Bölüm 10: Katı Cismin Sabit bir Eksen Etrafında Dönmesi

Transkript

1 avraa Soruları Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne - Br nokta etrafında dönekte olan cn hareketn tanılaak çn naıl br er değştre tanılarınız? - Açıal hızın önü varıdır, vea açıal hız vektörel br ncelk dr? 3- Döne olaında, ürtüne hal edle de, clern kütlenn şekl öneldr? onu İçerğ Sunuş 0- Açıal Yer Değştre, Hız ve İve 0- Döne neatğ 0-3 Açıal ve Doğrual Ncelkler 0-4 Döne Enerj 0-5 Tork 0-6 Tork ve Açıal İve Bağlantıı Sunuş Bu bölüde, önce abt br eken etrafında dönen katı br cn açıal er değştre, açıal hız ve açıal ve ncelkler türetlecek ve döne hareket le açıal hareket arındak lşk ve benzerlkler elde edlecektr. Daha onra döne hareket apan katı br cn döne knetk enerj fade türetlecektr. Br kuvvetn br c br nokta etrafında döndüre etknn fade olan tork kavraı tanılanacaktır. İk vektörün vektörel çarpıı tanılanarak tork kavraı kuvvet ve uzunluk vektörler le vektörel çarpı olarak fade edlecektr. Son olarak da br kuvvetn döndüre etk le açıal ve araında naıl br lşk olduğu ncelenerek Newton un. aaının dönü hareket çn fade elde edlecektr. Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

2 0. Açıal Yer Değştre, Hız ve İve Döne olaını nceleeblek çn öncelkle döne hareketn en tanılaacak erdeğştre ncelğn tanılaaız gerekecektr. Bu er değştre tanıladıktan onra doğrual harekette tanıladığıız gb er değştrenn zaana göre değşne bakarak dönen cn hızını (açıal hız), dönüş hızının br zaandak değşnden de dönü hızındak değşeler göteren dönü ve (açıal ve) kavralarını türeteblrz. Aşağıdak gb, noktaı etrafında döneblen herhang br şekle ahp katı br c göz önüne alalı. Bu cn üzernde tanıladığıız br P noktaının hareketn nceleel. P r P =r Sabt erkez etrafında r arıçaplı P noktaının aldığı ol, arıçap r ve eken le ölçülen q açıı cnnden =r nın br radan (rad) dır. Br radan, arıçapla eşt uzunluktak br a parçaının arıçapa oranı le elde edlen açıdır. =r=r.( radan) Radan açı ölçüü le derece açı ölçüü araındak lşk Açıal Yer değştre: (rad)=(π/80 o ).(derece) r arıçaplı P noktaının zaan onra Q noktaına geldğn düşünürek P noktaının açıal er değştre: Q Δ= - P şeklnde azılablr. Açıal er değştrenn boutu oktur!, br e radandır! Δ= Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

3 rtalaa Açıal Hız ( ): rtalaa açıal hız ( ), zaan aralığındak açıal er değştrenn(δ), zaanına oranıdır. Δ = = An Açıal hız (w): An açıal hız (), zaanı lt duruda ıfıra gttğnde ( 0) açıal er değştrenn (Δ), zaana oranıdır. Δ d = l = Δ t 0 dt açıı boutuz olduğundan açıal hızın boutu []=/[T] dr. Br e radan/ane (rad/) vea - dr. Açıal hız vektörel br ncelktr öle k önü aşağıdak gb belrlenr. Açıal hızın önü: Döne açıı, aat brenn ter önde artara (ağ el) poztf Döne açıı, aat bre le anı önde artara (ol el) negatfdr. rtalaa açıal ve ( α ): rtalaa açıal ve( α geçen zaana oranıdır. ), zaan aralığındak açıal hızdak değşe ktarının (Δ) Δ α = = An açıal ve (α): An açıal ve (α), zaan aralığı lt duruda ıfıra gttğnde ( 0) açıal hızın (Δ) zaana oranıdır. Δ d α = l = Δ t 0 dt açıı boutuz olduğundan açıal venn boutu [α]=/[t ] dr. Br e radan/ane (rad/ ) vea - dr. Açıal venn önü: Açıal hız artara (aat bre le anı vea ter önde) α poztf Açıal hız azalıra (aat bre le anı vea ter önde) α negatf dr. v,w ve α nın önler: α v v çzgel hız örüngee teğettr. döne eken üzerndedr Saat önünün ter önde e, +; Saat önünü le anı önde e, -; Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

4 α (açıal ve), le anı önlüdür. Açıal hız vektörünün önünü belrleek çn ağ el kuralı : Açıal hızın önünü bulak çn ağ elz kullanablrz. Bu kuralda ağ eln baş parak dışındak dört parağı brleştrlp kıvrılarak dönen cn dönüş önü le çakıştırılır (paraklar çzgel (teğetel) hızın önünü göterecek şeklde aarlanır). Baş parak bu dört parağa dk tutulur ve baş parağın göterdğ ön açıal hızın önünü göterr. Doğrual ve açıal hareket tanılaada kullanılan ncelkler karşılıklı olarak azarak: Açıal Doğrual (erdeğştre) v (hız) α a (ve) 0- Döne neatğ: Sabt Açıal İvel Döne Hareket Daha önce doğrual hareket çn türettğz kneatk eştlkler döne hareketne uarlaablrz. Doğrual harekette türettğz forüllere dönü hareketn tanılaan, v ve a erne açıal erdeğştre(δ), açıal hız() ve açıal ve(α) ncelklern azarak: Sabt vel doğrual hareket Sabt açıal vel döne hareket v = v + at = +α t = + vt + at v = v + a = t + + α t = + α elde ederz. Doğrual ve açıal ncelkler araındak lşk br onrak başlık altında arıntılı olarak ncelenecektr. Örnek 0. Dönen Teker: Br tekerlek, 3,5 rad/ lk abt açıal ve le dönüor. t=0 de tekerleğn açıal hızı rad/ e; a) anede teker ne kadarlık açı üpürür? b) t= onra açıal hızı nedr? Çözü: w = rad/ a) t = + + α t =(rad/).()+½(3,5 rad/ ).() = rad=630 o Devr aıı=δ/360 o (derece/dev)=,75 devr b) = +α t =( rad/)+(3,5 rad/ ).()=9 rad/ bulunur Açıal ve Doğrual Ncelkler Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

5 Dönen br cn açıal hız ve ve le cn üzerndek br noktanın çzgel hız ve ve araında naıl br bağlantı vardır? Yandak şekln ardıı le bu lşk bulaa çalışalı. =r r=abt Teğetel hız: d d d v = = ( r ) = r = r dt dt dt r v=r P dv d d Teğetel ve: a t = = ( r) = r = rα dt dt dt Daha önce dareel örüngede dönen br noktanın erkeze önelk v /r büüklüğünde a r erkezcl ve le hareket ettğn görüştük. a r venn büüklüğünü açıal hız cnnden azarak: v ( r) a r = = = r r r Dönen br katı c üzernde hareket eden br noktanın topla ve, a t teğetel, a r de açıal ve olak üzere: a=a t +a r Bu venn büüklüğü: a 4 = at + ar = r α + r = r α + 4 a = r 4 α + bulunur. Örnek 0. CD Çalar: Tpk br CD plağında dk aatn ter önünde döner ve lazerercek te noktaında üzen abt hızı,3 / dr. CD nn ç arıçapı r =3 ve dış arıçap r d =58 dr. a) Dkn açıal hızını devr başına dakka olarak ç ve dış noktada bulunuz. b) Standart br CD nn aku çala üre 74 dakka 33 anedr. Bu ürede dk kaç devr apar? Çözü: r d lazer ercek a) En çtek z çn açıal hız v,3 / = = = 56,5rad r,30 / = (56,5rad / ).( dev / rad).(60 / dak) π = 5,40 devr / dak En dıştak z çn açıal hız Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

6 v,3 / = = =,4rad d r 5,80 / d =,0 devr / dakka b) t=(74dak).(60 /dak)+33=4473 ane İlk açıal konu =0 o, =? rtalaa açıal hız=( + )/ = +½( + )t=0+(540dev/dak+0dev/dak).(760dak/).(4473)=,80 4 devr bulunur d 0-4 Döne Enerj eken etrafında dönen katı cn knetk enerjn bulaa çalışalı. atı cn gb küçük parçacıklardan oluştuğunu ve eken etrafında abt açıal hızı le döndüğünü kabul edel. v r. parçacığın teğetel hızı v e knetk enerj = v Topla knetk enerj T her nokta çn anı olduğundan ( =) T = = v = r azılablr. Bu fade T = ( T = r ) I şeklnde daha önce azılan knetk enerj =(/)v forunda enden azılıra I r fadene döne elezlk oent denr. Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

7 Döne elezlk oent I, doğrual harekettek kütlene özdeştr. Döne Doğrual Hareket = v = I I elezlk oent, cn hang eken etrafında döndürüldüğüne bağlıdır. I=½MR I=MR Örnek 0.4 Dönen Dörtlü Parçacık: Dört küçük küreel kütle, düzlende kütle hal edleblen br çerçevenn köşelerne erleştrlştr. ürelern arıçaplarının çerçevenn boutlarına kıala çok küçük olduğu varaılıor. a) Ste, w açıal hızı le eken etrafında dönere bu ekene göre elezlk oentn ve döne knetk enerjn bulunuz. b) Sten dan geçen br eken (z-eken) etrafında düzlende döndügünü varaalı. Z ekenne göre elezlk oentn ve döne knetk enerjn bulunuz. Çözü: M a b b a M I a) I r = Ma + Ma = = D = I = (Ma ) = b) = r Ma Ma z = Ma + Ma + b + b = Ma + b Dz Dz = I z = (Ma = + D D + b ) = ( Ma + b ) 0-6 Tork Br F kuvvetnn br c br eken etrafında döndüre etk tork (τ) le fade edlr (Tork le Moent anı kavralardır; oent le oentu farklı kavralar olup brbr le Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

8 karıştırılaalıdır, Bkz Bölü 9). uvvet le kuvvetn ugulandığı nokta le döne eken araındak uzaklık an kuvvet kolu araındak açı dk e tork Tork=(kuvvet)(kuvvetn ugulandığı nokta le döne eken araı uzaklık, kuvvet kolu) τ=fd şeklnde tanılanır. Eğer ugulanan kuvvet le kuvvet kolu araındak açı 90 o den farklı e: d Fn F Fco Fco: döne hareketne katkıda bulunaz Fn: döne hareketn ağlar τ= Fn.d şeklnde azılır. Torku heaplarken kuvvetn kuvvet koluna dk bleşen alınır (ş fadende kuvvetn paralel bleşen alınır) İk Vektörün Vektörel Çarpıı: İk vektörün vektörel çarpıı ne br vektörel ncelktr. Dolaıı le onuç vektörün he büüklüğü hede br önü olacak. Aralarındak açı olan A ve B gb k vektör olun. An A B Bu k vektörün vektörel çarpıı C gb br vektör verecektr. C vektörel olduğundan: AB=C C vektörünün büüklüğü, AB = C = A. B.n C vektörünün önü e, A ve B vektörlernn oluşturduğu düzlee dktr. Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

9 C A B Eğer A ve B vektörler üç boutta br vektörler cnnden tanılanış e; A=A î+a ĵ+a z k B=B î+b ĵ+b z k Bu k vektörün vektörel çarpıının ne olacağını bulaa çalışırak: AB=(A î+a ĵ+a z k)(b î+b ĵ+b z k)= A B (îî)+a B (îĵ)+a B z (îk) +A B (ĵî)+a B (ĵĵ)+a B z (ĵk) +A z B (kî)+a z B (kĵ)+a z B z (kk) Br vektörlern (î, ĵ ve k) vektörel çarpılarına bakacak olurak: ĵĵ=îî=kk=0 (Anı br vektörler araındak açı =0 o olduğundan n(0 o )=0) îĵ=k z ĵk=î kî=ĵ k ĵ ĵî=-k î AB=(A î+a ĵ+a z k)(b î+b ĵ+b z k)= 0 + A B (îĵ) +A B z (îk) +A B (ĵî) + 0 +A B z (ĵk) +A z B (kî) +A z B (kĵ)+ 0 AB=(A î+a ĵ+a z k)(b î+b ĵ+b z k)=(a B z -A z B )î+(a z B -A B z )ĵ+(a B -A B )k bulunur. Vektörek çarpı notaonunu kullanarak tork faden, F ve d vektörlern vektörel çarpıı olarak fade edeblrz. τ=fd 0-7 Tork ve Açıal İve Araındak Bağıntı Teğetel kuvvet F t, ve teğetel ve (a t ) araındak lşk, Newton un. aaından. F t =a t F t kuvvetnn erkeze göre uguladığı tork (=90 o ) olduğundan r F t τ=f t.r=a t r Teğetel ve açıal vee a t =rα eştlğ le bağlı olduğundan; F r τ=f t.r Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0

10 τ =(rα).r=r α I= r olduğu hatırlanıra, burdan τ =Iα Bulunur. Bu eştlk, Newton un doğrual hareket çn türettğz F=a hareket kanununa benzeektedr. Doğrual a F Döne I α τ Örnek 0.0 Dönen Çubuk: Uzunluğu L, kütle M olan düzgün br çubuk, şelldek gb br ucu etrafında ürtünez döneblecek durudadır. Çubuk ata duruda ken erbet bırakılıor. Çubuğun lk açıal ve ve ağ ucunun lk çzgel ve nedr? Çözü: τ=f.d τ =Mg(L/) Mg L Mg( ) 3g = τ 3 α = = a I t = Lα = g L ML 3 Bölü 0 un Sonu anak: Bu der notları, R. A. Serwa ve R. J. Bechner (Çevr Edtörü:. Çolakoğlu), Fen ve Mühendlk çn FİZİ-I (Mekank), Pale Yaıncılık, 005. ktabından derlenştr. Bölü 0: atı Cn Sabt br Eken Etrafında Döne, Hazırlaan: Dr. H.Sarı Güncel: Teuz /0