mat 103. Çal şma Sorular 1

Transkript

1 mat 0. Çal şma Sorular. FONKS IYONLA. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() 4 jj (b) f() jj (c) f() 4 jj (ç) f() j j (d) f() j j (e) f() j j (f) f() j j. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() jj + 4 (b) f() jj 4 (c) f() 4 jj. Bilgisayar bellek çileri üreti satan bir fabrikan n azarlama bölümü, yat-tale ve gelir fonksiyonlar n n () 75 () (75 ) eşitlikleriyle verildi¼gini belirlemiştir. Burada ; milyon olarak tale say s n göstermektedir. () de milyon dolar olarak gelirdir. Bu fonksiyonlar n tan m aral ¼g 0 eşitsizli¼giyle verilmiştir. (a) Gelir fonksiyonunun gra ¼gini çiziniz. (b) Maksimum gelir elde edebilmek için gereken üretim say s n bulunuz. Maksimum gelir nedir? (c) Maksimum gelir elde edildi¼ginde her bir çiin yat ne olur? Çözüm: (a) (b) 75 6 milyon adet üretildi¼ginde gelir en büyük adet: 0 ( 75 6 ) :75 milyon dolar ( dolar)

2 . Fonksiyonlar (c) ( 75 6 ) ; 5 dolar. 4. Bilgisayar bellek çileri üreti satan bir fabrikan n azarlama bölümü, gelir ve maliyet fonksiyonlar n n () (75 ) C() eşitli¼giyle verildi¼gini belirlemiştir. Burada ; milyon olarak tale say s n göstermektedir. () de milyon dolar olarak gelirdir. Bu fonksiyonun tan m aral ¼g 0 eşitsizli¼giyle verilmiştir. (a) Gelir ve maliyet fonksiyonlar n n gra ¼gini ayn koordinat sisteminde çiziniz. (b) Gelir ve maliyetin eşit oldu¼gu başabaş noktas n bulunuz. (c) in hangi de¼gerleri için kâr, hangi de¼gerleri için zarar olur? Çözüm: (a) (b) (75 bulunur. ) eşitli¼ginden a ; 45 milyon çi ve b 7; 5 milyon çi (c) ; 45 < < 7; 5 aral ¼g nda rma kâr eder. < ; 45 ve 7; 5 < 0 aral klar nda rma zarar eder. 5. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() (b) f() (c) f() (ç) f() Çözüm: 6. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz.

3 mat 0. Çal şma Sorular (a) f() + (b) f() (c) f() + Çözüm: 7. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() + (b) f() (c) f() + (ç) f() T L ara 4 ayda bir yenilenmek üzere y ll k %8 faiz oran yla bankaya yat r l yor. Bu ara 6 y l sonra ne kadar olur? Çözüm: A P + r mt m ;08 6 ' 560; 8 dir. 9. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() log (b) f() log (c) f() + log (ç) f() + log (d) f() log 0. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() log ( ) (b) f() log ( + ) (c) f() + log ( ) (ç) f() + log ( ). Aşa¼g da verilen say lar bulunuz. (a) log 8 (b) log 4 (c) log 4 (ç) log 9 9 (d) log 5 8 (e) log. Aşa¼g da verilen say lar bulunuz. (a) log 64 log 7 (b) log 8 Çözüm: (a) log 64 log 7 log 6 log (6 log ) ( log ) 8 (log ) (log ) 8 (log ) 8 (b) log 8 log 8 log log log log log 0 log 0 log 6. log 5 log 5 9 log 6 say s n hesalay n z. Çözüm: log 5 log 5 9 log 6 log 5 log 5 log 4

4 4. Fonksiyonlar log 5 log 5 ( 4) log 4 (log 5)(log 5 )(log ) 4 log 4 4. log a 7 Çözüm: log a 7 ise a nedir? loga ( ) log a oldu¼gundan log a 6 log a eşitli¼gi, eşitli¼gine denktir. Buradan log a elde edilir. Buradan da a bulunur. a eşitli¼ginin her iki yan n n karesi al narak a elde edilir. Buna göre a 9 dur. 5: P lira ara y ll k %0 faizle bankaya yat r ld ¼g nda kaç y l sonra beş kat na ç kar? Çözüm: Bileşik faiz formülüne göre 5P P Bu eşitli¼gi sa¼glayan t say s n ar yoruz demektir. Buradan 5 (; ) t ln 5 t ln (; ) t ln 5 ln(;) t 7 y l 6. Trigonometri çemberinden yararlanarak cos( + ) cos ve sin ( + ) sin oldu¼gunu gösteriniz. 7. Trigonometri çemberinden yararlanarak cos( + ) sin ve sin( + ) cos oldu¼gunu gösteriniz. 8. adyan olarak ölçüleri + 6 ; 6 ; 6 olan aç lar n kosinüs ve sinüslerini, cos 6 ve sin 6 oldu¼gundan yararlanarak ve trigonometri çemberini kullanarak geometrik olarak bulunuz. 9. Aşa¼g da verilen say lar bulunuz. (a) cos ( 90 o ) (b) sin ( 70 o ) (c) sin (540 o ) (d) cos (5 o ) 0. Aşa¼g da verilen say lar bulunuz. (a) cos (b) sin 5 (c) sin 4 (d) cos

5 mat 0. Çal şma Sorular 5. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() cos (b) f() sin (c) f() cos (ç) f() sin

6 mat 0. Çal şma Sorular. L IM IT VE SÜEKL IL IK. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. (a) (e)!( ) (b)!5 (c)! 8 (d)!4 jj!5 + f) (g) (jj ) (h)! +!0 +!4 + jj. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. (a) (e)!( ) j + j (b)! j j (c)!6 j 6j (d)!( ) j + 7j (f) j j (g) j + j (h) j 5j!( 7) +! +!( ) +!5 + j + j. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. (a) (e) j + j (b) j j (c) j 6j (d) j + j!( )!!6!( ) j + 7j (f) j j (g) j + j (h) j 5j!( 7)!!( )!5 4:! 5 + iti varsa bulunuz. 5:! 4 + iti varsa bulunuz. 6:!0 sin 4 5 iti varsa bulunuz. sin 4 Çözüm:!0 5!0 7:!0 sin 7 iti varsa bulunuz. Çözüm:!0 sin 7!0 8:!0 tan 8 4 sin !0 7 iti varsa bulunuz. tan Çözüm:!0 8 8!0 7 sin 7 7!0 tan 8!0 sin : 7 sin 7 7 : tan 8 :

7 . Limit ve Süreklilik 9:!( ) Çözüm: 9 +!( ) iti varsa bulunuz. 9 +!( ) ( ) ( + ) +!( ) ( ) 6: 0:! + Çözüm: iti varsa bulunuz. + ( ) ( + ) ( + ) :!!! :! 4 + :! + iti varsa bulunuz. iti varsa bulunuz. :! j j Çözüm:! iti varsa bulunuz. j j! ( )!! + j j! + ( ) ()! + ( ) ; dir. noktas ndaki sa¼gdan ve soldan itler farkl oldu¼gundan bu örnekte verilen fonksiyonun bu noktada iti yoktur. 4:! j j Çözüm:! iti varsa bulunuz. j j! ( ( ))! 4; j j ( ) 4! +! +! + dir. noktas ndaki sa¼gdan ve soldan itler farkl oldu¼gundan bu örnekte verilen fonksiyonun bu noktada iti yoktur.

8 mat 0. Çal şma Sorular 5:!( ) j + j + iti varsa bulunuz. 6.! Çözüm:! 4 4!! + iti varsa bulunuz. 4 4!! + 4 ( ) ( + )! + ( ) ( + )! ( + ) 4; ( + ) 4;! + dir. noktas ndaki sa¼gdan ve soldan itler farkl oldu¼gundan bu örnekte verilen fonksi-yonun bu noktada iti yoktur. 4 7.! j j iti varsa bulunuz. 8. h!0 Çözüm: h!0 5 + h 5 iti varsa bulunuz. h 5 + h h h + 5 h h!0 h 5 + h + 5 h!0 (5 + h 5) h 5 + h + 5 h!0 5 + h : 9: için f() biçiminde tan mlanan f fonksiyonu veriliyor. ; < ise ; < ise (a) f fonksiyonunun 0 0 noktas nda iti varsa bulunuz. (b) f fonksiyonunun 0 (c) f fonksiyonunun 0 Çözüm: noktas nda iti varsa bulunuz. noktas nda iti varsa bulunuz. (a) 0 0 için 0 noktas n n komşulu¼gunda f() oldu¼gu göz önünde bulundurularak

9 4. Limit ve Süreklilik!0 f()!0 ( ) 0 ve f() ( ) 0!0 +!0 + elde edilir. Sa¼gdan ve soldan itler eşit oldu¼gundan bu fonksiyonun 0 noktas nda iti 0 d r. (b)!( ) f()!( ) ( ) ( ) ; f() ( ) ( ) ; + +!( )!( ) dir. Sa¼gdan ve soldan itler eşit oldu¼gundan bu fonksiyonun say s na eşittir. noktas nda iti vard r ve (c) 0 için 0 noktas n n komşulu¼gunda f() oldu¼gu göz önünde bulundurularak!( ) f()!( ) ( ) ( ) 0 f() ( ) ( ) 0!( ) +!( ) + elde edilir. Sa¼gdan ve soldan itler eşit oldu¼gundan bu fonksiyonun noktas nda iti vard r ve 0 say s d r. 0. için + ; < ise f() ; < ise biçiminde tan mlanan f fonksiyonu veriliyor. (a) f fonksiyonunun 0 0 noktas nda iti varsa bulunuz. (b) f fonksiyonunun 0 noktas nda iti varsa bulunuz. (c) f fonksiyonunun 0 noktas nda iti varsa bulunuz.. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. (a)! (b)! (c)! (d)! (e)! (f)!

10 Çözüm: (a) (b) (c) (d) (e) (f)!!+!!+!!+ mat 0. Çal şma Sorular !+!+! !! ! ! !+! !!! ! ! ! 5 +! !. Aşa¼g daki itleri hesalay n z !+! (+) 5 +.! ( ) 5... (a)!+ 9 + (b)! 9 + (c)! (d)!

11 6. Limit ve Süreklilik Çözüm: (a)!+ 9 +!+ q 9 +!+ q 9 +!+ jj q9 +!+ q9 +!+ q : (b) (c)!!+ 9 +!! !+ q 9 +! q9 +! q ( ) ( ) q9 0 +!+ ( ) :!+ 7 q !+ 7 7 q jj q ! !+ 7 q q q jj 9 + (d)! !! 7 q ! 7 7 q jj q ! ( ) q ( )! 7 q ( ) !( ) iti varsa bulunuz.

12 mat 0. Çal şma Sorular 7 Çözüm:!( ) + 6 4!( ) ( ) ( + ) ( ) ( + )!( ) + + ; + 6 ( ) ( + )!( ) + 4!( ) + ( ) ( + ) +!( ) dir. noktas ndaki sa¼gdan ve soldan itler farkl oldu¼gundan bu örnekte verilen fonksiyonun bu noktada iti yoktur. 4.! Çözüm: jj + 5! ve!+ jj + 5 jj + 5! itleri varsa bulunuz. ( ) + 5 ; dir.!+ jj + 5! için f() ( j j ; 6 ise 0; ise biçiminde tan mlanan f fonksiyonu veriliyor. (a) f fonksiyonu 0 noktas nda sürekli midir? (b) f fonksiyonu 0 noktas nda sa¼gdan sürekli midir? (c) f fonksiyonu 0 noktas nda soldan sürekli midir? 6. için f() ( ; 6 ise 0; ise biçiminde tan mlanan f fonksiyonu veriliyor. (a) f fonksiyonu 0 noktas nda sürekli midir? (b) f fonksiyonu 0 0 noktas nda sürekli midir? 7. için

13 8. Limit ve Süreklilik ; < ise f() + ; > ise biçiminde tan mlanan f fonksiyonu 0 noktas nda sürekli midir? 8. için f() ( ; 6 ise ; ise biçiminde tan mlanan f fonksiyonu 0 noktas nda sürekli midir? 9. Aşa¼g da kurallar verilen fonksiyonlar n sürekli oldu¼gu kümeleri belirtiniz. (a) f() 5 + (b) f() (c) f() ( ) ( + ) + (d) f() 5 (e) f() 9 (f) f() fg için f() + 6 kural yla tan mlanan f fonksiyonunun 0 noktas ndaki süreklili¼gini inceleyiniz. Çözüm: Verilen fonksiyon 0 için tan ml olmad ¼g ndan bu noktada sürekli de¼gildir. Öte yandan + 6 ( ) ( + ) ( + ) 5 h! h! h! d r. f fonksiyonunun tan m kümesi genişletilerek f () 5 olarak tan mlan rsa bu fonksiyon 0 için sürekli Bundan dolay f fonksiyonunun noktas ndaki süreksizli¼gi kald r labilir süreksizliktir.

14 4-. Türev Kavram TÜEV Türev Kavram. için ; ise f() + ; > ise biçiminde tan mlanan f fonksiyonu 0 noktas nda türevli midir? : f() jj oldu¼guna göre bu fonksiyonun 0 noktas nda türevinin bulunmad ¼g n gösteriniz. Türev Alma Kurallar. Aşa¼g daki kurallar verilen f fonksiyonlar için f 0 fonksiyonunun kural n bulunuz. (a) f() 4 + (b) f() ( 5) (c) f() Aşa¼g daki kurallar y f() biçiminde verilen f fonksiyonlar için y 0 yü bulunuz. 4 (a) f() (b) f() + 5. y + (y ) 0 eşitli¼giyle belirlenen f :! y fonksiyonunun türev fonksiyonunu belirtiniz. 6: f() jj oldu¼guna göre 6 0 için f 0 () jj oldu¼gunu gösteriniz. 7: f() 4 oldu¼guna göre f 0 () ne olur? Çözüm: u jj ise u 0 jj oldu¼gundan f 0 () 4 () 4 8. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n türevlerini hesalay n z. (a) f() 7 (b) f() 5 (c) f() 4 (ç) f() (d) f() 9 (e) f() ( ) 5 (f) f() + (g) f() + 6 (h) f() ( + )

15 98 4. Türev 9. f() +4 fonksiyonunun gra ¼ginin, için elde edilen noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. Çözüm: için f() oldu¼gundan (; ) noktas ndaki te¼getin denklemini bulaca¼g z. f 0 () + 4 oldu¼gundan f 0 () 7 dir. Buna göre söz konusu noktadaki te¼getin e¼gimi 7 tir. (; ) noktas ndan geçen ve e¼gimi 7 olan do¼grunun denklemi dir. Bu denklem düzenlenerek y y 7 ( ) denklemi elde edilir. Diferensiyel Kavram 0. 4; say s n yaklaş k olarak hesalay n z. Çözüm: f() alal m. f 0 () tir. 0 4; 4; diye. f () f (4; ) f (4) + (0; ) f 0 (4) + (0; ) 4 ; 05. Tak m elbise üreten bir rman n adet sat ştan elde etti¼gi gelir eşitli¼giyle verilmiştir. () 60 0; 05 ; (a) Üretim say s 900 adetten 000 adete ç kar l rsa gelirdeki ortalama art ş nedir? (b) Marjinal (anl k) gelir fonksiyonunu bulunuz. (c) Üretim say s 900 adet iken gelirdeki ani de¼gişim h z nedir? Üretim say s 960 adet iken gelirdeki ani de¼gişim h z nedir? dür. Çözüm: (a) Üretim say s 900 adetten 000 adete ç kar l rsa gelirdeki art ş (950) (900) Gelirdeki ortalama art ş (000) (000) (900) ; 05 (000) ; 05 (900) 50 (lira) (900) d r. (000) (900) ; 5 (lira)

16 4-. Türev Kavram 99 bulunur. Bu demektir ki, üretim 900 ile 000 aras nda iken üretim say s artt r ld ¼g nda gelir ; 5 lira artar. (b) 0 () 60 0; 05 tir. 0 (); üretim say s iken üretim artt r lmaya başlad ¼g nda gelirdeki ani de¼gişim h z n gösterir. ve d r. (c) 0 (900) 60 0; (lira) 0 (960) 60 0; (lira) Bu sorunun (a) k sm nda bulunan sonuç ile (c) k sm nda bulunan sonuçlar karş laşt r n z.. Haftada adet oyuncak bebek üreten bir rman n maliyet ve gelir fonksiyonlar C() ; () 800 ; eşitlikleriyle verilmiştir. Haftal k üretim 000 adet iken 00 adete ç kar l rsa gelir ve kârdaki yaklaş k art ş diferensiyel kavram ndan yararlanarak bulunuz. Çözüm: d dur. d() 0 ()d d(000) (lira) 400 d oldu¼gundan 400 Demek ki haftal k üretim 000 adet oldu¼gu anda üretim 00 adete ç kar l rd ¼g nda gelirdeki yaklaş k art ş, 70 lira d r. P () () C() ( oldu¼gundan dp () P 0 ()d dp (000) ) ( ) d Buna göre 0 50 (lira) Demek ki haftal k üretim 000 adet oldu¼gu anda üretim 00 adete ç kar l rd ¼g nda kârdaki yaklaş k art ş, 50 lira d r Baz Özel Fonksiyonlar n Türevleri : f() ln j + sin j oldu¼guna göre f 0 () ne olur?

17 00 4. Türev Çözüm: u jj ise u 0 jj oldu¼gundan f 0 () j + sin j ( + cos ) j + sin j + sin + cos + sin 4. Aşa¼g daki türevleri hesalay n z. (a) (ç) (f) d 7 d d d d d + 5 (b) (d) (g) d 5 d (c) d d (e) d du u 5 u (h) d d 8 d d d dt + t + t 5. Aşa¼g daki türevleri hesalay n z. (a) (ç) d d ln ( e ) (b) d d ( e ) (d) d d ln + e ) ( d d e sin (c) (e) d d cos (e ) d d (arcsin e ) 6. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n türevlerini hesalay n z. (a) f() ln 4 + (b) f() ln (ln ) (c) f() ln ln ln (ç) f() (ln ) 5 (d) f() arcsin (ln ) (e) f() ln (arcsin ) (f) f() ln (cos ) (g) f() cos (ln ) (h) f() sin ln ln 7. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n türevlerini hesalay n z. (a) f() cos + (b) f() sin cos (c) f() sin cos +cos (ç) f() sin (d) f() sin (cos ) (e) f() sin + s sin (f) f() cos (g) f() + + sin 8. y ln oldu¼guna göre y00 ne olur?

18 4-. Türev Kavram 0 9. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n ikinci türevlerini hesalay n z. (a) f() e cos (b) f() e 0. f() ( ) oldu¼guna göre f 0 () ne olur? Çözüm: y ( ) diye. ln y ln ln ( ) y y0 ln ( ) + (ln ) y y0 ln( ) + ln y 0 ( ) h ln( ) i + ln. f() + sin ln oldu¼guna göre f 0 () ne olur? Çözüm: y + sin ln diye. ln y ln ln + sin y y0 ln + sin + (ln ) ( +sin ) ( + cos ) y y0 ln( +sin ) (ln )(+cos ) + ( +sin ) y 0 + sin ln ln( +sin ) + (ln )(+cos ) ( +sin ). f() tan oldu¼guna göre f 0 () ne olur? Çözüm: y tan diye. ln y tan ln y y0 + tan ln + tan y 0 tan + tan ln + tan. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n türevlerini hesalay n z.

19 0 4. Türev (a) y ( ) (b) y + 4 (ç) y (sin ) cos (d) y sin (c) (e) y + ln y (cos ) ln Sürekli Bileşik Faiz T L; y ll k %7 sürekli bileşik faiz ile bankaya yat r l yor. Bu ara, 4 y l sonra kaç liraya ulaş r? Çözüm: A P e rt 00 e (0;07)4 00 e 0;8 64; 6 T L T L ara, y ll k %5 sürekli bileşik faiz ile bankaya yat r l yor. Bu ara, kaç y l sonra 6000 lira olur? Çözüm: e (0;05)t eşitli¼gini sa¼glayan t say s n ar yoruz. Bu eşitlikten önce e (0;05)t bulunur. Bu eşitli¼gin her iki yan n n do¼gal logaritmas al narak (0; 05) t ln ve buradan t ln 0;05 y{l bulunur. 6. P lira ara, y ll k %8 sürekli bileşik faiz ile bankaya yat r l yor. Bu ara, kaç y l sonra ikiye katlan r? Çözüm: P P e (0;08)t eşitli¼gini sa¼glayan t say s n ar yoruz. Bu eşitlikten önce e (0;08)t bulunur. Bu eşitli¼gin her iki yan n n do¼gal logaritmas al narak (0; 08) t ln ve buradan t ln 0;08 8; 7 y{l bulunur.

20 68 5. Integral 6 6. BEL IL I INTEGAL. Çözüm: (a). 0 Çözüm:. 9 Çözüm: 4. 0 Çözüm: d belirli integralini hesalay n z. d 9 ( 8 ) 5 d belirli integralini hesalay n z. 0 d (7 9 ) d belirli integralini hesalay n z. 9 d h i sin d belirli integralini hesalay n z. 0 sin d 0 cos d sin Çözüm: d + 0 belirli integralini hesalay n z. d + [ln j + j] 0 (ln ln ) ln Çözüm: d 7. 0 Çözüm: d belirli integralini hesalay n z. 4 9 d [ln jj ] 9 (ln 9 6) (ln ) ln 4 d belirli integralini hesalay n z. 4 d integralinde, 4 t diye. d tdt Buna

21 5-6. Belirli Integral 69 göre 4 d t dt t 4 + c elde edilir. 0 tür. 4 d h 4 i y + 6 e¼grisi ile O ekseninin çevreledi¼gi bölgenin alan n bulunuz. Çözüm: y + 6 e¼grisi ile O ekseninin çevreledi¼gi bölge, 6 6:: şekilde gölgeli olarak gösterilmiş bölgedir. Bu bölgenin alan A olsun. O y 9 A (6 6.. şekil) 6 dir d Düzlemin birinci bölgesinde, y e¼grisi ile y do¼grusunun s n rlad ¼g bölgenin alan n bulunuz. Çözüm: Verilen bölge, 6 alan A olsun. y O 6:: şekilde gölgeli olarak gösterilmiş bölgedir. Bu bölgenin A 0 h 4 d i dir. (6 6.. şekil)

22 70 5. Integral 0. Bir şirketin ayda adet televizyon üretimine karş l k ayl k marjinal kâr P 0 () 50 (0; ) ; eşitli¼giyle verilmiştir. Bu şirket şu anda ayda 000 adet üretim yamaktad r. Üretimini ayda 00 adet olacak biçimde artt r rsa ayl k kâr ndaki de¼gişim ne olur? Çözüm: P (00) P (000) (50 0; ) d 50 (0; 05) (0; 05) (00) (0; 05) (000) f() 5 + olsun. f nin [ ; ] aral ¼g ndaki ortalama de¼gerini bulunuz. Çözüm: f nin [ y 0 b a ; ] aral ¼g ndaki ortalama de¼geri y 0 olsun. b a f()d d 5 +. Bir mal n yat-tale denklemi, D() 00e 0;05 eşitli¼giyle verilmiştir. [60; 80] aral ¼g ndaki ortalama yat bulunuz. Çözüm: [60; 80] aral ¼g ndaki ortalama yat 0 olsun. b 0 D()d 80 h 00e 0;05 d 5 b a a e 4 e 00 e e 4 ; 47 i 80 0;05 e 0;05 60

23 46 6. Integral 6. DE ¼G IŞKEN DE ¼G IŞT IME YÖNTEM I. d integralini hesalay n z. 5 4 Çözüm: 4 u diye. 4d du oldu¼gundan d du 4 integral. 5 4 d Buna göre verilen du u 4 4 u du ln juj + c ln j5 4j + c 4 (5 7 d integralini hesalay n z. ) Çözüm: 5 u diye. 0d du oldu¼gundan d du (5 ) 7 d du u u 7 du 5 u 7 du. 5 ( 6) u 6 + c d integralini hesalay n z. Buna göre c 5 (5 ) 6 + c Çözüm: (a) u diye. d du oldu¼gu hemen görülür. Buradan d du bulunur. Buna göre d u du q u du 9 u 9 ( ) +c 9 ( ) +c d integralini hesalay n z. 5 + Çözüm: 5 + u diye. 5 4 d du oldu¼gundan d du 5 4 Buna göre d du u 5 4 u du u + c c

24 Çözüm: dir De¼gişken De¼giştirme 47 d integralini hesalay n z. 0 d integralini hesalay n z. 5 e d integralini hesalay n z. e u diye. d du oldu¼gundan d udu Buna göre e e u d u udu e u du e u + c e + c d integralini hesalay n z. Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d du du Buna göre e d e u du du e u du eu + c e + c dir. 9. e d integralini hesalay n z. Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d du du Buna göre e d e u du du e u du eu + c e + c dir. 0.. e d integralini hesalay n z. e 5 d integralini hesalay n z.. e d integralini hesalay n z. Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d du du Buna göre

25 48 6. Integral e d e u du e u du eu + c e + c dir.. eln d integralini hesalay n z. Çözüm: ln u diye. d du oldu¼gundan d du Buna göre eln d eu du e u du e u + c e ln + c dir d integralini hesalay n z. Çözüm: 7 u diye. 7d du oldu¼gundan d du 7 du Buna göre 7 d u du 7 7 u du 7 ln u + c 7 ln 7 + c dir d integralini hesalay n z. Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d udu Buna göre 5 5 u d u udu 5 u du ln 5 5u + c ln c dir. 6. dir. ln 5 5ln d integralini hesalay n z. Çözüm: ln u diye. ln 5 5ln d ln 5 d du oldu¼gundan d du Buna göre 5u du (ln 5) 5 u du 5 u + c 5 ln + c cos d integralini hesalay n z. sin Çözüm:

26 4 + cos sin d 6-. De¼gişken De¼giştirme 49 cos sin d + sin d dir. ln jcsc cot j + ln jsin j + c 8. cos(4 7)d integralini hesalay n z. Çözüm: 4 7 u diye. 4d du oldu¼gundan d du Buna göre 4 cos(4 7)d cos u du 4 4 cos udu 4 sin u + c 4 sin(4 7) + c 9. sin( + 8)d integralini hesalay n z. 0. cos( + )d integralini hesalay n z. Çözüm: + u diye. d du oldu¼gundan d du Buna göre cos( + )d cos u du cos udu sin u + c sin( + ) + c. sin( )d integralini hesalay n z.. Çözüm: sin 4 d integralini hesalay n z. göre sin 4 d dir. u diye. d du oldu¼gundan d du udu Buna sin u 4u udu sin udu cos u + c cos + c. cos d integralini hesalay n z. 4. sin cos 6 d integralini hesalay n z.

27 50 6. Integral Çözüm: cos u diye. sin d du oldu¼gundan d du sin Buna göre sin cos 6 d (sin ) u 6 du sin u 6 du 7 u7 + c 7 cos7 + c cos sin 6 d integralini hesalay n z. cos sin 4 d integralini hesalay n z. sin cos 5 d integralini hesalay n z. Çözüm: cos u diye. sin d du oldu¼gundan d du sin sin dir sin cos 5 d u 5 du sin cos sin 5 d integralini hesalay n z. tan d integralini hesalay n z. u 5 du 4 u 4 + c Buna göre 4 cos 4 + c Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d udu Buna göre tan tan u d u udu tan udu ln jcos uj + c ln jcos j + c dir. 0. cot d integralini hesalay n z. Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d udu Buna göre cot cot u d u udu cot udu ln jsin uj + c ln jsin j + c dir.

28 6-. De¼gişken De¼giştirme 5. tan + d integralini hesalay n z. + dir. Çözüm: + u diye. tan + d + + d du oldu¼gundan d u du Buna göre tan u u u du tan udu ln jcos uj + c ln cos + + c. cot d integralini hesalay n z. dir. Çözüm: u diye. cot d d du oldu¼gundan d u du Buna göre cot u u u du cot udu ln jsin uj + c ln sin + c. arctan d integralini hesalay n z. + Çözüm: arctan u diye. göre arctan + d dir. 4. u + + du arccot d integralini hesalay n z. + Çözüm: arccot u diye. göre arccot + d dir. + d du oldu¼gundan d + du Buna udu u + c (arctan ) + c + d du oldu¼gundan d + du Buna u + + du udu u + c (arccot ) + c

29 5 6. Integral 5. arcsin d integralini hesalay n z. Çözüm: arcsin u diye. d du oldu¼gundan d du Buna göre dir. 6. arcsin d u du sec tan d integralini hesalay n z. udu u + c (arcsin ) + c Çözüm: tan u diye. sec d du oldu¼gundan d sec tan d du sec Buna göre sec u du sec udu u + c tan + c 7. csc cot d integralini hesalay n z. Çözüm: cot u diye. csc d du oldu¼gundan d du csc csc cot d csc u Buna göre du csc udu u + c cot + c 8. sec tan d integralini hesalay n z. Çözüm: tan u diye. sec d du oldu¼gundan d sec tan d du sec Buna göre sec u du sec u du u + c tan + c 9. csc cot d integralini hesalay n z. Çözüm: cot u diye. csc d du oldu¼gundan d du csc cot d csc Buna göre csc u du csc u du u + c cot + c 40. e sin cos d integralini hesalay n z.

30 6-. De¼gişken De¼giştirme 5 Çözüm: sin u diye. cos d du oldu¼gundan d e sin cos d du cos Buna göre e u cos du cos e u du e u + c e sin + c 4. e cos sin d integralini hesalay n z. Çözüm: cos u diye. sin d du oldu¼gundan d du e cos sin d e u sin sin du sin e u du e u + c e cos + c Buna göre 4. e 4 cos sin d integralini hesalay n z. Çözüm: 4 cos u diye. 4 sin d du oldu¼gundan d du Buna göre 4 sin e 4 cos sin d e u sin du 4 sin 4 e u du 4 eu + c 4 e 4 cos + c 4. e 4+ln sin cot d integralini hesalay n z. Çözüm: 4 + ln sin u diye. cot d du oldu¼gundan d e 4+ln sin cot d du cot Buna göre e u cot du cot e u du e u + c e 4+ln sin + c 44. e +ln cos tan d integralini hesalay n z. 45. d integralini hesalay n z. Çözüm: u diye. d du oldu¼gundan d du Buna göre u d du u du ln u + c ln + c dir. 46. e cos(e )d integralini hesalay n z. Çözüm: e u diye. e d du oldu¼gundan d du u Buna göre

31 54 6. Integral e cos(e )d u cos u du u cos udu sin u + c sin(e ) + c 47. e sin(e )d integralini hesalay n z. 48. d + 8 integralini hesalay n z. Çözüm: 4 u diye. 4 d du oldu¼gundan d du 4 d + 8 du + u 4 4 dir. d d 4 arctan(4 ) 8 + (sin ) e 4 cos Buna göre + u du 4 arctan u + c 4 arctan(4 ) + c

32 6-4. K smi Integrasyon Yöntemi KISM I INTEGASYON YÖNTEM I. ( 4) ( + ) 5 d integralini hesalay n z. Çözüm: 4 u; ( + ) 5 d dv diye. d du ve 6 ( + )6 v Buna göre ( 4) ( + ) 5 d ( 4) 6 ( + )6 6 ( + )6 d. ( 6 ( 4) ( + )6 4 ( + )7 + c ) ( + 4) d integralini hesalay n z. Çözüm: ( ) u; ( + 4) d dv diye. ( )d du ve 4 ( + 4)4 v Buna göre ( ) ( + 4) d ( ) 4 ( + 4)4 4 ( + 4)4 ( )d 4 ( ) ( + 4) 4 ( ) ( + 4) 4 d Şimdi sa¼g yandaki ( ) ( + 4) 4 d integralini hesalamak için bu integralde k smi integrasyon yöntemini uygulayaca¼g z. elde edilir. ( d dt ve 5 ( + 4)5 h 5) ( + ) d tdh th t; ( + 4) 4 d dh diye. hdt ( 5 ( ) ( + 4)5 0 ( + 4)6 ) 5 ( + 4)5 5 ( + 4)5 d bulunur. Yukar daki ( ) ( + 4) 4 d integrali yerine burada bulunan eşiti konularak ( ) ( + 4) d 4 ( ) ( + 4) 4 0 ( ) ( + 4) ( + 4)6 + c elde edilir.. sin d integralini hesalay n z. Çözüm: u; sin d dv diye. d du oldu¼gu hemen görülür. sin d dv eşitli¼ginden de cos v elde edilir. sin d udv uv vdu ( cos ) ( cos ) d cos + cos d cos d integralini hesalamak için bu integralde yeniden k smi integrasyon yöntemi uygulayal m. t; cos d dh diye. d dt ve sin h elde edilir. cos d tdh th hdt sin sin d sin ( cos ) sin + cos

33 60 6. Integral Böylece sin d cos + ( sin + cos ) cos + sin + cos + c bulunur. 4. ln d integralini hesalay n z. Çözüm: ln u; d dv diye. ln d (ln ) d ln 5. (ln ) d integralini hesalay n z. d du ve v elde edilir. d ln + c Çözüm: ln u; ln d dv diye. d du ve ln (ln ) d (ln ) ( ln ) ( ln ) d (ln ) ln ln d + d 6. ln d integralini hesalay n z. (ln ) ln ( ln ) + + c (ln ) ln + + c v elde edilir. Çözüm: ln u; d dv diye. d du ve v elde edilir. ln d (ln ) d ln d ln 4 + c 7. ln d integralini hesalay n z. Çözüm: ln u; d dv diye. d du ve v elde edilir. ln d (ln ) d ln d ln 9 + c 8. e d integralini hesalay n z. Çözüm: u; e d dv diye. d du ve e v elde edilir. e d e e d e e d e 9 e + c

34 6-4. K smi Integrasyon Yöntemi e d integralini hesalay n z. Çözüm: u; 6e d dv diye. d du ve e v elde edilir. 6 e d e e (d) e 4 e d Şimdi sa¼g yandaki e d integralini hesalamak için bu integralde k smi integrasyon yöntemini uygulayaca¼g z. t; e d dh diye. d dt ve e h elde edilir. e d tdh th hdt e e d e 9 e bulunur. Yukar daki e d integrali yerine burada bulunan eşiti konularak 6 e d e 4 e 9 e + c e 4 e e + c elde edilir. 0. 4e 4 d integralini hesalay n z. Çözüm: u; 4e 4 d dv diye. d du ve e 4 v elde edilir. 4e 4 d e 4 e 4 d e 4 + e 4 d e 4 4 e 4 + c. sin(ln )d integralini hesalay n z. Çözüm: sin(ln ) u; d dv diye. (cos(ln )) d du ve v elde edilir. sin(ln )d (sin(ln )) (cos(ln )) d sin(ln ) cos(ln )d Şimdi sa¼g yandaki cos(ln )d integralini hesalamak için bu integralde k smi integrasyon yöntemini uygulayaca¼g z. cos(ln ) t; d dh diye. ( sin(ln )) d dt ve h elde edilir. cos(ln )d tdh th hdt (cos(ln )) ( sin(ln )) d cos(ln ) + sin(ln )d bulunur. Yukar daki cos(ln )d integrali yerine burada bulunan eşiti konularak sin(ln )d sin(ln ) cos(ln ) + sin(ln )d sin(ln ) cos(ln ) sin(ln )d elde edilir. Son eşitli¼gin sa¼g yan nda bulunan sin(ln )d integrali sol tarafa geçirilerek sin(ln )d sin(ln ) cos(ln ) bulunur.

35 6 6. Integral. cos(ln )d integralini hesalay n z.. 4 e d integralini hesalay n z. Çözüm: u; 4e d dv diye. d du ve e v elde edilir. 4 e d e e d e 6 e d () Şimdi sa¼g yandaki e d integralini hesalamak için bu integralde k smi integrasyon yöntemini uygulayaca¼g z. t; e d dh diye. d dt ve e h elde edilir. e d tdh th hdt e e (d) e e d () eşitli¼gindeki e d integrali yerine burada bulunan eşiti konularak 4 e d e 6 e e d e e +6 e d () elde edilir. Şimdi () eşitli¼ginin sa¼g yan ndaki e d integralini hesalamak için bu integralde k smi integrasyon yöntemini uygulayaca¼g z. r; e d ds diye. d dr ve e s elde edilir. e d rds rs sdr e e d e 4 e () eşitli¼gindeki e d integrali yerine burada bulunan eşiti konularak 4 e d e e + 6 e 4 e + c e + + c bulunur. 4. sec d integralini hesalay n z. Çözüm: sec u; sec d dv diye. sec tan d du ve tan v elde edilir. sec d sec tan tan (sec tan d) sec tan sec tan d sec tan d sec sec oldu¼gu göz önüne al narak sec d sec tan sec tan sec tan d sec d sec d sec d sec d sec d + sec d sec d + ln jsec + tan j bulunur. Böylece elde edilen eşitli¼gin sa¼g yan nda da hesalanmak istenilen integralin bulundu¼gunu gördünüz mü? Bu integral sol yana al n gerekli işlemler ya larak sec d sec tan + ln jsec + tan j + c

36 6-4. K smi Integrasyon Yöntemi 6 elde edilir. 5. a + oldu¼guna göre + a d integralini hesalay n z. Çözüm: a tan t diye. d a sec tdt q + a (a tan t) + a a tan t + a a sec t oldu¼gundan + a d a sec tdt a sec t tan t + ln jsec t + tan tj a (sec t tan t + ln jsec t + tan tj) + c elde edilir. Yukar daki eşitli¼gin en sa¼g nda bulunan sec t ve tan t yerine de¼gişkenine ba¼gl eşitini koymal y z. Bunun için tan t a ve sec t + tan t a a + oldu¼gundan + a d a (sec t tan t + ln jsec t + tan tj) + c a a a + a + ln a a + + a + c elde edilir. a + + a ln a c 6. a + oldu¼guna göre a d integralini hesalay n z. Çözüm: a sec t diye. d a sec t tan tdt q a (a sec t) a a sec t a a tan t oldu¼gundan a d a sec t tan tdt a sec t sec t dt a sec tdt sec tdt a sec t tan t + a ln jsec t + tan tj a ln jsec t + tan tj + c a sec t tan t a ln jsec t + tan tj + c elde edilir. Yukar daki eşitli¼gin en sa¼g nda bulunan sec t ve tan t yerine de¼gişkenine ba¼gl eşitini koymal y z. Bunun için sec t a ve tan t sec t a a oldu¼gundan a d a sec t tan t a ln jsec t + tan tj + c a a a a a ln a + a a + c elde edilir. a a ln + a + c

37 64 6. Integral 7. arcsin d integralini hesalay n z. Çözüm: arcsin u; d dv diye. d du ve v Buna göre arcsin d (arcsin ) d (arcsin ) d Yukar daki d integralini hesalamak için t de¼gişken de¼giştirmesi yaal m. d dt Buna göre arcsin d (arcsin ) bulunur. 8. dt (arcsin ) + arcsin + t + c arcsin + + c arcsin d integralini hesalay n z. t dt Çözüm: u; arcsin d dv diye. d du ve arcsin + v Buna göre arcsin d arcsin + arcsin + d arcsin + arcsin d d Böylece elde edilen eşitli¼gin sa¼g yan nda da hesalanmak istenilen integralin bulundu¼gunu gördünüz mü? Bu integral sol yana al n gerekli işlemler ya larak arcsin d arcsin + d bulunur. sin t de¼gişken de¼giştirmesi ya larak d arcsin + oldu¼gu görülebilir. Sonuç olarak arcsin d arcsin 4 arcsin c elde edilir.

38 6-. asyonel Fonksiyonlar n Integrasyonu ASYONEL FONKS IYONLAIN INTEGASYONU. + d integralini hesalay n z. Çözüm: + olinomu, olinomuna bölündü¼günde bölüm ve kalan dir. Başka bir anlat mla dir. Buna göre + Bu eşitlikten yararlanarak + d elde edilir.. Çözüm: + ( ) + ( ) + d d integralini hesalay n z. + d + ln j j + c ( ) ( + ) A ( ) + B ( + ) eşitli¼ginden, ve buradan da + 7 A ( + ) + B ( ) ( ) ( + ) + 7 (A + B) + (A B) ( ) ( + ) eşitli¼gi elde edilir. Iki olinomun eşit olmas için olinomun katsay lar n n karş l kl olarak eşit olmas gerekli ve yeterlidir. Buna göre A + B A B 7 lineer denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemininden A ; B bulunur.

39 56 6. Integral. + 7 d + + d d + d ln j j ln j + j + c ln ( + ) + c 5 d integralini hesalay n z. ( + ) ( ) 5 Çözüm: ( + ) ( ) A ( + ) + B ( ) + C ( ) eşitli¼ginden, ve buradan da 5 A ( ) + B ( + ) ( ) + C ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) 5 ( + ) ( ) (A + B) + ( A + C) + (A B + C) ( ) ( + ) eşitli¼gi elde edilir. Iki olinomun eşit olmas için olinomun katsay lar n n karş l kl olarak eşit olmas gerekli ve yeterlidir. Buna göre A + B A + C 5 A B + C 0 lineer denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminden A ; B ; C! 5 ( + ) ( ) d + + ( ) d + d + d ( ) d ln j + j + ln j j + + c ln ( + ) ( ) + + c bulunur.

40 6-. asyonel Fonksiyonlar n Integrasyonu d integralini hesalay n z. + 9 Çözüm: ( + 9) A + B + C + 9 eşitli¼ginden, ( + 9) A + 9A + B + C ( + ) (A + B) + C + 9A ( + ) eşitli¼gi elde edilir. Iki olinomun eşit olmas için olinomun katsay lar n n karş l kl olarak eşit olmas gerekli ve yeterlidir. Buna göre A + B C 9A 6 lineer denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminden A 4; B + + d d d + 4 ln jj 4 d d d ; C bulunur. 4 ln jj ln arctan + c ln arctan + c 5. ( d integralini hesalay n z ) Çözüm: olinomu, birinci dereceden çaranlara ayr lamayan bir olinomdur ( + ) + 4 yaz labilir. + t diye. oldu¼gundan d dt ve t

41 58 6. Integral ( ) d t 5 (t + 4) dt t (t + 4) dt 5 (t + 4) ( ) (t + 4) dt arctan t + t t arctan + c

42 6-5. Özel De¼gişken De¼giştirmeler ÖEL DE ¼G IŞKEN DE ¼G IŞT IMELE. cos 5 sin 7 d integralini hesalay n z. Çözüm: cos t diye. sin d dt Buna göre cos 5 sin 7 d t 5 sin 6 sin d t 5 cos sin d t 5 t dt t 5 t + t 4 t 6 dt t 5 t 7 + t 9 t dt bulunur. 6 cos6 + 8 cos8 0 cos0 + cos + c. cos sin 6 d integralini hesalay n z. Çözüm: sin t diye. cos d dt Buna göre cos sin 6 d cos sin 6 cos d sin t 6 dt t t 6 dt t 6 t 8 dt bulunur. 7 sin7 9 sin9 + c. cos sin 4 d integralini hesalay n z. Çözüm: cos sin 4 d +cos cos d 8 cos cos + cos d bulunur. u diye. d du Buna göre cos sin 4 d 6 cos u cos u + cos u du 6 u 6 sin u 6 cos u du + 6 cos u du bulunur. cos u du +cos u du u + 4 sin u ve cos u du cos u (cos u) du sin u (cos u) du v dv v v sin u sin u

43 66 6. Integral oldu¼gundan cos sin 4 d 6 u 6 sin u 6 u + 4 sin u + 6 sin u sin u u 64 sin u 48 sin u 6 64 sin 4 48 sin + c 4. cos 5 sin 7d integralini hesalay n z. Çözüm: cos sin [sin ( + ) sin ( )] oldu¼gundan yararlanarak cos 5 sin 7d [sin sin( )] d (sin + sin ) d bulunur. 4 ( cos ) + 4 ( cos ) + c 4 cos 4 cos + c 5. cos cos 7d integralini hesalay n z. Çözüm: cos cos [cos ( + ) + cos ( )] oldu¼gundan yararlanarak cos cos 7d bulunur. [cos 0 + cos( 4)] d 0 sin sin 4 + c 6. sin 8 sin d integralini hesalay n z. (cos 0 + cos 4) d Çözüm: sin sin [cos ( ) cos ( + )] oldu¼gundan yararlanarak sin 8 sin d [cos 6 cos 0] d sin 6 0 sin 0 + c bulunur d integralini hesalay n z. + Çözüm: + u diye. d udu Buna göre + + d u u du 9 6 u 9 u 7 6 ( + ) 9 (u + ) du + 9 u du ln j uj + c + 7 ln + + c

44 8. d integralini hesalay n z Özel De¼gişken De¼giştirmeler 67 Çözüm: u diye. u ve d udu Buna göre d u u 6 du Son integralde u t diye. u du dt Böylece d bulunur. t dt (t+) (t ) dt ln jt + j ln jt j + c ln t+ t + c ln + + c 9. 4 d integralini hesalay n z. + 5 Çözüm: 4 u diye. u 4 ve d 4u du Buna göre 4 d + 5 u 4u du 4 + u0 u 4 du + u0 Son integralde u 5 t diye. 5u 4 du dt Böylece bulunur. 4 + d t dt 4 5 arctan t + c 4 5 arctan t + c 4 5 arctan 54 + c

45 58 8. Çok De¼gişkenli Fonksiyonlar 8 5: EN KÜÇÜK KAELE YÖNTEM I. Bir üreticinin üretti¼gi mal miktar na (say s na) karş l k gelen maliyet sonuçlar aşa¼g daki çizelgedeki gibidir. uretimi (00 birim) C () maliyeti (: çizelge) Bu de¼gerlerden yararlanarak üreticinin maliyet fonksiyonunu yaklaş k olarak bulunuz. Çözüm: Verilen çizelgedeki de¼gerler düzlemdeki koordinat sisteminde gösterildi¼ginde yaklaş k olarak bir do¼gru üsünde gibi görünürler. Bundan dolay maliyet fonksiyonunun kural n n y a + b biçiminde oldu¼gunu varsayabiliriz. Bir de¼gerine karş l k, y a + b kural ndan bulunan y de¼geri ile gerçek maliyeti gösteren y de¼geri birbirinden farkl d r. Bu farklar aşa¼g daki çizelgede gösterilmiştir. y a + b farklar 4 a + b 4 a b 5 6 5a + b 6 5a b 6 7 6a + b 7 6a b 9 8 9a + b 8 9a b (: çizelge) En iyi yaklaş k do¼gru yu elde edebilmek için. çizelgede bulunan farklar n karelerinin tolam n n en küçük olmas n istiyoruz. Bu farklar n karelerinin tolam na F (a; b) diye. F (a; b) (4 a b) + (6 5a b) + (7 6a b) + (8 9a b) Arad ¼g m z do¼gruyu belirten a ve b say lar, F fonksiyonunu minimum yaan say lard r. F a (a; b) (4 a b) ( ) + (6 5a b) ( 5) + (7 6a b) ( 6) + (8 9a b) ( 9) F b (a; b) (4 a b) ( ) + (6 5a b) ( ) + (7 6a b) ( ) + (8 9a b) ( ) oldu¼gundan F a (a; b) 9a + 44b 04 ve F b (a; b) 44a + 8b 50 bulunur.

46 8-5. En Küçük Kareler Yöntemi 59 9a + 44b a + 8b 50 0 denklem sisteminden a 0 0; 58; b 0 ; 06 bulunur. oldu¼gundan F aa (a 0 ; b 0 ) 9; F ab (a 0 ; b 0 ) 44; F bb (a 0 ; b 0 ) 8 F ab (a 0; b 0 ) F aa (a 0 ; b 0 ) F bb (a 0 ; b 0 ) < 0 ve F aa (a 0 ; b 0 ) > 0 oldu¼gundan F fonksiyonu, (a 0 ; b 0 ) noktas nda bir minimuma sahitir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y 0; 58 + ; 06 dir. Bu do¼gruya, en küçük kareler do¼grusu veya çekilme (regression) do¼grusu ad verilmişti. Üretici, en küçük kareler do¼grusunu kullanarak üretece¼gi mal miktar na karş l k gelen maliyeti kolayca hesalayabilir. Marjinal (birim, anl k) maliyet fonksiyonu Ortalama maliyet fonksiyonu eşitli¼giyle belirlidir. y dy 0; 58 d 0; 58 + ; 06. Aşa¼g daki çizelgede verilen ve y de¼gerleri için en küçük kareler do¼grusunu bulunuz. y 4 4 (: çizelge) Çözüm: y a + b biçiminde bir do¼gru ar yoruz. Bir say s na karş l k, y a + b kural ndan bulunan y de¼geri ile bu say s na çizelgede karş l k getirilen y de¼geri birbirinden farkl d r. Bu farklar aşa¼g daki çizelgede gösterilmiştir.

47 60 8. Çok De¼gişkenli Fonksiyonlar y a + b farklar a + b a b a + b a b 4 a + b 4 a b 4 4a + b 4a b (: çizelge) En iyi yaklaş k do¼gru yu elde edebilmek için. çizelgede bulunan farklar n karelerinin tolam n n en küçük olmas n istiyoruz. Bu farklar n karelerinin tolam na F (a; b) diye. F (a; b) ( a b) + ( a b) + (4 a b) + ( 4a b) Arad ¼g m z do¼gruyu belirten a ve b say lar, F fonksiyonunu minimum yaan say lard r. F a (a; b) ( a b) ( ) + ( a b) ( ) + (4 a b) ( ) + ( 4a b) ( 4) F b (a; b) ( a b) ( ) + ( a b) ( ) + (4 a b) ( ) + ( 4a b) ( ) oldu¼gundan F a (a; b) 60a + 0b 6 ve F b (a; b) 0a + 8b bulunur. 60a + 0b 6 0 0a + 8b 0 denklem sisteminden a 0 0; 7; b 0 bulunur. oldu¼gundan F aa (a 0 ; b 0 ) 60 ve F ab (a 0 ; b 0 ) 0; F bb (a 0 ; b 0 ) 8 F ab (a 0; b 0 ) F aa (a 0 ; b 0 ) F bb (a 0 ; b 0 ) < 0 ve F aa (a 0 ; b 0 ) > 0 oldu¼gundan F fonksiyonu, (a 0 ; b 0 ) noktas nda bir minimuma sahitir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y 0; 7 + dir. Bu do¼gruya, en küçük kareler do¼grusu veya çekilme (regression) do¼grusu ad verilmişti.. Aşa¼g daki çizelgede verilen ve y de¼gerleri için en küçük kareler do¼grusunu bulunuz. ; 5 için y nin de¼gerinin kaç olmas beklenir? y 4 0 (: çizelge)

48 8-5. En Küçük Kareler Yöntemi 6 Çözüm: y a + b biçiminde bir do¼gru ar yoruz. Bir say s na karş l k, y a + b kural ndan bulunan y de¼geri ile bu say s na çizelgede karş l k getirilen y de¼geri birbirinden farkl d r. Bu farklar aşa¼g daki çizelgede gösterilmiştir. y a + b farklar a + b a b a + b a b a + b a b 0 a + b 0 a b (: çizelge) En iyi yaklaş k do¼gru yu elde edebilmek için. çizelgede bulunan farklar n karelerinin tolam n n en küçük olmas n istiyoruz. Bu farklar n karelerinin tolam na F (a; b) diye. F (a; b) ( a b) + ( a b) + ( a b) + ( a b) Arad ¼g m z do¼gruyu belirten a ve b say lar, F fonksiyonunu minimum yaan say lard r. F a (a; b) ( a b) ( ) + ( a b) ( ) + ( a b) ( ) + ( a b) ( ) F b (a; b) ( a b) ( ) + ( a b) ( ) + ( a b) ( ) + ( a b) ( ) oldu¼gundan F a (a; b) 6a + 6b 8 ve F b (a; b) 6a + 8b bulunur. 6a + 6b 8 0 6a + 8b 0 denklem sisteminden a 0 ; 5; b 0 4; 5 bulunur. oldu¼gundan F aa (a 0 ; b 0 ) 4; F ab (a 0 ; b 0 ) 6; F bb (a 0 ; b 0 ) 8 F ab (a 0; b 0 ) F aa (a 0 ; b 0 ) F bb (a 0 ; b 0 ) < 0 ve F aa (a 0 ; b 0 ) > 0 oldu¼gundan F fonksiyonu, (a 0 ; b 0 ) noktas nda bir minimuma sahitir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y ; 5+4; 5 dir. ; 5 için y ; 5+4; 5 eşitli¼ginden y 0; 75 bulunur. 4. Aşa¼g daki çizelgede verilen ve y de¼gerleri için en küçük kareler do¼grusunu bulunuz. 5 için y nin de¼gerinin kaç olmas beklenir?

49 6 8. Çok De¼gişkenli Fonksiyonlar y (: çizelge) Çözüm: y a + b biçiminde bir do¼gru ar yoruz. Bir say s na karş l k, y a + b kural ndan bulunan y de¼geri ile bu say s na çizelgede karş l k getirilen y de¼geri birbirinden farkl d r. Bu farklar aşa¼g daki çizelgede gösterilmiştir. y a + b farklar b 0 0 b 5 5a + b 5a b 0 6a + b 0a b a + b 46 5a b 0 5 0a + b 5 0a b (: çizelge) En iyi yaklaş k do¼gru yu elde edebilmek için. çizelgede bulunan farklar n karelerinin tolam n n en küçük olmas n istiyoruz. Bu farklar n karelerinin tolam na F (a; b) diye. F (a; b) (0 b) + ( 5a b) + ( 0a b) + (46 5a b) + (5 0a b) Arad ¼g m z do¼gruyu belirten a ve b say lar, F fonksiyonunu minimum yaan say lard r. F a (a; b) ( 5a b) ( 5) + ( 0a b) ( 0) + (46 5a b) ( 5) + (5 0a b) ( 0) F b (a; b) (0 b) ( ) + ( 5a b) ( ) + ( 0a b) ( ) + (46 5a b) ( ) + (5 0a b) ( ) oldu¼gundan F a (a; b) 500a + 00b 460 ve F b (a; b) 00a + 0b 0 bulunur. 500a + 00b a + 0b 0 0 denklem sisteminden a 0 ; ; b 0 0; 8 bulunur. oldu¼gundan F aa (a 0 ; b 0 ) 500; F ab (a 0 ; b 0 ) 00; F bb (a 0 ; b 0 ) 0 F ab (a 0; b 0 ) F aa (a 0 ; b 0 ) F bb (a 0 ; b 0 ) < 0 ve F aa (a 0 ; b 0 ) > 0

50 8-5. En Küçük Kareler Yöntemi 6 oldu¼gundan F fonksiyonu, (a 0 ; b 0 ) noktas nda bir minimuma sahitir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y ; +0; 8 dir. 5 için y ; +0; 8 eşitli¼ginden y 6; 8 bulunur. 5. Bir s n ftaki 0 ö¼grencinin ara s nav notlar ortalamas ve genel s nav notlar aşa¼g daki çizelgedeki gibidir. ara s{nav ( k ) genel s{nav (y k ) (: çizelge) Bu de¼gerlerden yararlanarak ö¼grencilerin ara s nav notlar ortalamas ile genel s nav notlar aras nda y a + b biçimindeki ba¼glant y bulunuz. Bu 0 ö¼grencinin bulundu¼gu s n ftaki bir ö¼grencinin ara s nav notlar n n ortalamas 95 olsun. Bu ö¼grencinin genel s nav notunun kaç olmas beklenir? Çözüm: Genel olarak n tane ( ; y ) ; ( ; y ) ; : : :, ( n ; y n ) noktas ndan geçen en küçük kareler do¼grusu arand ¼g nda a ve b say lar n veren denklem sisteminin a + k k P k b n k y k k k () P k a + nb n y k k k sistemi oldu¼gunu göstermiştik. Bu denklem sisteminin çözümü n k y k k y k k k k a n k k k k b y k k n a k k () d r. Burada verilen noktalar için n 0 dur. Ayr ca 0P k 0P k k k

51 64 8. Çok De¼gişkenli Fonksiyonlar 0P k 0P k k y k y k dür. Yukar daki () eşitliklerinden a n k y k k y k k k k n k k k k b y k k n a k k ; ; ; 675 () elde edilir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y 0; ; 675 dir. Bu do¼gruya, en küçük kareler do¼grusu veya çekilme (regression) do¼grusu ad verilmişti. Bu 0 ö¼grencinin bulundu¼gu s n ftaki bir ö¼grencinin ara s nav notlar n n ortalamas 95 olsun. Bu ö¼grencinin genel s nav notunun da y 0; ; 675 kural na uyaca¼g n varsayabiliriz. Bu durumda y 0; ; 675 eşitli¼ginden y 9; 8 bulunur. Öyleyse bu ö¼grencinin genel s nav notunun yaklaş k olarak 9 olmas beklenmelidir. 6. Amerika birleşik devletlerinde (A.B.D) 950 y l ndan başlayarak her on y lda bir ev s tmas nda kullan lan s v yak t (fuel oil) yüzdeleri aşa¼g daki çizelgedeki gibidir. y{llar yuzde 950 ; 960 ; ; 990 ; (: çizelge) Bu de¼gerlerden yararlanarak ev s tmas nda kullan lan s v yak t (fuel oil) yüzdesini y llara ba¼gl olarak gösteren en küçük kareler do¼grusunu bulunuz. 00 y l nda tüketilen s v yak t (fuel oil) yüzdesinin kaç olmas beklenir? Çözüm: 950 y l ölçümün başlad ¼g y l oldu¼gundan bu y l için 0 alal m. 0 için y ; demektir. Benzer biçimde 0 için y ; 4 demektir. Böyle devam edilerek

52 8-5. En Küçük Kareler Yöntemi 65 aşa¼g daki çizelge elde edilir. y 0 ; 0 ; ; 40 ; 50 9 Genel olarak n tane ( ; y ) ; ( ; y ) ; : : :, ( n ; y n ) noktas ndan geçen en küçük kareler do¼grusu arand ¼g nda a ve b say lar n n n a n k y k k y k k k k n k k k k () y k a k k k b n eşitlikleriyle belirli oldu¼gunu göstermiştik. Burada verilen noktalar için n 6 d r. Ayr ca 6P k k 6P k k 6P k y k 0 ; + 0 ; ; + 40 ; k 6P y k ; + ; ; + ; + 9 0; 8 k dür. Yukar daki () eşitliklerinden

53 66 8. Çok De¼gişkenli Fonksiyonlar a b n k y k k y k k k k n y k k k k n a k k k k ; ; 7 0; 8 + 0; ; 4 () elde edilir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y 0; 7 + 9; 4 dür. 00 y l nda 60 demektir. Buna göre 00 y l nda tüketilen s v yak t (fuel oil) yüzdesi, y 0; 7+9; 4 eşitli¼ginde yerine 60 konularak bulunan say d r. y 0; 760+9; 4 7; dir. 7. Düzlemde, (; ) ; (; ) ; (; ) ; (4; ) noktalar n n en yak n ndan geçen arabol e¼grisinin denklemini bulunuz. Çözüm: c say lar, Arad ¼g m z arabolün denklemi, y a + b + c biçimindedir. Buradaki a; b ve F (a; b; c) n P k y k a k b k c eşitli¼giyle tan ml F fonksiyonunun minimum olmas n sa¼glayan a; b ve c say lar d r. Bu soruda n 4 tür: F (a; b; c) ( a b c) + ( 4a b c) + ( 9a b c) + ( 6a 4b c) K smi türevler hesaland ¼g nda F a (a; b; c) ( a b c) ( ) + ( 4a b c) ( 4) + ( 9a b c) ( 9) + ( 6a 4b c) ( 6) F b (a; b; c) ( a b c) ( ) + ( 4a b c) ( ) + ( 9a b c) ( ) + ( 6a 4b c) ( 4) F c (a; b; c) ( a b c) ( ) + ( 4a b c) ( ) elde edilir. Bu eşitliklerin sa¼g yanlar hesalanarak + ( 9a b c) ( ) + ( 6a 4b c) ( )

54 8-5. En Küçük Kareler Yöntemi 67 F a (a; b; c) 708a + 00b + 60c 6 0 F b (a; b; c) 00a + 60b + 0c 8 0 F c (a; b; c) 60a + 0b + 8c 4 0 () denklem sistemin bulunur. Bu denklem sistemi çözülerek a 0; 75; b ; 45 ve c 4; 75 elde edilir. Buna göre aran lan arabolün denklemi y 0; 75 ; ; 75 dir y l ndan başlayarak 004 y l na kadar Çindeki motorlu araç üretimi say lar çizelgedeki gibidir. y{llar uretim say{s{ (: çizelge) Bu çizelgedeki üretim say lar nda, 000 araç bir birim olarak al nm şt r. 997 y l nda 0 alarak y llar ve motorlu araç üretimi aras nda y a + b biçimindeki ba¼glant y bulunuz. 00 y l nda Çinin motorlu araç üretim say s n n kaç olmas beklenir? Çözüm: 997 y l için 0 d r. 0 için y 578 demektir. Benzer biçimde için y 68 demektir. Böyle devam edilerek aşa¼g daki çizelge elde edilir. y{llar ( k ) uretim say{s{ (y k ) (: çizelge) Genel olarak n tane ( ; y ) ; ( ; y ) ; : : :, ( n ; y n ) noktas ndan geçen en küçük kareler do¼grusu arand ¼g nda a ve b say lar n n n a n k y k k y k k k k n k k k k () y k a k k k b n eşitlikleriyle belirli oldu¼gunu göstermiştik. Burada verilen noktalar için n 8 d r. Ayr ca 8P k k 8P k k

55 68 8. Çok De¼gişkenli Fonksiyonlar 8P k y k k 8P y k k dür. Yukar daki () eşitliklerinden a n k y k k y k k k k n k k k k b y k k n a k k ; ; ; () elde edilir. Sonuç olarak aran lan do¼grunun denklemi, y (54; ) + 965; dir. 00 y l nda demektir. Buna göre 00 y l nda üretilen araç say s, y (54; ) + 965; eşitli¼ginde yerine konularak bulunan say d r. y (54; )+965; 7649; 7 dir. Demek ki 00 y l nda üretilen araç say s adettir.