YAYINLARI. ISBN:

Transkript

1

2 YAYINLARI ISBN: Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayınlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Bu kitabın tüm hakları Ceran Matematik Yayınları na aittir. Bu eser, sayılı Milli Eğitim Temel Kanunu nun. maddesinde ifade edilen Türk Milli Eğitiminin genel amaçları ile Türk Milli Eğitiminin temel ilkelerine bağlı kalınarak hazırlanmıştır. Yayın Yönetmeni: Alpaslan CERAN Dil Uzmanı: Mevlüde AKAR Cansu Hazal KARAKURT Dizgi - Grafik: Esra KARAMANLI CERAN Baskı Tarihi: Eylül Baskı: Aydan Basım Yayım Ltd. Şti... - Ana Dağıtım: Ceran Matematik Yayınları, Yeşilırmak Sokak, Nu:, Kızılay / ANKARA Tel : () (pbx) Faks: ()

3 ORGANİZASYON ŞEMASI ÖRNEK Tanım: İçinde doğru ya da yanlış olarak sınıflandırabileceğimiz bir iddia bulunduran bir ifadeye önerme denir. Kırmızı ışıkta dur. Bu kısımda konu ile ilgili özet bilgiler verilmiştir. p ve q iki önermedir. (p q) q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p / q D) p / q E) p / q Sarı ışıkta hazırlan. Bu kısımda konu ile ilgili örnek soru verilmiştir. ÇÖZÜM (p q) q / (p / q ) q Yeşil ışıkta geç. / (p q) / (q q) / (p q) / / p q Bu kısımda üstteki örneğin çözümü verilmiştir.. KONTROL NOKTASI Birbirinin değili olmayan farklı önerme için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) D) E) Kontrol Noktası: Bu kısımda, üstteki örneğin benzeri sorularak, çözümü anlayıp anlamadığınızdan emin olmanız sağlanmıştır. Cevap : D HIZ TESTİ - ÖĞRETEN TEST - Öğreten Test: Özet konu bilgisi, çözümlü soru ve çözümlü sorunun benzeri bu sayfada verilmiştir. Hız Testi: Süreyi doğru kullanabilmeniz için, her soruya, dakika süre verilen testler bu sayfada verilmiştir. AÇIK UÇLU TEST - TARAMA TESTİ - Açık Uçlu Test: Açık uçlu testler bu sayfada verilmiştir. Tarama Testi: Ünitenin tamamı ile ilgili karma testler bu sayfalarda verilmiştir. YAZILI SORULARI - İlgili öğreten teste başlamadan önce bilmeniz gerekenler bu kutucukta gösterilmiştir. Yazılı Soruları: Yazılı sınavında karşınıza çıkabilecek muhtemel sorular bu sayfada verilmiştir.

4 İÇİNDEKİLER Önermenin Tanımı... Önermenin Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermenin Değili... Doğruluk Tablosu, Bileşik Önermeler... "ve" Bağlacı... "veya" Bağlacı... Dağılma Özelliği, De Morgan Kuralları... "ya da" Bağlacı... "ise" Bağlacı... "ancak ve ancak" Bağlacı... Açık Önerme... Niceleyiciler... Tarama Testleri... Açık Uçlu Testler... Yazılı Soruları...

5 FASİKÜLÜMÜZDE NELER ÖĞRENECEKSİNİZ?. Önermenin Tanımı. Önermenin Doğruluk Değeri, Denk Önerme, Önermenin Değili (Olumsuzu). Doğruluk Tablosu, Bileşik Önerme. ve, veya Bağlaçları. De Morgan Kuralları. ya da, ise, ancak ve ancak Bağlaçları. Açık Önermeler. Niceleyiciler

6 ÖĞRETEN TEST - Önermenin Tanımı Temel matematik kavramlarını bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: İçinde doğru ya da yanlış olarak sınıflandırabileceğimiz bir iddia bulunduran bir ifadeye önerme denir. Aşağıda verilen, a) + = tir. b) = dir. Aşağıda verilen, I. > tir. II. saat dakikadır. III. Çok çalışmalıyım! IV. Nasılsınız? V. Ahmet yarınki yarışı kesin kazanır." ifadelerinden kaç tanesi bir önerme belirtir? A) B) C) D) E) c) Türkiye nin en kalabalık ili Ankara dır. d) İstanbul u kim fethetti? e) Bu kitabı mutlaka okuyun! ifadelerinden hangilerinin önerme olduğunu belirleyelim. a) + = tir. ifadesindeki " ile sayılarının toplamı tir. iddiası doğrudur. Bu yüzden + = tir. ifadesi bir önermedir. b) = dir. ifadesi yanlış bir iddia içermektedir. Bu yüzden = dir. ifadesi bir önermedir. c) Türkiye nin en kalabalık ili Ankara dır. ifadesi yanlış bir iddia içerdiğinden önermedir. CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÇÖZÜM I. tir. ifadesi yanlış bir iddia içerdiğinden önermedir. II. saat dakikadır. ifadesi doğru bir iddia içerdiğinden önermedir. III. Çok çalışmalıyım! ifadesi herhangi bir iddia içermediğinden önerme değildir. IV. Nasılsınız? ifadesi herhangi bir iddia içermediğinden önerme değildir. V. Ahmet yarınki yarışı kesin kazanır. ifadesi doğru ya da yanlış olarak sınıflayabileceğimiz bir iddia içermediğinden önerme değildir. O halde verilen ifadelerden ikisi önermedir. d) İstanbul u kim fethetti? ifadesi doğru ya da yanlış olarak sınıflayabileceğimiz bir iddia içermediğinden önerme değildir. e) Bu kitabı mutlaka okuyun! ifadesi doğru ya da yanlış olarak sınıflayabileceğimiz bir iddia içermediğinden önerme değildir.. KONTROL NOKTASI Aşağıda verilen, I. " + = + tür. II. Hadi canım! III., bir tam sayıdır." ifadelerinden hangileri bir önerme belirtir? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III Cevap : C

7 HIZ TESTİ - Önermenin Tanımı Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önermedir? A) Bugün hava çok güzel. B) Ahmet gelecek mi? C) Rica ederim. D) Türkiye nin başkenti Ankara dır. E) Biraz çabuk ol!. Aşağıda verilen, I. # tür. II. + III. + = dir. ifadelerinden hangileri bir önerme belirtir? C) Yalnız III D) I ve III E) I ve II. Aşağıda verilen, I. En küçük asal sayı dir. II. Bu gömleğin rengi mavi. III. Nereye gidiyorsun? ifadelerinden hangileri bir önerme belirtir? C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) İstanbul ili Marmara Bölgesi ndedir. B) Dün sinemaya gittim. C) Yarın maça gideceğim. D) Türkiye Cumhuriyeti yılında kuruldu. E) ile nın çarpımı dir.. Aşağıda verilen, I. Spor yapmalıyım. II. Atatürk İstanbul da doğdu. III. bir doğal sayıdır. ifadelerinden hangileri bir önerme belirtir? C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III. Selim öğretmen yazılı sınav yapacağı bir sınıfa sınav öncesinde şunları söylemiştir. Sınav süreniz dakikadır. Sınavda soru vardır. Herkes sınav kağıtlarını kontrol etsin, okunmayan soru varsa bana söyleyin. Her sorunun puanı eşittir. Hepinize başarılar dilerim." Selim öğretmenin kurduğu cümlelerden kaç tanesi bir önermedir? A) B) C) D) E). Aşağıda verilen, I. kiloyum. II. Çok şişmanım. III. Bundan sonra daha az yemek yiyeceğim. ifadelerinden hangileri bir önerme belirtir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) Yarın sinemaya gidelim mi? B) İyi akşamlar. C) + = D) ( ) + E). Bir diyetisyene giden Dilek Hanım a diyetisyen şunları söylemiştir. Merhaba Dilek Hanım. Vücut kitle değeriniz, dir. Fazla kilolu tabir ettiğimiz sınıftasınız. Hedefimiz kilo vermenizdir. diyetisyenin kurduğu cümlelerden kaç tanesi önermedir? A) B) C) D) E) CEVAP ANAHTARI:. D. C. A. D. E. C. D. B. C

8 ÖĞRETEN TEST - Önermenin Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermenin Değili Önerme kavramını bilmelisiniz. ÖRNEK Uyarı: Bir önermeyi küçük harf kullanarak göstereceğiz. Örneğin, p: + = tir. q: saat dakikadır. gibi gösterimler kullanacağız. p: + tür. q: asal sayıdır. r: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı dir. önermelerine göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p /, q /, r / Tanım: Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığı o önermenin doğruluk değeri olarak bilinir. Bir p önermesi doğru ise doğruluk değeri ile, yanlış ise ile gösterilir. Bir p önermesi doğru ise p /, yanlış ise p / gösterimleri kullanılır. Örneğin, p: " + = tir." önermesi doğru olduğundan, p /, q: saat dakikadır. önermesi yanlış olduğundan q / gösterimleri kullanılır. CERAN MATEMATİK YAYINLARI B) p /, q /, r / C) p /, q /, r / D) p /, q /, r / E) p /, q /, r / ÇÖZÜM E E p /, çünkü + $ dır. Tanım: Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p ve q denk önermeler ise bu durum p / q, denk önermeler değilse bu durum p _ q ile gösterilir. Örneğin, p: + = tir. q: saat dakikadır. r: tür. önermeleri için p / r, p _ q ve q _ r dir. Tanım: Bir p önermesinin içerdiği iddianın olumsuzunun kullanılmasıyla elde edilen yeni önermeye p önermesinin değili (olumsuzu) denir ve p veya +p ile gösterilir. Örneğin, p: saat dakikadır. önermesinin değili p : saat dakika değildir. ve p önermesinin değili (p ) : saat dakikadır. önermesidir. Buna göre (p ) / p çıkarımında bulunabiliriz. q /, çünkü asal sayıdır. r /, çünkü bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı dir.. KONTROL NOKTASI p: " = dur." q: "MATEMATİK dört heceli bir kelimedir." r: " yılı gündür." önermelerine göre aşağıda verilen, I. p / q II. p / r III. q / r IV. p / r V. (p ) / q denkliklerden kaç tanesi doğrudur? A) B) C) D) E) Cevap : C

9 HIZ TESTİ - Önermenin Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermenin Değili Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. Aşağıda verilen, p: + = dir. q: saat saniyedir. r: Şubat ayı gündür. önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? A) Yalnız p B) Yalnız q C) p ve q D) p ve r E) p, q ve r. p: Topkapı Sarayı İstanbul dadır. önermesi veriliyor. q: Topkapı Sarayı İstanbul da değildir. r: Topkapı Sarayı'nın İstanbul da olduğu bilgisi yanlıştır. s: Topkapı Sarayı Ankara dadır. önermelerinden hangileri p nin değilidir? A) Yalnız q B) Yalnız r C) Yalnız s D) q ve r E) r ve s. Aşağıdaki önermelerden hangisinin değilinin doğruluk değeri dir? A) Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı iki dik açının ölçüleri toplamıdır. B) İşareti olmayan biricik sayı sıfırdır. C) : + = dir. D) = dir. E) dir.. Aşağıda verilen, p: p dir." q: = dır. r: + = dır. önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dır? A) Yalnız p B) Yalnız q C) Yalnız r D) p ve q E) p ve r. p, q ve r önermeleri için p /, q / ve r / olduğu biliniyor. aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / r B) q / r C) q / p D) p / r E) q / r. p, q ve r önermeleri veriliyor. p / q ve q _ r olduğuna göre, I. p / r II. q / r III. r / p denkliklerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. Aşağıdakilerden hangisi = tür. önermesine denktir? A) asal sayıdır. B) pozitif sayıdır. C) ( ) çift sayıdır. D) dır. E) En büyük rakam dur.. p ve r iki önermedir. p / r olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) p / r B) p / (r ) C) (p ) / r D) p _ r E) p / iken r / dır.. p: + = dır. q: = dur. r: + = dir. önermeleri veriliyor. aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p nin değili r dir. B) p / r C) p / q D) r / q E) p _ q CEVAP ANAHTARI:. A. B. C. D. E. E. D. D. B

10 ÖĞRETEN TEST - Doğruluk Tablosu, Bileşik Önermeler Önerme ve önermenin doğruluk değeri kavramlarını bilmelisiniz. ÖRNEK Birbirinin değili olmayan farklı önerme Tanım: Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir. için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) D) E) p önermesi için farklı p doğruluk durumu vardır. ÇÖZÜM p ve q önermeleri için = = farklı doğruluk durumu vardır. p, q ve r önermeleri için = = farklı doğruluk durumu vardır. p q p q r CERAN MATEMATİK YAYINLARI Birbirinin değili olmayan farklı önerme için = tane doğruluk durumu vardır. ÖRNEK Birbirinin olumsuzu olmayan n farklı önerme için farklı doğruluk durumu vardır. n kaçtır? A) B) C) D) E) ÇÖZÜM Kural: Birbirinin değili olmayan n farklı önerme için n tane doğruluk durumu vardır. Tanım: İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçlarıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir. Örneğin, " = ve tir." "Ankara başkenttir veya + = tir." " kiloyum ya da cm boyundayım." " bir doğal sayı ise tür." "Bugün pazardır ancak ve ancak dün cumartesidir." ifadelerinden her biri birer bileşik önermedir. Birbirinin olumsuzu olmayan n farklı önerme için n tane doğruluk durumu vardır. n = n = n =. KONTROL NOKTASI Birbirinin değili olmayan farklı önerme için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) D) E) Cevap : D

11 HIZ TESTİ - Doğruluk Tablosu, Bileşik Önermeler Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. Birbirinin değili olmayan farklı önerme için kaç farklı doğruluk değeri vardır? A) B) C) D) E). Aşağıda verilen, I. Dün soru çözdüm ve sinemaya gittim. II. Yağmur yağıyor. III. Bir karenin beş kenarı vardır veya bir üçgenin üç kenarı vardır. ifadelerinden hangileri bir bileşik önermedir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. Birbirinin değili olmayan n + önerme için doğruluk durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) D) E). Birbirinin değili olmayan farklı önerme için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) D) E). Aşağıda verilen, I. = ise = dir. II. Ali dün İstanbul a gitti. III. Karın rengi mordur. ifadelerinden hangileri bir bileşik önermedir? C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III. p ve r birbirinin değili olmayan iki farklı önermedir. p, p ve r önermeleri için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) D) E). p bir önermedir. p ve p önermelerinin doğruluk tablosu aşağıdakilerden A) p p B) p p C) p p D) p p E) p p. Aşağıda verilen, I. x = ise x = tür. II. Ankara, İç Anadolu Bölgesi ndedir ya da Ankara, İç Anadolu Bölgesi nde değildir. III. Ay Dünya nın uydusudur ancak ve ancak Dünya Güneş in etrafında döner. ifadelerinden hangileri bir bileşik önermedir? C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. p ve r birbirinin değili olmayan iki farklı önermedir. p, p, r ve r önermeleri için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) D) E) CEVAP ANAHTARI:. D. B. C. D. A. E. C. B. A

12 ÖĞRETEN TEST - ve Bağlacı Bileşik önerme kavramını bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: p ve q iki önerme olsun. p ile q nun ve bağlacıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ve q bileşik önermesi denir ve bu önerme p / q ile gösterilir. p, q, p / q önermelerinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. p q p / q I. p / q II. p / q III. p / q p ve q önermeleri için p / ve q / dır. önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III p /, q / iken p / q /, diğer tüm durumlarda p / q / dır. CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÇÖZÜM p / ve q /. I. p / q / / /. Kural: p önermesi verilsin. p / / / p / p / / / p / p p / p / p / p / II. p / q / / / / /. III. p / q / / / / /. Yalnız III ün doğruluk değeri dir. Özellikler p, q ve r önermeleri verilsin. Tek Kuvvet Özelliği p / p / p Değişme Özelliği p / q / q / p Birleşme Özelliği p / (q / r) / (p / q) / r. KONTROL NOKTASI p: Bir yıl on iki aydır. q: asal sayıdır. önermeleri veriliyor. I. p / q II. p / q III. p / q önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dır? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve II Cevap : B

13 HIZ TESTİ - ve Bağlacı Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p ve q iki önermedir. (p / p ) / q aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) p E) q. p bir önermedir. (p / (p ) ) / aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) p E) Hiçbiri. p ve q iki önermedir. p / (p / q ) / olduğuna göre, I. p / q II. p / q III. p / q önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III. p bir önermedir. (p / p) / aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) p E) Hiçbiri. p ve q iki önermedir. (p / q ) / q aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) q C) p / q D) E). p ve q iki önermedir. ((p / ) / q) / olduğuna göre, I. p / q II. p / q III. (p / ) / (q / ) önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p ve q iki önermedir. (p / q) / aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) p / q E) q. p ve q iki önermedir. (p / ) / (q /) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) q C) p D) E). p ve q iki önermedir. p / q / q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dır? A) q B) p C) q / D) p / q E) p / q CEVAP ANAHTARI:. A. C. A. C. D. E. B. B. E

14 ÖĞRETEN TEST - veya Bağlacı Bileşik önerme kavramını bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: p ve q iki önerme olsun. p ile q nun veya bağlacıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p veya q bileşik önermesi denir ve bu önerme p q ile gösterilir. p, q, p q önermelerinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. p q p q I. p q II. p q III. p q p ve q önermeleri için p / ve q / dır. önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III p /, q / iken p q /, diğer tüm durumlarda p q / dir. CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÇÖZÜM p / ve q /. I. p q / /. Kural: p önermesi verilsin. p / p / p p / p / p p / p p / II. p q / / /. III. p q / / /. I ve III ün doğruluk değeri dir. Özellikler p, q ve r önermeleri verilsin. Tek Kuvvet Özelliği p p / p Değişme Özelliği p q / q p Birleşme Özelliği p (q r) / (p q) r. KONTROL NOKTASI p: Türkiye de yedi coğrafi bölge vardır. q: Karenin beş köşesi vardır. önermeleri veriliyor. I. p q II. p q III. p q önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dır? C) I ve II D) I ve III E) II ve III Cevap : A

15 HIZ TESTİ - veya Bağlacı Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p ve q iki önermedir. (p p ) q aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) p E) q. p ve q iki önermedir. p q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) p / B) q / C) p q / D) p q / E) p q /. p ve q iki önermedir. p (p q ) / olduğuna göre, I. q II. p III. p / q önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dır? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p bir önermedir. (p p) ( ) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) p E) Hiçbiri. p ve q iki önermedir. (p ) (q ) / olduğuna göre, I. p q II. p / q III. p q önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dır? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p ve q iki önermedir. p q / q olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dır? A) B) q C) p q D) p / q E) (p ). p ve q iki önermedir. (p q) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) q C) p q D) E). p ve q iki önermedir. (p p ) (q q ) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p C) p D) E). p ve q iki önermedir. p (p q) / q olduğuna göre, I. p II. q III. p / q önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri kesinlikle dır? C) I ve II D) II ve III E) I ve III CEVAP ANAHTARI:. B. A. E. E. C. D. E. D. D

16 ÖĞRETEN TEST - Dağılma Özelliği, De Morgan Kuralları p / q, p q ve p önermelerini bilmelisiniz. ÖRNEK p ve q iki önermedir. Özellikler p, q ve r önermeleri verilsin.. p / (q r) / (p / q) (p / r). (p q) / r / (p / r) (q / r). p (q / r) / (p q) / (p r) (p q) q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p / q D) p / q E) p / q. (p / q) r / (p r) / (q r) Kural: De Morgan Kuralları. (p q) / p / q. (p / q) / p q ÖRNEK CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÇÖZÜM (p q) q / (p / q ) q / (p q) / (q q) p ve q iki önermedir. p / (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) q C) q / p D) p q E) p / q / (p q) / / p q ÇÖZÜM p / (p q) / (p / p ) (p / q) / (p / q) / p / q / q / p. KONTROL NOKTASI p ve q iki önerme olsun. (p / q) / (q p) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) q C) p D) q E) p q Cevap : B

17 HIZ TESTİ - Dağılma Özelliği, De Morgan Kuralları Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p ve q iki önermedir. (p q) / q A) B) C) p D) q E) q. p ve q iki önermedir. (p q) / (p q ) A) q B) q C) p D) p E). p, q ve r üç önermedir. aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) ((p q) / r) / (p / q ) r B) (p q) / r / (p / r) (q / r) C) (p q ) / p / q D) (p q) s / (p / q ) / s E) (p / ) / p. p ve q iki önermedir. (p / q) q A) p q B) p q C) p q D) p / q E) p / q. p ve q iki önermedir. (p / q) (p q ) A) p B) C) D) q E) q. p, q ve r üç önermedir. (p q) / (q r) / q olduğuna göre, p, q, r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla nedir? A),, B),, C),, D),, E),,. p ve q iki önermedir. (p / q) A) p / q B) p q C) p q D) p q E) p q. p ve r iki önermedir. p / (p r) A) B) r C) p D) p E) r. p, q ve r üç önermedir. (p / q) r / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri kesinlikle dir? A) (p q ) / r B) p r C) p (q r) D) p q E) q r CEVAP ANAHTARI:. A. B. D. C. E. D. D. A. C

18 ÖĞRETEN TEST - ya da Bağlacı Bileşik önerme kavramını bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: p ve q iki önerme olsun. p ile q nun ya da bağlacıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ya da q bileşik önermesi denir ve bu önerme p Q q ile gösterilir. p ve q önermeleri için p / ve q / dır. I. p Q q II. (p Q q) / p III. (p Q q ) q p, q, p Q q önermelerinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. p q p Q q p ile q önermelerinden yalnız biri doğru iken p Q q /, diğer tüm durumlarda p Q q / dır. CERAN MATEMATİK YAYINLARI önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III ÇÖZÜM p / olduğundan p / dir. q /. I. p Q q / Q / Kural: p önermesi verilsin. p Q p / p Q p / p Q p / p Q / p II. (p Q q) / p / ( Q ) / / / / III. (p Q q ) q / ( Q ) / ( Q ) / / p Q / p I, II ve III ün doğruluk değeri dir. Özellikler p, q ve r önermeleri verilsin.. Değişme Özelliği p Q q / q Q p. Birleşme Özelliği (p Q q) Q r / p Q (q Q r). KONTROL NOKTASI p ve q iki önermedir. p Q q / olduğuna göre, p q aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p / q C) p D) q E) p Q q Cevap : E

19 HIZ TESTİ - ya da Bağlacı Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p bir önermedir. (p Q p ) Q (p Q p) A) B) C) p D) p E) p / p. p ve q önermedir. (p Q p ) Q (q Q ) A) p B) C) D) q E) q. p, q ve r üç önermedir. (p Q q) / r / olduğuna göre, I. (p q) / r II. p / q / r III. (p Q r) / r önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri kesinlikle dir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p ve q iki önermedir. (p Q p) Q (q Q q ) A) B) C) p D) p E) q. p ve q iki önermedir. (p Q p ) Q (q q ) A) B) C) p D) p E) q. p ve q iki önermedir. (p Q q) p / q olduğuna göre, I. p / q II. p / q / III. p q / önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri dir? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. p ve q iki önermedir. (p Q p ) Q q A) p B) p C) q D) q E). p ve q iki önermedir. (p / q ) Q (p q) A) B) C) p D) p q E) p q. p ve q iki önermedir. (p Q ) / (q Q ) / q olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p / q B) p Q q C) p / q D) p / q E) p Q q CEVAP ANAHTARI:. A. B. C. E. A. A. A. E. D

20 ÖĞRETEN TEST - ise Bağlacı Bileşik önerme kavramını bilmelisiniz. ÖRNEK p ve q iki önermedir. Tanım: p ve q iki önerme olsun. p ile q nun ise bağlacıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ise q bileşik önermesi denir ve bu önerme p & q ile gösterilir. p / ve q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi p & q önermesine denktir? A) p / q B) p C) p q D) p Q q E) p Q p p, q, p & q önermelerinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. p q p & q p /, q / iken p & q /, diğer tüm durumlarda p & q / dir. CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÇÖZÜM p & q / & /. A) p / q / / / / /. Kural: p ve q önermeleri verilsin. p & p / p p & p / B) p /. C) p q / /. D) p Q q / Q /. E) p Q p /. p & / p p & / & p / & p / p p ve q iki önermedir.. KONTROL NOKTASI (p & p) Q (q & ) A) B) C) p D) p E) q Cevap : B

21 HIZ TESTİ - ise Bağlacı Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p ve q iki önermedir. p / ve q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dır? A) q & p B) p & q C) p & q D) q & p E) q & p. p ve q iki önermedir. ( & p) q A) B) C) p D) q E) q. p ve q iki önermedir. (p / p) & (p q) A) B) C) p D) p q E) p / q. p bir önermedir. I. p & p / p II. p & / III. & p / denkliklerinden hangileri doğrudur? C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. (p / q) & r / olduğuna göre, I. p Q q II. (p & q) & r III. (p q) & r önermelerinden hangileri r önermesine denktir? I C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p ve q iki önermedir. (p p ) & (p / q) / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dır? A) p q B) p Q q C) p / q D) p & q E) p & q. p ve q iki önermedir. p / ve q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) (p & q) / q B) (q & p) Q p C) (p & q) q D) (p & q) & (p & q) E) (p / q) & q. p, q ve r üç önermedir. (p & q) r / olduğuna göre, (p, q, r) sıralı üçlüsüne karşılık gelen doğruluk değerleri aşağıdakilerden A) (,, ) B) (,, ) C) (,, ) D) (,, ) E) (,, ). p ve q iki önermedir. p & q / p / q olduğuna göre, I. p q II. & p III. q & önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri kesinlikle dir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III CEVAP ANAHTARI:. B. C. D. A. B. C. B. B. C

22 ÖĞRETEN TEST - Gerektirme, Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi p & q ve p q önermelerini bilmelisiniz. ÇÖZÜM Kural: p ve q önermeleri verilsin. (p & q) / (p q) / p / q p & q / p q p & q / q & p Tanım: ÖRNEK " ise tür." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız. p ve q önermeleri verilsin. p & q / ise p & q önermesine gerektirme denir. Örneğin, ÇÖZÜM p: " tir." q: " + = tür." önermeleri için p / ve q / dir. p & q: " ise + = tür." p & q / & / olduğundan p & q önermesi bir gerektirmedir. Tanım: p ve q iki önerme olsun. q & p önermesine p & q önermesinin karşıtı, CERAN MATEMATİK YAYINLARI Karşıtı: " ise tür." Tersi: " # ise # tür." Karşıt tersi: " # ise # tür." ÖRNEK "Ankara başkent ise x tir." ifadesinin bir gerektirme olduğu bilindiğine göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz? p & q önermesine p & q önermesinin tersi, q & p önermesine p & q önermesinin karşıt tersi denir. Örneğin, " ise + = tür." önermesinin karşıtı " + = ise tir.", tersi " $ ise +! tür.", karşıt tersi " +! ise $ tir." A) B) C) D) E) ÇÖZÜM p & q: "Ankara başkent ise x tir." p: "Ankara başkent" / p & q gerektirme olduğundan p & q / dir. ÖRNEK O hâlde q / olmalıdır. x = olamaz! p ve q iki önermedir. p & q önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) p q B) p / q C) p / q D) p q E) p Q q. KONTROL NOKTASI p ve q iki önermedir. p & q önermesi bir gerektirme olmadığına göre aşağıdakilerden hangisi bir gerektirmedir? A) q & p B) & p C) p & D) p & q E) q & Cevap : D

23 HIZ TESTİ - Gerektirme, Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p ve q iki önermedir.. "a = ise a = tür." önermesinin karşıtı aşağıdakilerden. p ve q iki önermedir. p & q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p / q A) "a! ise a! dir." B) "a! ise a! tür." C) "a = ise a = tür." D) "a = ise a = dir." E) "a! ise a! tür." (p & q) / p A) q B) p / q C) p / q D) p q E) p / q. p ve q iki önermedir. p & q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p C) q & p D) p & q E) q & p. "Saat : ise işçiler çalışmayı sonlandırmıştır." önermesinin tersi aşağıdakilerden A) "Saat : ise işçiler çalışıyordur." B) "İşçiler çalışmayı sonlandırmış ise saat : dır." C) "Saat : değilse işçiler çalışmayı sonlandırmamıştır." D) "İşçiler çalışıyorsa saat : değildir." E) "Saat : değilse işçiler yemek arasındadır.". p, q ve r üç önermedir. I. r & (p q) II. (p q) & r III. (p q) & r önermelerinden hangileri (p & q) r önermesine denktir? C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III. p ve q iki önermedir. p & q önermesi bir gerektirme olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle bir gerektirmedir? A) q & p B) q & p C) q & p D) p & q E) p & q. "Nihal Uşak'ta ise Türkiye'dedir." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) "Nihal Türkiye'de değilse Uşak'ta değildir." B) "Nihal Türkiye'de ise Uşak'tadır." C) "Nihal Uşak'ta değilse Türkiye'de değildir." D) "Nihal Türkiye'de değilse Uşak'tadır." E) "Nihal Türkiye'de ise Uşak'ta değildir.". p, q ve r üç önermedir. I. (p q) & r II. r & (p q) III. (p & q) r önermelerinden hangileri (p / q ) r önermesine denktir? C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III CEVAP ANAHTARI:. A. B. C. D. C. A. E. D. E

24 ÖĞRETEN TEST - "ancak ve ancak" Bağlacı p & q ve p / q önermelerini bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: p ve q iki önerme olsun. p & q ile q & p önermelerinin "ve" bağlacıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen (p & q) / (q & p) bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir. İki yönlü koşullu önerme "p + q" ile gösterilir ve "p ancak ve ancak q" olarak okunur. p, q, p + q önermelerinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. ÇÖZÜM p ve q iki önermedir. (p + p ) q A) B) C) q D) p E) q (p + p ) q / q / q p q p + q p ile q denk iken p + q /, değilken p + q / dır. CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÖRNEK Aşağıda verilen, I. " + ( ) " II. " asal sayıdır. + çift sayıdır." III. " = + = " önermelerinden hangileri bir çift gerektirmedir? Kural: p önermesi verilsin. p + q / (p & q) / (q & p) p + / p C) Yalnız III ÇÖZÜM D) I ve II E) I ve III p + / p p + q / q + p p + p / p + p / p + q / p + q (p + q) / p + q / p + q I. " + ( ) " / + /. II. " asal sayıdır. + çift sayıdır." / + /. III. " = + = " / + /. I ve II çift gerektirmedir. Tanım: p ve q iki önerme olsun. p + q / ise bu önermeye çift gerektirme denir. Örneğin, " + + = " / + / olduğundan " + + = " çift gerektirmedir.. KONTROL NOKTASI p ve q iki önermedir. (p & ) + (q & ) A) p B) p C) q D) q E) Cevap : B

25 HIZ TESTİ - "ancak ve ancak" Bağlacı Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. p ve q iki önermedir. (p + p) + q A) B) C) q D) p E) p. p, q ve r üç önermedir. (p / q) + r önermesi çift gerektirmedir. p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla a, b, c olduğuna göre, kaç farklı (a, b, c) sıralı üçlüsü vardır? A) B) C) D) E). p ve q iki önermedir. (p + q) & p A) p q B) p q C) p / q D) p / q E) p & q. p ve q iki önermedir. (p + ) + (q + ) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p + q B) (p + q) C) D) E) p. p ve q iki önermedir. p + (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p C) p q D) p / q E) p / q. p ve q iki önermedir. (p + q) / p A) p q B) p q C) p / q D) p / q E) p / q. " tek sayıdır + çift sayıdır." önermesi, I. " çift sayıdır + tek sayıdır." II. " çift sayı değildir + tek sayı değildir." III. " çift sayıdır + çift sayıdır." önermelerinden hangilerine denktir? C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III. p, q ve r üç önermedir. (p + q) & r / olduğuna göre, I. (p Q q) II. (p & r) (r & q) III. p q r önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri kesinlikle dir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p ve q iki önermedir. (p + q) q A) B) C) p q D) p & q E) q & p CEVAP ANAHTARI:. C. B. D. D. B. C. A. E. D

26 ÖĞRETEN TEST - Açık Önerme Önerme kavramını bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir. Örneğin, "x asal sayıdır." tek değişkenli bir açık önermedir. İçerisinde x gibi tek değişken bulunduran bir açık "x! Z, x " açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden A) {,, } B) {,,, } C) {...,,,,,, } D) {,,,...} E) {,,,,,, } önerme p(x), q(x),... ile gösterilir. p(x): "x asal sayıdır." x = için p(): " asal sayıdır." / x = için p(): " asal sayıdır." / Tanım: CERAN MATEMATİK YAYINLARI ÇÖZÜM x değişkeninin değerlerini aldığı küme A ve p(x) bir açık önerme olsun. p(x) önermesini doğru yapan bütün x değerlerinin kümesine p(x) önermesinin doğruluk kümesi denir. Doğruluk kümesini D ile gösterirsek, D = {x! A: p(x) / } dir. Örneğin, p(x): "x! N, x " önermesi x =, x =, x = ve x = için doğru olduğundan doğruluk kümesi D = {,,, } tür. Karesi dan küçük olan x tam sayıları,,,,, ve tür. O hâlde, D = {,,,,,, } tür.. KONTROL NOKTASI p(x): "x! Z: # x " açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E) Cevap : C

27 HIZ TESTİ - Açık Önerme Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. Aşağıda verilen, I. "x! Z, x = " II. "x, y! N, x + y = " III. " bir tam sayıdır." IV. "x! Z, x " önermelerinden kaç tanesi açık önermedir? A) B) C) D) E). p(x): "x! Z, x " açık önermesi için p(a) / ve p(b) / olduğu biliniyor. b a nın en küçük değeri kaçtır? A) B) C) D) E). p(x, y): "x ve y pozitif tam sayı, x + y = " açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E). p(x): "x! N, x " açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E). p(x): "x! Z, x # " açık önermesinin doğruluk kümesinin en büyük elemanı kaçtır? A) B) C) D) E). p(x): "x! Z, x # " q(x): "x! Z, x " açık önermeleri veriliyor. a ve b tam sayıları için p(a) & q(b) önermesinin bir gerektirme olmadığı bilindiğine göre, a + b nin en büyük değeri kaçtır? A) B) C) D) E). p(x): "x! Z, x " açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E). p(x): "x ili Ege bölgesindedir." açık önermesi veriliyor. aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dır? A) p(izmir) B) p(aydın) C) p(balıkesir) D) p(muğla) E) p(denizli). Aşağıdakilerden hangisi, p(x): "x! Z, x x " açık önermesinin doğruluk kümesinin bir elemanıdır? A) B) C) D) E) CEVAP ANAHTARI:. D. B. A. D. E. C. B. C. E

28 ÖĞRETEN TEST - Niceleyiciler Önerme ve bileşik önerme kavramlarını bilmelisiniz. ÖRNEK Tanım: Günlük hayatta kullandığımız "her" ve "bazı" sözcükleri önermelerde de kullanılabilir. Örneğin, "Her insan ölümlüdür." "Bazı hayvanlar suda yaşar." "her" ve "bazı" nicelik (çokluk) belirten sözcüklerdir. "Her pozitif tam sayının katı pozitiftir." önermesinin sembolik mantık diliyle yazılışı aşağıdakilerden A) "x! Z, x " B) "x! Z +, x $ " C) "x! Z +, x " D) "x! Z, x $ " E) "x! Z +, x " ÇÖZÜM Bu nedenle bu sözcüklere önermenin niceleyicileri denir. "her" niceleyicisi sembolü ile, "bazı" niceleyicisi sembolü ile gösterilir. "her" niceleyicisine evrensel niceleyici, "bazı" niceleyicisine varlıksal niceleyici denir. Önermenin Sembolik Önerme Mantık Diliyle Yazılışı CERAN MATEMATİK YAYINLARI "x! Z +, x " ÖRNEK "x! R, x $ " açık önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden A) "x! R, x " B) "x! R, x # " C) "x! R, x " D) "x! R, x " "Her insan ölümlüdür." "x, x insanı ölümlüdür." E) "x! R, x " "Bazı hayvanlar suda yaşar." "x, x hayvanı suda yaşar." ÇÖZÜM (x! R, x $ ) / x! R, x Tanım: x, p(x) açık önermesinin değili x, p (x) tir. [x, p(x)] / x, p (x) x, p(x) açık önermesinin değili x, p (x) tir. [x, p(x)] / x, p (x) Örneğin, (x! Z, x ) / x! Z, x #. (x! Z, x = ) / x! Z, x!.. KONTROL NOKTASI "Karesi olan tam sayılardan biri dir." önermesinin sembolik mantık diliyle yazılışı aşağıdakilerden A) "x! Z, x = & x = " B) "x! Z, x = / x = " C) "x! Z, x = & x = " D) "x! Z, x = x = " E) "x! Z, x = Q x = " Cevap : A

29 HIZ TESTİ - Niceleyiciler Bu testi çözmeniz için önerilen süre, dakikadır.. "Bazı insanların göz rengi kahverengidir." önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "Bazı insanların göz rengi kahverengi değildir." B) "Her insanın göz rengi mavidir." C) "Her insanın göz rengi kahverengi değildir." D) "Her insanın göz rengi kahverengidir." E) Hiçbiri. "En az bir doğal sayının karesi, sayının kendisinden büyüktür." önermesinin sembolik mantık diliyle yazılışı aşağıdakilerden A) "x! N, x x" B) "x! N, x x" C) "x! N, x $ x" D) "x! N, x $ x" E) "x! N, x x". Sembolik mantık kullanılarak verilen, "x! Z, x + " önermesinin sözel olarak ifadesi aşağıdakilerden A) "Her tam sayı ten büyüktür." B) "Bazı tam sayılar ten büyüktür." C) "Her tam sayının fazlası ten büyüktür." D) "Bazı tam sayıların fazlası ten büyüktür." E) "Bazı tam sayıların fazlası ten büyük ya da e eşittir.". "Toplamları olan en az iki doğal sayı vardır." önermesinin sembolik mantık diliyle yazılışı aşağıdakilerden A) "x, y! N, x + y = " B) "x, y! N, x + y = " C) "x! N, y! N, x + y = " D) "x! N, y! N, x + y = " E) "x, y! Z, x + y = ". "(x! R, x x) (x! R, x = )" önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "(x! R, x # x) (x! R, x )" B) "(x! R, x x) / (x! R, x! )" C) "(x! R, x # x) (x! R, x! )" D) "(x! R, x # x) / (x! R, x! )" E) "(x! R, x # x) / (x! R, x! )". "(x! Z, x = x) & (x! R, x )" önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) "(x! Z, x ) & (x! R, x = x)" B) "(x! R, x # ) & (x! Z, x! x)" C) "(x! R, x ) & (x! Z, x = x)" D) "(x! Z, x! x) & (x! R, x # )" E) "(x! Z, x # ) & (x! R, x! )". "x! Z, y! Z, x y" önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden A) "x! Z, y! Z, x # y" B) "x! Z, y! Z, x y" C) "x! Z, y! Z, x y" D) "x! Z, y! Z, x y" E) "x! Z, y! Z, x # y" CEVAP ANAHTARI:. C. A. D. A. D. B. E

30 TARAMA TESTİ - Tarama Testleri Bu testi çözmeniz için önerilen süre dakikadır.. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "En güzel mevsim yazdır." B) "Ateşle oynama!" C) "Öğrencilerin en çok zorlandığı ders matematiktir." D) "Ocak ayı gündür." E) "Olur mu öyle şey?". Birbirinin değili olmayan n farklı önerme için doğruluk durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) D) E). p ve q iki önermedir. (p & q) / (p & q) A) B) C) q D) p E) q. p: "Ankara'da on tane üniversite vardır." önermesi veriliyor. q: "Ankara'da on bir tane üniversite vardır." r: "Ankara'da on tane üniversite olduğu bilgisi yanlıştır." s: "Ankara'daki üniversite sayısı on değildir." önermelerinden hangileri p nin değilidir? A) Yalnız q B) Yalnız r C) r ve s D) q ve r E) q ve s. p ve r iki önermedir. (p & r) r A) p / r B) p r C) p / r D) p r E) p r. p: " + : = dir." q: "En küçük tam sayı yoktur." r: " dir." önermeleri veriliyor. I. p & q II. q & r III. r & p önermelerinden hangileri bir gerektirmedir? C) I ve II D) I ve III E) II ve III

31 Tarama Testleri. p ve q iki önermedir. (p Q q) Q q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) C) p D) q E) p. p, q ve r üç önermedir. r & (p q) önermesinin karşıt tersinin doğruluk değeri olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden A) (,, ) B) (,, ) C) (,, ) D) (,, ) E) (,, ). p(x) açık önermesinin değişkeni (x) doğal sayılar kümesine aittir. x! N, p(x) / önermesinin doğruluk değeri olduğuna göre, p(x) açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E). p ve q iki önermedir. I. (p q) / p / q II. (p / q) / p q III. (p & q) / p / q IV. (p + q) / p + q V. (p Q q) / p Q q denkliklerinden kaç tanesi doğrudur? A) B) C) D) E). p ve q iki önermedir. p + (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p C) p q D) p / q E) p q. "Bazı gerçek sayıların kendisi ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az dir." önermesinin sembolik mantık diliyle yazılışı aşağıdakilerden A) x! Z, x + $ x B) x! R, x + # x C) x! R, x + x D) x! R, x + $ x E) x! R, x + $ x CEVAP ANAHTARI:.D.C.A.B.E.D.C.E.A.B.A.D

32 TARAMA TESTİ - Tarama Testleri Bu testi çözmeniz için önerilen süre dakikadır.. Aşağıda verilen, I. (p ) / II. / III. p / için p & q / dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? C) I ve II D) II ve III E) I ve III. Birbirine denk olmayan p ve q önermeleri veriliyor. I. p / q II. p Q q / III. p & q / q denkliklerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. p, q ve r üç önermedir. p & (q r ) / olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri dır? A) p & r B) r & q C) q & r D) p + r E) q r. p ve q iki önermedir. q (q / p ) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p / q C) p q D) (p / q) E) p / q. p ve q iki önermedir. (p / q ) / (p & p ) / olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p Q q B) p + q C) p & q D) p q E) p / q. p, q ve r üç önermedir. q / r / r & p / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) p / r B) q / r C) p / q D) p / E) q & r /

33 Tarama Testleri. p: "Her kare bir dikdörtgendir." q: "Her eşkenar üçgen bir ikizkenar üçgendir." r: "Türkiye güney yarım kürededir." önermeleri veriliyor. aşağıdakilerden hangisi bir çift gerektirmedir? A) p + q B) p + q C) q + r D) p + r E) p + r. p(x): "x! R, x " q(x): "x! R, x " açık önermeleri veriliyor. aşağıdakilerden hangisi bir gerektirmedir? A) p(x) & q(x) B) q(x) & p(x) C) q (x) & p (x) D) p(x) & q (x) E) q(x) & p (x). "(x! R, x # x ) & (x! R, x = x )" önermesinin karşıtı aşağıdakilerden A) "(x! R, x = x ) & (x! R, x # x )" B) "(x! R, x x ) & (x! R, x! x )" C) "(x! R, x! x ) & (x! R, x x )" D) "(x! R, x x ) & (x! R, x! x )" E) "(x! R, x! x ) & (x! R, x x )". p ve q iki önermedir. p Q q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri kesinlikle dir? A) p & q B) q & p C) p Q q D) p + q E) p / q. p ve q iki önermedir. (p / q) / q / olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p & q B) (p Q q) / p C) (p + q) q D) (p q) / q E) (p q) / p. "x = & x = " önermesinin tersi aşağıdakilerden A) "x! & x! " B) "x = & x = " C) "x! & x! " D) "x = & x! " E) "x! & x = " CEVAP ANAHTARI:.D.D.E.C.B.A.D.C.B.D.A.A

34 TARAMA TESTİ - Tarama Testleri Bu testi çözmeniz için önerilen süre dakikadır.. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Türkiye'de il vardır." B) "Dün soru çözdüm." C) "Seni seviyorum." D) "Kediler iki ayaklıdır." E) "İki basamaklı en küçük doğal sayı dir.". p ve q iki önermedir. q + (p / q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p / q B) p q C) D) E) q p. p ve q iki önermedir. p (p / q) A) p B) p C) q D) E). Aşağıdaki önermelerden hangisinin değilinin doğruluk değeri dır? A) "! dur." B) "Bir gün dakikadır." C) " negatif sayıdır." D) "x! R, x " E) x! Z, ( ) x = ". p, q ve r üç önermedir. I. p (q / r) / (p q) / (p r) II. p / (q r) / (p / q) (p / r) III. p & (q r) / (p & q) (p & r) önermelerinden hangileri doğrudur? C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. p, q ve r üç önermedir. I. q / r ise p q / p r dir. II. q / r ise p & q / p & r dir. III. p & q / p & r ise q / r dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III

35 Tarama Testleri. "Ayşe Ahmet'in kardeşi değildir ya da Zeynep Hasan'ın eşi değildir." / "Zeynep Hasan'ın eşidir veya Ayşe evli değildir." / "Ahmet okula gidiyor ancak ve ancak Ayşe evli değildir." / "Ahmet okula gitmiyor." / olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) "Zeynep Hasan'ın eşi değildir." B) "Ayşe evli değildir." C) "Ayşe Ahmet'in kardeşi değildir." D) "Ahmet okula gidiyor." E) Hiçbiri. p(x): "x! N, (x + ) x" açık önermesi için p(), p() ve p() ifadelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden A),, B),, C),, D),, E),,. "Her x tam sayısı için bir y tam sayısı vardır öyle ki x + y = tir." önermesinin sembolik mantık diliyle yazılışı aşağıdakilerden A) "x! Z, y! Z, x + y = " B) "x! Z, y! Z, x + y = " C) "x! Z, y! Z, x + y = " D) "x! Z, y! Z, x + y = " E) "x! R, y! Z, x + y = ". p p p p a b Tabloda verilenlere göre aşağıdaki denkliklerden hangileri doğrudur? I. a + b / II. p & a / a II. a Q b / A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. p ve q iki önermedir. (p / (p & q)) & q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q & p B) p / q C) p q D) p q E) p / q. "Ali siyah saçlı ise Ayşe sarışındır." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden A) "Ayşe sarışın değil ise Ali siyah saçlı değildir." B) "Ali sarışın ise Ayşe siyah saçlıdır." C) "Ayşe sarışın ise Ali siyah saçlıdır." D) Ali siyah saçlı değil ise Ayşe sarışın değildir. E) Ali siyah saçlı değil ise Ayşe sarışındır. CEVAP ANAHTARI:.C.B.E.E.A.B.C.B.D.C.D.A

36 TARAMA TESTİ - Tarama Testleri Bu testi çözmeniz için önerilen süre dakikadır.. p bir önerme olmak üzere, ( ) & ( Q ) aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & B) p Q p C) & p D) p + p E) p / p. p ve q iki önermedir. ((p + p) + p) q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p C) p D) q E). p ve q iki önermedir. I. ( p) + ( / q ) II. ( / q ) + (q ) III. (p p ) & p önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri kesinlikle dır? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. p, q ve r üç önermedir. aşağıdaki denkliklerden hangisi yanlıştır? A) p (q & r) / (q & p) r B) (p + ) / (q ) / p / q C) (p Q p ) / (p & p) / q D) p Q (q r) / (p Q q) (p Q r) E) p & (p Q ) / p. p ve q iki önermedir. (p + p ) (q Q ) A) q B) q C) p D) p E). "(p q) & p" önermesinin en sade hâlini bulmak isteyen Deniz çözüm için aşağıdaki adımları izliyor: I. (p q) & p / (p q) p II. / (p / q ) p III. / (p p) / (q p) IV. / / (q p) V. / Deniz kaçıncı adımda hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V

37 Tarama Testleri. p ve q iki önermedir. I. p Q q / p Q q II. p + q / p + q III. p & q / p & q denkliklerinden hangileri doğrudur? C) I ve II D) I ve III E) II ve III. p, q ve r üç önermedir. (p & q) + r / olduğuna göre, p, q ve r için kaç farklı doğruluk değeri vardır? A) B) C) D) E). p(x): "x! R, x " açık önermesi veriliyor. aşağıdakilerden hangisi p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin bir elemanıdır? A) D) B) C) E). p: "x = " q: "x = " r: "x = " önermeleri veriliyor. I. p & r II. r & p III. r & q IV. r & (p q) V. r + (p q) önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri dir? A) B) C) D) E). p ve q iki önermedir. p + (p q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p Q q B) p / q C) q & p D) p & q E) p q. p ve q iki önermedir. (p Q q) / olduğuna göre, I. p / q II. p q III. p + q IV. p q V. p & q önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri kesinlikle dir? A) B) C) D) E) CEVAP ANAHTARI:.A.D.B.A.B.D.C.C.D.C.A.C

38 AÇIK UÇLU TEST Açık Uçlu Testler Aşağıdaki soruların cevaplarını yanlarındaki bölüme kodlayınız.. Aşağıda verilen,. p ve q iki önermedir. I. "Bakar mısınız?" II. "Bu maçı kazanacağız!" I. q & p III. "Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı dir." IV. "Yok artık!" V. "Hasan ODTÜ de okuyor." ifadelerinden kaç tanesi bir önerme belirtir? II. p q III. q & p IV. (p & q) & q önermelerinden kaç tanesi p & q önermesine denktir?. Birbirinin değili olmayan farklı önerme için kaç farklı doğruluk değeri vardır? CERAN MATEMATİK YAYINLARI. p ve q iki önermedir. p q _ p Q q olduğuna göre, I. p & q II. q & p III. p + q IV. p q V. p / q önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri dir?. p: " dir." q: "x! R, x = " r: "x! Z, x çift sayıdır." önermeleri veriliyor. I. p / q II. p r III. q & r IV. p Q r V. (p + q) Q (q + p ) önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri dir?. "İstanbul Türkiye'de ise x # dir." ifadesinin bir gerektirme olduğu bilindiğine göre, x in en büyük değeri kaçtır?

39 Açık Uçlu Testler. " + x dur.". p ve q iki önermedir. ifadesi bir çift gerektirme olduğuna ( Q p) + q / q göre, x in en küçük değeri kaçtır? olduğuna göre, I. p & q II. q & p III. p / q IV. p + q V. p Q q önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri kesinlikle dır?. "p & (p & q)". p(x, y): "x, y! R, x # y" önermesinin en sade hâlini bulmak isteyen Ahmet çözüm için aşağıdaki adımları izliyor.. p & (p & q) / p (p & q). / p (p q). / (p p ) q. / q. / Ahmet kaçıncı adımda hata yapmıştır? CERAN MATEMATİK YAYINLARI açık önermesi veriliyor. I. p(x, x) II. (p(x, y) / p(y, z)) & p(x, z) III. (p(x, y) / p(y, x)) & x = y IV. p(, ) & p(, ) önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri dir?. p(x): "x! Z, # x + ". p ve q iki önermedir. açık önermesinin doğruluk kümesi (p & q) / (q & p) / kaç elemanlıdır? olduğuna göre, I. p / q II. p Q q / (p ) III. p q / p + q IV. p q / & p denkliklerinden kaç tanesi doğrudur? CEVAP ANAHTARI:

40 YAZILI SORULARI Yazılı Soruları. "Önerme" kavramının tanımını yazınız.. p, q ve r önermeleri veriliyor. (p / q) r / p & r / olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.. Birbirinin değili olmayan n farklı önerme için farklı doğruluk durumu vardır. n kaçtır?. p ve q iki önermedir. (p & p ) Q (q & ) önermesinin en sade hâlini bulunuz.. p, q ve r önermeleri veriliyor. (p & q) r önermesinin doğruluk tablosunu yazınız. CERAN MATEMATİK YAYINLARI. p ve q iki önermedir. p + (p q) önermesinin en sade hâlini bulunuz.. A c b ABC bir üçgen BC = a cm AC = b cm AB = c cm B a C. p ve q iki önermedir. (p p ) (q q ) önermesinin en sade hâlini bulunuz. Yukarıdaki verilere göre, " mcab (\ ) = ise a = b + c dir." önermesinin karşıt tersinin değilini (olumsuzunu) yazınız.