Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER

Transkript

1 Yr.Doç.Dr.İstem Köyme KESER

2 Güve Aralıkları Ortalama yaa iki ortalama farkı içi biliiyor bilimiyor 30 <30 Z İstatistiği Oralar yaa iki ora farkı içi Varyasları testi Bir varyas içi İki varyas oraı içi Z İstatistiği F İstatistiği t İstatistiği İstatistiği

3 Aakütle Ortalamasıı Güve Aralığı Büyük Öreklere Ortalaması µ ola bir ağılıma gözlemli rassal bir örek çektiğimizi varsayalım. Örek ortalaması ile staart sapmasıı ve S ile gösterelim. Eğer 30 ise, populasyo ortalamasıı %(-α) lık güve aralığı aşağıaki gibiir:

4 Örek: Bir araştırma içi, 06 sağlıklı yetişkii vücut sıcaklıkları icelemiştir. Örek ortalaması 98. erece ve örek staart sapması 0.6 erece olarak bulumuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması içi %95 güve aralığıı buluuz. = 06 x = 98.0 o s = 0.6 o = 0.05 / = 0.05 z / =.96 E = z / = = x - E < < x + E 98.0 o - 0. < < 98.0 o o < < 98.3 o ve 98.3 aralığı, %95 olasılıkla ü gerçek eğerii içerir

5 Aakütle Oraıı Güve Aralıkları (Büyük Öreklem) Başarı oraı п ola hacimli bir aakütlee seçilmiş ola gözlemli rassal bir örekleme başarı oraıı p ile gösterelim. Bu uruma 30 ise aakütle oraı п içi %(-α) lık güve aralığı: şeklieir.

6 Örek: Grip aşısı yaptıra rastgele seçilmiş 400 kişie 36 sı aşı sorası sıkıtı yaşamıştır. Aşı sorası sıkıtı yaşayaları gerçek oraı içi %95 güve aralığıı buluuz. ˆ p z = 400, 36/ (0.34)(0.66) p (0.34)(0.66) p ve 0.39 aralığı, %95 olasılıkla ü gerçek eğerii içerir

7 İki Aakütle Oraı Arasıaki Fark İçi Güve Aralıkları (Büyük Öreklere) Başarı oraı ola bir aakütlee seçilmiş gözlemli bir örekleme gözlee başarı oraı ile, başarı oraı ola bir aakütlee rassal seçilmiş gözlemli bir örekleme gözlee başarı oraı ile gösterilsi. Olmak üzere

8 Bu uruma örekler büyükse İki aakütle oraı arasıaki fark içi %(-α) lık güve aralığı aşağıaki biçimeir.

9 Örek: So sııf kız ve erkek muhasebe öğrecilerie bağımsız rassal örekler seçilmiştir. 0 erkekte 07 si o yıl sora tam zamalı olarak çalışmayı beklemekteir. 4 kız öğrecie e 73 ü ayı bekletieir. İki aakütle oraları arasıaki fark içi %95 güve aralığıı oluşturuuz. (ewbol, sf. 345)

10 Örek: Üiversiteleri pazarlama erslerie müşteri estekli projeler (MDP) araştırmasıa, MDP kullaa öğretim üyelerie MDP ler öğretim üyesi içi zama alıcıır tümcesi verilmiştir. Vakıf üiversitelerie seçile 9 MDP kullaıcısıa oluşa rassal bir örekte 49 kişi bu görüşe katılmıştır. Devlet üiversitelerie seçile 86 MDP kullaıcısıa 36 kişi bu görüşe katılmıştır. İki aakütle oraı arasıaki fark içi %90 lık güve aralığıı oluşturuuz.(newbol sf. 344)

11 İki Aakütle Ortalaması Arasıaki Fark İçi Güve Aralıkları (Populasyo Varyasları Biliiyor veya Öreklemler Büyük) Ortalamaları ile varyasları ile ola ormal ağılımlara ve gözlemli bağımsız rassal örekler seçilmiş olsu. Örek ortalamaları ve ise, iki aakütle ortalaması arasıaki fark içi %(-α) lık güve aralığı aşağıaki gibiir:

12 Örek hacimleri 30 ise populasyo varyasları yerie örek varyasları koyulabilir ve iki ortalama arasıaki fark içi güve aralığı aşağıaki biçime olur:

13 Örek: Sigara içe 96 kişilik bir rassal örekleme kısa süreli iş evamsızlığıı ortalaması aya.5 saat, staart sapması aya.09 saattir. Hayatıa hiç sigara içmemiş 06 kişilik bağımsız bir örekte ise ortalama evamsızlık.69 saat, staart sapma aya.9 saattir. İki aakütle ortalaması arasıaki fark içi %99 güve aralığıı buluuz ve yorumlayıız.(newbol sf.337)

14 Populasyou Varyası X Bilimeiğie ve < 30 Oluğua Ortalama İçi Güve Aralığı Varsayımlar: POPULASYONUN staart sapması bilimiyor Populasyo Normal ağılımlıır. Populasyou ormal ağılış göstermesi şartıyla X - şeklie hesaplaa t = S test istatistiği - serbestlik ereceli t ağılışı gösterir. Populasyo ortalaması içi güve aralığı aşağıaki biçimeir. P x t * S x t * S, x, x

15 Stuet t Dağılımı *t ağılışı, ormal ağılış gibi simetrik bir ağılıştır. Bu ağılış ilk olarak 908 yılıa W.S.Gosset tarafıa örekleme eemeleri soua bulumuştur. Gosset yayılarıa Stuet takma ismii kullaığı içi buluğu t ağılışı Stuet t ağılışı olarak bilimekteir. Bu ağılışta kısaca t ağılışı olarak bahseilecektir. *t ağılışı, ormal ağılış gibi simetrik bir ağılıştır. Ortalaması 0 olup ormal ağılışta aha yaygı bir şekil göstermekteir. t ağılışıı bir tek parametresi varır ve bu parametre serbestlik erecesi olarak isimleirilir. S i hesaplamasıa kullaıla (-), S i serbestlik erecesi olup t i ağılışıı belirler.

16 Stuet t Dağılımı t ağılışı içi z cetveli yerie, çeşitli örek büyüklükleri ve olasılık seviyeleri içi ayrı ayrı hesaplamış t cetvelleri kullaılır. 6

17 Ça şekilli simetrik, Tombul kuyruklar Staart Normal t (s = 3) t (s = 5) 0 z t 7

18 Stuet ı t Tablosu Üst kuyruk alaı s = 3 s = - = =.0 / =.05 Olsu: t eğerleri 0.90 t 8

19 Örek: Çeşitli kazalara karışa A marka otomobili oarım gierlerii ortalaması $6,7 ve staart sapması $5,873 tutmuştur. Gierleri ağılışıı ormal oluğu varsayımı altıa, tüm kazalara karışa A ları gerçek ortalama oarım gierleri içi %95 güve aralığıı buluuz. x = 6,7 s = 5,873 = 0.05 / = 0.05 t / =.0 E = t s = (.0)(5,873) = 0,085.3 x - E < µ < x + E 6,7-0,085.3 < µ < 6,7 + 0,085.3 $6,4.7 < µ < $36,3.3 Bu aralığı bir A ı ortalama oarım gierii içeriğie %95 emiiz.

20 ÖRNEK: Varyası bilimeye ormal ağılmış bir populasyou bilmeiğimiz ortalaması hakkıa %99 güve katsayısı ile bir aralık oluşturmak isteyelim. Bu aakütlee 9 birimlik bir örek alııyor ve aşağıaki eğerler ele eiliyor. 5, 8.5,, 5, 7, 9, 7.5, 6.5, 0.5 %99 güve aralığıı oluşturuuz. =9 x x 9 S x x x x 805 9(9) 8 3,08 P( 9-3,355*(3,08)/3<µ<9+3,355*(3,08)/3)=0.99

21 İKİ ANAKÜTLE ORTALAMASINA İLİŞKİN HİPOTEZ TESTLERİ Normal Dağılım Örek Hacimleri Küçük Bağımsız ve İlişkili Populasyolar. Farklı veri kayakları İlişkisiz Bağımsız. İki örek ortalaması arasıaki farkı kullaılması Bağımsız X X İlişkili. Ayı veri kayağı Eşleştirilmiş Tekrarlı ölçümler. Her gözlem çifti arasıaki farkı kullaılması D = X - X

22 ( - ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ Populasyoları ormal ağılım göstermesi ve s t Şeklie populasyo varyaslarıı eşit oluğu varsayımı altıa ( ) s ( ) s ( X X ) ( ) ( X X ) s X X Şeklieki istatistik t ağılımı gösterir. Olmak üzere s

23 Ortalamaları ve, varyasları ayı ola iki ormal ağılıma ve gözlemli bağımsız örekler seçtiğimizi varsayalım. Örek ortalamaları varyasları sırasıyla olmak üzere iki populasyo ortalaması arasıaki fark içi %(-α) lık güve aralığı aşağıaki biçimeir:

24 Örek Pıar Et içi çalışa bir fiasal aalistsiiz. İki ayrı kesimhaei üretim kayıtlarıyla ilgili aşağıaki verileri toplaıız: fab fab 3 Ortalama St Sapma.30.6 Populasyoları ormal ağılım gösteriği ve eşit varyas varsayımı altıa, iki ortalama arasıaki fark içi (- = 0.95) güve aralığıı oluşturuuz T/Maker Co. 4

25 fab fab 5 Ortalama St Sapma.30.6 s Test İstatistiğii Hesaplaması ( ) s ( ) s 5

26 Belli bir kuş cisie erkek ve işi ağırlıklarıı eşit olup olmaığı araştırılmaktaır. Aşağıaki verilere göre iki ortalama arasıaki fark içi %95 güve aralığıı oluşturuuz. Populasyo ormal ağılımlı ve populasyo varyaslarıı eşitliği varsayımı bulumaktaır. Örek hacmi() ortalama( x ) varyas( S ) Erkek Dişi P( S S x -x = (x = S ( - x ) - t ( -)S, + ) + ( -)S + - s x -x < - < (x S X S _ X - x ) + t,- s 60.38( 0 x -x ) 9 9(55.) 8(66.) 0 9 ) =

27 (3.57) 8.5) (90.8.(3.57) 8.5) (90.80 ) ( ) ( 7,537 9,8,, P P s t x x s t x x P x x x x

28 -Eşleştirilmiş Örek t Testi. İki ilişkili populasyou ortalamasıı test eer. Çift ya a eşleştirilmiş Tekrarlı gözlemler (öce/sora). Neseler arasıaki varyasyou ortaa kalırır. 3. Varsayımları İki populasyo a ormal ağılımlıır. 8

29 İki eğişke arasıaki fark eğişkei ile gösterilmek üzere S S S i t h D S Şeklieki t istatistiği (-) serbestlik ereceli t ağılımı göstermek üzere iki ortalama arasıaki fark içi güve aralığı aşağıaki biçimeir.

30 İki komisyocuu ayı evlere farklı fiyatlar veriği iia eilmekteir. İiayı test etmek içi ev seçilmiş ve komisyoculara bu evlere 000$ bazıa fiyat vermeleri istemiştir. Ele eile souçlar aşağıaki gibiir.iki komisyocuu ayı evlere veriği fiyatları ortalaması arasıaki fark içi %95 lik güve aralığıı oluşturuuz. Komisyocular Eşleştirilmiş Örek t Testi Evler A B Toplam

31 Eşleştirilmiş Örek t Testi i 0,67 S ( ) 40, 3.6 S S v s.. 3

32 Örek: İki ayrı TV program kuşağıa 0 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 4 saat sora, iki ayrı kuşaktaki reklamlara hatırlama ieksleri ele eilmiştir. Ürü Sabah Akşam i Kuşağı Kuşağı , , , ,089 Toplam 0 4,0 i İki ayrı kuşakta izlee reklamları hatırlaması ieksleri karşılaştırılığıa sabah kuşağıı hatırlaması ieksii aha yüksek olup olmaığıı %95 güve aralığıa göre yorumlayıız.

33 S D t 0, 0 0 i, ,0 S S S 0 3,98 0,088 S S

34 Örek: İki ayrı TV program kuşağıa 0 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 4 saat sora, iki ayrı kuşaktaki reklamlara hatırlama ieksleri ele eilmiştir. Ürü Sabah Akşam i i Kuşağı Kuşağı , , , ,089 Toplam 0 4,0 İki ayrı kuşakta izlee reklamları hatırlaması iekslerii ortalamaları arasıaki fark içi %90 güve aralığıı oluşturuuz.