-Ñß0ÐDÑß0ÐDÑßÞÞÞß0ÐDÑß0Ð,Ñ : < kümesinin en büyük elemanına 0 'nin mutlak maksimum (en büyük) değeri, en küçük elemanı 0 'nin mutlak minimumu (en küçük) değeridir 0ÐÑ biçiminde tanımlanan 0 À Ò ß Ó Ä MV fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerini hesaplayınız 0 ÐÒ ß ÓÑ kümesini hesaplayınız 0ÐÑÐÑ olup 0 ÐÑ ÞÐÑ 0 Ð Ñ Ð Ñ 0ÐÑ ÐÑ 'da mutlak minimumu var ve 0Ð Ñ ve 'da mutlak maksimum var ve 0ÐÑ & & 0ÐÑ & Þ Þ fonksiyonu 0 ÀÒ'ß'Óüzerinde tanımlanmış olsun una göre yerel ve mutlak ekstremumlarını bulunuz & & & & 0Ð&Ñ ÞÐ&Ñ Þ& ÞÐ&Ñ & ÞÒ Ó & & Þ & & & & & & ÞÒ Ó & & & & yerel maksimum ve 0Ð&Ñ & Þ& Þ& & ÞÒ& Ó & Þ & & & yerel minimumdur 0Ð'Ñ 0Ð&Ñ olup 0 Ð&Ñmutlak maksimum ; 0Ð'Ñ 0Ð&Ñ olup 0Ð&Ñ mutlak minimumdur u örnek için yerel ekstremum noktaları, mutlak ekstremum noktalarıdır Teorem : 0 fonksiyonu Ð+ß,Ñ aralığında türevli, -noktası 0 fonksiyonunun bir kritik noktası, yani 0 Ð-Ñ ß 0 Ð-Ñmevcut ve sıfırdan farklı olsun (i) Eğer 0 Ð-Ñ [(concave don) convex] ise - 'de bir yerel minimum, 109

34 vardır İspat : (ii) Eğer 0 Ð-Ñ [(concave up) conkav] ise - 'de bir yerel maksimum (i) 0 ÐÑ 1ÐÑ olsun una göre 1 Ð-Ñ 'dır 1 artandır 1ÐÑ1Ð-Ñ - için, 1Ð-Ñ1ÐÑ-Þ 0 ÐÑß - ve 0 ÐÑ O halde 0 fonksiyonu -noktasında bir yerel minimuma sahiptir (ii) ' de benzer olarak ispatlanabilir & EÐ ß Ñ noktasının C È eğrisine olan uzaklığını bulunuz & & É Ð Ñ Ê 0ÐÑ Ð Ñ 0 ÐÑ% Ê kritik yada duraklama noktasıdır Ê * % 0 ÐÑ olduğundan 0ÐÑyerel minimumdur 0ÐÑ Ð Ñ 0ÐÑ M8 şeklinde tanımlanan 0 À MV Ä MV fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz 0 ÐÑ M8 Þ M8 M8 0ÐÑ ÊM8 Ê/ olur / 0 ÐÑ Ê 0 Ð/Ñ olduğunda / yerel minimum noktasıdır Yerel minimum değeri 0Ð/Ñ / Þ M8Ð/Ñ Þ / / / / olur 110

35 Tanım : O MV olsun Eğer Okümesinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası O kümesinin içinde kalıyorsa O'ya bir konveks küme adı verilir Konveks küme Konveks olmayan küme Tanım : 0 fonksiyonu Ò+ß,Ó'de sürekli bir fonksiyon olsun Eğer O ÖÐßCÑ À Ò+ß,Óve C 0ÐÑ kümesi, yani fonksiyonun grafiğinin üst tarafında bulunan bölge konveks ise 0 fonksiyonu konvekstir veya yukarı bükümlüdür denir 0ÐÑ fonksiyonu konveks fonksiyondur Yani O ÖÐß CÑ MVß C kümesi bir konveks kümedir Çünkü bu küme içinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğrununtüm noktaları yine bu bölgededir Türevle İlgili Teoremler : Kapalı bir aralıkta sürekli ve bu aralığın iç noktalarında türevli fonksiyonların arasında bazı ilişkiler vardır u bölümde bununla ilgili teoremleri verip ispatını yapacağız Teorem (Rolle Teoremi) : 0, Ò+ß,Ó aralığında sürekli ve a Ð+ß,Ñ noktasında türevli olsun Eğer 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ ise Ð+ß,Ñ aralığında 0 Ð-Ñ olacak şekilde en az bir - noktası vardır 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ Ê b - Ð+ß,Ñ ½ 0 Ð-Ñ İspat : 0 'nin Ò+ß,Ó ' de aldığı en büyük değer M, en küçük değer 7olsun Eğer Q7ise fonksiyon sabit fonksiyon olur bu durumda aiçin 0 ÐÑ olacağından teorem açıktır Şimdi QÁ7 yani 7Qolsun 0Ð+Ñ0Ð,Ñolduğundan fonksiyon Qve 7 değerlerini aralığın uç noktalarında olamaz Kabul ede ki 0 fonksiyonunun Q değerini bir - Ð+ß,Ñ 'de alsın Fermat teoreminden dolayı 0 Ð-Ñ olur öylece teorem ispatlanmış olur Not : 1) 0 ß Ò+ß,Ó 'de sürekli ve Ð+ß,Ñ de türevlenebilen ve 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ ise eğrinin en az bir noktasındaki teğeti O eksenine paraleldir (teğetinin eğimi sıfırdır) Not : ) 'de sürekli ve de türevli ve özel olarak ise 0ß Ò+ß,Ó Ð+ß,Ñ 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ 0 fonksiyonunun iki sıfır yeri (kökü) arasında türevinin sıfır olduğu en az bir yer vardır 111

36 % 0ÐÑ % olsun 0 ÐÑ birer sınır bulunuz denkleminin kökleri için % 0ÐÑ % Ð Ñ Þ Ð Ñ Ð ÈÑ Þ Ð ÈÑ Þ Ð Ñ Þ Ð Ñ olduğundan 0 ÐÑ denkleminin üç reel kökü vardır Èß ß ß È % 0Ð È Ñ0ÐÑ olup b Ð È ßѽ0 ÐÑ 0ÐÑ 0ÐÑ olup b ÐßÑ ½ 0 Ð Ñ 0ÐÑ 0Ð È Ñ olup b Ð ß È Ñ ½ 0 Ð Ñ Gerçekten 0 ÐÑ% ) Ê%Ð Ñ Ê È ß ß È olur Rolle teoreminden faydalanarak 5x % % ) denkleminin Ðß Ñ aralığında bir köke sahip olduğunu gösteriniz & % 0ÐÑ ) dersek % 0 ÐÑ & % ) olur Diğer taraftan 0ÐÑ 0ÐÑ olduğundan 0 ÐÑ olacak şekilde en az bir ÐßÑvardyr Dolayısı ile % & % denkleminin bir kökü Ðß Ñ Teorem : (Diferansiyel Hesabın ODT) 0 À Ò+ß,Ó ÄMV fonksiyonunun Ò+ß,Ó de sürekli ve a Ð+ß,Ñ'de türevlenebilir olsun u taktirde 0ÐÑ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ,+ olacak şekilde en az bir x Ð+ß,Ñ vardır İspat : KÀÒ+ß,ÓÄMVßKÐÑ0ÐÑ5olarak tanımlayalım 5 sabit K Ò+ß,Ó 'de süerkli ve Ð+ß,Ñ 'de türevlidir Şimdi 5 değerini KÐ+Ñ KÐ,Ñ olacak şekilde seçe 0Ð+Ñ5+ 0Ð,Ñ5, 11

37 0Ð,Ñ0Ð+Ñ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ Ê 5,+ Þ una göre KÐÑ 0ÐÑ,+ Þ KÐÑ Rolle Teoreminin bütün şartlarını sağlar u yüzden K Ð Ñ olacak şekilde b Ð+ß,Ñvardır 0Ð,Ñ 0Ð+Ñ,+ ÊK ÐÑ0 ÐÑ Ê0 ÐÑ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ,+ Sonuç : 0@/1ßÒ+ß,Óaralığında sürekli ve bu aralığın iç noktalarında tüervli olsun a Ð+ß,Ñ için 0 ÐÑ 1 ÐÑ ise 0ÐÑ ile 1ÐÑ bir sabit kadar farklıdır Yani a Ò+ß,Óiçin 0ÐÑ1ÐÑ5 olacak şekilde bir 5sabiti vardır İspat : ÐÑ 0ÐÑ 1ÐÑ denirse a Ð+ß,Ñ ÐÑ 0 ÐÑ 1 ÐÑ için ÐÑ 5 sabit Þ 0ÐÑ 1ÐÑ 5 yada 0ÐÑ 1ÐÑ 5 % 0 ÐÑ & ve 0ÐÑ ) olduğuna göre 0ÐÑ nedir? & % 1ÐÑ & türevi & olan bir fonksiyon olduğundan b 5 sabiti vardır ki & 0ÐÑ1ÐÑ5 & 5 0ÐÑ) olduğunda fonksiyon : &5) Ê5 bulunur Şu halde istenen & 0ÐÑ & elirsizlik Şekilleri : ir 0 fonksiyonu noktasındaki iti araştırılırken, belirsizlik şekiller denilen : ß ß ß ßß_ß ifadelerinden biri ile karşılaşılabilir u tip itler türev yardımıyla kolayca hesaplanabilir elirsizlik Hali : Aşağıdaki verilen teorem bu belirsizlik halini ortadan kaldırır Teorem (L' Hospital Kuralı) : 0 ve 1 fonksiyonları + noktasında sürekli, Á + için türevli iki fonksiyon ve 1ÐÑ Á olsun Eğer 0ÐÑ 1ÐÑ ise Ä+ Ä+ 113

38 0ÐÑ Ä+ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä+ 1 ÐÑ İspat : 0 ve 1 fonksiyonları + noktasında sürekli olduklarından 0ÐÑ 0Ð+Ñ ve 1ÐÑ 1Ð+Ñ Ä+ Ä+ una göre Teoreminden 0ÐÑ 1ÐÑ 0ÐÑ0Ð+Ñ 1ÐÑ1Ð+Ñ Þ + olsun Genelleştirilmiş Ortalama Değer 0ÐÑ0Ð+Ñ 0 Ð Ñ 1ÐÑ1Ð+Ñ 1 Ð Ñ olacak şekilde bir Ð+ßÑ vardır una göre bu ifade 0ÐÑ 0ÐÑ0Ð+Ñ 0 Ð Ñ Ä+ 1ÐÑ Ä+ 1ÐÑ1Ð+Ñ Ä+ 1 Ð Ñ olur Ä + için Ä + olacağından 0ÐÑ Ä+ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä+ 1 ÐÑ + için de benzer yol takip edilir 0 ÐÑ Eğer şeklinde ise yani belirsizlik devam ediyorsa L'Hospital Ä+ 1 ÐÑ kuralı yeniden uygulanır belirsizlik halinde kurtuluncaya kadar kural tekrarlanabilir M8Ð Ñ PÞL Ä Ä olup olup -9=ÐÑ =38ÐÑ=38ÐÑ PÞL -9=ÐÑ Ä Ä 1ÐÑ ß + 1ÐÑ1Ð+Ñ Ä+ 0ÐÑ Ä+ 0ÐÑ0Ð+Ñ + + % Ä+ Ä+ 0ÐÑ0Ð+Ñ + 1ÐÑ1Ð+Ñ + Ä+ 0 ÐÑ 1 ÐÑ / Ä PÞL / Ä Mevcut Değildir Ä =38ÐÑ Ä Ð =38Ñ Ä Ä olan elirsizlik halidir, 114

39 PÞL -9=ÐÑ Ä PÞL =38ÐÑ Ä ' elirsizlik hali hala elirsizlik hali hala PÞL -9=ÐÑ Ä ' ' M8Ð-9=Ð7ÑÑ Ä5 M8Ð-9=Ð8ÑÑ 1 5 ßßßÞÞÞ 7 ß ß ÞÞÞ 8 ß ß ÞÞÞ t Ä 0 7=38Ð7Ñ PÞL 7-9=Ð8Ñ =38Ð7Ñ Ä51 8=38Ð8Ñ 8 Ä51-9=Ð7Ñ Ä51 =38Ð8Ñ -9=Ð7Ñ Þ Þ -9=Ð8Ñ 7Þ-9=Ð7Ñ 8 Ä5 8Þ-9=Ð8Ñ 8 PÞL 7 7 Þ 1 0ÐÑ 1ÐÑ > belirsizliği için >Á olmak üzere yazılırsa Ä _ için Sonuç : 0 ve 1 fonksiyonları bir 7 reel sayısından büyük her noktasında türevlenebilir olsunlar Ayrıca 0ÐÑ 1ÐÑ Ä_ Ä_ ve her 7 için 1 ÐÑ Á olsun bu taktirde 0ÐÑ Ä_ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä_ 1 ÐÑ 115

40 =38Ð Ñ Ä_ itini hesaplayalım PÞL Ä Þ Þ-9=Ð Ñ _ Ð Ñ Ð Ñ -9=Ð ÑÞ Þ Ä_ Þ 0ÐÑ 1ÐÑ Ä+ Ä+ Ð Ñ Ä_ ÞÐ Ñ 0ÐÑ Ä+ 1ÐÑ 0 ÐÑ Ä+ 1 ÐÑ ß 1 ÐÑ Á Ä > JÐ>Ñ > > KÐ>Ñ İspat : 0Ð ÑJÐ>Ñve 1Ð ÑKÐ>Ñ olsun > Ä için ifadesi formundadır una göre 0ÐÑ J Ð>Ñ J Ð>Ñ Ä 1ÐÑ KÐ>Ñ _ >Ä >Ä K Ð>Ñ >Ä 0 Ð> ÑÞÐ Ñ > 0 ÐÑ 1 Ð ÑÞÐ Ñ Ä 1 _ ÐÑ > > Ä_için belirsizliği elde edileceğinden aynı yöntemin uygulanabileceği açıktır elirsizlik Şekli : u belirsizlik halinde de L'Hospital kuralı geçerlidir Çünkü À? _ olup belirsizliği belirsizliğine dönüşür Ä M8Ð=38Ñ M8Ð>+8Ñ belirsizlik biçimindedir PÞL Ä -9= =38 una göre Þ Ä >+8 >+8 >+8 Ä -9= >+8 =38 >+8 M8 Ä_ / Ä -=- (a) ß (b) Þ_ elirsizlik Şekli : 116

41 ?? eşitliği yardımıyla Þ_ belirsizliği veya haline Þ ß Þ ß ÈÞ _ Ä+ Ä Ä Ä Ð -9=Ñ Þ -9> elirsizlik Şekli : eşitliği yardımıyla belirsizlik haline dönüştürülür?þ@ Þ_ elirsizlik Şekli : Aşağıdaki itleri hesaplayınız (a) ÞM8 Ä (b) Ð>+8ÑÞ=/- Ä 1 % (a) M8 PÞL Ä Ä Ä veya PÞL Ä ÎM8ÐÑ ÞÐM8Ñ Ä Ä ÐM8Ñ Ä ÒM8ÐÑÓ Ä ÞM8ÐÑÞ ÞM8 Þ ÞM8 Ä Ä Ê ÞM8 Ä (b) Ä >+8 >+8 Ä -9=ÐÑ =/-ÐÑ 1 1 % % elirsizliği mevcuttur PÞL =/- Ä 1 Þ =38ÐÑ % elirsizlik Şekli : (a) Aşağıdaki itleri hesaplayınız Ð Ñ belirsizlik şekli olup Ä =38 117

42 Ð Ñ Ð Ñ Ä =38 =38 Ä Þ =38 belirsizlik şekli olup PÞL Ä -9= =38-9= Ð Ñ belirsizlik şekli olup PÞL Ä =38 Ð-9=-9==38Ñ (b) Ð Ñ Ä / belirsizlik şekli olup Ð Ñ ß P Ä / / Ð/ Ñ Ä / / PÞL / Ä /// Ä P (c) ÐM8 M8Ð ÑÑ Ä belirsizlik şekli olup M8Ð Ñ M8Ð Ñ Ä_ PÞL Ä_ Ä_ M8Ð ÑM8ÐÑ (d) ÐÈ Ñ belirsizlik şekli olup Ä_ Ä_ È belirsizlik şekli olup PÞL Ä_ È É (e) Ð-=- Ä Ñ belirsizlik şekli olup =38 Ä =38 Ä =38 Ð Ñ Ð Ñ (a) ' daki gibi 118

43 ß _ ß _ elirsizlik Şekillleri : 1ÐÑ Ò0ÐÑÓ Ä+ Î Ð Ñ Ä _ şeklinde itler bu belirsizlik şekillerini üretebilirler Örneğin u tip itlerin hesabı için alınıp daha sonra iti hesaplanır _ À C Ò0ÐÑÓ 1ÐÑ ifadesinin doğal logaritması Ð Ñ / olduğunu gösteriniz Ä _ CÐÑ belirsizlik şekli olup M8CM8ÐÑ Ð Ñ C / M8C Ä Ä Ä M8ÐÑ / Ä M8C ÞM8Ð Ñ / M8ÐÑ Ä M8ÐÑ PÞL Ä Ä / / À Ð / Ñ Ä >+8 belirsizlik şekli olup CÐ/ Ñ >+8 ÊM8C>+8ÞM8Ð/ Ñ M8C Ä Ä Ä C / / / >+8 Þ Ð/ Ñ Ä >+8ÐM8Ð/ ÑÑ Ä M8Ð/ Ñ -9> belirsizlik şekli olup L'Hospital uygularsak PÞL Ä / / Þ=38 / -=/- ÐÑ Ä / 119

44 =38 Þ =38 Þ -9= Ä Ä / Ä / / Þ C Ð/Ñ / Ä Ä >+8 _ À Ä_ Î, Ð +Ñ _ belirsizlik şekli olup b Á 0, a ß, CÐ+Ñ, ÊM8C M8Ð+Ñ, P Ð+Ñ / Ä_ M8Ð+Ñ,, Ä_ / M8Ð Ä_ M8Ð+Ñ, Ñ M8Ð+Ñ _ Ä_, _ belirsizlik şekli olup PÞL + + Ä_, M8Ð Ñ _ P/ / 1 _ À Ð Ñ / Ä_ +,, Þ M8 Ð Ñ Ä_ +, + C Ð Ñ Ê M8C, Þ M8Ð Ñ M8C C / / +,ÞM8Ð Ñ + M8Ð+ Ñ / P Ä_, PÞL Ä_ + + P +Þ, /, +Þ, Not : +ß, ise Ð Ñ / Ä_ +, 10

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Coşkun YAKAR 2.BÖLÜM. LİMİT ve SÜREKLİLİK

Yrd. Doç. Dr. Coşkun YAKAR 2.BÖLÜM. LİMİT ve SÜREKLİLİK .ÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK.1. Limit: Analizin temelinde yatan birçok fikirler yada dallar aşağıda verilen üç problemin bir ürünüdür. unlar sırasi ile: Tanjant Doğrusu Problemi: Verilen bir fonksiyon 0 ve

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

5. SAYISAL İNTEGRASYON

5. SAYISAL İNTEGRASYON 5. SAYISAL İNTEGRASYON Bu kısımda sayısal integral alma yöntemlerinden bazıları anlatılacaktır. İntegral kısaca bir eğrinin veya fonksiyonun altında kalan alan olarak tanımlanabilir (Şekil 5.1 deki C œ

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4

12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4 12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1 TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar 11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

V = g. t Y = ½ gt 2 V = 2gh. Serbest Düşme NOT:

V = g. t Y = ½ gt 2 V = 2gh. Serbest Düşme NOT: Havada serbest bırakılan cisimlerin aşağı doğru düşmesi etrafımızda her zaman gördüğümüz bir olaydır. Bu düşme hareketleri, cisimleri yerin merkezine doğru çeken bir kuvvetin varlığını gösterir. Daha önceki

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33 -B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

9 B ol um Türevin Uygulamaları

9 B ol um Türevin Uygulamaları 2 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000

1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000 998 ÖSS. Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark en çok kaç olabilir? 6. ve

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Denklemdeki E ve F değerleri kökün aranacağı ÒEßFÓ sınır değerleri veya ilk değerler olarak tanımlanabilir. Denklem (1.12) de kök

Denklemdeki E ve F değerleri kökün aranacağı ÒEßFÓ sınır değerleri veya ilk değerler olarak tanımlanabilir. Denklem (1.12) de kök 1.. RGULA-FALSI veya SKANT YÖNTMİ u yöntem regula-falsi, sekant veya kiriş yöntemi olarak adlandırılmaktadır. Yöntem, öteleme işlemleri sonucunda kök değerine yani fonksiyonu sıfır yapmaya çalışan değere

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan

Detaylı