Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU

Transkript

1 Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi / 50

2 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı Kontrol Sistemlerinin Temel Elemanları Ayrık Zamanlı sistemler, Örneklenmiş Veri Sistemleri, Sayısal Sistemler Z dönüşümü Kutup ve Sıfır Kavramları Ayrık Zamanlı Dinamik Sistemlerin Zaman Cevapları Sürekli Zaman- Ayrık Zamanlı Sistemler Arası İlişkiler Ters Z dönüşümü Yöntemleri 2 / 50

3 Sürekli ve Ayrık Kontrol Geri beslemeli kontrol sistemleri çıkış ölçüm bilgisi ile sistemin girişinin modifiye edilmesi konusu ile ilgilenir. Kontrolör bu yapı içersinde çıkış bilgisini alıp değerlendiren ve sistemin girişine uygulayan bloğu oluşturur. Kontrol sistem tasarımı problemi, kontrolör adı verilen bloğu kapalı çevrim sistemi belli bir performansı sağlayacak şekilde tasarlamakla ilgilidir. (Sürekli ve Ayrık) Kapalı çevrim Kontrol Sistemlerinin Kullanım Amaçları: Referans Takibi (Servo Problem) Bozucu Bastırma Problemi Parametre duyarlılığını azaltmak 3 / 50

4 Ayrık Zamanlı Kontrol Sisteminin Genel Yapısı Burada: A/D : bipolar (±5V ), unipolar (0 10V ) Genel çözünürlükler: 8 bit (256 kademe), 12 bit (4096 kademe) 4 / 50

5 Örnek 12 bitlik, ±10V aralığında çalışan bir A/D dönüştürücünün ölçüm hassasiyeti? Cevap q= 20V = 4.88mV 4096 Dikkat edilirse 0 < 4.88mV arasındaki gerilim değişimleri algılanamamaktadır. Bu olaya Quantization (Nicemleme) adı verilir ve doğrusal olmayan bir gürültü meydana getirir. D/A Dönüştürücü Tam sayıyı reel değerli bir gerilime çevirir. Sıfırıncı mertebeden bir tutucudur (İleride göreceğiz) ve A/D dönüştürücü gibi çözünürlüğü vardır. 5 / 50

6 Örnekleme 6 / 50

7 Ayrık Zamanlı Sistem, Örneklenmiş Veri Sistemleri, Sayısal Sistem Nedir? Ayrık Zamanlı Sistem Belli T anlarında anlık alınan veriler ayrık bir dizi oluşturur. Sadece ayrık verilerin bulunduğu sistemlere Ayrık Zamanlı Sistem adı verilir. Örneklenmiş Veri Sistemleri İçinde hem sürekli zaman, hem de ayrık zamanlı işaret barındıran sistemler Sayısal Sistem Örneklenmiş Veri Sistemlerinde quantalama işlemi de yer alıyorsa, bu tür sistemlere Sayısal Sistem adı verilir. 7 / 50

8 T ve q çok çok küçükse... Ayrık Zamanlı İşaretler (Sayısal İşaretler) Sürekli Zaman İşaretlere dönüşür. Bu durumda sürekli zaman yöntemler sayısal yöntemler yerine kullanılabilir. 8 / 50

9 Doğrusal Ayrık Zamanlı Sistemler ve Z Dönüşümü Ayrık sistemlerin en can alıcı parçası zamanın ayrıklaştırılmasıdır. Artık elimizdeki işaretler zamanın fonksiyonu değildir. Elimizde ayrık sayılar mevcuttur. Bu ayrık sayılar örneklemeden dolayı oluşmuş olabilir ya da bir bilgisayar vasıtası ile üretiliyor olabilir. Her iki durumda da sürekli zaman işaretler için kullanılan yöntemler kullanılamaz. Başka Yöntemlere İhtiyacımız Var!!! Z-Dönüşümü S-dönüşümünün sürekli işaretlere yaptığını, Z-dönüşümü ayrık işaretlere yapar. 9 / 50

10 Doğrusal Fark Denklemleri Fiziksel sistemler sürekli zaman diferansiyel denklemler le modellenirler. Sistemin mertebesi, diferansiyel denklemin derecesi ile belirlenir. Ayrık zamanlı sistemler ise fark denklemleri ile ifade edilebilirler. Ayrık bir Kontrolör: T sabit olduğundan, bu ders boyunca x(kt ) yerine x(k) ya da xk notasyonu kullanılacaktır. 10 / 50

11 Kullanılan tüm sistemlerin ve alt sistemlerin nedensel olduğu varsayılırsa uk işareti mevcut ve geçmiş zamanlardaki giriş ve çıkış işaretlerinin fonksiyonu olacaktır: Giriş-Çıkış İşaretleri Girişlerin zaman dizisi: e0, e1, e2,..., ek Çıkışların zaman dizisi: u0, u1, u2,..., uk uk = f (e0, e1, e2,..., ek ; u0, u1, u2,..., uk 1 ) f fonksiyonu doğrusal(lineer) ise uk = a1 uk 1 + a2 uk an uk n + b1 ek bm ek m 11 / 50

12 Örnek (Fibonacci Dizisi) uk = kk 1 + uk 2, k indisi / 50 (u0 = 1, u1 = 1) uk

13 Fark Denklemlerinin Çözümü... Gözlem Başlangıç değerleri ve dizilim kuralı verildiğinde, çözüm herhangi bir k için adım adım bulunabilir. Ancak bu yöntem, doğrudan k ıncı andaki çözümü bulmak için uygun değildir. Doğrusal Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Çözümün genel olarak s C olacak şekilde u(t) = Ae st yapısında olduğu kabul edilir. Bu ifade DD de yerine yazılır. Çözüm s için bir değer üretir (Genel Çözüm). A katsayısını bulmak için ise başlangıç koşullarından istifade edilir (Özel Çözüm). Örnek x = 5x, x(0) = 1 = x(t) = ae st = ase st = 5ae st = s = 5 = x(t) = ae 5t = a = 1 13 / 50

14 Fark Denklemlerinin Çözümü... Benzer yaklaşım : u(k) = Az k çözümü denenir. Fibonacci örneğimize geri dönecek olursak: Az k = Az k 1 + Az k 2 1 = z 1 + z 2 z 2 z 1 = 0 Karakteristik Denklem z1 = z2 = Bu durumda genel çözüm: u(k) = A1 z1k + A2 z2k A1,2 başlangıç koşullarından kolaylıkla çözülür. 14 / 50

15 Fark Denklemlerinin Çözümü... Gözlem k, z1 modu ile ilintili çözüm sönerken, z2 ile ilintili çözüm genlikçe büyüyecektir. Karakteristik denklemin herhangi bir kökü z > 1 ise, o çözüm k kararsız bir cevap oluşturacak şekilde büyüyecektir. Kararlılık Ayrık zamanlı bir sisteme ait karakteristik denklemin herhangi bir kökü genlikçe > 1 ise (Z düzleminde birim çemberin dışında ise) bu türden sistemlere KARARSIZ sistemler denir. 15 / 50

16 Örnek Sürekli zaman işareti e(t) nin sayısal entegrasyonunu elde etmeye çalışalım. Yani Z t I= e(τ )dτ 0 integralini sadece e0, e1,..., ek 1, ek ölçümlerinden elde etmeye çalışalım: 16 / 50

17 tk tk 1 (ek + ek 1 ) 2 zaman aralıklarının sabit olduğunu düşünürsek A' T = tk tk 1 Bu durumda uk = uk / 50 T (ek + ek 1 ) 2

18 Z Dönüşümü Tanım e0, e1,..., ek,... düzeninde devam eden {e(k)} veya {ek } gibi bir ayrık değişken verildiğinde bu dizinin z dönüşümü E (z) = Z{ek } = X ek z k, z C k=0 şeklinde tanımlanır. Z dönüşümü, ayrık zaman sistemlerde, sürekli zaman sistemlerde Laplace dönüşümünün üstlendiği rolü üstlenir. Burada tanımlanan dönüşüm tek taraflı Z -dönüşümü olarak adlandırılır. 18 / 50

19 Ayrık Transfer Fonksiyonu Sürekli Zaman sistemlerde olduğu gibi Ayrık Zamanlı Sistemler de transfer fonksiyonları ile ifade edilirler. Ayrık İntegrasyon Sistemine geri dönelim: T uk = uk 1 + (ek + ek 1 ) 2 Her iki tarafın Z-dönüşümü alınırsa:! X X X T X k k k k uk z = uk 1 z + ek z + ek 1 z 2 k=0 k=0 k=0 k=0 X X X T = z 1 uj z j + ek z k + z 1 ej z j 2 j= 1 j= 1 k=0 X X X T ek z k + z 1 ej z j = z 1 uj z j / 50 j=0 k=0 j=0

20 Ayrık Transfer Fonksiyonu... T (E (z) + z 1 E (z)) 2 Burada e işareti girişi, u işareti ise çıkışı ifade etmektedir. Transfer fonksiyonu ise: U(z) T z +1 T 1 + z 1 = = E (z) 2 z z 1 U(z) = z 1 U(z) + şeklinde elde edilir. 2 farklı formda yazılabilir. Her iki formunda ayrı ayrı elverişli olduğu durumlar söz konusudur. 20 / 50

21 Genel Form Genel olarak H(z) transfer fonksiyonu H(z) = U(z) b0 + b1 z 1 + b2 z 2 + bm z m b(z) = = E (z) 1 a1 z 1 a2 z 2 + an z n a(z) şeklindedir. Not Negatif üsteller şeklinde gösterimde paydanın ilk elemanının 1 olması oldukça önemlidir (Göreceğiz). z değişkeni kompleks bir sayı olduğundan H(z) de kompleks bir sayıdır. Bu nedenle H(z) için kutup ve sıfır tanımlamalarını yapabiliriz. 21 / 50

22 Kutup ve Sıfırlar Kutup a(z) = 0 polinom eşitliğini sağlayan z düzlemi noktaları Sıfır b(z) = 0 polinom eşitliğini sağlayan z düzlemi noktaları Not Kutup ve Sıfırların bulunmasında a(z) ve b(z) polinomlarının pozitif üsteller cinsinden gösterimi kullanımı kolaylık sağlar. 22 / 50

23 Birim Geciktirici b1 = 1 ve diğer tüm katsayılar sıfır yapılırsa H(z) = U(z) = z 1 E (z) olarak elde edilir. Yani U(z) = z 1 E (z) Zaman tanım bölgesinde bu eşitliğin eşdeğeri uk = ek 1 şeklindedir. z 1 ifadeleri istenilen sayıda arka arkaya kullanılarak istenilen miktarda gecikme elde edilebilir. 23 / 50

24 Ayrık Zamanlı Sistemlerin blok diyagram Gösterimi Gecikme, Çarpma, Toplama elemanları içeren bir doğrusal ayrık zamanlı fark denklemi blok diyagram (işaret akışı) olarak gösterilebilir: Örnek Trapezoid tipi entegrasyon işlemi uk = uk 1 + blok diyagram gösterimi: 24 / 50 T (ek + ek 1 ) 2

25 Transfer Fonksiyonlarından Fark Denklemlerine Dönüşüm U(z) b0 + b1 z 1 + b2 z 2 + bm z m b(z) = = 1 2 n E (z) 1 a1 z a2 z + an z a(z) Çapraz çarpım yapılırsa: H(z) = U(z) a1 z 1 U(z) a2 z 2 U(z) an z n U(z) = b0 E (z) + b1 z 1 E (z) + b2 z 2 E (z) + + bm z m E (z) uk a1 uk 1 a2 uk 2 an uk n b0 ek + b1 ek 1 + b2 ek bm ek m uk = a1 uk 1 + a2 uk an uk n + b0 ek + b1 ek 1 + b2 ek bm ek m 25 / 50

26 Ayrık Zamanlı Sistemlerin Dinamik Cevapları Bu bölüm z-düzlemi kutup ve sıfırlarının sistem yanıtlarını nasıl etkilediği araştırılacaktır. Kutupların kararlılık üzerindeki etkilerini görmüştük. (Kutuplar birim çemberin içinde sistem kararlı) Sistem yanıtı için akla gelen ilk yöntem 1. Sistemin transfer fonksiyonu H(z) hesaplanır. 2. Sistem giriş işaretinin Z dönüşümü hesaplanır, E (z) 3. U(z) = H(z)E (z) ile çıkış işaretinin z-dönüşümü bulunur. 4. u(k) = Z 1 {U(z)} Not İyi bir yöntem değil. Özellikle ters Z-dönüşümü almak problem 26 / 50

27 3 temel fonksiyon... Birim Basamak Fonksiyon İşaret matematiksel olarak ( 1 k 0 e1 (k) = 0 k<0 E1 (z) = X k=0 27 / 50 1z k = X k=0 1(z 1 )k = 1 z = 1 1 z z 1

28 Üstel İşaret e2 (k) = r k k 0, r R E2 (z) = X k=0 28 / 50 r k z k = X k=0 rz 1 k = 1 z = 1 1 rz z r

29 Üstel İşaret 29 / 50

30 Sönümlü Sinüsoid k e3 (k) = r cos(kθ), k 0 e3 (k) = r k e jkθ + e jkθ e3 (k) = r k e jkθ + r k e jkθ 2 2 r k e jkθ nın Z-dönüşümü E4 (z) = X k=0 r k e jkθ z k = X k=0 re jθ z 1 k = 1 z = jθ 1 1 re z z re jθ Bu fonksiyon r > 1 ise büyür (ıraksar), aksi durumlarda söner (yakınsar). 30 / 50

31 Sönümlü Sinüsoid... r k e jkθ nın Z-dönüşümü E5 (z) = 1 z = jθ 1 1 re z z re jθ E3 (z) = (E4 (z) + E5 (z)) = re jθ z 1 1 re jθ z 1 1 z z z(z r cos θ) E3 (z) = + = 2 jθ jθ 2 z re z 2r cos θz + r 2 z re İşaretin kutupları kompleks ve eşlenik pozisyondadır: p1,2 = re ±jθ = r cos θ ± jr sin θ 31 / 50

32 Örnek r = 0.7, θ = 45 = e(k) = r k cos kθ, π 4 e(0) = 1 sönümlü üstel işaretinin kutup sıfır yerleşimi ile işaretin evrimini inceleyelim: So nu mlu s inu s oid e(k ) k 32 /

33 33 / 50

34 Gözlemler: 1. r > 1 ise cevap ıraksak, r < 1 ise yakınsak, r = 1 ise sönümsüz bir cevap izlenir. 2. Sönümlü sinüsoidin osilasyon hızı (örnek sayısı / çevrim) θ açısı ile belirlenir. Bunu bir örnek ile açıklayalım e(k) = cos kθ olsun. N işaretin periyodu ise e(k) = e(k + N) = cos kθ = cos(k + N)θ = 2π, N Z θ Yani θ büyüdükçe N azalacağı için cevap hızlanır. Nθ = 2π = N = 34 / 50

35 Sürekli Zaman İşaretlerle Ayrık Zamanlı İşaretlerin İlişkileri y (t) = e at cos bt işaretini T ve katları anlarda örneklersek bir yk dizisi üretiriz. y (t) = Y (s) = s +a (s + a)2 + b 2 Sürekli zaman işaretin kutupları: s1,2 = a ± jb. Diğer taraftan yk = y (kt ) = e akt cos bkt Hatırlatma r k cos(kθ) nın kutupları z1,2 = re ±jθ 35 / 50

36 Sürekli Zaman İşaretlerle Ayrık Zamanlı İşaretlerin İlişkileri, z = e st dönüşümü yk nın kutupları: z1,2 = e at e ±jbt = e a+±jb T = e s1,2 T Teorem s sürekli zaman işaretin bir kutbu ise z = e st aynı işaretin T sabit sürelerinde örneklenmiş versiyonunun bit kutbudur. Önemli Not Bu durum sadece kutuplar için geçerlidir. Sıfırlar için geçerli değildir. Bu sonuç kontrol tasarımında önemli kolaylıklar sağlar. 36 / 50

37 s düzleminden z düzlemine / 50

38 s düzleminden z düzlemine... Gözlemler z =1 s=0 s R ve s = 0 7 s = e jωt. z = 1 7 z = 0 s = jω 7 z = s sabit bir sönüm oranına sahipse (siyah noktalı çizgi), z logaritmik bir spiral çizer. Eşleşmelerin hiçbiri tek değildir. Zira: (Birim çember) s2 = s1 + j 2π T noktasını ele alalım. z2 = e s2 T = e s1 T.e 2π = e s1 T = z1 38 / 50

39 s düzleminden z düzlemine... 2 farklı kutup (2 farklı frekanslı işaret) z düzleminde aynı noktaya izdüşerler. Bu olaya aliasing (örtüşme) adı verilir. (Örnek: Hızlı dönen bir araba tekerinin çok yavaş hatta tersine dönüyormuş hissi uyandırması...) s düzleminde s = 0 noktasından başlanarak jω ekseni boyunca π hareket edilirse s = j Tπ noktası z = e j T T = 1 noktasına tekabül eder. frekans daha da arttırılırsa çember saatin aksi yönünde dönmeye devam etmez. Farklı bir katmana geçilir.(z düzlemi Riemann Yüzeyidir) s = j Tπ yatay çizgisi sınırdır ve j Tπ ile s = j Tπ arasındaki bölgeye primer şerit adı verilir. 39 / 50

40 Z-dönüşümünün Özellikleri 1. Z dönüşümü lineer(doğrusal) bir dönüşümdür: Z{a1 y1 (k) + a2 y2 (k)} = a1 Y1 (z) + b1 Y2 (z) 2. Zamanda Öteleme: Z{f (k + n)} = z n F (z) 3. Son değer Teoremi: (Ayrık Zamanlı İşaretin DC ifadesi) (Kararlı bir sistem için geçerlidir) lim f (k) = (z 1) F (z) z=1 k 40 / 50

41 Kararlı bir Transfer Fonksiyonunun DC Kazancı H(z) = Y (z) U(z) verilmiş olsun. Bu sistemin girişine genliği u olan bir basamak fonksiyonu uygulansın. Çıkış: Y (z) = H(z)U(z) = H(z) u z z 1 Son değer teoremi gereğince y = lim y (k) = (z 1) Y (z) z=1 k 41 / 50 u z = (z 1)H(z) = u H(1) z 1 z=1 y = H(1) u

42 Ters Z dönüşümü Yöntemlerin tamamında aynı örneği kullanacağız: Örnek G (s) = 2 s +2 sistemini ele alalım. Sistemin zaman sabiti G (s) = 1 1 s+1 2 ifadesinden τ = 0.5sn olarak hesaplanır. Bu sistemi mevcut üst kesim frekansının 5 katı ile hızla örnekleyelim T = 0.1sn Bu durumda s = 2 noktasındaki kutup z = e = noktasında yansıma yapacaktır. Sistemin DC kazancının 1 olması için (son değer teoreminden) G (z) = şeklinde seçilmelidir. 42 / z

43 Ters Z dönüşümü... Bu sistemin girişine U(z) = uygulanırsa z z 1 şeklinde birim basamak işaret z z = 2 z z 1 z z z 1 = z z 2 Y (z) = H(z)U(z) = Soru: y (k) =? Cevap Ters Z dönüşümü 43 / 50

44 Ters Z dönüşümü Yöntemleri Uzun Bölme F (z) = b(z 1 ) a(z 1 ) verilmiş olsun. f (k) yı bulabilmek için b, a ya bölünür. Bölüm z 1 li terimlerin polinomudur. z 1 li terimlerin katsayıları f (k) dizisini oluşturur. Zahmetli ve yavaş bir yöntemdir. Bu nedenle kullanılmayacaktır. 44 / 50

45 Ters Z dönüşümü Yöntemleri Fark Denklemleri Ayrık Transfer fonksiyonu fark denklemleri halinde yazılır ve belli bir giriş dizisi için denklemler çözülür. Örnek G (z) = z = Y (z) U(z) transfer fonksiyonunu ele alalım: Y (z) z 1 Y (z) = z 1 U(z) yk yk 1 = uk 1 yk = yk uk 1 45 / 50

46 Örnek... Not Bu yöntem bilgisayarla hesaplamaya uygun bir yöntem olup, elle hesaplamaya uygun değildir. Örneğin y (1540) =? 46 / 50

47 Ters Z dönüşümü Yöntemleri Z dönüşümü tablosu kullanmak İfade basit kesirlere ayrıştırılır ve ters Z dönüşümü tablosu ile zaman tanım bölgesine geçilir. Çoğu zaman kısmi kesirlere ayrıştırma problemli olabilmektedir: Örnek z = z (z )(z 1) z z = = (z 1 ) (z 1 ) z 1 z z 1 z Y (z) = z2 = 47 / 50 y (k) = 1(k 1) k

48 Z dönüşümü Tablosu 48 / 50

49 Ters Z dönüşümü Yöntemleri MATLAB BENZETİMİ En kullanışlı yöntemdir. Verilen bir Y (z) ifadesinden y (k) dizisini bulmak için izlenebilecek iki yöntemden bir tanesi verilen giriş için çıkışı benzetimle bulmak; bir diğeri ise sembolik araç kutusunu kullanmaktır. Örnek H(z) = z şeklinde verilmiş olsun. Bu sistemin birim basamak cevabı aşağıdaki komutlar vasıtası ile kolayca hesaplanır: u = num den y = ones(size(0:10)); = [ ]; = [ ]; dlsim(num,den,u) 49 / 50

50 Ters Z dönüşümü Yöntemleri Basamak cevabını bulmak için ayrıca y = dstep(num,den); komutu da kullanılabilir. Bir transfer fonksiyonunun DC kazancı K = ddcgain(num, den) komutu ile bulunabilir. 50 / 50

51 Ters Z dönüşümü Yöntemleri, MATLAB Symbolic Toolbox Z dönüşümü verilmiş bir işaretin ters Z dönüşümü sembolik cebir araç kutusu ile şu şekilde belirlenebilir: Örnek z E (z) = z 2 3z+2 işaretinin ters Z dönüşümünü MATLAB Symbolic Toolbox ile bulmaya çalışalım: z=sym( z ); % sembolik degisken tanimlamasi E=z/(z^2-3*z+2); % fonksiyon iztrans(e) %Ters Z-donusumunun alinmasi Bu komutların icrasını takiben 2^n-1 şeklinde sonuç elde edilir. 51 / 50