ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME

Transkript

1 Bölüm 6 ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME VE ÖRTÜŞME

2 12 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme 6.1 GİRİŞ Bu bölümün amacı, verilen bir işaretin zaman veya frekans domenlerinden birinde örneklenmesinin diğer domene olan etkisini incelemektir. sürekli zamanlı bir f(t) işaretinin zaman domeninde örneklenmesinin, frekans domeninde periyodik bir dalga formu oluşturduğu gösterilecektir. Sınırlı bant genişlikli bir f(t) işaretini, f(nt) örnekleri yardımıyla tamamen belirleyen Shannon teoreminin ispatı verilecektir.

3 6.2. Frekans Domeninde Örnekleme FREKANS DOMENİNDE ÖRNEKLEME zaman domeninde konvolüsyon işlemi frekans domeninde çarpıma karşı düşmektedir. P periyotlu impuls treninin f(t) işareti ile konvolüsyonundan, periyodik f P (t) dalga formunun elde edilmesi Şekil 6.1 de gösterilmektedir. Buna göre, sonsuz uzunlukta bir impuls treni δ P (t) = k= δ(t kp) (6.1) biçiminde yazılabilir.

4 14 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme f(t) t s 0 1 t s 2 a) d (t) P t (1) -2P -P 0 P 2P t b) f P (t) -2P -P 1 t t P s 2P s t 2 2 c) Şekil 6.1 Aperiyodik bir fonksiyonun impuls treni ile konvolüsyonunun elde edilmesi; a) Zaman domeninde sınırlı f(t) işareti; b) Periyodik impuls treni, P > t s ; c) Periyodik işaret.

5 6.2. Frekans Domeninde Örnekleme 15 Buradan, f(t) işaretinin periyodik olarak tekrarlanmış biçimi f P (t) = f(t) δ P (t) = = k= f(τ) δ(t τ kp)dτ k= f(t kp) (6.2)

6 16 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme olarak elde edilir. Zaman domenindeki konvolüsyonun frekans domeninde çarpmaya karşı düşme özelliği kullanılarak, F[f P (t)] = F f(t kp) k= (6.3) = F(ω)F[δ P (t)] f P (t) nin Fourier dönüşümü bulunur. F[f P (t)] =F f(t kp) k= = 2π P F(ω) δ(ω kω 0 ) k= (6.4)

7 6.3. Zaman Domeninde Örnekleme ZAMAN DOMENİNDE ÖRNEKLEME Verilen bir f(t) işaretini örnekleme işlemi, f(t) ve periyodu T olan bir impuls dizisinin çarpımı ile ifade edilir. T periyotlu impuls dizisi δ T (t) = n= δ(t nt) (6.5) olduğuna göre, f(t) nin (6.5) ile çarpımı f(nt) = f(t)δ T (t) (6.6)

8 18 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme örneklenmiş işareti göstermektedir. Zaman domeninde çarpım frekans domeninde konvolüsyona karşı düştüğünden, elde edilir. F[f(nT)] = (1/2π){F(ω) F[δ T (t)]} { } = 1 F(ω) 2π δ(ω 2πn/T) 2π T n= = 1 F(ω n2π/t) T n= (6.7) (6.7) deki ilişkide örneklenmiş işaretin Fourier dönüşümünün, orijinal f(t) işaretinin Fourier integralinden nasıl bulunacağı görülmektedir. Buna göre, f(nt) nin spektrumu, F(ω) nın

9 6.3. Zaman Domeninde Örnekleme 19 2π/T nin tam sayı katları kadar kaydırılmış kopyalarının toplanıp 1/T ile çarpımından bulunur. Şekil 6.3 te bu durum görülmektedir.

10 20 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme F(w) a) -w c F (w)= w 0 w c F [f(nt)] w 1 T F(w) -2 w 0 -w 0 b) w c w c - w 2w 3 w w Şekil 6.2 Örtüşmesiz ideal örnekleme; a) Sınırlı bantlı bir f(t) işaretinin Fourier dönüşümü; b) T < π/ω c için örneklenmiş f(nt) işaretinin Fourier dönüşümü (ω 0 = 2π/T).

11 6.3. Zaman Domeninde Örnekleme 21 Aıklama 6.1 f(t) nin frekans spektrumu F(ω) = 0, ω > ω c için (6.8) koşulunu sağlarsa, f(t) işareti ω c rad/sn ye bant-sınırlı denir. Şekil 6.3 ten görüldüğü üzere, bant-sınırlı bir işaretin T < π/ω c aralıklarında örneklenmesi durumunda, örneklenmiş işaretin spektrumu birbiri ile çakışmayan (örtüşmeyen) periyodik kopyalardan oluşmaktadır. Bu gözlem, örnekleme teoremi yada Shannon teoreminin ifadesi ve ispatında kullanılacaktır.

12 22 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme 6.4 FREKANS DOMENİNDE ÖRTÜŞME (6.7) den, örneklemenin analog işaretin spektrumuna ek olarak bir dizi ikincil spektrum ortaya çıkardığı görülmektedir. Orijinal işaretin elde edilmesi bu ikincil spektrumun uygun bir analog alçak geçiren süzgeç ile ortadan kaldırılmasıyla mümkündür. Analog işaret, (6.8) de tanımlandığı gibi bant-sınırlı bir işaret değilse, orijinal spektrum ile ikincil spektrum arasında bir çakışma (veya örtüşme) olur. Şekil 6.4 te bu örtüşme görülmektedir. İşaretin bant-sınırlı olmamasından dolayı olan bu örtüşme, analog işaretin örneklenme öncesi bir alçak geçiren süzgeçten

13 6.4. Frekans Domeninde Örtüşme 23 geçirilmesi ile önlenir. En büyük frekans bileşeni ω c olan bant-sınırlı işaret, T < π/ω c aralıkları ile örneklenirse örtüşmenin olmadığı grafiklerden görülmektedir. Sınırlı bantlı bir işarette örtüşmenin etkisini görebilmek için aşağıdaki örneği inceleyelim.

14 24 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme F(w) 0 w 1 T F(w+w ) 0 F (w)= w F[f(nT)] 0 1 F(w) T 1 T F(w -w ) 0 -w w w 0 w Şekil 6.3 Sınırlı bantlı olmayan işaretin örneklenmesi ile oluşan örtüşme; a) Sınırlı bantlı olmayan f(t) analog işaretinin spektrumu; b) Herhangi bir örnekleme aralığı T = 2π/ω 0 için örneklenmiş f(nt) ayrık-zamanlı işaretinin spektrumu. Taralı alan örtüşen frekans bölümlerini göstermektedir.

15 6.4. Frekans Domeninde Örtüşme 25 X(w) - w c 0 w c w Örtüsme. Ideal Alçak Geçiren Süzgeç X (w) w 0 w 0 = 4 3 w c -w -w 0 c 0 w c w 0 w -( w - w ) 0 c w -w 0 c -( w - w ) 0 c 0 w -w 0 c w Şekil 6.4 Alçak frekansta örneklemenin frekans domenindeki etkisi; a) Orijinal ω c frekanslı sinüzoidal işaret; b) ω 0 < 2ω c ile örneklenmiş işaretin spektrumu; c) İdeal alçak geçiren süzgeçten geçen işaretin spektrumu.

16 4f 26 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme n Şekil 6.5 Sinüzoidal bir işaretten örnekleme ile daha düşük frekanslı bir sinüzoid elde edilmesi. X(f) 0 f N 2f N 3f N f X(f) f N 3 f N f 0

17 6.4. Frekans Domeninde Örtüşme 27 rnek 6.1 x(t) = A cos ω c t, ω c = 2π3000 rad/sn olan analog işaretin, T = 1/4000 saniye aralıklarla örneklenmesi durumunda x(nt) nin frekans spektrumunu inceleyelim. T < π/ω c koşulu sağlanmadığından örtüşme olacaktır. Bu durum Şekil 6.5 te görülmektedir. Ayrıca, örneklenmiş ayrık-zamanlı işaretin frekansı 1/2T den daha küçük 1000 Hz lik bir dalga formuna karşı düştüğü hem frekans domeninde, hem de zaman domeninde görülmektedir. Gerçekten, x(nt) nin frekans domeninde alt kesim frekansı ε Hz olan bir ideal alçak geçiren analog süzgeçten geçirilmesi

18 28 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme sonucu ω c = 2π1000 rad/sn lik bir sinüzoid elde edilir. Şekil 6.6 da, zaman domeninde sinüzoidal ayrık-zamanlı işaretten daha düşük frekanslı bir sinüzoidin geçtiği görülmektedir. Her iki domende de görülen bu frekans değişiminin nedeni örtüşmedir. Sınırlı bantlı işarette gösterilen bu örtüşme etkisinin sınırlı bantlı olmayan işaretlerde de göstermek mümkündür [3]. Pratikte karşılaşılan pek çok işaret sınırlı bantlı değildir. Örnekleme frekansı ne kadar büyük seçilirse seçilsin yine de örtüşme olacaktır. Nyquist frekansı veya katlama frekansı olarak adlandırılan f N = 1/2T frekans değeri, bu örtüşmenin

19 6.5. Shannon Örnekleme Teoremi 29 etkisini belirlemede çok önemlidir. Katlama kavramı Şekil 6.7 de gösterilmiştir. Buna göre, f N (Nyquist frekansı) üzerindeki frekans bileşenleri katlanarak sıfır ve f N frekansı arasındaki bileşenlerin üzerine gelmektedir. 6.5 SHANNON ÖRNEKLEME TEOREMİ Analog işaret işleme ile sayısal işaret işleme disiplinleri arasındaki köprü örnekleme teoremidir. Bu önemli özellik sayesinde, analog sistemlerin ve yöntemlerin sayısal olarak gerçekleştirilmesi mümkün olmaktadır.

20 30 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme Örnekleme Teoremi Bant-sınırlı analog f(t) işareti, ayrık zamanlarda f(nt) şeklinde örneklenmiş değerlerinden yeniden elde edilebilir. f(t) = f(nt) sin {(t nt)ω ö/2} {(t nt)ωö/2} Burada, n= (6.9) F(ω) = 0, ω > ω 0 için (6.10) Yani f(t) işareti ω 0 ile bansınırlı olmaktadır. Örnekleme frekansı ωö ise aşağıdaki koşulu sağlamalıdır. ωö = 2π T > 2ω 0 (6.11)

21 6.5. Shannon Örnekleme Teoremi 31 Tanıt. (6.7) den F[ f(nt)] nin ω değişkenine göre periyodik bir işaret olduğu görülmektedir. O halde, Fourier serisine açılımı yapılabilir. F ω0 (ω) = F[( f(nt)] = F k e jk(2π/ω ö)ω = k= k= F k e jktω (6.12)

22 32 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme Burada, Fourier serisi katsayıları, F k = 1 ωö = T 2π ωö/2 ωö/2 ωö/2 ωö/2 F(ω)e jk(2π/ω ö)ω F(ω)e jktω dω ilişkisinden bulunur. (??) deki ters Fourier integralinden, f(t) = 1 2π ωö/2 ωö/2 yazılabilir. (6.13) nin (6.14) ile karşılaştırılmasından (6.13) F(ω)e jωt dω (6.14) F k = T f( kt) (6.15)

23 6.5. Shannon Örnekleme Teoremi 33 bulunur. O halde, F ω0 (ω) nın Fourier serisi açılımı, (6.15) ve (6.12) dan F ω0 (ω) = T k= f( kt)e jktω = T k= f(kt)e jktω (6.16) olur. (6.6) daki ifadede, f(t) nin t = kt; k = 0, 1, 2, 3,... ayrık anlarındaki değerlerinin, periyodik frekans domeni fonksiyonu F ω0 (ω) nın Fourier serisi katsayılarını belirlediği görülmektedir. F(ω) = F ω0 (ω), ω ö 2 < ω < ω ö 2 için (6.17)

24 34 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme olduğuna dikkat ederek, (6.16) ve (6.14) den sürekli f(t) işareti yeniden elde edilir. f(t) = 1 2π = T 2π = T 2π = ωö/2 ωö/2 ωö/2 ωö/2 k= k= F(ω)e jωt dω { K= f(kt) f(kt)e jktω }e jωt dω ωö/2 ωö/2 e j(t kt)ω dω f(kt) sin {(t kt)ω ö/2} {(t kt)ωö/2} (6.18)

25 6.5. Shannon Örnekleme Teoremi 35 Bu denklem aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir. f(t) = f(kt)sinc[fö(t kt)] (6.19) k= sin πa sinc(a) fonksiyonu, sinc(a) = olarak tanımlanır. (6.19) deki πa interpolasyon denklemine bir kez daha baktığımızda, bunun bir konvolüsyon işlemi olduğunu görebiliriz. sinc(föt) ideal alçak geçiren bir süzgecin impuls cevabıdır. Böylece, bu interpolasyon işlemi, f(kt) örneklenmiş işaretinin ideal alçak geçiren bir süzgeçten geçirilmesine eşdeğer olmaktadır.

26 36 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme REFERANSLAR 1. A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw-Hill, New York, R.W. Hamming, Digital Filters, Dover Publications, L.B. Jackson, Digital Filters and Signal Processing, Kluwer Academic Publishers, V. K. Ingle and John G. Proakis, Digital Signal Processing Using MATLAB, Brooks Cole, 1999.

27 Problemler 37 PROBLEMLER 6.1 Sürekli-zamanlı bir işaretin spektrumu Şekil 6.13 te gösterildiğine göre, aşağıdaki örnekleme frekansları için örneklenmiş işaretin spektrumunu bulunuz. (a) ω 0 = 30 rad/sn (b) ω 0 = 15 rad/sn (c) ω 0 = 10 rad/sn

28 38 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme F(w) w [rad/sn] Şekil x(t) = sin 2πt işareti T = 0.5 saniye örnekleme aralıkları ile örneklensin. Ayrık-zamanlı x(nt) işaretinden x(t) yi elde etmek mümkün müdür? Bu durum, örnekleme teoremi koşullarını sağlar mı?

29 Problemler İnsanlardaki beyin dalgaları 0 Hz ile 45 Hz frekansları arasındadır. Bu işaretleri sayısal olarak işleyebilmek için alınabilecek en büyük örnekleme aralığı nedir? 6.4 u(t) = cos 2π10 3 t cos 2π t işaretinden saniyede 5000 örnek alınarak elde edilen x(n) örneklenmiş işaretinin, kesim frekansı 2.5 khz olan bir alçak geçiren süzgeçten geçirilmesi durumunda çıkış nedir? 6.5 x(t) analog işaretinin bant genişliği f 0 = 5 Hz olarak verilmektedir. Bu işaret frekansı ω g = 75π olan sinüzoidal bir gürültü işareti x g (t) ile bozulmaktadır. Bozulmuş

30 40 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme işaret x b (t) = x(t) + x g (t), ωö örnekleme frekansı ile örneklenmektedir. a) ωö = 50π için örneklenmiş işaretin frekans spektrumunu çiziniz. x(t) işaretini alçak geçiren süzgeçleme ile elde edebilir miyiz? b) ωö = 70π için örneklenmiş işaretin frekans spektrumunu çiziniz. x(t) işaretini alçak geçiren süzgeçleme ile elde edebilir miyiz?

31 Problemler 41 MATLAB UYGULAMALARI M6.1 x(t) = e at u(t), a = 1500 işareti için Fourier integralini MATLAB kullanarak bulunuz. Bu işaret, f 1 = 5 khz ve f 2 = 2 khz örnekleme frekanslarıyla örneklendiğinde elde edilecek örneklenmiş işaretler için Fourier dönüşümlerini çizdiriniz. Örnek?? de kullanılan MATLAB programlarından gerekli değişiklikleri yaparak faydalanabilirsiniz. Sonuçları yorumlayınız.