BETİMLEYİCİ, DURUM SAPTAYICI ARAŞTIRMALAR

Transkript

1 BETİMLEYİCİ, DURUM SAPTAYICI ARAŞTIRMALAR

2 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜTLERİ Herhangi bir değişken için toplanan bireysel verilerin genellikle belirli bir merkezi nokta civarında değerler aldığı gözlemlenmektedir. Merkezi eğilim ölçütleri birimlerin hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve dolayısıyla ana kitleyi temsil eden (niteleyen) sayısal değerlerdir. Uygulamada en yaygın kullanılan merkezi eğilim ölçütleri ortalamalar (aritmetik ortalama, geometrik ortalama, harmonik ortalama), ortanca (medyan) ve mod (tepe değer) olarak sayılabilir. Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama bireylerin tamamının eşit ağırlığa sahip olduğunu varsayan bir merkezi eğilim ölçütüdür. Yığın için aritmetik ortalama aşağıdaki formül ile hesaplanır: μ = X 1 + X X N = σ i=1 N X i N N Burada, μ: yığın için aritmetik ortalamayı, N ise yığındaki birim sayısını göstermektedir

3 Yığından seçilen bir örnekten hesaplanan aritmetik ortalama ise തX sembolü ile gösterilmekte olup hesaplama formülü aşağıdaki gibidir: തX = X 1 + X X n = σ i=1 n X i n n Burada, n: örnekteki birim sayısıdır. Aritmetik ortalamanın özellikleri Ölçme düzeyi en az eşit aralıklı olan değişkenler için hesaplanabilir. Diğer bir ifadeyle nicel değişkenler için hesaplanabilir. Hesaplama formülünde birimlerin tamamını kullanır. Dolayısıyla aykırı (uç) değerlerden etkilenir.

4 Geometrik Ortalama Herhangi bir değişkenin zamana bağlı olarak izlediği değişkenlik oranı geometrik ortalama ile ölçülür. Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir: Τ 1 N GO = N X 1. X 2 X N = X 1. X 2 X N Geometrik ortalamanın özellikleri Hesaplama formülünde birimlerin tamamını kullanır. Ancak aykırı (uç) değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmez. Geometrik artış (ya da azalış) gösteren diziler için hesaplanması uygundur. Veriler arasında sıfır ya da negatif değerler olması durumunda geometrik ortalama hesaplanamaz.

5 Harmonik Ortalama Bir aracın saatteki hızı, hane halkı başına gelir, arazi başına üretim gibi Y başına X olarak ifade edilen ve X in sabit olduğu durumlar için kullanılan merkezi eğilim ölçütü harmonik ortalamadır. Buna karşın Y sabit olduğunda tercih edilen merkezi eğilim ölçütü aritmetik ortalamadır. Bireysel veriler için harmonik ortalamanın formülü aşağıda verilmiştir. HO = N σn 1 i=1 X i Örneğin, A şehirden B şehrine uzaklık 300 kilometre (km) olsun. A şehrinden B şehrine bir sürücü ilk 100 km yi saatte 100 km hızla, ikinci 100 km saatte 80 km hızla ve geri kalan mesafeyi ise saatte 90 km hızla gitmiştir. Bu örnekte, Y saati ve X km yi göstermek üzere Y başına X ifadesi saat başına km olmaktadır. Aynı zamanda, X ler 100 km lik mesafeler ile sabit olup uygun ortalama ölçütü harmonik olmaktadır. 3 HO = = km/saat 90

6 Harmonik ortalamanın özellikleri Veriler arasında sıfır ya da negatif değerler olması durumunda harmonik ortalama hesaplanamaz. Harmonik ortalama aritmetik ve geometrik ortalamaya göre aşağı eğilimlidir. Diğer bir deyişle HO GO μ olmaktadır. Ortanca (Medyan) Ortanca hesabından önce bireysel veriler küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır. Ortanca sıralı dizilerde ortaya düşen değerdir. Gözlem sayısı N tek sayı olduğunda ortanca X N+1 /2 inci değer iken, N çift sayı olduğunda ortanca X N/2 + X (N+2)/2 Τ2 olarak hesaplanır.

7 Ortancanın özellikleri En az sıralama düzeyinde ölçülen değişkenler için hesaplanabilir. Hesaplama formülü birimlerin tamamını kullanmaz. Bu nedenle uç değerlerden etkilenmez. Matematiksel işlemlere ortalama kadar uygun değildir. Birimlerin yarısı ortancadan küçük diğer yarısı ise ortancadan büyük değerler alır. Tepe Değer (Mod) En çok tekrar eden değere tepe değer adı verilir. 1 den fazla tepe değeri olabilir. Ya da her değer sadece 1 kez gözlendiğinde tepe değer hesaplanamaz. Tepe değerin özellikleri Sınıflama düzeyinde ölçülen değişkenler için hesaplanabilen tek merkezi eğilim ölçütüdür. Hesaplama formülü birimlerin tamamını kullanmaz. Bu nedenle uç değerlerden etkilenmez. Matematiksel işlemlere ortalama kadar uygun değildir.

8 MERKEZİ DAĞILIM ÖLÇÜTLERİ Birimlerin hangi değer etrafında toplandığını gösteren eğilim ölçütleri (ortalamalar) çoğu zaman yeterli bilgiyi sağlayamamaktadır. Örneğin A ve B hisse senetleri fiyatlarına ilişkin günlük ortalamaların eşit olduğunu varsayalım. Bu durumda A ve B hisse senetleri için ortalama değerlerin kıyaslanması anlamlı olmamaktadır. Buna karşın hisse senedi fiyatları için ortalamalar aynı olsa da ortalama civarındaki dağılımları farklılaşacaktır. Hisse senedi fiyatı bakımından ortalama civarındaki dağılımı daha homojen (türdeş) olan zaman içerisinde daha istikrarlı bir seyir izlemektedir. Daha istikrarlı olan hisse senedi için risk daha az olacaktır.

9 Bir başka örnekte döviz kurları için verilebilir. Şöyle ki enflasyon hedeflemesi rejimi uygulayan Merkez Bankaları için döviz kurları serbest piyasada belirlenmektedir. Merkez Bankaları döviz kurunun değerine değil ancak kurlardaki oynaklığa (volatiliteye) bağlı olarak piyasaya müdahalede bulunmaktadır. Oynaklık kurların dağılımlarındaki genel gidişatın izlenmesi ile ölçülmektedir. Oynaklığın sayısal olarak ifadesi ise merkezi dağılım ölçütleri ile mümkün olmaktadır. Uygulamada en çok kullanılan merkezi dağılım ölçütleri varyans ve standart sapma ile değişim katsayısıdır.

10 Varyans ve Standart Sapma Bireysel veriler ile aritmetik ortalama arasındaki farklar daima sıfırdır. Bu nedenle verilerin ortalamadan farklarına dayalı bir dağılım ölçütü hesaplanamaz. Varyans, veriler ile ortalama arasındaki fark karelerin ortalaması olarak tanımlanabilir. Bireysel veriler için yığın varyansının hesaplama formülü aşağıdaki gibidir: N σ 2 = 1 N i=1 X i μ 2 Karesel bir ifadenin ortalaması daima sıfırdan büyük olacaktır. O halde varyans için tanım aralığı 0 ile + olmaktadır. Yorumu ise şu şekilde yapılabilir; Varyans değeri sıfıra yaklaştıkça dağılımın homojenliği artacaktır. Diğer bir ifadeyle varyans değeri sıfırdan uzaklaştıkça dağılımındaki homojenlik azalacak dolayısıyla heterojenlik artacaktır. Varyansın birimi X in ölçü biriminin karesidir. Bu nedenle uygulamada varyans yerine onun pozitif karekökü olan standart sapma kullanılır. Böylece X in ölçü birimi ile ifade edilen bir dağılım ölçütüne geçilmiş olmaktadır. σ = 1 N N i=1 X i μ 2

11 Yığından seçilen rastgele bir örnekten bulunan örnek varyansı için hesaplama formülü aşağıdaki gibidir: s 2 = 1 n n 1 X i തX 2 i=1 Burada, തX: Örnek ortalamasını s 2 : Örnek varyansını n: Örnekteki birim sayısını göstermektedir. Değişim Katsayısı Dağılım ölçütü olarak standart sapmanın birimi X in birimidir. Buna karşın iki ya da daha fazla yığın herhangi bir değişkenin dağılımları bakımından karşılaştırıldığında, ilgili değişkenin ölçme birimleri farklı olabilir. Örneğin Türkiye ile ABD ni gelir dağılımları bakımından karşılaştırdığımızda, şayet gelirin birimi Türkiye için TL, ABD için US dolar ise, standart sapmanın kullanılması uygun olmayacaktır. Gerekli dönüşüm yapılıp Türkiye için gelir US dolar cinsinden ifade edilse dahi gelirlere ilişkin ortalama değerler farklı ise yine standart sapmanın kullanılması uygun olmaz. Bu nedenle değişkenin ölçü biriminden bağımsız ve ortalamaları dikkate alan oransal bir dağılım ölçütüne ihtiyaç vardır. Bu ölçüt değişim katsayısıdır.

12 Değişim katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranı ile bulunan ve dolayısıyla birimden bağımsız olan bir ölçüttür. DK değişim katsayısını göstermek üzere bu katsayı aşağıdaki gibi hesaplanır: Çarpıklık Katsayısı DK = σ μ Herhangi bir değişkenin ortalamalara göre simetrik olup olmadığı çarpıklık katsayısı ile hesaplanmaktadır. Asimetrik durum ise sola ya da sağa çarpık şeklinde iki farklı durumundan biri olarak karşımıza çıkmaktadır. Merkezi eğilim ölçütlerinden aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer birbirine eşitse dağılımın simetrik olduğu kararına varılır. α = μ 3 σ 3

13 Çarpıklık Katsayısı α < 0 ise dağılım sola çarpıktır α > 0 ise dağılım sağa çarpıktır α = 0 ise dağılım simetriktir

14 Basıklık Katsayısı Dağılımın varyansı ile ilgili bir özelliktir. Verilerin varyansı küçükse daha sivri bir dağılıma, varyansı büyükse daha basık bir dağılıma sahiptir. γ = μ 4 σ 4 3 Basıklık Katsayısı γ < 0 ise dağılım basıktır γ > 0 ise dağılım sivridir γ = 0 ise dağılım normaldir

15 SPSS TE VERİ GİRİŞİ 385 kişiye yapılan anket soruları aşağıdaki verilmiştir. Soru 1. Cinsiyetiniz? Erkek (1) Kadın (2) Soru 2. Yaşınız?. Soru 3. Mesleğiniz? Emekli (1) Esnaf/Zanaatkar (2) Ev Kadını (3) İşçi (4) İşsiz (5) Memur (6) Serbest Meslek (Doktor, Avukat, Mühendis, Eczacı vb.) (7) Tüccar/İşadamı (8) Soru 4. Eğitim Durumunuz? İlköğretim (1) Lise (2) Üniversite (3) Soru 5. Aylık Toplam Geliriniz?..

16 Verilen Hizmetin L1 Kalitesi Yüksektir Verilen hizmet için L2 bekleme süresi azdır Çalışan kişilerin L3 hizmet sunumu yüksektir İlgili personelin müşteri L4 şikâyetlerini yönetme davranışı iyidir L5 İşyerlerine ulaşım kolaydır Çalışan personelin L6 müşteriye davranışı iyidir Yürütülen işlemler başarıyla L7 tamamlanmaktadır Verilen hizmetlerinin L8 çeşitliliği yeterlidir Verilen hizmetler için L9 uygun fiyatlar alınmaktadır Benzer hizmet sunan L10 birimlerden daha güvenlidir Kesinlikle Katılmıyorum (1) Katılmıyorum (2) Kararsızım (3) Katılıyorum (4) Kesinlikle Katılıyorum (5)

17 Verilerin frekans tablosunu, merkezi eğilim ve dağılım ölçütlerini hesaplar ve grafiklerini çizer.

18 Yukarıdaki pencerede frekans dağılımı oluşturulmak istenilen değişkenler Variable(s) kısmına atılarak OK e basılır.

19 Yukarıdaki verilen eğitim düzeyine ait frekans dağılımı tablosunda ankete katılan 385 kişinin 111 i İlköğretim, 172 si Lise ve 102 si Üniversite mezunudur. Percent sütunu frekansların yüzdelik dağılımını vermektedir. Buna göre ankete katılanların %28.8 i İlköğretim, 44.7 si Lise ve 26.5 u Üniversite mezunudur. Şayet değişkenin içinde kayıp gözlem varsa Percent Valid Percent sütunu yorumlanır. yerine

20 Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçütlerinin Elde Edilmesi SPSS te Analyze Descriptive Statistics Frequences Statistics kısmına girilerek ilgili merkezi eğilim ve dağılım ölçütleri seçilir. Mean= Aritmetik Ortalama Median= Medyan Mode= Mod (Tepe Değer) Std. Deviation= Standart Sapma Variance=Varyans Range=Açıklık (Maksimum-Minimum) Skewness=Çarpıklık Kurtosis=Basıklık

21 Ankete katılan 385 kişinin aylık ortalama geliri 2009 TL, Ortanca gelir 1672 TL, standart sapma 1174 TL dir. Mod değerinin üzerinde tanımlanan a açıklaması birden fazla mod değeri olduğunu göstermektedir. Çarpıklık ve Basıklık ölçütleri incelendiğinde aylık gelir değişkeni Çarpıklık=1.062 ile sağa çarpık bir dağılıma, Basıklık=0.542 ile de sivri bir dağılıma (varyansı küçük) sahiptir.

22 Hangi ölçme düzeyinde hangi merkezi eğilim ve dağılım ölçütünü kullanmak gerektiği aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ölçme Düzeyi Sınıflama (Nominal) Sıralama (Ordinal) Eşit Aralıklı (Interval) Oranlama (Ratio) Ölçüt Mod Mod, Medyan Tüm merkezi eğilim ve dağılım ölçütleri kullanılır

23 Aylık toplam gelir değişkenin dağılımını Histogramına bakarak görebiliriz. SPSS de Analyze Descriptive Statistics Frequences Charts kısmına girilerek Histogram çizdirilir.

24 EXPLORE MENÜSÜ Tüm birimlerin yada her bir gruptaki birimlerin betimleyici istatistiklerini hesaplar.

25 Dependent variable kısmına nicel bir değişken ve factor list kısmına ise sınıflama veya sıralama ölçme düzeyinde ölçülmüş nitel bir değişken atılır.

26 Yukarıdaki tabloda hem erkek hem de kadınlar için ayrı ayrı aylık toplam gelire ait merkezi eğilim ve dağılım ölçütleri yer almaktadır.

27 DOĞRU-YANLIŞ SORULARI Doğru Yanlış Meslek değişkeni için hesaplanabilen tek merkezi eğilim ölçütü tepe değerdir (mod). Mod ve medyan aykırı (uç) değerlerden etkilenmez Aritmetik ortalama birimlerin tamamını kullanmaz Sağa çarpık bir dağılımda mod değeri en büyüktür Sola çarpık bir dağılımda birimlerin çoğunluğu ortalamadan daha büyük değer alır Standart sapmanın birimi yoktur (birimden bağımsızdır)

28 TEST SORULARI S-1) Aşağıdaki merkezi eğilim ölçütlerinden hangisi (hangileri) aykırı değerlerden etkilenmez? A) Mod B) Medyan C) Aritmetik ortalama D) Mod ve medyan S-2) Boy uzunluğu (cm) için hesaplanan standart sapma için birim aşağıdakilerden hangisidir? A) Birimi yoktur B) cm C) cm 2 D) cm 1/2 S-3) Çarpıklık katsayısı -0.5 ve basıklık katsayısı 0.8 iken aşağıdaki yorumlardan hangisi doğrudur? A) Sola çarpık ve basık B) Sağa çarpık ve sivri C) Sola çarpık ve sivri D) Sola çarpık ve normal S-4) Herhangi bir değişkenin zamana bağlı olarak izlediği değişkenlik oranı hangi merkezi eğilim ölçütü ile hesaplanmalıdır? A) Aritmetik B) Geometrik C) Harmonik D) Medyan

29 NİCEL VERİ ANALİZİ

30 HİPOTEZ TESTLERİ Geçerliliği olasılık esaslarına göre araştırılabilen varsayımlara istatistiksel hipotez denir. Hipotezin yığından seçilen bir örneklem vasıtasıyla incelenmesine hipotez testi adı verilir. Hipotez testinde işlem, parametrenin belirli bir değere eşit olduğu şeklindeki sıfır hipotezi (H 0 ) ile parametrenin belirli bir değerden küçük, büyük veya farklı olduğu şeklindeki alternatif hipotezden ( H 1 ) hangisinin örnekle daha iyi bağdaştığını göstermektir. Hipotez testinde sıfır hipotezinin doğru olduğu varsayımı ile teste başlanır. Örnekten elde edilen sonuç, sıfır hipotezi doğru iken büyük bir olasılıkla karşılaşılabilecek bir sonuçsa sıfır hipotezi kabul edilir. Buna karşın, örneğin verdiği sonuç sıfır hipotezi doğru iken çok zayıf bir olasılıkla karşımıza çıkabilecek bir sonuçsa, sıfır hipotezi reddedilir ve dolayısıyla alternatif hipotez kabul edilir.

31 Bir hipotez testi sonucunda verilen karar için aşağıdaki dört durumdan birisi söz konusu olacaktır. Karar H 0 Red Edildi H 0 Red Edilemedi H 0 Gerçekte Doğru Yanlış Yanlış Karar (I. Tip Hata=α) Doğru Karar (Testin Gücü=1 β) Doğru Karar (Güven Düzeyi=1 α) Yanlış Karar (II. Tip Hata=β) Uygulamada α için genellikle %10, %5 veya %1 değerleri seçilir. α ile β arasında ters yönde bir ilişki vardır. α araştırmacı tarafından belirlendikten sonra β nın değerinin testi yapan tarafından belirlenmesi mümkün değildir. Burada yapılacak işlem α belli iken β yı minimum yapacak yollara başvurmaktır.

32 Karar H 0 Red Edildi (Suçlu) H 0 Red Edilemedi (Masum) Masum (Doğru) Yanlış Karar (I. Tip Hata=α) Doğru Karar (Güven Düzeyi=1 α) H 0 Suçlu (Yanlış) Doğru Karar (Testin Gücü=1 β) Yanlış Karar (II. Tip Hata=β)

33 β'yı Etkileyen Faktörler Hipotezdeki parametre değeri ile parametrenin gerçek değeri arasındaki fark arttıkça da artar. Anlamlılık düzeyi α azalırken β artar. Yığın standart sapması σ arttıkça β artar. Örnek hacmi n azaldıkça β artar. Hipotez testlerinde izlenmesi gereken aşamalar şöyledir: Hipotezlerin kurulması İlgili istatistiğin örnekleme dağılımı üzerinde ret ve kabul bölgelerinin belirlenmesi Test istatistiğinin hesaplanması Karar

34 Hipotezlerin Kurulması Hipotez testlerinde H 0 hipotezinin doğru olduğu varsayımı yapılır. Hipotez yığın parametresine ilişkin ortaya atılan bir iddiadır. H 0 hipotezi parametrenin belirli bir değere eşitliğini ifade etmektedir. Örneğin A-bölgesindeki hane-halklarının ortalama aylık geliri en az 2000 TL dir iddiasında parametre yığın ortalaması μ olup hipotezler aşağıdaki gibi kurulur: H 0 : μ = 2000 H 1 : μ > 2000

35 İlgili İstatistiğin Örnekleme Dağılımı Üzerinde Ret ve Kabul Bölgelerinin Belirlenmesi İlgili istatistiğin örnekleme dağılımı üzerinde ret ve kabul bölgeleri αanlamlılık düzeyi ve alternatif hipotez H 1 dikkate alınarak belirlenir.

36 Test İstatistiğinin Hesaplanması Ortalama için hipotez testinde test istatistiği standart normal değişken (Z) ya da serbestlik derecesi n-1 olan student t-değişkeni olmaktadır. Yığın oranına ilişkin hipotez testinde test istatistiği standart normal değişken (Z) iken yığın varyansı için bu istatistik serbestlik derecesi n-1 olan ki-kare değişkeni olmaktadır. Karar Kuralı İlgili istatistik için hesaplanan test istatistiğinin değeri ret bölgesinde ise H 0 hipotezi α anlamlılık düzeyinde reddedilebilir kararına varılır. Bu sonuç dolaylı olarak H 1 hipotezinin kabul edilmesi anlamına gelmektedir. Buna karşın test istatistiğinin değeri kabul bölgesine düşerse H 0 hipotezi seçilen anlamlılık düzeyinde reddedilemez.

37 Olasılık değeri (p-değeri) sıfır hipotezinin doğruluğu için hesaplanan olasılık değerine karşılık gelmektedir. Sıfır hipotezi doğru iken seçilen örnekten bulunan test istatistiğine dayalı olarak hesaplanan p-değeri, doğru olan sıfır hipotezini yanılgıya düşerek reddetme olasılığıdır. O halde bu olasılık değerinin 1 e yakın olması sıfır hipotezini destekleyen bir kanıt iken 0 a yaklaşması H 0 hipotezinin geçersiz olduğu anlamına gelmektedir. Hesaplanan p-değerine göre karar kuralı şu şekildedir: p-değeri < α ise H 0 hipotezi reddedilir.

38 COMPARE MEANS MENÜSÜ Analyze menüsünün bir alt menüsü olan Compare Means ile veri setinde yer alan değişkenlerin bağımlı ve bağımsız olarak ayrılmasıyla betimleyici istatistiklerin (Means) hesaplanması, tek örneklem t testi (One-Sample T Test), bağımsız iki örneklem t testi (Independent-Samples T Test), eşleştirilmiş t testi (Paired-Samples T Test) ve tek yönlü varyans analizi (One-Way ANOVA) uygulamaları yapılmaktadır.

39 Means Menüsü

40 Bağımlı değişken aylık toplam gelir nicel değişkeni ve bağımsız değişken ise cinsiyet nitel değişkeni olmak üzere kadın ve erkekler için aylık toplam gelire göre ayrı ayrı betimleyici istatistikler elde edilir.

41 Means Options kısmına girildiğinde istenilen betimleyici istatistikler seçilir.

42 Bu tablo explore menüsündeki tablonun bir benzeridir. Farklı olarak geometrik ve harmonik ortalama değerleri tabloda yer almaktadır. Means menüsü yardımıyla iç içe bağımsız değişkenler içinde betimsel istatistikler elde edilebilir. Bu işlem şöyle yapılır.

43 Kadın ve erkeklerin eğitim düzeylerine göre tabakalara ayrılarak aylık toplam gelirin betimsel istatistiklerini elde etmek için Means penceresinde Independent List kısmında Layer kullanılır. Soldaki şekilde Cinsiyet değişkeni Independent List kısmına atılır ve Next e basılır. Sağdaki şekilde ise Independent List kısmına Eğitim Düzeyi değişkeni atılarak sonuçlar aşağıdaki gibi bulunur.

44 Sonuçlardan da görüldüğü üzere hem erkekler hem de kadınlar eğitim düzeyine göre tabakalanarak betimsel istatistikler ayrı ayrı elde edilir.

45 One-Sample T-Test Menüsü (Tek Örneklem İçin T-Testi ) Yığın ortalaması μ için ortaya atılan iddialar için hipotez testinde sıfır ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibi yazılır: H 0 : μ = μ 0 iken H 1 : μ < μ 0 H 1 : μ > μ 0 H 1 : μ μ 0 Burada μ 0 herhangi bir reel sayıdır. Yığından n birimlik rastgele örnek seçildiğinde, seçilen örnekten hareketle hesaplanan ortalama olacaktır. തX = σ i=1 n n X i

46 Yığındaki aylık ortalama gelirin 2200 TL ye eşit olup olmadığı iddiası test edilmek istenmektedir. Bu amaçla hipotezler aşağıdaki gibi kurulur. H 0 : μ = 2200 H 1 : μ 2200 Test istatistiği serbestlik derecesi «n-1» olan t-değişkenidir. Aşağıdaki formül ile t-istatistiği hesaplanır: X t = ത μ S n SPSS de bu hipotezleri test edelim.

47 One Sample T-Test penceresinde Test Variable(s) kısmına Aylık Toplam Gelir, Test Value kısmına ise μ 0 değeri yazılır ve Daha sonra OK e basılır.

48 Yukarıdaki tabloda verilen p-değeri alternatif hipotezin çift taraflı olduğu durumda geçerli olan olasılık değeridir. H 1 : μ 2200 alternatif hipotezinin testi durumunda p- değeri=0.002<α = 0.05 olduğundan H 0 hipotezi reddedilir.

49 Independent-Samples T-Test Menüsü (Bağımsız Örneklerde T- Testi) Bağımsız iki grubun yığın ortalamalarını karşılaştırmak için kullanılır. X 1 ~N μ 1, σ 1 2 ve X 2 ~N μ 2, σ 2 2 bağımsız rastgele değişkenler olmak üzere iki yığının ortalamalarına ilişkin ortaya atılan iddialar için hipotezler H 0 : μ 1 = μ 2 H 0 : μ 1 μ 2 = 0 H 1 : μ 1 < μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 < 0 H 1 : μ 1 > μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 > 0 H 1 : μ 1 μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 0

50 Durum Test İstatistiği Serbestlik Derecesi σ 1 2 ve σ 2 2 bilinmiyor σ 1 2 = σ 2 2 σ 1 2 ve σ 2 2 bilinmiyors a σ 1 2 σ 2 2 s p 2 t h = തX 1 തX 2 s p 2 1 n n 2 = s 1 2 n s 2 2 n 2 1 n 1 + n 2 2 t h = ത X 1 തX 2 s n 1 + s 2 n 2 s 1 4 n 1 + n 2 2 s n 1 + s 2 n 2 n 2 1 n s 2 n 2 2 n 2 1 4

51 İki grup ortalamasının hipotez testinde ilk aşama yığın grup varyanslarının eşit olup olmadığının test edilmesi gereklidir. Buna ilişkin hipotezler H 0 hipotezi altında test istatistiği F h = s 1 2 s 2 2 H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H 1 : σ 1 2 σ 2 2

52 Kadın ve Erkeklerin yığındaki aylık ortalama gelirleri açısından farklılık gösterip göstermediklerini test etmek istiyoruz. Bu durumda hipotezler aşağıdaki gibidir: H 0 : μ 1 = μ 2 H 0 : μ 1 μ 2 = 0 H 1 : μ 1 μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 0 Yandaki pencerede Grouping Variable kısmında Define Groups a girilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.

53 Yandaki tabloda H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 hipotezinin testine ait sonuçlar verilmiştir. Sig değeri olasılık değerine karşılık gelmektedir. Sig = > α = 0.05 olduğundan grup varyanslarının eşit olduğunu gösteren H 0 hipotezi reddedilememektedir.

54 Levene testine göre grup varyansları eşit bulunduğundan dolayı H 0 : μ 1 μ 2 = 0 sıfır hipotezini H 1 : μ 1 μ 2 0 alternatif hipotezine karşı test etmek için yukarıdaki tablonun birinci satırı kullanılır. sig 2 taied > α = 0.05 olduğundan H 0 sıfır hipotezi reddedilememektedir. Böylece erkek ve kadınların aylık ortalama harcamaları arasında fark olmadığı sonucuna varılır.

55 BAĞIMLI (EŞLEŞTİRİLMİŞ) ÖRNEKLERDE T-TESTİ (PARİED SAMPLE T TEST) MENÜSÜ Bağımlı örnekler için deney tasarımı iki farklı biçimde karşımıza çıkmaktadır. Bunlar; 1. İşlem öncesi-işlem sonrası tasarımı 2. Etkisi arındırılmak istenen değişkene göre eşleştirme tasarımı. İşlem öncesi ve sonrası tasarımda rastgele seçilen bireyler üzerinden X değişkeni için gözlem değerleri toplandıktan sonra bu bireyler bir işleme tabi tutulmakta ve aynı bireylerin işlem sonrası gözlem değerleri de kaydedilmektedir. Bu tür araştırmalarda yapılan işlemin etkili olup olmadığı sorusuna cevap aranmaktadır. Örneğin A işletmesinde çalışan memurlardan rastgele seçilen kişilerin iş verimliliği (üretim/hafta) şeklinde ölçülmüş olsun. Bu bireyler bir hizmet-içi eğitime tabi tutulduktan sonra tekrar iş verimliliği (üretim/hafta) ölçülmüş olsun. Hizmet içi eğitimin iş verimliliğini arttırdığı iddiası test edilecek ise bu test için uygun yöntem bağımlı (eşleştirilmiş) örneklerde t-testidir.

56 Ele alınan değişken üzerinde başka bir değişkenin etkisi arındırılmak istenebilir. Örneğin A ve B diyet yöntemlerinin zayıflama üzerindeki etkisini araştırır iken etkisi arındırılmak istenen değişken kişilerin kilosu olabilir. Bu durumda aynı kiloya sahip kişiler eşleştirildikten sonra bu kişiler rastgele olarak A ve B yöntemine atanır. Böylece her iki grupta da aynı kiloya sahip kişiler olduğundan zayıflama üzerinde kilonun etkisi arınmış olacaktır. Bu durumda da uygun yöntem bağımlı (eşleştirilmiş) örneklerde t-testi olacaktır. Yığından n gözlemli rastgele bir örneğin seçildiği ve bu örneğe ilişkin x 1, y 1, x 2, y 2,, x n, y n eşleşmiş gözlemlerin elde edildiği varsayılsın. Birinci ve ikinci grubun ortalamalarının eşit olduğunu iddiasının testinde, eşleşmiş x i, y i gözlem değerleri arasındaki fark d i = x i y i olmak üzere sıfır hipotezi ve alternatif hipotezleri H 0 : μ d = 0 iken H 1 : μ d < 0 veya H 1 : μ d > 0 veya H 1 : μ d 0 olacaktır.

57 Test istatistiği ise serbestlik derecesi n 1 olan t değişkenidir. dҧ t h = S d Τ n ~t n 1 Burada ҧ d = σ d i n ve S d = 1 σ n n 1 i=1 d i dҧ 2 Bu test için p değeri H 1 hipotezine bağlı olarak hesaplanır. Karar kuralı p değeri < α ise H 0 hipotezi reddedilebilir şeklindedir.

58 Örnek yılında yapılan araştırmada A kurumundan memnuniyet için hazırlanan 10 soruluk Likert ölçeğinin puanlanmasından elde edilen verilerin ortalaması alınarak her birey için genel memnuniyet skoru elde edilmiştir. Çalışma 2014 yılında aynı bireyler üzerinde uygulanmış ve genel memnuniyet skoru tekrar hesaplanmıştır. A kurumundan ortalama memnuniyet 2014 yılında bir önceki yıla göre artmıştır iddiasını 0.05 anlamlılık düzeyinde test ediniz. d i = x 2013i x 2014i olmak üzere hipotezler: H 0 : μ d = 0 H 1 : μ d < 0

59 SPSS te Transform menüsünün altındaki Compute Variable alt menüsünden 2013 yılı için 385 kişinin ortalama memnuniyet skorları hesaplanır. Yukarıdaki pencerede memnuniyet skoru oluşturmak için 10 Likert sorusunun ortalaması alınmıştır.

60

61 Yukarıdaki pencerede Paired variables kısmında variable 1 e memnuniyet skoru değişkeni, variable 2 e memnuniyet değişkeni atanır.

62 Alternatif hipotez H 1 : μ d < 0 şeklinde tek yönlü olduğundan t h < 0 olmalıdır ve yukarıdaki tabloda t h değerinin negatif olduğu görülmektedir. p değeri 2 = < 0.05 olduğundan H 0 hipotezi 0.05 anlamlılık düzeyinde reddedilebilir. Bu sonuç A kurumunda ortalama memnuniyetin 2013 yılına göre 2014 yılında arttığını göstermektedir.

63 TEK FAKTÖRLÜ VARYANS ANALİZİ (ONE-WAY ANOVA) MENÜSÜ Tek faktörlü varyans analizi, ikiden fazla grubun yığın ortalamalarının karşılaştırılmasında kullanılan bir yöntemdir ve iki bağımsız örneklem için t testinin 2 den fazla gruba genişletilmiş halidir. Niçin grupların ortalamalarını ikişerli karşılaştırmak yerine varyans analizine ihtiyaç duyulmaktadır? 2 den fazla grubun ortalamalarının karşılaştırılması söz konusu ise çok sayıda t testinin kullanılması 1. tip hatanın artmasına yol açmaktadır. Örneğin, 4 tane grubumuz olsun ve bu grupların yığın ortalamalarını ikişerli karşılaştırmak isteyelim. Bu durumda şayet t testi kullanacak olsaydık 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4 ve 3-4 grupları için ayrı ayrı 6 tane t testi yapmamız gerekecekti. Her bir testte 1. tip hata yapma olasılığı %5 için güven düzeyi 0.95 (1. tip hata yapmama olasılığı) olmak üzere 6 test için 1. tip hata yapmama olasılığı = olur. 1. tip hata yapma olasılığı ise = olarak bulunur. Böylece α anlamlılık düzeyi %5 den %26.5 e yükselmiş olur.

64 Çok sayıda t testi uygulamanın 1. Tip hata (gerçekte doğru olan bir sıfır hipotezini reddetme olasılığı) yapma olasılığını arttırdığına göre, bir çok gruba ait ortalamaları tek bir adımda eş zamanlı olarak karşılaştırabilecek bir yönteme ihtiyaç duyulmaktadır. Bu yöntem varyans analizi yöntemi olarak adlandırılır. Varyans analizi yönteminde bağımlı değişkenin ölçme düzeyi eşit aralıklı veya orantılı olmalıdır. Tek faktörlü varyans analizinin varsayımları şunlardır: Her bir grubun seçildiği yığın normal dağılıma sahip olmalıdır. Her bir grubun seçildiği yığınların varyansları birbirine eşittir. Her bir gruptaki örnekler birbirinden bağımsızdır.

65 Örneğin üç farklı gelir grubunda kişilerin iş memnuniyetini ölçmeye çalışalım. Şayet gruplar arasında fark varsa, her bir gelir grubu kendi içinde küçük bir varyansa sahip olmalı yani memnuniyet puanları birbirine yakın olmalıdır. Ayrıca gruplardaki her bir bireyin memnuniyet puanı diğer gruptaki herhangi bir bireyden önemli ölçüde farklı olmalıdır.

66 Bazı durumlarda farklı gruplarda yer alan bireyler arasındaki farklılıktan çok, aynı grupta yer alan bireyler arasındaki farklılık daha büyük olabilir. Burada grupların farklılığından çok, aynı grupta yer almasına rağmen birbirinden çok farklı memnuniyet puanına sahip bireyler söz konusudur. Varyans analizinin yapmaya çalıştığı şey şudur: Gruplar arasındaki varyansı ve grupların kendi içlerindeki varyansı hesaplayarak birbirine oranlamak ve bu varyansların büyüklüklerine göre bir karar vermektir.

67 ҧ G G G 1 2 x x x k x x x k x x x k k x x x n11 n22 nk k x ij : j. grupta i. birimin aldığı değer x.j : j. gruptaki birimlerin ortalaması n j : j. gruptaki birimlerin sayısı x: ҧ Genel ortalama

68 ANOVA Tablosu Değişimin Kaynağı Serbestlik Derecesi Kareler Toplamı Kareler Ortalaması F Gruplar Arası k-1 GAKT GAKO= GAKT/(k-1) GAKO/GIKO Gruplar İçi n-k GIKT GIKO= GIKT/(n-k) Toplam n-1 TKT

69 Tek faktörlü varyans analizinde ortalamalarının karşılaştırılmasında kullanılan hipotezler şöyledir: H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k H 1 : μ j lerin en az biri diğerlerinden farklıdır j = 1,2,, k ANOVA tablosuna göre Şayet F > F k 1, n k,α ise H 0 hipotezi reddedilir. Yani gruplar yığın ortalamalarına göre farklılık göstermektedir. Varyans analizinin önemli varsayımlarından birisi grupların geldikleri yığın varyanslarının eşit olduğudur. Gruplara ait yığın varyanlarının eşit olmadığı durumda F testi yerine Welch veya Brown-Forsythe tarafından önerilen ve asimptotik olarak F dağılıma sahip testler kullanılır. Welch testi Brown- Forsythe testinden daha güçlüdür.

70 Örnek 2. Eğitim düzeyine göre yığındaki aylık ortalama gelirler farklılaşmakta mıdır? İlk olarak her bir eğitim düzeyinin yığın varyanslarının eşitliği test edilir. Options penceresinin altından Homogeneity of variance test kısmı seçilir.

71 Grupların yığın varyanslarının eşitliğinin testi için hipotezler şöyledir: H 0 : σ 2 1 = σ = σ 3 H 1 : σ 2 i σ 2 j bazı i ve j ler için p değeri sig < α = 0.05 olduğundan yığın varyanslarının eşit olduğu H 0 hipotezi reddedilir. Yığın varyansları eşit olmadığından yığın ortalamalarının karşılaştırılmasında F testi kullanılamaz. F testi yerine Welch veya Brown-Forsythe testlerinden birisi tercih edilir. Bu işlem yandaki Options penceresinden yapılır.

72 H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 H 1 : μ j lerin en az biri diğerlerinden farklıdır = 1,2,3 j Welch testi sonucuna göre p değeri = < α = 0.05 olduğundan yığın ortalamalarının eşit olduğu H 0 hipotezi reddedilebilir. Yani eğitim düzeyine göre yığında aylık ortalama gelirler %5 anlamlılık düzeyinde farklılaşmaktadır sonucuna varılır. Aynı sonuç Brown-Forsythe testinde de bulunmuştur.

73 DOĞRU-YANLIŞ SORULARI Doğru Yanlış Birinci ve ikinci tip hata arasında ilişki yoktur Geçerliliği olasılık esaslarına göre araştırılabilen varsayımlara istatistiksel hipotez denir Bağımsız örneklerde t-testi, ikiden fazla grubun yığın ortalamalarının karşılaştırılmasında kullanılan bir yöntemdir Anlamlılık düzeyi (I. Tip hata) α azalırken ikinci tip hata β artar İşlem öncesi-işlem sonrası tasarımında iki yığın ortalamasının eşit olduğu iddiası eşleştirilmiş örneklerde t-testi ile araştırılır Sıfır hipotezi H 0 parametrenin belirli bir değerden farklı olduğunu ifade eder

74 TEST SORULARI S-1) İkiden fazla grubun ortalamaları karşılaştırıldığında kullanılan yöntem aşağıdakilerden hangisidir? A) Bağımsız örneklerde t-testi B) Eşleşmiş örneklerde t-testi C) Tek örneklem t-testi D) Tek faktör varyans analizi S-2) I. tip hata aşağıdakilerden hangisine karşılık gelir? A) Gerçekte doğru olan sıfır hipotezini reddetme olasılığı B) Gerçekte doğru olan sıfır hipotezini kabul etme olasılığı C) Gerçekte yanlış olan sıfır hipotezini reddetme olasılığı D) Gerçekte yanlış olan sıfır hipotezini kabul etme olasılığı S-3) Yığın standart sapması (σ) ile ikinci tip hata (β) arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) İlişki yoktur B) İlişki aynı yöndedir C) İlişki ters yöndedir D) Çoğunlukla aynı nadiren ters yöndedir S-4) A kurumundan memnuniyet skorunun cinsiyete göre farklılaşmadığı iddiası test edilecektir. Aşağıdaki testlerden hangisi uygulanmalıdır? A) Bağımsız örneklerde t-testi B) Eşleşmiş örneklerde t-testi C) Tek örneklem t-testi D) Tek faktör varyans analizi

75 KORELASYON ANALİZİ Pearson Korelasyon Katsayısı Doğrusal ilişkili iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü ve yönünü ölçen bir istatistiktir ve -1 ile +1 arasında değerler almaktadır. Cov X, Y ρ XY = σ Y σ X Burada ρ XY : X ve Y değişkenleri arasındaki Pearson korelasyon katsayısını Cov(X, Y): X ve Y değişkenleri arasındaki kovaryansı σ Y : Y değişkeninin standart sapmasını σ X : X değişkeninin standart sapmasını göstermektedir. Kovaryans katsayısı da iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü gösteren bir ölçüttür. Bu katsayı negatif olduğunda ilişki ters yönlü iken pozitif değerler ilişkinin aynı yönlü olduğunu gösterir. Ancak kovaryans katsayısının tanım aralığı, + olduğundan ilişkinin derecesi hakkında bilgi veremez. Ayrıca kovaryansın birimi X in birimi Y nin birimidir. Oysaki korelasyon katsayısının birimi yoktur. Diğer bir ifadeyle kovaryans X ve Y nin birimlerine bağlı bir değer alırken korelasyon birimden bağımsız olmaktadır. Uygulamalı çalışmalarda ilişki katsayısının birimden bağımsız olması bir avantajdır. Bu iki durum dikkate alındığında, iki değişken arasındaki ilişkinin kovaryans yerine korelasyon katsayısı ile araştırılması daha uygun olmaktadır.

76 Varsayımlar: Her iki değişken de normal dağılıma sahip olmalı Her iki değişken en az eşit aralıklı ölçme düzeyinde ölçülmüş olmalıdır. İki değişken arasındaki ilişki doğrusal olmalı Özellikler: Cohen in standardı dikkate alındığında Pearson korelasyon katsayısı arasında ise zayıf bir ilişkiyi, arasında ise orta düzeyde bir ilişkiyi, 0.50 den yukarıda ise güçlü bir ilişkiyi göstermektedir. ρ XY < 0 ise X ve Y değişkenleri arasında ters yönlü, ρ XY > 0 ise X ve Y değişkenleri arasında aynı yönlü bir ilişki vardır. Korelasyon katsayısı simetriktir (ρ XY = ρ YX ). Diğer bir ifade ile bağımlı bağımsız değişken ayrımı yoktur.

77 SPSS te Korelasyon Analizi SPSS te iki değişken arasındaki korelasyon analizi Analyze Correlate Bivarite kısmından yapılmaktadır. Yandaki pencerede Variables kısmına korelasyonu bulunacak iki değişken atılır ve daha sonra hangi korelasyon ölçütü kullanılacaksa seçilir.

78 Örnek: Aylık gelir ve aylık gıda harcaması değişkeni arasındaki uygun korelasyon katsayısını hesaplayınız. Yukarıdaki pencerede Variables kısmına aylık gelir ve aylık gıda harcaması değişkenleri atılır. Daha sonra değişkenler normal dağılıma sahip ve nicel olduğundan Pearson korelasyon katsayısı işaretlenir.

79 H 0 :Aylık gıda harcaması ile aylık gelir arasında ilişki yoktur. (ρ XY = 0) H 1 :Aylık gıda harcaması ile aylık gelir arasında ilişki vardır. (ρ XY 0) Sig. (2-tailed) < 0.05 olduğundan H 0 reddedilebilir.

80 DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİ Regresyon analizi bağımlı değişken (Y) ile bağımsız değişkenler ( X 1, X 2,, X k ) arasındaki ilişkiyi doğrusal formda ifade eden bir modeldir. Doğrusal regresyon analizinde bağımlı değişken nicel iken bağımsız değişkenler hem nicel hem de nitel olabilir. Yığın için doğrusal regresyon eşitliği aşağıdaki gibi tanımlanır; Y i = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + + α k X ki + ε i Burada α lar modelin bilinmeyen parametreleridir. ε ise kesin ilişkiyi bozan hata terimidir. Bu ilişkide Y bağımlı değişkeni X 1, X 2,, X k bağımsız değişkeninin bir fonksiyonudur. Diğer bir ifadeyle Y = f X 1, X 2,, X k şeklinde yazılabilir. Bu durum Y ile X arasında bir nedensel ilişki olduğuna işaret etmektedir. Bu nedensel ilişkinin yönü ise X lerden Y ye doğrudur. Diğer bir ifadeyle X değişkenleri Y değişkeninin nedenidir. Nedenselliğin yönü hakkında ise önsel bilgi ile karar verilmektedir. Önsel bilgi, ilgili bilim dalından gelen teorilere dayalı olup verilerle ortaya çıkartılamaz. Örneğin tüketim ile gelir arasındaki ilişkide tüketim bağımlı gelir ise bağımsız değişken olacaktır. Çünkü iktisat bilimi tüketimi gelirin bir fonksiyonu olduğunu varsaymaktadır (Tüketim=f(Gelir)

81 Regresyon analizinin amacı bağımlı değişkendeki varyansın kaynağını araştırmaktır. Bu modeller karar vericilerin kullanacağı bazı bilgileri sağlamaktadır. Regresyon modelleri genellikle yapısal analiz ve öngörü amaçlı olarak kullanılmaktadır. Model kurucu bir parametreyi modeldeki diğer parametrelerden fonksiyonel olarak bağımsız varsayarak modeli kuruyorsa, o parametre yapısal olarak adlandırılır. Bir parametre yapısal ise, diğer her şey sabitken, X j nin Y üzerindeki marjinal etkisi α j kadar olacaktır. Diğer bir ifadeyle; X j ve Y sürekli değişkenler olmak üzere Y in X j e göre kısmi türevi X j nin Y üzerindeki marjinal etkisidir; X j nin Y üzerindeki marjinal etkisi = Y = α X j j O halde, diğer her şey sabitken, X j değişkeni 1 birim değiştiğinde Y değişkeni α j birim kadar değişecektir. Modeldeki α 0 katsayısı sabit terim (veya kesim katsayısı) olarak adlandırılmaktadır. X 1 = X 2 = = X k = 0 olduğunda Y = α 0 değerini alacaktır. Sabit terim çoğu zaman anlamlı bir yoruma sahip değildir. Örneğin, konut fiyatının bağımlı, konut yüzölçümünün (metrekare) bağımsız değişken olduğu bir regresyon modelinde, α 0, konutun yüzölçümü sıfır olduğunda konutun fiyatına karşılık gelecektir. Bu da uygulamada karşılaşılmayacak bir durum olduğundan, α 0 ın yorumlanması anlamlı olmayacaktır. Buna karşın tüketim-gelir ilişkisinde, gelir sıfır olduğunda tüketim α 0 kadar olacaktır. Bu da zorunlu tüketime karşılık gelmektedir. Bu örnekte α 0 ın yorumlanması anlamlı görülmektedir. Aynı zamanda α 0 katsayısı, X 1 = X 2 = = X k = 0olduğunda Y nin ortalama değerine karşılık gelmektedir. Bu nedenle Y nin ortalaması sıfır olmadıkça sabit terimin modelden dışlanması uygun değildir.

82 Regresyon eşitliğinde yer alan hata terimi, ε, kesin ilişkiyi bozan rastgele değişkendir. Aynı zamanda hata terimi, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkenler tarafından açıklanmayan kısmını da tanımlamaktadır. Dolayısıyla, hata teriminin regresyon eşitliğine katılmasının nedenleri şu şekilde sıralanabilir; İhmal edilen (modele alınmayan) önemli bağımsız değişkenler Önemli olmayan bağımsız değişkenlerin modele katılması Değişkenlerin ölçülmesinde yapılan hatalar (Ölçme hataları) Modelin matematiksel kalıbında kesinlik olmaması Doğrusal regresyon modelinin sağlanması gereken varsayımlar aşağıda verilmiştir. Y ile X ler arasındaki ilişki Y i = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + + α k X ki + ε i şeklinde doğrusaldır. Hata terimi rastgele değişkendir. Hata teriminin ortalaması sıfırdır. Hata teriminin varyansı sabittir. Hata terimleri arasında ardışık bağımlılık (otokorelasyon) yoktur. i j için Cov ε i, ε j = 0 Bağımsız değişken X ler tekrar eden örneklerde sabittir. Bunun bir sonucu olarak hata terimi ile bağımsız değişkenler arasında ilişki yoktur. Hata teriminin dağılımı normal dağılımdır. Gözlem sayısı bağımsız değişken sayısından en az bir fazla olmalıdır. (n > k)

83 Modelin Açıklama Gücü: Belirleme Katsayısı Belirleme katsayısı (R 2 ) bağımlı değişkendeki toplam değişimin yüzde kaçının bağımsız değişkenler tarafından açıklandığını gösteren istatistiki bir ölçüttür. Bu katsayı modelin açıklama gücü olarak da yorumlanmaktadır. Diğer bir ifadeyle, belirleme katsayısı 1 e yaklaştıkça modelin açıklama gücü artmakta ve seçilen bağımsız değişkenler yardımıyla bağımlı değişkendeki toplam değişimlerin büyük bir bölümü açıklanabilmektedir. Bağımlı değişken için toplam kareler toplamı (TKT) aşağıdaki gibi yazılabilir: n TKT = i=1 Y i തY 2 TKT = RKT + AKT Burada toplamı kareler toplamı (TKT), regresyonla açıklanan kareler toplamı (RKT) ve regresyonla açıklanamayan kareler toplamı veya artık kareler toplamı (AKT) şeklinde iki kısma ayrılır. Belirleme katsayısı (R 2 ) şeklinde hesaplanır. Burada R 2 = RKT TKT = 1 AKT TKT n RKT = i=1 n AKT = i=1 Y i തY 2 Y i Y i 2

84 SPSS te Doğrusal Regresyon Analizi SPSS te iki değişken arasındaki korelasyon analizi Analyze Regression Linear kısmından yapılmaktadır. Yandaki pencerede Dependent kısmına bağımlı değişken, Independent(s) kısmına ise bağımsız değişkenler atılır.

85 Örnek 3. Aylık gelir ve hanede yaşayan kişi sayısının aylık gıda harcaması üzerindeki etkisini doğrusal regresyon analizi ile inceleyiniz. y i = α 0 + α 1 X i1 + α 2 X i2 + ε i y i = X i X i2 α 0 = X 1 = X 2 = 0 iken ortalama aylık gıda harcaması TL dir. α 1 = Diğer her şey sabitken aylık gelir 1 TL arttığında aylık gıda harcaması TL artar. α 2 = Diğer her şey sabitken hanede yaşayan kişi sayısı 1 artarsa aylık gıda harcaması TL artar.

86 Aylık gıda harcamasını %91.6 oranında aylık gelir ve hanede yaşayan kişi sayısı değişkenleri açıklamaktadır. H 0 : α 1 = 0 H 1 : α 1 0 t α1 = ve p-değeri=0 < 0.05 olduğundan H 0 reddedilebilir. Yani aylık gelir değişkeninin katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır. H 0 : α 2 = 0 H 1 : α 2 0 t α2 = ve p-değeri=0 < 0.05 olduğundan H 0 reddedilebilir. Yani hanede yaşayan kişi sayısı değişkeninin katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır.

87 H 0 : α 1 = α 2 = 0 (Kurulan regresyon modeli anlamsızdır) H 1 : α j lerin en az biri sıfırdan farklıdır. j = 1,2 F= P=0.000< α = 0.05 olduğu için H 0 istatistiksel olarak anlamlıdır. reddedilebilir. Yani kurulan regresyon modeli

88 DOĞRU-YANLIŞ SORULARI Pearson korelasyon katsayısı simetriktir. Yani X ile Y yerine Y ile X arasındaki korelasyonu hesaplamak sonucu değiştirmez. Korelasyon X ile Y değişkenleri arasındaki nedensel ilişkinin yönü hakkında bilgi vericidir. Pearson korelasyon katsayısı sadece doğrusal ilişkiler hakkında bilgi verebilir. Belirleme katsayısı R 2 sıfıra yaklaştıkça modelin açıklama gücü azalır Regresyon analizinde ihmal edilen önemli bağımsız değişkenler hata teriminin önemli bir kaynağıdır. Regresyon analizinde hata terimi deterministik bir bileşendir Doğru Yanlı ş

89 TEST SORULARI S-1) Y bağımlı ve X bağımsız değişkeni arasındaki doğrusal regresyon eşitliğinin parametreleri tahmin edilmiş ve sabit terim 3, eğim katsayısı ise 0.6 olarak bulunmuştur. X in Y üzerindeki marjinal etkisi için aşağıdaki yorumlardan hangisi doğrudur?? A) Diğer her şey sabitken, X %1 arttığında Y %0.6 artar B) Diğer her şey sabitken, X 1 birim arttığında Y %0.6 artar C) Diğer her şey sabitken, X 1 birim arttığında Y 0.6 birim artar D) Diğer her şey sabitken, X %1 arttığında Y 0.6 birim artar S-2) Aşağıdakilerden hangisi X ve Y değişkenleri arasındaki ilişkiyi ölçmek için hesaplanan Pearson korelasyon katsayısının birimidir? A) Birimden bağımsızdır B) X in birimi (Y nin birimi) C) X in birimi D) Y nin birimi

90 S-3) Regresyon analizi aşağıdaki amaçlardan hangisi (hangileri) için kullanılır? A) Öngörü ve yapısal analiz B) Sadece öngörü C) Sadece yapısal analiz D)Bağımlı değişkeni açıklamak 4) X ve Y değişkenleri arasındaki Pearson korelasyon katsayısı 0.98 olarak hesaplanmıştır. Aşağıdaki yorumlardan hangisi tam olarak doğru yapılmıştır? A) X ve Y arasında aynı yönde ilişki vardır B) X ve Y arasında aynı yönde kuvvetli bir ilişki vardır C) X ve Y arasında aynı yönde orta derecede ilişki vardır D) X ve Y arasında aynı yönde oldukça kuvvetli doğrusal bir ilişki vardır

91 SPSS TE ÇAPRAZ TABLO Çapraz tablo temel olarak, iki kategorik değişken arasındaki ilişkiyi analiz etmek için kullanılır. Örneğin cinsiyet ve oy verilen parti arasında ilişki olup olmaması gibi. Çapraz tablolar izlenen amaca göre üç türlü yapılmaktadır. (Darcy ve Rohrs, 1995) Bir değişkenin bir başka değişken üzerindeki etkisini göstermek (yüzdelemenin yönü eğer satır -yatay yönündeki- değişkeni bağımsız değişken ise bu yönde, yok eğer bağımsız değişken sütün dikey yönündeki- değişkeni ise bu yönde yapılır). Bir grubun komposizyonunu (dağılımını) belirlemek için. Çaprazlanan değişkenler sonucu ortaya çıkan olası alt grupların bütün içindeki komposizyonunu belirlemek için. Örneğin cinsiyet ile gelir düzeyi arasındaki ilişkiyi gösteren çapraz tablonun oluşturulmasında SPSS te aşağıdaki adımlar uygulanır. Analyze Descriptive Statistics Crosstabs

92

93

94 Cells menüsünde aşağıdaki kısımlar işaretlenir.

95

96 Kİ-KARE BAĞIMSIZLIK TESTİ Uygulamalı çalışmalarda değişkenlerin büyük bir bölümü sınıflama ya da sıralama ölçme düzeyinde nitel değişkenlerdir. Eğer iki değişken arasında ilişki yoksa bu iki değişkenin bağımsız olduğu söylenebilir. İki değişken bağımsız ise değişkenlerden birinin değerini bilmek, diğer değişkenin alacağı değeri tahmin etmemize yardımcı olmaz. Sınıflama ya da sıralama ölçme düzeyinde gözlemlenmiş iki değişken arasındaki ilişki Ki-kare (χ 2 )bağımsızlık testi ile araştırılabilir. bağımsızlık testinde çapraz tablonun oluşturulması önemli bir yer tutar. Bu tablonun oluşturulmasında öncelikle değişkenlerin kaç farklı değer alacağı saptanır. Birinci değişken (X 1 ) düzeyleri c ve ikinci değişken (X 2 ) r düzeyli olsun. Bu durumda χ 2 n ij : X 1 değişkeninin i. ve X 2 değişkeninin j. düzeyindeki örnek birimlerinin sayısı (Gözlenen frekanslar) n.i : X 1 değişkeninin i. düzeyindeki örnek birimlerinin sayısı n j. : X 2 değişkeninin j. düzeyindeki örnek birimlerinin sayısı Gözlenen frekanslar G ij = n ij ile gösterilirsin.

97 H 0 :Değişkenler bağımsızdır. H 1 :Değişkenler bağımsız değildir. χ 2 bağımsızlık testi gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki farklara dayalı olan bir testtir. İki değişken bağımsız ise i. satır ve j. sütunda yer alan hücre için beklenen frekans B ij B ij = n.i n j. n şeklinde hesaplanır. H 0 hipotezi doğru iken test istatistiği c r χ 2 h = i=1 j=1 G ij B ij 2 Bu test istatistiği c 1 r 1 serbestlik dereceli χ 2 dağılımına sahiptir. Yukarıda tanımlanan χ h 2 değeri, araştırmacı tarafından önceden belirlenen 1. tip hata düzeyine α karşılık gelen χ 2 tablo değeri ile karşılaştırılarak H 0 hipotezi test edilir. B ij χ 2 2 h > χ Tablo ise H 0 hipotezi reddedilebilir. χ 2 2 h χ Tablo ise H 0 hipotezi reddedilemez.

98 Ki-kare bağımsızlık testinde dikkat edilmesi gereken hususlar (i) Beklenen frekanslar 1 den küçük olmamalıdır. (ii)beklenen frekansların en fazla %20 si 5 den daha küçük olabilir. Bu koşullar sağlanmadığında Örnek çapı arttırılabilir Satırlar veya sütunlar birleştirilebilir (iii) Her iki değişken için düzeylerin 2 olması durumunda (2 2) Yates düzeltmesi yapılmalıdır. c r χ 2 G ij B ij h = i=1 j=1 B ij

99 Örnek 1. Eğitim düzeyi ile gelir düzeyi arasında %5 anlamlılık düzeyinde ilişki var mıdır?

100 H 0 : Eğitim düzeyi ile gelir düzeyi arasında ilişki yoktur. H 1 : Eğitim düzeyi ile gelir düzeyi arasında ilişki vardır. Yukarıdaki tabloda H 0 hipotezinin testinde Pearson Chi-Square değerine bakılır. χ h 2 = ve p-değeri=0.000<0.05 olduğundan Eğitim düzeyi ile gelir düzeyi arasında ilişki yoktur sıfır hipotezi reddedilebilir.

101 Örnek 2. Cinsiyet ile yaşanılan yer arasında %5 anlamlılık düzeyinde ilişki var mıdır? H 0 : Cinsiyet ile yaşanılan yer arasında ilişki yoktur. H 1 : Cinsiyet ile yaşanılan yer arasında ilişki vardır.

102 Çapraz tablo 2 2 olduğundan Pearson Chi-Square değeri yerine Continuity Correction (Yates Düzeltmeli χ h 2 ) katsayısına bakılır. χ h 2 = ve p- değeri=0.426>0.05 olduğundan Cinsiyet ile yaşanılan yer arasında ilişki yoktur sıfır hipotezi reddedilememektedir. Çapraz tablo 2 2 olduğunda ve 5 den küçük beklenen frekansların sayısı %20 den büyük olduğunda birleştirme yapılamadığından dolayı yukarıdaki tabloda Fisher Exact testi kullanılmalıdır.

103 DOĞRU-YANLIŞ SORULARI Doğru Yanlış Sınıflama ya da sıralama ölçme düzeyinde gözlemlenmiş iki değişken arasındaki ilişki Ki-kare (χ 2 )bağımsızlık testi ile araştırılabilir. Ki-kare bağımsızlık testi gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki farklara dayalı olan bir testtir. Ki-kare bağımsızlık testinde beklenen frekansların tamamı 5 den küçük olamaz Çapraz tablo 3x3 boyutunda ise Ki-kare bağımsızlık testinde Yates düzeltmesi yapılmalıdır Cinsiyet ile oy verilen parti arasında ilişki yoktur iddiası Ki-kare bağımsızlık testi ile araştırılır. Döviz kuru ile enflasyon arasındaki ilişki Ki-kare bağımsızlık testi ile araştırılır.

104 TEST SORULARI S-1) Eğitim düzeyi ile Avrupa Birliğine üyelik (katılsın, fark etmez, katılmasın) hakkındaki tutumlar arasındaki ilişki olup olmadığı Ki-kare bağımsızlık testi ile araştırılacaktır. Aşağıdakilerden hangisi sıfır (H 0 ) hipotezidir? A) Eğitim düzeyi arttıkça AB ye üye olma yönündeki eğilim artar B) Eğitim düzeyi ile AB ye üye olma hakkındaki tutumlar arasında ilişki vardır C) Eğitim düzeyi ile AB ye üye olma hakkındaki tutumlar arasında ilişki yoktur D) Eğitim düzeyi ile AB ye üye olma hakkındaki tutumlar birbirinden bağımsız değildir S-2) Kikare bağımsızlık testinde beklenen frekansların en az yüzde kaçı 5 den küçük olamaz? A) %5 B) %10 C) %15 D) %20