YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

Transkript

1 YGS GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI

2 u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0) elgeç : (0) t k l r n dn do l TMZ (Tür ki e M te m tik Ö ret men le ri Züm re si) ö ret men lerine teflekkür ederiz. Grfik Tsr m izgi kstrem Y nc l k SI Özkn Mtbc l k Gzetecilik Sn. ve Tic. Ltd. fiti. S. rgnize Sni ölgesi Ugurlr d. No. Sincn / NR Tel: ()

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, kul derslerinizde ve üniversite giriş sınvlrınd bşrılı olmk, dilediğiniz fkültei kznmk; bilinçli hzırlnmnız, düzenli bir çlışm progrmı ugulmnız, ii bir ın seçmenize ve bu ınlr ışığınd derste öğretmeninizi ii dinlemenize bğlıdır. "liteli eğitim, kliteli dokümn" felsefesile ol çıkn "kstrem Yınlrı" tüm brnşlrdki kitplrınd rıntılı konu nltımı ve hücreleme sistemi ile konu lt bşlıklrınd fzl sıd, değişik türde soru er vererek öğrencinin konuu kvrmsını kollştırmı mçlmıştır. linizdeki 9, 0,. sınıflrı kpsck şekilde hzırlnn "YGS Geometri onu nltımı"ndki konulr Tlim Terbie urulunun çıkldığı müfredt çerçevesinde hzırlnmış, geometri dersinin sevilen ve kol kvrnıln bir ders hline getirilmesi mçlnmıştır. itpt fzl sıd çözümlü soru er verilerek konulrın pekiştirilerek öğretilmesi mçlnmıştır. onu testleri ile kendinizi test edebilir, eksik kln ve nlmdığınız erleri tekrr çlışbilirsiniz. YGS Geometri onu nltımlı soru bnksının bşrılrınız ktkısının büük olcğı kntile, tüm üniversite dlrın YGS ve LYS sınvınd bşrılr dilior, kitbımızın hzırlnmsınd rdımlrını esirgemeen geometri öğretmeni rkdşlrımız teşekkür ederiz. Hepinizin olu çık, klemi güçlü olsun! ell İŞİLİR

4 kr bkmz görülemeecek kdr sklı ve krmşık, m insn beninin çblrıl ulşbileceği kdr kın. Mutlk doğru, kesin ve değişmez; m lın, güzel ve henkli. Tnrı snki evreni rtırken kocğı kurllrın lnızc doğru çlışmsıl etinmemiş, bu kurllr insn ruhunu üceltecek güzellikler ktmk istemiş. GLİL, "İnsn bu mükemmel beni veren tnrının, insnın bu beni kullnmsını istemediğine innmıorum." derken işte doğnın sırlrınd sklı oln bu güzelliklere ulşm heecnını dile getiriordu. ilgisizliğin boş ve dingin huzurunu değil, bilginin coskun mutluluğunu rmk. İşte binlerce ıllıdr süren bu rışın dı : Mtemtik. Prof. r. Sinn SRTÖZ

5 ünit- TML GMTRİ VRMLR ve RİNT GMTRİY GİRİŞ / Temel Geometrik vrmlr / ik oordint Sistemi / Vektörler / çı ve çısl vrmlr / üzlemde oğrulr ünit- ÜÇGNLR / Üçgende çı / ik Üçgen / rt Tbn / Muhteşem Üçlü / Öklid ğıntılrı / ln Hesbı / şlik ve enzerlik / Üçgenin enrlrı rsındki ğıntılr

6 ünit- ÇGNLR / ikdörtgen ve re / Prlelkenr / şkenr örtgen / Ymuk / Çokgenler ünit- ÜZLM ÖNÜŞÜM HRTLRİ ve PLMLR / Ynsım (Simetri) / Öteleme / önme / üzlemde plmlr ünit- ÇMR ve İR / Çemberde çı / Çemberde Uzunluk / Çemberde Y Uzunluğu ve irede ln ünit- İZMTRİ, RTGRİ ÇİZİMLR ve TI İSİMLR / İzometrik Çizim / ik (rtogrfik) Görüntü / Prizm / Pirmit / oni / Silindir / üre

7 TML GMTRİ VRMLR ve RİNT GMTRİY GİRİŞ ÜN T Temel Geometrik vrmlr ik oordint Sistemi Vektörler çı ve çısl vrmlr üzlemde oğrulr

8 MTMT M GÇN L M İNSNLRINN ZILRI L L 8 8 RMT 0 NTR 8 98 (Sonsuzu zpteden dm) UHY H T R GUSS RMR 70 7 L NS N 9 LPL ULR URIR GLIS 8 8

9 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi NT Herhngi bir büüklü ü (eni, bou, üksekli i) olmn ve er belirten geometrik bir kvrm olrk nlmlndırbiliriz. ¾ Gecelein göküzünde ld zlr n uzktn görünümü bir nokt modelidir. ĞRU ni ve üksekliği olmn, düz ve uzunluğu sürekli iki öne uztılbilen bir kvrm olrk nlmlndırbiliriz. oğrulr küçük hrflerle d üzerinde bulunn iki nokt ile gösterilir. d d do rusu do rusu do rusu oğrusl (do rudfl) Noktlr nı doğru üzerinde bulunn noktlrdır.,, noktlr do rusld r. (do rud t r) Genellikle büük hrfle gösterilir. outsuzdur. ¾ ki çizginin kesim eri bir nokt modelidir. IŞIN ir doğru üzerinde bir noktdn bşlıp ine doğru üzerinde sürekli olrk tek öne uztılbilen uzunluğu sınırsız oln geometrik terimdir. [ ¾ ir do ru prçs n n uçlr bir nokt modelidir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

10 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi o ru Prçs ir do ru üzerindeki herhngi iki nokt ve bu noktlr rs nd kln tüm noktlr kümesidir. [] d ¾ ¾ UZY Uz tnımlı bir kvrm olup: Tüm noktlr kümesidir. Uz n uzunlu u, üksekli i, geniflli i s n rs zc geniflletilebilir. ¾ ütün noktlr içinde bulundurn bir p d r. [] nın uzunlu u d ile gösterilir. [] : do ru prçs ¾ ir odn n içi uz modeli olrk düflünülebilir. : do ru prçs n n uzunlu u Üç outlu igür Çlışmsı ÜZLM Uzunlu u ve eni her önden s n rs z, kl nl bulunmn geometrik bir kvrm olrk düşünebiliriz. (Genellikle P, ile gösterilir.) () ekil I ekil II ¾ ir prlelkenrsl bölge düzlem modeli olrk kulln lbilir. ekil III ekil IV ¾ ¾ P o rusl olmn üç nokt bir düzlem belirtir. ir kitbı en z üç prmğınızın uçlrınd tşıdığınızı düşünün. Şekil I de üç boutlu mket dike olrk tutulmuştur. ölece çısı düzlemdedir. [] nokt gibi görünmektedir. Çünkü [] bkış önü ile nı hizddır. Şekil II de düzlem bir miktr devrildiğinde [] dh net görülmektedir. Şekil III te düzlemin duruşu değiştirilerek üç boutlu figür dh net görülmektedir. P Şekil IV te düzlem t olrk tutulup krşıdn bkıldığınd [] ve [] görülmez ve düzlemin kenrı düz bir doğru olrk görülür. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

11 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi üzlem elirtme ksiomlrı oğrusl olmn üç nokt bir düzlem belirtir. İki oğrunun irbirine Göre urumlrı Prlel olm durumu ; nı düzlemde olup kesişmeen doğrulrdır. // Prlel iki doğru bir düzlem belirtir. esişme durumu ; İki doğrunun lnız bir ortk noktsı vrs bu doğrulr kesişen doğrulr denir. = {} ir doğru ve dışındki bir nokt bir düzlem belirtir. Çkışık olm durumu ; n z ikişer noktsı ortk oln doğrulr çkışık doğrulr denir. esişen iki doğru bir düzlem belirtir. kırı olm durumu ; rklı düzlemlerde olup kesişmeen doğrulr kırı doğrulr denir. "Yukrıdki son üç mdde slınd ilk mddenin sonucudur." ekil I ekil II Yukrıdki Şekil I ve Şekil II deki l ve l kırı doğrulrdır. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

12 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi İki üzlemin irbirine Göre urumu Prlel düzlemler : rtk noktsı olmn düzlemlerdir. Yukrıd l ve l kırı doğrulrdır. P P Q (P) // (Q) (P) (Q) = Ø Q Yukrıd l ve l kırı doğrulrdır. ir oğru ve ir üzlemin irbirine Göre urumlrı esişen düzlemler : rtk noktlrı bir doğru üzerinde oln düzlemlerdir. oğru düzlemi keser. P (P) (Q) = P (P) = {} Q P ve Q düzlemleri doğrusu bounc kesişmiştir. oğru düzleme prleldir. P (P) = Ø oğru düzlemin içindedir. P (P) YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

13 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Yrı üzlem çık Yrı üzlem Üç düzlem ikişer ikişer birbirine dik olbilir. ir do ru içinde bulundu u düzlemi iki prç r r. u prçlrdn her biri r düzlemdir. Yr düzlem Yr düzlem ç k r düzlem ç k r düzlem P Q (P) (Q), (P) (), (Q) () pl r düzlem pl r düzlem pl r düzlem ç k r düzlem Üç düzlemden ikisi prlel olup üçüncüsü diğer ikisini kesebilir. Üç üzlemin irbirine Göre urumlrı P Üç düzlem birbirine prlel olbilir. Q P Q Üç düzlem bir doğru bounc kesişebilir. Üç düzlem ikişer ikişer şekildeki gibi kesişebilir. P Q P Q YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

14 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN Üç mks drbesi ile bir kğıt prçsı; ) n z kç prç rılbilir? b) n fzl kç prç rılbilir? ir düzlemdeki beş frklı doğru bu düzlemi; ) n z kç bölgee ırbilir? b) n fzl kç bölgee ırbilir? Mks drbesi bir doğru modeli, kğıt prçsı d bir düzlem modeli olrk düşünülürse, n = olup ) Üç doğru bir düzlemi en z bölgee ırır. ) n z ; n + = + = bölgee ırır. üzlemi en z bölgee ırmk için mks drbeleri (doğrulr) prlel tıldı. b) Üç doğru bir düzlemi en fzl 7 bölgee ırır. 7 b) n fzl; nn ( + ). + = + = bölgee ırır üzlemi en fzl bölgee ırmk için mks drbeleri birbiri ile frklı noktlrd kesiştirildi. Prtik ilgi n tne frklı doğru içinde bulunduğu düzlemi; en z (n + ) tne bölgee en fzl f n p+ f n p+ f n p = 0 ırır. nn ( + ) + tne bölgee RŞTIRM nı düzlem içinde bulunmn dört noktdn eşit uzklıkt oln bir nokt vr ise bu noktı nsıl bulbileceğimizi rştırınız. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

15 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN Prtik ilgi n tne frklı düzlem uzı : en z n + tne bölgee, en çok f n p+ f n p+ f n p+ f n p tne bölgee ırır. 0 bıçk drbesi ile bir krpuz en fzl kç prç rılbilir? ıçk drbesi düzlem, krpuzd uz modeli olrk düşünülürse ilk iki bıçk drbesi ile krpuz şğıdki gibi prç bölünebilir. ÖRN ir düzleme it oln frklı nokt ve bu düzlemin dışındki nokt ile kç frklı düzlem elde edilebilir?. üzlemdeki frklı nokt ile fp = = tne. nokt ikilisi elde edilir. Üçüncü bıçk drbesi ile prç şğıdki gibi 8 prç bölünebilir. u ikililer ile düzlem dışındki nokt her zmn düzlem belirtir. hlde elde edilebilecek düzlem sısı tnedir. ÖRN üzlemde herhngi üçü doğrusl olmn frklı noktdn geçen doğrulrın en fzl kç tne kesişme noktsı vrdır? noktdn en fzl,. fp = = 0 tne doğru geçer.. 0 doğrunun kesim noktsı en fzl, f p = = tnedir.. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

16 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 8 oğrusl olmn frklı nokt en z kç düzlem belirtir? M N Noktlr doğrusl olmdığındn en z bir düzlem belirtebilir. P P P düzlemi üzerinde bir üçgeni ve bu düzlemin dışınd bir noktsı lınıor.,, noktlrı noktsı ile birleştirilior. [] ve [] üzerinde, ve den frklı olck şekilde M ve N noktlrı işretlenior ve MN doğrusu çizilior. un göre, MN doğrusunun P düzlemini kestiği bilindiğine göre, kesim noktsını bullım. ÖRN 7 üzlemde ikisi prlel oln frklı doğru en fzl kç noktd kesişebilir?. Yol : rklı iki doğrunun kesim eri bir noktdır. hlde, MN doğrusu ile doğrusu nı düzlemde ( düzleminde) iki doğrudur. MN doğrusu P düzlemini kestiğine göre MN ile prlel olmz. hlde nı düzlemde prlel olmn frklı iki doğrunun mutlk kesim noktsı vrdır. Yni MN ile doğrulrı doğrusu üzerinde bir noktd kesişir esim erlerini srk 9 nokt bulunur. ÖRN 9 Uzd 7 frklı nokt en fzl kç tne düzlem belirtir? ir düzlem, doğrusl olmn en z frklı nokt ile ifde edilebilir.. Yol : n doğru en fzl fp n tne noktd kesişebilir. hlde, doğru en fzl fp = 0 tne noktd kesişebilir. Prlel doğru kesişmediğinden nokt oluşmz. hlde, f p 0 9 f p = = tne nokt bulunur. hlde, 7 frklı nokt en fzl, fp = = tne düzlem belirtir... YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

17 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ¾ ¾ ¾ ¾ RİNT ĞRUSU ir do runun herbir nokts ile gerçek s lr n birebir efllenmesi sonucu oluflturuln p koordint do rusu denir. oordint do rusund s f r (0) s s n krfl l k gelen nokt bfllng ç nokts d orijin denir. ir do runun bir nokts n krfl l k gelen gerçek s s ise s s n nokts n n koordint denir ve () fleklinde gösterilir. G H 0 7 ( ) ( ) (0) () 7 () ( ) G( ) H( ) () : nokts koordint do rusu üzerinde koordint oln bir nokt. ÖRN = olduğun göre, erine zılbilecek değerleri bullım. Mutlk değerin tnımındn, = = d = tir. hlde, = 8 d = bulunur. u soruu şölede okubiliriz. Sı doğrusu üzerinde e birim uzklıkt bulunn noktlr hngileridir? birim birim Yukrıdki gibi den birim soldki ve den birim sğdki 8 rnn noktlrdır. 8 ÖRN Mutlk eğer ir gerçek s n n koordint do rusu üzerinde efllendi i noktn n bfllng ç nokts n oln uzkl n o s n n mutlk de eri denir. oordint doğrusund (8), ( ) () noktlrı verilior. noktsı ile rsınd bir nokt olsun. = olduğun göre, nın koordintlrını bullım. 0 noktsı ile rsınd olduğundn, 0 0 ise = (Pozitif bir s n n bfllng ç nokts n oln uzkl kendisidir.) ( ) (8) () > 8 olmlıdır. 0 ise = (Negtif bir s n n bfllng ç nokts n oln uzkl nın z t iflretlisidir.) b = b b b = 8 ( ) = 8 = 8 d 8 = = 9 d = olup > 8 olduğundn = 9 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

18 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN m < 0 < n olmk üzere, m + n işleminin sonucunu bullım. m ifdesinde mutlk değerin içi negtif olduğundn dışrı işret değiştirerek çıkr. ÖRN = 7 denkleminin çözüm kümesini bullım. Mutlk değerin sonucu hiçbir zmn negtif olmz. hlde, çözüm kümesi Ø dir. hlde, m = m olur. n ifdesinde mutlk değerin içi pozitif olduğundn dışrı nen çıkr. hlde, n = n olur. ölece, m + n = m + n bulunur. ÖRN 7 < b < 0 < c olmk üzere, + b + c işleminin sonucunu bullım. ÖRN > 0 olmk üzere, + + işleminin sonucunu bullım. + + ifdesinde mutlk değerlerin içi pozitif olduğundn ifdeler dışrı nen çıkr. hlde, + + = + + = bulunur. ifdesinde mutlk değerin içi negtif olduğundn dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, = olur. b ifdesinde mutlk değerin içi pozitif olduğundn dışrı nen çıkr. hlde, b = b olur. c ifdesinde mutlk değerin içi negtif olduğundn dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, c = ( c) = c olur. ölece, + b + c = b + c bulunur. ÖRN < 0 olmk üzere, + + işleminin sonucunu bullım. + + ifdesinde mutlk değerlerin içi negtif olduğundn ifdeler dışrı işret değiştirerek çıkr. hlde, + + = = bulunur. ÖRN 8 = 8 denkleminin çözüm kümesini bullım. 8 = 8 ve 8 = 8 olur. Yni mutlk değerin sonucunun 8 çıkbilmesi için mutlk değer içi 8 d 8 olmlıdır. = 8 = 8 d = 8 olup = d = tür. Çözüm kümesi {, } bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

19 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ki Nokt rs Uzkl k oordint do rusund koordintlr () ve (b) oln iki nokt rs ndki uzkl k, d(, ) fleklinde gösterilir ve = d(, ) = b ile hespln r. ÖRN oordint doğrusu üzerinde (), (k) ve (k + ) noktlrı verilior. d(, ) = d(, ) olduğun göre, k değerlerini bullım. () d(, ) = b (b) d(, ) = k + k = d(, ) = k + = k olup ÖRN k = eşitliği ile, oordint do rusund () ve () noktlr rs ndki uzkl hespll m. () ve (b) ise = d(, ) = b olup d(, ) = = = birim bulunur. ÖRN birim oordint doğrusund () ve () noktlrı rsındki uzklık 7 birim olduğun göre, koordintının lbileceği değerleri bullım. () ve () noktlrı rsındki uzklık, = d(, ) = şeklinde zılbilir. ölece, = 7 olup mutlk değer tnımındn, = 7 ve = 7 eşitliklerinden = d = bulunur. 7 birim 7 birim k = d k = zılbilir. urdn, k =, k = değerlerini lbilir. fl o ru Prçlr Uzunlu u eflit oln do ru prçlr d r. 0 Yukr dki koordint do rusund, [], [], [], [], [] efl do ru prçlr d r. [], [], [], [] efl do ru prçlr d r. [], [], [] efl do ru prçlr d r. [] ile [] eş doğru prçlrı [] [] şeklinde gösterilir. = ise, [] ile [] eş doğru prçlrıdır. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

20 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint doğrusu üzerinde ( ), (), ( ) ve (k) noktlrı verilior. [] [] olduğun göre, k nin lbileceği değerleri bullım. ş Yönlü oğru Prçlrı Yönü nı oln eş doğru prçlrın eş önlü doğru prçlrı denir. oordint doğrusund uzunluğu eşit oln doğru prçlrın eş doğru prçlrı denir. [] [] ise = dir. ölece, = d(, ) = = = = d(, ) = k ( ) = k + şitlikleri ile, k + = d k + = olup k =, k = 9 bulunur. = = = olsun. ve eş önlü doğru prçl- u durumd, rıdır. nı şekilde,, ve eş önlü doğru prçlrıdır. Vektör oordint doğrusund eş önlü doğru prçlrının kümesine bir vektör denir. u küme, herhngi bir elemnı ile temsil edilir. = = = = olsun. Yönlü oğru Prçsı oordint doğrusund bşlngıç noktsı, bitiş noktsı oln [] do ru prçsın önlü doğru prçsı denir ve ile gösterilir. ¾ Yönlü doğru prçsı, doğru prçsının önlendirilmiş hlidir. ¾ ¾, ve eş önlü doğru prçlrı ile temsil edilebilir. ir vektörün bou bu vektörü temsil eden herhngi bir önlü doğru prçsın n bou kdrdır. oordint doğrusund bir vektörün önü ve uzunluğu değiştirilmeden eri değiştirilebilir. öle vektörlere eş vektörler denir. ¾ oordint doğrusund önlü doğru prçsının doğrultusu tek olup koordint doğrusunun kendisidir. [] ¾ önlü doğru prçsının uzunluğu ile gösterilir. ¾ şlngıcı ve bitişi nı oln önlü doğru prçsının önü ve doğrultusu belirsiz ve uzunluğu sıfırdır. ¾,, efl vektörlerdir. Yönleri ters oln vektörlere ters d z t önlü vektörler denir. ve ters (z t) önlü vektörlerdir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

21 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi irim Vektör oordint do rusund uzunlu u birim oln vektöre birim vektör denir. ir o ru Prçs n çten ölen Noktn n oordint () (c) (b) = k ise c = + k.b + k,, birim vektörlerdir. spt : Yer (onum) Vektörü vektörüne efl ve bfllng ç nokts orijinde oln vektöre vektörünün er (konum) vektörü denir. 0 ¾ vektörü vektörünün er (konum) vektörüdür. = k ise = k. c = k(b c) c = kb kc c + ck = + kb + kb c = + k bulunur. ¾ erine k sc z lbilir. ¾ Her vektörün bir ve lnız bir konum vektörü vrdır. Örne in; T S R Q P 0 ir o ru Prçs n fltn ölen Noktn n oordint () (b) Y (c) RT = birim, PQ = birim, = birim, () (b) (c) = birim, = birim olup = k ise c = k.b k ), vektörünün konum vektörüdür. ) RT ile z t önlü vektörlerdir. spt : ) PQ ve önleri frkl oldu undn PQ! dür. ) PQ,, birim vektörlerdir. ) ile efl vektörlerdir. ) ile RT efl vektörlerdir. = k ise = k. c = k(c b) c = kc kb c( k) = kb c = kb bulunur. k YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

22 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ( ) (c) Yukr dki koordint sisteminde, (8) = ol- ck flekilde nokts n n koordint n bull m. İk oordint üzlemi (nlitik üzlem) fllng ç nokts nd birbirini dik kesen iki koordint do rusunun oluflturdu u sisteme dik koordint sistemi, bu sistemin belirtti i düzleme nlitik düzlem denir. (rijin) b rdintlr ekseni (, b) psisler ekseni I. Yol : = c ( ) = c + ve = c 8 = c = bulunur. c + c 8 = eşitliğinden ¾ ¾ ¾ ¾ Yt oln n ekseni d psisler ekseni denir. üfle oln n ekseni d ordintlr ekseni denir. ksenlerin kesim nokts n orijin d bfllng ç nokts denir. nlitik düzlem, bileşenleri reel sı oln s rl ikililerden oluflur. (, b) II. Yol : psis rdint = ise = k ve = k dielim. ¾ ekseni üzerindeki bir noktn n ordint s f rd r. ( ) k (c) k (8) (, 0) (, 0) (, 0) (, 0) (, 0) (, 0) k ( ) (c) (8) ¾ ekseni üzerindeki bir noktn n psisi s f rd r. k (0, ) k rtış vrs den e k rtış olur. = olup hlde, c = + = bulunur. (0, ) (0, ) (0, ) (0, ) (0, ) YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

23 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ¾ ik oordint Sisteminde ölgeler ksenler nlitik düzlemi dört bölgee r r. II. ölge (, +) < 0 > 0 III. ölge (, ) < 0 < 0 I. ölge (+, +) > 0 > 0 IV. ölge (+, ) > 0 < 0 hlde, < 0 < ve > 0 > olup <, > < < eşitsizliği elde edilir. u durumd, < 0 ve 9 < 0 dır. ölece, (, 9) (, ) noktsı koordint düzleminin III. bölgesinde olur. ksenler bölgelere dhil de ildir. ÖRN oordint düzleminde, (. b, b) noktsı IV. bölgede olduğun göre, (. b, b ) ÖRN noktsının kçıncı bölgede olcğını bullım. oordint düzleminde, (, ) noktsı II. bölgede olduğun göre, (, 9) noktsının kçıncı bölgede olcğını bullım.. bölge (, +). bölge (+, ) IV. bölgedeki bir noktnın psisi pozitif, ordintı negtiftir. hlde,. b > 0 ve b < 0 olmlıdır. II. bölgedeki bir noktnın psisi negtif, ordintı pozitiftir. (, ) noktsı II. bölgede ise < 0 ve > 0 olmlıdır.. b > 0 b ve b < 0 b > 0 olup + +. b > 0, b > 0 eşitsizliklerinden (. b, b ) noktsı I. bölgede olur. \ Z + + YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

24 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ir o ru Prçs n çten elli ir rnd ölen Noktn n oordintlr oordint düzleminde, (,. b 8) noktsı II. bölgede olduğun göre, (, b ) ( 0, 0 ) (, ) noktsının kçıncı bölgede olcğını bullım. (, ) (, +) = k olmk üzere, = k. eşitliğinden,. bölge = 0 + k, + k = 0 + k + k bulunur. II. bölge psisi negtif, ordintı pozitif oln noktlrdn ibrettir. hlde, < 0 ve. b 8 > 0 olmlıdır. < 0 < < <. b 8 > 0. b > 8 b > 9 ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlrı verilior. noktsı [] nı = ornınd içten bölüor. un göre, noktsının koordintlrını bullım. b > b > olup (, b ) noktsınd < < 0 b > b > olduğundn, (, +) noktsı koordint düzleminin II. bölgesinde olur. (, ) (, ) (, ) = ise = zılbilir. = ( ) = = + = (, ) + (, ) = (, ) eşitliğinden, = (, ) (, ) bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

25 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN [] ve = dir. 7 un göre, noktsının koordintlrını bullım. = eşitliği ile, ( ) = ( ) zılbilir. = = + (, ) ve (7, ) olup = (7, ) + (, ) = (, ) + (, ) 9 = (, 9) = f, p bulunur. ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, 8) noktlrı verilior. [] nı dıştn = ornınd bölen noktsının koordintlrını bullım. (, ) (, 8) (, b) = & = olup ( ) = ( ) = = = = = (, 8) (, ) (, ) + (, ) ( 8, ) = = (, ) (, ) bulunur. ir o ru Prçs n fltn elli ir rnd ölen Noktn n oordintlr ir o ru Prçs n n rt Nokts n n oordintlr ( 0, 0 ) (, ) (, ) ( 0, 0 ) (, ) (, ) = k olmk üzere, = k. eşitliğinden, + k + k =, = bulunur. 0 + k 0 + k = olmk üzere, + + =, = 0 0 YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

26 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde ( 8, 7) ve (, ) noktlrı verilior. un göre, [] nın ort noktsının koordintlrını bullım. [] nın ort noktsı (, b) olsun. ( 8, 7) (, b) (, ) İk oordint Sİstemİnde Yönlü oğru PrçlrI oordint do rusund vektörleri ifllerken bir önlü do ru prçs n n uzunluk ve ön kvrm ndn bhsetmifltik. ik koordint sisteminde bir önlü do ru prçs - n n uzunluk ve önünün n s r do rultusundn d bhsedebiliriz. P (oordint do rusund vektörler) hlde, = = ve b = = olup f, p bulunur. L (ik koordint sisteminde vektörler) ÖRN Örne in; oordint düzleminde (k +, ) ve (k, 7) noktlrı verilior. 8 [] nın ort noktsı ekseni üzerinde olduğun göre, k değerini bullım. [] nın ort noktsı ( 0, 0 ) olsun. k+ + k + 7 hlde, = ve = 0 0 k + f, p elde edilir. olup Yukr dki dik koordint sisteminde; ¾ önlü do ru prçs n n bfllng ç nokts, bitim nokts dir. ekseni üzerindeki noktnın psisi sıfır olduğundn noktsının psisi sıfır eşit olmlıdır. k + ölece, = 0 & k = bulunur. ¾ önlü do ru prçs n n tfl c s l do rusudur. ¾ önlü do ru prçs n n önü dn e do rudur. ¾ önlü do ru prçs n n uzunlu u birimdir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

27 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ir Yönlü o ru Prçs n n ileflenleri ÖRN ¾ Tfl c lr birbirine prlel, uzunluklr birbirine eflit ve önleri n oln önlü do ru prçlr n efl önlü do ru prçlr denir. N M L l // l ve = ise, Yukrıdki zeminde verilen vektörlerden hngilerinin eş önlü doğru prçlrı olduğunu bullım. ile efl önlü do ru prçlr d r. u eşlik, fleklinde gösterilir. fllng ç nokts (, ) ve bitifl nokts (, ) ve önlü doğru prçlrı uzunluklrı birbirine eşit ve önleri nı olduğundn eş önlü doğru prçlrıdır. Yni,, dir. oln önlü do ru prçs n n bileflenleri, (, ) fleklindedir. ¾ Tfl c lr n d prlel oln do ru prçlr n n do rultulu denir. l // l ise ile n do rultuludur. SNUÇ : ileşenleri nı oln önlü doğru prçlrı eş önlü doğru prçlrıdır. ile n do rultuludur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

28 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Vektörler onum Vektörü ir ne efl ve bfllng c orijin oln vektöre nün konum vektörü denir. (, ) (, ) P ileflenleri n oln önlü do ru prçlr n n kümesine vektör denir. u kümenin herhngi bir elemn bir vektörün do rultusudur. Yukr d P = P olrk gösterilir. P: nün konum vektörüdür. P = (, ) z lbilir. R N P M L NT : (, ) ve (, ) ise nün konum vektörü P = (, ) dir. Yukr dki önlü do ru prçlr efl önlü do ru prçlr oldu undn, = = = L = MN = PR fleklindedir. u önlü do ru prçlr n n bileflenleri de n d r. hlde, (, ) (, ) = (, ) v = & LMNPR,,,,,,... 0 = = (, ) kümesi bir vektördür. u vektörün önü herhngi birinin önüdür. SNUÇ : NT : Yönlü do ru prçs için sölenen her fle vektörler için de sölenebilir. fllng ç nokts (, ) ve bitifl nokts (, ) oln, nün konum vektörü, = = (, ) fleklindedir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

29 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde (0, 8) ve (, 9) noktlrı verilior. un göre, nü bullım. ÖRN dikdörtgen = birim = birim = birim = = (, 9) (0, 8) = (, ) bulunur. un göre, ve vektörlerinin konum vektörlerini zlım. : noktsının birim sğ, birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. ÖRN şlngıç noktsı (, ) ve bitiş noktsı (7, ) oln önlü doğru prçsının bileşenlerini bullım. hlde, = (, ) : noktsının 7 birim sol, birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = ( 7, ) bulunur. = olup = (7, ( )) olup (, 7) bulunur. ÖRN dik üçgen = birim = birim = birim ÖRN (, ) ve (, 9) noktlrı verilior. un göre, + nün bileşenlerini bullım. = + = + = = olup ölece, + = = = (, 9 ( )) = (, ) bulunur. un göre, + nün bileşenlerini bullım., noktsının birim sol ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) zılbilir., noktsının 9 birim sğ ve birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (9, ) olur. ölece, + = ( 0, ) bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

30 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 8 W = ( 7, 9) verilior. un göre, VW + V nün bileşenlerini bullım. = ( 9, ) ve = ( 7, ) verilior. un göre, nü bullım. VW = W V d VW = W V olduğundn, VW + V = W V+ V = W olup VW = W = (7, 9) bulunur. Verilen vektörlerin çılımlrını pıp trf trf topllım. + = = ( 9, ) = = ( 7, ) = (, ) = (, ) bulunur. ÖRN ÖRN 9 Verilenlere göre, nü bull m. (, ) ve (, ) olup = = (, ) bulunur. Yukrıd birim krelere rılmış koordint sisteminde + nü bullım. noktsındn noktsın birim sol, birim şğı öteleme ile ulşılmıştır. hlde, = (, ) noktsındn noktsın birim sğ, birim şğı ötelenmesi ile ulşılmıştır. itiş noktsı bşlngıç noktsının birim sol, birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) olup ölece, + = (, ) bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

31 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 0 ÖRN (, ) (, ) (, ) Verilenlere göre, nü bull m. = = (, ) Yukrıdki birim krelere rılmış koordint sisteminde noktsının koordintlrını bulup, nün konum vektörünü bullım. = (, ) bulunur. itiş noktsı bşlngıç noktsının birim sğ, birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. (, ) olduğundn, orijin, noktsının birim sol, birim şğı ötelenmesi ile elde edilir. (, ) ÖRN dikdörtgen = birim = birim = birim ( 7, ) un göre, + toplm vektörünü bullım. ölece, ( 7, ) olup = = ( 7, ) = ( 0, ) bulunur. noktsı, noktsının birim sğ ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. hlde, = (, ) ve noktsı, noktsının birim sol ve birim şğı ötelenmesi ile elde edilmiştir. 0 hlde, = (, ) zılbilir. ölece, + = (, 0) bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

32 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde köşe koordintlrı, (, ), (7, ) ve (, 8) oln üçgeninde, kenrın it kenrort vektörünü bullım. ki Vektörün flli i _ = (, ) b ` vektörleri e ise = ve = dir. = (, ) b (, ) ÖRN = ( kn, + ) ve = ( 7, ) (7, ) (, 8) [] nın ort noktsı ( 0, 0 ) olsun. hlde, 7+ = = ve = = olup, 0 vektörleri eş olduğun göre, n ve k değerlerini bullım. ve eş ise k = ve n + = 7 olup k =, n = bulunur. (, ) ÖRN (, ), (, ), (, ) ve (m, n) noktlrı verilior. (7, ) (, ) (, 8) ve eş iki vektör olduğun göre, m + n toplmını bullım. kenrın it kenrort vektörleri, = = (,) = = ( m, n+ ) olup ve eş ise = = (7, ) d = = ( 7, ) zılbilir. m = ve n + = eşitliği zılbilir. ölece, m = 0 ve n = olup m + n = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

33 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN = ( k, p+ ) ve = (, k + ) eş olduğun göre, k + p toplmını bullım. (, ) ve (, 9) noktlrı verilior. un göre, nün uzunluğunu bullım. ve eş iki vektör ise krşılıklı bileşenleri eşit olmlıdır. hlde, k = ve p + = k + k = ve p + = + p = olup 7 k + p = + = bulunur. = = (, ) olup nün uzunluğu = ( ) + = birim bulunur. ÖRN ir Vektörün ou (Normu d Uzunlu u) ir vektörün bfllng ç ve bitifl noktlr rs ndki uzkl o vektörün uzunlu u d normu denir. nün uzunluğu b d = (, b) b birim ile gösterilir. = + b = (n,) nün uzunluğu birim olduğun göre, n erine zılbilecek değerleri bullım. = ( n, ) ise = ( n ) + = (n ) + = (n ) = 9 n = ± n = d n = olmlıdır. birim ¾ o rultulr n oln vektörler birbirinin gerçek s kt cinsinden z lbilir. ¾ fllng ç ve bitifl nokts n oln ne s f r ¾ vektörü denir. 0 = (0, 0) ile gösterilir. Uzunlu u birim oln vektöre birim vektör denir. birim L N M P Q birim vektördür. ¾ u birim vektör ise u. = zılbilir. = = L MN = PQ = YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

34 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Vektörlerde Toplm = d = oldu u ht rln rs, (, ) ( +, + ) (, ) ifdesinin de, ni bfllng ç nokts, bitifl nokts oln bir vektör oldu u = (, ) = (, ) olmk üzere görülür. (, ) + = ( +, + ) b ¾ Herhngi iki vektör u = (, b) ve v = (c, d) olmk üzere, u+ v = ( + c, b+ d) dir. b,, herhngi üç vektör olsun. ¾ + bir vektördür. ¾ ¾ ¾ (Toplm iflleminin kpl l k özelli i) + = + (Toplm iflleminin de iflme özelli i) ( + ) + = + ( + ) (Toplm iflleminin birleflme özelli i) + 0 = 0+ ir Vektörü ir Skler le Çrpm k R ve = (, b) olmk üzere, ¾ k. = k. (, b) = (k, kb) ¾ k > 0 ise k., nı ön ve doğrultuddır. ¾ k < 0 ise k., zıt önde ve nı doğrultuddır. ¾ k = 0 ise 0. = 0 (sıfır vektörü) ( 0 toplm iflleminin birim (etkisiz) elemn ) ¾ + = + = 0 ise ( vektörü vektörünün toplm göre tersidir ve = olur. ) ÖRN = (, ) ve = (, ) verilior. un göre, +,, +, vektörlerini bullım. Vektörlerde Ç krm fllemi = (, ) = (, ) olmk üzere = + ( ) = (, ) = (, ), = (, ) ise + = (, ) = (, 8) = (, ) (, ) = (0, 7) + = (, ) + (, ) = (, ) 8 = (, ) (, ) =f, p bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

35 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Vektörlerde Prlellik k 0 olmk üzere, = k. ise ile prleldir. Yni; (, ) (, ) olsun // ise = k. (, ) = k (, ) olup = k. ve = k. = = k olur. ÖRN ÖRN l doğrusu üzerindeki herhngi iki nokt (, ) ve (0, ) ve l doğrusu üzerindeki herhngi iki nokt; (, ) ve (, ) dir. l // l olduğun göre, değerini bullım. l // l ise // = = (0, ) (, ) = (, ) = = (, ) (, ) = (, ) olur. = (, ) ve = (k +, ) prlel olduğun göre, k değerini bullım. // olup = = bulunur. // ise k + = olup k + = k = bulunur. ÖRN ÖRN (, ), (, ) ve (k, ) noktlrı verilior. // olduğun göre, k değerini bullım. = = (, ) = = (k +, 0) olup // = ise k = bulunur. k+ 0 UYRI // ise,, noktlrının doğrusl olmsı gerektiğine dikkt edelim. (, ), (, ), (, ) ve (, ) noktlrı verilior. // olduğun göre, değerini bullım. = = (, ) (, ) = (, ) = // = (, ) (, ) = ( +, ) = = 0 bulunur. + YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

36 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÇI ÖRN fllng ç noktlr n oln iki fl n n birleflimine ç denir. enr L ö e enr ¾ [ ve [ fl nlr n ç n n kenrlr (kollr ) Şekilde () () kümesini bullım. ¾ : ç n n köflesi fiekildeki ç, d / ile gösterilir. [ [ = = = / bölge L ç bölge = [ [ ()= [ [ {İç bölge} () () kesişim kümesi ukrıd trlı bölgenin sınırlrı ve iç bölgesindeki noktlrdır. İrİm Çember ÖRN üzlemde sbit bir noktdn birim uzkl ktki noktlr n kümesine birim çember denir. Şekle göre, birim ) l b) () l r = birim ) = [ [ olduğundn, l = {, } dir. kesişim kümelerini bullım. b) () = [ [ {İç bölge} olduğundn, erece ir çember 0 efl prç bölündü ünde her bir efl prç gören merkez ç n n ölçüsü dir. º () l = [] dir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

37 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Rdn Yönlü çi Yr çp uzunlu und gören merkezdeki ç rdn denir. birim birim = rdn Pozitif ön ¾ Çemberin çevre uzunlu u π birim oldu undn çember n n tmm n n ölçüsü π rdnd r. ir ç n n bir kenr ndn di er kenr n stin tersi önde gidildi inde olufln ç pozitif önlüdür. SNUÇ : erecei, rdn R ile gösterirsek, 80 = R r z lbilir. Negtif ön ÖRN r rdnın kç derece olduğunu bullım. ir ç n n bir kenr ndn di er kenr n st önünde gidildi inde olufln ç negtif önlüdür. R = 80 r r = = bulunur. 80 r ¾ Yönlü ç lr sölerken önce bfllng ç kenr sonr bitifl kenr sölenir. ÖRN ir dik üçgeninde [] [] dir. m() = r rdn olduğun göre, 9 çısının ölçüsünün kç derece olduğunu bullım. n n fllng ç kenr [ itifl kenr [ Yönü pozitiftir 80 o 9 r = 9 r eşitliğinden, = 0 olup n n fllng ç kenr [ itifl kenr [ Yönü negtiftir m() = 90 0 = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

38 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Trİgonometrİk rnlr ir ç n n Tnjnt kotnjnt ekseni = = irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n = do rusunu (tnjnt eksenini) kesti i noktn n ordint n o ç n n tnjnt denir. kosinüs ekseni P(, ) sinüs ekseni tnjnt ekseni tn = tn P(, tn ) ir ç n n osinüsü irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n birim çemberi kesti i noktn n psisine o ç n n kosinüsü denir. cos P(, b) = cos P(cos, b) ir ç n n otnjnt irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n = do rusunu (kotnjnt eksenini) kesti i noktn n psisine o ç n n kotnjnt denir. cot P(, ) = cot P(cot, ) ir ç n n Sinüsü SNUÇ : (ördü bir rd) irim çemberde bir ç çizerken kulln ln fl n n birim çemberi kesti i noktn n ordint n o ç n n sinüsü denir. sin b P(, b) b = sin P(, sin ) (, 0) (0,) cot T sin cos (0, ) P tn (,0) T(cos, sin ) P(, tn ) (cot, ) YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

39 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN = irim krelerden oluşmuş şekilde tn + cotb toplmını bullım. = un göre, uzunluğunu bullım. Verilen çember birim çember olduğundn, H H = birim ve = cot olduğundn, cot = tn = = eşitliğinden, = cot bulunur. hlde, tn + cotb = + = bulunur. ÖRN ÖRN sin, cos, cot ifdelerinin sırlmsını plım. irim çemberde, = b P(, b) noktsınd, º = cos, b = sin ve = cot olup > > b olduğundn, cot > cos > sin bulunur. P 0 br H ir cirit tm müsbksınd uzunluğu 80 birim oln cirit, ere 0 lik çı prk şekildeki gibi splnıor. u ciritin diğer ucunun erden üksekliği 0 birim olduğun göre, splnn kısmın kç birim olduğunu bullım. H dik üçgeninde, sin0 = H eşitliğinden, 0º 0 = = 0 birim olup iritin bou 80 birim olduğundn, Splnn kısmın bou, 80 0 = 0 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

40 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ve b çılrı birer dr çı olsun. I. > b ise sin > sinb II. > b ise cos < cosb III. > b ise tn > tnb IV. > b ise cot < cotb un göre, verilenlerden hngilerinin doğru olduğunu bullım. noktsının ordintı noktsının ordintındn büük olduğundn sin > sinb dır. NT : I. bölgede > b ise sin > sinb cos < cosb tn > tnb cot < cotb III. bölgede > b ise sin < sinb cos > cosb tn > tnb cot < cotb II. bölgede > b ise sin < sinb cos < cosb tn > tnb cot < cotb IV. bölgede > b ise sin > sinb cos > cosb tn > tnb cot < cotb nı bölgede büük oln çının tnjntı büüktür. nı bölgede büük oln çının kotnjtı küçüktür. noktsının psisi noktsının psisinden büük olduğundn cosb > cos dir. ÖRN (, ) üçgen m() = = noktsının ordintı noktsının ordintındn büük olduğundn tn > tnb dır. = (9, 0) un göre, tn ve cot değerlerini bullım. noktsının psisi noktsının psisinden büük olduğundn cotb > cot dir. (, ) H H nde tn =, cot = bulunur. 9 YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

41 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ir Genifl ç n n Trigonometrik rnlr Yni; P(, b) b = cos < 0 b = sin > 0 + b = 80 ise sin = sinb cos = cosb tn = tnb cot = cotb ¾ ¾ Genifl ç n n kosinüsü negtiftir. Genifl ç n n sinüsü pozitiftir. ÖRN dik üçgen P(b, ) = = tn < 0 b = cot < 0 8 m() = = birim = 8 birim un göre, sin, cos, tn, cot değerlerini bullım. (, ) ¾ ¾ = Genifl ç n n tnjnt negtiftir. Genifl ç n n kotnjnt negtiftir. Pisgor teoremi ile = 0 birim olup 0 Genifl ç n n trigonometrik ornlr için bu ç lr n bütünler ç lr n n trigonometrik ornlr lınır. Genifl ç n n; Sinüsü erine bütünlerinin sinüsü osinüsü erine bütünlerinin kosinüsünün kt (ters işretlisidir) Tnjnt erine bütünlerinin tnjnt n n kt (ters işretlisidir) otnjnt erine bütünlerinin kotnjnt n n kt (ters işretlisi) l n r. 8 ile b bütünler çı olduğundn, sin = sinb = cos = cosb = tn = tnb = cot = cotb = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

42 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi Prlel ki o runun ir esenle Ypt ç lr SNUÇLR :. c b d // ise + = 80º z t ¾ ile c ters ç d r, = c b ile d ters ç d r, b = d. // ise + + = 0º l // l ise ¾ ile öndefl ç lrd r, = ¾ d ile t öndefl ç lrd r, d = t ¾ b ile öndefl ç lrd r, b = ¾ c ile z öndefl ç lrd r, c = z. // ise = 0º ¾ d ile krfl durumlu ç lrd r, d + = 80 Yukrıdki sonuçlrı genellersek : ¾ ¾ c ile krfl durumlu ç lrd r, c + = 80 c ile iç ters ç lrd r, c =. // ise = k. 80º ¾ ¾ d ile iç ters ç lrd r, d = ile z d fl ters ç lrd r, = z Prlel iki do ru rs ndki k r k çizgi s s ¾ b ile t d fl ters ç lrd r, b = t. // ise = +. // ise + + = + YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

43 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi 7. [ // [ [ // [ ise = ÖRN 0º 0º [ // [ // [ m() = 0 m() = 0 8. [ // [ [ // [ ise un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. = 9. 0º [ // [ [ // [ ise + = 80º 0º 0º 0º 0. [ // [ ve ve krfl durumlu ç lr oldu undn, [ [ [ [ ise + = 80º m() + m() = m() = 80 m() = 0 dir. hlde,. [ // [ ve ve iç ters çılr oldu- undn, m() = m() [ [ [ [ ise = m() = m() = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

44 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN M L 00º 0º // [L] çıort [M çıort m() = 00 m() = 0 L 0º 8º 78º // m() = 0 m() = 8 m(l) = 78 un göre, LM ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, L ç s n n ölçüsünü bull m. 0º 0º 0º 0º M L 0º 00º 70º 70º 0º L 0º 8º º 78º 98º 80º H m() + m() = m() olduğundn, m() + 0 = 00 m() = 0 olup oğru çı tnımındn, m(l) = 0 ve m(m) = 70 dir. hlde, m(l) = m(l) + m(m) m(l) = m(l) = 0 olısıl, m(lm) = 0 bulunur. [ ve [L çizilirse H noktsınd kesişirler. m() + m(h) = m(h) = 80 m(h) = 98 olup m(h) + m(l) = 80 oldu undn m(h) + 78 = 80 m(h) = 0 ve H nde m(h) = 80 bulunur. ölece, m(h) + m(hl) = m(hl) 0 + m(hl) = 80 m(hl) = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

45 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN [ // [ I. 8º II. º m() = 70 0º 70º 0º m() = 0 m() = 0 º º III. IV. un göre, n n ölçüsünü bulım. º 78º 0º 0º V. 0º 0º 70º 70º 0º 0º L 0º 0º uztılırs öndeş çılrdn, m(l) = 70 olur. ölece, L dörtgeninde, Yukrıdkilerin kç tnesinde l // l olduğunu bullım. II. şekilde öndeş çılr zılırs, iç çılrın ölçüleri toplmı 0 olduğundn, + = 80 olup l // l dir. 0º V. şekilde öndeş çılr zılırs, 70º L 0º = 80 olup l // l dir. iğer şekillerde ise l ve l kesişen doğrulrdır m() = 0 m() = 00 bulunur. Yukrıdki örneği noktsındn [ n prlel çizerek çözmee çlışınız. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

46 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 7 Yukrıdki dörtgeninde = + b + q olduğunu gösterelim. Yukrıdki iç büke ltıgende + = + b + q + ϒ olduğunu gösterelim. ve noktlrındn birbirine prlel olck şekilde iki doğru çizelim, Şekilde ve noktlrındn birbirine prlel olck şekilde l ve l doğrulrı çizelim. m n m() = m, m() = n dersek, // m n ϒ = m + n olup, m n m+ n+ m() = = m + n olup m+ n+ + = m+ n+ + b+ i eşitliğinden, [ c + = + b + q + ϒ bulunur. = m+ n + b+ i eşitliğinden = + b + q bulunur. [ YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

47 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. 0º fiekilde l // l m() = 0. º fiekilde l // l [ ç ort [] ç ort m() = un göre, frk kç derecedir? un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 00 ) 0 ) ) ) 7 ). 8º [ // [ m() = 8 m() = m(). fiekilde l // l [] ç ort [] ç ort un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 70 ) 7 ) 8 ) 90 ) 9. º º [ // [ m() = m() =. L z 0º 0º fiekilde [ // [ // [ // [L m() = 0 m() = 0 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 00 ) 0 ) ) 0 ) un göre, + z nin de eri kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

48 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7. P + 8º [ // [ m(t) = fiekilde l // l m() = 80 8º m(p) = º m() = 0 + 7º m(tp) = 8 0º 80º m() = 80 T un göre, kç derecedir? ) ) 0 ) ) ) un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) º [ // [ m() = 0 m() = m(). fiekilde l // l m() = 0 m() = m() m() = m() 0º m() = m() un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 7 ) 8 ) 90 ) 00 ) 0 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 70 ) 7 ) 8 ) 90 ) [ // [. [ // [ 9º m() = 9 m() = m() m() = m() º º º m() = m() = m() = un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 98 ) 9 ) 9 ) 8 ) 8 un göre, ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) 9 ) ) ) ) 9 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

49 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. 00º 0º l // l // l m() = 00 m() = 0 [] çıort. 0º // [] çıort [] çıort m() = 0 m() = m() = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0. [ // N [] // []. º // m() = N 0º 0º m(n) = 0 m() = 0 0º T º m() = m() = m(t) = 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 0 ) ) 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 0 ) ). 0º [ // [ [ // [] m() = 0. 0º 0º 0º [ // [ [ // [] m() = 0 m() = 0 m() = 0 un göre, m() = kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 70 ) 7 un göre, m() = kç derecedir? ) 90 ) 00 ) 08 ) 0 ) 9 YGS onu nltımlı Soru nksı......

50 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7. P º N L 9º M R S [L // [NS m(pmr) = 9 m(rns) = 0. 0º 0º 0º l // l [] çıort [] çıort m() = 0 m() = 0 m() = 0 un göre, m(pl) kç derecedir? ) 7 ) 8 ) 0 ) ) un göre, m() = kç derecedir? ) 8 ) 80 ) 7 ) ) º [ // [ m() = 00 m() = 00. 0º [ // [ = = m() = 0 00º 0º 0º m() = 0 m() = 0 m() = un göre, m() kç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0 un göre, m() = kç derecedir? ) 0 ) 8 ) 7 ) ) 9. [ // [ m() = 00 m() = 0 00º m() = 80 0º 80º un göre, m() kç derecedir? ) 80 ) 7 ) 70 ) ) 0. 0º L un göre, m() kç derecedir? [ // [ [] çıort [] çıort m(l) = 0 m() = m() = m() = 0 = 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

51 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi İr oğrunun enklemleri üzlemde bir ( 0, 0 ) nokts ndn geçen ve er vektörü u = ( p, q) oln do ruu ele ll m. u = (p, q) (, ) // u = k. u ( 0, 0 ) ölece l doğrusunun, Vektörel denklemi : ( 0, 0 ) = k(p, q) o rultmn vektörü : u = (p, q) ÖRN nlitik düzlemde, (, ) noktsındn geçen ve d = (, ) vektörüne prlel oln doğrunun vektörel, prmetrik ve kplı denklemlerini bullım. d = (, ) P(, ) (, ) l doğrusu üzerinde değişken P(, ) noktsı llım. Prmetrik denklemi : = k. p + 0 = k. q + 0 fleklinde z lbilir. hlde, l // d olduğundn, P // d olup P = k. d zılbilir. Prmetrik denklemden elde edilen k de erleri eflitlenerek do runun kpl denklemi, biçiminde z lbilir. + b + c = 0 urdn, P = P = (, + ) olup P = k. d (, + ) = k(, ) (, ) = (, ) + k(, ) vektörel denklemi olup rşılıklı bileşenler eşitlenerek, ÖRN = + k = + k _ b ` prmetrik denklemi ve b nlitik düzlemde vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln doğrunun doğrultmn vektörü, prmetresi ve üzerindeki bir noktı bullım. oğrultmn vektörü : d = (, ) Prmetresi : k Üzerindeki bir nokt : (, ) dır. k prmetreleri eşitlenerek, k = = + = + = 0 kplı denklemi bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

52 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN oordint düzleminde, (, ) ve (0, ) noktlrındn geçen doğrunun vektörel, prmetrik ve kplı denklemlerini bullım. (, 0) (0, ) P(, ) d (0, ) (, ) nü l doğrusunun bir doğrultmn vektörü olrk lbiliriz. hlde, d = = = (, ) zılbilir. Yukrıdki koordint sisteminde, P l ve [] // l olduğun göre, l doğrusunun vektörel denklemini bullım. d = (, ) P(, ) [] // l olduğun göre, (, ) d // P olup P = k. d eşitliğinden, (, ) = k(, ) (, ) = (, ) + k(, ) Y (, ) = (, ) + k(, ) vektörel denklemini elde ederiz. rşılıklı bileşenler eşitlenerek, _ = k + b ` prmetrik denklemi ve = k + b k prmetreleri eşitlenerek, = eşitliği ile = 0 kplı denklemi bulunur. // l olcğındn, vektörü l doğrusunun doğrultmn vektörü olrk lınbilir. hlde, = = (, ) = d d = (, ) P(, ) T(, ) ölece, doğrunun vektörel denklemi, PT = k. d eşitliği ile (, ) = (, ) + k(, ) bulunur. UYRI ir doğrunun sonsuz tne prmetrik denklemi olbileceğini düşünelim... YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

53 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN Prmetrik denklemi, = k + ve = k oln doğrunun vektörel denklemini bullım. = k + = k... À = k + = k... Á À. ve Á. denklemlerden ÖRN 7 + = 0 doğrusunun prmetrik denklemlerinden bzılrını zlım. = k = k + = k + = k + = k = k + = k + = k denklemleri + = 0 doğrusunun prmetrik denklemlerinden bzılrıdır. (, ) + (, ) = k(, ) Y l : (, ) = (, ) + k(, ) bulunur. ÖRN 8 d = (, ) (, ) T(, ) oordint düzleminde, (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini bullım. (, ) (, ) l doğrusunun doğrultmn vektörü olrk nü lbiliriz. ÖRN hlde, d = = = (, 9) olup plı denklemi, = + oln doğrunun prmetrik denklemini bullım. d = (, 9) (, ) (, ) Prmetrik denklem, bir doğru üzerindeki noktlrın bir prmetree bğlı olrk zılmsıdır. hlde, = k dielim. ölece, = k + olup = k = k + _ b denklemi = + do rusunun ` prmetrik denklemidir. b = k. d (, ) = (, ) + k(, 9) vektörel denklemi, _ = k + b ` prmetrik denklemi = 9k b ve k lerin eşitlenmesi ile = + olup = 0 kplı denklemi bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

54 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 9 İr oğrunun Ğİmİ ir do runun ekseni ile pozitif önde pt ç e im ç s ve bu ç n n tnjnt n do runun e imi denir ve e im m ile gösterilir. d irim krelere rılmış koordint düzleminde d ne prlel olup noktsındn geçen doğrunun vektörel, prmetrik ve kplı denklemlerini bullım. ¾ l do rusunun e im ç s ¾ l do rusunun e imi m = tn d = (, ) ve (, ) olup NT : d = (, ) (, ) 0 < < 90 tn > 0 90 < < 80 tn < 0 + b = 80 tn = tnb tn i = b l doğrusunun, b Vektörel denklemi : (, ) = (, ) + k(, ) ÖRN Prmetrik denklemi : = k + = k + k lerin eşitlenmesi ile ğim çısı 0 oln bir doğrunun eğimini bullım. ğim çısı 0 oln doğru şğıdkilerden biri gibidir. plı denklemi : = + = 0 bulunur. 0º 0º 0º hlde, eğim = m = tn0 = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

55 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi SNUÇLR : ÖRN ¾ ir doğru ekseninin sğ trfın tık ise eğimi pozitiftir. Yukrıdki l, l, l doğrulrın n eğimleri pozitiftir. Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. ¾ ir doğru ekseninin sol trfın tık ise eğimi negtiftir. Yukrıdki l, l, l doğrulrın n eğimleri negtiftir. ¾ ir doğru eksenine dik ise eğimi oktur. Çünkü eğim çısı 90 olduğundn tn90 = tnımsız., l do rusunun e im ç s d r. hlde, e im m = tn d r. m = tn = bulunur. ÖRN l ve l doğrulrının eğimleri oktur. rijinden ve (, ) noktsındn geçen doğrunun eğim çısının ölçüsünü bullım. ¾ ir doğru eksenine dik ise eğimi s f rd r. Çünkü eğim çısı 0 olduğundn tn0 = 0 dır. Şekle göre, m() = 0 olduğundn, Yukrıdki l ve l doğrulrın n eğimleri s f rd r. l doğrusunun eğim çısı 80 0 = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

56 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. çısı l do rusunun e im ç s d r. hlde, dik üçgeninde, tn = olup e im = m = tn = bulunur. ÖRN çısı l do rusunun e im ç s d r. Trlı üçgene bkrsk, > 90 olduğu görülür. olısıl, m = tn < 0 bulunur. + b = 80 oldu undn tn = tnb d r. tnb = olup l do rusunun e imi m = tn = bulunur. Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. ÖRN çısı l do rusunun e im ç s d r. hlde, + b = 80 olup tn = tnb z lbilir. urdn tnb = olup l do rusunun e imi Verilenlere göre, l do rusunun e imini bull m. m = tn = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

57 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 7 ki Nokts ilinen o runun imi (, ) (, ) Verilenlere göre, l ve l do rulr n n e imleri toplmını bull m. l do rusunun e imi m = tn = m =.. UYRI rdintlr rk = (sırlmı bozmdn) psisler rk l do rusunun e imi m = tn = = ve l do rusunun e imi m = tnb = olup m + m = = bulunur. ÖRN oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun eğimini bullım. I. Yol : ÖRN 8 (, ) (k + ) 8 = 0 doğrusu ekseninin pozitif önü ile geniş çı ptığın göre, k nin en büük tmsı değerini bullım. ir doğrunun ekseninin pozitif önüle ptığı çı eğim çısı ve bu çının tnjnt değerine eğim dediğimizi htırllım. Geniş çının tnjnt değeri negtif olduğundn, (k + ) 8 = 0 doğrusunun eğimi negtiftir. hlde, (k + ) 8 = 0 doğrusunun eğimi, m = k + < 0 olup k < k nin en büük tmsı değeri bulunur. (, ) ( ) 8 l doğrusunun eğimi, m = = = bulunur., II. Yol : (, ) H (, ) l doğrusunun eğimi m = tn dır. 8 H nde, tn = = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

58 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi NT : ¾ üzlemde iki do ru birbirine prlel ise e imleri eflittir. noktsı, noktsının birim sğ ve 8 birim ukrı ötelenmesi ile elde edilmiştir. // ise m = m 8 birim 8 birim birim birim ¾ üzlemde iki do ru birbirine dik ise e imleri çrp m ( ) dir. m = tn = 8 = ir vektör, sonsuz sıd doğrunun doğrultmn vektörü olbilir. ise m. m = (şğıdki şekli inceleelim.) = m + n "irinin eğimi, diğerinin eğiminin çrpm işlemine göre tersinin ters işretlisidir." n = m + n n d = (, m) = m + n n ÖRN oordint düzleminde denklemleri, l : (k ) + n = 0 l : + + = 0 oln doğrulr birbirine prlel olduğun göre, k sısını bullım. ¾ + b + c = 0 do rusunun, c ) eksenini kesti i nokt = 0 için = d r. c b) eksenini kesti i nokt = 0 için = d r. b l // l olduğundn, k + n =! eşitliğinden, c) imi ve genel bir ifde ile b ( inktss ) m = şeklinde düşünebiliriz. ( nin kts s ) k + = k + = olup k = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

59 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN l l un göre, köşesinin psisini bullım. Yukrıd l l olduğun göre, noktsının psisini bullım. dik üçgenine bkılrk, noktsının psisine k dielim. l doğrusunun eğimi m = dik üçgenine bkılrk, l doğrusunun eğimi : m tn = = k k l doğrusunun eğimi m = olup k l l olduğundn m. m = olmlıdır.. f p = k = bulunur. k l doğrusunun eğimi : m tn = b = olup k l l ise m. m = olmlıdır. 8 hlde,. f p = & k = bulunur. k YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

60 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde denklemleri, l : + = 0 l : n + = 0 doğrulrı birbirine dik ise n değerini bullım. ik doğrulrın eğimleri çrpımı ( ) dir. ÖRN 7 + = 0 doğrusun prlel olup (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemini bullım. Prlel doğrulrın eğimleri eşittir. + = 0 (, ) l : + = 0 doğrusunun eğimi : m = n l : n + = 0 doğrusunun eğimi : m = l l m. m = olcğındn,. ( n ) = n = 8 bulunur. l : + = 0 doğrusunun eğimi : m = olup l // l olcğındn, l doğrusunun eğimi m = olmlıdır. hlde, m = (, ) l doğrusunun denklemi, = ( ) + 0 = 0 bulunur. ÖRN (, ) nokts ndn geçen ve + = 0 do rusun dik oln do runun kpl denklemini bull m. rnn do ru + = 0 do rusun dik oldu undn e imi olml d r. imi oln do runun denklemi = + n olup (, ) nokts n d s lc ndn, u durumd, (, ) = + n = ( ) + n olup, n = bulunur. ÖRN 8 (, ) nokts ndn geçen ve = + do rusun prlel oln do runun kpl denklemini bull m. rnn do ru = + do rusun prlel olc ndn e imi olml d r. hlde denklemi de, = + n olur ki bu do ru (, ) nokts ndn geçti ine göre noktn n koordintlr denklemi s lml d r. u durumd, (, ) erine zl m erine zl m = + n = ( ) + n olup n = bulunur. ölece istenen do ru = + elde edilir. ölece istenen do ru = + elde edilir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

61 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 9 ÖRN 0 nlitik düzlemde, (, 7) ve (k +, ) noktlrındn geçen doğrunun eksenine prlel olmsı için k değerini bullım. nlitik düzlemde, (k, p + ) ve (p +, k ) noktlrındn geçen doğrunun, I. Yol : eksenine prlel oln doğrulr ekseni ile dik çı pck şekilde kesişirler. ) ğiminin sıfır olmsı için b) ğiminin olmmsı için p ile k rsındki bğıntıı bullım. ) ğimin sıfır olmsı için doğrunun eksenine prlel olmsı gerekir. Yni verilen noktlrın ordintlrı eşit olmlıdır. hlde, (, 7) (k +, ) hlde, p + = k p k = bulunur. k + = olmlıdır. b) ğimin olmmsı için doğrunun eksenine prlel olmsı gerekir. Yni verilen noktlrın psisleri eşit olmlıdır. ölece, k = bulunur. II. Yol : oğru eksenine dik durumlu olduğundn eğimsiz olmlıdır. ( 0,... ) ( 0,... ) 0 hlde, eğim = m = ordintlr frk psisler frk olup psisler frkı 0 olmlıdır. k + = 0 k = bulunur. hlde, k = p + k p = 9 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

62 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN nlitik düzlemde, (, ) ve (, n + ) noktlrındn geçen doğrunun eksenine prlel olmsı için n değerini bullım. I. Yol : imi ve ir Nokts ilinen o ru enklemi imi m ve üzerindeki bir nokts (, ) oln do runun denklemi, (, ) (, ) m = e im = l do rusunun denklemi : = m( ) dir. (, n + ) ÖRN n + = olup n = bulunur. II. Yol : eksenine prlel doğrulrın eğimleri 0 olup ordintlr frk eğim = m = = 0 psisler frk n + = 0 n = bulunur. ( ) oordint düzleminde, eğimi ve (, ) noktsındn geçen doğrunun kplı denklemini bullım. I. Yol : ğimi, m = ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemi, = ( ) = 0 bulunur. ÖRN = + k doğrusu üzerindeki ve noktlrı rsındki uzklık 8 birim olduğun göre bu noktlrın psisleri frkını bullım. II. Yol : ğimi m = oln doğrunun bir doğrultmn vektörü d= (,) lınbilir. hlde, d = (, ) (, ) (, ) ğim = m = ise tn = olup eğim çısı = 0 dir. 8 0º hlde, = = + k birim bulunur. = k. d olup (, ) = k(, ) vektörel denklemi, _ = k + b ` prmetrik denklemi = k + b k = = olup = 0 kplı denklemi bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

63 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi NT : R değiştikçe prmetrik denklemi, = pk + t = qk + r oln doğrunun eğimi p q dir. ÖRN oordint düzleminde köşelerinin koordintlrı, (, 8), (, ) ve (, 7) oln üçgenindeki kenrın it kenrortı tşın doğrunun denklemini bullım. (, 8) ÖRN (, ) (, 7) Yukrıd l doğrusunun kplı denklemini bullım. l doğrusu [] kenrortını tşın doğrudur. noktsının koordintlrı, f, p (, ) (, 8) (, ) (, ) (, ) (, 7) (0, ) l doğrusu (0, ) ve (, ) noktlrındn geçmektedir. un göre, doğrunun eğimi, m, = = olup 0 hlde, l doğrusunun eğimini bulbiliriz. (, 8) (, ) m = (0, ) m l = ordintlr frk psisler frk 8 = = olup l doğrusunun denklemi, = ( 0) = 0 elde edilir. l doğrusunun denklemi = + bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

64 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN kre = dikdörtgen l : + k = 0 () = br Yukrıdki koordint düzleminde l doğrusunun denklemini bullım. un göre, dikdörtgenin köşesinin ordintını bullım. l doğrusunun eğim çısın dielim. m() = dielim. l doğrusunun eğimi olduğundn, // olduğundn m() = dir. tn = olup dik üçgeninde = olup tn = = olcğındn = k, = k diebiliriz. k k k k hlde, k dik üçgeninde tn = olduğundn, k l doğrusunun eğimi dir. ölece, l doğrusunun denklemi, = bulunur. () = k. k = k = k = k = olup köşesinin ordintı k = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

65 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ki Nokts ilinen o runun enklemi (, ) (, ) ve (, ) noktlr l do rusu üzerinde iki nokt olsun. P(, ) (, ) (, ) Yukrıd birim krelere rılmış koordint sisteminde ve noktlrındn geçen l doğrusunun denklemini bullım. (, ) noktsındn birim sğ ve birim şğı giderek orijini bullım. P(, ) noktsı do ru üzerinde de iflken bir nokt olsun. m = m P olc ndn, = bulunur. Y e im = m = olup e imi ve bir nokts bili- nen do rusunun denklemi ile de bulunbilir. (, ) (0, 0) ÖRN oordint sisteminde (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini bullım. ölece, (, ) ve (, ) olup l doğrusunun eğimi m l = ( ) 0 ölece, l doğrusunun denklemi, = tür. P(, ) noktsı l doğrusu üzerinde değişken bir nokt olsun. P(, ) (, ) (, ) m = (, ) m = m P olcğındn, (, ) = ( ) + = 0 bulunur. ( ) = eşitliğinden, l doğrusunun denklemi + = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

66 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ksenleri esti i Noktlr ilinen o runun enklemi eksenini (, 0) ve eksenini (0, b) noktlrınd kesen doğrunun denklemi ; z Özel o rulr = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri eşit olup dır, ordintlrı herşe olbilir. (, ) b (, ) (, 0) (, ) = l do rusunun denklemi + = b (escrtes doğru denklemi) = b doğrusu üzerindeki tüm noktlrın ordintlrı eşit olup b dir, psisleri herşe olbilir. NT : (, b) (0, b) (, b) = b ikkt edilirse koordint sisteminin en temel kvrmının eğim olduğunu söleebiliriz. = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri ordintlrın eşittir. ÖRN = (0, ) º º (, 0) I. ç ort do rusu ¹ = doğrusu üzerindeki tüm noktlrın psisleri ordintlrının zıt işretlisidir. oordint sisteminde verilen l doğrusunun denklemini bullım. = l doğrusunun denklemi, + = eşitliği ile + 0 = 0 bulunur. º º II. ç ort do rusu YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

67 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi º = m doğrusu üzerindeki tüm noktlrın ordintlrı psislerinin m ktıdır. (, m) = m tn = m ki o runun irbirine Göre urumu enklemleri, l : + b + c = 0 l : + b + c = 0 oln do rulr için; b c =! ise l b c ve l prleldir. ÖRN oordint düzleminde denklemleri, l : + = 0 l : + b + = 0 oln doğrulr çkışık olduğun göre, ve b değerlerini bullım. l ve l çkışık olduğundn, = = = 0 ve b = bulunur. b b c = = ise l b c ve l çk fl kt r. ÖRN oordint düzleminde denklemleri, b! ise l b ve l bir noktd kesiflir. = {} l : + = 0 l : k + 7 = 0 oln doğrulrın bir noktd kesişmesi için k nin hngi değeri lmcğını bullım. l ve l doğrulrının bir noktd kesişmesi için,! olmlıdır. k hlde, k = olmz. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

68 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN oordint düzleminde (, 7) noktsının eksenlere uzklıklrı toplmını bullım. 7 nokts n n eksenine uzkl nokts n n eksenine uzkl (, 7) noktsının eksenine uzklığı 7 birim noktsının eksenine uzklığı birim dir. hlde noktsının eksenlere uzklıklrı toplmı 7 + = birim bulunur. İİ ĞRUNUN SİŞM NTSI. Yol : enklemleri verilen iki doğrunun kesim noktsının koordintlrını bulmk için ortk denklemlerin oluşturduğu sistemi çözeriz. ÖRN nlitik düzlemde, + = 0 ve + 9 = 0 doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. ÖRN NT : ( 0, 0 ) noktsının, eksenine uzklığı 0 birim eksenine uzklığı 0 birim = c doğrusun uzklığı 0 c birim = c doğrusun uzklığı 0 c birim orijine uzklığı + birimdir. 0 0 oordint düzleminde (k, k + ) noktsı eksenlere eşit uzklıkt olduğun göre, k nin değerlerini bullım. (k, k + ) noktsının, eksenine uzklığı k + eksenine uzklığı k dir. hlde, k = k + eşitliğinden, k = k + d k = k k = d k = bulunur. enklemleri trf trf çözelim. = / = 9 =, = bulunur. hlde kesim noktsı (, ) bulunur.. Yol : Grfikleri çizilmiş iki doğrunun kesim noktsındn d eksenine dikme inip eğim çılrını d kullnrk kesim noktsını bulbiliriz. H Yukrıd [H]; H ve H dik üçgenlerinde ortk kenrlr olup ve b çılrının tnjnt değerleri ile kolc bulunbilir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

69 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN = {} 0 Yukrıdki l ve l doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. Yukrıd l ve l doğrulrının kesim noktsının koordintlrını bullım. H 0 noktsındn eksenine dikme inelim. H tn = H nde = H H l doğrusunun eğimi : m tn = = H nde H H l doğrusunun eğimi : m tn = b = H nde H H = = olup H tnb = H nde H = H H H =, = (, ) olur. H hlde, (, ) zılbilir. = 8 = = olup 8 esim noktsının koordintlrı, (, ) olup 9 f, p & f, p bulunur = 0 = = olup ölece, noktsının koordintlrı, f, p f, p bulunur. UYRI Yukrıdki üç örnekte doğru denklemleri bulunup trf trf çözülerek de kesim noktsının koordintlrı bulunbilirdi. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

70 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN birim 0 0 Yerden üksekliği metre oln şekildeki kdırğın eğimi 0,8 dır. u kdırğın uzunluğunu bullım. Şekildeki merdivenin bsmklrının üksekliği 0 cm, derinliği 0 cm dir. u merdivenin eğimini bullım. birim eğim = m = tn olup () nde 0 0 Merdivenin eğimi l doğrusunun eğimine eşit olup 0 tn = = 08, = metre olup dik üçgeninde Pisgor teoremi ile, 0 0 m = tn = = bulunur. 0 = + = metre bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 70

71 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN ÖRN 7 = ve = doğrulrı rsındki çıı bullım. N 0, m M 0, m L 0, m m R H P m Şekilde R noktsındn bşln engelli rmpsının eğimi % 0 dur. Yerden üksekliği birim oln bu rmpnın eğimi % 8 olsdı rmpnın hngi noktdn bşlcğını bullım. = doğrusunun eğimi, m = olup eğim çısı 0 ve = doğrusunun eğimi, m = olup eğim çısı dir. = = º 0º P R ngelli rmpsının eğimi % 0, H m hlde, doğrulr rsıdki çı, 0 = bulunur. 0 Yni, eğim = m = 00 = ise, 0 PH tn = olup 0 RH hlde, RH = dur. 0 = RH = 0 metre dir. 0 Rmpnın eğimini % 8 = pmk için, T tnb = H m = HT =, metre olup HT Rmp H noktsındn, metre soldki N noktsındn bşlmlıdır. ÖRN 9 Vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln doğru üzerinde psisi oln noktnın ordintını bullım. Vektörel denklem prmetrik hle getirilirse, = k ve = + k bulunur, = verilmiş, o hlde, = k k = olup = + k = +. = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

72 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi ÖRN 8 ÖRN 9 doğrusunun eğimi olduğun göre, Yukrıd birim krelere rılmış zeminde verilen doğrulrın eğimlerini küçükten büüğe doğru sırllım. doğrusunun eğimini bullım. doğrusunun eğimi olduğundn, l doğrusunun eğimi, m = = l doğrusunun eğimi, m = = tn = nde, = = 8 birim olur. l doğrusunun eğimi, m = = l doğrusunun eğimi, m = 8 l doğrusunun eğimi, doğrusunun eğimi, 8 tnb = = bulunur. m = 0 hlde doğrulrın eğimlerinin küçükten büüğe sırlnışı, m < m < m < m < m şeklindedir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

73 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. Herhngi bir büüklüğü olmn ve er belirten geometrik terimi şğıdkilerden hngisi ile nlmlndırbiliriz? ) oğru prçsı ) oğru ) Işın ) üzlem ) Nokt. ir düzlemin doğrusl olmn en z kç frklı noktsı vrdır? ) ) ) ) ). Uzunluğu ve genişliği, düz ve sınırsız genişletilebilen fkt klınlığı bulunmn geometrik terim şğıdkilerden hngisidir? ) üzlem ) Uz ) oğru. Uzın düzlemsel olmn en z kç frklı noktsı vrdır? ) ) ) ) ) 7 ) Işın ) Üçgen. ir doğrunun bir noktsındn bşlıp düz olrk sürekli tek öne uztılbilen uzunluğu sınırsız, klınlığı bulunmn geometrik terim şğıdkilerden hngsidir? 7. ir çember üzerindeki frklı ltı noktnın herhngi ikisinden kç doğru geçer? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) ) oğru ) oğru prçsı ) Işın ) Üçgen ) Çokgen. Uzunluğu, genişliği ve üksekliği sınırsızc genişletilen, bütün noktlrı içinde bulundurn pı şğıdkilerden hngisidir? ) oğru ) Uz ) Işın ) üzlem ) Çokgen 8. kenrlı bir çokgeni tbn kbul eden prizmnın rıtı oln kç tne doğru prçsı vrdır? ) ) ) ) ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı

74 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 9. ir çemberin iki tne keseni çemberle birlikte düzlemi en fzl kç bölgee ırır? ) ) ) ) 7 ) 8. Çember örtgen oğru Pirmit Üçgen Yukrıdkilerden kç tnesi iki boutludur? ) ) ) ) ) 0. P. H G L Yukrıd P düzlemi üzerinde lınn,,,, noktlrı ve düzleme it l doğrusu için şğıdkilerden hngisi nlıştır? ),, noktlrı doğrusldır. ) noktsı l doğrusunun bir elemnıdır. ) ve noktlrı l doğrusunun frklı trfınddır. ),, noktlrı düzlemsel değildir. ),, noktlrı doğrusl değildir.. "nı düzleme dik oln frklı iki doğru... " ümlesini doğru olrk tmmlbilmek için şğıdkilerden hngisi noktlı ere zılmlıdır? Yukrıdki şekilde lınn,,,,,, G, H noktlrı bir dik prizmnın köşeleridir. öşeler ve, L noktlrı için, I.,, L noktlrı doğrusldır. II. H, G,, noktlrı düzlemseldir. III. H,,, noktlrı düzlemseldir. IV.,, G, noktlrı düzlemseldir. V.,,, noktlrı düzlemseldir. ifdelerden kç tnesi doğrudur? ) ) ) ) ) ) Çkışık olur ) Prlel olur ) esişir ) kırı olur ) ik durumlu olur. Sınıfımızın tbnın,,,, ve duvrlrın X, Y, Z, T noktlrını işretleelim. un göre, şğıdkilerden hngisi nlıştır?. ir düzlem üzerinde lınn frklı nokt ile, uç noktlrı bu noktlr oln en fzl kç tne doğru prçsı çizilebilir? ) 9 ) 0 ) ) ) ),, X noktlrı düzlemsel olbilir. ),, T noktlrı doğrusl olbilir. ) Verilen noktlrın tmmı doğrusl olbilir. ),,, X, Y noktlrı düzlemsel olbilir. ) X, Y, Z doğrusl değil ise,, X her zmn doğrusldır. 7 YGS onu nltımlı Soru nksı

75 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. H G. şğıdki ifdelerden hngisi nlıştır? P ) Nokt boutsuzdur. ) üzlem iki boutludur. ) oğru prçsı bir boutludur. ) oğru iki boutludur. ) Uz üç boutludur. Yukrıdki dikdörtgenler prizmsınd çizilen doğrulr için, I. P ile kırı doğrulrdır. II. G ile P doğrulrı kesişir. III. H ile doğrulrı prleldir. IV. ile P doğrulrı kırı doğrulrdır. V. ile P doğrulrı kesişir. ifdelelerinden kç tnesi doğrudur? ) 0 ) ) ) ). şğıdki ifdelerden hngisi nlıştır? ) Uzd üç düzlem bir noktd kesişebilir. ) Uzd üç düzlem bir doğru bounc kesişebilir. ) Uzd her üç noktdn bir doğru geçer. ) esişen iki doğru üzerinde lınn herhngi nokt düzlemsel olbilir. ) esişen iki düzlem üzerinde lınn frklı 8 nokt doğrusl olbilir.. ir çember ile bir dikdörtgen en fzl kç noktd kesişebilir? ) ) ) 8 ) 0 ). Sbit bir nokt eşit uzklıkt bulunn noktlr; oordint doğrusund..., koordint düzleminde..., uzd... belirtir. Yukrıdki boşluklr sırsıl şğıdkilerden hngileri gelmelidir?. şğıdki ifdelerden kç tnesi nokt model olbilir? ) çember, düzlem, doğru ) iki nokt, çember, küre ) çember, küre, iki nokt ) düzlem, iki nokt, çember ) iki nokt, doğru, küre üzei ir doğru prçsının uçlrı esişen iki doğrunun kesim eri ir ışının bşldığı er esişen iki düzlemin kesim eri ir üçgende herhngi iki kenrın kesiştiği er ) ) ) ) ) 7. üzlemde frklı doğru en fzl kç noktd kesişir? ) ) ) ) ) 7 7 YGS onu nltımlı Soru nksı

76 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 8. Yukrıd d(, ) = d(, ) ve d(, ) = d(, ) olduğun göre, ornı kçtır? ) ) ) ) ). oordint doğrusu üzerinde () ve (k) noktlrı verilior. birim vektör olduğun göre, k nin lbileceği değerler toplmı kçtır? ) ) ) ) ) 9. 0 Yukrıdki l sı doğrusund nün uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ). 0 Yukrıdki l koordint doğrusun göre, şğıdkilerden hngisi ne eşittir? ) ) ) ) ) 0. Yukrıdki koordint doğrusu üzerinde verilen ve noktlrının koordintlrı () ve () tir. = 8 birim olduğun göre, değeri kçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). Yukrıdki koordint doğrusu üzerinde lınn,, noktlrı için = olck biçimde lınn noktsının koordintı kçtır? ) ) ) ) 0 ) 9. ( ) () (8) Yukrıdki koordint doğrusu üzerinde verilen,, noktlrı için, = olduğun göre, noktsının koordintı oln değeri kçtır? ) ) ) ) ). oordint doğrusu üzerinde (), ( ) ve () noktlrı verilior. un göre, + toplmı kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 7 YGS onu nltımlı Soru nksı

77 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST.,,,, eflit rl kl do rusl befl noktd r. = k. oldu un göre, k kçt r?. oordint doğrusu üzerinde ( ) ve ( ) noktlrı verilior. un göre, nün er vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) P (0) () ) P ( ) (0) ) P (0) () ) P ( ) (0) ) P (0) (). Şekilde üçgeni ve l doğrusu çizilmiştir. un göre, l şğıdkilerden hngisidir? ) [ ) l ) {} ) [] ) {, }. esişen doğrulrdn oluşn bir şekilde belirleici üç özellik şğıd verilmiştir. I. Şekil dört doğrudn oluşmktdır. II. Her doğru diğer üçünü kesmektedir. III. Her kesim noktsındn iki doğru geçmektedir. un göre, şekilde kç kesim noktsı vrdır? ) ) ) ) 7 ) 8. oordint doğrusu üzerinde (k + ) ve (k ) noktlrı verilior. un göre, şğıdkilerden hngisi ne eşittir? ) X Y () () ) X Y () (7) ) X Y () () ) X Y ( ) () ) X Y () (). ir düzlem içindeki frklı üç doğrunun birbirine göre durumlrı ile ilgili şğıdki ifdelerden hngisi kesinlikle nlıştır? ) ir düzlem içindeki üç doğru bir noktd kesişebilir. ) ir düzlem içindeki üç doğru birbirini ikişer ikişer frklı noktlrd kesebilir. ) ir düzlem içindeki üç doğrudn ikisi prlel ise üçüncü doğru onlrı kesebilir. ) ir düzlem içindeki üç doğrudn ikisi bir noktd kesişirse, üçüncü doğru bunlr prlel olbilir. ) ir düzlem içindeki üç doğru birbirine prlel olbilir. 77 YGS onu nltımlı Soru nksı......

78 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST nlitik düzlemde (, ) noktsının eksenine uzklığı kç birimdir? ) ) ) ) ) 9 Yukrıdki birim krelere rılmış şekilde (, ) olduğun göre, ve noktlrının koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) ). eksenine uzklığı birim ve eksenine uzklığı birim oln noktlrın koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) 0 ) 8. Yukrıdki koordint sisteminde = olduğun göre, noktsının koordintlrı. ördüncü bölgedeki (k, p + ) noktsının eksenine uzklığı birim, eksenine uzklığı birim olduğun göre, k + p kçtır? ) ) ) ) ) şğıdkilerden hngisidir? 7 9 ) f, p ) f, p ) f, p ) (, ) ) f, p. nlitik düzlemde, (k, n + ), (, ) ve (7, 9) için 9. nlitik düzlemde (, ) noktsının eksenine uzklığı kç birimdir? ) ) ) ) ) noktsı [] nın ort noktsı olduğun göre, (k, n) noktsı koordint sisteminin kçıncı bölgesindedir? ) I ) II ) III ) IV ) rijin 78 YGS onu nltımlı Soru nksı

79 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. m < 0, n < 0 ve m > n olduğun göre, (m n, m n ) noktsı hngi bölgededir? ) I. bölge ) II. bölge ) III. bölge ) IV. bölge ) rijinde. (, b + ) noktsının eksenine uzklığı 7 birim, (, b + ) noktsının eksenine uzklığı birim olduğun göre, (, b) noktsı hngi bölgede olbilir? ) I. - II. bölge ) I. - III. bölge ) II. - III. bölge ) I. - IV. bölge ) III. - IV. bölge. f + b, p noktsı nlitik düzlemde ekse- b ni üzerinde olduğun göre, şğıdkilerden hngileri doğru olbilir? I. ( b, b) noktsı. bölgede II. ( b, b) noktsı. bölgede III. ( b, b) noktsı. bölgede. (k +, k ) noktsı nlitik düzlemin. bölgesinde olduğun göre, k hngi rlıktdır? ) < k < ) < k ) < k < ) < k < ) < k < ) Ylnız I ) I ve II ) I ve III ) II ve III ) I, II ve III 7. M(m, n) noktsı II. bölgede olduğun göre, N(m.n, m + n) hngi bölgededir? ) I. bölge ) II. bölge ) III. bölge ) IV. bölge ) rijin. nlitik düzlemde ( + b, b + c) noktsı ekseni üzerinde (c, + ) noktsı ekseni üzerinde ve (b + c, ) noktsı orijinde olduğun göre, + b + c toplmı kçtır? 8. II I ) ) ) ) ) 0 III IV Yukrıdki şekilde nlitik düzlem, eksenleri içine lmn dört bölgee rılmıştır.. (k, k ) noktsı IV. bölgede olduğun göre, k nin lbileceği tmsı de erleri toplmı kçtır? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 (m, m + ) noktsı II. bölgede olduğun göre, m erine zılbilecek tm sılrın toplmı kçtır? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 79 YGS onu nltımlı Soru nksı

80 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 9. ir sinem slonunun oturm düzeninde koordint sistemi model lındığınd li'nin oturduğu er (, ) olup li'nin sır sğındn sır ukrı gidildiğinde Veli'nin erine ulşılmktdır.. un göre, Veli'nin oturduğu erin koordintı nedir? ) (, 7) ) (, 7) ) (, 7) ) (, ) ) (, ) 0. Yukrıd birim krelere rılmış zeminde verilen noktlrdn birisi orijin olck şekilde bir dik koordint sistemi erleştirilior. ve noktlrının orijine uzklıklrı eşit olduğun göre orijin şğıdkilerden hngsidir? ) ) ) ) ) Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde (, ) olduğun göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). (, ) ve (, ) noktlrı rsındki uzklık d(, ) = kç birimdir? ) 0 ) ) ) ).. N R H S P Q T G Yukrıdki dörtgeninde, (, ), (, ), G(, 7) ve H(p, k) noktlrı kenrlrın ort noktlrı olduğun göre, p + k toplmı kçtır? ) ) ) ) ) Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde noktsının koordintlrı toplmı P, Q, R, S, T ve N noktlrındn hngi ikisinin koordintlrının toplmın eşittir? ) P N ) Q R ) R T ) S N ) T Q 80 YGS onu nltımlı Soru nksı

81 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. nlitik düzlemde (, ) ve (, ) noktlrı verilior. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). v = ( 8, 7) için v+ w = 0 olck şekilde w nün bileşenleri şğıdkilerden hngisidir? ) (8, 7) ) ( 8, 7) ) (7, ) ) ( 7, 8) ) (8, ). nlitik düzlemde (, ) ve (, b) noktlrı verilior. = (, ) olduğun göre, + b toplmı kçtır? ) 0 ) 9 ) 8 ) ). nlitik düzlemde (, ), (, ) ve (, b) noktlrı verilior. = olduğun göre, noktsı kçıncı bölgededir? ) I ) II ) III ) IV ) rijin. (, 7) noktsı ve = (8, 9) verilior. un göre, noktsının koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 7. nlitik düzlemde p = (, ) ve q = (, 7) verilior. un göre, p q şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, 9) ) (, ) ) (, ). (, 7) ve (, ) noktlrı verilior. un göre, nün uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) 9 ) 8. nlitik düzlemde, = (, ) ve + = (, ) olduğun göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, 0) ) (, ) ) (, ) ) (0, ) ) (, 0) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

82 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 9. + = (7, ) ve = (, 8) verilior. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) ( 7, ) ) (, ). = (, ) ve b = (, n) verilior. + m.b = 0 olduğun göre, m. n çrpımı kçtır? ) ) ) ) ) 0. 0 dik üçgen = 0 birim = 7 birim. = fk, p birim vektör olduğun göre, k kç olbilir? ) ) ) ) ) 7 un göre, + işleminin sonucu şğıdkilerden hngisine eşit olbilir? ) (0, 0) ) (, 0) ) (7, 0) ) (0, ) ) (, 7). kre = birim = birim = birim. un göre, + işleminin sonucu şğıdkilerden hngisine eşittir? ) (, ) ) (, 8) ) (, 9) ) (, 8) ) (, 7) b c. ik koordint sisteminde, Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde, + b c şğıdkilerden hngisine eşittir? ) (, ) ) (, ) ) (, 8) ) (, 7) ) (, ) e = (, 0) ve e = (0, ) olmk üzere = e + e nün uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

83 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. nlitik düzlemde c < b < 0 < < d olmk üzere, (, c) ve (b, d) noktlrı verilior. un göre, şğıdkilerden hngisi olbilir?. " u = (, ) ve " v = (, ) vektörleri verilior. " " " u+ v = w eşitliğini sğln " w şğıdkilerden hngidir? ) ) ) (9, ) ) (, 9) ) (8, ) ) (, ) ) (, 9) ) ). + ) Yukrıd birim krelere rılmış koordint sisteminde + ve verilmiştir. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). N. M L G H Yukrıdki birim krelere rılmış zeminde verilen vektörlerden hngisi V = (, ) ne eştir? ) ) ) MN ) ) L Yukrıd birim krelere rılmış zeminde + şğıdkilerden hngisine eşittir? ) G ) H ) G ) ) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı.....

84 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST. üzlemde ( 0, 0 ) noktsındn geçen ve d = (p, r) vektörüne prlel oln doğrunun vektörel denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) = (p, r) + k( 0, 0 ) ) (, ) = ( 0, 0 ) + k( p, r) ) (, ) = ( 0, 0 ) + k(p, r) ) (, ) = ( 0, 0 ) + k(p, r) ) (, ) = (p, r) + k( 0, 0 ) 9. (, ) nokts ndn geçen ve v = (, ) vektörüne prlel oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) 7. üzlemde (, ) noktsındn geçen u = (, ) vektörüne prlel oln doğrunun vektörel denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) 0. Prmetrik denklemi, = k + = k 7 oln do runun do rultmn vektörü fl dkilerden hngisi olbilir? ) (, 7) ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 8. üzlemde ( 0, 0 ) noktsındn geçen d = (p, r) vektörüne prlel oln doğrunun prmetrik denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) = 0 + k. p ) = 0 k. p = 0 + k. r = 0 + k. p ) = p + k. 0 ) = 0 + p = r + k. 0 = 0 r ) = 0 p = 0 + r. plı denklemi + 7 = 0 oln do runun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir? ) = k + ) = k ) = k = k = k 9 = k + ) = k ) = k = k = k 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

85 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7. Vektörel denklemi, (, + ) = k(, ) oln do runun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir? ) = k + ) = k + ) = k = k = k = k + ) = k ) = k = k = k +. Prmetrik denklemi, = k = 7k + oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, 7) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, 7) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). Prmetrik denklemi, = k = k + fleklinde verilen do ru üzerindeki noktlrdn biri (, m) oldu un göre, nokts n n m koordint kçt r? ) ) ) ) ). pl denklemi, + = 8 oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisi olmz? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (0, 9) k(, ) ) (, ) = (9, 0) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). oordint düzleminde (, ) ve (, ) noktlr ndn geçen do runun vektörel denklemi, fleklinde verilior. (, ) = + k( ) un göre, k = için (, ) nokts ile ilgili fl dkilerden hngisi sölenebilir? ) nokts ile nokts n n orts ndd r. ) nokts n n s ndd r. ) nokts n n solundd r. ) nokts ile çk fl kt r. ) nokts ile çk fl kt r.. (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrusunun eğimi şğıdkilerden hngisidir? + ) + ) ) + ) ) + 8 YGS onu nltımlı Soru nksı......

86 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 7 7. P P = (, ) 0. şğıdki doğrulrdn hngisinin eğimi en küçüktür? P //, ) + 9 = 0 ) 8 = 0 ) + = 0 ) = 0 ) 8 = 0 un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). (, ) (, ) (0, ) (0, ) 8. un göre, noktsının psisi kçtır? 0º ) ) ) ) ) un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). 9. nlitik düzlemde prmetrik denklemi, = 8k + = k 8 oln doğrunun eğimi kçtır? Yukr dki flekilde verilen do rulrın e imlerinin küçükten büü e do ru s rln fl fl- dkilerden hngisidir? ) l < l < l < l < l ) l < l < l < l < l ) l < l < l < l < l ) 9 ) 9 ) ) 7 ) 9 8 ) l < l < l = l < l ) l < l < l < l < l 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

87 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 8. ğim çısı oln doğrunun eğimi kçtır?. ) ) ) ) ) R Q P S T. Yukrıdki şekilde (, ) olduğun göre, orijin hngi nokt olur? ) P ) Q ) R ) S ) T Yukr dki nlitik düzlemde l do rusunun vektörel denklemi fl dkilerden hngisi olbilir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, 0) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(7, ). şğıdkilerden hngisinde verilen doğru denklemi üzerindeki nokt ile birlikte verilmiştir? ) + = 0, P(, ) ) + 9 = 0, Q(, ) ) + = 0, R(, ) ) + = 0, S(, 0) ) + + = 0, T(, ). (, ) (k, ) (, ) noktlrı bir do ru üzerinde oldu un göre, k kçtır? ) 8 ) 7 ) ) ) 7. şğıd verilen doğrulrdn hngisi verilen eğim ve üzerindeki nokt kullnılrk bulunmuştur? ğim Üzerindeki nokt enklem ) m = (, ) + + = 0 ) m = (, ) + 9 = 0. enklemi (k ) + ( k ) + k + = 0 oln doğru eksenine prlel olduğun göre, k kçtır? ) ) ) 0 ) ) ) m = (8, 7) + = 0 ) m = (0, ) + = 0 ) m = (, ) + 7 = 0 87 YGS onu nltımlı Soru nksı

88 TML GMTR VRMLR ve R NT GMTR Y G R fi TST 8 8. = b + = +. = c º estek, birim Yukrıd denklemleri ile verilen doğrulrın grfiklerine göre şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) < b ve b = c ) b = c ve c < ) c < b < ) > b > c ) = c = b Yukrıd erden üksekliği, birim oln bir blkonun görünümü verilmiştir. estekle blkon rsınd kln çının ölçüsü olduğun göre, desteğin uzunluğu kç birimdir? (sin = 0,8) ), ) ), ) ), 9. Vektörel denklemi (, ) = (p, ) + k(, 8) oln doğrunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). + 7 = 0 ve + + = 0 do rulr rs nd kln dr ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) = oordint sisteminde verilenlere göre, şğıdkilerden hngisi olbilir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (7, ) ) (, ). R değiştikçe, (k +, k ) noktlrının belirttiği doğrunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 88 YGS onu nltımlı Soru nksı

89 ÜÇGNLR ÜN T Üçgende çı ik Üçgen rt Tbn Muhteşem Üçlü Öklid ğıntılrı ln Hesbı şlik ve enzerlik Üçgenin enrlrı rsındki ğıntılr

90 ...evren her n gözlemlerimize çıktır; m onun dilini ve bu dilin zıldığı hrfleri öğrenmeden ve kvrmdn nlşılmz. vren mtemtik dilile zılmıştır; hrfleri üçgenler, direler ve diğer geometrik biçimlerdir. unlr olmdn tek sözcüğü bile nlşılmz; bunlrsız nck krnlık bir lbirentte dolnılır. GLİL

91 ÜÇGNLR Tn m : o rusl olmn üç nokt,,, olsun. [], [] ve [] do ru prçlr n n birlefltirilmesi ile elde edilen flekle üçgen denir. ik ç l üçgen : ir ç s 90 oln üçgendir. Yni, = [] [] [] [], [], [] enr,, öfle, /, / / ç lr r ç l üçgen : Tüm ç lr dr ç oln üçgendir. / m() 90 / m() < 90 / m() < 90 < o o o Üçgenin Temel lemnlr _ [], [], [] b b üçgenin temel,, köfleleri ` b elemnlr d r.,, b Çeflitkenr üçgen : enr uzunluklr frkl oln üçgendir. b c c b ÜÇGN Ç TLR ç lr n göre üçgenler Geni ç l üçgen enrlr n göre üçgenler Çe itkenr üçgen kizkenr üçgen : ki kenr uzunlu u eflit oln üçgendir. ik ç l üçgen r ç l üçgen kizkenr üçgen kenr üçgen b b / " Tepenokts [] " Tbn Tbnç lr e ittir. Genifl ç l üçgen : ir ç s genifl ç oln üçgendir. flkenr üçgen : enr uzunluklr eflit oln üçgendir. m() > 90 0º = = 0º 0º YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

92 ÜÇGNLR Üçgende çı ğıntılrı ÖRN ¾ ir üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı 80 dir. + b + q = 80 ir üçgeninde bir iç çının ölçüsü diğer iki iç çının ölçüleri toplmın eşittir. un göre, bu üçgenin çılrın göre dlnd - r lms n bull m. çısının ölçüsü ve çılrının ölçüleri toplmın eşit olsun. ¾ ir üçgenin dış çılrının ölçüleri toplmı 0 dir. / / / u durumd, m() = m( ) + m( ) olur. + b + q = 0 Üçgenin iç çılrı toplmındn, / / / o m() + m( ) + m( ) = 80 olup / / o m() + m() = 80 / o m() = 90 bulunur. hlde dik çılı üçgendir. ¾ ir üçgenin bir dış çısının ölçüsü kendisine komşu olmn iki iç çısının ölçülerinin toplmın eşittir. ÖRN q = + b ir üçgeninde çısının ölçüsü 70 ve çısının ölçüsü 0 olduğun göre, çısının iç çı ortı ile köşesinden geçen ükseklik rsındki çının ölçüsünün kç derece olduğunu bullım. [H] üksekliğini ve [N] çıortını çizelim. ¾ kizkenr bir üçgenin tbn ç lr nın ölçüleri eflittir. Tepe nokts 70º 0º H N Tbn ç s Tbn ç s H nde, m(h) = 0 ve [N] çıort olduğundn m(n) = 0 dir. Tbn hlde, [H] üksekliği ile [N] çıortı rsınd kln çının ölçüsü 0 0 = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

93 ÜÇGNLR ÖRN LM nde M L P M X M = (, ) & M = birim Q R L irim krelere rılmış zemindeki üçgenlerden hngilerinin ikizkenr olduğunu bullım. nde Y Z L = (, ) & L = birim LM = (, ) & LM = 9 birim hlde LM ikizkenr üçgen değildir. PQR nde P Q R = (, ) & = birim = (, ) & = birim = (, ) & = 0 birim PQ = (, ) & PQ = birim PR = (, ) & PR = birim QR = (, ) & QR = 7 birim hlde PQR ikizkenr üçgen değildir. hlde ikizkenr üçgen değildir. nde XYZ nde X Z Y = ( 0, ) & = birim = (, ) & = birim = (, ) & = birim hlde ikizkenr üçgendir. XY = (, 7) & XY = birim XZ = (, ) & XZ = birim YZ = (, ) & YZ = birim hlde XYZ ikizkenr üçgendir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

94 ÜÇGNLR ÖRN LM nde P R L Q Y Z X M L doğrusunun eğimi m = M doğrusunun eğimi m = LM doğrusunun eğimi m = olup L ğimlerden herhngi ikisinin çrpımı olmdığınd LM dik üçgen değildir. M Yukrıdki üçgenlerden hngilerinin dik üçgen olduğunu bullım. PQR nde Q P nde R PR doğrusunun eğimi m = QR doğrusunun eğimi m = PQ doğrusunun eğimi m = 7 olup m() = 90 olduğundn dik üçgendir. ğimlerden herhngi ikisinin çrpımı olmdığınd PQR dik üçgen değildir. XYZ nde nde X Y XZ doğrusunun eğimi m = ZY doğrusunun eğimi m = olup Z doğrusunun eğimi m = doğrusunun eğimi m = olup m. m = olduğundn dir. hlde dik üçgendir. m. m = dolısıl m(xzy) = 90 olduğundn XYZ bir dik üçgendir.. Yol : enr uzunluklrı bulunrk Pisgor teoremini sğlnlr dik üçgendr diebiliriz. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

95 ÜÇGNLR ÖRN LM nde P X L Z M M L LM doğrusunun eğimi m = M doğrusunun eğimi m = m. m = olduğundn M ML dir. Q R Y hlde LM bir dik üçgendir. Yukrıdki üçgenlerden hngilerinin geniş çılı üçgen olduğunu bullım. PQR nde P nde Q R m(pqr) > 90 olduğu çıktır. hlde PQR geniş çılı bir üçgendir. m() > 90 olduğu çıktır. hlde geniş çılı bir üçgendir. XYZ nde nde X H Z Y m() < 90 ve m() < 90 olduğu çıktır. = birim, = birim, = birim olup = olduğundn, m() < 90 dir. hlde dr çılı bir üçgendir. m(xyh) = dir. ğer Z noktsı birim sol ötelensedi m(zyh) = olurdu. hlde, m(zyh) > olup m(xyz) > 90 olduğu çıktır. ölece XYZ geniş çılı bir üçgendir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

96 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN 7 üçgen X Y Z T º [H] [] = H = H m() = un göre, çısının ölçüsünü bullım. Yukrıdki üçgeninin dik üçgen olmsı için köşesinin hngi nokt ile çkışcğını bullım. = m() = m() = dielim. doğrusunun eğimi m = olup m() = 90 olmsı için olmsı gerekir. nde dış çı olduğundn, m() = + tir. hlde, m. m = eşitliğini sğln noktsın ulşırız. m = olup noktsındn birim şğı ve + º º [H] [] ve H = H = dir. m() = m() = + olur. birim sğ gidersek Y noktsını buluruz. hlde köşesini Y noktsın çekersek + º º + º m() = 90 olduğundn, bir dik üçgen olur. nde dış çı olduğundn, + 0º m() + = + 0 m() = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

97 ÜÇGNLR ÖRN 8 ÖRN 9 üçgen [] çıort = 0º = 0 m() = m() = b = 0 un göre, + b = 7 olduğun göre, nın kç derece olduğunu bullım. Yukrıdki koordint sisteminde m() = m() = q dielim. nde dış çı olduğundn, l l = {} ve m() = 0 olduğun göre, çısının ölçüsünü bullım. = doğrusunun eğimi olduğundn, eğim çısı 0 olur. m() = m() = b + q dır. ölece, m() = 0 dir. = 0 + 0º = 0 + nde dış çı olduğundn, nde dış çı olduğundn, 0º + 0º b + q = + q = b olur. m() = = 00 bulunur. + b = 7 olup b = 7 b = dir. ölece = 7 = 8 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 97

98 ÜÇGNLR ÖRN 0 ÖRN 8º 0º üçgen = = m() = 0 m() = 8 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 08º üçgen [] [] = = m() = 08 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 8º 0º º nde = oldu undn, m() = m()= º o 80 8 o o = ve 7º 7º º 8º 8º [] hem kenrort hem de ükseklik oldu undn ile noktlr n birlefltirirsek ikizkenr üçgeni elde edilir. 8º º [] n zmnd ç ort olur. m() = 08 ise m() = 7 olur. nde = oldu undn, nde m() = 8 dir. m() = m()= o 80 0 o o = 7 olur. ol s l, m() = 8, m() = ve = oldu undn m() = olur. m() = + 8 0º m() = bulunur. ol s l, m() = m() m() = 7 = 9 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 98

99 ÜÇGNLR TST. 70 üçgen m() = m() = 70 =. ir dik üçgeninde, m() = 90 ve = olck şekilde [] noktsı lınıor. m() = 0 olduğun göre, çısının ölçüsü kç derecedir? un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 ) 0 ) ) 0 ) ) 0. üçgen. üçgen 0 0 m() = 0 m() = 0 = = 7 0 m() = 7 m() = 0 = = un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, m() kç derecedir? ) 87 ) 90 ) 98 ) 0 ) 07. üçgen m() = 7 = = =. üçgen m() = m() m() = m() m() = 0 7 un göre, m() kç derecedir? ) ) 8 ) ) 8 ) 8 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) ) 8 99 YGS onu nltımlı Soru nksı......

100 ÜÇGNLR TST 7. üçgen = 0. üçgen = = m() = m() m() = 8 m() = 8 un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) ) 70 ) 87 un göre, m() kç derecedir? ) ) 70 ) 8 ) ) 0 8. üçgen = = m() =. üçgen m() = 8 = = 8 un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 8 ) 0 ) 8 ) un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 8 ) 0 ) 9. üçgen üçgen. ir nde köşesine it çıort doğrusu [] nı noktsınd kesior. 0 m() = 0 = = = = olduğun göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 8 ) ) ) ) 7 un göre, m() kç derecedir? ) ) 70 ) 7 ) 80 ) 00 YGS onu nltımlı Soru nksı

101 ÜÇGNLR TST. üçgen. üçgen [] çıort m() = = üçgen = = m() = un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) 8 ) 7 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 7 ) 08 ). üçgen m() = = = =. üçgen [] çıort = m() = m() = un göre, m() kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) ) 7. üçgen = = m() =. 0 üçgen [] çıort m() = 0 = un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 0 ) ) ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 70 ) 80 ) 00 ) 0 0 YGS onu nltımlı Soru nksı......

102 ÜÇGNLR TST 7. 8 un göre, m() kç derecedir? üçgen [] [] m() = 8 = = ) 08 ) 00 ) 9 ) 88 ) 7 0. ir üçgenin bir iç ç s n n ölçüsü di er iki iç ç - s n n ölçüleri toplm n eflittir. u üçgen için fl dkilerden hngisi kesinlikle do rudur? ) flkenr üçgen ) ik üçgen ) r ç l üçgen ) Genifl ç l üçgen ) kiz kenr üçgen 8. ir eşkenr üçgeninin iç bölgesinde lınn bir P noktsı ve köşelerine eşit uzklıktdır.. dik üçgen [] [] un göre, P çısının ölçüsü kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 m() = = = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) ) 0 9. üçgen [] çıort m() = = = üçgen [] [] = {} m() = m() = 0 m() = 0 m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 0 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

103 ÜÇGNLR İk Üçgen ir çısının ölçüsü 90 oln üçgendir.. d c + b = c + d b b. c Hipotenüs uzunluğu b, c ik kenr uzunluklrı hipotenüs en büük kenrdır. c b d + b = c + d m {, b, c} =. d c + c = b + d Özellikleri : Pisgor ğıntısı : b ir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun kresi dik kenr uzunluklrının kreleri toplmın eşittir. c b = b + c. c d + d = ( + b) + c Pisgor ğıntısının Sonuçlrı : b. c b m + b = c + n 7. m H n. c m H b n m + b = c + n 0 7 YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

104 ÜÇGNLR ÖRN [] [] [] [] = birim = birim = birim un göre, uzunluğunu bullım. ÖRN üçgen = birim = birim = birim un göre, [] n it üksekliğin uzunluğunu hespllım. Şekil dikdörtgene tmmlnırs, [H] [] olck şekilde H [] belirleelim. uzunluğu Pisgor teoremi ile, = + = birim bulunur. H ( ) + = + eşitliğinden, = birim bulunup, ÖRN ik kenr uzunluklrı b birim ve c birim oln bir üçgenin hipotenüs uzunluğu birim dir. + b + c = birim olduğun göre, hipotenüs uzunluğunu bullım. 9 H c b H = h uzunluğu Pisgor teoremi ile H + = H = birim bulunur. dik üçgeninde Pisgor bğıntısı ile = b + c zbiliriz. + b + c = c = c = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

105 ÜÇGNLR ÖRN enrlrı Tmsılı zı ik Üçgenler : üçgen = = birim = br un göre, uzunluğunu bullım. 0 dik üçgeninde Pisgor teoremi ile, + = ( ) = birim olur. = dersek = olup 7 Prtik ilgi b + b dik üçgeninde Pisgor teoremi ile, b + ( ) = + olup = 9 birim bulunur. İfdeleri birer dik üçgen üreteci olrk düşünülebilir. RŞTIRM Sizde özdeşlikler rdımıl dik üçgen üreteçleri oluşturm çlışın. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

106 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN ir dik kenrın uzunluğu birim ve tüm kenr uzunluklrı tmsı oln çevre uzunluğu en büük dik üçgeni bullım. 0 7 dik üçgen = 7 birim = 0 birim = birim ik üçgen üretecini düşürerek işe bşllım. b + b un göre, + toplmını bullım. b b =. b = olup = b = değerleri ile b = ve + b = 7 olup 7 7 rnn dik üçgendir. dik üçgeni 8 0 dik üçgeni olup = 8 birim dir. hlde, dik üçgeni 8 7 dik üçgeni olup = = 9 birimdir. olısıl + = = 7 birim bulunur. ÖRN enrlr uzunluklrı er rdışık tmsı oln dik üçgenin çevre uzunluğunu bullım. ÖRN 7 üçgen = birim = birim = birim = birim un göre, uzunluğunu bullım. enr uzunluklrı er rdışık oln üçgen üçgenidir. hlde bu üçgenin kenr uzunluklrının ktı [H] [] olck şekilde H [] seçelim. 9 9 üçgenidir. H ikizkenr olduğundn, Ç() = birim bulunur. H = H = birimdir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

107 ÜÇGNLR H dik üçgeni dik üçgeni olup H = birim olur. ölece H dik üçgeninde H Pisgor teoremi ile ÖRN 8 0º un göre, uzunluğunu bullım. köşesinden tbn dikme indirilirse, üçgen = = birim = birim = birim m() = 0 H = + 7 = 7 birim bulunur. 0º H ikizkenr olduğundn H = H ve Özel çılı zı ik Üçgenler : 0º º H, dik üçgeninde H = birim olup 7º ( + ) 0º ( ) 7º º 0º H H dik üçgeninde Pisgor teoremi ile ( + ) º ( + ) º 7º H H H H + = olup º,º H = birim ve = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 07

108 ÜÇGNLR Muhteşem Üçlü : ir dik üçgende hipotenüse it kenrortın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun rısın eşittir. r r r ÖRN 8 un göre, uzunluğunu bullım. dik üçgen m() = m() = = 8 birim = birim dik üçgeninde muhteşem üçlü plım. ÖRN dik üçgen [] [] = º m() = un göre, ç s n n ölçüsünü bullım. dik üçgeninde muhteşem üçlü oluşturlım. ölece m() = m() = olup k k º k k,, ikizkenr üçgenleri elde edilir. nde m() = ve m() = 0 olup üçgeninin ikizkenr üçgen olduğu görülür. º k º 0º k nde = olduğundn hlde, = birim bulunur. k k 0º m() = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 08

109 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN = {} dik üçgen = birim = birim = 9 birim (, 0) 9 un göre, uzunluğunu bullım. Yukrıdki dik koordint sisteminde l ve l doğrulrının kesim noktsının noktsın uzklığını bullım. = olck şekilde [] lıp muhteşem üçlü oluşturlım. l doğrusunun eğimi m = ikizkenr olduğundn, l doğrusunun eğimi m = H = H = birimdir. köşesinden hipotenüse ükseklik çizelim. H m. m =. = olduğundn, l l olduğu nlşılır. ölece, H nde Pisgor teoremi ile H = = birim olur. ölece, (, 0) H H dik üçgeninde Pisgor teoremi ile Muhteşem üçlüden = birim bulunur. = + 9 = 0 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 09

110 ÜÇGNLR rt Tbn : ÖRN ir üçgenin herhngi iki kenrının ort noktlrının birleştirilmesi ile elde edilen doğru prçsın ort tbn denir. rt tbn üçüncü kenr prlel olup uzunlukç rısın eşittir. üçgen = birim = birim = 0 birim = 0º 0 m() = 0 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. ¾ : [] nın ort noktsı ¾ : [] nın ort noktsı ¾ [] : rt tbn ve [] // [], ¾ = nde noktsındn [] n prlel olck şekilde doğru prçsı çizersek ort tbn elde ederiz. hlde 7 + şğıdki örnekleri inceleiniz. 0º 0 [] // [] olduğundn, Yöndeş çılrdn, m() = 0 olur. 0º k k nde + = 0 ise = 0 bulunur. m m YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

111 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN dik üçgen = = dik üçgen = = un göre, ç s n n ölçüsünü bullım. un göre, uzunluğunu bullım. noktsındn [] n dikme inersek, [] // [] olck şekilde [] belirleelim. H = ve [H] // [] olduğundn, [H] ort tbndır. = k dersek H = k olup, nde, k k k H H nde kenrlr bkrk, k k [] ort tbn olup =. = 8 birim olur. nde, H 8 m(h) = 0 dir. olısıl m() = 0 bulunur. [] ort tbn olup =. 8 = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

112 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN 8 üçgen,, doğrusl = m() = m() = 8 birim dik üçgen [] [] = = un göre, uzunluğunu bullım. un göre, ç s n n ölçüsünü bullım. üçgeninde ort nokt olup [] // [] olck şekilde [] seçip ort tbn oluşturlım. noktsındn [] n inilen dikme ile ort tbn elde edilir. = k dersek, H = k olup, 8 k u durumd öndeşlikten m() = m() ve şeklin tmmın bkıldığınd, k H şeklin tümüne bkrsk, 8 k k H Trlı H nde = H olduğundn, m() = m() = olduğundn, m(h) = 0 olduğu çılr görülmektedir. = olduğu nlşılır. ölece, = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

113 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN 7 H üçgen [H] çıort [H] [H] m(h) = m() dik üçgen = = un göre, H ornını bullım. un göre, ç s n n ölçüsünü bullım., H, doğrusl olck şekilde [] llım. H ölece nin ikizkenr üçgen ve H = H olduğunu nlşılır. nde, [HT] // [] olck şekilde T [] seçelim. nde = olduğundn, muhteşem üçlü ile bu eşitliğe eklenerek, = = zılbilir. Şimdi şeklin bütününe bklım. H k k k T H HT = birim dersek, = birim ve H = birim olup noktsı ort nokt olup noktsındn [] n inilen dikme nde ort tbndır. H ornı bulunur. ölece = k dersek, H = k ve = k olup H nde k, k ilişkisi ile, m() = = 0 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

114 ÜÇGNLR ÖRN 8 ÖRN 9 H üçgen H üçgen [H] çıort [H] [H] = = birim H = birim H üçgen [H] çıort = = birim H = birim un göre, uzunluğunu bullım. un göre, uzunluğunu bullım. H = {} olck şekilde H seçersek. H = H ve = olur. H = {} olck şekilde seçersek. H = H ve = olur. H H nde H = H ve = olduğundn [H] ort tbndır ve = birim olur. nde H = H ve = olduğundn [H] ort tbndır. H H ölece = + = 8 birim olup = birim olur. ölece, = + = 0 birim bulunur. = 8 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

115 ÜÇGNLR TST. 0º 0º üçgen [] [] m() = 0 m() = 0 = br. 8 dik üçgen = [] [] = birim = 9 birim = 8 birim 9 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 9 ) 8 ) 7 ) un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) 0 ) 7, ) 7. 8 º üçgen m() = = = 8 birim = birim = birim. 8 üçgen [] [] m() = m() un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 70 un göre, + toplmı kç birimdir? ) 0 ) ) ) ) 7. dik üçgen = =. dik üçgen [] [] = = un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) 7, ) 7 ) 70 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

116 ÜÇGNLR TST 7. dik üçgen = = = 0. un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) 0 ) ) 7 üçgen, = birim, = birim =, [] [] un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 8. üçgen [] [] = {} = = = birim. 80º º dik üçgen = = m() = 80 m() = un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) 0 ) ) 0 ). üçgen 9. üçgen üçgen = = [] [] m() = 7 70º üçgen = = m() = 70 0º un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) 0 ) ) 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

117 ÜÇGNLR TST. 8º dik üçgen = = [] [] m() = 8. un göre, m() kç derecedir? Yukrıdki dik koordint sisteminde noktsının (, 0) noktsın uzklığı kç birimdir? ) ) 0 ) ) 0 ) ) ) 7 ) ) 9 ). dik üçgen, dik üçgen, = birim = birim, m() = b, m() = un göre, ornı kçtır? b. 7º 0º un göre m() kç derecedir? üçgen = = m() = 7 m() = 0 ) 7 ) 8 ) ) ) 0 ) ) ) ) ). un göre, ) ) ornı kçtır? ) ) 7 üçgen = m() = m() ). H dik üçgen [H] [] = = H = birim H = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 7 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

118 ÜÇGNLR TST 7. dik üçgen = = m() = 0. dik üçgen m() = m() = birim = birim º un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 8. eşkenr üçgen 0º m() = 0 = birim. dörtgen m() = 80 80º 0º m() = 0 = = = un göre üçgeninin çevre uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 8 un göre, m() kç derecedir? ) 80 ) 70 ) 0 ) 0 ) 0 9. üçgen. dik üçgen [] [] = = m() = m() H 8 m() = m() [H] [] = = 8 birim un göre, m() kç derecedir? ) 9, ) 9 ) 00 ), ) 0 un göre, H uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 8 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

119 ÜÇGNLR c ÖLİ ĞIntIlrI dik üçgeninde [] [] h b [H] [] ise 0 k p H k k 0 H H (.) olup _ h = p. k b b b = k( k+ p) ` b nt lr n Öklit b nt lr denir. b c = p( p+ k) b ¹ H k "rıc ln eşitliğinden b. c = h(p + k) zılbilir." SNUÇLR : k. º k k. k H. k. H. k. k H + şğıdki örnekleri inceleip, ornlr n ns l z ld n nlm çl fl n z.» 9k H k k H k k H ¼ H k k k YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

120 ÜÇGNLR ÖRN H un göre, H uzunluğunu bullım. H = birim dielim. hlde, H = birim olup dik üçgen [H] [] H > H = birim H = birim H = birim ve H = b birim dielim. = olduğundn, = + b birim dir. H b + b üçgeninde Öklid bğıntısı ile = ( + b) üçgeninde Öklid bğıntısı ile, = ( + b) u iki eşitlik ornlnırs, ( + b) = & = bulunur. ( + b) H dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, = ( ) zılbilir. = + = 0 + = 0 ÖRN dik üçgen = = birim = birim 9 ( ). ( 9) = 0 = d = 9 olur. H > H olduğundn, un göre, uzunluğunu bullım. [H] [] olck şekilde, H [] seçelim. H = = 9 birim bulunur. H ÖRN ölece, H ve H nin eş olduğu görülür. H dik üçgen [H] [] [] [] [] [] = hlde, H = H = birim olup H 8 un göre, ornını bullım. nde Öklid bğıntısı ile =. 0 = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

121 ÜÇGNLR ÖRN un göre, ornını bullım. [] çplı rım çemberde [] [] [] [] = birim = birim ÖRN 8 dik muk [] [] = 8 birim = birim un göre, uzunluğunu bullım. Çpı gören çevre çı 90 olduğundn, [] [] ve [] [] olup [] // [] ve olck şekilde noktsı belirleelim. 8 dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, 8 [] // [] olduğundn öndeşlik özelliğinden, [] [] olup =... À dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, 8 dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, =... Á =. 8 eşitliğinden, = 8 birim bulunur. À. ve Á. eşitlikler ornlnırs, = & = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

122 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN 7 dik üçgen = birim = 0 birim = birim 0 un göre, uzunluğunun lbileceği değerleri bullım. ik koordint sisteminde dik kesişen [H] [] olck şekilde H [] llım. u durum iki şekilde çizilebilir. l : + = 0 l : b + = 0 H H doğrulr verildiğine göre, noktsının psisini bullım. 0 0 l doğrusun bkrk, dik üçgeninde Pisgor bğıntısı ile, = 0 için = olup = + 0 = birim olup l doğrusunun eksenini kestiği nokt : (0, ).durum: ( noktsı H noktsının solund) üçgeninde Öklid bğıntısı ile, l doğrusun bkrk, = H. H = 9 birim olup = 0 için = olup 9 H = birim bulunur. l doğrusunun eksenini kestiği nokt : (, 0) ölece,.durum: ( noktsı H noktsının sğınd) H üçgeninde Pisgor bğıntısı ile, H = birim olup 9 H ölece, H = birim ve = 9 = birim olur. hlde, = birim d = birim bulunur. l l olduğundn dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, =. eşitliği ile, =. = 8 birim olup noktsının psisi 8 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

123 ÜÇGNLR ÖRN 8 ÖRN 9 ik koordint sisteminde [] çplı rım çember ı üzerinde (9, ) noktsı verilior. ik koordint düzleminde dik üçgen () = 9 br (9, ) (, 0) (, 0) un göre, noktsının psislerinin lbileceği değerleri bullım. un göre, çemberin merkezinin koordintlrını bullım. [H] [] olck şekilde, H [] llım. Çpı gören çevre çı 90 olduğundn, (9, ) H 9 dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, () = 9 br ise H. = 9 H = birim olup H = dersek, H = olur. 9 H H = 9. H eşitliğinden, H = birim ve = birim olur. ölece çemberin merkezi [] nın ort noktsı olcğındn, dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, = ( ) + = 0 9 ( ). ( 9) = 0 = d = 9 olur. Yni şekil şğıdki gibi iki türlü çizilebilir. M (0,0) (,0) (, ) (9, ) Çemberin merkezi, M f, 0p bulunur. 9 YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

124 ÜÇGNLR ÖRN 0 ÖRN (0, 9) l : = [] [] l 0 dikdörtgen [] [] [] [] = birim = 0 birim ik koordint sisteminde şekle göre noktsının psisini bullım. l doğrusunun eğimi tür. un göre, uzunluğunu bullım. [H] [] olck şekilde H [] çizelim. 9 H H dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, tn = 9 = H = birim olup H = H. (0 H ) eşitliğinden, H = birim bulunur. ölece, [] [] olck şekilde [] çizelim. dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, 9 H dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, 9 =. H =. (0 ) eşitliğinden, H = 7 birim olup 7 7 = + = birim bulunur. ölece, noktsının psisi 7 olur. = birim olup hlde, = 0 = 8 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

125 ÜÇGNLR ÖRN. Yol : H [] nı içten bölen noktnın koordintlrı, (0, ), H(, b), (, 0) ve. H = 9. H zılbilir. H H 9 = olup (H ) = 9( H) Yukrıd denklemi + = oln l doğrusu üzerinde [H] l olck şekilde H noktsının koordintlrını bullım. (, b ) = 9(, b) = 9 =. Yol : + = doğrusunun eksenleri kestiği noktlr = 0 için = olup (0, ) ve = 0 için = olup (, 0) dır. 8 b 8 = 9b b = olup 8 Hf, p bulunur. ÖRN (0, ) H (, 0) H dik üçgen dikdörtgen [H] [] = birim H = dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile (0, ) 9k H(, b) k H H = 9 un göre, dikdörtgensel bölgesinin lnını bullım. (, 0) H =, H = b dielim. dik üçgeninde Öklid bğıntısı ile, noktsındn noktsın k de rtış 9k de rtış = noktsındn noktsın k de rtış k de b rtış 8 b = 8 hlde, H(, b) Hf, p bulunur. H b = ( + b)... À ölece, dikdörtgensel bölgesinin lnı, () = ( + b) olup À. eşitlikten dolı () = br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

126 ÜÇGNLR ÖRN + şğıdki üçgenlerde eşit oln uzunluklrı bulup işretleiniz. H dik üçgen [] çıort [H] [] = birim H = birim H = birim un göre, H uzunluğunu bullım. H Şekilde gerekli çılrı isimlendirelim. H H Şimdi şeklin bütününe bklım, m() = m() = b eşitliğinden, = birim olur. H hlde, nde Öklid bğıntısı ile, ¹ G kre H 9 =. = birim bulunur. Prtik ilgi Genellikle tne 90 ve tne çıort oln geometrik şekillerde ikizkenr üçgen rlım. ¹ H [] çp [H] [] YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

127 ÜÇGNLR TST. dik üçgen [] []. dik üçgen [] [] H [H] [] H = birim H = birim 0 H [H] [] = 0 birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) un göre, H H frkı kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 8. dik üçgen. dik üçgen 9 H [] [] [H] [] = birim H = 9 birim H [] [] [H] [] = birim = 8 birim 8 un göre, H uzunlu u kç birimdir? ) 8 ) 7 ) ) ) un göre, H + H H kç birimdir? ) 8, ) 8, ) 8, ) 8, ) 7,. dik üçgen. H dik üçgen [] [] [H] [] = birim H = birim H [H] [] [] [] H = birim H H = birim un göre, H uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, + toplmı kç birimdir? ) ) ) ) ) 8 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

128 ÜÇGNLR TST 7. dik üçgen 0. dik üçgen H 9 [H] [] [] [] = birim H = birim H = 9 birim H 7 [] [] [H] [] [] [] = 7 birim H = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? un göre, H H orn kç eflittir? ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) 8 ) 7 8. dik üçgen = = = birim = birim. dik üçgen [] [] [] [] [] [] = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 0 un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 0 ) ) ) ) 9. dik muk [] [] = birim = birim. dik üçgen [] [] = = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 8 ) 0 ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 0 ) ) ) 7 ) 0 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

129 ÜÇGNLR TST. dik üçgen. dörtgen H [] [] [H] [] H = birim H = birim 8 m() = m() [] [] [] [] = birim = 8 birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ). 9 H dik üçgen [] [] [H] [] = H = 9 birim H = birim. H dik üçgen [] [] [] [] [] [] H = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 8 ) 7 ) 7 ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ). H dik üçgen [] [] [H [] H = birim H + H = 9 br. H dik üçgen [] [] [H] [] = birim H = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 7 ) ) 78 ) 9 un göre, H uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) 9 YGS onu nltımlı Soru nksı......

130 ÜÇGNLR TST 7. üçgen 0. dik üçgen H m(h) = m(h) H = birim H = birim H [] [H] = birim H = birim H = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? un göre, H uzunlu u kç birimdir? ) ) 0 ) ) ) ) ) 9 ) ) 8. çısının ölçüsü 90 oln üçgeninde h = birim ve b = birim olduğun göre, [] nın uzunluğu kç birimdir? ) 8 ) ) 8 ) ) 7. 8 H + dik üçgen [H] [] H = 8 birim H = birim H = + birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 0 ) ) ) 0 ) 8 9. H un göre, ornı kçtır? dik üçgen [] [] [H] [] H = birim H = birim. H dik üçgen [H] [] [H] [] = birim = birim ) ) ) ) + ) + un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

131 ÜÇGNLR YÜSL ÖRN ¾ ir üçgenin üç üksekli i bir noktd kesiflir. u nokt üçgenin diklik merkezi denir. iklik merkezi üçgen [] [] [] [] [] [] dr ç l üçgenin diklik merkezi iç bölgededir. dik üçgeninin diklik merkezi dik oln kö edir. Yukr dki,,,,,, noktlr ndn kç tnesinin diklik merkezi olbilece ini bull m. iklik merkezi nokts nin diklik merkezidir. nokts nin diklik merkezidir. nokts nin diklik merkezidir. geni ç l üçgen olup diklik merkezi d bölgededir. nokts nin diklik merkezidir. nokts nin diklik merkezidir. nokts nin diklik merkezidir. ÖRN nokts nin diklik merkezidir. üçgen hlde verilen noktlr n tmm diklik merkezi olbilir. diklik merkezi m() = ÖRN º üçgen m() = un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. º º º diklik merkezi ise [] [] [] [] [] [] olur. Gerekli ç lr z l rs m() = bulunur. º üçgeninin diklik merkezi köflesi oldu- un göre, ç n n ölçüsünü bull m. üçgeninin diklik merkezi köflesi oldu undn, [] [] olup üçgenin iç ç lr toplm ndn, / m() = 80 olup / m() = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

132 ÜÇGNLR NT : ¾ ir üçgenin ç ort (n ), üksekli i (h ) ve kenrort (V ) rs nd, h n V eflitsizli i z lbilir. ÖRN ir üçgeninde, h = birim V = 8 birim oldu un göre, n n n lc tms de erlerini bull m.. urum : çeflitkenr üçgen h n V 8 H N h < n < V H h < n < V oldu undn, < n < 8,,, 7. urum : dik üçgen n n n dört tne tms de eri vrd r. ÖRN V n h N 0 0 h < n < V. urum : ikizkenr üçgen üçgeninin köflesinden çizilen üksekli inin kç birim oldu unu bull m. 0 h 0 H h = n = V = H H H üçgeninde Pisgor teoremi ile h = 8 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

133 ÜÇGNLR ir Üçgensel ölgenin ln ir üçgensel bölgenin ln herhngi bir kenr n uzunlu u ile bu kenr it üksekli in çrp m n n r sın eflittir.. Geniş çılı üçgende iki ükseklik üçgenin d fl n düfler. h () =.h c h c b h h b H () =.h b.h c.h b c = = elde edilir. SNUÇLR : fl dki sonuçlr inceleip ns l elde edildiklerini nlm çl fl n z... ir kenrı birim oln eşkenr üçgenin lnı, c h b h b h c H.h b.h c.h b c () = = = e itli inden.h = b.h = c.h eldeedilir. b c () =. = elde edilir.. ik üçgenin lnı dik kenrın uzunluklrın n çrpımın n rısı kdrdır.. b H h h () =.. = h.b e itli inden = h.belde edilir. // [] // ise () = h. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

134 ÜÇGNLR. 9. h S P d b c [] // [] ise S = ise. b = c. d () = h..sin ( nin köflesi nokts n kd r l rs) 0. Tbn uzunluklrı eşit oln üçgenlerin lnlrı ornı ükseklikleri ornın eşittir. 7. b S P c d H H S = ise. c = b. d () () = H H elde edilir. 8. Yükseklikleri eşit üçgenlerin lnlrı ornı tbnlrı ornın eşittir. h h. Tbn uzunluklrı ve ükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı eşittir. L M h d d // d d () () = ve () () = elde edilir. Yukrıdki üçgenlerin ükseklikleri eşit olup h kdrdır. hlde () = () = (LM) dir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

135 ÜÇGNLR.. (Ymuğun kciğerleri) c b S S dik üçgen () (b c) (b + c) = = [] // [] ise () = () dir... z c b () nin en büük de eri b.c dir. [] // [] ise () : () : () = : : z dir.. G h G h H üçgeninin içine çizilebilen en büük lnl dikdörtgen n ndki gibidir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

136 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN üçgen = () = br üçgen = = () = br Yukrıdki üçgensel bölgesinin lnını bullım. Yukrıdki üçgensel bölgesinin lnını bullım. Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı ornı tbnlrı ornın eşittir. hlde, ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit ve = olduğundn () = () zılbilir. ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit olduğundn, = () = () zbiliriz. k S S S k S k k () = S = S = 8 br olup, () = S = br bulunur. ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit olduğundn, = () =() olup Prtik ilgi S S S = S = n n S S () = 9S = 7 br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

137 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN üçgen [] [] = {} = birim = birim = birim () = () 0º 0 8 üçgen = = 8 birim = 0 birim () = 0 un göre, uzunluğunu bullım. () = () = S () =, () = dielim. S ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit olduğundn, S un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit ve = () = () zbiliriz. S k k noktsındn [] n inilen dikme ile () i bulbiliriz. S S+ S+ =... À H nde H = birim olup S + S + 0º nı şekilde ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit olduğundn, S + S+ =... Á S+ 8 H. () = = 0 br S + À. ve Á. eşitliklerden, = 0 = 0 birim bulunur. = orntısı ile 0 k k ölece () =. 0 = 0 br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

138 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN oordint düzleminde, + = 0 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgensel bölgenin lnını bullım. 0 üçgen = 0 birim = 0 birim = birim 0 + = 0 doğrusu eksenini = 0 için (8, 0) noktsınd eksenini = 0 için (0, ) noktsınd keser. (0, ) un göre, köşesinin [] n uzklığını bullım. köşesinden [] n çizilen ükseklik ile [] eşit iki prç bölünür. (8, 0) 0 H hlde l doğrusunun eksenlerde oluşturduğu üçgen olup, 0 H dik üçgeninöde Pisgor teoremi ile H = 0 = 8birim bulunur. nde ln eşitliği ile, 8 () =. 8 = br bulunur. 0 H () = = ise 8 = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

139 ÜÇGNLR ÖRN 7 ÖRN 8 üçgen () = 8 br = = P l : + = 9 (P) = 9 br un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. un göre, P noktsının koordintlrını bulmı. I. Yol : () =. 9 = 7 br olup, (P) = 9 br (P) = 8 br ve noktsını noktsın çekersek ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit olduğundn lnlrı d eşittir. P P = (P) (P) = zılbilir. (0,) k P () = () k (9,0) P = P eşitliği ile P = + P(, ) bulunur. nde = olduğundn, k II. Yol : P(, ) dielim. P 8 br k 9 () =. 8 = br bulunur. (P) = = 9 = P P 9 (P) = = 8 = P(, ) = P(, ) bulunur. 9 YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

140 ÜÇGNLR ÖRN 9 ÖRN 0 + dik üçgen = birim = + br = birim 0 dik üçgen = = 0 br = birim un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. dik üçgeninde Pisgor bğıntısı ile + ( + ) = + = 0 + = 70 olup ( + ) + 70 () = = = = br bulunur. ik kenr uzunluklrı frkı, = birim olup ( 0) () = = br bulunur. Prtik ilgi ÖRN c b Hipotenüs uzunluğu 0 birim oln bir dik üçgensel bölgenin lnının en fzl kç br olduğunu bullım. () = ( c b) ir dik üçgensel bölgenin lnı hipotenüs uzunluğunun kresinden dik kenr uzunluklrı frkının kresinin frkının dörtte birine eşittir. Y () = 0 k zılbilir. 0 c b () = ( c+ b) ir dik üçgensel bölgenin lnı hipotenüs uzunluğunun kresinden dik kenr uzunluklrı toplmının kresinin frkının dörtte birine eşittir. () nin en büük olmsı için, = 0 olmlıdır. hlde, 0 () = = br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

141 ÜÇGNLR Prtik ilgi Ylnız hipotenüs uzunluğu bilinen bir dik üçgensel bölgenin lnının en büük olmsı için dik kenr uzunluklrının birbirine eşit olmsı gerekir. ÖRN oordint sisteminde köşelerinin koordintlrı, (, ) (, ) (, ) üçgensel bölgesinin lnını bullım. Verilen koordintlrı koordint sistemine erleştirelim. ÖRN = = = un göre, () nin kç br olduğunu bullım. ölece, noktsı = ve = doğrulrının kesim noktsıdır. hlde, (, 8) ve () =. 9 br = bulunur. noktsı = ve = doğrulrının kesim noktsıdır. Prtik ilgi hlde (, ) olup, (, 8) = ( b, ) ve = ( cd, ) vektörleri üzerine kuruln üçgensel bölgenin lnı, (, ) S () =. = 8 br bulunur. S =. d bc (determinnt gibi) YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

142 ÜÇGNLR ÖRN = (, ) ve = (, ) vektörleri üzerine kurgulnmış üçgensel bölgenin lnını bullım. ÖRN un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. () =.. ( ) = bulunur. l doğrusunun eğimi, m = ÖRN oordint düzleminde köşelerinin koordintlrı, (, ) (, ) (, ) üçgensel bölgesinin lnını bullım. (, ) l doğrusunun eğimi, m = k k l l = olduğundn m. m = olmlıdır. (, ) (, ) = = (, ) ve = = (, ) olup = (, ) hlde,. 8 = & k = olup k = (, ) () =. ( ) ( ). + = br bulunur. () = 8. 8 = br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

143 ÜÇGNLR ÖRN 7 ÖRN 8 ik koordint sisteminde, + k = 8 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgensel bölgenin lnı br olduğun göre, k erine gelecek sılrı bullım. un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. l doğrusunun eğimi,. durum k > 0 olsun. 8 k l doğrusunun eğimi, m =. 8 k 9 () = = & k = olur.. durum k < 0 olsun. m = m = m olduğundn l // l diebiliriz. noktsını l doğrusunun eksenini kestiği nokt tşılım. (Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı eşit olup) 8 k. 8 k 9 () = = & k = olur. ölece k erine gelecek sılr 9! dur. () = ( ı. ) = = br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

144 ÜÇGNLR ÖRN 9 dik üçgen = = l doğrusunun eğimi m = l doğrusunun eğimi m = m. m = olduğundn l l dir. hlde, un göre, üçgensel bölgesinin lnının, ve türünden eşitini bullım. P (PQ) = bulunur.. 8 = br köşesinden [] n dikme indirelim. 8 Q H H =. sin olur. ölece, sin H () =..sin =...sin bulunur. ÖRN dik üçgen = birim = birim = un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit oldu- ÖRN 0 ğundn, () () = = olup ik koordint sisteminde, l : l : + 7 = 0 ve + + = 0 doğrulrı noktsınd kesişior. l doğrusu üzerinde P = birim olck şekilde P noktsı ve l doğrusu üzerinde Q = 8 birim olck şekilde Q noktsı lınıor. un göre, PQ üçgensel bölgesinin lnını bullım. () = S, () = S diebiliriz. k () = S = S S k. S = br ölece () = 9 br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

145 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN 7 = = 7 un göre, ve nin konum vektörlerini iki kenrı kbul eden üçgensel bölgenin lnını bullım. (, ) (, 7) (, ) (7, ) olup ve nin konum vektörleri un göre, üçgensel bölgesinin lnını bullım. = doğrusunun eğimi olup eğim çısı = 0 = doğrusunun eğimi olup eğim çısı = dir. = = = = (, ) = = (, ) = (, ) 0º º hlde, m() = 0 = dir. S = = (, ) ölece oluşn üçgensel bölgenin lnı = S = ( ). = br bulunur. º ölece, () = º. = 8 br bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

146 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN üçgen dik üçgen [] // [] = () = 0 br 7 [] [] = birim = 7 birim = birim un göre, dörtgensel bölgesinin lnını bullım. un göre, () () ornını bullım. [] // [] olduğundn () () olup = k dersek = k olur. m() = dersek m() = olur. 7 k ölece, olup, k nde Pisgor teoremi ile = birim ile benzerlik ornı oln iki üçgendir. nin ne benzerlik ornı = ölece () () 9 = f p = eşitliğinden () =, () = 9 zılbilir. S S = 0 = br ve () = = br bulunur. ölece () () = f p = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

147 ÜÇGNLR TST. 0 0 üçgen = 0 birim = 0 birim = birim. eşkenr üçgen [H] [] H = birim H un göre, () kç br dir? un göre, (H) kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) ) ) ) ) ) 9. dik üçgen [H] [H] H = birim = birim. eşkenr üçgen [H] [] H = birim H = birim H un göre, () kç br dir? ) 8 ) 0 ) ) ) 8 H un göre, () kç br dir? ) 9 ) 9 ) ) 9 ). 0º 8 ücgen = birim = 8 birim m() = 0. 8 dörtgen = birim = birim = birim = 8 birim un göre, () kç br dir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0 un göre, () kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

148 ÜÇGNLR TST 7. üçgen = = 0. dörtgen = birim = birim = birim [] [] [] [] un göre, () () ornı kçtır? un göre, () kç br dir? ) 9 ) ) 8 ) ) 9 ) ) 8 ) ) ) 8 8. üçgen = = =. üçgen = = = () = br () = 0 br un göre, () kç br dir? ) ) 8 ) 0 ) ) un göre, () kç br dir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 9. dörtgen [] // [] [] [] = birim = birim = 8 birim. 8 dörtgen [] // [] = 8 birim = birim 8 un göre, () kç br dir? ) 0 ) ) ) ) 8 un göre, () kç br dir? ) ) ) ) 8 ) 0 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

149 ÜÇGNLR TST. dik üçgen. üçgen 0 [] çıort = birim = 0 birim [H] [] = birim = 0 birim H 0 un göre, () kç br dir? ) ) 8 ) ) ) 0 un göre, () kç br dir? ) ) 8 ) 0 ) ) üçgen = 0 birim = 0 birim = birim = 7 birim. Hipotenüs uzunluğu br oln bir dik üçgensel bölgenin lnı 8 br dir. un göre, bu üçgenin çılrı şğıdki hngi sılrl orntılıdır? un göre, () kç br dir? ),, ),, ),, ) 8,, ), 9, ) ) ) 0 ) ) 8. dik üçgen = un göre, () şğıdkilerden hngisine eşittir?.. ).. ) ) ) )... üçgen = birim = birim = birim = birim un göre, () en fzl kç br dir? ) ) 8 ) ) 8 ) 9 YGS onu nltımlı Soru nksı......

150 ÜÇGNLR TST 7. (, 0) (k, ) (, 0) 0. dik üçgen üçgen = = birim = birim (p, ) Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgensel bölgesinin ln kç br dir? ) ) 8 ) ) ) un göre, () kç birim kredir? ) ) 0 ) ) 0 ) 8. dik üçgen [] [] = = birim = 8 birim. ir dik üçgeninde = olck şekilde [] hipotenüsü üzerinde bir noktsı lınıor. = 0 birim ve = 0 birim olduğun göre, () kç birim kredir? 8 ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, () kç birim kredir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 9. H dik üçgen [H] [] H = birim H = birim. üçgen [] [] = = birim = birim = birim un göre, (H) kç birim kredir? ) ) ) 8 ) 0 ) 7 un göre, () kç birim kredir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

151 ÜÇGNLR TST. dörtgen = (0, ) (, 0). üçgen = = () = br un göre, () kç birim kredir? ) ) ) ) 0 ) 9 un göre, () kç birim kredir? ) 9 ) 0 ) ) ). üçgen. üçgen 0º 8 8 m() = 0 = = 8 birim = 8 birim 8 0º m() = 0 = = 8 birim = birim un göre, () kç birim kredir? ) 8 ) 0 ) ) 8 ) un göre, () kç birim kredir? ) ) ) ) 7 ) 8. dörtgen. üçgen [] [] = = birim = 8 birim [] [] = {} = birim = birim = 9 birim 8 9 () = () un göre, () kç birim kredir? ) 8 ) 0 ) ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 7 ) ) ) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı......

152 ÜÇGNLR TST 7. = = üçgensel bölgesinin ln br oldu un göre, üçgensel bölgesinin ln kç br dir? 0. üçgen = = un göre, trl dörtgensel bölgesinin ln n n üçgensel bölgesinin ln n orn kçt r? ) ) 9 ) ) 9 ) 7 ) ) ) ) ) 8. ik kenr uzunluklrı b ve c, hipotenüs uzunluğu oln bir dik üçgende, ( + b + c). (b + c ) = 0 olduğun göre, bu üçgensel bölgenin lnı kç br dir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ). m() = 90 = birim = birim = un göre, üçgensel bölgesinin ln kç br dir? ) ) ) ) ) 7. ikizkenr üçgen = 9. üçgen [] ç ort = birim = birim H [H] [] [H] [] [H] [] = birim = 8 birim un göre, () nin ln () nin ln n n kç kt d r? ) ), ) ), ) un göre, trl üçgenlerin toplm ln kç birim kredir? ) ) 7 ) ) ) YGS onu nltımlı Soru nksı

153 ÜÇGNLR TST. 8 dörtgen [] [] [] [] = 8 birim = birim () = 0 br. 8 dik üçgen dik üçgen [] [] = 8 birim = birim = birim un göre, () kç birim kredir? ) ) 8 ) 0 ) ) un göre, () kç birim kredir? ) 8 ) ) 0 ) ). ir nde = olck şekilde [] ve = olck şekilde [], [] noktlrı lınıor. () = br olduğun göre, üçgensel bölgesinin lnı kç br dir?. dik üçgen [] ç ort [] ç ort = birim = birim ) 8 ) ) 0 ) ) 0 un göre, () kç birim kredir? ) ) ) ) ). G üçgen [] // [G] = = () = br (G) = br un göre, (G) kç birim kredir? ) ) ) ) ). dik üçgen [] ç ort [] ç ort = birim = birim un göre, () kç birim kredir? ) ) ) ) 8 ) YGS onu nltımlı Soru nksı......

154 ÜÇGNLR TST 7. öşelerinin koordintlrı (, ), (, ) ve (, ) oln üçgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 7 0. üçgen üçgen = birim = birim = birim = birim un göre, () orn kçt r? () ) ) ) ) ) 8 8. ir nde = olck şekilde [] ve = olck şekilde [] noktlrı lınıor. () = br olduğun göre, () kç. Hipotenüs uzunluğu birim oln bir dik üçgensel bölgenin lnı şğıdkilerden hngisi olmz? ) ) ) ) ) br dir? ) ) ) ) ) 8. üçgen [] [] [] [] [] [] 9. üçgen üçgen,, do rusl fdelerinden kç tnesi do rudur? 0º m() = 0 = = birim = 0 birim I. nokts nin diklik merkezidir. II. nokts nin diklik merkezidir. III. nokts nin diklik merkezidir. IV. nokts nin diklik merkezidir. un göre, () kç birim kredir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 V. genifl ç l bir üçgendir. ) ) ) ) ) YGS onu nltımlı Soru nksı

155 Y ÜÇGNLR TST. dik üçgen = = 8 =. üçgen = = = = () = 0 br 8 un göre, () kç br dir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, () kç birim kredir? ) ) ) 0 ) ) 0.. üçgen [] // [] = () = birim un göre, üçgensel bölgesinin ln kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) Yukr d birim krelere r lm fl zemindeki üçgensel bölgesinin ln kç br dir? ) ) ) ) 8 ) 7. üçgen üçgen. T Z m() = 0 º 0º m() = = 9 birim = 8 birim X un göre, () ) () ) ) orn kçt r? ) ) 9 Yukr d bir kenr [] oln üçgensel bölgenin ln br oldu un göre, di er köflesi fl dkilerden hngisi olbilir? ) X ) Y ) Z ) T ) YGS onu nltımlı Soru nksı......

156 ÜÇGNLR TST dik üçgen = = 7 birim = birim un göre, () kç birim kredir? Yukrıdki üçgensel bölgelerin lnlrı hesplndığınd kç frklı sonuç çıkr? ) ) ) ) ) 0 ) ) ) ) ) 8. enr uzunluklrı, ve sılrı ile orntılı bir üçgenin üksekliklerinin toplmı 7 birim ise en kıs kenrın it ükseklik kç birimdir?. G üçgen G = GH H = H = G ) ) 9 ) ) ) 8 H () = 8 br un göre, (GH) kç birim kredir? ) ) ) ) 7 ) 8 9. ir hız zmn grfiğnde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln bölgenin lnı cismin er değiştirmesini verir. H z (m/s). İvme zmn grfiklerinde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln bölge cismin hız değişimini verir. vme (m/s ) 8 Zmn (s) 0 Zmn (s) un göre, ukrıd grfiği verilen hreketlinin er değiştirmesi kç metredir? un göre, 0 snie zmn rlığınd cismin hızı kç m/s değişir? ) ) ) ) ) 7 ) ) ) 9 ) ) YGS onu nltımlı Soru nksı

157 ÜÇGNLR ÜÇGN NZRL enzerlik rnı enzer iki üçgende krşılıklı kenr uzunluklrın n ornın benzerlik ornı denir. 9 9 = = = (benzerlik ornı) Yukrıd birbirine benzeen nesneleri kvrm çlışlım. İki üçgenden biri belli bir ornd küçültüldüğünde d büültüldüğünde diğeri elde ediliors bu üçgenlere benzer üçgenler denir. ¾ ir üçgenin belli bir ornd büültülmüşü d küçültülmüşü bu üçgenin benzeridir. ¾ ir üçgenin belli bir ornd büüttüğümüzde d küçülttüğümüzde kenr ornlrı belli bir ornd rtr d zlır, nck çılr değişmez. 0 enzer İki Üçgende; rşılıklı kenrortlrın uzunluklrı ornı, benzerlik ornın eşittir. rşılıklı çıortlrın uzunluklrı ornı, benzerlik ornın eşittir. rşılıklı üksekliklerin uzunlunlıklrı ornı, benzerlik ornın eşittir. rşılıklı çevrelerin uzunluklrı ornı, benzerlik ornın eşittir. rşılıklı iç teğet çemberlerin rıçplrı ornı, benzerlik ornın eşittir. rşılıklı dış teğet çemberlerinin rıçplrı ornı, benzerlik ornın eşittir. rşılıklı çevrel çemberlerinin rıçplrı ornı, benzerlik ornın eşittir. lnlr ornı benzerlik ornın kresine eşittir. 8 ve benzer iki üçgen fl dki benzer üçgenleri ele llım. P S ve b c 8 Q c R T b M u üçgenlerin benzerlik ornı olup PQR TMS şğıdki sonuçlr zılbilir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

158 ÜÇGNLR V V d V V d = eşleflmesinde = ve m() = m() ise ve benzer iki üçgendir. u benzerik şeklinde gösterilir. n n n n = 8 ÖRN h h d h h d = üçgen = birim = birim = birim 8 ¹ un göre, ornını bull m. r 8 r r r = º 8 R R R R = ve üçgeninde ortk oln çı dir. enr çı enr enzerlik ksiomu İki üçgen rsınd pıln birebir eşlemede, krşılıklı iki kenrın uzunluklrı ornı n ve bu kenrlr rsınd kln çılr eş ise iki üçgen benzerdir. u benzerliğe... (enr çı enr) benzerkik ksiomu denir. 8 m() = m() ve = = olduğundn (...) benzerlik ksiomu gere ince zılbilir. u durumd, = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

159 ÜÇGNLR enr enr enr (...) enzerlik Teoremi İki üçgen rsınd pıln eşlemede krşıklı kenrlrın uzunluklrı orntılı ise bu üçgenler benzerdir. 7 un... benzerlik teoremi denir. 9 + şğıdki örnekleri inceleiniz ç ç ç (...) enzerlik Teoremi ki üçgen rs nd p ln efllemede krfl l kl ç lr efl ise bu üçgenler benzerdir. u teoreme ç ç ç benzerlik teoremi denir // ise YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

160 ÜÇGNLR ÖRN 8 dik üçgen dik üçgen [] [] = {} = 8 birim = birim un göre, üçgensel bölgesinin ln n bull m. P 7 nokts ndn [] n dikme indirildi inde, P = P olup P = P oldu u görülür. ölece Tles teoremi ile, P = & = eflitli inden, P 7 7 = birim bulunur. b =, = b dielim. Gerekli ç lr z ld nd, ve üçgenleri benzer olur. b 8 enzerlik z l rs, = &. b = 0 olur. üçgeni tbn uzunlu u b birim, b üksekli i birim oln genifl ç l bir üçgen olup.b 0 () = = = 0 br bulunur. ÖRN un göre, uzunlu unu bull m. 7 8 üçgen = = = 7 birim ÖRN 7 üçgen m() = m(),, do rusl = birim = 7 birim = birim un göre, uzunlu unu bull m. P 7k 7 7 k T,, P do rusl olck flekilde P seçelim. [T] ve [P] dikmeleri ile, T ve P üçgenleri benzer olur. = birim eflitli i z lbilir. ol s l, = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

161 ÜÇGNLR ÖRN üçgen un göre, uzunlu unu bull m. m() = m() = = birim = birim 8º 8º º º T H º 8º º [HP] // [] olck flekilde P [] nokts seçersek üçgeninde Tles teoremi ile ( d ort tbndn) HP = birim olup P ir dik üçgende, hipotenüse it kenrort n uzunlu u hipotenüs uzunlu unun r s kdr olup [] kenrort çizilip gerekli ç lr z l rs ve lerinin benzer oldu u nlfl l r. (..) enzerlik z lrk, = eflitli inden, = = 0 birim bulunur. Gerekli ç lr erlerine z l rs HP üçgeninin ikizkenr üçgen oldu u görülür. ölece, H = birim bulunur. ÖRN 7 üçgen,, do rusl m() = m() = = 7 birim un göre, uzunlu unu bull m. ÖRN 8º T H º m() = m() = üçgen [H] [] m(h) = m(h) = birim un göre, H uzunlu unu bull m. [] // [] olck flekilde [] nokts seçersek, öndefllikten ve ç lr efl olup = bulunur. nde Tles teoreminden, = birim bulunur. 7 7 = ile YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

162 ÜÇGNLR ÖRN 7 ÖRN 8 8 üçgen m() = m() = birim = 8 birim = birim º dik üçgen [] [] [] [] m() = = birim = birim = birim un göre, uzunluğunu bullım. un göre, uzunlu unu bull m. Gerekli çılr dlndırılırs, 8 º º º olduğu görülür. = dielim. 0 8 ç lr z l rs, olup º º hlde, = zılbilir. = = enzerlikten, = =. olup birim bulunur. 8 = = 0 birim olup 0 = 0 = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

163 ÜÇGNLR ÖRN 9 ÖRN 0 üçgen [] // [] = = = birim üçgen [] // [L] = = = birim L un göre, L uzunluğunu bullım. un göre, uzunluğunu bullım. köşesinden [] ve [L] n prlel olck şekilde [] çizelim. [T] // [] olck şekilde,,, doğruslınd T noktsı belirleelim. T k k L k k T üçgeninde Tles teoremi ile, = eşitliğinden, T = T = birim olup T T n n nde Tles teoremi ile, = eşitliği ile, k = = 8 birim k 8 elebek benzerliğinden, n n = zılbilir. = 8 birim bulunur. nde Tles teoremi ile, L L = 8 eşitliği ile, L = L = 9 birim bulunur. 8 YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

164 ÜÇGNLR ÖRN [] // [] un göre, uzunluğunu bullım. m() = m() = birim = birim = birim ÖRN un göre, uzunluğunu bullım. 7 ve eşkenr üçgen = 7 birim = birim Gerekli çılr isimlendirilirse, 7 0º 0º 0º m() = m() olduğundn, dir. = olup, m() = m() = olduğundn, ile benzer üçgenlerdir. (..) = = birim dir. 7 [] // [] olduğundn, = olup, = = 8 birim dir. 0º 0º ve = olup 7 0 = & = birim bulunur. 7 = + 8 = + eşitliğinden, = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

165 ÜÇGNLR ÖRN kre [] [] [] [] = birim = birim un göre, uzunluğunu bullım. ÖRN un göre, ornını bullım. üçgen = = [] [] = {} = birim = birim [] çizilirse, = ve = olduğundn, [] // [] olcktır. H k k [H] [H] olck şekilde H dikdörtgenini oluşturlım. hlde, Tles teoreminden, = = k ve = k zılbilir. ölece, çılr isimlendirilerek, ile H üçgenlerinin eş olduğu görülür. k olısıl, dik üçgeninde Pisgor teoremi ile, k 8k H = birim olur. ölece, H = 7 birim bulunur. H dikdörtgeninde, H = olduğundn, = 7 birim bulunur. nde Tles teoreminden, k = eşitliğinden, k = = 8k olup = 8k k = k ölece, = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

166 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN [] // [] // [] m() = m() = birim = birim = 8 birim un göre, dörtgeninin çevre uzunluğunu bullım. L 9 [] // [L] // [] // [] = = = birim = 9 birim un göre, + L toplm uzunluğunu bullım. L k k k [] // [] olduğundn, 9 m() = m() (iç ters çılrdn) = = = birim bulunur. nde = & = olup = = olduğundn, = k, = k, = k zbiliriz. [] // [] // [] olduğundn, = birim bulunur. nde Tles teoremi ile, k = & = ise k 9 = birim olur. nı şekilde, [] // [L] // [] olduğundn, = & = olup = 0 birim bulunur. ölece, Ç() = = birim bulunur. L k L = & = ise L k 9 L L = birim olur. olısıl, + L = + = 0 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

167 ÜÇGNLR ÖRN 7 ÖRN 8 N T M üçgen LMN kre [H] [] = 8 birim ML = birim üçgen üçgen [] // [] = = = birim H L un göre, T uzunluğunu bullım. un göre, uzunluğunu bullım. N T M H 8 L nde, = & = olup [NM] // [] olduğundn, NM olup = birim bulunur. T H = NM & T = eşitliğinden, T + 8 T = 9 birim bulunur. nde, = & = olup Prtik ilgi = birim bulunur. H üçgen kre H = h = h. = h + = + = + = 8 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

168 ÜÇGNLR ÖRN 9 ÖRN 0 üçgen m() = m() [] // [] [] // [] = = birim 9 l l = {} un göre, uzunluğunu bullım. k k 8 8 un göre, ornını bullım. [P] // olck şekilde P l seçelim. P 9 k P k 9 üçgeninde, = & = olup üçgeninde Tles teoremi ile P 9 = = olup P = k ve P = k dir. P = 8 birim bulunur. [] // [] olduğundn, m() = m() (iç ters çılr) olur. olısıl, k k P 9 k k P = = 8 birim bulunur. ölece, üçgeninde Tles teoremi ile, = eşitliğinden, 8 = = birim bulunur. P üçgeninde Tles teoremi ile, = olup = P = k olmlıdır. k k P k k hlde, = = bulunur. k YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

169 ÜÇGNLR ÖRN 8 üçgen [] // [] un göre, uzunluğunu bullım. = k dersek = k, = k olur. [] // [] = = = 8 birim 8 [] // [] ve = olduğundn, = ve = birim bulunur. [] // [] ve = olduğundn, 9 k = olmlıdır. [] // [] ve = olduğundn, 8 = ve = birim bulunur. k k 8 nde = & = olup = birim bulunur. nde = & = olup + = birim bulunur. ÖRN üçgen [] // [] [] // [] = birim = birim olısıl, = + un göre, = uzunluğunu bullım. = 8 birim bulunur. k k ÖRN 8 üçgen [] // [] // [] [] // [] = = 8 birim un göre, uzunluğunu bullım. [] // [] olduğundn, = & = dir. [] // [] olduğundn, + = & = olup = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

170 ÜÇGNLR ÖRN (, ) üçgen [] [] = {} = = ölece, k ( 7, 0) k (, b) (, ) ( 7, 0) un göre, noktsının koordintlrını bullım. [] // [] olck şekide [] belirleelim. k = = & = k ( + 7, b 0) = (, b) + 7 = ve b 0 = b = b = 9 (, 9) bulunur. ( 7, 0) ( 7, 0) (, ) üçgeninde Tles teoremi ile, = = olup = k, = k dielim. k k (, ) üçgeninde Tles teoremi ile, k k = & = = k olup = = k k = k olur. ÖRN üçgen un göre, uzunluğunu bullım. 9 [] // [] = = = birim olduğundn, Tles teoremi ile, = & = olur. = 9 birim bulunur. nde = (temel orntı benzerliği) = = birim olur. = = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 70

171 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN 7 üçgen H c b [] çıort T m un göre, b c n m = olduğunu gösterelim. n [] // [] olck şekilde belirleelim prlelkenr, [] köşegen, [] [H] = {}, = birim = birim, T = birim un göre, TH uzunluğunu bullım. c b T m n c [] // [T] olduğundn, ölece, iç ters çılrdn, m() = m() dir. ikizkenr üçgen olup = = c olur. T benzerliği ile = zılbilir. Şimdi tekrr şeklin bütününe bkıp şğıdki kelebek benzerliğini görelim. c m n b 0 k k + H Tles teoreminden, b c m = bulunur. n [H] // [] olduğundn, H benzerliği ile k k = + eşitliğinden, 0 = birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

172 ÜÇGNLR ÖRN 8 ÖRN 9 8 üçgen m() = m() = 8 birim = birim olrı nı, klınlıklrı frklı iki mumdn biri stte, diğeri stte tmmen nıp bitior. un göre, kçıncı stte mumlrdn birinin bou diğerinin bounun ü kdr olduğunu bullım. un göre, uzunlu unu bull m. 8 Mumlrın bolrı birim olsun. o zmn grfiğini çizersek. o P 8 t Zmn = P olck flekilde, t. stte bolrı ornı olsun. P,, do rusl n belirleelim. u durumd, P üçgeninin ikizkenr üçgen oldu u görülür. ölece, P P (..) olup benzerlikten, 8 & 8+ = = 8(8 + ) eflitli i ile, = = 0 birim bulunur. nde Tles teoremi ile, o t t Zmn nde Tles teoremi ile, t =... À Prtik ilgi c b c = b(b + ) zılbilir. m() = m() o t t t =... Á Zmn À. ve Á. denklemler ornlnırs, t = t = t. t = t = bulunur.. stte mumlrın bolrı ornı olur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 7

173 ÜÇGNLR TST. 0 üçgen [] // [] = = 9 birim = 0 birim. 8 üçgen m() = m() = 8 birim = birim = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, Ç() kç birimdir? ) 0 ) ) 0 ) ) 8. üçgen m() = m() = birim = 8 birim. 8,, do rusl,, do rusl l // l = birim = 8 birim (, 0) (, n) (, m) () = br un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, () kç birim kredir? ) 8 ) 0 ) ) 8 ). üçgen = birim = birim = birim m() = m(). ir üçgeninde, [] // [] olck şekilde [] ve [] noktlrı lınıor. un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 0 = birim ve = birim olduğun göre,. çrpımı kç br dir? ) ) ) 0 ) 8 ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

174 ÜÇGNLR TST 7. [] // [] // [] = = birim = birim 0. ir nde [] [] = {} olck şekilde [] üzerinde ve [] üzerinde noktsı lınıor. =, = ve = birim olduğun göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 0 ) ) 9 ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) üçgen üçgen = birim = birim = 7 birim m() = m(). üçgen [] // [] [] // [] = () = br un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, () kç birim kredir? ) 8 ) ) ) 0 ) 9. 8 m() + m() = 80 üçgen = birim = 8 birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 0 ) ) ) ). üçgen üçgen [] // [] [] // [] = birim = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı

175 ÜÇGNLR TST. [] []. S 7 [] [] [] [] = = birim = 7 birim L R M N P un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) Şekilde dlndırıln noktlrdn hngisi [L] nın uç noktlrı ile birleştirilirse üçgenine eş bir üçgen elde edilir? ) M ) N ) P ) R ) S. üçgen,, do rusl [] // [] = = = birim. üçgen [] [] = = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) 9 ) ). ir nde m() = m() olck şekilde [] noktsı lınıor. = birim, = birim olduğun göre uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ). üçgen [] [] [] [] [] [] = = birim = birim un göre orn kç eflittir? ) ) 9 ) ) 7 ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

176 ÜÇGNLR TST 7. un göre üçgen = = orn kç eflittir? 0. I. ki do ru prçs benzerdir. II. ki kre benzerdir. III. ki eflkenr üçgen benzerdir. IV. ki dik üçgen benzerdir. V. ki ikizkenr üçgen benzerdir. VI. ki çeflitkenr üçgen benzerdir. Yukrıdki önermelerden kç tnesi dim do rudur? ), ) ), ) ) 0, ) ) ) ) ) 8. üçgen [] // [] = = = 8 birim. dik üçgen = = birim = birim = birim 8 un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? 9 ) ) ) ) 7 ) 8 9. üçgen. kre [] [] = {} = = 7 = 7 birim H [H] [] = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, H uzunlu u kç birimdir? ) ), ), ) ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı

177 ÜÇGNLR TST. m n üçgen [] ç ort [] ç ort [] [] = n birim = m birim un göre, uzunlu u şğıdkilerden hngisine eşittir? ) m + n ) m n ) ) m n ) m. n m n. üçgen [] ç ort [] ç ort [] ç ort = birim = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 8 ) 7 ) ) ). üçgen m() = m() = = = = birim. üçgen [] // [] = = birim = birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, uzunlu u kç birimdir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ). şğıdki beş frklı bhçede er ln hvuzlrın kuşbkışı çizimleri verilmiştir.. z dik üçgen kre = birim = birim z un göre, orn kçt r? 7 ) ) ) ) 7 8 ) 9 8 u hvuzlrdn hngisi diğer dört hvuz göre benzer değildir? ) ) ) ) ) 77 YGS onu nltımlı Soru nksı......

178 ÜÇGNLR TST 7. üçgen 0. üçgen [] // [] = birim = birim m() = m() 9 [] // [] [] // [] = birim = 9 birim un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 8 ) 0 ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) 8 8. ir nde // ve = olck şekilde [] ve [] noktlrı lınıor. üçgensel bölgesinin lnı br olduğun göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br olur?., üçgen [] [] = {} = = =, birim ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. üçgen 9. üçgen [] [] = {} = = = = birim [] // [] = birim = birim = un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç birimdir? ) ) ) ) + ) + 78 YGS onu nltımlı Soru nksı

179 ÜÇGNLR Üçgende çılr ve Üçgenin enrlrı rsındki İlişkiler. ¾ ir üçgeninde, c b c b üçgen, [] kenrort b c b+ c < < / / / > b > c m() > m() > m(). ¾ ir üçgenin herhngi bir kenrının uzunluğu, diğer iki kenrın uzunluklrı toplmındn küçük, frkının mutlk değerinden büüktür. c b N c b üçgen, [N] ç ort ise bc 0 < < b+ c b c < < b+ c c < b < + c b < c < + b _ b b ` üçgen e itsizli i b b. c b SNUÇLR :. < 90 ise < b + c > 90 ise > b + c = 90 ise = b + c c b. ir üçgenin d fl ç lr n n ölçüleri, b, q ise b ve c tms ve b < c ise n n b tne tms de eri vrd r. b q < < b + q q < b < + q b < q < + b YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 79

180 ÜÇGNLR + şğıdki şekillerde elde edilen sonuçlrı irdelemee çlışınız. º > 90º < 90º»,, ; dr ç d r. < 90º ¼ ;, ; geni ç d r. dr ç d r. < 90º ½ b b > ¹ < 90º ¾ b > b YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 80

181 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN c 0º d º b üçgen m() = 0 m() = = = = b = c = d 0 üçgen [] [] = = birim = 0 birim un göre,, b, c, d uzunluklrı rsındki ilişkii bullım. un göre, nın lbileceği en büük ve en küçük tmsı değerleri toplmını bullım. 0º b 0 80º c º 00º d º 0º nde = olduğundn, m() = m() = 0 olur. ve noktlrı birleştirildiğinde oluşn nde [] hem ükseklik hem de kenrort olduğundn = olur. olısıl, m() = 80 m() = 00 m() = dir. nde üçgen eşitsizliği prsk, 0 < < 0 + < < {,, 7, 8,..., } nde m() < m() olduğundn, < b dir. nde m() < m() < m() olduğundn, c < < d dir. nde m() < m() olduğundn, b < d dir. olısıl, c < < b < d olur. olısıl nin lbileceği; n küçük tmsı değeri : birim üük tmsı değeri : birim dir. Toplm : + = 0 birim bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

182 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN + 7 üçgen = ( ) birim = ( + 7) birim = birim 7 dörtgen = birim = 7 birim = birim Yukrıdki verilere göre, ) Z ise Ç() nin lbileceği kç değer vrdır? un göre, nin lbileceği en büük tmsı değerini bullım. b) Ç() nin lbileceği kç tmsı değeri vrdır? sorulrının cevplrını bullım. Üçgen eşitsizliğinden : 7 ( + 7) ( ) < < ( + 7) + ( ) + 8 < < < < + <... À < <... Á À ve Á den < < bulunur. ile i birleştirdiğimizde oluşn de, 7 < < 7 + < < ) Z olduğundn kç frklı tmsı değeri lırs Ç() de o kdr değer lır. Yni, = 9 tnedir. b) Ç() = ( + 7) + ( ) + = + 7 olup < < < < < + 7 < 9 nde, < < + ve < olduğundn, < +, ni < tir. olısıl, < Ç() < 9 dir. Yni Ç(), 9 = 9 tmsı değeri lır. olısıl, in lbileceği en büük tmsı değeri birimdir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

183 ÜÇGNLR ÖRN ÖRN üçgen [] çıort üçgen = 8 0 [] çıort = 0 birim = 8 birim 0 m() > 90 = 0 birim = birim un göre, nin lbileceği tmsı değerlerini bullım. un göre, nin lbileceği tmsı değerlerini bullım. [] ve [] dış çıort olduğundn, m() = 90 m() dir. 0 = olsun. olısıl, m() < 90 dir. 0 < 8 + >... À m() = m() < 90 olduğundn, < < <,... Á À ve Á den dolı < bulunur. olısıl, in lbileceği de erler 7, 8, 9, 0,, dir. nde noktsındn [] e prlel olck şekilde [] çizilirse, = = birim = birim m() < 90 dir. nde < < + < <... À < + < < 7,... Á À ve Á den < 7 bulunur. olısıl, nun 7 = tne tmsı değeri vrdır. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

184 ÜÇGNLR ÖRN 7 ÖRN 8 8 üçgen m() < 0 = 8 birim = 9 birim üçgen = birim = birim = 9 birim 9 9 un göre, nin lbileceği tmsı değerlerini bullım. un göre, nin lbileceği tmsı değerlerini bullım. 0º 8 7 0º H m() = 0 olsdı, 9 [H] dikmesi çizildiğinde üçgeni oluşur. H = birim nde m() = m() < 90 olduğundn, m() > 90 dir. H = = birim 7 birim olurdu. de 9 < < + 9 < < kt m() < 0 olduğundn, < 7 birim olur. Yni, < 8,... À nde 9 8 < < < < 7... Á ve > + 9 > olısıl < < dir. À ve Á den < 8,... bulunur. olısıl, nun 8 = 7 tne tmsı değeri vrdır. ölece,, = tne tmsı değeri lır. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 8

185 ÜÇGNLR TST. Çevresi birim oln bir üçgenin üksekliklerinin uzunluklrı toplm tms olrk en fzl kç birimdir? ) 8 ) 0 ) ) ). Çevresi 8 birim ve kenr uzunluklr tms oln kç tne ikizkenr üçgen çizilebilir? ) ) ) ) ). 8º üçgen m() = 8 >. üçgen = = birim un göre, m() nin tms de eri en z kçt r? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre üçgeninin çevresinin en büük tms de eri kçt r? ) 9 ) 8 ) 7 ) ). üçgen = = birim. üçgen = birim = birim m() > m() > m() un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 9 ) 0 ) ) ) un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 0 ) 7 ) ) ) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı......

186 ÜÇGNLR TST 7. 7 dörtgen = birim = 7 birim = birim tms 0. üçgeninin kenrlr tms d r. un göre, nin en büük tms de eri kçt r? ) ) ) ) ) 7 un göre, nin lc de erler kümesinin elemn s s fl dkilerden hngisi olmz? ) ) 7 ) ) 8 ) dörtgen = 7 birim = birim. c b üçgen, b, c tms = b = c = c < b un göre, d flbüke dörtgeninin çevre uzunlu u tms olrk en z kçt r? ) ) ) ) 7 ) 8 n n 7 tne tms de eri oldu un göre, b en z kçt r? ) ) 8 ) 9 ) 0 ) 9.. üçgen üçgen [] [] = 0 birim = 8 birim = birim üçgen,,, do rusl, =, = birim, = 9 birim, = birim un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 7 ) ) ) ) un göre, nin tms de eri kçt r? ) 9 ) 8 ) 7 ) ) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

187 ÜÇGNLR TST. 9 7 üçgen üçgen üçgen = 9 birim = birim = 7 birim = birim = birim = birim un göre, nin tms de eri kçt r?. üçgen [] ç ort [] ç ort = birim = birim un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) ) ) ) ) 7 ) ) ) ) ) 7. enr uzunluklr tms oln bir üçgeninde bir kenr uzunlu unun lbilece i de erlerin kümesi olsun. un göre, kümesinin elemn s s fl- dkilerden hngisi olbilir? ) 8 ) 8 ) 0 ) 7 ) 8. üçgen iç ç ortlr n kesim nokts = = b = c < <. un göre, fl dki s rlmlrdn hngisi do rudur? ) > b > c ) b > > c ) c > b > ) > c > b ) c > > b Yukrdki geometri thtsınd, bir lstik, ve noktlrındki çivilere tkılrk üçgen oluşturulmuştur. u üçgenin iç çılrının ölçülerinin büükten küçüğe doğru sırlnışı şğıdkilerden hngisinde verilmiştir? / / / ) m ( ) > m ( ) > m ( ) / / / ) m( ) > m( ) > m ( ) / / / ) m( ) > m( ) > m( ) / / / ) m ( ) > m( ) > m( ) / / / ) m ( ) = m( ) > m( ). I. b = birim, = birim, h = birim / / II. m() = m( ), n = n = birim / III. c = birim, b = birim, m() = o un göre, ukr dki üçgenlerden hngileri çizilebilir? ) I, II ve III ) II ve III ) Yln z I ) Yln z III ) I ve II 87 YGS onu nltımlı Soru nksı......

188 ÜÇGNLR TST 7. 0 dik üçgen = birim = 0 birim un göre, nin en küçük tms de eri kçt r? ) ) ) 0 ) 9 ) 8. fl d uzunluklr verilen çubuklr uç uc eklenerek üçgen p lmk istenior. fl dkilerden hngisile bir üçgen oluflturulmz? ) cm cm cm ) cm cm 7 cm ) cm cm cm ) cm cm cm 8. üçgen m() > = birim = 7 birim ) cm cm cm 7. un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 9. dışbüke dörtgen = = = birim = 9 birim Tu rul Hoc elinde bulunn, uzunluklr tms oln üç telden bir üçgen pckt r. Tellerden biri di erinden cm dh uzun oldu un göre,. tel en z kç cm olml d r? ) ) ) 7 ) 8 ) 0 9 un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) ) ) ) ) 7. m m 0. ir üçgeninin d fl ç lr n n ölçüleri fl dki hngi s lrl ornt l olmz? ),, ), 8, 7 ) 7, 9, ),, 0 ) 8,, 0 m 0 m Mmunun muz uzkl en z kç metredir? ) 7 ) ) ) ) 88 YGS onu nltımlı Soru nksı

189 ÇGNLR ÜN T ikdörtgen ve re Prlelkenr şkenr örtgen Ymuk Çokgenler

190 "Gerçe i rmk onu elde etmekten dh k metlidir." (lbert instein)

191 ÇGNLR re ve İkdörtgen re: Tüm kenr uzunluklrı eşit ve çılrı 90 oln dörtgendir. renin köflegen uzunluklr eflit ve köflegenleri ç ort olup birbirini dik ortlr. º º º º Ymuk Yln z iki kenrı prlel oln dörtgene muk denir. Yn kenr Yn kenr [] // [] / / m() + m( ) = 80 / / m() + m() = 80 o o º º º º "ree düzgün dörtgen de diebiliriz." ikdörtgen: rşılıklı kenr uzunluklrı eşit ve çılrı 90 oln dörtgendir. ikdörtgenin köşegen uzunluklrı eşit ve köşegenler birbirini ortlr. ¾ ¾ Prlel olmn kenrlr mu un n kenrlr - d r. Prlel kenrlr mu un tbnlr d r. b b kizkenr Ymuk Yn kenr uzunluklr eflit oln mu ikizkenr muk denir. Prlelkenr ve şkenr örtgen rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir. rşılıklı çılrın ölçüleri eşit ve köşegenler birbirini ortlr. ikizkenr muk = / / m() = m() / / m() = m( ) Tüm kenr uzunluklr birbirine eşit oln dörtgene eşkenr dörtgen denir. ¾ ir ikizkenr üçgen tbn prlel bir do ru ile kesildi inde olufln dörtgene ikizkenr muk diebiliriz. = ve l // [] ise bir ikizkenr muktur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

192 ÇGNLR İk Ymuk Üçgenin Çevre ve lnı ¾ r çılı üçgende; c h b h b h c Yn kenrlrdn biri tbnlr dik oln mu dik muk denir. dik muk.h b.h c.h b c () = = = Ç() = + b + c ¾ ik çılı üçgende; Çokgende Çevre ve Çokgensel ölgelerin lnlr h c = c b h b h = üçgeni be geni üçgensel bölgesi be gensel bölgesi ¾ () =.c Ç() = + b + c Geniş çılı üçgende; h c h.b b = &.c = b.h b b h b NT : h c u bölümde bzen "çokgensel bölgenin lnı" erine sölemesi dh kol oln "çokgenin lnı' ifdesini kullncğız..h b.h c.h b c () = = = Ç() = + b + c YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

193 ÇGNLR SNUÇLR : ikdörtgenin Çevre ve ln Hesb. Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı orn tbnlrı ornın eşittir. () () = dir. b b Çevresi; Ç() = ( + b) ln ; () =. b ¾ ikdörtgenin bir köflegeni ln iki efl dik üçgensel bölgee r r. S : S : S = : : z S S S z. Tbn uzunluklr eşit oln üçgenlerin lnlr orn bu tbn çizilen üksekliklerin orn d r. renin Çevre ve ln Hesb h h () () h = dir. h Çevresi; Ç() = ln ; () =. Yükseklikleri ve tbn uzunluklr eflit oln üçgenlerin lnlr d eflittir. S S h Prlelkenr n Çevre ve ln Hesb h b h b [] // [] ise () = () dir. ol s l, () = () dir. Çevresi; Ç() = ( + b) ln ; () =. h = b. h b YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

194 ÇGNLR NT : ir prlelkenrd fl dki gibi ln bölme pbiliriz. Ymukt Çevre ve ln Hesbı c d b h S S S S S S Ç() = + b+ c + d + c () = d n.h İkizkenr Ymuk S S c S + S () = () b h h b S S P S S S + S = S + S P : ç bölgede herhngi bir nokt ikizkenr muk, Ç() = + b + c + c () = d n.h flkenr örtgenin Çevre ve ln Hesb üzgün Çokgende Çevre ve ln Hesbı Çevresi: üzgün ltıgen : h h Ç() = ln : () = h. Ç() =. () =. NT : üzgün eflgen : eşkenr dörtgen = e = f ise e.f () = : merkez Ç() =. () =. () YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

195 ÇGNLR ÖRN ÖRN dikdörtgen [] köflegen [] köflgen = º dikdörtgen = m() = un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. ikdörtgenin köflegen uzunluklr eflit ve birbirini ortld ndn, [] köflegeni çizilirse, dikdörtgenin köflegen uzunluklr eflit oldu undn, = dir. º 8º 8º º üçgeni eflkenr üçgen olup dol s l m() = 0 bulunur. = oldu undn, = oldu u görülür. hlde, m() = ve m() = 8 bulunur. = oldu undn, m() = 8 olup nde d fl ç dn, 8º º m() = 8 + m() = 7 bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

196 ÇGNLR ÖRN ÖRN 9 dikdörtgen [] köflegen [] köflegen [] [] = 9 birim = birim prlelkenr [] ç ort = birim = birim un göre, uzunlu unu bull m. un göre, dikdörtgensel bölgenin ln n bull m. 7 [] // [] olup m() = m() olur. (iç ters ç lr.) u durumd, ikizkenr üçgen olup = = birim dir. H ölece, = 7 birim bulunur. ikdörtgende köflegen uzunluklrı birbirine eflit oldu undn, ÖRN = olup prlelkenr [H] [] olck flekilde H nokts [] n eflit iki prç böler. H [] köflegen [H] [] = H nde Öklid b nt s ile, º m(h) = H =. H = birim dir. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. ölece, H = k birim, = k birim dielim. H () =. (). =. = 7 br bulunur. º H k k k 0º º ölece, = = k birim olup H üçgeni bulunur. prlelkenr nd, m() = m() oldu undn, m() = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 9

197 ÇGNLR ÖRN ÖRN 7 G prlelkenr [] köflegen, ort nokt (G) = br º kre [] [] m() = = birim, G, do rusl un göre, prlelkenrsl bölgesinin ln n bull m. un göre, uzunluğunu bullım. [] köşegenini çizersek, k t z 0 G z t k k º º G ~ G oldu undn, º G G G = = = dir. G dik üçgeninde, = birim olup nde, G G = ise (G) (G) = ni, 0º (G) = br dir. G G = ise (G) (G) = ni, (G) = br dir. [] köflegeni () i iki eflit prç böldü- ünden, sin0 = = birim bulunur. () =. () =. = 7 br bulunur. NT : örtgen sorulrınd köşegen çizmek çoğu kez çözümü kollştırır. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 97

198 ÇGNLR ÖRN 8 ÖRN 9 ( + ) = + + özdeşliğini knıtllım. = ( ). ( + ) özdeşliğini knıtllım. enr uzunluklrı birim ve birim oln iki tne kre çizelim. > olmk üzere kenr uzunluklrı birim ve birim oln iki tne kre çizelim. Şimdi şğıdki gibi şekli bir kenr uzunluğu ( + ) birim oln kree tmmllım. M [] çizilirse büük krenin lnı prç rılır. L S S S S S S S kresel bölgesinin lnı S = L ve M dikdörtgensel bölgelerinin lnlrı, S = S =., kresel bölgesinin lnı S =, Tüm şeklin lnı ( + ) olup ir bütünün lnı kendini oluşturn prçlrın lnlrı toplmın eşit olcğındn, (LM) = S + S + S + S olup ( + ) = + + eşitliği isptlnmış olur. kresel bölgesinin lnı S = ve muksl bölgelerinin lnlrı, + S = S = f p.( ) zılbilir. ölece, () = S + S + S olduğundn, + = +. f p.( ) = + ( + ). ( ) denklemi düzenlenirse, = ( + ).( ) eşitliği isptlnmış olur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 98

199 ÇGNLR TST. 0º prlelkenr [] çıort. H prlelkenr [H] [] [] çıort m() = 0 [H] çıort = birim un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9. prlelkenrınd çısı üç eşit çı bölünmüştür. º [] [] m() =. prlelkenr [] [] [] çıort = birim = birim un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 8 ) 70 ) 7 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) ) ) 8 ). 70º prlelkenr = = m() = 70. 0º prlelkenr üçgen = = m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 8 ) 0 ) ) 99 YGS onu nltımlı Soru nksı......

200 ÇGNLR TST prlelkenr = m() = 0º prlelkenr [] çıort [] çıort º m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) º 7º prlelkenr = = m() = 70 m() = prlelkenr [] [] [] [] = birim = 0 birim = 8 birim un göre, m() kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 0 9. prlelkenr = = =. 0º prlelkenr [] [] [] çıort m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) ) 7 ) 7 un göre, m() kç derecedir? ) 00 ) ) 8 ) 0 ) 8 00 YGS onu nltımlı Soru nksı

201 ÇGNLR TST. ir tel şekildeki gibi kıvrılrk üç tne kre oluşturuluor.. lnı 8 m oln kre şeklindeki bir bhçenin bir kenr uzunluğu hngi metreler rsınddır? cm ) ) ) 7 ) 7 8 ) 8 9 cm 9 cm relerin sınırldıklrı bölgelerin lnlrı cm, 9 cm ve cm olduğun göre, bu tel ile oluşturulbilecek en büük krenin sınırldığı bölgenin lnı kç cm dir?. ) 00 ) 8 ) ) ) 00 Çeşitkenr üçgensel bölge şeklindeki bir kğıdın ukrıdki gibi ktlnıp çılmsıl elde edilen ktlm çizgisi, üçgenin hngi elemnını gösterir? ) çıortını ) enrortını ) Yüksekliğini ) Çevrel çemberinin çpını ) enr ort dikmesini.. Mükerrem, proje ödevi için cm oln kre şeklindeki krtondn lnlrı şr cm oln üç krei şekildeki gibi kesip çıkrmıştır. re şeklindeki bir örtü, kre şeklindeki bir ms şekildeki gibi erleştirildiğinde örtünün köşeleri msnın kenrlrının ort noktlrı ile çkışmktdır. ln krtonun çevre uzunluğu kç cm dir? ) 7 ) 7 ) 80 ) 8 ) 88 Msnın bir kenr uzunluğu 80 cm olduğun göre, örtünün çevre uzunluğu kç cm dir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 0 YGS onu nltımlı Soru nksı.....

202 ÇGNLR TST. lnı birimkre oln bir kumştn lnı b birimkrelik bir prç kesilior. 9. ln prçnın kç birimkre olduğunu şğıdkilerden hngisi gösterir? ) ( b). ( + b) ) ( b) ) ( b) ) ( b). ( + b) ) ( b). ( + b).d m.d m.d m.d m Yukrıd verilen örüntü, nı kurl göre devm ettirildiğinde. dımdki çemberin içine çizilen çokgenin kenr sısı kçtır? 7. ikdörtgen biçimindeki bir kğıt şekildeki gibi bir köşesi uzun kenrının üzerine gelecek biçimde ktlnıor. ) ) ) 9 ) ) 7 8 cm cm Şekilde verilen ölçülere göre, bu kğıdın kıs kenrının uzunluğu kç cm dir? ) ) ) 8 ) ) 0. reli kğıt üzerinde verilen kresel bölgesi beş bölgee rılmıştır. II V 8. ir mimr bir kenrı metre oln kre şeklindeki rsd her birinin kenr uzunluğu b metre oln belli sıd kresel bölge belirlemiştir. rsd geri kln bölgenin lnı, III IV I ( b). ( + b) metrekre olduğun göre, belirlenen kresel bölgelerin sısı kçtır? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 u bölgelerden hngisi kresel bölgesinin 'üdür? ) I ) II ) III ) IV ) V 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

203 ÇGNLR TST. (, ) 0 (, ) 0 muk m() = 0. ıs kenrının uzunluğu, uzun kenrının uzunluğu b oln eş dikdörtgensel bölgeler şğıdki gibi birleştirilerek oluşturulmuştur. m() = 0 = birim b b Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? b ) ) ) ) ) b Şekildeki trlı bölgenin lnını şğıdkilerden hngisi ifde eder? ) b b + ) b + b + ) b b + ) + b + b. ) b + b 0 G. Yukrıdki şekilde ve G kre olduun göre, uzunluğu kç birimdir? ) 0 ) 8 ) 0 ) ) 7 9 det 9 det det det 88 det. eş odlı bir evin bir odsının tbnı ukrıd verilen sılrd kre şeklindeki fnslrl döşenmiştir. Her model fns bir od döşendiğine göre, hngi fnsın döşendiği tbn kre şeklinde olmz? enr uzunluklrı 9 m ve m oln dikdörtgen şeklindeki bir bhçenin her bir kenrı uzunluklrı eşit üç prç rılrk şekildeki gibi sekizgensel bölge oluşturuluor. u sekizgensel bölge ğçlndırılıp etrfı bir sır telle çevrilecektir. unun için en z kç metre dikenli tel gerekir? ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) ) 0 YGS onu nltımlı Soru nksı.....

204 ÇGNLR TST. 9. ücgen eşkenr dörtgen eşkenr [] [] = birim = birim dörtgen = birim = birim = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 0. 8 [] [L] L = = 8 birim 7. Çevresi 0 cm ve köşegen uzunluklrı toplmı cm oln eşkenr dörtgensel bölgenin lnı kç cm dir? ) ) ) 8 ) 0 ) L un göre, eşkenr dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 8 ) 0 ) ) 0 ) 8. un göre, m() kç derecedir? eşkenr dörtgen,, doğrusl = m() = 0 ) 7 ) 8 ) 0 ) ) 0. eşkenr dörtgen [] çıort [] çıort un göre, eşkenr dörtgeninin lnı 9 br olduğun göre, uzunluğu kç birimdir? ) 9 ) 0 ) ) ) 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

205 ÇGNLR TST. ir eşkenr dörtgeninde (, ) ve (, ) olduğun göre, köşegenini tşın doğrunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ). Yn kenr uzunluklrı birim ve birim oln bir muğun üst tbn uzunluğu birimdir. un göre, muğun lt tbn uzunluğunun tmsı değeri en fzl kç birimdir? ) ) ) ) ). eşkenr dörtgen, l doğrusu ve noktlrındn, l doğrusu ve noktlrındn geçior. l : + 9 = 0. 7 eşkenr dörtgen eşkenr dörtgen m() = 7 un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) ) ) 8 ) ) ) ) 0. 7 eşkenr dörtgen = birim = birim = 7 birim. eşkenr dörtgen [] köşegen [] ^ [] = birim = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) ) ) ) 0 ) 0 YGS onu nltımlı Soru nksı......

206 ÇGNLR TST (0, ) ikizkenr muk (0, ) (, 0) (, 0) un göre, muksl bölgesinin lnı kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) Şekildeki muğunun köşeleri, birim sğ, birim ukrı ötelenerek ı ı ı ı muğu elde edilior. un göre, ve ı ı ı ı muklrının kesişim bölgesinin lnı kç br dir? ), ) ), ) 7 ) 7, muk 7 un göre, () kç br dir? m() = 0 = 7 birim = 7 birim = 0 birim ) ) 0 ) ) 70 ) 7. (, ) (, 0) ikizkenr muk (, 0) (, ) un göre, ve noktlrındn geçen l doğrusunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + = 0 ) + + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 9. (0, ) (0, ) (, ) nlitik düzlemde (0, ) (0, ) (, ). 0 muk m() = m() = 0 = birim un göre, trlı dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) ) 0 ) 8 ) ) Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) ) ) ) ) 7 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

207 ÇGNLR Çokgenler Uç noktlrı dışınd kesişmeen üç d dh fzl doğru prçsının uç uc eklenmesi ile elde edilen kplı şekillere çokgen denir. ÖRN bölge ç bölge 8 7 ¾,,,,,, 7, 8,..., n noktlr çokgenin köfleleridir. ¾ [ ], [ ],..., [ n ] çokgenin kenrlr d r. Yukrıdki şekillerden hngileri çokgendir?,,. ve. şekiller çokgen tnımın ummktdır.. ve. şekiller çokgendir. ışbüke ve İçbüke Çokgenler ir çokgenin iç bölgesindeki herhngi iki noktn n birlefltirilmesi ile elde edilen do ru prçs her zmn çokgenin iç bölgesinde kl ors bu çokgene d flbüke çokgen denir. u do ru prçs n n bz noktlr d fl bölgede kl ors bu çokgene içbüke çokgen denir. Y ütün iç çı ölçüleri 80 den küçük oln çokgenlere dışbüke, en z bir iç çısının ölçüsü 80 den büük ise içbüke çokgen denir. ÖRN üzlemde dışbüke bir çokgen ile içbüke bir çokgenin birleşimi için ne sölenebilir? ışbüke bir çokgen ve içbüke bir çokgen ile bzen rı düzgün bir kplm pbiliriz. L L büke çbüke büke büke çokgen büke çokgen rıc dışbüke ve içbüke iki çokgenin birleşimi içbüke d olbilir. büke L L çbüke çokgen çbüke çokgen çbüke çbüke hlde, dışbüke ve içbüke iki çokgenin birleşimi dışbüke d içbüke olbilir. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 07

208 ÇGNLR öflegen ir çokgende komflu olmn iki köflei birlefltiren do ru prçs n çokgenin köflegeni denir. ö egen ¾ n kenrl bir çokgenin bir köflesinden en fzl, (n ) tne köflegen çizilir, bu köşegenlerle (n ) tne üçgen elde edilir. örtgen (n = ) e gen (n = ) ¾ öflegen S s n kenrl bir çokgenin rd fl k köfleleri,,,..., n fleklinde isimlendirilsin.. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk,. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk,. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk,. köfleden (n ) tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk, h h (n ). köfleden tne köflegen geçer bunlrdn frkl olrk, (n ). köfleden tne köflegen geçer. ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. lt gen (n = ) ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. Yedigen (n = 7) hlde tüm köflegenlerin s s, nn ( ) n + n = ( n ).( n ) Y ir köfleden (n ) tne köflegen geçer. n köfleden n(n ) tne köflegen geçer. ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. ir kö eden kö egen çizildi üçgen olu tu. u köflegenlerden her biri iki kez s ld ndn, n(n ) Tüm köflegenlerin s s = dir. Y ¾ n kenrl bir çokgenin köfle s lr n, = #,,,..., n- kümesi ile gösterelim. öflegen çizmek için iki köflee gerek oldu undn, d n n tne doğru prçsı (köşegen, kenr) çizilmiş olur. unlrdn n tnesi kenr oldu undn tüm köflegenlerin s s d n n = ile bulunur. n nn ( ) YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 08

209 ÇGNLR n kenrlı bir düzgün çokgende, ir dış çısının ölçüsü : o 0 n ir iç çısının ölçüsü : iç ç d ç 80 (ir dış çının ölçüsü) d ¾ ¾ n kenrl bir çokgenin iç ç lr nın ölçüleri toplm, (n ). 80 dir. n kenrl bir çokgenin d fl ç lr toplm, 0 dir. ir iç çısının ölçüsü : ( n ). 80 o dir. n enr s s ir köflesinden geçen köflegen s s ir köfleden geçen köflegenlerin oluflturdu u üçgen s s ç ç lr toplm fl ç lr toplm ÖRN ir edigenin tüm köflegenlerinin s s n bull m. üzgün Çokgen Tüm kenr uzunluklr birbirine eflit ve tüm ç lr efl oln çokgenlere düzgün çokgen denir. 0º 0º 0º üzgün üçgen (e kenr üçgen) 08º üzgün dörtgen (kre) 0º 0º Çizilen köflegenler bir dh çizilmemek flrt ile,. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer. + Tüm köflegen s s = =. + = bulunur. 08º 08º 0º 0º 08º 08º üzgün be gen 0º 0º üzgün lt gen YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 09

210 ÇGNLR ÖRN ÖRN ir irmigenin üç köflesinden en fzl kç frkl köflegen geçer? ç ç lr n n ölçüleri toplm d fl ç lr n n ölçüleri toplm n n 7 kt oln bir dışbüke çokgenin kenr s s n bull m. öflegenler birbirinden frkl olmk üzere,. öfleden 7 köflegen geçer.. öfleden 7 köflegen geçer.. öfleden köflegen geçer. + Üç köfleden en fzl 0 tne köflegen geçer. ç ç lr nın ölçüler toplm (n ). 80 fl ç lr nın ölçüleri toplm 0 un göre, (n ). 80 = 7. 0 (n ) = n = hlde çokgen kenrl d r. UYRI er köflegenler rd fl k olmn köflelerden l nmsd köflegen s s dh z olurdu. ÖRN ir dışbüke çokgenin d fl ç lr ndn en fzl kç tnesinin genifl ç olbileceğini bull m. fl ç lr toplm 0 oldu undn en fzl d fl ç s genifl ç l d r. ÖRN (n mnt kl en fzl iç ç s dr ç d r.) öflegen s s kenr s s n n kt oln çokgenin kenr s s n bull m. enr s s n n(n ) öflegen s s olup nn ( ) =. n" n = 0 n = bulunur. hlde çokgen kenrl d r. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı 0

211 ÇGNLR ÖRN ÖRN 7 80º düzgün beşgen = m() = 80 0º düzgün beşgen = m() = 0 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 88º 0º º º º 80º º 80º 0º 8º 8º 8º 08º º º º 8º düzgün beşgen olduğundn, tüm kenr uzunluklrı birbirine eşit ve tüm iç çılrının ölçüleri 08 dir. ikizkenr üçgeninde, m() = m() = ikizkenr üçgeninde, m() = m() = 80 ve m() = 0 ikizkenr üçgeninde, m() = 88 ve m() = m() = bulunur. olısıl, m() = 08 olduğunu bilioruz. hlde, m() = 08 = bulunur. düzgün beşgeninin tüm kenr uzunluklrı eşit olduğundn, ve üçgenleri ikizkenr üçgen olur. üzgün beşgenin bir iç çısı 08 ve m() = 8, = olduğundn, m() = 8 ve m() = dir. olısıl, m() = olur. ikizkenr üçgeninde, m() = m() = 8 olup m() = 80 (doğru çı tnımındn) m() = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

212 ÇGNLR ÖRN 8 ÖRN 9 düzgün beşgen L kre,, noktlrı doğrusl 8º L düzgün ltıgen,, L noktlrı doğrusl L = L m(l) = 8 un göre, L ç s n n ölçüsünü bull m. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 8º 8º 8º L 7º 08º düzgün beşgen ve L kre olduğundn tüm kenr uzunluklrı birbirine eşittir. üzgün beşgenin bir iç çısının ölçüsü 08, renin bir iç çısının ölçüsü 90 olduğundn, m() = 8 ve m() = m() = 8 köşegenini çizelim. 0º 0º 0º 8º L 8º º 0º 0º 0º düzgün ltıgen olduğundn, tüm kenr uzunluklrı ve iç çılrının ölçüleri birbirine eşittir. ile eş üçgenler olduğundn, = dir. olısıl, L ikizkenr üçgen olur. olısıl, m() = 08 8 = 7 bulunur. 8º 8º L üçgeninde, nde m() = 0 ve m() = m() = 0 olup 7º L nde = L olduğundn, 08º m(l) = m(l) = 8 olur m() = 80 m() = bulunur. m() = 0 ve m(l) = 0 olduğundn, m(l) = bulunur. YGS Geometri onu nltımlı Soru nksı

213 ÇGNLR TST. ç ç lr ve d fl ç lr toplm 0 oln d fl büke çokgenin kenr s s kçt r? ) ) 9 ) ) ) 8. n k s köflegeninin uzunlu u birim oln bir düzgün lt genin ln kç birimkredir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0 7. düz gün befl gen. ir futbol shs nd her seferinde metre düz gidip 0 sol dönen bir futbolcu bflld nokt gelincee kdr kç metre ol lm fl olur? 8 o [] köflegen m() = 8 = ) 0 ) 90 ) 00 ) 0 ) 0 un gö re, m() kç de re ce dir? ) ) ) ) 8 ). ir iç ç s n n ölçüsü bir d fl ç s n n ölçüsünden fzl oln düzgün çokgenin iç ç lr toplm kç dik ç d r? 8. düz gün befl gen efl ke nr üç gen ) ) 8 ) 0 ) ) un gö re, m() kç de re ce dir? ) ) ) ) 8 ) 7. ir çokgenin d fl ç lr ndn en fzl kç tnesi genifl ç olbilir? ) ) ) ) ) 9. düzgün beşgen P L L kre,, P doğrusl. n uzun köflegeninin uzunlu u birim oln bir düzgün lt genin çevresinin uzunlu u kç birimdir? ) 8 ) 8 ) ) ) un göre, P çısının ölçüsü kç derecedir? ) 99 ) 98 ) 97 ) 9 ) 9 YGS onu nltımlı Soru nksı

214 ÇGNLR TST 0. 0 o N düzgün lt gen m(nm) = 0 m(lm) = m() =. düzgün ltıgenin merkezi orijindir. L o M un gö re, α kç derecedir? noktsının ordintı noktsının psisi kçtır? olduğun göre, ) ) ) 0 ) ) ) ) ) 8 ) 0 ). düzgün ltıgen [] köşegen = = birim. L T düzgün ltıgen L kre, L, T doğrusl un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, T çısının ölçüsü kç derecedir? ) ) ) 0 ) 7 ) 90. G H düzgün ltıgen GH düzgün beşgen. T düzgün beşgen eşkenr üçgen,, T doğrusl un göre, G çısının ölçüsü kç derecedir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 90 ) 9 un göre, m(t) kç derecedir? ) ) 8 ) ) 0 ) YGS onu nltımlı Soru nksı

215 ÇGNLR TST. düzgün beşgen. L düzgün lt gen L kre,, doğrusl ve,, doğrusldır. : + m = 0 : + + n = 0 un göre, kçtır? un göre, m(l) kç derecedir? ) ) ) 8 ) ) ) ) 0 ) ) 0 ) 0. düzgün beşgen. düzgün beşgen [] çıort = [] köşegen = P T P m(t) = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, m(p) kç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ). R de düzgün ltıgen l, l. N M düzgün beşgen LMN kre L un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) un göre, m(n) kç derecedir? ) ) 0 ) ) 8 ) YGS onu nltımlı Soru nksı......

216 ÇGNLR TST 7. P düzgün beşgen,, P doğrusl = P 0. 0 düzgün beşgen [] köşegen m() = 0 = un göre, m(p) kç derecedir? ) ) ) ) ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) ) ) 8. düzgün beşgen m() = =. T P düzgün beşgen [T] [] = {P} m(p) = 8 m(p) = 8 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, m(t) kç derecedir? ) ) ) ) ) 7 9. düzgün beşgen [] köşegen = birim. P düzgün beşgen [] köşegen [] köşegen [] [] = {P} un göre, uzunluğunun trigonometrik ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? ) sin8 ) cos ) cos8 ) tn ) cot8 un göre, m(p) kç derecedir? ) 00 ) 0 ) 0 ) 08 ) 0 YGS onu nltımlı Soru nksı

217 ÇGNLR TST.. düzgün ltıgen = birim düzgün ltıgen = birim un göre, () kç br dir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, düzgün ltıgensel bölgenin lnı kç br dir? ) ) 8 ) 9 ) 0 ).. düzgün ltıgen = birim düzgün ltıgen un göre, () kç br dir? ) ) ) 9 un göre, ornı kçtır? ) 8 ) ) ) ) ) ).. düzgün ltıgen = birim düzgün ltıgen [] [] = birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) 7 YGS onu nltımlı Soru nksı......

218 ÇGNLR TST düzgün beşgen [] [] = 7º düzgün beşgen [] // [] [] çıort un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 7 ) 8 ) 8 ) 88 un göre, m() kç derecedir? ) 90 ) 9 ) 9 ) 98 ) düzgün beşgen [] köşegen =. düzgün beşgen [] [] = birim = birim un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 7 ) 80 ) 8 ) 90 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 9. düzgün beşgen [] []. ir düzgün ltıgenin iç bölgesinde lınn bir noktnın ltıgenin kenrlrın uzklıklrı toplmı 9 birim olduğun göre, düzgün ltıgenin bir kenr uzunluğu kç birimdir? ) ) ) ) ) un göre, m() kç derecedir? ) 9 ) 98 ) ) ) 8 YGS onu nltımlı Soru nksı

219 Öteleme Ynsım ÜZLM ÖNÜŞÜM HRTLRİ ve PLMLR ÜN T Ynsım (Simetri) Öteleme önme üzlemde plmlr