SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II AĞ MODELLERİ DERS NOTLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II AĞ MODELLERİ DERS NOTLARI"

Transkript

1 SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II AĞ MODELLERİ DERS NOTLARI

2 Konular Ağ / Şebeke/Network Modelleri En Kısa Yol Problemi Dijkstra Algoritması Floyd Algoritması Maksimum Akış Modeli Minimum Maliyetli Network (Ağ) Akış problemleri Minimum Kapsayan Ağaç Network Simpleksi

3 NETWORK (AĞ) MODELLERİ Ağ / Şebeke Modelleri Ağ olarak modellenip çözülebilecek çeşitli problemlere rastlamak mümkündür: Bina, gemi, uçak, araç vs yapımı, En kısa yol, hat, kablo, boru döşeme, vs Yollardan, borulardan, kablolardan maksimum akış Bunlar doğrusal programlama ile de çözülebilir ancak ağ modelleri ile çözmek daha etkilidir

4 Şebeke, bağlantılar ile birbirine bağlanmış düğümlerden oluşur Bir şebekeyi (N, A) notasyonu ile ifade ettiğimizde N, düğümler kümesini, A ise bağlantılar kümesini gösterir N = {,,,, } A = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}

5 Bir bağlantının bir yöne akışı pozitif, diğer yöne akışı sıfır ise o bağlantı yönlendirilmiş veya yönelimlidir Yönlendirilmiş bir şebekenin tüm bağlantıları yönlendirilmiştir Yol, her bir daldaki akışın yönüne bakılmaksızın iki düğümü birleştiren ayrı dalların sırasıdır Yol bir düğümü kendisine bağlıyorsa bir döngü veya çevrim oluşur Örneğin yukarıdaki şekilde (, ), (, ), (, ) dalları bir döngü oluşturur Yönlendirilmiş döngüde (veya bir devrede) tüm dallar aynı yöne yöneltilmiştir Bağlı şebeke, her iki ayrı düğümün en az bir yolla bağlanmasıdır Ağaç, bağlı şebekenin tüm düğümlerinin sadece bir altkümesini ilgilendiren bir şebekedir Kapsayan ağaç ise şebekenin tüm düğümlerini hiçbir döngüye izin vermeden birbirine bağlar Burada kapsayan ağaç şebekenin tüm düğümlerini bağlayan ağaçtır

6 Ağaç Kapsayan ağaç

7 Örnek : Aşağıdaki şebeke için (a) bir yol, (b) bir döngü, (c) bir yönlendirilmiş döngü veya devre, (d) bir ağaç ve (e) bir kapsayan ağaç belirleyin (a) Yol: --- (b) Döngü: ---- (c) Yönlendirilmiş Döngü: ---- (d) Ağaç: (e) Kapsayan Ağaç:

8 Örnek : Aşağıdaki şebeke için (a) bir yol, (b) bir döngü, (c) bir yönlendirilmiş döngü veya devre, (d) bir ağaç ve (e) bir kapsayan ağaç belirleyin (a) Yol: -- (b) Döngü: --- (c) Yönlendirilmiş Döngü: Yok (d) Ağaç: (e) Kapsayan Ağaç:

9 Örnek : Aşağıda tanımlanmış olan şebekeyi çizin N = {,,,,, 6} A = {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,6), (,), (,6)} 6

10 EN KISA YOL PROBLEMİ

11 EN KISA YOL PROBLEMİ Bu bölümde networkdeki her bir bağlantının bir uzunluğu olduğunu kabul ediyoruz Belirli bir düğümden başlayarak (diyelim ki düğüm olsun) diğer herhangi bir düğüme olan en kısa yolu arayan problemler en kısa yol problemleridir ÖRNEK-: Powerco fabrikalardan şehirlere elektrik üretip dağıtan bir firmadır Elektrik fabrika (düğüm ) den şehir e (düğüm 6) dağıtılacaktır Bazı Ara istasyonlardan geçilmesi gerekmektedir (Düğüm -) Aşağıdaki şekil her bir düğüm arasındaki uzaklığı göstermektedir Uzaklık arttıkça elektrik transfer maliyetinin artacağı düşünülebilir Bu problem en kısa yol problemidir Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar

12 EN KISA YOL PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Dijkstra Algoritması Floyd Algoritması DIJKSTRA ALGORİTMASI: Bütün bağlantıların nonnegatif olduğu networkde Dijkstra algoritması bir düğümden (diyelim ki düğüm ) diğer bütün düğümlere en kısa yolu bulmada kullanılır ADIM : Başlangıçta çıkış düğümü (düğüm ) 0 olarak kalıcı şekilde etiketlenir Düğüm e tek bağlantı ile bağlı bütün düğümler bağlantı uzunluğu ile geçici etiketlenir Diğer bütün düğümler geçici olarak değeri ile etiketlenir ADIM : Şimdi geçici olarak etiketlenmiş düğümlerden etiketi en küçük düğüm (düğüm i) seçilir ve kalıcı olarak etiketlenir Şimdi düğüm i ye tek bağlantı ile bağlı düğümler (düğüm j) bulunur ve aşağıdaki işlem uygulanır geçici etiketleri yenilenir düğüm j nin aktif geçici etiketi Min düğüm i nin kalıcı etiketi + bağlantı A(i,j) nin uzunluğu ADIM : Şimdi geçici etiketlenmiş düğümlerden etiketi en küçük olan düğümü seçeriz (düğüm i ) ve kalıcı olarak etiketleriz Adım yi bütün düğümler etiketlenene kadar tekrarlarız Böylece çıkış düğümünden bütün düğümlere kadar en kısa yolu bulmuş oluruz En kısa yolu varış düğümünden geriye doğru okuruz

13 Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar ÇÖZÜM-: Düğümler -> ( 6) Etiketler (0* ) (Adım ) Etiketler (0* * ) (Adım ) Düğüm e tek bağlantıyla bağlı düğümleri buluruz (Düğüm ) Düğüm in geçici etiketi = Min {, + } = 6 Şimdi yeni etiketler aşağıdaki gibi olur Etiketler (0* * 6 ) (Adım ) Şimdi en küçük label (Düğüm = ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 6 ) (Adım ) Adım tekrar edilir Bu adımda bulunan en küçük etiketli düğüm (Düğüm ) e tek bağlantıyla bağlı düğümlerin geçici etiketleri yinelenir Düğüm ün geçici etiketi = Min {, +} = 7 Düğüm in geçici etiketi = Min { 6, +} = 6 Bu yeni etiketleri yazarız (Adım ) Etiketler (0* * * 7 6 ) (Adım )

14 Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar ÇÖZÜM-: Şimdi en küçük etiket (Düğüm = 6 ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 7 6* ) (Adım ) Adım tekrar edilir Bu adımda bulunan en küçük etiketli düğüm (Düğüm ) e tek bağlantıyla bağlı düğümlerin geçici etiketleri yinelenir Düğüm 6 nın geçici etiketi = Min {, 6+} = 8 (Adım ) Etiketler (0* * * 7 6* 8) (Adım )

15 Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar ÇÖZÜM-: Şimdi en küçük label (Düğüm = 7 ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 7* 6* 8) (Adım ) Adım tekrar edilir Bu adımda bulunan en küçük etiketli düğüm (Düğüm ) e tek bağlantıyla bağlı düğümlerin geçici etiketleri yinelenir Düğüm 6 nın geçici etiketi = Min {8, 7+} = 8 (Adım ) Etiketler (0* * * 7* 6* 8) (Adım ) Şimdi en küçük label (Düğüm 6= 8 ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 7* 6* 8*) (Adım ) Bütün düğümler etiketlendiğinden algoritma bitmiştir Şimdi geriye doğru çözümü okuruz -- En kısa yol = 6 olur --

16 FLOYD ALGORİTMASI Floyd algoritması Dijkstra algoritmasından daha geneldir Çünkü şebekedeki herhangi iki düğüm arasındaki en kısa yolu belirler Algoritma, n düğümlü şebekeyi n satırlı ve n sütunlu kare matris olarak gösterir Matrisin (i, j) elemanı, i düğümden j düğüme olan d ij uzaklığını verir i doğrudan j ye bağlı ise d ij sonlu, bağlı değilse sonsuzdur

17 Floyd algoritması Eğer d ij + d jk d ik ise, i den başlayıp j den geçerek k ya ulaşmak daha kısadır Bu durumda i den k ya doğrudan yolu, i j k dolaylı yolu ile değiştirmek optimumu verir Bu üçlü işlem değişimi, aşağıdaki adımlar kullanılarak şebekeye sistematik olarak uygulanır j d ij d jk i d ik k

18 Floyd algoritması 0 Adım: D 0 = Başlangıç uzaklık matrisi S 0 = Düğüm sırası matrisi j n d d j d n d d j d n D 0 = i d i d i d ij d in n d n d n d nj j n j n j n S 0 = i j n n j

19 Floyd algoritması k Genel Adım: k satırı ve k sütunu anahtar (pivot) satır ve anahtar (pivot) sütun olarak tanımla Tüm i ve j ler için D k- deki her bir d ij elemanına üçlü işlemi uygula Eğer burada d ik + d kj d ij, (i k, j k ve i j) sağlanıyorsa aşağıdaki değişiklikleri yap (a) D k- de d ij yi d ik + d kj ile değiştirerek D k yı oluştur (b) S k- de S ij yi k ile değiştirerek S k yı oluştur k = k + olarak belirle ve k adımı tekrar et

20 Floyd algoritması k Genel Adım: Eğer anahtar satır ve sütundaki karelerle gösterilen elemanların toplamı, daireyle gösterilen ilgili arakesit elemanından küçükse, arakesit uzaklığı yerine anahtar uzaklıkların toplamını yazmak optimumdur Sütun j Anahtar sütun k Sütun q Satır i d ij d ik d iq Anahtar satır k d kj d kq Satır p d pj d pk d pq

21 Floyd algoritması k Genel Adım: n adım sonra i ve j düğümleri arasındaki en kısa yolu D n ve S n matrislerinden aşağıdaki kuralları kullanarak belirleriz: D n deki d ij, i ve j düğümleri arasındaki en kısa yolu verir S n deki i k j yolunu veren k = S ij ara düğümünü belirle Eğer S ik = k ve S kj = j ise dur; yolun tüm ara düğümleri bulunmuştur Aksi halde i ve k düğümleri ve k ve j düğümleri arasındaki prosedürü tekrar et

22 Floyd algoritması Örnek: Aşağıdaki şebeke için her iki düğüm arasındaki en kısa yolları bulun Uzaklıklar km cinsinden bağlantıların üzerinde belirtilmiştir (, ) bağlantısı düğümden düğüme trafiğin olmadığı tek yönlü bir bağlantıdır Diğer düğümlerde iki yönde de trafik akışına izin verilmektedir 0 6

23 Floyd algoritması Örnek: 0 Yineleme 0 6 D S 0

24 Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D S

25 Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D S

26 Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D S

27 Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D S Herhangi bir iyileşme yoktur İşlemler bitmiştir

28 Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D S Örneğin düğümünden düğümüne en kısa uzaklık d = dir Yol: S = ; S = ; S = O halde: den e yol

29 MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMLERİ

30 MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMİ: Gerçek hayatta pek çok durum bağlantıların kapasitelerinin olduğu ve çıkış düğümünden varış düğümüne maksimum miktarda ürünün taşınabileceği ağ problemleri olarak modellenebilir Maksimum akış problemleri lineer programlamayla çözülebildiği gibi başka algoritmalarla da çözülebilir

31 ÖRNEK : Sunco petrol boru-hattı sisteminde çıkış noktasından varış noktasına en fazla petrol taşımayı düşünmektedir Yol üzerinde petrol,, istasyonlarının bazılarından yada tamamından geçmek zorundadır Sunco petrolün boru-hattı networkü şekil 6 da gösterilmiştir Her bir bağlantıdan saatte kaç milyon varil petrol pompalanabileceği tablo te gösterilmiştir Bu problemi LP yöntemiyle modelleyip çözersek: Şekil 6: Sunco Petrol için network ve olur bir akış (0) (0) () () () Çı Va (0) a 0 ()

32 BAĞLANTI KAPASİTE (Çı,) (Çı,) (,) (,) (,Va) (,Va) Tablo : Sunco petrol için bağlantı kapasiteleri

33 ÇÖZÜM : LP ÇÖZÜMÜ Xij = Saatte bağlantı (i,j) den geçen milyon varil akış miktarı Her bir bağlantıdan geçen akış miktarı kapasiteden küçük-eşit olmalıdır Xçı, <=, Xçı,<=, X <=, X<=, X,Va<= ve X,Va<= olmalıdır Düğüm i ye gelen akış = Düğüm i den çıkan akış (Akış dengesi) X0 = Xçı, + Xçı, (Düğüm Çı akış dengesi kısıtı) Xçı,= X + X (Düğüm akış dengesi kısıtı) Xçı, + X = X,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) x = x,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) X,va + X,va = X0 (Düğüm Va akış dengesi kısıtı ) Şimdi bu kısıtları birleştirir amaç fonksiyonu ve işaret sınırlamalarını eklersek LP modeline ulaşmış oluruz

34 ÇÖZÜM : LP modeli Maks z = X0 Amaç fonksiyonu (Maksimum akış) st Xçı, <= Xçı,<= X <= Bağlantı Kapasite Kısıtları X<= X,Va<= X,Va<= X0 = Xçı, + Xçı, (Düğüm Çı akış dengesi kısıtı) Xçı,= X + X (Düğüm akış dengesi kısıtı) Xçı, + X = X,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) Akış dengesi kısıtları x = x,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) X,va + X,va = X0 (Düğüm Va akış dengesi kısıtı ) Xij >= 0 İşaret sınırları LP modeli Lingoda çözüldüğünde z=, Xçı,=, x=, x=, xçı,=, x,va=, x,va=, x0= Böylece maksimum akış milyon varil/saat olur Akış ise milyon varil çı---va milyon varil çı---va milyon vari çı--va yollarıyla olur Maksimum akış problemlerinin LP formulasyonu Minimum Maliyet Network Akış Problemlerinin (MMNAP) özel bir halidir MMNAP ulaştırma simpleksinin genellemesi olan network simpleksi ile çözülebilir

35 FORD-FULKERSON YÖNTEMİYLE MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ: Adım : Olur bir akış bul (Her bir bağlantının akışını başlangıçta 0 kabul ederek başlayabiliriz) Adım : Etiketleme prosedürünü kullanarak varış düğümünü etiketlemeye çalış Eğer varış düğümü etiketlenemiyorsa akış optimudur Eğer etiketlenebiliyorsa adım e git Adım : Tarif edildiği şekilde olur akışı ayarla ve çıkış düğümünden varış düğümüne akışı artır Adım ye dön Şekil -: Sunco Petrol için network (0) (0) (0) (0) (0) Çı Va (0) a 0 (0)

36 FORD-FULKERSON YÖNTEMİYLE MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ: Adım : Olur bir akış bul (Her bir bağlantının akışını başlangıçta 0 kabul ederek başlayabiliriz) Şekil -: Sunco Petrol için network Başlangıç çözüm (0) (0) (0) (0) (0) Çı Va (0) Adım : Yukarıdaki network başlangıç networkü olarak alınırsa; İlk iterasyon aşağıdaki gibi olur: Varış düğümünü etiketlemeye çalışırız Bunun için önce çıkış düğümünden başlarız Çıkış düğümünü etiketleriz sonra A(çı,) bağlantısını ve düğüm i etiketleriz Sonra A(,) bağlantısını ve düğüm yi etiketleriz Sonra A(,va) bağlantısını ve va düğümünü etiketleriz Böylece va düğümü etiketlenmiş olur ve eski akış optimum değildir Etiketlenmiş Bağlantılar zinciri şu şekildedir : C = (çı,)-(,)-(,va) Bu zincirdeki bütün bağlantılar ileri bağlantılardır Adım e geçebiliriz a 0 ()

37 Adım : Etiketlenmiş Bağlantılar zinciri şu şekildedir : C = (çı,)-(,)-(,va) Bu zincirdeki bütün bağlantılar ileri bağlantılardır Adım e geçebiliriz Bütün bağlantılar ileri yönlü olduğu için bağlantıları izin verilen kadar artırabiliriz C zincirinde İzin verilen artış min (,,) = böylece C Zincirindeki akışı ileri yönlü birim artırırız ve aşağıdaki hale erişiriz Şekil -: Sunco Petrol için network (0) (0) Çı () () () Va (0) Tekrar Adım ye geçeriz Yeni zincir buluruz (Bağlantı ve düğümleri etiketleyerek varış düğümüne erişir ve bu düğümüde etiketleriz) C= (çı,)-(,)-(,)-(,va) zinciri elde edilebilir Adım e geçeriz Bu zincire bakıldığında (çı,)-(,)-(,va) bağlantıları birim artırılabilirken (,) bağlantısında ters yönde hareket eder ve birim azaltabiliriz C üzerinde minimum artış = min (,(ters yönde),,)= birim akış artar a 0 ()

38 Adım : Etiketlenmiş Bağlantılar zinciri C= (çı,)-(,)-(,)-(,va) zinciri elde edilebilir Bu zincire bakıldığında (çı,)-(,)-(,va) bağlantıları birim artırılabilirken (,) bağlantısında ters yönde hareket eder ve birim azaltabiliriz C üzerinde minimum artış = min (,(ters yönde),,)= birim akış artar Akış artışı mümkün olduğundan eski akış optimum değildir Yeni akış aşağıdaki şekilde görülmektedir Tekrar Adım ye geçeriz Şekil 6: Sunco Petrol için network Optimum çözüm () () () () () Çı Va () Adım : Tekrar varış düğümünü etiketlemeye ve zincir bulmaya çalışırız Çıkış düğümünden mümkün tek yön (Çı,) olur Buradan ters yönde (,) bağlantısında hareket edebiliriz Buradan (,) yönünde hareket edebiliriz Fakat burdan sonra (,va) üzerinden varış düğümüne geçiş yoktur Varış düğümünü zincirleyemeyiz ve en son akış optimumdur a 0 ()

39 ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-a: Ford Fulkerson Metoduna Örnek 7 Çı 8 Va a) Orijinal Network

40 ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-b: Ford Fulkerson Metoduna Örnek (0) (0)7 (0) Çı (0)8 Va () (0) () b) Varış düğümünü C= çı--va yoluyla etiketle Hepsi ileri yönlü bağlantı olduğu için min(,) kadar akışı artır

41 ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-c: Ford Fulkerson Metoduna Örnek () ()7 (0) Çı (0)8 Va () () () c) Varış düğümünü C= çı----va yoluyla etiketle Hepsi ileri yönlü bağlantı olduğu için min(,7,,) kadar akışı artır

42 ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-d: Ford Fulkerson Metoduna Örnek () (0)7 () Çı ()8 Va () () () d) Varış düğümünü C= çı---va yoluyla etiketlebazıları ileri yönlü bağlantı bazıları ters yönlü olduğu için min(8,(ters),) kadar akışı artır

43 ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-e: Ford Fulkerson Metoduna Örnek () (0)7 () Çı ()8 Va () () () e) Varış düğümüne ulaşmak artık mümkün olmadığı için bu akış optimumdur Maksimum akış 7 birimdir

44 MİNİMUM MALİYET NETWORK AKIŞ PROBLEMLERİ (MMNAP)

45 MİNİMUM MALİYET NETWORK AKIŞ PROBLEMLERİ (MMNAP): Ulaştırma, Atama,Aktarma, En kısa yol, Maksimum Akış ve CPM problemleri MMNAP nin özel halleridir Herhangi bir MMNAP ulaştırma simpleksinin genel hali olan network simpleksi ile çözülebilir MMNAP tanımlamak için aşağıdaki notasyonları kullanırsak: Xij =Düğüm i den Düğüm j ye (i,j) bağlantısı ile olan akış miktarı cij= Biri birim akışı düğüm i den düğüm j ye (i,j) bağlantısı yolu ile gönderme maliyeti bi= düğüm i de net tedarik (çıkış-giriş) Lij = (i,j) bağlantısında akış alt limiti Eğer Alt limit yoksa Lij = 0 olur Uij= (i,j) bağlantısında akış üst limiti Eğer üst limit yoksa Uij = olur Şimdi Minimum maliyetnetwork akış problemini matematiksel olarak aşağıdaki gibi modelleyebiliriz Min bütün bağlantılar c ij x ij (Minimum maliyet amaç fonksiyonu) st j x ij k x ki = b i (Network üzerindeki her bir düğüm için) (8) L ij <= x ij <= U ij (Network üzerindeki her bir bağlantı için) (9) Kısıt 8 akış dengesi kısıtıdır Net çıkış bi değerine eşit olmalıdır Kısıt 9 bağlantı kapasite kısıtıdır Akışların izin verilen minimumla maksimum arasında olması gerekir

46 ULAŞTIRMA PROBLEMİNİ MMNAP OLARAK MODELLEME Aşağıdaki tablodaki ulaştırma problemini düşünelim TALEP TALEP ARZ ARZ ARZ TALEP 6 Düğüm Düğüm Tablo Ulaştırma Problemi Düğüm Düğüm Şekil 9 Ulaştırma probleminin MMNAP olarak gösterimi Arz Noktası Talep Noktası Arz Noktası Talep Noktası

47 min z=x + x + x + x X X X X Sağ taraf Kısıt 0 0 = Düğüm 0 0 = Düğüm = -6 Düğüm = - Düğüm Bütün değişkenler nonnegatif Tablo : Ulaştırma Probleminin MMNAP olarak gösterimi Ulaştırma ve Aktarma Problemleri eğer dengede değilse, arz talepten fazlaysa veya talep arz dan fazlaysa probleme kukla(yapay) düğüm (arz veya talep) ekleriz Yukarıdaki tabloya baktığımızda; Bağlantıların yönüne göre çıkış, giriş -, bağlantı yoksa 0 değerlerini alır Sağ taraflarda + olanlar tedarik(arz) ve - olanlar ise talebi ifade etmektedir

48 MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMİNİ MMNAP OLARAK MODELLEME Şekil -: Sunco Petrol için network (0) (0) (0) (0) (0) Çı Va (0) a 0 (0) Yukarıdaki şekilde verilen maksimum akış problemini MMNAP olarak modellersek Tablo 6 ya ulaşırız Bağlantıların yönüne göre çıkış, giriş -, bağlantı yoksa 0 değerlerini alır Maksimum akış problemlerinde toplam akışa eşit varış düğümünden çıkış düğümüne yapay bağlantı (a 0 ) çizeriz Bu bağlantının üst limiti olmadığından MMNAP problemi tablosunda bu bağlantı ile ilgili kısıt bulunmaz Yapay bağlantıyı ekledikten sonra bçı=b=b=b=bva=0 olur

49 min z=-x0 Xçı, Xçı, X X X,va X,va X0 Sağ taraf Kısıt = 0 Düğüm çı = 0 Düğüm = 0 Düğüm = 0 Düğüm = 0 Düğüm va <= Bağlantı (çı,) <= Bağlantı (çı,) <= Bağlantı (,) <= Bağlantı (,) <= Bağlantı (,va) <= Bağlantı (,va) Bütün değişkenler nonnegatif Tablo 6: Maksimum Akış Probleminin MMNAP olarak gösterimi

50 MMNAP Network simpleks kullanılarak çözülebilir Örneğin 000 düğüm ve 600,000 bağlantı içeren bir MMNAP network simpleksi kullanan bilgisayar programları ile birkaç dakikada çözülebilir Eğer LP kullansaydık süre çok daha uzun olurdu MMNAP çok verimli ve kolay olduğundan eğer mümkünse LP formulasyonu yerine MMNAP formulasyonu kullanılır ve network simpleks kullanan bilgisayar programı yardımıyla çözülür

51 ÖRNEK 7 : Şekil 0 ta gösterilen networke düğüm den saatte 900 araç girmektedir Bu araçlar düğüm 6 dan çıkacaktır Araçlar tarafından Her bir bağlantının ne kadar sürede alınacağı tablo 7 de verilmiştir Şekil 0 ta bağlantıların üzerindeki rakamlar saat içerisinde verilen bağlantının herhangi bir noktasından kaç araç geçebileceğini göstermektedir Araçların düğüm den Düğüm 6 ya toplam geçiş sürelerini minimize edecek MMNAP formülüze edin Şekil 0: Trafik örneğinin MMNAP olarak gösterimi

52 Bağlantı ZAMAN (Dakika) (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,6) 0 (,) 0 (,6) 60 (,) 60 (,) 0 Tablo 7: Trafik Örneğinde bağlantıların seyahat süresi

53 min z= 0x + 0x + 70x + 0x + 0x6 + 0x + 60x6 + 60x +0x x x x x x x x x6 x6 Sağ taraf Kısıt = 900 Düğüm = 0 Düğüm = 0 Düğüm = 0 Düğüm = 0 Düğüm = -900 Düğüm <= 800 Bağlantı (,) <= 600 Bağlantı (,) <= 600 Bağlantı (,) <= 00 Bağlantı (,) <= 00 Bağlantı (,) <= 00 Bağlantı (,) <= 600 Bağlantı (,) <= 00 Bağlantı (,6) <= 600 Bağlantı (,6) Bütün değişkenler nonnegatif Tablo 8: Trafik Probleminin MMNAP olarak gösterimi Xij= düğüm i den düğüm j ye seyahat eden saatteki araç sayısı b=900, b=b=b=b=0, b6=-900 olur ( Bu nedenle düğüm 6 dan düğüm e yapay bağlantı oluşturmayız)

54 MİNİMUM KAPSAYAN AĞAÇ

55 MİNİMUM KAPSAYAN AĞAÇ: Bir şebekede A(i,j) i düğümünü j düğümüne bağlayan bağlantı (ok) olsun Örneğin düğümler kampüsteki bilgisayarlar olsun ve bağlantılar düğümleri bağlayan yeraltı kabloları olsun Pek çok uygulamada bütün düğümleri birbirine bağlayan ve toplam uzunlukları en kısa olan bağlantıları (minimum kapsayan ağacı) bulmak isteriz Böyle bir ağaçta döngü bulunmadığı açıktır Aşağıdaki şekilde verilen şebekede döngü ve minimum kapsayan ağaç verilmiştir Network (,)-(,)-(,) bir döngüdür (,),(,) minimum kapsayan ağaçtır Yukarıdaki network de üç tane kapsayan ağaç vardır (,) ve (,) (,) ve (,) (,) ve (,) ağaçları kapsayan ağaçlardır Bunlardan uzunluk toplamı minimum olan ağaç minimum kapsayan ağaçtır

56 TANIM : n düğümden oluşan bir network de, kapsayan ağaç n- bağlantıdan oluşur ve bütün düğümleri bağlar ve döngü içermez TANIM : Minimum toplam uzunluktaki kapsayan ağaç, minimum kapsayan ağaçtır MİNİMUM KAPSAYAN AĞAÇ ALGORİTMASI : Minimum kapsayan ağacı bulurken aşağıdaki adımları uygularız Adım : Herhangi bir düğümü (düğüm i) seçerek işe başlarız Network de i düğümüne en yakın düğümü (düğüm j) i düğümüyle birleştiririz C birleştirilmiş düğümleri ifade eden küme ve C birleştirilmemiş düğümleri ifade eden küme olsun Şu halde C={i,j} olur Adım : Şimdi C kümesinden C kümesindeki herhangi bir düğüme en yakın seçilen bir düğüm (düğüm n) C kümesindeki en yakın olduğu düğüm (düğüm m) ile birleştirilir Şimdi bağlantı (m,n) minimum kapsayan ağaca dahil edilir ve düğüm n C kümesinden çıkarılır ve C kümesine dahil edilir C şimdi C={i,j,n} olur ve C = C -{n} olur Adım : Bu süreç minimum kapsayan ağaç bulunana kadar tekrar edilir Eğer en yakın düğüm ve bağlantılarda eşitlik olursa rasgele seçim yaparız

57 Örnek 8: Kampüste tane birbirleriyle bağlanacak bilgisayar vardır Aşağıdaki şekilde bu bilgisayarlar arasındaki uzaklıklar verilmiştir Bilgisayarlar yeraltı kabloları ile bağlanacaktır Minimum gerekli kablo uzunluğu ne kadardır Not: Bağlantıların verildiği düğümlerin yeraltı bağlantısı mümkünken bağlantı verilmeyen düğümlerin yeraltı bağlantısı mümkün değil diye kabul edin 6 Şekil : Network

58 6 MKA (Minimum Kapsayan Ağaç) algoritmasında başlangıç olarak rasgele düğüm i seçtiğimizi kabul edelim Düğüm i em kısa yolla seçilmeyen düğümlerden birine bağlarız Düğüm e en yakın düğüm düğüm dir ve uzaklık birimdir Böylece C={,} C ={,,} olur Şekil -a : İterasyon -

59 6 C={,} C ={,,} idi Şimdi C deki herhangi bir düğümden C deki herhangi bir düğüme en kısa yolu buluruz C={,} den C ={,,} ye en kısa yol birimdir Ya (,) bağlantısını yada (,) bağlantısını seçeriz Rasgele (,) bağlantısını seçtiğimizde yandaki şekle kavuşuruz Şimdi C={,,} ve C ={,} olur Şekil -b : İterasyon -

60 6 C={,,} C ={,} idi Şimdi C deki herhangi bir düğümden C deki herhangi bir düğüme en kısa yolu buluruz C={,,} den C ={,} ye en kısa yol birimdir (,) bağlantısını seçtiğimizde yandaki şekle kavuşuruz Şimdi C={,,,} ve C ={} olur Şekil -c : İterasyon -

61 6 C={,,,} C ={} idi Şimdi C deki herhangi bir düğümden C deki herhangi bir düğüme en kısa yolu buluruz C={,,,} den C ={} ye en kısa yol birimdir (,) bağlantısını seçtiğimizde yandaki şekle kavuşuruz Şimdi C={,,,,} ve C ={} olur Böylece Minimum kapsayan ağaca ulaşmış olduk (,),(,),(,) ve (,) bağlantıları MKA olur Şekil -d : İterasyon -

62 NETWORK SİMPLEKS METODU

63 NETWORK SİMPLEKS METODU: Bu bölümde MMNAP lerinde network simpleksin nasıl uygulandığını ve nasıl kolaylık sağladığını göreceğiz Network simpleks ulaştırma simpleksinin genelleşmiş halidir ve network üzerindeki bağlantıların alt ve üst limitleri vardır Temel olmayan değişkenler alt ve üst sınırda olurken temel değişkenler iki limit değer arasındadır Eğer temel bir değişken bağlantıların alt veya üst limitine eşitse o zaman dejenerasyon(yozlaşma) hali vukua gelmiştir Aşağıdaki şekil te network simpleksin kullanılabileceği bir MMNAP nin grafik gösterimi verilmiş ve bu şekil üzerinde gerekli açıklamalar yapılmıştır

64 Şekil : MMNAP nin grafik gösterimi $ () (-) 0 $ $8 (0) (-7) $7 (-) $0 0 $ MMNAP ni (8) ve (9) daki gibi tarif etmek için gerekli bilgiler şekil te verilmiştir Bağlantılar üzerindeki değerlerden $ olanlar bağlantılardan bir birim akışın maliyetini (c ij ) ifade ederken diğer değerler bağlantılardan olabilecek maksimum akış limitini gösterir Kolaylık olsun diye bağlantılardan minimum akış limiti 0 alınmıştır Düğümlerin yanındaki değerler arz miktarını gösterirken negatif olanlar talebi ifade etmektedir Network simpleksini kullanabilmek için b i = 0 olmalıdır, yani arz talep dengede olmalıdır Eğer dengede değilse kukla(yapay) arz veya talep noktası ekleriz Yukarıdaki networkde; c=, c=, c=7, c=0, c=, c=8 ve c=$ dır Yine aynı networkde b=0, b=, b=-, b=- ve b=-7 dir ve arz talep dengededir Aynı network üzerinde U=, U=0, U=, U=, U=0, U= ve U= dir Kolaylık olsun diye bütün alt limit (Lij = 0) değerleri 0 alınmıştır $

65 MMNAP inde TEMEL OLURLU ÇÖZÜMÜN BULUNMASI: Olurlu bir çözümüm MMNAP inde temel olurlu bir çözüm olduğuna nasıl karar verebiliriz? Önce networke temel olurlu çözüm olan bir çözümde üç tip değişkenleri tarif ederek başlayalım Temel Değişkenler : Dejenerasyon (Yozlaşma) nın yokluğunda her bir temel değişken Xij Lij< Xij < Uij eşitsizliğini sağlar Dejenerasyon varlığında bir temel değişken (Xij), bağlantı (i,j) nin üst ve alt limitine eşit olabilmektedir Temel Olmayan bazı değişkenler (Xij), bağlantı (i,j) nin üst limitine (Uij) eşittir Temel Olmayan bazı değişkenler (Xij), bağlantı (i,j) nin alt limitine (Lij) eşittir Networkde n tane düğüm vardır ve her bir düğüm için akışların korunumu (akış dengesi) kısıtı vardır Böylece n tane kısıt yazabiliriz Ulaştırma problemlerinde olduğu gibi eğer (n-) akışların korunumu kısıtı sağlanıyorsa otomatik olarak geriye kalan tane akışların dengesi kısıtıda sağlanır Bu da networke temel olurlu bir çözümün (n-) temel değişken içereceği anlamına gelir Bir tane kısıtı düşürdüğümüzde geriye kalan (n-) kısıttan temel olurlu çözüm elede edebiliriz Bu (n-) değişkenin temel olurlu çözüm oluşturacağına nasıl karar verebiliriz? Eğer (n-) değişken ve bu değişkenlere bağlı bağlantılar networke kapsayan ağaç oluşturuyorsa o zaman bu değişkenler temel olurlu çözüm oluşturur Küçük problemler için sıklıkla deneme yanılma yoluyla temel olurlu çözüm bulabiliriz

66 Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 7: Temel olurlu çözüm örneği (0) (-0) Şekil 6 da bir MMNAP örneği verilmiştir Şekil 7 deki çözümüm temel olurlu çözüm olduğuna nasıl karar veririz? (n- = -=) tane temel değişken vardır Bu temel değişkenler x, x, x, x değişkenleridir İki tane temel olmayan değişken vardır Bunlar x= ve x= değişkenleri olup bu değişkenler ilgili bağlantının üst limitindedirler Diğer temel olmayan değişkenler ilgili bağlantının alt limitindedirler Temel değişkenler kapsayan ağaç oluşturmakta ve döngü içermemektedir Bundan dolayı bu çözüm temel olurlu çözümdür

67 Z SATIRININ (SIRA 0) HESAPLANMASI : Simplekste aktif çözümün optimum olup olmadığına z satırına (sıra 0) bakarak karar veririz Bu nedenle aktif tablodaki değişkenlerin z satırı değerlerini bulmamız gerekir Z satırında temel değişkenlerin değeri 0 dır ( c ij = 0 dır ) Bu bilgiyi kullanarak temel olmayan değişkenlerin değerini buluruz Temel olurlu çözümün optimum olup olmadığına nasıl karar veririz? Temel olurlu çözümün optimum olması için temel olmayan değişkenlerde değişmenin çözümü geliştirmemesi lazım Temel olmayan değişkenler ya alt limitde yada üst limittedir Eğer temel olmayan değişken alt limitdeyse o zaman temel olmayan değişken artabilir Eğer c ij <= 0 ise temel olmayan değişkeni artırmak amaç fonksiyonunu kötüleştirir, yani z değeri daha da artar O zaman alt limitde bulunan temel olmayan değişken artmamalıdır Eğer temel olmayan değişken üst limitdeyse o zaman temel olmayan değişken azalabilir Eğer c ij >= 0 ise temel olmayan değişkeni azaltmak amaç fonksiyonunu kötüleştirir, yani z değeri daha da artar O zaman üst limitde bulunan temel olmayan değişken azalmamalıdır

68 n düğümle ilgili n tane akışların korunumu kısıtı var demiştik (n-) kısıt sağlandığında otomatik olarak kalan tane kısıtında sağlandığını belirtmiştik Rasgele tane kısıtı düşürdüğümüzde elimizde (n-) kısıt kalır Örneğin Düğüm ile ilgili kısıtı düşürdüğümüzde elimizde (n-) akışların korunumu kısıtı kalır ve (n-) adet temel değişkenimiz olur Düğüm ile ilgili kısıt düşürüldükten sonra verilen temel olurlu çözüm için c BV B - = (y y yn) olsun Her bir Xij değişkeni düğüm i kısıtında + ve düğüm j kısıtında - değerine sahiptir Z satırı değerlerini çözebilmek için y = 0 olarak tanımlarsak; Xij değişkeninin z satırı değeri c ij = yi-yj c ij olur Her bir temel değişkenin z satırı değeri c ij = 0 olduğundan y=0 ve her bir temel değişken için yi-yj = c ij eşitliklerini (Toplam n tane eşitlik) çözeriz ve y,y,,yn değerlerini (simpleks çarpanlar) buluruz Şimdi temel olmayan değişkenlerde, Simpleks çarpanları (y, y,, yn) ve c ij (temel olmayan değişkenlerin başlangıç networkdeki z satırı değerleri) değerlerini c ij = yi-yj c ij formülünde kullanarak c ij değerlerini (reduced cost = indirgenmiş maliyet) buluruz Eğer Xij = Lij ve c ij <= 0 ise optimallik şartı bu temel olmayan değişkenler için sağlanır Eğer Xij = Uij ve c ij >= 0 ise optimallik şartı bu temel olmayan değişkenler için sağlanır Bu iki durum bütün temel olmayan değişkenler için sağlanırsa çözüm optimumdur

69 Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 7: Temel olurlu çözüm örneği (0) (-0) Örneğimize dönecek olursak; y=0, y-y=, y-y=7, y-y= 6, y-y= olur Buradan y=0, y=-, y=-, y=-6 ve y=-9 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı değerlerini bulacak olursak; c = y-y c = 0-(-)-0 = >=0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = 0-(-6)-6 =0 >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = --(-)-=- <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = - (-6)- = <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) (Optimallik şartını bozar) X giren değişken olmalı Şimdi çıkan değişkene karar vermemiz gerekir X teki birim artış z değerini birim azaltacaktır Dolayısıyla daha düşük(iyi) bir değeri bulmak mümkündür

70 NETWORK SİMPLEKSİNDE PİVOT İŞLEMİ: Önceki slaytlarda Şekil 7 de gösterildiği gibi x değişkeni giren değişken olmalıdır Bağlantı (,) temel değişkenler arasına eklenmelidir Hali hazırda Bağlantı (,) alt limitindedir ve bu bağlantıdan olan akışı θ kadar artıracağımızı düşünürsek, θ değerini nasıl buluruz? Eğer bağlantı (,) le ilgili değişken temel değişken olursa Şekil 8 de gösterildiği gibi bir döngü oluşur Bu döngü üzerinde yeni giren bağlantı (,) yönünde ilerleriz ve aynı yöndeki akımları θ kadar artırır ve ters yöndeki akımları θ kadar azaltırız Bu esnada eski temel değişkenlerden biri üst veya alt limite vurur Böylece çıkan değişkeni ve θ değerini bulmuş oluruz Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 8: İlk iterasyon - θ (0) (-0) θ + θ Şekil 8 e baktığımızda θ = min {(-0),(6-), ters yönde (-0) } kadar artırılabilir Buradan θ= olur Θ = olunca x giren değişken olmuş ve x (alt limitine vurmuş) çıkan değişken olmuştur Yeni temel olurlu çözüm ve network şekil 9 a dönüşmüştür

71 Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 9: İlk iterasyon sonucu yeni TOÇ-optimum çözüm (0) (-0) İTERASYON : Şimdi yeni temel olurlu çözümün optimum olup olmadığına bakarız Şekil 9 u kullanarak temel olmayan değişkenlerin z satırı (Sıra 0) değerlerini buluruz Önce temel değişkenleri kullanarak yi (Simpleks çarpanlar) değerleri bulunur y = 0, y-y=, y-y=, y-y=6, y-y= olur Bu eşitlikleri çözersek; y=0, y=-, y=-, y=-, y=-8 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı değerlerini bulacak olursak; c = y-y c = 0-(-)-0 = >=0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = 0-(-)-6 =9 >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = --(-)-=- <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = - (-8)- 7= - <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) Temel olmayan değişkenlerin optimalliği bozmamasından dolayı aktif TOÇ (Temel olurlu çözüm) optimumdur Şekil 9 aynı zamanda optimumdur

72 ÖRNEK 9: Aşağıda Şekil 0 de verilen MMNAP yi network simpleksini kullanarak çözünüz Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ Şekil : TOÇ örneği (0) 6 $ 6 $ (-0) (0) (-0) 7 $ $6 Önce network simplekse başlamak için TOÇ (Temel olurlu çözüm bulmamız gerekmektedir Şekil de bir temel olurlu çözüm görülmektedir Temel olurlu çözümün kapsayan bir ağaç olması gerekmektedir Şekil kapsayan bir ağaçtır Bağlantı (,) üst limitinde temel olmayan bri değişken olup şekil de gösterilmeyen bağlantılar alt limitinde temel olmayan değişkenlerdir Şimdi simpleks çarpanları ve aktif durumda temel olmayan değişkenlerin z satırı değerlerini bulmamız gerekmektedir Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız

73 Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : TOÇ örneği (0) (-0) Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız y=0, y-y=, y-y=, y-y= eşitlikleri çözüldüğünde y=0, y=-, y=-, y=-7 olur Şimdi temel olmyan değişkenlerin z satırı (satır 0) değerlerini bulmamız gerekmektedir c = y-y c = (-)-(-)- =- <=0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = (-)-(-)- =- <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = -(-)-(-7)-6=- >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) (optimalliğin olmadığını gösterir) X giren değişken olmalıdır

74 Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : x giren değişken olur +θ + θ (0) (-0) -θ -θ X giren değişken olmalıdır X, θ değeri kadar azaltılırsa şekil de oluşan döngü oluşur Şimdi θ değerine karar vermemiz gerekmektedir θ = min { ters(-0), ters(-0), (7-), (8-) } = olur Θ pozitif olan yerlerde akış birim artırılır ve θ değerinin negatif olduğu yerlerde akış birim azaltılır Böylece x giren değişken olmuş ve x üst limitine vurmuş ve çıkan değişken olmuştur

75 Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : x çıkan değişken olmuştur 7 (0) (-0) 7 Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız y=0, y-y=, y-y=, y-y=6 eşitlikleri çözüldüğünde y=0, y=-6, y=-, y=-9 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı (satır 0) değerlerini bulmamız gerekmektedir c = y-y c = (-6)-(-)- =- <=0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = (-)-(-6)- = <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) (Optimalliği ihlal eder) c = y-y c = 0-(-6)-= >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) X giren değişken olmalıdır

76 Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : x giren değişken olmuştur 7 (0) θ (-0) 7 + θ - θ X giren değişken olmalıdır X, θ değeri kadar azaltılırsa şekil de oluşan döngü oluşur Şimdi θ değerine karar vermemiz gerekmektedir θ = min { (6-0), (8-7), ters(-0) } = olur Θ pozitif olan yerlerde akış birim artırılır ve θ değerinin negatif olduğu yerlerde akış birim azaltılır Böylece x giren değişken olmuş ve x üst limitine vurmuş ve çıkan değişken olmuştur

77 Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ 8 $ $6 Şekil : x çıkan değişken olmuştur, optimum çözüm 7 (0) (-0) 8 Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız y=0, y-y=, y-y=, y-y=6 eşitlikleri çözüldüğünde y=0, y=-, y=-, y=-9 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı (satır 0) değerlerini bulmamız gerekmektedir c = y-y c = (-)-(-)- =- <=0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = (-)-(-9)- = >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = 0-(-)-= >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) Optimallik şartı sağlandığından şekil optimumdur

78

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

BÖLÜM III: Şebeke Modelleri. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Yönlü Şebeke (Directed Network) Dal / ok

BÖLÜM III: Şebeke Modelleri. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Yönlü Şebeke (Directed Network) Dal / ok 8.0.0 Şebeke Kavramları BÖLÜM III: Şebeke Modelleri Şebeke (Network) Sonlu sayıdaki düğümler kümesiyle, bunlarla bağlantılı oklar (veya dallar) kümesinin oluşturduğu yapı şeklinde tanımlanabilir ve (N,A)

Detaylı

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen

Detaylı

KISITLI OPTİMİZASYON

KISITLI OPTİMİZASYON KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun

Detaylı

Yöneylem Araştırması II

Yöneylem Araştırması II Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli Graf, matematiksel anlamda, düğümler ve bu düğümler arasındaki ilişkiyi gösteren kenarlardan oluşan bir kümedir; mantıksal ilişki düğüm ile düğüm

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi Bahar Dönemi. Hazırlayan: Doç. Dr.

Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi Bahar Dönemi. Hazırlayan: Doç. Dr. Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Dersi 00-0 Bahar Dönemi Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS AÇIKLAMA Bu sunu izleyen kaynaklardaki örnek ve bilgilerden faydalanarak

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ

KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ DERS NOTLARI DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Kuyruk sistemindeki t zamanındaki müşteri sayısını kuyruk sisteminin

Detaylı

EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER

EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER DERS NOTLARI Pek Çok ilginç markov zinciri uygulamalarında bazı durumlar emici (yutucu) ve geri kalan durumlar

Detaylı

2. LOJİSTİK ŞEBEKESİ TASARIMI

2. LOJİSTİK ŞEBEKESİ TASARIMI 2. LOJİSTİK ŞEBEKESİ TASARIMI Lojistik Şebekesi Tasarımı Lojistikte şebeke planlama prosesi, ürünlerin tedarikçilerden talep noktalarına akacağı sistemin tasarlanmasını içerir. Kamu sektöründe ise aynı

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI Örnek 9: Aşağıdaki açık çevrim blok diyagramının transfer fonksiyonunu bulunuz? 2 BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME

Detaylı

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu

Detaylı

ATAMA (TAHSİS) MODELİ

ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ Doğrusal programlamada kullanılan bir başka hesaplama yöntemidir. Atama problemleri, doğrusal programlama (simpleks yöntem) veya transport probleminin çözüm

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ TRANSPORTASYON (TAŞIMA, ULAŞTIRMA) TRANSİT TAŞIMA (TRANSSHIPMENT) ATAMA (TAHSİS) TRANSPORTASYON (TAŞIMA) (ULAŞTIRMA) TRANSPORTASYON Malların birden fazla üretim (kaynak,

Detaylı

10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST)

10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST) 1 10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST) Kapsayan ağaç Spanning Tree (ST) Bir Kapsayan Ağaç (ST); G, grafındaki bir alt graftır ve aşağıdaki özelliklere sahiptir. G grafındaki tüm

Detaylı

11.Hafta En kısa yollar I-II-III Devam. Negatif Ağırlıklı En Kısa Yollar Doğruluk Çözümleme

11.Hafta En kısa yollar I-II-III Devam. Negatif Ağırlıklı En Kısa Yollar Doğruluk Çözümleme 11.Hafta En kısa yollar I-II-III Devam Negatif Ağırlıklı En Kısa Yollar Doğruluk Çözümleme 1 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması 2 3 Negatif Maliyetli Çember Eğer graf negatif maliyetli çember içeriyorsa,

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR

YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR YZM 3207- ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR Aç Gözlü (Hırslı) Algoritmalar (Greedy ) Bozuk para verme problemi Bir kasiyer 48 kuruş para üstünü nasıl verir? 25 kuruş, 10 kuruş,

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-3 Durum Uzayında Arama. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-3 Durum Uzayında Arama. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA BLM-431 YAPAY ZEKA Ders-3 Durum Uzayında Arama Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Dersin Hedefleri Durum uzayı temsilini öğrenmek ve durum uzayında

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Araş. Gör. Murat SARI 1/35 I Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

köşe (vertex) kenar (edg d e)

köşe (vertex) kenar (edg d e) BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir

Detaylı

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X

Detaylı

ELN1002 BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA 2

ELN1002 BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA 2 ELN1002 BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA 2 SIRALAMA ALGORİTMALARI Sunu Planı Büyük O Notasyonu Kabarcık Sıralama (Bubble Sort) Hızlı Sıralama (Quick Sort) Seçimli Sıralama (Selection Sort) Eklemeli Sıralama (Insertion

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

GAMS Kullanım Notları

GAMS Kullanım Notları GAMS Kullanım Notları Dilay Çelebi İstanbul Teknik Üniversitesi 1. Giriş Aşağıdaki DP problemini ele aldığımızı varsayalım. Z min = 4x 1 + 2x 2 + 33x 3 (1) x 1 4x 2 + x 3 12 (2) 9x 1 + 6x 2 = 15 (3) 5x

Detaylı

VERİ MADENCİLİĞİ (Kümeleme) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN

VERİ MADENCİLİĞİ (Kümeleme) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN VERİ MADENCİLİĞİ (Kümeleme) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN kergun@balikesir.edu.tr İçerik Kümeleme İşlemleri Kümeleme Tanımı Kümeleme Uygulamaları Kümeleme Yöntemleri Kümeleme (Clustering) Kümeleme birbirine

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) ŞEBEKE MODELLERİ EN-413 4/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI Genişletilmiş Lagrange Yöntemi Hazırlayan: Nicat GASIM Öğretim Üyesi Prof. Dr. İpek Deveci KARAKOÇ

Detaylı

Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Kısıtsız Optimizasyon

Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Bu bölümde çok değişkenli kısıtsız optimizasyon problemlerinin çözüm yöntemleri incelenecektir. Bu bölümde anlatılacak yöntemler, kısıtlı optimizasyon problemlerini de çözebilmektedir. Bunun

Detaylı

Üçüncü adımda ifade edilen özel kısıtları oluģturabilmek için iki genel yöntem geliģtirilmiģtir:

Üçüncü adımda ifade edilen özel kısıtları oluģturabilmek için iki genel yöntem geliģtirilmiģtir: TAMSAYILI DOGRUSAL PROGRAMLAMA ALGORİTMALARI TDP Algoritmaları, doğrusal programlamanın baģarılı sonuçlar ve yöntemlerinden yararlanma üzerine inģa edilmiģtir. Bu algoritmalardaki stratejiler üç adım içermektedir:

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

Chapter 9. Elektrik Devreleri. Principles of Electric Circuits, Conventional Flow, 9 th ed. Floyd

Chapter 9. Elektrik Devreleri. Principles of Electric Circuits, Conventional Flow, 9 th ed. Floyd Elektrik Devreleri Eşanlı Denklemler Bölüm 9 daki devre analizi yöntemleri eşanlı (paralel) denklem kullanımını gerektirmektedir. Eşanlı denklemlerin çözümünü basitleştirmek için, denklemler genelde standart

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10 Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Altın Oran (Golden Section Search) Arama Metodu Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1

Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 Algoritmalar Çizge Algoritmaları Bahar 201 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 En Kısa Yol Problemi Çizgelerdeki bir diğer önemli problem de bir düğümden diğer bir düğüme olan en kısa yolun bulunmasıdır. Bu problem

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak GAMS Giriş GAMS (The General Algebraic Modeling System) matematiksel proglamlama ve optimizasyon için tasarlanan yüksek seviyeli bir dildir. Giriş dosyası:

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

METASEZGİSEL YÖNTEMLER

METASEZGİSEL YÖNTEMLER METASEZGİSEL YÖNTEMLER Ara sınav - 30% Ödev (Haftalık) - 20% Final (Proje Sunumu) - 50% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn: Zaman çizelgeleme, en kısa yol bulunması,

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Bilgisayar Mühendisliği

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Bilgisayar Mühendisliği Yrd. Doç. Dr. A. Burak İER Bilgisayar Mühendisliği Algoritma Analizi İçerik: Temel Kavramlar Yinelemeli ve Yinelemesiz Algoritma Analizi Asimptotik otasyonlar Temel Kavramlar Algoritma: Bir problemin çözümüne

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

EBEKE MODELLERİ. ebeke Yapısına Giriş. Konu 3

EBEKE MODELLERİ. ebeke Yapısına Giriş. Konu 3 EBEKE MODELLERİ Konu ebeke Yapısına Giriş Elektriksel yapıların bulunduğu şebekeler Ulaşım sistemi Ulaştırma modeli İstasyonlardan oluşan sistem - Televizy zyon şebekesi ebeke Problemi Bir şebeke problemi

Detaylı

Çizgeler (Graphs) Doç. Dr. Aybars UĞUR

Çizgeler (Graphs) Doç. Dr. Aybars UĞUR Çizgeler (Graphs) ve Uygulamaları Doç. Dr. Aybars UĞUR Giriş Şekil 12.1 : Çizge (Graph) Çizge (Graph) : Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan bağlantılardan

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ 2010-2011 Güz-Bahar Yarıyılı YRD.DOÇ.DR.MEHMET TEKTAŞ ÖRNEK 6X 1 + 3X 2 96 X 1 + X 2 18 2X 1 + 6X 2 72 X 1, X

Detaylı

YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#6: AZALT VE FETHET YÖNTEMİ

YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#6: AZALT VE FETHET YÖNTEMİ YZM 3207- ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#6: AZALT VE FETHET YÖNTEMİ Azalt ve Fethet Algoritmaları Problemi daha küçük bir örneğine çevir: Küçük örneği çöz Çözümü asıl probleme genişlet 3 tipi vardır:

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

Algoritmalara Giriş. Prof. Erik Demaine. November 16, 2005 Copyright by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L18.1

Algoritmalara Giriş. Prof. Erik Demaine. November 16, 2005 Copyright by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L18.1 Algoritmalara Giriş 6.06J/8.0J Ders 8 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması Doğrusal Programlama ve fark kısıtları VLSI yerleşimi küçültülmesi Prof. Erik Demaine November 6, 00 Copyright 00- by Erik

Detaylı

Ulaştırma ve Atama. Konu 2. Ulaştırma Modeli. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Ulaştırma ve Atama. Konu 2. Ulaştırma Modeli. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Ulaştırma ve Atama Modelleri Konu 2 Ulaştırma Modeli 1. Farklı kaynaklardan temin edilen bir ürün, mümkün olan minimum maliyetle farklı istikametlere taşınmaktadır. 2. Her kaynak noktası sabit sayıda ürün

Detaylı

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA BLM-431 YAPAY ZEKA Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Arama Grafları Eğer arama uzayı ağaç yapısından değil de graf

Detaylı

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-4 Bilgisiz Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-4 Bilgisiz Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA BLM-431 YAPAY ZEKA Ders-4 Bilgisiz Arama Yöntemleri Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Dersin Hedefleri Aşağıda verilen arama stratejilerini anlamak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI İKİNCİ BÖLÜM (206-207) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

Graf Veri Modeli. Düğümler kümesi. Kenarlar kümesi

Graf Veri Modeli. Düğümler kümesi. Kenarlar kümesi Graf Veri Modeli Graf, bir olay veya ifadenin düğüm ve çizgiler kullanılarak gösterilme şeklidir. Fizik, Kimya gibi temel bilimlerde ve mühendislik uygulamalarında ve tıp biliminde pek çok problemin çözümü

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI İKİNCİ BÖLÜM (208-209) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x)

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm doğrusal programlama PROBLEMİN ÇÖZÜLMESİ (OPTİMUM ÇÖZÜM) Farklı yöntemlerle çözülebilir Grafik çözüm (değişken sayısı 2 veya 3 olabilir) Simpleks çözüm Bilgisayar yazılımlarıyla

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 2 Veri Modelleri. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 2 Veri Modelleri. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 2 Veri Modelleri Veri modelleri, veriler arasında ilişkisel ve sırasal düzeni gösteren kavramsal tanımlardır. Her program en azından bir veri modeline dayanır. Uygun

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP)

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) 1. Non-lineer kar analizi, 2. Kısıtlı optimizasyon, 3. Yerine koyma (substitution) yöntemi, 4. Lagranj Çarpanları Yöntemi 5. Başabaş Analizleri ve Duyarlılık Testleri

Detaylı

Konu 2. Y. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Konu 2. Y. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Ulaştırma ve Atama Modelleri Konu 2 Ulaştırma Modeli 1. Farklı kaynaklardan kl temin edilen bir ürün, mümkün olan minimum maliyetle farklı istikametlere taşınmaktadır. 2. Her kaynak noktası sabit sayıda

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı İşaret Akış Diyagramları Mason Kuralı Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları Durum Uzayında Alternatif Gösterimler 1 Birçok kontrol

Detaylı

0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem)

0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Ankara Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi Prof. Dr. Hasan Şahin 0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Bu kısımda zarf teoremini ve iktisatta nasıl kullanıldığını ele alacağız. bu bölüm Chiang 13.5 üzerine

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler

Detaylı

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir.

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir. LİNEER PROGRAMLAMA Giriş Uygulamada karşılaşılan birçok optimizasyon problemi kısıtlar içerir. Yani optimizasyon probleminde amaç fonksiyonuna ilave olarak çözümü kısıtlayıcı ek denklemler mevcuttur. Bu

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

a2 b3 cij: birim başına ulaşım maliyeti xij: taşıma miktarı

a2 b3 cij: birim başına ulaşım maliyeti xij: taşıma miktarı Ulaştırma Modelleri Ulaştırma modeli Ulaştırma modeli doğrusal programlama modellerinin özel bir türüdür. Modelin amacı bir işletmenin belirli kapasitedeki üretim merkezlerinden, belirli talebi olan tüketim

Detaylı

ELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2

ELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2 ELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2 2.1. ÇEVRE AKIMLAR YÖNTEMİ Elektrik devrelerinin çözümünde kullanılan en basit ve en kolay yöntemlerden biri çevre akımları yöntemidir.

Detaylı