Welch and Bishop (2004) Kalman filtresinin kullanımını voltaj tahmini ile örneklendirerek açıklamışlardır.

Transkript

1 . GİRİŞ Maroeonomi model; eonominin işleyişini açılayan, amaçlanan eonomi yapıya ulaşabilme için birbiriyle ilişili temel eonomi büyülülerin nasıl gelişeceğini ve hangi alanlarda darboğazlarla arşılaşılacağını mümün olduğunca gerçeçi olara açılamaya çalışan bir soyutlamadır. Anca, eonomi ilişilerin deneysel olara test edilmesinin ve modellenmesinin güç olması, gerçete modele dahil edilmesi gereen birço ayrıntının veri esiliği sebebiyle model dışında alması gibi sebeplerle hiçbir model bunu tam olara başaramaz. Maroeonomi modeller eonomi sürecin işleyişi ile ilgili olara tartışmalı ve test edilmesi gereen değişi eonomi uram ve varsayımlardan yararlanırlar. Bunlar modelde apsanan eonomi olaylarla ilgili değişenlerin seçiminde ve aralarındai ilişiyi tanımlamata en can alıcı rolü üstlenirler. Eonometri modeller, eonomi değişenler arasındai ilişilerin istatistisel olara test edilere doğrulanmasıyla elde edilen ve eşanlı olara çözülen matematisel denlem ümelerinden oluşmatadır. Oluşturulma aşamasında ço sayıda veri geretiren bu modeller, maroeonomi ya da miroeonomi olabilir. Maroeonometri modeller apsama durumunda olduları eonomi ilişileri eşanlı denlem ümeleri olara sunmaları nedeniyle incelenmesi ve yorumlanması güç yapılar oluşturmatadırlar (Ayanoğlu vd. 996). Politia analizlerinde büyü bir maroeonometri modelin yanı sıra daha dar apsamlı anca, büyü modelle tutarlı ve aynı teori yapıya sahip modeller de ullanılmatadır. Genel olara, apalı eonomiler için oluşturulan modeller, IS, LM, Phillips eğrisi gibi denlemleri içermetedir. Son yıllarda, Yeni Keynesci modeller, maroeonomi ilişilerin incelenmesinde sıça ullanılmatadır. Keynesyen İtisat (talep yönlü itisat), 929 dünya eonomi bunalımının ortaya çıardığı işsizli ve toplam taleptei yetersizlileri giderme amacıyla geliştirilmiş bir itisadi düşüncedir. Talep yönlü itisadı, eonomide etin ayna ullanımının

2 sağlanması, eonomi büyüme ve alınmanın gerçeleştirilmesi, adil bir gelir ve servet dağılımının temini ve eonomi istirarın sağlanması için devletin toplam talep üzerinde yönlendirici ararlar almasını öneren bir itisadi düşünce olara tanımlama mümündür. Talep yönlü itisadın teori temelleri J. M. Keynes tarafından yayınlanan İstihdam, Faiz ve Paranın Genel Teorisi adlı eserinde yer almıştır. Genel Teori de maroeonomi dengenin; toplam arz ile toplam talebin eşitlendiği notada gerçeleşeceği belirtilmetedir. Keynes in "Genel Teorisi" ve diğer eserlerindei düşünceleri, zaman içerisinde itisatçılarca farlı şeillerde yorumlanmıştır. 936 yılında J. M. Keynes in Genel Teorisi ni yayınlamasından sonra, bu teorinin aademi çevrelerde tanınmasında ve benimsenmesinde J. Hics in önemli atıları olmuştur. Hics, ısa dönem denge gelir ve istihdam düzeyi ve faiz oranının; para arzının para talebine eşitlendiği bir seviyede belirleneceğini abul etmiştir. Hics in bu görüşleri daha sonra A. H. Hansen tarafından geliştirilmiş ve itisat literatürüne Hics-Hansen Modeli olara geçmiştir. Gelir-Harcama Modeli (Income-Expenditure Model) veya IS/LM Analizi olara da adlandırılan bu sentez daha sonraları başlıca Don Patinin, Paul Samuelson ve James Tobin in çalışmaları ile önemli ölçüde geliştirilmiştir (Atan 2000). Maroeonomi dinamilerin modellenmesi ve parametrelerinin tahmini onusunda birço çalışma ve farlı yöntemler vardır. Ço sayıda farlı dallarda uygulama alanı bulan ilerletilmiş Kalman filtresi (İKF) son dönem eonomi yazınında biraç çalışmada ullanılmıştır. Maybec (979) Kalman filtresinin (KF) tanıtımını yapara ullanımını, gece vati denizde aybolmuş birinin yıldızların onumuna baara yön bulması örneği ile açılamıştır. Julier and Uhlmann (997), Lineer olmayan sistemlerde ilerletilmiş Kalman filtresinin ullanımını açılayara çalışmalarını, ço yüsete ve ço hızlı hareet eden bir aracın onumunun tahmin edilmesi problemi ile örnelendirmişlerdir. 2

3 Özbe (998), Kesili-zaman stoasti durum-uzay modellerinde durum vetörünün tahmin edilmesi problemini ele almış ve ardışı tahmin yöntemlerinden Kalman filtresinin değişi optimizasyon ölçütlerine göre elde edilişini açılamıştır. Güvel (998), Türiye eonomisinin ısa dönem analizi adlı çalışmasında maro politialar ve eonomi dalgalanmalar üzerine eonometri bir inceleme yapmıştır. Çalışmasında farlı eonomi yalaşımlara uygun olara oluşturduğu modelinin parametrelerini en üçü areler yöntemi ile tahmin etmiştir. Türiye eonomisinin ısa dönem özellilerinin büyü ölçüde Keynesyen hipotezlerle tutarlılı sergilediğini ortaya oymuştur. King (2000), The New IS/LM Model çalışmasında milli gelir, fiyat düzeyi, enflasyon, reel faiz oranı ve nominal faiz oranı değişenlerini ullanara oluşturduğu maroeonomi modelinin işleyişini, model değişenleri arasındai ilişiyi ayrıntılı olara ele almıştır. Özbe ve Öztür (2003), lineer olmayan esili-zaman durum-uzay modelleri ile ilgili olara, bir yayın ucuna bağlı cismin salınımı için İKF ullanımına bir örne vermişlerdir. Özbe vd. (2003) Keynesyen basit maroeonomi modelde hüümet harcamalarını rasgele yürüyüş süreci ile modelleyere bilinmeyen parametreleri İKF ile tahmin etmişlerdir. Özbe ve Özlale (2004), tahmin yöntemi olara ilerletilmiş alman filtresini ullandıları çıtı açığının ölçülmesine ilişin çalışmalarında, Türiye eonomisi için çıtı açığı ve potansiyel çıtı serilerini lineer olmayan durum-uzay modeli haline getirmişler ve enflasyon ile çıtı açığı arasındai ilişiyi analiz etmişlerdir. Welch and Bishop (2004) Kalman filtresinin ullanımını voltaj tahmini ile örnelendirere açılamışlardır. 3

4 Sarıaya vd. (2005) Türiye eonomisi için çıtı açığının tahmin edilmesinde İKF ullanmışlardır. Collard and Dellas (2005), Basit Keynesyen maroeonomi modelin parametrelerini, hüümet harcamalarını rasgele yürüyüş süreci ile modelleyere İKF ile tahmin etmişlerdir. Bhattarai (2005) Basit Keynesyen maroeonomi modelini IS/LM analizi çerçevesinde oluşturara değişenler arasındai ilişiyi ayrıntılı şeilde açılamıştır. Dueer (2005), Basit maroeonomi modelin bilinmeyen parametrelerini İKF ile tahmin etmiştir. Erdoğdu ve Özbe (2005) Türiye gibi süreli bütçe açığı, sağlısız maliye politiası ve uzun süreli yüse enflasyon yaşayan bir üle için bireylerin tüetim eğiliminde, maliye politialarının etisi olup olmadığını görebilme amacıyla yaptıları çalışmada model parametrelerini alman filtresi ile tahmin etmişlerdir. Dewachter and Lyrio (2006) çıtı açığı, enflasyon oranı ve faiz oranı değişenlerini ullanara oluşturduları Keynesyen maroeonomi modelin parametrelerini İKF ile tahmin etmişlerdir. 970'li yıllarda lasi itisat öğretisine arşı önemini yitirmeye başlayan Keynesçi modeller, günümüzde çözüm aranan bir ço maroeonomi problem için yeniden referans notası olmuştur. Klasi itisat öğretisinin, "para ve maliye politialarının reel maroeonomi değişenler üzerinde ısa ve uzun vadede etisiz olduğu" görüşü yerini ısa dönemde bu politiaların etili olduğunu savunan "yeni Keynesçi görüş"e bıramıştır. Türiye eonomisi için maliye politialarının basın olduğu varsayımı altında, Keynesçi bir model urulabilir (Özbe vd. 2003). Bu çalışmada Keynesyen görüşe uygun olara IS/LM analizi çerçevesinde basit bir maroeonomi model urulmuştur. Modelin bilinmeyen parametrelerinin tahmin edilebilmesi için ilerletilmiş Kalman filtresi ullanılmıştır. 4

5 2. DURUM-UZAY MODELİ VE TAHMİN 2. Lineer Kesili-Zaman Durum-Uzay Modeli ve Kalman Filtresi Lineer esili-zaman stoasti durum-uzay modelleri, 960'lı yıllarda uydu, güdümlü mermi, uzay araçları ve hareet yeteneği olan hedeflerin onumunu izleme ve ontrol etme gibi uygulamalar için geliştirilmiştir. Ayrıca durum-uzay modelleri, fizisel ve itisadi süreçlerin modellenmesinde pe ço uygulama alanına sahiptir (Özbe 2000, Özbe vd. 2003). Durum-uzay modeli, sistemin durumunu gösteren anca gözlenemeyen, { x ; = 0,,2,... } stoasti süreci ile ilgili bir durum eşitliği ve gözlenebilen { ; 0,, 2,... } z = stoasti süreci ile ilgili bir ölçüm (gözlem) eşitliğinden oluşan; x = A x + + B w (2..) z = H x + v (2..2) şelinde bir modeldir. Burada x n R : sistem durum vetörünü, z m R : sistem gözlem vetörünü, A, nxn boyutlu sistem geçiş matrisini, H mxn boyutlu gözlem matrisini, w n R ve v m R sıfır ortalamalı beyaz gürültü süreçlerini (hata terimlerini) göstermetedir. Beyaz gürültü süreçlerinin her, j için aşağıdai varsayımları sağladığı abul edilir. E [ v ] = 0 (2..3) E [ w ] = 0 (2..4) Ortalaması sıfır olan herhangi bir { e : K} σ 2, h = 0 γ e ( h) = 0, d. d. e : K şelinde ise { } şelinde gösterilir (Adi 2003). zaman serisinin otoovaryans fonsiyonu, serisine, Beyaz Gürültü (White Noise) Serisi denir ve e WN σ 2 (0, ) 5

6 E v v ' [ j ] Rδ j E w w = (2..5) ' [ j ] Qδ j ' [ j ] 0 = (2..6) E v w = (2..7) E [ x ] = x (2..8) 0 0 E [ ( x - x )( x - x )'] = P (2..9) E x w = (2..0) ' [ 0 ] 0 E x v = (2..) ' [ 0 ] 0 Ayrıca, tüm =0,,2,... anlarında A, (Özbe 2000, Özbe vd. 2003). Burada H, B, Q ve Q nxn ve R matrislerinin bilindiği varsayılır R mxm boyutlu matrislerdir. (Bu alanda rasgele vetörler üçü harfler ile gösterildiğinden çalışmanın geri alan ısmında bu notasyona uyulmuştur). 2.. Sonsal dağılımın en büyülenmesi ölçütüne göre Kalman filtresinin elde edilmesi Bu ısımda durum-uzay modelinde yer alan beyaz gürültü süreçlerinin ve x 0 başlangıç durumunun normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, sonsal dağılımın en büyülenmesi ölçütüne göre Kalman filtresinin elde edilişi açılanmıştır. Ele alınan durum-uzay modelindei hata terimlerinin w v Ν(0, Q ) Ν(0, R ) x Ν( x, P ) şelinde normal dağılıma sahip olduğu, hata terimlerinin ve başlangıç durumunun (2..)-(2..) varsayımlarını sağladığı abul edilsin. En iyi filtreleme, {,,..., } Z z z z = 0 gözlemleri verildiğinde x durumunun en iyi tahminini 6

7 belirlemedir. Yapılan varsayımlar altında, x Ζ rasgele vetörünün dağılımı normal dağılıma sahiptir ve sonsal dağılımın en büyülenmesi ölçütüne göre elde edilen tahmin, oşullu belenen değer tahminine dentir. Z { z,z,...,z } x durumunun tahmini = gözlemleri verildiğinde 0 xˆ = E [ x z, z,..., z ] = E [ x Z ] 0 ile, hatanın ovaryans matrisi P = E [ ( x - xˆ )( x - xˆ )' Z ] ve Z { z, z,..., z } = gözlemleri verildiğinde x durumunun tahmini 0 - xˆ = E [ x z, z,..., z ] = E [ x Z ] 0 - ile, hatanın ovaryans matrisi P = E [ ( x - xˆ )( x - xˆ )' Z ] ile gösterilsin. Bu değerlerin belirlenmesi aşağıdai adımların uygulanmasıyla elde edilir (Özbe 2000). Adım-. anında x durumunun, xˆ tahmininin bilindiği abul edilsin ve x ˆ belirlenmeye çalışılsın. (2..) eşitliği x = A x + B w (2...) olara ele alınır, w rasgele vetörünün v, w 2,..., w0 rasgele vetörlerinden, x 0 7

8 başlangıç durumunun z0, z,..., z- vetörlerinden bağımsız olduğu göz önünde tutulursa [ Z ] E w - = 0 (2...2) olacağından, [ ] [ ] [ ] xˆ = E x Z = Α E x Z + B E w Z (2...3) = A xˆ (2...4) olara bulunur. Hata vetörü x ˆ x ; z0, z,..., z gözlemlerinden bağımsız olduğundan, bir adım sonrai öngörü için hatanın ovaryans matrisi P = E [ ( x - xˆ )( x - xˆ )' Z ] = E [ ( x - xˆ )( x - xˆ ) '] (2...5) - - dır. Bir adım öngörü hatası x xˆ = A ( x xˆ ) + B w (2...6) olara yazılabileceğinden, x vetörü, w 0, w,..., w 2 vetörlerinin bir fonsiyonu ve [ w ] E x - = 0 (2...7) E xˆ w Z = 0 - (2...8) olduğundan hatanın ovaryans matrisi P = A P A + B Q B (2...9) 8

9 olara bulunur (Özbe 2000). Adım-2. Z { z, z,..., z } = 0 gözlemleri verildiğinde x durumunun tahminin belirlenmesi için f ( x Z ) oşullu olasılı yoğunlu fonsiyonunun belirlenmesi gereir. Bu oşullu olasılı yoğunlu fonsiyonu, f ( x Z ) = f ( x Z, z ) (2...0) f ( x, Z, z ) = (2...) f ( Z, z ) f ( x Z ) = f ( z x, Z ). (2...2) f ( z, Z ) olara yazılabilir. Gözlem eşitliği ve x vetörünün 0,,..., z z z gözlemlerinden bağımsız olduğu göz önüne alınırsa ( v, x 0 ve w0, w,..., w vetörlerinden bağımsız) f ( z x, Z ) = f ( z x ) (2...3) elde edilir. Bu durumda (2...2) eşitliği f ( x Z ) f ( z x ) f ( x Z ) = (2...4) f ( z Z ) olara yazılabilir. Hata terimleri ile ilgili varsayımlardan [ ] E v x = 0 (2...5) [ ] E z x = Η x [( )( ) ] [ ] E z Η x z Η x = E v v = R olacağından, gözlem vetörünün durum vetörüne göre oşullu dağılımı 9

10 f z x K z x R z x 2 ( ) =.exp ( Η ) ( Η ) (2...6) şelinde normal dağılımdır. Başlangıç durumunun normal dağılıma sahip olmasından f ( x Z ) dağılımı da - f ( x ˆ ˆ Z ) = K.exp (x - x -) P -(x - x -) 2 (2...7) biçiminde normal dağılım olduğundan, f ( x Z ) sonsal dağılımı, - f ( x ).exp (( ) ( ) (x ˆ ˆ Z = K z Η x R z Η x + - x -) P - (x - x -)) 2 (2...8) biçiminde normal dağılım olara bulunur. Burada; KK,, K sabitlerdir. (2...8) sonsal dağılımının logaritması alındıtan sonra, x vetörüne göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse [ ] ' - - H ˆ R z Η x - P - x - x - = 0 (2...9) elde edilir. Bu ifade, x vetörüne göre çözülüp, x yerine x ˆ alınırsa ' ' ˆ ˆ + = + H R H P x H R z P x (2...20) elde edilir ve bu eşitliğin sağ tarafına H R H xˆ ' ifadesi elenip çıarılırsa, ' ' xˆ ˆ ˆ = x + HR H + P HR z Hx (2...2) olara yazılır. (2...20) eşitliği 0

11 ' ' ˆ = + + xˆ H R H P H R z P x olara göz önüne alınır ve gözlem eşitliği (2..2) ullanılırsa, ' ' ' ˆ ˆ = x x x H R H P H R H x H R v P x (2...22) elde edilir. Bu ifadenin sağ tarafına düzenlemeler yapılırsa eşitli P x elenip çıarılırsa ve gereli olan ' ' ˆ ˆ = + x x H R H P H R v P ( x x ) (2...23) olara yazılır ve böylece P ˆ ˆ = E ( x x )( x x ) ' H R H P (2...24) = + olara bulunur. Bu eşitliğe matris tersi lemması 2 uygulanırsa, ' ' ' + = + H R H P P P H H P H R H P (2...25) elde edilir. K P H H P H R = [ + ] (2...26) 2 P, R, H matrisleri sırasıyla n n, m m, m n boyutlu ve P ve R pozitif tanımlı matrisler olsun. Bu durumda aşağıdai eşitliler sağlanır (Jazwinsi 970). [ ] P H R H P PH HPH R HP + = + [ ] P + H R H H R = PH HPH + R

12 olara tanımlanırsa P = [ I K H ] P (2...27) olara yazılabilir ve yine matris tersi lemmasından ' ' ' ' + = + H P H R H R P H H P H R (2...28) olduğundan xˆ = xˆ + K [ z - H xˆ ] (2...29) olara bulunur. Özetlenece olursa Kalman filtresi P ˆx = P 0-0 = x 0-0 başlangıç değerlerine bağlı olara aşağıdai eşitlilerle ile verilir: xˆ = A xˆ (2...30) xˆ = xˆ + K [ z - H xˆ ] (2...3) K P H [ H P H R ] = + (2...32) P = [ I K H ] P (2...33) P = A P A + B Q B (2...34) Eşitli (2...32) ile verilen matris Kalman Kazanç Matrisi olara da bilinir (Özbe 2000). 2

13 2.2 Lineer Olmayan Durum-Uzay Modeli ve İlerletilmiş Kalman Filtresi Lineer olmayan durum uzay modeli, x = f ( x ) + + H ( x ) w (2.2.) z = d ( x ) + v (2.2.2) eşitlileri ile verilir. Burada f ( x ) lineer olmayan sistemin geçiş metrisini ve d ( x ) sistemin gözlem matrisini temsil etmetedir. w ve v sırasıyla Q ve R ovaryans matrisli beyaz gürültü süreçlerini göstermetedir (Wan 993). x ˆ0= E( x0 ) P = cov( x ) 0 0 başlangıç değerlerine bağlı olara İKF ye ilişin işlemler ve gösterimler aşağıdai gibi özetlenebilir. P f ˆ f = ( x ) P ( x ) + Q x x ˆ ˆ =, x f ( xˆ ) (2.2.3) d d d K ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ = P x x P x ) R + x x x P = I K d ( xˆ ) P x (2.2.4) (2.2.5) xˆ = xˆ + K ( ˆ ) z d x, =, 2,... (2.2.6) (Özbe ve Öztür 2003, Özbe vd. 2003). 3

14 2.2. İlerletilmiş Kalman filtresinin elde edilmesi Lineer olmayan model için. dereceden Taylor açılımı ile lineerleştirme yapılara yalaşımda bulunulmuş ve bu işlem İlerletilmiş Kalman Filtresi olara adlandırılmıştır. Bu ısımda Taylor açılımı yalaşımı ile İKF algoritmasının elde edilişi açılanacatır. Bir sistem ile ilgili durum değişeni, n -boyutlu x rasgele vetörü ve gözlem değişeni, n n m -boyutlu z rasgele vetörü olsun. f : ve d: süreli türevlere sahip olma üzere, bu sistem için durum-uzay modeli, n m fonsiyonları x, =,2,... (2.2..) = f ( x, ) + w z = d( x, ) + v (2.2..2) ve varsayımlar E ( ) = 0 (2.2..3) w E ( ) = 0 (2.2..4) v Q, i = E( w wi ) = 0, i (2.2..5) R, i = E( v vi ) = 0, i (2.2..6) E ( x 0 w ) = 0 (2.2..7) E ( x 0 v ) = 0 (2.2..8) E ( x = m (2.2..9) 0 ) 0 ) 0 Cov ( x = P (2.2..0) 0 olsun. { x } bir zaman serisi olma üzere bunun bir gerçeleşmesi sistemin durumunun bir yörüngesi olmatadır. 4

15 x nom = ( = m (2.2..) 0 E x0 ) 0 ve nom nom x = f ( x, ), =,2,... (2.2..2) olma üzere { x nom : = 0,,2,... } dizisine nominal yörünge denir. f süreli türevlere sahip olduğunda yörünge üzerindei bozulma (pertürbasyon) etileri nominal yörünge etrafında yapılan Taylor açılımı ile ifade edilebilir. δ, nominal yörüngeden pertürbasyonu gösterme üzere, δ x = x x (2.2..3) nom nom δ z = z d( x, ) (2.2..4) gösterimleri altında, f fonsiyonunun nom x notası omşuluğundai Taylor açılımından x = f ( x, ) (2.2..5) nom f ( x, ) f ( x, ) + nom δ x + alan terim x= x (2.2..6) x = nom f ( x, ) = x + nom δ x + alan x= x x terim (2.2..7) olup, f ( x, ) nom δ x = x = x δx + alan terim (2.2..8) x dır. Kalan terimin atılmasıyla 5

16 δ x ( nom F x, ) δ x (2.2..9) yazılabilir, burada nom f ( x, ) F( x, ) = nom x= x x ( ) dır. Gözlem denlemindei d fonsiyonunun nominal yörüngeye göre lineerleştirilmesi, nom d( x, ) d( x, ) = d( x, ) = nom δ x x x + alan terim = x (2.2..2) olup, alan terimin atılmasıyla δ z D( x nom, ) δ x ( ) yazılabilir, burada nom d( x, ) D( x, ) = nom x= x x ( ) dır. Böylece pertürbasyonlar için δ x ( nom F x, ) δ x + w ( ) 6

17 δ z D( x nom, ) δ x + v ( ) lineer durum-uzay modeline ulaşılır. Bu model için Kalman filtresinin işletilmesi aşağıdai gibidir. δˆ x ( ) = F( x, ) δˆ x ( + ), =, 2,... ( ) nom ˆ ˆ nom nom δ x ( ) ( ) (, ) (, ) ˆ + = δ x + K z D x D x δ x ( ) ( ) P ( ) = F( x, ) P ( + ) F ( x, ). + Q ( ) nom nom nom nom [ H ( x, ) P ( ) H ( x, ) + R ] nom K = P ( ) H ( x, ) ( ) nom [ I K H ( x, ) ] P ( ) P ( ) = ( ) + Burada K Kalman Kazanç Matrisi ile P matrislerinin hesaplanmasında ullanılan nom x değerleri bir nom x 0 değerine bağlı olara nom nom x = f ( x, ), =,2,... (2.2..3) bağıntısından hesaplandığından, endi içinde hesaplanabilir. K ile P matrisleri δˆ x durum estirimlerinden ayrı olara Yuarıdai Kalman filtresinde x, =,2,... değerleri yerine x ˆ ( ), =,2,... yazılması nom ve δ x = x xˆ olduğu göz önünde tutulmasıyla, x ˆ0= E( x0 ) P = cov( x ) 0 0 başlangıç değerlerine bağlı olara 7

18 P f ˆ f = ( x ) P ( x ) + Q x x x ˆ = f ( xˆ ) d d d K ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ = P x x P x ) R + x x x P = I K d ( xˆ ) P x ˆ ( ) ( ) ( ) xˆ = xˆ + K ( ˆ ) z d x, =, 2,... ( ) ilerletilmiş Kalman filtresi elde edilir (Özbe ve Öztür 2003, Kösal vd. 2005). İlerletilmiş Kalman filtresini uygulama amacıyla, durum-uzay modelindei matrisler, θ bilinmeyen parametre vetörünü gösterme üzere F ( θ ), D ( θ ), H ( θ ) şelinde θ nın bir fonsiyonu şelinde yazılsın ve θ parametre vetörünün rasgele yürüyüş süreci şelinde modellendiği abul edilsin. Bu durumda, model x = F ( θ ) x + + H ( θ ) w ( ) z = D ( θ ) x + v ( ) ve parametre vetörü θ θ = + + t ( ) cov( t ) = S ( ) şelinde olacağından ( ) ve ( ) eşitlileri yeni bir durum-uzay modeli gibi düşünülüp birleştirilirse yeni oluşan durum uzay modeli x+ F ( θ ) x H ( θ ) w θ = + θ t + ( ) 8

19 x z [ D ( θ ) 0] v = + θ (2.2..4) şelinde lineer olmayan bir modeldir ve bu modele İKF uygulanabilir. ( ) eşitliğinde t beyaz gürültü sürecini göstermetedir ve ovaryans matrisinin cov( t ) = S = S> 0 olduğu abul edilmiştir. S=0 olması durumunda parametre vetörünün sabit olduğu varsayımı yapılmış olur ve ( )-(2.2..4) eşitlileri ile verilen lineer olmayan durum-uzay modeline İKF uygulandığında parametre vetörü haında herhangi bir bilgi elde edilemez. Bu nedenle uygulamada S>0 olara alınır. İKF algoritması eşitlileri ( ) ve (2.2..4) eşitlilerine uygulanırsa xˆ 0 E ( x0 ) ˆ = θ E ( θ 0 0 ) P 0 cov( x0 ) 0 = 0 S 0 başlangıç değerlerine bağlı olara =,2,... için xˆ ˆ F ˆ ( θ ) x = θ ˆ θˆ ( ) P ˆ ( ˆ ( ) ( )) ˆ ( ˆ ) ( ( ˆ F θ F θ x F θ F θ )) xˆ = P 0 I 0 I θ θ H ( θˆ ) Q H ( θˆ ) S - ( ) ˆ K ˆ ˆ P D ( θ ) 0 = D ( θ ) 0 P D ( θ ) 0 + R P I K D ˆ P = ( θ ) 0 ( ) ( ) 9

20 xˆ xˆ ( ˆ ) ˆ = + K z D θ x θ ˆ θ ˆ ( ) eşitlileri elde edilir (Özbe vd. 2003, Özbe ve Öztür 2003, Kösal vd. 2005). 20

21 3. MAKROEKONOMİK MODEL VE DURUM-UZAY GÖSTERİMİ 3. Maroeonomi Model Maroeonometri modeller, önemli eonomi değişenleri içeren maroeonomi modelleri test etmeyi amaçlar. Gelenesel eonometri modellerin temeli Keynesyen yapıya dayanmatadır. Bu modellerde amaç; toplam talep düzeyi, faiz oranı, fiyat düzeyi, hüümet harcamaları gibi değişenleri açılamatır (Bhattarai 2005). 930 lu yıllardan beri maroeonomi analizlerde çeşitli IS/LM modelleri geliştirilmiştir. Özellile Hics in geliştirmiş olduğu model, faiz oranı ve milli gelirin çeşitli şolar ve alternatif maliye politialarından nasıl etilendiğini açılama amacıyla ullanılmıştır. Maliye politialarının en önemli açılayıcı değişenlerinin ullanıldığı IS/LM modelleri temel maroeonomi modellerdir. Bu modeller, milli gelir, fiyat düzeyi, reel faiz oranı, enflasyon oranı ve nominal faiz oranı değişenlerini içerir (King 2000). Bu çalışmada ısa dönem maliye politialarının etileri Yeni Keynesyen IS/LM analizi çerçevesinde ele alınacatır. İleriye dönü belentileri de içeren toplam talep (AD) denlemini veren IS/LM eşitlileri yanında toplam arz (AS) denlemi de modele elenere basit bir maroeonomi model oluşturulacatır. Modelde ullanılaca değişen tanımlamaları ve eşitlileri aşağıda verilmiştir. Y : dönemdei Gayri Safi Yurtiçi Hasıla (GSYH), C : dönemdei Tüetim, I : dönemdei Yatırım, G : dönemdei Hüümet Harcamaları olma üzere apalı bir eonomide, Y = C + I + G (3..) 2

22 yazılabilir (Özbe vd. 2003, Bhattarai 2005). Buradan C = Y I G (3..2) dır. Böylece C = Y I G (3..3) olur ve i : dönemdei nominal faiz oranı, π : dönemdei enflasyon oranı olma üzere, C = ρ( i Eπ + ) + EC + (3..4) yazılabilir. (Clarida et al. 999, Fuhrer and Rudebusch 2003). Literatürde Euler eşitliği olara bilinen (3..4) eşitliğinde alındığında, C yerine (3..2), C + yerine (3..3) eşitlileri Y I G = ρ( i Eπ + ) + E ( Y + I + G + ) (3..5) olur. Burada E, ilgili değişenin belenen değer gösterimidir ve ve E π + = βπ (3..6) E ( Y I G ) = Y I G (3..7) olara alınırsa, Y I G = ρ ( i βπ ) + Y + I+ G + (3..8) olur. Böylece modelin mal piyasası dengesi için 22

23 IS: Y + Y ρ i βπ I + I G + G = + ( ) + ( ) + ( ) (3..9) eşitliği elde edilir. dönemdei yatırım için I = µ ( i π ) + φy (3..0) eşitliği yazılabilir. Böylece I = µ ( i π ) + φy (3..) olur. Burada µ < 0 ve φ > 0 dır (Bhattarai 2005). Bu çalışmada hüümet harcamaları rasgele yürüyüş süreci ile modellenecetir. Yani, G = δ G -+g (3..2) dır. Burada harcamaları eşitiği, g hata terimini ifade etmetedir ve bir dönem sonrası için hüümet G += δ G +g+ (3..3) olur. (3..0)-(3..3) ile verilen eşitliler (3..8) eşitliğinde yerine yazıldığında IS: Y + = (- φ) Y + ( ρ - µ ) i + ( µ ρβ) π + µ ( i + π+ ) + φy + + ( δ ) G + g+ (3..4) olur. 23

24 Modelin para piyasası dengesi nominal faiz oranı ile açılanmıştır. 970 li yıllardan itibaren nominal faiz oranının değişi şeilleri üzerinde bir ço çalışma yapılsa da en iyi bilinen örneği, Taylor uralıdır 3 (Taylor 993). Kısaca Taylor uralı, nominal faiz oranının, enflasyon oranı ile üretimin doğrusal bir fonsiyonu olara tanımlanabilir (Mishin 2002). Kapalı eonomilerde, enflasyon oranı tahmininin ullanılması halinde nominal faiz oranı, Taylor uralı ile aynı formdadır (Svensson 997). Böylece LM : i = λy + γ π + ε (3..5) eşitliği yazılabilir. Burada ε faiz oranı için hata terimidir. Kısa dönem toplam arz dengesi ; enflasyon oranı ile modele elenmiştir. dönemdei enflasyon oranı, AS : π = αy + Eπ + + u (3..6) eşitliği ile verilir (Svensson 997, Clarida et al. 999, King 2000). Burada u enflasyon oranı için hata terimini ifade etmetedir. 3.2 Durum-Uzay Gösterimi Maroeonomi model özetle aşağıdai şeilde verilir. IS: Y + = (- φ) Y + ( ρ - µ ) i + ( µ ρβ) π + µ ( i + π+ ) + φy + + ( δ ) G + g+ LM: i = Y + π + (3.2.) λ γ ε (3.2.2) 3 Y ; dönemdei çıtı açığı, i ; dönemdei nominal faiz oranı, π ; dönemdei enflasyon oranı ve * π ; dönem enflasyon hedefi olma üzere, Taylor uralı, 993). i * π Y π π ) = + α + β( ile verilir (Taylor 24

25 AS : π = αy + Eπ + + u (3.2.3) (3..6) eşitliğinde E π + = β π olduğu göz önüne alınırsa (3.2.3) eşitliği, π = αy + β π + u (3.2.4) ve π = αy + β π + u (3.2.5) olur. Buradan π+ = ( αy + + u+ ) ( β) (3.2.6) dir. (3.2.2) eşitliği göz önüne alındığında, i = λy + γ + ε (3.2.7) + + π + + dir. Burada π + yerine (3.2.6) eşitliği yazılırsa γ i = Y + ( ) + ( β) + λ + α Y + + u + ε+ (3.2.8) olur. (3.2.6) ve (3.2.8) eşitlileri (3.2.) eşitliğinde yerine yazılır ve gereli olan işlemler yapılırsa, IS: Y + µ ( γ ) ( ρ µ ) i + ( µ ρβ) π + ( φ) Y + ( δ ) G + u + µε + g ( β) = α ( γ ) µ λ + + φ ( β) (3.2.9) elde edilir. 25

26 Bu ifade (3.2.6) ve (3.2.8) eşitliğinde yerine yazılır ve gereli olan işlemler yapılırsa AS: π + [( ρ µ ) i ( µ ρβ) π ( φ) Y ( δ ) G µε g ] α = µ α ( γ ) ( β)( µλ φ) ( β) + + ve µ ( γ ) α + 2 α ( γ ) ( β ) µ λ + + φ ( β) u + (3.2.0) LM: i + γα λ β = α ( γ ) µ λ + + φ ( β) [( ρ µ ) i ( µ ρβ) π ( φ) Y ( δ ) G g ] + γα α ( γ ) λ + µ ( γ ) µ λ φ γ β ( β) + α ( γ ) ( β ) µ λ + + φ ( β) u + γα µ λ + β + α ( γ ) µ λ + + φ ( β) ε + (3.2.) olur. α ( γ ) n = µ λ + + φ ve m = ( β) λ + γα β olma üzere (3.2.9)-(3.2.) eşitlileri ile verilen maro eonomi modelin durum uzay gösterimi aşağıdai şeilde verilir. 26

27 Y π i G + + = + + ( φ ) ( µ ρβ) ( ρ µ ) ( δ ) n n n n α( φ) α ( µ ρβ) α( ρ µ ) α( δ ) Y ( β) n ( β) n ( β) n ( β) n π i m( φ ) m( µ ρβ) m( ρ µ ) m( δ ) G n n n n ( δ ) µ ( γ ) µ 0 ( β) n n n µ ( γ ) α αµ α 0 u 2 + ( β) n ( β) n ( β) n ε+ + g + µ ( γ ) m + nγ µ m m ( β) n n n (3.2.2) z [ 0 0 0] Y π + = + v+ i G (3.2.3) (3.2.2) eşitliğindei bilinmeyen parametreleri ve durum değişenlerini tahmin etme amacıyla ( ) eşitliğindei parametre vetörü θ = ( α β γ λ ρ δ µ φ) alınara ( )-(2.2..4) eşitlilerinde belirtilen durum-uzay modeli oluşturulursa; 27

28 Y + π + i + G + α + β γ+ λ + ρ+ δ + µ + φ + + = ( φ ) ( µ ρβ) ( ρ µ ) ( δ ) n n n n α ( φ) α( µ ρβ ) α ( ρ µ ) α ( δ ) Y ( β ) n ( β) n ( β ) n ( β ) n π i m( φ ) m( µ ρβ) m( ρ µ ) m( δ ) n n n n G α ( δ ) β γ λ ρ δ µ φ µ ( γ ) µ 0 0 ( β) n n n µ ( γ ) α αµ α ( β) n ( β) n ( β) n µ ( γ ) m + nγ µ m m u ( β) n n n ε+ + g t (3.2.4) 28

29 29 ( ) Y i G z v π α β γ λ ρ δ µ φ + = + (3.2.5) elde edilir. Gereli türev alma işlemleri yapılara ( )-( ) eşitlileri ile verilen İKF algoritması uygulanır.

30 4. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI 4. Sayı Üretere Oluşturulan Veri Seti İçin Simülasyon Simülasyon çalışmasında Matlab 6.5 programı ullanılmıştır. (3.2.2)-(3.2.3) eşitlilerinden veri üretme için, modelde yer alan parametreler, başlangıç değerleri ve hata terimlerinin varyansları, [ Y π i G ] = [ ] α = β = 0.3 γ = λ = 0.0 ρ = 0.0 δ = µ = 0.5 φ = 0.0 var( u ) = 0.0 var( ε ) = 0.0 var( g ) = 0. var( v ) = 0. olara alınmıştır.( )-(2.2..4) eşitlileri ile verilen İKF algoritmasını uygulama amacıyla filtrede yer alan değerler, 30

31 xˆ θˆ = Q =,.I 4x4 R = , S 0= I8x8, S = I 8x8, P= 0.. I 4x4 olara seçilmiştir. Bu başlangıç değerlerine göre İKF uyguladığında, modelden üretilen veriler ile İKF den elde edilen durum değişenlerinin tahmin sonuçları Şeil de gösterilmiştir. 3

32 Şeil 4. GSYH ve tahmini Şeil 4.2 Enflasyon oranı ve tahmini 32

33 Şeil 4.3 Faiz oranı ve tahmini Şeil 4.4 Hüümet harcamaları ve tahmini 33

34 Modeldei parametrelerin aldığı tahmin sonuçları aşağıda verilmiştir. Enflasyon denleminde, GSYH oranı olara Şeil 4.5 α parametresinin ardışı tahmininin , enflasyon denleminin bir diğer önemli bileşeni olara Şeil 4.6 β parametresinin 0.44 civarında değerler aldığını göstermetedir. Şeil 4.5 α parametresinin tahmini Şeil 4.6 β parametresinin tahmini 34

35 Şeil 4.7 de Faiz oranının enflasyondan ne derece etilendiğini gösteren γ parametresinin, 0.06 dolaylarında değer aldığını görülmetedir. Şeil 4.8 ise GSYH nin faiz oranına etisi olan λ parametresinin 0.0 dolaylarındai tahmin sonucunu içermetedir. Şeil 4.7 γ parametresinin tahmini Şeil 4.8 λ parametresinin tahmini 35

36 Şeil 4.9 Reel faizdei değişimin GSYH dei etisini gösterenρ parametresinin civarındai tahminini vermetedir. Modelde rasgele yürüyüş süreci ile belirlenen hüümet harcamalarının önündei δ parametresinin civarında değerler aldığı Şeil 4.0 da görülmetedir. Şeil 4.9ρ parametresinin tahmini Şeil 4.0 δ parametresinin tahmini 36

37 Şeil 4. de, yatırımın reel faizden olumsuz yönde etilendiğini gösteren µ parametresinin tahmininin civarında, şeil 4.2 de, GSYH nın yatırıma etisini gösteren φ parametresinin tahmininin 0.0 dolaylarında olduğu görülmetedir. Şeil 4. µ parametresinin tahmini Şeil 4.2 φ parametresinin tahmini 37

38 4.2 Gerçe Veri Seti Uygulaması Simülasyon sonuçları maro eonomi dinamileri açılamata İKF nin olumlu sonuçlar verdiğini göstermetedir. Modelin durum değişenlerinin ve parametrelerinin gerçe veriler ullanıldığında alacağı tahmin değerlerini görebilme için, Türiye Cumhuriyet Merez Banası nın (TCMB) eletroni veri dağıtım sisteminden (EVDS) temin edilen dönemini apsayan üçer aylı Gayri Safi Yurtiçi Hasıla (GSYİH) verileri ullanılmıştır. Çalışmada her bir veriye logaritmi dönüşüm uygulanmıştır. Elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir. Şeil 4.3 GSYH ve tahmini 38

39 Şeil 4.4 Enflasyon oranı Şeil 4.5 Faiz Oranı 39

40 Şeil 4.6 Hüümet harcamaları Gerçe veriler ullanılara yapılan çalışmada GSYH ve hüümet harcamalarının alınan dönemde süreli artış gösterdiği görülmetedir. Enflasyon oranının 0. den 0.2 düzeyine adar artış gösterdiği, faiz oranının ise 0.5 civarında değer aldığı görülmetedir. Model parametrelerinin gerçe veri seti ullanıldığında aldıları değerler Şeil de verilmiştir. Şeil 4.7 α parametresinin tahmini 40

41 Şeil 4.8 β parametresinin tahmini Şeil 4.9 γ parametresinin tahmini 4

42 Şeil 4.20 λ parametresinin tahmini Şeil 4.2 ρ parametresinin tahmini 42

43 Şeil 4.22 δ parametresinin tahmini Şeil 4.23 µ parametresinin tahmini 43

44 Şeil 4.24 φ parametresinin tahmini GSYH verilerine ilişin parametre tahminleri yuarıda verildiği şeilde elde edilmiştir. Bu sonuçlara baıldığında sayı üretilere yapılan simülasyon sonucunda dolaylarında tahmin edilen α parametresinin değeri dolaylarında, 0.06 civarında tahmin edilen γ parametresinin 0.0 dolaylarında ve 0.0 civarında tahmin edilen φ parametresinin civarında tahmin sonuçlarına ulaşılmatadır. Diğer parametrelerin her ii çalışma sonucunda da yaın değerler aldığı görülmetedir. 44

45 5. SONUÇ Bu çalışmada yeni eynesci IS/LM model ele alınara, modeldei parametreler ve durum değişenleri, lineer olmayan durum-uzay modeli biçimine getirilmiştir. Parametreleri ve durum değişenlerini İKF ile tahmin etme amacıyla simülasyon çalışması yapılmıştır. Simülasyon sonuçları hem durum değişenlerinin hem de parametrelerinin tahminlerinin modeldei değerlerine yaın bulunduğunu göstermetedir. Gerçe veriler ullanılara yapılan çalışma sonucu, İKF nin maroeonomi modellerdei bilinmeyen parametrelerin tahmininde ullanılmasının olumlu sonuçlar verdiği söylenebilir. 45

46 KAYNAKLAR Adi, Y Zaman Serileri Analizi (Birim Köler ve Kointegrasyon), Bıçalar Kitabevi, Anara. Atan, C Politi İtisat, Anadolu Matbaası, s.2-37, Anara. Ayanoğlu, K., Düzyol, M.C., İlter, N. ve Yılmaz, C Kamu yatırım projelerinin planlanması ve analizi /prjplan/prj.html, Erişim Tarihi: Bhattarai, K.R Keynesian Models for Analysis is of Macroeconomic Policy, Erişim Tarihi: Clarida, R., Gali, J. and Gertler, M The science of monetary policy: a new Keynesian perspective, Journal of Economic Literature pp.0-37, Chicago. Collard, F. and Dellas, H The new Keynesian model with imperfect information and learning, Erişim Tarihi: Dewachter, H. and Lyrio, M Learning, Macroeconomic Dynamics and the Term Structure of Interest Rates, Journal of Money, Belgium Dueer, M Kalman Filtering with Truncated Normal State Variables for Bayesian Estimation of Macroeconomic Models, Federal Reserve Ban of St. Louis, St. Louis. Erdoğdu, O.S. ve Özbe, L Türiye de tüetim eğilimi ve maliye politiası, İtisat İşletme ve Finans dergisi (235), Fuhrer, J.C. and Rudebusch, G.D Estimating the Euler Equation for Output. Fortcoming in Journal of Monetary Economics, publications./economics/paper/2002/wp02-2b.pdf. Erişim Tarihi: Güvel, E.A Türiye eonomisinin ısa dönem analizi, maro politialar ve eonomi dalgalanmalar üzerine eonometri bir inceleme, Erişim Tarihi: Jazwinsi, A.H Stochastic processes and filtering theory. Academic press. 46

47 Julier, S.J. and Uhlmann, K.J A New Extension of the Kalman Filter to Nonlineer Systems, The Robotics Research Group, Department of Engineering Science, The University of Oxford, Oxford. King, R.R The new IS-LM Model: Language, logicilimits, Federal Reserve Ban of Richmond, Economic Quarterly, 86(3), pp Kösal, E., Özbe, L. ve Öztür, F İlerletilmiş Kalman Filtresi ve Sistem Belirleme üzerine bir çalışma, Selçu Üniv. Fen-Ed. Fa., Fen Dergisi, sayı 25, 9-8 Maybec, P.S Stochastic model, estimation and control,united Kingdom Edition Published, volume, London. Mishin, F.S The Role of Output in the Conduct of Monetary Policy NBER Woring Paper (929). Özbe, L Kesili-zaman durum uzay modelleri, indirgemeli tahmin ve yaınsama problemleri. Dotora tezi (basılmamış). Anara Üniversitesi, Anara. Özbe, L Durum-uzay modelleri ve Kalman Filtresi. Gazi Üniv. Fen Bilimleri Ens. Dergisi, Özbe, L. ve Öztür, F Lineer olmayan durum-uzay modelleri ve İlerletilmiş Kalman Filtresi ullanımı üzerine bir çalışma, VI. Ulusal Eonometri ve İstatisti Sempozyumu, Gazi Üniversitesi, Anara. Özbe, L., Öztür, F. ve Özlale, Ü Employing Extended Kalman Filter in a Simple Macroeconomic Model, Central Ban. Anara, -6. Özbe, L., and Özlale, Ü Journal of economic dynamics and control. (29) Sarıaya, Ç., Öğünç F., Ece D., Kara, H. and Özlale, Ü Estimating Output Gap for the Turish Economy. Türiye Cumhuriyet Merez Banası Tartışma Tebliği, No:2005/3. Svensson, L.E.O Inflation Forecast Targeting: Implementing and Monitoring Inflation Targets, European Economic Review, 4,

48 Taylor, J.B Discretion versus Policy in Practice, Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, 39, Wan, E Finite Impulse Response Neural Networs With Applications in Time Series Prediction. A Dissertation Submitted to the Department of Electrical Engineering and The Committee on Graduate Studies of Stanford University in Partial Fulfillment of The Requirements for The Degree of Doctor of Philosophy, USA. Welch, G. and Bishop, G An Introduction to the Kalman Filter, Department of Computer Science University of North Carolina at Chapel Hill, UNC-Chapel Hill. 48

49 EK İKF Algoritması %maro modelden sayı üretme clc close all clear all randn('seed',0) x0=[ ]'; H=[ 0 0 0]; alfa=.009; beta=.3; gama=.005; lamda=.0; ro=.0; delta=; mu=-.5; fi=0.0; % başlangıç durumu n=-(mu*(lamda+alfa*(gama-)/(-beta))+fi) m=lamda+(gama*alfa/(-beta)); Ai=[(-fi)/n (mu-(ro*beta))/n (ro-mu)/n (delta-)/n; alfa*(-fi)/((-beta)*n) (alfa*(mu-ro*beta))/((-beta)*n) (alfa*(ro-mu))/((-beta)*n) (alfa*(delta-))/((-beta)*n); m*(-alfa)/n m*(mu-ro*beta)/n (ro-mu)*m/n (delta-)*m/n; delta]; B=[(mu*(gama-))/((-beta)*n) mu/n /n 0; (mu*(gama-)*alfa)/(((-beta)^2)*n) (alfa*mu)/(n*(-beta)) alfa/((-beta)*n) 0; (m*(mu*(gama-)+n*gama)/((-beta)*n)) (m/n)*mu+ m/n 0; 0 0 0]; 49

50 for =::200 u=randn()*.0; e=randn()*.0; g=randn()*.0; w=[u; e; g; 0]; v=randn()*.; X(:,)=Ai*x0+B*w; Z(:,)=H*x0+v; x0=x(:,); end subplot(4,,) plot(x(,:)) xlabel('gsyh') subplot(4,,2) plot(x(2,:)) xlabel('enflasyon oranı') subplot(4,,3) plot(x(3,:)) xlabel('faiz oranı') subplot(4,,4) plot(x(4,:)) xlabel('huumet harcaması') figure plot(z) xlabel('gsyh') l=[x' Z'] save maro l -ascii std(z) 50

51 %model2 clc close all clear all H=[ ]; load maro eoef=maro; Z=eoef(:,5); Xest=[20;.7;2;3]; Parest=[.0;.46;.06;.0;.03;.0;-.5;.0]; P0=eye(4)*.; PP0=eye(8)*.00; P=[P0 zeros(4,8); zeros(8,4) PP0]; R=.5486^2; QQ=eye(4)*; S=eye(8)* landa=; for =:200 xx()=xest(,); xx(2)=xest(2,); xx(3)=xest(3,); xx(4)=xest(4,); alfa=parest(,); beta=parest(2,); 5

52 gama=parest(3,); lamda=parest(4,); ro=parest(5,); delta=parest(6,); mu=parest(7,); fi=parest(8,); n=-(mu*(lamda+alfa*(gama-)/(-beta))+fi) m=lamda+(gama*alfa/(-beta)); t=(-fi); b=(-beta); B=[(mu*(gama-))/((-beta)*n) mu/n /n 0; (mu*(gama-)*alfa)/(((-beta)^2)*n) (alfa*mu)/(n*(-beta)) alfa/((-beta)*n) 0; (m*(mu*(gama-)+n*gama)/((-beta)*n)) (m/n)*mu+ m/n 0; 0 0 0]; Q=B*QQ*B'; Q=[Q zeros(4,8); zeros(8,4) S]; Ai=[t/n (mu-(ro*beta))/n (ro-mu)/n (delta-)/n; alfa*t/(b*n) (alfa*(mu-ro*beta))/(b*n) (alfa*(ro-mu))/(b*n) (alfa*(delta-))/(b*n); m*(-alfa)/n m*(mu-ro*beta)/n (ro-mu)*m/n (delta-)*m/n; delta]; Ait(,)=xx()*(((mu*(gama-)/b)*t)/n^2)+ xx(2)*((mu*(gama-)/b)*(muro*beta))/n^2 + xx(3)*(((mu*(gama-)*(ro-mu))/b)/n^2)+xx(4)*(((mu*(gama- )*(delta-))/b)/n^2); Ait(,2)=xx()*(t*(mu*(gama-)/b))/(n^2)+xx(2)*(-ro*n-(-mu*alfa*(gama- )/b^2)*(mu-ro*beta))/n^2 +xx(3)*(-(-mu*alfa*(gama-)*(ro-mu))/b^2)/n^2+xx(4)*((- (-mu*alfa*(gama-)/b^2)*(delta-))/n^2); 52

53 Ait(,3)=xx()*(((mu*alfa/b)*t)/n^2)+xx(2)*(((mu*alfa/b)*(muro*beta))/n^2)+xx(3)*((mu*alfa/b)*(ro-mu)/n^2)+xx(4)*((mu*alfa/b)*(delta-)/n^2); Ait(,4)=xx()*(mu*t/n^2)+xx(2)*(mu*(mu-ro*beta)/n^2)+xx(3)*(mu*(romu)/n^2)+xx(4)*(mu*(delta-)/n^2); Ait(,5)=xx(2)*(-beta/n)+xx(3)*(/n); Ait(,6)=xx(4)*(/n); Ait(,7)=xx()*(((lamda+alfa*(gama-)/b)*t)/n^2)+xx(2)*((n-(-lamda-(alfa*(gama- )/b))*(mu-ro*beta))/n^2)+xx(3)*((-n-(-lamda-(alfa*(gama-)/b))*(romu))/n^2)+xx(4)*((-(-lamda-(alfa*(gama-)/b))*(delta-))/n^2); Ait(,8)=xx()*((-n+t)/n^2)+xx(2)*((mu-ro*beta)/n^2)+xx(3)*((romu)/n^2)+xx(4)*((delta-)/n^2); Ait(2,)=xx()*((t*b*n-((-mu*(gama-)/b)+(beta*mu*(gama- )/b))*(alfa*t))/(b*n)^2)+xx(2)*(((mu-ro*beta)*n*b+((b*(mu*(gama-)/b))*alfa*(muro*beta)))/(b*n)^2)+xx(3)*(((ro-mu)*b*n)-(b*(-mu*(gama-)/b)*alfa*(romu))/(b*n)^2)+xx(4)*((((delta-)*b*n)+(mu*(gama-)*alfa*(delta-)))/(b*n)^2); Ait(2,2)=xx()*(-((-mu*alfa*(gama-)/b^2)-+mu*lamda+(mu*alfa*(gama-)*b- beta*mu*alfa*(gama-))/(b^2)-fi)*alfa*t)/(b*n)^2+xx(2)*(-alfa*ro*b*n)-((- mu*alfa*(gama-)/b^2)-+mu*lamda+(mu*alfa*(gama-)*b-beta*mu*alfa*(gama- ))/(b^2)-fi)*alfa*(mu-ro*beta)/(n*b)^2+xx(3)*(-((-mu*alfa*(gama-)/b^2)- +mu*lamda+(mu*alfa*(gama-)*b-beta*mu*alfa*(gama-))/(b^2)-fi)*(alfa*(romu))/(b*n)^2)+xx(4)*(-((-mu*alfa*(gama-)/b^2)-+mu*lamda+(mu*alfa*(gama-)*bbeta*mu*alfa*(gama-))/(b^2)-fi)*alfa*(delta-)/(b*n)^2); Ait(2,3)=xx()*(mu*alfa*(alfa*t)/(b*n)^2)+xx(2)*((mu*alfa*alfa*(muro*beta))/(b*n)^2)+xx(3)*(mu*alfa*alfa*(romu)/(b*n)^2)+xx(4)*(mu*alfa*alfa*(delta-)/(b*n)^2); Ait(2,4)=xx()*b*mu*alfa*t/((b*n)^2) +xx(2)*mu*b/((b*n)^2)+xx(3)*b*mu*alfa*(romu)/((b*n)^2)+xx(4)*b*mu*alfa*(delta-)/((b*n)^2); Ait(2,5)=xx(2)*(-alfa*beta/n)+xx(3)*(alfa/(b*n)); Ait(2,6)=xx(4)/(b*n); 53

54 Ait(2,7)=xx()* -((b*(-lamda-(alfa*(gama-))/b))*alfa*t)/((b*n)^2)+xx(2)*(alfa*b*n- ((b*(-lamda-(alfa*(gama-))/b))*alfa*(mu-ro*beta)))/((b*n)^2)+xx(3)*((-alfa*b*n)- ((b*(-lamda-(alfa*(gama-))/b))*alfa*(ro-mu)))/((b*n)^2)+xx(4)*(lamda+alfa*(delta- )/b)/n^2; Ait(2,8)=xx()*((-alfa*b*n)+((beta+)*alfa*t))/(b*n)^2 +xx(2)*(-b*alfa*(muro*beta))/(n*b)^2 +xx(3)*b*alfa*(ro-mu)/(b*n)^2 +xx(4)*b*alfa*(delta-)/(b*n)^2; Ait(3,)=xx()*((t*gama*n/b)-(-mu*(gama-)/b)*t*m)/n^2+xx(2)*(gama/b*(muro*beta)*n-(-(mu*(gama-)/b)*m*(mu-ro*beta)))/n^2 +xx(3)*((gama*(ro-mu)/b)*n-((- (gama-)*mu/b)*(ro-mu)*m))/n^2+xx(4)*(((gama*n*(delta-)/b)-((-mu*(gama- )/b)*m*(delta-)))/n^2); Ait(3,2)=xx()*((((gama*alfa*t*n)/b^2)-(-(mu*(gama-)/b)*t*m))/n^2)+xx(2)*((- lamda*ro+mu*gama*alfa/(b^2)-(ro*gama*alfa*b+ro*beta*gama*alfa/(b^2)))*n-((- mu*alfa*(gama-)/(b^2))*m*(mu-ro*beta)))/n^2+xx(3)*((gama*alfa/b^2)*(ro- mu)*n+(m*(ro-mu)*mu*alfa*(gama-)/(b^2)))/n^2+xx(4)*(((gama*alfa*(delta- )*n)/b^2)-(-mu*alfa*(gama-)*m*(delta-)))/n^2; Ait(3,3)=xx()*(((t*alfa/b)*n-(-mu*alfa/b)*t*m)/n^2)+xx(2)*(((alfa/b)*n*(mu- ro*beta)-(-(mu*(gama-)/b)*m*(mu-ro*beta)))/n^2)+xx(3)*((alfa*(ro-mu)*n/b)-(- alfa*mu*m*(ro-mu)/b))/n^2+xx(4)*((alfa*(delta-)*n/b)-((-mu*alfa/b)*(delta- )*m))/n^2; Ait(3,4)=xx()*((t*n+m)/n^2)+xx(2)*((mu-ro*beta)*n+(mu*m*(mu- (ro*beta))))/n^2+xx(3)*((ro-mu)*n+mu*(ro-mu)*m)/n^2 +xx(4)*((delta- )*n+mu*m*(delta-))/n^2; Ait(3,5)=xx(2)*(-beta*m)/n+xx(3)*m/n; Ait(3,6)=xx(4)*(m/n) Ait(3,7)=xx()*(-(-lamda-alfa*(gama-)/b)*t*m)/n^2+xx(2)*(m*n-((-lamdaalfa*(gama-)/b)*m*(mu-ro*beta)))/n^2+xx(3)*((-lamda-gama*alfa/b)*n-(-lamdaalfa*(gama-)/b)*m*(ro-mu))/n^2 +xx(4)*(-(-lamda-alfa*(gama-)/b)*m*(delta-))/n^2; Ait(3,8)=xx()*(-(m*n)+t*m)/n^2+xx(2)*(m*(mu-ro*beta)/n^2)+xx(3)*((romu)*m)/n^2+xx(4)*(m*(delta-)/n^2); Ait(4,:5)=0; 54

55 Ait(4,6)=xx(4); Ait(4,7:8)=0; A=[Ai Ait; zeros(8,4) eye(8)]; X_pre=Ai*Xest(:,); Par_pre=Parest(:,); Z_pre=H*X_pre; zz()=z_pre; MR=Z()-Z_pre; P_pre=landa*(A*P*A'+Q); S=R+[H ]*P_pre*[H ]'; K=P_pre*[H ]'*inv(S); ll=[x_pre;par_pre]+k*mr; Xest(,+)=ll(); Xest(2,+)=ll(2); Xest(3,+)=ll(3); Xest(4,+)=ll(4); Parest(,+)=ll(5); Parest(2,+)=ll(6); Parest(3,+)=ll(7); Parest(4,+)=ll(8); Parest(5,+)=ll(9); Parest(6,+)=ll(0); Parest(7,+)=ll(); Parest(8,+)=ll(2); P=(eye(2)-K*[H ])*P_pre; end figure plot(xest(,:),'*') xlabel('milli Gelir tahmin..,gerçe -') hold on 55

56 plot(eoef(:,),'r') figure plot(xest(2,:),'*') xlabel('enflasyon Oranı tahmin..,gerçe -') hold on plot(eoef(:,2),'r') figure plot(xest(3,:),'*') xlabel('faiz oranı tahmin..,gerçe -') hold on plot(eoef(:,3),'r') figure plot(xest(4,:),'*') xlabel('hüümet Harcamaları tahmin..,gerçe -') hold on plot(eoef(:,4),'r') figure plot(parest(,:)) xlabel('alfa') figure plot(parest(2,:)) xlabel('beta') figure plot(parest(3,:)) xlabel('gama') figure plot(parest(4,:)) 56

57 xlabel('lamda') figure plot(parest(5,:)) xlabel('ro') figure plot(parest(6,:)) xlabel('delta') figure plot(parest(7,:)) xlabel('mu') figure plot(parest(8,:)) xlabel('fi') figure hist(zz) res=mean(zz) res=std(zz) %gerçe veri seti clc close all clear all H=[ ]; load gsyh.txt eoef=gsyh Z=eoef(:,); Xest=[20;.7;2;3]; Parest=[.0;.45;.0;.0;.03;.0;-.5;.0]; P0=eye(4)*00; PP0=eye(8)*.00; 57

58 P=[P0 zeros(4,8); zeros(8,4) PP0]; R=.5486^2; QQ=eye()*; S=eye(8)*.00000; landa=; for =:80 xx()=xest(,); xx(2)=xest(2,); xx(3)=xest(3,); xx(4)=xest(4,); alfa=parest(,); beta=parest(2,); gama=parest(3,); lamda=parest(4,); ro=parest(5,); delta=parest(6,); mu=parest(7,); fi=parest(8,); n=-(mu*(lamda+alfa*(gama-)/(-beta))+fi) m=lamda+(gama*alfa/(-beta)); t=(-fi); b=(-beta); B=[(mu*(gama-))/((-beta)*n) mu/n /n 0; (mu*(gama-)*alfa)/(((-beta)^2)*n) (alfa*mu)/(n*(-beta)) alfa/((-beta)*n) 0; (m*(mu*(gama-)+n*gama)/((-beta)*n)) (m/n)*mu+ m/n 0; 0 0 0]; Q=B*QQ*B'; Q=[Q zeros(4,8); zeros(8,4) S]; 58

59 Ai=[t/n (mu-(ro*beta))/n (ro-mu)/n (delta-)/n; alfa*t/(b*n) (alfa*(mu-ro*beta))/ (b*n) (alfa*(ro-mu))/(b*n) (alfa*(delta-))/(b*n); m*(-alfa)/n m*(mu-ro*beta)/n (ro-mu)*m/n (delta-)*m/n; delta]; Ait(,)=xx()*(((mu*(gama-)/b)*t)/n^2)+ xx(2)*((mu*(gama-)/b)*(mu-ro*beta)) /n^2 + xx(3)*(((mu*(gama-)*(ro-mu))/b)/n^2)+xx(4)* (((mu*(gama-)*(delta-))/b)/ n^2); Ait(,2)= xx()*(t*(mu*(gama-)/b))/(n^2)+ xx(2)*(-ro*n-(-mu*alfa*(gama-)/b^2)* (mu-ro*beta))/n^2 +xx(3)*(-(-mu*alfa*(gama-)*(ro-mu))/b^2)/n^2+xx(4)*((-(-mu* alfa* (gama-)/b^2)* (delta-))/n^2); Ait(,3)=xx()*(((mu*alfa/b)*t)/n^2)+xx(2)*(((mu*alfa/b)*(mu-ro*beta))/n^2)+xx(3)* ((mu*alfa/b)*(ro-mu)/n^2)+xx(4)*((mu*alfa/b)*(delta-)/n^2); Ait(,4)=xx()* (mu*t/n^2)+xx(2)*(mu*(mu-ro*beta)/n^2)+xx(3)*(mu*(ro-mu)/n^2)+ xx(4)*(mu*(delta-)/n^2); Ait(,5)=xx(2)*(-beta/n)+xx(3)*(/n); Ait(,6)=xx(4)*(/n); Ait(,7)=xx()*(((lamda+alfa*(gama-)/b)*t)/n^2)+xx(2)*((n-(-lamda-(alfa*(gama- )/b))*(mu-ro*beta))/n^2) + xx(3)*((-n-(-lamda-(alfa*(gama-)/b))*(ro-mu))/n^2) +xx(4)* ((-(-lamda-(alfa*(gama-)/b))*(delta-))/n^2); Ait(,8)= xx()*((-n+t)/n^2)+xx(2)*((mu-ro*beta)/n^2)+xx(3)*((ro-mu)/n^2)+ xx(4) *((delta-) /n^2); Ait(2,)= xx()*((t*b*n-((-mu*(gama-)/b)+(beta*mu*(gama-)/b))*(alfa*t))/(b*n)^2) +xx(2)*(((mu-ro*beta)*n*b + ((b*(mu*(gama-)/b))*alfa*(mu-ro*beta)))/(b*n)^2) 59

60 )*b*n) +(mu*(gama-)*alfa*(delta-)))/(b*n)^2); Ait(2,2)=xx()*(-((-mu*alfa*(gama-)/b^2)-+mu*lamda+(mu*alfa*(gama-)*b-beta *mu*alfa*(gama-))/(b^2)-fi)*alfa*t)/(b*n)^2+xx(2)*(-alfa*ro*b*n)-((-mu*alfa *(gama-)/b^2)- +mu*lamda +(mu*alfa*(gama-)*b-beta*mu*alfa*(gama-))/(b^2)-fi) *alfa*(mu-ro*beta)/(n*b)^2+xx(3)*(-((-mu*alfa*(gama-)/b^2)-+mu*lamda +(mu*alfa*(gama-)*b-beta*mu*alfa*(gama-))/(b^2)-fi)*(alfa*(ro-mu))/(b*n)^2) +xx(4)*(-((-mu*alfa*(gama-)/b^2)-+mu*lamda+(mu*alfa*(gama-)*b-beta*mu *alfa*(gama-))/(b^2)-fi)*alfa*(delta-)/(b*n)^2); Ait(2,3)=xx()*(mu*alfa*(alfa*t)/(b*n)^2)+xx(2)*((mu*alfa*alfa*(mu-ro*beta))/ +xx(3)* (((ro-mu)*b*n)-(b*(-mu*(gama-)/b)*alfa*(ro-mu))/(b*n)^2) +xx(4)*((((delta- (b*n)^2)+xx(3)*(mu*alfa*alfa*(ro-mu)/(b*n)^2)+xx(4)*(mu*alfa*alfa*(delta- )/(b*n)^2); Ait(2,5)=xx(2)*(-alfa*beta/n)+xx(3)*(alfa/(b*n)); Ait(2,6)=xx(4)/(b*n); Ait(2,8)=xx()*((-alfa*b*n)+((beta+)*alfa*t))/(b*n)^2 Ait(2,4)=xx()*b*mu*alfa*t/((b*n)^2) +xx(2)*mu*b/((b*n)^2)+xx(3)*b*mu*alfa*(romu)/((b*n)^2)+xx(4)*b*mu*alfa*(delta-)/((b*n)^2); Ait(2,7)=xx()* -((b*(-lamda-(alfa*(gama-))/b))*alfa*t)/((b*n)^2)+xx(2)*(alfa*b*n- ((b*(-lamda-(alfa*(gama-))/b))*alfa*(mu-ro*beta)))/((b*n)^2)+xx(3)*((-alfa*b*n)- ((b*(-lamda-(alfa*(gama-))/b))*alfa*(ro-mu)))/((b*n)^2)+xx(4)*(lamda+alfa*(delta- )/b)/n^2; +xx(2)*(-b*alfa*(muro*beta))/(n*b)^2 +xx(3)*b*alfa*(ro-mu)/(b*n)^2 +xx(4)*b*alfa*(delta-)/(b*n)^2; Ait(3,)= xx()*((t*gama*n/b)-(-mu*(gama-)/b)*t*m)/n^2 +xx(2)*(gama/b*(muro*beta) *n-(-(mu*(gama-)/b)*m*(mu-ro*beta)))/n^2 + xx(3)*((gama*(ro-mu)/b)*n- 60

61 )/b)*m*(delta-)))/n^2); ((-(gama-)*mu/b)*(ro-mu)*m))/n^2 + xx(4)*(((gama*n*(delta-)/b) - ((-mu*(gama- Ait(3,2)=xx()*((((gama*alfa*t*n)/b^2)-(-(mu*(gama-)/b)*t*m))/n^2)+xx(2)*((- lamda*ro+mu*gama*alfa/(b^2)-(ro*gama*alfa*b+ro*beta*gama*alfa/(b^2)))*n-((- mu*alfa*(gama-)/(b^2))*m*(mu-ro*beta)))/n^2+xx(3)*((gama*alfa/b^2)*(ro- mu)*n+(m*(ro-mu)*mu*alfa*(gama-)/(b^2)))/n^2+xx(4)*(((gama*alfa*(delta- )*n)/b^2)-(-mu*alfa*(gama-)*m*(delta-)))/n^2; Ait(3,3)=xx()*(((t*alfa/b)*n-(-mu*alfa/b)*t*m)/n^2)+xx(2)*(((alfa/b)*n*(mu-ro*beta) -(-(mu*(gama-)/b)*m*(mu-ro*beta)))/n^2) + xx(3)*((alfa*(ro-mu)*n/b)-(-alfa*mu*m *(ro-mu)/b))/n^2+xx(4)*((alfa*(delta-)*n/b)-((-mu*alfa/b)*(delta-)*m))/n^2; Ait(3,4)=xx()*((t*n+m)/n^2) + xx(2)*((mu-ro*beta)*n+ (mu*m*(mu-(ro*beta))))/n^2 +xx(3)*((ro-mu)*n+mu*(ro-mu)*m)/n^2 +xx(4)*((delta-)*n+mu*m*(delta-))/n^2; Ait(3,5)=xx(2)*(-beta*m)/n+xx(3)*m/n; Ait(3,6)=xx(4)*(m/n) Ait(3,7)=xx()*(-(-lamda-alfa*(gama-)/b)*t*m)/n^2+xx(2)*(m*n-((-lamda-alfa *(gama-)/b)*m*(mu-ro*beta)))/n^2 + xx(3)*((-lamda-gama*alfa/b)*n-(-lamdaalfa*(gama-)/b)*m*(ro-mu))/n^2+xx(4)*(-(-lamda-alfa*(gama-)/b)*m*(delta-))/n^2; Ait(3,8)=xx()*(-(m*n)+t*m)/n^2 +xx(2)*(m*(mu-ro*beta)/n^2) +xx(3)*((romu)*m)/n^2 +xx(4)*(m*(delta-)/n^2); Ait(4,:5)=0; Ait(4,6)=xx(4); Ait(4,7:8)=0; A=[Ai Ait; zeros(8,4) eye(8)]; 6

62 X_pre=Ai*Xest(:,); Par_pre=Parest(:,); Z_pre=H*X_pre; zz()=z_pre; MR=Z()-Z_pre; P_pre=landa*(A*P*A'+Q); S=R+[H ]*P_pre*[H ]'; K=P_pre*[H ]'*inv(S); ll=[x_pre;par_pre]+k*mr; Xest(,+)=ll(); Xest(2,+)=ll(2); Xest(3,+)=ll(3); Xest(4,+)=ll(4); Parest(,+)=ll(5); Parest(2,+)=ll(6); Parest(3,+)=ll(7); Parest(4,+)=ll(8); Parest(5,+)=ll(9); Parest(6,+)=ll(0); Parest(7,+)=ll(); Parest(8,+)=ll(2); P=(eye(2)-K*[H ])*P_pre; end figure plot(xest(,:),'*') xlabel( GSYH') hold on plot(eoef(:,),'r') 62

63 figure plot(xest(2,:),'*') xlabel('enflasyon Oranı tahmin ') figure plot(xest(3,:),'*') xlabel('faiz oranı tahmin ') figure plot(xest(4,:),'*') xlabel('hüümet Harcamaları ') figure plot(parest(,:)) xlabel('alfa') figure plot(parest(2,:)) xlabel('beta') figure plot(parest(3,:)) xlabel('gama') figure plot(parest(4,:)) xlabel('lamda') figure plot(parest(5,:)) xlabel('ro') figure plot(parest(6,:)) xlabel('delta') figure 63

64 plot(parest(7,:)) xlabel('mu') figure plot(parest(8,:)) xlabel('fi') figure hist(zz) res=mean(zz) res=std(zz) 64

65 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Ayla ALCAN Doğum Yeri : Winterthur Doğum Tarihi : Medeni Hali : Bear Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : İbrahim Turhan Lisesi ( ) Ön Lisans : Kırıale Üniversitesi Kesin Mesle Yüse Oulu Piyasa Araştırmaları ve Pazarlama Bölümü ( ) Lisans : Kırıale Üniversitesi Fen-Edebiyat Faültesi İstatisti Bölümü ( ) Yüse Lisans : Anara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatisti Anabilim Dalı (Şubat 2005-Mayıs 2008) 65