İlerletilmiş Kalman Filtresi ve Sistem Belirleme Üzerine Bir Çalışma

Transkript

1 S Ü Fen Ed Fa Fen Derg Saı 25 ( , KONYA İlerletiliş Kalan Filtresi ve Siste Belirlee Üzerine Bir Çalışa Esin KÖKSAL, Levent ÖZBEK, Firi ÖZTÜRK Özet: Bu çalışada İlerletiliş Kalan Filtresi ve onun bazı düzenleeleri tanıtılatadır. Bir aın ucuna bağlı bir cisin salınıını etileen çevrenin sürtüne atsaısının tahin edilesi problei üzerine bir siülason çalışası apılatadır. İlerletiliş Kalan Filtresi ve onun bir düzenleesi ile elde edilen tahin sonuçları grafisel olara arşılaştırılatadır. Anahtar elieler: Duru-uza odeli, Siste belirlee, İlerletiliş Kalan Filtresi. A Stud on The Etendet Kalan Filter and Sste Identification Abstract : In this stud the Etended Kalan Filter and soe of it s odifications are introduced. A siulation stud is carried out on the estiation of the coefficient of friction of the ediu, which affects the oscillation of a bod tied to the end of a spring. The estiation results obtained b the Etended Kalan Filter and the Modified Etended Kalan Filter are copared graficall. Ke words : State-space odel, Sste identification, Etended Kalan Filter.. Lineer Olaan Kesili-Zaan Duru-Uza Modelleri ve İlerletiliş Kalan Filtresi Bir siste ile ilgili duru değişeni n -boutlu rasgele vetörü ve gözle değişeni - n n n boutlu z rasgele vetörü olsun. f : R R ve h : R R fonsionları süreli türevlere sahip ola üzere bu siste için duru-uza odeli, f, w, =,2,... = ( z = h(, v ve varsaılar E ( = 0, E ( = 0 w v Q, i = R, i = E( w w i = E( v vi = 0, i 0, i E ( 0 w = 0, E ( 0 v = 0, E ( 0 = 0, Cov ( 0 = P0 Anara Üniversitesi, Fen Faültesi, İstatisti Bölüü, Siste Modellee ve Siülason laboratuarı, 0600 Tandoğan/Anara, E-ail: esinosal@science.anara.edu.tr

2 İlerletiliş Kalan Filtresi ve Siste Belirlee Üzerine Bir Çalışa olsun. { } bir zaan serisi ola üzere bunun bir gerçeleşesi sistein duruunun bir örüngesi olatadır. 0 = E( 0 = 0 ve ola üzere { : = 0,,2,... } = f (,, =,2,... dizisine inal örünge denir. δ, inal örüngeden pertürbasonu göstere üzere, δ =, δ z = z h(, gösterileri altında, f fonsionunun olup, = f (, f (, = f (, δ = f (, = δ alan = f (, δ = = δ alan dır. Kalan teriin atılasıla δ azılabilir, burada dır. Φ ( Φ(, δ f (,, = = notası oşuluğundai Talor açılıından alan teri teri teri Gözle denleindei h fonsionunun inal örüngee göre lineerleştirilesi, h(, h(, = h(, = δ = olup, alan teriin atılasıla azılabilir, burada δ z H (, δ H (, = = dır. Bölece pertürbasonlar için δ Φ h(, (, δ w δ z H (, δ v alan teri lineer duru-uza odeline ulaşılır. Bu odel için Kalan Filtresinin işletilesi aşağıdai gibidir. ˆ δ ( (, ˆ = Φ δ (, =,2,... ˆ ˆ δ ( = δ ( K z h(, H (, ˆ δ ( P [ ] ( = Φ(, P ( Φ (,. Q K P ( H (, [ (, ( (, ] H P H R [ I K H (, ] P ( = P ( = 0

3 Esin KÖKSAL, Levent ÖZBEK, Firi ÖZTÜRK değerleri bir Buradai K Kalan Kazanç Matrisi ile 0 değerine bağlı olara bağıntısından hesaplandığından, endi içinde hesaplanabilir. = f (,, =,2,... K ile P atrislerinin hesaplanasında ullanılan P atrisleri δˆ duru estirilerinden arı olara Yuarıdai Kalan Filtresinde, =,2,... değerleri erine ˆ (, =,2,... azılası ve δ = ˆ olduğu göz önünde tutulasıla, ˆ0 E( 0 =, P0 = cov( 0 başlangıç değerlerine bağlı olara f f P ˆ ( ˆ P f ( ˆ = ( Q ˆ = ' h h h K ( ˆ ( ˆ ( ˆ = P P R h ( ˆ P = I K P ˆ = ˆ ˆ ( ˆ = K z h, = 2,,... alışılış gösteridei İlerletiliş Kalan Filtresi elde edilir (Grewal ve Andrews 993, Chen 993. Buna, Standart İlerletiliş Kalan Filtresi de denetedir. İlerletiliş Kalan Filtresi birço lineer olaan odelde ullanı alanına sahiptir (Chui ve Chen 99, Reif ve Unbehauen 999, Bacchetta ve Gerlach 997, Özbe ve Efe 2003, Şenol ve diğerleri İlerletiliş Kalan Filtresinin Bir Düzenleesi Lineer olaan duru-uza odeli, F( ξ 2 = G(, ξ z = [ H(, 0] η biçiinde olsun. Burada, f, g ve h fonsionları türevlenebilir, duru başlangıç vetörü hata terilerinden ilişisiz, E( =, Cov( 2 = P ve ii denledei hata terileri aralarında ilişisiz, sıfır ortalaalı

4 İlerletiliş Kalan Filtresi ve Siste Belirlee Üzerine Bir Çalışa ξ Cov( Q 2 =, Cov( η = R ξ varans-ovarans atrisleri ile beaz gürültü sürecidir. Buradai odel için İlerletiliş Kalan Filtresinin Chui ve Chen (99 tarafından verilen bir düzenleesi ii algoritadan oluşatadır. Birinci algorita, değişi bir inal örünge ullanara, bu odel üzerinde birinci ısıda verilen İlerletiliş Kalan Filtresinin endisidir. İinci algorita, = F( ξ z = H(, η lineer duru-uza odelinde işletilen Kalan Filtresidir. Buradai, değerleri birinci algoritadan elde edilen tahinlerdir. Bu iinci algoritadan elde edilen $ duru tahinleri birinci algoritadai Talor açılınlarında inal örünge değerleri olara ullanılatadır. Her ii algorita anı, $ $ 0 = 0 = E( 0, 0 = E( 0 0 Cov( = P0 0 başlangıç değerleri ile başlaıp, her adıda birbirine değerler atarıp Şeil- dei gibi paralel biçide işleetedirler. Şeil. 2

5 Esin KÖKSAL, Levent ÖZBEK, Firi ÖZTÜRK Algorita I : =, Cov( 2 = P F ˆ ˆ ( F ( P = P Q G ˆ (, ˆ F (, F ( ˆ = G ˆ (, ' K = P H (, H(, P H (, R P = I K H(, P = K z H(, { }, =,2, Algorita II : ˆ 0 0 = E(, P0 = cov( 0 P = F ( P F ( Q ˆ F ( ˆ = ' K = P H (, H(, P H (, R P = { I K H(, } P ˆ ˆ { ˆ = K z H(, }, =,2, Bu ii algoritanın paralel işleesi olara düzenlenen İlerletiliş Kalan Filtresi, bilineen ve zaanla değişen siste paraetresi bulunduran lineer duru-uza odellerinde siste belirleesi açısından elverişli bir algoritadır. Bilineen siste paraetresi içeren, 3

6 İlerletiliş Kalan Filtresi ve Siste Belirlee Üzerine Bir Çalışa = A( θ ξ z = B( θ η gibi, duru vetörüne göre lineer bir duru-uza odeli, A( θ ξ θ = θ ζ z = [ B( θ 0] η θ biçiinde azılıp, 0 0 Cov( 0 0 E( = θ 0 θ, P0 = 0 0 S 0 gibi bir başlangıç ve ξ Cov( ξ 0 Cov( Q ζ = = 0 Cov( ζ Cov( η = R varans-ovarans atrisleri ile bir lineer olaan duru-uza odeli olara ele alınabilir. Bu odel için uarıda düzenlenen İlerletiliş Kalan Filtresi ile indirgeeli tahin apılabilir. Bir lineer olaan duru-uza odeli olan bu odelde İlerletiliş Kalan Filtresinin endisi de ullanılabilir. Sonrai ısıda bununla ilgili bir ugulaa apılacatır. 3. Bir Yaın Ucuna Bağlı Bir Cisin Salınıı Hoo anununa göre bir aın uzunluğundai üçü değişiler için değişe itarı eti eden uvvetin büülüğü ile orantılıdır. Orantı atsaısına a sabiti denetedir. ütleli bir cisi bir ucu sabitleştiriliş düşe halde olan L uzunlulu bir aın diğer ucuna asılış ve Şeil 2. 4

7 Esin KÖKSAL, Levent ÖZBEK, Firi ÖZTÜRK a l adar uzaış olsun. Tecrübeleriizden bildiğiiz gibi cisi biraz çeilip bıraıldığında salını (titreşi apatadır. Çevredei orta (hava, su ile sürtüne ve cise zaan içinde eti eden uvvetler olabilir. t = 0 anında L l uzunluta olan a z 0 adar çeilip bıraıldığında salınıına başlaatadır. Salını çevre ile sürtüne ve dış uvvetlere bağlı olara deva etetedir. Sürtüne uvvetinin büülüğünün hız ile orantılı, ani Fs = sv.( t olduğu varsaılsın. Belli bir t anında cise eti eden uvvetler için, r r r r r F P F F F = s d azılabilir. P r cise eti eden erçeii uvveti, uvveti ve F r cise eti eden dış uvvettir. F r ile d F r aın cise eti ettiği uvvet, F r s sürtüne F r s uvvetlerinin önünün hareet önünün ters önünde olduğu göz önüne alınırsa, başlangıç notası asılı ütlenin bulunduğu nota ve önü ile doğrultusu erçeii uvveti ile anı olan bir z eseni üzerinde bu uvvetlerin büülüleri için, z ''( t = g ( l z( t sz '( t Fd ( t diferansiel denlei oluşturulabilir. F = P olduğu göz önüne alınırsa, z ''( t sz '( t z( t = F ( t z(0 = z0, z'(0 = v0 d odeline ulaşılır. Burada s orta ile ilgili sürtüne atsaısı, a sabiti, F r d cise eti eden dış uvvet, z 0 başlangıç anındai cisin onuu ve v 0 başlangıç anındai cisin hızının büülüğüdür. Diferansiel denle şelindei odel, s z''( t z'( t z( t = Fd ( t z(0 = z0, z'(0 = v0 ola üzere, ( t = z( t s s s 2( t = & ( t z( t = & ( t z( t = z'( t z( t değişen değiştiresi sonucu, s 0 ( t & = ( t F ( d t 0 zt ( = [ 0 ] t ( 0 (0 = s v0 z0 duru-uza odeli elde edilir (Özbe ve Öztür Bir sistele ilgili olara aacıız gözlenen çıtıa bağlı olara, sistein paraetreleri biliniorsa siste paraetrelerini belirlee, ugun girdii verere sistei ontrol ete, sistein gelecetei davranışını öngöre olabilir.yaa bağlı cisi ile ilgili, s sürtüne atsaısı bilinesin ve tahin edile istensin. MKS ölçü sisteinde, =, =, dış uvvet Fd ( t = 0, t 0 olsun. Cisin hareetini anlatan süreli zaan Duru-uza odeli, & ( t s ( t 2( t = 0 2( t & zt ( = ( t ola üzere, t = 0. için elde edilen esili zaan Duru-uza odeli, 5

8 İlerletiliş Kalan Filtresi ve Siste Belirlee Üzerine Bir Çalışa ( ( 0.s 0. ( = 2( 2( ( ( z ( = [0] 2 ( dır. s sürtüne atsaısı, üçüncü duru değişeni olara ele alınıp, duru değişenleri ve gözle değişeni için gürültülerin de söz onusu olduğu, ( 0. 3 ( 0. 0 ( 2( ( = w 3( 0 0 3( ( z ( = [ 0 0] 2 ( η, w N(0, Q, η N(0, R 3 ( odeli göz önüne alınsın. Bu odeldei duru denlei, duru değişenlerine göre lineer olaan bir denledir. Salınan ütlenin z ( onuunu gözleere sürtüne atsaısı İlerletiliş Kalan Filtresi ile tahin edilebilir. Duru-uza odeli, ( 0. 3( 0. ( 2( 0. 2( = w 3( 3( ( z ( = [ [ 0 ] 0] 2 ( η 3 ( biçiinde azılıp, sürtüne atsaısı uarıdai gibi düzenlenen İlerletiliş Kalan Filtresi ile de tahin edilebilir. Tahinleri değerlendire aacıla sürtüne atsaısının: a ( =, =,2,... 3 ( s =, zaan içinde sabit b 3 ( = 0. /0, =,2,... ( st ( = t /0, t 0, =,2,...,49 c 3( = 0.5, = 50,5,...,99 0.2, = 00,0,..., 0 t < 5 ( st ( = 0.5, 5 t< 0 0., 0 t duruları için siülason apılsın. Siste çıtısı olara gözlenen ( z değişeni, birinci duru değişeninin gürültü eleniş bir toplaıdır. Sistein bilineen paraetresi olan sürtüne atsaısı, odelde üçüncü duru değişeni olara er alış olup İlerletiliş Kalan Filtresi ile elde edilen tahinler: a için Şeil-3, b için Şeil-4, c için Şeil-5 dei gibidir. Şeillerdei ırızı çizgiler paraetrenin gerçe değerlerini, aviler İlerletiliş Kalan Filtresi ile elde edilen tahinleri ve siahlar İlerletiliş Kalan Filtresinin düzenlenesi ile elde edilen tahinleri gösteretedir. Grafilerden görüldüğü gibi siah çizgilerin, gerçe değerlere avilerden daha aın olduğu, ani paralel işleen ii algoritanın bir düzenleesi biçiinde olan İlerletiliş Kalan Filtresinden elde 6

9 Esin KÖKSAL, Levent ÖZBEK, Firi ÖZTÜRK edilen tahinlerin, standart İlerletiliş Kalan Filtresinden elde edilen tahinlerden daha ii olduğu sölenebilir. Şeil 3. Şeil 4. Şeil 5. 7

10 İlerletiliş Kalan Filtresi ve Siste Belirlee Üzerine Bir Çalışa Sonuç Uza araçları ve hareetli hedeflerin onuunu izlee ve ontrol ete gibi ugulaalar için geliştirilen duru-uza odelleri, fizisel, iasal, itisadi ve sosal süreçlerin odellenesi gibi pe ço ugulaa alanına sahiptir. Lineer duru-uza odellerinde indirgeeli bir tahin algoritası olan Kalan Filtresi, lineer filtre teorisinde ço öneli bir ere sahip olduğu gibi, lineer olaan duru-uza odellerinde de anı derecede önelidir. Lineer olaan odellerin ugun lineerleştireler sonucu, Kalan Filtresi için ugun hale getirililesi ve bunlar için geliştirilen İlerletiliş Kalan Filtreleri son onbeş ıldır üzerinde ço çalışılan onular haline geliştir. Bu çalışada, özel apıda olan bazı lineer olaan duru-uza odelleri ve özellile lineer duruuza odellerinde siste belirlee için ullanışlı olan İlerletiliş Kalan Filtresinin bir düzenleesi ele alınış ve standart İlerletiliş Kalan Filtresinden nispeten daha ii sonuçlar verdiği siülason ile görülüştür. Kanalar [] Bacchetta, P. and S. Gerlach (997, Consuption and Credit Constraints: International Evidence, Journal of Monetar Ecoics, October 997, 40(2: [2] Chen, G Approiate Kalan Filtering, World Scientific. [3] Chui, C. K. and Chen, G. 99. Kalan Filtering with Real-tie Applications, Springer Verlag. [4] Grewal,.S. and Andrews, A.P. (993, Kalan Filtering Theor and Practice, Prentice Hall. [5] Özbe, L and Efe, M., (2003. An Adaptive Etended Kalan Filter with Application to Copartent Models, Counication in Statistics-Siulation and Coputation, 3, [6] Özbe, L. ve Öztür, F. (2003. Lineer Olaan Kesili-Zaan Duru-Uza Modelleri ve İlerletiliş Kalan Filtresi Üzerine Bir Çalışa, VI. Ulusal Eoetri ve İstatisti Sepozuu, Maıs 2003,Gazi Üniversitesi, Anara. [7] Reif K. and Unbehauen, R. (999. ''The Etended Kalan Filter as an Eponential Observer for Nonlinear Sstes'', IEEE Trans. Signal Processing, 47(8: [8] Şenol, C., Kırışan, A., Özbe, L., Öztür, F. (2003, Etileşili İi Tür Canlı Topluluğu İçin Çoğala Modeli, 3.İstatisti Kongresi, 6-20 Nisan, Antala, Bildiriler Kitabı, Safa