DOKTORA TEZİ. Zafer ÜNAL

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DOKTORA TEZİ. Zafer ÜNAL"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ LORENZ UZAYINDA CEBİRSEL METOTLARLA KİNEMATİK Zafer ÜNAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 007 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi LORENZ UZAYINDA CEB IRSEL METOTLARLA K INEMAT IK Zafer ÜNAL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölümde tezin önemi irdelenmiştir. Ikinci bölümde, tezde kullan lan temel tan m ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, helisel vektör alanlar ve bunlar n dual kuaterniyonlarla ilişkisi ele al nm şt r. Dördüncü bölümde, Öklid uzay nda helisel vektör alanlar yard m yla bir parametreli hareketlerin integral e¼grilerinin cinsi belirlenmiştir. Son bölümde, Öklid uzay nda yap lan işlemler Lorenz uzay na genelleştirilmiştir. 007, 64 sayfa Anahtar Kelimeler : Helisel vektör alan, Integral e¼grisi, Vida hareketi, 1-Parametreli hareket, Dual kuaterniyon, Öklid uzay, Lorenz uzay, Kinematik. i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis KINEMATICS WITH ALGEBRAIC METHODS IN LORENTZIAN SPACES Zafer ÜNAL Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis consists of ve chapters. In the rst chapter, is given the importance of thesis The second chapter, is devoted to the introduction. In the third chapter, the relationship between helicoidal vector elds and Dual quaternions is examined. In the fourth chapter, in Euclidean space, the classi cation of the integral curves of the one parameter motions are given by the help of the helicoidal vector elds. In the last chapter, the results which are required in Euclidean space are generalized into Lorentzian space. 007, 64 pages Key Words : Helicoidal vector eld, Integral curve, Screw motion, 1-parameter motion, Dual quaternion, Euclidean space, Lorentzian space, Kinematics. ii

4 TEŞEKKÜR Bana araşt rma olana¼g sa¼glayan ve çal şmalar m n her safhas nda yak n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren dan şman hocam, Say n Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya ve yard mlar n esirgemeyen hocalar m, Say n Prof. Dr. H. Hilmi HACISAL IHO ¼GLU (Ankara Üniversitesi) na ve Say n Prof. Dr. Baki KARLI ¼GA (Gazi Üniversitesi) ya teşekkürlerimi bir borç bilirim. Son olarak, her aşamada bana destek olan sevgili eşim Derya ÜNAL ve biricik o¼glum Burak ÜNAL a teşekkürlerimi sunar m. Zafer ÜNAL Ankara, Eylül 007 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I vi ŞEK ILLER D IZ IN I vii 1. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERN IYONLAR 6.1 Vidalar Üzerinde Işlemler D Vektör uzay D Vektör uzay üzerinde Lie operatörü D üzerinde iççarp m D de D nin temsili işlemi Dual Say lar ve D Üzerinde Modül Yap s Dual Kuaterniyonlar n Yeni Bir Geometrik Tan m Norm ve H da Ters Eleman ÖKL ID UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI Parametreli Hareketler iv

6 4. E de Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri E n+1 Öklid Uzay nda Helisel Vektör Alanlar LORENZ UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI Parametreli Hareketler Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar D vektör uzay D de Lie operatörü D de iççarp m D de D nin temsili Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri E n+1 1 Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ v

7 S IMGELER D IZ IN I E n R n E1 n O(n) SO(n) so(n) SE(n) se(n) A A X D y h y o D N(q) n-boyutlu Öklid uzay n-boyutlu reel vektör uzay n-boyutlu Lorenz uzay n-boyutlu ortogonal matrislerin grubu n-boyutlu ortogonal matrislerin özel altgrubu SO(n) matris Lie grubuna karş l k gelen Lie cebiri R n de kat cisim hareketlerinin grubu SE(n) Lie grubuna karş l k gelen Lie cebiri A n dönüşüm A dönüşümünün lineer k sm Helisel vektör alan Helisel vektör alanlar n n cümlesi Homogen çözüm Özel çözüm Dual say lar q dual kuaterniyonunun normu vi

8 ŞEK IL D IZ IN I Şekil 4.1 Ani hareket vii

9 1. G IR IŞ Son zamanlarda Diferensiyel Geometri konular n n Kinematikte yo¼gun bir şekilde ele al nd ¼g görülmektedir. Özelikle kat cisimlerin hareketlerinin Lie grup ve Lie cebir yap s yard m yla vida operatörlerinin geniş bir uygulamas verilebilmektedir. Uygulamalara cebirsel metotlar da epey zenginlik katmaktad r. Kinematikte temel kavramlar, modül yap lar yla daha da zenginleştirilmiştir. Chevallier (1991), modül yap s n kullanarak, kinematikteki kavramlar genişletmiş ve bu sayede Dual Kuaterniyonlar n yeni yap s n vermiş ve bu yeni yap y kat hareketlere uygulam şt r. Bu çal şmada, Chevallier (1991) in ele ald ¼g helisel vektör alanlar n n Kinematikte yeni uygulamalar verilmiştir. Lineer vektör alanlar n n tan m ve uygulamalar, Karger and Novak (198) taraf ndan verilmiştir. Acratalishian (1989), lineer vektör alanlar n n integral e¼grilerini Öklid uzay için incelemiş. Fakat hareketler ile ilişkisini vermemiştir. Helisel vektör alanlar, lineer vektör alanlar olarak ele al n p, bu vektör alanlar n n ani hareketlerle ilişkisi incelenmiştir. Ani hareketlerde; bir noktan n yörüngesinin, helisel vektör alanlar n n integral e¼grileri olarak verilebilece¼gi gösterilmiştir. Helisel vektör alanlar, lineer vektör alan olarak verilebildi¼ginden, bu vektör alanlar na bir matris karş l k getirilmiş ve bu matrisin rank yard m yla, yörüngelerin cinsi belirlenmiştir. Helisel vektör alanlar ile ani hareketlerin yörüngeleri aras ndaki ilişki, önce Öklid uzay nda, daha sonra da Lorenz uzay ndaki hareketler için verilmiştir. 1

10 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, tez için gerekli olan baz temel kavram ve teoremleri verece¼giz. Tan m.1. V bir vektör uzay ve S de boş olmayan bir nokta cümlesi olsun. Aşa¼g daki şartlar sa¼glayan bir f : S S! V fonksiyonu varsa, S ye V ile birleştirilmiş bir a n uzay denir. (i) Her P; Q; R S için f(p; Q) + f(q; R) = f(p; R) (ii) Her P S, her ~v V için f(p; Q) = ~v olacak şekilde bir tek Q S noktas vard r (Hac saliho¼glu 199). Tan m.. A : E! E dönüşümüne a ndir denir e¼ger, A : R! R! MN! A(! MN) =! A(M)A(N) olacak şekilde bir A lineer dönüşümü varsa. A ya A n n lineer k sm denir. (Hac saliho¼glu 1998). Tan m.. Her M; N E için d(m; N) = d(a(m); A(N)) uzakl k koruyan A : E! E dönüşümüne izometri denir (Hac saliho¼glu 1998). Tan m.4. R de ortogonal matrislerin cümlesi; O() = fa R : A T A = AA T = Ig şeklinde tan mlan r. Bu cümle standart matris çarp m işlemine göre bir gruptur. Bu gruba ortogonal grup denir (Karger and Novak 198).

11 Tan m.. O() ortogonal grubunun bir altgrubu olan ve SO() = fa R : A T A = AA T = I; det A = 1g şeklinde tan mlanan gruba özel ortogonal grup denir (Karger and Novak 198). SO() grubunun tan m n aşa¼g daki şekilde de verebiliriz: SO() = fa R :< AX; AY >=< X; Y >; A O(); det A = 1; 8X; Y R g: SO() bir matris Lie grubudur. Tan m.6. tan mlan r: SO() Lie grubuna karş l k gelen so() Lie cebiri aşa¼g daki şekilde 0!! so() = f! R :! = 6! 4 0! 1 7 ;!T =!g!! 1 0 (Karger and Novak 198). Tan m.7. E n de parametrik bir e¼gri : I! E n t! (t) = ( 1 (t); :::; n (t)) ve X; E n üzerinde bir vektör alan olmak üzere, her t I için d = X((t)) ise, e¼grisine X vektör alan n n bir integral e¼grisi denir (Hac saliho¼glu 199). Yani, e¼grisinin her noktas ndaki h z vektörü X vektör alan n n bu noktadaki de¼geri

12 ile çak ş r. Tan m.8. V ; n-boyutlu bir vektör uzay, X; V üzerinde bir vektör alan olsun. E¼ger, A : V! V bir lineer dönüşüm olmak üzere, her v V için X v = A(v) ise, X vektör alan na lineerdir denir (Karger and Novak 198). Teorem.9. A; E de bir anti-simetrik matrisle verilen lineer dönüşüm olsun. Bu durumda A n n matris formu, 6= 0 olmak üzere 0 0 A = olacak şekilde E ün bir ortonormal baz vard r (Karger and Novak 198). Tan m.10. SE() = fa : A = 4 g c 0 1 ; g R ; g T g = I ; c R 1; det g = 1g cümlesi, standart matris çarp m işlemiyle bir gruptur. (SE(); :) grubuna R de kat cisim hareketlerinin özel grubu denir (Karger and Novak 198). SE() grubu topolojik yap s yla ele al nd ¼g nda, 6-boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu durumda, SE() bir matris Lie grubudur. Zaman zaman SE() yerine D notasyonunu da kullanaca¼g z. 4

13 Tan m.11. SE() Lie grubuna karş l k gelen se() Lie cebiri; se() = f4! v :! R ;! T =!; v R 1g şeklinde tan mlan r (Karger and Novak 198). Buradaki!; anti-simetrik matrisi, ~! R vektörü ile tek türlü belirlidir: ~! = (! 1 ;! ;! ) R )! = 6 4 0!!! 0! 1!! R : Tan m.1. SE() Lie grubunun tanjant operatörü; T = 4! v $ f~!; ~vg şeklinde tan ml bir operatördür. Burada! R ;! T = (Karger and Novak 198).!; v R 1; ~!; ~v R dir Her T se() eleman na bir f~!; ~vg vektör çifti karş l k gelir. A(t) SE() e¼grisi, kat cismin hareketini göstermek üzere, T (t) $ f~!(t); ~v(t)g için, ~!; cismin hareketinin aç sal h z n ve ~v; cismin hareketinin lineer h z n belirtir. Tan m.1. Plücker koordinat sisteminde (~a;~a ) bir vida olmak üzere, X : E! R M! X(M) = ~a + ~a ^! OM şeklinde tan mlanan X dönüşümüne helisel vektör alan denir. ~a ya X in ekseni denir ve! X ile gösterilir.

14 . HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERN IYONLAR -boyutlu Öklid uzay E ve buna karş l k gelen vektör uzay R olmak üzere, her M; N E noktas, R! de bir tek MN vektörü belirtir. ~u; ~v R için < ~u; ~v > ve ~u ^ ~v, R de s ras yla iççarp m ve vektörel çarp m göstersin..1 Vidalar Üzerinde Işlemler.1.1 D Vektör uzay Tan m.1 de verilen X helisel vektör alan n göz önüne alal m. alanlar n n cümlesini D ile gösterelim. Helisel vektör (X + Y )(M) = X(M) + Y (M); M E ( X)(M) = X(M); R işlemleriyle birlikte D cümlesi bir reel vektör uzay oluşturur. Şimdi bu vektör uzay üzerinde tan mlanan di¼ger işlemleri ele alal m..1. D Vektör uzay üzerinde Lie operatörü D üzerinde tan mlanan [ ; ] : D D! D (X; Y )! [X; Y ](M) = ~a ^ Y (M) ~ b ^ X(M) işlemini göz önüne alal m. Burada X(M) = ~a + ~a ^ OM,! Y (M) = ~ b + ~ b ^ OM! de¼gerleri yerlerine yaz l rsa, [X; Y ](M) = ~a ^~b + ~a ^~b + (~a ^~b) ^ OM! (:1:1) = [X; Y ](N) + (! X ^! Y ) ^ MN! 6

15 elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan oldu¼gunu gösterir. Ayr ca,! [X;Y ] = ~a ^~b şeklindedir. [ ; ] operatörü, antisimetrik, bilineer ve Jacobi özdeşli¼gi özeliklerini sa¼glar. Dolay s yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir..1. D Üzerinde iççarp m [ j ] : D D! R (X; Y )! [X j Y ] =< ~a; ~ b > + < ~a ; ~ b > (:1:) şeklinde tan mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp m olarak adland r l r. Bu iççarp m ifadesi M nin seçilişinden ba¼g ms zd r. E¼ger [X j Y ] = 0 ise, X ile Y karş l kl vidalar olarak adland r l rlar..1.4 D de D nin temsili A D bir kat hareket olsun. A : D! D X! A (X)(M) = A(X(A 1 (M))) (:1:) dönüşümü yard m yla D deki elemanlar D vektör uzay n n elemanlar cinsinden tan mlanm ş oldu. A lineer oldu¼gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayr ca, her A; B D için (A:B) = A B ve! AX = A(! X ) 7

16 dir..1. işlemi D üzerinde tan mlanan : D! D X! X(M) = ~a dönüşümü lineerdir ve X sabit bir vektör alan d r. n n görüntüsü ve çekirde¼gi E üzerinde de¼ger alan altuzaylard r. Ayr ca, = = ~0 d r. D vektör uzay, D Lie grubuna karş l k gelen Lie cebirine izomorftur. Bunu.1.1,.1.4 ve.1. işlemleri yard m yla söyleyebiliriz. Bu işlemler aras nda çok say da ba¼g nt vard r. Şimdi bunlar n baz lar n ele alal m: [X j [Y; Z]] = [Y j [Z; X]] (:1:4) [X; [Y; Z]] = [X j Z]Y [X j Y ]Z+ < ~a;~c > Y < ~a; ~ b > Z: (:1:) Bu ba¼g nt lar adi anlamda vektörel çarp m n ve karma çarp m n genişletilmişi görünümündedir. Ikinci eşitlikten Jacobi özdeşli¼gini görmek kolayd r. Ayr ca, [X j Y ] = [X j Y ] =< ~a; ~ b > (:1:6) [X; Y ] = [X; Y ] = [X; Y ] (:1:7) 8

17 dir. D de D nin temsilinden [A X j A Y ](M) = [X j Y ](M) (:1:8) [A X; A Y ] = A [X; Y ] (:1:9) A X =! AX = A(! X ) (:1:10) elde edilir.. Dual Say lar ve D Üzerinde Modül Yap s Tan m..1. x; y R olmak üzere z = x + "y; " = 0, " 6= 0 şeklindeki say lara dual say lar denir ve D ile gösterilir. D s f r bölenli, birimli ve de¼gişmeli bir halkad r. R; D n n bir althalkas d r (Chevallier 1991). Teorem... D bir D-modüldür (Chevallier 1991). Ispat. z = x + "y D olmak üzere, + : D D! D (X; Y )! (X + Y )(M) = X(M) + Y (M) : D D! D (z; X)! z X = (x + "y) X = xx + yx (::1) işlemleri modül aksiyomlar n sa¼glar. D, D üzerinde bir Lie cebiridir. Burada Lie cebiri aksiyomlar ndan bilineerlik sa¼glatt r l rken, z D; X; Y D için [z X; Y ] = [X; z Y ] = z [X; Y ] eşitli¼ginde z R yerine z D al nm şt r. z [X; Y ] işlemi (::1) deki gibidir. 9

18 z R için zx çarp m ile z D için z X çarp m farkl d r. Şayet, z D ise, z X = 0, z = 0 veya X = 0 veya (Re z = 0 ve X = ~0) d r. Dolay s yla ikinci çarp m daha geneldir. D de R-lineerlik ve D-lineerlik farkl d r. f(zx) = zf(x) ifadesinde z D ise f D-lineerdir. f nin D-lineer olmas halinde matris gösterimi vard r. f R-lineer ise (z R) yoktur. f; D-lineer, f; R-lineer ve f = f: Kinematikte genellikle D-lineer operatörler kullan l r. Dinamikte bu do¼gru de¼gildir. Çünkü, momentum hesab nda, h zlar dual matrislerle ifade edilemez. R reel vektör uzay olmak üzere, D = R "R bir D-modüldür. D de zx bir dual say ile bir vektörün çarp m d r. (~e 1 ; ~e ; ~e ), R uzay n n bir baz ise, D uzay n n da D üzerinde bir baz d r. Key bir bx D eleman X b = bx 1 ~e 1 + bx ~e + bx ~e ; bx i D şeklinde yaz labilir. X b ya D de bir dual vektör ad verilir. R de bilinen skalar ve vektörel çarp m D e genişletilebilir. D de skalar ve vektörel çarp m bx : b Y = bx 1 by 1 + bx by + bx by D (::) 10

19 bx Y b = ~e 1 ~e ~e bx 1 bx bx by 1 by by (::4) = (bx by by bx )~e 1 + (bx by 1 by bx 1 )~e + (bx 1 by by 1 bx )~e şeklinde tan mlan r. D, D-modül yap s n n yan s ra bir Lie cebiri de yap labilir. [ ; ] : D D! D ( b X; b Y )! [ b X; b Y ] = b X b Y şeklinde tan mlanan işlemle D bir Lie cebiridir. f : R! R X! f(x) lineer dönüşümü, bf : D! D "X! b f("x) = "f(x) (::) şeklinde bir lineer dönüşüme genişletilebilir. Şimdi D D-modülü ile D D-modülü aras ndaki ilgiyi veren bir dönüşüm verelim. Bu dönüşüm iki cümle aras nda bir köprü oluşturur. Teorem... P E sabit bir nokta olmak üzere J P : D! D X! J P (X) = ~a + "X(P ) dönüşümü D-lineer ve D üzerinde bir Lie cebir izomor zmidir. Yani, J P örten ayr ca, J P ([X; Y ]) = J P (X) J P (Y ) dir (Chevallier 1991). birebir ve 11

20 Ispat. X; Y D olmak üzere, J P (X + Y ) = ~a + ~ b + "(X(P ) + Y (P )) = ~a + ~ b + "X(P ) + "Y (P ) = ~a + "X(P ) + ~ b + "Y (P ) = J P (X) + J P (Y ) dir. z D için J P (zx) = x ~a + "(xx(p ) + y ~a) (::6) zj P (X) = (x + "y)(~a + "X(P )) = x ~a + "(xx(p ) + y ~a) (::7) dir. (::6) ve (::7) den J P (zx) = zj P (X) elde edilir. O halde J P lineer bir dönüşümdür. D deki vektörel çarp m n genişletilmişi J P (X) J P (Y ) = (~a + "X(P )) ( ~ b + "Y (P )) = ~a ^~b + "(~a ^ Y (P ) ~ b ^ X(P )) = ~a ^~b + "[X; Y ](P ) = J P ([X; Y ]) (::8) şeklindedir. Dolay s yla J P bir Lie cebir izomor zmidir. Ayr ca, J P (X) : J P (Y ) = < ~a; ~ b > +"(< ~a; Y > + < X; ~ b >) = < ~a; ~ b > +"[X j Y ] (::9) dir. 1

21 Tan m..4. f j g : D D! D (X; Y )! fx j Y g =<! X ;! Y > +"[X j Y ] (::10) şeklinde tan mlanan dönüşüm simetrik, D-bilineer formdur. Özel olarak, D-bilineerlikten fzx j Y g = zfx j Y g; z D; X; Y D dir (Chevallier 1991). Teorem.. den aşa¼g daki sonucu verebiliriz: Sonuç... J P, D deki f j g D-bilineer form ile D deki ":" iççarp m n n izomor- zmas d r, yani J P (X) : J P (Y ) = fx j Y g dir (Chevallier 1991). fx j [Y; Z]g = fy j [Z; X]g (::11) [X; [Y; Z]] = fx j ZgY fx j Y gz (::1) formülleri (:1:4) ve (:1:) formüllerinin genişletilmiş halleridir. işlemlerimizde bunlar kullanaca¼g z. Bundan sonraki D deki f j g iççarp m D de¼gerli olup, reel de¼gerli olan [ j ] iççarp mdan daha ilginç bir yap ya sahiptir. (:1:) ve (::1) karş laşt r ld ¼g nda (::1) daha basit bir formdur. fx j Y g = 0, X ve Y secant ortogonal eksenlerdir fx j Xg = 0, ("X = 0), (! X = 0) (::1) fx j Xg = 1, (j! X j = 1 ve X s f r ad ma sahiptir). Normlanm ş bir X vidas E de bir do¼gru belirtir. Tersine, E deki her do¼gru bir X vidas ile gösterilebilir. 1

22 D D-modülde f; ; g bir yönlendirilmiş ortonormal baz olsun. fo; i; j; kg, E de ortonormal bir çat olmak üzere, ; ; D baz elemanlar! = i;! = j;! = k ve (O) = (O) = (O) = O (::14) şeklinde tan mlan r. Bu durumda fjg = fjg = fjg = 1; fjg = fjg = fjg = 0 (ortogonallik) [; ] = ; [; ] = ; [; ] = ; fj[; ]g = 1 (sa¼g el kural ) özelikleri sa¼glan r.. Dual Kuaterniyonlar n Yeni Bir Geometrik Tan m Kuaterniyon 180 da Sir W.R. Hamilton taraf ndan keşfedilmiştir. Hamilton kompleks say lar n bir benzerini R de aram şt r. R de C deki gibi bir yap n n bulunmad ¼g n 10 y ll k bir çal şman n sonucunda farketmiştir. Daha sonra bu yap n n R 4 deki karş l ¼g n kuaterniyon olarak tan mlam şt r. Kuaterniyonlar cebirini ve kinematikteki uygulamalar n Agrawal (1987), Hac saliho¼glu (198), Veldkamp (1976), ve Yayl (1988) referanslar nda bulabiliriz. Bilindi¼gi gibi basit kuaterniyonlar (s; ~v) ikilisi ile tan mlanabilir. Burada s R skalar k s m ve ~v R vektörel k s md r. Bu durumda bu operatörler üzerinde aşa¼g daki toplama ve çarpma işlemleri tan mlanabilir: q + q 1 = (s + s 1 ; ~v + ~v 1 ); (s; ~v) = (s; ~v); R (::1) qq 1 = (ss 1 < ~v; ~v 1 >; s~v 1 + s 1 ~v + ~v ^ ~v 1 ): (::) (::1) işlemleri ile kuaterniyonlar n H cümlesi birimi (0;~0) olan bir reel vektör uzay d r. (::1) ve (::) işlemleriyle birimi (1;~0) olan H bir reel cebirdir. Kuaterni- 14

23 yonlar n birleşme özeli¼gini sa¼glad ¼g n göstermek için, vektörel çarp m n ~u ^ (~v ^ ~w) + ~v ^ (~w ^ ~u) + ~w ^ (~u ^ ~v) = ~0 ~u ^ (~v ^ ~w) =< ~u; ~w > ~v < ~u; ~v > ~w özeliklerini kullan r z. Kuaterniyonlar n tan m n, D üzerinde Lie cebirine sahip D cümlesine (ve D de¼gerli) genişletebiliriz. Benzer özelikleri sa¼glatabiliriz. H = R R yerine H =D D cümlesini alaca¼g z. q = (z; X), z D, X D olmak üzere H üzerinde toplama, skalarla çarpma ve çarpma işlemleri q + q 0 = (z + z 0 ; X + X 0 ) (z; X) = (z; X); D (::) qq 0 = (zz 0 fx j X 0 g; zx 0 + z 0 X + [X; X 0 ]) şeklinde tan mlan r. Şimdi aşa¼g daki sonucu verelim: Sonuç..1. H cümlesi e = (1; 0) birim eleman olan bir halkad r. (::) de verilen ilk iki operatörle bir D-modül, son operatörle D üzerinde bir cebirdir (Chevallier 1991). D yi [:j:] iççarp m ile ve reel Lie cebir yap s yla alsayd k bu do¼gru olmazd. D yi D üzerinde modül ve Lie cebir yap s yla al rsak, Kuaterniyonlar Cebirine (dual) geometrik bir destek vermiş oluruz. (z; 0) H bir skalar kuaterniyon olup ze veya basitçe z ile gösterilir. (0; X) H bir pür dual kuaterniyon olup, [X] şaklinde tan mlan r. Genel olarak, q = (z; X) H kuaterniyonunda Sc(q) = z ve V e(q) = X; s ras ile, q nun skalar ve vektörel k s mlar n tan mlar. q nun eşleni¼gini q = (z; X) ile gösterece¼giz. Aşa¼g daki eşitliklerin 1

24 sa¼gland ¼g n kolayca söyleyebiliriz: q 1 q = q q 1 ; Sc(q 1 q ) = Sc(q q 1 ) (::4) Sc([X][Y ]) = fx j Y g; V e([x][y ]) = [X; Y ]: (::) E¼ger H n n bir eleman di¼ger bütün elemanlarla de¼gişimli ise, bu eleman bir skalard r..4 Norm ve H da Ters Eleman q H için q nun normu N(q) = q q = q q = (z + fx j Xg)e şeklinde tan mlan r. N(q) pozitif reel k s ml bir dual kuaterniyondur. Kolayca, N(qq 0 ) = N(q 0 q) = N(q)N(q 0 ); N(q) = N(q) (:4:1) oldu¼gu söylenebilir. N(q) dual say s n n tersinin olmas için reel k sm n n s f rdan farkl olmas gerekir. Bunun için q H n n tersinin olmas için Re N(q) 6= 0 dolay s yla bu pozitif olaca¼g ndan Re N(q) > 0 olmal ve q nun tersi q 1 = N(q) 1 q şeklindedir. Yukar da Chevallier (1991) taraf ndan verilen işlemleri, helisel vektör alan n matris formunda yazarak farkl bir biçimde verebiliriz: 16

25 D Vektör uzay Bir (~a;~a ) vidas n, matris formunda 4 a a şeklinde ifade ederiz. Burada ~a;~a R ve a R, a R 1 dir. Bu matrisi, X helisel vektör alan na karş l k gelen matris olarak alabiliriz. Bu durumda yaz labilir. X(M) = 4 a a 4 M 1 = 4 ~a ^ OM! + ~a 0 D de Lie operatörü X(M) = ~a + ~a ^! OM ve Y (M) = ~ b + ~ b ^! OM olmak üzere, X ve Y nin matris ifadeleri için X! 4 a a ; Y! 4 b b [X; Y ] = XY Y X = 4 a a 4 b b 4 b b ab ab ba ba = 4 4 = 4 ab ba ab ba 4 a a 17

26 olur ki, bunun vida karş l ¼g [X; Y ](M) = ~a ^~b + ~a ^~b + (~a ^~b) ^! OM dir. D de D nin temsili D kat hareketlerin grubu olmak üzere, A D olsun. A : D! D X! A (X)(M) = A(X(A 1 (M))) dönüşümü yard m yla D deki elemanlar D vektör uzay n n elemanlar cinsinden tan mlanm ş olur. A lineer oldu¼gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayrca, her A; B D için (A:B) = A B ve! AX = A(! X ) dir. A dönüşümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA 1 şeklindedir. Yani, A (X) = 4 A d 0 1 4! v 4 A 1 A 1 d 0 1 = 4 A!A 1 A!A 1 d + Av 0 1 dir, burada A!A 1, tipinde anti-simetrik bir matris ve A!A 1 d + Av, bir vektördür. Şimdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A B oldu¼gunu gösterelim. 18

27 A = 4 A d ; B = 4 B d 0 1 ve X = 4! v olmak üzere, 0 1 A (B (X)) = 4 B d 4! v 4 B 1 B 1 d A = 4 B!B 1 B!B 1 d + Bv A (:4:) ve di¼ger taraftan = 4 AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (AB) (X) = = = 4 AB Ad + d 1 4! v 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d AB! 4 ABv 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (:4:) elde edilir. (:4:) ve (:4:) den (A:B) = A B oldu¼gu görülür. 19

28 4. ÖKL ID UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI Parametreli Hareketler Tan m f : E! E x! f(x) = g(t)x + c(t) (4:1:1) dönüşümüne 1-parametreli hareket denir. Burada, g(t) SO(); c(t) R 1 dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre bir grup oluştururlar. Bu grubu SE() ile gösterece¼giz. Yani, SE() = fa : A = 4 g c 0 1 ; g SO(); c R 1g: SE() bir Lie grubudur. Bu gruba karş l k gelen Lie cebirini de se() ile gösterelim. A 1 (t) = 4 g 1 (t) g 1 (t)c(t) 0 1 ve A(t) = 4 g(t) c(t) oldu¼gundan A(t)A 1 (t) = = g c 4 4 g 1 g 1 c 0 1 gg 4 1 gg 1 c + c 0

29 elde edilir.! = gg 1 ve v = gg 1 c + c dersek,!; tipinde anti-simetrik bir matristir. Bu durumda SE() Lie grubunun Lie cebiri se() = f4! v :! SO(); v R 1g olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar helisel vektör alanlar ile bire bir eşlenirler. Şimdi helisel vektör alanlar ile ani hareketler aras ndaki ilişkiyi verelim: 1-parametreli harekette x noktas n n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev al n rsa, y(t) = g(t)x + c(t) = g(t)g 1 (t)(y(t) c(t)) + c(t) =!(t)y(t)!(t)c(t) y(t) =!(t)y(t) + v(t) c(t) elde edilir. Burada!(t) = g(t)g 1 (t); v(t) = vektörü y(0) =!(0)y(0) + v(0) d r.!(t)c(t) c(t) dir. t = 0 an nda h z Şekil 4.1. Ani hareket Şimdi y 1 (0) = y(0) = M noktas nda h z y(0) ile ayn olan ani hareketi bulal m. Bu hareketi y 1 (t) ile gösterelim. Bu durumda y 1 (t) =!y 1 (t) + v diferensiyel denklemini y 1 (0) = y(0) = M 1

30 başlang ç şart alt nda çözersek, 4 y 1 0 = 4! v 4 M 1 olmak üzere 4 y 1(t) = 4! v A 4 M 1 = 4 g 1(t) c 1 (t) 4 M elde edilir. Burada g 1 (t) SO(); c 1 (t) R 1 dir. Bulunan y 1 (t) e¼grisi, X = 4! v helisel vektör alan n n integral e¼grisidir. Örnek 4.1..! = ; v = olmak üzere, X =

31 helisel vektör alan n ele alal m. exp (sx) = 1X (sx) k k! k= = I 4 0! + s + s 1!! s + s 4 + :::! 4! s 1! + s4 s ::: ( 4! 1! + s :::)! s = 1! + s s ::: 1!! + s4 ::: 4! 6 1 s cos s sin s sin s cos s = 6 1 s bulunur. exp(sx) ile bir parametreli hareket tan mlanabilir. Bir noktan n yörüngesi bir helis e¼grisidir. Şimdi bir parametreli hareketlerin h z da¼g l m ile vida hareketleri aras ndaki ilgiyi Bottema and Roth (1979) un bak ş aç s yla ele alal m: Tan m f : R! R lineer dönüşümü, her ~u; ~v R için < f(~u); f(~v) >=< ~u; ~v > ise, yani iççarp m koruyorsa, f dönüşümüne ortogonal dönüşüm denir. Ortogonal dönüşümler cümlesi O() ile gösterilen bir grup oluştu-

32 rurlar. f O() ve det f = 1 olan dönüşümlerin grubuna SO() denir ve SO(), O() ün altgrubudur. Tan m A : E! E dönüşümüne a ndir denir e¼ger, A : R! R! MN! A(! MN) =! A(M)A(N) olacak şekilde bir A lineer dönüşümü varsa. A ya A n n lineer k sm denir. Tan m E, boyutlu Öklid uzay olmak üzere, f : E! E P! f(p ) a n dönüşümü, E ün her P; Q noktas için d(p; Q) = d(f(p ); f(q)) şart n sa¼gl yorsa, f dönüşümüne izometri denir ve f(p ) = AP + C şeklinde tan mlan r. Farkl bir notasyonla ifade edecek olursak, P = AP + d (4:1:) dir. 1-parametreli hareketi gözönüne alal m. Yani, P = A(t)P + d(t) (4:1:) olsun. Bunun h z da¼g l m, P = _ AP + _ d şeklindedir. Di¼ger taraftan, (4:1:) den P = A 1 (P d) ifadesi (4:1:) de yerine 4

33 yaz l rsa, P = _ AA 1 (P d) + _ d veya _ AA 1 =! olmak üzere vektörel olarak P = ~! ^ (P d) + _ d elde edilir. Şimdi h z ~! ya paralel olan P noktalar n n geometrik yerini bulal m. Yani, ~! ^ (P d) + _ d = ~! (4:1:4) şart n sa¼glayan P noktalar n belirleyelim. taraf n n ~! ile iççarp m n al rsak, Bunun için (4:1:4) eşitli¼ginin her iki < ~! ^ (P d) + _ d; ~! >= < ~!; ~! > ve = < ~!; _ d > < ~!; ~! > bulunur. Bu son ifadeyi (4:1:4) de yerine yazarsak, ~! ^ (P d) = d _ + < ~!; d _ > ~! (4:1:) < ~!; ~! > elde edilir. a ^ x = b ve < a; b >= 0 şeklindeki bir denklemin çözümü x = a ^ b < a; a > + a şeklindedir (Bottema and Roth 1979). Buna göre, (41:) denkleminin çözümü P = d + ~! ^ _ d < ~!; ~! > + ~!

34 olarak bulunur. Bu ise, bir do¼gru belirtir. Bu do¼gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼gru üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda P = ~! ^ (P S) + ~! veya P = ~! ^! SP + ~! yaz labilir. Bu ise, ekseni s do¼grusu olan ~! aç sal h z ve ~! ötelemesine sahip vida hareketindeki h z da¼g l m ile ayn d r. 4. E de Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri Helisel vektör alanlar ile bir parametreli hareketlerin Lie cebirinin elemanlar eşlenebilir. Dolay s yla, bunlar yard m yla 1-parametreli (ani) hareketleri elde ederiz. Bu ani hareketlerin yörüngelerini bir teoremle verelim: Teorem X bir helisel vektör alan olsun. Yani, 4 X(M) 0 = 4! v 4 M 1 = 4!! ^! OM +! v 0 : (4::1) 1. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri helislerdir.. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri çemberlerdir.. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri paralel do¼grulard r. Ispat p 1 q 0 r x y z 1 = x 0 y 0 z (4::) 6

35 (t) = (x(t); y(t); z(t)), Xj (t) = 0 (t) (4::) nin integral e¼grilerini hesaplayal m. 1. rank[!; v] = olsun. Bu durumda r 6= 0 d r ve (4::) den dx dy dz = y + p = x + q = r elde edilir. Üçüncü eşitlikten z(t) = rt + s bulunur. Ikinci eşitlikte türev al n r ve birinci eşitlik kullan l rsa, d y = y p ve buradan d y + y = p (4::4) ikinci basamaktan diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü y o = p ve homogen k sm n n çözümü y h = c 1 cos t + c sin t olur genel çözüm ise y = y o + y h y(t) = c 1 cos t + c sin t + p (4::) 7

36 olarak bulunur. Buradan x(t) = c 1 sin t c cos t + q yani, (t) = (c 1 sin t c cos t + q; c 1 cos t + c sin t + p; rt + s) (4::6) şeklindedir. ve 0 (t) = (c 1 cos t + c sin t; c 1 sin t + c cos t; r) < 0 (t); (0; 0; 1) >= r = sabit oldu¼gundan (t) bir helistir.. rank[!; v] = olsun. Bu durumda (4::) den r = 0 olaca¼g ndan dx dy dz = y + p = x + q = 0 d r. Denklemler çözülünce (t) = (c 1 sin t c cos t + q; c 1 cos t + c sin t + p; s) (4::7) elde edilir.. rank[!; v] = 1 ise, dx dy dz = 0 = 0 = 0 8

37 denklem sistemi çözüldü¼günde (t) = (pt + s 1 ; qt + s ; rt + s ) (4::8) bulunur. Bu da paralel do¼grular verir. Sonuç 4... E deki 1-parametreli uzay hareketlerinde, ani hareketler alt nda bir noktan n yörüngesi, ya bir helis, ya bir çember veya bir do¼grudur. Şimdi E deki hareketler için yap lanlar E n+1 Öklid uzay na genelleştirelim. 4. E n+1 Öklid Uzay nda Helisel Vektör Alanlar Tan m E n+1 üzerinde f : E n+1! E n+1 x! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t) şeklinde tan mlanan dönüşüme 1-parametreli genel hareket denir. Burada, g(t) SO(n + 1), c(t) R n+1 1 dir. Bu hareketin matris formundaki ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre G = fa : A = 4 g c 0 1 ; g SO(n + 1); c R n+1 1 g: şeklinde bir grup oluştururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba karş l k gelen Lie 9

38 cebirini de g ile gösterelim. O zaman, g = f4 S V : S R n+1 n+1 anti-simetrik; V R n+1 1 g olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar helisel vektör alanlar ile bire bir eşlenirler. Tan m 4... S R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve V R n+1 1 olmak üzere X : E n+1! R n+1 1 M! X(M) = V + S:! M (4::1) şeklinde tan mlanan lineer dönüşüme helisel vektör alan denir. Tan m 4... X bir helisel vektör alan ve : I! E n+1, t! (t) bir e¼gri olsun. E¼ger her t I için d = X((t)) (4::) oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan n n integral e¼grisi denir. 1-parametreli harekette x noktas n n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev al n rsa, y(t) = g(t)x + c(t) = g(t)g 1 (t)(y(t) c(t)) + c(t) =!(t)y(t)!(t)c(t) y(t) =!(t)y(t) + v(t) c(t) elde edilir. t = 0 an nda h z vektörü y(0) =!(0)y(0) + v(0) d r. Şimdi y 1 (0) = y(0) = M noktas nda h z y(0) ile ayn olan ani hareketi bulal m. Bu 0

39 hareketi y 1 (t) ile gösterelim. Bu durumda y 1 (t) =!y 1 (t) + v diferensiyel denklemini y 1 (0) = y(0) = M başlang ç şart alt nda çözersek, 4 y 1 0 = 4! v 4 M 1 olmak üzere 4 y 1(t) = 4! v A 4 M 1 = 4 g 1(t) c 1 (t) 4 M elde edilir. Burada g 1 (t) SO(n + 1); c 1 (t) R n+1 1 dir. Bulunan y 1 (t) e¼grisi, X = 4! v helisel vektör alan n n integral e¼grisidir. Teorem X; E n+1 de bir helisel vektör alan ve X in f0; u 1 ; :::; u n+1 g ortonormal çat s na göre matrisi; 4! v olsun. Burada! R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve v R n+1 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[!; v] = n + 1 ise, X in integral e¼grileri, ortak eksenli ayn parametreli dairesel helis e¼grileridir. 1

40 . rank[!; v] = k, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.. rank[!; v] = k + 1, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, dairesel helislerdir. 4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri, paralel do¼grulard r. Ispat. X helisel vektör alan, her M = (x 1 ; :::; x n+1 ) E n+1 için 4 X(M); 0 = 4! v M 1 = a a n 0 a n 1 0 n a n 0 0 a n x 1 x. x n 1 x n x n+1 1 (4::) 7 X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) (4::4) olarak bulunur. E n+1 de e¼grisini ele alal m. : I! E n+1 t! (t) = ( 1 (t); :::; n+1 (t)) 1. n n X vektör alan na ait bir integral e¼grisi olabilmesi için d = X((t)) (4::) diferensiyel denklemini sa¼glamas gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayal m.

41 (4::) diferensiyel denkleminin (t) = M ve M = (x 1 ; :::; x n+1 ) başlang ç şartl integral e¼grisi X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) için d = X(M) (4::6) diferensiyel denkleminin çözüm e¼grisidir. (4::6) denkleminin aç k ifadesi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = 1 x + a 1 = 1 x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (4::7) = n x n + a n 1 = n x n 1 + a n = a n+1 şeklindedir. (4::7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amac yla i = 1, 1 i n

42 almam z genelli¼gi bozmaz. Bu durumda (4::7) sistemi; dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (4::8) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = c şeklini al r. (4::8) sisteminde son denklemin çözümü x n+1 = ct + d (4::9) şeklindedir. Geriye kalan n tane denklem ikişer ikişer çözülürler. (4::8) sisteminde ilk iki denklemi ele alal m: dx 1 dx = x + a 1 = x 1 + a : Ikinci denklemin türevi al n r ve dx 1 de¼geri yerine yaz l rsa, d x + x 1 = a 1 (4::10) 4

43 bulunur. Bu denklemin çözümü x = A 1 cos t + B 1 sin t a 1 şeklinde bulunur. Bu de¼gerin yerine yaz lmas yla x 1 = A 1 sin t B 1 cos t + a elde edilir. Bu şekilde devam edilirse, (n 1) ve n-inci denklem çiftinin çözümü x n 1 = A n sin t B n cos t + a n x n = A n cos t + B n sin t a n 1 şeklinde bulunur. Buradan X lineer vektör alan na karş l k gelen (t) integral e¼grisinin ifadesi; (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A n sin t B n cos t + a n ; A n cos t + B n sin t a n 1 ; ct + d) (4::11) olur. 0 (t) = (A 1 cos t + B 1 sin t; A sin t + B cos t; :::; A n cos t + B n sin t; A n sin t + B n cos t; c) olmak üzere < 0 (t); (0; :::; 0; 1) >= c = sabit oldu¼gundan (t) bir helis belirtir.. rank[!; v] = k, 1 k n olsun.

44 (a) E¼ger rank[!; v] = n ise, bu durumda a n+1 = 0 olmas gerekir. Bu durumda (4::8) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (4::1) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = 0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (4::11) den (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A n sin t B n cos t + a n ; A n cos t + B n sin t a n 1 ; d) bulunur. Bu integral e¼grilerinin çember oldu¼gu aşikard r. (b) rank[!; v] = r, r = ; 4; :::; n olsun. Bu durumda (4::) deki matristen rank[!; v] = r, i = 0; r + 1 i n 6

45 yaz labilir. Böylece (4::8) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx dx r 1 dx r dx j = x + a 1 = x 1 + a. (4::1) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = 0; r + 1 j n + 1 şekline dönüşür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (4::11) den (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A r= sin t B r= cos t + a r ; A r= cos t + B r= sin t a r 1 ; d r+1 ; :::; d n+1 ) bulunur. Bu integral e¼grileri yine birer çemberdir.. rank[!; v] = k + 1, 1 k n olsun. (a) rank[!; v] = n + 1 ise, bu teoremin birinci ş kk n verir. (b) rank[!; v] = k + 1 = r + 1, r = ; 4; :::; n olsun. Bu durumda (4::) deki ilk matristen rank[!; v] = r + 1, i = 0; r + 1 i n ve a r+1 6= 0 7

46 yaz labilir. Böylece (4::8) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx dx r 1 dx r dx r+1 dx j = x + a 1 = x 1 + a. (4::14) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = a r+1 = 0; r + j n + 1 olur. Bu durumda (4::14) sisteminin çözümü (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A r= sin t B r= cos t + a r ; A r= cos t + B r= sin t a r 1 ; a r+1 t; d r+ ; :::; d n+1 ) (4::1) olarak bulunur. Görüldü¼gü gibi (4::1) e¼grileri dairesel helislerdir. 4. rank[!; v] = 1 olsun. Bu ise, her i = 1; :::; n için i = 0 olmas demektir. Bu durumda (4::8) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx dx n+1 = a 1 = a. (4::16) = a n+1 olur. Bu denklem sisteminin çözümü; (t) = (a 1 t + d 1 ; a t + d ; :::; a n+1 t + d n+1 ) (4::17) 8

47 şeklindedir. Bu ise, paralel do¼grular verir. Böylece teoremin ispat tamamlanm ş olur. Bundan sonraki bölümde, Öklid uzay için yap lanlar, Lorenz uzay na genelleştirilecektir. 9

48 . LORENZ UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI.1 1-Parametreli Hareket Tan m.1.1. R üstünde, < ; > L : R R! R (~v; ~w)! <! v ;! w > L = v 1 w 1 + v w + v w ile tan mlanan < ; > L metrik tensörünü ele alal m. Bu durumda (R ; < ; > L ) ikilisine -boyutlu Lorenz uzay ad verilir ve R 1 ile gösterilir. Tan m.1.. E 1 üzerinde f : E 1! E 1 x! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t) (:1:1) 1 dönüşümünü göz önüne alal m. Burada, g(t) SO(; 1) yani, " = olmak üzere, g T = "g 1 " dur. Bunun matris formunda ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X (:1:) şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre bir grup oluştururlar. Bu grubu SE(; 1) ile gösterece¼giz. Yani g(t) c(t) SE(; 1) = fa(t) : A(t) = 4 ; g(t) SO(; 1); c(t) R 1g (:1:) 0 1 şeklindedir. Bu gruba R 1 kat hareketlerinin Özel Öklidiyen grubu denir. SE(; 1) 40

49 bir matris Lie grubudur. (:1:) nin her iki taraf n n türevini al rsak, Y (t) = A(t)X (:1:4) bulunur ve (:1:) den X çekilerek, (:1:4) de yerine yaz l rsa; Y (t) = A(t)A 1 (t)y (t) elde edilir. W = A 1 (t) = A(t)A 1 (t) diyelim. 4 g 1 (t) g 1 (t)c(t) 0 1 ve A(t) = 4 g(t) c(t) oldu¼gundan W = A(t)A 1 (t) = = g c 4 4 g 1 g 1 c 0 1 gg 4 1 gg 1 c + c elde edilir.! T = "! " dur. gg 1 =! dersek,! Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matristir. Yani, Gerçekten,! = a b a 0 c b c

50 olmak üzere, "! " = = = a b 6 a 0 c 7 4 b c 0 0 a b a 0 c b c 0 0 a b a 0 c 7 b c =! T dir. se(; 1) ile SE(; 1) Lie grubunun Lie cebirini gösterecek olursak, se(; 1) i elde edelim. oldu¼gundan A 1 (t) = 4 g 1 (t) g 1 (t)c(t) 0 1 ve A(t) = 4 g(t) c(t) A(t)A 1 (t) = = g c 4 4 g 1 g 1 c 0 1 gg 4 1 gg 1 c + c elde edilir.! = gg 1 ve v = gg 1 c + c dersek,! Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matristir. Yani,! T = "! " dur. Bu durumda SO(; 1) Lie grubunun Lie cebiri se(; 1) = f4! v :! SO(; 1); v R 1g (:1:4) 4

51 olarak elde edilir. Şimdi, Lorenz anlam nda tipinde anti-simetrik matrislerde matris çarp m ile Lorenz anlam nda vektörel çarp m verelim. 0 a b x! X = 6 a 0 c 7 6 y b c 0 z = (ay + bz; ax + cz; bx cy) veya! = a b a 0 c b c 0 7!! = ( c; b; a) olmak üzere,!! ^L x = c b a x y z = ( ( bz ay); ( cz ax); cy + bx) = (ay + bz; ax + cz; bx cy) =! X dir. Şimdi (:1:1) ifadesini yeniden ele alal m. y(t) = g(t)x + c(t) ) x = g 1 (t)(y(t) c(t)) 4

52 olmak üzere, bunun h z da¼g l m, y = gx + c (:1:) şeklindedir. Di¼ger taraftan, (:1:1) den x = g 1 (y c) ifadesi (:1:) de yerine yaz l rsa, y = gg 1 (y c) + c =!(y c) + c =! ^L (y c) + c elde edilir. Her iki uzayda h z sabit olan noktalar (Pol noktalar n ) bulal m. Bunun için y = 0 denklemini çözmeliyiz. ~! ^L (y c) + c = 0 denkleminde y nin tek olarak bulunmas için det! 6= 0 olmal. Fakat,! T = "! " ) det! = ( 1) det! ) det! = 0 d r. Yani tek çözüm yoktur. O halde h z ~! ya paralel olan x noktalar n n geometrik yerini bulal m. Yani, ~! ^L (y c) + c = ~! (:1:6) şart n sa¼glayan x noktalar n belirleyelim. Bunun için (:1:6) eşitli¼ginin her iki 44

53 taraf n n ~! ile iç çarp m n al rsak, < ~! ^L (y c) + c; ~! > L = < ~!; ~! > L veya = < ~!; c > L < ~!; ~! > L bulunur. Bu son eşitli¼gi (:1:6) da yerine yazarsak, elde edilir. ~! ^L (y c) = c + < ~!; c > L < ~!; ~! > L ~! (:1:7) a ^L u = b ve < a; b > L = 0 şeklindeki bir denklemin çözümü u = a ^L b < a; a > L + a şeklindedir. Buna göre, (:1:7) denkleminin çözümü y = c ~! ^L c < ~!; ~! > L + ~! olarak bulunur. Bu ise, bir do¼gru belirtir. Bu do¼gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼gru üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda y = ~! ^L (y c) + c d r. (:1:6) dan ve son iki eşitlikten ~! ^L (S c) = ~!! y = ~! ^L Sy + ~! c yaz labilir. Bu ise, ekseni s do¼grusu olan ~! aç sal h z ve ~! ötelemesine sahip vida 4

54 hareketindeki h z da¼g l m ile ayn d r. Gerçekten,!! y = ~! ^L Oy ~! ^L = ~! + OS! ^L ~! + {z } {z} ~! ~a ~a = ~a! + ~a ^L Oy OS + ~! ^L! Oy elde edilir.. Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar Plücker koordinat sisteminde (~a;~a ) ile ifade edilen bir vida X : E 1! R 1 M! X(M) = ~a + ~a ^L! OM helisel vektör alan ile birleşir.! a ya X in ekseni denir ve! X ile gösterilir. Helisel vektör alanlar n n cümlesini D ile gösterecek olursak, D, (X + Y )(M) = X(M) + Y (M); M E (X)(M) = X(M); R işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzay d r. Bir (~a;~a ) vidas n, matris formunda 4 a a şeklinde ifade ederiz. Burada a; tipinde Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matris ve a ; 1 tipinde sütun matrisi formundad r. Buna göre X helisel vektör alan n n matris gösterimi 4 X(M) 0 = 4 a a 4 M 1 46 = 4 ~a ^L! OM + ~a 0

55 şeklindedir. Şimdi helisel vektör alan için Öklid uzay nda yapt ¼g m z tan mlar Lorenz uzay için verelim:..1 D Vektör uzay Helissel vektör alanlar n n cümlesini D ile gösterecek olursak, D, (X + Y )(M) = X(M) + Y (M); M E 1 (X)(M) = X(M); R işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzay d r. Bir (~a;~a ) vidas n, matris formunda 4 a a şeklinde ifade ederiz. Burada a; tipinde Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matris ve a ; 1 tipinde sütun matrisi formundad r... D de Lie operatörü D üzerinde tan mlanan [ ; ] : D D! D (X; Y )! [X; Y ](M) = ~a ^L Y (M) ~ b ^L X(M) işlemini göz önüne alal m. Burada X(M) = ~a + ~a ^L de¼gerleri yerlerine yaz l rsa, [X; Y ](M) = ~a ^L ~ b + ~a ^L ~ b + (~a ^L ~ b) ^L! OM, Y (M) = ~ b + ~! b ^L OM! OM 47

56 elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan oldu¼gunu gösterir. Ayr ca,! [X;Y ] = ~a ^L ~ b şeklindedir. [ ; ] antisimetrik, bilineer ve Jacobi özdeşli¼gi özeliklerini sa¼glar. Dolay s yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir. Yine bunu matris formunda şöyle ifade edebiliriz: X(M) = ~a + ~a ^L ifadeleri için! OM ve Y (M) = ~ b + ~! b ^L OM olmak üzere, X ve Y nin matris X! 4 a a ; Y! 4 b b [X; Y ] = XY Y X = 4 a a 4 b b 4 b b ab ab ba ba = 4 4 = 4 ab ba ab ba 4 a a olur ki, bunun vida karş l ¼g [X; Y ](M) = ~a ^L ~ b + ~a ^L ~ b + (~a ^L ~ b) ^L! OM olup, yukar daki tan m ile çak şmaktad r. 48

57 .. D de iççarp m D de [ j ] : D D! R (X; Y )! [X j Y ] =< ~a; ~ b > L + < ~a ; ~ b > L şeklinde tan mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp m olarak adland r l r. Bu iççarp m ifadesi M nin seçilişinden ba¼g ms zd r...4 D de D nin temsili D kat hareketlerin grubu olmak üzere, A D olsun. A : D! D X! A (X)(M) = A(X(A 1 (M))) dönüşümü yard m yla D deki elemanlar D vektör uzay n n elemanlar cinsinden tan mlanm ş olur. A lineer oldu¼gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayr ca, her A; B D için (A:B) = A B ve! AX = A(! X ) dir. A dönüşümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA 1 şeklindedir. Yani, A (X) = 4 A d 0 1 4! v 4 A 1 A 1 d 0 1 = 4 A!A 1 A!A 1 d + Av dir, burada A!A 1 d+av, bir vektör ve A!A 1, tipinde Lorenz anlam nda antisimetrik bir matris, yani, (A!A 1 ) T = " (A!A 1 ) " dur. Gerçekten, A 1 = " A T " 49

58 ve! T = "! " oldu¼gundan (A!A 1 ) T = (A 1 ) T! T A T = (" A T ") T ( "! ")(" A 1 ") = " A " "! " " A 1 " = " (A!A 1 ) " bulunur. Şimdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A B oldu¼gunu gösterelim. A = 4 A d ; B = 4 B d 0 1 ve X = 4! v olmak üzere, 0 1 A (B (X)) = 4 B d 4! v 4 B 1 B 1 d A = 4 B!B 1 B!B 1 d + Bv A (::1) ve di¼ger taraftan = 4 AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (AB) (X) = = = 4 AB Ad + d 1 4! v 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d AB! 4 ABv 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (::1) elde edilir. (::1) ve (::) dan (A:B) = A B oldu¼gu görülür. 0

59 . Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri Tan m..1. X bir helisel vektör alan ve : I! E 1, t! (t) bir e¼gri olsun. E¼ger her t I için d = X((t)) oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan n n integral e¼grisi denir. Teorem... X = (~!; ~v) bir helisel vektör alan olsun. Yani, 4 X(M) 0 = 4! v 4 M 1 = 4 ~! ^L! OM + ~v 0 : 1. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri Lorenzian helislerdir.. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri Lorenzian çemberlerdir.. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri paralel do¼grulard r. Ispat p 1 q 0 r x y z 1 = x 0 y 0 z (::1) (t) = (x(t); y(t); z(t)), Xj (t) = 0 (t) (::) nin integral e¼grilerini hesaplayal m. 1

60 1. rank[!; v] = olsun. (::) den dx dy dz = y + p = x + q = r elde edilir. Üçüncü eşitlikten z(t) = rt + s bulunur. Ikinci eşitlikte türev al n r ve birinci eşitlik kullan l rsa, d y = y + p ve buradan d y y = p (::) ikinci dereceden diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü y o = p ve homogen k sm n n çözümü y h = c 1 cosh t + c sinh t olur genel çözüm ise y = y o + y h y(t) = c 1 cosh t + c sinh t p (::4) olarak bulunur. Buradan x(t) = c 1 sinh t + c cosh t q

61 yani, (t) = (c 1 sinh t + c cosh t q; c 1 cosh t + c sinh t p; rt + s) (::) şeklindedir. 0 (t) = (c 1 cosh t + c sinh t; c 1 sinh t + c cosh t; r) ve < 0 (t); (0; 0; 1) > L = r = sabit oldu¼gundan (t) bir Lorenzian helistir.. rank[!; v] = olsun. Bu durumda (::1) den c = 0 olaca¼g ndan dx dy dz = y + p = x + q = 0 d r. Denklem sistemi çözülürse, (t) = (c 1 sinh t + c cosh t q; c 1 cosh t + c sinh t p; s) (::6) elde edilir.. rank[!; v] = 1 ise, dx dy dz = 0 = 0 = 0 denklem sistemi çözüldü¼günde (t) = (pt + s 1 ; qt + s ; rt + s ) (::7)

62 bulunur. Bu da paralel do¼grular verir. Şimdi, boyutlu Lorenz uzay için verdi¼gimiz ifadeleri n+1 boyutlu Lorenz uzay na genişletelim..4 E n+1 1 Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar Tan m.4.1. E n+1 1 üzerinde f : E1 n+1! E1 n+1 x! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t) şeklinde tan mlanan dönüşüme 1-parametreli genel hareket denir. Burada, g(t) SO(n + 1; 1); c(t) R n+1 1 dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre G = fa : A = 4 g c 0 1 ; g SO(n + 1; 1); c R n+1 1 g: şeklide bir grup oluştururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba karş l k gelen Lie cebirini g ile gösterecek olursak, g = f4 S V : S R n+1 n+1; S T = "S"; V R n+1 1 g şeklinde elde edilir. Lie cebirinin elemanlar helisel vektör alanlar ile bire bir eşlenirler. 4

63 Tan m.4.. S R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve V R n+1 1 olmak üzere X : E1 n+1! R n+1 1 M! X(M) = V + S:! M (:4:1) şeklinde tan mlanan lineer dönüşüme helisel vektör alan denir. Tan m.4.. X bir helisel vektör alan ve : I! E n+1 1, t! (t) bir e¼gri olsun. E¼ger her t I için d = X((t)) (:4:) oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan n n integral e¼grisi denir. 1-parametreli harekette x noktas n n yöüngesi y(t) = g(t)x + c(t) dir. Burada türev al n rsa, y(t) = g(t)x + c(t) = g(t)g 1 (t)(y(t) c(t)) + c(t) =!(t)y(t)!(t)c(t) y(t) =!(t)y(t) + v(t) c(t) elde edilir. t = 0 an nda h z vektörü y(0) =!(0)y(0) + v(0) d r. Şimdi y 1 (0) = y(0) = M noktas nda h z y(0) ile ayn olan ani hareketi bulal m. Bu hareketi y 1 (t) ile gösterelim. Bu durumda y 1 (t) =!y 1 (t) + v diferensiyel denklemini y 1 (0) = y(0) = M

64 başlang ç şart alt nda çözersek, 4 y 1 0 = 4! v 4 M 1 olmak üzere 4 y 1(t) = 4! v A 4 M 1 = 4 g 1(t) c 1 (t) 4 M elde edilir. Burada g 1 (t) SO(n + 1; 1); c 1 (t) R n+1 1 dir. Bulunan y 1 (t) e¼grisi, X = 4! v helisel vektör alan n n integral e¼grisidir. Teorem.4.4. X; E n+1 1 de bir helisel vektör alan ve X in f0; u 1 ; :::; u n+1 g ortonormal çat s na göre matrisi; 4! v olsun. Burada! R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve v R n+1 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[!; v] = n + 1 ise, X in integral e¼grileri, ortak eksenli ayn parametreli dairesel helis e¼grileridir.. rank[!; v] = k, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.. rank[!; v] = k + 1, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, dairesel helislerdir. 4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri, paralel do¼grulard r. 6

65 Ispat. X helisel vektör alan, her M = (x 1 ; :::; x n+1 ) E n+1 1 için 4 X(M) 0 = 4! v M 1 = a a n 0 a n 1 0 n a n 0 0 a n x 1 x. x n 1 x n x n (:4:) X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) (:4:4) olarak bulunur. E n+1 1 de e¼grisini ele alal m. : I! E n+1 1 t! (t) = ( 1 (t); :::; n+1 (t)) 1. n n X vektör alan na ait bir integral e¼grisi olabilmesi için d = X((t)) (:4:) diferensiyel denklemini sa¼glamas gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayal m. (:4:) diferensiyel denkleminin (t) = M ve M = (x 1 ; :::; x n+1 ) başlang ç şartl integral e¼grisi X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) 7

66 için d = X(M) (:4:6) diferensiyel denkleminin çözüm e¼grisidir. (:4:6) denkleminin aç k ifadesi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = 1 x + a 1 = 1 x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (:4:7) = n x n + a n 1 = n x n 1 + a n = a n+1 şeklindedir. (4:4:7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amac yla i = 1, 1 i n almam z genelli¼gi bozmaz. Bu durumda (:4:7) sistemi; dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (:4:8) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = c 8

67 şeklini al r. (:4:8) sisteminde son denklemin çözümü x n+1 = ct + d (:4:9) şeklindedir. Geriye kalan n tane denklem ikişer ikişer çözülürler. (:4:8) sisteminde ilk iki denklemi ele alal m: dx 1 dx = x + a 1 = x 1 + a : Ikinci denklemin türevi al n r ve dx 1 de¼geri yerine yaz l rsa, bulunur. Bu denklemin çözümü d x x 1 = a 1 (:4:10) x = A 1 cosh t + B 1 sinh t a 1 şeklinde bulunur. Bu de¼gerin yerine yaz lmas yla x 1 = A 1 sinh t + B 1 cosh t a elde edilir. Bu şekilde devam edilirse, (n 1) ve n-inci denklem çiftinin çözümü x n 1 = A n sin t B n cos t + a n x n = A n cos t + B n sin t a n 1 şeklinde bulunur. 9

68 Buradan X lineer vektör alan na karş l k gelen (t) integral e¼grisinin ifadesi; (t) = (A 1 sinh t + B 1 cosh t a ; A 1 cosh t + B 1 sinh t a 1 ; :::; A n sin t + B n cos t + a n ; A n cos t + B n sin t a n 1 ; ct + d) (:4:11) olur. 0 (t) = (A 1 cosh t + B 1 sinh t; A sinh t + B cosh t; :::; A n cos t B n sin t; A n sin t + B n cos t; c) olmak üzere < 0 (t); (0; :::; 0; 1) >= c = sabit oldu¼gundan (t) bir helis belirtir.. rank[!; v] = k, 1 k n olsun. (a) E¼ger rank[!; v] = n ise, bu durumda a n+1 = 0 60

69 olmas gerekir. Bu durumda (:4:8) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (:4:1) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = 0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (:4:11) den (t) = (A 1 sinh t + B 1 cosh t a ; A 1 cosh t + B 1 sinh t a 1 ; :::; A n sinh t + B n cosh t + a n ; A n cosh t + B n sinh t a n 1 ; d) bulunur. Bu integral e¼grilerinin çember oldu¼gu aşikard r. (b) rank[!; v] = r, r = ; 4; :::; n olsun. Bu durumda (:4:) deki matristen rank[!; v] = r, i = 0; r + 1 i n yaz labilir. Böylece (:4:8) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx dx r 1 dx r dx j = x + a 1 = x 1 + a. (:4:1) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = 0; r + 1 j n

LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır

LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Türkan YAYLACI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar

6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar 6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli

Detaylı

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Detaylı

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve ) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? ) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile

Detaylı

ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ DOKTORA TEZ I. Ismail GÖK MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 2010.

ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ DOKTORA TEZ I. Ismail GÖK MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 2010. ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ DOKTORA TEZ I KONTAK GEOMETR IDE YÜZEYLER TEOR IS I Ismail GÖK MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 200 Her hakk sakl d r TEZ ONAYI Ismail GÖK taraf ndan

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012 NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6 7! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / 9 . LU ve Cholesky

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE Zafer ŞANLI Danışman: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA-2009 Fen Bilimleri

Detaylı

Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)

Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu) Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye

Detaylı

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI 1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri 1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2 VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ

DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ Bölüm 1 DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ 1.1 Dal Birim Küre ve Stdy Dönüşümü 1 R reel sayılar cümlesini göstermek üere, : R R R R, (a,b)(c,d) = (ac,ad +bc) olarak tanımlanan işleme dal çarpım adı verilir

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 27 Çok farkl durumlara uygulanabilen genel bir yöntemdir. Reel de¼gişkenli,

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ. Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ. Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 01 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ KANAL YÜZEYLER

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016 Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I

DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Doktora Tezi FERMI-WALKER

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav

SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav Dersin Kodu: MAT0 Dönemi: 00-0 Bahar Tarihi: 0.0.0 Saat:. 00 Yer: Am III-IV Süre: 90 Dakika Dersin Sorumlusu Gözetmenler SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav : Prof. Dr. Seril PEHL IVAN : Araş. Gör.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent

Detaylı

Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z.

Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z. Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m 2010 1 Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z. 2 (a) d (x; y) = Z 1 0 jx (t) y (t)j 1 + jx (t) y (t)j dt fonksiyonunun

Detaylı

TEZ ONAYI Mücahit MERAL tarafından hazırlanan Kuaterniyonlara Ait Matrisler İçin De Moivre ve Euler Formülleri adlı tez çalışması tarihinde

TEZ ONAYI Mücahit MERAL tarafından hazırlanan Kuaterniyonlara Ait Matrisler İçin De Moivre ve Euler Formülleri adlı tez çalışması tarihinde ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Mücahit MERAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır TEZ

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar

MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar Içindekiler 1. Topolojinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler 2. Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay 3. Baz ve Alt Baz 4. Metrik

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1 GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir

Detaylı

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI DOKTORA PROGRAMI

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI DOKTORA PROGRAMI DOKTORA PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL ADI MAT-6501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-6601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL ADI MAT-6502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0

Detaylı

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL MAT-5501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-5601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL MAT-5502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

n ; = w! =(w 1 ; :::; w n ) (1.2.2) ; :::; + :::

n ; = w! =(w 1 ; :::; w n ) (1.2.2) ; :::; + ::: 1. G IR IŞ 1.1. Ön Bilgiler Laplace denklemi, zik ve mühendisli¼gin pekçok alan nda ortaya ç kt ¼g ndan matematikçilerin, mühendislerin ve bilim adamlar n n büyük bir ilgi alan olmuştur. Potansiyel Teorinin

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SİNGÜLER POTANSİYELLİ STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLERİ Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi S

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ TÜRKİYE GENELİ ÇÖZÜMLER MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ. D 6. D. D 7. B. B 8. A 4. D 9. B 5. B. C 6. A. A 7. B. A 8. E. B 9. D 4. E. C 5. B. D 6.

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER MUTLU AKAR DOKTORA TEZİ MATEMATİK

Detaylı

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARÇALI SÜREKLİ ARGÜMENTLİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Gizem SEYHAN

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARÇALI SÜREKLİ ARGÜMENTLİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Gizem SEYHAN ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARÇALI SÜREKLİ ARGÜMENTLİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER Gizem SEYHAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 28 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

PROBLEM SET I ARALIK 2009

PROBLEM SET I ARALIK 2009 PROBLEM SET I - 5 09 ARALIK 009 Soru 1 (Besanko ve Braeutigam (00), sayfa 405): Aşa¼g da tam rekabet piyasas nda faaliyet gösteren bir rman n k sa dönem toplam maliyet fonksiyonu verilmiştir: Piyasa denge

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ Neslihan ÇAVUNT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her hakkı saklıdır

Detaylı

A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,

A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ, Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+ ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı