DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON:

Transkript

1 DOĞRUSA OMAYAN PROGRAMAMA TEK DEĞİŞKENİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: Kısıtsız optmzsyo herhg r kısıtlm olmksızı r oksyou mksmum vey mmum değerler rştırılmsı prolem le uğrşır. Y kısıtlrıı d sğlmsı gerekl ol r çok uygulmlı optmzsyo prolem olmsı rğme, kısıtsız optmzsyo tekkler zı edelerle öemldr. Br çok lgortm kısıtlı prolemler, kısıtsız prolemlere döüştürerek çözer. Öreğ grge çrplrı ve cez oksyolrı yötemler g. Dğer r grup yötemler se elrl r yö ulup u yö oyuc çözümler rştırır. Bu dz rmsı değşkeler üzerde lt ve üst sıırlrı olduğu st kısıtlı vey kısıtsız tek değşkel r oksyou uç oktsıı ulmy eş değerdr. Souç olrk r çok kısıtsız optmzsyo tekğ kısıtlı prolemler çözümüde de etk r şeklde kullılmktdır. Burd verle r mç oksyouu mksmum vey mmum oktsıı dh st ve hızlı r şeklde syısl rm tekkler le lgleeceğz. Tek oyutlu rm tekkler şğıdk tlod gösterldğ g k sııt topllr: SAYISA ARAMA TEKNİKERİ Eleme Tekkler Yklştırm Tekkler ) Tım ölges kısıtlı olmdığıd ) Krel yklştırm rm (İterpolsyo) ) Tm Arm Yötem 3) İkye Bölerek Arm ) Kük yklştırm

2 4) Üçe Bölerek Arm (İterpolsyo) Yötem 5) Focc Armsı 3) Drekt Kök Yötem 6) Altı Orı Armsı EEME TEKNİKERİ: Eleme tekkler optmum çözümü uludur çözüm uzyıı dh küçük rlıklr drgeyerek e y çözümü rştırır. Her rdıştırmd optmumu uludurmy rlık elrlep çıkrılır. Kl rlık üzerde rm ypılır. Eleme tekkler, optmum oktsıı tm olrk vermezler m optmumu olduğu rlığı mümkü olduğuc küçültmeye çlışılır. Bu tekkler uygullmes ç oksyou tek değşkel ve tek modlu olmsı gerekr. Ylızc r mksmum vey mmumu ol oksyolr tek modlu oksyo der. Tek modlu oksyolr zı örekler şğıd görülmektedr. ( ) ( )

3 ( ) ( ) Çok modlu oksyolr, her prçsı tek modlu olck şeklde oksyou değer ölges lt prçlr ölüerek u tekkler uygullr. Aşğıdk oksyolr çok modlu oksyolr örek olrk gösterlelr. ( ) ( ) c d e c d e. Değşkeler Üzerde Kısıtlm Olmdığıd Arm Çoğu uygulmlı prolemlerde optmum çözüm krr değşkeler kısıtlmış r çıklığı çersde olduğu lr. Bzı durumlrd u çıklık lmez, u edele de rm değşke değerler üzerde herhg r kısıtlm olmksızı ypıllr.

4 ) St Adımlı Arm: St r dım üyüklüğü le şlgıç thm r okt seçlr. Bu oktd rzul yöe doğru gdlerek rm ypılır. Bu rm ç şğıdk dımlr verlelr. - Bşlgıç oktsı seçlr ve ( ) uluur. - s dım üyüklüğü olmk üzere ( ) uluur. s ve 3- ve lglele prolem mmum prolem se () tek modlu olmsı edeyle çözüm ölgesde ulumz. Bu yüzde dğer kl deemeler celep tek modlu vrsyımı d kullılrk pozt yöde 3, 4,... oktlrı oyuc rmy devm edlr. s oktsıd () oksyou öcek okty göre rtm gösterdğ zm rmy so verlr. 4- olsydı rm ters yöde (egt) ypılır ve s olrk seçlr. oktlr 5- se rzul mmum okt le rsıddır. 6- Mksmum prolemde celee rdışık oktlrd oksyou zlm gösterdğde rm souçldırılır. Dğer şlemler ezer olrk yürütülür.

5 ( ) s ( ) ( ) olduğud zlm edele pozt yöüde olcktır. Bu s lırk rmy devm edlr. Öreğ ye okt 3 s olcktır. ( ) s s 3 ( ) ( ) olduğud zlm edele 3 egt yöüde olcktır. Bu s lırk rmy devm edlr. Öreğ ye okt olsu. 3 s olcktır.

6 Mmum prolemde değerde zlm olmdığıd, mksmum prolemde se değerde rtm olmdığıd şlemler durdurulur ve r öcek okt optmum çözüm oktsı olrk lıır. ÖRNEK: ve s. lrk ( ) 3 oksyouu mmumuu rştırlım. ( ) () ( ) (.) (.). 3(.).9 ( ) ( ) olduğud zlm oktlrı pozt yöüde olcktır. Arm s olrk seçlr. Souçlr şğıd özetlemştr. s s E E E E E E E

7 E E H 6.5 oktsıd sor oksyo değer tekrr rtm göstermeye şldığıd u okt optmum okt olrk lıır. Bu prolemde şlgıç oktsı ve s. lımış olsydı şlgıç oktsıı egt yöüde hreket edlerek mmum okt rştırılcktı. ÖRNEK: ve s.5 lrk, ( ) 4, oksyouu mksmumuu st dım rmsı le ullım. oktsıd olur. s.5 ve.5 olcğıd, mksmum okt şlgıç oktsıı pozt yöüdedr, egt yöde olmz. Çükü egt yöde hreket edlrse oksyo değer yce zlcktır. Oys zm mcımız mksmumu ulmktır. Öyleyse rm; s düşüülerek pozt yöüde ypılır.,3,4,... olmk üzere olduğud vey oktlrıd r mksmum okt olrk lıır. Bu oksyo ç şğıdk souçlr elde edlr.

8 s s H 3.5 H H 5.5 H H 7.5 H E Sekzc dımd 8 7 olduğud mksmum 7 le 8 rsıd uluur. Öyleyse 7 oktsı mksmum okt olrk lılr. ) Artmlı Adım Armsı: St dımlı rm, çok st olmsı krşı, optmumu uluduğu ölge kısıtlı olmmsı edeyle r tkım hesplm güçlükler doğurlr. Öreğ optmum çok uzk r şlgıç oktsı seçldğde s dım üyüklüğü de küçük lıdığıd optmumu ulmk ç çok syıd hesplm ypmk zorud kllrz. Bu durumd dım üyüklüğüü rtırrk rm ypıldığıd rzul çözüme dh z şlemle ulşmk mümküdür. Öreğ dım üyüklüğü st r değer yere her desıd le çrpılrk rm ypıllr.

9 ÖRNEK:.5, şlgıç oktsı ve s. dım üyüklüğü lrk ( ) 5 oksyouu mmum oktsıı rtmlı dım rmsı le ullım..5,.889, ve oksyo tek modlu olduğud mmum okt pozt yöüde olcktır. Souçlr şğıd özetlemştr. s s. dımd E E E E E E E E E H değerde rtm görüldüğüde rm durdurulur. 3.6 mmum okt olrk lıır. Gerçek mmum okt ol.5 t rklı r okt elde edlmştr. Bu rmd dım üyüklüğü küçük lımzs optmum okt zı durumlrd şıllr. Yklşık optmum oktyı vermese krşılık optmumu uluduğu rlık le lgl kes lg verr.

10 . Tm Arm: Bu yötem, optmumu uludur rlık solu olduğu durumdk prolemler çözümüde kullıllr. ve s elrszlk rlığıı lk ve so oktlrı olsu. Br () oksyouu optmumuu uludur rlığ (u rlık çersdek yer lmyor) elrszlk rlığı der. Bu rm,, rlığıd rre eşt uzklıktk s oktlrd mç oksyou değer hesplyıp tek modlu vrsyımı d kullılrk elrszlk rlığıı drgemeye dyır. 3 4 s Yukrıd görüldüğü g r () oksyou tımlı olduğu, rlığı eşt uzylı prçlr ölüerek rm ypılır. s Yukrıd şeklde verle () oksyou r mksmum shp olduğu ç, mksmumu uluduğu elrszlk rlığı olrk 3, 4 elrler. Geel olrk oksyo şlgıç elrszlk rlığıı s uzuluğu çde te eşt uzklıktk oktd hesplır ve oksyou optmum değer j oktsıd uluurs so elrszlk rlığı

11 j j olur. Tm rm yötemde rklı deeme syısı göre elde edlelr so elrszlk rlıklrı şğıd verlmştr. Deey syısı ( ) ÖRNEK:, ( ) 3,3 oksyouu mksmumuu.4 lrk, gerekl deeme syısıı ve so elrszlk rlığıı d elrleyerek, tm rmyl uluuz. se te oktd oksyo değer celeecektr. Burd tşk k oktı rre uzklığı olcktır. Çözüm şğıd özetlemştr ( ) ve 8 oktlrıd sor oksyo değer zlmy şlmktdır. Öyleyse u oktlrı oluşturduğu elrszlk rlığı 5,4 5.4,.6, so elrszlk rlığıdır. Bu rlığı ort oktsı ol.5 değer oksyou mksmum oktsı olrk lılr. Dkkt edlrse.5 değer yı zmd oksyou gerçek mksmum değerdr.

12 3. İk Smetrk Nokt Armsı: Tm rmd optmumu uluduğu yer le lgl herhg r kr yürütmede eşt uzylı ütü deemeler yı d ypılır. Bu rm yötem se k deeme (vey k okt) elrszlk rlığı merkeze ykı olrk seçlr. Bu k oktdk mç oksyo değerler göz öüe lırk elrszlk rlığıı yrısı ykıı çıkrılır. İk oktı pozsyou şğıdk şeklde görüldüğü gdr. s,,, olrk verlr. Burd ; () u oktlrd rklı ulumsı ç k okt rsıdk mmum çıklıktır. s

13 İkc deemedek ye elrszlk rlığı olur. Bu rlık çde uzklığı göre ye k okt seçlr, u oktlrdk değerlere göre ye elrszlk rlığı; olur. ; lk elrszlk rlığı olsu, Bu rmd sım oktsı kullıldığıd ye elrszlk rlığı () olur. 4 sım oktsı kullıldığıd yd ye k sım oktsı dh kullılırs ye elrszlk rlığıı geşlğ; olur. 6 sım oktsı kullıldığıd yd ye k sım oktsı dh kullılırs ye elrszlk rlığıı geşlğ; ve u yukrıdk rlık düzelerse, elde edlr.

14 Bu şeklde deemelere devm edlrse. c deemede ( çt) elrszlk rlığıı olduğu kolyc görülelr. ÖRNEK:, ( ) 3,3 oksyouu mksmumuu.,. lrk ve gerekl deeme syısıı d elrleyerek, k smetrk okt rmsı le uluuz. 3.. eştlğde 5.73 elde edlr. Burd d 4 yklşık değer ve 8 olrk elde edlr. Bu ze 4 te rdıştırm ypılcğıı vey 8 te oktı rm ç kullılcğıı gösterr ,.55 ( ) (.495).49975, ( ) (.55) İk oktdk oksyo değerler yı olduğud ye elrszlk rlığı,.55 rlığı olrk lılr. Buu st r şeklle de görelrz.

15 Bşlgıç elrszlk rlığı uludurulrk,.55,3 ke oksyo değerler göz öüde rlığı ye elrszlk rlığı olrk lımıştır. Burd k oktdk oksyo değerler yı olduğud.495, 3 rlığı d ye elrszlk rlığı olrk lılrd. Ypıl şlemler oksyo değer rtır oktlrl rm ypmy devm etmek, zltlrı se s dışı ırkmktır.,.55 rlığıı kullrk. rdıştırmyı yplrz. Bu ye rlık üzerde şlem yprke ve s.55 olrk lıcktır ,.7575 ( ) (.7475) , ( ) (.7575) ( ) ( ) olduğud ye elrszlk rlığı Ye uu d st r şekl üzerde görelrz..7475,.55 olcktır.

16 Şeklde de görüleceğ üzere oksyo değer.7575 oktsı göre dh z rtır.7475 oktsıı uluduğu rlık s dışı ırkılrk.7475,.55 rlığı, ye elrszlk rlığı lırk 3. rdıştırm u rlık üzerde ypılcktır ,.35 ( ) (.5).6548, ( ) (.35).43 ( ) ( ) olduğud ye elrszlk rlığı Ye uu d st r şekl üzerde görelrz..5,.55 olcktır ,.55 elrszlk rlığıı kullrk 4. ve so rdıştırmyı yplrz.

17 ,.385 ( ) (.385).383, ( ) (.385).694 ( ) ( ) olduğud so elrszlk rlığı.385,.55 olcktır. Bu ulduğumuz so rlıkt, oksyou mksmum yp değer u rlık çde r değer olduğuu söyleyelrz..385,.55 rlığıı ort oktsı y; mksmum yp değer olrk lılr değer oksyou ÖRNEK: ( ) e 5,,. verlyor. () mmum oktsıı. luk dre çde smetrk k okt rmsı le ullım. So elrszlk rlığıı lk elrszlk rlığı orı olur. So elrszlk rlığıı yrısı optmum okt olrk lıırs, 5

18 urd ç e ykı çt syı 6 olrk uluur. Öyleyse 6 okt vey 3 rdıştırm celeyerek stele duyrlılıktk mmum oktyı ullrz ,.55 ( ) (.4995) 3.8, ( ) (.55) 3.86 elde edlr. Burd ( ) rlık.4995, olur. Tekrr k okt seçlr. dh küçük öyleyse mmumu uludur ye ,.755 ( ) (.7495) 3., ( ) (.755).995 elde edlr. Bu seerde ( ) dh küçük öyleyse ye elrszlk rlığı.4995,.755 olur ,.653 ( ) (.643) , ( ) (.653) ( ) dh küçük öyleyse so elrszlk rlığı.4995,.653 olur. Bu rlığı ort oktsı mmum okt olrk lılr.

19 4. Altı Orı Armsı: Br AB doğru prçsıı r C oktsı le şğıdk g k prçy ölelm. A C B AC ve CB uzuluklrı sırsıyl ve dyelm. olck şeklde ypıl ölümeye kutsl or y d ltı orı dı verlr. Bu orı olrk yzlrz. ç kökler uluurs, pozt kök 5 olur. Burd d syısı elde edlr, u syı ltı orı olrk kullılır. Klsk ve moder mmrde, tsrımlrıd, güzel stlrd sıkç ltı orı krter kullılır. Optmzsyod se elrszlk rlığıı her k ucud ltı orı orıdk uzklıkt oktlr,, seçlerek u oktdk oksyo değerler dkkte lırk rlık küçültülür ve ye

20 elrszlk rlığı uluur. Bu şlem stele duyrlılıktk so elrszlk rlığı kdr devm ettrlr. Bşlgıç rlığı olur. rdıştırm ypıldığıd u uzuluk olsu. İkc rdıştırmd u rlık olcktır. Bu yüzde so elrszlk rlığı ell r, küçük pozt r syı, değerde z olmsı steyors yrdımıyl rştırm syısı öcede elrleelr. Altı orı rmsı tek modlu kısıtsız r mmum prolem ç şğıdk dımlr zleerek ypılır..adım: llım. ve rlığıı uç oktlrı, adım: ) ( ) ( ) se k k, k k k k k ve k k k k k ) ( ) ( ) se k k k ve k k k k k k k k k ve

21 3.Adım: k k se durulur. Mmum değer vere k k, uluur. Değlse. dım döülür., Dh st olrk değşke tım rlığı olmk üzere, r mmum prolem ç lgortm şöyle özetleelr: ve olmk üzere ( ) ve uluur. ) ( ) ( ) se elrszlk rlığı ( ) ( ) se elrszlk rlığı,,, ( ) değerler lırk, ) lırk, ) ( ) ( ) se g herhg k okt lırk, ltı orı rmsı şlemler tekrrlır. Prolem r mksmum prolem se ) ve ) de verle elrszlk rlıklrı mksmumu vere oktyı çerecek şeklde yede düzelemeldr. ÖRNEK: ( ),.75 oksyouu mmumuu so elrszlk rlığı.5 te z olck şeklde uluuz. So elrszlk rlığıı uzuluğu.75 ( ) (.68339) (.6667) olrk verlmşt. Burd ve souç olrk 5. elde edlr. Öyleyse stele duyrlılıktk mmum oktyı ulmk ç e z 6 rdıştırm ypılmlıdır.

22 olduğud.75 ( ) vey eştlkler yı soucu vereceğde olduğud ( ) ( ) ( ) ( ).993 ( ).67 olduğud ye elrszlk rlığı olur. Ye rlığı seçm st r şeklle de görelrz.,.336, Şeklde de görüldüğü g oksyo değer dh küçük ol oktyı çere.336,.75 rlığı ye elrszlk rlığı olrk lımıştır. Foksyo değer dh üyük yp oktı uluduğu rlık şlem dışı tutulrk elrszlk rlığı küçültülmüştür. Ye elrszlk rlığı çdek ye ve oktlrı,

23 .75 (.336) (.336).3386 ( ).67, ( ).34 olduğu görülüyor. ( ) ( ) olduğud ye rlık.336,.3368 olur. Burd d ye oksyo değer dh zlt rlık, elrszlk rlığı olrk elrlemştr. Yukrıdk şeklde şlemler sürdürülürse u rm elde edlecek souçlr şğıdk tlod özetlemştr. k k k ( ) ( ) * * * * * So elrszlk rlığıı ort oktsı optmum okt olrk kullıllr. * (.6).4.7

24 Açıklm: X= + - (-)/ltı orı= +(-)/ltı orı^ X= +(-)/ltı orı 5. Üçe Bölerek Arm () mmumu rştırıl oksyo ve olsu. Tım rlığı şğıdk şekldek 4 eşt prçy ölüür. 3,, uluur. Bu oktlrdk ( ), ( ), ( 3) değerler hesplır. e küçük se ye elrszlk rlığı, ) ( ) ) ( ) olur. e küçük se ye elrszlk rlığı, ) ( 3) olur. 3 e küçük se ye elrszlk rlığı, olur. Belrszlk rlıklrı, oksyo değer e zlt oktyı çerecek şeklde elrlemektedr. Mksmum prolemlerde se elrszlk rlığı oksyo değer e zl rtır oktyı çerecek şeklde elrler. Her desıd elrszlk rlığı 4 eşt prçy ölüür ve ye elrszlk rlığı ulurk elrszlk rlığı yeterce

25 küçültüldüğüde durulur. So elrszlk rlığıı yrısı mmum okt olrk lılr. dım soudk elrszlk rlığıı uzuluğu; olcktır. So elrszlk rlığıı uzuluğu verldğde kç rdıştırm ypılcğı d urd elrleelr. ÖRNEK: ( ) 5 e,, oksyouu mksmumuu.5 lrk, üçe ölerek rm yötemyle ullım..5 se rdıştırm syısı 3 olrk elde edlr..5, ( ) , ( ).8 4.5, ( 3) Ye elrszlk rlığı, ( 3) e üyük olduğud, olrk lıcktır. Çükü u üç oktd oksyou e zl rtır okt, rlığıddır. Bu şlem ye st r şekl le görelrz.

26 , elrszlk rlığı üzerde kc rdıştırmyı yplım..5, ( ) , ( ) , ( 3) ( ) e üyük olduğu ç oktsıı çere.5,.75 rlığı ye elrszlk rlığı olur. Bu rlık üzerde so rdıştırm; , ( ) , ( ) , ( 3) ( 3) e üyük olduğu ç 3 oktsıı çere.5,.75 rlığı so elrszlk rlığı olur. Bu rlığı ort oktsı ol oktsı optmum okt olrk lılr. *.65

27 6. Focc Armsı: Dğer rm yötemlerde olduğu g u yötemle de tek değşkel r oksyou, türevleelr ve sürekl olms le, optmumu ululr. Bu yötemde zı eleme yötemler g rtkım kısıtlmlrı vrdır. Bulr şulrdır: ) Optmumu yer ldığı şlgıç elrszlk rlığı lyor olmlıdır. ) Bu yötemle gerçek optmum ulumylr. Ack uu uludur so elrszlk rlığı elde edlr. İstele hesplmlr so elrszlk rlığı mümkü olduğuc küçültülür. ) Amç oksyou tek modlu olmlıdır. v) Bu rmd ypılck oksyo hesplmlrı syısı öcede elrlemeldr. Bu yötemle elrszlk rlığı rdışık F ypılır. Focc syı dzler orı kdr küçültülerek rm Focc syılrı şğıdk şeklde tımlır. F F F F F,,3,4,... Tım göre Focc syılrı;,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,... olur. İstele duyrlılıktk optmum oktsıı ulmk ç lgl Focc syısı ze e kdr hesplm ypmmız gerektğ hkkıd r kr verr.

28 ; rlığıd tımlı elrszlk rlığı,, yürütüle deeme syısı olsu. F * F tımlylım. Belrszlk rlığıı her ucud * uzklığıd lk rm oktlrı, y ve uluur. Bu oktlr; * F * F olur. Tek modlu vrsyımıı kullrk rlığı r ölümü çıkrılır. Bu durumd kc dımd ye elrszlk rlığıı uzuluğu F F F * F F F olur. j-c dımd se elrszlk rlığıı uzuluğu j F F ( j) olcktır. te öcede elrlemş deeyde j tes ypıldıkt sor kl elrszlk rlığıı şlgıç elrszlk rlığı orı j ( j) olur ve elde edlr. F F j ç F F F

29 orı, rzu edle duyrlılıktk optmum oktyı (mmum) ulmk ç gerekl deey syısı () verr. Aşğıdk tlo rklı deeyler ç elrszlk rlığıı zlm orıı ( )göstermektedr. deey syısı syısı göre Azlm Orı Focc syısı Azlm Orı ( )

30 ÖRNEK: ( ), 3 5 oksyou verlyor.. olck şeklde mmum oktyı çere elrszlk rlığıı ve yklşık olrk optmum oktyı uluuz.. F vey F olduğud F 3 olrk elrler. Bu göre 6 soud stele duyrlılık elde edlr. F d * F * uluur * uluur. ( ).598 ve ( ) olduğud ( ) ( ) dr. Öyleyse ye elrszlk rlığı 3, olur. Görüldüğü üzere oksyou dh küçük yp oktyı çere rlık elrszlk rlığı olrk lımıştır. Bu rlık çdek k ye okt olcktır. Burd ( ).9763, ( ) ve ( ) ( ) olduğud ye elrszlk rlığı 3,.7693 olur. ezer şlemler

31 uyguldığıd ye okt ve elrszlk rlığı şğıdk tlod özetlemştr. ( ) ( ) * * * * * * So elrszlk rlığıı ort oktsı *.84 olrk lılr. So elrszlk rlığıı lk elrszlk rlığı orıı. d küçük olduğu görülüyor.