10. Sınıf MATEMATİK ÖZET çözüm

Transkript

1 0. Sınıf MTMTİK ÖZT çözüm Sevgili Öğrenciler, u özet kitp, okul müfredtın uygun olrk hzırlnmıştır. Kitptki konulr, ders kitbınızl uyumlu olrk sırlnmış ve çıklnmıştır. Özet kitbımızın hzırlnış mcı, sizleri yoğun ve boğucu yrıntılrl dolu yrdımcı kynklrdn kurtrmktır. İhtiycınız oln her bilgiyi öz ve nlşılır olrk kitbımızd bulcksınız. Uzun konu nltımlrı yok, gereksiz bilgi yığınlrı yok, yorucu yrıntılr yok. oyurucu, eksiksiz m yormyn bir kitp bu. Tm ihtiyç duyduğunuz bir kynk. Konu nltımlrınd çok önemli noktlrı lrl belirttik. zı konulrı dh nlşılır görsellere çevirdik. Ünite sonlrınd trm testlerine yer verdik. Kendinizi sınmnız için dört yzılı sınv ve iki deneme sınvı koyduk. yrıc üniversite giriş sınvlrın hzırlnmnız mcıyl, konu nltımlrının içine sık sık çözümlü YGS-LYS sorulrı yerleştirdik. Kitptki tüm yzılı ve test-deneme sorulrının yrıntılı çözümleri d yer lmktdır. erslerinizde ve tüm sınvlrınızd yrrlı olcğını umr, bşrılr dileriz. elt Kültür Yyınevi Yzr Özyşr lyıldırım Yyın Yönetmeni Vedt ydoğn Yyın Koordintörü Yusuf oğn ğıtım Sorumlusu Metin Keskin Redksiyon Tuncy irinci Kpk ve üzenleme eltkitp Y.S. No 79 ISN skı - ilt ltn Özyurt Mtbcılık Hty Sokk 7/ Kızıly / NKR T F info@deltkitp.com u kitbın bütün bsım, yyın hklrı elt Kültür sım Yyın ğıtım Kırtsiye Ltd. Şti'ne ittir. Yyınevinin yzılı izni olmdn tmmı vey bir kısmı meknik, elektronik, fotokopi ve benzeri yöntemlerle kopy edilemez, çoğltılmz, bsılmz, yyımlnmz ve dğıtılmz.

2

3 . ÖNM. YZILI SINVI (SYF ). ^9! h ^8! h 0! 9! 8! ^9! + 8! h. ^9! 8! h ! 9. 8! 8! ^9. 8! + 8! h. ^9. 8! 8! h 8! ^90 9 h 8!. ^9+ h. 8! ^9 h 8!. 80 8! bulunur.. 7 j çılımınd li terimi bulmk için 7 7 r r j^ h ^ h r r. r r r r 7 j. ( ) 7. ( ) 7 j. (). 7 j. (). 7...!.!.!. 0 bulunur.. bc üç bsmklı syı olsun.. b. c 8 8..! 8..!..!..!! tne yzılır. 7. den def yzı gelme olsılığını çıkrırsk en z bir tur gelme olsılığını buluruz... 7 bulunur. 8. ^n+ h! + ^n+ h!. n! + ^n+ h! 8. ^n + h^n+ h! + ^n+ h!. n! + ^n+ h. n! ^n+ h! ^n+ + h n! ^+ n+ h ^n+ h. n! n! n bulunur. P( ) P() P(ʹ ʹ) P( )ʹ ise dir. P(ʹ) bulunur. 0. Sınıf Mtemtik Özet

4 . {,,, 0,,,, } Seçilen syılrın ü negtif vey i negtif si pozitif olmlıdır. negtif syıdn j negtiften, pozitif syıdn seçelim. j. j bulunur. 9. f() tek fonksiyon ise f() f() f() f() + + f() f() + + f() + f() + f j f () bulunur.. b c.. 0 bulunur. f d e l t hrften biri ile eşlenir. b hrften biri ile eşlenir. c hrften biri ile eşlenir. 0. f() + f(g()) + f(g()) g() + g() + + g() bulunur. elt Kültür Yyınevi

5 . ÖNM. YZILI SINVI (SYF ). (, ), (, ) ve (, k) ^ olduğundn m. m olur. m ^ h m k ^ h k + j. k + ^ h k bulunur.. K H mh ^% h m^ % Hh K ikizkenr üçgen olduğundn br bulunur.. y 7. / y y y y. dir. Kesim noktsı K, j olur. K, j ve (, ) noktlrındn geçen doğrusu- nun eğimi m K ise, m K (, ) noktsındn geçen ve eğimi m K doğru denklemi y ( ) y + y + 0 olur. oln 0 0 K K KL olck şekilde K [L] lınırs K K KL br lır. m^kl % h m^l % h olduğundn K ikizkenr üçgen ve K br olur. & br () ^ h 9 br bulunur. L 0. Sınıf Mtemtik Özet

6 . 8. L K β α O L β α (, ) K H O noktsı ğırlık merkezi olduğundn (, ) olur. K & + L & KL () & (, ) olur. Köşegenler birbirini ortlr. olyısıyl [HK] ort tbn ve KH br olur L & + LHK & olduğundn br dir. + 8 br olur.. + y 0 y doğrulrın eşit uzklıkt bulunn noktlrın geometrik yeri çıorty doğrulrıdır. olduğundn doğrulr bir noktd kesişir. + y ( y + 7) +y y+7 v +y (y+7) y y 0 y y 0 9. t k Y L k t LY & + & olduğundn LY ^ & h ^ & j h ^& h 9 ^& h br ().^ & h. 7 br bulunur H F + + () c m br bulunur. & & + F 8 br bulunur. elt Kültür Yyınevi

7 . ÖNM. YZILI SINVI (SYF ). + (m + ) + m 0 Δ 0 olmlıdır., b m +, c m Δ b.. c (m + ).. (m ) 0 m + m + m + 0 m 0m + 0 (m ) 0 m 0 m bulunur.. + (m + ) (m + ). tür. + j (m + ) + 9 (m + ) +. 9 (m + ) m bulunur.. 7. y + + y+ + y y+ y y ^ + h + y + ^ + h y ^ h ^y h ^y h ^y+ h^+ h ^ + h ^y h^ h ^y h y + y olur. + + k ^ + + kh ^ h^ + h olduğund pyın çrpnı vey + olmlıdır. 0 vey + 0 vey pyın bir köküdür. + + k için +. + k 0 k 8 dir. için () + () + k 0 k dir. 8 + bulunur.. f() + (m ) +, f() + (m ) + + m + m 7 m olur. f() + +, b ve c r b.. f j j + j ^h ^h Tepe noktsı T, 9 j olur ^+ h ^ + h ^ + h ^ + h ^ + h ^ ^ + h ^ h h ^+ h^+ h^ h ^+ h^ h^ + h bulunur. 0. Sınıf Mtemtik Özet 7

8 . z ( i) ( + i). i + ( i) ( + i) ( i ). i + (9 i ) ( ()). i + (9 ()) 0 + i olur. Re(z) 0, Im(z) dir. Re(z) + Im(z) 0 + bulunur. 9. ( + ) P( + ) m için 0. P( + ) () m() 0 + m m m olur. ( + ). P( + ) + ^+ hp^+ h ^+ h^ h P( + ) P() polinomunun + ile bölümünden kln P() dir. P( + ) yzılırs P() bulunur.. + j 9 + j j.. + j e ^h ^h o 0 j bulunur P^ h +. Q ^ h P(), Q()? için ^ h + ^ h+ ^ h. P^ h ^ h +. Q^ h P^ h.q^ h Q() Q() bulunur. 8 elt Kültür Yyınevi

9 . ÖNM. YZILI SINVI (SYF 77). 8 L 0 8 O F 0 K. T S T F O O 0 br OK & ve OL & dik üçgenlerinde pisgor bğıntısını yzlım. OK + 0 OK 8 br OL OL br OK OL 8 bulunur. T + S p.. T + S p br 8 br. / T + S 8 0 / T + S r S p 8 br bulunur. 8. L r + + O r [OK] çizdiğimizde OK ikizkenr üçgen ve m^% KOh dir. LOK & ve LK & ikizkenr üçgenlerini dikkte ldığımızd bulunur. K 7. O(,, 8) dikdörtgenler prizmsının içinde boşluk klmmsı için küpün bir yrıtı en büyük olrk br olmlıdır. ikdörtgenler prizmsının hcmi Küpün syısı Küpün hcmi bulunur Sınıf Mtemtik Özet 9

10 . 8. T 0 0 O 0 H m^ % h m^ % h olsun R O 9 R H Koninin yüksekliği h olsun. R 90 0 V koni r.r h O O 9 br OH dik üçgeninde dikkte ldığımızd OH br, H br olur. H dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. ^ h r r..h h 9 br, OH 9 R olur. OH dik üçgeninde pisgor bğıntısı yzlım. (9 R) + R 8 8R+ R + 9 R 8R 90 R br bulunur br olur.. 0 O 8 S S T O O 0 br O & dik üçgende pisgor bğıntısı yzlım br ^& h ^O & h. 8 br bulunur. 9. Kürenin yrıçpı R olsun. V küre küre r.r rr R br V küre r. p br bulunur. 0 elt Kültür Yyınevi

11 m^% h teğet kiriş çısı ile m ^% h çevre çısının gördüğü yylr eşit olduğundn m^% h 0 olur olur. 9 Yrıçpı r, yüksekliği h 9 br oln koninin hcmi V koni r. r. h r.. 9 8p br bulunur. 0. Sınıf Mtemtik Özet

12 TRM TSTİ:?????? SYM (SYF 9). ^! h ^! h + ^! h ^! h ^.! h ^.! h + ^! h ^! h. n j+ n j 0 n n n + 0 n bulunur.. ^! h + ^! h.! ^! h Ynıt: ^! h ^+ h ^! h ^ h bulunur. Ynıt:. {ö, z, y,, ş, ʹ, r} {y,...} noktlrın yerine hrften tnesi seçilir ve sonr hrf kendi rsınd sırlnır. j.!!.! ^ h!.!..!...!.! 90 bulunur. Ynıt:. yerden 'sini seçerek, İ nin solund olck şekilde yerleştirelim. İ gibi kln yere, K, M hrflerini yerleştirirsek sonuç j.!!.! ^ h!.!..!..!!.! 0 bulunur. Ynıt:. LT T... noktlrın yerine,,, L hrfleri kendi rsınd sırlnır.. i) 8 n 0 8 n n n olmlıdır. ii) n 0 n! bulunur. Ynıt: ifdeleri sğlyn n değeri dir. ^n h! ^n + h! + ^n h! ^8 nh!! +!! 0!.! + 7 bulunur.! Ynıt: elt Kültür Yyınevi

13 7. P(n, ) > (n, ) n! n! > ^n h! ^n h!.! > ^n h^n h! ^n h!.! > n 8 > n n < 8 (n, ) ten dolyı n olmlıdır. 9. j! ^ h!.!...!!.! 0 Ynıt: n < 8 tne n değeri vrdır. Ynıt: 8. I. yol L T K Ü L T Ü R İlk önce d üzerinden nokt, d üzerinden nokt vey d üzerinden nokt d üzerinden nokt seçerek üçgen oluşturulur. j j+ j j bulunur. d d 0. 0 rkmı binler bsmğın gelmeyeceği için 0 için yrı düşünelim. {,, } bir tnesini ve {,, } ten iki tnesini seçelim. j j bulunur. + j. j.! tek rkmdn çift rkmdn ikisi ikisi Ynıt: II. Yol Toplm noktdn tnesi seçilir ve üçgen oluşturmyn, doğrusl oln ve noktlrdn tnesi seçilip çıkrtılır. j j+ jj f + p.... (0 + 0) bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

14 . klemden herhngi si bir öğrenciye j frklı şekilde verilir. Kln klemi, şeklinde dğıtırız. c m. j.! + j. j.!. +. ütün koşullrı dikkte ldığımızd. 0 bulunur. Ynıt:.! 0. y! i) y 0 için! 0. 0! 0! + y + 0 ii) y için! 0.!! 0! + y + iii) y 9 için! 0. 9! 0! + y iv)! 0. y!!. y! y için!!.!!.! + y y nin lbileceği frklı değer vrdır. Ynıt:. {k,, r, s,, 0,,, 0} kümesinde hrf, rkm, syı vr j ( rkmdn si) j ( hrften si) j. j.! bulunur. Ynıt:. 0,,,,,,, 7, 8, 9 0 tne rkmdn tnesini seçilir. Fkt 0 binler bsmğınd olduğund bsmklı olmycğı için 9 rkmdn seçilir. 9 j 9! ^9 h!.! ! bulunur.!.... Ynıt: elt Kültür Yyınevi

15 . ( ) ( + ) ( ). ( ) ) ( ) 7 7 j. () 7. () 7... () ().... (). 0. Ynıt:. y lınırs ktsyılr toplmını buluruz. (. + ) 8 ( + ) + v + lrın değerlerinin çrpımı (). () 8 lrın değerlerinin toplmı + 8 k + () k bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

16 TRM TSTİ: OLSILIK (SYF ). Her cinsiyetten çocuğun olm olsılığı dir. Ynıt:. Seçilen üç syının çrpımının pozitif olmsı için negtif bir pozitif vey pozitif syı seçmeliyiz. j. j+ j. c m 0 9 j bulunur. Ynıt:. n tne mpul bozuk olsun. n j j n. ^n h... n(n ).. den hiçbir öğretmenin olmdığı durumu çıkrırsk en z birinin öğretmen olm olsılığını buluruz. j j..!!.! bulunur. Ynıt: n bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

17 bulunur. 0 + ütün çift syılr 0 ile tm bölünen çift syılr Ynıt: 7. Prlr YY, TT YT, TY iri yzı biri tur ise torbsındn çekiliyor.. 7 İkisi de tur ise torbsındn çekiliyor.. 7 İkiside yzı ise torbsındn çekiliyor bulunur Ynıt:. S torbsı S S torbsı S torbsı S S 8. yüzü mvi ise. 9 mvi yüzü kırmızı ise. kırmızı yüzü beyz ise. beyz Ynıt: Çekilen bilyelerin frklı renkte olduğu bilindiğine göre, S vey S dir bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 7

18 9. Prlrdn en z birinin yzı gelmesi, zrlrın. M F Sınıf d ynı gelme olsılığı dır. 0 rnn olsılık. bulunur. 8 Ynıt: Mtemtikten geçip fizikten kln öğrenci syısı dır. 8 j j 8 bulunur. 7 bulunur. Ynıt: 0. {,,, } s( ) s(). s(). b koşulunu sğlyn küme (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) istenen olsılık 0 bulunur. 8 Ynıt: tne son rkmı oln rkmlrı frklı üç bsmklı syı vrdır bulunur. Ynıt:. Hedefin ylnız bir kurşunl vurulmsı, birinin vurmsı birinin vurmmsı gerekir ^ + h çılımınd terim vrdır. j, j, j 0 bulundurn terimler rsyonel olur. 7 bulunur. Ynıt: rnn olsılık tür. Ynıt: 8 elt Kültür Yyınevi

19 . m m m b b kutud kln beyz ise mvi beyz rsındn bir mvinin gelme olsılığıdır. j j tür. Ynıt: !!!! toplmının olmsını gerektiren durum vrdır. bulunur... Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 9

20 TRM TSTİ: FONKSİYONLR?????? (SYF 0). f( ). f( ) + f( ) f ( ) ortk bir çözüm için olur. için için f(. ) + f(. ).. f (). f() 8 + f() bulunur. Ynıt: f () tir. Ynıt:. f() ( ) + + (b ) + c + y f() çift fonksiyon olduğundn in kuvveti tek oln terimlerin ktsyılrı sıfırdır. 0 b 0 b + b + c + + c f() + c dir.. f() f( ) için f() f() f(). f() 7 bulunur. Ynıt: f() () + bulunur. Ynıt:. f() + ( + ) b + f() fonksiyonu tek fonksiyon ise in çift kuvvetlerin ktsyılrı sıfır olmlıdır b b + 0 f() f j f j b f() () () + b. f j tür. için f() () () bulunur. Ynıt: bulunur. Ynıt: 0 elt Kültür Yyınevi

21 7. f() ^ h + f(): ve örten ise pydyı y f() fonksiyonunu tnımsız ypn değeri olmz. un göre 0 olmlıdır. f() f j f() dir. tir. f() + f () f() + f () + bulunur. f () tir. Ynıt: 9. f( ) + dir. için f(). + tür. f( ) + f ( + ) için f () () + 7 f() + f () + (7) bulunur. Ynıt: 8. y f() y O y yf() y f() fonksiyonunun grfiği y f() fonkisyonunun eksenine göre simetriğidir. Sonr y f() + y f() grfiğinin birim yukrı ötelenmişidir. 0. f(), g() + (g of) () (f og) () f (g()) f() y y y + y + O y yf()+ eğiminin olduğun dikkt ediniz. f (g()) f () +. ^+ h bulunur. O Ynıt: Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

22 . y f( + ) grfiğini dikkte llım 0 için f() y 7 için tür 7 f(() + ) 7 f() f (7) y f( + ) y için 0 olur f(. 0 + ) f() f () için f(. + ) f(). f() f() () f() f () ( ) f () f^h. f ^h. f(). f () bulunur. Ynıt: f^h+ f ^7h f ^h+ f^h + ^ h + ^ h bulunur. Ynıt:. (fof) () f(f()) f() f() f ^ h + f ^ h f ^ h + f ^ h + + bulunur. Ynıt:. ( ) f() + ( ) (fog)() + için ( ). f() + ( ) (fog)(). + f(g() 9 f(g()) 9 g() f 9 j dir. için. f() + ( ) (fog) (). +. f() 9 f() 9 & f 9 j g() olur g () bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

23 . f j + + f () f() dir. + + için f(). ^ h bulunur. tir. Ynıt:. f() b + değeri için y f() fonksiyonu tnımsızdır.. b + 0 b dir. f () b değeri için y f () fonksiyonu tnımsızdır. b 0 () 0 dir. + b + () bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

24 TRM TSTİ: NLİTİK GOMTRİ (SYF 9). (, + ) (, b). olur. (, ) ( +, b) tür. + + b + b + b b b + k k () (0) () +0 k, +0 olurs k, + olur. olyısıyl nin koordintı 0 olur. (0) dır. Ynıt: + b + b tür. 7 bulunur. Ynıt:. y L α (, ) β α K β. y ekseni üzerindeki nokt (0, k) olsun. (, ), (, ) olduğund ^ 0h + ^ kh ^0 ^ hh + ^k h (, ) + 9 k+ k + k k+ & & K, L O noktsının birim sol ötelenirse psisi olur. noktsının birim şğı ötelenirse ordintı olur. olyısıyl (, ) dir. + bulunur. Ynıt: k k 7 k k bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

25 . k (, 0) (0, ) (, 9 ) + d doğrusunun eğimi m k + d ^ d olduğundn d doğrusunun eğimi m ise m. m. m m tür., 9 j noktsındn geçen eğimi m oln doğrunun denklemi y 9 ^ ^hh y 9 ^ + h y 7 + y 0 bulunur. Ynıt:. (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini yzlım. m tür. ğimi ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemi y ( ) y y + 0 (, ) noktsının y + 0 doğrusun oln uzklığı l ise l. ^ h+ ^ h , 8 br dir. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

26 7. y d y 0 8. (, ) (, k ) y m O k m olur k, m dir. k dir. m + k + O doğrusunun denklemi yzıp y 0 doğrusuyl ortk çözüm yplım. y 0 y y ğim bulunur. Ynıt: O ile d doğrusu dik olduğundn eğimleri çrpımı dir. O nin eğimi tür. O nin denklemi y tir. / y + 0 / y 9 tür.. y +. 0 y bulunur. nin koordintlrı toplmı + () bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

27 9. d : doğrusu y + y 0. O y y d : doğrusu y için dir. y + + y 0 y S y y için. 8 dir. d d O 8 y S y y, eşitsizliğinde O(0, 0) yerine yzdığımızd doğrunun sğ trfını + y 0 eşitsizliğin (, 0) noktsını yerine yzrsk + y 0 sol trfını ve y dikkte ldığımızd trlı bölgeyi bulmuş oluruz. y y için () + y 0 dir. S. br ^+ h. S 7 S + S + 7 br y için olur. y / + y 0 y y dir. br dir. Ynıt: Trlı ln. br bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 7

28 . d : + by + 0 ( + ) by + 0 d : + by + y b 0. d doğrusunun eğim çısı olduğundn eğimi m tn dir. + (b + ) y b 0 d d ise + b b + b + b b + b b b 8 0 (b ) (b + ) 0 b 0 v b + 0 b b b için tür. b için ğimi m oln (, 0) noktsındn geçen doğrunun denklemi y 0 ( ) d : y + olur (, ) noktsı d üzerinde olduğundn + olur. d : doğrusunun denklemi b y + ve (, ) noktlrı d üzerinde olduğundn + b + b b bulunur. + b () + () bulunur. Ynıt: lrın toplmı + bulunur. Ynıt: 8 elt Kültür Yyınevi

29 . d. Şekil dikkte lındığınd (, ) ve G(, ) olur. (, ) (, ) (, ) + ^ h c, + m ^, h ^ h m Ort dikme doğrusunun eğimi m olsun. m. m m() m dir. d doğrusunun eğimi m ise m d doğrusunun denklemi y ( ) y 0 için ( ) II. yol bulunur. y d ğimi m oln (, ) noktsındn geçen doğru denklemi y ( ()) y + y 0 bulunur. Ynıt: G α O α ğimler eşit olduğundn tn F tn bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 9

30 . y (, ) O (, ) () 7 br () 8 br () 7. 8 br bulunur. Ynıt:. y doğrusund için y (, ) olur. O doğrusunun eğimi ise doğrusunun eğimi tür. oln doğru- (, ) noktsındn geçen eğimi nun denklemi y ^ h y 8 + y +, doğrusunun denklemi olur. / y + / y 0 y 7 y 7 tür. y tür bulunur. Ynıt: 0 elt Kültür Yyınevi

31 TRM TSTİ: ÖRTGNLR V ÇOKGNLR (SYF ). K L. S S 0 olck şekilde [] çizelim. [K], & üçgeninde ort tbn, [L] & üçgeninde ort tbndır. KL & üçgeninde üçgen eşitsizliğini yzlım. < < + < < 8 dir. // olbilme durumunu dikkte lırsk olur. olyısıyl < 8 olur. lbileceği tne tm syı değeri vrdır. Ynıt: H. ^& h. ^ & h ^ & h S ^ & h S S S 9 br H dik üçgeninde pisgor bğıntısı yzılırs H + 9 br bulunur. Ynıt:. t F t. k 9S S 0S k 0 S t k, k F F F F t t [] köşegen olmk üzere, 0S 0 S br (F). S. br Ynıt: k H K & dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. 0 + K K br dir. K ( ) br olur. K & dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. + ( ) + + K 00 br olur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

32 . 7. K 9 α S β S 9 K S α 0 L F Ymuğun özelliğinden L ^ h ^KL h () S düşünürsek ^ & h S olur ve dolyısıyl ^ & h & S ^ & h S F ^ & h ^FK & h 8 br (FKL) br bulunur. Ynıt: () S br dir. 9. S S 7 br br K ^& h. 9.. sin br bulunur. Ynıt:. H 9 8. F α α α α K [] // [K] çizelim K 9 K ikizkenr üçgen olur. K br, K 9 br olur. H dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. H + H 9 br H ^& h 9. br bulunur. Ynıt: br dir. F & dik üçgeninde pisgor teoremi yzılırs br olur. 8 br (). 8 br bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

33 9. H α α β β deltoid olduğundn [] ^ [] olur. olur. ikizkenr üçgen [H] ^ [] çizilirse H H br olur. ().^ & h.. 0 br Ynıt:. k k K S & dik üçgeninde öklid bğıntısını yzlım.. H H 8 br & dik üçgeninde öklid bğıntısını yzlım H. H br H & + H & k ise k dır S. S br H ^& h. S. H S k 0. F. br bulunur. β β Ynıt: G α+β α 0 H α & ve ikizkenr üçgen (G) br, br olsun. + b 0 + b 0 br Sekizgenin çevrel çemberinin yrıçpı R ^& h. 0.. sin 0.. br 0 br bulunur. Sekizgenin lnı sin Ynıt: br Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

34 .. S L K F 7 7 K 0 G 0 H (S + ) S + S + S + S br (). ( + ) br bulunur. Ynıt: GH dik üçgeninde pisgor bğıntısı yzlım. ^h + ^ h ^ 7h 8 8 br FKG & dik üçgenin pisgor bğıntısını yzlım. (7) + ^ h 9 +. br bulunur. Ynıt:. L. L M K (0) + (8) L 00 + ^ h br dir. () bulunur. Ynıt: 0 br bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

35 TRM TSTİ: İKİNİ RN?????? NKLM V FONKSİYONLR (SYF ) ( 8) ( + ) v (). (m ) + m 0 denkleminin simetrik iki kökü vrs kökler toplmı sıfırdır. + 0 ^ ^m hh 0 m 0 m tür. Ynıt: bulunur. Ynıt:. + (m ) + m 0, b m, c m Δ b.. c 0 olmlıdır.. + m + 0 denkleminin kökleri, olsun. n + b 0 denkleminin kökleri, olsun. / + () m (m ).. ( m) 0 m m m 0 m + m 0 (m + ) (m ) 0 m + 0 v m 0 m m Ç.K {, } olur. Ynıt: + n m + n dır.. ^h &. b dir. m + n +. b m + n + b + () olur. Ynıt:. 0 denkleminin kökleri ve ise b + 0 denkleminin bir kökü i ise diğeri + i dir. + b. i + + i b ( i) ( + i) b tür. + b + 9 bulunur. i tir. Ynıt: bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

36 7. z + z + k 0 9. z i z + i denkleminin köklerinden biri z i ise diğer kökü z+ z + i + i c m e z z i ^ + ih o z + i dir. z. z k f p i ( i) ( + i) k i k () k k olur. i bulunur. Ynıt: Ynıt: tür olur. Ynıt: 0. c + i m i ( + i) 07 ^+ ih^+ ih c m i 07 i i i 07 c m + i c m i 07 i Ynıt: elt Kültür Yyınevi

37 z+ z. i z +, z z z + i z z z z c z z c z + m + i + i m z + + i z + i (z + ) ( + i) (z ) ( + i). f() + (m + ) + m + prbolünün tepe noktsı y ekseni üzerinde ise r b 0 olmlıdır. ^m + h 0. m m olur. Ynıt: z( + i) + + i z( + i) ( + i) z( + i) z( + i) i i z( + i i) i z^ + ih i + i + i ( i) ^ ih^ ih z z + i i+ i 8+ i + i Re(z) olur. Ynıt:. (i + i 0 ). ( i 07 ) ( i 08 ) (i + i 0 ). ( i). ( i ) (i + ). ( i). ( + ) ( + i). ( i). ( i ). ( + ). bulunur. Ynıt:. Tepe noktsı T(, ) prbol üzerindeki nokt (, 0) olmk üzere, f() ( r) + k f() ( ()) + f() ( + ) + (, 0) noktsını fonksiyond yerine yzlım. 0 ( + ) + dir. f() ( + ) + f() ( + ) + bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 7

38 . y O y f(). y / y ( ) ( + ) 0 0 v + 0 f() + + k prbolünün tepe noktsı r b. dir. değeri [], ort noktsının psisi olduğu için (, 0) ve (, 0) noktsıdır. f() + + k fonksiyonu (, 0) noktsını sğlr k k tir. f() + olur. Trlı ln 8. 0 br dir. Ynıt: için y (). (, ) olur. için y? y () () 0 (, 0) olur. (, ) ve (, 0) noktlrındn geçen doğrunun denklemi m 0 ^ h ğimi m ve (, 0) noktsındn geçen doğrunun denklemi y 0 ( ()) y + y 0 olur. Ynıt: 8 elt Kültür Yyınevi

39 TRM TSTİ: POLİNOMLR (SYF ). P ^ + h Q^+ h + + Q(), P(0)? için P^ + h () Q^^ h+ h + () + P^0h + Q^h P^0h. P() + Q() ( + ) (b c) P() Q() olduğun göre için P() Q() () + () ( + ) (b. ( ) c) (b c) + b + c 7 bulunur. Ynıt: P(0) bulunur. Ynıt:. n, n ve 8 kesirleri doğl syı olmlıdır. n n syısı OKK(, ) ve nın ktı olmlıdır. 8 dolyı d 8 tm bölen syılr olmlıdır. n n 8 lınırs 8, 8, 8 8 Polinomun derecesi en fzl olur. n için polinomu derecesi en z b ise b olur. + b +, 0 bulunur., 8 Ynıt:. + ^ h^+ h + ^+ h ^ h ^ + h+ ^ h ^ h^+ h ^ + h^ h ( + ) + ( ) ( + ) + + / tir. + 7 dir. 7 olur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 9

40 . P( ) ( ). + + P( ) ( ) ^ h + ( ) + 7. P() + b + c polinomunun bir kökü i ise diğer kökü + i dir. t olsun P(t) ( ) t + t + P(t) polinom olmsı için 0 olmlıdır. dir. P(t) t + vey P() + olur. P( ) polinom ile bölümünden kln 0 dir. P( ) polinomund yzılır. P( ) P()? P(). () + olur. Ynıt: + b + c 0 denkleminin kökler toplmı b + i + i b kökler çrpımı c ( + i) ( i) c i () c P() + P() () () bulunur. Ynıt:. P() + b + c ve Q() k olsun P() + Q() + b + c + k + + b + c + k, b 0 ve c + k olmlıdır. P() + k P(Q()) olduğundn k + k k k 0 k. k bulunur. Ynıt: 8. P() P() P() 0 olduğund +,, ifdeleri P() polinomunun birer çrpnlrıdır. P() ( + ) ( ) ( ) P() ise ( + ) ( ). ( ).. (). () 8 dir. P( + ) polinomu ile bölümünden kln 0 polinomd yerine yzılırs, P( + ) P() 8 ( + ) (( ) ( ) bulunur. Ynıt: 0 elt Kültür Yyınevi

41 9. y y z z 8 y + z yz (y ) + z( y) ( y) + z( y) ( y) (z ). (8). + b y by b ( + b) y( + b) ( + b) ( + b) ( y ) dir. Ynıt: bulunur. Ynıt: ^0 h^0 + h ^0h 0 Ynıt:. + + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) Ynıt: ^ + yh y +. : y y y y + ^ h^+ h : + y+ ^+ h y + + y+ y y y. + y+ ^+ yh ^y + y+ h. + y+ ^+ yh ^y + h. + y ^ h ^+ h ^ h ^ + + h + ^+ h ^+ h ^+ h ^ h ^ + h + bulunur. Ynıt: ^+ y y h. ^+ y+ y+ h. ^+ y+ h. bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

42 . c y y m: ^ y + : y c y + m f p y y c : y m c + y m. ^ y h ^ h. e. y o y ^ + h ^ y h^ y + h. ^ y bulunur. y y h y + h Ynıt: +. : + +. j: +. j + ^ + h : ^ h + ^ h. ^ h ^+ h bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

43 TRM TSTİ: ÇMR?????? V İR (SYF 9).. H β O α α r r K OH &, KO & olduğundn OH br, OK br HK + β dir. Çünkü ile gördüğü yylrın ölçüleri eşittir. Ynıt: 7 br bulunur. Ynıt:. H O L F. 0 P 0 OH dik üçgen OH br OLF dik üçgen OL br HL + 7 br bulunur. Ynıt: Küçük çemberden dolyı P P olur P 0 tir. üyük çemberde kuvvet yzılırs 0 (0 ). 00 ^0 h. 0 br bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

44 r r r r 0 0 r O O noktsını merkez olrk lırsk O F O r ve O & eşkenr üçgen olur. Ç() O & ikizkenr üçgen olur. ( + ) & üçgeninin iç çılrı toplmı br 0 r 0 bulunur.. Ynıt: br Ynıt: O 0 0 O çemberin merkezi olsun 0 F L 8. O 0 Trlı lnlrın toplmı r (p 8) br Ynıt: OF ve O eş iki eşkenr üçgen olur. OK & ikizkenr dik üçgen olur. br bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

45 H. K 0 O 0 m^ % h m ^ % h olduğundn 0 br ikizkenr üçgen, [] ^ [] dik üçgenin öklid bğıntısını yzlım. ^ 0 h. ( + ) 8 br olur. Ynıt: çılrını dikkte ldığımızd K K br dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım c m + ^ h br bulunur. Ynıt: 0. R L O r Y. 8 8 OL dik üçgeninde pisgor teoremini yzlım. + r R R r 9 Trlı ln pr pr p(r r ) 9p br bulunur. Ynıt: m^xh+ m^w h 80 m^x h 80 & mx 90 çp olur. 8 + br yrıçpı br dir. Trlı ln r. ^ h. 8. 0p (p 8) br Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

46 . r r r 0 r O r H [] ^ [] olur çpı gören çevre çı 90 dir.. r r L r 9 r α β α β K O ikizkenr üçgen olur. 0 bulunur. Ynıt: O & + OF & r r 9 r r br Trlı lnlrın toplmı 0. r p 7 8. br bulunur.. 0. r Ynıt: 0 F 0 bulunur. Ynıt: merkezli direnin yrıçpı r ise pr p r r br merkezli büyük direnin yrıçpı r br olsun p pr (p(r ) + p. ) r r^r ^r 8r + + hh 8r 0 8r r 7 br Çevre pr p. 7 p br dir. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

47 TRM TSTİ: GOMTRİK İSİMLR (SYF 7). G F H V hcim.. br Ynıt:. ikdörtgenler prizmsının yrıtlrı, b, c olsun b c k olsun Küpün bir yrıtı br olsun Vküp Vprizm... b. c k k. k. k k br dir. Küpün lnı, dikdörtgenler prizmsının lnının n ktı olsun. (k) n. (k. k + k. k + k. k). k n.. (8k + k + 7k ). k n.. k 8 n.. n 7 bulunur. Ynıt:. ln. (. b + b. c +. c) + + b c ^b. ch ^. ch ^c. bh b. c+. c+. b. b. c (b. c +. c +. b). b. c V hcim. b. c. b. c. ʹ ʹ ʹ dik üçgeninde pisgor bğıntısı + br bulunur. Ynıt: br ʹ dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. ʹ br bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 7

48 . 7. G F F H K L h +,, h h br h F Vküp Vüçgen pirmit ^h br bulunur. Ynıt: ln ^ h. br bulunur. Ynıt:. K 8. Koninin yrıçpı r ise kürenin yrıçpı r + r r dir. Koninin yüksekliği h olsun O Pirmidin yn yüz yüksekliği H 8 8 br dir. O noktsı ğırlık merkezi olduğundn OH br KOH dik üçgeninde pisgor bğıntısı yzılırs OK br dir. V 8. V küre V koni r. ^rh r r. h. 7. r r. h h 08 bulunur. r Ynıt: br olur. Ynıt: 8 elt Kültür Yyınevi

49 9. H G. r K F R G & dik üçgeninde öklid bğıntısını yzlım... br br olur. Ynıt: pr p r br dir. R r R br bulunur. V küre. r. p br bulunur. Ynıt: 0. b c k k V (k) 8k b k V (k) 7k c k V (k) k k (8k + 7k ) 90k br br boş yer vrs Küpün lnı. 8 br u yüzey lnınd. 8 br çıkrıp bir ynl lnı. 8 br oln tne dikdörtgenin lnını ekleyeceğiz br bulunur. Ynıt: 8 bulunur. %8 boş klır. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 9

50 . T. P h h 9.V 9.V Ynl ln 80 br Tüm ln br Tbn ln br dir. Tbnının bir yrıtı br ise Kesik koninin hcmini hesplylım. 8 br dir. Ynl ln 8.h pirmidin yüksekliği h h + h br dir. 80 h br P & + P & h h + h h + 8 h 8 h 8 br dir. V hcim r. 8. p br bulunur. Ynıt: enzerlik ornı olduğundn hcimlerin ornı j 8V dır. V 8 V r. V r br 9. 8 Kesik koninin hcmi 9V 7 r 9. p br olur. Ynıt: 0 elt Kültür Yyınevi

51 . R. Oluşn cisim yrıçpı br oln bir kürenin hcminin dir. 8 Hcim r R R r... p br bulunur. Ynıt: 0 br bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

52 . ÖNM SONU NM?????? SINVI (SYF ). ^0h!! Z olmsı için n 0,,, olur. ^^n!!! hh 0! 0!! Z ^^0! h!! h. 0! 0!! Z ^^! h!! h 0! 0!! Z ^^! h!! h 0! 0! 0!! Z ^^! hh!! ^! h! 70! Ynıt: j. j. 0 0 bulunur. Ynıt:. ^+ h! + ^ h!. 8 j bulunur... Ynıt: ^+ h.. ^ h! + ^ h! ^ h! ^ + + h ^ h ^ + + h ^ h ^ h!! tir. Ynıt:.. P(n, ) + P(n, ). n! ^nh! + ^n h! ^n h! nn ^ h ^n h! ^nh^n h^n h!. + ^n h! ^n h!. n tne kdın olsun. n j n nn ^ h n. n n 0 n n n + n n n + n 0 0 n (n + ) (n ) 0 n n v n n bulunur. Ynıt: n olmz, n tir. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

53 7. İlk soru İlk soru j. j+ j j bulunur. Ynıt: 9. ( y + z ) n çılımı bir k.. y. z terimi olduğun göre, kuvvetleri denkleştirelim. k.. (y ). (z ) + + n n tir. ten kçı çıkrırs eder diye düşünelim. j ^ h. ^ y + z h benzer şekilde y ve z kuvvetler düzenleyelim.. j ^ h j. ^ y h. ^z h... y. z 0 y z olur. k 0, n k + n 0 + bulunur. Ynıt: 8. Sbit terimde 'in kuvveti sıfır olmlıdır. j. j. c b m r b r r ( ) r. ( ) r 0 olmlıdır. r r 0 r 0 r dir.. j j. c b m b... b j c m. b. b b olur. b Ynıt: 0. 0 Yüzler bsmğı oln syılr 0 Yüzler bsmğı oln syılr 0 Yüzler bsmğı oln syılr Yüzler bsmğı, onlr bsmğı oln syılr enzer şekilde yüzler bsmğı, onlr bsmğı oln tne, oln tne syı vrdır syı olur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

54 . M M I M II M III M M. M 0 0 Sınıf mevcudu 00 olsun. Mtemtikten klnlrın kümesi M, geometriden klnlrın kümesi G olsun. P(G/M) PM ^ + Gh PM ^ h G 7 bulunur. Ynıt: II. beyz olm olsılığı. Çekilen bilyenin beyz olm olsılığı j 7 7 olur. Ynıt:. {,,,, } s() {,, } s() s( ) s(). s(). (, y) + y olsun + y koşulunu sğlyn frklı ikili vrdır. olur. Ynıt:. f( + ) f ( ) f(f( + ) f(f ( )) (fof) ( + ) için (fof) (). bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

55 . (f og) () + g() f( + ) 7. (fog) () f(g()) f(f( + )) için α β α b f(f()). &, & (fof) () bulunur. Ynıt: olduğundn tür. Ynıt:. y f() çift fonksiyon f( ) + f( ) ( ) + ( + ) + f( ) + f( ) ( ) + ( + ) + f( ) ( ) + ( + ) + f çift fonksiyon olduğundn + 0 olmlıdır.. f( ). f. j j f j bulunur. Ynıt: 8. &, L & L & dik üçgeninde öklid bğıntısını yzlım.. () 9 br dir.. br bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

56 9. y (, y ) (, y ). ( +, ), y eksenine oln uzklığı birim ise + olmlıdır. (, ) (, 7) olur. O (, y ) (, y ) (, 7) noktsının y doğrusun oln uzklığı 8 br dir. Ynıt: y y + y + y y + y 0 y + y 0 y + y + y + y 0 olur. Ynıt: 0. α O y α 8 8 y 0 (8, 0). k k 8 O (, 8) 8 y için y tür. y 0 için dir. tn tn dır. (, ) olur. Ynıt: 8 (, ) H dik üçgeninde iç çıorty bğıntısı yzılırs O k ise k olur. H dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. (k) (k + ) + 8 k k + 8k + + k 8k 80 0 k 0 k + (k 0). (k + ) 0 k 0 v k ulunduğu nokt itibriyle 0, 0j olur j 0 Ynıt: elt Kültür Yyınevi

57 . y d S S K S S S S O L d d : + y 0 d 0 için. 0 + y 0 y tür. y 0 için dir. d : + y 0 0 için y. S k S k & ve & üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundn S ^ & h S, ^ & h S olsun. ^ & h ^h olduğundn ^& h S olur. S S 0 br bulunur. 0 Ynıt: y tür. y 0 için tür. Üç doğrunun kesişim noktsı (K) O & nin ğırlık merkezidir. S. S br dir. (KL). S br dir. Ynıt:. K 8 α α S 8 S S T α H 8 K &, L & olduğundn () S + T L α. ^ + h (). br 0 0 Ynıt: 8. 8 br dir. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 7

58 kirişler dörtgeni ise W+ X 80 dir. mw mw bulunur. Ynıt: t t k m L F k m [F] // [] çizilirse F F olur LF & + & LF k LF br k F & + & m m F 8 F br dir. LF & dik üçgeninde pisgor bğıntısı yzılırs L + L br olur. Ynıt: 8. F 9 K F dikdörtgen olur br olur. Ynıt: br bulunur. Ynıt: 8 elt Kültür Yyınevi

59 . ÖNM SONU NM?????? SINVI (SYF 78). + 0, ( + ). 0 bulunur. Ynıt:. z i. ( + i) ( + i) ( i). ( i) z i + i ( i ) ( i) + i ( ()). ( i) + i (( i)) + i + i + i Re(z) + Im(z) + bulunur. Ynıt:. ( + ) olurs dır. ( + ) bulunur. Ynıt:. + 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre, bulunur. Ynıt: denkleminin kökleri ve olduğun göre + dir.. dir. ise dir... () bulunur. Ynıt:. i : i ^ 9h + i i+ i : i ^ih + i ^ ih^ ih + i. ^ ih^+ ih ^ ih bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet 9

60 7. y 8. f() + + 8,, b, c 8 Tepe noktsı r b. ^ h k k O k y + m + y f() prbolünün tepe noktsı r b f() () T(, 9) eksenini kestiği nokt k dir. k ( ) ( + ) 0 k j olduğundn (, 0) olur. y + m + 0 v + 0, T(, 9) 0 () + () m + m + m m bulunur. Ynıt: 9. T ^& h 9 7 br bulunur. Ynıt: 0 elt Kültür Yyınevi

61 9. P() ^ h + + P() P() polinom olmsı için 0 dır. P() yzlım. P() () + () + + bulunur. Ynıt:. P() ( + ) (). ( ) P( + ) polinomun ile bölümünden kln 0 dir. P()? P() ( + ). ( ).. bulunur. Ynıt: 0. P( ) + Q( + ) + b + c P() Q() ise P() Q() için P( ) P() dır. Q( + ) + b + c olur. + ( ) ( + ) 8 ( ). 8 7 / + Q() P() + b + c olur. Ynıt: tür. değerini denklemde yerine yzlım bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

62 . y, y ^ h ^ y h ^ yh^ + yh. ^ + y h + y y 8 dır. + y y + y + y. y y + y y+ y ^ yh y ^ yh ^ yh ^ yh. ^ y h ^ yh ^ yh. ^+ yh y + y bulunur. Ynıt: 7 bulunur. Ynıt:. b b c c b tür. b b c c dır. + c b b + c b ( b) ( + b) + (c b) (c + b) ( + b) (c + b). +. c m + +. c m ^+ h +. + c m +. c m ^ h ^+ h ^ h ^+ h ^+ b c bh ( c) olur. Ynıt:. 8 bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

63 O 0 0 [] birleştirdiğimizde O & eşkenr üçgen olur. (O) O ^ & h.. br 9. 8 O [] çp olsun... 8 br O. br bulunur. Ynıt: Trlı ln r. 9r ^r h br bulunur. 8. r H Ynıt: 0. O 7 [] ^ [OH] çizelim H H br OH & ve OH & dik üçgeninde pisgor teoremini yzlım. % % m^h m^h& m^% h m ^% h olur. olyısıyl çıorty bğıntısını yzlım. 0 OH + OH br r OH + H br bulunur. Ynıt: r 0 br bulunur. Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

64 .. 9 O P [F] en kıs kiriştir. F 0 70 O br dir. F + br bulunur. Ynıt: O birleştirdiğimizde O ve O ikizkenr üçgen olur bulunur. Ynıt:.. O O 8S α S S bulunur. Ynıt: S S + S S S + S j 9S 0 S 9S 9 S + S 8S S. 9. S S. 0 0 bulunur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi

65 . 0 için y. 0 0 y y tür. y 0 için. 0 dir. y O 7. ir küre yontulduğund kürenin çpı, küpün köşegen uzunluğun eşittir. V küre r.r 9 r rr R R br dir. Küpün bir yrıtı br ise Koninin hcmi r.. p br olur. Ynıt: br V küp ^ h. br bulunur. Ynıt:. H 8 K G 8. T α F H 9 ʹ L T HTL & dik üçgeninde pisgor bğıntısını yzlım. LH + 0 br KHL & dik üçgeninde pisgor bğıntısı yzılırs KH + LH KL KL KL & l r. r. r olur. T & dik üçgeninde T + T + KL br bulunur. br bulunur. Ynıt: Ynıt: 0. Sınıf Mtemtik Özet

66 9. Yrıçpı br oln kürenin yrı lnı, yrıçpı br oln yrı kürenin lnı ve hlknın lnının toplmı boynck yerdir. r r. + +^ hr 0.. 0p + p + 9p 9p br bulunur. Ynıt:.. ikdörtgenler prizmsını düşündüğümüzde yüzeydeki ortd kln küplerin sdece bir yüzü boylı olur. + + tne bir yüzü boylı küp olur. Ynıt: elt Kültür Yyınevi