yis ralamalar Hissetmek

Transkript

1 Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü koyun da Son koyun d fl nda (e er varsa öyle bir koyun!), her koyundan hemen sonra gelen ilk koyun olmal. Dahas, sürü öyle s ralanmal, yani koyunlar öyle numaralanmal ki, her altsürüde numaras en küçük bir koyun olsun flte bu son özelli i sa layan s ralamalara iyis ralama denir. Sonlu bir sürüyü iyis ralamak marifet say lmaz, bunu mühendisler bile yapar. Az sonsuz (örne in do al say lar kadar sonsuz olan) sürüleri iyis ralamak da marifet say lmaz. Marifet, çok sonsuz (örne in gerçel say lar kadar olan) sürüleri iyis ralamakta. Bu ve bundan sonraki say lar n kapak konular n n ana sorular ndan biri de iflte bu: Bir sürü ne kadar büyük olursa olsun iyis ralanabilir mi? Küçükbafllardan muaf a rbafll matematiksel tan m birazdan verece iz. Önce bir teorem: Teorem 1. N nin bofl olmayan her altkümesinin bir en küçük eleman vard r Siyah noktalar in elemanlar d r. = {2, 3, 5, 7, 9, 10, }. Bu örnekte, 2, in en küçük eleman d r. N Kan t: N, en küçük eleman olmayan bir küme olsun. in boflküme oldu unu kan tlayaca- z. Önce n üzerine tümevar mla flu A n önermesini kan tlayal m: A n : n den küçük hiçbir do al say te de ildir. Bu önermeyi daha matematiksel olarak flöyle yazabiliriz: A n : m ((m N m < n) m ). A 0 önermesi do rudur, çünkü ( te olsun ya da olmas n) 0 dan küçük bir do al say yoktur, dolay - s yla te 0 dan küçük bir do al say olamaz. Bu ilk aflamay baflar yla geçtikten sonra önermenin n için do ru oldu unu varsay p n + 1 için do ru oldu unu kan tlayal m, yani A n yi varsay p A n+1 i kan tlayal m. Demek ki te n den küçük bir do al say olmad n varsay p te n + 1 den de küçük bir do al say olmad n kan tlayaca z. E er bu yanl fl olsayd, yani te n den küçük olmayan ama n + 1 den küçük olan bir do al say olsayd, o zaman bu say ancak n olabilirdi ve o zaman da n, in en küçük say s olurdu, ki varsay ma göre te en küçük eleman yok. Demek ki A n önermesi do ruysa A n+1 önermesi de do rudur. Böylece her n için A n nin do ru oldu unu kan tlam fl olduk. fiimdi, e er boflküme olmasayd, diyelim m olsayd, o zaman A m+1 yanl fl olurdu. Bu bir çeliflkidir. Demek ki boflkümedir. yis ralama. (N, <) s ralamas nda oldu u gibi, bofl olmayan her altkümesinin en küçük eleman oldu u s ralamalara iyis ralama denir. Matematiksel tan m afla da. bir küme olsun. Ayr ca in üstünde < simgesiyle gösterece imiz bir s ralama olsun. Yani < ikili iliflkisinin flu iki özelli i olsun: S1. Hiçbir x için x < x olamaz. S2. Her x, y, z için, e er x < y ve y < z ise, x < z dir. Baz s ralamalar n flu özelli i vard r: S. Her A altkümesi için, öyle bir a A vard r ki her x A için a x. Yukardaki özellik, in bofl olmayan her altkümesinin bir en küçük eleman oldu unu söylüyor., iyis ral bir küme Y, in bofl olmayan herhangi bir altkümesi Y nin en küçük eleman S özelli ini sa layan (, <) s ralamalar na iyis - ralama denir. de < s ralamas yla iyis ralanm flt r. Tan mdan hemen anlafl laca üzere, bir iyis - ralaman n her altkümesi de bir iyis ralamad r, yani (, <) bir iyis ralamaysa ve Y ise, (Y, <) de bir 36

2 mkâns z U rafl Okur, konunun zevkine daha çok varmak için do al say lar kümesinin altkümelerinin kümesi olan (N) nin bir iyis ralamas n bulmaya çal flmal d r. En az yar m saat kadar. En fazla da bir saat Bir saati aflmas n çünkü - önceden söyleyelim - baflaramayacakt r. (N) nin bir iyis ralamas bulunamaz ama vard r. (N) nin iyis ralanabilce ini (iyis ralamay bulamadan) bir sonraki say da yeni bir belit (aksiyom) yard - m yla kan tlayaca z. iyis ralamad r; sonuçta, Y nin her altkümesi in de bir altkümesidir. yis ral kümeler tams ral d r, yani iyis ral bir kümenin herhangi iki eleman karfl laflt r labilir. Nitekim, e er x ve y iyis ral bir kümenin iki eleman ysa ve S özelli inde A = {x, y} al rsak, x ve y den birinin di erinden küçükeflit oldu unu görürüz. a 5 x 3 2 π s Sonlu bir iyis ralama: a 5 x 3 2 π s Sonlu her tams ralama iyis ralama olmak zorundad r elbette. Do al say lar kümesi N nin do al s ralamas yla birlikte bir iyis ralama oldu unu yukardaki teoremde gördük. Do al s ralamayla iyis - ralanm fl bir küme olarak görüldü ünde N yerine (omega, Yunan alfabesinin son harfi) yazmak bir gelenektir; biz de bundan böyle N yerine yazaca- z. Bu yaz da iyis ralamalar biraz olsun anlamaya çal flaca z. (, <) herhangi bir iyis ralama olsun. E er = ise söylenecek fazla bir fley yok, boflküme hakk nda ne söylenebilirse, bu iyis ralama hakk nda da o söylenebilir. E er ise, o zaman S özelli inde A = alarak, in bir en küçük eleman oldu unu görürüz. in bu en küçük eleman na diyelim. (Demek ki bofl olmayan her iyi s ralaman n bir en küçük eleman vard r.) (, <) iyis ralamas ve in en küçük eleman fiimdi \ { } kümesine bakal m. E er bu küme boflsa, o zaman sadece eleman ndan oluflmufltur ve gene söyleyecek fazla bir fley olamaz. E er \ { } kümesi bofl de ilse, o zaman S özelli inde A = \ { } alal m ve bu kümenin en küçük eleman na x 1 diyelim. x 1, dan sonra gelen ilk elemand r. x 1 (, <) iyis ralamas ve in en küçük iki eleman ve x 1 E er = {, x 1 } ise, iyis ralamas için tek söyleyebilece imiz fley, n x 1 den küçük oldu udur. Diyelim sadece bu iki elemandan ibaret de- il. O zaman \ {, x 1 } kümesi bofl olmad ndan, S özelli ine göre bu kümenin bir en küçük eleman vard r. Bu elemana x 2 diyelim. x 2, x 1 den sonra gelen ilk elemand r. x 1 x 2 (, <) iyis ralamas ve in en küçük üç eleman, x 1 ve x 2 Bunu böylece sürdürebiliriz. n-inci aflamada, in en küçük ilk n eleman n bulduk diyelim. Bu elemanlara (s ras yla!), x 1, x 2,, x n 1 diyelim. x 1 x 2 x n 1 fiimdi, n = {, x 1, x 2,, x n 1 } tan m n yapal m. Demek ki 0 =, 1 = { } 2 = {, x 1 } 3 = {, x 1, x 2 } vb. 3 x 1 x 2 x n 1 E er n ise, yani \ n ise, o zaman S özelli ine göre \ n kümesinin bir en küçük eleman vard r. Bu elemana x n diyelim. x n, x n 1 den sonra gelen ilk elemand r. in tüm elemanlar n bu yöntemle sonlu bir zaman sonra tüketirsek, yani belli bir n do al say - s için, = n = {, x 1, x 2,, x n 1 } ise, o zaman sonlu bir kümedir (tam n eleman vard r) ve s ralamas do al s ralanm fl {0, 1,, 2, n 1} kümesinden pek farkl de ildir. Do al s ralanm fl {0, 1,, 2, n 1} kümesinin n olarak simgelenmesi okuru flafl rt yorsa, flafl rtmas n: n = {0, 1,, 2, n 1} n 37

3 ve 0 < 1 <. < n 1. in sonlu tane, diyelim n tane eleman varsa, yukarda da dedi imiz gibi, iyis ralamas aynen n iyis ralanmas na benzer, elemanlar n adlar ndan baflka aralar nda bir fark yoktur. Daha matematiksel deyiflle n den e giden ve s ralamay koruyan (yani sürekli artan) bir efllemesi vard r. Bu efllemesi i say s n x i eleman na götürür, yani her i < n için, (i) = x i dir. (Burada x i, in i-inci eleman d r.) n 1 x 1 x 2 x n 1 E er in n eleman varsa, n S ralamay bozmayan fonksiyonlara eflyap fonksiyonu ya da s ralama morfizmas ad verilir; tatil günlerinde k saca morfizma dendi i de olur. Matematiksel tan m flöyle: (, <) ve (Y, <) birer iyis ralama olsunlar ve : Y fonksiyonu, her x 1, x 2 için, x 1 < x 2 (x 1 ) < (x 2 ) özelli ini sa las n. O zaman ye s ralama morfizmas ad verilir. Okullarda s ralama morfizmas daha çok artan fonksiyon ad yla an l r. (Y, <) (, <) Bir s ralama morfizmas n yis ralanm fl kümeler üzerine s ralama morfizmalar birebir olmak zorundad r, çünkü iyis ral bir küme tams ral d r. Nitekim, (x 1 ) = (x 2 ) ise ne x 1 < x 2 ne de x 2 < x 1 do ru olabilir, dolay s yla, tams ralamadan dolay, x 1 = x 2 olmal. E er s ralama morfizmas ayr ca örtense, o zaman ye s ralama efllemesi denir. Aralar nda bir eflyap efllemesi olan (, <) ve (Y, <) iyis ralamalar na eflyap sal (ya da izomorfik) denir ve bu olgu (, <) (Y, <) ya da k saca Y olarak gösterilir. Demek ki tam n tane eleman olan iyis ral bir kümeyle n = {0, 1,, 2, n 1} iyis ralamas eflyap sald r. Böylece sonlu iyis ralamalar anlam fl olduk. S ra geldi sonsuz iyis ralamalara Bundan böyle sonlu olmas n. O zaman her n do al say s için in n-inci eleman vard r. Bu elemana x n demifltik. in sonlu olmad n varsayal m bundan böyle ve bu x n elemanlar ndan (n N) oluflan kümeye ad n verelim. n n aynen N ye (daha do rusu ya) benzedi ini okur anlam flt r herhalde, yani ile (yani do al say lar kümesi N) aras nda bir s ralama efllemesi vard r: n x 1 x 2 x n = {x n : n N} n n gerçekten bir küme oldu u pek bariz olmayabilir. MD-2003-IV say m z n 49 uncu sayfas nda kümeler kuram n n birkaç basit belitini vermifltik. Bu belitlere dayanarak n n küme oldu unu kan tlayabiliriz: ϕ(x) flu özellik olsun: {y : y < x} kümesiyle bir do al say s aras nda bir eflleme var. fiimdi, = {x : ϕ(x)} eflitli inden dolay, bir kümedir. (Bkz. Tan mlanabilir Altküme Beliti, MD-2003-IV, sayfa 49.) ki seçenek var. Ya = ya da. Birinci fl kta in neye benzedi i belli, ya benzer. kinci fl kta yo unlaflal m. O zaman \ boflküme de ildir, dolay s yla en küçük bir eleman vard r. Bu elemana x diyelim. x eleman daha önce buldu umuz bütün x n (n N) elemanlar ndan hemen sonra gelen ilk elemand r, yani x eleman, her n do al say s için, x n < x eflitsizli ini sa layan in en küçük eleman d r. +1 = {x } olsun. Burada +1 simgesine özel bir anlam vermeye çal flmay n, +1 i daha sonra tan mlayaca z. fiimdilik +1 simgesini tek bir simge gibi alg lay p +1 iyis ralamas na yo- unlafl n: +1 iyis ralamas, iyis ralamas n n sonuna x eleman eklenerek elde edilmifltir. x 1 x 2 x n x +1 38

4 E er x, in son eleman ysa, yani te x n lerden ve x dan baflka eleman kalmam flsa, o zaman = {x } = +1 dir. Bu durumda, i ve s - ralamas n anlad k:, sonuna bir eleman eklenen ya benziyor. (Bir sonraki yaz da bir iyis ralaman n sonuna bir eleman eklemenin ne demek oldu- unu daha ayr nt l bir biçimde anlataca z.) E er x, in son eleman de ilse, yani +1 ise, o zaman \ +1 ve \ +1 kümesinin bir en küçük eleman vard r. Bu elemana, tahmin edece iniz gibi, x +1 diyelim. x +1, x dan sonra gelen ilk elemand r. Gene tahmin edece iniz gibi +2 = +1 {x +1 } = {x, x +1 } olsun. x 1 x 2 x n x x +1 Genel olarak, bir n do al say s için, in +n = {x, x +1,, x +n 1 } altkümesini buldu umuzu varsayal m. E er belli bir n do al say s için = +n ise ne âlâ, i anlad k demektir. E er +n ise \ +n kümesinin en küçük bir eleman olmal. Bu elemana x +n diyelim. E er hiçbir n do al say s için +n ise o zaman bu yöntemle i tüketemeyiz ve sürekli x +n elemanlar n buluruz. 2 = {x +n : n N} olsun n 0 1 n x 1 x 2 x n 2 s ralamas n n nas l bir s ralama oldu u belli. Bafl nda (yani N) var. Bir de sonunda var. Demek ki 2, n n (yani do al say lar kümesinin) iki ayr k kopyas ndan olufluyor, biri bafl nda (küçükler), di eri sonunda (büyükler). E er = 2 ise, iflimiz bitti, o zaman i ve iyis ralamas n anlad k. E er 2 ise, o zaman \ 2 kümesinin bir en küçük eleman vard r. Bu elemana x 2 diyelim. x 1 x 2 x n x x +1 x +n 2 x 2 Bunu böylece sürdürebiliriz. te x 2 dan daha büyük bir eleman varsa, x 2 dan daha büyük elemanlar n en küçü üne x 2+1 diyelim. Varsa, malum yöntemle x 2+2, x 2+3, elemanlar n bulal m. E er in sonuna var rsak iflimiz biter. Yoksa, 3 = 2 {x 2+n : n N} olsun. E er = 3 ise o zaman, n n üç kopyas ndan olufluyor demektir: küçük kopya, ortanca kopya, üçüncü kopya n 0 1 n x 1 x 2 x n 2 x x +1 x +n x x +1 x +n n 3 x 2 x 2+1 x 2+n x 1 x 2 x n x x +1 x +n 2 2 n n bir küme oldu u MD-2003-IV teki belitler yard m yla kan tlanabilir. Konumuzdan sapmamak için bunu kan tlamayaca z. Ama ilerde 2 ordinalinin tan m n okuyan okur, n n bir küme oldu unu gösterdi imiz yöntemle 2 n n da küme oldu unu kan tlayabilir. Kendimizi biraz fazla tekrarlamaya bafllad k k-inci seviyeye kadar, yani k ya kadar geldi imizi varsayal m. k, s ralama olarak n n k tane kopyas na benzer: 1 inci kopya, 2 inci kopya,, k- Bafllang ç Dilimi (, <) bir tams ralama olsun. I bir altküme olsun. E er her x, y için, y < x I koflullar do ru oldu unda, y I oluyorsa, I ye bafllang ç dilimi ( ngilizcesi initial segment) ad verilir. Yukarda bulunan her α kümesi in bir bafllang ç dilimidir. 39

5 inci kopya. Her kopya kendi içinde do al s ralanm flt r ve her kopyan n tüm elemanlar daha sonraki kopyalar n tüm elemanlar ndan daha küçüktür. Örne in üçüncü kopyan n 25 i, dördüncü kopyan n 2 sinden daha küçüktür. x 1 x 2 x n x x +1 x +n x 2 x k x k+1 x k+n 2 k (k+1) E er k = ise iflimiz bitti. Yoksa \ k kümesinin en küçük bir eleman olmal. Bu elemana x k diyelim. x k dan hemen sonra gelen elemana x k+1 diyelim. (E er x k, in en büyük eleman de ilse böyle bir eleman vard r.) Devam edip x k+2, x k+3, elemanlar n da (varsa!) bulabiliriz. te eleman kald sürece devam edelim. E er x k+n elemanlar n n hiçbiri in en büyük eleman de ilse (k sabit, n de ifliyor) bu yöntemi hiç durmadan sürdürebiliriz. (k+1) flimdiye kadar buldu umuz tüm elemanlar n kümesi olsun. ( (k+1) bir kümedir, güvenin bana!) E er = (k+1) ise, durmak zorunday z ve bu durumdan pek yak nm - yoruz herhalde. Ama e er (k+1) ise, o zaman bofl olmayan \ (k+1) kümesinin en küçük eleman na x (k+1) diyelim ve mümkün oldu u sürece bu yöntemle yolumuza devam edelim. Böylece her k do al say s için k kümelerini elde etti imizi ama in bu yöntemle tükenmedi ini varsayal m. 2, tüm bu k kümelerinin birleflimi olsun: 2 = k N k. E er 2 = ise sorun yok. E er 2 ise \ 2 kümesinin en küçük eleman na x 2 diyelim = 2 {x 2} olsun. E er te baflka eleman kalmam flsa o zaman = 2 +1 d r. Kalm flsa, x 2 den hemen sonra gelen bir eleman vard r. Bu elemana x 2 +1 ad n verelim. E er in elemanlar bitmezse, in x 2 +1, x 2 +2, x 2 +3, x 2 +4, elemanlar n bulabiliriz. 2 + kümesi in flimdiye kadar bulabildi imiz tüm elemanlar olsun. x 2 +, x 2 ++1, x 2 ++2, x 2 ++3, elemanlar n n nas l bulunabilece ini okur tahmin etmifltir: Her biri bir öncekinden hemen sonra gelen elemand r. Bu x 2 ++k elemanlar n n sonu gelmiyorsa, tüm bu elemanlar kümesine 2 +2 diyelim. Okur herhalde, e er tükenmezse, 2 +3, 2 +4, 2 +5, kümelerinin nas l bulunduklar n anlam flt r. Bunlar n birleflimine 2 2 diyelim. Gidebildi imiz kadar gidelim. E er tükenmezse, s rayla 2 2, 3 2, 4 2, kümelerini elde ederiz. Bunlar n birleflimine de 3 diyelim. E er daha önce tükenmezse, in 3, 4, 5, kümelerini elde ederiz. Bunlar n birleflimine de diyelim. Ard ndan s rayla, 2, 3, altkümelerini de bulabiliriz. Bunlar n birleflimine, ya da +1 diyelim. Bundan sonra +2, +3, +4 altkümeleri (bafllang ç dilimleri) bulunur. Devam edelim ve tüm bu altkümelerin birleflimine + ya da 2 diyelim. Devam edelim. S rayla 3, 4, 4, altkümelerini de bulruuz. Bunlar n birleflimine ya da 2 diyelim. E er i hala daha bitirememiflsek, 3, 4, 5, altkümelerini de bulabiliriz. Bunlar n birleflimine diyelim. in hala daha bitmedi ini varsayal m. α 1 =, α 2 =, α 3 =, α 4 =, α 5 = olsun. Genel olarak, α n+1 = α n olarak tan mlans n (α n olarak de il!) Bu tan mlar flimdilik biçimsel, yani α n ler anlams z fleyler. α n leri gösterge (endis, indeks) olarak kullanaca- z. α1, α2, α3 altkümelerinin nas l bulunabilece ini okur tahmin etmifltir. E er izin verirse, devam edip, her n N için, in αn altkümelerini de bulabiliriz. in hiç bitmedi ini varsayarak, αn altkümelerinin birleflimine ε0 diyelim. te yer kalm flsa devam edebiliriz. steyen devam etsin. Ben s k ld m. 40