DİNAMİK. Ders_10. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

Transkript

1 DİNAMİK Ders_10 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: GÜZ RÖLATİF DÖNME ANALİZİ:HIZ Bugünün Hedefleri: 1. Ötelenme ve dönme bileşenleri cinsinden rijit cismin hızını tanımlama. 2. Cisim üzerindeki bir noktanın rölatif hız analizini gerçekleştirme. Ders Etkinliği: Sözel yoklama Uygulamalar Hızın Ötelenme ve Dönme Bileşenleri Rölatif Hız Analizi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 1

2 SÖZEL YOKLAMA 1. İki farklı eksen takımı içeren rölatif hareket analizi kullanıldığında, x - y koordinat sistemi. A) analiz için seçilen noktaya iliştirilir B) cisimle birlikte döner C) nin sabit eksene göre ötelenmesine izin verilmez. D) yukarıdakilerin hiçbiri. 2. Rölatif hız denkleminde v B/A. A) B nin A ya göre rölatif hızıdır B) dönme hareketi sebebiyle oluşur C) r B/A D) yukarıdakilerin hepsi. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 UYGULAMALAR A kayan bloğu yatay olarak sola doğru v A hızı ile hareket ettiğinde, bu CB kolunun saatin tersi yönde dönmesini sağlar. Buna göre v B kendi dairesel yörüngesine teğettir. Hangi kol genel düzlemsel hareket yapıyor? AB kolu mu, BC kolu mu? AB kolunun açısal hızı,, nasıl bulunur? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 2

3 UYGULAMALAR (devam) Düzlemsel dişli sistemleri birçok otomobilin otomatik vitesinde kullanılır. Bu sistem; farklı dişlileri kilitleyip veya serbest bırakarak değişik hızlarda aracı kontrol edebilir. Peki, sistemdeki çeşitli dişlilerin açısal hızlarını birbirleriyle nasıl ilişkilendirebiliriz? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ (Kısım 16.5) Genel düzlemsel hareket yapan bir rijit cisim, dönme ve öteleme hareketlerinin bir kombinasyonu gerçekleştirir. Bu analizde A noktası temel nokta olarak adlandırılır. Genellikle bilinen bir hareketi vardır. x - y çerçevesi cisimle birlikte ötelenir fakat dönmez. B noktasının yer değiştirmesi şöyle yazılabilir: Ötelenmenin sebep olduğu yerdğş. Dönme ve ötelenme sonrası yerdeğş. dr B = dr A + dr B/A Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR Dönmenin sebep olduğu yerdeğş / 29 3

4 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: HIZ B deki hız: (dr B /dt) = (dr A /dt) + (dr B/A /dt) ya da v B = v A + v B/A Cisim A etrafında döndüğünden, v B/A = dr B/A /dt = r B/A Burada dönme ekseni ötelenme düzlemine dik olduğundan, sadece k bileşenine sahiptir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: HIZ (devam) v B = v A + r B/A Rölatif hız denklemi genellikle rijit cisim üzerinde bulunan ve hareketi (yönleri) bilinen A ve B noktaları için kullanılır. Bu noktalar çoğunlukla mafsallı mekanizmalardaki pimlerdir. Bu örnekte, AB çubuğu üzerindeki B noktası dairesel bir yörünge izleyecek, A noktası ise yatay bir yörünge izleyecektir. Hareket yörüngelerine her zaman teğet olduklarından, v A ve v B nin yönü bilinmektedir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 4

5 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: HIZ (devam) v B = v A + r B/A Bir tekerlek kaymadan yuvarlandığında, A noktası yerle temas (değme) noktası olarak seçilir. Kayma olmadığından A noktasının hızı sıfırdır. Ayrıca, tekerin merkezindeki B noktası yatay bir yörünge izler. Bu sebeple, v B bilinen bir doğrultuya sahiptir, yani yer yüzeyine paraleldir. (yuvarlandığı yüzey eğik olsaydı??) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 Skaler Analiz: ANALİZ PROSEDÜRÜ Skaler x ve y bileşen denklemleri veya bir Kartezyen vektör analizi kullanılarak rölatif hız denklemi ilgili probleme uygulanabilir. 1. Sabit x-y koordinatının yönlerini seçin ve cismin kinematik diyagramını çizin. Sonra v B/A rölatif hız vektörünün yönünü ve şiddetini belirleyin. 2. v B = v A + v B/A denklemini yazın. Kinematik diyagramda vektörleri şiddet ve doğrultularını belirterek grafiksel olarak gösterin. 3. Vektörlerin bu grafik gösterimindeki x ve y bileşenlerini kullanarak skaler denklemleri yazın ve bilinmeyenler için çözün. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 5

6 Vektör Analizi: ANALİZ PROSEDÜRÜ (devam) 1. Sabit x-y koordinatının yönlerini seçin, v A, v B, r B/A ve yı göstererek rijit cismin kinematik diyagramını çizin. Büyüklükler bilinmiyorsa başlangıç için bir yön kabulü yapılabilir. 2. Vektörleri Kartezyen vektör formunda (KVF) ifade edin ve v B = v A + r B/A denkleminde yerine yerleştirin. Vektörel çarpım sonucundaki i ve j bileşenlerine eşitleyerek iki skaler denklemi elde edin. 3. Eğer sonuç negatif çıkarsa başlangıçta kabul edilen yönün tersi yönde olduğu anlaşılır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK I Verilen: A tekeri sağa doğru 3 m/s ile hareket etmektedir. İstenen: = 30 anında B nin hızı. Plan: 1. Sabit bir x-y koordinatı kabul edin ve çubukla tekerlerin kinematik diyagramını çizin. 2. A ve B için hız vektörlerini i, j, k bileşenleri cinsinden yazın ve v B = v A + r B/A denklemini çözün. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 6

7 ÖRNEK I (devam) Çözüm: Kinematik diyagram: y Hız vektörlerini Kartezyen formunda (KVF) ifade edin: v B = v A + r B/A -v B j = 3 i + [ k (-1.5cos30i +1.5sin 30j )] -v B j = 3 i j 0.75 i i ve j bileşenlerini birbirine eşitlersek: 0 = v B = sonuç: = 4 rad/s veya = 4 rad/s k v B = 5.2 m/s veya v B = -5.2 m/s j Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR v 30 v / 29 ÖRNEK II Verilen: OA krank kolu 12 rad/s açısal hızla dönmektedir. İstenen: B pistonunun hızı ve AB çubuğunun açısal hızı. Plan: A noktası dairesel bir yörünge izlemektedir. v A nın yönü bu yörüngeye teğettir. AB çubuğunun kinematik diyagramını çizin ve aşağıdaki denklemi kullanın. v B = v A + AB r B/A. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 7

8 ÖRNEK II (devam) Çözüm: AB nin kinematik diyagramı : OA kolu 12 rad/s açısal hız ile döndüğünden A daki hız: v A = -0.3(12) i = -3.6 i m/s olacaktır. AB Çubuğu. Bağıl hız denklemini yazın. v B = v A + AB r B/A v B j = -3.6 i + AB k (0.6cos30 i 0.6sin30 j ) v B j = -3.6 i AB j AB i i, j bileşenleri kullanılarak: i: 0 = AB AB = 12 rad/s j: v B = AB v B = 6.24 m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Eğer disk O noktasında 15 m/s hıza sahipse ve = 2 rad/s ise A daki hızı hesaplayın. A) 0 m/s B) 4 m/s C) 15 m/s D) 11 m/s A 2 m O V=15 m/s 2. Eğer A daki hız sıfırsa bu durumda açısal hızını hesaplayın. A) 30 rad/s B) 0 rad/s C) 7.5 rad/s D) 15 rad/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 8

9 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: AB çubuğu AB = 60 rad/s açısal hızıyla dönmektedir. İstenen: = 60 ve = 45 iken C kayan bloğunun hızı ne olur? Plan: AB çubuğu sabit A noktası etrafında dönmektedir. v B nin doğrultusu hareketin yörüngesine teğettir. 1) BC çubuğunun kinematik diyagramını çizin. 2) Bağıl hız denklemlerini çubuğa uygulayın ve bilinmeyenler için çözün. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ(devam) Çözüm: AB Çubuğu; AB = 60 rad/s açısal hızı ile döndüğünden, B deki hız: v B = AB r AB (= AB r B/A ) = 60 için, v B = 60 k ( 0.3 sin 60 i+0.3 cos 60 j ) = (-9 i j) m/s y x v B 60 BC Çubuğu : BC nin kinematik diyagramını çizin. Dikkat! Kayan C bloğu düşey hareket yapmaktadır. y x r C/B BC 45 v B (Eğik düzlemde hareket yapsaydı??) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR v C / 29 9

10 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ(devam) C deki hızı bulmak için bağıl hız denklemini kullanın. v B v C = v B + BC r C/B -v C j = (-9 i j) + BC k (-0.6 sin 45 i 0.6 cos 45 j) i ve j bileşenlerinin eşitliğinden: 0= -9+ BC (0.6) cos 45 -v C = BC (0.6) sin 45 v C r C/B BC 45 y x BC = 21.2 rad/s v C = m/s = 24.6 m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 DİKKAT YOKLAMASI 1. v A hızı biliniyorsa dişlinin merkezi olan C nin hızını bulmak için hangi denklem kullanılmalıdır? v A A) v B = v A + dişli r B/A B) v A = v C + dişli r A/C C) v B = v C + dişli r C/B D) v A = v C + dişli r C/A 2. Çubuğun A noktasındaki hızı 3 m/s ise = 60º de çubuğun açısal hızını basitçe bulabilmek için temel nokta nın hangi nokta olarak seçilmesi en uygun olur? A) A B) B C) C D) Fark yaratmaz. A 4 m B C Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 10

11 Örnek: / 29 Şekiller Kinematik Diyagram / 29 11

12 Kinematik Diyagram / / 29 12

13 Örnek: açısal hızını bulunuz / 29 Şekiller Kinematik Diyagram / 29 13

14 Kinematik Diyagram / / 29 14

15 / 29 15

16 ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİ Bugünün Hedefleri: 1. Anlık sıfır hız merkezinin seçilmesi 2. Genel hareket yapan rijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hızını hesaplarken anlık hızın sıfır olduğu merkezin kullanılması Ders Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Anlık Sıfır Hız Merkezinin Seçilmesi Hız Analizi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Kavramsal Yoklama Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 SÖZEL YOKLAMA 1. Eğer uygulanabilirse, anlık sıfır hız merkezi yöntemi rijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hesaplanmasında kullanılır. A) hızının B) ivmesinin C) hız ve ivmesinin D) kuvvetinin 2. Rijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hızı, anlık sıfır hız merkezinden o noktaya uzatılan bağıl konum vektörüne. A) her zaman paraleldir B) her zaman diktir C) ters yöndedir D) eşit yöndedir Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 1

17 UYGULAMALAR Bu bisiklet tekeri için anlık sıfır hız merkezi (IC) yerle temas ettiği noktadır. Jant üzerindeki herhangi bir noktada hızın yönü IC ile noktayı birleştiren çizgiye diktir. Teker üzerindeki hangi nokta maksimum hıza sahiptir? Aynı sürücü, daha büyük bir teker kullanarak, daha küçük bir tekere göre daha hızlı mı gider? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 UYGULAMALAR (devam) Çubuk duvardan aşağı kayarken (sola doğru), genel düzlemsel hareket yapmaktadır (dönme ve ötelenme birlikte). A ve B uçlarındaki hızların yönleri bilindiğinden, IC yanda gösterildiği gibi yerleştirilmiştir. Bu sonuç, diğer durumları analiz etmemizde bize nasıl yardımcı olabilir? Çubuğun ağırlık merkezinin hızı hangi yöndedir? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 2

18 ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİ (Bölüm 16-6) Düzlemsel hareket yapan herhangi bir cisim için, hareket düzlemi içinde hızın anlık olarak sıfır olduğu bir nokta daima vardır (ilgili nokta cisme rijit olarak bağlı kabul edilecek). Bu nokta, hızın sıfır olduğu anlık merkez (IC) olarak adlandırılır. IC cisim üzerinde olabilir veya olmayabilir! Eğer bu noktanın konumu hesaplanabiliyorsa cisim tam o anda, bu noktanın etrafında dönüyor gibi göründüğünden, hız analizi daha basit olarak yapılabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİNİN YERİ IC nin yerini saptarken, cisim üzerindeki bir noktaya ait hızın, IC den o noktaya uzatılan rölatif konum vektörüne her zaman dik olduğu gerçeğini kullanırız. Çeşitli olasılıklar mevcuttur: Anlık sıfır hız merkezinin yörüngesi İlk olarak, cisim üzerindeki A noktasına ait v A hızının ve cismin açısal hızının bilindiği durumu değerlendirelim. Bu durumda IC, A daki v A hızına dik çizgi üzerinde ve A dan r A/IC = v A / mesafesindedir. v A hızı IC etrafında saat yönünde bir açısal hızına sebep olacağından dolayı, IC v A ya dik olacak şekilde yukarı, sağa doğru yerleştirilmiştir Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 3

19 ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİNİN YERİ (devam) İkinci durumda, birbirine paralel olmayan iki ayrı noktanın hızlarının etki çizgileri biliniyordur ( v A ve v B ). Öncelikle A ve B noktalarından v A ve v B hızlarına dik çizgiler çizilir. Bu çizgilerin kesişim noktası bize IC nin yerini verir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİNİN YERİ (devam) Üçüncü durumda ise A ve B noktalarındaki birbirine paralel iki hızın büyüklüğü ve yönü biliniyorsa IC nin yeri benzer üçgenlerden hesaplanır. Bir özel durum olarak, eğer hızlar eşitse (v A = v B ) cisim sadece ötelenme yapıyordur, bu durumda IC nin yeri sonsuzdadır. Beklenildiği üzere da sıfıra eşittir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 4

20 HIZ ANALİZİ Genel düzlemsel harekete maruz cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hızı, cismin anlık sıfır hız merkezinin yeri belirlendikten sonra, çoğunlukla skaler bir yaklaşım kullanılarak basitçe hesaplanabilir. Cisim yandaki kinematik diyagramda gösterildiği gibi, herhangi bir anda IC etrafında dönme hareketi yapıyor göründüğünden, cisim üzerindeki keyfi bir noktaya ait hızın büyüklüğü v = r olur. Burada r, IC den ilgili noktaya uzanan radyal mesafedir. Hızın etki çizgisi, ilgili radyal çizgiye diktir ( v r ). Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ÖRNEK I Verilen: Hareket halindeki bağlantı şekilde gösterilmiştir. D bloğunun hızı v D = 3 m/s dir. İstenen: AB ve BD çubuklarının açısal hızı. Plan: BD çubuğuna ait anlık sıfır hız merkezinin yerini belirleyip açısal hızları bulun. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 5

21 ÖRNEK I (devam) Çözüm: D sağa doğru hareket ettiğinden, AB çubuğunun A noktası etrafında saat yönünde dönmesine sebep olur. BD nin anlık sıfır hız merkezi v B ve v D hızlarına dik uzatılan çizgilerin kesiştiği yerdir. v B, AB çubuğuna diktir. Bu sebeple IC nin yerinin, AB çubuğunun uzantısı üzerinde olduğu görülebilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ÖRNEK I (devam) Aşağıdaki değerler kullanılarak, r B/IC = 0.4 tan 45 = 0.4 m r D/IC = 0.4/cos 45 = m v D nin büyüklüğü bilindiğinden, BD çubuğunun açısal hızı bulunabilir v D = BD r D/IC. BD = v D /r D/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s AB çubuğu, A noktası etrafında dönmektedir. AB = v B /r B/A = (r B/IC ) BD /r B/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 6

22 ÖRNEK II Verilen: Dişli setinin merkezi v O = 6 m/s ile yuvarlanmaktadır. B dişli yatağı sabittir. İstenen: Dıştaki dişlinin üzerindeki A noktasının hızı. Plan: Küçük dişlinin anlık sıfır hız merkezinin yerini belirleyip A daki hızı hesaplayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ÖRNEK II (devam) Çözüm: Dişli kaymadan yuvarlanmaktadır. Bu sebeple IC, B dişli yatağı ile temas noktası üzerindedir. Tekerin açısal hızı; = v O /r O/IC = 6/0.3 = 20 rad/s ( veya CW) A daki hız; v A = r A/IC = k ( 0.6 i + 0.3j) = (6 i 12 j) m/s v A = 6 12 = 13.4 m/s = tan -1 (12/6) = 63.4 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 7

23 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Rijit cisim üzerindeki iki noktanın hızı büyüklük olarak eşit, birbirine paralel, fakat farklı yönlerde ise IC nin yeri. A) sonsuzdadır B) bu iki noktadan biridir C) iki noktayı birleştiren çizginin orta noktasındadır D) yukarıdakilerin hiçbiri 2. Rijit cisim üzerindeki iki noktaya ait hızların yönü birbirine dikse IC nin yeri. A) sonsuzdadır B) bu iki noktadan birisidir C) iki noktayı birleştiren çizginin orta noktasında D) yukarıdakilerin hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I Verilen: CD çubuğu saatin tersi yönde CD =4rad/s açısal hızı ile dönmektedir. İstenen: AB ve BC çubuklarının açısal hızları. Plan: Bu soru ders notlarında verilen ikinci duruma örnektir. B deki hızın doğrultusu AB ye dik olmalıdır. C deki hız da CD ye dik olmalıdır. Böylece BC için IC anlık sıfır hız merkezi bulunabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 8

24 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Çözüm: CD ve AB çubuğu için kinematik diyagramı çizin: CD çubuğu: AB çubuğu: v C AB r CD CD = 4 rad/s r AB v C = CD (r CD ) = 4 (0.5) = 2 m/s v B v B = AB (r AB ) m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) v B ve v C nin bulunmasıyla BC çubuğu için IC yi belirleyebiliriz. BC nin kinematik diyagramı: v B BC r B/IC r C/IC 30 IC v C r C/IC = (0.4) tan30 r C/IC = m r B/IC = 0.4 / cos30 r B/IC = m Diyagramdan: v C = BC (r C/IC ) 2.0 = BC ( ) BC = 8.66 rad/s v B = BC (r B/IC ) = AB (r AB ) ( ) = AB (1) AB = 4.0 rad/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 9

25 DİKKAT YOKLAMASI cm çapa sahip şekildeki teker = 3 rad/s ile saat yönünde dönmektedir. v B nin değeri? A) 5 cm/s B) 15 cm/s C) 0 cm/s D) 45 cm/s 2. Çubuk üzerindeki A noktasının hızı sağa doğru 8 m/s dir. Çubuğun IC si nerededir? A) A noktası B) B noktası C) C noktası. D) D noktası. D C Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II / 23 10

26 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) Şekiller (a) (b) / 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) / 23 11

27 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) / 23 12

28 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME Bugünün Hedefleri: 1. Rijit bir cisim üzerindeki noktanın ivmesini ötelenme ve dönme birleşenlerine ayırmak, 2. Rijit cisim üzerindeki bir noktanın ivmesini rölatif ivme analizi ile hesaplamak. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar İvmenin Dönme ve Ötelenme Bileşenleri Rölatif İvme Analizi Kaymadan Yuvarlanma Hareketi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 SÖZEL YOKLAMA 1. Eğer kaymadan birbirine temas eden iki cisim ve temas noktası farklı yörüngelerde hareket ediyorsa, ivmenin teğetsel bileşeni ve normal bileşeni olacaktır. A) aynı, aynı B) aynı, farklı C) farklı, aynı D) farklı, farklı 2. Genel düzlemsel hareket yapan rijit bir cisim üzerindeki bir noktanın, A) toplam ivmesi hem mutlak hem de rölatif ivme bileşenleri içerir. B) toplam ivmesi sadece mutlak ivme bileşenleri içerir. C) rölatif ivme bileşeni her zaman yörüngeye diktir. D) Hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 1

29 UYGULAMALAR Şekilde gösterilen pencere mekanizmasında, AC çubuğu, C noktasına sabitlenmiş bir eksen etrafında dönmekte ve AB ise genel düzlemsel hareket yapmaktadır. A noktası eğrisel bir yörüngede hareket ettiğine göre, ivmesinin iki bileşeni olacaktır. Bunun yanında B noktası doğrusal bir yuvada harekete zorlandığından ivmesinin tek bileşeni olacaktır. Bu noktaların ivmeleri bulunabilir, çünkü hareketleri bilinmektedir. Mekanizmadaki bağlantıların ivmelerini nasıl bulunur? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 UYGULAMALAR (devam) Bir otomobil motorunda, krank miline iletilen kuvvetler ve krank milinin ivmesi, pistonun hızına ve ivmesine bağlıdır. Pistonun, bağlantı milinin ve krank milinin ivmelerini nasıl ilişkilendirebiliriz? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 2

30 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME Rijit cisim üzerindeki iki noktanın ivmesi, hız denklemini zaman göre türeterek bulunabilir: dv B dt dv A dt dv B / A dt Bunlar A ve B noktalarının mutlak ivmesidir ve sabit bir x-y eksenine göre ölçülmüştür. Bu terim B noktasının A noktasına göre rölatif ivmesidir ve teğetsel ve normal bileşenleri vardır. Sonuç: a B = a A + (a B/A ) t + (a B/A ) n Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME Vektörel Toplam a B = a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 3

31 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam) Grafik olarak: a B = a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n (a B/A ) t rölatif teğetsel ivme bileşeni ( r B/A ) ile hesaplanır r B/A ya diktir. (a B/A ) n rölatif normal ivme bileşeni ( 2 r B/A ) ile hesaplanır, yönü her zaman B den A ya doğrudur (temel noktaya doğrudur). Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam) Rölatif ivme bileşenleri (a B/A ) t = r B/A ve (a B/A ) n = - 2 r B/A, şeklinde ifade edilebildiği için rölatif ivme denklemi aşağıdaki hali alır: a B = a A + r B/A 2 r B/A Dikkat edilirse son terim çapraz çarpım değildir. Bu terim açısal hızın şiddetinin karesi ( 2 ) ve r B/A vektörünün çarpımına eşittir (her zaman r B/A nın tersi yönünde). Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 4

32 RÖLATİF İVME DENKLEMİNİN UYGULANMASI (devam) İvme denklemini uygularken, A ve B gibi kullanılan iki nokta genellikle hareket doğrultusu bilinen noktalar olarak seçilir, örnek olarak mafsallı birleşimler verilebilir. Kinematik Diyagram Bu mekanizmada B noktasının dairesel bir yörüngede hareket ettiği bilinmektedir bu durumda a B normal ve teğetsel birleşenler cinsinden ifade edilebilir. Dikkat edilirse, BC bağlantısı üzerindeki B noktası ile AB bağlantısı üzerindeki B noktası aynı ivme değerine sahip olacaktır. Piston ve BC bağlantısını birleştiren C noktası ise doğrusal bir yörüngede hareket edecektir ve bu yüzden a C yatay doğrultuda olacaktır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ANALİZ YÖNTEMİ 1. Sabit bir koordinat ekseni belirleyin. 2. Cismin kinematik diyagramını çizin. 3. a A, a B,,, ve r B/A değerlerini diyagram üzerinde gösterin. A ve B noktaları eğrisel bir yörüngede hareket ediyorlarsa, o zaman ivmeleri teğetsel ve normal bileşenler cinsinden gösterilmelidir, örnek a A = (a A ) t + (a A ) n ve a B = (a B ) t + (a B ) n. 4. Rölatif ivme denklemini uygulayın: a B = a A + r B/A 2 r B/A 5. Bilinmeyen bir şiddet değeri için eğer sonuç negatifse, diyagramda gösterdiğiniz yönün ters olduğu anlamına gelir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 5

33 IC ÖRNEK 1 Verilen: Şekilde gösterilen an için, AB çubuğu üzerindeki A noktası 5 m/s 2 ivme değerine ve 6 m/s de hıza sahiptir. Aranan: Çubuğun bu andaki açısal ivmesi ve B noktasının yine bu andaki ivmesi bulunuz. Plan: Analiz yöntemini takip edin! Çözüm: Önce, çubuğun bu andaki açısal hızını bulmamız gerekmekte. AB çubuğu için anlık sıfır hız merkezi (IC) kullanılarak bulunur: = v A /r A/IC = v A / (3) = 2 rad/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 1 (devam) A ve B noktalarının ikisi de doğrusal hareket etmekteler: a A = -5 j m/s 2 a B = a B i m/s 2 r B/A Rölatif ivme denklemini uygularsak (A temel noktadır): a B = a A + r B/A 2 r B/A a B i = - 5 j + k (3 i 4j) 2 2 (3 i 4j) a B i = - 5 j + 4 i + 3 j (12 i 16 j) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 6

34 ÖRNEK 1 (devam) a B i = - 5 j + 4 i + 3 j (12 i 16j) denklemi ile soru çözülür: i, j bileşenleri karşılaştırılırsa: a B = = Çözüm: a B = 26.7 m/s 2 = 26.7 m/s 2 = 3.67 rad/s 2 = 3.67 rad/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 TEMAS HALİNDEKİ CİSİMLER Kaymadan birbirine temas halinde bulunan ve farklı yörüngede hareket eden iki cismi ele alalım: Bu durumda ivmenin teğetsel bileşenleri aynı olacaktır: (a A ) t = (a A ) t ( B r B = C r C olduğunu gösterir). İvmenin normal bileşenleri ise aynı olmayacaktır: (a A ) n (a A ) n (bu nedenle a A a A ) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 7

35 YUVARLANMA HAREKETİ Dinamikte çokça karşılaşılan bir diğer problem de kayma olmadan gerçekleşen yuvarlanma hareketidir (top, silindir veya diskin hareketi). Bu durum rölatif hız ve ivme denklemleri ile analiz edilebilir. Silindir yuvarlanırken G noktası doğrusal hareket eder. ve biliniyorsa, A noktasının yerle temas anı için, A noktasına rölatif hız ve ivme denklemleri uygulanabilir. A noktası anlık sıfır hız noktasıdır (IC), ancak bu nokta anlık sıfır ivme noktası değildir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 Hız: İvme: YUVARLANMA HAREKETİ (devam) Kayma gerçekleşmediği için, A yerle temas ettiği anda v A = 0 dır. Kinematik diyagramdan: v G = v A + r G/A v G i = 0 + (- k) (r j) v G = r veya v G = r i G düz bir yörüngede hareket ettiği için, a G yataydır. A yere değmeden hemen önce, A nın hızı aşağı yöndedir, ve değdikten hemen sonra, hızı yukarı yöndedir. Bu sebeple, yerden ayrıldığında yukarı yönde ivmelenmektedir. a G = a A + r G/A 2 r G/A => a G i = a A j + (- k) (r j) 2 (r j) Denklemin i ve j bileşenlerini eşitlersek: a G = r ve a A = 2 r veya a G = r i ve a A = 2 r j Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 8

36 ÖRNEK 2 Verilen: Dişli sabit düzlemde hareket etmektedir. Aranan: A noktasının bu andaki ivmesi. Plan: Analiz yöntemini uygula! Çözüm: Dişli sabit yüzeyde kaymadan hareket ettiğine göre, a O sağa doğrudur ve şiddeti ise aşağıdaki gibi bulunur: a O = r = (6 rad/s 2 )(0.3 m)=1.8 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 2 (devam) a O = 1.8 m/s 2 bulunduktan sonra, O ve A noktaları için rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz: a A = a O + r A/O 2 r A/O a A = 1.8i + (-6k) (0.3j) 12 2 (0.3j) = (3.6 i 43.2j) m/s 2 y a O = 1.8 m/s 2 x Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 9

37 1. Eğer bir top kaymadan yuvarlanıyorsa, A noktasının G noktasına göre rölatif ivmesinin teğetsel ve normal bileşenleri olur. A) r i + 2 r j B) - r i + 2 r j C) 2 r i r j D) Sıfır. KAVRAMSAL YOKLAMA 2. B noktasının G noktasına göre rölatif ivmesinin teğetsel ve normal bileşenleri olur. A) - 2 r i r j B) - r i + 2 r j C) 2 r i r j D) Sıfır. a A = a G + a A/G a G = r i ve a A = 2 r j a B/G = r B/G 2 r B/G = (- k) (ri ) 2 (r i) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 3 7cm Verilen: AB çubuğu gösterilen anda AB =3 rad/s, AB =2 rad/s 2 değerleri ile dönmektedir.. Aranan: C bloğunun hız ve ivmesi istenmekte. 5 cm 5 cm Plan: Analiz yöntemini uygula! B noktasının, A nın etrafında döndüğüne dikkat edin. Dolayısıyla ivmenin hangi bileşenlerine maruz kalacaktır? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 10

38 ÖRNEK 3 (devam) Çözüm: B noktası döndüğüne göre, bu noktanın hız ve ivmesi : v B = ( AB )r B/A = (3) 7 = 21 cm/s 7 cm a Bn = ( AB ) 2 r B/A = (3) 2 7 = 63 cm/s 2 a Bt = ( AB )r B/A = (2) 7 = 14 cm/s 2 5 cm v B = (-21 i )cm/s a B = (-14 i 63 j ) cm/s 2 Kartezyen formda ifade edildi. 5 cm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 3 (devam) Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif hız denklemini uygulayarak, BC bağlantısının açısal hızını bulabiliriz: v C = v B + BC r C/B (-0.8 v C i 0.6 v C j ) = (-21 i ) + BC k (-5 i 12 j ) = ( BC ) i 5 BC j ) 7 cm i ve j bileşenlerini karşılaştırarak: -0.8 v C = BC -0.6 v C = - 5 BC 5 cm 5 cm Bilinmeyen değerler bulunur: BC = rad/s v C = cm/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 11

39 ÖRNEK 3 (devam) Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz: a C = a B + BC r C/B 2 BC r C/B (-0.8 a C i 0.6 a C j) = (-14 i 63 j) + BC k (-5 i 12 j) (1.125) 2 (-5 i 12 j) 5 cm 7 cm 5 cm (- 0.8 a C i 0.6 a C j) = ( BC ) i + ( BC ) j i ve j bileşenleri karşılaştırılırsa; a C = BC a C = BC Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 3 (devam) Bu iki denklem çözülürse: 7 cm a C = BC a C = BC 5 cm Bilinmeyenler bulunur: BC = -3.0 rad/s 2 = 3.0 rad/s 2 a C = 54.7 cm/s 2 5 cm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 12

40 DİKKAT YOKLAMASI 1. İki cisim kaymadan temas halindedir. Eğer B dişlisi üzerindeki A noktasının teğetsel ivme bileşeni 100 m/s 2 ise, C dişlisi üzerindeki A noktasının teğetsel ivme bileşenini hesaplayın. A) 50 m/s 2 B) 100 m/s 2 C) 200 m/s 2 D) Hiçbiri. 2 m 1 m 100 m/s 2 2. Eğer B dişlisi üzerindeki A noktasının teğetsel ivme bileşeni 100 m/s 2 ise, B dişlisinin açısal ivmesini hesaplayın. A) 50 rad/s 2 B) 100 rad/s 2 C) 200 rad/s 2 D) Hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 4 (Ders dışında incelenecektir) 0.75 m Verilen: AB çubuğu gösterilen anda AB =10 rad/s, AB =20 rad/s 2 değerleri ile dönmektedir.. Aranan: Şekilde gösterilen an için, C pistonunun ivmesi istenmekte. Plan: Analiz yöntemini uygula! 0.25 m B noktası döndüğüne göre, ivmenin hangi bileşenleri oluşacaktır? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 13

41 ÖRNEK 4 (devam) Aşağıdaki şekilde kinematik diyagram gösterilmiştir. a C düşey ve doğrusal bir hat üzerindedir. m m r B İki pozisyon vektörünü de kartezyen cinsten ifade edersek: r B = sin 45i cos 45j = i j r C/B = 0.75sin 13.6i cos 13.6j = i j AB mili sabit bir eksen etrafında döndüğüne göre: a B = AB r B 2 AB r B = -20k (-0.177i j) (10) 2 (-0.177i j) = 21.21i 14.14j m/s2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 ÖRNEK 4 (devam) Şimdi BC rodunu (genel düzlemsel hareket yapmakta) hareketine geçilebilir. a B için bulduğumuz ifade kullanılır ve dikkat edilirse, a C düşeyde hareket etmektedir. C için rölatif ivme denklemi: a C = a B + BC r C/B 2 BC r C/B a C j = 21.21i 14.14j + ( BC k) ( i j) (2.43) 2 (-0.177i j) m m r B i ve j bileşenlerini karşılaştırarak: 0 = BC a C = BC Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 14

42 ÖRNEK 4 (devam) m Bilinmeyenler bulunur: BC = 27.7 rad/s 2 (yön doğru) a C = m/s 2 (ivme azalma yönünde) m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR / 29 15