ASİMETRİK EVOLVENT HELİSEL DİŞLİ ÇARKLARIN BİLGİSAYAR SİMÜLASYONU

Transkript

1 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. J. Fa. Eg. Arh. Gaz Uv. Clt 5, No 3, , Vol 5, No 3, , ASİMETİK EVOLVENT HELİSEL DİŞLİ ÇAKLAIN BİLGİSAYA SİMÜLASYONU Cüyt FETVACI Mak.Müh.Böl., Müh.Fak., İstabul Üvrsts, T-343, İstabul (Glş/vd:.3.9 ; Kabul/Aptd: 3.6.) ÖZET Bu çalışmada krmayr takımla mal dl asmtrk volvt proll hlsl dşl çarkları blgsayar smülasyou l alımaktadır. Asmtr dşl akt v arka yaaklarıı arklı kavrama açılı olduğuu ad dr. Dşl çark tors v krmayr-tp ks takım gomtrs sas alıarak akt, kök v taba bölglr d kapsaya asmtrk volvt hlsl dşl tam matmatk modl vrlmştr. İza hız v ş çalışma dklm göz öü alıarak dşl altta ksm durumu da lmştr. Asmtrk volvt proll hlsl dşl çark prol oluştura br blgsayar programı glştrlmştr. Aahtar Klmlr: Asmtrk volvt dş, hlsl dşl çark, altta ksm aalz COMPUTE SIMULATION OF HELICAL GEAS WITH ASYMMETIC INVOLUTE TEETH ABSTACT Ths papr studs th omputrzd tooth prol grato o volut hlal gars ut by rak uttrs wth asymmtr tth. Th asymmtry mas that drt prssur agls ar appld or drvg ad oast sds, rsptvly. Basd o th thory o garg ad th gomtry o straght-sdd rak uttr, a omplt mathmatal modl o asymmtr hlal gars ludg workg ro, root llt ad bottomlad s gv. Udruttg aalyss s also vstgatd by osdrg th rlatv vloty ad quato o mshg. A omputr program s dvlopd to grat th tooth prol o hlal gars wth asymmtr volut tth. Kywords: Asymmtr volut tth, hlal gar, udruttg aalyss. GİİŞ (INTODUCTION) Alı dşl çarklar parall ksl mllr arasıda güç ltm sağlaya mkazmalardır. Bu mkazmalar dşlr ml ks gör koumu bakımıda alı düz v alı hlsl olarak grupladırılmaktadır. Hlsl dşl çarklar sssz çalışmaları v daha küçük dş sayılarıda mal dlblmlr dyl trh dlmktdr. Çzgsl tmas, sabt kavrama açısı v yüksk malat vrmllğ sağlaya doğrusal ormda ks takımları dyl, volvt prol alı dşllrd yaygı olarak kullaılmaktadır. Dşl çarkları şltmd yük taşıma kablyt tay tmk ç çştl paramtrlr tklr malatta ö blgsayar ortamıda lms sağlaya sayısal yötmlr yaygı olarak kullaılmaktadır. Solu lmalar yötm v sıır lma yötm bu sayısal yötmlrd çok kullaılalarıdır. Bu yötmlr güvlr souç vrms ç tml koşul modllmd dş prol hassas doğrulukta gomtrk ad dlmsdr []. Dşl çark mkazmaları sıklıkla tk yöd çalışmaktadır. Dvry grmy yaaklar yüzy mukavmt vya ym mukavmt tk tmzlr, dolayısıyla ğlm mukavmt katkıda buluaak şkld mody dlblrlr. Bu da dş asmtrk dzayıı grktrmktdr. Ntd, smtrk dş gör tabaı daha kalı, böyllkl ğlmy gör mukavmt daha yüksk dşllr mal dlblr. Dş prol asmtrk trtp dlmsyl malzm kalts dğştrlmd dşl çark mkazmasıı yük taşıma kapasts arttırılmaktadır [-4].

2 C. Ftvaı Asmtrk Evolvt Hlsl Dşl Çarklar Blgsayar Smülasyou Dşl çarkları blgsayar smülasyou ç ltratürd çştl yaklaşımlar l suula adlr mvuttur[5-9]. Ltv ks takımı vktörl göstrmd başlayıp, matrs döüşüm, drasyl gomtr v yuvarlama dklmlr kullaarak dş prollr v gomtrk özllklr taımlaya mtodlar glştrmştr [8-9]. Vktörl yaklaşım çştl kök v prol modkasyolarıı matmatk modl lav dlmsd sklk sağlamaktadır. Grk krmayr tp takım v grks pyo ks takımla mal dl dş yüzylr vktörl yaklaşıma gör matmatk modlly çalışmalar ltratürd suulmaktadır [-7]. Yag, Ltv vktör yaklaşımıda harktl asmtrk volvt proll alı dşl çarkları köşlr yuvarlatılmış uçlu krmayr-tp takımla malatıı matmatk modl sumuştur [6]. Ayrıa krmayr ks smül dlmş harkt görsllştrrk mal dl düz dşl üzrdk tklr ly çalışmalar da ltratürd mvuttur [8-9]. Bu çalışmada asmtrk dşl volvt hlsl çarkları krmayr-tp takımla malatıı matmatk modllms v altta ksm aalz l alımıştır. Yag ı [6] suduğu adlr svr uçlu takım çd h k, 5 m dşbaşı yüksklğ sağlayaak şkld düzlmştr. Bombl dş, taşlama vya raspalama paylı takımla malat gb hrhag br kök vya prol modkasyou dkkat alımamıştır. Prol kaydırma mktarı yuvarlama dklm lav dlmştr. Ks takım l taslak arasıdak za hız v ş çalışma dklm drasyl göz öü alıarak altta ksm şartı v altta ksmy ölmk ç grkl prol kaydırmaı tay vrlmştr. Br blgsayar programı glştrlrk çştl dzay paramtrlr v takım yrlştrms mal dl dşl gomtrs üzrdk tklr lmştr.. KESİCİ TAKIM MATEMATİK MODELİ (MATHEMATICAL MODEL OF THE ACK CUTTE) Çalışmaı bu bölümüd, malat smülasyouda kullaıla takımı gomtrk özllklr lmktdr. Yag ı matmatk modl gör hazırlaa krmayr-tp takım dş ormal kstt Şkl d göstrlmştr [6]. Orj krmayr takım dş boşluğuu ortasıa koumladırıla S ( X, Y, Z ) koordat sstmd, pozt X ks yukarı doğru, pozt Y ks sola doğru yöldrlmştr v Z ks sağ l kuralı l tay dlmştr. Asmtrk dşl ks takım sağ v sol yalarda rras ks gör arklı açılı taba düz uç, taba yuvarlatılmış köş v akt karda oluşmaktadır. ras krmayr at özllklr ISO53 stadardıda uyarlamıştır []. Şkl. Asmtrk dşl krmayr takımı ormal kst [6] (Normal sto o a rak uttr wth asymmtr tth) Şkl d göstrldğ üzr, ks takımı a v bd bölglr asmtrk dşl çarkı tabaıı oluşturmaktadır. a bölgsdk br oktaı X ks gör yr l a paramtrs la b hk ta φ + r ta φ r sφ aralığıda tay tmktdr. Bzr şkld l b paramtrs bd bölgsd br oktaı X ks gör yr lb b hk taφ + r taφ r sφ aralığıda tay tmktdr. y,,... sçlrk takım stl sayıda dş l taımlaablr. Sol v sağ karları kavrama açıları φ v φ smbollryl göstrlmktdr. a ks takım dşbaşı yüksklğ tay d paramtr v b πm / 4 takım dş kalılığıı yarısıdır. Normal modül m smbolüyl v takım uuu yuvarlatma yarıçapları sırasıyla r v r smbollryl göstrlmktdr. Stadard dşbaşı yüksklğ h, 5 m olarak hsaplaır. k k a h r sφ ) v r r sφ ) /( sφ ) ( ( dr. S ( X, Y ) koordat sstmd a v bd bölglr dklmlr aşağıdak adlr l tay dlr. a k a x h πm a + () y la yπm bd k bd x h πm bd + + () y lb yπm Şkl d göstrldğ üzr, ks takımı v d bölglr mal dl dşl çarkı kök yüzylr oluşturmaktadır. bölgsdk br oktaı yr l paramtrs l 9 φ aralığıda tay 44 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. Clt 5, No 3,

3 Asmtrk Evolvt Hlsl Dşl Çarklar Blgsayar Smülasyou C. Ftvaı tmktdr. Bzr şkld d bölgsdk br oktaı yr ld 9 φ aralığıda l d paramtrs l tay dlmktdr. S koordat sstmd, v d bölglr yr vktörlr aşağıdak adlr l tay dlr. hk + r x b + hk taφ r taφ (3) y r osl + r sφ r s l + yπm hk + r d d x b hk taφ + r taφ (4) d y r ld os r sφ + r s ld + yπm Ks takımı v h bölglr asmtrk sol v sağ volvt yüzylr sırasıyla oluşturmaktadır. Şkl d görüldüğü üzr, l paramtrs bölgsdk br oktaı yr a osφ l a / osφ aralığıda tay / t tmktdr. Bzr şkld l paramtrs h bölgsdk br oktaı yr a / osφ l at / osφ aralığıda tay tmktdr. v h bölglr yr vktörlr S koordat sstmd aşağıdak adlr l tay dlr [6]. x l osφ (5) y b l sφ + yπm h h x l osφ (6) h y b + l sφ + yπm Hlsl dşl çark mal ç takım yüzy smülasyouda, O mrkzl S koordat sstm bağlı ormal kst, O O doğrusu boyua Şkl d görüldüğü üzr ötlr. Bu dl ρ O O ks yüzy dzay paramtrlrd brdr v β mal dl hlsl dşl hls açısıdır. Hlsl dşl çark prol oluşturmak ç kullaıla S koordat sstmd ks takımı yüzy homoj koordatlarda ad dl döüşüm matrs uygulaması l ld dlr [8]. Şkl. Hlsl Krmayr Ks Yüzy Oluşumu (Formato o ak Cuttr Sura or Hlal Gar Grato) [ ] (7) M Burada döüşüm matrs homoj koordatlarda [8,5,6], os β s β ρ s β M (8) s β os β ρ os β adsyl vrlmktdr v üst ds sırasıyla a, bd,, d, v h bölglr göstrr. Drasyl gomtrd, S koordat sstmd (7) umaralı dklmd vrl krmayr ks yüzy brm ormal vktörlr (9) umaralı dklm l tay dlr [8,6]. l j ρ ( a,..., h) (9) ( j a,..., ) l ρ j 3. DİŞLİ ÇAK MATEMATİK MODELİ (MATHEMATICAL MODEL OF GENEATED GEA) İmal dl dşl çarkı matmatk modl ld tmk ç S X, Y, Z ), S X, Y, ) v ( ( Z S h( X h, Yh, Zh) koordat sstmlr tss dlmldr. Şkl 3 d görüldüğü üzr, S krmayr takımı koordat sstm, S dşl çarkı koordat sstm v S h sabt ola rras koordat sstmdr. Koordat sstmlr sağ l kuralıa uymaktadır. Yuvarlama prossd krmayr ks takım S r p φ kadar ötlm harkt yapark dşl taslağı φ açısı kadar dömktdr [8]. Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. Clt 5, No 3, 443

4 C. Ftvaı Asmtrk Evolvt Hlsl Dşl Çarklar Blgsayar Smülasyou Şkl 3. Yuvarlama pross (Gratg pross) S koordat sstmd S koordat sstm döüşümü sağlaya koordat döüşüm matrs () umaralı add vrlmştr [8]. [ M ] osφ sφ sφ osφ rp φ sφ + ( rp + ) osφ r os + ( + )s pφ φ rp φ () Böyllkl, krmayr takım yüzylr gomtrk yr mal dl dşl çarkı koordat sstmd ad dlr [8]. [ M ], ( a,..., ) () h Dşl Aa Kauu grğ krmayr ks alı kst l dşl taslağı yüzy ortak ormal a döm mrkzd gçmldr. Bu kauu matmatksl ads ola Eş Çalışma dklm S koordat sstmd () umaralı dklm l ad dlblr [8]. X x x Y y y Z z z () X, Y v Z koordat sstm S d takım-taslak mkazmasıı a döm ks I-I üzrdk br oktaı koordatlarıı; x, y v z krmayr takımı yüzy koordatlarıı; x, y v z, yüzy brm ormal doğrultma kosüslr, ad dr. φ yuvarlama paramtrs v r p mal dl dşl çarkı taksmat dars göstrr. () koordat döüşüm umaralı dklmd vrl [ M ] matrsd trm takımı taksmat doğrusuu taslağı taksmat dars gör ötlms, dğr br adyl prol kaydırma mktarıı, ad dr. Krmayr takım l mal ttğ dşl ş çalışma dklm () umaralı dklm düzlms l gl olarak aşağıdak ad l ld dlr [8,]. y φ ( yx x ) /( rpx ) (3) Takımı akt karları ç takım-taslak volvt yüzy ş çalışma dklm, (5-7) v (9) umaralı dklmlr (3) umaralı dklm uygulamasıyla ld dlr [5,6]. ( l ( l, ρ, φ ) ( l b s φ ) +, ρ, φ ) os β ( r φ + ρ s β ) s φ p ( l b s φ ) os β ( r φ + ρ s β ) s φ p (4) (5) İmal dl dşl volvt, trokod v dş tabaı yüzylr matmatk modl S koordat sstmd (-6) v (3) umaralı dklmlr () umaralı dklmd yrlr koulması l ld dlmktdr. Örk olarak, ks takımı bölgs şklldrdğ dşl taslağı volvt yaağıı dklm aşağıda vrlmştr. x l osφ osφ ( b l sφ )os β sφ + ρ s β sφ + rp (osφ + φ sφ) y l osφ sφ + ( b l sφ )osβ osφ ρ s β osφ + rp (sφ φ osφ) z ( b l sφ )s β + ρ osβ (( b sφ l)os β ρ s β sφ ) φ ( rp sφ) 4. ALTTAN KESME ANALİZİ (TOOTH UNDECUTTING ANALYSIS) (6) Evolvt hlsl dşl çark hrbr br ök gör hls ğrs oluşturaak şkld dödürülmüş çok sayıda kalılıktak düz dşllr l taımlaablr. Şkl 3 d görüldüğü üzr hlsl dşl çark l krmayr ks kavraması z düzlmd l alıablr. Bua gör (7) umaralı dklmd z alıırsa, krmayr takımı sol akt yüzy yr vktörü S koordat sstmd aşağıdak dklmd ad dlr. x l osφ y ( b l sφ + yπm ) (7) os β () umaralı dklm gör şlmlr yapılarak, ş çalışma dklm, b l ( l, φ ) sφ ( rp φ ) B (8) os β os β 444 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. Clt 5, No 3,

5 Asmtrk Evolvt Hlsl Dşl Çarklar Blgsayar Smülasyou C. Ftvaı olarak ld dlr v bu dklmd B s φ + os φ os β dr. Krmayr ks akt yüzy taraıda oluşturula hlsl dşl çark volvt yüzyd tkl oktaı hag koşullar altıda mydaa glblğ lmldr. Bu çalışmada altta ksm lms ç Ltv [8] taraıda tkl dlmş mtod kullaılmıştır. S koordat sstmd mal dl dşl çark l krmayr ks arasıdak za hız (9) umaralı dklmd vrlmştr [8]. V rpφ y ω x (9) Bu dklmd ω mal dl dşl açısal hızıdır v d φ / dt adsyl ld dlr. İmal dl dş yüzyd tkllğ tay tmk ç (-) umaralı dklmlr sağlamalıdır [8]. 5. BİLGİSAYA UYGULAMALAI (COMPUTE IMPLEMENTATION) Çştl paramtrlr mal dl dş prol üzrdk tklr matmatk modl programlaması l lblmktdr. Programı grş dğrlr modül, dş sayısı, kavrama açıları v hls açısıdır. Programı çıkış dosyaları s takım prol v dş prol tay d oktaları koordatlarıda oluşur. Şkl 4 d altta kslmş dşl v prol kaydırma l altta kslm ölms göstrlmştr. Normal modül m, 5 mm, dş sayısı T, hls açısı β 5, ormal kavrama açıları φ v φ 5 olarak alıa örk uygulamada altta ksm kavrama açısı φ 5 ola dş yaağıda mydaa glmştr. Altta kslm gdrlms ç takıma vrlms grk mmum kaydırma mktarı, 556 m olarak hsaplaır. Takıma, 6 m prol kaydırma vrlrk altta kslm ölmştr. Δ x x l dφ l V φ dt () Δ y y l dφ l V φ dt () Bua gör mal dl dşl yüzyd tkllk ç ytrl şart () umaralı dklmd ad dlmştr [8]. Şkl 4. Altta ksm prol kaydırma l ölms (Elmato o udruttg by tooth-prol shtg mthod) G (, φ ) Δ + Δ () l Souç olarak mal dl dşl çarkta tkllk durumu (3) umaralı dklm uygulaarak tay dlr [8,6]. r p s φ l osφ B (3) Krmayr ks mal dl dşly altta ksmms ç vrlms grk prol kaydırma mktarı, a hk r( sφ) olduğu göz öü alıarak aşağıdak dklml hsaplaır. rp s φ + h ( s ) k r φ (4) B Şkl 5. Svr uçlu takımla prol kaydırmalı malat (Gratg shtd gar by rak uttr wth a sharp tp) Şkl 5 d svr uçlu takımla prol kaydırmalı dşl malatı takımı smül dlmş yörügs l brlkt göstrlmştr. Uygulama olarak, ormal modül m, 5mm, dş sayısı T, hls açısı β 5, ormal kavrama açıları φ v φ 5 olarak alımıştır. Altta ksm hr k yaakta Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. Clt 5, No 3, 445

6 C. Ftvaı Asmtrk Evolvt Hlsl Dşl Çarklar Blgsayar Smülasyou görülmktdr. Altta kslm gdrlms ç takıma vrlms grk mmum kaydırma mktarı kavrama açısı φ 5 ola dş yaağıa gör hsaplaarak, 86 m olarak buluur. Takıma, 85 m prol kaydırma vrlrk altta kslm ölblr. Prol kaydırma mktarıı üst sıırıı svr tp, alt sıırıı s altta ksm tay tmktdr. Ltratürd çştl kavrama açıları ç dş sayılarıa gör uygulaablk prol kaydırma mktarı sıırları graklr l vrlmktdr. Ayrıa dşbaşı kalılığıı müsaad dl dğrlr çd graklr mvuttur. Şkl 6 da prol kaydırma aktörüü dş sayısıa gör alt v üst sıırları göstrlmktdr []. Şkl 6. Prol kaydırma aktörüü sıır dş sayısıa tks [] (Ilu o prol sht o lmtg umbr o tth) Şkl 4 v Şkl 5 d blgsayar grak çıktıları vrl durumları karşılaştırılmasıda şu souçlar ortaya çıkmaktadır. Svr uçlu takımla malatta ayı dzay paramtrlr ç yuvarlatılmış uçlu takıma gör altta ksmy ölmk ç daha azla prol kaydırma mktarı vrlms grkmktdr. Bu durumda svr tp thlks daha yüksktr. Svr uçlu takımı uygulamada trh dlmms aa d uçları kolaylıkla aşıarak mal dl prol hassasyt azalması v ayrıa dşl kök bölgs daha yüksk grlm yığılması oluşturmasıdır. Suula matmatk modl l ks takım v mal dl dşl çark stl dş sayısıda göstrlblr. Dşl taslağı tamam şklldrlms ks takımı taslağa gör za koumlarıı smül dlrk Şkl 7 da göstrlmştr. Hlsl dşl çarklarda altta kslm olmaksızı daha küçük dş sayılarıa lblmkt v buda mkazmaı boyutuu v ağırlığıı azaltmaktadır. Şkl 7. Dş açma smulasyou (Grato smulato) 6. SONUÇLA (CONCLUSION) Asmtrk dşl çarklar, yüksk prormas grktr havaılık v otomotv dşl trasmsyoları gb uygulamalarda so yıllarda trh dlmktdr. Yuvarlama mtodu l smtrk dşl malatıda kullaıla MAAG (krmayr bıçak), azdırma v Fllows (pyo bıçak) takımlar asmtrk dzay dlblr. Böyllkl kovasyol dş açma tzgahlarıda asmtrk dşl mal dlblr. Çalışmada krmayr-tp takımla (krmayr bıçak vya azdırma) malat ç asmtrk dşl çarkları matmatk modllms l alımıştır. Ltratürd mvut adlr svr uçlu takım çd h k, 5 m dşbaşı yüksklğ sağlayaak şkld düzlmştr. Dşdb kst zayılatarak dşl çarkı ğlm mukavmt düşür altta ksm aalz vrl matmatk modl gör yapılmıştır. Altta ksm ölms ç uygulaması grk prol kaydırma mktarı hsaplamıştır. Matmatk modl programlaarak dş açmaı blgsayar smülasyou grçklştrlmştr. Çştl takım uç gomtrlr ç malatta takımı taslağı şklldrms smül dlmştr. Prol kaydırmaı mal dl dşl gomtrs üzrd tklr göstrlmştr. Ayı dzay paramtrlr l svr yuvarlatılmış uçlu v svr uçlu takımla malat karşılaştırılmıştır. Souç olarak svr uçlu takımla malatta altta ksmy llmk ç daha azla prol kaydırması uygulaması grktğd dş başı kalılıkları müsaad dl dğrlr altıa düşblmkt, dş uu kırılablk şkld svrlmktdr. Suula yaklaşım l malatta ö çştl dzay paramtrlr tklr görsl olarak lblr. SEMBOLLE (NOMENCLATUE) a a t krmayr takımı dzay paramtrs krmayr takımı dzay paramtrs b krmayr takımı dzay paramtrs prol kaydırma mktarı l krmayr takımı kurvlr koordatları, a, b,, d,, 446 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. Clt 5, No 3,

7 Asmtrk Evolvt Hlsl Dşl Çarklar Blgsayar Smülasyou [ M ] S koordat sstmd S koordat sstm döüşüm matrs m ormal modül r r p krmayr takımı brm ormal vktörü takım uu yuvarlatma yarıçapı takım uu yuvarlatma yarıçapı r taksmat dars yarıçapı S krmayr takımı ötlm msas S koordat sstmlr, ( h,, ), h sabt, harktl takım, harktl taslak V takım l taslak arasıdak za hız T dş sayısı φ kavrama açısı φ kavrama açısı φ dşl taslağı yuvarlama açısı KAYNAKLA (EFEENCES). Kawal, A., Wktor, J. v Clark, D., Comparatv Aalyss o Tooth-oot Strth Usg ISO ad AGMA Stadards Spur ad Hlal Gars Wth FEM-basd Vrato, Joural o Mhaal Dsg, Clt 8, 4-58, 6.. Mu, D. V., Kumar V.S. v Muthuvrappa, G., Optmzato o Asymmtr Spur Gar Drvs or Maxmum Bdg Strth Usg Drt Gar Dsg Mthod, Mhas Basd Dsg o Struturs ad Mahs, Clt 35, No 3, 7 45, Kaplvh, A., Gomtry ad Dsg o Ivolut Spur Gars wth Asymmtr Tth, Mhasm ad Mah Thory, Clt 35, 7-3,. 4. Costopoulos T. v Sptas V., duto o Gar Fllt Strsss by usg O-sdd Ivolut Asymmtr Tth, Mhasm ad Mah Thory, Clt 37, No 3, 57-8, Bukgham, E., Aalytal Mhas o Gars, MGraw-Hll, Nw York, A.B.D., Salamou, C. v Suhy M., Computato o Hlal or Spur Gar Fllts, Mhasm ad Mah Thory, Clt 8, No 3, 35-33, Arıka, M.A.S., Dtrmato o Maxmum Possbl Cotat atos or Spur Gar Drvs wth Small Numbr o Tth, ASME Dsg Egrg Thal Cors, Clt 8, , Ltv, F.L., Gar Gomtry ad Appld Thory, Prt Hall, Nw Jrsy, A.B.D, 994 C. Ftvaı 9. Ltv, F.L. v Futs, A., Gar Gomtry ad Appld Thory, Cambrdg Uvrsty Prss, Nw York, A.B.D., 4.. Tsay, C.-B., Hlal Gars wth Ivolut Shapd Tth: Gomtry, Computr Smulato, Tooth Cotat Aalyss, ad Strss Aalyss, ASME J. Mh. Trasm. Autom. Ds., Clt, 48-49, Ltv, F.L., Lu, J., Towsd, D.P. v Howks, M., Computrzd Smulato o Mshg o Covtoal Hlal Ivolut Gars ad Modato o Gomtry, Mhasm ad Mah Thory, Clt 34, 3-47, Lu, C.-C. v Tsay, C.-B., Tooth Udruttg o Bvlod Gars, ASME Joural o Mhaal Dsg, Clt 3, ,. 3. Ts,.-T. v Tsay, C.-B., Mathmatal Modl ad Udruttg o Cyldral Gars wth Curvlar Shapd Tth, Mhasm ad Mah Thory, Clt 36, 89-,. 4. Braur, J., A Gral Ft Elmt Modl o Ivolut Gars, Ft Elmts Aalyss ad Dsg, 4, , Ch, C.-F. v Tsay, C.-B., Tooth Prol Dsg or th Mauatur o Hlal Gar Sts wth Small Numbrs o Tth, It. J. o Mah Tools ad Mauatur, Clt 45, No -3, 53-54, Yag, S.-C., Mathmatal Modl o a Hlal Gar wth Asymmtr Ivolut Tth ad Its Aalyss, It. J. Adv. Mau. Thol., Clt 6, No 5-6, , L, J.-L. v Chou, S.-T., Sura Dsg ad Tooth Cotat Aalyss o a Iovatv Modd Spur Gar wth Crowd Tth, Joural o Mhaal Egrg S, Clt 9, No 3, s. 93-7, Ftvaı, C. v İmrak, C., Mathmatal Modl o a Spur Gar wth Asymmtr Ivolut Tth ad Its Cuttg Smulato, Mhas Basd Dsg o Struturs ad Mahs, Clt 36, No, 34-46, Ftvaı, C. v İmrak, C.E., Krmayr Takım l Evolvt Düz Dşl Çarkları İmalat Smulasyou, Mühds v Maka, Clt 48, No 57, 9-5, 7.. ISO53 Cyldral Gars or Gral ad Havy Egrg-Bas ak, Itratoal Orgazato or Stadartzato, Swtzrlad, Matra, G.M., Hadbook o Gar Dsg, Tata MGraw-Hll, Nw Dlh, Ida,. Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Dr. Clt 5, No 3, 447

8