3.2. Borcun taksitle ödenmesi (istikraz)

Transkript

1 3.2. Borcun taksitle ödenmesi (istikraz) İstikraz devletin veya yetkili ticaret şirketlerinin faiz karşılığı uzun vadeli borç para vermesidir. Tahvilli borçlar gerektiğinde satılabilir veya bankaya rehin bırakılıp kredi sağlamak amacı ile el değiştirebilir. Tahvilsiz borçların el değiştirmesi olanaksızdır. Borcun vade sonunda faizi ile birlikte bir defada ödenmesi veya birden çok taksitle her vade sonunda her devre borcun bir devrelik faizi ile birlikte ödenmesi basit faiz ile ilgili işlemdir. Taksit miktarları ile vade tarihleri düzensiz olarak değişen borçların ise tek bir formülü olmayıp, her borç faizi ayrı bileşik faiz problemi olarak ele alınır. Burada eşit zaman aralıklarında sabit ve düzenli olarak değişen taksitlerle amorti edilen borçlar ele alınmaktadır Sabit taksitli borç Rant ve borç aynı nitelikte alan veren açısından ters yönlü bir işlemdir. Ancak rantın bedeli ödenme tarihi ile ilk gelir taksidinin ele geçme tarihine göre 3 çeşittir, ancak borç vermede çabuklaştırılmış ranta karşılık bir borç çeşidi yoktur. - Derhal ödenmeye başlayan sabit taksitli borç (ilk borç taksidi borcun alınmasını takip eden bir devre sonra ödenir.) - Ertelenmiş sabit taksitli borç (ilk borç taksidi derhal ödenmeye başlayanından h devre sonra ödenir.) aynıdır. Derhal başlayan rant formülü ile derhal ödenmeye başlayan sabit taksitli borç formülü C0. = A [ 1 (1+r) -n ] / r Ertelenmiş sabit taksitli borç formülü de aynı şekilde ertelenmiş sabit taksitli rant formülü ile aynıdır. C0e = A { [1 - (1+r) -n ] / [r (1+r) h ] V-1

2 Örnek : Eşit yıllık taksitlerle 10 yılda tasfiye edilmek üzere ve ilk taksidi borcun alındığı tarihten bir yıl sonra ödenmek üzere lira bir borç alınmıştır. Yıllık faiz %7 olduğuna göre yıllık borç taksitlerini hesaplayın. C0. = R [ 1 (1+r) -n ]/r A = C0. r / [ 1 (1+r) -n ] = x 0,07 / [1 1/1,07 10 ] = ,3 lira Örnek : Alınacak borç 15 yılda ve yıllık lira taksitle ödenecektir. Yıllık borç taksit ödemeleri borcun alınış tarihinden 5 yıl sonra başlayacak ve yıllık faiz %6 dir. Bu koşullarda oluşan borç miktarını bulunuz. C0e = A { [1 - (1+r) -n ] [(1+r) -h ] / r C0e = [ 1 (1+0,06) -15 ]x(1+0,06) -4 /0,06 = lira Sabit taksitle hemen ödenmeye başlayan borç Eğer tahvilli bir borç ise, borcun itfası (ortadan kalkması veya sonlanması) için her devre ödenmesi gereken taksit tutarından başka her devreye ait faiz ve amortisman tutarlarının bilinmesi gerekebilir. Çünkü alacaklı tek kişi olmayıp tahvil sahibi çok kişi olabilir. Borcun itfası için her devre ödenecek, faiz ve amortisman A taksidi kadar sabit olup, bunun içerdiği faiz payı devreden devreye giderek azalır, amortisman payı ise giderek artar. Borcun belli bir sürede bitmesi için borç taksitinin, borcun birinci devre faiz tutarından büyük olması (A > r C0) gerekir. C0. = A [ 1 (1+r) -n ] / r V-2

3 Örnek : 100,000 tl borç, ilk taksidi borç tarihinden bir yıl sonra ödenmek üzere 4 yılda tasfiye edilecek. Yıllık faiz % 10. C0 = [A/r] [ 1 (1+r) -n ] A = C0 r / [ 1 (1+r) -n ] = x 0,1 / [1 1/1,1 4 ] = ,08 C(0)= n=4 A= ,08 r= 0,1 amortisman periyodik Devre faiz tutarı tutarı ödeme kalan borç İ I(i) = Ci x r M(i) = A - I(i) A C(i)=C(i-1)-A+I(i) , , , , , , , , , , , , , , ,08 0,00 Toplam , , ,32 borç toplamı C0 = [A/r] [ 1 (1+r) -n ] = 100,000 a) Herhangi bir i. Devre amortisman payı hesabı C : Borç verilen para Mi : i. Devre amortisman payı (i=1,2,,n) Ii : i. Devre faiz tutarı (i=1,2,,n) A : anüite, sabit taksitler (borcun tasfiyesi için her devre sonunda ödenen taksit miktarı) A = Ii + Mi Ii = C r M1 = A C r = A (1+r) -n 1. devre sonu amortisman C M1 1. Devre sonunda kalan borç I2 = (C M1) r 2. Devre sonu faiz tutarı M2 = A (C M1) r 2. Devre sonu amortisman = A C r + M1 r M1 = A C r olduğundan M2 = M1 + M1 r =M1 (1+r) V-3

4 I3 = (C M1 M2) r = [C M1 M1(1+r)] r = C r M1 r M1(1+r) r M3 = A I3 M3 = A [C r M1 r M1 (1+r)] r = M1 + M1r + M1(1+r) r = M1 (1+r) (1+r) = M1 (1+r) 2 3. Devre faizi 3. devre amortismanı 3. Devre amortisman M1 = A-Cr olduğundan Mn = M1 (1+r) n-1 O halde herhangi bir i. Devre amortisman payı ; Mi = (A C r) (1+r) i-1 Mi = { A A/r [ 1 (1+r) -n ] r } (1+r) i-1 Mi = A{ (1+r) -n } (1+r) i-1 Mi = A (1+r) i-n-1 veya başka bir yolla da bulunabilir, M1 = A (1+r) -n 1. devre sonu amortisman M2 = M1 (1+r) = A (1+r) -(n-1) Mi = A (1+r) -[n-(i-1)] i. devre sonu amortisman b) Herhangi bir i. Devre sonuna kadar ayrılan amortisman payları toplamı Mi = M1 + M2 + + Mi = M1 + (1+r)M1 + + (1+r) i-1 Mi Bu dizi ortak çarpanı (1+r) olan bir geometrik dizidir ve i terim toplamı Mi = M1 [(1+r) i -1]/[1+r)-1] V-4

5 = M1 [(1+r) i -1]/r M1 = A (1+r) -n yerine yazlılırsa = {A (1+r) -n } {[(1+r) i -1]/r} = A [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r] veya diğer bir yolla Mi = M1 + M2 + + Mi = A (1+r) -n + A (1+r) n A(1+r) n+1-i bu dizi birinci terimi A(1+r) -n, ortak çarpanı (1+r) olan ve terim sayısı i olan geometrik dizidir. i terim toplamı, Mi = A( 1+r) -n [ (1+r) i 1]/[(1+r) -1] = A[ (1+r) i 1]/r(1+r) n c) herhangi bir i. Devre için faiz tutarı i-1 Mi = M1 [ (1+r) i-1-1] / r i. devre başına kadar ayrılan amortisman toplamı Ci-1 = C - M1 [ (1+r) i-1-1] / r i. devre başı kalan borç Ii = {C - M1 [ (1+r) i-1-1] / r } r = C r - M1 [ (1+r) i-1-1] i. devre faiz tutarı C ve M1 = A C r yerine yazılırsa = {A [ 1 (1+r) -n ] / r} r - {A A [ 1 (1+r) -n ] / r } r} [ (1+r) i-1-1] = A [ 1 (1+r) -n ] - {- A (1+r) -n }[ (1+r) i-1-1] = A A (1+r) -n - A(1+r) i-1 /(1+r) n + A (1+r) -n ] = A A (1+r) i-1 / (1+r) n = A [1 (1+r) i-1 / (1+r) n ] d.) herhangi bir i. devre sonuna kadar ödenen faiz tutarı toplamı i (inci) devre dahil i. devreye kadar yatırılan taksitler toplamından, i. devre sonuna kadar ayrılan amortisman toplamı çıkarılırsa faiz tutarları toplamı elde edilir. i I i = i A - i M i V-5

6 = i A - A [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r] = A { i - [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r } Bu formül, i = n için I = na C olur. e.) herhangi bir i. devre sonunda kalan borç Yapılan borç ödemelerinden, (i+1). Devrenin başına kadar ayrılan amortisman toplamı çıkarılırsa i. devre sonunda kalan borç elde edilir. i Ci = C - i Mi = A [ 1 (1+r) -n ] / r - A[ (1+r) i 1]/r(1+r) n = A [ 1 (1+r) i / (1+r) n ] / r Örnek : 4000 lira bir borç %12 den 6 ayda bir 400 liralık geri ödemeler ile tasfiye edilecektir. Tam ödeme sayısı ne olur? C0 = [A/r] [ 1 (1+r) -n ] 4000 = 400 [1 1,06 n ] / 0,06 -n log 1,06 = log (4000x0,06/400 1) n=15,7252 veya 4000 = [400/0,06] [ 1 (1+0,06r) -15 ] + X (1+0,06) -16 = 292,39 lira (16. dönem ödemesi) V-6

7 Tahvilli borç Eğer borç tahvilli ise tahviller 100, 500, 1000, 5000 vb gibi yuvarlak değerli olup, herhangi bir i. Devre için hesaplanan amortisman payı çoğu kez tahvil değerinin tam katı olmaz. Bu durumda ödemeler devreden devreye küçük farklılıklar gösterir. Yukarıdaki son örnekte, eşit taksitli ödenmek üzere yapılan liralık borçlanmanın tahvilleri 100 liralık olduğunu varsayalım. Öncelikle amortisman payını 21,500 veya yapılmak istenirse, birinci devre taksidi buna göre düzenlenir. Diğer devreler için de benzer yol izlenerek yıllık ödemeler ,08 civarında tutulmaya çalışması amacıyla tablo yeniden düzenlenir. Aşağıdaki tablo ya amortisman miktarları yuvarlanarak veya taksit tutarları yuvarlanarak da aynı sonuçları içeren tablo elde edilebilir. C= n=4 A= ,08 r= 0,1 amortisman periyodik Devre faiz tutarı tutarı ödeme kalan borç İ I(i) = C(i) x r M(i) = A - I(i) A C(i)=C(i-1)-A+I(i) , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 Toplam , , ,00 Farklı dönemlerde ödenen faiz tutarı homojen olmadığı için bunların toplamı da anlam atşımaz. Herhangi bir i. devre sonuna kadar ayrılan amortisman toplamı ile geri kalan borç toplamının ödenen borç miktarına eşit olması gerekir. C = i Mi + i Ci = A[ (1+r) i 1]/r(1+r) n + A [ 1 (1+r) i / (1+r) n ] / r = [A/r] [ 1 1 / (1+r) n ] V-7

8 Örnek : 20 yılda tasfiye olacak borcun birinci amortisman payı liradır. Yıllık faiz oranı % Yıl sonunda ayrılacak amortisman payı kaç liradır? Mn = M1 (1+r) n-1 M15 = (1+0,08) 14 = lira Örnek : Eşit taksitle 15 yılda tasfiye edilecek bir borç yıllık lira taksit ve %6 faizle alınmıştır. Birinci devre sonu amortisman tutarı kaç liradır? M1 = A (1+r) -n = (1+0,06) -15 = 10,430.5 lira Örnek : 15 yılda tasfiye edilecek eşit taksitli bir borç lira yıllık taksit ve %6 faizle alınmıştır. 10. Yıl sonu ayrılan amortisman miktarı nedir? Mi = A (1+r) -[n-(i-1)] = (1 + 0,06) = (1,06) -6 = lira Örnek : 20 yıl vadeli, yıllık %6,5 fazili borcun birinci amortisman payı lira ise 12. Yıl başına kadar ayrılan amortisman toplamı nedir? Mi = M1 [(1+r) i -1]/r = [40000 (1,065) 11-1]/0,065 = ,8 lira Örnek : Yılda lira ödeyerek 10 yılda tasfiye edilecek borcun yıllık faizi %7,3 olduğuna göre, ilk 5 yıl amortisman toplamı nedir? Mi = A [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r] = [ (1,073) 5-1] / (1,073) 10 0,073 = ,4 lira Örnek : İlk taksidi ödenen paranın alınmasından bir yıl sonra yatırılmak üzere 15 yılda tafsiye edilmek üzere sağlanan liralık borçtan 12. Yıl başında geriye ne kalır? Yıllık faiz %9, ilk amortisman payı 17026,75 liradır. Ci-1 = C - M1 [ (1+r) i-1-1] / r i. devre başı kalan borç C12 = ,75 [(1,09) 11 1] / 0,09 = ,2 lira V-8

9 Örnek : Bir önceki problemdeki borcun 12. Yıl için faiz tutarı nedir? Ii = C r - M1 [ (1+r) i-1-1] i. devre faiz tutarı I12 = (0,09) 17026,75 [(1,09) 11 1] = ,5 lira Örnek : 15 yıl ödemeli, derhal ödenmeye başlanan lira eşit taksitli bir borcun yıllık taksitleri ,75 lira ve yıllık faiz %9 olduğuna göre 12. Yıl faiz tutarı nedir? Ii = A [1 (1+r) i-1 / (1+r) n ] I12 = 62026,75 [1 (1,09) 11 /(1,09) 15 ] = ,5 lira Örnek : Bir önceki problemde söz konusu borç için 13. yıl başına kadar ödenen faiz toplamı nedir? i Ii = A {i - [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r} i I12 = 62026,75 { 12 [(1,09) 12 1] / 0,09 (1,09) 15 = ,55 lira Örnek : Derhal ödenmeye başlanan 15 yıl vadeli liralık bir borcun yıllık faizi %9, taksitleri ,75 lira olduğuna göre 12. Devre sonuna kalan borç nedir? i Ci = A [ 1 (1+r) i / (1+r) n ] / r = 62026,75 [ 1 (1,09) 12 / (1,09) 15 ] / 0,09 = ,5 lira Örnek : Bir önceki soruda adı geçen borcun ilk 12 yılda ayrılan amortisman miktarı toplamı nedir? Ve 12. Devre sonuna kalan borcu bulunuz. Mi = A [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r] = 62026,75 [ (1,09) 12-1]/(1,09) 15 0,09 = ,5 lira Buna göre 12. Devre sonu kalan borç C = i Mi + i Ci i Ci = C - i Mi i i C12 = ,5 = ,5 lira V-9

10 Değişken taksitli borç Taksitler düzenli veya düzensiz olabilir. Düzensiz taksitler için bir formül söz konusu değildir. Taksitlerin düzenli değişmesi farklı sistematiklerde olabilir. Burada sadece taksitlerin geometrik artış gösterdiği borçlar tanıtılacaktır. A : birinci borç taksidi q : pozitif veya negatif değişim oranı 1+q : ortak çarpan Borç taksitleri : A, A(1+q), A(1+q) 2,, A(1+q) n-1 Tahvil satın almak açısında, borç işlemi bir rant işlemi niteliğinde olup geometrik artışlı borç taksitli bir borç, gelir taksitleri geometrik olarak artan bir ranttır. Birinci borç ödemesi borcun alınmasından bir devre sonra ödeniyorsa bu durum geometrik artışlı derhal başlayan rant ile aynıdır. Cd = [A/(r-q)] [1 (1+q) n / (1+r) n ] Burada q >0 (1+q > 1) ise artan taksitli bir borç dizidir q<0 (1+ q< 1) ise azalan taksitli bir borç dizisidir q=0 (1+q=1) ise sabit taksitli borç ödemesidir Bu borç dizisindeki i. taksit miktarı Ai = A (1+q) i-1 dir. Tahvilli bir borç işleminde n adet taksitle ödenecek bir borç için her devrede ayrılan paranın bir kısmı tahvil satın almaya, bir kısmı mevcut tahvillerin bir devrelik faizini karşılamaya ayrılır. Bu gibi durumlarda, Taksitleri bir geometrik dizi olan bir borcun i. devre taksit değerinin ne kadarının faize, ne kadarının satın alınacak tahvillere ayrılacağı amortisman tablosun ile hesaplanabilir. V-10

11 Örnek : tahvilli bir borç geometrik artan taksitlerle 4 yılda ödenecektir. Yıllık faiz %10 ve taksit artış oranı %20 oluğuna göre, Geometrik artışlı hemen başlayan rant Cd = A [1 (1+q) n /(1+r) n ]/(r-q) İlk taksit : A = Cd (r-q)(1+r) n /[(1+r) n (1+q) n ] A = (0,1 0,2) 1,1 4 /(1,1 4 1,2 4 ) = ,1 lira C= n=4 R= ,10 r= 0,1 Devre faiz tutarı amortisman tutarı periyodik ödeme kalan borç q= 0,2 F(i)= C(i-1)xr M(i) = A - I(i) A(i) = A x(1+ r)^(i-1) C(i)=C(i+1)-R+I(i) , , , , , , , , , , , , , , , ,00 toplam , , , V-11

12 Özet Sabit taksitli borç C0. = A [ 1 (1+r) -n ] / r Ertelenmiş sabit taksitli borç formülü C0e = A { [1 - (1+r) -n ] [(1+r) -h ] / r C0. = R [ 1 (1+r) -n ]/r A = C0. r / [ 1 (1+r) -n ] Herhangi bir i. Devre amortisman payı hesabı Mn = M1 (1+r) n-1 Mi = A (1+r) i-n-1 Herhangi bir i. Devre sonuna kadar ayrılan amortisman payları toplamı Mi = M1 [(1+r) i -1]/[1+r)-1] = A [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r] herhangi bir i. Devre için faiz tutarı Ci-1 = C - M1 [ (1+r) i-1-1] / r i. devre başı kalan borç Ii = {C - M1 [ (1+r) i-1-1] / r } = A [1 (1+r) i-1 / (1+r) n ] herhangi bir i. devre sonuna kadar ödenen faiz tutarı toplamı i I i = i A - i M i = A { i - [ (1+r) i - 1]/ (1+r) n r } ( i = n için I = na C ) herhangi bir i. devre sonunda kalan borç i Ci = C - i Mi = A [ 1 (1+r) i / (1+r) n ] / r Değişken taksitli borç A, Aq, Aq 2,, Aq n-1 Cd = A [ 1 q n / (1+r) n ] / (r-q+1) Ai = A q i-1 dir. V-12