İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.

Transkript

1 ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli ve bu odelin standart biçimde gösterimi şöyleydir: kısıtlar: Satır0: Satır1: Satır2: Satır3: Bir DP modelinin standart biçime dönüşümünde 2 adım: Adım1. Amaç fonksiyonu eşitliği, eşitliğin sol tarafında yalnız değişkenler sağ tarafı ise yalnız sabit değerler kalacak biçimde yeniden düzenlenmelidir. Adım2. Tüm kısıtlar için yeni karar değişkenleri eklenmesi ve bu yeni değişkenleri kullanarak eşitsizlik kısıtlarının eşitlik biçiminde ifade edilmesi. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eklenir. Ve "negatif olmama kısıtına eklenen değişkenler de ilave edilir. Not: Eklenen değişken çeşidini azaltmak ve taşma değişkeni kullanmamak için eşitsizlik kısıtının yön değiştirmesini sağlamak gereklidir. Bir eşitsizliğin her iki tarafı da nefatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik işareti yön değiştirir. (Eşitsizlik kısıtlarının her iki tarafı da -1 ile çarpıldığında büyüktür veya eşittir işareti, küçüktür veya eşittir işaretine dönüşür. Böylece taşma değişkeni yerine aylak değişken kullanılır ve değişken çeşidi azaltılmış olur.) Aynı yöntemle minimizasyon modellerinin amaç fonksiyonarında eşitliğin her iki tarafı da -1 ile çarpılarak bir maksimizasyon modeli elde etmek mümkündür. (Bu durumda elde edilen optimal çözüm değeri yeniden -1 ile çarpılarak orjinal durum olan minimizasyon modeline uyarlanır.)

2 Örnek.: standart biçim: 1 Simpleks Algoritması (DANTZIG 1947) Algoritma Nedir? Algoritma; bir amaca ulaşmak için belirli bir başlangıcı ve sonu olan, açıkça tarif edilmiş ve tekrarlanabilir adımlar serisidir. Algoritma sözcüğünün kökeni latincedeki algorismus tur. Algorismus sözcüğü de, Türk-İslam tarihinin ünlü matematikçisi Ebu Cafer Ibn-i Muhammed Musa El-Harezmi nin adının latincesidir. Harezmi, algoritmanın babası kabul edilmektedir. Simpleks yöntemi, karar vericiyi optimal çözüme götüren 5 aşamalı bir algoritmadır. Simpleks algoritmasının herbir döngüsü, amaç fonksiyonunun daha iyi bir değer (veya aynı değeri) alması ile sonuçlarnır. Adım1. DP modelinin standart biçimde gösterilmesi. Adım2. Bir Temel Uygun Çözüm (TUÇ) elde edilmesi. Temel Değişkenler, mevcut çözümde pozitif değerler alan değişkenlerdir. Temel Olmayan Değişkenler, mevcut çözümde değeri sıfır olan (çözümde yer almayan) değişkenlerdir. Adım3. Temel uygun çözümün optimum çözüm olup olmadığının kontrol edilmesi. Adım4. TUÇ optimum değilse mevcut çözümdeki temelde olmayan değişkenlerden hangisinin çözüme gireceğini ve hangi temel değişkenin çözümden çıkarılacağının belirlenmesi

3 Adım5. Yalın matris işlemlerinden yararlanarak yeni TUÇ un bulunması ve yeniden üçüncü adıma dönülmesi. Dakota Mobilyacılık çalışma masaları, yemek masaları ve iskemleler üretmektedir. Mobilya üretiminde kereste kullanılmakta ve kerestenin işlenmesi için de rötuş ve marangozluk işlçiliği yapılmaktadır. Herbir mobilyaların üretiminde bu kaynaklara olan gereksinim değerleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir: Kaynaklar Çalışma Masası Yemek Masası İskemle Kereste (metre mikap) Rötuş İşçiliği (saat) 4 2 1,5 Marangozluk İşçiliği (saat) 2 1,5 0,5 Halihazırda bedeli ödenmiş 48 metre mikap kereste, 20 saat rötuş işçiliği ve 8 saat marangozluk işçiliği imkanı bulunmaktadır. Bir çalışma masası 60$ dan, bir yemek masası 30$ dan ve bir iskemle de 20$ dan satılmaktadır. Dakota Mobilyacılık, çalışma masalarına ve iskemelelere olan talebin sonu olmadığına inanmakta ancak; 5 taneden fazla yemek masasına talep olmadığını bilmektedir. Üretimde kullanılan kaynakların parası ödenmiş olduğu için Dakota Mobilyacılık hasılat maksimizasyonu istemektedir. karar değişkenleri: kısıtlar:

4 standart biçimdeki modelden elde edilen başlangıç TUÇ: , ,5 0, Z (Temel Değişkenler: Temel-Olmayan Değişkenler: ) Başlangıç TUÇ un gösterildiği bu tabloya, başlangıç tablosu ya da aşama 0 denilir. çözümün optimum olup olmadığının kontrol edilmesi: Simpleks tablosunun Z satırında karar değişkenlerine ait değerlerin herhangi biri negatif ise mevcut TUÇ optimum değildir. Başlangıç tablosunda gösterilen TUÇ un Z satırında tüm karar değişkenleri için negatif değerler bulunmaktadır; bu çözüm optimum değildir. çözüme girecek temel olmayan değişkenin (pivot sütunun) belirlenmesi: Simpleks tablosunn Z satırında karar değişkenlere ait değerlerden ün küçük negatif değerin olduğu sütun pivot sütun olarak belirlenir. Pivot sütunun ait olduğu karar değişkeni yeni TUÇ un temel değişkeni olarak çözüme girecektir. çözümden çıkacak olan temel değişkenin (pivot satırın) belirlenmesi: Pivot satır, oran testinde en küçük pozitif değerin ait olduğu satırdır. Pivot satıra ait olan temel değişken de çözümden çıkıp yeni TUÇ ta temel olmayan değişken olacaktır. o oran testi, çözüm sütunundaki değerlerin pivot sütunda aynı satırdaki değerleri bölünmesidir /8= , /4= ,5 0, /2=4 5/0= Z yeni TUÇ un elde edilmesi: pivot eleman, pivot sütun ve pivot satırın kesişimindeki değerdir. Yeni TUÇ u içeren simpleks tablosunun oluşturulmasında matris işlemlerinden yararlanılır.

5 İşlem1. Pivot satırın herbir elemanı, pivot elemana bölünerek giren değişken satırı oluşturulur. Z 0/2 2/2 1,5/2 0,5/2 0/2 0/2 1/2 0/2 8/2 Yeni simpleks tablosunu oluştururken pivot satırında pivot elemanın 1 diğer tüm elemanların 0 sıfır olması istenir. Bunu yaparken giren değişken satırı pivot sütuna denk gelen değeri 0 yapacak bir sabit sayı ile çarpılarak diğer satırlara eklenir ve satırlar yeniden yazılır. İşlem2. ( satırı) Giren değişken satırı -8 ile çarpılarak eski satırına eklenir Z 0 1 0,75 0, ,5 0 4 İşlem 3. ( satırı) Giren değişken satırı -4 ile çarpılarak eski satırına eklenir , , Z , ,75 0, ,5 0 4 İşlem4. ( satırı) Pivot sütuna denk gelen değer 0 olduğu için herhangi bir işleme gerek yoktur. satırı aynen yeni tabloya aktarılır.

6 Z , ,75 0, ,5 0 4 İşlem5. (Z satırı) Giren değişken satırı 60 ile çarpılarak Z satırına eklenir. Z Z , ,75 0, ,5 0 4 Z Yeni TUÇ ile ulaşılan amaç fonksiyonu değeri 0 dan 240 a çıkmıştır. Yeni TUÇ un gösterildiği bu simpleks tablosuna aşama 1 denir. (0+1=1) yeniden simpleks algoritmasının üçüncü adıma dönülerek yeni TUÇ un optimum çözüm olup olmadığı kontrol edilir. Aşama 1 tablosunun Z satırında karar değişkenlerine ait değerlerden biri negatiftir; çözüm optimum değildir. pivot sütunun belirlenmesi pivot satırın belirlenmesi o oran testi , ,75 0, , Z yeni TUÇ un elde edilmesi

7 , ,5 1,5 0 2 Z yeniden simpleks algoritmasının üçüncü adıma dönülerek yeni TUÇ un optimum çözüm olup olmadığı kontrol edilir. Aşama 2 tablosunun Z satırında karar değişkenlerine ait değerlerin hiçbiri negatif değildir; çözüm optimumdur. Optimum çözüm: Elde edilecek hasılat 280$ dır. ( ) Not: Optimum çözümde eğer bir aylak değişken temel değişken olarak çözümde yer alıyorsa o aylak değişkene ait kısıt bağlayıcı olmayan kısıttır ve aylak değişkenin değeri o kaynaktaki atıl kalan kapasitesiyi ifade eder. Bu durumun tam tersi olarak,eğer optimum çözümde bir aylak değişken temel olmayan değişkense o aylak değişkene ait kısıt bağlayıcı bir kısıttır. Ve son tablonun Z satırında o aylak değişkene ait değer o kısıtın gölge fiyatıdır. (Gölge fiyat duyarlılık analizine ait bit terimdir ve dördüncü derste ele alınacaktır.) Bir karar değişkeni temel olmayan değişkense; Son tabloda Z satırında o karar değişkenine ait değer o karar değişkeninin indirgenmiş maliyetidir. (İndirgenmiş maliyet de duyarlılık analizine ait bir terimdir ve dördüncü derste ele alınacaktır.) Grafik Çözüm Yöntemi ve Simpleks Algoritması İkinci derste grafik yöntemde köşe nokta uygun çözümleri (uç noktalar) görsel olarak tanıtılmış idi. Simpleks algoritması, optimal çözümü bu köşe noktalarda arayan döngüler biçiminde çalışır. Eğer bir köşe noktada optimum çözüm elde edilemiyorsa ona komşu olan diğer bir köşe nokta uygun çözümünde optimum çözüm aranır. Bu döngü optimum çözüm bulunana dek devam eder.

8 Grafik Çözüm Yöntemi ile Simpleks Algoritmasının Karşılaştırılması Garifk yöntem ile optimum çözüme çok hızlı bir şekilde ulaşılabilir. Görsellik optimizasyon mantığının aktarılmasını kolaylaştırarak süreci daha anlaşışır hale getirir. Öte yandan grafik yöntemi ikiden fazla karar değişkeni içeren DP modelleri için kullanışsızdır. (Üç karar değişkeni olan modellerde 3 boyutlu bir grafik oluşturulur, üçten fazla karar değişkeni olan modellerde ise grafik çözüm yöntemi kullanılamaz) Simpleks algoritması, karar değişkeni sayısından bağımsızdır. Tüm DP modellerinin çözümünde kullanılabilir. Simpleks yöntemi; atıl kalan kaynakları, gölge fiyatları, indirgenmiş maliyetleri sistematik olarak özetlenmiş bir tabloda sayısal olarak karar vericiye sunar. Ancak; simpleks yöntemi görsellikten yoksundur ve içerdiği matris işlemlerinin karmaşıklığı optimizasyon mantığının anlaşılmasını zor hale getirmektedir. Assignment III Aşağıdaki DP modellerini simpleks algoritmasını ve grafik çözüm yöntemini birlikte kullanarak çözünüz. i. Grafik çözümünüzde belirlediğiniz uygun alan ve köşe nokta uygun çözümleri ile simpleks algoritmasında herbir tabloda incelediğiniz TUÇ lar arasındaki eşleştirmeleri yapınız. (İncelediğiniz tabloda özetlenen köşe nokta uygun çözümünün koordinatlarını belirtiniz.) ii. Simpleks algoritması ile yaptığınız çözümlerde son tabloları yorumlayınız. (Amaç fonksiyonu değeri, tüm değişkenlerin aldığı değerler, bağlayıcı ve bağlayıcı olmayan kısıtlar, atıl kapasiteler, gölge fiyatlar ve indirgenmiş maliyetler) 1. kısıtlar: 2. kısıtlar: Grafik çiziminde bu internet sitesinden yararlanabilirsiniz: Cevaplarınızı bir Word dosyasında hazırlayınız. Ödevlerinizi ÖĞRENCİNOÖ3SOYAD (örnek : Ö3YILDIZ) biçiminde kaydederek e-posta yoluyla teslim ediniz. Ödevlerin teslimi için tanınan süre bir sonraki dersin başlama saatinde dolmaktadır.