Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Transkript

1 ölüm 4 Olasılık 1

2 OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir. 2

3 Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, ir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.??? 3

4 Temel Tanımlar ve Kavramlar-I Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirimlenemeyen bir tek çıktı şans değişkeni oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. asit Olay: ir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması. 4

5 Temel Tanımlar ve Kavramlar-II Olay: irden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması. Örnek Uzayı: ir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 } 5

6 Temel Tanımlar ve Kavramlar-III yrık Olay: Eğer ve gibi iki olay aynı anda geçekleşemiyor ise bu olaylara ayrıkbirbirini engelleyen olaylar denir Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır. Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi olayları ayrık olaylar değildirler. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. Eşit Olasılıklı Olaylar: ir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Örnek: ir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi. 6

7 Olasılık için Notasyon olasılığa karşılık gelir.,, ve C spesifik olayları tanımlar. - olayının meydana gelmesi olasılığını ifade eder. 7

8 Olasılığın Limitleri İmkansız bir olayın olasılığı 0 dır. Kesin bir olayın olasılığı 1 dir. ir olayı için

9 Olasılığın İki Temel Kuralı; 1 Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2 ir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. DİKKT!!!! Hiç bir olayın OLSILIĞI 1 den büyük olamaz!!!! ir olayın ortaya çıkma olasılığı; şeklinde gösterilir. 9

10 Tanımlar ve olayları, eğer birlikte meydana gelemiyorlarsa, ayrıktır birbirini engelleyen olaylardır. 10

11 irbirini ütünleyen Tümleyen Olaylar ve yrık olaylarıdır Tüm basit olaylar, veya içerisinde yer alır. 11

12 Tümleyen Olaylar ile İlgili Kurallar + = 1 = 1 = 1 12

13 Olayının Venn Diyagramı Gösterimi 13

14 Olasılığın Gelişim şamaları Klasik riori Olasılık Frekans osteriori Olasılığı ksiyom Olasılığı NOT:u sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır. 14

15 Klasik Olasılık Eğer bir örnek uzayı ns adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n adedi olayının özelliğine sahip ise nın olasılığı: = n / ns kesri ile elde edilir. 15

16 Örnek: ir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? : Çekilen bir bilyenin sarı olması ns: Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n: Örnek uzayındaki elemanı sayısı = 5 n 5 n S

17 Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir? Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda, Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, klasik olasılık ile hesaplama yapılamayacağından dolayı yetersizdir. 17

18 Ne Yapılabilir? raştırılan anakütle üzerinde tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir. 18

19 Frekans Olasılığı raştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen olayı n defa gözlenmiş ise olayının göreli frekansı yaklaşık olasılığı: = n / n olarak bulunur. 19

20 Örnek: ir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre eşit olasılıklı olaylar p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak p = nh / n olasılığını hesaplamaktır. 20

21 üyük Sayılar Kanunu ir prosedür deney tekrarlandıkça, frekans olasılığı gerçek olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir. 21

22 Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır. u duruma kararlılık özelliği adı verilir. ir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır: p = = lim n n / n 22

23 Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir? Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir. ynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir? 23

24 ksiyom Olasılığı Nedir? Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar. u teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır. Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda teorik olarak aynı koşullarda uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır. ununla birlikte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında KSİYOM OLSILIĞI yardımcı olur. 24

25 enzer Koşullarda Tekrarlı Olarak Uygulanamayan Durumlara Örnekler: Çok hoşlandığınız bir arkadaşınızla çıkma olasılığı nedir? Fenerbahçe - Galatasaray maçının 0-6 bitmesi olasılığı nedir? 25

26 Subjektif Olasılıklar olayının meydana gelme olasılığı, konu ile ilgili bilgileri ve inanışlarına bağlı olarak belirlenir. Örnek: Kişisel yatırımcıların hiçbiri borsanın gelecekteki davranışı konusunda aynı görüşü paylaşmaz. u kişilerin subjektif olasılıkları, ulaşabildikleri bilgiye ve onu yorumlama biçimlerine bağlıdır. 26

27 ksiyomlar ksiyom 1: örnek uzayı S deki her olayı için 0 olan bir gerçel sayıdır. ksiyom 2: S=1 { =0 } ksiyom 3: Eğer S 1,S 2,...Olaylarının her biri S deki ayrık olaylar ise,diğer bir deyişle S i S j = tüm ij için ise, S 1 S 2...=S 1 +S

28 Sadece ksiyomlar Yeterli mi? HYIR u aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir FONKSİYON ya da bir KURL gereksinim vardır 28

29 u fonksiyonlar İlgilenilen anakütlenin Tanımladığı ÖRNEK UZYIN Göre Farklılık Gösterir. Sık karşılaşılan üç farklı örnek uzayı; Sonlu elemanlı kesikli örnek uzayı sayılabilir sonlu Genel kesikli örnek uzayı sayılabilir sonsuz Sürekli örnek uzayı sayılamaz sonsuz olarak ifade edilir. 29

30 x : herhangi bir gün içinde yağmur yağması x = 0 yağmur yağmaz x = 1 yağmur yağar Örnek Uzayı; S = { x / 0, 1 } veya S = { x / Yağmursuz, Yağmurlu } olarak belirlenir ve sayılabilir sonlu bir örnek uzayıdır. 30

31 x : bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı Örnek Uzayı; S = { x / 1,2,3,.. } olarak belirlenir ve sayılabilir sonsuz bir örnek uzayıdır. kesikli şans değişkeni x : öğrencilerin boyları Örnek Uzayı; S = { x / 150 < x < 200 } olarak belirlenir ve sayılamaz sonsuz bir örnek uzayıdır. sürekli şans değişkeni 31

32 azı Temel Olasılık ksiyomları 1. S = 1 2. = 0 3. olayının tümleyeni olarak gösterilir ve herhangi iki olay olmak üzere; U = + 5. ve ayrık iki olay ise; U = + 32

33 Oranlar Özellikle bahis oyunlarında olasılıklar, oranlar ile açıklanır. Organizatörler her üç sonuç için kendi değerlendirmelerine göre birer olasılık belirliyorlar. Ev sahibi galibiyeti=.60, beraberlik=.25, deplasman galibiyeti=.15 gibi. Ev sahibinin kazanması olayı E olsun. u durumda E nin lehindeki oran, E/1-E, E nin aleyhine oran 1-E/E olur. 33

34 Örnek Uzayı ve Olay Sayısını elirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1 Toplama Yöntemi 2 Çarpma Yöntemi 34

35 Toplama Yöntemi ir olayı m farklı şekilde, başka bir olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise; veya olayı n + m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: İstanbul dan İzmir e 2 farklı tren seferi, 4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve 1 adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul dan İzmir e kaç farklı şekilde gidilir? = 47 35

36 Çarpma Yöntemi ir olayı m farklı şekilde, başka bir olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise; ve olayı n * m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: ir iskambil destesinden çekilen iki kartın birinin Kupa diğerinin Maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 13 * 13 =169 NOT: Çarpma yöntemi bağımsız olaylar için kullanılır. 36

37 k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortaya çıkan tüm durumların sayısı; olarak hesaplanır. k r Örnek: ir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı; 6 3 = 216 adettir. Örnek uzayının eleman sayısı 216 dır. 37

38 Örnek Uzayı ve Olay Sayısının üyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; ermütasyon Kombinasyon 38

39 Notasyon Faktöriyel sembolü! zalan pozitif tamsayıların çarpımını ifade eder. Örneğin, 4! Tanım gereği, 0! = 1. 39

40 ermütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir? n n-1 n n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı: nn-1n =n! n n = n! 40

41 n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı..olarak ifade edilir. n x Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır: n! n x n x! Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli 41

42 Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir? 8! 8 3 8*7* ! Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur? 6! 6 4 6*5*4*3 6 4! =360 42

43 ermutasyon Kuralı when some items are identical to others n nesne verilmiş olsun. u n nesnenin n 1 tanesi birinci çeşit, n 2 tanesi ikinci çeşit,... n k tanesi k. Çeşit olsun. k grup ve her bir grupta sırayla n1, n2,... nk nesne olacaktır. Tümü birlikte alınan n nesnenin permütasyonlarının sayısı n! n 1!. n 2! n k! 43

44 52 kartlık standart bir deste 4 oyuncu arasında kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 44

45 Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı nc x ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. u sayı şu şekilde hesaplanır: n! n C x n x! x! Kullanıldığı durumlar; İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsiz 45

46 Örnek: eş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir? 5! 5 3!3! 5*4*3*2 2*3*2 5C3 10 Örnek: 10 bay ve 5 bayan arasından 2 bay ve 1 bayan üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur? 10! 10 2!2! 10*9 2 10C2 5! 5 1!1! 5C bay arasından 2 bay 5 bayan arasından 1 bayan Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekilde oluşturulur. 46

47 Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir? 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat C C 5 C C C 18 5 C C C C 0,62 Örnek: li ve Can isimli iki arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar. Oyuna li başlıyor. Zar 1 veya 2 gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5 gelirse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma sırası Veliye geçiyor. li nin bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz. li nin oyunu kazanma olasılığı p olsun, li 1 veya 2 atar oyunu kazanır, olasılık : 2 / 6 3,4 ve 5 atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanır olasılık: 3/6p İlk atışta 6 atar oyun cana geçer ve can oyunu kaybeder olasılık 1/61-p p = 2/6 + 3/6p + 1/61-p p = 3/4 47

48 ğaç Diyagramı Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır. 48

49 Örnek: li ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz. Olası Durumlar;,CCC C,CCC C,CCC CCC,C CC,CCC CC,CCC CCC,CC CCC,CC CC,CCC CCC,CC 2 0 D E T C C C C C C C C C C C C C C C C C C 49 C

50 50 Şartlı Olasılık ve gibi iki olaydan olayının gerçekleştiği bilindiği durumda olayının gerçekleşmesi olasılığına olayının şartlı olasılığı denir. / ile gösterilir. nın gerçekleştiği bilindiğinde nin ortaya çıkma olasılığı; / /. /. /

51 Örnek: ir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70 i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır. a ir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b ir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma T = 0,70 S = 0,35 a T / S = 0,40 T S =? T/S T S S TS T/S*S 0,40*0,35 0,14 b T U S T S - T S 0,70 0,35-0,14 0,91 51

52 Şartlı Olasılıkların ilindiği Durumlarda Tek ir Olayın Olasılığının ulunması şağıdaki şekilde olayının birbiriyle ayrık olan 5 farklı olayın birleşiminden meydana geldiği görülür

53 53 olayı her bir olayı ile kesişimleri cinsinden ifade edildiğinde;birbirini engelleyen olayların birleşiminin olasılığı toplama kuralına göre / i i i / / / / /

54 Örnek: ir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. yrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı =? i = Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi 1 = = 1 olduğundan; 1 = 0,50 2 = 3 = 0,25 olarak elde edilir. / 1 1 / 2 2 / 3 3 = =0,025 Depodan seçilen 1000 ürünün 25 tanesinin hatalıdır. 54

55 55 ayes Teoremi Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında ayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır. k i i i i i i i 1 / / /

56 Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; / 1 / 1 1 / 1 1 / 2 2 / 3 3 / ,40 56

57 ağımsız Olaylar Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesinin olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. = /. = /. ve olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle olayının meydana gelme olasılığı olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise; / = ve / = olur. Sonuç olarak ve olayları bağımsız iseler =. eşitliği elde edilir. ynı şekilde =. ise ve 57 olayları bağımsızdır denir.

58 Örnek: li ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir? = li nin hedefi vurması = 0,65 C = Can ın hedefi vurması C = 0,40 U C =? U C = + C C li ile Can nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan; C =. C = 0,65 * 0,40 = 0,26 U C = 0,65 + 0,40 0,26 = 0,79 58

59 Testing for Independence In Section 3-4 we stated that events and are independent if the occurrence of one does not affect the probability of occurrence of the other. This suggests the following test for independence: Two events and are independent if Two events and are dependent if = or and = = or and = 59

60 üyük anakütlelerden küçük örnekler Eğer örnek miktarı anakütlenin %5 inden az ise, seçim işlemini bağımsız olarak varsayabiliriz. gerçekte seçimler iadesiz ve dolayısı bağımlı olsalar bile 60