dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

Transkript

1 BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A) = m n dr. Br başka deyşle br olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydak tüm sonuçların sayısına oranıdır. Daha önceden bahsedldğ gb, br deneyn bütün sonuçları o deneyn örnek uzayını meydana getrr ve örnek uzay S harf le gösterlr. Örnek uzayın altkümeler se, olay olarak tanımlanır. Br zarın atılışında örnek uzay: S={,, 3, 4, 5, } şeklndedr. Çft sayı gelmes br A olayı se A={, 4, } dır. Br deneyden elde edlen ve tek br sonuç veren olaylara bast olay denr. Maden para le tek atışta tura gelmes bast olaya örnek olarak verleblr. İk veya daha çok olayın brlkte veya brbr ardına gerçekleşmes le brleşk olay meydana gelr. Br para le k atış yapıldığında örnek uzay S { YY, YT, TY, TT} olur ve bu br bleşk olaydır. Aynı şeklde zarla yapılan atışta

2 S={ (,), (,),, (,)} olur. S kümes.=3 elemanlıdır ve bu da bleşk olaydır. Örnek 3... Br zarın br kere atılışı deneynde örnek uzay S = {,, 3, 4, 5, } ve her br örnek noktanın gerçekleşmes olasılığı dır. veya 5 n üste gelmes olayını A le gösterrsek; A = {,5} dr ve P(A) = 3 olur. Bu olasılık P( nn gelmes)+p(5 n gelmes)= 3 olarak da hesaplanır. A olayının ortaya çıkmama olasılığını (, 3, 4 veya nın üste gelmes) A' le gösterrsek; P(A' ) = -P(A)= veya 3 3 P( n gelmes)+ P(3 ün gelmes)+p(4 ün gelmes)+p( nın gelmes)= 3 olur. Örnek 3...,, 3, 4, 5 rakamlarının kullanılmasıyla rakamları tekrarsız olarak yazılan 3 basamaklı sayılardan br tanes seçlyor. Bu sayının Çft sayı olması olasılığı: n katı olması olasılığı: Tanım 3... Br deney n defa tekrarlandığında br A olayının görülme sayısı olayının relatf frekansı n A se, A

3 f A na n dır. Bu tanım olasılığın frekans tanımı olarak blnr. Örnek Hlel br paranın 000 kez atılmasında 570 kez tura elde edlyor. Buna göre bu paranın kez atılmasında tura gelmes olasılığı nedr? 570 f A 0, Tanım (Olasılık Aksyomları) Br E deney çn örnek uzay S olsun. S dek br A olayının P(A) olasılığı le lgl aşağıdak aksyomlar vardır. () PA ( ) 0 () PS ( ) A, A,..., A,... sonlu ya da sonsuz sayıda kşer kşer ayrık olaylar se (3) n P( A A... An...) P( A) dr. Özellkler () mkansız olay se, P( ) 0 dır. () A olayı A olayını tümleyen se P( A) P( A) dır. () A ve B herhang k olay se, P( A B) P( A) P( B) P( A B) Örnek kartlık br desteden rasgele br kart çeklyor. Bu kartın kl veya maça olması olasılığı nedr? İ={Seçlen kartın kl olması} M={Seçlen kartın maça olması} 3

4 İ M={Seçlen kartın kl veya maça olması} 4 3 P( İ M ) P( İ) P( M ) P( İ M ) Koşullu Olasılık Tanım 3... A ve B, S örnek uzayında k olay olsun. B verlmşken A olayının gerçekleşmes olasılığına koşullu olasılık denr ve P( A / B ) le gösterlr. P( A B) P( A / B), P( B) 0 PB ( ) olarak tanımlanır. Ayrıca P( A B) P( B / A), P( A) 0 PA ( ) dır. Buradan P( AB) P( A). P( B / A) veya P( AB) P( B). P( A/ B) yazılablr. Bu son k fade koşullu olasılık çn çarpma kurallarıdır. Örnek 3... Br okuldak.sınıf öğrenclernn %5 matematk dersnde, %5 fzk dersnde ve %0 u hem matematk hem fzk dersnde başarı göstermştr. Bu sınıftan 4

5 rastgele br öğrenc seçlyor. Seçlen öğrenc matematk dersnden başarılı se, fzk dersnden de başarılı olma olasılığı nedr? P(M) = 0,5 P(F) = 0,5 P(M F)=0,0 olarak verlyor. P( M F) 0,0 P( M / F) 0,40 PF ( ) 0,5 Tanım 3... (Örnek Uzayın Parçalanışı) Br S örnek uzayında aşağıdak koşulların sağlanması durumunda örnek uzayının br parçalanışı denr. B,..., Bk olaylarına S (a) B Bj, j ve, j k (b) PB ( ) 0, ve k (c) k B S Yan br E deney yapıldığında, B olaylarından br ve yalnız br gerçekleşecektr. Teorem 3... (Br Parçalanış Altında Olasılıklar) B, B,..., B k, br S örnek uzayının br parçalanışı se, P B P B P B k ( ) ( )... ( ) dr. Teorem 3... (Toplam Olasılık Formülü) B, B,..., B k lar, S örnek uzayının br parçalanışı olsun. A, S de br olay se, 5

6 k P( A) P( B) P( A / B) dr. Örnek tanes kusurlu 00 parçanın bulunduğu depodan adesz k parça alınsın. İknc seçlen parçanın kusurlu olması olasılığı nedr? A {. parça kusurludur} A {. parça kusursuzdur} B {. parça kusurludur} P B P A P B A P A P B A ' ' ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) Bayes Teorem Teorem B, B,..., B k, br S örnek uzayının br parçalanışı olsun. A, PA ( ) 0 olacak şeklde S de br olay se,,..., k çn P( B / A) k P( A / B ) P( B ) j P( A / B ) P( B ) j j dr. Örnek Br fabrkada A ve B gb k tpte ambalajlanan şekerleme kutuları olsun. Üretmn %0 ı, A tpnde ve kalanı B tpndedr. A nın %70 tatlı, kalanı ekş ve B nn se %30 u tatlı, kalanı ekş olsun. Üretm sonunda br şekerleme seçlyor ve tatlı olduğu görülüyor. Bunun A tpndek ambalajda olması olasılığı nedr? B tpndek ambalajda olması olasılığı nedr?

7 P( AT) P( A) P( T / A) 0,0.0,70 7 P( A / T) P( T) P( A) P( T / A) P( B) P( T / B) 0,0.0,70 0,40.0,30 9 ve P( B / T) Bağımsız Olaylar Aynı anda oluşmayan A ve B gb k olay ele alınsın. Böyle olaylara ayrık olaylar denr. A ve B ayrık olaylar se, B nn oluşması A nın oluşmasını mkansız yapar. Yan P( A B) P( A B) P( A / B) 0 dır. Ayrıca A B olduğunda P( B / A) dr. B PB ( ) PA ( ) olayının oluşması bazı durumlarda A olayının oluşması le lgl blg verrken, bazı durumlarda blg vermemektedr. Eğer P( A/ B) P( A) se, A ve B olayları bağımsızdır denr. Yan k olaydan brnn elde edlmes dğern etklemyorsa, böyle olaylara bağımsız olaylar denr. Koşullu olasılık tanımından P( AB) P( B) P( A/ B) P( AB) P( A) P( B) elde edlr. Tanım P( AB) P( A) P( B) olmasıdır. A ve B olaylarının bağımsız olması çn gerek ve yeter koşul Teorem A ve B, PA ( ) 0 ve PB ( ) 0 olmak üzere bağımsız olaylarsa, A ve B kümelernn en az br ortak noktası vardır. Yan A B dr. Örnek Br zar k kez atılsın.. atışta çft sayı gelmes ve knc atışta 5 veya gelmes olasılığı nedr? Bu olaylar (her k atış) lşkszdr. Yan brnn oluşması dğern etklemez. 7

8 P( A B), 3 3 PA ( ) ve PB ( ) 3 olduğundan, P( A B) P( A / B) P( A) ve PB ( ) 3 P( B A) P( B / A) P( B) PA ( ) 3 olur. Teorem A ve B, br S örnek uzayında k bağımsız olay olsun. () A ve B; () A ve B ; () A ve B (v) A ve S (v) A ve olayları da bağımsızdır. Örnek %0 u kusurlu 00 adet parçanın bulunduğu depodan rasgele k parça çeklyor. Her ksnn de kusursuz olması olasılığı nedr? İadel durumda olaylar bağımsızdır ve olasılık 0,9.0,9 0,8 dr. İadesz durumda olaylar bağımlıdır ve olasılık 89 0,9. 99 dr. Tanım A, B, C gb üç olayın tam bağımsız olmasının gerek ve yeter koşulu () P( AB) P( A) P( B) () P( AC) P( A) P( C) () P( B C) P( B) P( C) 8

9 (v) P( A B C) P( A) P( B) P( C) koşullarının sağlanmasıdır. Örnek E ve F k ayrık olay, PE ( ) 0 ve PF ( ) 0 se E ve F nn bağımlı k olay olduğunu gösternz. E ve F ayrık olduğundan, P( E F) 0 dır. PE ( ) 0 ve PF ( ) 0 olduğundan P( E F) P( E) P( F) olur. Dolayısıyla E ve F bağımsız değldr. Uyarı. A, A,... A n olayları çn P( A A... An) P( A ) P( A )... P( An) olması daha az sayıdak olay çn benzer koşulun sağlanmasını gerektrmez. BÖLÜM 4 RASGELE DEĞİŞKENLER VE DAĞILIMLARI 4.. Rasgele Değşken Kavramı Tanım 4... Değer br deney sonucuyla belrlenen br değşkene veya br örnek uzay üzernde tanımlanmış gerçek değerl br fonksyona br rasgele değşken denr. Tanım 4... X br rasgele değşken olmak üzere X n alableceğ değerlern kümes sonlu ya da sayılablr sonsuz br küme se, X e br keskl rasgele değşken denr. X rasgele değşkennn alableceğ değerlern kümes br aralık ya da aralıkların brleşm şeklnde se, X e br sürekl rasgele değşken denr. Örneğn, keskl rasgele değşken olarak br aledek çocuk sayısı, br zarın gelnceye kadar atılması denemelernn sayısı, ve sürekl rasgele değşken olarak da, br bleşğn çndek alkol yüzdes, sınıftak öğrenclern boylarının sayısı örnekler verleblr. 9

10 4.. Keskl Rasgele Değşkenler Tanım 4... X keskl rasgele değşken ve bu rasgele değşkenn değer kümes R { X, X,...} olmak üzere P( X x ) f ( x ),,,... olsun. Bu durumda aşağıdak X koşulları sağlayan f : RX [0,] fonksyonuna X keskl rasgele değşkennn olasılık fonksyonu denr. () f( x ) 0,,,... () f( x ) X n olasılık fonksyonu verleblr. X x x x... f ( x) P( X x) f (x ) f (x )... tablosuyla Burada X keskl rasgele değşkennn değer kümes sonlu olduğunda n f( x ) yazılır. Örnek 4... İk paranın brlkte atılması deneynde X rasgele değşken turaların sayısı olsun. Bu deney çn S { YY, YT, TY, TT} ve R {0,,} X dr. Dolayısıyla olasılık fonksyonunun tablosu X x f ( x) P( X x) şeklnde olacaktır. 0

11 4.3. Sürekl Rasgele Değşkenler Tanım X sürekl rasgele değşken olsun ve genellğ bozmaksızın bu X rasgele değşkennn (, ) aralığında değerler aldığını varsayalım. Aşağıdak koşulları sağlayan f( x ) fonksyonuna X rasgele değşkennn olasılık yoğunluk fonksyonu denr. () f( x) 0, x () f ( x) dx Eğer x [ a, b] se, P( a x b) f ( x) dx dr. Öte yandan b a P( a x b) P( a x b) P( a x b) P( a x b) olduğuna dkkat etmek gerekr.ayrıca sürekl X rasgele değşkennn bell br X değern alması olasılığı sıfırdır. Örnek X rasgele değşken sürekl olsun. X n olasılık yoğunluk fonksyonu f x x x(0,) 0 x (0,) le verlyor. () x (0,) çn f( x) 0 dır. () () xdx x dr. 0 P( x ) xdx 4 0

12 (v) xdx 5 P( x ) P( x x ) 3 3 P( x ) xdx 3 3 dr Kümülatf (Brkml) Dağılım Fonksyonu Tanım X sürekl veya keskl rasgele değşken olsun. X n kümülatf (brkml) dağılım fonksyonu (ya da dağılım fonksyonu) Fx ( ) le gösterlr. Fx, ( ) X n x e eşt ya da daha küçük olması olasılığıdır. F( X ) P( X x) dr. () X keskl rasgele değşken se, F( x) P( X x) f ( x ) dr. x () X sürekl rasgele değşken se, F( x) P( X x) f ( t) dt dr. x x Örnek Br zar br kez atılıyor. X rasgele değşken üste gelen noktaların sayısı olsun. X rasgele değşkennn olasılık dağılımı X x f ( x) P( X x) Olasılık fonksyonu f( x), x,,3,4,5, Dağılım fonksyonu

13 F( X ) P( X x) 0, x, x, x 3 0, x 3, 3 x 4, x 4,, 4 x 5 5, 5 x, x olur. Teorem () F fonksyonu azalmayandır.( x x F( x ) F( x) dr.) () lm Fx ( ) 0 ve lm Fx ( ) dr. x x Örnek X keskl rasgele değşken çn 0, x, x 4 3 F( x), 4 x 5, x 0, x 0 olarak verlyor. 5 P( X ) P( X ) P( X ) F() F() 3 P( X 4) F(4) F(3) 3 3

14 X x f( x) f (4) F(4) F(3) 5 f () F() F(5) 5 f (0) F(0) F(9) Örnek X sürekl rasgele değşken çn x, 0 x f( x) 0, dğer yerlerde şeklnde verlyor. Bu durumda 0, x 0 F x sds x x 0, x dr. x ( ), 0 4