BÖLÜM 2: OLASILIK TEORĠSĠ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 2: OLASILIK TEORĠSĠ"

Transkript

1 BÖLÜM 2: OLSILIK TEORĠSĠ İsttstksel rştırmlrı temel koulrıd r souu öede kes olrk lmeye zı şs ğlı olylrı (deemeler) olsı tüm mümkü souçlrıı hg sıklıkl orty çıktığıı elrleyelmektr. Bu soru sttstkte olsılık prolem olrk dldırılır ve deemeler ezer koşullrd tekrrlldğ durumlrd çözüm ulmk mümküdür. 2. TEMEL KVRMLR İlk şmd olsılık kousuu elemlrı tımlktır. Tım (Olsılık): Br olyı orty çıkm şsıı tımly 0 le rsıd r syıdır. Br foksyo kullılrk : 0 (2.) elrler. Tım (Rssl deey): Souç gözleeye kdr çıktısı lmeye deeyler rssl deeylerdr. Çözümü lk şmsı rssl deey tüm mümkü çıktılrıı elrlemesdr. Öreğ r prı k kez tılmsı souud üst yüze gele semoller tüm mümkü durumlrı r küme elemlrı olrk; T T T Y Y T Y Y S e : tımllr. Bu edele olsılık kousu küme teors r rç olrk kullmktdır. Tım (Örek Uzyı): Br rssl deey tüm mümkü çıktılrıı kümes S u deey örek uzyı evresel küme olrk dldırılır. Örek uzyı çerdğ elem syısı çısıd k sııf yrılır: ) Syıllr (solu/sosuz) elemlı ) Syılmz (sosuz) elemlı Syıllr ve syılmz elemlı örek uzylrı rsıdk frk sdee tk olsılıklrı elrlemes çısıd öemldr. İsttstğ temel ol fkt rştırmıı geellkle göz rdı ettğ şey rssl deeydr. Bu r det deey rçok def tekrrlır. Öreğ r pr k kez hvy tılsı. Bu ye deeyle lgl örek uzyı şğıdk gdr: Y TY T Y Y Y T T Y T T S Dh geel r fdeyle örek uzylrı S ve S 2 ol k deey göz öüe lıdığıd u k deey komsyou ol r deey örek uzyı kümes krtezye çrpım yötem kullılrk 25

2 S S S 2 e e 2 : e S e S 2 2 uluur. Eğer S ve S 2 sırsıyl r ve s det elemlrı vr se S S 2 elem syısı rs dr. z syıd öreğe shp r örek uzyı grfksel olrk dkdörtge çml Krtezye koordt sstem y d ğç dygrmı le gösterlelr. Geellkle ğç dygrmlrı örek uzyı elemlrı sırlı üçlü y d dh yüksek oyutlu olduklrıd Krtezye koordt ssteme göre dh koly zleelr durumddırlr. r ve zr tışı deeyler örek uzylrı Şekl 2. de gösterldğ g k oyutlu koordt sstem le tımllr. ġekl 2. İlk ölümde verle eek mmsı deey örek uzyı Şekl 2.2 de ğç dygrmı le gösterlmştr. Şeklde de lşılğı g u örek uzyıı üç oyutlu koordtlrl gösterm oldukç zor olktır. Krtezye çrpım le elde edle dh geel r örek uzyı şğıdk örek le verlmştr. Öreğ souçlrı (şrı) ve 0 (şrısızlık) ol r deey 5 kez tekrrldığı ve r olyıı deey souud r şrı elde edlmes olduğu vrsyılsı. O hlde u oly olup örek uzyı S kümesde elde edlr. Geel olrk r deey kez tekrrlırs u krşılık gele örek uzyı S S S... 2 S şekldedr. ğç dygrmlrı le örek uzyıdk tüm mümkü elemlr orgze r şeklde lstelemekte ve hçr elem çıkt klmmktdır. Bury kdr ol kısımd rssl r deey tüm mümkü souçlrıı göstere örek uzyı S tıtıldı. Bu şmd sor ypılmsı gereke örek uzyıı elemlrıı kullrk oly kvrmıı tımlmsıdır. Tım (Bst oly): S örek uzyıı oluştur her r e elemı st oly der. Tım (Bleşk oly): Br örek uzyıı herhg r lt kümes (S kedsde dhl) leşk oly olrk dldırılır. 26

3 ġekl 2.2 Olsılık teors üzere tıml olylr geel olrk yrık olylr ve eşlı (leşk) olylr olmk üzere k gru yrılırlr. Tümleye olylr yrık olylrı özel r durumudur. Eşlı olylr se ked çde ğımsız ve ğımlı olylr olrk kye yrılırlr. Tım (Eşlı olylr): Herhg k oly ve B eğer Tım (yrık olylr): İk oly ve B eğer B se eşlı olylrdır. B se yrık olylrdır. Buu lmı: ve B olylrı rlkte orty çıkmzlr. Eğer orty çıkrs B olyıı dışlr ve tm ters de geçerldr. Örek uzyı S sıl yzılır ve gösterlrse gösterls herhg r deey ç tüm elemlrı (st olylrı) yrık ve ütüleyedr (olletvely exhustve). Bu yı zmd örek uzyıı tımıdır. Tım (Bütüleye olylr): Herhg k oly ve B eğer B S se ütüleye olylrdır. yı örek uzyıd tımlmış k y d dh fzl olyı rleşm örek uzyı eşt se u olylr ütüleyedr. Örek uzyı S prçy yrılmsıyl oluşmuş det oly yrık ve ütüleye se u ypıy örek uzyıı ölümlemes dı verlr. 27

4 28 ġekl 2.3 Tım (Örek uzyıı ölümlemes): Eğer 2 olylrı çfterl olrk yrık se ve S se 2 olylrı örek uzyıı r ölümlemes tımlr. Herhg r kümes ç S olduğud herhg r olyı ç ve S ölümlerdr. Beek mmsı öreğde dükk sh müşter mrk değşm le lgledğ vrsyılsı. Bu durumd şğıdk olylrl lgler: E = {Müşter mrk değştrmez} E 2 = {Müşter r kere mrk değştrr} E 3 = {Müşter k kere mrk değştrr} 2 E E 3 E E ve 3 2 E E olduğu ç E E 2 ve E 3 yrık olylrdır. yrı S E E E 3 2 olduğu ç E E 2 ve E 3 ütüleyedr. Eğer k y d dh fzl oly yrık olylr se rlkte orty çıkmzlr. E fzl r tes orty çıklr. Eğer k y d dh fzl oly ütüleye se e z r orty çıkr. Bu durumd r olylr kümes yrık ve ütüleye se olylrd r keslkle orty çıkr. Solu r örek uzyıd syılmz sosuz uzy geçş ypıldığıd sıfır olsılığıyl e fde edldğ tekrr yorumlmsı gerekmektedr.

5 2.2 OLSILIK TEORĠSĠNĠN TEMELLERĠ Br rssl deey çıktısı örek uzyıdk r elemdır. Rssl deey tekrrlı olrk uygulmsı durumud r çıktıı oluşum sıklığı örek uzyıdk elemı (lt küme) olsılığı olrk düşüülelr. Örek uzyıdk her r olyı ç u olyl sıfır le r rsıdk r syıı eşleştrlmes mçlır. Sıfır le r rsıdk u syı olyıı olsılığı olrk dldırılır ve () le gösterlr. Bst lmd olsılık r kümey ölçümlemek mıyl u kümeye t (y d t ol) r syıdır. Dğer r fdeyle olsılık kelme lmı olrk şsı ölçümlemesdr. Br küme y d r olyı üyüklüğüü ölçülmes ç zı yötemler mevuttur. yı yötemler ulrı çersdek elemlrı symk ç kullıllr m? slıd olsılık hesplırke ypılk şlem udur. Fkt uu uygu olmdığı r tkım durumlr mevuttur. Öreğ r küme orty çıkm html dğerde dh fzl olduğu fkt ks de elem syılrıı eşt olduğu durumd e olur? yı olsılığ mı shp olmlıdırlr? Öreğ = {Feerhçe kzır} B={Gltsry kzır} kümeler ele lısı. İk küme de rer elemı vrdır. Fkt şüphesz k ulr frklı olsılıklr verlmeldr. Buul rlkte yı d çlışılk küme syısı rde fzl olleeğ ve her re t olsılıklrı elrlemes stedğ ç olsılık kümeler r foksyoudur. Olsılık elrl r foksyo göre tımldığı ç lk olrk foksyo kvrmı ele lımlıdır. Br foksyo f(.) r oktlr kümesdek her r oktyı r dğer oktlr kümesdek r ve ylız r okt le lşkledre r kurldır (ku formülvs). İlk küme tım kümes k küme B se görütü kümesdr. Br foksyou geel gösterm f : B olup olsılık kümeler r foksyou olduğud olsılık küme foksyou : S (S) şeklde tımllr. Örek uzyıı tüm lt kümeler tımldığı kümeler les F S foksyouu tım kümes olrk kullıllr. Bu şmd eğer S syılmyk kdr çok elem çeryors prolem oluşlr. Orty çık prolem S kümes syılmyk kdr çok lt küme çermes ve u edele her r lt kümeye r olsılık tmsıd sıkıtı oluşmsıdır. Bu soruu sıl şıldığı lerde çıklktır. Buul rlkte S solu elem shp se her r lt kümese r olsılık tmsıd prolem orty çıkmz. Olsılığı e st ypıdk tımıı verelmek ç lk şmd örek uzyıı syıllr olduğu vrsyılktır. Tım (Klsk olsılık): Eğer r rssl deey örek uzyı solu syıd det yrık S e e2 e ve eşt ollrlkl elem shp se 29

6 e (2.2) ve () örek uzyı üzerde tıml olyıdk st olylrı (e ) syısı se olyıı gerçekleşme olsılığı (); (2.3) olrk elrler. Elem syısı ol r S örek uzyıı klsk olsılık ksyomlrıı (eşt olsılıklı yrık olylr) sğldığı vrsyılsı. Br olyıı olsılığıı elrlemek ç her r eşt olsılık le orty çık ve rrde yrık ol mümkü durumlrı syısı ve özellğ tşıy elemlrı syısı gereksm vrdır. Bu syılrı elde edlelmes ç zı komsyo formüller kullılmsı gerekldr. Br kümey ölçme dh krmşık r yolu r düzlem kümes lıı y d r sm hm ölçümlemesdr. Bu durum ç örek uzyı syılmz sosuzdur. Buul rlkte lt kümeler sdee lı ölçümleele lt kümeler olrk kısıtlırs l foksyou r olsılık ölçümüdür. Böyle r prolemde lt kümes lıı örek uzyıı lı S orıı (2.3) S r olsılık ölçümü olrk kullılmsı çözüm ollr. S örek uzyıı lı olk şeklde rm l döüştürüldüğüde kümes u ölçektek orı () yı vereektr. Cevplmsı gereke soru r lı ölçümlemeyeeğ durumlr ollrm? sorusudur. Cevp keslkle evettr. Fkt u şmd mtemtksel çerğe shp u soru le lglelmeyeektr. Souç olrk eştlk 2.3 ı eştlk 2.3 y dek olduğu görülelr. Klsk olsılığı yetersz kldığı k temel durum: ) Olylrı eşt olsılıkl oluşmdığı durumlr ) Örek uzyıı sosuz elemlı olduğu durumlr. Br örek uzyıdk elemlrı eşt ollrlğe shp olmsı zı del koşullrı oluşmsı ğlıdır. Şs oyulrıı kse doğdk örek uzyıdk elemlr geellkle eşt olsılığ shp değldr. İslrı k gruplrı r örek olrk verlelr. Böyle r durumd r herhg r olyıı oluşum sıklığı sıl elrler? Cevp çıktır; kütle üzerde ezer koşullrd deemeler ypılmlıdır. Tım (Görel freks): Br rssl deey örek uzyı üzere tımlmış oly olsu. Deey ezer koşullrd N det tekrrlsı ve orty çık olylrıı syısı olsu. olyıı görel freksı: f N (2.4) le tımlmıştır. 30

7 Öreğ hlesz olduğu düşüüle r pr tıldığıd üst yüze yzı gelmes olyı olrk tımlsı. Değşk deeme syılrıd gerçekleşe olyı syılrı ve görel frekslrı: N=0 =4 f()=0.4 N=00 =47 f()=0.47 N=000 =488 f()=0.488 Şüphesz f() değer gerçekleştrle deey syısı N le ğımlıdır ve küçük N değerler ç çok üyük dlglmlr shptr. Burd evplmsı gereke soru N değer sosuz gttğde f() orlrıı dzs krrlı r değere ykısıyor mu? olktır. Böyle r soruy deeysel olrk sl evp verlemez. Çükü lmt doğsı gereğ deeylere so verlemez. Böyle r lmt vr olduğuu kul etmek mtemtksel r yklşımdır: steldğ kdr küçük olle poztf r syı olmk üzere N koşuluu ltıd N () eştszlğ sğly r () syısı ululyors lm () N N elde edle u souç olyıı deeysel lmt freksıdır ve () değer olyıı gerçekleşme olsılığıdır. Fkt () lmt değer hl gerçekleştrle deey dzs souçlrı ğımlıdır. Deeyler yı koşullrd geçekleştrlse dh r sork deey dzs yı souçlrı vereeğ grts yoktur. Bu frekslr üzere oluşturul geçerl r teor yukrıd tıml () değer tüm ezer deey dzler ç yı olduğuu vrsymk zoruddır. Bu teorem le moder olsılığı temel ol ksyom olsılığıı ele lmk d mümkü olmuştur. Tım (Olsılık küme foksyou): Rssl r deey örek uzyı S ve u küme üzere tımlı çfterl yrık j olylr 2 olsu. Eğer (.) foksyou; j (2.5) ) 0 (2.6) 2) S (2.7) 3) (2.8) 2 2 ( ) koşullrıı sğlıyor se (.) foksyou u rssl deey çıktılrıı olsılık küme foksyou olrk dldırılır. S örek uzyıı her r lt kümes ç () syısı d olyıı olsılığı der. Yukrıdk tımd verle üç özellk olsılık ksyomlrı olrk y d Kolmogorov ksyomlrı olrk lr. Olsılığı u tımı mtemtksel r tım olup hg özellklere shp r foksyou olsılık küme foksyou olrk dldırılleeğ çıklmktdır. 3

8 Olsılığı u tımı verle r olyı ç olsılık foksyouu (.) lğı değer le lgl lg vermez. Olylr t olsılık değerler elde edlmes ç rssl deey model tımlmsı gerekldr. Bu kou örek uzyıı sosuz elem shp olduğu st r örek üzerde eleeektr. Öreğ r prı üst yüze tur gelee kdr tıldığı vrsyılsı. Bu göre deey çıktısı lk kez yzı gelee kdr ypıl tış syısıdır. Örek uzyı tüm poztf doğl syılrdır: S Bu deey ç olsılık küme foksyou edr? Bu pr tışıı souud üst yüze yzı gelmes olsılığıı p ve tur gelmes olsılığıı d p olduğu vrsyılsı. Her r det deeme ç () olsılığı elrlemeldr. p olsılığı lk tışt yzı geldğ göstermektedr. {2} olyı Y T Y T krşılık gelmektedr. Böylee 2 pp örek uzyıdk (TY) çıktısı Bezer r şeklde {} olyı Y T Y T uzyıdk T T... T T Y gelmektedr. Geel r fdeyle p p olup elde edle u fde S ç r olsılık foksyou tımlr mı? çıktısı krşılık Öyle olmsı ç S olmlıdır. Fkt örek uzyı solu olmdığı ç S hesplğı çık değldr. ksyomlr kullılrk S olsılığı hespllr: S 2 p p p p p p p p Elde edle p olur. Böylee olup p toplmı r geometrk serdr. p olduğud p p p S p. p p sıl foksyou u rssl deey ç r olsılık foksyou olrk tımlır. ksyom tımı elrl r foksyouu sıl seçleeğ elrtmez. Herhg r örek uzyı ç pek çok frklı olsılık foksyou tımllr. Olsılık ksyomlrı kullılrk dh krmşık olsılıklrı hesplmsıd kullılleek ol olsılık foksyouu pek çok özellğ tımllr. Teorem: Eğer (.) r olsılık foksyou ve kümes S dek herhg r lt küme se 32

9 . 0.. souçlrı geçerldr kz. Ek2. Teorem: Eğer (.) r olsılık foksyou ve le B olylrı S dek herhg k oly se. B (B) ( B). ( B) () (B) ( B). Eğer B se ( ) (B) d. - B B souçlrı geçerldr kz. Ek2.2 Teorem : olsu. Bu durumd olur. r örek uzyı S de olyıı tümleye ve r de örek uzyı S de tümleye Br olyıı tümleye tümleye ye olyıdır. Br olyı tümley tümleye dğer olsılık hesplmlrı le ğltılı olrk orty çıklr. Örek: Br 52 destesde çekle r krtı kup olmm y d s olmm olsılığı edr? K olyı kup ve olyı s olrk tımlırs rştırıl olsılık K r K r K = 5/52 K r dır. r De Morg r K şğıd elrtle her özellkler hem keskl hem de sürekl örek uzyıd tımlı olylr (kümeler) ç geçerldr BrleĢm Olsılığı: ve B olylrı S örek uzyıd tımlı k oly olsu. kousudur: ve B yrık olylrdır ve B yrık olylr değldr Br durum ç B B olsılığı B B İk durum ç se B B rleşm olsılığı ç k durum söz (2.9) 33

10 B B B (2.0) İk durum ç tıml formül yı zmd r durum ç de kullıllr: B 0 Üç y d dh fzl oly ç öreğ B ve C olylrı ç B C B C eştlğ geçerldr KesĢm Olsılığı: B C B C B C B ç koly r formül yoktur. İsttstksel ğımsızlığı kullıllyor olmsı gerekr. Eğer ve B sttstksel olrk ğımsız değllerse geellkle koşullu olsılık kullılır. 2.3 ORTK MRJĠNL ve KOġULLU OLSILIK Şrtlı olsılık düşües zler hem sttstksel ğımlılık ve ğımsızlık rsıdk yrım hem de ortk ve mrjl olylr ç olsılık kurllrıı türetmeye öülük etmektedr. ve B yı örek uzyıd tımlı k oly olsu. Geellkle ve B rsıd r ğımlılık olur. Buu lmı şudur: eğer B gerçekleştğ lyors ı gerçekleşme şsı hkkıdk lgler değştrr. Koşul olsılıkt kullıl temel rçlrd rsdr. Özellkle ölümleme teors ç krtk ol B kesşm olsılığıı hesplmsıd şe yrr. yrı tüm stokstk süreçler lı koşullu olsılığ dymktdır. Br sork süreçte e olğı öesde e olduğu y koşul ğlıdır. Geellkle r olyı olsılığı değerledrldğde deeyde elde edle zı lglere zte shp olumktdır. Bu tür r lg mevut olmsı örek uzyıı keds r lt kümese drgemektedr. Bu lg le örek uzyıı tmmı yere r prçsı le lglelmektedr. Br oly t olsılık r tkım lglere shp oluduğud frklıdır. Öreğ skml destesde çekle r krtı s olm olsılığı u krtı e yüksek eş krtt r olduğu ldğde dh fzldır. Tüm düy üzerde seçle r he yıllık gelr $ ı üzerde olmsı olsılığı Türkye de seçle r he yıllık gelr $ ı üzerde olmsı olsılığıd frklıdır. 34

11 Bu öreklerde lşılğı g örek uzyıı r lt kümesde yer l r olyı olsılığı orjl örek uzyıdk r olyı olsılığı eşt küçük y d üyük ollr. Her r lt küme drltılmış örek uzyı dır ve orjl örek uzyıı ltıd ye koşullrl (lglerle) elrlemştr. lt kümelerde tımlmış olylrl lgl olsılıklr koşullu olsılık der. Br S örek uzyı üzere tıml ve B olylrı ç B olyıı oluşmsı durumud olyıı orty çıkm olsılığı şrtlı olsılıktır ve / B le gösterlr. Tım (Şrtlı olsılık): Verle olsılık uzyıd k oly ve B olsu. Verle B olyı ç olyıı şrtlı olsılığı B 0 ç ( B) ( / B) (2.) (B) olup B 0 ç tımsızdır. Bezer şeklde verle olyı ç B olyıı şrtlı olsılığı 0 ç elde edlr. ( B) (B / ) (2.2) () Tım (Ortk olsılık): Örek uzyıd tımlı ve B olylrıı kesşm olsılığıı elrte B fdes ve B olylrıı ortk olsılığı olrk d dldırılır. Tım (Mrjl olsılık): Örek uzyıd tımlı ve B olylrıı olsılığıı elrte ve B fdeler ve B olylrıı mrjl olsılıklrı olrk d dldırılır. Tım (Bğımlık): Örek uzyıd tımlı ve B olylrı ç eğer / B (2.3) se ğımlı olylrdır. Örek: Br zr hvy tılıyor B olsu. B olyıı gerçekleştğ lyors olyıı gerçekleşme olsılığıı ve olyı geçekleştğde B olyıı gerçekleşme olsılığıı uluuz. Eğer zr hlesz se mrjl olsılıklr ve ortk olsılık 6 B 3 6 B 6 olup koşullu olsılıklr elde edlr. 6 6 ( / B) ( B / ) Örek uzyıı S kümesde B lt kümese çekmek ç semolü yere./ B kullılmlıdır../ B semolü de yı semolü g ele lımlıdır. Öreğ C D B C B D B C D B semolü 35

12 olur../ B r olsılık foksyou mudur? Olsılık foksyou ollmes ç üç ksyomu sğlmsı gerekldr spt ç kz Ek2.3. Eştlk (2.) ve (2.2) kullılrk elde edle B / B (B) (B/ ) () fdes olsılığı çrpım kurlı olrk dldırılır. Üç oly olmsı durumud ulmk ç çrpım kurlı dkktle uygulmlıdır: Elde edle souu olsılık ğı le gösterm ü 2 3 Örek: İçersde w det eyz ve r det kırmızı top ulu r kutud desz olrk 3 top çeklyor. Bu göre sırsıyl eyz-kırmızı-eyz top çeklme olsılığı edr? W R W W R W W R W w r w w r w r w r 2 Örek: İçersde 4 det eyz ve 2 det kırmızı top ulu r kutud k top desz olrk rstgele seçlyor. Bu göre: ) İks de eyz olmsı ) İk topu kırmızı olmsı olsılıklrıı uluuz. W = - topu eyz olmsı ve R = - topu kırmızı olmsı olsu. ) W W W W W W W 4 W 6 W 2 W 5 Böylee (her ks de eyz olmsı) W W ) ( k topu kırmızı olmsı) olsılığı rştırılmktdır. Bu olsılık lk çeklşte hg topu geldğ koşulu dydırılmd ulumz. 36

13 k topu kırmızı gelmes olyı slıd W R R R W R R R2 dr. yrık olylr olduğud W R R R W R R Bu durumu det R2 3 R W W R R R olyı ç geelleştrlmş hl şğıdk teorem le tımlmıştır. Teorem (Çrpım Kurlı): Tıml r olsılık uzyı ç eğer 2 olylrı... ] 0 koşuluu sğly S üzerde tımlmış olylr se [ eştlğ sğlır.... ] [ ]. [ / ]. [ / ]... [ /... ] (2.4) [ Çrpım kurlı şmlı deeyler ç oldukç fydlıdır. Deey şmlı olduğu ve olyıı deey - şmsı göre tıml r oly olduğu vrsyılsı. Bu durumd [ /... ] deey lk - şmsıd oluş durumlr göre - şmd e olleeğ tımly r olyı şrtlı olsılığıdır. Mrjl olsılıklr üzere dh geel r yklşım elem syısı ol ve k yölü ölümlemş S örek uzyı üzerde verlelr. Örek uzyı üzerde r det yrık olyı ve det yrık B j olyı tımlmış olsu. S örek uzyıdk her elemı eşt olsılığ shp olduğu (klsk olsılık) vrsyımı le ve B olylrı ç şğıdk k yölü tlo oluşturullr. İlk stır ve lk sütu hrç tlodk hürelere t geel toplm r j j olup u hüreler her r B ortk olyı krşılık gelr. Olylr eşt olsılıklı olduğud j ortk olsılıklr j B j (2.5) eştlğde elde edlr. B B 2 B r r r2 r Herhg r olyıı mrjl olsılığı 37

14 2 j j (2.6) y d herhg r B j olyıı mrjl olsılığı le elde edlelr. r j 2 j rj B j j Teorem (Olsılıklr toplmı teorem): Tıml r olsılık uzyı ç eğer B B 2 B olylrı S B j j ve B 0 se her S ç j j= ç koşullrıı sğly S üzerde tımlmış yrık olylr B j / B j B j (2.7) j j eştlğ geçerldr kz. Ek2.5. Bu teorem değlse / BB. / B B. ç de geçerldr. Yukrıd tımlı B olylrı yrık (2.8) Olsılıklr toplmı teorem özellkle şmlı olrk uygul deeylerde fydlıdır. Öreğ her r çde toplr ulu torlrd r top çeklmek stedğ durum ele lıdığıd lk öe topu çekleeğ tor seçlr dh sor seçle tord r top çeklr. Bu tür deeyler ç B j lk şmdk olyı ve d k şmdk olyı tımlr se B j ve / B j olsılıklrıı ulmk oldukç kolydır. şmlr hlde uygul deeylerde r dımd sou göre koşul tımlmk oldukç uygudur../ B foksyouu özellkler şğıdk teoremler le tımlmıştır. Teorem: / B 0 Teorem: B se / B B/ 0 Teorem: Eğer ve B S de tımlı r olylr se Teorem: Eğer Teorem: Eğer Teorem: Eğer Teorem: Eğer / B / B 2 S se / B / B / B S se [ 2 / B] [ / B] [ 2 / B] [ 2 B S ve B B B / B S ve se B B se B B / B] 38

15 Teorem: Eğer B B / B 2 S ve 2 / B / B 2 Şrtlı olsılığı kullıldığı öeml durumlrd r şğıdk teorem le çıklmıştır. Teorem (Byes teorem): Tıml r olsılık uzyı ç eğer B B olylrı B j j S ve B 0 j= ç koşullrıı sğly S üzerde tımlmış yrık olylr se her S j 0 ç uluur. Bu teorem j / B. B k k Bk / (2.9) / B. B j j ç de geçerldr. Souu ldğ durumd see hg olsılıkl hg olyd meyd geldğ le lgler. Olsılıklr toplmı teoremde olduğu g Byes formülü de şmlı olrk uygul deeyler ç oldukç fydlıdır. rdk frk koşul olrk k şmı kullılmsıdır. Dğer r fde le olyı gerçekleşmştr ve seep ol B k olyı ç olsılık rştırılmktdır. Byes teorm le koşullu olsılıklr terse çevrlelr. Y B fdes B fde edlelr. Bu çok kullışlı r özellktr. Öreğ (sork oly öek oly) sde verls. Sork olyı gözlemlep öek olyı olsılığı hkkıd çıkrsm ypılmk stes. Bu durumd kullılmlıdır. (öek oly sork oly) 2.4 BĞIMSIZ OLYLR Ele lı olylrd r gözlep gözlememes olsılığı dğer r olyı orty çıkıp çıkmm olsılığıı etklemyors u olylr ğımsız olylr der. Eğer / B değlse dğer r deyşle / B se olyı B olyıd ğımsızdır. olsılığı B olyı ğımlı Tım (Bğımsız olylr): Verle r S olsılık uzyı ç ve B olylrı k ve k. / B () B 0. B / (B) 0 koşullrı sğlıyor se ğımsız olylrdır. İkde fzl... olylrı sdee se (2.20) se (2.20)... (2.2) 39

16 eştlğ sğlıyor se ğımsızdır. Bu tıml olylr çersde seçle lt olylr ç de geçerldr. Teorem: Eğer ve B olylrı verle r S olsılık uzyıd tımlı rrde ğımsız olylr seler ve B ve B ve B olylrı d rrde ğımsızdır kz Ek2.4. ve B olylrıı ğımsızlık özellğ le ve B olylrıı yrık olylr olm özellğ temelde lşkl olmkl rlkte frklı özellklerdr. Öreğ k yrık oly k ve k B (). (B) 0 se ğımsızdırlr. Bu durum sdee y d B olylrıı olsılıklrıı sıfır olmsı durumud gerçekleşr. Eğer 0 ve B 0 se ve B olylrıı ğımsız olmlrı olrı yrık olylr olmdıklrıı elrtr. Buu ters de söyleelr ve B yrık olylr se ğımsız olylr değldrler. Kesşm olsılığıı hesplmsı: Öek ölümlerde B olduğu elrtlmşt. Bu durumd k seçeek mevuttur: Eğer ve B ğımsız se B B doğrud hesplmsıı zor Eğer ve B ğımsız olup olmdıklrı lmyors koşullu olsılık ve çrpım kurlı kullılır. B BB Bu ypıı kullıllmes ç B olrk ğımsız seler sttstksel olrk d ğımsızdırlr. hespllyor olmsı gerekr. Eğer olylr fzksel Öeml r olsılık uzyı model tekrrlı ğımsız deemelerdr. Bu model r zr tışı pr tışı yd destede krt çekme g olylrd kullılmktdır. şğıdk örek u kou le lgldr. Örek: İlk olrk r zr dh sor r pr tılmkt ve so olrk d destede r krt çeklmektedr. Her r deeme şğıd verle = rı tur gelmes B = Zrı 5 yd 6 gelmes C= Çekle krtı sek gelmes olylrı oluşturmktdır. Gerçekleştrle her üç deeme rrde ğımsız olduğu vrsyılsı. Dğer r deyşle uygul r deey souu r dğer deey souuu etklememektedr. Bu durumd tüm mümkü durumlrı eşt ollrlğe shp olduğu kul edlelr. Her r deeme ç mümkü durumlrı syısı sırsı le 2 6 ve 52 dr. Tüm deemeler kümes ç mümkü durumlrı syısı u syılrı çrpılmsı le ululr. Bu souç lerk kısımd çıklk ol symı temel kurlı le elde edlmştr. yı kurl B C B C BC BC olylrı t durumlrı syısıı elde etmek ç de kullıllr: 40

17 6 52 B C 2 63 B 252 C 63 B C 2 23 B C 23 elde edle syılrı S le ölümes le ()=/2 (B)=/3 (C)=/4 (B)=/6 (C)=/8 (BC)=/2 (BC)=/24 souçlrı uluur. Souçlr eledğde şğıdk eştlkler geçerl olduğu koly doğrullr: (B)=()(B) (C)=()(C) (BC)=(B)(C) (BC)=()(B)(C) Burd dkkt edlmes gereke durum olylr olduğu kdr deeyler de ğımsız olduğudur. Eğer (B)=()(B) özellğ sğlıyor se ve B olylrı rrde ğımsızdır. Souç olrk ğımsızlık fdes görel olrk verle olsılık ölçümüe ğlı olduğu görülelr. Çfterl olrk ğımsızlık ortk ğımsızlık lmı gelmemektedr. Öreğ: r kvozd r det kırmızı r det eyz r det mv ve r det de kırmızı-eyz-mv olmk üzere 4 det top ulumktdır. olyı = topu üzerde kırmızı olmsı B olyı = topu üzerde eyz olmsı C olyı = topu üzerde mv olmsı İk top B ve C olylrıı sğlmktdır. Böylee 2 ve B C 2 Çftlerl ğımsızlık: B 4 ele lısı. B 4 tür. Dolyısıyl B B C C ve B C BC B C 4 ele lısı. B C 4 B C kşerl olrk ğımsız olmlrı krşı ortk olrk ğımsız değllerdr. 2.5 SEÇĠMLĠK KONULR dr. dr. yı şeklde dr. Böylee B ve C kşerl olrk ğımsızdır. dr. Dolyısıyl B ve C Olsılık uzyı gerçek hytt rstgele meyd gele süreçler (y d deeyler) modelleye mtemtksel ypıdır. Br olsılık uzyı elrl r durum y d deey dkkte lırk oluşturulur. Br olsılık uzyı üç prçd oluşur:. Örek uzyı S tüm mümkü çıktılrı kümes 2. Olylr kümes F sıfır y d dh fzl çıktıy shp ol her r oly r kümedr. 3. Olylr olsılıklrı tmsı olylrd olsılıklr r foksyo. 4

18 Br çıktı model tek r def uygulmsıyl elde edle souçtur. Çıktılrı tek tek değerledrlmes prtk olmdığı durumlrd dh krmşık ypıdk olylr çıktı gruplrıı krkterze etmek ç kullılır. Bu türdek olylr σ-er der. Bu ek olrk her r olyı ollrlğ elrlemes gerekr. Buu ç de olsılık ölçümü foksyou kullılır. Tım (Olsılık Uzyı): Br olsılık uzyı üç elemlıdır [S (.)]. Burd S örek uzyı sgm er dğer r deyşle r olylr koleksyou ve (.) se tım kümes ol r olsılık foksyoudur. Olylr les: Olylr örek uzyıı rer lt kümelerdr. Fkt örek uzyı S hg lt kümeler oly olrk tımldığı sıl krr verlr? Herhg r çıktı ol ssgözlemş ve E S olsu. Bu durumd sdee ve sdee s E se E gerçeklemştr der. Olylr les gözlemleelr lt kümeler toplmıd oluşmktdır. rtkte gözlemleelrlk meseles geellkle göz rdı edlr. Öreğ S solu r küme olduğud S tüm lt kümeler olylr olrk tımlır. Olylr les şu özellkler sğlmlıdır:.örek uzyı r olydır. 2.Eğer E r olys E de r olydır. 3.Herhg r syıllr olylr les rleşm de r olydır. İlk k özellk rlkte eledğde hem S hem de rer oly olmk zoruddırlr. Eğer sdee S ve oly seler üçüü özellk geçerldr ve u edele S toplmı r sgm-erdr. Tım (Sgm er): S örek uzyıı lt kümeler oluşturduğu r koleksyo eğer şğıdk üç özellğ sğlıyors sgm er olrk dldırılır ve le gösterlr. ) (oş küme ı elemıdır) ) Eğer se (tümleye şleme göre kplılık) ) Eğer 2... se olur (syıllr syıd rleşm şleme göre kplılık). Boş küme herhg r küme lt kümesdr. Bu edele dm sgm ere dhl olduğuu elrtr. S. Özellk () u lt küme S olduğud özellk () ve () S kümes de dm y dhl olduğuu elrtr. yrı De Morg kulrı kullılrk ı syıllr kesşmler ltıd kplı olduğu görülelr. Eğer... se u durumd... dr 2 2 (özellk le) ve olur. Buul rlkte De Morg kuu kullılrk uluur ve özellk () le uluur. 42

19 Örek uzyı S ye t rçok frklı sgm er tımllr. Öreğ {Ø S} şekldek k det küme koleksyou r sgm erdr ve trvl sgm er olrk dldırılır. Eğer S solu y d syıllr se u örek uzyı üzerde r sgm er oldukç koly r şeklde tımlır: =S tüm lt kümeler S keds Eğer S kümes det elem shp se dk küme syısı 2 dettr. Öreğ eğer S={23} se 2 3 =8 küme koleksyoud oluşur. ={} {2} {3} {2} {3} {23}{23} Ø=F S Eğer S kümes elemlrı syılmıyor se u durumd yı tımlmk zor ollr. Buul rlkte lglele herhg r kümey çereek şeklde seçlelr. Öreğ syılr kümes olrk tımlmış se er [] (] [) () S gerçel şekldek tüm kümeler çereek şeklde seçlelr. Burd ve tüm gerçel syılrı tımlr. Bu durumd yukrıd tıml kümeler mümkü syıllr sosuz rleşm ve kesşm şlemler le elde edleleek tüm kümeler çerr. Olsılık teorsde öeml eştszlklerde r Boole eştszlğdr ve dıı George Boole d lmıştır. Boole eştszlğ solu y d syıllr olylr kümes rleşm olsılığıı yrı yrı reysel olsılıklrı toplmıd dh üyük olmyğıı söylemektedr. Teorem (Boole eştszlğ): Herhg k ve B olyı ç B B B S olmk üzere B ç olrk tımlır. Dh geel olrk eğer (.) r olsılık foksyou se herhg 2 kümeler ç ( eştszlğ geçerldr kz E2.6. ) Boole eştszlğ olylrı solu kesşm olsılığı üzerde r lt ve üst sıır ulmk ç geelleştrlelr. Bu sıırlr Boferro eştszlkler olrk lr. Teorem (Boferro Eştszlğ): Teorem () formülüde ( B) olduğud ( ) ( B) ( B) ve ( B) ( ) ( B) elde edle souç Boferro eştszlğ özel hldr kz E2.7. Boferro eştszlğ özellkle kesşm olsılığıı elrlemek stedğ fkt hesplmsıı zor y d mksız olduğu durumlrd oldukç fydlıdır. Öreğ her r 0.95 olsılığ shp ve B olylrı ç her ks de rlkte oluşm olsılığıı sıırı 43

20 (B)=()+(B)-=0.90 olrk ululr. Breysel olylrı olsılıklrı yetere üyük olmdıkç Boferro sıırı egtf değer verdğ ç (fkt hl doğrudur) kullışsızdır Örek Uzylrı Bu ölüm oyu rssl r deey sdee solu çıktılr shp olduğuu vrsyılktır. Buul rlkte lglele rssl deey sosuz elem shp r örek uzyı üretelr. yrı sosuz elem shp örek uzyıı elemlrı syıllr vey syılmz ollr Syıllr Sosuz Örek Uzylrı Br örek uzyı poztf tmsyılr kümes elemlrı le re-r olrk eşleelyors vey umrldırıllyors syıllrdr. (kz grş ot) eğer örek uzyı syıllr se şğıdk g gösterlr. S e e e. 2 3 Burd ulu e çıktılrı göstermektedr. yrı E e tmsyılrı r lt kümesdr. E kümes olsılığı; ( E) ( ) I E e : I E olsu. Burd E I poztf dr. S sosuz olduğu ç urdk I E ds kümes de sosuzdur fkt ( e ) e fzl olduğu ç (E) soludur. Örek olrk hlesz r pr ç lk yzı geleye kdr yzı-tur deemeler düşüülürse örek uzyı çıkç 023 tmsyılrıı çerr ve çıktılrı dzs şğıdk gdr; T T TH S 0 2 () /2 (/2) 2 (/2) 3 yrı; olduğu görülelr. 2 Syıllr durum tm olrk solu durum gdr. Souç olrk solu durumd öe elde edle tüm tımlr ve souçlr syıllr durum üzere tşılr. Bud dolyı ze solu ve syıllr durumlr erere yrık örek uzylr dı ltıd fde edlrler Syılmz Sosuz Örek Uzylr Syılmy örek uzy syılmy sosuz vey sürekl örek uzyı dı verlr. Breysel st çıktılı olsılıklr yrık durumlr sürekl örek uzyı durumud şe yrmzlr. Çoğulukl syılmz sosuz durumd her r çıktıı reysel olsılığı sıfır olmlıdır. Bu zorlukt kurtulmı yolu reysel çıktılrd zyde leşk olylrı olsılıklrıı elrlemektr. 44

21 Sürekllk olduğud örek uzyı reel syılrı r rlığı öreğ (0) vey reel ekse tümü y d r düzlem çdek oktlrı kümes ollr. Olylr her r durum ç çıkç tımldığıd oly olsılıklrı elrleelmekte ve keskl durumlr ç kullıl kurllr k o zm uygullmektedr. Dkktmz rlıklr üzerdek olylr ve olsılıklr verelm. Örek uzyı olrk (0) rlığıdk reel syılrı kümes olrk lıır se ( S) olduğu çıkç görülelmektedr. Bu örek uzyıd sezgsel olrk olsılık değer 0.5 ol 0.5 de küçük syılrı örek uzyı üretlr. Bezer şeklde 0.75 le 0.85 rsıdk rssl seçlmş syılrı olsılığı se 0.0 dur. Bu örek uzyı üzerde üç te rlık olyı şğıdk g tımlsı; x :0.6 x 0.9 B x : x 0.7 C x : x 0.5. Her r oly t olsılık değer o olyı tımlı olduğu rlığı oyu eşttr. Bu durumd olsılıklr ( ) 0.3 ( B) 0.3 ( C) 0.5. şeklde tlr. Bu olylrı tımlrıd küme şlemler rılığıyl ezer örek uzylrı türetlelr. Öreğ; B x : 0.6 x.0 ( B) 0.4 B x : 0.7 x 0.9 olyı ç olyı ç ( B) 0.2 olur. Böylee ( B) ( ) ( B) ( B) elde edlelr. yrı sezgsel olrk şğıdk souçlr görülmektedr. C B C 0.5 C x : x 0.5 B C B C B C B C 0 BC x : x 0.5 ( C) 0.5; ; vey x 0.7 So k souç B ve C krşılıklı olrk yrık olduğuu ve ğımsız olmdıklrıı elrtmektedr. 45

22 Rssl r syı seçm öreğmz k öeml özellğ vrdır. Brs hespllr r olsılığ shp küme r rlıktır. rlık üzerde tıml k oly ve B olsu. Bu durumd B B ve B olylrı d rer rlıktır. İks olsılık topllrdr. Y ve B herhg k rlık ve yrık seler B oyu ve B oylrıı toplmı olrk uluur. Syılmy sosuz örek uzylrı üzerdek rlık olylrı ve olsılıklrı ç r şk öreğe klım. Elmzde 0 d 0 kdr umrldırılmış yelkovlı r kroometre (süreölçer ) olsu. Eğer gözümüz ğlı ke r emrle kroometrey şltıp durdursk yelkovı tm olrk 4 umrd durm şsı edr. Tm olrk lmıd ksıt sıfırlrı sosuz kdr gtmesdr.çıkç öyle r şs yoktur. St r yerde durmlı ve durduğud se olsılık dr. Eğer rstgele l r zmd st durs yelkovı 2 le 4 syılrı rsıd durmsıı olsılığı edr? çmde sorulurs çoğu kş olsılığı 0.2 olduğuu söyleyeektr. Çükü 2 le 4 rsıdk uzy çevre 2 0 s kdrdır. Yukrıdk olsılığı r ölge olrk çıklmk ç olsılık eğrs olrk smledrle r ölge ş edlelr. Eğr ltıd kl toplm l sürekl örek uzylrıı toplm olsılığıdır ve her zm e eşt olmlıdır. Verle örekte 0 d 0 kdr zm ekse göstermekte ve st 0 le 0 rsıdk herhg r değer lmktdır. yrı her rlık eşt olsılıkl ölçülmektedr. Toplm l olduğu ç u olsılığ krşı gele değer 0 dur. Şekl 4.4 ze lgl durumu olsılık eğrs göstermektedr. Şekldek trlı ölge yelkovı 2 le 4 rsıd durm olsılığıı vermektedr. Bu ölge r dktörtge olup lı dr. 46

23 BÖLÜM 2 EKLER Ek2. Ġspt: ) S=SØ ve S le Ø yrık SØ= Ø olduğud (S)=(SØ)=(S)+(Ø) =+ (Ø). ) S= ve le yrık = Ø olduğud (S)=( )=()+( ) = ()+( ). Ek2.2 Ġspt:. Herhg k ve B olyı ç B=(B)( B) ve olsılık fdes olrk (B)=(B)( B) ve eştlğ sğıdk k oly yrık olduğud (B)=(B)+( B). Herhg k ve B olyı ç ve B olylrı rrde yrık olduğud B=( B) özdeşlğ kullılrk (B)=()+( B) yrı B= ( B) ve eştlğ sğıdk k oly yrık olduğud (B)=()+ ( B) Elde edle souçlr yere kork spt tmmlır. (B)=()+(B)-(B). B=( B) ve eştlğ sğıdk k oly yrık olduğud ksyom 3 kullılrk (B)=()+( B) ksyom kullılrk ( B)0 ve souç olrk (B) () uluur. d. =(-B)(B) olup eştlğ sğıdk kümeler yrık olduğu ç ()=(-B)+(B) spt tmmlır. Teorem () formülü r kesşm olsılığı ç kullılleek fydlı r eştszlğ (Boferro eştszlğ) tımlr. Ek2.3 Ġspt:. [/ B] ( B) (B) 0 her S ç. [S/ B] (S B) (B) (B) / (B). Eğer 2... S dek çfterl yrık olylrı dzs se ( ) B B / B [B] [B] 47

24 (B) [ B / B] Souç olrk verle r B (B)>0 olyı ç [./B] r olsılık foksyoudur. Ek2.4 Ġspt: olyı yrık B j olylrıı her r le ol kesşmler rleşm j B olrk tımllr çükü uluur. [ ] j j B j ler de yrıktır. Bu durumd B j [ / ]. [ j B j B j j ] [ B ] Ek2.5 Ġspt: Sdee şıkkıı sptı ypılktır. Bu mçl B (). (B ) gösterlmeldr. uluur. [ B ] ( ) ( B) ( ) ( ). ( B) ( ).( ( B)) ( ). ( B ) j olduğu Ek2.6 Ġspt: Boole eştszlğ solu olylr les ç tümevrım yötemyle kıtlktır. ç eştszlk sğlır.. durum ç eştszlk şğıd verlmştr. B B B Böylee ve rleşm opertörü rleşmel olduğud 0.. Olur ve olsılığı lk ksyomu edeyle 48

25 49 Elde edlr. Bu yüzde uluur. Ek2.7 Ġspt: Boole u eştszlğ le Boferro eştszlğ rsıd r ezerlk vrdır. Temelde yıdırlr. Eğer Boole u eştszlğde kullılsydı urd ve ) ( ) ( eştlkler kullılrk ) ( elde edlr k u souu Boferro eştszlğ geel fdesdr.

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ BÖLÜM OLSILIK TEORİSİ İstatstksel araştırmaları temel koularıda br souu öede kes olarak blmeye bazı şasa bağlı olayları (deemeler) olası tüm mümkü souçlarıı hag sıklıkla ortaya çıktığıı belrleyeblmektr.

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme: Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrı toplmı: 1 + + 3 +...+ =.(+1) Ardışık çift syılrı toplmı : + 4 + 6 +... + =.(+1) Ardışık tek syılrı toplmı: 1 + 3 + 5 +... + ( 1) =.= Ardışık tm kre syılrı

Detaylı

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır. . OLASILIK TEORİSİ İsttstsel ştımlı temel oulıd b souu öede es ol blmeye bzı şs bğlı olylı (deemele) olsı tüm mümü souçlıı hg sılıl oty çıtığıı belleyeblmet. Bu sou sttstte olsılı poblem ol dldıılı ve

Detaylı

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known? 1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm

Detaylı

BÖLÜM 6 LİNEER PROGRAMLAMA

BÖLÜM 6 LİNEER PROGRAMLAMA BÖÜ 6 İNEER PROGRAAA 6. GİRİŞ Hedef foksyou ve kısıtlyıılrı, tsrı değşkeler leer fortıd verle optzsyo proleler eer Progrl prole olrk dldırılır. Her e kdr çoğu ühedslk optzsyo proleler leer oly dekleler

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON:

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: DOĞRUSA OMAYAN PROGRAMAMA TEK DEĞİŞKENİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: Kısıtsız optmzsyo herhg r kısıtlm olmksızı r oksyou mksmum vey mmum değerler rştırılmsı prolem le uğrşır. Y kısıtlrıı d sğlmsı gerekl ol r

Detaylı

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu Dış Etk Olrk Sıcklık Değşmes ve/vey eset Çökmeler Göz Öüe Alımsı Durumu Dış etk olrk göz öüe lı sıcklık eğşm ve meset çökmeler hpersttk sstemlere şekl eğştrme le brlkte kest zoru mey getrr. Sıcklık eğşm:

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ ÇSD SİSELERİN ZORLANIŞ İREŞİİ u u u u bşlgıç koşullrı eksdek br N serbeslk derecel ssem hreke deklem mrs formd; u C u u şeklde yzılblr. Bu mrs formdk hreke deklem, u ve ürevler çere brbre bğlı N de deklem

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz SAYISAL ANALİZ EĞRİ UYDURMA (Curve Fttg) Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz İÇİNDEKİLER Eğr Udurm (Curve Fttg) E Küçük Kreler Yötem Doç.Dr.

Detaylı

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( ) Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

Kareler Toplamları ve Beklenen Kareler Ortalamaları Varyans Analizi Tabloları

Kareler Toplamları ve Beklenen Kareler Ortalamaları Varyans Analizi Tabloları Kreler Toplmlrı ve Belee Kreler Ortlmlrı Vrys lz Tlolrı Bu derste degel tsrımlı modellerde etler ve etleşmler ç resel toplmlrı yzılmsıd, serestl dereceler elrlemesde ve elee reler ortlmlrı ulumsıd yrdımcı

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: oguhmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör

Detaylı

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL ) KONTROL SİSTEMLERİNE GİRİŞ: Kotrol: Br sste çıkışlrıı stee değerlere yöeltek y d öcede belrleş br dvrışı zleeler sğlk ç sste grşler üzerde ypıl şlelere kotrol der. Ototk Kotrol:

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme: Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrın toplmı: 1 + 2 + 3 +...+ n =.(+) Ardışık çift syılrın toplmı : 2 + 4 + 6 +... + 2n = n.(n+1) Ardışık tek syılrın toplmı: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n.n=n 2

Detaylı

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint ölü.: Mrsler ugüü derszde rs eors err edeeğz. Mrs ouud ddörge elelrd oluş r eledır sır ve süu zı öre rsler şğıddır: j C Trspoz j ı rspozu T j dır. Öre T T T Kojuge j ı Kojuges j dır. Öre djo ı djo T dır

Detaylı

Yaklaşık Temsil Polinomları

Yaklaşık Temsil Polinomları Yklşık Tesl ololrı Teke for eğrler tesl ede ofset oktlrıd htlı oktlr bulusı duruud terpolso pololrı sıırlı kullı lı bulblektedr. Arıc terpolso pololrı le verle oktlrd geçe eğrler elde edldğde teke for

Detaylı

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur. Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....

Detaylı

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 2

TYT / MATEMATİK Deneme - 2 TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF.

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF. SINIF ÜSLÜ SAYILAR www.tyfuolcu.co Üslü Syı : ifdesi ı te çrpıı lı gelektedir. =.... te =.. = 8 =. = 4 =. = 9 4 =... = 81 10 6 = 10.10.10.10.10.10 Teel Kvrlr ile. ifdeleri çok sık krıştırıl ifdelerdeir.

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi

Detaylı

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

BENZERLİK VE MODELLEME

BENZERLİK VE MODELLEME BENZEİK E OEEE Boyut lizide sıl yrrlırız? Bir fiziksel olyı etkileye prmetre syısı çok fzl olilir. Boyut lizi ile hem çok syıd ol prmetre syısı zltılmkt hem de prolemi krmşık ypısı oyutsuz gruplr yrılrk

Detaylı

Nümerik Analizin Amacı

Nümerik Analizin Amacı Doç.Dr. Nurett UMURKN Nümerk lz / 59 Nümerk lz mcı Mtemtksel prolemler çözümleelmes ç ugu ve e klşım vere ötemler ulmk, rıc ulrd lmlı ve dlı souçlr çıkrmktır. Çözümü stee prolem tımlmk ve souc vrck ötem

Detaylı

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4. Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜSE LİSANS TEZİ ORAY OR EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI MATEMATİ ANABİLİM DALI ADANA 6 ÖZ YÜSE LİSANS TEZİ EN ÜÇÜ ARELER YALAŞIMI ORAY OR ÇUUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr

Detaylı

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

Simplexlerin Hiperbolik ve de Sitter Dualitesi Üzerine. 1. Giriş. Baki Karlığa G.Ü.Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Simplexlerin Hiperbolik ve de Sitter Dualitesi Üzerine. 1. Giriş. Baki Karlığa G.Ü.Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Smplexler Hperolk ve de Stter Dultes Üzere Bk Krlığ G.Ü.FeEdeyt Fkültes Mtemtk Bölümü Mthemts Sujet Clssftos :MM04,5M05,5M0,5M5 Keywords :Smles,Hyperols,Dulty,de Stter,Edge. Grş W.Fehel, Elemetry Geometry

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 6

TYT / MATEMATİK Deneme - 6 . Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h

Detaylı

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ SÜ ü-m Fk Derg, c9, s, 4 J FcEgArc Selcuk Uv, v9,, 4 EİPSOİDA YÜSEİERİN ORTOETRİ YÜSEİĞE DÖNÜŞÜÜNDE ENTERPOASYON YÖNTEERİNİN UANIABİİRİĞİ Cevt İNA ve Ceml Özer YİĞİT SÜü-mFkültes, Jeod ve Fot ü Bölümü,

Detaylı

TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 5 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı vey ir kısmıı

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

Örneğin, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibidir.

Örneğin, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibidir. DOĞRUSAL KONTROL SİSTEMLERİNİN KARARLILIĞI: Geelde doğrul kotrol temler trımı temde ögörüle belrl koşullr yere gelecek şeklde tem trfer fokyoud kutup ve ıfırlrı yerleştrme lmı d gelr. Trımd kullıl pek

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Müdslk Mmrlık Fkülts İşt Müdslğ Bölümü E-Post: ogu.mt.topcu@gml.com W: ttp://mmf.ogu.du.tr/topcu Blgsr Dstkl Nümrk Alz Drs otlrı 0 Amt TOPÇU I f ( x I x x ( x [ ( x f (

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR 1) 2, 8, 26, 80... şeklideki ir syı örütüsüde 30. teri kçtır? A) 3 30 + 1 B) 3 30 1 C) 2 30 1 D) 2 30 + 1 5) Adylrı oy kulldığı ir seçide 889 öğrei oy kullktır. Seçie ktıl 8 dyd irii kzilesi içi e z kç

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Ösöz Değerli Öğreciler, Bu fsiül ortöğretimde bşrıızı yüseltmeye, üiversite giriş sıvlrıd yüse pu lmız yrdımcı olm içi özele hzırlmıştır. Koulr lmlı bir bütü oluşturc şeilde hücrelere yrılr işlemiştir.

Detaylı

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır.

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır. BİRDEN AZA KAPİTAE İİŞKİN AİZ İŞEMERİ: =,,,, >0 olmk üzere syıdk kpller, süreler ç fz orlrı üzerde fze verldğde oplu olrk bs fz urlrı: = formülü le hesplblr. ork fz orı olmk üzere, syıdk kpl ork fz orı

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI. Fatma İÇER

KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI. Fatma İÇER T.C. DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI Ftm İÇER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DİYARBAKIR Hzir 203 TEŞEKKÜR Çlışmmı her

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER BÖLÜM. REGRESYON İÇİN MRİS VE VEKÖR CEBRİ Bölüm de, doğrusl regreso tek değişkeli sit model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş pılcktır. Çok değişkeli modelde

Detaylı

YARI-KOTANJANT DEMET Furkan YILDIRIM Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Geometri Bilim Dalı Prof. Dr. Arif SALİMOV 2015 Her hakkı saklıdır

YARI-KOTANJANT DEMET Furkan YILDIRIM Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Geometri Bilim Dalı Prof. Dr. Arif SALİMOV 2015 Her hakkı saklıdır YAR-KOTANJANT DEMET Fur YLDRM Dotor Tez Mtemt Ablm Dlı Geometr Blm Dlı Prof. Dr. Arf SALİMOV 25 Her hı slıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YAR-KOTANJANT DEMET Fur YLDRM MATEMATİK

Detaylı

BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS)

BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS) BOYU ANAİZİ- (IMENSIONA ANAYSIS Boyut nlizi deneysel ölçümlerde ğımlı ve ğımsız deney değişkenleri rsındki krmşık ifdeleri elirlemekte kullnıln ir yöntemdir. eneylerde ölçülen tüm fiziksel üyüklükler temel

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

TÜMEVARIM DİZİ - SERİ

TÜMEVARIM DİZİ - SERİ 99 A = {, N } ve P() öemes vels. Eğe :. P() doğu,. A ç P() doğu e P(+) öemes de doğu se; P() öemes A ç doğudu. TOPLAM SEMBOLÜ R ve N olm üzee;... dı. c c. c c b b < m < ç m m p p p 0 F F F F F F F F A

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER

II. DERECEDEN DENKLEMLER ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı

Detaylı

KONU ANLATIM FÖYÜ MATEMATİĞİN ALTIN ORANI MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ MATEMATİĞİN ALTIN ORANI MATEMATİK Elemn: Kümey oluşturn nesneler n her b r ne, oluşturduğu kümen n elemnı den r. KÜME Özell kler y tnımlnmış çeş tl nesneler n oluşturduğu topluluğ küme den r. B r topluluğun küme bel rtmes ç n nesneler

Detaylı

D) 240 E) 260 D) 240 E) 220

D) 240 E) 260 D) 240 E) 220 01 Test Ünite? AYT Mtemtik EBOB - EKOK 1. 240 ve 300 syılrının en büyük ortk böleni kçtır? A) 20 B) 40 C) 60 3. 18, 24 ve 32 syılrının en küçük ortk ktı kçtır? A) 248 B) 260 C) 276 5. Kenr uzunluklrı 60

Detaylı

6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.

6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır. TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1 YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

Detaylı

6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI

6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI 6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI Y i β + β X i + β X i + + β k X ki + i (i,,, gibi çok çıklyıcı değişkee ship bir model, şğıdki gibi bir eşlı deklem modelii göstermektedir. Y β + β X + β

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 007 MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) E) Çözüm + 8 8 + 8 8. ( ).( ) (+ ).(+ ) işleminin sonucu

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı