Programlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları

Transkript

1 Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları

2 Ders 3 Genel Bakış Giriş Rastgele Sayı Rastgele Sayı Üreteci rand Fonksiyonunun İşlevi srand Fonksiyonunun İşlevi Monte Carlo Yöntemi Uygulama 1: Yazı-Tura Simülasyonu Uygulama 2: Zar Simülasyonu Uygulama 3: MC ile Pi sayısının hesabı 2

3 Giriş Bilimsel uygulamalarda problemler iki kısımda incelenebilir: Kesin sistemler, kuralları kanun hükmünde olan matematiksel yasalarla tanımlanabilen sistemlerdir; Örneğin yerçekimi yasası gibi Tahmini sistemler, başlangıç koşulları kesin olarak tayin edilemediği için sonuca dair çözümün tahmin edilerek bulunduğu sistemlerdir. Yoksa, evrende raslantıya yer yoktur. (Monte Carlo Yöntemi) 3

4 Rastgele Sayı Bir kümenin veya dizinin elemanlarından bir kısmının, veya tamamının istatiksel olarak rastgele seçilmesi yoluyla üretilmiş sayılara rastgele sayı adı verilir. Rastgele sayı üretimi matematiğin önemli konularından biridir. Rastgele sayılar ya da daha doğru ifadeyle, rastgele izlenimi veren sayılar (sözde rastgele sayılar - pseudo random numbers) istatistik, ekonomi, matematik gibi pek çok alanda olduğu gibi programcılıkta da kullanılmaktadır. 4

5 Rastgele Sayı Bilgisayarlar kesin (deterministic) bir yapıda çalıştıkları için gerçek anlamda rastgele sayı üretemezler. Ancak, uygun algoritmalarla bir bilgisayarın düzgün bir dağılımdan seçilen ve genellikle [0,1] arasında gerçel değerler alan rastgele sayı üretmesi sağlanabilir. Bilgisayarların ürettiği bu rastgele sayılar yalancı rastgele sayı olarak adlandırılır. Rastgele sayı üreten bu algoritmalara rastgele sayı üreteci denir. Günümüz derleyicilerinin bir çoğunda rastgele sayı üreteçleri için hazır kütüphane fonksiyonları tanımlanmıştır. 5

6 Rastgele Sayı Üreteci Rastgele sayılar bir rastgele sayı üreticisi (random number generator) tarafından üretilirler. Rastgele sayı üreticisi aslında matematiksel bir fonksiyondur. Söz konusu fonksiyon bir başlangıç değeri alarak, bir değer üretir. Daha sonra ürettiği her değeri girdi olarak alır ve tekrar başka bir sayı üretir. Üreticinin ürettiği sayılar rastgele izlenimi vermektedir. 6

7 rand Fonksiyonunun İşlevi Standart rand işlevi rastgele sayı üretir. Bu işlevin bildirimi aşağıdaki gibidir: int rand(void); C standartları rand işlevinin rastgele sayı üretimi konusunda kullanacağı algoritma ya da teknik üzerinde bir koşul koymamıştır. Bu konu derleyiciyi yazanların seçimine bağlı bırakılmıştır. rand işlevinin bildirimi, standart bir başlık dosyası olan stdlib.h içindedir. rand işlevi için başlık dosyası kaynak koda eklenmelidir. #include <stdlib.h> 7

8 rand Fonksiyonunun İşlevi rand fonksiyonunun örneği, 8

9 rand Fonksiyonunun İşlevi Programlarda bazen belirli bir aralıkta rastgele sayı üretmek istenebilir. Bu durumda rand işlevi mod operatörü olarak kullanılabilir : rand( ) % 2 => Yalnızca 0 ya da 1 değerini üretir. rand( ) % 6, =>0-5 aralığında rastgele bir değer üretir rand( ) % 6+1 =>1-6 aralığında rastgele bir değer üretir. rand( ) % 6+3 =>3-8 aralığında rastgele bir değer üretir. 4+rand() %16 =>4-19 aralığında rastgele bir değer üretir. 9

10 rand Fonksiyonunun İşlevi MIN ve MAX aralıklarında rastgele tamsayı değerleri üretmek için aşağıdaki kodu yazmak gereklidir: int a = MIN + rand( ) % (MAX-MIN+1); [-15 45] => -15+rand( ) % ( ) => -15+ rand( ) % 61; [ ) => 100+rand( ) % ( ) => 100+ rand( ) % 150; ( ] => -149+rand( ) % ( ) => rand( ) % 99; 10

11 rand Fonksiyonunun İşlevi 5 ile 20 arasında rastgele sayı üretme 11

12 rand Fonksiyonunun İşlevi Aşağıdaki örnekte 10 tane rastgele sayı ekrana yazdırılıyor. Yandaki kaynak kod ile oluşturulan programın her çalıştırılmasında ekranda aynı sayılar yazılmaktadır. 12

13 rand Fonksiyonunun İşlevi Oluşturulan program her çalıştırıldığında neden hep aynı sayı zinciri elde ediliyor? rand işlevi rastgele sayı üretmek için bir algoritma kullanıyor. Bu algoritma derleyiciden derleyiciye değişse de, rastgele sayı üretiminde kullanılan ana tema aynıdır. Bir başlangıç değeri ile işe başlanır. Buna tohum değeri (seed value) denir. Bu değer üzerinde bazı işlemler yapılarak rastgele bir sayı elde edilir. Tohum değer üzerinde yapılan işlem bu kez elde edilen rastgele sayı üzerinde yinelenir. rand işlevi çağrılarını içeren bir program her çalıştırıldığında aynı tohum değerinden başlanacağı için aynı sayı zinciri elde edilir. 13

14 srand Fonksiyonunun İşlevi Bazı durumlarda, programın her çalıştırılmasında aynı rastgele sayı zincirinin üretilmesi istenmez. Örneğin, bir oyun programında programın çalıştırılmasıyla hep aynı sayılar üretilirse, oyun hep aynı biçimde oynanır. Programın her çalışmasında farklı bir sayı zincirinin elde edilmesi için, srand işlevinin rastgele sayı üreticisinin tohum değerini programın her çalışmasında başka bir değer yapması gerekir. Bu amaçla çoğu zaman standart time işlevi işlevinden faydalanılır. 14

15 srand Fonksiyonunun İşlevi time standart bir C işlevidir, bildirimi standart bir başlık dosyası olan time.h dosyası içindedir. time işlevi kendisine 0 değeri gönderildiğinde, önceden belirlenmiş bir tarihten (sistemlerin çoğunda tarihinden) işlevin çağrıldığı ana kadar geçen saniye sayısını geri döndürür. İşlevin geri dönüş değeri, derleyicilerin çoğunda long türden bir değerdir. İçinde rastgele sayı üretilecek programda, srand işlevine argüman olarak time işlevinin geri dönüş değeri gönderilirse, program her çalıştığında, belirli bir zaman geçmesi nedeniyle, rastgele sayı üreticisi başka bir tohum değeriyle ilk değerini alır. Böylece programın her çalıştırılmasında farklı sayı zinciri üretilir: srand(time(0)); 15

16 srand Fonksiyonunun İşlevi Daha önce yapılan örnek uygulamada program her çalıştırılmasında aynı rastgele değerleri bulurken srand() fonksiyonunun eklenmesiyle farklı sonuçlar elde edilmektedir. 16

17 Monte Carlo Yöntemi Monte Carlo Yöntemi rastgele sayılarla denenerek yaparak sonuca ulaşmayı amaçlayan deneysel bir yöntemdir. Bu şekilde matematiksel ve fiziksel problemlerin çözümü amaçlanmaktadır Los Alamos Bilimsel Laboratuar ından John Von Neumann, Stan Ulam ve Nick Metropolis adlarında üç bilim adamı tarafından ortaya çıkarılmıştır. Metropolis algoritması olarak da bilinir. Algoritma, kesin çözüm yapmanın zor olduğu problemlerde tahmini çözümlere gitmeyi amaçlar. Yani olasılık teorisi üzerine kurulmuştur. 17

18 Monte Carlo Yöntemi Monte Carlo yönteminin temel amacı, büyük elemanlar topluluğunun özelliklerinin, rastgele olarak seçilmiş bir alt kümesi aracılığı ile çıkartılmasıdır. Örneğin herhangi bir f(x) fonksiyonunun (a,b) aralığındaki beklenen değerinin, bu fonksiyonun yine bu aralıkta, rastgele seçilen sonlu sayıdaki noktalarındaki tahmini değerinden çıkartılmasını amaçlar. 18

19 Monte Carlo Yöntemi Monte Carlo (MC), rastgele sayıları baz alarak tahmini sistemleri modeller. Hatta, bazı kesin sistemlerde de kullanılabilir; Örneğin rastgele sayılarla Pi sayısını veya bir fonksiyonun integralini hesaplamak gibi. MC yöntemleri, Fizik ve Mühendislik alanlarında pek çok uygulama alanı bulmuştur. Bunlardan başlıcaları: o [Matematik] Sayısal Analiz o [Fizik] Doğal olayların simülasyonu o [İstatistik] Dağılım Fonksiyonları o [Mühendislik] Deneysel aletlerin (örneğin detektör) simülasyonu 19

20 Uygulama 1: Yazı-Tura Simülasyonu Hilesiz bir para atıldığında, yazı veya tura gelme olasılığı (P:probability) eşit ve kuramsal olarak P = 1/2 dir. Düşünün ki bir para n kez atılsın ve gelen turaları sayıp ve t ile gösterelim. Deney sayısı, n, arttıkça t/n oranı kararlı (sabit) kalmaya başlar. Bu durumda, olasılığın istatiksel tanımı şöyle yapılır: P(t) = t/n n sonsuza giderken P(t) değeri P = 1/2 değerine yaklaşır. Şimdi, [0, 1] aralığından rastgele seçilen sayıları kullanarak, para atma deneyini yapalım. Rastgele sayı üreteçleri sayıları eşit olasılıkla üretir. r bir rastgele sayı olsun. r < 0.5 durumuna tura, r >= 0.5 durumuna da yazı diyelim. Bu şekilde, bir döngü kullanarak deney sayısına (n) göre, yazı-tura simülasyonu yapılabilir. 20

21 Uygulama 1: Yazı-Tura Simülasyonu 21

22 Uygulama 1I: Zar Simülasyonu Bu uygulamada, bir çift zar atımı modellenecektir. Bu, bir çok tavla programında kullanılan yöntemdir. Bir çift zar atılıyor. Zarların toplamının 7 olma olasılığını bulan bir program verilmektedir. Zar, [1, 6] arasında rastgele tamsayı değeri alır. Buna göre, r [0,1] arasında rastgele gerçel sayı ise, bu zarın MC modeli: ozar = 1 + tamsayı(6*r) şeklinde olur. 22

23 Uygulama 1I: Zar Simülasyonu 23

24 Uygulama 3: MC ile Pi sayısının hesabı Pi sayısı (π), bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen matematik sabitidir. Günlük kullanımda genel olarak 3, 3.14 veya olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değeri bilinmemektedir. Analitik düzlemde daire formülü. Birim dairenin yarıçapı 1 olduğundan y yi x cinsinden yazarsak Dairenin alanı Birim daire ile ilgilendiğimizden dolayı alan π dir. Monte Carlo yöntemi kullanılarak bulunacak bölgenin alanı, π/4 olan çeyrek dairenin alanı olduğundan, bu çeyrek dairenin alanını bularak pi sayısına ulaşmış oluruz. 24

25 Uygulama 3: MC ile Pi sayısının hesabı 25