Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018
|
|
|
- Duygu Gökay
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
2 Matematiksel Analiz Analitik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
3 Matematiksel Analiz Analitik Sayısal E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
4 Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
5 Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif Sembolik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
6 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
7 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
8 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
9 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denklemini belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
10 Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denklemini belirlenmesi? y = t y, t (a, b), y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
11 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
12 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
13 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
14 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin 2 (x)dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
15 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin 2 (x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
16 Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü?(derecesi 5 veya daha büyük polinomların kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel( )Norveçli Matematikçi, Genellleştirme:Évariste Galois( ) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin 2 (x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? y = t y 2, t (a, b) y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
17 Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek.örneği y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
18 Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek.örneği y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
19 Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek.örneği y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. Öte yandan y 0 < 0 için denklemin sağ yanınegatif olacağıiçin çözüm eğrilerinin devamlıolarak azalmasıgerektiği, çözümü belirlemeksizin anlaşılmaktadır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
20 Kalitatif Analiz Gerçekten de aşağıda Maxima fonksiyonu plotdf fonksiyonu yardımıyla elde ettiğimiz çözüm eğrileri tahmin edilen davranışı sergilemektedirler. y x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
21 Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında bilgisayar cebir sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
22 Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında bilgisayar cebir sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. Analitik çözümü kolayca elde edilebilen aşağıdaki başlangıç değer probleminin Maxima ile çözümünün nasıl elde edildiği aşağıda görülmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
23 Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
24 Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
25 Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
26 Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
27 Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
28 Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
29 Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
30 Sayısal Analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) sonuç, yorum ve yöntemin kritiği(kısıtlamaları) ile mümkünse alternatif yöntem arayışları E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
31 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir fonksiyonun, verilen bir x 0b noktası komşuluğunda reel sıfıryerini(eğer mevcutsa) içeren [a,b] aralĭgını belirleme problemi E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
32 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir fonksiyonun, verilen bir x 0b noktası komşuluğunda reel sıfıryerini(eğer mevcutsa) içeren [a,b] aralĭgını belirleme problemi Sayısal yöntem(sağ veya sol yönde tarama): x 0b noktasınıiçeren uygun bir [x min, x max ] kümesine sıfıryeri tarama aralĭgıadıverelim. x 0 = x 0b noktasından başlayarak önce sağa doğru, uygun bir h adım uzunluklu x i+1 = x i + h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarında x i+1 < x max olduğu sürece f (x i )f (x i+1 ) <= 0 eşitsizliğini sağlayan ilk (x i, x i+1 ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i, b = x i+1 dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
33 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x 0 = x 0b noktasından başlayarak, x i+1 > x min olduğu sürece x i+1 = x i h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarda yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x i+1, x i ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i+1, b = x i dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
34 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x 0 = x 0b noktasından başlayarak, x i+1 > x min olduğu sürece x i+1 = x i h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarda yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x i+1, x i ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i+1, b = x i dir. Eğer sol yönde tarama işleminde de belirtilen kriteri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [x min, x max ] tarama aralĭgında sıfıryerini içeren alt aralık belirlenememiş olur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
35 Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
36 Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
37 Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması yöntemin icrasıiçin gerekli her bir adım ile E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
38 Örnek-I:algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması yöntemin icrasıiçin gerekli her bir adım ile kullanıcıya iletilecek sonuçların(çıktıveya Output) açık ve net bir biçimde ifade edildiği komutlar kümesidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
39 Örnek-I:Algoritma Girdi : f, x 0b Varsayılan parametreler: R = 10 varsayılan tarama yarıçapı x min = x 0b R, x max = x 0b + R sıfıryeri tarama aralĭgi h = 0.1 ardışık noktalar arasımesafe, x 0 = x 0b ilk tahmini değer Sağ yönde tarama: x 1 = x 0 + h x 1 < x max olduğu sürece 1 eğer f (x 0 )f (x 1 ) 0 ise X = [x 0, x 1 ] tanımla ve çık 2 değilse x 0 = x 1, x 1 = x 0 + h olarak tanımla E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
40 Örnek-I:Algoritma Sol yönde tarama x 0 = x 0b, x 1 = x 0 h x 1 > x min olduğu sürece 1 eğer f (x 0 )f (x 1 ) 0 ise X = [x 1, x 0 ] tanýmla ve çık 2 değilse x 0 = x 1, x 1 = x 0 h olarak tanımla Sıfır yeri için tahmini aralık bulunamadıyaz ve çık. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
41 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
42 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
43 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
44 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
45 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
46 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
47 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
48 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
49 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
50 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
51 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
52 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
53 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
54 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else x0 = x1; x1 = x0 h; test = x1>xmin; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
55 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else x0 = x1; x1 = x0 h; test = x1>xmin; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
56 Örnek-I:Kod function X=bul(f,x0b) x0 = x0b; R = 10; xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1; x1 = x0 + h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x0, x1]; return; else x0 = x1; x1 = x0 + h; test = x1<xmax; end end x0 = x0b; x1 = x0 h; test = 1; while test if f (x0) f (x1)< = 0 X = [x1, x0]; return; else x0 = x1; x1 = x0 h; test = x1>xmin; end end disp( sifir yerini iceren aralik bulunamadi ); X = []; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
57 Örnek-I:Test f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
58 Örnek-I:Test f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. >> f=inline( exp(x)-x-4 ) f = Inline function: f(x) = exp(x)-x-4 >> X=bul(f,0) X= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
59 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
60 Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. >> f=inline( log(x)-x+4 ) f = Inline function: f(x) = log(x)-x+4 >> X=bul(f,10) X= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
61 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfıryeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
62 Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfıryeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas almaktadır ve sadece sıfır noktasıkomşuluğunda işaret değiştiren sıfır yerlerini( basit yani tek katlısıfıryerlerini) belirlemek amacıyla kullanılabilir, fakat f (x) = x 2 gibi çift katlısıfıryerlerine sahip olan, yani sıfıryeri komşuluğunda işaret değiştirmeyen fonksiyonların sıfıryerlerinin belirlenmesinde kullanılamaz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
63 Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
64 Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yerini ɛ hatasıile belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
65 Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yerini ɛ hatasıile belirleyiniz. Sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi çözüm mevcut E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
66 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
67 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
68 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği alt aralık belirlenir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
69 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği alt aralık belirlenir. aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile devam edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
70 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] fonksiyonunun grafiği: E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
71 Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] fonksiyonunun grafiği: [0,5],c= [0,2.5],c= [1.25,2.5],c= [1.25,1.875],c= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
72 Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
73 Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
74 Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
75 Örnek-II:algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c 4 f (c) > ɛ olduğu sürece a, c, b, f (c) değerlerini yaz ve (2) ye git değilse işlemi durdur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
76 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
77 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
78 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
79 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
80 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
81 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
82 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
83 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
84 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
85 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
86 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
87 Örnek-II:Program 1 function c=ikibol (f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); 12 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
88 Örnek-II:Uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunu [0, 2]aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim.f fonksiyonunu E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
89 Örnek-II:Uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunu [0, 2]aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim.f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. f = inline( exp(x) (x + 2) ); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
90 Örnek-II:Uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunu [0, 2]aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim.f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. y 3 f = inline( exp(x) (x + 2) ); x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
91 Örnek-II: Uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) ans= E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
92 Örnek-II: Uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) ans= Virgülden sonra onbeş basamağa kadar sıfıryeri için yaklaşım c = dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
93 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfıryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1) Sıfıryerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızı). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
94 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfıryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1) Sıfıryerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızı). Teorem 1 f fonksiyonu [a, b] = [a 1, b 1 ] aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f (a n )f (b n ) < 0 şartını sağlayan [a n, b n ] aralĭgındaki sıfıryeri ve {c n } n=1 ise c n = (a n + b n )/2 ile tanımlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde dir. lim c n = r n E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
95 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Teorem 2 r sıfıryeri için r c n b n a n 2 olduğu açıktır. Öte yandan her bir alt aralĭgın uzunluğu önceki alt aralĭgın uzunluğunun yarısına eşit olduğundan r c n b n a n 2 = b n 1 a n = = b 1 a 1 2 n elde ederiz. Yukarıdaki eşitsizlikten lim n r c n = 0 elde ederiz. Öte yandan r c n r c n r c n eşitsizliği ve Sıkıştırma teoreminden sonuç açıkça görülür. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
96 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Tanım 1 Bir r noktasına yakınsayan {c n } n=0 dizisi verilmiş olsun. Eğer her n N için r c n+1 α r c n β eşitsizliği sağlanacak biçimde α > 0, β 1 reel sayılarıve N > 0 tamsayısı mevcutsa {c n } n=1 dizisi β-ıncıbasamaktan yakınsak bir dizidir denir. β = 1 olmasıdurumunda yakınsama için α (0, 1) olmalıdır ve bu durumda diziye lineer yakınsak dizi adıverilir. β = 2 olmasıdurumda ise diziye kuadratik yakınsak dizi adıverilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
97 Örnek-II:Yakınsaklık Analizi İkiye bölme yöntemi için ve r c n+1 b n+1 a n+1 2 r c n b n a n 2 eşitsizliklerini karşılaştırarak r c n+1 = 1 2 r c n = 1 b n a n 2 2 elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yakınsaktır. r c n+1 / r c n = 1 2 sabiti ise ortalama yakınsaklık oranıolarak tanımlanır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
98 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
99 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarınıbirleştiren kirişin x eksenini kesim noktasıyardımıyla aralĭgıiki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktasınısıfır yeri için yaklaşımlar dizisinin bir elemanıolarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
100 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
101 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
102 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
103 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir.(daha etki sonuçlandırma kriterleri düşünülebilir). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
104 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
105 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
106 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir.(daha etkin sonuçlandırma kriterleri düşünülebilir). Kriteri sağlamayan ilk c değeri sıfır yeri olarak kabul edilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
107 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
108 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
109 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
110 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
111 Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini fonksiyonun sıfır yeri için yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. Yukarıda ana hatlarıyla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
112 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
113 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralĭgını Örnek 1 de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgıörnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu sıfıryerini belirleyebiliriz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
114 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralĭgını Örnek 1 de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgıörnek 2 deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu sıfıryerini belirleyebiliriz. Algoritma Yönteme ait algoritma aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
115 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
116 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
117 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
118 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
119 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
120 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, 2 değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
121 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, 2 değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, 3 değilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
122 Örnek-III Sayısal Analiz Örneği(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f,x0 f nin sıfır yerini içeren [a,b] aralĭgıörnek 1 deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f(a)=0 ise c=a, 2 değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, 3 değilse Örnek 2 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul :Çıktı: c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
123 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi 4 Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
124 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
125 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
126 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
127 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
128 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
129 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
130 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
131 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
132 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
133 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
134 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
135 Örnek-III: Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0); if isempty(x) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
136 Örnek-III: Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
137 Örnek-III: Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. >> f=inline( log(x)-x+4 ) f = Inline function: f(x) = log(x)-x+4 >> fsifir(f,4) ans = E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
138 Örnek-III :Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Aynıişlem MATLAB/OCTAVE fzero fonksiyonu yardımıyla da gerçekleştirilebilir: >> fzero(f,4) ans = E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
139 Örnek-III :Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
140 Örnek-III :Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. >> f=inline( x*sin(1/x) ) f = Inline function: f(x) = x*sin(1/x) >> fsifir(f,4) ans = E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
141 Kaynaklar Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, Coşkun, E. OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). Coşkun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). Coşkun, E. Sayısal Analize Giriş(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis, Brooks/Cole, Stoer, J., Bulirsh, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, / 40
Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU,
Bölüm 1 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, erhan@ktu.edu.tr) Bu bölümde matematiksel analiz türleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak,
Sayısal Analiz Süreci
Bölüm 1 Sayısal Analiz Süreci Bu bölümde matematiksel analiz yöntemleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak, sayısal analiz yönteminin bütün aşamalarınıüç
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata
Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini
4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri
Bölüm Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bu bölümde, birinci basamaktan başlangıç değer problemleri için Tek adım (Yamuk, Düzeltilmiş Euler(Heun), Runge-Kutta yöntemlerinin nasıl elde edildikleri,
Bilgisayar Programlamaya Giriş I KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere,
KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere, dizisi değerine yakınsar. Yani; olur. Burada birinci sorun başlangıç değerinin belirlenmesidir. İkinci
Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
![Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak](/thumbs/17/146647.jpg "Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak")
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ Arş. Gör. Emre DEMİRCİ 1 4.1: Aşağıdaki verilen fonksiyonun belirten aralıklarda
Mesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Bilgisayar SayıSistemi, Aritmetiği ve Hata
Bölüm 2 Bilgisayar SayıSistemi, Aritmetiği ve Hata Sayısal yöntemler için gerekli en temel araçlar bilgisayarlardır, ancak bilgisayarlar reel veya kompleks sayılar kümesi yerine, bu kümelerin sonlu sayıda
2.1 Kayan Nokta aritmetiği: Nümerik Analizde Operatorler Genişletme (Kaydırma) Operatörü µ Ortalama Operatörü...
Contents GİRİŞ 5 Hata Çeşitleri 5. Kayan Nokta aritmetiği:..................................... 6. Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi............................... 7 Nümerik Analizde Operatorler 8. İleri
Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.
Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak
SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 4. Hafta DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 2 İÇİNDEKİLER Denklem Çözümleri Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri Grafik Yöntemleri Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Adım
SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
LYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
2.2 Bazıözel fonksiyonlar
. Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()
Tek Değişkenli Optimizasyon OPTİMİZASYON. Gradient Tabanlı Yöntemler. Bisection (İkiye Bölme) Yöntemi
OPTİMİZASYON Gerçek hayatta, çok değişkenli optimizasyon problemleri karmaşıktır ve nadir olarak problem tek değişkenli olur. Bununla birlikte, tek değişkenli optimizasyon algoritmaları çok değişkenli
f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve hata
Bölüm 2 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve hata Sayısal yöntemler için gerekli en temel araçlar bilgisayarlardır, fakat sayısal yöntemler analitik analiz yöntemlerinden alışık olduğumuz reel veya kompleks
2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17
Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ asondas@kocaeli.edu.tr 0262-303 22 58 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözüm aşamasında kullanılan sayısal
Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Programlama Dersi Ödevi Soru
Adı: Soyadı: Numara: Bölümü: Erzurum Teknik Üniversitesi Mühislik Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Programlama Dersi Ödevi 15.11.2015 Soru 1 2 3 4...... Toplam Puanlar Soru-1: Yandaki kısımda verilen terimlerin
MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Algoritma ve Akış Diyagramları
Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
MB5002 NÜMERİK ANALİZ
MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim
2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
Ocak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi
Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU
ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x)
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
Prof.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Altın Oran Arama Metodu(Golden Search)
Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Bir f(x) (tek değişkenli) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x) a x b
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler
1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ
SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında
Euler Yöntemleri ve Hata Analizi
Bölüm 2 Euler Yöntemleri ve Hata Analizi Bu bölümde başlangıç değer problemleri için İleri ve geri Euler yöntemlerini inceleyerek, Hata analizi için gerekli olan yerel kesme hatası, yerel hata, kümülatif
ÖDEV (Vize Dönemi) CEVAPLAR. 1. Ekrana Merhaba Dünya! yazdıran algoritmanın akış diyagramını çiziniz ve sözde kod olarak yazınız.
ÖDEV (Vize Dönemi) CEVAPLAR 1. Ekrana Merhaba Dünya! yazdıran algoritmanın akış diyagramını çiziniz ve sözde kod olarak yazınız. PROGRAM Soru1 PRINT Merhaba Dünya! ; 2. Klavyeden girilen negatif bir sayıyı
Euler Yöntemleri ve Hata Analizi
Bölüm 2 Euler Yöntemleri ve Hata Analizi Bu bölümde başlangıç değer problemleri için İleri ve geri Euler yöntemlerini inceleyerek, Hata analizi için gerekli olan yerel kesme hatası, yerel hata, kümülatif
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
MAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu
x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon
OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler
MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
Prof. Dr. Mahmut Koçak.
i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni
ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.
MAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
4.3. Türev ile İlgili Teoremler
4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
VI. OLİMPİYAT SINAVI SORULAR
SORULAR 1. N sayısı 1998 basamaklı ve tüm basamakları 1 olan bir doğal sayıdır. Buna göre N sayısının virgülden sonraki 1000. basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)3 D)6 E) Hiçbiri. n Z olmak üzere, n sayısı n sayısına
Ayrık-Zaman Sistemler
Ayrık-Zaman Sistemler Bir ayrık-zaman sistemi, bir giriş dizisi x[n] yi işleyerek daha iyi özelliklere sahip bir çıkış dizisi y[n] oluşturur. Çoğu uygulamalarda ayrık-zaman sistemi bir giriş ve bir çıkıştan
FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ 4. DERS NOTU Konu: M-dosya yapısı ve Kontrol Yapıları Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU 1 M-Dosya Yapısı Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi yerine getirmek
MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori: