8. SINIFLAR İÇİN MATEMATİK DERSİ STRATEJİ KİTABI

Transkript

1 8. SINIFLAR İÇİN MATEMATİK DERSİ STRATEJİ KİTABI

2 ÖNSÖZ Elinizdeki kitap kazanım temelli olarak hazırlanmış olup 6 bölümden oluşmaktadır. Her bölümde, konu başlığının altında önce ilgili kazanım verilir. Sonra kazanımla ilgili açıklama yapılır. Bu açıklamada; bu kazanım neyi ifade eder, kapsamı nedir, sorulan sorular nasıldır ve çözümlerinde nelere dikkat edilmeli gibi konulara yer verilir. Bu, sınavlarda çıkan soruları yakından tanımanızı sağlar. Böylelikle sınavda bu soru tiplerine ait sorular gördüğünüzde, soruların çözümünü nasıl yapacağınız hemen zihninizde canlanır. Kazanımla ilgili listelenen soru kökleri size sorunun genel olarak nasıl ifade edildiği ile bilgi verir. Bu da sınavda soru ile karşılaştığınızda soruyu rahatlıkla tanımanızı sağlar. Eğer kazanım, soru tiplerine ayrılmışsa her bir soru tipinde kaç sorunun sorulduğunun da detayı verilmektedir. Böylelikle sınavlarda hangi konulara daha fazla ağırlık verildiğini görür ve önemli konulara daha fazla zaman ayırabilirsiniz. Tüm bunların ardından verilen kazanıma ait soru tipleri başlıklar hâlinde tek tek tanıtılır. Her başlığın altında bizim kazanımla ilgili hazırladığımız bir örnek soru verilir. Ardından bu soru ile ilgili Çözüm yapılır. Çözüm bölümünde eğer gerekliyse önce konu ile ilgili bilgiler verilir. Daha sonra sorunun çözümü ile ilgili taktik geliştirilir ve bu taktik basamak basamak anlatılır. Soru ve Çözüm bölümlerini dikkatle incelerseniz, Matematik sınavlarında karşınıza çıkacak benzer sorularda nasıl bir yol izlemeniz gerektiği ile ilgili kolayca strateji geliştirebilirsiniz. Tüm bunların ardından her bölümün sonunda, öğrendiklerinizle ilgili uygulama yapmanızı sağlayacak sınav sorularına benzer ve özenle hazırlanmış testler bulacaksınız. Her konunun arkasına kazanımları pekiştirmek için Hedef Anlama Testi ( HAT SORULAR) ve akabinde sınavlarda çıkma ihtimali daha yüksek olan soru kısmı (NOKTA SORULAR) verilmiştir. Zor sorularla uğraşmayı seven öğrenciler içinde (ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL) konu anlatımının en son kısmına -4 tane soru eklenmiştir.. Bu kitap alelade bir soru bankası ya da konu anlatımı değil. Bugüne kadar yapılmış olan sınavlarının tamamı analiz edilerek hazırlanmış bir strateji kitabı. Yani kitap çıkmış veya çıkabilecek soru tipleri üzerine kurulu. Böylelikle gereksiz soru tipleri veya müfredatta yer almayan konularla uğraşmayacaksınız!. Her kazanımı ayrı ayrı ve kendi üslubunda ele alan bir kitap.. Matematik zor bir ders, çalışmakla başarılamıyor! Temel lazım! anlayışını yıkan, öğrencinin bilgiyi yapılandırmasını ve kendi öğrenmelerini kontrol edebilmesini sağlayan, Matematik sorularına nasıl yaklaşılması gerektiğini gösteren bir kitap. 4. Test tekniğinde dikkat edilmesi gereken hususları gösteren bir kitap. Bu kitabın ülkemizin geleceği, siz değerli öğrencilerimize faydalı olmasını diliyor; Sınavlarda, eğitim hayatınız boyunca gireceğiniz tüm sınavlarda ve hayatta başarılı olmanızı gönülden istiyoruz. Matematik Öğretmeni

3 ÇARPANLAR VE KATLAR Kazanım : Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. Örneğin: 88= 5. Kazanım : Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. Kazanım : İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar; ilgili problemleri çözer. Bu konuda sayıların çarpanlarını (bölenlerini) ve katlarını öğreneceğiz. Asal sayıları ve aralarında asal sayıları ve bir sayının asal çarpanlarını anlayacağız. A. Doğal Sayıların Çarpanları Bulalım Öncelikle aşağıdaki örneği inceleyerek doğal sayıların çarpanlarını bulmayı öğrenelim. Öğretmen öğrencilerden herhangi iki sayıyı çarptığında sayısını elde etmelerini istiyor. Fikret 6x Nazan 4x Semih x Öğrencilerden Fikret, Nazan ve Semih yukarıdaki cevapları veriyorlar. Burada bütün öğrenciler doğru cevap vererek nin çarpanlarını bulmuşlardır. nin çarpanları;,,, 4, 6, olur. Aynı zamanda yukarıdaki sayılar yi kalansız bölerler. Örnek: 6 nın çarpanlarını bulalım. 6,,,6 olur. Aynı zamanda bu çarpanlar 6 sayısını tam bölerler. Demek ki herhangi bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölerler. Eğer kalanlı bölmüş ise o sayının çarpanı olamaz. Örnek: 0 sayısının çarpanlarını bulalım. 0,,4,5,0,0 olmak üzere 6 adet çarpanı ya da böleni vardır. Aynı zamanda sayısı bütün doğal sayıların çarpanıdır. Şimdi de 6, ve 0 sayısının çarpanlarından bir çarpan ağacı oluşturalım.

4 6 6=. 0,,, 5, 6, 0, 5, 0 4 ile 0 sayılarının ortak bölenleri;,,, 6 sayıları olmak üzere dört tanedir. 4 = sayısının çarpanlarını bulunuz ve çarpan ağacını çiziniz. Veya =.5 Yukarıda görüldüğü üzere, ağaç gibi dallara ayrıldığı için adına çarpan ağacı diyoruz. 5 ile 7 sayısının ortak bölenlerini bulunuz. (Cevap: ve ) 8 sayısının tam bölenlerini bulalım. Çarpanlarını bulmak demek aynı zamanda bölenlerini bulmak demektir ,,, 6, 9, 8 toplam 6 adet böleni ya da çarpanı vardır denir. Örnek: 4 ile 0 sayılarının ortak çarpanlarını(bölenlerini) bulalım. 4,,, 4, 6, 8,, 4 B.Asal Sayıları Ve Asal Çarpanları Öğrenelim. Asal sayılar: ve kendisinden başka bir sayıya bölünmeyen sayılara denir.,, 5, 7,,,7,9,,9,,7,4, 47, gibi En küçük asal sayı dir. Aynı zamanda çift sayıdır. den başka hem asal olup hem çift olan başka sayı yoktur. 0 asal sayı değildir. Çünkü Hem ye hem de 5 bölünür.

5 Örnek:, 8, 44, 59, 6, 86, 97 verilen doğal sayılardan hangileri asal ve hangileri asal sayı değildir? Asal sayı olmayanlar: 8, 44, 6, 86 Asal sayı olanlar:, 59, 97. Şimdi de herhangi bir doğal sayının asal çarpanlarını bulalım. 5 sayısının asal çarpanlarını bulalım. Önce 5 in çarpanlarını bulalım. 5,, 5, 5 Bu sayılar içinden asal çarpanları bulalım. Asal çarpanları ve 5 olur. 6 nın asal çarpanlarını(bölenlerini) bulalım. 6,,, 4, 6, 9,, 8, 6 olur. O zaman ve asal çarpanlardır. 6 sayısını asal çarpanlarına ayıralım (buna çarpan algoritması da denir) =. Örnekte görüldüğü gibi ve sayıları asal çarpanlardır. 48 sayısının asal çarpanlarını bulalım =. 6 Asal çarpanları = ile 90 sayısının asal çarpanlarını bulunuz = O halde asal çarpanları, ve 5 olur. 75 sayısını asal çarpanlarını bulunuz = O halde asal çarpanları ve 5 olur. Aralarında Asal Sayıları Öğrenelim Aralarında asal olan sayıların den başka ortak böleni yoktur. Aynı zamanda bu sayılar ayrı ayrı asal olmayan sayılardan da oluşabilir. Nasıl mı? Örneği inceleyelim. Örnek: ile 5 sayıları aralarında asal sayılar mıdır? nin bölenleri=,,, 4, 6,

6 5 in bölenleri=, 5, 5 Görüldüğü gibi den başka ortak bölenleri yoktur. 8 ile 5 sayılarının aralarında asal olup olmadığını gösteriniz. O halde ile 5 aralarında asaldır. Örnek: 7 ile sayıları aralarında asal mıdır? 7 nin bölenleri=,, 9, 7 nin bölenleri=,, 4, 8, 6, den başka ortak bölenleri olmadığı için 7 ile aralarında asaldır. 0 ile 0 arasındaki doğal sayılardan kaç tanesi 4 sayısı ile aralarında asaldır? (Cevap: 4) Örnek: ile 8 sayıları aralarında asal mıdır? nin bölenleri=,,, 4, 6, 8 in bölenleri=,,, 6, 9, 8 ve 8 in yukarıda görüldüğü gibi den başka ortak böleni (,, 6) olduğu için bu iki sayı aralarında asal değildir. Örnek: 5 ile 48 sayıları aralarında asal mıdır? 5 in bölenleri=, 5, 7, 5 48 in bölenleri=,,, 4, 6, 8,, 6, 4 ve 48 den başka ortak böleni olmadığı için 5 ile 48 aralarında asaldır. C.En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Bakkal Erdal 0 ve 5 kg lık iki ayrı torbada olan şekerleri, eşit miktarlarda poşetlere koymak istiyor. Hiç şeker artmayacağına göre Bakkal Erdal ın en az kaç poşet kullanması gerekir? Bu soruyu çözmemiz için 0 ile 5 sayılarını bölen en büyük sayıyı bulmamız lazım? 0 nun bölenleri=,, 5, 0 5 in bölenleri=,, 5, 5 Ortak bölenleri ve 5 En büyük ortak böleni ise 5 olur.

7 0 kg şeker için; 0:5= adet poşet 5 kg şeker için; 5:5= adet poşet En az +=5 adet poşet lazım. Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi soruyu çözmek için en büyük ortak böleni (ebob) bulduktan sonra soru çözümünü gerçekleştirdik. Ebob(8,4) =.=6 olur. Örnek: 6 ile 40 sayılarının ebob unu bulalım Ortak bölenler Ebob=..=8 olur. Örnek: ile 0 sayılarının en büyük ortak bölenini (ebob) bulalım. nin bölenleri=,,, 4, 6, 0 nin bölenleri=,, 4, 5, 0, 0 Ortak bölenler=,, 4 En büyük ortak bölen (ebob)= 4 olur. Örnek: 8 ile 4 sayılarının ebob unu bulalım. 8 in bölenleri=,,, 6, 9, 8 4 ün bölenleri=,,, 4, 6, 8,, 4 Ortak bölenler=,,, 6 Ebob = 6 olur. Yukarıdaki soruları farklı bir yoldan daha çözelim. 8 4 (her iki sayıyı da böler) (her iki sayıyı da böler) Görüldüğü gibi ve sayıları ortak bölen. Örnek: 6 ile 60 sayılarının ebob unu bulalım Ebob =..= olur. Örnek: 7 litre ve 45 litrelik ayrı iki kapta bulunan zeytinyağları eşit miktarlarda şişelere konacaktır. Bu işlem için en az kaç adet şişeye ihtiyaç vardır? Ebob =.=9 olur.

8 7 9 = şişe 45 9=5 şişe Toplam +5=8 tane şişe lazım. Örnek: Kenar uzunlukları 4 metre ve 5 metre olan dikdörtgen biçimindeki bahçenin etrafında eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç adet ağaca ihtiyaç vardır? 45 kg ve 60 kg lık iki ayrı kaptaki yiyecek, eşit miktarlarda başka kaplara konulacaktır. Bu işlem için en az kaç adet kaba ihtiyaç vardır? (Cevap:7) Ebob = 7 olur. 5 7=5 5 Kenar uzunlukları cm ve 8 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaca ihtiyacımız vardır? (cevap:0) 4 7= İki kenar için=5+=7 D. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Diğer iki kenar için de 7 adet lazım. Toplam da 7+7=4 tane ağaç lazım olur. Selim Usta bahçesindeki narlardan çıkardığı nar suyunu 6 litrelik veya 9 litrelik bidonlara koyduğu zaman hiç nar suyu artmamaktadır. Selim Usta, bahçesinden en az kaç litre nar suyu elde etmiş olabilir. Toplam nar suyu miktarının hem 6 ya hem de 9 a tam bölünmesi lazım. O halde; 6 ile 8 sayılarının ebob unu bulunuz. (Cevap:4) 6 nın katları; 6,, 8, 4, 0, 6, 4, 48, 54, 9 un katları;

9 9, 8, 7, 6, 45, 54, Yukarıda görüldüğü gibi, hem 6 nın hem de 9 un en küçük ortak katı (ekok) 8 olur. Ekok(6,9)=8 O zaman Selim Ustanın en az 8 litre nar suyu mevcuttur. Örnek: 4 ile 4 sayılarının en küçük ortak katını (ekok) bulalım. 4 ün katları; 4, 8,, 6, 0, 4, 8,, 6, 40 4 ün katları; Örnek: Sütçü Lütfi sütlerini 9 litrelik ve 6 litrelik kaplara koyduğu zaman hiç süt artmamaktadır. Buna göre Lütfi nin en az kaç litre sütü vardır? Ekok(9,6)=...=44 Lütfi nin en az 44 litre sütü vardır. Örnek: 4, 8, 4, 56, O halde 4 ile 4 ün en küçük ortak katı 8 olur. Ekok(4,4)=8 Örnek: 8 ile 8 sayılarının ekok unu bulalım. 8 in katları; 8, 6, 4,, 40, 48, 56, 64, 7, 80, 8 in katları; 8, 6, 54, 7, 90, O halde Ekok(8,8)= 7 olur. Örnek: 8 ile 8 in ekok unu bulalım Ekok(8,8)=...=7 Cavit bilyelerini 5 erli ve şerli sayınca hiç bilyesi artmamaktadır. Cavit in bilye sayısı üç basamaklı olduğuna göre en az kaç bilyesi vardır Ekok(5, )=...5= 60 olur. Ama bilye sayısı en az üç basamaklı bir sayı diyor. 60 sayısı iki basamaklı bir sayı.o halde 60 a bir 60 daha ekleyeceğiz =0 En az 0 bilyesi vardır.

10 Örnek: Naciye kalemlerini 8 erli ve 0 arlı sayınca her seferinde 5 bilyesi artıyor. Buna göre Naciye nin en az kaç bilyesi vardır? Ekok(8,0)=...5=40 olur. Ama soruda 5 bilyesi artıyor diyor. O halde 40 sayısına 5 sayısını ekleyeceğiz. 40+5=45 bilyesi olur. Örnek: Büşra Hanım, Zeynep e 4 saatte bir, Yusuf a ise 5 saatte bir ilaç vermektedir. İlk ilaçlarını birlikte içtiklerine göre kaç saat sonra yine birlikte ilaç içerler? Ekok(4,5)=..5=0 saat sonra birlikte içerler. EBOB VE EKOK ÖZELLİKLERİ ) Aralarında asal sayıların ebob u her zaman e eşittir. 8 ile 5 aralarında asaldır. Bu iki sayının ebob u olur. ) Aralarında asal sayıların ekok u bu iki sayının çarpımına eşittir. 8 ile 5 aralarında asaldır. Ekok u = 8.5=0 olur. ) İki sayının ebob u ile ekok unun çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir. x ile y iki sayı olmak üzere; ( ) ( ) ebob x,y.ekok x,y = x.y EBOB soruları genelde şöyledir; ) Bidonlarda, HAT SORULAR varillerde, şişelerde, kaplarda bulunan malzemeler, sıvılar başka kaplara aktarılıyorsa. ) Tarlanın etrafına eşit aralıklarla kaç ağaç dikilir diyorsa. ) İnsanlardan oluşan bir grup için kaç uçak, otobüs, araba ve odalar gerekir diyorsa. 4) Dikdörtgen odanın içine kaç adet kare fayans döşenmesini istiyorsa. 5) Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde etmek diyorsa. EKOK soruları genelde şöyledir; ) Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa. ) Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa veya kaç gün sonra, kaç yıl sonra karşılaşırlar diyorsa. ) Sınıfta öğrenciler sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa. 4) Saat sorularında bir daha ne zaman birlikte çalarlar diyorsa. 5) Küçük kare fayanslarla dikdörtgen bir odanın zemini döşeniyorsa.

11 HAT SORULAR ) 4 sayısının çarpanlarından oluşan küme aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? [ ] [ ] [ ] [ ] A),,,4,6,4 B),,,4,5,6,7,,4 C),,,6,7,4,,4 D),,6,7,4,,4 5) 7 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali için aşağıdaki verilen ifadelerden hangisi doğrudur? A). B). 4 C) 6) A 8. 4 D). B ) Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A)4 B) C)7 D)49 ) Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır? A) 4 ile 6 B) 9 ile C) 7 ile D) 0 ile 7 Yukarıda verilen çarpan ağacına göre A ifadesi aşağıdakilerden hangisine B eşittir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 7) A B A C D E Yukarıda A ve B sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali verilmiştir. Buna göre B-A=? A) 0 B) 9 C) 5 D) 4) Aşağıda verilen sayılardan hangisinin bölenlerinden bazıları,,, 5, 6 sayıları olamaz? A) 0 B) 40 C) 90 D) 50 8) 8 ile 7 sayılarının ortak bölenlerinin tamamı aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? A),, 9, 8 B), 6, 9 C),, 9 D), 9, 8

12 9) Aşağıda verilen sayılardan hangisi 0 ile 4 nin ortak bölenlerinden en büyük olanıdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 4) Kadriye Hanım evinde bulunan mandalları ayrı ayrı 6 şar ve 5 er sayınca hiç mandalı artmamaktadır. Buna göre Kadriye Hanım ın en az kaç adet mandalı vardır? A) 5 B) 0 C)45 D) 60 x y z 0)..5 = 60 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali verilmiştir. Buna göre x+y+z=? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 5) x ve y iki farklı sayı olmak üzere ebob(x,y)=7 ve ekok(x,y)=0 olduğuna göre x.y işleminin sonucu kaça eşittir? 0 A) 7 B) 7 C) 5 D) 70 ) ile 5 sayılarının ebob u kaça eşittir? A) 7 B)9 C) 4 D) ) Haydar kg ve 0 kg lık ayrı torbalardaki şekeri eşit miktarlarda paketlemek istiyor. Bunu yapabilmesi için en az kaç adet pakete ihtiyacı vardır? 6) Ekok(a,0)=60 olduğuna göre a sayısının alabileceği en küçük doğal sayı kaça eşittir? A) 4 B) 6 C) 0 D) 60 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 7) Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangisinin ebob u e eşittir? A) 0 ile 4 ) 9 ile sayılarının ekok u kaça eşittir? A) 4 B) 6 C) 6 D) 84 B) 5 ile 48 C) 70 ile 80 D) 4 ile 49

13 8) İki ayrı okuldan birinin zili 8 dakikada bir, diğer okulun zili ise 5 dakikada bir çalmaktadır. İlk zil aynı anda çaldığına göre kaç saat sonra tekrardan birlikte çalarlar? A) B) C) 60 C) 0 NOKTA SORULAR ) 54 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? A). B) C).. D). 7 9) Sırasıyla 7 ye ve 0 a bölününce kalanını veren en küçük sayı kaça eşittir? A) 4 B) 56 C) 67 D) 7 ) Bir sınıftaki öğrenciler erli ve 8 erli oturunca öğrenci ayakta kalmaktadır. Bu sınıf mevcudu en az kaç kişidir? A) 4 B) 4 C) 8 D) 6 ) Aşağıda verilen doğal sayılardan hangisi aralarında asal değildir? A) 4 ile 5 B) 5 ile C) ile D) 6 ile 7 0) Asal çarpanları m. n olan bir sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 8 C) D) 44 4) 40 ile 60 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0

14 5) 5cm 7cm Kenar uzunlukları 5 cm ve 7 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir arazinin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç adet ağaç gereklidir? A) 8 B) 0 C) 4 D) 0 6) 9 ile iki basamaklı a sayısı aralarında asal olduğuna göre a yerine aşağıdakilerden hangi sayı gelemez? 9) K ve L iki farklı sayı olmak üzere aşağıda çarpanlarına ayrılmış halleri verilmiştir. K L K M N P R P 5 Buna göre K sayısı L sayısından kaç fazladır? A) 5 B) 6 C) D) 0 0) A) B) C) D) 4 7) ile 7 sayılarının ekok u aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? A) 40 B) 84 C) 44 D) 56 Timuçin sepetindeki yumurtaları 6 şar ve 4 erli saydığında hiç yumurtası artmamaktadır. Sepette 00 den fazla yumurta olduğuna göre en az kaç adet yumurta vardır? A) 6 B) 0 C) 6 D) 0 8) Bir ortaokulun 6. sınıfında 54 öğrenci, 7. sınıfında 7 öğrenci vardır. Bu okulda her sınıfta öğrenci sayısı birbirine eşit olacağına göre bir sınıfta en çok kaç öğrenci olabilir? A) 9 B) 6 C) 8 D) ) Aşağıdaki sayı çiftlerinde hangisinin ebob u e eşittir? A) 40 ile 50 B) 5 ile 55 C) 7 ile 4 D) ile

15 ) Aşağıda verilen çarpan ağacına göre; B A C 6) İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının farkı kaça eşittir? A) 79 B)86 C) 84 D) A sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 80 B) 0 C) 50 D) 0 ) Aşağıdakilerden hangisi 8 ile 45 in ortak çarpanlarından değildir? A) B) C) 6 D) 9 4) Tabanının kenar uzunlukları 7 dm ve 9 dm olan bir odanın tabanı en büyük alanlı kare şeklindeki fayanslarla döşenecektir. 7 Cemal eylül ayı içerisinde asal sayıya denk gelen günlerde 6 lira harçlık almaktadır. Buna göre eylül ayı içerisinde Cemal, toplam kaç lira harçlık alır? A) 48 B) 54 C) 60 D) 66 8) 6 ya ve 9 a kalansız bölünen 50 ile 00 arasında bulunan toplam kaç adet doğal sayı vardır? A) B) 4 C) 5 D) 6 Buna göre en az kaç adet fayansa ihtiyaç vardır? A) 7 B) 84 C) 56 D) 5) Kenar uzunluğu 0 cm ve 00 cm olan dikdörtgen parkeler ile kare şeklindeki bir alanın tabanı döşenecektir. Buna göre en az kaç adet dikdörtgen parkeye ihtiyaç vardır? A) 0 B) 0 C) 60 D) 90 9) Bir hastanede Doktor Cevat 9 günde bir, Doktor Hurşit ise günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetlerini birlikte tuttuklarına göre, kaç gün sonra yine birlikte nöbet tutarlar? A) 8 B) 6 C) 4 D) 48

16 0) Ekok u 45 ve ebob u olan iki sayıdan biri 5 ise diğer sayı kaçtır? A) 9 B) 5 C) 8 D) 7 ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) Bir kasadaki elmalar 0 arlı, 40 arlı sayılınca her seferinde 5 elma artmaktadır. Kasada 600 den fazla elma olduğu bilindiğine göre bu kasada en az kaç elma vardır? A) 600 B) 605 C) 65 D) 75 CAHİT ARF (90-997) Ülkemizde matematiğin simgesi haline gelen Cahit ARF 90 yılında Selanik'te doğdu. 9 yılında Galatasaray Lisesi'nde matematik öğretmenliği, 9 yılında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde profesör yardımcısı (Doçent adayı) olmuştur. Doktorasını 98 yılında Almanya'da Clölting Üniversitesi'nde tamamladı. Daha sonra İstanbul Üniversitesi'ne dönen ARF. 94'de profesör. 955'de Ordinaryüs Profesör oldu. ) Kenar uzunlukları 6 ve 8 cm olan dikdörtgen levhalar hiç artmayacak şekilde kullanılarak kare levha elde edilecektir. Buna göre aşağıda sayısı verilen dikdörtgen levhalardan hangisi ile kare levha oluşturulamaz? A) B) 48 C) 44 D) 9 98 yılından beri Cahit ARF cebir, sayılar teorisi, elastisite teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çok çeşitli alanlarda yaptığı çalışmalarla matematiğe temel katkılarda bulunmuş, yapısal ve kalıcı sonuçlar elde etmiştir. Bütün Türk matematikçilerine dolaylı veya dolaysız bir şekilde esin kaynağı olmuş, yaptığı uyarılar ve verdiği fikirlerle çevresindeki tüm matematikçilerin ufuklarını genişletmiş ve çalışmalarını yeni bir bakış açısıyla yönlendirmelerini saklamıştır. ) Eni 6 m ve yüksekliği 8 m olan dikdörtgen bir pano eşit alanlı karelere ayrılıyor. Bu karelerin her bir köşesine birer yıldız koyuluyor. Buna göre en az kaç adet yıldıza ihtiyaç olur? A) 0 B) C) 5 D) 0

17 ÜSLÜ İFADELER Kazanım : Tamsayıların, tam kuvvetini hesaplar, üslü ifade şeklinde yazar. TEOG da Çıkan Soru Sayısı= 7 Kazanım : Sayıların ondalık gösterimlerini 0 un tamsayı kuvvetlerini kullanarak çözümler. TEOG da Çıkan Soru Sayısı= 4 Kazanım : Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlar, birbirine denk ifadeler oluşturur. TEOG da Çıkan Soru Sayısı= 4 Açıklama: Ele alınması beklenen kurallar. n m n+m -n n a.a = a ; = a ; a = n -n a a n a m n-m n n.m 0 m = a ; ( a ) = a ; a = a k k k ( a.b ) = a.b ; =, ( b 0) k a b Kazanım 4: Sayıların 0 un farklı tamsayı kuvvetlerini kullanarak ifade eder. TEOG da Çıkan Soru Sayısı= Kazanım 5: Çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel gösterimle ifade eder ve karşılaştırır. Açıklama: a, veya den büyük, 0 dan küçük bir gerçek sayı ve n bir tam sayı olmak üzere a.0 n gösterimi bilimsel gösterim dir ve a nın pozitif olduğu durumlarla sınırlı kalınır. a b TEOG da Çıkan Soru Sayısı= 8 Üslü ifadeler sınavda en çok soru gelen konulardan birisidir. Her kazanım tek tek alıp duru bir anlatım yapacağız. Üslü ifadelerde çarpma ve bölme kısmından daha çok soru gelmektedir. Sorularda hangi kazanımdan çok çıkacak ise ona ağırlık verilmiştir. k k A. Tamsayıların Kuvvetini Bulma Bir bahçenin içinde toplam 5 adet ağaç vardır. Her ağaçta 5 adet dal vardır ve her dalda ise 5 tane kuş vardır. Buna göre bu bahçede toplam kaç adet kuş vardır? 5.5.5=5 adet kuş vardır =5 =5 n a.a.a... = a Görüldüğü gibi n tane a nın çarpımını n a biçiminde ifade etmeye üslü ifadeler veya üslü gösterim denir. a n kuvvet taban a.a.a = a Örnek: gibi. =.. = 8 =. = 9 Dikkat! Üslü ifadelerle işlem yaparken taban ile kuvveti çarpmayınız. ) Sıfır hariç bütün sayıların sıfırıncı kuvveti e eşittir. 0 = 0 9 = 0 0 tanımsızdır. ) in bütün kuvvetleri yine e eşittir. 8 = -85 = Örnek: - ifadesinin sonucunu bulalım. = - = -. = - 4 = -

18 Örnek: bulalım. 4 ifadesinin sonucunu = =... 6 B.Sayıların Ondalık Gösterimini 0 un Kuvvetleri Kullanarak Gösterme,05 ifadesinin ondalık açılımını yapınız a b c, d e f a.0 + b.0 + c.0 + d.0 + e.0 + f.0 Yukarıdaki örneği dikkatli inceleyelim. Virgülün sağındaki ve solundaki 0 un kuvvetinin nasıl azalıp arttığına bakalım. Örnek: ,45 = ,05 = , = Örnek: Çözümlenmiş hali olan sayıyı bulalım. 9.0 = = = 0,05 90,06 olur. Örnek: 0,0 ifadesini çözümleyelim Örnek: a45,b sayısında a ve b sayılarının çözümlenmiş halini yazalım. a.0 - b.0 olur. C. Üslü ifadelerle İlgili Temel Kurallar. Bir Tamsayının Negatif Kuvveti Peki - ifadesini nasıl yapacağız? Kuvvet negatif olduğu için, işlem yapabilmek için öncelikle kuvveti pozitif yapacağız. Bunun için negatif bir kuvveti pozitif bir kuvvet yapmak için üslü ifadeyi ters çevirmemiz gerekmektedir. Yoksa işlem yapamayız. Örnek: = = = - =.5 =.5.5 = 50 5 Üslü ifadeyi paydan paydaya veya paydadan paya gönderdiğimizde kuvvetin işaretinin değiştiğine dikkat edelim. a -n = a n -n =a a Örnek: n bulalım. kuralını öğrenelim. - 4 ifadesinin sonucunu

19 = = = Örnek: bulalım. - (-) - (-) = = = ifadesinin sonucunu (-) (-).(-) 4 Örnek: (-) = (-).(-).(-) = -7 4 (-4) = (-4).(-4).(-4).(-4) = 56 Örnek: (-) (-).(-) 9 - (-) = = = - +=? Yukarıdaki işlemi yaparken önce kuvveti pozitif yapmak için ifadeyi ters çevirdik. Sonra gereken işlemi yaparak sonucumuzu bulduk. 4 (Cevap = ) Çıkabilecek soru tarzına göz atalım; - (-) ifadesinin eşitini bulalım. (-6) - =? (Cevap = ) 6 (-) (-).(-).(-) 8 - (-) = = = - olur. (-5) - ifadesinin eşitini bulalım..negatif Tamsayıların Kuvveti - = (-5) = (-5).(-5) = 5 (-5) 0 (-) = (-) = - (-) = (-).(-) = 4 (-) = (-).(-).(-) = -8 Yukarıda dikkat etmemiz gereken noktalar şunlardır; Negatif tamsayıların kuvveti tek iken sonuç yine negatif, kuvvet çift iken ise sonuç pozitif olur. (-) -4 ifadesinin eşitini bulalım. (Cevap = ) 8

20 (-6) - ifadesinin eşitini bulalım. (Cevap = - ) 6 Negatif sayıların kuvvetini alırken parantezlere çok dikkat etmeliyiz. Neden? Aşağıdaki örneği inceleyelim. (-) = - eşit midir? (-) = (-).(-) = 4 - = -. = -4 O halde eşit değildir. (-) - ifadeleri birbirine Çünkü parantez var ise kuvvet(üs), hem sayıya hem de işarete aittir. Örnek: = = = - Örnek: ifadesinin eşitini bulalım (-4) - (-4) = = = ifadesinin eşitini bulalım. (-4) (-4).(-4) 6. Rasyonel Sayıların Kuvveti Rasyonel sayıların kuvveti alınırken hem payın hem de paydanın kuvveti alınarak işlem yapılır veya rasyonel sayının tekrarlı çarpımı ile işlem yapılır. 8 ( ) = = 7 9 (- ) = (- ).(- ) = Rasyonel sayıların kuvveti negatif ise, bu kuvveti pozitif yapmak için pay ve paydanın yerini değiştiririz. Yani rasyonel sayıların pay ile paydanın yeri değiştikten sonra kuvvetinde işareti değişir. Örnek: - ( ) = ( ) = (- ) = (- ) = ( ) = ( ) = 7 Yukarıdaki örneklerde negatif ve tek-çift kuvvetlere dikkat edelim. (- ) - ifadesinin eşitini bulalım. (Cevap = 4) 5 - (- ) ifadesinin eşitini bulalım. 4. Ondalık Sayıların Kuvveti 8 (Cevap = - ) 5 (0,) ifadesinin eşitini bulalım. (0,) = ( ) = ( ) = Yukarıdaki işlemde görüldüğü gibi ondalık sayıların karesi alınırken, önce rasyonel sayıya çevirip, gerekli sadeleştirmeyi yaptıktan sonra soruyu çözdük.

21 Örnek: - ( 0,75) ifadesinin eşitini bulalım ,75 = = = = ( ) - - Yukarıdaki işlemde sadeleştirmeye ve negatif kuvvete dikkat edelim. Örnek: ( ) - -0,5 ifadesinin eşitini bulalım ,5 = - = - = (- ) = ( ) Üslü İfadelerin Kuvvetinin Kuvveti Üslü ifadelerin kuvvetinin kuvveti bulunurken kuvvetler birbiriyle çarpılır. Aşağıdaki işlemi inceleyelim;. 6 ( ) = = olur (-5) Örnek: ( ) = = Negatif sayılarda kuvvetin kuvveti alınırken parantezin dışındaki sayının tek mi çift mi olduğuna çok dikkat etmeliyiz. Yani (-4 ) ifadesinde parantez dışındaki sayı tek olduğu için sonuç negatif olacaktır. Yani 6-4 olur sonuç. - ( 0,) ifadesinin eşitini bulalım. 00 (Cevap = ) 9 Eğer ifade ( ) olur. -4 olsaydı sonuç 6 4 (-0,6).(-0,6).(-0,6) ifadesinin eşitini bulalım. 7 Cevap = (-5 ) ifadesinin eşitini bulalım. 44 ( Cevap = -5 ) - (-0,45) ifadesinin eşitini bulalım. 0 Cevap = (- ) ifadesinin eşitini bulalım. ( Cevap = )

22 6. Üslü İfadelerin Tabanını Değiştirme ifadesini tabanındaki sayı olacak şekilde yazalım. 4 4 = 'ye eşittir. O halde; 4 gördüğümüz yere yazacağız. ifadesini ( ). 6 4 = = = olur. Örnek: ifadesini tabanındaki sayı olacak şekilde yazalım. 9 = (-4) ( ) 9 = = = -4-8 Örnek: ifadesinde tabanındaki sayı 5 olacak şekilde yazalım. 5 = 5 5 ( ) = 5 = 5 7. Üslü İfadelerle Çarpma İşlemini Yapma. işlemini yapalım. 5. = 8.4 = = olur.. = 5 Yukarıdaki çarpma işleminde görüldüğü gibi, üslü ifadelerle çarpma yapılırken tabanlar aynı ise kuvvetler toplanır. Örnek:. = = = 5 = = = = 4 = 4 Örnek: çarpma işlemini yapalım. 4 4 ( ) =. =. = 6 ifadesinde tabanındaki sayı olacak şekilde yazalım. ( Cevap = ) - 4 Örnek: 5.5 çarpma işlemini yapalım. - 4 ( ) = 5.5 = 5.5 = 5 = 5 = 7 6 ifadesinde tabanındaki sayı olacak şekilde yazalım. 8 ( Cevap = ) 4. - çarpma işlemini yapalım. -9 ( Cevap = )

23 çarpma işlemini yapa lım. ( Cevap = 7 ) Eğer çarpma işleminde üsler eşit ise; tabanlar birbiriyle çarpılarak ortak kuvvette yazılırlar. Aşağıdaki örneklerde kuvvet aynı olduğu zaman tabanların çarpıldığı gösterilmiştir. Örnek: ( ) ( ). =. = = 4. = 8 ( ) = 5.7 = 5.7 = 5 Örnek: ifadesinin sonucu kaç basamaklı bir sayı olur ( ) =.5 = 0 ifadesinin sonunda 6 sıfır vardır. Bu şekilde sayımız 7 basamaklı bir sayı olur. 0 6 Örnek: ifadesinin sonucu kaç basamaklı bir sayı olur ( ) =.5 =.5 = 0 O halde ifadenin sonucu 0 basamaklı bir sayı olur. 6 4 Örnek:.5 ifadesinin sonucu kaç basamaklı bir sayı olur. üsler aynı değil. En küçük kuvvete göre üsleri eşitlemeye çalışacağız = çarpma işlemini yapa lım. ( Cevap = 4 ) 4 4 =..5 4 =.0 = = O halde sonucumuz 5 basamaklı olur. Not: 0 un kuvvetleri alınırken, üsteki sayı kaç ise in sağına o kadar sıfır atılır. Örnek: 0 4 = 0000 ifadesinde 0 un kuvveti 4 olduğu için in sağına 4 sıfır attık. Hem bu şekilde sayımız 5 basamaklı bir sayı olur çarpma işlemini yapalım. 9 ( Cevap = )

24 ifadesinin sonucu kaç basamaklıdır? ( Cevap = ) Yukarıdaki bölme işlemlerinde paydadaki ifadenin paya giderken kuvvetin işaret değiştirdiğine çok dikkat edelim. Örnek: 4 4 ifadesinin yarısını bulalım ifadesinin sonucu kaç basamaklıdır? ( Cevap = 7 ) ( ) = = = = Örnek: = = = işlemini yapalım Üslü İfadelerle Bölme İşlemi Örnek: - 8 işlemini yapalım. Üslü ifadelerle bölme işlemi yapılırken tabanlar aynı ise kuvvetler birbirinden çıkartılarak işlem yapılır. Örnek: 7 5 = = = ( ) = = Dikkat edeceğimiz nokta, birinde 5 e, -5 diğerinde ise e bölünmüş. İşaretlere çok dikkat etmeliyiz. Örnek: -0 0 = = = = = 7 = = = = 5 = ( ) = = = = bölmeişlemini ya palım. 4-8 bölmeişlemini yapalım. 6 5 böl me işlemini yapa lım. 5 ( Cevap = ) -0 ( Cevap = ) 6 ( Cevap = 5 )

25 9. Üslü İfadelerle ilgili Bazı İşlemler Bu konuda üslü ifadelerle ilgili karşınıza çıkabilecek farklı soru türlerine bakacağız. Bu örnekleri öğrenmeniz çıkabilecek soru türlerini hızlı çözmenize yardımcı olacaktır. ) Bir kenarı cm olan karenin çevresinin uzunluğu kaç cm dir? 4 Tabanlar eşit olduğuna göre üslerde eşit olmalıdır. O halde; x + = 7 x = 7 - x = 6 O zaman x değeri 6 olur. 5) x- = 8 ise x değerini bulalım. 4 cm x- 4 = 8= Çevre= = = = 4 6 cm ) Bir kenarı olan eşkenar üçgenin çevresinin uzunluğunu bulunuz. Çevre= ) =. = = cm işleminin sonucunu bulalım =.8 =. ( ) 4 x- 4 = x - = 4 x = 4 + x = 6 6) ise a değerinin alacağı pozitif değeri bulalım. a = 5 a = ( ) a = 5 4 a = a = 5 7) işleminin sonucunu bulalım. - = =.9 + = + = =. = = + 4) x+ 7 = ise x değerini bulalım. x+ 7 = 8 Bir kenarı cm olan karenin çevresinin uzunluğunu bulunuz. 0 ( Cevap = cm )

26 Bir kenarının uzunluğu -6 m olan eşkenar üçgenin çevresinin uzunluğu kaç m dir? -5 ( Cevap = m ) HAT SORULAR (HEDEF ANALAMA TESTİ) x )... = ifadesinde x in alacağı değer kaçtır? A) B)4 C)8 D)6 -x -5 = işleminde x in alacağı değeri bulunuz. ( Cevap = 6 ) ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) - 6 B) 9 C) 9 D) 9 5 x-4 = 5 işleminde x in alacağı değeri bulunuz? a 6 = 4 işleminde a nın alacağı pozitif değeri bulunuz. ( Cevap = 7 ) ) - 4 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 64 B) 64 C) D)64 ( Cevap = ) 6-6 işleminin sonucu kaçtır? ( Cevap = -) 4) ( ) - ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 8 B) 8 C)8 D) 6 5),405 sayısının çözümlenmiş hali hangi seçenekte verilmiştir? - 0 ( 5 ) + 5 işleminin sonucu kaçtır? 6 Cevap = 5 A) B) C) D)

27 6) (-7) - hangisine eşittir? A) 49 ifadesi aşağıdakilerden B) 49 C) 49 D) 49 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)6 B)6 C) D)- 7) Aşağıdaki seçeneklerden hangisi - 64 A) İfadesine eşit değildir? 8 B) ( ) 6 C) 4 D) 64 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) 4 4 C) 4 8 D) - 0 8) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 5 9) Buse ( ) -6 B)5 C)0 D) - ifadesinden sayısını çıkardığında bulduğu sonuç kaç olur? A) 6 5 B) 9 6 C) 5 6 D) 7 6 4). 7 5 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B)9 C) D) 0 9 5).5 işleminin sonucunda kaç basamaklı bir sayı olur? A)0 B) C) D) - 0) 5.5 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) C)5 D)5 6) ( ) - 0, işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? 4 ) 6 ifadesinin tabanını 4 yaparsak kuvveti kaç olur? A) 0 0 B) C) D)0 A) B)4 C)8 D)6

28 7) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A),44 B),6 C)0,6 D) ) ( ) - 0,5 NOKTA SORULAR işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 5 B) 5 C)8 D) 8 8) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 5 4 B) 4 5 C) 4 5 D) 5 ) Bir evin salon ve oturma odasının her birinde 4 er adet koltuk vardır. Her koltukta 4 adet ayak vardır. Bu evde toplam kaç adet koltuk ayağı vardır? A) B) C) D) 9 9).. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) ) A) 4 ifadesinin yarısı kaça eşittir? B) C) 5 D) 4) sayfa bir kitabın her gün 7 sayfasını okuyan Yusuf, bu kitabı kaç günde bitirir? A) 6 B) 4 C) 5 D) 6 6 0) -x 5 = 5 işleminde x in alacağı değeri bulunuz. A)0 B) C) D) 5) 6 cm 6 Bir kenarı cm olan kare şeklindeki bir kilimin etrafına iki sıra dantel yapılacaktır. Bu işlem için toplam kaç cm dantele ihtiyaç vardır? A) B) C) D) 9

29 6) Aşağıdaki ondalık gösterimlerin hangisinin çözümlenmiş biçiminde -.0 bulunur? A), B), 5 C), 0 C)0, 0) ifadesinde a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere a+b işleminin alabileceği en küçük değer kaçtır? b a = 64 A)65 B)0 C)8 D)7 7) 6 4 Alan=6 cm Bir kenarının uzunluğu 4 6 cm olan dikdörtgenin alanı cm dir. Buna göre bu dikdörtgenin diğer kenarının uzunluğu kaç cm olur? A) 6 4 B) C) ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? 6 7 D) A)5 B)4 C) D) 6 8 ) bir tamsayı olmak üzere x in alacağı değerler kaç tanedir? x 0 4 eşitsizliğinde x pozitif A)6 B)5 C)4 D) ) Bir kenarının uzunluğu cm olan bir karenin çevresinin uzunluğu kaç cm dir? A) 8 B) 6 C) ) Bir dairenin çevre uzunluğu bulunurken, çap ile π(pi) sayısı 9 D) çarpılarak bulunur. Buna göre çevresi 7 9 cm olan bir dairenin çapı kaç cm olur? ( π = ) A) 6 B) 8 C) D) 0 9) Başlangıçta adet olan bir bakteri topluluğunda üreme sonucu sayı her gün bir önceki günün 9 katına çıkmaktadır. Buna göre.gün sonunda toplam kaç adet bakteri olur? 4) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 A) 9 B) C) D) 9

30 - 0 5) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? 9) A)4 B) C) D)0 Saatteki hızı 5 km/sa olan bir otomobilin km lik bir yolu kaç saatte alacağını bulunuz? 5 6) a 4 = 9 ise ifadede a değeri kaça eşittir? A)- B) C)- D)- A)5 B)5 C)45 D) ) işleminin sonucu 5 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C)9 D)7 7) TL si olan Şakir, parasının çeyreği ile kitap almıştır. Şakir kitaba kaç TL ödemiştir? 8 A)6 B) C)64 D)8 ) Aşağıdakilerden hangisinin sonucu en küçüktür? A) ( ) 4 B) ( ) C) ( ) D) 8) ) toplama işleminin çeyreği kaça eşittir? A) 4 0 B).4 4 C) 4. 4 D) cm 5 4 cm Şekilde Zeynel in ve ağacın boyları verilmiştir. Buna göre ağacın boyu Zeynel in boyunun kaç katıdır? 4 4 ) 5.4 işleminin sonunda kaç adet sıfır vardır? A)6 B)7 C)8 D)9 A) B) 5 C) 4 D) 4

31 4) x=- ve y= verilenleri için, işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? y x + x A)-0 B)-4 C) 9 D) ) ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL (-5) - sayısı aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç 5 olur? A) 5 5 B) ( ) 5 C) ( ) D) 5 5) ( ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 9 B) 7 C) D) 9 ) 6 tane nin çarpımının 4 tane 4 toplamına oranının sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B)8 C)6 D) ) Fibonacci Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. ibonacci, 70 yılında İtalya nın Pisa şehrinde doğmuştur. Tam adı Leonardo Fibonacci dir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almıştır. Avrupa da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı bilinmiyorken Fibonacci Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir. Leonardo Fibonacci bütün Akdeniz bölgesini gezdi ve dönemin önde gelen Arap matematikçiler ile çalışma olanağı buldu. 0,,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44,, 77, 60, dizisi Fibonacci sayı dizisi olarak geçiyor. 4 4 Bakkal Hacı nın veresiye defteri sayfadan oluşmaktadır. Bu defterin sadece yarısını kullanmaktadır. Kullandığı sayfaların 8 inde Şaban ın borcu vardır. Şaban ın borcu kaç sayfadan oluşmaktadır? A) B) 4 C) 4 D) ) Uzun kenarı cm ve kısa kenarı 6 cm olan bir dikdörtgen biçimindeki 5 bloktan alanı cm olan kaç adet kare blok oluşturulabilir? A) B) C) D) 8

32 0. 0 un Kuvvetlerini Farklı Tamsayılarla İfade Etme Yukarıda kazanımlar verilirken 4. kazanım sayıların 0 un farklı tamsayı kuvvetlerini kullanarak ifade eder bahsetmiştik. Şimdi burada 0 un farklı tamsayı kuvvetlerinin ne demek olduğunu TEOG da ne tür soruların geldiğini öğreneceğiz. 0 x ifadesinde in yanında x tane sıfır vardır anlamına geldiğini daha önceki anlatımlarımızda değinmiştik. Şimdi daha ayrıntılı soru çözümlerine bakalım. Örnek: 4 0 = tane sıfır ekledik. 6 0 = tane sıfır ekledik = = un kuvveti negatif olduğunda ne yapacağız? Önce örnekleri inceleyelim. Örnek: -4 0 = 0,000 virgülden sonra 4 basamak vardır = 0,00000 virgülden sonra 6 basamak vardır. 0,00005 = 5.0 0,005 = x O halde 0 ifadesinde virgülden sonra x adet basamak vardır demektir. Yani kuvvet - ise virgülden sonra basamak olacak demektir. Örnek: sayısını 0 un kuvveti şeklinde yazalım =.0 5 adet sıfır vardır. Aşağıda verilen iki örnekte 0 un kuvvetinin nasıl azalıp arttığına dikkat edelim..0 = 0.0 = = 0,.0 = 0, İşte örneklerde görüldüğü gibi; virgül sağa doğru kaydıkça ( virgül yoksa sıfır atılır) 0 un kuvveti azalır. Virgül sola doğru kaydıkça 0 un kuvveti ise artar. kuvvet kuvvet azalır artar Örnek: 0,0006 ifadesini 0 un kuvveti şeklinde yazalım. -5 0,0006 = 6.0 Ve ya aşağıdaki gibi de yazabiliriz. 6.0 = 60.0 = =,6.0 = 0,6.0 Not: Negatif ve pozitif kuvvetlerin artmasına ve azalmasına çok dikkat etmeliyiz.

33 BİLİMSEL GÖSTERİM Çok büyük ve çok küçük sayıları göstermek ve temsil etmekte kullanılır. Bu konudan her yıl mutlaka soru gelmektedir. Ne olduğunu aşağıdaki örneklerden öğreneceğiz. Bunları biliyor muydunuz? Dünyanın güneşe olan uzaklığı; km dir. Dünyanın aya olan mesafesi yaklaşık; km dir. 5,.0 iken; ifadesi bilimsel gösterim 4.0 ifadesi bilimsel gösterim değildir. Peki neden? Öncelikle aşağıdaki tanımı okuyalım sonra verilen örnekleri inceleyelim. Bir ifadenin bilimsel gösterim olabilmesi için; a < 0 ve a.0 n n Z olmak üzere biçimindeki gösterime bilimsel gösterim denir. Burada a nın pozitif olduğu durumla sınırlı kalınır. Bir atomun çapı, elektron bulutu da dâhil olmak üzere yaklaşık 0, cm civarındadır. Atom çekirdeğinin çapı ise 0, cm kadardır. Örnekler: -7.0 bilimsel gösterim. 5 0,.0 bilimsel gösterim olmaz. -8,5.0 bilimsel gösterim. -6 9,99.0 bilimsel gösterim. -9 0,.0 bilimsel gösterim olmaz. Örnek: Dünyanın güneşe uzaklığı km dir. Bu uzaklığın bilimsel gösterimini yapalım. Bilimsel gösterim olması için virgülün ile 4 sayılarının arasına gelmesi lazım. O halde virgül 8 basamak sola kayar km =, km olur. Yukarıda verildiği gibi çok büyük ve çok küçük sayıları kısa bir şekilde gösterilmesine, temsil edilmesine bilimsel gösterim denir. Örnek: Bir atomun çapı yaklaşık 0, cm. Bilimsel olarak gösterelim. Virgül, nin sağına kadar gelmelidir bilimsel gösterim olması için, 8 basamak sağa kayar. 0, cm =.0-8 cm olur.

34 Örnek:,.0 7 sayısının bilimsel gösterimini yapalım., dan küçük olmak zorunda. Bu yüzden virgül bir basamak sola kayar. O halde 0 un kuvveti bir artar.,.0 7 =,.0 8 olur. Örnek:,.0-7 sayısının bilimsel gösterimini yapalım., dan küçük olmak zorunda. Bu yüzden virgül bir basamak sola kayar. O halde 0 un kuvveti bir artar.,.0-7 =,.0-6 Not: Burada 0 nun negatif ve pozitif kuvvetlerindeki artışlara ve azalışlara çok dikkat etmeliyiz. Virgül 6 ile arasına gelecek. Sol tarafa 6 birim kayar = 6,.0 6 Örnek: 0,00009 sayısının bilimsel gösterimini yapalım. Virgül sağa ile 9 arasına, 5 basamak sağa kayacak. 0,0009 =,9.0-5 Örnek: =, = = 7,5.0 0,0006 =,6.0 0,00 =.0 0, =, Örnek: 0,.0 sayısının bilimsel gösterimini yapalım. Bu sefer 0 un önündeki sayıyı veya den büyük yapacağız. Virgülü sağa bir basamak, ile arasına kaydıracağız. 0,.0 =,.0 0 Örnek: 0,.0 - sayısının bilimsel gösterimini yapalım. 0,.0 - =,.0 - Örnek: sayısının bilimsel gösterimini yapalım. 000 sayısının bilimsel gösterimini yapınız. 0,0005 sayısının bilimsel gösterimini yapınız. (Cevap=,.0 5 ) (Cevap=,5.0-4 )

35 HAT SORULAR ) a.0 n ifadesinin bilimsel gösterim olabilmesi için a hangi aralıkta olmalıdır? A) 0 a 0 B) a 0 5) 0,0007 ifadesinin bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) B) C),7.0 4,7.0,7.0 C) a 0 D) 0 a 0 D),7.0 4 ) -7 a,.0 ifadesi bilimsel bir gösterim olduğuna göre a hangi değeri alamaz? A) B) 5 C) 9 D) 0 ) Aşağıdaki ifadelerden hangisi bilimsel gösterim değildir? A) 4 0,5.0 6) ifadesinin bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) B) C) D) 5,75.0 6,75.0,75.0, B) 9,9.0 7 C) D) 54,5.0, ) ifadesinin sonucunun bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) 6,75.0 B) 6,75.0 4) 8 7,9.0 ifadesinin bilimsel gösterim olması için 0 un kuvveti kaç olmalıdır? C) D) 6,5.0 6,5.0 A) 6 B) 0 C) D)

36 8) - 0, 0.0 ifadesinin bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) B) NOKTA SORULAR ) Ortalama bir erkek saç teli kalınlığı 0,04 mm dir. Buna göre saç teli kalınlığının kaç m olduğunu gösteren bilimsel gösterim aşağıdakilerden hangisidir? C).0 A) 4.0 metre B) 4.0 metre D).0 C) metre D) metre ) ifadesinin bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) B) C) D),9.0,9.0,9.0, )Tipik olarak bir gram toprakta bulunan bakteri hücrelerinin sayısı 40 milyondur. Bakteri sayısının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) C) B) D) ) ifadesinin sonucunun bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A),5.0 B),5.0 C) D),5.0,5.0 ) Bilim adamları dünyanın ağırlığını hesaplamışlar ve yaklaşık olarak kg olarak ölçmüşlerdir. Buna göre dünyanın ağırlığının kaç gram olduğunu veren bilimsel gösterim aşağıdakilerden hangisidir? A) C) gr B) gr D) gr gr

37 4)Öğretmeni Canan dan sayısının bilimsel gösterimini yapmasını istiyor. Aşağıdakilerden hangisi doğru cevaptır? A) 7 5,.0 B) 8 5, ) 06 yılında satılan toplam araç miktarı yaklaşık olarak civarındadır. Buna göre satılan araba miktarının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? C) 4 5,.0 D) 5 5,.0 A) 9, B) 9, C) 9, D) ) Bir mol elementin yapısında yaklaşık olarak 6, 0.0 adet atom vardır. Buna Avagadro sayısı denir. Buna göre 5 mol bir elementin yapısında bulunan atom sayısını veren bilimsel ifade aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) B) C) D) 5 0.0,.0 4,0.0 5,0.0 8) 00x50 çarpma işleminin sonucunun bilimsel gösterimi hangi seçenekte verilmiştir? A),5.0 5 B), C), D), ) 0,009 ifadesinin bilimsel gösterimi a.0 b olduğuna göre a ile b arasındaki ilişki hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir? a A) = - b B)a.b = 7 a C) = b D)a.b = -9 6) Bir oktilyonda toplam 7 adet sıfır vardır. Buna göre 00 oktilyonun bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) C) B) D).0 0) Türkiye'de Mehmet adında milyon 9 bin kişi vardır. Kişi sayısının bilimsel gösterimi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A),9.0 7 B) 9.0 C),9.0 6 D),9.0 7

38 KAREKÖKLÜ İFADELER Kazanım-: Tam kare doğal sayıları tanır ve bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi belirler. Açıklama: Kare modelleri kullanılarak alanla kenar arasındaki ilişkiden, bir sayıyla karekökü arasındaki bağıntı ele alınabilir. Kazanım-: Tam kare olmayan sayıların karekök değerlerinin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu belirler = =4 =9 4 = = 64 9 = 8..., 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8, 00, Gibi sayılar tamkare sayılara örnektir. Kazanım-4: Kareköklü bir ifadeyi a bb şeklinde yazar ve a bb şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alır. Kazanım-5: Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini yapar. Kazanım-6: Kareköklü bir ifade ile çarpıldığında, sonucu bir doğal sayı yapan çarpanlara örnek verir. Kazanım-7: Gerçek sayıları tanır, rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilişkilendirir.. Tamkare Sayılar Herhangi bir tamsayının karesine eşit olan sayılara tamkare sayılar denir. br 4 br 9 br 6 br Kenarı br den başlamak üzere karelerin alanları karesel sayıları verir. 0 =0 dır. Ancak kenarı 0 birim olan bir kare çizemeyeceğimiz için 0 karesel bir sayı değildir. Örnek; 48 sayısı tamkare sayı değildir. Çünkü herhangi bir sayının karesi değildir. 5 sayısı tamkare sayı. Çünkü 5 in karesi 55 olur. pozitif - negatif Karekök sembolleri. Peki, bu sembol sayıya ne yapar? Önce aşağıdaki örnekleri inceleyelim. 4= = 6 = 6 = 6 64 = 8 = = 0 = 0

39 Yukarıda görüldüğü gibi sembolü içinde bulunan sayı tamkare sayı ise; hangi sayının karesi ise, o şekilde sayıyı karekök dışına çıkarır. Örnek: = = = 9 Örnek: 49 - = 7 - = 7 - = -4 Dikkat: Karekök dışı negatif olabilir ama karekök içi negatif olamaz. - 4 olur - -4 olamaz Karekök içindeki sayı sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır. x için x 0 olmalı.. Tamkare Olmayan Kareköklü İfadelerin Sonucunu Tahmin Etme 5 ifadesinin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım. 5 ten büyük ve küçük olan tamkare sayıları bulalım., 4, 9, 6, 5, 6,... Yukarıdaki örnekte görüldüğü 5 ten büyük ve küçük olan tamkare sayıları bulduk. Bu sayılar 4 ile 9 olur. Buradan; 4<5<9 4< 5< 9 < 5 < 5 sayısı ile arasında olur. ifadesinin hangi iki tamsayı arasında olduğunu bulalım. Yine tamkare sayıları yazalım. den büyük ve küçük olanlarını bulalım. Bu sayılar 9 ile 6 olur., 4, 9, 6, 5, 6, 49,... 9 < < 6 9 < < 6 < < 4 ile 4 arasında olur. 60 ifadesinin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım. 60 dan büyük tamkare sayı 64 ve 60 dan küçük tamkare sayı ise 49 olur....,49,64, < 60 < < 60 < 64 7 < 60 < ile 8 arasında olur. 5 ifadesinin hangi iki tamsayı arasında olduğunu bulalım. (Cevap= 7 ile 8 ) 7 ifadesinin hangi iki tamsayı arasında olduğunu bulalım. (Cevap= ile )

40 . A) Karekök İçindeki Tamkare Olmayan Sayıları Yazma a b Biçiminde 49 ifadesinde karekök içindeki sayı tamkare bir sayı olduğu için; 49 = 7 = 7 Tamsayı olarak çıkar. Örnek: =? 6 =.. =. = Pekâlâ; 48 ifadesi nasıl yapılacak? 48 sayısı tam kare bir sayı değil. O halde 48 sayısının çarpanlarından tam kare olanları bulacağız =... =.. 48 =.. =. = 4 Örnek: 8 =? =.. =. = 8 =. = 6 48 sayısının çarpanlarından tamkare olanları kök dışına çıkardık, tamkare olmayanlar kök içinde kaldı. Eğer bu sayılar birden fazla ise tamkare sayılar kök dışında, tamkare olmayan sayılar kök içinde çarpılır. 40 ifadesini a b biçimde yazınız. ( Cevap = 0 ) Örnek: 4 =? =... =.. 4 =.. =. = 6 80 ifadesini a b biçimde yazınız. ( Cevap = 6 5 ) 5 ifadesini a b biçimde yazınız. ( Cevap = 0 )

41 . B) Karekök Dışındaki Bir Sayıyı Karekök İçine Alma Bir sayı karekök dışına çıkarken karesini verip çıkıyordu. O halde kök içine girerken de karesini alır tekrar girer..c) Kareköklü Sayılarla Sıralama İşlemini Yapma Kareköklü ifadelerle sıralama yapılırken en akıllıca yol; karekök dışındaki sayıları karekök içine aldıktan sonra sıralama yapmak olacaktır. Nasıl mı? Örnek: 7=.7= 4.7= 8 Yukarıdaki örnekte sayısı kök içine girerken karesini alarak girmiş ve 4 olmuş. Bu noktaya çok dikkat edelim. Örnekler: 4 = 4. = 6. = 48 6 = 6. = 6. = 7 8= 8 = 64 = = 5 5 = 5.5 = 5.5 = 5 ifadesinde katsayıyı karekök içine alınız. ( Cevap = 44 ) Aşağıdaki örneği inceleyelim. ile 5 sayılarını karşılaştıralım. Önce kök dışındaki sayıları karekök içine alalım. =.= 8 5=.5= 0 Buradan da 0 > 8 olur. O halde; 5 > olur. Bu şekilde sıralamayı yapmış oluruz. 0, 4, 6 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 0 =.0 = 40 4 = 4.= 6= 6 = 6 Görüldüğü gibi bütün sayıları karekök içine aldık. < 6 < 40 olur. O halde; 4 <6< 0 şeklinde sıralanır. 4 4 ifadesinde katsayıyı karekök içine alınız. ( Cevap = 7 )

42 İleride kareköklü ifadelerle bölme işleminde yine bu noktaya değineceğiz. Örnekler: 4, 7, 47, 5 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız = = = = = = = , 8, 7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.. D) Rasyonel Sayıların Karekökleri 9 ifadesinde karekök içindeki 6 rasyonel sayıyı karekök dışına çıkaralım. 9 9 = = olur İşlemde görüldüğü gibi hem payı hem de paydayı ayrı ayrı karekök dışına çıkardık. ifadesinde karekök içindeki 5 rasyonel sayıyı karekök dışına çıkaralım.. = = Yine kök dışına çıkabilenleri çıkardık, çıkamayanları kök içinde bıraktık. 4.A) Kareköklü İfadelerde Çarpma İşlemini Yapalım. 7 =..7 =6 0. = 0. = 0.0 =.0 = 0 Yukarıdaki işlemleri dikkatli incelersek, çarpma işlemi yapılırken, karekök içindeki sayılar kendi arasında ve karekök dışındaki sayılar ise kendi arasında çarpılarak işlem yapılır. Örnek:.5 6 çarpma işlemini yapalım..5 6 =.5.6 = = 0. = 0. = 0 olur. Örnek: 5.. çarpma işlemini yapalım. = 5.. =. 5.. = 6 0 = 6. 5 = 5 olur. Örnek: 5. 5 çarpma işlemini yapalım. a b a = olur. b

43 = 5. 5 = 5.5 = 5 = 5 olur. Örnek: 9. çarpma işlemini yapalım. 9 =. 9 =. 9 = = olur. 4 Tamkare olmayan kareköklü ifadeleri rasyonel sayı yapmak için, kareköklü ifadeleri yine kendisi ile çarparız. Yani; sayısını rasyonel bir sayı yapmak için yine ile çarparız. Kareköklü İfade Rasyonel sayı yapmak için çarpılacak sayı 6 6. çarpma işleminin sonucunu bulunuz. 4.. çarpma işleminin sonucunu bulunuz. ( Cevap = 6 ) ( Cevap = 8 ) Örnek: sayısını rasyonel yapmak için kaç ile çarparız. ün yine kendisi yani tür.. = 9= O halde ile çarpmamız gerekir. Örnek: sayısını rasyonel yapmak için kaç ile çarparız.. =.= O halde ile çarparız. Örnek: 0 sayısını rasyonel yapmak için kaç ile çarparız. 0 = 5 O halde 5 ile çarparız. 4. B) Kareköklü ifadeleri Rasyonel Sayı Yapma Örnek: 7 sayısını rasyonel yapmak için kaç ile çarparız. 7 = 6 O halde ile çarparız.

44 Örnek = = sayısını rasyonel yapmak için kaç ile çarparız. ( Cevap = 6 ) 4 = 7 4 = =. 5 çarpma işleminin tamsayı yapmak için kaç ile çarparız. ( Cevap = 5 ) ifadesini rasyonel yapmak için kaç ile çarpmak gerekir? ( Cevap = ) 4. C) Kareköklü İfadelerde Bölme İşlemi Köklü ifadelerle bölme işlemi yapılırken; Karekök içindeki sayılar kendi arasında ve karekök dışındaki sayılar kendi arasında bölünerek işlemi yaparız. Karekök dışındakiler karekök dışına yazılırken karekök içinde olanlarda karekök içine yazılır. Karekök içindeki sayı karekök dışındaki sayıya direk bölünmez. Örnek: = = olur. Yukarıdaki örneği dikkatle inceleyelim =. = = = Örnek: 75 sayısını sayısına bölelim. 75 = 5 = = = = Örnek: 0 sayısını bölelim = = = sayısına Yukarıdaki iki örneği incelersek; İlk örnekte sayıları karekök dışına çıkarttıktan sonra bölme işlemini yaptık. İkinci örnekte ise karekök içine aldıktan sonra bölme işlemini yaptık. Yani hangisi daha kolayımıza gelirse onu uygulayabiliriz bölme işleminde.

45 Örnek: 80 5 bölme işlemini yapalım. 50 bölme işlemini yapalım.. yol: Bütün sayıları kök dışına çıkaralım. Cevap = = = = 5 5. yol: Bütün sayıları kök içine alalım. 80 = 80 = 80 = 4= Örnek: bölme işlemini yapalım. 9 7 bölme işlemini yapalım. ( Cevap = ) = = = Örnek: bölme işlemini yapalım. 0 = 0 = 0 = olur. bölme işlemini yapalım. bölme işlemini yapalım. Cevap = ( Cevap = 5 ) 4. D) Kareköklü İfadelerle İlgili Bazı İşlem Çeşitleri Aşağıda verilen örnekleri dikkatle inceleyiniz. Karşınıza çıkacak soruları daha hızlı çözmeniz için değinilmiştir. Örnek: x = 5 işleminde x in alacağı değeri bulalım. x = 5 x =.5 x = 45 x = 45 olur. Örnek: x y = 5 işleminde x+y nin alacağı en küçük değeri bulalım = olur. x y = için; x = y = x + y = + = 5 olur.

46 Not: Alanı verilen bir karenin bir kenarının uzunluğunu bulmak için; karenin alanı karekök içine alınarak bulunur. Alanı x cm olan bir karenin bir kenarının uzunluğu x cm dir. Örnek: Alanı 7 cm olan bir karenin çevresinin uzunluğunu bulalım. m = 6 0 işleminde m nin alacağı değer kaçtır? ( Cevap = 60 ) O halde;bir kenarının uzunluğu olur. O da cm olur. Alan 7cm cm 7 cm Uzun kenarı 5 cm ve kısa kenarı 6 cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç cm olur? ( Cevap = 0 ) Çevre= 4. = Örnek: 7 6 Yukarıda uzun kenarı 7 cm ve kısa kenarı 6 cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç cm olur? Alan= uzun kenar kısa kenar 5.İrrasyonel Sayılar (I) Rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan gerçek sayılardır. Payı ve paydası birer tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilemeyen sayılara denir. I sembolü ile gösterilir. Şimdi hangi sayıların irrasyonel olduğuna bakalım. a) Virgülden sonrası bilinmeyen ondalık sayılar birer irrasyonel sayıdır. =7 6 = 7 = 7. = 4 cm olur. Örnek:, ,06599 Buradan yola çıkarak π(pi) sayısının da irrasyonel olduğunu söyleyebilir. Çünkü virgülden sonraki kısmı bilinmemektedir. π =.459

47 Not: Devirli ondalık sayılar rasyoneldir.. = 4 = olur.,45 =, Rasyonel sayı. Çünkü a b biçiminde ifade edilebilir ,45 = = = Yukarıdaki işlemde görüldüğü gibi; Devirli ondalık sayılar rasyonel sayı biçiminde yazılırken; sayı olduğu gibi paya yazılır ve devretmeyen kısım çıkartılır. Payda kısmına ise virgülden sonra devreden kadar 9 sayısı devretmeyen kadar 0 eklenir. Bütün bunlardan yola çıkarak şimdi de gerçek(reel) sayılar kümesini tanımlayalım. Aşağıdaki tüm sayı kümeleri gerçek sayıdır. R ile gösterilir. Tam sayılar(z) ( -, 0, 47, 985, ) Doğal sayılar (N) ( 0, 4, 70, 5, ) Rasyonel sayılar (Q) (,.5, /5,... ) İrrasyonel sayılar (I) ( 7, π ( pi )) b) Karekök dışına çıkamayan sayılar da irrasyoneldir. Örnek:, 5, 7, 0, Örnek: Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir? I-,0 II- 9,45860 III- IV- 0,6 I ve IV rasyoneldir. II ve III irrasyoneldir. HAT SORULARI ) Aşağıdaki sayılardan hangisi tam kare bir sayı değildir? A) B)49 C)8 D)99 Örnek: 8 ifadesini rasyonel yapmak için aşağıdakilerden hangisi ile çarpmak gerekir? A) B) C) 5 D) 0 8=.= olur. sayısını rasyonel yapmak için kendisi ile yani yine Çünkü; ile çarparız. ) Aşağıdaki sayılardan hangisi herhangi bir tamsayının karesine eşittir? A)40 B)68 C)96 D)0

48 ) sayısı hangi iki tamsayının arasında yer alır. A) ile B) ile 4 7 8) bölme işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) 6 C) 4 ile 5 D) 5 ile 6 4) x =6 ifadesinde x in alacağı değer aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)6 B)6 C)5 D)6 9) Aşağıda seçeneklerde verilen ifadelerden hangisi yanlıştır? A) > 5 B) > 7 C) 4 >6 C) 5 > 5 5) 54 ifadesi aşağıdaki kareköklü ifadelerden hangisine eşittir? A ) 6 B) 6 C)6 D) 6) 5 7 ifadesi aşağıdaki kareköklü ifadelerden hangisine eşittir? A ) 50 B) 60 C) 70 D) ),5 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 90 B) 6 90 C) 7 99 ) Aşağıdaki verilen ifadelerden hangisi irrasyonel değildir? A) 55 B) π sayısı C) 0,564 D),05 D) ) x = 0 y = z = 6 t = 0 ) 5. 6 çarpma işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A ) 6 5 B)6 0 C)0 6 D)5 Yukarıda verilen ifadelerden hangisi diğerlerine göre en küçüktür? A) x B) y C) z D)t

49 ) 44 ifadesini aşağıdaki sayılardan hangisi ile çarparsak sonuç bir tamsayı olur? A ) B) 4 C) D) 5 7) Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) = B) 4 = 6 C) 60 = 5 D) 5 = 4) 6, 5,, 6 sayılarından hangisi diğerlerine göre en büyüktür? A) 6 B) 5 C) D) 6 8) m=7 ifadesinde m in alacağı değer aşağıdakilerden hangisidir? A)98 B) 98 C)8 D) ) işleminin sonucu 7 aşağıdakilerden hangisine eşittir? 9) Aşağıda verilen işlemlerden hangisinde yanlışlık yapılmıştır? A). = B). = 54 A ) 7 5 B) 5 C)5 7 D)7 C) 5. 5 = 5 D) = 60 6) 75 sayısını sayısına bölününce sonuç aşağıdakilerden hangisine eşit olur? A) 5 B) 0 C)5 D)5 0) Alanı 5 cm olan karenin çevresi kaç cm dir? A ) 60 B) 0 C) 5 D)4 5

50 NOKTA SORULAR ) Türkiye nin 8 ilinin plaka kodlarından kaçı tamkare sayıdır? A)5 B)8 C)9 D)0 5),6 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 5 9 B) 9 C) 5 D) 8 6) Aşağıda verilen ifadelerden hangisi 4 ile 6 arasında yer alır? ) Aşağıda verilen köklü ifadelerden hangisi 5 ile 8 sayıları arasında yer almaz? A) B)4 C) 5 D) 6 I- 4 II- 5 III- IV- A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) II ve IV ) 5 cm 9 cm cm Yukarıda Zeynep in tabanı dikdörtgen biçiminde ki oyuncak kutusunun kenar ve köşegen uzunluğu verilmiştir. 7)... Yukarıdaki işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) 8 C) 4 D) Buna göre aşağıda uzunlukları verilen kalemlerden hangisi bu oyuncak kutusuna sığmaz? 8) 0 c 5 cm A) 6 B) 5 C)4 7 D)0? cm Bir kenarı 0 cm olan karenin alanı 4) Aşağıda verilen sayılardan hangisi 08 sayısına eşit değildir? A) B) 7 C) D)6 ile kısa kenarı 5 cm olan dikdörtgenin alanı birbirine eşit ise dikdörtgenin uzun kenarı kaç cm dir? A) 6 B) 8 5 C) 5 D) 0

51 9) 8 cm uzunluğundaki bir su borusu 4 eşit parçaya ayrılmıştır. Her bir parçanın uzunluğu kaç cm olur? A) B) 4 C) D) 6 0) Dünyanın en uzun insanın boyu metre 5 santimetredir. Bu kişi aşağıda yükseklikleri verilen kapıların hangisinden geçebilir? A) m B) m C) 5 m D) m ) a = 0 b= 5 c=4 d=5 Yukarıdaki verilen sayılardan herhangi iki tanesini dikdörtgenin kenarları kabul edersek, en büyük alanlı dikdörtgeni elde etmek için hangi iki sayı çarpılmalıdır? A) a ile d B) b ile c C) a ile b D) b ile d ) Dairenin alanı ; π sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin ( π.r ) çarpımı sonucu bulunur. Yarıçapı cm olan bir dairenin alanı kaç cm olur? ( π= ) A) 4 6 B) 6 C) D) 6 4) Öğretmeni, Veysel den 68 sayısının yaklaşık değerini hesaplamasını istiyor. Veysel in bu işlemi yapabilmesi için hangi bilgiye ihtiyacı vardır? A) Bilgiye ihtiyacı yoktur B) 7 nin yaklaşık değeri C) nin yaklaşık değeri D) 5 in yaklaşık değeri 0 ) ifadesini aşağıdaki 8 sayılardan hangisi ile çarparsak sonuç bir tamsayı olur? 5) eşittir? işleminin sonucu kaça A) B) 4 C) D) 5 A) B) 4 C) 4 D) 4

52 9 6) eşittir? A) 4 B) 4 işleminin sonucu kaça C) D) 0) a = ve b= 5 olmak üzere 40 sayısının a ve b türünden gösterimi aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? A) a.b B) a.b C) a.b D) a.b 9 7). işleminin sonucu aşağıdakilerden hangidir? A) 8 B) C) D) 9 8 Aşağıdaki bilgilendirmeler sınavda çıkma ihtimali bulunan soru türlerini içermektedir. Soruları daha rahat çözebilmek için anlatılmıştır. Bilgilendirme : 8) 5 ifadesinin sayı doğrusundaki yeri hangi harfe karşılık gelmektedir? Şekil Şekil Şekil deki kare şekil deki gibi köşelerden kesiliyor. Buna göre; A) D B) C C) B D) A 9) Ahmet in televizyona uzaklığı 5 metredir. Ahmet televizyona 4 metre daha yaklaşırsa, televizyona olan uzaklığı hangi aralıkta olur? A) ile B) ile 4 C) 4 ile 5 Alanı nasıl değişir? Alanı azalır. Kesilen her bir küçük karenin alanı kadar alan azalır. Çevresi nasıl değişir? Çevre uzunluğu değişmez. Çünkü kesilen küçük karenin iki kenarı kadar azalmış ama tekrar iki kenarı kadar artmıştır. Köşeden kesim yapılırken çevresinin uzunluğu değişmez. D) 5 ile 6

53 Bilgilendirme : HAREZMÎ Şekil Şekil Şekil deki kare şekil, şekil deki gibi kenarlardan iki küçük kare kesiliyor. Buna göre; Alanı nasıl değişir? Alanı, kesilen her bir karenin alanı kadar azalır. Çevre nasıl değişir? Çevresi ise artar. Çok dikkat edelim, artar dedik çevresi. Demek ki kesilme oldu diye çevresi azalacak diye bir şey yok. Azala da bilir, arta da bilir ya da hiç değişmeyebilir. Peki, çevre ne kadar artar? Kesilen her bir karenin iki kenar uzunluğunun toplamı kadar artar. Ebu Abdullah Muhammed bin El- Harezmî 780 yılında Özbekistan'ın Harezmî vilayetinde dünyaya gelmiştir. Cebir sözcüğü de Harezmî nin "El Kitab ül-muhtasar fi Hısab il Cebri ve l-mukabele (Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap) adlı eserinden gelmektedir. Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk müstakil cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır. Matematik alanındaki çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî'nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritmi de numero Indorumadıyla Latince'ye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır,. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur. Bu nedenle Harezmî (Diophantus ile birlikte) "cebirin babası" olarak da bilinir. İngilizce'deki "algebra" ve bunun Türkçe'deki karşılığı olan "cebir" sözcüğü, Harezmî'nin kitabındaki ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerinden biri olan "el-cebr"den gelmektedir. Harezmî sıfır rakamını (0) ve x bilinmeyenini kullandığı bilinen ilk kişidir.

54 ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) Semra nın dakikada gittiği yol 60 metredir. Evinden 80 7 metre uzaklıktaki okuluna gidecektir. Zil saat 8:0 çaldığına göre en geç kaçta evden çıkmalıdır? A) 8:5 B) 8:6 C) 8: D) 8:8 ) ) = a ve 5 = b olduğuna göre 00 ün a ve b cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) a.b B) a.b C) a.b D) a 4. b Şekil Şekil Alanı 7 cm olan şekil deki kareden, bir kenarı cm olan iki eş kare şekil deki gibi kesilerek çıkarılıyor. Geriye kalan kesik karenin çevresinin uzunluğu kaç cm olur? A) 6 B) 0 C) 4 D) 0

55 KAREKÖKLÜ İFADELER- Kazanım : Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini yapar. Açıklama: Paydasında a±c veya a± b gibi birden fazla terim bulunan ifadelerle işlemlere girilmez. Kazanım : Ondalık ifadelerin kareköklerini belirler Bu kısımda kareköklü ifadelerin devamı olan sınavda sorulacak olan kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi ile ondalık sayıların kareköklerini göreceğiz. Her yıl bu konulardan mutlaka soru gelmektedir. A. Kareköklü ifadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi Öncelikle aşağıda verilen örnekleri dikkatlice incelikten sonra açıklamasını yapalım. Örnek: ( ) ( ) +4 = +4 =6 - = - = 5 + = 5 + Yukarıdaki işlemleri dikkatli incelersek, toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, karekök içindeki sayıların aynı olup olmadığına dikkat edilir. Karekök içleri aynı ise katsayılar işleme göre toplanır veya çıkarılır. Karekök içleri aynı değilse toplama veya çıkarma işlemi yapılamaz. Yani: a b±c b= ( a±c) b olmalıdır diyebiliriz. Yoksa işlemleri yapamayız. Örnek: ( ) ( ) ( ) ( ) = +7 5 = = = = 6+-0 = = ++ 6 = 6 Örnek: + işleminin sonucunu bulalım. sayısını çarpanlarına ayırırsak olur.. + =.+ = + = Örnek: 7 - işleminin sonucunu bulalım. 7 =.. =. = 6 =.. =. = 4 ( ). 6-4 = 6-4 = olur Örnek: 0 - ( 0-0 ) işleminin sonucunu bulalım. ( ) ( ) = = = = 4 0 olur.

56 Kareköklü ifadelerde Toplama Ve Çıkarma işlemi İle İlgili Çıkabilecek Farklı Soru Tarzları Burada sınavlarda çıkmış farklı ve seçici olan bazı soru türlerine bakacağız. Örnek: + ifadesini tamsayı yapmak için hangi sayı ile toplamamız gerekir? 5 + ( - 8 ) bulunuz. işleminin sonucunu ( Cevap = 0) A) - B) C) D) - = + = +. =+ Eklenen =+ - =+ - = Eklenen sayı görüldüğü gibi - sayısı. Cevap: D Örnek: + 7 ifadesinden hangi sayıyı çıkarırsak sonuç bir tamsayı olur? işleminin sonucunu bulunuz. ( Cevap = 5 ) Bir kenarı 5 6cm olan karenin çevresinin toplam uzunluğu kaç cm dir. ( Cevap = 0 6 ) A) - 4 B)4 C) - 5 D) = + 7 =4 +7 Çıkarılan = =7 Cevap: B Yukarıda örneklerde görüldüğü amaç kareköklü ifadeyi yok etmek için ters işaretlisini eklemek ya da aynı işaretlisini çıkarmak ifadesini tamsayı yapmak için hangi sayı ile toplamamız gerekir? (Cevap = - 0) )

57 B.Ondalık Sayıların Karekökünü Alalım Ondalık kesirlerin karekökü alınırken, ondalık sayı rasyonel bir sayıya dönüştürüldükten sonra karekök dışına çıkarılır. Örnek: 0,5 sayısını karekök dışına çıkaralım. 5 0,5 = 00 0,64 ifadesinin eşitini bulunuz. ( Cevap = 0,8 ) 5 5 0,5 = = = 0, olur., sayısını karekök dışına çıkaralım. 0,49 +,69 toplama işleminin sonucunu bulunuz. ( Cevap = ), = = =, ,9 sayısını karekök dışına çıkaralım. 9 0,9 = = 0 0 olarak kalır. Kök dışına çıkabilenler çıktı. Çıkamayanlar ise aynen yazıldı. Yukarıdaki soruya çok dikkat edelim. Örnek: 0,04 + 0,6 işleminin sonucunu bulalım. 0,04 = 4 = = 0, ,6 = 6 4 = = 0, , + 0,4 = 0,6 olur. C. Kareköklü İfadelerle İlgili İşlemler Bu konuda kareköklü ifadelerle ilgili karşınıza çıkabilecek farklı soru türlerine bakacağız. Bu örnekleri öğrenmeniz çıkabilecek soru türlerini hızlı çözmenize yardımcı olacaktır. Örnek: m + 5 = 80 ifadesinde m nin değeri kaça eşittir? 80 = 4 5 idi. m + 5 = 80 m+ 5 =4 5 m=4 5-5 m = 5 olur.

58 Örnek: a + = a + 99 denkleminde a sayısının alacağı değeri bulalım. 99 = idi. a + = a + 99 a + = a + a - a = - a = ) ifadesini aşağıdakilerden hangi sayıyı eklersek sonuç tamsayı olur? A) - B) C) D) - 4) ( 5- ) + ( 5+ ) işleminin sonucu kaça eşittir? A) B)5 C)0 D)0 k + = değer kaçtır? işleminde k nın alacağı ( Cevap = ) ) işleminin sonucu 50 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) 0 D) HAT SORULAR ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)9 6 B) 6 C)9 8 D) 8 6) x + 0 = 60 ifadesinde x sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B)7 0 C)0 6 D)6 0 ) - 5 işleminin sonucu kaça eşittir? A) B) C) - D) - 7) 0, 0 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A ) 0, B) C) 0,00 D) 0,

59 8) + 5 ifadesine 5 ifadesini eklersek sonuç aşağıdakilerden hangisine eşit olur? A) + 5 B) 8+ 0,8 ) işleminin sonucu 0, aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0, B) 0, C) 0,7 D) C) 5+8 D) 5+ 9),5 işleminin sonucu kaça eşittir? A) 5 B),5 C) 0,5 D),5 4) 7 ( 6-8 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 7 B) 49 C) 7 D) 6 0) Alanı 0 cm olan bir karenin çevresi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 40 B) 4 0 C) 40 D) 5 5) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 50 B) 0 C) 5 D) 6 5 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 87 B) C) D) 6), - 0,04 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A), B) 0,9 C) 0,6 D),6 ) Recep in evi ile okulu arası 8 km ve okul ile kırtasiye arası ise km dir. Servis ile okula gittikten sonra kırtasiyeye de giden Recep, toplam kaç km yol gitmiş olur? A) 9 B) 0 C) 7 D) 8 7) Bir kedi 00 metrelik bir yolun 08 metrelik kısmını gitmiştir. Buna göre geriye kaç metre yolu kalmıştır? A) 4 B) 6 C) 9 D) 8

60 ) verilen işlemin sonucu 7 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) 4 C) 6 D) 8 ) 0 - ( - 0 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)5 0 B) 0 - C) - 0 D)0 9) 0,6-0,09 0, verilen işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) A) B) - C) 0, D) -0, 0) 6 - ( - ) verilen işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 B) C) D) Alp in bir adımının uzunluğu 7 dm ve ablası Azra nın bir adımının uzunluğu ise 48 dm dir. Başlangıçta aynı noktada olan iki kardeşin 4 adım sonunda aralarındaki mesafe kaç dm olur? A) B) 4 C) 4 D) 5 ) NOKTA SORULAR Çevresi 7 7 cm olan bir ikizkenar üçgenin, ikizkenarlardan biri 8 cm olduğuna göre ikiz olmayan kenar kaç cm dir? A)8 7 B)7 7 C) 7 D) 7 4) 0,6 + 0,0 0,6 Yukarıda verilen işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B)5 C) D)0,

61 5) + 7 ifadesini tamsayı yapmak için, bu ifadeden aşağıdaki sayılardan hangisi eklenmelidir? 8) A) B) C) D) 6) Yukarıdaki akaryakıt istasyonuna yüksekliği 4,9 m üzerinde olan araçlar girememektedir. Buna göre aşağıda yüksekliği verilen araçlardan hangisi bu istasyona giremez? A), 5 B) C) 6, 5 D) 6 A 5 6 km B A şehri ile B şehri arası 5 6 km dir. A şehrindeki araç saatte 4 km ve B şehrindeki araç ise saatte 50 km hızla birlerine doğru hareket ediyorlar. Buna göre saat sonra aralarındaki mesafe kaç km olur? A) 7 6 B) 8 6 C) 9 6 D) 0 6 9) 0<a<5 ve 0<b<7 olduğuna göre 0,ab ifadesinin sonucu ondalık bir sayı olduğuna göre a+b kaç farklı değer alır? A) B) C) D) 4 7) + m = işleminde m nin alacağı değer aşağıdakilerden hangisidir? A) B) - C) D) - 0) Çevresi 80 cm olan bir üçgenin kenarlarından ikisinin uzunluğu 0 cm ve 5 cm ise diğer kenarın uzunluğu kaç cm olur? A) 5 B) 5 C) 55 D) 0 ) Alanı 88 cm olan bir karenin çevre uzunluğu kaç cm olur? A) 44 B) C) 4 D) 8

62 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç bir tamsayı olur? A) 6 B) C) D) 5 6) 0,49 +,69 - verilen işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) - B) C) D) ) A B 8 cm 7) 75 cm olan bir ipliğin cm lik kısmı kullanılırsa geriye ipliğin kaçta kaçı kalır? A kutusu ile B kutusu arasındaki mesafe 8 cm dir. A kutusu 8 cm A) 5 B) C) 5 D) 4 5 ve B kutusu ise cm ok yönünde hareket ederlerse aralarındaki mesafe kaç cm olur? A) 7 B) 4 C) 5 D) 4) Alanı 405 cm olan bir karenin çevresi ile bir eş kenar üçgenin çevre uzunlukları birbirine eşittir. Buna göre bu üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç cm olur? 8) + 50 = 8 + A bu eşitliğe göre A yerine aşağıdaki sayılardan hangisi yazılmalıdır? A) 4 B) 74 C) 7 D) 90 A) 6 5 B) 5 C) 5 D) 5 5) - 6 sayısı ile aşağıdakilerden hangisi toplanırsa sonuç bir tamsayı olur? A) 7 B) - 7 C) 7 D) - 7 9) 45 metrelik bir borunun ucuna 5 metrelik başka bir boru eklendikten sonra boru iki eş parçaya ayrılıyor. Her bir parçanın uzunluğu kaç metre olur? A) 85 B) 80 C) 60 D) 40

63 0) Bir elektrik süpürgesinin kablosunun uzunluğu en çok 8 m uzamaktadır. Aşağıda elektrik süpürgesine uzaklığı verilen odalardan hangisine süpürge ile yetişilemez? A) 5 + B) 7 + 0,0 + 0,08 ) verilen işlemin 0,8 sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0, B) 0,08 C) D) C) D) ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) Şekildeki eş karelerden her birinin alanı 8 cm dir. Buna göre çeklin çevresi kaç cm dir? A) 4 B) 6 C) D) 0 ) 48 + cm uzunluğundaki bir kalas + santimetrelik parçalara ayrılırsa kaç adet kalas parçası elde edilir? A) B) C) 4 D) 5

64 OLASILIK Kazanım : Bir olaya ait olası durumları belirler. Kazanım : Daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olayları ayırt eder; örnek verir. Kazanım : Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının eş olasılıklı olduğunu ve bu değerin /n olduğunu açıklar Kazanım 4: Olasılık değerinin 0- arasında olduğunu anlar ve kesin () ile imkânsız (0) olayları yorumlar. Kazanım 5: Basit olayların olma olasılığını hesaplar. Önce olası durumları yazalım:,,, 4, 5, 6, 7, 8,9 olur. 5 adet tek sayı ve 4 adet çift sayı vardır. O halde tek sayı gelme olasılığı daha fazladır. Örnek: Bir kutuda 8 beyaz, 4 kırmızı ve 8 tane sarı top vardır. Bu kutudan hangi renk topları çekmenin olasılığı birbirine eşittir? Beyaz ve sarı topların sayıları birbirine eşit olduğu için olasılık değerleri birbirine eşittir. Eş olasılıklı durumdur. Olasılık konusunda eskiden sadece kazanım 5 ile ilgili sorular geliyordu. Son yıllarda yapılan değişiklik ile artık ilk üç kazanımdan da sorular gelmektedir. Şimdi bir örnek üzerinden terimleri anlamaya çalışalım. Bir torbada turuncu, mavi ve yeşil renkte adet kalem vardır. Burada torbadan kalem çekme işlemine deney, deneyden elde edilen sonuçlara çıktı denir. Burada olası durum mavi, yeşil ve turuncu olmak üzere tanedir. Bir madeni para atıldığında olası durumlar yazı ve tura olmasıdır. Bir gezi ekibinde 0 kız ve 0 erkek olduğunu varsayalım. Bu ekipten seçilecek birinin kız olma olasılığı ile erkek olma olasılığı birbirine eşittir. den 9 a kadar olan doğal sayılar kartlara tek tek yazılarak bir kutuya atılıyor. Çekilen kartta çift mi gelme olasılığı yoksa tek mi gelme olasılığı yüksektir? A.Olay Çeşitleri. İmkânsız olay: Bu olayın gerçekleşme olasılığı mantıkça imkansızıdır. Olasılık değeri 0 dır. Örnek: Sarı renkli bilyelerin bulunduğu kutudan beyaz bilye çekme olasılığı gibi.. Kesin olay: Gerçekleşme ihtimali kesin olan olaylardır. Olasılık değeri dir. Örnek: Atılan bir madeni paranın yazı veya tura gelme olasılığı. Not: Bir olayın olasılık değeri 0 dan küçük ve den büyük olamaz. 0 olasılık değeri Örnek: Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olasılık değeri olamaz? A) B) C) 7 D) 4

65 Cevap: D seçeneği. Çünkü olasılık değeri den büyük olamaz. Örnek: Bir kutuda 5 beyaz ve 6 kırmızı bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde kırmızı gelme olasılığı nedir? Toplam (olası) durum= 5 kırmızı 6 beyaz olmak üzere toplam bilye vardır. İstenilen durum= 5 tane kırmızıdan birinin kırmızı gelmesi. Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olasılık değeri olabilir? Olasılık değeri= 5 A) 4 5 C) 5 6 B) 9 8 D) 6 7 Örnek: Aşağıda kenar uzunlukları 0 cm ve 50 cm olan dikdörtgen bir tahtanın ortasına bir kenarı 0 cm olan kare çiziliyor. Bir ok attığımızda karenin içine isabet etme olasılığını bulunuz. (Cevap=B) B. Bir Olayın Olma Olasılığı den 0 a kadar olan doğal sayılar tek tek kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele bir kart çekildiğinde sayısının gelme olasılığı nedir? Kutuda toplam 0 adet kart var. rakamının yazılı olduğu kâğıt adettir. O halde gelme olasılığı; Olasılık değeri ; olur. 0 Olasılık hesaplamaları yapılırken istenilen durum, toplam duruma oranlanarak bulunur. Yani: Olasılık istenilen durum = olduğu görülür. toplam durum Dikdörtgenin alanı = 0.50 = 500 cm Karenin alanı = 0.0 = 00 cm Olasılık değeri = 00 = olur C.Çözümlü Örnekler ) Bir küpün yüzü mavi renge, yüzü sarı renge ve diğer yüzleri ise siyah renge boyanıyor. Bu küp atıldığında üst yüze siyah gelme olasılığı kaça eşittir? Küpün toplam 6 yüzü vardır. O halde geriye kalan yüzü siyah renge boyanmıştır. Olasılık = = 6 olur. ) Bir kutuya den 0 ye kadar olan doğal sayılar kartlara ayrı ayrı yazılarak bir kutuya koyuluyor. Çekilen bir kartta yazan sayının e bölünebilme olasılığı nedir?

66 İstenen durum e bölünmesi:, 6, 9,, 5, 8 olmak üzere toplam 6 tane sayı e bölünür. Toplam sayı ise: 0 tane Olasılık = 6 = 0 0 olur. ) Bir vazoda 5 adet kırmızı gül, 8 adet karanfil ve 0 adet mor çiçek vardır. Rastgele bir çiçek aldığımızda mor çiçek olma olasılığı nedir? İstenen durum: 0 adet mor çiçek Toplam durum: = adet çiçek. Olasılık = 0 olur. 4) Aşağıda bir kenarı 6 dm olan karenin içine, kenarlara teğet çizilen levhaya ok attığımızda okun dairenin dışına ve karenin içine gelme olasılığı nedir? ( π=) Karenin bir kenarı 6 dm ise dairenin çapı da 6 dm olur. Yarıçapı ise dm olur. Dairenin alanı = π.r =. = 7 dm Karenin alanı = 6.6 = 6 dm İstenilen bölgenin alanı = 6 7 = 9 dm Toplam alanda karenin alanına eşit olur. Olasılık = 9 = 6 4 olur. 5) Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının veya olma olasılığı nedir? Zarın toplam 6 yüzü var. gelmesi gelmesi = 6 = 6 veya gelmesi= + = = ) den 0 a kadar olan sayılar toplara ayrı ayrı yazılarak bir kutuya atılıyor. Rastgele seçilen bir topun üzerinde yazan sayının veya 4 ün katı olma olasılığı nedir? Toplam 0 durum vardır. ün katları=, 6, ün katları=4,8 0 veya 4 ün katı olma olasılığı; 5 + = = Yukarıdaki örnekte veya kelimesine çok dikkat etmeliyiz.

67 7) 4) Toplam 0 yumurta bulunan bir sepetteki yumurtaların 5 tanesi kırıktır. Rastgele bir yumurta alınca sağlam olma olasılığı nedir? A) 5 B) 4 C) 6 5 D) 0 adet köstebek deliğinden ünde köstebekler yaşamaktadır. Rastgele seçilen bir delikte köstebek yaşamama olasılığı nedir? 0 adet yuvanın ünde köstebek varsa 7 tanesin da yoktur. O halde olasılık değeri = 7 0 olur. HAT SORULAR 5) Bir kutuda 8 mavi, 7 sarı, kırmızı ve 8 tane mor bilye vardır. Hangi renk bilyelerin çekilme olasılıkları eş olasılıklıdır? A) Mavi Mor B) Sarı Kırmızı C) Sarı Mor D) Kırmızı Mavi ) Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olasılık değeri olamaz? A) 7 9 B) 8 C) 8 47 D) 48 6) Bir kutuda bir miktar kırmızı kart ve 5 adette sarı kart vardır. Rastgele çekilen ) 5 tane mavi bilyenin bulunduğu bir kapta bir bilye çekildiğinde mavi gelme olasılığı nedir? bir kartın kırmızı olma olasılığı 4 5 olduğuna göre bu kutuda kaç adet kırmızı kart vardır? A) 0 B) 0 C) 8 D) 5 A) 0 B) C) 5 D) 5 ) 8 tane mavi top ve 4 tane kırmızı topun bulunduğu kaptan bir top çekildiğinde sarı gelme olasılığı nedir? A) 0 B) C) D) 7) 8 i sağlam toplam 40 ampulün bulunduğu kutudan seçilen bir ampulün sağlam olmama olasılığı nedir? 9 A) 0 B) 0 C) 78 9 D) 9

68 8) Emine Hanım ın çantasında toplam 9 adet anahtarı vardır ve tanesi ise kapıyı açmaktadır. İlk denmesinde kapıyı açma olasılığı nedir? A) 9 B) 9 C) 9 7 D) ) Bir zar atıldığında üst yüze 5 veya çift sayı gelme olasılığı nedir? A) B) 6 C) D) 9) Bir kutuda 5 adet sütlü, 6 adet fıstıklı ve 8 adet fındıklı çikolata vardır. Rastgele alınan bir çikolatanın fıstıklı olma olasılığı nedir? A) 9 B) 9 5 C) 9 8 D) 9 6 ) 0 kişilik bir sınıfta 0 kişi keman, kişi saz ve 5 kişide gitar çalmaktadır. Rastgele seçilen bir öğrencinin hiçbir aleti çalmama olasılığı nedir? A) B) 4 C) 0 D) 0 0) 50 cm 0 cm 60 cm Yukarıda kenar uzunlukları verilen dikdörtgen levhanın içine bir kenarı 0 cm olan kare levha çizilmiştir. Atılan bir okun mavi bölgeye isabet etme olasılığı nedir? 4) Bir torbada 5 adet elma, 6 adet portakal ve 0 adet armut vardır. Seçilen bir meyvenin portakal olma olasılığı nedir? 0 A) 5 B) 7 C) 0 D) 7 4 A) 5 B) 5 C) 0 D) 7 4 ) Adana dan Ankara ya günde 4 uçak ve 0 otobüs gitmektedir. Adana dan Ankara ya herhangi bir araçla seyahat eden birinin uçakla gitme olasılığı nedir? 5) Bir zar atıldığında gelen sayının asal olma veya çift olmama olasılığı nedir? 5 A) B) C) D) 6 6 A) 5 B) 7 C) 4 D)

69 NOKTA SORULAR ) Beslenme çantasının içinde tane peynirli, 5 tane sucuklu ve 8 tane de karışık tost vardır. Rastgele alınan bir tostun karışık olma olasılığı nedir? A) 6 B) C) 6 5 D) 5 5) Eşit şansa sahip olaylarda her bir çıktının eş olasılıklı olduğunu ve bu değerin n olduğu durumlarda n neyi temsil eder? A) İstenen durum B) Olası durum C) İmkânsız durum D) Olasılık değeri ) Aşağıdakilerden hangisi bir olayın gerçekleşme olasılığı olabilir? A) 0 B) C) 4 D) 4 5 ) 5 tane vişne suyu ve 4 tane şeftali suyu olan bir dolaptan rastgele alınan bir kutunun şeftali veya vişne suyu olma olasılığı nedir? A) B) 6 C) D) 5 6) Bir kutuya den 50 ye kadar olan sayılar kartlara tek tek yazılarak bir kutuya atılıyor. Rastgele seçilen bir kartın ve 4 ün katı olma olasılığı nedir? A) 50 9 B) 5 C) 0 D) 50 4) Türkiye de ki araçların %0 u benzin ile çalışmaktadır. Buna göre rastgele seçilen bir aracın benzinli olma olasılığı nedir? A) 0 7 B) 0 C) 00 D) 0 7) Bir küpün yüzü mavi, yüzü kırmızı ve yüzü de siyaha boyanıyor. Rastgele atıldığında üst yüze kırmızı gelme olasılığı nedir? A) B) 6 C) D) 5

70 8) ) Şekildeki ön yüzü boyalı kartlar karıştırılıp ters çevriliyor. Rastgele bir kart seçtiğimizde turuncu gelme olasılığı nedir? A) B) 5 C) 4 D) 7 Şekildeki içi boyalı dairede, içteki mavi bölgenin alanı 5 cm ve yeşil bölgenin alanı ise cm dir. Bu levhaya bir ok atıldığında okun yeşil alanı vurma olasılığı nedir? (Okun dışarı gitme ihtimali bulunmamaktadır.) A) 8 B) 8 C) D) 5 9) -,, - 4 sayılarından herhangi ikisi seçilerek çarpım sonuçları ayrı ayrı kâğıtlara yazılarak bir kutuya atılıyor. Kutudan rastgele seçilen bir kartta yazan sayının pozitif olma olasılığı nedir? ) Bir kutu içindeki 8 adet üçgen, 5 adet dikdörtgen ve adet kare levhalar vardır. Bu kutudan kare levhayı kesin olarak çekmek için, kutu en az kaç adet levha çekilmelidir? A) 8 B) 5 C) 4 D) 9 A) B) C) 6 D) 6 5 ) Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 6 nın çarpanı olma olasılığı nedir? A) B) 4 C) D) 6 5 0) 0 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin ü erkek ve 7 si kızdır. Kızların 5 i ve erkeklerin si gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı nedir? A) 0 B) 0 7 C) 5 D) 4) 00 m bir arsa içindeki 00 m lik bir ev yapılmıştır. Bu alana yukarıdan paraşütle atlayan birinin evin çatısına düşmeme olasılığı nedir? A) 6 B) 6 5 C) 7 D) 7 4

71 5) 6 dm 8dm Şekildeki uzun kenarı 6 dm, kısa kenarı 8 dm olan ve içine iki tane kenarlara teğet daire çizilen levhaya atılan bir topun levhanın içine fakat dairelerin dışına isabet etme olasılığı nedir? 8) Bir A olayının gerçekleşme olasılığı ve B olayının gerçekleşme olasılığı 5 ise A veya B olayının gerçekleşme olasılığı nedir? A) 5 B) 5 4 C) 9 D) 5 A) B) 4 C) 5 D) 6 6) Yukarıdaki halının m si mavi, m si mor,,5 m si turuncu ve,5 m si ise yeşil renklidir. Halının üzerine düşen oyuncağın yeşil renkli bölgeye düşme olasılığı nedir? 9) den 0 ye kadar olan doğal sayılar kartlara tek tek yazılarak bir kutuya atılıyor. Rastgele çekilen kartın asal sayı olma olasılığı kaçtır? 4 A) B) C) D) A) 4 B) 5 C) 6 D) 5 7) 80 cm 70 cm Kenar uzunlukları verilen dikdörtgen biçimindeki bir tahtanın ortasında 0 cm yarıçaplı daire şeklinde bir delik vardır. Yukarıdan atılan bir topun bu delikten geçme olasılığı nedir? 0) Serkan beyin oturduğu apartmanda her katta daire vardır ve bu apartman 7 katlıdır. Apartman girişindeki zillere rastgele basan birinin Serkan Bey in ziline basma olasılığı nedir? 0 A) B) C) D) 7 A) 56 9 B) 80 C) 56 D) 5

72 HAYATIMIZ OLASILIK Köpek ısırması sonucunda ölme olasılığı: 0 milyonda bir. Bir uçaktan düşen parçalar yüzünden ölme olasılığı: 0 milyonda bir. İlk denemede dört yapraklı yonca bulma olasılığı: 0 binde bir. Bugün bir UFO görme olasılığı: milyonda bir. Gıda zehirlenmesi yüzünden ölüm olasılığı: milyonda bir. Köpek balığı saldırısında ölme olasılığı: 00 milyonda bir. Bisiklet kullanırken ölme olasılığı: 4 bin 47 de bir. Gelecek asırda dünyaya çarpan astroid sonucu ölme olasılığı : 500 binde bir. Bir uçak kazasında bulunma olasılığı: 500 binde bir. ) Necati nin tanesi kırmızı toplam gömleği, tanesi siyah toplam pantolonu ve tanesi kahverengi toplam adet ayakkabısı vardır. Sabah işe gidecek olan Necati nin kırmızı gömlek, siyah pantolon ve kahverengi ayakkabısını giyme olasılığı nedir? A) B) C) D) 5 6 ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) İki zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir? A) B) C) D) ) Bir sınıfın %40 erkek öğrencidir. Erkek öğrencilerin ise %50 si gözlüklüdür. Gözlüksüz erkek öğrenci sayısı 6 ise bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı nedir? A) B) C) D) 6 5

73 CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER Kazanım: Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Kazanım: Cebirsel ifadelerin çarpımını yapar. Açıklama: Cebirsel ifadelerdeki katsayılar tam sayılar içinde kalacak biçimde seçilir. Kazanım: Özdeşlikleri modellerle açıklar. (a ± b) = a ± ab +b ve a b =(a b)(a+b) özdeşlikleriyle sınırlı kalınır. Özdeşliklerdeki katsayılar tam sayılar içinde kalacak biçimde seçilir. Kazanım: Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırır. Açıklama: Ortak çarpan parantezine alma ile iki kare farkı ve a ± ab + b biçimindeki ifadelerin çarpanlara ayırma işlemleri ele alınır. Bu bölümde cebirsel ifadelerle çarpma, özdeşlikleri modelleme ve cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmayı göreceğiz. Her yıl sınavlardada - soru gelmektedir. Örnekleri dikkatli inceleyip kavramaya çalışınız. A.Cebirsel İfadeleri Anlayalım İçerisinde değişken (bilinmeyen) bulunan ifadelere cebirsel ifadeler denir. Terimlerin sayısal çarpanına katsayı denir. İçerinde değişken bulunmayan (değişkenin kuvveti sıfır olan) ifadeye sabit terim denir. Aşağıda verilen cebirsel ifadeleri inceleyelim. Katsayıyı, sabit terimi, değişkeni ve terim sayısını nasıl bulacağımıza bakalım. x + Katsayısı ve Değişken x Terim sayısı Sabit terim + x-y-7 Katsayısı, -, -7 Değişken x, y Terim sayısı Sabit terim -7 x - x + Katsayısı, -, Değişken x Terim sayısı Sabit terim + y + 5x + Katsayısı, 5, Değişken x, y Terim sayısı Sabit terim +

74 B.Cebirsel İfadelerle Çarpma İşlemini Yapma Cebirsel ifadelerle çarpma yapılırken katsayılar kendi arasında, değişkenler ise kendi arasında çarpılarak işlem yapılır. Aşağıda verilen cebirsel ifadelerle verilen çarpma işlemlerini inceleyelim. Örnek: x.x = x x.x = x x.y.y = xy x. = 6x -x.4 = -x 7.6x = 4x y.7y = 4y x.x. = 8x x.5x = 0x Dağılma özelliğinden faydalanarak cebirsel ifadeleri çarpalım. (x + ) çarpma işlemini yapalım. =.x +. = 6x + 6 x(x + ) çarpma işlemini yapalım. = x.x + x. = x + x 4x(x - y) çarpma işlemini yapalım. = 4x.x - 4x.y = 4x - 4xy (x + )(x - ) çarpma işlemini yapalım. = x.x + x.(-) +.x +.(-) =x -x+x- =x - (x + )(5x - ) çarpma işlemini yapalım. = x.5x + x.(-) +.5x +.(-) = 0x - x + 5x - = 0x + x - x - çarpma işlemini yapalım = x.x + x(-) +.x + (-) ( x + )( ) = x - x + x - = x + x - C.Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemini Modelleme ( x+)( x+) çarpma işlemini modelleyerek yapalım. x x x x x. (x+) ( )( ) x (x+) x+ x+ =x +x+ olur. ( x+)( x+ ) Cebirsel çarpma işlemini modelleyelim. x x x x

75 x x x x ( x + ) çarpma işlemini modelleyiniz (x+) (x+) ( )( ) x+ x+ =x +x+ olur. ( x+)( x+4 ) Cebirsel çarpma işlemini modelleyelim. D.Denklemler ve Özdeşlikler x x x İçinde bilinmeyen (değişken) bulunan ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere denklem denir. x+ = x+4 x- = 4x+ (x+) x-x = 4- x-4x = + x = -x = 5 x = -5 (x+4) ( x + )( x + 4 ) = x + 0x + 8 olur. İçerisindeki bilmeyenlere verilen tüm reel değerleri sağlayan eşitliklere özdeşlik denir. (x+) = x+ x+ = x+ ( x+)( x+ ) çarpma işlemini modelleyiniz. x-x = - 0 = 0 Yukarıda görüldüğü gibi x in bütün reel değerleri için doğru olmaktadır. O halde yukarıdaki eşitlik özdeşliktir.

76 Örnek: 4 ( x - ) = -4 + x ifadesinin denklem ya da özdeşlik olup olmadığını inceleyelim. 4 ( x - ) = -4 + x x - 4 = -4 + x x - x = =0 Yukarıda verilen eşitlikte x in bütün reel sayı değerleri için doğru olur. O halde özdeşlik olur. Örnek: ( x - ) = - x ifadesinin denklem ya da özdeşlik olup olmadığını inceleyelim. ( x - ) = - x x - = - x x + x = + 6x = 4 4 x= 6 Yukarıda verilen eşitlikte x in yalnız bir değeri için sağladığına göre denklem olur. Örnekler: Aşağıdaki ifadelerden denklem olanları ve özdeşlik olanlarını belirleyelim. ( x + 5 ) = x x x + 5 = x + 5 ( ) 0 = 0 O halde özdeşlik olur. a a - = - + a a.a a = - + a a a = - + a -a = - a = - O halde bu bir denklemdir. ( ) x+ =x +x+ (x+) = (x+)(x+) = x.x+x.+.x+. = x +x+ O halde bu bir özdeşliktir. x + (x - ) = x - 9 x + x = x -9 5x- = x - 9 5x x = -9 + x = -6 x = - O halde bu bir denklem olur. Aşağıda verilen eşitliklerden hangisinin özdeşlik hangisinin denklem olduğunu belirtiniz. ) 5 - x = -5x + x ) - x + x = x + ( ) ( ) ) x - x = -x + x 4) 7 x - 4 = -4x + 7 (Cevap = ve 4 denklem, ve özdeşlik)

77 E. Özdeşlikleri modellerle açıklayalım. ) Tam kare Özdeşlik modelleri; Aşağıda ( ) a+b ifadesinin modellemesi yapılmıştır. Şekillerin alanlarını bularak modelleme yaparız. ( ) a + b = a + ab + b (a-b).(a-b) olur. O halde buradan; ( ) a - b = a - ab + b özdeşliğini buluruz. ) İki Kare Farkı Özdeşlik modelleri Aşağıda x -y ifadesinin modellemesi yapılmıştır. Yine şekillerin alanlarını bularak modelleme yaparız. x - y = (x - y)(x + y) O halde yukarıdaki modellemede görüldüğü gibi; (a+b).(a+b) = a + ab + b olur. Şimdi de (a b) ifadesini modelleyelim. ( ) a - b = a - ab + b Görüldüğü gibi modelleme yaptığımızda x y alanlı şekli ortadan kesip dikdörtgen olacak şekilde birleştirdiğimizde alanı (x-y).(x+y) alanlı dikdörtgene eşit olmaktadır. Buna göre; x - y = (x - y)(x + y) özdeşliğini elde ederiz. Renkli karenin alanını veren ifade; = a b(a-b) b(a-b) - b = a ab + b - ab + b - b = a ab + b olur. O zaman diyebiliriz; İki kare farkının özdeşi alınırken; sayıların köklerinin farkı ile toplamı çarpılır. Örnek; x -=( x-)( x+ ) Ya da;

78 Örnek: Aşağıda verilen iki kare farkı özdeşlik örneklerini inceleyelim. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4x + y) x - 6 = x - 4 x + 4 y - 49 = y - 7 y + 7 9m - 5 = m - 5 m + 5 6x - 4y = 4x - y ( )( ) x -= x- x+ F. Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım ) Ortak Çarpan Parantezi: x + 4 İfadesini ortak çarpan parantezine alalım. x ve 4 ün ortak çarpanı olur. x+4=( x+ ) - m İfadesini ortak çarpan parantezine alalım. ile m in ortak çarpanları olur. - m = ( 4 - m ) ( x-9 ) İfadesinin özdeşini yazınız. ( Cevap = x - 8x + 8 ) ( m - n ) İfadesinin özdeşini yazınız. ( Cevap = m - 4mn + 4n ) k - 6 İfadesinin özdeşini yazınız. ( Cevap = ( k - 6)( k + 6 )) 9x - 00 İfadesinin özdeşini yazınız. Not: a - b = a + b - 4ab ( ) ( ) ( ) ( ) a + b = a - b + 4ab ( Cevap : ( x - 0)( x + 0 )) Yukarıda verilen tam kare ifadelerin özdeşi, bazı soru türlerinde bize yardımcı olacaktır. 4x - 4x İfadesini ortak çarpan parantezine alalım. 4x ile 4x in ortak çarpanı 4x olur. ( ) 4x - 4x = 4x x - 5k + 0k İfadesini ortak çarpan parantezine alalım. 5k ile 0k nın ortak çarpanı 5k olur. ( ) 5k + 0k = 5k k + Tabanı aynı olan üslü ifadelerin ortak çarpanı kuvvet küçük olandır. Örneğin; x 4 ve x ifadelerinin ortak çarpanı x olur. ) Özdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma x -y = x-y ( x ± y ) ( )( x+y) = x ± xy + y 9-x İfadesini çarpanlarına ayıralım. ( )( ) 9-x = -x +x

79 Örnek: 0x - 0 İfadesini çarpanlarına ayıralım. 0x - 0 = 0(x - ) = 0.(x-).(x+) Yukarıdaki örnekte ortak çarpan parantezine aldıktan sonra iki kare farkından yararlanarak çarpanlarına ayırdık. Örnek: 9x - 4x + Δ ifadesi tam kare olduğuna göre hangi sayı gelmelidir. 9x - 4x + Δ ( ) x.x -..4x + Δ = x -? ( ) x - 4 = 9x - 4x + 6 Δ = 6 olur. Örnek: 4x + ax + ifadesinin tam kare olması için a yerine gelecek pozitif sayıyı bulalım. 4x + ax + x.x + ax+. (x+) olmalıdır. (x+) =4x +4x+ O halde a = 4 olur. Örnek: 8 - = D.9 eşitliğinde D yerine kaç geleceğini bulalım. İki kare farkından yararlanarak; 8 - = (8-).(8+) 8 - = 7.9 O halde D = 7 olur. 5y + 5 İfadesini ortak çarpan parantezine alınız. ( Cevap = 5(y + ) ) 8x - x İfadesini ortak çarpan parantezine alınız. ( Cevap = x ( 4x - )) Örnek: Alanı x -6x+9 cm olan karenin çevresinin uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi bulalım. Karenin alanı tam kare özdeşlik olur. x -6x+9 = (x-) olur. O zaman karenin bir kenarı x- cm olur. Çevresi = 4.(x-) = 4x cm olur. p -9 İfadesini çarpanlarına ayırınız. ( Cevap = (p + )(p - ) )

80 HAT SORULAR ) Aşağıdaki ifadelerden hangisinin değişkeni sadece x olur? A) m+ 5) 4x ( x - ) cebirsel çarpma işleminin sonucu kaçtır? A)4x - B)4x - C)4x -x D) - 8x B) x + y C) x + x D) x + a + 5 ) Aşağıdaki cebirsel ifadelerin hangisinin sabit terimi -5 değildir? A) m + n -5 6) ( x+)( x+ ) cebirsel çarpma işleminin sonucu kaçtır? A)x + x + B)x +x+ C)x + x + D)x + x + B) x + + y -7 C) x 5x D) x ( y + 5 ) ) Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisinin katsayılar toplamı olur? A) x y B) x + y C) x + y D) y x 7) Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisinin çarpanlarından biri x olabilir? A)x - B)5x -0 C)x - x + D)x - 9 8) 4) x (-x) cebirsel çarpma işleminin sonucu kaçtır? A)5x B)6x C) - 6x D) - x Yukarıda modellemesi verilen cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) A) x+ x+ B) x+ x+ C) x x + D) x x +

81 9) ) Aşağıda verilen modellemelerden hangisi ( x+)( x+ ) cebirsel ifadesine aittir? Yukarıda modellemesi verilen cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) A) x+ x+ B) x+ x+ C) x+ x+ D) x x + 0) x -9cebirsel ifadelerin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir? ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A) x + x - B) x - 9 x + 9 C) x - 4 x + D) x - x + ) Aşağıdaki verilen ifadelerden hangisi özdeşlik değildir? ( ) ( )( ) A) x -= x+ x- B) x - 5 = -5x + C) 7x + 6 = 6 + 4x + x D) x - = x - x + ) Çarpanları ( x - )( x + ) olan cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) 9x - B) x - 9 C) x - D) 9x -

82 4) x - 6x cebirsel ifadesinin terimlerin ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisidir? 9) A) B)6 C)x D)6x 5) 5m( 5m + 5 ) cebirsel çarpma işleminin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 5m + 5 C) 5m + 5m B) 5m + 5m D) 5m + 5 6) x ( x - y ) cebirsel çarpma işleminin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x - y C) x - y B) x - xy D) x - y 7) Kısa kenarı a ve uzun kenarı a olan dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) a B) a C) a D) a 8) Bir kenarı ( x 7) birim olan karenin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda modellemesi verilen cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) a +8b+8 B) a + 8ab + 8 C) a + 6ab + 8b D) a + 8b + b 0) 4m - n cebirsel ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir? ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A) m - n m + n B) 4m - n 4m + n C) m - n m + n D) m - n m + n A) x -4x + 49 B) x +4x + 49 C) x + 7x - 49 D) x + 7x + 49

83 NOKTA SORULAR 4) ) Aşağıda verilen cebirsel ifadelerden hangisinde sabit terim ile tam bölünmez? A) x + 9 B) x - x + C) x++y+ D) 8-5y ) Tarık Öğretmen, öğrencilerine "bir sayı kendisiyle çarpıldıktan sonra kendisinin iki katı eklenmiş hali" diyerek bunun cebirsel yazılmasını istemiştir. Hangi öğrenci doğru cevap vermiştir? A)x B)x + C)x + x ) D)x + x Yanda verilen modellemenin cebirsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda verilen ABCD karesinin bir kenarı x birim ve [AE] arası ise y birim olduğuna göre mavi boyalı karenin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) x - y B) x + y C) x - xy + y D) x + x + 5) Dairenin alanı bulunurken π (pi) sayısı ile yarıçapının karesi çarpılarak bulunur. Yanda verilen dairenin yarıçapı x - cm ise alanı veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? ( = ) π A) x - x + 4 B) x -x + C) x - 6 D) x + 4 A) y + 4y + B) y + y + 4 C) y - 6y D) y +5y+ 6) (6a-5).(4a+6) cebirsel çarpma işleminde a lı teriminin katsayısı kaça eşittir? A) 6 B) 6 C) 46 D) 56

84 7) x - 9 ile x - 6 ifadelerinin ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisidir? A)x - B)x + C)x D)x - 6 0) Aşağıda verilen ifadelerden hangisinin çarpanlarından birisi x+ değildir? A) 9x + 6 B) 9x - 4 C) 6x + 4x D) x - 8 8) ) Yanda bir kenar uzunluğu verilen karenin çevresini veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisi olamaz? Yukarıda şekilde [ABCD] dikdörtgen ve [DCFE] kare ise verilen şeklin alanı veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? ( ) A) a a + b B) a + b C) 4a a + b D) ab + b ( ) A) 4m + 8p B) 8m + 4p C) 4(m + p) D) 4m + p ( ) ) Aşağıdakilerden hangisi 9x - 9 ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A)9 B)4 C)x - D)x + 9) Aşağıda verilen ifadelerden hangisi bir özdeşlik değildir? ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) A) - x =- x + x B) 4x - 5 = 8x C) 7 x + = 7x + D) y+z y-z =y -z ) Yanda verilen modellemenin cebirsel ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4a + 4a + 4 B) a + 4a C) a + 8a D) 4a + 8

85 4) a + b = 0 ve a.b = olduğuna göre ( a+b ) 'nin alabileceği pozitif değer aşağıdakilerden hangisine eşittir? 9) 88-4 = 90. ( x + ) işleminde x aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 9 B) 84 C) 90 D) 85 A) 6 B) 5 C) D) 5) a +b=8 ve a.b = 4 olduğuna göre a +b 'nin alacağı değer aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 75 B) 64 C) 56 D) 49 6) Alanı x - x olan bir dikdörtgenin çevresinin uzunluğunu veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 8x- B) 4x-6 C) 6x-4 D) 4x-8 7) Yanda verilen karenin alanını veren cebirsel ifade x + 0x + Δ olduğuna göre yerine aşağıdakilerden hangi sayı gelmelidir? A) 0 B) 5 C) 5 D) 6 8) 0) Öğretmeni, Taşer'den çarpanlarından biri x+ olan cebirsel ifadeleri göstermesini istiyor. Taşer aşağıdakilerden hangisini söylerse doğru cevabı vermiş olur? I. 8x + 4 II. III. VI. 4x - 4x + 4x + 6x + A) Yalnız II B) I ve II C) I, II, III D) I, II, III, VI Yukarıda bir kenarı a birim olan karenin dört köşesinden bir kenarı b cm olan kareler kesilerek çıkarılıyor. Geriye kalan şeklin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A) a - b a + b B) 4a - b 4a + b C) a - b a + b D) a - 4b a + 4b

86 Türk-İslam Dünyası'nda Cebir Objektif olarak hazırlanmış, matematik tarihi eserleri incelendiğinde, açık olarak şu hüküm görülür: Matematiğin geniş bir dalı olan cebire ait temel bilgilerin büyük bir çoğunluğu, 8. ile 6. yüzyıl Türk - İslam Dünyası âlimleri tarafından ilk olarak ortaya konulmuş ve belli bir noktaya kadar da geliştirilmiştir. İslamiyet in başlangıç yıllarında; dini günlerin tespiti, namaz vakitlerinin belirlenmesi, takvim hazırlanması gibi dini problemlerle uğraşılmış olunduğu muhakkak ise de, o devir İslam matematikçilerinin, arazi ölçüleri, veraset hesapları, yükseklik tayini ve günlük yaşantı için gerekli pratik ölçme ve hesaplamalar hakkında bazı çalışmaların varlığı söz konusu olabilir. Ancak bu tarihten itibaren, Bağdat'ta kurulan ve bugünkü Üniversitelere benzer kurum olan Dar-ül Hikme'de başta matematik olmak üzere, öteki bilimler hızla gelişmeye başlamıştır. ) ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) Bir kenarı x- cm olan karenin alanının çevresine oranı aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A)x - 9 B) x-9 6 x -9 x- C) D) 6 4 ) Yukarı verilen karenin bir kenar uzunlu 4m dir. Bu kareden bir kenar uzunluğu n olan küçük kareler kesilince geriye kalan şeklin alanı ( 4m - n)( 4m + n ) olduğuna göre küçük karelerden kaç adet kesilerek çıkarılmıştır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 Yukarı verilen şeklin alanını veren cebirsel ifade aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) 4x - B) x - C) x - D) 6x +

87 BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Kazanım: Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Açıklama: Bu sınıf düzeyinde katsayıları rasyonel olan denklemlere yer verilir. Burada önce bir bilinmeyenli denklemelerin çözümünü öğreneceğiz. Sonra bir bilinmeyenli rasyonel denklemelerin çözümü ve rasyonel denklem içeren problemlerin çözümünü öğreneceğiz. Örnekler üzerinden gidilerek sınavlarda çıkmış soru türleri üzerinden gideceğiz. Örnekleri dikkatlice inceleyiniz. x+(x+)= denkleminde x değerini bulalım. x+x+ = 5x = - 5x = 0 x=4 olur. İçerisinde bir bilinmeyen bulunan ifadelere bir bilinmeyenli denklemler denir. Bize verilen problemlerden, sözel olarak verilen ifadeleri sayısal ifadeye nasıl dönüştüreceğimize bakalım. Sözel İfade Bir sayının 5 fazlası Paramın 4 katı Yaşımın katının fazlası Boyumun eksiğinin 5 katı Bir sayının 8 fazlasının / i Bir yolun / sinin 4 eksiği Sayısal ifade x+5 4x x+ 5(x-) x+8 x - 4 Örnek: Büşra nın yaşının katının 7 fazlası 65 ise Büşra nın yaşının kaç olduğunu bulalım. Büşra nın yaşı x olsun. katının 7 fazlası = x+7 x+7=65 x=65-7 x=58 x=9 olur. Örnek: Bir sayının yarısının eksiği 0 ise bu sayının kaç olduğunu bulalım. Bu sayı y olsun. Yarısının eksiği= y - y - = 0 y = 04 y = 08 olur. Örnek: Bir sayının katının 5 eksiği, kendisinin 9 fazlasına eşit olduğuna göre bu sayıyı bulalım.

88 Bu sayı a olsun. katının 5 eksiği a-5 9 fazlası a+9 Buradan yola çıkarak; a-5=a+9 a-a=9+5 x, ve x x x + = 5 5x = 5 6 Örnek: x = 4 olur a=54 a= 7 buluruz. Örnek: Bir pastanın önce 5 i, sonra 4 ü yenilince geriye dilim pasta kalmıştır. Buna göre başlangıçta pastanın kaç dilim olduğunu bulalım. Başlangıçta pasta miktarı m olsun. Pastanın 5 i m 5 Pastanın 4 i m 4 Yenilen pasta miktarı= m m 9m + = m m Geriye kalan pasta= m- = 0 0 m = 0 m = 0. m = 40 olur Örnek: 'i ile 'inin sayıyı bulalım. Bu sayı x olsun. toplamı 5 olan Bir sınıfta bulunan öğrenciler sıralara ikişerli oturunca 5 öğrenci ayakta kalıyor. Eğer sıralara üçerli otururlarsa sıra boşta kalıyor. Buna göre sınıfta kaç öğrenci olduğunu bulalım. Sıra sayısına x diyelim. İlk durumda ikişerli oturuyorlar. Toplam öğrenci sayısı x+5 olur. İkinci durumda üçerli oturuyorlar. sıra boş kalıyorsa x- sıra doludur. Toplam öğrenci sayısı (x-) olur. Öğrenci sayısı değişmediğine göre; x+5=(x-) x+5=x- 5+=x-x buradan x=8 bulunur. Öğrenci sayısı x+5 =.8+5 = 6+5 = olur. Örnek: İki kardeşten büyük kardeşin yaşı küçük kardeşin yaşının katının 7 eksiğidir. İkisinin yaşları toplamı 7 ise küçük kardeş kaç yaşındadır? Küçük kardeşin yaşı y olsun. Büyük kardeşin yaşı y-7 olur.

89 y-7+y=7 4y=7+7 4y=4 buradan y=6 olur. Örnek: Soruda telin boyunun i kesiliyor 5 diyor. İşlem kolaylığı açısından telin başlangıç boyuna 5x diyelim. Bu durumda telin orta noktası 5x olur. Telin boyunun i x olur. x 5 uzunluğunda parçayı keselim. Necmi bir binanın merdiven basamaklarını üçer üçer çıkıp, ikişer ikişer iniyor. İnerken 5 adım fazla attığına göre merdiven kaç basamaklı olduğunu bulalım. Merdivenin basamak sayısı a olsun. Üçer üçer çıkarken attığı adım sayısı; a İkişer ikişer inerken attığı adım sayısı; a Aradaki fark a - a a a - = 5 a - a = 5 6 a = 5 a = 90 olur. 6 Örnek: Belli uzunluktaki bir telin ucundan, boyunun i kesilince orta 5 noktası ilk duruma göre cm kaymaktadır. Buna bu telin başlangıçta kaç cm olduğunu bulalım. Bu durumda telin orta noktası 4x olur. 5x 4x - = 5x - 4x = x = x = 8 olur. Telin boyu 5x = 5.8 = 0 cm olur. Bir sayının 5 fazlasının 'si 54 olduğuna göre bu sayının kaç olduğunu bulunuz. (Cevap = 76) x + 5 = x - 0 ifadesinde x in alacağı değeri bulunuz.

90 (Cevap = 9) HAT SORULAR ) Bir sayının 5 katının fazlası ifadesinin cebirsel ifade olarak gösterimi hangi seçenekte verilmiştir? A) 5x- B) x+5 C) 5x+ D) x(+5) 5) Aşağıda verilen ifadelerden hangisinde değişken e eşit değildir? A) x-=6 B) (x+)=4-x C) 4x+6=x+5 D) x-(x+)=-4 ) Cebirsel yazılımı x +6 olan bir ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) Paramın yarısının 6 fazlası. B) Boyumun nin 6 fazlası. 6) a + a = 4 kaça eşittir? denkleminde a değeri A) 6 B) 8 C) D) C) Yaşımın 6 nin fazlası. D) Kalemlerimin 6 fazlasının i. m + 7) =4 4 kaça eşittir? denkleminde m değeri ) 5x-=4x- denkleminde x değeri kaça eşittir? A) B) C) 5 D) 8 A) - B) C)6 D) - 8) Nermin in kalemlerinin çeyreğinin 5 fazlası olduğuna göre toplam kaç adet kalemi vardır? 4) (y-) = 4(y+) denkleminde y değeri kaça eşittir? A) 74 B) 8 C) 96 D) 04 A) -5 B) C) 9 D) -

91 9) Bir sepetteki yumurtaların 5 katının 5 eksiği 45 olduğuna göre sepette toplam kaç yumurta vardır? A) B) 5 C) 45 D) 60 x ) x - = 0 denkleminde x değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 45 0 A) B) C) D) 4 9 0) Babası, Ahmet e kardeşinden 0 lira fazla para vermiştir. Babası iki kardeşe toplam 50 lira verdiğine göre, Ahmet e kaç lira verilmiştir? 4) Nazan ile Fikri nin yaşları toplamı 8 dir. Nazan ın yaşı Fikri nin yaşından 4 fazla olduğuna göre Fikri kaç yaşındadır? A) 0 B) C) D) 6 A) 5 B) 5 C) 5 D) 0 ) 5 fazlasının i 55 olan sayı hangi 5 seçenekte verilmiştir? A) 65 B) 75 C) 65 D) 70 5) x +=x-5 denkleminde x değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 7 4 A) B) C) D) ) Bir sayının i ve nin toplamı 4 olduğuna göre bu sayı kaçtır? 5 A) B)4 C) D)6 4 6) Kitaplarımın sayısının sinin ifadesinin cebirsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) x x + B) x x - C) x.. D) x.

92 7) 0) x ( y + ) = x - denkleminde xy işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) - C) 6 D) - Yukarıda verilen dikdörtgen blokların boy uzunlukları toplamı 77 cm olduğuna göre kısa olan bloğun boyu kaç cm olur? A) B) 44 C) 5 D) 6 NOKTA SORULAR ) x += x - denkleminde x değeri 5 aşağıdakilerden hangisine eşittir? 4 8) -a= -b denkleminde a-b aşağıdakilerden hangisine eşittir? 0 A) B) C) D) 50 A)0 B)50 C) D)0 ) Necdet parasının önce sini sonra 7 geriye parasının sini harcadıktan 5 sonra elinde 48 lira kalmaktadır. Buna göre Necdet in başlangıçta kaç lirası vardır? A) 77 B) 00 C) D) 9) Bir sınıfta kız öğrenci sayısı erkek öğrenci sayısının katıdır. Bu sınıfta toplam öğrenci olduğuna göre kaç tane kız öğrenci vardır? A) 8 B) 6 C) 4 D) 0 ) 7( x - ) = 4 ( x + ) denkleminde x in alacağı değer hangi seçenekte verilmiştir? A), B) C),9 C),6

93 4) Elif her gün bir önceki günden 5 sayfa fazla okuyarak bir kitabı günde bitiriyor. Kitap toplam 77 sayfa olduğuna göre ilk gün kaç sayfa kitap okumuştur? A) 4 B) 7 C) 6 D) 8) Bir dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının katıdır. Bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 96 cm olduğuna göre kısa kenarı kaç cm olur? A) 6 B) 4 C) 6 D) 9) x + x = ise x aşağıdakilerden 4 5 hangisine eşittir? 5) x x x x = 7 denkleminde x in alacağı değer hangi seçenekte verilmiştir? A) 6 B) 7 C) 40 D) 4 6) Melike nin yaşı abisinin yaşının sinin 4 fazlasıdır. İkisinin şuan ki yaşları toplamı 44 olduğuna göre abisi kaç yaşındadır? A)4 B) 0 C) 4 D) A) B) C)0 D) 0) Bir sınıfta kızlar sınıf mevcudunun sini oluşturmaktadır. Kızlardan 0 lira ve erkeklerden 8 lira toplanınca toplam para 80 lira olmaktadır. Buna göre sınıfın mevcudu kaçtır? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 ) 5 eksiğinin si 5 karpuz eder ifadesinde karpuz miktarını bulmak için aşağıdakilerden hangisi bizi doğru sonuca götürür? 7) Bir sayının fazlasının 4 katı 44 ise bu sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 6 C) 44 D) 7

94 A) x 5 - = 5 B) 5 - x = 5 C) 5(x - ) = 5 D) (x - 5) = 5 ) Mustafa nın gideceği yolun si ile nün toplamı 50 km olduğuna göre 4 Mustafa nın gideceği toplam yol kaç km olur? A) 40 B) 00 C) 60 D) 450 5) Uzunluğu a cm olan bir kalasın boyunun 4 ü kesilince orta noktası 45 cm kaymaktadır. Buna göre telin kesilmeden önceki boyu kaç metredir? A),5 B) C), D) 0,8 6) Belli bir yükseklikten bırakılan bir top yere düştükten sonra bırakıldığı yüksekliğin si kadar yükselmektedir. 7 m yükseklikten bırakılan top yere ikinci defa değdikten sonra kaç m yükselir? A) 0 B) C) 6 D) 48 ) Yusuf merdivenin basamaklarını üçer üçer çıkıp, dörder dörder inmektedir. Yusuf un inerken attığı adım sayısı çıkarken attığı adım sayısından fazladır. Buna göre Mustafa inerken kaç adım atmıştır? A) 76 B) 9 C) 69 D) 7) Orhan usta bir evin önce 5 ini, sonra ünü boyayınca geriye 8 m 4 alan kalmaktadır. Buna göre toplam boyanacak alan kaç m dir? 4) Bir sınıftaki öğrenciler sıralara erli oturursa 5 öğrenci ayakta kalıyor. Eğer 4 erli otururlarsa sıra boş kalmaktadır. Buna göre bu sınıfın mevcudu kaçtır? A) 40 B) 00 C) 60 D) 480 A) 44 B) 9 C) D)

95 x 8) -. - = denkleminde x in alacağı değer hangi seçenekte verilmiştir? 4 4 A) B) C) D) ) (hiyeroglif) başlangıç tarihi, M.Ö. 00 yılına kadar geri gider. Böylece, Mısırlılar ortalama 500 yıl önce, milyona kadar olan sayıları kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Eski Mısırlılara ait sayma sistemi, ilkçağ mağara, insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir. Eski Mısır'da rakam ve sayılar bazı sembollerin (şekillerin) yan yana gelmesiyle ortaya çıkıyordu. Bütün rakamlar, 7 değişik şeklin bir araya gelmesiyle ifade ediliyordu. Örneğin: için (yukardan aşağı düşey bir çizgi), 0 için (at nalı şekli), 00 için (Çengel işareti) şekillerini kullanmışlardır. l.000, ve için de değişik semboller kullanmışlardır ve yazım biçimi de, sağdan sola doğru ifade ediliyordu. ABCD karesinin çevresinin ü ile 5 EFGH dikdörtgeninin çevresinin nin toplamı cm olduğuna göre karenin bir kenar uzunluğu kaç cm olur? A) 0 B) 5 C) 7 D) 5 ZOR OLMASA DA KOLAY DEĞİL ) Bir depoda 40 adet ineğe 70 gün yetecek kadar yem vardır. 0 gün sonra bu ineklerden 5 tanesi satılmıştır. Geride kalan ineklere yem kaç gün yeter? A) 50 B) 6 C) 70 D) 80 x 0) x = + denkleminde x in alacağı değer hangi seçenekte verilmiştir? A) -5 B) 4 C) - D) - ) Enes in yaşı annesinin yaşının 4 ine eşittir. Enes annesin yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 77 olmaktadır. Buna göre Enes bugün kaç yaşındadır? A) 6 B) 7 C) D) Eski Mısırlılar'da Aritmetik Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlılara ait olanıdır. Eski Mısırlıların kullandıkları resim yazısının )

96 Nesrin telefonuyla sosyal medyada saat vakit geçirince şarjın ini ve 8 yarım saat müzik dinleyince şarjın 4 ini tüketmektedir. Nesrin telefonundan,5 saat sosyal medyada vakit geçirip 5 dakika müzik dinledikten sonra şarjının % kaldığını görüyor. Buna göre telefonun başlangıçtaki şarjı % kaçtır? A) 40 B) 44 C) 48 D) 56

97 DOĞRUSAL DENKLEMLER Kazanım: Doğrusal ilişki içeren gerçek yaşam durumlarına ait tablo, grafik ve denklemi oluşturur ve yorumlar. Burada doğrunun eksenleri hangi noktalarda kestiği, eksenlere paralelliği, orijinden geçip geçmediği ve benzeri durumların gerçek yaşamla ilişkisini kuracağız ve verilen grafiği yorumlamayı öğreneceğiz. Yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi benzin ile zaman arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bir şoför her bir saatte 4 kamyon kum taşımaktadır. Bu durumu tablo ile gösterelim. Saat (x) Saatte taşınan kum miktarı (y) Sıralı ikili gösterimi (x,y). 4 (,4). 4 (,4). 4 (,4) 4. 4 (4,4) Bir jeneratör saatte litre benzin yakmaktadır. Bu jeneratörün her bir saatte bir yaktığı benzin miktarını tablo ile gösterelim. Saat (y) Saatte bir yakılan benzin miktarı (x) Sıralı ikili olarak gösterimi (x,y).saat (,).saat (,).saat (,) 4.saat (,4) 5.saat (,5) Yukarıda verilen tabloyu koordinat düzleminde gösterelim. Görüldüğü gibi zaman ile taşınan kum arasında doğrusal bir ilişki vardır. y=4 denkleminin grafiği x eksenine paralel olmaktadır. Bir taksinin açılış ücreti liradır. Sonraki her kilometrede lira ücret alınmaktadır. Bunu tablo ile gösterelim. Yol (x) 0 4 Ücret (y) Yol (x) Ücret (y) (x,y) İlişki 0 (0,) y=+x + (,4) y=+x +. (,5) y=+x +. (,6) y=+x (4,7) y=+x

98 ilişki vardır. Yandaki grafikte görüldüğü gibi gidilen yol ile ödenen ücret arasında doğrusal bir Örnek: x= - denkleminin grafiğini çizelim.. Eksenlere Paralel Doğrular a) y Eksenine Paralel Doğrular Örnek: x = - denkleminin grafiği aşağıda verilmiştir. Dikkatlice incelediğimizde, x eksenini - noktasında keserek y eksenine paralel olmuştur. x=b denkleminde b 0 olmak üzere, doğrunun grafiği y eksenine paralel olur. b) x Eksenine Paralel Doğrular Örnek: y= denkleminin grafiği aşağıda verilmiştir. Dikkatlice incelediğimizde, y eksenini noktasında keserek x eksenine paralel olmuştur. Örnek: x=4 denkleminin grafiğini çizelim. Örnek: y = - denkleminin grafiğini çizelim.

99 Örnek: y = denkleminin grafiğini çizelim. Görüldüğü gibi doğru y=x denklemine aittir. Çünkü geçtiği noktalarda x ile y birbirine eşittir. Şimdi de A(-,), B(-,), C(0,0), D(,-), E(,-) noktalarından geçen doğruyu çizelim. y=c denkleminde c 0 olmak üzere, doğrunun grafiği x eksenine paralel olur. x y (x,y) ilişki - (-,) y=-x - (-,) y=-x 0 0 (0,0) y=-x - (,-) y=-x - (,-) y=-x. Orijinden Geçen Doğrular Bu noktadan geçen doğruların genel denklemi y=mx ile ifade edilmektedir. Şimdi aşağıdaki tablo ve grafiğini inceleyelim. A(-,-), B(-,-), C(0,0), D(,), E(,) noktalarından geçen doğruyu çizelim. x y (x,y) ilişki - - (-,-) y=x - - (-,-) y=x 0 0 (0,0) y=x (,) y=x (,) y=x O halde yukarıdaki doğru y=-x denklemine aittir. Çünkü x in - olduğu noktada y olmaktadır. A(-,-4), B(-,-), C(0,0), D(,), E(,4) noktalarından geçen doğruyu çizelim. x y (x,y) ilişki - -4 (-,-4) y=x - - (-,-) y=x 0 0 (0,0) y=x (,) y=x 4 (,4) y=x

100 O halde yukarıdaki doğru y=x denklemine aittir. Çünkü x in olduğu noktada y ise olmaktadır.. Eksenleri Kesen Doğrular y = mx + n denkleminde m 0 ve n 0 olmak üzere bu denklemin grafiği orijinden geçmez. Eğer m sıfıra eşit olsaydı x eksenine paralel olur, n sıfıra eşit olsaydı orijinden geçerdi. Örnek: Aşağıda A(0,-) ve B(-,0) noktalarından geçen doğrunun grafiğini çizelim. Örnek: x-y=6 denkleminin grafiğini çizelim. Bu doğrunun eksenlerde kestiği noktayı bulmak için; x=0 için, y=- olur (0,-) y=0 için, x= olur (,0) Eksenleri kestiği noktalar (0,-) ve (,0) olur. Örnek: x+y=4 denkleminin grafiğini çizelim. Bu doğrunun eksenlerde kestiği noktayı bulmak için; x e sıfır verip y ekseninde kestiği noktayı sonra y ye sıfır verip x ekseninde kestiği noktayı bulacağız. x=0 için, y=4 olur (0,4) y=0 için, x= olur (,0) Eksenleri kestiği noktalar (0,4) ve (,0) olur. O halde denklemin grafiği aşağıdaki gibi olur. Örnek: 4y-x-4=0 denkleminin grafiğini çizelim. Bu doğrunun eksenlerde kestiği noktayı bulmak için; x=0 için, y= olur (0,) y=0 için, x= olur ( -,0) Eksenleri kestiği noktalar (0,) ve 4 ( -,0) olur.

101 O halde denklemin grafiği aşağıdaki gibi olur. x=- ve y= doğrularını çizerek bu doğrular ile eksenler arasında kalan bölgenin alanını bulunuz. (cevap:6 br) x-y=- denkleminin grafiğini çiziniz. Aşağıdaki tabloda x ve y arasındaki ilişki verilmiştir. Buna göre denklemini bulunuz ve grafiğini çiziniz. x y (x,y) - -6 (-,-6) - - (-,-) 0 0 (0,0) (,) HAT SORULAR ) Aşağıda verilen grafiklerden hangisi doğrusal bir ilişkiyi göstermemektedir?

102 ) Aşağıda tabloda atılan adım ile gidilen mesafe arasındaki ilişki verilmiştir. Buna göre bu tablodaki ilişkiyi gösteren denklem hangisidir? 5) Aşağıda verilen koordinat sistemindeki grafiğin denklemi seçeneklerin hangisinde verilmiştir? Adım (a) Mesafe (cm) (b) A) a=b B) a+50b=00 C) a=50b D) b=50a ) Aşağıda verilen hangi ikililer arasında doğrusal bir ilişkiden bahsedilemez? A) Bir fidanın zaman ile boy ilişkisi B) Harcanan para ile alınan ürün ilişkisi C) Benzin ile gidilen yol ilişkisi D) Tarık ın boyu ile cebindeki para ilişkisi A) y= B) y=-x C) x=- D) x= 6) Aşağıda verilen noktalardan hangisi x+y= doğrusu üzerindedir? A) (,) B) (,) C) (,) D) (,-) 4) Aşağıda verilen koordinat sistemindeki grafiğin denklemi seçeneklerin hangisinde verilmiştir? 7) Aşağıdaki tabloda (x,y) ikililerinin aldığı değerler verilmiştir. Buna göre bu doğrunun grafiği seçeneklerin hangisinde verilmiştir? x y A) y=x B) y=- C) x=- D) x=

103 8) verilmiştir? A) y=x B) y=x Yanda verilen koordinat sistemindeki doğrunun denklemi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde ) Aşağıda verilen doğru denklemlerinden hangisi x eksenine paralel olur? A) y=x B) y=-4 C) x= D) x+y= ) Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde x+y=0 denkleminin grafiğine aittir? C) y=x D) y=-x 9) (0,) noktası aşağıdaki doğrulardan hangisinin üzerinde olabilir? A) x+y= B) x-y= C) y-x= D) y=x 0) Cengiz her bir dakikada ceviz yemektedir. Cengiz in yediği ceviz miktarı ile zaman arasındaki ilişki aşağıdaki tabloların hangisinde verilmiştir? A) Zaman(dakika) 4 Ceviz B) Zaman(dakika) 4 Ceviz C) Zaman(dakika) 4 Ceviz D) Zaman(dakika) Ceviz 4 ) Aşağıdaki grafik ustaların saatte ürettiği pasta miktarını göstermektedir. Buna göre ustalar 4 saatte toplam kaç adet pasta yapar? A) 8 B) C) 5 D)

104 4) 8) A(,) noktası aşağıdaki doğru denklemlerinden hangisi üzerinde değildir? A) x+y=6 B) x=-6y C) y-x=0 D) x+y=0 9) Aşağıda verilen koordinat sistemindeki grafiğin denklemi seçeneklerin hangisinde verilmiştir? Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde yukarıda koordinat sisteminde verilen doğrunun denklemi verilmiştir? A) y=x B) x-y= C) x+y= D) x+y= 5) Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde x= ve y= doğruları ile eksenler arasında kalan dikdörtgensel bölgenin çevresi doğru verilmiştir? A) 5 B) 8 C) 9 D) 0 6) A(a,) noktası x-5y= doğrusu üzerinde olduğuna göre a değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 7 B) - C) D) 6 x y x y A) + = B) + = - - x y x y C) + = D) - = - 0) Aşağıdaki koordinat sisteminde verilen doğrulardan hangisi y=x doğrusuna ait olabilir? 7) Aşağıda denklemi verilen doğrulardan hangisi y eksenine paraleldir? A) x=- B) y=4 C) x=y D) x+y=0

105 NOKTA SORULAR 4) ) Aşağıda verilen noktalardan hangisi aynı doğrusal bir grafik üzerinde değildir? A) (,),(,),(,),(4,) B) (-,),(-,),(-,4),(-,5) Yanda verilen koordinat sistemindeki doğrunun denklemi C) (-,-),(-,-),(0,0),(,) D) (,),(0,),(-,),(,) aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? ) Aşağıdaki tabloda bir bahçe motorunun saatte tükettiği mazot miktarını göstermektedir. A) x+y=- B) x-y= C) x+y=4 D) -x-y=0 Zaman 4 Tüketim Buna göre yukarıdaki tablonun grafiği aşağıdaki hangi seçeneklerde verilmiştir? 5) x=4 ve y= doğruları ile eksenler arasında kalan bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) 6 C) 8 D) 0 ) Aşağıdaki verilen denklemlerden hangisi orijinden geçmektedir? A) y=x+ B) x+=0 C) y D) x+y=0 6) Aşağıdaki verilen denklemlerden hangisinin grafiği (,-) noktasından geçmez? A) x+y= B) 5x+y=9 C) 4x-=-5y D) 4-y=-x

106 7) Aşağıda verilen grafiklerden hangisi x=y denklemine aittir? 0) Başlangıçta boyu 5 cm olan fidanın boyu her gün 4 cm uzamaktadır. Buna ait tablo aşağıda verilmiştir. Zaman (a) Boy (b). Gün 5 cm. Gün 9 cm. Gün cm 4. Gün 7 cm 5. Gün 4 cm Buna göre bu fidanın boyu 0. günden sonra kaç m olur? A), B),4 C),5 D),66 ) 8) Aşağıdaki tabloda x ile y arasındaki ilişki belirtilmiştir. x 4 5 y Buna göre x ile y arasındaki ilişkiyi aşağıdaki verilen seçeneklerin hangisi ile ifade edebiliriz? A) x+=y B) x+=y C) x+=y D) 5x-=y Yukarıda koordinat siteminde verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir? 9) Koordinat düzleminde verilen 4x+y=4 denklemin grafiği ile eksenler arasında kalan bölgenin çevresi kaç birimdir? A) B)4 C) 0 D) A) y x + =0 B) 5x + 7y =6 C) 0x - 5y = D) 5x - 6y =0

107 ) Aşağıdaki tabloda Samet ve Melike nin zamana göre yedikleri fındık miktarları verilmiştir. Zaman 4 (dakika) Samet Melike ) Aşağıdaki grafikte bir dağın zirvesinden bırakılan bir kartopunun zamana göre çapındaki artış miktarı gösterilmiştir. Buna göre aşağıdaki seçeneklerde verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) dakikada Samet 8 fındık yemiştir. B) dakikada Melike, Samet ten 4 fındık fazla yemiştir. C) Aynı zaman diliminde Samet, Melike den daha fazla fındık yemiştir. D) 5 dakikada toplam 50 fındık yerler. ) Aşağıda verilen doğru ve eksenler arasında kalan bölgenin alanı 6 br dir. Buna göre aşağıdaki seçeneklerde verilen bilgilerden hangisi doğrudur? A) Kartopunun 7 dakika sonra çap uzunluğu 540 cm ye ulaşır. B) Başlangıçta kartopunun çap uzunluğu 70 cm dir. C) Kartopunun yarıçapı her dakikada 50 cm artmaktadır. D) Zaman ile çap arasında doğrusal bir ilişkiden bahsedilemez. Buna göre bu doğrunun denklemi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) x - y - = 0 B) 6x + 4y + = 0 C) y - 4x - = 0 D) 8x - 6y + = 0 5) Koordinat sisteminde x=4 ve y=x doğruları ile x ekseninin sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 8 B) C) 6 D)

108 6) Aşağıda koordinat sisteminde x=,x= ve y=, y= doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir? 8) Aşağıda verilen doğrulardan hangisi x-y+=0 denklemine ait olabilir? 5 4 A) B)4 C)8 D) 7) 9) A(k+,) noktası 4x+=y üzerinde ise k aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) x-y= denkleminin grafiğinin B ve C noktalarından geçebilmesi için orijin hangi nokta olmalıdır? A) A B) D C) E D) G 0) A) 4y=-x B) y=x C) y=-x D) y=-x Yanda verilen koordinat sistemindeki doğrunun denklemi hangi seçenekte verilmiştir?

109 Ali Kuşçu ) Bir ABCD karesinin köşe koordinatları A(-,4), B(-,-), C(,-) noktaları olduğuna göre D köşesinin koordinatlar çarpımı kaça eşittir? A) -6 B) 6 C) D) 6 Türk-İslam Dünyasının büyük matematik ve astronomi bilgini. Doğum yeri kesin olarak bilinmemekte; 5 yy.ın başlarında doğduğu kabul edilmektedir. Uluğ Bey'in hükümdarlığı sırasında Semerkant'ta ilk ve dini öğrenimini tamamladı. Küçük yaşta Matematik ve Astronomi'ye karşı aşırı bir ilgi duydu. Devrinin en büyük âlimleri olan Uluğ Bey, Bursalı Kadızade Rumi, Gıyaseddin Cemşid ve Muniüd'den aldığı ilimlerle yetinmeyip, daha fazlasını öğrenme arzusu ve isteği ile kimseye haber vermeden, sinesinde ünlü âlimlerin toplandığı Kirman'a gitti. Kirman'da bulunduğu sırada akli ve nakli ilimleri üzerinde çalışmalara devam edip, burada "Hall-ül Eşkalil Kamer" risalesini, "Şerh-i Tecrid" adlı eserini hazırladı. ) Koordinat sisteminde y-4x-6=0 doğrusunun üzerinde seçilen bir noktanın orijine olan uzaklığı en az kaç birim olur? A) B) C) D) 5 5 ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) x+4y=4 doğrusu ve y= doğrusu ile eksenlerin arasında kalan yamuksal bölgenin alanı kaç birim kare olur? A) 6 B) 8 C) 4 D) 6

110 DOĞRUNUN EĞİMİ Kazanım : Doğrunun eğimini modellerle açıklar; doğrusal denklemleri, grafiklerini ve ilgili tabloları eğimle ilişkilendirir. Örnek: Aşağıda kenar uzunlukları verilen dik üçgenin eğimini bulalım. Eğim Açıklama: Günlük hayatla ilişkili modellemelerde eğimin dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı olduğu dikkate alınarak işareti üzerinde durulmaz. cm 4cm 75 = = = 0, %75 olur.. Örnek: A. Günlük Hayatta Eğim Eğim; dikey yüksekliğin yatay uzaklığa oranına eğim denir. Aşağıda verilen yokuşun eğimi alınırken yokuşun yüksekliği yokuşun yatay uzunluğuna oranlanarak bulunur. 50 m Yanda verilen merdiven yerden 6 m yukarıda ve merdivenin yatay uzunluğu 0 m olduğuna göre merdivenin eğimini bulalım. 6m 0 Eğim= = = %0 olur. 0m 00 Örnek: Aşağıda verilen doğru parçalarından hangisinin eğimi birbirine eşittir? 00 m Yokuşun eğimi= 5 = = %5 olur yükseklik yatay uzaklık = 50m = = 0,5 00m 4 O halde yukarıda verilen yokuşun eğimi %5 olur. Yokuşun eğimini, %5 veya 0,5 4 olarak ifade edebiliriz. f doğru parçasının eğimi ; = = 0,5 4 g doğru parçasının eğimi; = h doğru parçasının eğimi;

111 = 0,5 4 i doğru parçasının eğimi; = = 0,5 4 Yanda verilen üçgenin hipotenüsünün eğiminin yüzde kaç olduğunu bulunuz. (Cevap: %8) O halde i ve f doğru parçalarının eğimleri birbirine eşittir. Örnek: B. Koordinat Sisteminde Doğruların Eğimi Yanda verilen kürek duvara şekildeki gibi 0 cm yükseklikten dayandırılmıştır. Küreğin boyu 0 cm olduğuna göre küreğin eğimini bulalım. Şimdi y=x doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım. Önce x e değer vererek y nin alacağı değerleri bulalım. x - 0 y - 0 Pisagor bağıntısından küreğin yere değdiği kısmın duvara uzaklığı 50 cm olur. Eğim= 0 =,4 50 ya da %40 olur. Eğim(m)= DE = = OE olur. Orijinden geçen doğrunun denklemi y=mx tir. Bu doğru denkleminde m doğrunun eğimine eşittir. Örnek; y=x doğrusunun eğimi olur. y=-5x doğrusunun eğimi -5 olur.

112 y=4x doğrusunun eğimi 4 olur. Not: Orijinden ve A(x,y) noktasından y geçen doğrunun eğimi m= olur. x Örnek: Orijinden ve A(4,6) noktasından geçen doğrunun eğimini bulalım. y 6 m= = = x 4 olur. Denklemi ise y = y = x x Örnek: Orijinden ve B(,-9) noktasından geçen doğrunun eğimini bulalım. y -9 m = = = - x Denklemi ise y - = y = -x x Örnek: Orijinden ve C(-4,0) noktasından geçen doğrunun eğimini bulalım. y 0 5 m= = =- x -4 Denklemi ise y -5 = y = -5x x Örnek: y=x+ doğrusunun grafiğini çizelim ve eğimini bulalım. y=x+ doğrusunun grafiğini çizelim. x=0 için y=0+= yani A(0,) olur. y=0 için 0=x+ x=- yani B(-,0) Şimdi bu doğrunun eğimini bulalım. m= = olur. Örnek: y=-x- doğrusunun grafiğini çizelim ve eğimini bulalım. y=-x- doğrusunun grafiğini çizelim. x=0 için y=0-= yani A(0,-) olur. y=0 için 0=-x- x=- yani B(-,0) Şimdi bu doğrunun eğimini bulalım. - m = = - olur.

113 Görüldüğü gibi; Not: y=mx+n denklemi verilen doğrunun eğimi bulunurken y yalnız bırakıldığında x in katsayısı bize eğimi verir. Eğim m olur. Örnek: Denklemi x+4y= doğrusunun eğimini bulalım. Bu doğrunun eğimini bulmak için y yi yalnız bırakalım. x + 4y = 4y = -x + 4y -x + = 4 4 -x y= y=- x+ 4 Buradan eğim = - 4 Örnek: Denklemi y-4x-8=0 olan doğrunun eğimini bulalım. y - 4x - 8 = 0 y = 4x + 8 y 4x + 8 Buradan eğim = = y = x + 4 Örnek: Denklemi y= x+olan 4 doğrunun eğimini bulalım. Denklemde y ifadesini yalnız bırakalım. y= x+ 4 y x+ = 4 y =. x y = x + m = olur Eğimi ve geçtiği nokta verilen doğrunun denklemini bulalım. Burada doğru denklemi bulunurken doğrusal denklemlerin genel ifadesi olan y=mx+n ifadesini kullanacağız. Aşağıdaki örneği inceleyelim. Örnek: Eğimi ve A(,) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım. m= ve A(,) olduğuna göre; y=mx+n m=, x= ve y= =.+n için n= olur. Denklem y=x+ olur. Örnek: B(4,-) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemini bulalım. m=, x=4 ve y=- olduğuna göre y = mx + n - =.4 + n = n n = - Denklem y= x- olur.

114 Not: x eksenine paralel olan doğruların eğimi 0 olur. y eksenine paralel olan doğruların eğimi ise yoktur. x + y = 5 x = 5 - y 5 - y x= x + 5y - 5 = 0 denkleminin eğimi kaça eşittir? (Cevap: - ) 5 Yukarıda verilen y= doğrusunun eğimi 0 olur. x=- doğrusunun ise eğimi yoktur.. Doğrusal denklemlerde bir değişkeni diğeri cinsinden ifade edelim. Bu tür sorularda bizden x cinsinden isterse y yi yalnız bırakacağız. Eğer y cinsinden isterse x i yalnız bırakacağız. Aşağıdaki örneği inceleyelim. Örnek: x+y=5 ifadesini x ve y cinsinden ifade edelim. x cinsinden ifade etmek için denklemde y yi yalnız bırakacağız. x + y = 5 y = 5 - x 5 - x y= y cinsinden ifade etmek için denklemde x i yalnız bırakacağız. x + y = ifadesini x ve y cinsinden ifade edelim. -y Cevap : x = ve y = - x Yukarıda koordinat sisteminde verilen f doğrusunun eğimi kaça eşittir? (Cevap: )

115 HAT SORULAR ) Bir binanın penceresine çıkmak için koyulan merdivenin dikey uzunluğunun yatay uzunluğuna oranı bize merdivenin neyini verir? A) Eğim B) Duruşu C) Uzunluk D) Kapasite 4) hangisine eşittir? Yanda verilen üçgenin hipotenüsün zemine göre eğimi aşağıdakilerden A) %7 B) %50 C) %70 D) % 5 ) Aşağıda eğimi verilen rampalardan hangisini çıkan araç daha fazla güç harcar? 5 A) B) C) D) ) A) 5 5 C) 6 B) D) 5 5 Yanda verilen üçgende hipotenüsün eğimini aşağıdakilerden hangisinde eşittir? 5) Yanda verilen şeklin eğimi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0,6 B) 0,8 C),5 D) 0,4 6) Aşağıda verilen çubuklardan hangisi zemine göre %40 lık bir eğime sahiptir?

116 7) Aşağıda verilen doğru denklemlerine göre hangi doğrunun eğimi ye eşittir? A) y=x B) x=y C) y=x D) y=x 8) Aşağıdaki seçeneklerde verilen sayılardan hangisi x+y=6 doğrusunun eğimine eşittir? ) Yanda verilen koordinat sisteminde doğrunun eğimi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) B) C) D) - A) B) - C) - D) 9) Aşağıda koordinat sisteminde verilen doğrulardan hangisinin eğimi olur? ) Eğimi olan ve A(,) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) B) C) D) y + x + = 0 x + y + = 0 x y = 0 y x = 0 ) 0) y - x = 4 doğrusunun eğimi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) B)4 C) - D) - 4 Şekildeki koordinat sisteminde (-4,0) ve (0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaça eşittir? A) B) - C) - D) 4

117 4) y + bx = 0 doğrusunun eğimi 5 olduğuna göre b aşağıdakilerden hangisine eşittir? 5 A) - B) C) - 5 D) 5 7) Aşağıdaki seçeneklerin hangisi x y + = doğrusunun eğimine eşittir? A) - B) - C) D) 8) 5) Yanda kenar uzunlukları verilen dik üçgende [AB] nin eğimini bulunuz? A) %40 B) %60 C) %0 C) %6 6) Yukarıda koordinat sisteminde noktalar verilmiştir. Buna göre hangi noktalardan geçen doğrunun eğimi - olur? A) [AB] B) [CD] C) [AE] D) [CF] 9) y = mx doğrusunun eğimi 4 olduğuna göre aşağıdaki noktalardan hangisi bu doğru üzerindedir? A) (,) B) (,8) C) (4,6) D) (8,) 0) Yukarıda koordinat sisteminde verilen doğrunun eğimi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) - B) - C) D) Yukarıdaki doğru parçalarından hangisinin eğimleri birbirine eşittir? A) e,i B) i,f C) g,h D) g,i

118 NOKTA SORULAR ) Aşağıdaki verilen doğrulardan hangisinin eğimi e eşittir? 4 4) Aşağıda verilen rampaların hangisinden yukarı doğru yürümek daha kolaydır? A) x + y += 0 B) x - 4y + 7 = 0 C) x + 4y += 0 D) 4x - y += 0 ) Eğimi 5 6 ve B(,-) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangi seçenekte verilmiştir? A) 6y - 5x +6 = 0 B) 5y - 6x +6 = 0 C) 6y - 5x -6 = 0 D) 5y - 6x -6 = 0 ) 5) Yanda verilen evin çatısı ikizkenar üçgendir. [AC]=[CB]=5m ve [AB]=8 m ise çatının eğimi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)0,6 B)0,8 C) D)0,75 Yanda verilen koordinat sistemindeki doğrulardan hangisinin eğimi diğerlerine göre küçüktür? A) e B) f C) g D) h 6) Denklemi 8y - ax + 6 = 0 doğrusunun eğimi - olduğuna göre 4 a kaçtır? A) - B) C) - 6 D) 6

119 7) Aşağıda koordinat sisteminde verilen doğrulardan hangisinin eğimi ye eşittir? 0) Yukarıda koordinat sisteminde verilen m doğrusunun eğimi hangisine eşittir? 4 6 A)- B) C)- D) ) Yanda verilen dik üçgen Biçimindeki şeklin kenar uzunlukları 8 m verilmiştir. Eğimi %0 x olduğuna göre x kenarı kaç m olur? A) 6 m B) 54 m C) 60 m D) 80 m ) Denklemi y = x ile kx + 5y = 0 olan doğruların eğimi birbirine eşit ise k aşağıdakilerden hangisine eşittir? 5 6 A) - B) C) - D) 0 5 9) ) A(4,0) ve B(0,-0) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 5 5 A) - B) C) D)6 5 Koordinat 4 sisteminde verilen doğrunun eğimi - 5 olduğuna göre a kaça eşittir? A)-,6 B)- C)- D)-,5

120 ) 5x+7y+9=0 doğru denkleminde x değişkeni y cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir? 6) 9y + 7 5y + 9 7y 9 + 7y A) B) C) - D) ) Bir kamyonun motor gücü ancak eğimi %45 ve altında olan rampalardan çıkmaya yetmektedir. Buna göre bu kamyon aşağıdaki rampalardan hangisini çıkamaz? Yukarıda verilen koordinat sisteminde doğruların eğimi için aşağıdaki verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) c > b C) c > a B) a < b D) b > c 5) 7) Yukarıda verilen koordinat sisteminde y=, x=4 ve y=x doğrularının eğimleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) y = doğrusunun eğimi 0 olur. B) x=4 doğrusunun eğimi yoktur. C) y=x doğrusunun eğimi - olur. Yanda verilen iki direk arasındaki ipin boyu m, direklerin uzunluğu m ve 0 m dir. Buna göre ipin eğimi kaça eşittir? A),4 B), C),4 D), D) y=x doğrusunun eğimi olur.

121 8) Yanda verilen dik üçgende hipotenüsün eğimi aşağıdakilerden hangisine eşittir? MISIR PİRAMİTLERİ A) B) C) D) ) Koordinat sisteminde verilen doğrunun eğimi 4 olduğuna göre p kaça eşittir? A) B)- C)- D) ) Yukarıda koordinat siteminde C noktasından geçen doğrunun eğimi - olduğuna göre, bu doğrunun öteki ucu hangi noktadan geçmektedir? A) E B) D C) A D) B Gize piramitleri tahmini olarak M.Ö 000 yıllarında eski krallık döneminde yapıldığı zannedilmektedir. Bunlar; Keops, Kefren ve Mikerinos piramitleridir ve isimlerini aldıkları firavunlar tarafından yaptırılmıştır. Piramitlerin her biri 0 ton olan taşlardan inşa edilmiştir. Bu taşları temin edilebilecek en yakın mesafe yüzlerce kilometre uzaklıktadır. Piramitlerin yapımında kullanılan bu taşların nasıl getirildiği konusunda kesin olmayan farklı varsayımlar bulunmaktadır. Piramit, kimin adına yapıldıysa, o kişinin öldükten sonra mumyalanarak piramit içerisindeki mezarının bulunduğu odasına, yılda sadece kez, doğduğu ve tahta çıktığı günlerde güneş girmektedir. Piramitler incelenirken ilk kez keşfedilen mumyalarda radyoaktif madde bulunduğundan bilim adamı kanserden ölmüştür. Nedeni günümüzde hala çözülememiş bir olay ise piramitlerin içerisinde ultrasound, radar, sonar gibi cihazların çalışmamasıdır. Büyük Piramitin tabanının yüzeyi, anıtın yarısının iki katına bölündüğünde pi=,4 sayısı elde edilir. Büyük Piramitin dört yüzeyinin toplam yüzölçümü, piramit yüksekliğinin karesine eşittir. Büyük Piramit, dünyanın kara kitlesinin merkezinde yer almaktadır. Büyük Piramit, dört ana yöne göre düzenlenerek inşa edilmiştir. Piramit aynı zamanda dev bir güneş saatidir. Ekim ortasıyla Mart başı arasında düşürdüğü gölgeler mevsimleri ve yılın uzunluğunu göstermektedirler.

122 ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) y-x+5=0 doğrusu ile (a+)y=ax doğrusunun eğimleri birbirine eşit ise a aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) - B) - C) - D) ) Yukarıda verilen şekilde [AB] nin ve [CD] nin eğimleri eşit ve 4 tür. [DE] ile [AE] nin uzunlukları birbirine eşit ise [DE] kaç m olur? A) 0 B) 5 C) 0 D) 0 ) Yukarıda direğin ucu ile A noktasına bağlı lastiğin eğimi %5 tir. Bu lastik uzatılarak hangi noktaya bağlanırsa eğimi % olur? A) A B) B C) C D) D

123 BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren günlük yaşam durumlarına uygun matematik cümleleri yazar. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösterir. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikleri çözer. Açıklama: En çok iki işlem gerektiren eşitsizlikler seçilir. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yön değiştireceğinin fark edilmesine yönelik çalışmalara yer verilir. Bu konu ile ilgili sınavlarda ya da soru gelmektedir. Gelen sorular genelde orta zorlukta olmaktadır. Basit eşsizlikleri matematik cümlesi ile ifade edeceğiz, sayı doğrusunda göstereceğiz ve bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünü yapacağız. A. Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikleri İfade Edelim. Önce örnekler üzerinden gidelim sonra tanımını yapalım. Örnekleri dikkatlice inceleyelim. Örnekler: 0 den küçük olan sayılar. x<0 0 dan büyük olan sayılar. x>0 Dersi geçmek için en az 70 almak gereklidir. x 70 Bu sınava katılmak için yaş en çok 5 olmalıdır. x 5 Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi " <,>,, " sembolleri ile gösterilen ifadelere eşitsizlik denir. Tahterevalliye bindiğimiz zaman kim ağırsa o taraf aşağı doğru gider. Örnek: Nedim in boyunun 5 katının fazlası 700 e eşit veya küçüktür. Şimdi yukarıdaki ifadeyi matematik cümlesi ile gösterelim. 5x olur. < > küçük büyük küçük veya eşit büyük veya eşit Örnek: Kalemlerin yarısının eksiği en az tür. Önceki örneklerde öğrendiğimiz gibi yukarıdaki ifadeyi matematik cümlesi ile gösterelim. Yukarıda eşitsizlik sembollerini inceleyelim. x - olur.

124 B.Eşitsizlikleri Sayı Doğrusunda Gösterme Yine örnekler üzerinden gidelim. x> eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim. Yukarıda sayı doğrusuna karşılık gelen eşitsizliği yazınız. (Cevap: x -) x<5 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim. x - eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim. Yukarıda görüyoruz ki eğer küçük eşit ya da büyük eşit sembolü var ise sayı dâhil oluyor (yuvarlağın içi dolu) ama sadece küçük ya da büyük sembolü var ise sayı dâhil olmuyor (yuvarlağın içi boş oluyor) deriz. C. Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümünü Yapma ) Eşitsizliğin her iki yanına aynı sayıyı eklersek ve ya çıkarırsak eşitsizliğin yönü değişmez. 4 > - eşitsizliğinin her iki yanına 5 ekleyelim. 4 > > > olur. ) Eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırken eşitsizliğin yönü değişmez iken negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir. 7 < 8 eşitsizliğinin her iki yanını 4 ile çarpalım. 7 < < < x > -4 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösteriniz. 7 < 8 eşitsizliğinin her iki yanını -4 ile çarpalım. 7 < 8 7.(-4) > 8.(-4) eşitsizlik yön değiştirdi. -8 > -

125 ) Eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayıya bölünürken eşitsizliğin yönü değişmez iken negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişir. - < -8 eşitsizliğinin her iki yanını - 4 e bölelim. - < -8 - : (-4) > -8 : (-4) eşitsizliğin yönü değişti. > Örnek: x-7 < 5 eşitsizliğinde x in alacağı en büyük tamsayı değerinin kaça eşit olduğunu bulalım. x - 7 < 5 x < ( her iki tarafa 7 ekledik.) x <.x < (her iki tarafı / ile çarptık.) x<6 O halde x in alacağı en büyük tamsayı değeri 5 olur. HAT SORULAR ) Cebimdeki para 5 liradan fazladır. eşitsizliği aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) x > 5 B) x < 5 C) x 5 D) x 5 ) Cemşit in ön elemelere katılması için boyu en az 80 cm olmalıdır. eşitsizliği aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A)x >80 B)x <80 C)x 80 D)x 80 ) - < x < 5 ifadesinde x in alacağı tamsayı değerleri toplamı kaça eşittir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 x<6 eşitsizliğinde x in alacağı tamsayı değerleri toplamı kaça eşittir? ( cevap: ) 4) x < -9 eşitsizliği için x yerine yazılacak en büyük negatif tamsayı kaçtır? A) -0 B) -9 C) 9 D) - x+5 < x- ifadesinde x in alacağı en büyük tamsayı değeri hangisidir? (cevap: -5) 5) 4 ten büyük sayıların oluşturduğu eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? A)x < 4 B)x > 4 C)x 4 D)x 4

126 6) a 4 eşitsizliğinde a nın alacağı doğal sayı değerlerinin toplamı kaça eşittir? A) 8 B) -6 C) 0 D) ) x + < 5 eşitsizliğinde x değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 0 C) -6 D) 7) x < 0 ve y 5 için x in alacağı en büyük tamsayı değeri ile y nin alacağı en küçük tamsayı değerleri toplamı kaça eşittir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 ) m - > 5 eşitsizliğinde m için aşağıdaki verilen ifadelerden hangisi doğrudur? A)m > 4 B)m < -6 C)m > 6 D)m < -4 8) -, 0,,, sayılarını kapsayan eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? ) x>4 eşitsizliğinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? A) -< x < B) - < x < C) - x D) - x < 9) Aklımdan tuttuğum sayı 5 e eşit veya 5 ten küçüktür. Eşitsizliğini veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? A)x < 5 B)x > 5 C)x 5 D)x 5 0) Aşağıda verilen sayı doğrusunda belirtilen eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? A)x 0 B)x < 0 C)x 0 D)x > 0 4) - x > - eşitsizliğinde x hangi değerleri alabilir? A)x < - B)x > C)x < D)x -

127 5) Cemal e yaşı sorulunca 5 ten büyük, 8 den küçük diyor. Buna göre Cemal in yaşı için aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi doğru olur? A)5 x < 8 B)5 < x < 8 C)8 < x <5 D)5 x 8 6) 6 = y ifadesi için aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur? A)4 < y < 5 B)6 < y < 7 C)5 < y < 6 D) < y < 5 9) <x+<7 eşitsizliğinde x in alacağı en büyük ve en küçük tamsayı değeri toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 0 0) Aşağıda verilen sayı doğrusu için hangi seçenek doğrudur. A)x < B)x C)x D)x > 7) x ve y < -6 için x in alacağı en büyük tamsayı değeri ile y nin alacağı en büyük tamsayı değerleri çarpımı kaça eşittir? A) - B) -5 C ) - D) -6 NOKTA SORULAR ) x 6 eşitsizliğinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? 8) x=y+ ve x - olduğuna göre y değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A)y > -4 B)y -8 C)y -4 D)y -4

128 ) Bir otomobilin litre yakıtı ile en fazla km yol gidilebilir. İfadesine uygun eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? A)x > B)x C)x < D)x 6) Veli nin parası x- ve Ayşe nin parası ise x+ liradır. Veli nin Ayşe den az parası olduğuna göre x in alacağı değerler hangi aralıktadır? A)4 < x < 4 B) < x < C) < x < 4 D)x < 4 ) 6 ya eşit veya 6 dan büyük olan gerçek sayılar hangi eşitsizlik ile ifade edilir? 7) x < 5 eşitsizliğinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A)x < 6 B)x > 6 C)x 6 D)x 6 4) Rasim in yaşının katının 7 eksiği den küçük olduğuna göre, Rasim en çok kaç yaşında olabilir? A) 7 B) C) 8 D) 9 5) x + 5 eşitsizliğine en uygun ifade aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? 8) x < ve x 4 eşitsizliklerini birlikte sağlayan sayı doğrusu aşağıdakilerden hangisidir? A) Boyumun katının eksiği 5 ten küçüktür. B) Paramın katının fazlası 5 e eşit veya 5 ten büyüktür. C) katının fazlası 5 e eşit ve 5 ten küçük olan sayılar. D) Ağırlığımın katının fazlası 5 ten büyüktür.

129 9) Bir fidanın boyu 5 cm dir. Bu fidan günde cm uzamaktadır. Buna göre boyunun 0 cm i geçmesi için en az kaç gün geçmelidir. Sorusunu çözebilmek için aşağıdaki ifadelerden hangisi kullanılır? A)5 + x < 0 B)5 + x > 0 C)5x + > 0 D)5 - x > 0 ) 450 kg lık bir aracın kendisiyle birlikte toplam çekebileceği azami yük miktarı 900 kg dir. 90 kg lik kişilerden en çok kaç kişinin binebileceğini hangi eşitsizlik ile bulabiliriz? A) x 900 B) x C) x 900 D) x ) Bir jeneratör saatte,5 ile 4,5 litre arasında yakıt tüketmektedir. 8 saat çalışan bir jeneratör toplam kaç litre yakıt tüketmiş olabilir? A) 7 B) 4 C) 7 D) 40 0) Yaş bir meyve kuruyunca ağırlığı %40 ile %60 arasında hafiflemektedir. 00 gr olan yaş bir meyve kuruyunca ağırlığı hangi aralıkta olur? A)40 < x < 60 B)80 x 50 C)80 x 0 D)80 < x < 00 4) -5 < k < eşitsizliğini -k değeri hangi aralıktadır? A) -5 < -k < -6 B) -5 < -k < 6 C) 6 < -k <5 D) -6 < -k < 5 ) Benzinin litresi hafta içinde 4,5 lira ile 5 lira arasında değişmiştir. 0 litre benzin alan bir kişi hangi değerler arasında ücret ödemiştir? A)45 x < 50 B)45 x 50 C)5 < x < 45 D)0 < x < 50 5) Cemile ilk gün y km, Sencer ise z km yol yürümüştür. İkinci gün Cemile km, Sencer ise 5 km yol yürümüştür. Cemile, Sencer den daha az yol yürüdüğüne göre hangi eşitsizlik doğrudur? A) y + z > 5 B) y - z < C) y - z < D) y - z < 5

130 6) - x eşitsizliği için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) Alacağı en küçük değer - olur. 9) Aşağıdaki sayı doğrusunda gösterilen çözüm kümesi aşağıdaki eşitsizliklerden hangisine aittir? B) Alacağı en küçük değer - olur. C) x değeri -5 e eşit olabilir. D) x pozitif değeri alamaz. A) - x B) -< x < C) -< x < 0 D) - x 7) 0) a Bir manavdaki ürünlerin fiyatı lira ile 8,50 lira arasındadır. 4 parça ürün alan bir kişi 70 lira ödeme yaparsa kaç lira para üstü alabilir? A) 0 B) 5 C) 5 D) 67 8) Şemsi Amca kare şeklindeki bahçesinin etrafını tek sıra tel çekmiştir. Yaklaşık 00 ile 0 m arasında tel kullandığını söylemiştir. Buna göre bahçenin bir kenarı hangi aralıktadır? A) B) C) D) 5 < a < 5 5 < a < 7,5 0 a 8 00 a 0 Bir zeytin fabrikasında zeytinler kavanozlara koyulurken 5 tane az veya fazla konulmaktadır. Şişenin üzerinde ortalama 00 adet zeytin yazmaktadır. Buna göre kavanozdaki zeytin miktarı hangi aralıktadır? A) 05 < x < 5 B) 85 < x < 0 C) 95 x 05 D) 80 x 95 Eski Yunanlılar Ve Pi Sayısı Kaynaklar π sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimides tarafından kullanıldığını belirtir. Archimides; π sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve değerini tam /7 ile tam 0/7 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı olarak karşılığı,4 ve,408 dir. Bu iki değer, π sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak, Archimides'in gençlik yıllarında Mısır'da İskenderiye'de uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte. Bu öğrenim sırasında, Cona ve

131 Erotostanes adlı iki samimi arkadaş edinmiş olur. Mısırlılar'dan Eratostanes, devrinin büyük bir matematikçisi olup; Cona da, Archimedes'in saygısını kazanmış büyük ve deneyimli bir matematikçi olarak tanınmaktadır. Archimides'in fikri yapılarının temelinde bu iki matematikçiye ait izlerin bulunduğunu belirtmek gerekir. ) x+ x + eşitsizliğinde x in alacağı en büyük değer kaça eşittir? A)-5 B)-4 C) D)- ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) Bakkal Remzi tanesini 40 kuruşa aldığı yumurtaları 50 kuruşa satacaktır. Taşıma esnasında yumurtaların 0 tanesi kırılmıştır. Remzi nin 0 liradan fazla kar edebilmesi için en az kaç tane yumurta satmalıdır? A) 0 B) C) C) 5 ) En yüksek 00 puan alanın olduğu bir sınavda öğrencilerin notları arasındaki ilişki şu şekildedir; - En yüksek puanı Ahmet almıştır. - Veysel ise Necati den fazla puan almıştır. - Göknur ise Necati den fazla Veysel den az puan almıştır. - En düşük puanı alan Kamil ise 65 puan almıştır. Buna göre Göknur aşağıdaki puanlardan hangisini almış olamaz? A) 98 B) 77 C) 67 D) 66

132 ÜÇGENLER Kazanım : Üçgende kenarortay, açıortay ve yüksekliği inşa eder. h (yükseklik) Kazanım : Üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı veya farkı ile üçüncü kenarının uzunluğunu ilişkilendirir. Kazanım : Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçülerini ilişkilendirir. Dar açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin iç bölgesinde bulunur. Aşağıda verilen üçgen dar açılı bir üçgendir. Kazanım 4: Yeterli sayıda elemanının ölçüleri verilen bir üçgeni çizer. Bu bölümde üçgenlerin yardımcı elemanlarını, üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ve üçgen çizmenin şartlarını göreceğiz. Sınavlarda her yıl - soru gelmektedir. Konu örneklerle sınavlarda çıkmış ve çıkabilecek sorular üzerinden anlatılmıştır. A. Üçgenlerin Yardımcı Elemanlarını Çizelim Üç açısı, üç kenarı ve üç köşesi olan kapalı geometrik şekillere üçgen denir. Bütün üçgenlerin iç açıları toplamı 80 0 dir. Dik açılı üçgenlerde yükseklik ise; dik kenarlar ve iç bölgede olur. Aşağıda verilen üçgen dik açılı bir üçgendir. Δ Yukarıdaki ABD dik üçgeninde a,b,c doğru parçaları yüksekliktir. Geniş açılı üçgenlerde yükseklik ise; üçgenin dış bölgesinde kesişir. Aşağıda verilen üçgen geniş açılı bir üçgendir..yükseklik: Bir köşeden karşı kenara veya kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denilmektedir. Yükseklik genellikle h ile gösterilir.

133 .Kenarortay: Bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Kenarortay V sembolü ile gösterilir. Aşağıda verilen açıortay örneğini inceleyelim. CD, AF, BE doğru parçaları yukarıdaki üçgenin kenarortay uzunluklarıdır. Yukarıdaki üçgende [AB], üçgenin A açıortayıdır. açısını 65 0 lik iki eş parçaya ayırmıştır. Şimdi de açıortayı katlama yaparak inşa edelim. İşlem basamaklarına dikkat ediniz. Not: Bir üçgende kenarortayların kesişim noktasına o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G ile gösterilir..açıortay: Üçgenin bir iç açısını iki eş parçaya ayırarak köşeyi karşı kenara birleştiren doğru parçasına açıortay denir. Açıortay n sembolü ile gösterilir. [AB] kenarı ile [AC] kenarı üst üste gelecek şekilde katlayalım. Sonra tekrardan eski haline getirelim. A köşesine ait açıortay [AS] B köşesine ait açıortay [BR] C köşesine ait açıortay [CP] doğru parçalarıdır. BAD ile DAC açılarının ölçüleri birbirine eşit olur.

134 Bu durumda [AD] doğru parçası ise A açısının açıortay doğrusu olur. İkizkenar üçgenlerde eş kenarlar arasındaki açıdan çizilen açıortay hem yükseklik hem de kenar ortay uzunluğudur. 5 cm cm cm Görüldüğü gibi üçgen oluşturmadı. cm lik açık kaldı. O halde uzunlukları verilen her üç adet cisimden üçgen elde edemeyiz. Peki, üçgen olması için çubukların uzunlukları arasında nasıl bir ilişki olmalıdır? Yukarıda ki üçgende [AB] doğru parçası yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluğudur. Aşağıda verilen üçgende kenarortay ve yükseklik hangi noktalardan geçmektedir. b - c < a < b + c O halde üçgenin herhangi bir kenarı diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır. Buna üçgen eşitsizliği denir. ( Cevap= Kenarortay E, yükseklik G) B.Üçgen Eşitsizliğini Öğrenelim 4 cm cm 0 cm Yukarıdaki uzunlukları verilen çubuklar ile üçgen elde edilir mi? Örnek: Uzunlukları, 4, 5 cm olan doğru parçalarından üçgen oluşur mu? 4 - < 5 < 4 + < 5 < 7 Eşitsizlik sağlandığı için üçgen oluşur. Örnek: Uzunlukları 5, 6, cm olan üç adet çubuktan üçgen oluşur mu? 6-5 < < < < Eşitsizlik sağlanmadığı için üçgen oluşturmaz.

135 Örnek: 7 cm 5 cm Eğer çevre çift sayı ise bu sefer ye böldükten sonra çıkarın. Diyelim çevre cm olsun. sayısını ye bölüp çıkarırsak 5 eder. Bu durumda en uzun kenar 5 cm olur. x 7-5 < x < < x < x =, 4,5,6,7,8,9,0, Örnek: Yanda verilen kenar uzunlukları verilen şekilde x kenarının alacağı tamsayı değerlerini bulalım. 8-4 < x < ve 7-4 < x < < x < < x < Ortak çözümkümesi 4 < x < 5, 6, 7, 8, 9, 0 olur. Çevresi 9 cm olan bir üçgenin bütün kenar uzunlukları birer tamsayıdır. Buna göre en uzun kenarı kaç cm olabilir? (Cevap=4 cm) Bütün kenar uzunlukları birer tamsayı olan ve İki kenar uzunluğu 8 ve 5 cm olan üçgenin çevresi en çok kaç cm olur? (Cevap=45 cm) Örnek: Çevresi 5 cm ve bütün kenarları tamsayı olan bir üçgenin en uzun kenarı kaç cm olacağını bulalım. Çevresi 5 cm ise diğer iki kenarın toplamı. kenardan fazla olmak zorundadır. 5 in yarısı 7,5 olur. O halde 7,5 dan küçük en büyük tamsayı olur. O da 7 cm olur. Yukarıdaki çevresi verilip en uzun kenarı istenen soru türlerini kısa yoldan yapmak için; Eğer çevre tek sayı ise çıkarıp ye bölün. Diyelim çevre cm olsun. sayısından çıkarıp ye bölersek sonuç 0 olur. O zaman en uzun kenar 0 cm olur. C.Üçgenlerde Açı-Kenar İlişkisi Yukarıda üçgenin açılarını inceleyelim. Δ ABC üçgeninde en büyük açı C açısı ve en küçük açı ise B açısıdır. Bu yüzden en büyük kenar c kenarı en küçük kenar ise b kenarı olur.

136 Burada C > A > B c > a > b olur. olduğundan dolayı Üçgenlerde büyük açının karşısında büyük kenar ve küçük açının karşısında ise küçük kenar bulunur. Örnek: Yanda verilen üçgende en uzun kenar hangisidir? (Cevap=c) Yukarıda açıları verilen üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım. Üçgende K ve M açıları eşit olduğu için gördüğü kenarlarda eş olur. L açısı en büyük olduğu için gördüğü kenarda en büyük olur. O zaman; KM > LM = KL olur. D. Üçgen Çizme Şartları İnceleyelim ) İki açısı ve herhangi bir kenarı bilinen bir üçgen çizilebilir. ) İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı bilinen bir üçgen çizilebilir. Örnek: Yukarıda verilen dik üçgenin en uzun kenarını bulalım. Bir dik üçgende en uzun kenar her zaman dik açının karşısındaki (hipotenüs) kenardır. Bu durumda en uzun kenar [AC] olur. ) Üç kenarı bilinen bir üçgen ( üçgen eşitsizliğine uymak kaydıyla) çizilebilir. Not: Sadece üç açısı bilinen üçgen çizilebilir mi? Çizilebilir ama birden fazla üçgen çizilebilir.

137 HAT SORULAR ) Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına ne denir? A) Açıortay B) Kenarortay C) Yükseklik 4) Aşağıda verilen üçgen türlerinden hangisinde yükseklik üçgenin dış bölgesinde kesişir? A) Dar açılı Üçgen B) Geniş açılı üçgen C) Dik açılı üçgen D) Çeşitkenar üçgen D) Kenar ) 5) Yukarıda üçgende ok ile gösterilen doğru parçası üçgenin hangi elemanıdır? A) Yükseklik B) Kenarortay C) Açıortay D) Alan Yukarıda verilen üçgende hangi doğru parçası A açısının açıortayıdır? A) [AB] B) [AF] C) [AE] D) [BE] 6) ) [BD] doğru parçası üçgenin hangi temel elemanıdır? A) Kenarortay B) Yükseklik C) Açıortay D) Kenar orta dikme Yukarıda ABC üçgenin içine kenarlara teğet olacak biçimde çember çizilmiştir. [AE] doğru parçası üçgenin hangi elemanıdır? A) Açıortay B) Kenarortay C) Kenar orta dikme D) Yükseklik

138 7) 9) Aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) Eşkenar üçgenin kenarortay uzunlukları birbirine eşittir. B) İkizkenar üçgende yükseklik ile kenarortay uzunluğu birbirine eşittir. Yukarıda verilen üçgende [KN]=[MN] olduğuna göre verilen bilgilerden hangisi doğrudur? - [NL] yüksekliktir. C) Geniş açılı üçgende bütün yükseklikler üçgenin dış bölgesindedir. D) Dik açılı üçgende yükseklik dik kenarlardan biri olabilir. - [NL] açıortaydır. - [LN] > [KN] 4- [KL] = [LM] A) ve B) Yalnız 0) P x C),, D),, 4 R 6 S Yukarıda verilen üçgende [PS] kenarının alacağı kaç adet tamsayı değeri vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 8) Yukarıda verilen üçgende [CD] doğru parçası hem açıortay hem de kenarortay olduğuna göre B açısı kaç derecedir? A) 55 B) 5 C) 5 D) 5 ) Yanda verilen üçgende x hangi değeri alamaz? A) 8 B) 6 C) 0 D)

139 ) Şekilde ikizkenar üçgende [AC]=[BC]=0 ise y kenarının alacağı en büyük tam sayı değeri kaç cm olur? A) 9 B) 7 C) 0 D) 5) Yukarıdaki üçgenlerde d kenarının alacağı en büyük tamsayı değeri için e kenarı en az kaç olur? A) B) C) 4 D) 5 ) Şekilde [AB]=4 cm, [AC]=5 cm, [BD]= cm, [CD]=6cm olduğuna göre [BC] kenarı kaç farklı tamsayı değeri alır? 4) A) 8 B) 7 C) 5 D) 4 Şekilde [KL]=0 cm, [KN]=7 cm, [LM]=4 cm, [MN]=8 cm Olduğuna göre [KM] en az kaç cm olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 6) Aşağıda kenar uzunlukları verilen çubuklardan hangisi ile üçgen oluşturulamaz? A) 0, 0, 0 B) 5, 5, 0 C), 7, 9 D) 4, 6, 5 7) Yanda verilen üçgenin bütün kenarları tamsayı olduğuna göre çevresi en çok kaç cm olabilir? A) 0 B) C) 45 D) 50 8) Yanda verilen üçgenin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız? A) r>p>s B) p>r>s C) p>s>r D) r>s>p

140 9) NOKTA SORULAR Yanda verilen üçgende A açısı geniş açıdır. Buna göre x kaç farklı tamsayı değeri alır? A) B) 5 C) 8 D) 0 0) Aşağıda verilen üçgende en uzun kenar hangisidir? ) sıralayınız? A) n > n > n a b B) n > n > n a C) n > n > n c c b b a c Yanda verilen üçgenin köşelerine ait açıortay doğrusunun uzunluklarını büyükten küçüğe doğru A) [BC] B) [CD] C) [AD] D) [AB] D) n > n > n ) c a b ) Aşağıda numaralarda verilen bilgilere göre hangileri ile yalnız bir üçgen çizilebilir? - İki kenarı ve herhangi bir açısı verilen üçgen. - iki açısı ve herhangi bir kenarı verilen üçgen. Yanda verilen çeşitkenar üçgenin [DE] kenarının alacağı tamsayı değerlerinin toplamı kaça eşittir? A) 8 B) 0 C) 7 D) - Üç açısı verilen üçgen. A) ve B) Yalnız C) ve D) Yalnız ) Çevresi cm ve bütün kenarları tamsayı olan bir üçgenin en uzun kenarı kaç cm olabilir? A) B) 5 C) 6 D) 8

141 4) 7) Yukarıda verilen üçgenin [AC] kenarına ait kenarortay doğrusu hangi noktadan geçer? A) K B) L C) M D) N Şekilde [AC] ve [BD] uzunlukları dikdörtgenin köşegenleridir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? - [AC]=[BD] - [ED] > [DC] 5) Yanda verilen ikizkenar üçgenin bütün kenar uzunlukları birer tamsayıdır. [PR]=[PS] ve [RS]= cm ise bu üçgenin çevresi en az kaç cm olur? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 - [AE] = [EC] 4- [BC] > [EC] A) Yalnız B) ve C), ve 4 D) ve 8) Bütün kenarları tamsayı olan ve çevresi 0 cm olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) B) C) 4 D) 5 6) Bir ikizkenar üçgende ikizkenarlar 0 arasındaki açı 0 dir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Diğer açıların her biri 0 ar derecedir. 0 B) En uzun kenarı 0 nin karşısındaki kenardır. C) Bütün kenarlara ait yükseklikler birbirine eşittir. D) Geniş açılı bir üçgendir. 9) ise LNM kaç derecedir? Şekildeki üçgende [LN] açıortaydır, [KL]=[LM] ve 0 0 KMN = 0, LKM = 66 A) B) 0 C) 06 D) 88

142 0) Aşağıdaki uzunlukları verilen çıtalardan hangisi ile üçgen oluşturulamaz? ) A) 5, 6, 7 B) 7, 7, C) 4, 6, 0 D), 6, 8 ) A) En uzun kenar [BC] dir. Yanda verilen üçgen için aşağıda verilen bilgilerden hangisi doğrudur? B) En az bir tane yüksekliği üçgenin dış bölgesindedir. C) En uzun kenarortay doğrusu [AB] kenarına çizilendir. D) [BC]>[AC] Δ Yukarıda verilen ABC üçgeni B ve C köşeleri üst üste gelecek şekilde katlanmış ve tekrar açılmıştır. Burada gösterilmek istenen üçgenin hangi elemanıdır? A) Açıortay B) Yükseklik C) Kenarortay D) Köşegen ) Öğretmeni Eda ya 8 cm ve cm uzunluğunda iki çubuk vermiştir. Diğer çubuğu ise Eda nın seçmesini istemiştir. Eda hangi çubuğu alırsa üçgen oluşturamaz? A) 8 cm B) 6 cm C) 5 cm D) 4 cm Δ 4) Aşağıda ABC üçgeninde verilenlere göre x uzunluğunun alacağı en büyük tamsayı değeri kaçtır? [AB]= 7 ve [AC]= 7 A) 8 B) 0 C) D) 5

143 Δ 5) Çizilen bir ABC üçgeni için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 8) A) [AB]=[BC]=[AC] ise üçgenin bütün yükseklikleri birbirine eşittir. B) [AB]=[AC] ise C köşesinden [AB] ye çizilen açıortay uzunluğu aynı zamanda yüksekliğe eşittir. 0 C) B = 90 ise en uzun kenar [BC] olur. D) B > A ise [AC]<[BC] olur Δ 6) Bir ABC üçgeninde B köşesi, C köşesi üzerine gelecek biçimde katlanınca [AB] kenarı ile [AC] kenarı taşmayacak şekilde üst üste gelmiştir. Üçgen şeklindeki zeminin P noktasında bulunan bir karınca [RS] kenarına en kısa yoldan giderse, üçgenin hangi elemanı üzerinden gitmiş olur? A) Yükseklik B) Açıortay C) Kenarortay D) Tepe açısı Buna göre bu üçgen türü aşağıdakilerden hangisi olabilir? - İkizkenar Üçgen - Eşkenar Üçgen - Çeşitkenar Üçgen 9) A) ve B) Yalnız C) ve D) ve Yanda verilen ikizkenar dik üçgen için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 7) kaç cm olur? Yanda verilen üçgende C B > ve [AB]=0 ve [BC]=6 ise [AC] uzunluğu en az A) [BC]>[AC] B) [AD]=[BD] C) [AB]>[AD] D) [DC]>[AB] A) 4 B) 5 C) 0 D)

144 0) Aşağıda verilen katlama işlemlerinden hangisinde amaç üçgenin açıortay doğrusunu bulmaya yöneliktir? A) B) ) ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL Yanda verilen çeşitkenar üçgen bir levha A noktasından yere paralel astığımız zaman dengede durmaktadır. Buna göre bu nokta üçgenin hangi noktası olmalıdır? A) Açıortayların kesişim noktası B) Kenarortayların kesişim noktası C) C) Yüksekliklerin kesişim noktası D) Kenar orta dikme D) Pascal (9 Haziran 6 9 Ağustos 66) Fransız bir mucit, matematikçi, fizikçi, yazar ve filozof idi. Rouen de vergi tahsildarı olan babası tarafından eğitilen bir çocuk dahiydi. Pascal ın ilk çalışmaları doğa bilimleri ve uygulamalı bilimler alanındaydı. Bu dönemde, akışkanlar ile ilgili çalışmalara büyük katkılarda bulunmuştur ve Evangelista Torricelli nin çalışmalarını genelleştirerek basınç ve vakum kavramlarını açıklığa kavuşturmuştur. Aynı zamanda Pascal, bilimsel yöntemi savunmuştur. ) Şekilde verilen üçgende x bir tamsayıdır. Buna göre bu üçgenin çevresi en az kaç cm olur? A) B) 0 C) 9 D) 5 ) Şekildeki üçgende [BC] ve [CD] açıortaydır. Buna göre x açısı kaç derecedir? A) 54 B) 60 C) 68 D) 7

145 PİSAGOR BAĞINTISI Örnek: A Kazanım: Pisagor bağıntısını oluşturur; ilgili problemleri çözer. x Bu kazanım ile ilgili sınavlarda her yıl mutlaka adet soru gelmektedir. Karşınıza çıkabilecek her türden soru için örnekler verilmiştir. Pisagor Bağıntısını Oluşturalım B Δ Yukarıda verilen ABC dik üçgeninde [AB]= cm ve [BC]=4 cm ise [AC] uzunluğunu bulalım. Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı hipotenüse eşittir. O zaman; C x = +4 x = x = 5 x = 5 x = 5 cm olur. Bir kenarı c birim olan [MKBA] dikdörtgenin alanı c, Bir kenarı b birim olan [ACDE] dikdörtgenin alanı b, Bir kenarı a birim olan [BHGC] dikdörtgenin alanı a, Olduğuna göre Örnek: Aşağıda verilen dik üçgende m kenarının kaç cm olduğunu bulalım. m =5 + m = m = 4 m = 4 m = 4 cm b =a +c eşitliğine Pisagor bağıntısı denir. Yani bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Bu eşitlik sağlandığı takdirde, bu üçgen dik üçgendir diyebiliriz. Örnek: Yanda verilen dik üçgende [AB]= cm ve [BC]=4 cm ise [AC]=x x = +4 x = x = 0 x = 0 x= 5

146 Örnek: olduğunu bulalım. c +4 =6 c + 6 = 6 c = 0 c = 5 olur. Yandaki dik üçgende 0 A = 90 ve [AC]=4 cm ve [BC]=6 cm ise [AB]= c kaç cm Not: İkizkenar dik üçgenlerde hipotenüs uzunluğu dik kenarlardan birinin katıdır. Örnek: Şekildeki dik üçgende x kenarının uzunluğunu bulunuz. Yukarıda verilen ikizkenar üçgenlerin hipotenüs uzunlukları ile dik kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye dikkat ediniz. Örnek: Aşağıdaki üçgenler ikizkenar dik ( Cevap = 5 ) üçgendir.[ce]= cm, [AB] yi bulalım. Şekildeki dik üçgende a=? ( Cevap = 4 ) [CE] = ise [CD]=. =.=6 [CD] = 6 ise [BC] = 6 olur. [AC] = 6. = 6. = cm

147 Örnek: Aşağıda verilen dörtgende A ve D dik açılardır. Buna göre [BD] yi bulalım. Şekildeki ikizkenar dik üçgenlerde [BD]=[CD]= cm ise [AC] uzunluğunu bulunuz. Sorumuzun çözümünü aşağıda tekrardan şeklimizi çizerek yapalım. ( Cevap = 4 ) O zaman; [BC] doğru parçasını ABC ve DBC üçgenlerinin ortak hipotenüs olarak çizelim. Bazı Özel Dik Üçgenler, 4, 5 üçgeninde [BC] = 5 olur. Buradan da x + =5 x = 5-4 x = x = olur. Örnek: Yanda verilen dik üçgende x uzunluğunu bulunuz. Δ ABD üçgeni, 4, 5 üçgenidir. O zaman m= 4 cm olur. x = 4 + [BC] x = x = 80 x = 4 5 olur.

148 Örnek: A B Örnek: C Yukarıdaki şekilde verilen ABCD karesinin alanı 6 cm ise [AD] köşegen uzunluğu kaç cm olur? D bulalım. Yanda verilen (PMKR) karesinin alanı 49 cm ve (LSMN) karesini alanı ise 9 cm dir. [KL] uzunluğunu Karenin alanı 6 cm ise bir kenarı 4 cm olur. O halde [AD] ise; A 4 cm 4 cm olur Örnek: B 4 cm D A 6cm D 9 cm B 8cm C Yukarıdaki şekilde [AC]= 6 cm, [CD]=8cm ve [DB]=9 cm ise A noktası ile B noktası arasındaki en kısa mesafe kaç cm olur? Çözümünü aşağıda tekrardan şeklimizi çizerek yapalım. 9 cm 8cm A 6cm 9cm C B 8cm [AC]=5 cm ve [BC]=8 cm ise [AB]=7 cm olur. Sorumuzun çözümünü aşağıda tekrardan şeklimizi çizerek yapalım. (PMKR) karesinin alanı 49 cm ise bir kenarı 7 cm olur. (LSMN) karesini alanı ise 9 cm ise bir kenarı cm olur. Örnek: Δ O halde KLN üçgeni için, 4, 5 üçgeninden, [KL] uzunluğu 5 cm olur. Şekilde verilen dik üçgenlerde [KL] kenarının uzunluğunu bulalım. Burada, 4, 5 üçgeninden [KM]=5 cm olur. Pisagor bağıntısından; [ ] [ ] [ ] [ ] 6 KL = KL = KL = 6 KL = 6 olur.

149 Örnek: Aşağıda koordinat sisteminde verilen A doğru parçasının uzunluğu kaç birim olduğunu bulunuz. ) HAT SORULAR Yanda kenar uzunlukları verilen dik üçgende x uzunluğu kaç cm ye eşittir? A) B) 5 C) D) 0 Öncelikle yukarıda verilen koordinat sisteminde her aralığın birim olduğuna dikkat etmeliyiz. ) Yanda kenar uzunlukları verilen dik üçgende x uzunluğu kaç cm ye eşittir? A) B)5 C) D) 5 A doğrusuna x der isek pisagor bağıntısından ; x =4 +6 x = x = birim ) eşittir? Yanda kenar uzunlukları verilen dik üçgende y uzunluğu kaç cm ye A) B)5 C)7 D)0

150 4) Yanda kenar uzunlukları verilen dörtgende x uzunluğu kaç cm ye eşittir? A) 84 B) 64 C) 56 D) 44 7) Yanda verilen şekilde Δ ABC ve BDC üçgenleri ikizkenar dik üçgendir. [CD]= cm olduğuna göre [AC] uzunluğu kaç cm olur? A) B)6 C)4 D)4 Δ 5) Yanda kenar uzunlukları verilen dik üçgende [AD] doğrusal olduğuna göre [BC ]uzunluğu kaç cm ye eşittir? A) 0 B) 4 C) 5 D) 9 8) Şekildeki karenin alanı 7 cm olduğuna göre [AC] köşegen uzunluğu kaç cm olur? A) B)5 C) 7 D) 6 9) 6) Şekilde kenar uzunlukları verilen dik üçgenin çevresinin uzunluğu kaç cm olur? A)40 B)6 C) D)0 Yukarıda verilen karelerde [AB]=0 cm ve [GC]= 4 cm ise [DF] uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz? A) 6 B) C) 5 D)4

151 0) ) Şekildeki üçgenler ikizkenar dik üçgenlerdir ve [DC] uzunluğu 5 cm ise [AD] uzunluğu kaç cm olur? A)6 B)0 C)8 D)0 Yukarıda koordinat sisteminde verilen [AB] doğru parçasının uzunluğu kaç birim olur? ) A)5 B) 6 C) 7 D)6 Yukarıda verilen üçgende AB DC ve AD = 4 cm, AB = 4 cm ve AC = 5 cm olduğuna göre DC kenarı kaç cm ye eşittir? A)7 B)9 C)6 D)5 4) A ) B)5 0 C)5 5 D)5 Yanda verilen dikdörtgenin köşegen uzunluğu olan f aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) Şekilde A noktasını Dnoktasına birleştirecek en kısa uzunluk kaç cm olur? A)8 B)0 C)5 D)0 5) Δ Yanda verilen ABC dik üçgeninde [AC] = cm ise [BC] = cm x uzunluğu kaç cm olur? A) 5 B) C)4 D) 7

152 6) 9) Yanda verilen Δ şekilde EDC ikizkenar dik üçgendir. [EB]=[BC], Yukarıdaki Δ (ABCD)kare ve BCF ikizkenar dik üçgeninde [ BF ] = 8 cm ise karenin alanı kaç cm dir? [DC] = 4 cm, [AB] = cm olduğuna göre [AC] uzunluğu kaç cm olur? A) B)4 C)5 D)6 A)6 B)45 C)49 D)64 0) 7) Yanda verilen dik yamukta [AD]= 8cm, [AB]=7cm ve [BC]=5 cm ise [DC] kenarı kaç cm olur? Yanda verilen dik üçgende a kenarının uzunluğu 5 cm ve c kenarının uzunluğu 9 cm olduğuna göre b kenarının uzunluğu kaç cm olur? A) B)7 C)8 D)6 A ) 5 B)7 C)5 C) 5 NOKTA SORULAR 8) Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi dik üçgen değildir? A) 5, 6, 7 B), 4, 5 C) 5,, D) 9,, 5 ) Aşağıda üç kenar uzunluğu verilen üçgenlerden hangisi bir dik üçgene ait olabilir? A)6, 8, 9 B), 6, 5 C),, 6 D),,

153 ) Sadık 5 m ileri, sonra sağa dönüp m gittikten sonra başlangıç noktasına geri dönmektedir. Sadık en az kaç m yol almış olabilir? 5) A)0 B)5 C)5 5 D)6 ) Şekildeki kenar uzunlukları [AB]=[AC]=5 cm ve [BC]=8 cm olan ikizkenar üçgenin alanı kaç cm dir? A)4 B) C)6 D)7 Yukarıdaki şekilde HBEF karesinin alanı 9 cm ve (ABCD) karesinin alanı ise 5 cm dir. Buna göre [FC] uzunluğu kaç cm olur? A) 6 B) 69 C) 7 D)8 6) Yandaki şekilde Δ ADB ikizkenar dik üçgen ve Δ ABC ise eşkenar üçgen Δ olduğuna göre ABC üçgeninin çevresi kaç cm olur? A) B)8 C)7 D)7 4) Yukarıda verilen direğin uzunluğu metredir. Direğin tepesinden C noktasına çekilen en kısa telin uzunluğu k telinden kaç m fazladır? A)7 B)0 C) D) 6 7) Şekilde verilen direk 7 m yukarısından kırılarak uç noktası, direkten 4 m ileriye düşmüştür. Buna göre direğin kırılmadan önce boyu kaç metredir? A) B) C)44 D)45

154 8) ) Yukarıda iki direk arasındaki mesafe m, kısa direğin uzunluğu 4 m ve iki direk arasındaki gergin ipin uzunluğu 5 m olduğuna göre uzun direğin boyu kaç metredir? A)0 B) C)7 D) 9) Yukarıdaki cm uzunluğundaki çivinin tepesine 0 cm uzunluğunda ip bağlanmıştır. [AB]=0 cm [BK]=4 cm [KL]= cm [LM]= cm, olmak üzere ipin gergin olması için kazık hangi noktaya çakılmalıdır? A) B B) K C) M D) L ) Serhat a=, b = 5 ve c= cm uzunluğundaki çıtalarla bir dik üçgen oluşturmak istiyor. Bu üçgenin hipotenüsü hangi uzunluk olur? Yukarıdaki koordinat sisteminde verilen d doğru parçasının uzunluğu kaç birim olur? A) B) 5 C) 5 D)5 A) a B) b C) c D) Hiçbiri ) 0) Şekildeki binanın yüksekliği 4 m dir. Merdivenin taban kısmının binaya uzaklığı 7 m ise merdivenin boyu kaç m dir? A) B)4 7 C)5 D)7 Yukarıdaki şekilde E ile F noktaları arası cm olduğuna göre verilen dörtgenin çevre uzunluğu kaç cm dir? A)8 B)6 C)8 D)6

155 4) verilmiştir? Şekildeki üçgende kenar uzunlukları verilmiştir. Buna göre x ve y kenarlarındaki ilişki aşağıdaki seçeneklerin hangisinde x 4 x x x A) = B) = C) = D) = y 9 y 5 y 4 y 0 7) Yukarıda koordinat düzleminde verilen [AB] ve [CD] doğru parçalarının uzunlukları toplamı kaç birime eşittir? A) 5 B) C) 0 D)4 5 8) Zirve 5) 8 cm. 6 cm. Durum Durum C Yukarıda uzun kenarı 8 cm ve kısa kenarı 6 cm olan dikdörtgen levha D köşesi etrafında şekildeki gibi döndürülürse. Durumdaki C köşesi ile. durumdaki C köşesi arasındaki en kısa mesafe kaç cm olur? A)8 B)6 C)8 D)0 D A B Dağın yüksekliği 500 m ve A noktası ile B noktası arası mesafe 800 m olduğuna göre A noktasında bulunan köstebeğin dağın zirvesine çıkması için en az kaç m yol alması gerekir? A)700 B)000 C)500 D)00 9) 6) Yandaki şekilde B ve C açıları dik açılardır. Buna göre [AB]+[AC] kaça eşittir? A) 5 B) C) D)5 Yukarıdaki şekilde uzun kenarı 4 cm ve kısa kenarı cm olan dokuz adet eş dikdörtgen vardır. Bir karınca A dan G ye en kısa yoldan gidiyor. Eğer H noktasından geçseydi kaç cm daha fazla yol gitmek zorunda olacaktı? A)6cm B) cm C)8cm D) cm

156 0) Hulusi uzunlukları verilen üç adet çıtalardan şekildeki üçgeni oluşturmuştur. Bir ucu C köşesinde olacak şekilde aşağıda uzunlukları verilen çıtalardan hangisi koyarsa [DE] kenarının herhangi bir noktasına yetiştiremez? A) 9 cm B) 4 cm C) cm D) 4 cm ) ZOR OLMASA KOLAY DEĞİL Yukarı verilen dik üçgenlerde [GF] uzunluğu kaç cm olur? A) B) C) 5 D) 6 Pisagor Pisagor, Yunan filozofu ve matematikçisidir. En iyi bilinen teoremi; kendi adıyla anılan Pisagor teoremidir. Pisagor, M.Ö. 596 yılında Sisam adasında doğmuştur. Yüzük taşı yapımcısı Mnesarkhos'un oğludur. İlk eğitimini doğduğu adada aldı. Sayıların babası" olarak bilinir. Pisagor ve öğrencileri her şeyin matematikle ilgili olduğuna, sayıların nihai gerçek olduğuna, matematik aracılığıyla her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine inanmışlardır. En önemli buluşlarından biri de, doğadaki her şeyin matematiksel olarak açıklanması ve yorumlanması düşüncesidir. Pisagor müzik ile de uğraştı. Telin kısalmasıyla, çıkardığı sesin inceldiğini keşfetti. İki telden birinin uzunluğu diğerinin iki katıysa, kısa telin çıkardığı ses uzun telin çıkardığı sesin bir oktav üstünde olduğunu gördü. Pisagor, sabahyıldızı ile aksam yıldızının ayni yıldız olduğunu ilk anlayan Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit olarak anıldı. ) Yanda verilen dik üçgende x uzunluğu kaç cm olur? A),4 B),6 C)5 D)4 ) cm olur? A)0 +0 B)5 + 5 C)0 + 5 D)5 Şekildeki O merkezli çemberin yarıçapı 5 cm olduğuna göre Δ ABC nin çevresinin uzunluğu kaç

157 EŞLİK VE BENZERLİK Kazanım : Eşlik ve benzerliği ilişkilendirir; eş ve benzer şekillerin kenar ve açı özelliklerini belirler. Açıklama: AAA, AKA gibi üçgenlerde benzerlik kuralları özel olarak verilmez. Örnek: Aşağıda verilen kare, köşegenlerinden kesilerek 4 adet eş üçgen elde edilmiştir. Bu bölümde çokgenlerin eşlik ve benzerliğini göreceğiz. Sınavlarda çıkan sorular genellikle üçgenlerin eşliği ve benzerliği üzerinedir. Konu anlatımını ve soruları genellikle üçgenler üzerinden vererek anlamayı sağlayacağız. A. Çokgenlerde Eşlik Ve Benzerlik Kavramları Aşağıda köşegeninden kesilen dikdörtgen iki eş parçaya ayrılmıştır. Yukarıda verilen dikdörtgen köşegen kısmından kesiliyor. X ve Y olan iki adet eş üçgen elde ediliyor. Bu iki üçgenin açıları ve kenar uzunlukları birbirine eşittir. Kenar uzunlukları ve açıları birbirine eşit olan çokgenlere eş çokgen denir. Yukarıda verilen iki üçgen eş üçgenlerdir. Kenar uzunlukları ve açıları birbirine eşittir. Δ Δ ABC DEF üçgenleri eş üçgenlerdir. A açısı ile D açısı B açısı ile E açısı eşlik sembolü C açısı ile F açısı yukarıda görüldüğü gibi eş açılardır. Aynı zamanda karşılıklı kenarlar da birbirine eşittir. [AB]=[DE] [BC]=[EF] [AC]=[DF] Aşağıda verilen maddeler üçgenlerin hangi durumlarda eş olduğunu anlamaya yöneliktir. ) Karşılıklı iki kenarı ve kenarlar arasındaki açıları eş olan üçgenlere eş üçgen denir.

158 Aşağıda verilen şekiller birbirine eş şekillerdir. Bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir. A açısı ile D açısı ve [AB] ile [DE] ve [AC] ile [DF] kenarları birbirine eşittir. Δ Δ ABC DEF olur. ) Bir kenarı ve bu kenarın uçları arasındaki açı eş olan üçgenler eş üçgenlerdir. Not: Eş çokgenlerin çevreleri oranları ' e eşittir. Δ Örnek: Aşağıda ABC DFE olduğuna göre d kenarının uzunluğu kaç cm olur? Δ Δ Δ KLM NPR eş üçgenlerdir. ) Karşılıklı olarak üçer kenarı da eş olan üçgenlere eş üçgenler denir. T açısı ile Y açısı U açısı ile Z açısı V açısı ile R açısı açıları birbirine eşit olur. Bu iki üçgen eş olduğuna göre aynı açıları gören karşılıklı kenarlar uzunluğu eşit olmalıdır. Bu durumda d=7 olur. Δ Örnek: Aşağıda ABC FED olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım. Δ O halde; Δ TUV YZR olur. Δ Aşağıda verilen iki üçgen birbirine eş üçgenlerdir. Bu iki üçgen eş ise aynı açıları gören karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. x-5 = x+ x-x = +5 x = 6 ve x = 8 olur.

159 Örnek: Birbirine eş olan iki çokgenden birinin çevresi 0 cm ise öteki çokgenin çevre uzunluğu kaç cm olur? Eş olan çokgenlerin çevre uzunlukları oranı 'dir. Yani çevre uzunlukları birbirine eşittir. Δ Δ Aşağıda verilen ABC ile DEF üçgenleri benzer üçgenlerdir. Çünkü kenarlar arasında belirli bir oran vardır. Şimdi bu oranın kaç olduğuna bakalım. O halde diğer çokgenin çevresi 0 cm olur. B. Çokgenlerde Benzerlik Aşağıda verilen şekiller birbirine benzemektedir. Aralarındaki fark büyüklük ya da küçüklük. Küçük olan şekil, büyük olan şeklin orantılı olarak küçültülmüş halidir. benzerlik sembolü. Eşlik ve benzerlik kavramları karıştırılan kavramlardır. Aşağıda hem benzerliğin bazı özellikleri verilmiştir hem de eşlik ve benzerlik arasındaki farka dikkat çekilmiştir. Benzerlik Özellikleri: Benzer çokgenlerin karşılıklı açıları birbirine eşittir. Benzer olan çokgenlerin eş açı karşısındaki karşılıklı kenarları arasındaki oran birbirine eşittir. Benzer olan çokgenlerin boyutları birbirine eşit veya orantılı olabilir. Bütün eş olan çokgenler aynı zamanda benzerdir fakat benzer olan çokgenler her zaman eş değildir. O zaman eşlik şartlarının hepsi benzer olan çokgenler için de geçerlidir. Şimdi yukarıdaki üçgenlerin benzerlik oranlarına bakalım. Δ Δ ABC DEF olduğuna göre; AB 8 = = DE 4 AC 0 = = DF 5 BC = = EF 6 Benzerlik oranı olur. Örnek: Aşağıda verilen üçgenlerde benzerlik oranını bulalım. AB 6 = = DE 4 AC 9 = = DF 6 BC = = FE 8 Δ Δ ABC DEF olur. Not: Benzerlik oranı olur. Eş şekillerde karşılıklı kenar uzunlukları ve açıları eştir, benzer şekillerde ise karşılıklı gelen açılar eş ama karşılıklı gelen kenarlar eş veya orantılıdır.

160 Örnek: Aşağıdaki iki dikdörtgen arasındaki benzerlik oranı olduğuna göre çevre oranları kaça eşittir? a = ise a =9, a = 9 b = ise b = 5, b = 5 5 a +b = + 5 = 8 olur. Örnek: Aşağıda verilen şekillerde Δ Δ ABC DEF benzer olduğuna göre bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı nedir? Benzerlik oranı olduğuna göre [AB] = 0cm ise [EF]= 0 cm olur. [AD]=50cm ise [EH]=5cm olur. (ABCD) dikdörtgenin çevresi = 40 cm olur. (EFGH) dikdörtgeninin çevresi ise = 70 cm olur. Çevreler oranı= 70 = 40 olur. O halde benzer olan çokgenlerin benzerlik oranı, aynı zamanda çevreleri oranına da eşittir. Δ Δ ABC DEF benzer olduğuna göre A açısı ile D açısı birbirine eşittir. IBCI = 7 birim ve [EF] = birim olmak üzere, BC 7 = benzerlik oranı olur. EF Örnek: Aşağıda verilen üçgenler benzer olduğuna göre D açısı kaç derecedir? Örnek: Aşağıda verilen Δ Δ KLM ile PRS üçgenleri arasındaki benzerlik oranı ise a+b=? Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları orantılı fakat açıları eştir. Yukarıdaki üçgenler incelendiğinde [AB] kenarı ile [DF] kenarı ve [AC] ile [DE] kenarları arasındaki benzerlik oranı olur. O halde bu iki kenar arasındaki açılar birbirine eşittir. A = D olur. Buradan D = 65 olur.

161 Temel Benzerlik Kuralı: Örnek: Genellikle sınavda gelen sorular bu kısımdan gelmektedir. Örnekler sınavda çıkan soruların benzeri üzerinden gidilerek verilmiştir. [DE]//[BC] [AD]=c [AE]=b [DB]=e [EC]=d [DE]=f [BC]=a Yukarıda verilen üçgenin kenarları arasındaki benzerlik oranı, c b c f b f =, =, = e d c + e a b + d a Yukarıda verilen kenarlar arasındaki benzerlik oranlarına dikkat etmeliyiz. Paralellik şartını gözden kaçırmayınız. Örnek: Yanda verilen üçgende [DE]//[BC] ve [AD]=8cm, [BD]=cm, [AE]=4cm, [BC]=0cm, [DE]=x ve [EC]=y ise x+y=? Yukarıda üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir. Buna göre a kaç cm olur? Burada C ve E açıları birbirine eşit olduğuna göre [BC] // [DE] olur. Temel benzerlik kuralından; 5 = 5 + a 5 + a = a = 5 a = 0cm olur. Örnek: Aşağıda yerlere dik olan direklerin ikisinin boyu ve K ile M arasına çekilen gergin telin uzunluğu verilmiştir. Buna göre x direğinin boyu kaç metredir? Aşağıda şekli tekrar çizerek çözümünü yapalım. 8 4 = 8x = 8 x = x 8 y = 0y = 80 y = x + y = + 8 = 9 olur.

162 0 = a 0a = 60 a = 6 x = a + = 6 + = 9m olur. Aşağıda verilen şekillerden hangileri benzerdir? Örnek: bulalım. Yanda verilen üçgende [CD] açıortay ve [DE]//[BC], [AE]=9cm, [EC]=6cm ise y uzunluğunu Yukarıdaki üçgende [DE]//[BC] olduğu için DCB açısı ile CDE açısı birbirine Δ eşit olur. O zaman EDCüçgeni ikizkenar üçgen olur. (Cevap= II, III) Aşağıda verilen üçgende [AB]//[DE] ise x uzunluğu kaç cm'ye eşittir? 9 6 = 5 y 9y = 5.6 9y = 90 y = 0cm olur. [DE]=6 olur. temel benzerlik kuralından 9 6 = y (Cevap= 4 cm)

163 HAT SORULAR 4) ) Yanda verilen dikdörtgen köşegeninden kesilerek iki adet üçgen elde edilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? Yukarıdaki şekilde verilen üçgenlerden hangisi veya hangileri eş üçgendir? A) Yalnız I B) I, II C) I, III D) II, VI A) Bu üçgenler ikizkenar dik üçgendir. B) Bu üçgenler birbirine eştir. C) Bu üçgenler benzer üçgen değildir. D) Bu üçgenlerin alanları birbirinden farklıdır. ) Δ Δ Aşağıda verilen üçgende ABC ve DEF üçgenleri eş olduğuna göre [DF] kenarı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) 7 C) 0 D) 8 5) Benzerlik oranı olan benzer iki üçgenden çevresi küçük olan üçgenin çevresi 5 cm ise diğer üçgenin çevresi kaç cm olur? A) 5 B) 0 C) 45 D) 60 6) Δ Δ ) KLM PRS olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A)K = L C)M = S B)L = R D)K = P Yanda verilen çokgenler arasındaki benzerlik oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8 A) B) C) D) 5 5

164 7) Benzerlik oranı ve kenarları 5 tamsayı olan benzer iki çokgenin çevre uzunlukları toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 6 B) 48 C) 7 D) 9 8) Yanda verilen şekilde ABC ABD ve [AB]=8cm [BC]=4cm [AD]=cm olduğuna göre [BD]+[AC] uzunluğu kaç cm olur? Δ Δ 0) Şekilde verilen üçgenler eş üçgenlerdir. L = P ve M = R, L = x +0, M = x + 0, S = x olduğuna göre R kaç derece olur? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 ) A) 0 B) 5 C) 40 D) 45 9) Şekilde verilen üçgene eş üçgen aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir? Yukarıda verilen iki üçgen benzer üçgenlerdir. Bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı kaça eşittir? A) B) C) D) 4 ) Birbirine eş olan üç adet çokgenin çevreleri toplamı 7 cm olduğuna göre bu çokgenlerden birinin çevre uzunluğu kaç cm olur? A) B) 4 C) 6 D) 48

165 ) 5) Şekilde verilen bilgilere göre x uzunluğu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) 4 C) 6 D) 0 Yukarıda verilen üçgenlerin benzerlik oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) 4) Aşağıda verilen hangi seçeneklerdeki üçgenler arasında benzerlik oranı olur? 6) kaçtır? Yanda verilen üçgende [DE]//[BC] olmak üzere bazı kenar uzunlukları verilmiştir. Buna göre x uzunluğu A)9 B)8 C)6 D) 7) Yanda verilen üçgende [DE]//[BC] olmak üzere bazı kenar uzunlukları verilmiştir. Buna göre y uzunluğu kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)8

166 8) Aşağıdaki hangi seçenekte verilen şekiller birbirine eş değildir? ) NOKTA SORULAR Yukarıda verilen üçgenler arasında Δ Δ PRS TUV olduğuna göre a+b aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) 8 D) 0 ) 9) Yanda verilen üçgende [LM]//[NP] olmak üzere bazı kenar uzunlukları verilmiştir. Buna göre a uzunluğu kaçtır? Yukarıda verilen ABC üçgenine eş bir üçgen çizmek için [KL] doğru parçasının uçları, F, H, G, M noktalarından hangisiyle birleştirilmelidir? A) F B) H C) M D) G A)5 B)7 C),5 D),5 ) 0) Benzerlik oranı 9 4 olan iki çokgenin Δ Yanda ABC ADC ve [AE]=9 cm olmak üzere [ED] uzunluğu kaç cm olur? Δ çevreleri oranı kaça eşittir? 4 5 A) B) C) D) A) B)4,5 B) D)7

167 4) Şekilde üçgenler arasında DEF HGF olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) DG < EH B) GD HE C) EF > HG D) FH = FD Δ Δ 7) üçgenlerdir? Aşağıdaki seçeneklerde verilen üçgenlerden hangisi KLM üçgeni ile eş 5) Şekilde verilen üçgende [BC]//[DE] dir. [AB]= 4cm, [BC]=6cm, [DE]= cm ise, [BD] uzunluğu kaç cm olur? A) 8 cm B) 6 cm C) 5 cm D) 4 cm 6) 8) Bir ABC üçgeninde [BC] uzunluğu 0 cm dir. [AB] kenarının orta noktası D ve [AC] kenarının orta noktası ise E noktası olduğuna göre D ve E noktasını birleştiren doğru parçasının uzunluğu kaç cm olur? A) 7,5 cm B) 5 cm C) 7,5 cm D)0 cm Δ Δ Şekilde ABC FDE olduğuna göre bu üçgenlerin çevrelerinin oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 4 A) B) C) D) 4 5 9) Benzerlik oranı 5 olan üçgenlerden büyük olan üçgenin çevresi 5 cm olduğuna göre küçük olan üçgenin çevresi kaç cm olur? A) 5 B) 5 C) 75 D) 5

168 0) ) Şekilde verilen koordinat sisteminde Δ Δ AOB EOD olmak üzere [DE]=8br, [AO]=5br, [AB]=8 birim ise [EB] kaç birim olur? A) 8 B) 0 B) D) ) olur? Şekilde [BE]//[CD] ve BEF üçgeni eş kenar üçgendir. [AE]=cm, [ED]=cm ve [CD]=0 cm olduğuna göre BEF üçgeninin çevre uzunluğu kaç cm A) 8 B) 4 C) 0 D)6 Şekilde verilen ağaç ve çocuğun gölge ucu C noktasında çakışmaktadır. Ağacın gölge boyu 500 cm ve çocuğun gölge boyu ise 00 cm dir. Ağacın boyu 00 cm olduğuna göre çocuğun boyu kaç cm olur? A) 0 B) 50 C) 80 D) 00 4) Şekilde verilen üçgenlerden [BH]//[CD] ve [HE]//[FA] dır. [AB]=cm, [BC]=cm, [HE]=5cm olduğuna göre [FA]=k uzunluğu kaç cm olur? A),5 B) 0 B) 8,5 C) 6 5) Aşağıda verilen üçgenlerden hangisi yanda verilen üçgen ile benzerdir? ) Yanda verilen yamukta [AB]//[EF]//[DC], [BF]=[FC], [AB]=5cm ve [DC]= olduğuna göre [EF] kaç cm olur? A) 7 B) 9 C) 0 D)

169 6) 8) Şekildeki üçgende [LM]//[NP] olmak üzere [KM]=6cm, [MP]=cm, [LM]=x+ cm ve [NP]=x+ cm ise x kaça eşittir? A) 4,5 B) 5 C) 7 D) 0 Yukarıda verilen direklerin boyu yanlarına yazılmıştır. [PR]=6 m ve [RS]=4 m olduğuna göre x direğinin boyu kaç m olur? A) 4,5 B) 7 C) 8 C) 9,5 7) Aşağıda seçeneklerde verilen çokgenlerden hangisi birbiriyle benzer değildir? 9) Şekilde BFHE karedir. [AE]=cm, [ED]=6cm, [CD]=6cm ise, BFHE karesinin alanı kaça eşittir? A) 4 B) 9 C) 6 D) 5 0) Şekilde ABC üçgenine benzer bir üçgen çizmek için [PT] doğru parçası K,L,M,N noktalarından hangisiyle birleştirilmelidir? A) K B) L C) M D) N

170 Thales (M.Ö.64 - M.Ö.547) Antik dönemin ünlü filozofudur. Ataları Fenikelilerdir. Son kaynaklar, M.Ö. 65 yılında Milletos'ta doğup, 545'te öldüğünü kabul eder. Yaşadığı yıllarda; geniş bir araştırma, inceleme, düşünme ve mühendislik yeteneği ile ilginç bir ticari zekâsı sonucu üne kavuşmuştur. Atina'da M.Ö. 8 Mayıs 585 tarihinde görülebilecek Güneş tutulma olayını, tutulmanın vukuundan önce haber vermiş olmasıdır. Bir dairenin içine üçgen çizme probleminin çözümünü, cisimlerin (piramitlerin) gölgesi yardımıyla yüksekliğinin hesabını, üçgenlerin kenarları ile ilgili bağıntılar ters açıların eşitliği konusu, küresel üçgenlerin bazı özellikleri eşkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği teoremi. ) boyutları ne olur? Yukarıda verilen fotoğraf bilgisayarda 5 8 oranında küçültülürse yeni ZOR OLMASADA KOLAY DEĞİL ) ) Yukarıda ABC üçgeni oranında küçülerek DEF üçgeni, DEF üçgeni de oranında küçülterek GHI üçgeni elde edilmiştir. Buna göre GHI üçgeninin çevresi kaç cm olur? A) 6 B) 48 C) 5 D) 60 Yukarıda verilen üçgende[ab]= cm, [BD]=cm, [DK]=4 cm, [KL]=6 cm ve [BC]//[DE]//[KM]//[LN] olmak üzere hangi üçgenler arasındaki benzerlik oranı olur? Δ A) ABC ile AKM Δ B) AKM ile ADE Δ C) ADE ile ALN Δ D) ABC ile ALN Δ Δ Δ Δ

171 DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Kazanım : Nokta, doğru parçası ve diğer düzlemsel şekillerin öteleme sonucundaki görüntülerini oluşturur. Örnek: Kazanım : Nokta, doğru parçası ve diğer düzlemsel şekillerin yansıma sonucundaki görüntülerini oluşturur. Kazanım : Çokgenlerin öteleme ve yansıma sonucunda ortaya çıkan görüntüsünü oluşturur. Yukarıda şekil- verilen üçgeni şekil - deki konuma getirmek için 7 birim sağa ve birim yukarıya öteleme hareketi yaptırdık. A.Öteleme Hareketini Öğrenelim Öteleme hareketi yapan nokta veya şekillerin yeri değişir. Boyutu, yönü değişmez. A.. Koordinat Düzleminde Öteleme Hareketini Yapalım Koordinat sisteminde öteleme hareketi yapılırken; Sağa öteleme hareketi yaptırılırken x artar ve sola öteleme yapılırken x azalır. x artar x azalır Yukarı öteleme hareketi yapılırken y artar ve aşağı öteleme harekeyi yapılırken y azalır. y artar Yukarıda şekilde verilen A noktasını; 4 birim sağa, sonra birim aşağı öteleme hareketi yaptırırsak B noktasına gelir. Ya da; birim sola, sonra birim yukarı öteleme hareketi yaptırırsak C noktasına gelir. y azalır. Aşağıda koordinat sisteminde A ve B noktalarına öteleme hareketi yapacağız.

172 B.Yansıma (Simetri) Yansımaya noktanın veya şeklin bir noktaya göre simetriği de denilebilir. A(-,) noktası 6 birim sağa öteleme yapılınca B(,) noktasına gelir ve x, 6 birim artmış oldu. Yansıyan bir noktanın, kendisi ile görüntüsünün yansıma noktasına uzaklığı eşittir. Örnek: K(4,) noktasını koordinat düzleminde 5 birim sola ve birim yukarı ötelendiğinde bulunduğu noktanın koordinatları ne olur? 5 birim sol dediği için x, 5 birim azalır. birim yukarı dediği için y, birim artar. K(4,) K'(4-5,+) K'(-,4) olur. Örnek: M(b,+a) noktasını koordinat düzleminde birim sağa ve birim yukarı ötelendiğinde bulunduğu noktanın koordinatları M'(5,7) oluyorsa a.b sonucu ne olur? birim sağ ise x, artar. birim yukarı ise y, artar. M'(b+,+a+) = M'(b+,a+) b+ = 5 ise b= a+ = 7 ise a=4 olur. a.b = 4. = 8 olur. Yukarıda verilen şekilde C noktası ile yansıması olan C' noktasının simetri doğrusuna (yansıma doğrusuna) olan uzaklıkları birbirine eşit ve birimdir. Örnek: Yukarıda verilen üçgeni doğruya göre yansıttığımızda köşe noktalarının doğruya olan uzaklıkları eşit oldu. Şekillere yansıma yaptırılırken hata yapmamak için köşe noktalarının, yansıma noktasına olan uzaklıklarına çok dikkat etmeliyiz.

173 B.. Koordinat Sisteminde Yansıtma Yapalım a) Eksenlere Göre Yansıtma Aşağıda koordinat sisteminde A noktasının eksenlere göre yansımasını inceleyelim. b) Orijine Göre Yansıtma Aşağıda koordinat sisteminde A noktasının orijine göre yansımasını inceleyelim. Yukarıda verilen koordinat sisteminde A(-,) noktasının; x eksenine göre yansıması A''(-,-) olur. y eksenine göre yansıması A'(,) olur. Yukarıda görüldüğü gibi x eksenine göre yansıma yapılınca y işaret değiştirmiş ve y eksenine göre yansıma yapılınca ise x işaret değiştirmiştir. Yukarıda verilen koordinat sisteminde A(-,) noktasının; Orijine göre yansıması A'(,-) olur. Bir noktanın orijine göre yansıması sonucu x ve y nin her ikisinin de işareti değişir. Örnek: Aşağıda verilen koordinat sisteminde üçgenlerin orijine göre yansıması verilmiştir. A(x,y) A'(x,-y) A(x,y) A'(-x,y) x eksenine göre yansıması y eksenine göre yansıması Örnek: P(-5,4) noktasının x ve y eksenine göre yansımalarını ayrı ayrı bulalım. P(-5,4) P(-5,4) x eksenine yansıması A'(-5,-4) y eksenine yansıması A'(5,4) Yukarı K üçgenin orijine göre yansıması olan K üçgeni çizilmiştir. Bura önce üçgenin üç köşesi ayrı ayrı orijine göre yansıtıldıktan sonra bu üç köşe birleştirilerek yansıması olan K üçgeni çizilmiştir.

174 Not: Bir noktayı önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtırsak, yine orijine göre yansıtmış oluruz. Ya da, Önce y eksenine sonra, x eksenine göre yansıtırsak yine orijine göre yansıtmış oluruz. HAT SORULAR ) V(,-5) noktasını 5 birim sağa ötelediğimizde yeni yerin koordinatları ne olur? A) V'(,0) B) V'(8,-5) C) V'(-,-) D) V'(,-0) ) M(4,) noktasını 5 birim aşağıya ötelediğimizde yeni yerin koordinatları ne olur? A) M'(,0) B) M'(8,-5) A(,8) noktasını koordinat düzleminde birim sola ve 6 birim aşağı ötelersek yeni noktanın koordinatları ne olur? ( Cevap= A'(0,)) V(,-) noktasını ayrı ayrı x ve y eksenlerine göre yansıtınız. ( Cevap= V'(,), V''(-,-) ) C) M'(4,8) D) M'(-,-) ) D(0,6) noktasını birim yukarıya ve birim sola ötelediğimizde yeni yerin koordinatları ne olur? A) D'(-,9) B) D'(-,-5) C) D'(,8) D) D'(,) 4) P(4,) noktası x eksenine göre yansıtıldığında yeni yerin koordinatları ne olur? A) P'(-4,) B) P'(-4,-) C) P'(4,) D) P'(4,-) B( k,m-5) noktasının orijine göre k yansıması B'(-5,0) ise kaça eşittir? m ( cevap: - ) 5) B(-,-5) noktası y eksenine göre yansıtıldığında yeni yerin koordinatları ne olur? A) B'(,5) B) B'(-,5) C) B'(,-5) D) B'(-,-5)

175 6) B(x,-y) noktası orijine göre yansıtıldığında yeni yerin koordinatları ne olur? A) B'(-x,y) B) B'(x,y) C) B'(-x,-y) D) B'(x,-y) 7) (KAZANIM DIŞI) G(,-5) noktası orijin etrafında saat yönünde 90 0 döndürülürse yeni yerin koordinatları ne olur? A) G'(,5) B) G'(-5,-) C) G'(-,-5) D) G'(-,5) ) verilmiştir? Yanda koordinat sisteminde verilen üçgenin y eksenine göre yansıması sonucu oluşan görüntüsü hangi seçenekte 8) (KAZANIM DIŞI) K(0,9) noktası orijin etrafında saat yönünde 70 0 döndürülürse yeni yerin koordinatları ne olur? A) K'(-9,0) B) K'(9,0) C) K'(0,-9) D) K'(0,9) A) 9) (KAZANIM DIŞI) Z(-5,0) noktası orijin etrafında saat yönünde 80 0 döndürülürse yeni yerin koordinatları ne olur? A) Z'(0,5) B) Z'(0,0) C) Z'(-5,-5) D) Z'(5,0) B) 0) (KAZANIM DIŞI) T(,-) noktası orijin etrafında saatin tersi yönünde 90 0 döndürülürse yeni yerin koordinatları ne olur? A) T'(-,-) B) T'(,-) C) T'(,) D) T'(-,) C) D)

176 ) (KAZANIM DIŞI) Yukarıda koordinat sisteminde verilen Δ ABC üçgeni saat yönünde 90 0 döndürülürse köşe koordinatlarından biri aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) (-,4) B) (-,5) C) (-4,) D) (-5,) 6) verilmiştir? Yanda verilen şeklin 5 birim aşağı ve 5 birim sola ötelenmiş hali hangi seçenekte ) Koordinat düzleminde A(-,6) noktasının birim sağa öteledikten sonra x göre yansıması sonucu oluşan yeni noktanın koordinatları nelerdir? A) (,-6) B) (,-6) C) (-6,-) D) (-,6) 4) Koordinat düzleminde A(,-) noktasını orijine ötelemek için aşağıdaki seçeneklerde verilenlerden hangisi yapılmalıdır? A) birim sola, birim aşağıya B) birim yukarıya, birim sola C) birim sola, birim yukarıya D) birim sağa, birim aşağıya A) B) C) 5) (KAZANIM DIŞI Koordinat düzleminde bir noktanın orijine göre yansıması ile bu noktanın orijin etrafında kaç derece döndürülmesi aynı şeydir? A) 90 0 B) 80 0 C) 70 0 D) 60 0 D)

177 7) (KAZANIM DIŞI) 9) Yukarıda koordinat düzleminde şekil- 'in, şekil- gibi olması için aşağıdakilerden hangisi yapılamaz? A) Orijin etrafında saatin tersi yönde 80 0 döndürmek. B) Önce x eksenine sonra y eksenine yansıtmak. C) Orijine göre yansıtmak. D) Saat yönünde 70 0 döndürmek Yukarıda verilen d doğrusuna göre yansımanın doğru olması için aşağıdakilerden hangisini yapmak yanlış olur? A) Şekil-'deki üçgeni birim sola ötelemek. B) Şekil-'deki üçgeni birim sola ötelemek. C) d doğrusunu 0,5 birim sağa ötelemek. D) Herhangi bir şey yapmaya gerek yoktur. 0) 8) (KAZANIM DIŞI) B( k+,m ) noktasını orijin etrafında saat yönünde 90 0 döndürdüğümüzde oluşan yerin koordinatları ne olur? A) ( k-,m ) B) ( m,-k- ) C) ( -m,k+ ) D) ( m+, -k ) Yukarıda verilen şekilde C noktasında bulunan tavşanın, F noktasında bulunan havuca ulaşabilmesi için hangi hareketi yapması gereklidir? A) 7 birim sağa sonra birim yukarı B) 6 birim sola sonra birim yukarı C) 5 birim sağa sonra 4 birim yukarı D) 4 birim yukarı sonra 8 birim sağa

178 NOKTA SORULAR ) (KAZANIM DIŞI) ) Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde x eksenine göre yansıtma yapılmıştır? A) B) C) D) Yukarıda koordinat sisteminde verilen dikdörtgen orijin etrafında saat yönünde 90 0 döndürülürse köşe koordinatlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (5,5) B) (,5) C)(-,) D)(5,) 4) (KAZANIM DIŞI) Koordinat düzleminde (0,) noktası birim aşağı ötelendikten sonra orijin etrafında saat yönünde 80 0 döndürülse yeri hangi nokta olur? A) (0,-) B) (,-) C) (-,-) D) (,) ) (KAZANIM DIŞI) Koordinat sisteminde C(-,4) noktasına hangisi yapılırsa görüntüsü C'(-4,-) noktası olur? A) Orijin etrafında saat yönünde 90 0 döndürülürse B) y eksenine göre yansıtılırsa C) x ekseni üzerinde birim sola ötelenirse D) ) Orijin etrafında saat yönünde 70 0 döndürülürse 5) Köşe koordinatları E(,-), F(-,-5) ve H(-,) olan üçgenin yansıması sonucu oluşan köşe koordinatları E'(-,) ve F(,5) ise H köşesinin koordinatları ne olur? A) (-,) B) (,) C) (,-) D) (,-) 6) Hangi noktanın y eksenine göre yansıması sonucu (,0) noktası olur? A) (0,) B) (0,-) C) (-,0) D) (,0)

179 7) Yanda verilen üçgenin orijine göre yansıtıldıktan sonraki köşe noktalarından biri aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) (4,) B) (,-) C) (,4) D) (,) 0) Yukarıda verilen şekilde aşağıdaki verilen seçeneklerden hangisi yapılmış olabilir? I. Ötelemeli yansıma II. Döndürüp sonra öteleme III. Sadece öteleme 8) verilmiştir? Yanda verilen şeklin 4 birim aşağı birim sola ötelenmiş hali aşağıdaki seçeneklerin hangisinde A) Yalnız II B) II ve III C) I ve III D) I ve II ) (KAZANIM DIŞI)M( 4,5 ) noktası orijin etrafında saatin tersi yönde 90 0 döndürülürse görüntüsünün koordinatlar çarpımı kaç olur? A) 0 B) -0 C) - D) 9 ) (KAZANIM DIŞI) Köşe koordinatları A(,-), B(-,-), C(-,-), D(,-) olan bir dikdörtgenin orijin etrafında saat yönünde 70 0 döndürülürse, oluşan görüntünün koordinat düzleminde I.bölgede kalan alanı kaç birim kare olur? 9) (,) noktasının orijine göre yansıması hangi seçenekte verilmiştir? A) B) C) D) 6 A) (-,-) B) (,) C) (-,-) D) (,)

180 ) (KAZANIM DIŞI 6) (KAZANIM DIŞI) Yukarıda koordinat sisteminde verilen kare saat yönünde 80 0 döndürülürse hangi nokta veya noktalar karenin dışında kalır? A) B,F B) D C) A,B D) C Koordinat sisteminde verilen A noktasının orijin etrafında saat yönünde 90 0 döndürülmesi sonucu B noktası elde edilmektedir. Buna göre [AB] uzunluğu kaç birimdir? A) 6 B) 6 C) 6 D) 4 4) (KAZANIM DIŞI) Koordinat sisteminde (4,-0) noktası saat yönünde 90 0 döndürüldükten sonra x eksenine yansıması alınınca görüntüsü ( a+,b) olduğuna göre a-b işleminin sonucu kaça eşittir? 7) A) -4 B) -9 C) -5 D) -6 5) Aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır? A) x eksenine göre yansıyan noktanın ordinatının işareti değişir B) Orijine göre yansıyan bir noktanın apsisinin işareti değişir C) (-,5) noktası 4 birim sağa ötelenirse I. bölgede olur D) (5,0) noktası orijin etrafında saat yönünde 70 0 döndürülürse görüntüsü (0,5) olur Yukarıda verilen düzlemde üçgen şeklinin yansıması verilmiştir. Buna göre yansıma doğrusu hangi noktadan geçer? A) G B) H C) I D) J 8) (KAZANIM DIŞI) D(,) noktasının saat yönünde 70 0 döndürdüğümüzde D' noktası olmaktadır. Buna göre D' noktasının x eksenine uzaklığı kaç birimdir? A) B) C) D) 5

181 9) (KAZANIM DIŞI)Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde koordinat sisteminin ikinci bölgesinde bulunan şeklin orijin etrafında saatin tersi yönde 70 0 döndürülmesi sonucu oluşan görüntüsü vardır? A) 0) Yukarıdaki düzlemde dikdörtgen ok yönünde dakikada birim, üçgen ise ok yönünde dakikada birim öteleniyor. Buna göre ilk kez kaç dakika sonra hangi noktada karşılaşırlar? B) A) dakika sonra P noktasında B) dakika sonra R noktasında C) 4 dakika sonra O noktasında D) dakika sonra N noktasında C) D) El Biruni Ebu'l Reyhan-I Beyrunî ( ). yüzyılın ilk yarısının en ünlü astronom ve matematikçisi. Felsefe ve coğrafya alanlarında da çalışmalar yaptı. Sayılar kuramı, Hint hesabı, ay ve güneş tutulmaları, matematik coğrafya, enlem ve boylam tayini, kuyruklu yıldızlar, küre geometrisi gibi konularda yazılmış kadar eseri (toplam sayfası.000 'u geçer) bilinir. Geometride, açıyı üçe bölme problemini de içeren cetvel ve pergel ile çözülemeyen bir grup problem vardır ki, bunlar matematik tarihinde "Biruni problemleri" olarak bilinir. Daire içine çizilmiş 9 kenarlı düzgün poligonun bir kenarının uzunluğunu özgün bir yöntemle hesapladı. Pi sayısının hesabı üzerine çalıştı, sinüsler teoremini kendine özgü bir yöntemle kanıtladı.