KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015

2 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; - Tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, - Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, - Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, - Atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, - Kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, - Ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 26/01/2015 Münevvere Mine KARAKAYA

3 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ Münevvere Mine KARAKAYA DANIŞMAN Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak, 2015

4 TEZ ONAY SAYFASI Münevvere Mine KARAKAYA tarafından hazırlanan Kesirli Lineer Fark Denklemleri adlı tez çalışması lisansüstü eğitim ve öğretim yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca 26/01/2015 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN Başkan : Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ.. Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Üye : Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN.. Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Üye : Doç. Dr. Murat Kemal KARACAN.. Uşak Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu nun.../.../... tarih ve. sayılı kararıyla onaylanmıştır.. Prof. Dr. İbrahim EROL Enstitü Müdürü

5 ÖZET Yüksek Lisans Tezi KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ Münevvere Mine KARAKAYA Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN Bu tez, dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde çalışmamız için gerekli olan temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, kesirli fark denklemlerinin bir ailesi verilerek çözümleri dönüşüm yöntemi yardımıyla elde edildi. Son bölümde kesirli başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlığı incelenerek örnekler verildi. 2015, v + 38 sayfa Anahtar Kelimeler: Ayrık Kesirli Analiz, Sonlu Kesirli Fark Denklemi, Zaman skalasında Laplace Dönüşümü i

6 ABSTRACT M.ScThesis FRACTIONAL LINEAR DIFFERENCE EQUATIONS Münevvere Mine KARAKAYA Afyon Kocatepe University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic Supervisor: Assoc.Prof.Dr. Umut Mutlu ÖZKAN This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to introduction. In the second chapter fundamental definitions and results required in the sequal are given. In the third chapter a family of fractional difference equations, whose solutions are obtained by the transform method is introduced. The last chapter includes existence result for fractional initial value problems and present some examples. 2015, v + 38 pages Key Words: Discrete fractional calculus, finite fractional difference equation, Laplace transform on time scales. ii

7 TEŞEKKÜR Yüksek lisans çalışmam boyunca bilgilerinden faydalandığım, yanında çalışmaktan onur duyduğum, tecrübelerinden yararlanırken göstermiş olduğu hoşgörü ve sabrından dolayı danışmanlığımı yapan sayın kıymetli hocam Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN a teşekkürü ve şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim. Ayrıca çalışmam boyunca samimi desteklerini esirgemeyen aileme ve eşim Semih KARAKAYA ya sonsuz teşekkür ederim. Münevvere Mine KARAKAYA AFYONKARAHİSAR, 2015 iii

8 İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ... iv SİMGELER DİZİNİ... v 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

9 SİMGELER DİZİNİ Simgeler Fark operatörü fonksiyonunun ν-inci mertebeden kesirli toplamı fonksiyonunun ν-inci mertebeden kesirli farkı Г Gamma özel fonksiyonu İleri sıçrama operatörü Geri sıçrama operatörü Toplam sembolü Çarpım sembolü Faktöriyel fonksiyonu dönüşümü kümesi v

10 1. GİRİŞ Reel sayılar kümesinde türev ve integral operatörleri analizin iki temel içeriğidir. Benzer olarak tam sayılar kümesinde de toplam ve fark operatörleri de ayrık analizin iki temel içeriğidir. Genellikle türev ve ya integral operatörleri n-inci mertebeden bir fonksiyona uygulanabilir burada n tamsayıdır ve, şeklinde gösterilir. Aslında kesirli analiz, türev veya integral operatörlerinin mertebelerinin keyfi sayılar olabildiğini ifade eder. Örneğin bir fonksiyonun -inci mertebeden türevi veya - üncü mertebeden integrali gibi. Kesirli analiz uygulamalı matematiğin bir dalıdır, keyfi mertebeden türev ve integrallerle ilgilidir. Bunların uygulamaları fen, mühendislik, uygulamalı matematik ve diğer dallarda görülür. operatörünü içeren diferansiyel analizin özellikleri ile fark operatörü olarak bilinen operatörünü içeren ayrık kesirli analizin özellikleri arasında bir benzerlik olduğu bilinir. Aynı benzerlik kesirli ve ayrık kesirli analizin operatörleri arasında da vardır. Kesirli analizin kökleri yaklaşık 3 yüzyıl önce L-Hospital den Leibniz e gönderilen bir mektupla ekildi. Burada L-Hospital ise in anlamı hakkında bir soru ortaya çıkardı. Leibniz in 30 Kasım 1695 tarihli mektuba cevabı ile kesirli analiz hakkındaki araştırmalar başlamış oldu. Sonra John Bernoulli nin cevabı ile birlikte, Leibniz genel mertebelerin türevlerini ispatladı. Leibniz mertebeden türevin ifadesine gösterimini kullandı. Kesirli 1

11 türevler birçok farklı içerikle ispatlandı dan 1868 e kadar bir integralin anlamı, kesirli türevin tanımı gibi kesirli analizle ilgili çalışmalar yapılmıştır. mertebeden kesirli türev, kapsamlı bir şekilde düşünülmesine rağmen, kesirli mertebeden fark yıllardır daha az dikkat çekti. Kesirli mertebeden farklar 1956 da ilk defa ispatlandı de farkın içeriğine doğal bir yaklaşımla kesirli fark tanımlandı da kesirli mertebeden fark ve toplam operatörlerini tanımlandı ve kesirli fark denklemleri teorisinin gelişimine birçok makale ve kitapla katkıda bulunuldu. Bu tezde Atıcı vd. (2007a,b) incelendi. Bu çalışmalar kesirli fark denklemlerinin bir ailesinin çözümlerini dönüşüm yöntemi yardımıyla elde etmek ve kesirli başlangıç değer problemlerinin varlığının incelenmesini içermektedir. 2

12 2. TEMEL KAVRAMLAR Tanım 2.1: fonksiyonunun - inci mertebeden Riemann-Liouville kesirli integrali şeklindedir. Burada ν ve, üzerinde sürekli ve sınırlı alt aralığında integrallenebilirdir. Ayrıca çekirdeği inci mertebeden adi diferansiyel denklemler için Chauchy fonksiyonunun bir genelleştirilmişidir ( Miller and Ross 1993 ). Tanım 2.2: Faktöriyel polinomu şeklinde tanımlanır. Burada Г, gamma fonksiyonudur. Bazı ler için ise çarpım sıfır olduğu kabul edilir. Keyfi ν için faktöriyel polinomu şeklindedir. 3

13 Faktöriyel fonksiyonunun bazı özellikleri ispatlarıyla birlikte aşağıdaki teoremde verilmiştir. Teorem 2.1: İyi tanımlı faktöriyel fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar. (i) ileri fark operatörü olmak üzere dir. (ii) olmak üzere dir. (iii) dir. (iv) Herhangi ν için ise dir. (v) ise dir. (vi) dir ( Atıcı and Eloe 2007a). İspat: (i) elde edilir. 4

14 (ii) (iii) (iv) Euler sonsuz çarpımından elde edilir. (v) Gamma fonksiyonunun log-convexity özelliklerinden bulunur. (vi) ispat tamamlanır. 5

15 Tanım 2.3: olmak üzere fonksiyonunun ν-inci kesirli toplamı şeklinde tanımlanır ( Miller and Ross 1989). Burada için fonksiyonu, için kesirli toplamı tanımlıdır. Tanım 2.4: olsun ve olduğunu varsayalım burada pozitif bir tamsayıdır. olmak üzere olarak tanımlanır (Miller and Ross 1989). Lemma 2.1: olsun ve in pozitif olmayan tamsayı olduğunu varsayalım. olur ( Atıcı and Eloe 2007a). Tanım 2.5: Reel sayıların keyfi, boştan farklı kapalı alt kümesine zaman skalası denir ( Bohner and Peterson 2001). Tanım 2.6: T zaman skalasında ileri sıçrama operatörü; şeklinde tanımlanır. Bu tanımda dir ( Bohner and Peterson 2001). 6

16 Tanım 2.7: T zaman skalasında geri sıçrama operatörü; şeklinde tanımlanır. Bu tanımda dir ( Bohner and Peterson 2001). Tanım 2.8: ve olsun. Konvolüsyon şeklinde tanımlanır. Burada ' dır (Atıcı and Eloe 2007a). Tanım 2.9: ve reel ya da kompleks sabitler olmak üzere hipergeometrik serisi yardımıyla 2 F 1 şeklinde tanımlanan fonksiyona hipergeometrik fonksiyon denir. Burada nin altındaki ve alt indisleri nin yapısında iki tip parametre bulunduğunu ifade eder ( Altın 2011). 7

17 3. KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ tamsayılardır. dir. operatörü iterasyonla tanımlanır. Burada birim operatör olarak tanımlanır ve bir negatif olmayan şeklindeki başlangıç değer probleminin çözümü fonksiyonudur. dir. için olur. için çok önemlidir. olduğunu varsayabiliriz. Bu gösterim alt limiti belirlemek Teorem 3.1: reel değerli bir fonksiyon ve olsun. olacak şekilde tüm ler için dir ( Atıcı and Eloe 2007a). 8

18 İspat: Kesirli toplamın tanımından 9

19 10

20 elde edilir. Lemma 3.1: olsun. Bu durumda dir ( Atıcı and Eloe 2007a). İspat: ve olsun. ve 11

21 eşitliklerini sağlarlar. İspatın sonraki adımında Teorem 3.1' in ve formüllerini kullanalım. İlk olarak i düşünelim. yi uygularsak olduğunu görürüz. (ii) yi uygularsak olduğunu görürüz. İkinci olarak yi düşünelim (iii) yi uygularsak olduğunu görürüz. Şimdi nin fark denklemini sağladığını gösterelim. (ii) yi kullanarak ve µ ekleyip çıkararak 12

22 yazılır. Sağ tarafın ilk terimini göz önüne alırsak 13

23 olur. Böylece; elde edilir. Şimdi ikinci terimi düşünelim. Kısmi toplamdan yazılır. e bölersek olduğunu hatırlayalım. Böylece her iki tarafın toplamını alıp 14

24 15

25 elde edilir. olduğundan yazılır. Buradan bulunur ve ispat tamamlanır. Kesirli farkın tanımı kesirli türevin tanımına benzerdir. fark denklemini göz önüne alalım. Bu denklemin kümesinde iki lineer bağımsız çözümü ve dir. Bu durumda olur. Böylece için sağlanır. Benzer şekilde için sağlanır. Şimdi kesirli lineer fark denklemlerinin çözümlerini araştıralım. 16

26 ile dönüşümü tanımlanır. tam sayıların zaman skalaları üzerinde Laplace dönüşümüdür. Yani Laplace dönüşümünün bilinen özellikleri Peterson 2002). dönüşümü için kullanılabilir ( Bohner and Lemma 3.2: Herhangi bir için dir ( Atıcı and Eloe 2007a). İspat: için, geometrik serilerle birlikte kolay bir hesaplama kullanılır. durumları Teorem 2.1 in (i) şıkkı ve kısmi toplam uygulanarak tümevarımla elde edilir. için olur. hipergeometrik bir fonksiyon olmak üzere 17

27 dir. Burada, beta fonksiyonudur. Böylece için ispatı tamamlanır. için Teorem 2.1 in (i) şıkkından ve kısmi toplamdan açıktır. (ii), (i)' ye benzer şekilde yapılır. Lemma 3.3: Herhangi bir için dir ( Bohner and Guseinov 2007). İspat: 18

28 olur. Bazı kesirli fark denklemlerini çözmeden önce tanıtalım. Lemma 3.3 ten dönüşümünün birkaç özelliğini daha yazılır. Lemma 3.4: fonksiyonu için tanımlı ve olsun. Bu durumda dır ( Atıcı and Eloe 2007b). İspat: pozitif bir tamsayı ise olur. için 19

29 elde ederiz ve ispat tamamlanır. Bu sonuçlar yüksek mertebeye kolayca genelleştirilebilir. ve olmak üzere, için tanımlı ve pozitif tamsayı olsun. Bu durumda olur. ÖRNEK 3.1: için problemini düşünelim. kümesinde tanımlı bir çözümünü araştırdık. Kabul edelim ki tanımlı ve sonlu olsun. için 20

30 olduğu biliniyor. Burada µ=,, 'dir. Denklemin her iki tarafına dönüşümü uygulanırsa elde edilir. olduğundan eşitliklerini elde ederiz. Bu eşitlikleri denklemde yerine yazarsak bulunur., olduğundan 21

31 elde edilir. ÖRNEK 3.2: için problemini düşünelim. de tanımlanan bir çözümü arayalım. Denklemin her iki tarafına dönüşümü uygulanırsa için olur. olduğundan 22

32 dir. olduğundan olur. Örnek 3.3: için problemini düşünelim. de tanımlanan çözümünü arayalım. Denklemin her iki tarafına R dönüşümü uygulayarak buluruz. basamak fonksiyonunu kullanarak, ilişkisini görebiliriz. Kesirli fark denkleminin çözümü için dir. 23

33 4. KESİRLİ BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde lineer olmayan kesirli başlangıç değer problemlerinin varlığı incelenerek örnekler verilecektir. inci mertebeden kesirli fark denklemleri tanımlanarak, yarımertebeden lineer başlangıç değer problemlerinin belirsiz katsayılar metodu ve dönüşüm metodu ile çözümleri incelenecektir. ve olsun. fonksiyonunun inci mertebeden kesirli toplamı şeklinde de tanımlanır ( Atıcı and Eloe 2009). Burada için fonksiyonu, için kesirli toplamı tanımlıdır. Teorem 4.1: Herhangi bir ν için aşağıdaki eşitlik sağlanır. Burada da tanımlıdır ( Atıcı and Eloe 2009). İspat: İlk olarak kısmi toplam formülünü hatırlayalım ( Kelley and Peterson 2001). 24

34 elde edilir. olduğundan ispat tamamlanır. Uyarı 4.1: (4.1) de ν yerine ν+1 yazarsak Teorem 3.1'den elde edilir. Buradan yazılır. Uyarı 4.2: olsun. Burada pozitif bir tamsayıdır. Bu durumda Teorem 4.1'den 25

35 yazılır. Böylece herhangi bir ν reel sayısı için yazılır. Teorem 4.2: ν herhangi bir reel sayı ve pozitif bir tamsayı olmak üzere dir. Burada, da tanımlıdır ( Atıcı and Eloe 2009). İspat: de yerine yazarsak bulunur. Benzer şekilde iterasyon tekrarlanarak ispat tamamlanır. 26

36 Uyarı 4.3: ' te ν yerine yazılır ve Teorem 3.1'den elde edilir. Teorem 4.3: pozitif bir tamsayı ve olsun. Bu durumda dir ( Atıcı and Eloe 2009). İspat: Kesirli toplamın tanımından dir. Buradan olduğundan olduğu görülür. Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafına fark operatörü uygulanırsa elde edilir. ν yerine yazılır ve uygulanırsa bulunur. ν yerine yazılır ve uygulanırsa ispatlanır. 27

37 Sabit katsayılı lineer fark denklemleri için sabit katsayılı adi lineer diferensiyel denklemler için role benzerdir ( Kelley and Peterson 2001). fonksiyon ailesinin oynadığı rol fonksiyon ailesinin oynadığı Miller ve Ross, sabit katsayılı lineer kesirli diferensiyel denklemlerle ilgili çalışmalarında fonksiyon ailesininde benzer rolü oynadığını ifade etmiştir ( Miller and Ross 1993). Şimdi fonksiyon ailesi için temel özellikleri inceleyelim. Burada ν herhangi bir reel sayı ve Г tanımlıdır. Dolayısıyla yazılır. Sonraki kısımda bu notasyona bağlı gösterimler kullanılacaktır. Teorem 4.3: Kabul edelim ki faktöriyel fonksiyonu aşağıdaki özelliklerle taanımlıdır. burada, ileri fark operatörünü gösterir. için burada, 28

38 İspat: olsun. Bu durumda (4.2)'den olur. Dolayısıyla elde edilir. olmak üzere (4.1) den ve dir. Böylece ifadesinden açıktır. olmak üzere (4.3) ve (4.4) den dir. Sırasıyla kesirli fark operatörünün tanımı Teorem 4.1 ve uygulanırsa elde edilir. Teorem (4.1) in sonucudur. 29

39 Kesirli toplam ve fark operatörlerinin lineerlik özelliğinin sonucudur. Şimdi lineer olmayan kesirli fark denklemleri ve çözümlerinin varlık ve tekliğini inceleyelim. lineer olmayan kesirli fark denklemini göz önüne alalım Burada, reel değerli bir fonksiyon ve bir reel sayıdır. çözümü varsa üzerinde tanımlıdır. nın her iki tarafına operatörü uygulanırsa elde edilir. in sağ tarafına Teorem 4.1 uygulanırsa olur. Böylece için elde edilir. ifadesi başlangıç değer probleminin çözümünün tekliğini gösterir. Sabit katsayılı ayrık kesirli denklem çözümlerine aşağıdaki örnekleri verebiliriz. Örnek 4.1: 30

40 başlangıç değer problemini gözönüne alalım. tanımlıdır. Böylece olduğundan dir. Ayrıca çözüm de başlangıç değer problemi başlangıç değer problemine denktir. dan başlangıç değer probleminin çözümü şeklinde ifade edilir. olsun. Kuvvet kuralından olduğu görülür. Ardışık yaklaşımlar metodu yardımıyla bulunur. 31

41 için limit alınırsa elde edilir. Örnek 4.2: sabit katsayılı yarı mertebeden fark denklemini göz önüne alalım. Çözüm için belirsiz katsayılar metodunu kullanalım. Kabul edelim ki denklem şeklinde bir çözüme sahip olsun. Burada de tanımlıdır. Böylece elde edilir. eşitliği Teorem 4.1, kuvvet kuralı ve kesirli fark tanımı yardımıyla aşağıdaki şekilde gösterilir. 32

42 . Şimdi e tekrar dönelim olur. ve olsun. Bu durumda denklemi şeklinde yazılır. Eğer denkleminin kökü ise için ayrık kesirli denklemin çözümüdür. 33

43 başlangıç değer problemi R dönüşüm metodu ile çözülebilir. Böylece yarı lineer fark denklemleri için üçüncü bir çözüm metodu verilmiş olur. R dönüşümünün tanımı ve bazı özellikleri 3. bölümde verilmiştir. Şimdi aşağıdaki Lemmayı ifade edelim ve Örnek 4.2 deki denklemi R dönüşüm metodu ile çözelim. Lemma 4.1: herhangi bir reel sayı olsun. Bu durumda dir ( Atıcı and Eloe 2009). Örnek 4.3: denkleminin her iki tarafına dönüşümü uygulayalım. Burada herhangi bir pozitif olmayan reel sayıdır. Bu durumda Lemma 3.4 den yazılır. Buradan elde edilir. ve olsun. Bu durumda 34

44 olur. ün her iki tarafına Lemma 4.1 uygulanırsa elde edilir. denklemini sağlar. Böylece ve alınırsa çözüm karakteristik denkleminin kökleridir. Örnek (4.2) yi elde ederiz. şeklinde yazılır. 35

45 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu tezde kesirli fark denklemlerinin bir ailesi çözümleri dönüşüm yöntemi yardımıyla elde edilmiştir. Bu ayrık dönüşüm tamsayıların zaman skalasında Laplace dönüşümü olarak düşünülebilir. Ayrıca kesirli başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlığı incelenerek örnekler verilmiştir. Bu örnekler lineer olmayan kesirli başlangıç değer problemleridir. 36

46 6. KAYNAKLAR Altın, A. (2011). Uygulamalı Matematik, Gazi Kitap, Ankara. Atici, F. M. and Eloe, P. W. (2007a). A transform method in discrete fractional calculus. International Journal of Difference Equations, 2: Atici, F. M. and Eloe, P. W. (2007b). Fractional q-calculus on a time scale, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 3: Atici, F. M. and Eloe, P. W. (2009). Initial value problems in discrete fractional calculus. Proceedings of the American Mathmatical Society, 3: Bohner, M. and Peterson, A. (2001). Dynamic equations on time scales, An introduction with applications. Birkhäuser Boston,Inc., Boston, MA. Bohner, M. and Peterson, A. (2002). Laplace transform and Z-transform: Unification and extension, Methods and Applications of Analysis, 9: Bohner, M. and Guseinov, G. (2007). The convolution on time scales, Abstract and Applied Analysis, Art. ID 58373, 24. Kelley, W. G. and Peterson, A. C. (2001). Difference Equations: An Introduction with Applications, Harcourt/Academic Press, San Diego. Miller, K. S. and Ross, B. (1989). Fractional Difference Calculus, In Univalent functions, Fractional Calculus and Their Applications, Ellis Horwood Series in Mathematics and its applications. Horwood, Chichester, Miller, K. S. and Ross, B. (1988). Fractional Difference Calculus, Proceedings of the International Symposium on Univalent Functions, Fractional Calculus and Their Applications. Nihon University, Koriyama, Japan, Ellis Horwood Series in Mathematics and its applications. Horwood, Chichester, Miller, K. S. and Ross, B. (1993). An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons Inc. NewYork. 37

47 ÖZGEÇMİŞ Kimlik Bilgileri Adı-Soyadı : Münevvere Mine KARAKAYA Doğum Tarihi : Doğum Yeri : AFYONKARAHİSAR Eğitim Bilgileri Lise Lisans : Afyon Kocatepe Anadolu Lisesi : Afyon Kocatepe Üniversitesi Matematik Bölümü ( ) Pedagojik Formasyon : Eskişehir Osmangazi Üniversitesi ( ) Yüksek Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi (2013-) Yüksek Lisans Ana Bilim Dalı : Matematik Yüksek Lisans Bilim Dalı : Uygulamalı Matematik İletişim Bilgileri Mail: mine.zumruttas@gmail.com 38