DERS 1: TEMEL KAVRAMLAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 1: TEMEL KAVRAMLAR"

Transkript

1 DERS : TEMEL KAVRAMLAR Dersin Amacı: Diferansiel denklemlerin doğasını kavramak, onları tanımlamak ve sınıflandırmak, adi diferansiel denklemleri lineer ve lineer olmama durumuna göre sınıflandırmak, bir adi diferansiel denklemin çözümünü tanımlamak ve çözümlerin açık ve kapalı formlarını anlamak. Gerekli Önbilgiler: Bu ve bundan sonraki derslerimizde Genel Matematik derslerinde görmüş olduğunuz aşağıda belirtilen kavramlara ihtiaç duulacaktır: Küme, aralık, bölge, fonksion (tek değişkenli, çok değişkenli), bağımlı-bağımsız değişken/değişkenler, fonksionun tanım ve değer kümeleri, açık ve kapalı fonksion, elementer fonksionlar (üstel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik) ve bunların limitleri, sürekliliği, türevleri (adi/kısmi), integralleri Birbiri ile ilişkili değişen niceliklerin oluşturduğu bir dünada aşıoruz. Örneğin, düşen bir cismin hızı ola göre, bir kirişin eğilmesi üzerine binen ükün ağırlığıla, bir dairenin alanı arıçapıla, fırlatılan bir cismin (mermi, roket, vb.) izlediği ol fırlatma hızı ve açısıla değişir. Matematik dilinde, değişen bu nicelikler değişken ve bir değişkenin diğer bir değişkene göre değişim oranı da türev olarak adlandırılır. Bu değişkenler ve türevleri arasındaki bir ilişkii belirten denklemlere de diferansiel denklemler adı verilir. Hem doğa bilimleri hem de sosal bilimlerdeki çoğu problemler bu şekildeki diferansiel denklemlerle temsil edilirler. Bizim burada bilmek istediğimiz değişkenlerin ve onların türevlerinin nasıl ilişkilendirildiğinden ziade değişkenlerin kendilerinin nasıl ilişkilendirildiğidir. Örneğin, bir parçacığın değişken konumu ve konumunun zamana göre değişim oranından hareketle, parçacığın konumunun zamanla nasıl ilişkili olduğu tanımlanırsa, herhangi bir anında parçacık nerededi, nerede ve nerede olacak sorularını cevaplaabiliriz. Dolaısıla, bir evrensel kanun, değişkenler ve onların türevleri aracılığıla ifade edildiğinde diferansiel denklemler elde edilmektedir. Diferansiel denklemler dersi ise değişkenler ve onların türevleri hakkında bize verilen bilgilerden hareketle bu değişkenler arasında bir ilişki tanımlama problemile alakadar olur. Genel Matematik derslerinde elementer fonksionların türevlerini bulmak için çeşitli metotlar çalışılmıştı. ( ) gibi bir fonksionun türevi ( d d ) ugun bir öntemle bulunan ( ) gibi bir başka fonksiondur. Örneğin, ln,, in ardışık türevleri:,,, vb. (a) 3 Benzer şekilde, eğer 3 z 3,,, ise bunun ve e göre kısmi türevleri: z z z z 3 3, 3 4, 6, 4, vb. (b) Yukarıda (a) ve (b) deki gibi, değişkenler ve onların türevlerini içeren denklemlere diferansiel denklemler denir.

2 Şimdi, kabul edelim ki bir arkadaşınız size (a) da ki ilk denklemi verdi. Sizin de bu denklemin nasıl elde edildiğine dair bir bilginiz ok. Size Bu denklemde sembolü ile belirtilen fonksion nedir? die sordu. İşte bu durumda siz, bu dersteki basit problemlerden biri ile karşı karşıasınız: Böle bir denklemi, bilinmeen fonksion olan ( ) i bulmak için nasıl çözersiniz? Daha ilerie gitmeden önce diferansiel denklem tanımını daha ugun şekilde burada verelim. Tanım.: Bir vea daha fazla bağımlı değişkenin, bir vea daha fazla bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denklem diferansiel denklem olarak adlandırılır. Diferansiel Denklemlerin Sınıflandırılması i) Türe Göre Sınıflandırma: Yukarıda (a) da verilen denklemler sadece bir bağımsız değişken ( ) içermekte iken (b) de verilen denklemler ve gibi iki bağımsız değişken içermektedir. Eğer bir denklem, bir vea daha fazla bağımlı değişkenin sadece bir bağımsız değişkene göre adi türevlerini içeriorsa bu tür denklemlere adi diferansiel denklemler denir. Örneğin, d d d du dv 3 e, 4, u v d d d dt dt şeklindeki denklemler adi diferansiel denklemlerdir. Eğer bir denklem, bir vea daha fazla bağımlı değişkenin iki vea daha fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevlerini içeriorsa bu tür denklemlere kısmi diferansiel denklemler denir. Örneğin, u u u u u u v t t şeklindeki denklemler kısmi diferansiel denklemlerdir.,, Bu derste, sadece adi diferansiel denklemlere odaklanacağımızdan dolaı bundan sonra adi kelimesini de ihmal edeceğiz. Kısmi diferansiel denklemler konusu Ugulamalı Matematik adı altında alacağınız derste detalı olarak işlenecektir. NOTASYON. Genellikle bağımsız değişkenler için ve t, bilinmeen fonksionlar için ise, u, v d vea w gibi harfleri; türev için ise üssü (') vea Leibniz gösterimlerinden birini kullanacağız. d Örneğin; bilinmeen bir fonksion ve bağımsız değişken olduğunda, birinci türev için vea d d ve ikinci türev için ise vea gösterimlerinden biri kullanılacaktır. Bunların anı sıra fizik d d ve mühendislikte Newton un nokta gösterimi de bazen zamana (t ) göre türevi belirtmek için

3 3 kullanılmaktadır. Bu durumda karşımıza çıkabilir. d d şeklindeki denklem şeklinde dt dt ii) Mertebee Göre Sınıflandırma: Tanım.: Bir diferansiel denklemin mertebesi (basamağı), n denklemde bulunan n 'inci türevi göstermek üzere, en büük n tamsaısıdır. Örneğin, d d 3 e d d 3 denklemi. Mertebeden bir diferansiel denklemdir. Birinci mertebeden diferansiel denklemler bazen M d, N, d şeklinde diferansiel form dediğimiz formda azılabilirler. Örneğin, d 4d denkleminde bağımlı değişkeni göstersin. Dolaısıla d d dir. Eldeki denklemin her iki anı d e bölünürse, 4 şeklide alternatif form elde edilir. Bağımsız değişken ve bilinmeen olmak üzere, n inci mertebeden bir diferansiel denklemin en genel biçimi şeklindedir. Eğer bu denklem ( n) F,,,,,, (.) n d d n ( n) f,,,,,, (.) şeklinde ifade edilirse, denkleme normal biçimindedir (formundadır) denir. Dolaısıla, amacımıza ugunsa,. ve. mertebeden diferansiel denklemleri d d f f d d, ve,, şeklindeki normal formlarında kullanabiliriz. Örneğin, 4 şeklindeki. mertebeden denklemin normal formu 4 ve 6 şeklindeki. mertebeden denklemin normal formu 6 olur. iii) Lineerliğine Göre Sınıflandırma: Tanım.3: Eğer bir diferansiel denklem bilinmeen fonksion ve onun türevlerine göre lineer ise denkleme lineerdir denir. ( n) Daha açık olarak, eğer (.) denklemindeki F fonksionu,,,, için lineer ise (.) denklemi lineerdir denir. Bunun anlamı, n inci mertebeden (.) denklemi n n d d d n n n an ( ) a ( ) a ( ) a ( ) g( ), (.3) d d d

4 4 formunda ise lineer denklem olarak adlandırılır. Bu denklemin iki önemli hali, lineer. mertebeden olması durumu n olması durumu diferansiel denklemler: n ve lineer. mertebeden d d d a ( ) a ( ) g( ) ve a ( ) a ( ) a ( ) g( ), (.4) d d d şeklindedir. Denklem (.3) e bakıldığında bir lineer diferansiel denklemin iki önemli karakteristik özelliği: ( n) Bağımlı değişken ve bunun türevleri,,, birinci dereceden, ani de dahil her bir terimin kuvveti dir. ( n),,,, terimlerinin katsaıları olan a, a, a,, an en fazla bağımsız değişken olan e bağlıdır (sabit olabilirler!). Birinci,. ve 3. mertebeden lineer diferansiel denklemler için bazı örnekler sırasıla: 3 d d d 4 d,, 5 e. 3 d d Buradaki ilk örneğin değişkeninde lineer olduğu bu denklemin 4 şeklinde alternatif formda azılmasıla kolaca görülebilir. Eğer bir denklem lineer değilse, denkleme lineer olmaan denklem denir. Bağımlı değişkenin lineer olmaan fonksionları vea türevleri, sin vea e gibi, lineer bir denklemde gözükmez. Örneğin, 4 d d 3 e, sin, 4, d d denklemleri sırasıla.,. ve 4. mertebeden lineer olmaan denklemlerdir. Bazı Lineer ve Lineer Olmaan Diferansiel Denklem Örnekleri d. mertebeden lineer diferansiel denklem d. mertebeden lineer diferansiel denklem d d e. mertebeden lineer diferansiel denklem. mertebeden lineer diferansiel denklem d d. mertebeden lineer diferansiel denklem mertebeden lineer olmaan diferansiel denklem 4 3. mertebeden lineer olmaan diferansiel denklem mertebeden lineer olmaan diferansiel denklem

5 5 Uarı: Biz bu derste genelde iki değişken içeren diferansiel denklemlerle ilgileneceğiz. Bu nedenle sadece birinci mertebeden diferansiel denklemlere has bir özellik olarak, eğer açık olarak belirtilmemişse bağımlı ve bağımsız değişken kefi olarak seçilebilir. d d şeklindeki. mertebeden diferansiel denklemi ele alalım. Örneğin, Eğer bu denklemde bağımlı değişken olarak düşünülürse denklemin lineer olmadığı d formuna bakılarak açık olarak görülmektedir. Tersine, bağımlı değişken olarak d d düşünülürse, verilen denklemi şeklinde alternatif formda azdığımızda ve bunu (.4) d denkleminin erine ve erine azılmış halile karşılaştırdığımızda lineer bir denklem olduğu anlaşılmaktadır. Bu gözlem bazen. mertebeden diferansiel denklemlerin çözümleri çalışılırken kolalık sağlaabilir. Bir Diferansiel Denklemin Çözümü 3 (.5) şeklindeki cebirsel denklemi ele alalım. 3 bu denklemin bir çözümüdür dediğimizde, 3 bu denklemi sağlar demek isteriz. Yani, verilen cebirsel denklemde erine 3 azdığımızda eşitlik sağlanır. Benzer şekilde, ( ) ln,, (.6) fonksionu ln 3, (.7) diferansiel denkleminin bir çözümüdür dediğimizde, (.6) nın (.7) i sağladığını ima ederiz. Yani, (.6) daki i ve bunun birinci ( ) ve ikinci ( ) türevlerini (.7) de erine azdığımızda eşitliğin korunduğunu görürüz. (Bunu gösteriniz!) Tanım.4: Bir I aralığında tanımlı, bu aralıkta en azından n inci mertebeden sürekli türevlere sahip ve n inci mertebeden bir diferansiel denklemde erine konduğunda denklemi özdeş olarak sağlaan herhangi bir fonksionuna bu aralıkta denklemin bir çözümü denir. Bu tanımı matematiksel sembollerle açıklaacak olursak: F ( n),,,,, şeklindeki n inci mertebeden diferansiel denklemi ele alalım. Her I için F ( n), ( ), ( ), ( ),, ( )

6 6 olacak şekilde n defa türevli bir ( ) fonksionu verilen diferansiel denkleminin bir çözümüdür. Bu durumda ( ), I aralığında verilen diferansiel denklemi sağlar deriz. Bazen bir çözümü ( ) sembolüle göstermek daha ugun olacaktır. Tanım Aralığı: Diferansiel denklemler genellikle bir aralık üzerinde incelenir. Tanım.4 te belirtilen I aralığı: tanım aralığı, varlık aralığı vea geçerlilik aralığı olarak farklı şekilde adlandırılabilir ve, a, b şeklinde bir kapalı aralık, a, şeklinde bir sonsuz aralık, a b şeklinde bir açık aralık, vb. olabilir. Örnek.5: Bir çözümün doğruluğunun sağlamasını apma fonksionunun,, (a) 3 diferansiel denkleminin bir çözümü olduğunu gösteriniz. 3 8 (b) Çözüm: (a) dan, ve dir. Bunlar (b) de, ve için erine azılırsa (c) elde edilir. Buradan da her, için eşitliğin her iki anının anı olduğu görülür. Örnek.6: ln c,, fonksionunun gösteriniz. denkleminin bir çözümü olduğunu 4 Örnek.7:,, fonksionunun 6 olduğunu gösteriniz. d d denkleminin bir çözümü Çözüm Eğrisi: Bir diferansiel denklemin bir ( ) çözümünün grafiği çözüm eğrisi olarak adlandırılır. ( ) diferansiellenebilir bir fonksion olduğundan, tanım aralığı I da süreklidir. Dolaısıla ( ) fonksionunun grafiği ile ( ) çözümünün arasında bir fark olabilir. Diğer bir deişle, ( ) fonksionunun tanım kümesi ile ( ) çözümünün tanım aralığı I anı olmak zorunda değildir. Aşağıdaki örnek bu durumu açıklamaktadır. Örnek.8: Fonksion-Çözüm i sadece fonksion olarak düşünürsek tanım kümesi haricindeki tüm reel saılardır ve grafiği anda verilmiştir. Bu fonksion noktasında süreksiz ve diferansiellenebilir değildir. Fonksion,

7 7 Çözüm, anı zamanda şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin bir çözümüdür. (Gösteriniz!) Fakat, bu denklemin bir çözümüdür dediğimizde, bir I aralığında tanımlı, bu aralıkta diferansiellenebilir ve denklemi sağlar demek isteriz. Diğer bir deişle,, ı içermeen herhangi bir I aralığında ( 5,,,8 3,,,,, vb.) denklemin bir çözümüdür. Bunların içerisinden en geniş kapsamlısını I aralığı olarak seçmek anlamlı olacağından, vea, bu I aralığı olarak alınabilir. Yandaki şekilde, aralığındaki çözüm eğrisi gösterilmektedir. Açık ve Kapalı Çözümler: Genel matematik derslerinde açık fonksion vea kısaca fonksion ve kapalı fonksion kavramlarını görmüştük. Bağımlı değişkenin sadece bağımsız değişken ve sabitler cinsinden ifade edilmiş olduğu bir çözüme açık çözüm denir. ( ) şeklinde bir açık formülle verilen bir çözümü düşünelim. Bunun üzerinde farklı işlemler apabilir ve standart kurallar kullanarak diferansielleebiliriz. Örnek.5,.6 ve.7 de verilen fonksionlar, ele alınan diferansiel denklemlerin açık çözümleridirler. Diferansiel denklemleri çözerken kullanacağımız öntemler her zaman bir açık çözüm vermeebilir. Bu durum özellikle. mertebeden lineer olmaan diferansiel denklemler için söz konusudur. Bu nedenle sıklıkla bir ( ) çözümünü kapalı olarak tanımlaan G(, ) gibi bir ifadele etinmek zorunda kalacağız. Tanım.9: G(, ) bağıntısını ve (.) denklemini sağlaan en azından bir ( ) fonksionu varsa, G(, ) bağıntısına bir I aralığında (.) denkleminin bir kapalı çözümü denir. Bir G(, ) bağıntısının hangi şartlar altında diferansiellenebilir bir ( ) fonksionu tanımlaması gerektiğini araştırmak bu dersin kapsamı dışındadır. Dolaısıla, verilen bir diferansiel denklem için ugun bir çözüm metodu kullanarak G(, ) şeklinde bir bağıntı elde ettiğimizde, bu bağıntıı ve diferansiel denklemi bir I aralığında sağlaan en az bir ( ) fonksionunun varlığını kabul edeceğiz. G, şeklinde tanımlı bir kapalı fonksionun verilen bir diferansiel denklemin çözümü olup olmadığını test etmek, f ( ) şeklinde açık olarak verilmiş bir fonksionu test etmekten daha karmaşık bir prosedür gerektirir. Çünkü G, denklemini için çözerek ler cinsinden azmak ve Tanım.9 daki ( ) fonksionunu elde etmek genelde çok zordur vea imkansızdır. Ancak, bir kapalı fonksionun bir I aralığında verilen bir diferansiel denklemi sağladığı gösterilebildiğinde, G, bağıntısı verilen diferansiel denklemin bir kapalı çözümü olarak adlandırılır. Eğer G(, ) şeklindeki kapalı çözüm eterince basit ise bunu için çözerek bir vea daha fazla açık çözüm elde edebiliriz. Aşağıdaki örnek bu durumu açıklamaktadır.

8 8 Örnek.: Bir kapalı çözümün doğruluğunun sağlamasını apma 5 ilişkisi ( 5,5) aralığında denkleminin bir kapalı çözümüdür. Gösteriniz. d diferansiel d a) Kapalı çözüm 5 Çözüm: Kapalı fonksionların türevlerinden hareketle d d d d 5 5 d d d d olduğu görülür. 5 bağıntısı için çözülürse bulunur. Bu durumda ( ) 5 ( ) 5 5 ve fonksionları verilen bağıntıı b) Açık çözüm 5, 5 5 c) Açık çözüm 5, 5 5 sağlarlar (ani: 5 ve 5 ) ve ( 5,5) aralığında tanımlı kapalı çözümlerdir. Yandaki şekillerde verilen çözüm eğrileri (a) şeklinde verilen kapalı çözümün grafiğinin üst ve alt arım düzlemlerdeki parçalarıdır. Uarı: c herhangi bir sabit olmak üzere c formundaki herhangi bir bağıntı verilen diferansiel denklemi sağlar. Buna rağmen bağıntının her zaman reel saı sisteminde anlamlı olması gerekmektedir. Dolaısıla, örneğin c 5 alındığında elde edilen 5 bağıntısının verilen diferansiel denklemin bir çözümü olduğunu söleemeiz. Neden? Örnek.: 3 3 G, 3, (a) ifadesinin (b) F,,, denkleminin bir kapalı çözümü olup olmadığını test ediniz.

9 9 Çözüm: (a) ifadesinin diferansielini alırsak olur. Bu düzenlenirse olduğu görülür. Bir önceki örneğin aksine burada (a) ifadesini için çözerek ( ) fonksionunu tanımlamak kola değildir. Bu örnek için böle bir fonksion sonsuz değişik formda seçilebilir. Ancak seçilecek olan bu fonksion tüm ler için verilen denklemin bir çözümü olmaabilir. Bir Diferansiel Denklemin Çözümler Ailesi (Çözüm Eğrileri Ailesi): Bazı kanaklarda verilen bir diferansiel denklemin bir ( ) çözümü denklemin bir integrali ve bu çözümün grafiği de integral eğrisi olarak anılır. Genel Matematik derslerinden hatırlanacağı üzere, bir belirsiz integral hesaplanırken tek bir integral sabiti (c ) kullanırız. Benzer şekilde, F,, gibi. mertebeden bir adi diferansiel denklem çözdüğümüzde, genelde tek bir kefi sabit vea parametre (c ) içeren bir çözüm elde ederiz. Bu şekilde kefi bir sabit içeren çözüm G,, c şeklinde bir çözümler ailesi olarak simgelenir ve bir-parametreli çözümler ailesi olarak adlandırılır. ( n) F,,,,, şeklinde n. mertebeden bir diferansiel denklem çözüldüğünde G,, c, c,, c şeklinde n -parametreli çözümler ailesi bulunmaa çalışılır. Bunun anlamı, n bu parametre vea parametrelerin sınırsız saıda seçimine karşılık olarak tek bir diferansiel denklem sonsuz saıda çözüme sahip olabilir. Bir diferansiel denklemin kefi parametreler içermeen bir çözümüne bu denklemin bir özel çözümü denir. c cos Örneğin, c cos şeklindeki bir-parametreli aile sin şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin, aralığında bir açık çözümüdür (Gösteriniz!). Yandaki şekilde bu çözümler ailesinin bazı üelerinin grafikleri görülmektedir. Şekilde siah renkte ve kalın gösterilmiş olan çözüm c durumuna karşı gelen cos özel çözümüdür. Benzer şekilde, ce ce şeklindeki iki-parametreli aile şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin, aralığında bir açık çözümüdür (Gösteriniz!). Bu denklemin bazı özel çözümleri c ve c kefi sabitlerine verilecek farklı değerlerle elde edilebilir. Örneğin:, e e, 3e e, vb. Bazen, verilen bir diferansiel denklemin bir çözümü bu denklemin çözümler ailesinin bir üesi olmaabilir. Yani bu çözüm, çözümler ailesindeki parametrelere verilen değerlerle elde edilemeebilir. Bu şekildeki ekstra bir çözüme tekil çözüm denir. Örneğin, c 4 şeklindeki

10 bir-parametreli aile d d şeklindeki diferansiel denklemin, aralığında bir açık çözümüdür. Bunun anı sıra da bu denklemin bir çözümüdür. Ancak bu çözüm denklemin bir parametreli çözümler ailesindeki c e verilecek herhangi bir değerle elde edilemez. Dolaısıla bu denklemin bir tekil çözümüdür. Bir diferansiel denklemin bir I aralığında sıfır olan çözümüne bu denklemin bir aşikar çözümü denir. Parçalı Tanımlı Çözüm: 4 c şeklindeki bir-parametreli aile 4 diferansiel denkleminin, aralığında bir-parametreli çözüm ailesidir. Bu ailenin üelerinden ikisi c ve c alınarak elde edilmiş ve grafikleri andaki şekilde görülmektedir. Bazı açık çözümler Parçalı tanımlı çözüm 4, şeklindeki parçalı tanımlı diferansiellenebilir 4, fonksion ukarıda verilen diferansiel denklemin bir özel çözümüdür. 4 Fakat bu çözüm c ailesinden c e verilecek tek bir değerle elde edilemez. Bu çözüm, için c ve için c seçimlerinden elde edilmiştir. ( n) Tanım.: Eğer n. mertebeden F aralığındaki tüm çözümleri,,,,, şeklindeki bir denklemin bir I G,, c, c,, cn şeklindeki n-parametreli aileden c i i,,, n lere verilecek ugun değerlerle elde edilebiliorsa bu ailee diferansiel denklemin genel çözümü denir. Farklı Sembolleri Kullanma: c ve c kefi sabitler olmak üzere c cos 4t ve c sin 4t fonksionlarının her ikisi de 6 şeklindeki lineer diferansiel denklemin çözümleridirler. c cos 4t nin t e göre birinci ve ikinci türevleri sırasıla: 4c sin 4t, 6c cos 4t. Bunları denklemde erine azarsak: 6 6c cos 4t 6c cos 4t olur. Benzer şekilde: c sin 4t nin t e göre birinci ve ikinci türevleri sırasıla: 4c cos 4t, 6c sin 4t. Buradan da 6 6c sin 4t 6c sin 4t olduğu görülür. Son olarak, bu çözümlerin bir lineer birleşimi olan c cos 4t c sin 4t şeklindeki iki-parametreli aile de verilen diferansiel denklemin bir çözümüdür (Gösteriniz!).

11 Diferansiel Denklem Sistemleri: Buraa kadar sadece bir bilinmeen fonksion içeren bir diferansiel denklemi tartıştık. Fakat teori ve anı zamanda birçok ugulamada diferansiel denklem sistemlerile karşılaşabiliriz. Tek bağımsız değişkene bağlı iki vea daha fazla bilinmeen fonksionun türevlerini içeren iki vea daha fazla denkleme bir diferansiel denklem sistemi denir. Örneğin, ve bağımlı değişkenler ve t bağımsız değişken olmak üzere birinci mertebeden bir diferansiel denklem sistemi: d dt d f ( t,, ) g( t,, ) dt şeklindedir. Bu şekildeki bir sistemin çözümü de ortak bir I aralığında tanımlı ve bu aralıkta sistemin her bir denklemini sağlaan ( t) ve ( ) t şeklinde diferansiellenebilir bir fonksion çiftidir. Başlangıç Değer Problemleri Bazen bir diferansiel denklemin verilen bazı an şartları sağlaan bir çözümünü bulmala ilgileniriz. Bu an şartlar bilinmeen fonksion vea türevleri üzerine konulmuş olabilir. I aralığında,,, n kefi olarak belirlenmiş reel sabitler olmak üzere, noktasını da içeren bir Çöz: n d ( n) f,,,,, n d Koşulları uarınca: ( ), ( ),, ( n) n (.8) şeklinde verilmiş probleme bir başlangıç değer problemi adı verilir. Burada ( n) ( ), ( ),, n e başlangıç koşulları ve,,, n değerlerine de başlangıç değerleri denir. Birinci ve İkinci Mertebeden Başlangıç Değer Problemleri: (.8) ile verilen problem anı zamanda n. mertebeden başlangıç değer problemi olarak da adlandırılır. Bu durumda. ve. mertebeden başlangıç değer problemleri sırasıla: d f, d ( ) ve d f,, d ( ), ( ) şeklinde olurlar. Bu iki problem geometrik terimlerle aşağıdaki gibi kolaca ifade edilebilirler.

12 , I Birinci mertebeden başlangıç değer problemi için: noktasını da içeren bir I aralığında f (, ) denkleminin, grafiği, noktasından geçen ( ) gibi bir çözümü araştırılır. Bu durum için çözüm eğrisi andaki şekilde gösterilmiştir.. mertebeden başlangıç değer problemin çözümü, I m İkinci mertebeden başlangıç değer problemi için: noktasını da içeren bir I aralığında f (,, ) denkleminin, grafiği, noktasından geçen ve anı zamanda bu noktadaki eğimi saısı olan ( ) gibi bir çözümü araştırılır. Bu durum için çözüm eğrisi andaki şekilde gösterilmiştir.. mertebeden başlangıç değer problemin çözümü Başlangıç koşulları terimi fiziksel sistemlerden gelmektedir. t zamanı belirten bağımsız değişken olmak üzere, t gibi bir başlangıç zamanında ( t) ve ( t ) sırasıla bir cismin konum ve hızını temsil etmektedirler. (.8) de verilen problemi çözmek için: ilk önce verilen diferansiel denklemin n -parametreli çözümler ailesini bulmak ve daha sonra da noktasında verilen n tane başlangıç koşulunu kullanarak ailedeki n tane sabitin saısal değerlerini tanımlamak gerekmektedir. Sonuçta elde edilen özel çözüm noktasını da içeren I aralığında tanımlı olur. Örnek.3: Birinci mertebeden başlangıç değer problemi ce, şeklindeki. mertebeden lineer diferansiel denklemin bir-parametreli çözümler ailesidir (Gösteriniz!) ve bu ailedeki tüm çözümler, aralığında tanımlıdırlar. Eğer buna () 4 şeklinde bir başlangıç koşulu daatırsak, çözümler ailesindeki c sabiti, bu ailede ve 4 erine azıldığında 4 ce dan c 4 olarak bulunur. Dolaısıla 4e,, () 4 şeklindeki başlangıç değer probleminin bir çözümü olur. Eğer bir çözüm eğrisinin, 4 noktası erine, 3 noktasından geçmesi istenirse () 3 den durumda 3e,, () 3 başlangıç değer probleminin bir çözümü olmuş olur. 3 ce c 3e bulunur. Bu Yandaki şekilde bu iki çözüm eğrisi koulaştırılmış olarak görülmektedir.

13 3 Bir sonraki örnekte ine. mertebeden bir başlangıç değer problemini ele alıoruz. Bu örnekte, ( ) çözümünün tanımlı olduğu I aralığının başlangıç koşulu olan ( ) a nasıl bağlı olduğuna dikkat etmeliiz. Örnek.4: c, şeklindeki. mertebeden diferansiel denklemin birparametreli çözümler ailesidir (Gösteriniz!). Eğer buna () şeklinde bir başlangıç koşulu daatırsak, çözümler ailesindeki c sabiti, bu ailede ve erine azıldığında den c olarak bulunur. Dolaısıla c olarak elde edilir. Aşağıda bu örnekle ilgili aırt edici bazı özellikler vurgulanmaktadır: fonksion olarak düşünüldüğünde: tanım kümesi haricindeki tüm reel saılardır. diferansiel denkleminin bir çözümü olarak düşünüldüğünde: çözümünün tanımlı olduğu I aralığı, ( ) in tanımlı ve diferansiellenebilir olduğu herhangi bir aralık olabilir. Yandaki şekle bakıldığında bu şekildeki aralıklardan en geniş olanları,, (,) ve (, ) dur., () başlangıç değer probleminin çözümü olarak düşünüldüğünde: çözümünün tanımlı olduğu I aralığı, ( ) in tanımlı, diferansiellenebilir ve noktasını içeren herhangi bir aralık olabilir. Bu koşulları sağlaan en geniş aralığın (,) aralığı olduğu şekilde görülmektedir. Örnek.5: İkinci mertebeden başlangıç değer problemi c cos 4t c sin 4t ifadesi 6 denkleminin iki-parametreli çözümler ailesidir. Bu daha önce doğrulanmıştı. Şimdi başlangıç değer probleminin bir çözümünü bulalım. Çözüm: İlk olarak verilen çözümler ailesine 6,, (.9) koşulunu ugulaalım. Buradan c cos 4 c sin 4 c cos c sin c

14 4 olur. Şimdi de verilen çözümler ailesine koşulunu ugulaalım. Bunun için ilk önce çözümler ailesinin türevini alıp daha sonrada elde edilen sonuçta t ve kullandığımızda 4c sin 4t 4c cos 4t 4c sin 4c cos c 4 bulunur. Dolaısıla (.9) probleminin bir çözümü cos 4t sin 4t olur. 4 Varlık ve Teklik: Bir başlangıç değer problemi için iki soru akla gelmektedir: Problemin bir çözümü var mı? Eğer bir çözüm varsa bu çözüm tek mi? d d f, ( ) şeklindeki birinci mertebeden başlangıç değer problemi için: Varlık Teklik d d f, denklemi çözümlere sahip mi? Çözüm eğrilerinden herhangi biri noktasından geçior mu?,, noktasından geçen tek bir çözüm eğrisi olduğundan ne zaman emin olabiliriz? Örnekler.3 ve.5 de çözümü kelimesi erine bir çözümü kullanılmıştır. Buradaki bir diğer çözümlerin de olabilme ihtimalini belirtmek amacıla bilerek kullanılmıştır. Bu noktada her bir problemin tek çözümünün olduğuna henüz değinilmemiştir. Sıradaki örnek iki çözümü olan bir başlangıç değer problemini vermektedir. Örnek.6: ve 4 6 fonksionlarının her ikisi de ve () başlangıç koşulunu sağlarlar. Dolaısıla d d diferansiel denklemini d, () d başlangıç değer problemi en azından iki çözüme sahiptir. Fizik ve mühendislikten bir problem diferansiel denklemler cinsinden ifade edildiğinde, istenen çözümün mevcut ve tek olması gereklidir. Bu derste göreceğimiz çoğu diferansiel denklemlerin çözümlerinin var olduğu ve başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin muhtemelen tek olduğu düşünülse de gerçek haat bu şekilde sade olmaabilir. Dolaısıla, bir başlangıç değer problemini çözmee başlamadan önce bu problemin çözümünün varlığı ve eğer varsa bu çözümün tekliği hakkında bilgi sahibi olma arzu edilir. İlk olarak birinci mertebeden diferansiel denklemleri ele alacağımızdan dolaı burada

15 5 d d f, ( ) (.) şeklindeki bir başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliğini garanti eden eter koşulları vereceğiz. İkinci mertebeden bir başlangıç değer problemi için benzer durum daha sonraki derslerde ele alınacaktır. Teorem.: Birinci mertebeden başlangıç değer problemi için varlık-teklik teoremi d c a R I, b Yandaki şekilde görüldüğü gibi R, düzleminde, noktasını içine alan bir dikdörtgen bölge olsun. Eğer f, ve f bu bölge üzerinde sürekli iseler: a, b aralığında, h olmak üzere h, h I aralığı ve bu aralıkta şeklinde bir tanımlı, (.) probleminin çözümü olan, tek bir ( ) fonksionu vardır. f, ve f nin sürekliliğini belirlemek kola olduğundan dolaı ukarıdaki sonuç en popüler varlık-teklik teoremlerinden biridir. Örnek.7: Örnek.6 da d d en azından iki çözümünün olduğu görülmüştü. diferansiel denkleminin grafiği, noktasından geçen f, ve f fonksionları ile tanımlanan üst arı düzlemde süreklidirler. Dolaısıla ukarıdaki teorem garanti eder ki: olmak üzere üst arı düzlemde merkezli bir aralık vardır ve bu aralık üzerinde verilen diferansiel denklemin herhangi bir noktasından geçen tek çözümü vardır. Buna göre, d d, (), başlangıç değer problemini hiç çözmeden: merkezli bir aralık olduğunu ve bu aralık üzerinde verilen problemin tek çözümü olduğunu söleebiliriz. Örnek.8:, () 4 ve, () 3 başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlığı-tekliği hakkında ne söleebilir siniz? n Parametreli Çözümler Ailesi Bilinen Bir Diferansiel Denklemi Bulma Metodu Bu kısımda n parametreli çözümler ailesi bilinen bir diferansiel denklemin nasıl bulunacağını göreceğiz. Unutmamak gerekir ki; böle bir ailenin n tane kefi sabit içermesi zorunlu olsa bile, çözümü bu olan diferansiel denklem böle sabitler içermez. Dolaısıla, bu tipteki problemleri çözmek için bu sabitlerin ok edilmesi gerekir. Maalesef, bu sabitleri ok etmenin bir standart metodunu kullanmak her zaman en kola ol olmaabilir. Çoğunlukla standartlaştırılamaan ve sizin

16 6 aratıcılığınıza bağlı olan daha basit öntemler vardır. Yapmamız gereken: verilen ailede görülen parametre saısı kadar ardışık türev alınır, en son elde edilen ifadede kefi sabit/sabitler bulunmuorsa istenen denklemdir, eğer hala kefi sabitler bulunuorsa bunlar eldeki diğer ifadeler kullanılarak ugun öntemlerle ok edilir ve istenen denklem bulunmuş olur. Bunları örnekler üzerinde göreceğiz. Örnek.9: Bir-parametreli çözümler ailesi şeklinde olan bir diferansiel denklem bulunuz. c cos (a) Çözüm: Yukarıda sölediklerimizi göz önüne alırsak, verilen (a) ailesi sadece bir kefi sabit içerdiğinden dolaı birinci mertebeden bir diferansiel denklemin çözümü olduğunu kabul edeceğiz. (a) nın türevini alırsak, c sin (b) elde edilir. Bu aradığımız diferansiel denklem olamaz çünkü c parametresini içermektedir. Bunu ok etmek için (a) ı sin ve (b) i cos ile çarpıp taraf tarafa toplaalım. Bu durumda sin cos sin cos cos sin elde edilir. Bunu düzenlersek istenen diferansiel denklemi olarak elde ederiz. Örnek.: İki-parametreli çözümler ailesi tan, şeklinde olan bir diferansiel denklem bulunuz. Örnek.: İki-parametreli çözümler ailesi şeklinde olan bir diferansiel denklem bulunuz. c e c e c sin c cos 3,, (c) Örnek.: Bir parametreli çözümler ailesi merkezleri orijinde olan çemberler ailesi olarak temsil edilen bir diferansiel denklem bulunuz.

17 7 Ders : Alıştırmalar. Aşağıdaki diferansiel denklemleri sınıflandırınız. a) d cos d b) 3 3 d 4 d c) 4 5 cos e) d d) 5 (4) 3 f) t t 6 ğ) d d ç) e 3 4 d d 3 d d u du u r u g) d d ı) sin cos 3 i) h) cos dr dr d R dt k R. Aşağıda sağ sütunda verilen fonksionların sol sütunda verilen diferansiel denklemlerin çözümleri olduklarını gösteriniz. a) e b) e e c) d d arcsin ç) f ( ) f ( ) f ( ) e d) f) dr cos r sin d r a sec g) ae be e) ğ) e h) e cos d ı) 4 dt 6 6 t e 5 5 i) tan cos ln sec tan 3. Aşağıda verilen birinci mertebeden diferansiel denklemlerin belirtilen bağımlı değişkenlere göre lineer olup olmadıklarını belirleiniz. d d ; de; te b) udv v uv ue du ; u da; v de u a)

18 8 k 4. e fonksionunun aşağıda verilen diferansiel denklemlerin bir çözümü olabilmesi için k nın alabileceği değerleri belirleiniz. a) 3 b) 7 3 c) 5 6 d) 7 4 k 5. fonksionunun aşağıda verilen diferansiel denklemlerin bir çözümü olabilmesi için k nın alabileceği değerleri belirleiniz. a) b) Aşağıda verilen fonksion çiftlerinin verilen diferansiel denklem sistemlerinin, aralığında bir çözümü olduğunu gösteriniz. a) d 3 t 6t dt e 3e, d e 5e 5 3 dt t 6t b) d t t 4 e cos t sin t e dt 5, d t 4 e cos t sin t e dt 5 t 7. c, şeklindeki birinci mertebeden diferansiel denklemin birparametreli çözümler ailesi olduğuna göre; bu diferansiel denklem ile birlikte aşağıdaki başlangıç koşullarının oluşturdukları birinci mertebeden başlangıç değer problemlerinin her biri için bir çözüm bulunuz ve bu çözümlerin tanımlı oldukları en geniş I aralıklarını belirtiniz. a) ( ) b) () c) () d) 3 4 c cost c sin t, şeklindeki. mertebeden diferansiel denklemin -parametreli 8. çözümler ailesi olduğuna göre; bu diferansiel denklem ile birlikte aşağıdaki başlangıç koşullarının oluşturdukları. mertebeden başlangıç değer problemlerinin her biri için bir çözüm. a) () () 8 b) ( 4) ( 4) c) ( ) ( ) d) ( 6) ( 6)

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri Saısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! NÜMERİK ANALİZ Saısal Yöntemlere Giriş Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 Günümüzde ortaa konan problemlerin bazılarının analitik çözümleri apılamamaktadır. Analitik

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi

3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi 3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsaılı Diferansiel Denklemi (n). (n) + (n-). (n-) + + 2. +. + = Q() Değişken dönüşümü apalım. Diferansiel denklemi sabit katsaılı ( erine t bağımsız değişkeni )

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1 ..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1 TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun

Detaylı

2. İKİ BOYUTLU MATEMATİKSEL MODELLER

2. İKİ BOYUTLU MATEMATİKSEL MODELLER . İKİ BOYULU MAEMAİKSEL MODELLER.. Genel Bilgiler Şimdi konform dönüşüm teknikleri ile çözülebilen kararlı durum ısı akışı elektrostatik ve ideal sıvı akışı ile ilgili problemleri göz önüne alacağız. Konform

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 3 HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 2 EŞ-ANLI DENKLEM SİSTEMLERİ Bu bölümde analitik ve grafik olarak eş-anlı denklem sistemlerinin

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

2.2 Bazıözel fonksiyonlar

2.2 Bazıözel fonksiyonlar . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Önce biz sorduk kpss 0 1 8 50 Soruda 0 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Fikret Hemek ÖABT Lise Matematik Analiz-Diferansiel Denklemler ISBN 978-605-18-911-4

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz.

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz. Diferansiel Denklemler I /8 Çalışma Soruları 9.0.04 A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!. ( e +. d + ( e + k. d 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için ugun k saısını belirleiniz. Bu k saısı

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.

Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir. .. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

FONKSİYONUN TANIMI ve FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

FONKSİYONUN TANIMI ve FONKSİYON ÇEŞİTLERİ KONU: Fonksionlar FONKSİYONUN TANIMI ve FONKSİYON ÇEŞİTLERİ. A,, kümesinden B a, b, c, d kümesine tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiondur?,a,,b,,c,,d,a,,d,,a,a,,b,,c,,d,b,, c,,d,a,,b,,c,,a.

Detaylı

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

5. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

5. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 5. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 3 DOĞRUSAL OLMAYAN FONKSĠYONLAR VE ĠKTĠSADĠ UYGULAMALARI Bu bölümde öğrencilere ekonomi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;

6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere; log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

11 SINIF MATEMATİK. Fonksiyonlarda Uygulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri

11 SINIF MATEMATİK. Fonksiyonlarda Uygulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri SINIF MATEMATİK Fonksionlarda Ugulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri Fonksionlarla İlgili Ugulamalar İkinci Dereceden Fonksionlar ve Grafikleri Fonksionların Dönüşümleri Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları

Diferansiyel Denklemler I (M) Çalışma Soruları Diferansiel Denklemler I (M Çalışma Soruları 800 ( A Aşağıdaki diferansiel denklemlerin çözümlerini bulunuz ( ( = d n d 0 d ( sin cos d = 0 3 ( cos sin d sin d = 0 4 5 6 7 ( 5 d ( 5 d = 0 ( ( = d d 0 =

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 1. 9 5. 69 A) (, ] B) (, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) A) B) {} C) {, } D) R E) R {}. 5 6. 1 A) (, 5) B) [, 5] C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) A) (, 1] B) (, ) C) [1, ) D) (, ] [1,

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri

Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri Doğrusal Fonksionlar, Karesel Fonksionlar, Polinomlar ve Rasonel Fonksionlar, Fonksion Çizimleri Bir Fonksionun Koordinat Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği

Detaylı

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK FONKSİYONLAR - I

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK FONKSİYONLAR - I ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK FONKSİYONLAR - I ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ISBN 978 65 7-56 - Dizgi ÇAP Dizgi

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya

Detaylı

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler 1 0.1. Elipsoid 2 0.2. Hiperboloid 4 0.2.1. Tek Kanatlı Hiperboloid 4 0.2.2. Çift Kanatlı Hiperboloid 4 0.3. Paraboloid 5 0.3.1. Eliptik Paraboloid

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler DERS 5 Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 5.1. Çok Değişkenli Fonksionlar. Reel saılar kümesi R ile gösterilmek üere ve her n için olarak tanımlanır. R R 3 {( ): R} = {( ) : R} = {( L ): L R} n

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

Düzlem Elektromanyetik Dalgalar

Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Düzlem Elektromanetik Dalgalar Düzgün Düzlem Dalga: E nin, (benzer şekilde H nin) aılma önüne dik sonsuz düzlemlerde, anı öne, anı genliğe ve anı faza sahip olduğu özel bir Maxwell denklemleri çözümüdür.

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar - I

DERS 2. Fonksiyonlar - I DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı ) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı