Sembolik gösterim matematiğin yarısıdır. Bertrand Russef

Transkript

1 MANTIK İnsanlık, tarihi boyunca doğru düşünmenin ve doğru sonuca ulaşmanın yol ve yöntemlerini araştırmıştır. Bu araştırmalar sonucunda farklı sistematik yaılar oluşmuştur. Oluşan sistematik yaıların başında klasik mantık adı ile bilinen ve Aristo tarafından ortaya atılı geliştirilen bir düşünme biçimi gelmektedir. Aristonun yaklaşık 500 sene önce işlediği konular günümüze kadar ulaşmış, ancak bir türlü tartışmalardan arındırılamamıştır. Fakat, gelişen bilim ve teknolojinin matematikle iç içe yaşama zorunluluğu tartışmalardan uzak ve sonuçları net bir matematiksel mantık örgüsünü gerektirmiştir. Bu örgünün farklı dil, din, ırk ve kültürlerdeki ayrılıklardan etkilenmemesi gerekmektedir. Çünkü bilim dili evrensel olmalıdır. İşte, 19. yüzyılın ortalarında, sonuçları tartışmasız, bilim ve teknoloji ile zıt düşmeyen ve matematiksel mantık veya sembolik mantık adı verilen modern mantık doğmuştur. MANTIK KLASİK MANTIK (Aristo Mantığı) SEMBOLİK MANTIK (Matematiksel Mantık) Önermeler Mantığı Niceleyiciler Mantığı Sembolik mantık aynı zamanda modern matematiğin dili olmuştur. Bu sayede matematiksel ifadeler ve matematiksel düşünme biçimleri daha sistematik bir seviyeye ulaşmıştır. Evrensel bir geçerliliğe sahi olan bu dil sayesinde bilgisayar, elektrik ve elektronik mühendislikleri gelişmiştir. İçinde bulunduğumuz yüzyılda bilim ve teknikte çok büyük gelişmeler olmaktadır. Her biri mantıki düşünmenin birer ürünü olan eserler çevremizi sarmakta, onlarla olan ilişkilerimiz sürekli olarak artmaktadır. Örneğin, mantıki kurallara dayalı olarak yaılan çeşitli bilgisayarlar, bugün insan hayatının vazgeçilmez araçları olmuşlardır. Bu araçlar sayesinde Ay a ulaşan insan yine bu araçlarla uzayın sırlarını çözmeye uğraşmaktadır. Bu uğraşlar sonucu, birçok yeni buluşlar elde edilmekte ve bunlar insanlığın hizmetine sunulmaktadır. Gerçekten, zamanımızda her bilim dalı ile ilgili bilgiler hızla çoğalmakta ve bunların sistemli bir biçimde öğretilmesi ve öğrenilmesi zorunlu olmaktadır. Biz bu kitata, evrensel bir dil olan matematiğin lise düzeyinde kullanacağımız sembollerini ve düşünme yöntemlerini "Sembolik Mantık" başlığı altında ele alacağız. Sembolik gösterim matematiğin yarısıdır. Bertrand Russef Matematik bize mantıklı (doğru ve sistemli) düşünebilme alışkanlığı kazandırmak ister. Bugün, çok büyük boyutlar kazanmış olan matematiğin temeli mantığa dayanmaktadır. Mantık kuralları uygulanmadan matematik öğretilmez ve öğrenilemez. Mantık, matematiğin dilini kurar, ona anlam ve biçim kazandırır. 1

2 Bir sözlük herhangi bir kelimeyi diğer kelimeler yardımıyla tanıtır. Bu işleme kelimeyi tanımlamak adı verilir. Matematikte bir tanım yaabilmek için günlük konuşma dilinde olan veya olmayan bir çok kelime kullanırız. Burada, kullanacağımız temel kelimelerin anlamlarını öğreneceğiz. Terim Konuşma dilinden ayrı olarak bir bilim dalı içerisinde özel anlamları olan sözcüklere o bilim dalının bir terimi denir. Örneğin, daire, kü sözcüklerinin matematiksel anlamı, konuşma dilindeki anlamlarından farklıdır. Herhangi bir terimi tanımlayabilmek için, daha önce tanımlanmış olan terimlerden yararlanılır. Ancak her terimi tanımlamak mümkün değildir. Bazı terimleri tanımsız olarak almak zorundayız. Mantık konusunda doğru, yanlış, değişken, eşit terimlerini tanımsız olarak alacağız. Mantık Örneğin, hücre, omurga, atardamar, biyolojinin; hız, ivme, ışın, fiziğin; asit, baz, karbon, kimyanın; daire, küme, olinom ise matematiğin terimleridir. Matematiğin birçok terimini, kendinden önce tanımlanmış veya kabul edilmiş matematiksel terimler yardımıyla tanımlayabiliriz. Örneğin matematiğin bir terimi olan çember; "Düzlemin bir noktasına eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir." şeklinde tanımlanır. Bu tanımın içerdiği "düzlem", "nokta", "eşit", "uzaklık", "küme" terimleri matematiğin önceden tanımladığı terimlerdir. Bu yaı içerisinde, doğru bir akıl yürütme zinciri ile şu mantıksal çıkarımı elde ederiz; bir terimin tanımını yamak için daha önceden tanımlanması gereken temel terimlerin olması şarttır. Bu durumda, bilimde yada günlük hayatta kullandığımız terimlerin bir çeşit tanımlanma sırasından bahsedebiliriz. Bu tanımlama sırasının ilk basamağında ilkel terimler yada tanımsız terimler bulunur. Tanımsız terimler, genellikle, sezgiseldir. Örneğin, "nokta" bir tanımsız terimdir. Noktayı düzlemde veya uzayda kabul ederek birçok terimi tanımlayabiliriz. Benzer şekilde, "küme" de matematiğin tanımsız terimlerinden biridir. Matematiğin tanımsız terimleri arasında "doğru", "yanlış", "düzlem", "eleman" ve "değişken"i de sayabiliriz. Aşağıdaki terimlerden hangilerinin tanımlı, hangilerinin tanımsız terim olduğunu söyleyiniz. Rakam, sayı, vektör, koordinat sistemi, uzay MANTIK sayesinde, doğru ve sistemli düşünmenin kurallarını öğreniriz. Mantık sözcüğü, Araça söylemek, demek, konuşmak, dile getirmek anlamına gelen "nutk" (nutuk) kökünden türemiştir. Mantık sözcüğünün Batı dilelrindeki tüm karşılıkları Yunanca "fogos" sözcüğünden gelir (Alm : logik, Fr : logiue, İng : logic, Latin : logica). "Logos" ise akıl, düşünme, yasa, düzen, ilke, söz vb. anlamlarını içerir. Mantıkta cümleler yanlış yada doğru olarak nitelendirilebilen ve birer hüküm bildiren bir yaıda olmalıdır. Zira cümlenin doğru yada yanlış olarak nitelendirilebilmesi, ancak yaısında bir hüküm bulunması ile ilgilidir. Önerme Doğru yada yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.

3 Doğru olan bir önerme her zaman, her yerde ve herkes için doğru olmalıdır. Yanlış olan bir önerme için de durum aynıdır. Sembolik mantık sadece bu tür cümleleri inceler. Aşağıda verilen cümleleri dikkatlice okuyunuz. Bu cümlelerden bazıları için doğru, bazıları için yanlış hükmünü verebiliriz. i. Bir yıl 1 aydır. (Doğru) ii. Bazı hayvanlar dört bacaklıdır. (... ) iii. 3 = 5 ( ) iv < 13 ( Yanlış ) v. İyi geceler (.) vi. Dikkat et! (.) vii. Bu sınıfta kaç kişi var? (..) Önerme tanımına göre, yukarıdaki cümlelerden i, ii, iii, iv birer önerme belirtir. Çünkü bu cümleler doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildirmektedirler, v, vi, vii cümleleri önerme değildir. Neden? Burada i, ii, iii önermeleri doğru, iv ise yanlış bir önermedir. Örneğin "x < 5" cümlesi önerme değildir. Çünkü "x" değişkeni yerine 7 yazarsak doğru, 3 yazarsak yanlış bir cümle oluyor. Ancak, "Bazı x gerçek sayıları için, x < 5 tir." ifadesi bir önermedir. Herhangi bir cümle içindeki değişkenlerin önüne "her" veya "bazı" ifadelerini ekleyerek o cümleyi önerme yaabiliriz. Doğru yada yanlış olan ifadeler mutlaka birer büküm belirtir. Hüküm bildirmeyen ifadeler; soru, emir, dilek ve ünlem cümleleridir. Örneğin, "Keşke okullar tatil olsa!" cümlesi kesin bir düküm belirtmez. Zira, bu cümle ne doğru, ne de yanlıştır. Matematikte önermeler genellikle,, r, s,... gibi harflerle gösterilirler. Bir önermenin doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmesi gerektiğini öğrenmiştik. Herhangi bir önermesi doğru iken (kısaca) D veya 1, yanlış iken Y veya 0 biçiminde ifade edilir. Burada 1 veya 0 in sayı değeri yoktur. 1 ile 0 önermenin doğru veya yanlış olduğunu gösteren birer semboldürler. ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelerin önerme olu olmadıklarını belirtiniz bir çift sayıdır = 9 3. Pazar günü okul tatildir. 4. Güle, güle 5. Ders çalışalım. 6. Bugün hava yağmurludur Tanım Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu Bir önermenin hükmünün doğru ya da yanlış olduğunu ifade eden 1 ve 0 sembollerine o önermenin doğruluk değerleri; doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya da doğruluk tablosu denir. Yukarıdaki tanıma göre bir önermesinin doğruluk değerleri yandaki tablolardan biriyle gösterilir. 3

4 George Boofe ( ): Mantık alanındaki çalışmaları ile tanınmış ünlü Bir matematikçidir. Formal okul eğitimi yetersiz olmasına rağmen, analiz, diferansiyel denklemler, cebir ve olasılık teorisi ile ilgili önemli çalışmaları vardır. Kraliyet akademisi üyeliğine seçilmiştir. Mantıktaki Bağlaçlar, kümelerde tümleme, kesişim ve Birleşim ile ilgili çalışmaları vardır. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini (1 veya 0 sembollerini kullanarak) tablodaki yerlerine yazınız. Sembol Önerme Doğruluk değeri = 0 1 r Edirne Asya Kıtasındadır. 0 r s t 3 5 m n Galatasaray 000 yılında UEFA kuasını kazandı. Bazı insanların boyu 170cm nin üzerindedir. Her eşkenar üçgen aynı zamanda bir ikizkenar üçgendir. 5 çift sayıdır. ve ile gösterilen herhangi iki önermeyi göz önüne alalım, doğru iken, doğru ya da yanlış olabilir. Benzer şekilde, yanlış iken, doğru ya da yanlış olabilir. Buna göre ile önermelerinin doğruluk değerlerinin -birbirlerine göre- alabilecekleri farklı durumlar aşağıda verilen doğruluk tablosunda gösterildiği şekilde olacaktır. Tablodan, ve gibi iki önermenin doğruluk değerlerinin 4( = ) farklı sıralamasının olduğu görülmektedir.,, r ile gösterilen üç önermenin doğruluk değerlerinin 3 birbirine göre alabileceği 8( = ) farklı sıralama yandaki doğruluk tablosunda verilmiştir. Siz de,, r, s gibi dört önermenin doğruluk değerlerinin sıralamasını gösteren bir tablo yaınız. Not : Bir önerme için 1, iki önerme için, üç önerme için 3 tane doğruluk değeri vardır. Öyleyse dört önerme için 4, beş önerme için 5,..., n önerme için n tane doğruluk değeri vardır. Denk Önermeler Tanım : Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler veya eşdeğer önermeler denir. ve önermelerinin birbirine denk olması = şeklinde gösterilir ve " önermesi önermesine denktir." diye okunur. İki önerme denk değilse gösterimi kullanılır. 4

5 Örnek : Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulalım. Bu önermelerden birbirine denk olanları ", denk olmayanları ise sembolünü kullanarak gösterelim. : "En küçük asal sayı dir." : "En büyük negatif tam sayı -1 dir." r: "70 tek basamaklı bir sayıdır." s: "En büyük doğal sayı 9 dur." Çözüm : Verilen önermeler için 1, 1, r 0, s 0 olduğuna göre,, r s, r, s yazabiliriz. Bir Önermenin Olumsuzu ( Değili ) Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye bu önermenin değili (olumsuzu) denir. Bir önermesinin değili, ~ ya da _ sembollerinden birisi ile gösterilir ve nin değili diye okunur. Tanıma göre; : "Ahmet esmerdir." önermesinin değili : "Ahmet esmer değildir." şeklinde ifade edilebilir. Burada, önermesinin sonuna "değil" kelimesi getirilmiştir. Ahmetin esmer olmadığını "Ahmet sarışındır." veya "Ahmet kumraldır." gibi önermelerle ifade etmek, önermesinin değilini almak için yeterli değildir. : "Fenerbahçe, Galatasarayı yendi." önermesinin değili : "Fenerbahçe, Galatasarayı yenmedi." dir, yani "Fenerbahçe Galatasarayla berabere kaldı veya yenildi." demektir. Herhangi bir önermenin değilinin doğruluk değerini belirlemek için, bu önermenin doğruluk değerini bilmek yeterlidir. Çünkü, herhangi bir önermesi doğru ise yanlış ve yanlış ise doğrudur. Verilen s :" + 3 = 6", t :"7 4 ", v :"5 + 8 < 15" önermelerini değilleyelim; s :" + 3 6", t :"7 4 = ", v :" " bu önermelerin doğruluk değerleri; s 0, t 1, v 1, s 1, t 0, v 0 olur. Örnek : : " çift sayıdır." önermesinin değilini ve değilinin değili-ni bularak doğruluk değerlerini karşılaştıralım. : " çift sayıdır." önermesinin değili; : " çift sayı değildir.", değilinin değili ise; (): " çift sayıdır." önermeleridir, önermesinin doğruluk değeri 1 dir. Bu durumda; 1, 0, ( ) 1olduğu görülür. 5

6 Örnek : Çözüm : Aşağıdaki önermelerin değillerini bulunuz. :" Sınıftaki bütün öğrenciler çalışkandır." :" Herkesbazenbirilerineiyilik yaar." r :" Bazıkuşlar uçamaz." ( Her... yaar ) ( Bazı... yaamaz) ( Bazı... yaar) ( Her... yamaz. ) olduğundan :" Sınıftaki bazıöğrenciler çalışkan değildir." :" Bazıları bazen birilerine iyilik yamaz." veya " Bazıları asla kimseyeiyilik yamaz." r :" Bütün kuşlar uçar." Açık Önerme İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerler için doğru ya da yanlış önermeye dönüşen ifadelere açık önerme denir. x değişken ise açık önerme (x) veya x ile gösterilir. Örneğin; ( x) :" xuçan hayvandır." bir açık önermedir. Burada ( kuş) 1, ( kalan) 0 yazabiliriz. Ayrıca; ( x) :" x N,x + 1 > 5" ise ( 0) 0, ( 1) 0 ve ( 3) 1, ( 5) 1 olarak bulunur. Bir açık önermesi birden fazla değişkene bağlı olabilir.; x, y :" x, y Z, x + y 5" önermesi iki değişkenli açık önermelerdir. ( ) Alıştırmalar 1. Aşağıdaki bilim dalları ile ilgili dört terim yazınız. a. Bilgisayar b. Fizik c. Kimya d. Biyoloji. Aşağıdaki terimlerden tanımlı ve tanımsız olanları belirtiniz. a. Rakam b. Üçgen c. Nokta d. Asal sayı e. Küme f. Parabol 3. Aşağıdaki cümlelerin önerme olu olmadığını belirtiniz. a. 8 Aralık 1971 de günlerden Cuma idi. b. Bütün insanlar beyaz değildir. c. İyi sabahlar! d. O, çok güzel tenis oynuyor. e. 8 asal sayıdır. 6

7 f. 4 1 = 15 g. Gelmek ister misin? h. Yürümeye devam edelim. i. O, benden uzundur. j. x > 5 k. x < eşitsizliğini sağlayan en az bir x doğal sayısı vardır. l. Her x ve y reel sayıları için, x + y = y + x dir. 4. :"1 < 7" :" Turgut özal 8. cumhurbaşkanıidi." r :"1m = 10 cm" t :" + 3 = 4 " önermeleri için aşağıdaki denkliklerin hangileri doğrudur? a. b. r c. r d. t e. t f. r t 5. Dört ve beş önermenin doğruluk değerleri için ayrı ayrı doğruluk değer tablolarını yaınız. 6. Aşağıdaki ifadelerin değillerini yazınız. a. x < 45 b. x 4 c. 5 büyüktür 3 ten. d. Bazıları sütü sıcak sever. e. Her kuşun eti yenmez. f. En küçük doğal sayı sıfırdır. 7. Aşağıdaki önermelerden denk olanları belirtiniz. ( ) a :" Herhangi bir x reel sayısıiçin, x + 3 = x + 6x + 9 dur." b Herhangi bir x reel sayısı için x dır :", > 0." c :" Hiçbir x reel sayısı için, x 4 < 0 dır." d Herhangi bir x reel sayısı için x x dir :", =." 8. : Bazı insanlar dürüst değildir. Önermesini doğru kabul ederek aşağıdaki önermelerin her birinin doğruluk değerlerini yazınız. a : Bütün insanlar dürüsttür. b : Bütün insanların dürüst olduğu doğru değildir. c : Bazı insanların dürüst olmadığı doğrudur. d : Bütün insanların dürüst olduğu yanlış değildir. 7

8 9. ( a) :" a + 1 0" ( ) b :" b b = 1" ( ) r a, b :"a b < 10" açık önermelerine göre tablodaki boş yerleri doldurunuz. a b ( a ) ( b ) r ( a, b ) i. Temel Kavramlar BİLEŞİK ÖNERMELER Günlük hayatta kullandığımız veya, ve, ise gibi bağlaç sözcükler yardımıyla, verilen önermelerden yeni önermeler oluştururuz. Bu önermeler bileşik önermelerdir. Bu yeni önermelerin doğruluk değerleri, kendilerini oluşturan basit önermelerin doğruluk değerleri tarafından belirlenir. Mantıksal Bağlaç Tanım : Önermeleri birbirine bağlayan "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi terimlere mantıksal bağlaç denir. Bağlaçlarla birleştirilerek oluşturulan bileşik cümleler de doğru veya yanlış bir hüküm bildireceğinden, birer önermedirler. Tanım : Bileşik Önerme Birden çok önermenin "veya", "ve", "ise", "ancak ve ancak*" gibi bağlaçlarla bağlanmasından elde edilen yeni önermelere bileşik önermeler denir. Bu bağlaçlarla birbirine bağlanan önermelere bileşik önermenin "bileşenleri" denir "Önermeler mantığı" basit önermelerden bileşik önermeler elde edilmesini inceler. Bu yaıda basit önermelerin iç yaısını incelemez. Basit önermelerin incelenmesi "niceleyiciler mantığının" konusudur. ii. Bağlaçların Kullanılışı ve Önermelerle İşlemler Bu bölümde "veya", "ve", "ise", "ancak ve ancak" bağlaçlarını ve bu bağlaçları kullanarak bileşik önermeler oluşturmayı öğreneceğiz. Veya Bağlacı Günlük konuşma dili aslında iki yada daha fazla basit önermenin "veya", "ve" bağlaçlarıyla birleştirilmesinden oluşan bileşik önermelerle doludur. Örneğin; 8

9 "Salih evdedir." ile "Ömer okuldadır." basit önermelerinden "Salih evdedir veya Ömer okuldadır." bileşik önermesi yazılır. Uyarı : Dilbilgisi kurallarına göre "ve" ile "veya" birer bağlaçtır. Fakat dilbilgisinde "ise" ile "ancak ve ancak" birer bağlaç değildir. Biz burada "bağlaç" terimini matematiksel olarak düşüneceğiz. Bu bileşik önermenin iki basit önermeden oluştuğu açıktır. Dikkat edilirse, bu bileşik önermenin doğru olabilmesi için, bu önermenin bileşenleri olan "Salih evdedir." ile "Ömer okuldadır." önermelerinden en az birinin doğru olması gerekir. "Salih evdedir veya Ömer okuldadır." bileşik önermesinin yanlış olması ancak bileşenlerinin her ikisinin birden yanlış olmasıyla mümkündür. Tanım : ve herhangi iki önerme olmak üzere, bu iki önermeden, en az biri doğru (1) iken doğru, her ikisi de yanlış (0) iken yanlış olan önermeye veya bileşik önermesi denir ve v şeklinde gösterilir. Tanıma göre nun doğruluk tablosu aşağıda iki farklı şekilde verilmiştir. İnceleyiniz. Örnek : Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini boşluklara yazınız. a. 3 + = 5 veya 4 - =. (11 1) b. 4 < 8 veya Türkiye Afrika kıtasındadır. ( ) c. Ceviz yalnızca Hindistanda yetişir veya kar beyazdır. ( ) d. Kediler üç ayaklıdır veya dünya rizma şeklindedir. (.) Teorem : İsat, ve r önermeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır. i. ( nin tek kuvvet özelliği ) ii. ( nin değişme özelliği ) iii. ( r) ( ) r ( nin birleşme özelliği ) iv. 1 1 ve 0 Aşağıda verilen tabloları inceleyiniz. 9

10 Önermelerin doğruluk değerleri bulurken doğruluk tablosu oluşturmak, sıkça Başvurulan ratik bir yoldur. Önermeler ile ilgili Birçok teorem, doğruluk tablosu yardımıyla isatlanabilir. Ve Bağlacı "Salih evdedir." ile "Ömer okuldadır." basit önermelerini "ve" sözcüğüyle birleştirerek elde edilen "Salih evdedir ve Ömer okuldadır." bileşik önermesini inceleyelim. Dikkat edilirse, bu bileşik önermenin doğru olabilmesi için önermenin bileşenlerinin her ikisinin de doğru olması gerekir, önermenin yanlış olması için ise, bileşenlerden en az birinin yanlış olması yeterlidir. Tanım : ve herhangi iki önerme olmak üzere, bu iki önermenin her ikisinin de doğru (1) olduğu durumda doğru, en az birinin yanlış (0) olduğu durumda yanlış olan önermeye ve bileşik önermesi denir ve şeklinde gösterilir Tablodan olduğu görülmektedir. Boşlukları uygun kelimeler ile doldurunuz. a. Sınıfımızda.. öğrenci vardır ve <3 ( 1) b. 3+7=10 ve Mısır ın başkenti. dir. ( 0) c. Benim boyum..cm dir ve ( 3) = 9 n ( 0) n N için 1 = 1 ve annemin ismi d. ( ) n Teorem :, ve r önermeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır. i. ( nin tek kuvvet özelliği ) ii. ( nin değişme özelliği ) iii. ( ) r ( r) ( nin birleşme özelliği ) iv. 1 ve

11 İsat Aşağıda verilen tabloları inceleyiniz. r r ( r) ( ) r " " ve " " mantıksal bağlaçlarının birleşme özelliği olduğu için, ilk iki önerme veya son iki önerme, arantezler kullanılarak grulandırılabilir. Ayrıca, arantezleri tamamen kaldırmakta mümkündür. Örnek : Çözüm : gelir. ( r) ( ) r r ( r) ( ) r r { ( 1 0) 1 0} { 1 0} bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Önermede sadece ler olduğu için bir tane bile sıfır bile sonucun sıfır olduğu anlamına Augustus De Morgan ( ) Mantık, analiz ve olasılık teorileri ile ilgili çalışmaları olan ünlü Fransız matematikçisi Londra Üniversitesi matematik bölümünde rofesör ve Matematik Kulübünün ilk Başkanıdır. Cebir, sembolik mantık ve klasik Aristo mantığı ile felsefe üzerine çalışmaları olmuştur. 11

12 Örnek : Yandaki şekil "VE-VEYA" oyununu göstermektedir. Oyunu kazanmak için, belirlenen 1 farklı yere 6 inon tounu öyle bir sıra ile yerleştiriniz ki bu altı totan yalnızca birisi en alttaki kutuya düşsün. VE kaısından bir toun geçebilmesi için iki toun beraber o kutuya düşmesi gerekir. VEYA kaısından bir toun geçebilmesi içinse, tolardan en az birinin kutu içine düşmesi yeterlidir. Altı toun hesini birden, sadece bir tanesi en aşağıya ulaşacak şekilde yerleştiriniz. Çözüm : Toları 1,,4, 5, 8 ve 1 nolu girişlere bıraktığımızda en alttaki kutuya yalnızca bir to düşer. Niçin? (Başlangıç ile bitiş arasındaki rotayı taki ederek inceleyiniz.) ve İşlemlerinin Birbiri üzerine Dağılma Özeliği İlköğretimde, çarmanın tolama ve çıkarma işlemleri üzerine (sağdan ve soldan) dağılma özeliklerini görmüştük. Şimdi de benzer şekilde, " " işleminin " " işlemi üzerine, ve " " işleminin " " işlemi üzerine, sağdan ve soldan dağılma özelikleri üzerinde duracağız. Teorem :, ve r herhangi üç önerme olmak üzere aşağıdaki denklikler sağlanır. i. nin üzerine dağılma özeliği ( r) ( ) ( r) ( ) r ( r) ( r) iii. nin üzerine dağılma özeliği ( r) ( ) ( r) ( ) r ( ) ( r) 1

13 İsat : Burada yalnızca r r kısmını ( ) ( ) ( ) isatlayacağız. Geri kalanları gösteren doğruluk tablolarını yaınız. Örnek : x : Kıbrıs Akdeniz dedir. y : 7! = 5040 z : 105 beş basamaklı bir sayıdır. Yukarıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. x ( y z) ( x y ) b. ( y z) ( x y) c. ( x y z) ( x x) ( y z) HANGİ KAPI?.. Bir mahkumun iki kaıdan birini tercih etmesi gerekmektedir. Birinin arkasında özgürlük ve hürriyet, diğerinin arkasında kendisini bekleyen vahşi bir kalanın olduğu iki kaı... Her iki kaının üzerinde de bir not vardır. Mahkum bu notlardan sadece birinin doğru olduğunu bilmektedir. 1. Kaının üzerindeki not: BU KAPININ ARKASINDA BİR ANAHTAR VARDIR. DİĞER KAPININ ARKASINDA İSE VAHŞİ BİR KAPLAN VARDIR.. Kaının üzerindeki not: BU KAPILARDAN BİRİSİNİN ARKASINDA BİR ANAHTAR VARDIR. DİĞERİNİN ARKASINDA İSE VAHŞİ BİR KAPLAN VARDIR. Bu bilgileri kullanarak, mahkum doğru kaıyı bulabilir mi? Ne dersiniz? DOĞRU KAPI... Anahtar. kaının arkasındadır. Zira, 1. kaının üzerindeki not doğru ise,.kaının üzerindeki not da ayrıca doğru olmalıdır ki, bu imkânsızdır. O hâlde. kaının üzerindeki not doğru olur. Dolayısıyla, ilk kaıdaki not yanlıştır. 1. kaının üzerindeki not yanlış ise anahtar. kaının arkasındadır. 13

14 İse Bağlacı : İse bağlacının matematiksel anlamını daha iyi anlayabilmek için aşağıda verilen önermeleri dikkatlice okuyunuz. "Hava yağışlı ise yerler ıslaktır."... (I) "Ahmet şişman, Mehmet ise çok zayıftır."... (II) (I) numaralı önerme "Hava yağışlıdır" ve "yerler ıslaktır" basit önermelerinin "ise" bağlacıyla birbirlerine bağlanmasından elde edilen bir bileşik önermedir. Bu bileşik önermede "ise", "şart bağlacı" olarak kullanılmıştır. (II) numaralı önermede "ise" kelimesi bağlaç olarak değilde "edat" olarak kullanılmıştır. Biz bu konuda "ise" yi (I) numaralı önermedeki anlamıyla kullanacağız. Bu yüzden matematikte "ise" bağlacına "şart bağlacı" adını verebiliriz. "İse" bağlacıyla birbirine bağlanarak oluşturulan bileşik önermelere de "şartlı önerme" diyeceğiz. Şartlı Önerme Tanım : ve herhangi İki önerme olmak üzere, doğru, yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan önermeye, ise bileşik önermesi veya şartlı önerme denir ve => şeklinde gösterilir. Tanıma göre, nun doğruluk tablosu aşağıda verilmiştir. İnceleyiniz Örneğin : Yağmur yağmaz ise dışarı çıkacağız. Örneğinde önermesi yağmurun yağmaması, önermesi ise dışarı çıkmak olsun. Bu dört farklı durum aşağıdaki gibi olacaktır; 1. Yağmur yağmaz ve dışarı çıkarsak sözümüzü tutmuş oluruz yani önerme doğru olur.. Yağmurun yağmamasına rağmen dışarı çıkmaz isek sözümüzü tutmamış oluruz. Yani önerme yanlış olur. 3. Yağmurun yağmasına rağmen dışarı çıkarsak, sözümüzü tutmuş oluruz. Önerme doğru olur. 4. Yağmur yağar iken dışarı çıkmazsak, yağmur yağdığı için bu durumdan sorumlu olmayız. Yani önerme doğru olur. 14

15 Hiotez Hüküm bileşik önermesinde, önermesine hiotez, önermesine hüküm elenir. şartlı önermesinde, önermesine, için yeter şartlı, önermesine, için gerek şartlı adı verilir. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. ( 5 = 8 = 3) b. 5 < 7 10 < 1 Söz gelimi, : "Baku Azerbaycanda ise Asyadadır." şartlı önermesinde : "Baku Azerbaycandadır," önermesi : "Baku Asyadadır." önermesi için yeter şartlıdır. Öte yandan : "Baku Asyadadır." önermesi de : "Baku Azerbaycandadır." önermesi için gerek şartlıdır. Bu önermeyi; "Bakünun Azerbaycanda olması Asyada olması için yeterlidir." veya "Bakünun Asyada olması Azerbaycanda olması için gereklidir." şeklinde de ifade edebiliriz. Şartlı Önermenin Karşıtı önermesine şartlı önermesinin karşıtı denir. Mantıkta, bir şartlı önermenin karşıtı, onun hükmünün yer değiştirmesiyle elde edilir. Örneğin, "Bütün insanlar yalancıdır." önermesinin karşıtı "Bütün yalancılar insandır." önermesidir. Aynı şekilde, "Ali randevuyu kaçırdı ise onun treni geç gelmiş olmalı." önermesinin karşıtı "Alinin treni geç geldi ise o randevuyu kaçırmış olmalı." önermesidir. Tanıma göre, verilmiştir. nun karşıtı olan önermesinin doğruluk tablosu aşağıda Baba olma bağıntısı ile evlat olma bağıntısı birbirinin karşıtıdır. Neden? Şartlı Önermenin Tersi şartlı önermesine şartlı önermesinin tersi denir

16 Şartlı Önermenin Karşıt Tersi şartlı önermesine şartlı önermesinin karşıt tersi denir. Bir önermenin karşıtı ile bir önermenin tersi tanımlarını inceleyi, olduğunu görünüz Şartlı Önermenin Değili ve önermeleri için, ( ) dir. ( ) ( ) Bir Bayan, erkek kardeşi, oğlu ve kızı (4 kişi) satranç oyuncusudurlar. En kötü oyuncunun ikizi ile en iyi oyuncunun cinsiyetleri farklıdır. En kötü oyuncu ile en iyi oyuncunun yaşlan aynıdır. Bu durumda en kötü oyuncu kimdir? Ceva: Oğlu, niçin? Soru : Aşağıdaki denkliklerin doğruluğunu önermeler cebirini kullanarak gösteriniz. a. ( ) 1 b. ( ) ( ) 1 Soru : bağlacının ve işlemleri üzerine sağdan ve soldan dağılma özeliğini gösteriniz. Gerektirme Tanım : önermesinin doğruluk değeri 1 ise, bu şartlı önermeye gerektirme denir. önermesinin doğru olmasının ile önermelerinin doğru olması anlamına gelmediğine dikkat ediniz. 16

17 İki Yönlü Şartlı Önerme Tanım : ve iki önerme olmak üzere, ile değerleri aldığında doğru, farklı değerleri aldığında yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü şartlı önerme denir ve biçiminde yazılarak ancak ve ancak şeklinde okunur. Ancak ve ancak ifadesinin İngilizce karşılığı if and only if dir. olduğu açıkça görülmektedir. Buradan da ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AYŞENİN OYUNCAKLARI Ayşenin, her biri farklı renklerde A, B ve C isimli, mavi, yeşil ve kırmızı oyuncaktan vardır. Aşağıdaki önermelerden sadece bir tanesi doğru olduğuna yöre A, B ve C oyuncaklarının renklerini Bulunuz. : "A kırmızıdır. : " B kırmızı değildir. r : " C mavi değildir. " Ceva : C yeşil, B kırmızı, A ise mavidir. Neden? Birleşik Önermelerin Değillenmesi Basit önermelerin değillenmesini öğrenmiş ve herhangi bir önermesinin değilini ile göstermiştik. Burada ise,, ve bağlaçlarıyla birbirlerine bağlanmış bileşik önermeleri değilleme yollarını öğreneceğiz. ( ) ( ) Aşağıdaki bileşik önermelerin her birinin değilini yazınız. a. Hakan uzun boyludur ve < 5 dir. b. Serdarın kulakları duymaz ve amcam uzun boyludur. c. ( r) d. ( ) ( ) 17

18 Totoloji ve Çelişki Bir bileşik önerme kendisini oluşturan önermelerin her değeri için 1 (doğru) değerini alıyorsa bu bileşik önermeye Totoloji, daima 0 (yanlış) değerini alıyorsa bu bileşik önermeye Çelişki denir. ÖRNEK: ( ) ( ) önermesinin totoloji ya da çelişki olu olmadığını belirleyiniz. ÖRNEK: ( ) önermesinin bir totoloji olduğunu gösteriniz. ÖRNEK: [( ) ( r) ] ( ( r) ) önermesinin totoloji olduğunu tablo ile gösteriniz. Niceleyiciler Matematikte bazı ve her niceleyicilerini bulunduran önermeler de vardır. 1. Bazı sözcüğü ile en az bir ifadesi eş anlamlı olu bu sözcük simgesi ile gösterilir ve bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir. x, (x) biçimindeki önermelerin doğru olduğunu göstermek gerektiğinde, en az bir x için (x) in doğru olduğunu göstermek yeterlidir.. Her sözcüğü ile Bütün sözcüğü eş anlamlı olu bu sözcük simgesi ile gösterilir ve bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir. x, (x) biçimindeki bir önermenin doğru olması için, seçilebilen bütün x ler için (x) doğru olmalıdır. Eğer x in en az bir değeri için (x) yanlış oluyorsa x, (x) önermesi de yanlış olur. 3. Bir açık önerme, niceleyicileri ile birlikte kullanılarak önermeye dönüştürülür. Örneğin; x Z + için x = x açık önermesini ele alalım. x Z + için x = x doğru önerme olur. x Z + için x = x yanlış önerme olur. Niçin? Açıklayınız. Niceleyici Bulunduran Önermelerin Olumsuzu (x) bir açık önerme, x değişken ise x, ( x) x, ( x [ ] ) [ x, ( x) ] x, ( x) dir. ÖRNEKLER: 1. ( Bütün asal sayılar tektir.) Bazı asal sayılar çifttir.. ( Bazıları sinemaya gider.) Herkes (Hiç kimse) sinemaya gitmez. 3. ( Z ; x + 1 > 0) x Z ; x x ( ) Aksiyom ve Teorem Matematik bir yaı kurulurken bazı terimler tanımsız olarak alındığı gibi, bazı önermeleri de nedenini aramadan doğru olarak almak zorundayız. 18

19 AKSİYOM Tanım : İsatlanmadan doğru olarak kabul edilen önermelere Aksiyom denir. TEOREM Tanım : doğru iken Teorem denir. koşullu önermesi de doğru oluyorsa önermesine doğru iken önermesinin doğru olması demek önermesinin de doğru olması demektir. Bu nedenle 1 iken 1 ise 1 dir. ÖRNEKLER: 1. x Z olmak üzere, x tek sayı ise x de tek sayıdır teoremini isatlayınız. İsat: 1. x tek sayıdır (verilen).. x tek sayı ise x = k + 1,k Z ( Tek sayı tanımı) x = k + 1 x = k + 1 = 4k + 4k + 1 =. k + k + n Z 4. x = n + 1 x tek sayıdır. (Tek sayı tanımı) x tek sayıdır önermesi doğrudur. 3. ( ) 1. x Z olmak üzere, x tek sayı ise x de tek sayıdır teoremini isatlayınız. İsat: : x tek sayıdır. : x tek sayıdır. alalım, o halde; : x tek sayı değildir. veya x çift sayıdır. : x tek sayı değildir. veya x çift sayıdır. olacaktır. : x çift sayı ise x de çift sayıdır. 1. x çift sayıdır. (verilen). x çift sayı ise x = k, k Z. ( Çift sayı tanımı) 3. x = k, k Z x k k = 4 = = n n Z 4. x çift sayıdır. doğru ise da doğrudur. 19

20 0 Önerme Bağlaçlarının Özelikleri Tek Kuvvet Özeliği Değişme Özeliği Birleşme Özeliği ( ) ( ) r r ( ) ( ) r r Dağılma Özeliği ( ) ( ) ( ) r r ( ) ( ) ( ) r r De Morgan Kuralları ( ) ( ) Değilleme Kuralları ( ) 1 1 0, Özdeşlik Kuralları ( ) ( ) ve Bağlaçlarının Özellikleri ( ), 1 0, 0 1, ( ) ( ) ( ) 1 1 0

21 Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanışı 1. a) KAPALI ANAHTAR: Kaalı anahtar akım geçirecek durumda olduğundan Şeklinde gösterilir ve anahtarın kaalı olması ( devreden akım geçmesi ) 1 ile gösterilir. b) AÇIK ANAHTAR: Açık anahtarda devreden akım geçmeyeceğinden şeklinde gösterilir ve anahtarın açık olması ( Devreden akım geçmemesi ) 0 ile gösterilir.. Seri Bağlama: 3. Paralel bağlama: ÖRNEK: ( ( r) ) ( m n) ALIŞTIRMALAR: önermesine karşılık gelen elektrik devresini çiziniz. 1. Aşağıdakilerin totoloji olduklarını özellikleri kullanarak isatlayınız. a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ( ) ) d) ( ) (( ) ). Aşağıdaki denklikleri özellikleri kullanarak isatlayınız. a) ( ) ( ) b) ( ) r r c) ( ) ( ) 3. [ x, ( x) x, ( y)]? 4. ( ) ( ) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) E) 1

22 Dosya adı: MANTIK KOU ANLATIMI Dizin: C:\Users\TOLGA\Deskto\INTERNET Şablon: C:\Users\TOLGA\AData\Roaming\Microsoft\Temlates\Nor mal.dotm Başlık: MANTIK Konu: Yazar: B Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :08:00 Düzeltme Sayısı: 3 Son Kayıt: :10:00 Son Kaydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 3 Dakika Son Yazdırma Tarihi: :10:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 1 Sözcük Sayısı: 5.79(yaklaşık) Karakter Sayısı: (yaklaşık)