TEZ ONAYI Mücahit MERAL tarafından hazırlanan Kuaterniyonlara Ait Matrisler İçin De Moivre ve Euler Formülleri adlı tez çalışması tarihinde
|
|
- Temel Balcan
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Mücahit MERAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır
2 TEZ ONAYI Mücahit MERAL tarafından hazırlanan Kuaterniyonlara Ait Matrisler İçin De Moivre ve Euler Formülleri adlı tez çalışması tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Jüri Üyeleri Başkan: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Yusuf YAYLI Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Erdoğan ESİN Gazi Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Orhan ATAKOL
3 Enstitü Müdürü
4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Mücahit MERAL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Bu tez yedi bölümden oluşmuştur. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, reel ve dual kuaterniyonlar tanıtılmış, kutupsal formdaki ifadeleri bulunmuş, bazı tanımlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, reel ve dual kuaterniyonlar için De-Moivre ve Euler formülleri ifade edilmiş, ispatlarına yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, reel ve dual kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için De-Moivre ve Euler formülleri ifade ve ispat edilmiştir. Beşinci bölümde, bu matrislerin kuvvetleri alınmış,. dereceden kökleri bulunmuş, kesirli üslerine ulaşmak için bir teknik verilmiştir. Altıncı bölümde, kuaterniyonlarla ilgili Maple da yazılmış bazı programlara ve örneklere yer verilmiştir. Yedinci bölümde, bu matrislerin kuvvetlerinin geometrik anlamlarına değinilmiştir. Kasım 2009, 65 sayfa Anahtar Kelimeler: Reel kuaterniyonlar, Dual Kuaterniyonlar, De-Moivre Formülü, Euler formülü. i
5 ABSTRACT Master Thesis DE-MOIVRE AND EULER FORMULAS FOR MATRICES OF QUATERNIONS Mücahit MERAL Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU This thesis consist of seven chapters. The first chapter is devoted to Introduction. In the second chapter, the real and dual quaternions were introduced, has found expression in polar form, some definitions are included.in the third chapter, De-Moivre and Euler formulas for real and dual quaternions are expressed and proven. In the fourth chapter, De-Moivre and Euler formulas for matrixes of real and dual quaternions are expressed and proven. In the fifth chapter, forces of these matrixes were taken and roots were calculated. A technique was given in order to get the rational forces. In the sixth chapter, some programs for forces which were about quaternions was written at Maple and some examples were given. In the seventh chapter, the geometric means of the forces of these matrixes were described. November 2009, 65 pages Key Words: Reel Quaternions, Dual Quaternions, De-Moivre s formula, Euler s formula. ii
6 TEŞEKKÜR Yalnızca bu çalışmada değil tüm yüksek lisans çalışmalarım boyunca beni sürekli yönlendiren, matematiğe, bilime bir bakış açısı kazandıran değerli hocam Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU na (Ankara Üniversitesi), verdiği ödevlerle bu çalışmanın kapılarını aralayan, sorduğu sorularla çalışmamı yönlendiren, her istediğimde bana zamanını ayıran değerli hocam Prof. Dr. Yusuf YAYLI ya (AnkaraÜniversitesi), bana Ankara da ağabeylik yapan, beni motive eden, bana inanan değerli hocam İsmail GÖK e (Ankara Üniversitesi) bana her zaman babalık yapan değerli hocam Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ ye (Ankara Üniversitesi), bana vakit ayıran ve bu teze önemli şeyler katan Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN (Uludağ Üniversitesi) ve Doç. Dr. Basri ÇELİK (Uludağ Üniversitesi) hocalarıma, değerli hocalarım Prof. Dr. Murat ALP (Niğde Üniversitesi) ve Doç. Dr. Elçin YUSUFOĞLU na (Dumlupınar Üniversitesi), benim hep yanımda olan aileme, bana her zaman inanan ve güvenen hayat arkadaşım Ayşe DURGUT a teşekkürlerimi bir borç bilirim. Mücahit MERAL Ankara, Kasım 2009 iii
7 İÇİNDEKİLER ÖZET.i ABSTRACT.ii TEŞEKKÜR iii ŞEKİLLER DİZİNİ vi 1. GİRİŞ REEL VE DUAL KUATERNİYONLAR Reel Kuaterniyonlar Reel kuaterniyonların kutupsal formu Dual Kuaterniyonlar Dual kuaterniyonların kutupsal formu KUATERNİYONLAR İÇİN DE-MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Reel Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü Reel Kuaterniyonlar için Euler Formülü Dual Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü Dual Kuaterniyonlar için Euler Formülü KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE-MOİVRE VE EULER FORMÜLLERİ Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü UYGULAMALAR Kuaterniyon Matrislerinde Üs Alma Üsler Arasındaki İlişki Kuaterniyon Matrislerinde Kök Bulma Kuaterniyon matrislerin. dereceden kökleri Kuaterniyon matrislerin karekökleri Kuaterniyon matrislerin küpkökleri..42 iv
8 5.4 Kuaterniyon Matrislerinin Rasyonel Üsleri MAPLE UYGULAMALARI Maple Yardımıyla Reel Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma Maple Yardımıyla Kök Bulma Maple Yardımıyla Matrisin Kesirli Üssünü Alma Maple Yardımıyla Dual Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma GEOMETRİK ANLAM Vektör Kuaterniyonların Çarpımı ve Geometrik Anlamı Dual Kuaterniyonlar, Dönme, Kaydırma, Vida Operatörleri Kuaterniyonun Üssünün Geometrik Anlamı...63 KAYNAKLAR..64 ÖZGEÇMİŞ v
9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 7.1 İki kuaterniyonun çarpımının geometrik anlamı..61 Şekil 7.2 Bir kuaterniyonun üssünün geometrik anlamı.63 vi
10 1. GİRİŞ Karmaşık sayılar 18. Yüzyılın başlarında çok araştırılan konuların başında geliyordu. William Rowan Hamilton karmaşık sayılardakine benzer çarpmayı öncelikle de üçlü sayıların çarpımında denemiş ama olumlu sonuç alamamıştı. Daha sonra de aynı deneme olumlu sonuç vermişti. Hamilton un 1843 de ulaştığı bu olumlu sonuçla dördeyler olarak ta bilinen kuaterniyonların doğduğunu söyleyebiliriz. Hamilton bu olumlu sonuca Dublin de kraliyet kanalında gezerken ulaşmış ve hemen o köprünün üzerine bulduğu sonuçları kazımıştır. Hamilton hayatının geriye kalan 22 yılında da kuaterniyonlarla ilgili önemli çalışmalar yapmıştır. Son yıllarında özellikle kuaterniyonların kullanım alanları ile ilgilenmiştir. Kuaterniyonlar teorisi sonraki yıllarda çok gelişmiş, dual ve split kuaterniyonlar türetilmiş ve bunlarla ilgili de birçok çalışma yapılmıştır. Halen ülkemizde lisans ve lisansüstü düzeyinde epeyi üniversitede kuaterniyonlar teorisi dersi okutulmakta ve bu konuda çalışan çok sayıda matematikçi bulunmaktadır. Kuaterniyonlardan türetilmiş olan Cayley sayılarını sekizliler olarak düşünebilirsiniz. Karmaşık Sayıları da ikilliler olarak düşünürsek Kuaterniyonlar, karmaşık sayılardan daha genel ama Cayley sayılarının da bir özel halidir. Kuaterniyonlar sol öteleme (sol çarpım) işlemiyle birlikte bir matrisle eşleştirilebilir. Bu matris 44 tipinde, elemanları reel sayılar olan bir karesel matristir. Diğer bir deyişle kuaterniyonlar cismi ile bu matrislerin oluşturduğu cisim arasında bire bir, örten ve homomorfizma olan bir dönüşüm tanımlanabilir. E. CHO, karmaşık sayılarda bilinen De-Moivre formülünün Kuaterniyonlar için de doğru olduğunu göstermiştir. YAYLI ve KABADAYI, De-Moivre formülünün dual kuaterniyonlar için de geçerli olduğunu bizlere göstermiştir. Bizde bu çalışmada De Moivre formülünün reel ve dual kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için de geçerli olduğunu gösterdik. Böylelikle bu matrislerin tüm tam sayı kuvvetlerine sorunsuzca ulaştık. Bu tür matrislerin kesirli üslerini bulmak içinse öncelikle. dereceden kökler 1
11 bulunmuş, bu kökler yardımıyla kesirli üsler alınmaya çalışılmıştır. Çalışmamızda ayrıca bu tür matrislerin kuvvetini alan, köklerini bulan ve dual kuaterniyon matrislerinin üslerini alan Maple programları yazılmış ve bu programlar sayesinde çözülmüş örneklere de yer verilmiştir. Matrislerin üsleri arasındaki ilişkiler de bu çalışmanın kapsamı içindedir. Son olarak çalışmamızda matrislerin kuvvetini almanın geometrik olarak ne anlama geldiğini tartıştık. 2
12 2. REEL VE DUAL KUATERNİYONLAR 2.1 Reel Kuaterniyonlar Bir reel kuaterniyonun cebirsel ifadesi,,, keyfi reel sayılar olmak üzere... (1) biçiminde ifade edilebilir. Burada, ve üç boyutlu vektör uzayında birim vektörlerdir... 1 (2) eşitliğini sağlar. ( 2 ) denklemlerinden hareketle..,.. (3) denklemleri elde edilebilir. (1) reel kuaterniyonunu reel kısmı, vektörel kısmı ve... (4) olmak üzere (5) şeklinde de ifade edebiliriz. nun eşleniği : (6) dir. Eğer 0 ise... (7) olur ki buna vektör kuaterniyon denir. Burada ise (8) dir. bir reel kuaterniyon olmak üzere nun normu : (9) 3
13 dir (Hacısalihoğlu 1983) Reel kuaterniyonların kutupsal formu (1) denklemi ile verilen reel kuaterniyonu. (10) biçiminde kutupsal formda ifade edilebilir. Burada, (11) özeliklerini sağlayan bir açısı ve birim vektörü,,,, (12) dir. Gerçekten de ,,. işlemleri ile sonuca ulaşabiliriz. Burada vektörünün birim vektör olduğunu (12) yardımıyla 4
14 1 olarak kolayca görebiliriz. 1 ise reel kuaterniyonu, reel birim kuaterniyon olarak adlandırılır. birim kuaterniyonu kutupsal formda, (13) olmak üzere. (14) biçiminde elde edilebilir. Gerçekten de..... dir. Burada birim vektörü için olduğu kolayca görülebilir (Ward 1997) Dual Kuaterniyonlar. 0, 0,, (15) cümlesine dual sayılar cümlesi denir. Bu cümle birimli, değişmeli bir halkadır. Bir dual kuaterniyonun cebirsel şekli,,, keyfi dual sayılar olmak üzere 5
15 ... (16) biçiminde ifade edilebilir. Burada, ve üç boyutlu vektör uzayında birim vektörlerdir. Bu vektörler için.. 1 (17) eşitlikleri sağlanır. (17) denklemlerinden hareketle..,.. (18) denklemleri elde edilebilir. (16) dual kuaterniyonu, skalar kısmı, vektörel kısmı ve... (19) olmak üzere (20) biçiminde de ifade edebiliriz. nun eşleniği : (21) dir. Eğer A 0 ise... (22) olur ki buna dual vektör kuaterniyon denir. Burada ise (23) dir. bir dual kuaterniyon olmak üzere nun normu : (24) dir (Hacısalihoğlu 1983). 6
16 2.2.1 Dual kuaterniyonların kutupsal formu ( 16 ) denklemi ile verilen dual Q kuaterniyonu. (25) olarak kutupsal formda ifade edilebilir. Burada, 26 özeliklerini sağlayan bir. (27) dual açısı ve bir birim vektörü,,,, 28 dir. Gerçekten de ,,. dir. Burada vektörünün birim vektör olduğunu ( 28 ) yardımıyla 7
17 1 olarak görebiliriz. 1 ise dual kuaterniyonu, dual birim kuaterniyon olarak adlandırılır. Q birim dual kuaterniyonu kutupsal formda, (29) olmak üzere. (30) biçiminde elde edilebilir. Gerçekten de dir. Burada birim vektörü için 1... dır (Yaylı ve Kabadayı 2009)
18 3. KUATERNİYONLAR İÇİN DE-MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ 3.1 Reel Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü Birim kuaterniyonların cümlesi ve birim vektör kuaterniyonların cümlesi olmak üzere 1 (31) 1, (32) olsun.. 1 ve 0 olduğundan herhangi bir için 1 olduğunu biliyoruz. Burada (. ) işlemi öklid iç çarpımını, ( ) işlemi kuaterniyon çarpımını ve ( ) işlemi de vektörel çarpımı gösterir (Cho 1998). Lemma olmak üzere... (33) dir (Cho 1998). İspat için 1 bilgisini de kullanarak elde edilebilir. Ayrıca burada.. (34).. (35) trigonometrik özdeşliklerini de kullandık (Cho 1998). 9
19 Teorem için. olmak üzere.. (36) dir (Cho 1998). İspat İspatı tümevarım yöntemiyle yapalım. negatif olmayan bir tamsayı olsun. 2 için teoremin doğruluğu Lemma i de kullanarak olarak gösterebiliriz... olduğunu varsayalım olduğunu gösterelim negatif bir tamsayı olsun..... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu (Cho 1998). 10
20 3.2 Reel Kuaterniyonlar için Euler Formülü için 1 dir. Bu bilgiden yola çıkarak, 1 olduğunu da görüp herhangi bir için 1 wθ θ 2! 3! 4! yazılabilir. Burada 1 θ 2! 4! 3! 5! ! 4! 38 3! 5! açılımlarını da kullandık (Cho 1998). 3.3 Dual Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü Birim dual kuaterniyonların cümlesi ve birim vektör dual kuaterniyonların cümlesi olmak üzere (39) 1, (40) olsun.. 1 ve 0 olduğundan herhangi bir için 1 olduğunu biliyoruz. Burada (. ) işlemi öklid iç çarpımını, ( ) işlemi kuaterniyon çarpımını ve ( ) işlemi de vektörel çarpımı gösterir (Yaylı ve Kabadayı 2009). 11
21 Lemma olmak üzere... (41) dir (Yaylı ve Kabadayı 2009). İspat ve. dual açılar olmak üzere dual değişkenli fonksiyonlar için... olacağını biliyoruz. Ayrıca için 1 bilgisini de kullanarak elde edilebilir. Burada.. (42).. (43) trigonometrik özdeşliklerini de kullandık (Yaylı ve Kabadayı 2009). Teorem için Q. olmak üzere dir... (44) İspat Burada. bir dual açıdır. İspatı tümevarım yöntemiyle yapalım. negatif olmayan bir tamsayı olsun. 2 için teoremin doğruluğunu Lemma i de kullanarak... 12
22 olarak gösterebiliriz... olduğunu varsayalım olduğunu gösterelim negatif bir tamsayı olsun..... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu (Yaylı ve Kabadayı 2009). 3.4 Dual Kuaterniyonlar için Euler Formülü için 1 dir. Bu bilgiden yola çıkarak, 1 olduğunu da görüp. için 1 w 2! 3! 4! 1 2! 4!. 3! 5! 13
23 yazılabilir. Burada ! 4! 46 3! 5! açılımlarını da kullandık (Yaylı ve Kabadayı 2009). 14
24 4. KUATERNİYONLARA KARŞILIK GELEN MATRİSLER İÇİN DE-MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ 4.1 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris bir reel kuaterniyon olsun. Sol çarpım fonksiyonunun. şeklinde tanımlayalım. 1,,, olmak üzere dönüşümü den e lineer bir dönüşümdür. Bu dönüşüm bir dönmeye karşılık geldiğinden kolayca gösterilebilir ki açıyı ve normu korur. (47). (48) ü geren vektörler şunlardır. 1 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1... ve 1 olsun
25 Böylece dönüşümünün matris temsili 49 dir. Açıkça; gösterilebilir ki bu matris ortogonaldir. Yani. ve 1 dir. Böylece 4, dir ki burada., de in dönmesine karşılık gelir. Kuaterniyon cebiri birleşmeli olduğundan matrislerde de aynı özelik sağlanır. Böylece dönüşümü, reel kuaterniyon uzayı ile bileşenleri reel sayılar olan 44 tipindeki matrisler uzayı arasında şu şekilde tanımlanabilir.,,.,,, Burada matrislerde toplama işlemi, matrislerde çarpma işlemidir (Ward 1997). 16
26 Teorem 4.1.1,,.,,,... Şeklinde tanımlanan dönüşümü bir izomorfizimdir (Ward 1997). İspat dönüşümünün izomorfizim olduğunu göstermek için 1-1, örten ve homomorfizma olduğunu göstermemiz gerekir. Öncelikle bu dönüşümün homomorfizma olduğunu yani aşağıdaki eşitlikleri sağladığını gösterelim. (52). (53), ve...,... olsun
27 . Burada olarak düşünüldü (Ward 1997). Şimdide 1-1 olduğunu gösterelim , 1,. Öyleyse,,, dir. O halde dir. Örten olduğunu gösterelim.,,,, (54),,,,, (55) 18
28 olmak üzere her, için olacak şekilde vardır. Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. matrisini kutupsal formda yazalım. birim kuaterniyon olsun ,.,.,.. Buradan (56).. şeklinde matrisinin kutupsal formdaki ifadesine ulaşabiliriz. 4.2 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü reel birim kuaterniyon, nun kutupsal formu. olmak üzere kuaterniyonuna karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülünü bulalım. Lemma olmak üzere. matrisi 19
29 . şeklindedir İspat olsun..... =... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. Teorem Her tamsayısı için matrisinin. kuvveti dir. Yani
30 İspat Pozitif tamsayılar için ispatı tümevarımla yapalım. 2 için ifadenin Lemma den doğruluğu kolayca görülebilir. için doğru olduğunu varsayıp için de doğruluğunu gösterelim
31 negatif bir tamsayı olsun olur ki bu da ispatı tamamlar. Teorem de verilen formülü biz reel kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülü olarak adlandırabiliriz. 4.3 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü bir matris olsun. Biz matrisini 22
32 0 0 (57) 0 0 seçelim. olduğu hemen görülebilir. Gerçekten de; = ! 3! 1 2! 4! 3! 5!. (58)
33 4.4 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris bir dual kuaterniyon olsun. Sol çarpım fonksiyonunu. olarak tanımlayalım. 1,,, olmak üzere dönüşümü den e lineer bir dönüşümdür. Bu dönüşüm bir dönmeye karşılık geldiğinden kolayca gösterilebilir ki açıyı ve normu korur. (59). (60) ü geren vektörler şunlardır. 1 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1... ve 1 olsun
34 Böylece dönüşümünün matris temsili 61 olarak ifade edilebilir. Açıkça; gösterilebilir ki bu matris ortogonaldir. Yani. ve 1 dir. Böylece 4, dir ki burada., de in dönmesine karşılık gelir. Kuaterniyon cebiri birleşmeli olduğundan matrislerde de aynı özelik sağlanır. Böylece dönüşümü, dual kuaterniyon uzayı ile bileşenleri dual sayılar olan 44 tipindeki matrisler uzayı arasında şu şekilde tanımlanabilir.,,.,,, Burada matrislerde toplama işlemi, matrislerde çarpma işlemidir. 25
35 Teorem :,,.,,,... Şeklinde tanımlanan dönüşümü bir izomorfizimdir. İspat dönüşümünün izomorfizim olduğunu göstermek için 1-1, örten ve homomorfizma olduğunu göstermemiz gerekir. Öncelikle bu dönüşümün homomorfizma olduğunu yani aşağıdaki eşitlikleri sağladığını gösterelim. (64). (65), ve...,... olsun
36 . Burada olarak düşünüldü. Şimdi de 1-1 olduğunu gösterelim...., 1,. Öyleyse,,, dir. O halde dir. Örten olduğunu gösterelim.,,,, (66),,,,, (67) 27
37 olmak üzere her, için olacak şekilde bir vardır. Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. matrisini kutupsal formda yazalım. birim kuaterniyon ve. dual açı olsun ,.,.,. Buradan (68). şeklinde matrisinin kutupsal formdaki ifadesine ulaşabiliriz. 4.5 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü dual birim kuaterniyon, nun kutupsal formu. olmak üzere kuaterniyonuna karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülünü bulalım. Lemma olmak üzere. matrisi 28
38 şeklindedir. İspat ve. dual açılar. olsun..... =.... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. Teorem Her tamsayısı için matrisinin. kuvveti dir. Yani
39 İspat dual açı olmak üzere pozitif tamsayılar için ispatı tümevarımla yapalım. 2 için Lemma den ifadenin doğruluğu kolayca olarak görülür. İfadenin için doğru olduğunu varsayıp için de doğruluğunu gösterelim
40 negatif bir tamsayı olsun olur ki bu da ispatı tamamlar. Teorem de verilen formülü biz dual kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülü olarak adlandırabiliriz. 4.6 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü bir matris olsun. Biz matrisini 31
41 0 0 (69) 0 0 seçelim. olduğu hemen görülebilir. Gerçekten de; = ! 3! 1 2! 4!. 3! 5!
42 5. UYGULAMALAR 5.1 Kuaterniyon Matrislerinde Üs Alma İncelediğimiz dönüşümlerin birbirleri ile olan ilişkisini aşağıdaki şema yardımıyla daha iyi görebiliriz. reel kuaterniyonunu matrisine çeviren dönüşümünü daha önce ifade ettik. Bu dönüşümün bir izomorfizim olduğunu yani yapıyı koruyan, bire bir, örten bir dönüşüm olduğunu Teorem de gösterdik. reel kuaterniyonunu matrisine çeviren dönüşümü de aynı dönüşümdür. Bir reel kuaterniyonunun. kuvveti i bulmayı CHO nun makalesinden biliyoruz. Bizim burada ilave olarak ortaya koyduğumuz şey ise matrisinin. kuvveti olan i bulmak için bir metot geliştirmektir. Aynı zamanda ( 70 ) eşitliğini göstermektir. matrisinin tüm tamsayılar için üssünü almak mümkündür. pozitif bir tamsayı olsun. matrisi öncelikle (56) yardımıyla kutupsal formda yazılır. Daha sonra Teorem yardımıyla kutupsal formdaki bu matrisin kuvveti alınır. Son olarak bu matrislerde işlemler yapılarak bulunur. negatif bir tamsayı olsun. 33
43 1 olduğunu biliyoruz. 0 olduğundan matrisinin tersi vardır. O halde gibi düşünmek üssü almak için yeterli olacaktır. Tahmin edileceği gibi bir matriste yukarıdaki işlemleri yapmak zahmetli bir iştir. Bu yüzden bu işlemleri yapacak bir program Maple yardımıyla yazılmış. Maple da çözülmüş çeşitli örnekler bu bölüme ilave edilmiştir. 5.2 Üsler Arasında İlişki Bir reel kuaterniyona karşılık gelen matrisin üsleri arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki teoremler ifade edilebilir. Teorem birim reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat olsun. O halde., dir olduğu için 2 dir.. Diğer taraftan olsun.. 34
44 . olmak üzere yazılabilir. Buradan 2,.. Teorem birim reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. kuaterniyonuna karşılık gelen matris olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat İspatı Teorem den kolayca görülür. Teorem reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat olsun. O halde., dir... 35
45 olduğu için 2 dir... Diğer taraftan olsun..... olmak üzere ve yazılabilir. Buradan 2,.. Teorem reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. ya karşılık gelen matris olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat İspatı Teorem den kolayca görülür. 36
46 Teorem bir birim reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 0, için olacak şekilde 0, aralığının içine düşen bir sayısı vardır ve tektir. İspat olsun.., olacak şekilde 0, aralığının içine düşen bir sayısı vardır ve tektir Teorem reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 0, için olacak şekilde 0, aralığının içine düşen bir sayısı vardır ve tektir. İspat Teorem den kolayca görülebilir. Özel Haller 1.) 1 ve olsun.. 37
47 olduğu için 2 dir... 2.) Buradan hemen yazılabilir. 3.) 1 ve olsun olduğu için 2 dir... 4.) Buradan hemen yazılabilir. 38
48 5.3 Kuaterniyon Matrislerinde Kök Bulma Kuaterniyon matrislerin. dereceden kökleri (1) ile verilen reel kuaterniyonun kutupsal formu (10) şeklindedir. Bu kuaterniyona karşılık gelen matrisin (49) şeklinde, bu matrisin kutupsal şeklinde yazılmış halinin de (56) şeklinde olduğunu biliyoruz. (56) daki matrisi daha genel halde olmak üzere şeklinde ifade etmiştik. denkleminin n tane kökü vardır. Bu denklemden elde edilir. O halde için ilk kök
49 1 için ikinci kök için. kök şeklinde ifade edilebilir. Teorem (56) ile verilen matrisinin. dereceden köklerinin ailesi olsun. : 1, olmak üzere,, ç dir. İspat olsun. 1 1 olarak bulunur. Eğer tek sayı ise 1 çift sayıdır. Öyleyse 1 40
50 1 dır. Eğer çift sayı ise 1 tek sayıdır. O halde 1 1 dır Kuaterniyon matrislerin karekökleri (56) daki matrisi daha genel halde olmak üzere şeklinde ifade edilebilir. denkleminin iki kökü vardır. Bu denklemden elde edilir. O halde için ilk kök 41
51 için ikinci kök Buradan hemen görülebilir ki 0 dır Kuaterniyon matrislerin küpkökleri (56) daki matrisi daha genel halde olmak üzere şeklinde ifade etmiştik. denkleminin üç kökü vardır. Bu denklemden elde edilir. O halde 42
52 için ilk kök için ikinci kök için üçüncü kök
53 5.4 Kuaterniyon Matrislerinin Rasyonel Üsleri Bölüm 5.1 de Bölüm 4.2 yardımıyla kuaterniyona karşılık gelen matrislerin tüm tamsayı üslerine ulaşmıştık. Bölüm 5.3 de ise bu tür matrislerin. dereceden kökleri verilmişti. Bu bölümde (49) matrisinin kesirli üslerini bu kökler yardımıyla nasıl alabileceğimizi gösterelim.,, olsun. (49) tipinde bir matris olmak üzere diye düşünerek matrisinin kesirli üslerini alabiliriz. matrisini Bölüm 5.1 den bulabiliriz. Bu matrisin. dereceden kökleri bize matrisini verecektir. ( matrisinin 4. dereceden kökleri) ( matrisinin karekökleri) 44
54 6. MAPLE UYGULAMALARI 6.1 Maple Yardımıyla Reel Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma Örnek reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris dır. Bu matrisin 5. kuvveti Maple yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplanır. > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=5; 45
55 > e:=cos(n*s); > f:=(b/n[m])*sin(n*s); > g:=(c/n[m])*sin(n*s); > h:=(d/n[m])*sin(n*s); > A:=matrix(4,4,[e,-f,-g,-h,f,e,-h,g,g,h,e,-f,h,-g,f,e]); > B:=evalf(evalm(((N[q]^(n))*A)),6); Aynı matrisin 4. üssüde > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; 46
56 > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=-4; > e:=cos(n*s); > f:=(b/n[m])*sin(n*s); > g:=(c/n[m])*sin(n*s); > h:=(d/n[m])*sin(n*s); > A:=matrix(4,4,[e,-f,-g,-h,f,e,-h,g,g,h,e,-f,h,-g,f,e]); 47
57 > B:=evalf(evalm(((N[q]^(n))*A)),6); Örnek reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 dir. Bu matrisin bazı üslerini alalım. olmak üzere 5 için 100 için 48
58 7 için Teorem den 3 olduğundan sonuçlarına da varabiliriz. 49
59 6.2 Maple Yardımıyla Kök Bulma Örnek reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris dır. Bu matrisin küp köklerini Maple yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=3; > e:=k->(n[q]^(1/n))*cos((s+2*k*pi)/n); > f:=k->(n[q]^(1/n))*(b/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); 50
60 > g:=k->(n[q]^(1/n))*(c/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > h:=k->(n[q]^(1/n))*(d/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > T:=i->evalf(matrix(4,4,[e(i),-f(i),-g(i),- h(i),f(i),e(i),-h(i),g(i),g(i),h(i),e(i),-f(i),h(i),- g(i),f(i),e(i)])); > i=0..n-1; > for i from 0 by 1 while i < n do T(i) end do; 51
61 Aynı matrisin 6. dereceden kökleri > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=6; > e:=k->(n[q]^(1/n))*cos((s+2*k*pi)/n); > f:=k->(n[q]^(1/n))*(b/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > g:=k->(n[q]^(1/n))*(c/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); 52
62 > h:=k->(n[q]^(1/n))*(d/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > T:=i->evalf(matrix(4,4,[e(i),-f(i),-g(i),- h(i),f(i),e(i),-h(i),g(i),g(i),h(i),e(i),-f(i),h(i),- g(i),f(i),e(i)])); > i=0..n-1; > for i from 0 by 1 while i < n do T(i) end do; 53
63 Örnek reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 dir. Bu matrisin karekökleri, yani : Küp kökleri, yani : 54
64 6.3 Maple Yardımıyla Matrisin Kesirli Üssünü Alma Örnek reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris dır. Bu matrisin -2/3. üssünü Maple yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); 55
65 > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=3; > l:=-2; > e:=k->(n[q]^(1/n))*cos((s+2*k*pi)/n); > f:=k->(n[q]^(1/n))*(b/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > g:=k->(n[q]^(1/n))*(c/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > h:=k->(n[q]^(1/n))*(d/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > T:=i->evalf(matrix(4,4,[e(i),-f(i),-g(i),-h(i),f(i),e(i),- h(i),g(i),g(i),h(i),e(i),-f(i),h(i),-g(i),f(i),e(i)])); 56
66 > i=0..n-1; > for i from 0 by 1 while i<n do T(i) end do; > for i from 0 by 1 while i<n do evalm(t(i)^l) end do; 57
67 6.4 Maple Yardımıyla Dual Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma Örnek dual kuaterniyonuna karşılık gelen matris olsun. matrisini bulunuz. > with(linalg): > a:=1; b:=2; c:=3; d:=4; e:=5; f:=6; g:=7; h:=8; > A:=matrix(8,8,[a,b,-c,-d,-e,-f,-g,-h,0,a,0,-c,0,-e,0,- g,c,d,a,b,-g,-h,e,f,0,c,0,a,0,-g,-0,e,e,f,g,h,a,b,-c,- d,0,e,0,g,0,a,0,-c,g,h,-e,-f,c,d,a,b,0,g,0,-e,0,c,0,a]); > B:=evalm(A^4); 58
68 7. GEOMETRİK ANLAM 7.1 Vektör Kuaterniyonların Çarpımı ve Geometrik Anlamı, yani iki birim vektör kuaterniyon olsun. O halde 1, 0, olduğunu görebiliriz olmak üzere ile nin kuaterniyon çarpımı :......, dir., 0 ise (İki vektör kuaterniyonun çarpımı, vektör kuaterniyondur.), 0 ise (İki vektör kuaterniyonun çarpımı, kuaterniyondur.) İç çarpım simetrik, vektörel çarpım anti simetrik olduğundan,, dır. Buradan,, 59
69 dir. olmak üzere,. dir. Burada dir..., bulunur. ( Hacısalihoğlu 1983 ) Sonuç ,,., olmak üzere nın anlamı bir vektör kuaterniyonunu kuaterniyonu ile çarpmak demek, vektörünü normali olan düzlem üzerinde kadar döndürmek demektir (Hacısalihoğlu 1983). 60
70 Şekil 7.1 İki kuaterniyonun çarpımının geometrik anlamı Birim kuaterniyonlar yardımıyla herhangi bir eksen etrafında dönme. de herhangi bir ekseni etrafında bir vektörünün kadar dönmesiyle elde edilsin. Eğer. olması durumunda dir. Matrislerde. 1. dir.,, birim dönme elemanı ve matris de dir (Hacısalihoğlu 1983). 61
71 7.2 Dual Kuaterniyonlar, Dönme, Kayma, Vida Operatörleri Dönme Operatörü: ve iki birim dual vektör kuaterniyonlar olsun. ve ye karşılık gelen doğrular sırası ile ve olsun. 0 ve ile arasındaki açı. olmak üzere 0 dır. ve birim dual vektör olmak üzere; olarak bulunur. Burada. operatörüne dönme operatörü denir. Kayma Operatörü: ile arasındaki açı. olmak üzere 0 olsun. Bu durumda ve ye karşılık gelen doğrular paraleldir., 0, 0 dır operatörüne kayma operatörü denir. Vida Operatörü: ile arasındaki açı. olmak üzere 0, 0 olsun. Bu durumda ve ye karşılık gelen doğrular kesişmeyen ve paralel olmayan doğrulardır. ve ye 62
72 karşılık gelen doğrular sırası ile ve olsun. ve doğrularının ortak dikme doğrusuna karşılık gelen ve ile sağ sistem oluşturan birim dual vektör olsun.. yazabiliriz.. birim dual kuaterniyonu ile bir birim dual vektörünü soldan çarpmak demek ya karşılık gelen doğruyu nin doğrultu ve yönünde nin dual kısmı kadar kaydırmak hemen ardından da etrafında nin reel kısmı kadar döndürmektir (Hacısalihoğlu 1983). 7.3 Kuaterniyonun Üssünün Geometrik Anlamı,, 1 1., olmak üzere nın anlamı bir vektör kuaterniyonunu kuaterniyonu ile çarpmak demek, vektörünü normali olan düzlem üzerinde 1 kadar döndürmek demektir. Şekil 7.2 Bir kuaterniyonun üssünün geometrik anlamı 63
73 KAYNAKLAR Cho, E De-Moivre s Formula for Quaternions, Appl. Math. Lett. Vol. 11 No. 6 pp.33-35, 1998 Elsevier Science Ltd., Great Britain Hacısalihoğlu, H. H Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi, Gazi Üniversitesi Fen-Fakültesi Yayınları Mat. No. 2. Hacısalihoğlu, H.H Vektör Uzaylarının Lineer Dönüşümleri ve Matrisler, Lineer Cebir, Ankara Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları, Ankara, I: 298 Kula, L. ve Yaylı, Y Dual Sayı Üçlülerinin Değişmeli Çarpımı, Dumlupınar Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 10. Sayı Kütahya Mayıs Ölmez, O. 2006Genelleştirilmiş Kuaterniyonlar ve Uygulamaları, Yüksek Lisans Tezi Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara Ward, J.P Quaternions and Cayley Numbers Algebra and Applications, Kluwer Academic Publishers,London, Yaylı, Y. and Kabadayı, H De Moivre s Formula For Dual Quaternions, (Yayına gönderildi) 64
74 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı Doğum Yeri : Mücahit MERAL : BURSA Doğum Tarihi : Medeni Hali Yabancı Dili : Bekar : İngilizce Eğitim Durumu ( Kurum ve Yıl ) Lisans : Dumlupınar Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü (2005) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı (Aralık 2009) Yayınları M. MERAL, A. ŞİMDİ, Lagrange İnterpolasyon Polinomu Yardımı ile Volterra Türü Lineer İntegro-Diferensiyel Denklemlerin Nümerik Çözümleri, XIX. Ulusal Matematik Sempozyumu, Ağustos 2006, KÜTAHYA 65
A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL
ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÇ.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıDUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ
DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ KİMLİK VE İLETİŞİM BİLGİLERİ Unvanı Adı Soyadı E posta Prof. Dr. Erhan ATA erhan.ata@dpu.edu.tr Telefon 507 7631676 Dumlupınar Ün. Evliya Çelebi Yerleşkesi
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıAFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI DOKTORA PROGRAMI
DOKTORA PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL ADI MAT-6501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-6601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL ADI MAT-6502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıDEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE
Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıCebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
DetaylıÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ
ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ DOÇ.DR. AYŞE FUNDA YALINIZ Adres : Dumlupınar Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Evliya Çelebi Yerleşkesi Tavşanlı Yolu 10.km. KÜTAHYA Telefon : 2742652031-3058
DetaylıSoyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI
Soyut Cebir Prof. Dr. Dursun TAŞCI Ankara 2007 674 ÖNSÖZ Bu kitap; Selçuk Üniversitesi ve Gazi Üniversitesinde uzun yıllar okutmuş olduğum Soyut Cebir ve Cebire Giriş ders notlarının düzenlenmesi ve daha
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
Detaylı13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
DetaylıAFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI
YÜKSEK LİSANS PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL MAT-5501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-5601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL MAT-5502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8
DetaylıMAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =
MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
DetaylıGenel Matematik (MATH 103) Ders Detayları
Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Matematik MATH 103 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i - Dersin Dili Dersin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI
T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:
DetaylıGenel Matematik (MATH 103) Ders Detayları
Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Matematik MATH 103 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i - Dersin Dili Dersin
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
Detaylı3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar
3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıSalim. Yüce LİNEER CEBİR
Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış
DetaylıKAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Detaylı10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız:
10. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 20, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Hakkında Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: Kök uzay ayrışımını g = h χ Φ g χ.
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
DetaylıPROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK
KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
Detaylı7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.
Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
Detaylı1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere
KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıNormal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıTİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET
TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
DetaylıDÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ
3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F
DetaylıModül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
Detaylıiçin doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.
11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
Detaylı4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.
LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak
DetaylıProjenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları
Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde
DetaylıFİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Ali MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR MAYIS - 01 T.C. AHİ
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 8 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylı2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
Detaylı3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.
0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
DetaylıDERS BİLGİ FORMU. Zorunlu Ders X. Haftalık Ders Saati Okul Eğitimi Süresi
DERSİN ADI BÖLÜM PROGRAM DÖNEMİ DERSİN DİLİ DERS KATEGORİSİ ÖN ŞARTLAR SÜRE VE DAĞILIMI KREDİ DERSİN AMACI ÖĞRENME ÇIKTILARI VE YETERLİKLER DERSİN İÇERİĞİ VE DAĞILIMI (MODÜLLER VE HAFTALARA GÖRE DAĞILIMI)
DetaylıGEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1
GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik
DetaylıBu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.
1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z
DetaylıBOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.
BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET
Detaylı