Sayfa 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR... 2

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sayfa 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR... 2"

Transkript

1 . ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR.... Olasılık.... Rasgele Değşken..... Keskl Rasgele Değşken Sürekl Rasgele Değşken Olasılık Fonksyonu Keskl Rasgele Değşkenn Olasılık Fonksyonu Sürekl Rasgele Değşkenn Olasılık Fonksyonu Dağılım Fonksyonu (Brkml Dağılım Fonksyonu) Beklenen Değer Varyans Kovaryans Standartlaştırılmış Rasgele Değşken Korelasyon Katsayısı Kovaryans Matrs Gerçek Hata ve Hata Yayılma Kuralı Genel Varyans ve Kovaryans Yayılma Kuralı İSTASTİSTİKİ DAĞILIMLAR Normal Dağılım Normal Dağılmış Rasgele Değşken Vektörü ve Doğrusal Fonksyonları Rasgele Hataların Dağılımı Dağılımı Merkezsel Dağılımı Merkezsel olmayan Dağılımı FDağılımı Merkezsel FDağılımı Merkezsel olmayan FDağılımı tdağılımı (Student Dağılımı) Karesel Bçmn Dağılımı ve İk Karesel Bçmn Bağımsızlığı Bazı İstatstk Dağılımlara İlşkn Matlab Fonksyonları HİPOTEZ TESTLERİ Beklenen Değern Test Edlmes (Parametre Test) Toplum Varyansı nn Blnmes Durumu Toplum Varyans Kestrm s nn Blnmes Durumu Varyans Test Br Varyansın Test Edlmes (Tek Yanlı Soru) Br Varyansın Test Edlmes (Çft Yanlı Soru) İk Varyansın Test Edlmes ve Brleştrlmş Varyans... 35

2 4..4 Bartlett Homojenlk Test İk Beklenen Değern Test Edlmes Doğrusal Hpotez Test Doğrusal Hpotezn Karesel Bçme Etks Doğrusal Hpotez Test Doğrusal Hpotez Testne Bağlı Özel Uygulamalar Parametre Test Dengeleme Modelnn Test Edlmes Uyuşumsuz Ölçü Test Uyuşumsuz Nokta Test... 46

3 . GĠRĠġ

4 3. TEMEL KAVRAMLAR 3. Olasılık Karşılaşılablr olaylar S örnek uzayı, gerçekleşme olasılığı ncelenen olay se A kümes olarak tanımlanmış olsun (AS). Eğer bu kümelern eleman sayıları (s(a) ve s(s)) belrl se, A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) aşağıdak bçmde tanımlanır: s(a) P(A)= s(s) (.) A ve B gb k olayın olasılığı çn aşağıdak özellkler geçerldr:. AB= se P(AB)=P(A)+P(B).. AB se P(AB)=P(A)+P(B)P(AB). Br A olayının olasılığı br B olayına bağlı se, A olayına bağımlı olay, A olayının olasılığına se koşullu olasılık denr. B olayına bağlı A olayının olasılığı P(A/B) aşağıdak eştlk le tanımlanır: P(A B) P(A/B)= P(B) (.) Burada, B olayı blnyorken A olayının olasılığı le lglenlr. P(A/B) fades, B verldğnde A nın ortaya çıkma veya B ortaya çıktıktan sonra A nın ortaya çıkma olasılığı olarak okunur. A olayının ortaya çıkma olasılığı, B olayının ortaya çıkmasından sonra ncelendğnden, P(A/B) koşullu olasılığının örnek uzayı B olur. Bu nedenle B ye ndrgenmş örnek uzayı da denr. 3. Rasgele DeğĢken S örnek uzayının her br bast olayını yalnız gerçek br değere dönüştüren X

5 fonksyonuna rasgele değşken denr. Her bast O olayı çn x=x(o ) dr. Her rasgele değşken gerçekte br fonksyondur ve örnek uzayından gerçek sayı kümesne br dönüşümdür. S A AR O x=x(o ) Şekl 4. Örnek uzaydak br olayın rasgele değşken kümesne zdüşümü O, örnek uzayında bast br olay ken, bu olayı R (Gerçek sayı kümes) de görüntüleyen X fonksyonunun aldığı değer x=x(o ) olup, br anlamda O S yerne xr alınmaktadır. Gerçek değerl br fonksyon olarak tanımlanan X rasgele değşkennn aldığı tüm değerler bu değşkenn değer kümesn, yan, X: SAR, A=X(S) A kümesn verr. Bu küme bu yen fonksyonun tanım kümes olur. X rasgele değşken, örnek uzayından gerçek sayı kümesne br dönüşüm olarak tanımlandığından, örnek uzayının her öğes tek br gerçek sayı le eşlendrlr. Bu yüzden X e tek boyutlu rasgele değşken de denr. 3.. Keskl Rasgele DeğĢken X rasgele değşkennn R dek değer kümes olan A, sayılablr veya sayılablr sonsuz br küme se X e keskl (süreksz) rasgele değşken denr. X keskl br rasgele değşken ken bunun değer kümes A={ x =,, 3, - bçmnde noktalardan oluşan br sayı kümesdr. Br zar atılışı, br depodak kusurlu malların sayısı vb. çn tanımlanablecek rasgele değşkenler keskl olur. 3

6 3.. Sürekl Rasgele DeğĢken X rasgele değşkennn R dek değer kümes A, sayılamaz br küme se, X e sürekl rasgele değşken adı verlr. Rasgele değşkenn R de aldığı değerler topluluğunun sayılamaz br küme olması, örnek uzayının R nn br veya daha fazla aralıklarına görüntülenmes demektr. Bu nedenle, X sürekl br rasgele değşken ken, A={ x a x b } olur. Bazı durumlarda A=R ble olablr; A={ x - x } Rasgele değşken tam sayı se keskl, dğer durumlarda sürekldr. Örneğn k nreng noktası arasındak kenar uzunluğu, br noktada yapılan doğrultu değerler, br gruptak nsanların boy uzunlukları vb. sürekl rasgele değşkene örneklerdr. 3.3 Olasılık Fonksyonu Örnek uzayında tanımlanablen her olay, X rasgele değşken cnsnden yazılabldğne göre, lglenlen tüm olasılıklar X e bağlı br fonksyonla tanımlanablr. Böyles br fonksyona olasılık fonksyonu denr Keskl Rasgele DeğĢkenn Olasılık Fonksyonu Değer kümes A olan br X keskl rasgele değşkennn aldığı br değer (x) çn olasılığını veren p(x) fonksyonuna olasılık fonksyonu denr. p(x) fonksyonunun br olasılık fonksyonu olablmes çn, aşağıdak özellklern sağlanması gerekr; Her xa çn p(x)=0, Her xa çn 0<p(x), xa p(x). 4

7 3.3. Sürekl Rasgele DeğĢkenn Olasılık Fonksyonu X sürekl rasgele değşkennn belrl br aralıkta olma olasılığını veren f(x) fonksyonuna sürekl rasgele değşkenn olasılık fonksyonu (kısaca, olasılık yoğunluk fonksyonu) adı verlr. f(x) fonksyonunun, A=,x a<xb- değer kümes çn tanımlanan br X sürekl rasgele değşkennn olasılık fonksyonu olablmes çn, Her xa çn f(x)=0, Her xa çn f(x)>0, P(XA)=P(a<x b)= b a f(x) dx= olmalıdır. A={x a<xb- değer kümes çn tanımlanan br X sürekl rasgele değşkennn c ve d değerler arasında olma olasılığı P(c<Xd)= d c f(x) dx (B={ x c<x d }; BA) (.3) bçmnde elde edlr. Bu f(x) n eğrsyle x=c, x=d doğruları ve x eksen arasındak alandır. f(x) f(x) P(c<Xd)= d c f (x)dx c d x Şekl 4.3 X sürekl ve f(x) olasılık yoğunluk fonksyonu ken P(c<Xd) olasılığı 5

8 Not.: P(X=a)= a a f(x) dx =0 olduğu çn, X n verlen br değere eşt çıkma olasılığı her zaman sıfırdır. Bu nedenle X n a ve b değerler arasında olma olasılıkları bçmlernde yazılablr. P(a<Xb)=P(aXb)=P(a<X<b) 3.4 Dağılım Fonksyonu (Brkml Dağılım Fonksyonu) X rasgele değşkennn verlen br değere (x) eşt veya küçük çıkma olasılığını doğrudan veren fonksyona dağılım fonksyonu denr. Dağılım fonksyonu F(x) le gösterlr. Örneğn, x, f(x) 0 0 x dğer durumlarda olasılık yoğunluk fonksyonu le tanımlanan br X rasgele değşkennn a gb br değerden (0<a<) küçük veya eşt çıkma olasılığı, P(Xa)= a xdx = x a dr. 0 Öyleyse, F(x) dağılım fonksyonu, F(x)=x olur. Böylece, F(x) fonksyonu elmzde mevcut ken, olasılıkların bulunması çn ntegral hesabı yapmamıza gerek kalmaz. Tanım. : X: SA, A ={ t t<x} ve AR ken, P(XA )=P(Xx)=F(x) lşksne karşılık gelen F(x) e X n dağılım fonksyonu denr. F(x) n değer kümes de *0,+ aralığındadır. Dağılım fonksyonu, X n verlen br değere eşt veya küçük olma olasılığını veren br fonksyon olduğuna göre, dağılım fonksyonunun olasılık fonksyonları le olan lşks ] a 0 6

9 şöyledr; P(Xx)=F(x) P(X>x)=F(x) P(x <Xx )=F(x )F(x ), (x x ) 3.5 Beklenen Değer Matematksel olarak beklenen değer (E(X)), keskl ve sürekl rasgele değşkenler çn aşağıdak bçmde tanımlanır; X keskl se ; E(X)= xp(x) (p(x): keskl rasgele değşkenn olasılık fonksyonu) (.4) xa X sürekl se; E(X)= xf(x) dx (f(x): olasılık yoğunluk fonksyonu) (.5) xa Beklenen değere lşkn aşağıdak özellkler geçerldr: u(x), X rasgele değşkenn br fonksyonu se, E(u(x))=u(x)p(x), X-keskl xa E(u(x))= u(x) f(x)dx X-sürekl A a br sabt sayı ken E(a)=a olur.. a br sabt sayı ve u(x) X rasgele değşkennn br fonksyonu ken, E(au(x))=aE(u(x)) dr. 3. u(x) ve v(x), X rasgele değşkennn k fonksyonu, a ve b se sabt sayılar ken, E(au(x)+bv(x))=aE(u(x))+bE(v(x)) dr. 4. E(X-E(X))=0 dır. (İspat: E(X)= le E(X-)=0) 7

10 5. X, X,,X n beklenen değerler E(X ), E(X ),,E(X n ) olan rasgele değşkenler olsun. Rasgele değşkenlern toplamının beklenen değer, E(X +X + +X n )= E(X )+E(X )+ +E(X n ) olur. 3.6 Varyans Br rasgele değşkenn beklenen değer (ortalaması) olasılık fonksyonunun merkez hakkında blg verr. Ancak ortalama değer br deneyden br başka deneye rasgele değşkenn dağılımı ya da yayılımı hakkında blg vermez. İşte varyans, dağılımın, değşmn ve yayılımın ölçüsü olarak kullanılır. X rasgele değşkennn beklenen değer E(X)= se, varyansı, =V(X)=E((X) ) (.6) bçmnde tanımlanır. Yan varyans, X n kend beklenen değernden sapmasının karesnn beklenen değerdr. (.4) eştlğ, br öncek bölümde açıklanan beklenen değer özellkler kullanılarak aşağıdak bçmde de yazılablr; =E(X )- (.7) İspat: =E((X) )=E(X X+ )=E(X )E(X)+E( )=E(X ) + =E(X )-. (.7) eştlğ, olasılık fonksyonu blnen br rasgele değşkenn varyansının bulunmasında kolaylık sağlar. Örneğn, olasılık yoğunluk fonksyonu f(x) olan br rasgele değşkenn varyansı çn, (.5) ve brnc beklenen değer özellğnden =E(X)= xf(x) dx ve E(X )= xa xa x f(x)dx beklenen değerler hesaplanıp, (.7) de yerne yazılarak varyans elde edlr. 8

11 3.7 Kovaryans Kovaryans, k rasgele değşken arasındak korelasyonu gösteren br parametredr (Demrel, 009). X ve X j rasgele değşkenler arasındak kovaryans, j =E((X )(X j j )) (.8) le tanımlanır. 3.8 StandartlaĢtırılmıĢ Rasgele DeğĢken Beklenen değer sıfır ve varyansı olan br rasgele değşkene standartlaştırılmış rasgele değşken denr. Br rasgele değşken, standartlaştırılmış rasgele değşkene dönüştürmek çn değşkenden beklenen değer çıkartılır ve standart sapmasına bölünür. Beklenen değer ve standart sapması olan br X rasgele değşkennn, standartlaştırılmış bçm, X Z=, (E(Z)=0, V(Z)=) (.9) olur. 3.9 Korelasyon Katsayısı Kovaryans her değer alablr. Bu nedenle rasgele değşkenler arasındak korelasyonu tanımlamak çn uygun br ölçüt değldr. Bunun yerne, rasgele değşkenlern standartlaştırılmış değerlernn çarpımının beklenen değerne eşt olan korelasyon katsayısı kullanılır. X ve X j rasgele değşkenlernn korelasyon katsayısı, X X j j E((X )(Xj j)) j j = E j j j (.0) 9

12 bçmnde tanımlanır. Korelasyon katsayısı le + arasında değer alır. 3.0 Kovaryans Matrs n adet rasgele değşken (X, X,,X n ) ve bunların beklenen değerler (,,, n ) vektör altında toplansın; x=[x X X n ] T, =[ n ] T Rasgele değşken vektörü Beklenen değer vektörü Bu k vektörün farkı le bu farkın devrğnn çarpımının beklenen değer alınırsa kovaryans (varyans-kovaryans) matrs elde edlr; E((x)(x) T )=C xx (.) (.6) ve (.8) eştlklernden görülebleceğ gb nn boyutlu kovaryans matrsn köşegen elemanları rasgele değşkenlern varyanslarını, dğer elemanları se değşkenler arasındak kovaryanları çerr; n n C xx (.) sm. n 3. Gerçek Hata ve Hata Yayılma Kuralı Br rasgele deney (gözlem) sonucunda br büyüklüğün değer x elde edlmş olsun. Bu büyüklüğün beklenen değer E(X)= blnyorsa, x ölçüsünün gerçek hatası (veya kısaca hatası), =x (.3) 0

13 bçmnde tanımlanır. Ölçülere (rasgele değşken değerlerne) lşkn hataların bu ölçülern fonksyonlarını nasıl etkledğn gösteren bağıntıya hata yayılma kuralı adı verlr (Demrel, 009): x, x ve x 3 ölçülerne bağlı k fonksyon y ve y olsun; y =f (x,x,x 3 ) ve y =f (x,x,x 3 ). Ölçülerdek hatalar, ve 3 olduğuna göre düzeltlmş (hatadan arındırılmış) y ve y değerler, Taylor açılımı kullanılarak, y y =f (x,x,x 3 )(f /x ) (f /x ) (f /x 3 ) 3 (.4a) y y =f (x,x,x 3 )(f /x ) (f /x ) (f /x 3 ) 3 (.4b) çıkar. (f /x )=a ve (f /x )=b (=,,3) göstermler kullanılarak, ölçülerdek hataların fonksyonlarda neden olduğu hataları veren bağıntılar elde edlr; y =(f /x ) (f /x ) (f /x 3 ) 3 y =a +a +a 3 3 (.5a) y =(f /x ) (f /x ) (f /x 3 ) 3 y =b +b +b 3 3 (.5b) 3. Genel Varyans ve Kovaryans Yayılma Kuralı (.4) eştlklernde geçen ölçülern varyansları, ve 3 ; kovaryansları, 3 ve 3 se, y ve y fonksyonlarının varyans ve kovaryansları aşağıdak bçmde elde edlr (spatı çn Demrel,009); y = a + a + a 3 3 +a a +a a 3 3 +a a 3 3 (.6a) y = b + b + b 3 3 +b b +b b 3 3 +b b 3 3 (.6b)

14 yy =a b +a b +a 3 b 3 3 +(a b +a b ) +(a b 3 +a 3 b ) 3 +(a b 3 +a b 3 ) 3 (.6c) Fonksyonların varyans ve kovaryanslarının elde edlmes çn daha kolay br yol, matrs yöntemdr: (.5) eştlkler aşağıdak bçmde fade edleblr; y a a a3 = dy=fdx (.7) y b b b3 3 dy F dx y ve y fonksyonlarının kovaryans matrs C yy, buradan, C yy =FC xx F T y yy yy y =F sm F T (.8) çıkar. (.7) bçmnde yazılablen her türlü fonksyonun kovaryans matrs, (.8) de olduğu gb elde edlr: Bu kurala, genel varyans-kovaryans yayılma kuralı denr.

15 4. ĠSTASTĠSTĠKĠ DAĞILIMLAR 4. Normal Dağılım Tanım 3.: Beklenen değer ve varyansı olan br X rasgele değşken, f(x)= (x) / e, <x< (3.) (olasılık) yoğunluk fonksyonuna sahpse, bu rasgele değşken normal dağılımlıdır denr ve XN(, ) şeklnde fade edlr. =0,5 = Şekl 3. (=, =0,5 ) ve (=, =) çn normal dağılım yoğunluk fonksyonları Tanım 3.: XN(, ) değşken, (X)/ dönüşümü le standartlaştırılırsa, yen değşken standart normal dağılıma (N(0,)) sahp olur; X Z= N(=0, =) ZN(0,) (3.) Yoğunluk fonksyonu çn f(x) yerne f(z) kullanılır (z=(x)/). Tanım 3.3: XN(, ) değşkenne lşkn br takım olasılık hesapları, yoğunluk fonksyonunun altında kalan lgl bölgenn alanının hesaplanmasıyla elde edlr; 3

16 x x z P(x <Xx ) = f(x) dx =P(z <Zz )= f(z) dz, z =(x )/ ve z =(x )/ z P(X>x) = f(x) dx =P(Z>z)= f(z) dz, z=(x)/ x z P(Xx) x = f(x) dx =P(Zz)= z f(z) dz, z=(x)/ Tanım 3.4: X rasgele değşkennn x den küçük veya eşt olma olasılığı, P(Xx), F(x) dağılım fonksyonu le elde edlr. Aynı olasılık (z) standart normal dağılımın dağılım fonksyonuyla da belrlenr (İstatstk tablolar, (z) çn düzenlenmştr). Böylece, Tanım 3.3 dek olasılıklar (z) dağılım fonksyonu le kolaylıkla hesaplanır:. P(x <Xx )= (z )(z ), z =(x )/ ve z =(x )/. P(X>x)= (z), z=(x)/ (Olasılık tanımı gereğnce, tüm olasılık e eşttr) 3. P(Xx)= (z), z=(x)/ Not 3.: (z) olasılık değer, Matlab de normcdf(z) le hesaplanır. Örnek 3.: XN(, ) çn, bazı olasılıklar kolayca elde edleblr, örneğn,. P(<X+)=()()=()(())=()=0,683=%68,3. P(3<X+3)=(3)(3)=(3)((3))=(3)=0,997=%99,7. Tanım 3.5: P(Xx )=(z )= olasılığını veren z değer standart normal dağılımın olasılığı çn sınır değer olarak adlandırılır. (z )==(z ) olduğundan, (z )=(z ) bulunur. Böylece, / olasılığı çn aşağıdak eştlk geçerl olur (Şekl 4

17 3.). z / =z / (3.3) Not 3.: z sınır değer, Matlab de normnv(-) le hesaplanır. / / z /= z / =0 z / Şekl 3. Standart normal dağılımın / olasılığı çn alt sınır (z / ) ve üst sınır (z / ) değerler 4. Normal DağılmıĢ Rasgele DeğĢken Vektörü ve Doğrusal Fonksyonları Tanım 3.6: n boyutlu beklenen değer vektörü (=[ n ] T ) ve nn boyutlu poztf tanımlı br kovaryans matrse (C xx ) sahp n boyutlu rasgele değşken vektörü x=[x X. X n ] T çn 5

18 xx T ( xμ) Cxx ( xμ) f( x) e (3.4) n/ / () (detc ) yoğunluk fonksyonu geçerlyse, x rasgele değşken vektörü, çok-değşkenl normal dağılımlıdır denr: Bu, xn(,c xx ) şeklnde gösterlr. Tanım 3.7: xn(,c xx ) vektörü, mn boyutlu br K katsayılar matrs ve m boyutlu br c katsayılar vektörü le y=kx+c bçmnde elde edlen m boyutlu y rasgele değşken vektörü normal dağılımlıdır; yn(k+c, KC xx K T ). Burada, mm boyutlu KC xx K T matrs, y değşken vektörünün varyans-kovaryans yayılma kuralı le elde edlmş korvaryans matrsdr. 4.3 Rasgele Hataların Dağılımı Blndğ üzere, br X rasgele değşkennn beklenen değer ve varyansı, =E(X), =E((X) ) (3.5) le tanımlanır. X e lşkn bu ve parametrelernn belrlenmes çn evrensel küme yerne, br örnek küme (örnek uzay) seçlr. Bu örnek kümede yapılan rasgele deneyn sonuçları (ölçüler veya örnek noktalar) yardımıyla ve kestrlr. Ölçü, yan örnek nokta (x), X n br temsldr; bu nedenle, lgl ölçünün aynı normal dağılıma sahp olduğu kabul edlr; xn(, ). Örnek kümenn doğru seçldğ varsayımı altında, ölçü le ye yaklaşılır; ancak ortada her zaman br sapma bulunur. Ölçme şlemnn doğasında olan bu sapma, (.3) eştlğ le hata olarak tanımlanmıştı; =x Rasgele özellktek bu hata, sıfır beklenen değer ve varyansı le normal dağılımlıdır; N(0, ) (3.6) İspat: =x fadesnn beklenen değer alınırsa, E()=E(x)=E(x)E()==0 elde 6

19 edlr. Aynı eştlğe, varyans yayılma kuralı uygulanırsa, = x = bulunur: Böylece, N(0, ) olur. Doğal Sonuç: Rasgele hataların bell aralıklarda olma olasılıkları Tanım 4 e göre kolaylıkla elde edleblr. Örneğn, N(0, ) se, hatasının ve arasında olma olasılığı, P(<)=()=%68,3;,96 ve,96 arasında olma olasılığı, P(,96<,96)=(,96)=%95; ve 3 ve 3 arasında olma olasılığı, P(3<3)=(3)=%99,7 dr. Br hatanın 3 ve 3 aralığı dışında olma olasılığı 0,997=%0,3 gb küçük br olasılıktır. Bu nedenle, genlğ 3 dan büyük olan hataların lgl dağılıma uymadıkları, dolayısıyla kaba hata oldukları yargısı, bu bast çıkarımla lntldr. Uygulamada beklenen değernn blnmes mümkün olmadığından, =x fadesne göre x de ne kadar hatanın var olduğu da belrszdr. Bu nedenle, olabldğnce fazla sayıda gerçekleştrlen ölçüler (x, =,,n) yardımıyla beklenen değern en uygun (en büyük olasılıklı) değer belrlenr. Gauss, ölçülern aynı normal dağılıma sahp olmaları durumunda, (x N(, ), =,,n) en uygun değern, br artmetk ortalama değer olduğunu göstermştr; xˆ x [x]/n. Bu bast artmetk ortalama, çn yansız (unbased) br kestrcdr; yan artmetk ortalamanın beklenen değer, toplumun beklenen değerne eşttr; E( x )=. İspat: E( x )=(/n)e(x +x + +x n )=(/n)(n)=. 7

20 Ölçülern artmetk ortalamadan sapmalarının karelernn toplamının, (n) fazla ölçü sayısına oranı, s (x x)... (x xn) n n n (x x ), (3.7) varyansının yansız br kestrcsdr; E( s )= İspat: (3.7) eştlğnde xx (x) (x) yazılır ve eştlğn beklenen değer alınırsa, E( s )= E{ n n (x x) } E{ n n ((x ) (x )(x ) (x ) )} n n = E{n(x ) (x )(nx n) (x) } = ( ne((x ) ) E( n (x) )) n bulunur. Burada E((x ) ) değer, x artmetk ortalamasının varyansıdır; yan, E((x ) ) = /n dr. Dğer taraftan E( (x ) )= olduğundan, Böylece, n n ) ) E((x ) ) E( (x =n dr. s nn varyansının yansız br kestrcs olduğu spatlanır; E( s )= ( ne((x ) n ) E( n (x) )) ( n n ). 4.4 Dağılımı brdr. dağılımı (k-kare dağılımı) test şlemlernde kullanılan öneml dağılımlardan 4.4. Merkezsel Dağılımı Tanım 3.8: x=[x X. X n ] T rasgele değşken vektörü =0 beklenen değerl ve C xx =I 8

21 varyans matrs le normal dağılımlı olsun; xn(0, I). Br başka deyşle, n adet rasgele değşken standart normal dağılıma sahpse (X N(0,); =,,,n), =x T x=(x +X + + X n ) karesel bçm n serbestlk derecesyle dağılımına sahptr denr; =x T x=(x +X + + X n ) (n) { xn(0, I) se } (3.8) Bu dağılımın yoğunluk fonksyonu, f()= (n/ ) / e n/ (n/), 0< (3.9) le tanımlanır. Burada, gama fonksyonudur. Tanım 3.9: x=[x X. X n ] T rasgele değşken vektörü 0 beklenen değerl ve C xx kovaryans matrs le normal dağılımlı olsun; xn(0,c xx ). x T C - xx x karesel bçm n serbestlk derecesyle dağılımına sahptr denr (İspatı çn Koch, (999;s.4-5)); x T C xx - x (n) { xn(0,c xx ) se} (3.0) Eğer, C xx br varyans matrsse, yan C xx =dag(,, n ) se, yukarıdak tanımdan, rasgele değşkenlern standart sapmalarına oranlarının karelernn toplamının n serbestlk derecesyle dağılımlı olduğu ortaya çıkar; ((X / ) +.+ (X n / n ) ) (n) (3.) Not 3.3: f(,n) olasılık fonksyon değer, Matlab de chpdf(,n) le hesaplanır. Tanım 3.0: (n) rasgele değşkennn br P( ), dağılımının dağılım fonksyonu (F( ;n)) le elde edlr; değernden küçük olma olasılığı, 9

22 P( )=F( ;n) (3.) Not 3.4: F( ;n) olasılık değer, Matlab de chcdf(,n) le hesaplanır. Tanım 3.: F( sınır değer denr.,n ;n)= olasılığını veren,n değerne, dağılımının olasılığı çn Not 3.5:,n değer, Matlab de chnv(,n) le hesaplanır Merkezsel olmayan Dağılımı Tanım 3.: x=[x X. X n ] T rasgele değşken vektörü beklenen değerl ve C xx =I kovaryans matrs le normal dağılımlı olsun; xn(, I). =x T x=(x +X + + X n ) karesel bçm n serbestlk dereces ve = T dış-merkezlk parametresyle merkezsel olmayan dağılımına sahptr denr; =x T x (n, ) { xn(, I) se} (3.3) =0 se, dağılım (merkezsel) dağılımlı olur. Tanım 3.: x=[x X. X n ] T rasgele değşken vektörü beklenen değerl ve C xx kovaryans matrs le normal dağılımlı olsun; xn(,c xx ). x T C - xx x karesel bçm n serbestlk dereces ve = T C - xx dış-merkezlk parametresyle merkezsel olmayan dağılımına sahptr denr; x T C xx - x (n, ) { xn(,c xx ) se} (3.4) =0 se, dağılım (merkezsel) dağılımlı olur. 0

23 dağılımı yoğunluk fonksyonu Merkezsel olmayan dağılımı yoğunluk fonksyonu Şekl 3.3 Merkezsel ve merkezsel olmayan dağılımı yoğunluk fonksyonları Tanım 3.3: (n, ) değşkennn br değernden küçük olma olasılığı, P( ), merkezsel olmayan dağılımının dağılım fonksyonu (F( ;n,)) le belrlenr: P( )=F( ; n,) (3.5) Not 3.6: F( ;n,) olasılık değer, Matlab de ncxcdf(,n,) le hesaplanır. 4.5 FDağılımı Fdağılımı (Fsher dağılımı) ve merkezsel olmayan Fdağılımı hpotez testlernde kullanılan dağılımlardır Merkezsel FDağılımı Tanım 3.4: a ve b rasgele değşkenler bağımsız ve -dağılımlı olsunlar; a (n a ), b (n b ). w=(a/n a )/(b/n b ) rasgele değşken (merkezsel) F-dağılımlıdır;

24 (a/n a) w= F(n a,n b ) { a (n a ), b (n b ) se} (3.6) (b/n ) b Tanım 3.5: wf(n a,n b ) değşkennn br F 0 değernden küçük olma olasılığı, P(wF 0 ), Fdağılımının dağılım fonksyonu (F(F 0 ; n a,n b )) le elde edlr; P(wF 0 )=F(F 0 ;n a,n b ) (3.7) Not: F(F 0 ;n a,n b ) olasılık değer, Matlab de fcdf(f 0,n a,n b ) le hesaplanır. Tanım 6: F(F na,nb, ; n a,n b )= olasılığını veren F na,nb, değerne, F-dağılımının olasılığı çn sınır değer denr. Not: F na,nb, olasılık değer, Matlab de fnv(,n a,n b ) le hesaplanır Merkezsel olmayan FDağılımı Tanım 7: a ve b rasgele değşkenler bağımsız ve a (n a,), b (n b ) olsunlar. w=(a/n a )/(b/n b ) rasgele değşken merkezsel olmayan Fdağılımlıdır; (a/n a) w= F(n a,n b, ) { a (n a,), b (n b ) se } (3.8) (b/n ) b Tanım 8: wf(n a,n b, ) değşkennn br F 0 değernden küçük olma olasılığı, P(wF 0 ), merkezsel olmayan Fdağılımının dağılım fonksyonu (F(F 0 ;n a,n b,)) le elde edlr; P(w F 0 )=F(F 0 ; n a, n b, ) (3.9)

25 Not: Matlab de F(F 0 ; n a, n b, ) olasılık değer, ncfcdf(f 0,n a,n b,) le hesaplanır. 4.6 tdağılımı (Student Dağılımı) Tanım 9: Brbrnden bağımsız x ve a değşkenler, xn(0,) ve a (n a ) se, y=x/ a/n a değşken tdağılımlıdır denr; y= x a/n a t(n a ) { xn(0,) ve a (n a ) se} (3.0) Tanım 0: yt(n a ) rasgele değşkennn br t değernden küçük olma olasılığı, P(yt), tdağılımının dağılım fonksyonu le belrlenr; P(yt)=F(t;n a ) (3.) Not: Matlab de F(t;n a ) olasılığı, tcdf(t,na) le hesaplanır. Tanım : F(t na, ;n a )= olasılığını veren t na, değerne, tdağılımının olasılığı çn sınır değer denr. Not: t na, sınır değer, Matlab de tnv(,n a ) le hesaplanır. 3

26 4.7 Karesel Bçmn Dağılımı ve Ġk Karesel Bçmn Bağımsızlığı Tanım (Karesel Bçmn Dağılımı): xn(,c xx ) olsun. Eğer AC xx =AC xx AC xx se (AC xx dempotentse), x T Ax (ranka, T A) (3.) olur. Tanım 3 (Düzeltmelern Ağırlıklı Kareler Toplamının Dağılımı): n boyutlu l ölçü vektörü normal dağılımlı olsun; ln(ax,c ll ). Kestrm sonucunda düzeltme vektörü, v=rl (R: redündans matrs) ve ağırlık karelernn toplamı v T Pv=l T R T PRl=l T Rl olur. RC ll dempotent br matrs ve rankr, serbestlk derecesne (f) eşttr. Böylece, Tanım ye göre, v T Pv=l T Rl (f,x T A T RAx) olur. x T A T RAx=0 olduğundan dağılım merkezsel bçme dönüşür; sonuç olarak, düzeltmelern ağırlık kareler toplamı, f serbestlk derecesyle dağılımlı olur; v T Pv (f) (3.3) Tanım 3 (İk Karesel Bçmn Bağımsızlığı): xn(,c xx ) olsun. x T Ax ve x T Bx karesel bçmler, AC xx B=0 veya BC xx A=0 se bağımsızdır Bazı Ġstatstk Dağılımlara ĠlĢkn Matlab Fonksyonları Yukarıda söz edlen Matlab fonksyonları Çzelge 3. de özetlenmştr. 4

27 Çzelge 3. Bazı statstk dağılımlara lşkn Matlab fonksyonları Açıklama Fonksyon Matlab fonksyonu Standart normal dağılım dağılım fonksyonu Standart normal dağılımın güven düzey sınır değer P(Xx)=(z),z=(x)/ z normcdf(z) normnv(-) dağılım olasılık fonksyonu f(,n) chpdf(,n) dağılımının dağılım fonksyonu P( )=F( ;n) chcdf(,n) dağılımının olasılığı çn sınır değer,n chnv(,n) Merkezsel olmayan dağılımının dağılım fonksyonu P( )=F( ;n,) ncxcdf(,n,) Fdağılımının dağılım fonksyonu P(wF 0 )=F(F 0 ;n a,n b ) fcdf(f 0,n a,n b ) F-dağılımının olasılığı çn sınır değer F na,nb, fnv(,n a,n b ) Merkezsel olmayan Fdağılımının dağılım fonksyonu P(w F 0 )=F(F 0 ;n a,n b,) ncfcdf(f 0,n a,n b,) tdağılımının dağılım fonksyonu P(yt)=F(t;n a ) tcdf(t,na) tdağılımının olasılığı çn sınır değer t na, tnv(,n a ) 5

28 5. HĠPOTEZ TESTLERĠ Br nreng ağına lşkn br üçgenn üç ç açısı (, ve 3 ), br ölçü çn standart sapması olan br teodoltle ölçülmüş ve N(, ), N(, ) ve 3 N( 3, ) olsun. Temel beklent, üç açının toplamının 00 gon a eşt olmasıdır. Ancak, ölçülerdek hatalardan dolayı bunun sağlanmayacağı önceden blnr. 00 gon dan olan sapmanın rasgele hataların br sonucu olup olmadığını rdeleyelm: Bunun çn w=( )00 hatasının 0 kabul edlp edlmeyeceğnn belrlenmes gerekr. Açı değerler normal dağılımlı olduğundan, w kapanma hatası da normal dağılımlıdır; br öncek bölümde verlen Tanım 5 e göre, wn( w = =0, w =3 ) olur. Bölüm 3.3 de geçen Doğal Sonuçta olduğu gb, gözlenen w nn bell br olasılıkla hang sınırlar çnde kalması gerektğ rdeleneblr: Bunun çn, P( w z / w < w w +z / w )= olasılığını (güven düzeyn) veren ( w z / w ), ( w z / w ) aralık tahmn yapılmalıdır. Eğer, w hatası bu sınırlar çnde kalıyorsa, olasılığı le hatanın lgl normal dağılımda olduğu, dolayısıyla gözlenen hatanın, açılardak rasgele hatalardan kaynaklandığı sonucuna varılır. w nn aralık dışında olması se, tersne, hatanın lgl normal dağılıma uymadığını, böylece gözlenen hatanın rasgele hataların etks le açıklanamayacağını gösterr. Ancak her k durum çn verlecek kararda, her zaman kadar br yanılma payının (yanılma olasılığının) var olacağı göz önünde tutulmalıdır. Bu nedenle, hpotez testlernde. tür hata olarak da adlandırılan çn küçük br olasılık değer öngörülür (örneğn, =%5); karar şlemler buna göre yapılır. Eğer w kapanma hatası, %95 olasılıklı br aralık olan,96 3 değerler çnde kalıyorsa, yan, Bölüm 3.3 dek Doğal Sonuç le belrtldğ gb, P(,96 3 <w,96 3 )=%95 se, kapanma hatasının %95 olasılıkla rasgele hatalardan kaynaklandığı sonucuna ulaşılır: Örneğn, = mgon olursa, %95 olasılıklı güven aralığı, 3,39 mgon dur. Öyleyse, 3,39 mgon değern aşan üçgen kapanma hatası, ölçülerdek rasgele 6

29 hataların sonucu olarak açıklanamaz. Ancak yapılan bu yorumun da %5 lk br yanılma olasılığını taşıdığı unutulmamalıdır. Yukarıdak örnekte aslında, dolaylı olarak, br test yapılmıştır: Sorulan soru se, w gözlemnn beklenen değer sıfır mıdır?. Eğer kapanma hatası, 3,39 değernden küçükse hata sıfır kabul edleblr (beklenen değernn sıfır olduğunu hatırlayınız); tam tersne büyükse sıfır kabul edlemez. Bu çıkarım, T= w w / w büyüklüğünün z / sınır değeryle karşılaştırılması le bulunacak sonuçla özdeştr. İstatstksel testlerde, T gb elde edlen test büyüklüğü ve güven sınırı karşılaştırılarak sonuca varılır. Soru sorulduktan sonra, k hpotez ortaya konur: Bunlardan soruya lşkn oluşturulana sıfır hpotez (H 0 : null hypthoss), sıfır hpotezne karşı oluşturulan hpoteze se karşıt hpotez (H : alternatve hypothess) adı verlr. Daha sonra, test büyüklüğü ve güven sınırı oluşturularak karşılaştırma yapılır. Genellkle, Test büyüklüğü<güven sınırı se H 0 kabul, dolayısıyla H reddedlr. Hpotez testlernde, özetle, şu şlem sırası takp edlr; SoruHpotezlerTest büyüklüğügüven SınırıKarşılaştırmaKarar (4.) Hpotezlern kabul edlmesnde k tür hatayla karşılaşılır. Brnc tür hata (Type I error) denlen hata, daha önce bahsedlen yanılma olasılığı le özdeştr; doğru olan br sıfır hpoteznn yanlışlıkla reddedlmes olasılığı olarak adlandırılır. Bununla brlkte, testlerde knc tür hata (Type II error) denlen br hata daha bulunur. Bu hata se, doğru olan br karşıt hpotezn yanlışlıkla reddedlmes (veya yanlış olan br sıfır hpoteznn, yanlışlıkla, doğru kabul edlmes) olasılığına eşttr. Bunların tümleyenlerne, yan %00 olan bütün olasılıktan farklarına se, sırasıyla güven düzey (confdence level) ve test gücü (power of the test) denr. Tanımdan gdlecek olunursa, örneğn, test gücü, doğru olan br karşıt hpotezn doğru olarak kabul edlmes olasılığıdır. Hpotez testlerndek söz konusu hatalar ve bunların tümleyenler (güven düzey ve test gücü) Çzelge 4. de özetlenmştr. 7

30 Doğru hpotez Çzelge 4. Hpotez testlernde hata türler, güven düzey ve test gücü (H 0 : Sıfır hpotez; H : Karşıt hpotez) Test sonucu kabul edlen hpotez H 0 H H 0 Doğru Karar; Güven düzey (-) Yanlış Karar; Brnc tür hata () H Yanlış Karar; İknc tür hata Doğru Karar; Test gücü Yanılma olasılığı azalınca, güven düzey artar; dğer taraftan, test gücü azalır. Hang hpotezn doğru veya geçerl olduğunu blmek olanaklı değldr. Bu nedenle, hata türler önceden blnemez. Yanılma olasılığı çn testlerde küçük br değer (genellkle, %0,, % veya %5) seçlerek, hem güven düzeynn yüksek olması hem de test gücünün düşük olmaması sağlanır. Test şlemler, sıfır hpoteznn doğru olduğu varsayımına göre sonuçlandırılır. Bu nedenle, test şlem sonucunda sıfır hpotez ya - güven düzey le kabul edlr ya da yanılma olasılığı le reddedlr. İlerleyen bölümlerde, statstkte geçen bazı klask test şlemlerne değnlecek, daha sonra doğrusal hpotez test başlığı altında bu test şlemler rdelenerek, bazı jeodezk statstk test konularından söz edlecektr. 5. Beklenen Değern Test Edlmes (Parametre Test) 5.. Toplum Varyansı nn Blnmes Durumu Soru Kestrlen a gb br parametrenn beklenen değer, 0 gb br değere eşt mdr? Hpotezler H 0 : E(a)= 0, H : E(a) 0 (4.) 8

31 Test Büyüklüğü T a = a a 0 (4.3) Not: a nın standart sapması, kullanılarak hesaplanır. Örneğn a parametres n a ölçüden elde edlmş br artmetk ortalama se, kofaktörü, Q aa =/n; standart sapması a =/ n olur. Güven Sınırız -/ (Standart normal dağılımın güven sınırı) (4.4) Karar T a <z -/ se yanılma olasılığı ya da - güven düzey le H 0 kabul edlr. Yan, a le 0 arasındak sapma raslantısaldır; a parametres yerne 0 kullanılablr. T a z -/ se, H 0 reddedlr; H kabul edlr. Br başka deyşle, a le 0 arasındak fark rasgele hataların br sonucu olarak yorumlanmalıdır. Doğal Sonuç: (4.3) de verlen T a test büyüklüğünün kares olan T a, serbestlk dereces olan -dağılımlı olur (Bölüm 3.4., Tanım 8); P(T a <,-)= olduğundan, yukarıda açıklanan test şlem T a test büyüklüğü ve,- güven sınırı kullanılarak da gerçekleştreblr. =%5 çn, z -/ =,96= 3, 845 dr., Örnek : Br üçgenn üç ç açısı, br ölçü çn standart sapması 0,5 mgon olan br teodoltle 5 er kez ölçülerek =85,45 gon, =55,4 gon ve 3 =59,3088 gon bulunmuştur. Üçgen kapanma hatası rasgele hataların br sonucu mudur? =%5 yanılma olasılığı le test ednz. Çözüm: Kapanma hatası w=00-( )=-, mgon, standart sapması se, w = =3(0,5 )/5=0,5 mgon den, w =0,387 mgon; beklenen değer se 0 dır. Bu nedenle, problem, elde edlen w nn 0 olup olmadığının rdelenmesdr. H 0 : 9

32 E(w)=0 hpotez, H : E(w) 0 karşıt hpotezne karşı test edlr. Test büyüklüğü, (.) den T w = -,-0 /0,387=3., güven sınırı se, (.3) den z 0,975 =,96 bulunur. T w >,96 olduğundan, H 0 hpotez %5 yanılma olasılığı le reddedlr. Bu nedenle, w nn sıfırdan sapması anlamlıdır, rasgele hataların br sonucu olarak algılanmamalıdır. Örnek : Br uzunluk, br ölçü çn standart sapması =+ppm olan br elektronk uzaklık ölçerle 3 kez ölçülerek L=00,567 m bulunmuştur. Uzunluğun gerçek değer, S=00,550 m se, L ölçüsünde br kaba olup olmadığını test ednz (=%0,). Çözüm: Ölçüdek hata, =L-S=00,567-00,550=7 mm, standart sapması se, = L =(+00, )/ 3 =0,48 mm dr. Hpotezler, H 0 : E()=0, H : E()0 bçmndedr. Test büyüklüğü, (.) den, T = / =35,4, güven sınırı se (.3) den, =%0, çn z -/ =3,9 dur. T >z -/ olduğundan, hatasının rasgele hatalardan kaynaklanmadığı sonucuna ulaşılır. Br başka deyşle, %99,9 güven düzey le L ölçüsü uyuşumsuz ölçüdür. 5.. Toplum Varyans Kestrm s nn Blnmes Durumu Soru ve hpotezler br öncek bölümdeklerle aynı olsun. nn kestrm değer s blnyorsa, test edlecek parametrenn standart sapması s le bulunur. Bu durumda, test büyüklüğü ve güven sınırı aşağıdak bçmde elde edlr: a 0 Test Büyüklüğü T a = s a (4.5) Güven Sınırı t f, / (t-dağılımının güven sınırı) (4.6) Karar T a <t f,/ se yanılma olasılığı ya da - güven düzey le H 0 kabul edlr. Yan, a le 0 arasındak sapma raslantısaldır; a parametres yerne 0 kullanılablr. T a t f,/ se, H 0 reddedlr; H kabul edlr. 30

33 Not : a nın standart sapması s a, s kullanılarak hesaplanır. Örneğn a parametres n ölçüden elde edlmş br artmetk ortalama se, kofaktörü, Q aa =/n; standart sapması s a =s/ n olur. Not : f, s nn hesabındak fazla ölçü sayısı; serbestlk derecesdr. Doğal Sonuç: (4.5) de verlen T a test büyüklüğünün kares olan T a, serbestlk dereceler ve f olan F-dağılımlı olur (Bölüm 3.5., Tanım 4); P(T a <F,f,- )=- olduğundan, yukarıda açıklanan test şlem T a test büyüklüğü ve F,f,- güven sınırı kullanılarak da gerçekleştreblr. Örnek 3: Aynı koordnat sstemndek 6 noktanın k peryot koordnatları arasında yapılan br benzerlk dönüşümü sonunda ölçek çarpanı çn ˆ =, kestrm değer elde edlmştr. Düzeltmelern kareler toplamı =50,00 mm, nın ağırlık katsayısı Q =50-8 mm - olduğuna göre, k peryot arasında geçen zamanda br deformasyon meydana gelp gelmedğn %95 güven düzey le belrleynz. Çözüm : Deformasyon, şekl değşm anlamına gelr. Örneğn br uzunluğun kısalması veya uzaması o uzunlukta br deformasyon olduğunu gösterr. Benzerlk dönüşümünde elde edlen ölçek çarpanı, böyles br deformasyona karşılıktır; ölçek çarpanı se şekl değşm olmamıştır. Öyleyse, problem şu soruyla ele alınmalıdır; Kestrlen ölçek çarpanının den sapması anlamlı mıdır? Hpotezler; H 0 : E( ˆ )= ve H : E( ˆ ) bçmndedr. ˆ nın standart sapması; s ˆ s Q /f Q 50/( 6 4) , olur. Test büyüklüğü, (4.5) den, T =, /(0,000968)=.6747 ve güven sınırı (4.6) eştlğnden t 8,0,975 =.3060 bulunur. T >t 8,0,975 olduğundan H 0 reddedlr; H kabul 3

34 edlr. Yan, kestrlen ölçek çarpanı kabul edlemez; noktaların sınırlandırdığı bölgede %95 güven düzey le deformasyon oluştuğuna karar verlr. Örnek 4: Br noktanın 999 ve 00 yıllarında elde edlen x koordnatları aşağıda verlmektedr. x(999)= 0,000 m; x(000)= 0,00 m; x(00)=0,05 m; x(00)=0,08 m Nokta x yönünde anlamlı br hız bleşenne sahp mdr? (=%5). Çözüm: Br t zamanındak koordnat çn x(t)=x(t 0 )+hız(t-t 0 ) hız denklem yazılablr. Başlangıç zamanının t 0 =999 ve koordnatların eşt ağırlıklı olduğu kabulleryle, düzeltme denklemler; x(999)-x(999)+v =x+hız( )0 mm + v =x+0hız x(000)-x(999)+v =x+hız( )0 mm+v =x+hız x(00)-x(999)+v 3 =x+hız(00-999)5 mm+v 3 =x+hız x(00)-x(999)+v 4 =x+hız(00-999)8 mm+v 4 =x+3hız olur. Normal denklemler, 4x+6hız=43 ve 6x+4hız=94, çözülerek, blnmeyenler, x=,9 mm ve hız=5,9 mm/yıl olarak elde edlr. Düzeltmelern kareler toplamı, =,7 mm, le br ölçünün standart sapması, s=(/f) 0,5 =(,7/(4-)) 0,5 =,5 mm bulunur. hız blnmeyennn standart sapması, ağırlık katsayısı Q h =0, le, s hız =s Q =,5 0, =,3 mm/yıl dır. h Hızın anlamlı olup olmadığını belrlemek çn, H 0 : E(hız)=0 hpotez H : E(hız)0 hpotezne karşı test edlr. Test büyüklüğü T hız = hız-0 /s hız =5,9/,3=5,, t f=,(- /)=0,975=4,3 güven sınırından büyük olduğu çn H 0 reddedlr. Dolayısıyla kestrlen hız bleşennn 0 dan sapması anlamlıdır; hız, rasgele hataların etks olarak düşünülmemeldr. 3

35 5. Varyans Test 5.. Br Varyansın Test Edlmes (Tek Yanlı Soru) Serbestlk dereces f olan br kestrm sonucunda elde edlen s varyansının herhang br varyansına eşt ya da bundan büyük olup olmadığının test edlmesnde aşağıdak şlemler gerçekleştrlr; Hpotezler H 0 : E(s )= =, H : E(s )= > (4.7) fs Test Büyüklüğü T s = (4.8) Güven Sınırı f ( -dağılımının güven sınırı) (4.9), Karar T s < f, se yanılma olasılığı le H 0 kabul edlr. Yan, s le arasındak sapma raslantısaldır; s le varyansından büyüktür. eşt kabul edlr. Aks halde H 0 reddedlr; s varyansı, 33

36 Not : Yukarıdak test şlem, genellkle, sayı değer olarak s nn varyansından büyük olması durumunda k varyansın brbrne eşt olup olmadığının test edlmes çn yapılır. Not : Söz konusu test şlem, H 0 : E( s 0 )= 0, H : E( s 0 )> 0 bçmnde oluşturulan hpotezlerle, Baarda yöntemne göre uyuşumsuz ölçü araştırması (data snoopng) öncesnde yapılan global teste dönüşür. Eğer bu test sonucunda, karşıt hpotez kabul edlrse, ölçüler arasında br uyuşumsuz ölçü olduğuna karar verlr ve Baarda yöntem uygulanır. Burada varyansı (a-posteror varance); ölçünün varyansıdır (a-pror varance). s 0, dengeleme sonrası elde edlen brm ağırlıklı ölçünün 0, dengeleme önces öngörülen brm ağırlıklı 5.. Br Varyansın Test Edlmes (Çft Yanlı Soru) Serbestlk dereces f olan br kestrm sonucunda elde edlen s varyansının herhang br varyansına eşt olup olmadığının test edlmesnde aşağıdak şlemler gerçekleştrlr; Hpotezler H 0 : E(s )= =, H : E(s )= (4.0) Test Büyüklüğü T s = s (4.) Güven Sınırı q = f/, / f ve q = f/, / f ( -dağılımının güven sınırları) (4.) Karar q <T s <q se yanılma olasılığı le H 0 kabul edlr. Yan, s le sapma raslantısaldır; s le varyansına eşt değldr. arasındak eşttr. T s q ya da T s q se, H 0 reddedlr; s varyansı, 34

37 Not : Yukarıdak test şlem, genellkle, sayı değer olarak s nn varyansından küçük olması durumunda k varyansın brbrne eşt olup olmadığının test edlmes çn yapılır Ġk Varyansın Test Edlmes ve BrleĢtrlmĢ Varyans Serbestlk dereceler f ve f olan k ayrı dengeleme sonrasında s 0, ve s 0, varyansları elde edlmş olsun. Bu k varyansın brbrne eşt olup olmadığını test etmek çn aşağıda şlemler gerçekleştrlr; Hpotezler H 0 : E( s 0, )=E( s 0, ), H : E( s 0, )E( s 0, ) (4.3) s 0, Test Büyüklüğü T f = s 0, s, ( s 0, > s 0, 0, se) ; T f = s 0, ( 0, s > s 0, se) (4.4) Güven Sınırı F ( s 0, > s 0, se) ; F,f, ( s 0, > s 0, se) (F-dağılımının güven f,f, f sınırı) (4.5) Karar Test büyüklüğü, lgl güven sınırından küçükse, yanılma olasılığı le H 0 kabul edlr. Yan, k varyans brbrne eşt kabul edlr. Aks halde H 0 reddedlr; yan, k varyans brbrnden farklıdır. 35

38 Not : İlgl test sonucunda k varyans brbrne eşt çıkıyorsa, bu k varyans yerne tek br varyans öngörüleblr. Buna brleştrlmş varyans (pooled varance) adı verlr; s 0 fs 0, fs 0, (4.6) f f Brleştrlmş varyans, k peryot ölçülernn karşılaştırılmasında uygulanan deformasyon analznde önemldr Bartlett Homojenlk Test Brden çok sayıda varyansın brbrne eşt olup olmadığının belrlenmes çn uygulanır. Hpotezler H 0 : E( 0, s )=E( s 0, )= =E( 0, m s ), H : E( s 0, )E( s 0, ) E( s 0, m ) (4.7) [/f] k [fs ] Test Büyüklüğü T f =, (k=[f] 0 [f] ln [fln(s 0)], p=+ p [f] 3(m ) (4.8) Güven Sınırı f (f=m) (4.9), Karar Test büyüklüğü, lgl güven sınırından küçükse, yanılma olasılığı le H 0 kabul edlr. Yan, varyanslar brbrne eşt kabul edleblr. Aks halde H 0 reddedlr; yan, varyanslar brbrnden farklıdır. 36

39 Not : İlgl test sonucunda varyanslar brbrne eşt çıkıyorsa, bunlar yerne brleştrlmş varyans kullanılablr; [fs 0 ] fs 0, fs 0,... fms 0,m s0 (4.0) [f] f f... f m 5.3 Ġk Beklenen Değern Test Edlmes Serbestlk dereceler f ve f, br ölçü çn geçerl varyansları s 0, ve s 0, olan k dengeleme sonucunda ağırlık katsayıları Q a ve Q a olan a ve a parametrelernn brbrne eşt olup olmadığı test edlmek stensn. Bu amaçla aşağıdak şlemler gerçekleştrlr: İk varyans eşt m?öncelkle, s 0, ve s 0, varyanslarının statstksel olarak eşt olması gerekr. Bu amaçla Bölüm 4..3 de verlen varyans test uygulanır; k varyans eştse, (4.6) eştlğnden brleştrlmş varyans ( s 0 ) hesaplanır. Hpotezler H 0 : E(a )=E(a ), H : E(a )E(a ) (4.) Test Büyüklüğü T a = s 0 a a Q a Q a (4.) Güven Sınırı t f,/ (tdağılımının güven sınırı), f=f +f (4.3) Karar T a <t f,/ se H 0 hpotez kabul edlr; yan, a ve a parametreler arasındak fark raslantısaldır, brbrne eşt alınablr. Aks durumda, k parametrenn farklı 37

40 olduğuna karar verlr. 5.4 Doğrusal Hpotez Test Jeodezk çalışmalarda uygulanan çoğu statstk test şlem, doğrusal hpotez test adı verlen testn özel hallerdrler. Bu bölümde öncelkle, doğrusal hpotezlern dengelemeye etksnden ve br doğrusal hpotez testnn genel bçmnden bahsedlecek; lerleyen bölümlerde doğrusal hpotez testne dayanan test yöntemler ele alınacaktır Doğrusal Hpotezn Karesel Bçme Etks n boyutlu ölçü vektörü l normal dağılımlı olsun: ln(ax, 0 P - ). Gauss-Markoff model böylece, E(l)= l +v=ax ; P (4.4) olur. Burada, A, nu boyutlu katsayılar matrsdr (ranka=u). En küçük kareler yöntemne göre u boyutlu blnmeyen vektörü x ve n boyutlu düzeltme vektörü v aşağıdak bçmde elde edlr: T T x ( A PA) A Pl ve v Axl (4.5) Düzeltmelern ağırlıklı kareler toplamı =v T Pv (4.6) le 0 varyansının kestrm değer s 0 =/f olur. Burada f, (4.4) modelnn serbestlk derecesdr (f=nu). Şmd, blnmeyenlern, Hx=w bçmnde br doğrusal fonksyonu sağlaması stensn. 38

41 Bunun çn h adet Hx=w koşul denklem (4.4) modelnde düşünülür: Düzeltmelern ağırlıklı karelernn toplamını bu koşul altında mnmum yapan Lagrange fonksyonu göz önüne alındığında normal denklemler, T A PA H T T H x H A Pl 0 w (4.7a) bulunur. Koşul denklemler nedenyle, bu normal denklemlerden, öncek x yerne, x H elde edlr. Dolayısıyla, düzeltme vektörü v Ax l (4.7b) H H çıkar. Düzeltmelern ağırlıklı kareler toplamı H = v T H Pv H (4.7c) le 0 varyansının kestrm değer s 0,H = H /f H olur. Burada f H, çersnde Hx=w koşul denklemler bulunan modeln serbestlk derecesdr; f H =f+h (4.7d) Eğer elmzde lk dengeleme sonuçları bulunuyorsa, (4.7c) eştlğndek H ın elde edlmes çn (4.7a) normal denklemlernn oluşturulmasına, yan, çersnde Hx=w koşul denklemlernn bulunduğu knc br dengeleme yapmaya gerek yoktur: H aşağıdak gb doğrudan elde edleblr; T T T H =+R=+ ( Hx w) ( H( A PA) H ) ( Hx w) (4.8) Burada R değer, Hx=w koşul denklemlernn düzeltmelern ağırlıklı kareler toplamına etksn gösterr. R karesel bçmnn serbestlk dereces, f H dır. 39

42 5.4. Doğrusal Hpotez Test (4.4) modelndek x blnmeyenler vektörü çn geçerl, Kx= bçmndek br eştlğn geçerl olup olmadığı test edlmek stensn. Bunun çn, sıfır hpotez (doğrusal hpotez), H 0 : Kx=0, (4.9) H : Kx0 karşıt hpotezne karşı test edlmeldr. Buna göre, Kx= koşul denklemler (4.4) modelnde düşünülür ve (4.8) eştlğndek R büyüklüğü, T T T R= ( Kx ) ( K( A PA) K ) ( Kx ) (4.30) elde edlr. Eğer (4.9) hpotez doğruysa R büyüklüğü sıfıra gtmeldr. Bunun çn, Fdağılımlı olan aşağıdak test büyüklüğü kullanılır; (R/h) T= F(h,f) (4.3) ( /f) Eğer T büyüklüğü Fdağılımının güven düzey çn elde edlen F h,f, güven sınırından küçükse (4.9) hpotez kabul edlr. Yan, Kx= eştlğ yanılma olasılığı le doğrudur. Aks halde, söz konusu eştlk geçerl değldr. 5.5 Doğrusal Hpotez Testne Bağlı Özel Uygulamalar 5.5. Parametre Test (4.4) modelnde br x j blnmeyennn br j değerne eşt olup olmadığı test edlmek stensn. Bunun çn dengelemenn fonksyonel model A=[A a j ] ve x=[x x j ] T (4.3) bçmnde k parçada düşünülür. Buna göre sıfır hpotez ve karşıt hpotez aşağıdak bçmde oluşturulur; 40

43 x 0 x 0 H 0 : x j j =0 H 0 : [0 ]( x )=0 ve H : x j j 0 H : [0 ]( j j x )0 (4.33) j j (4.30) eştlğnde K=[0 ], x =[ x x j ] T ve =[0 ] [0 j ] T olduğu göz önüne alınırsa, T A PA R=( x j j )([0 ] T ajpa 0 T A Paj T a jpaj ) ( x j j )=( j x j ) Q ([0 ] Q Q xx xx 0 j T x x j Q x j x j ) (4.34) çıkar. Böylece R=( x j j ) / Q (4.35) x j x j elde edlr. (4.35) eştlğ (4.3) de düşünülürse, h= le (x j j) T= s Q 0 x j x j F(h=,f) (4.36) bulunur. Buna göre, T<F,f, se sıfır hpotez (H 0 : x j j =0) güven düzey le kabul edlr. Yan, x j nn j den sapması anlamlı değldr: Bu nedenle, x j yerne j kabul edleblr. Not: T nn karakökü alındığında, yen test büyüklüğü f serbestlk derecesyle t- dağılımlı olur ve T büyüklüğünün t f,/ le karşılaştırılması yoluna gdleblr (t f,/ = F,f, olduğunu hatırlayınız). Böylece, Bölüm 4.. de açıklanan parametre test yöntem, doğrusal hpotez test le spat edlmş olur. 4

44 5.6 Dengeleme Modelnn Test Edlmes l+v =A x düzeltme denklemler ve P ağırlık matrsnden oluşan br dengeleme model, ek parametrelerle (x E ) genşletlmş olsun; l +v =[A A E ] x x E, P (4.37) Dengeleme modelnn ek parametrelerle genşletlmesnn uygun olup olmadığını belrlemek çn H 0 : x E =0 bçmndek sıfır hpoteznn H : x E 0 karşıt hpotezne karşı test edlmes gerekr. Bunun çn, (4.37) modelnde x E =0 koşul denklemler düşünülür. Bu durumda elde edlecek düzeltmelerle ( v H ), (4.8) den, H = +R (4.38) bulunur. Böylece, (4.3) eştlğne göre test büyüklüğü, ( T= H )/(f H f ) /f (4.39) olur. Doğaldır k, (4.37) modelnde x E =0 koşulunun düşünülmes durumunda model, lk modele dönüşür; büyüklüğü aşağıdak bçmde yazılır; v H = v ve H = = v T H P v H = v T P v olur. Buna göre, (4.39) test ( T= )/(f f ) /f (4.40) (4.40) test büyüklüğü, (f f ) ve f serbestlk dereceleryle Fdağılımlıdır (TF((f f ),f )). Eğer, T< F se H 0 : x E =0 hpotez güven düzey le kabul edlr. f f, f, Br başka deyşle, modeln genşletlmesne gerek yoktur. İlk modeln kullanılması daha anlamlıdır. 4

45 5.7 UyuĢumsuz Ölçü Test {l+v=ax, P} dengeleme modelnde. ölçüde kaba hata olduğundan şüphelenlyorsa. ölçüye lşkn düzeltme denklemnde blnmeyen hata büyüklüğünün de geçmes gerekr. Böylece dengeleme model l+v =Ax+e, P (4.4) bçmnde genşletlmeldr. Burada e,. elemanı dğerler 0 olan n boyutlu br vektördür.. ölçünün gerçekten kaba hatalı olup olmadığı, br başka deyşle nn sıfır kabul edlp edlemeyeceğnn test çn, H 0 : =0 ve H : 0 (4.4) hpotezler oluşturulur. Bu hpotezler aşağıdak bçmde yazılablr; x x H 0 : [0 ] =0 ve H : [0 ] 0 (4.43) (4.9) eştlğ le verlen doğrusal hpotezle karşılaştırılırma yapılırsa, K=[0 + olduğu görülür. Buna göre, *0 ][x T ]=0 hpoteznn, (4.4) modelnden elde edlecek = v T Pv karesel bçmne etks, (4.30) dan, T A PA R =( )([0 ] T e PA T A Pe T e Pe 0 ) Q ( )=( )([0 ] Q xx T x Q Q x 0 ) ( )= (Q ) (4.44) bulunur. Q, alt matrslerle matrs ters alma yöntemne göre (block nverse method), Q =( e T Pe- e T PA ( A T PA ) A T Pe ) (4.45) 43

46 bçmnde elde edlr. Dengeleme Hesabı dersnden A( A T PA ) A T matrs çarpımının dengel ölçülern ağırlık katsayıları matrsne ( Q ) eşt olduğu göz önüne alınır ve ölçülern korelasyonsuz olduğu varsayılırsa, (4.45) eştlğ daha yalın br bçme dönüşür; ll Q =(P e T P Q Pe ) =(P P Q ) =/(P r ) (4.46) ll l l Burada, Q {l +v=ax, P} modelnde. dengel ölçünün ağırlık katsayısı, r l l se fazla ölçü (redündans) payıdır. Böylece, (4.44) dek R karesel bçm, R = P r (4.47) olur. büyüklüğü, {l+v=ax, P} modelnn çözümünden elde edlecek, düzeltme vektörünün. elemanı v ye bağlı olarak 0). v düzeltmesnn ağırlık katsayısı bağıntısı geçerl olduğundan, R karesel bçm, = v /r bçmndedr (bak. Koch, 999; s. Q le redündans payı arasında Q v v v v =r /P R = v / Q (4.48) v v olarak elde edlr. Buna göre, test büyüklüğü, T = ( v /f )Q v v (4.49) serbestlk dereceler ve f olan Fdağılımına uyar. Dğer yandan, ve f çn = H R =R = v T Pv R = v T Pv v, f =f (4.50) Q v v geçerldr. s = /f ) denrse, (4.49) test büyüklüğü, 0, ( 44

47 v T = (4.5) s 0,Q v v bçmne dönüşür. Eğer T test büyüklüğü, F güven sınırından küçükse, H 0 : =0,( f f), hpotez güven düzey le kabul edlr. Br başka deyşle,. ölçüde kaba hata yoktur. Not: (4.5) test büyüklüğünün karekökü alınırsa, elde edlen test büyüklüğü, ttestne göre uyuşumsuz ölçü şlemnde kullanılan normlandırılmış düzeltmeye döner; güven sınırı se f serbestlk dereces ve / olasılığına göre hesaplanır. T = v,t = s 0, v ; Güven sınırı: tf, / (4.5) Q v v Dğer yandan, T test büyüklüğü le aşağıdak bçmde yen br değşken tanımlansın, f T (4.53) f T Bu yen değşkenn karekökü le yen br değşken oluşturulursa, / / f T R v f T = v, P (4.54) /f s0 Q v v Pope yöntemne göre uyuşumsuz ölçü araştırmasında kullanılan normlandırılmış düzeltme elde edlr. değşken ve f serbestlk dereceleryle Tau-dağılımlıdır. Taudağılımının güven sınırı, (4.53) den,,f, f F,f f F,,f, / (4.55) 45

48 elde edlr. Not: yanılma olasılığı, tüm ölçüler çn geçerldr. Uyuşumsuz ölçü araştırmasında, her br ölçü tek tek kuşkulu görüldüğünden, test şlemlernde tek boyutlu yanılma olasılığı 0 =/n kullanılır. 5.8 UyuĢumsuz Nokta Test {l+v=ax, P} dengeleme model, h boyutlu ek parametreleryle genşletlsn; l+v =Ax+Z, P (4.56) =0 koşul denklemler (4.56) da düşünülürse, düzeltmelern ağırlıklı karelernn toplamı, R= H = = v T T T T Pv v PZ( Z PQ PZ) Z Pv vv (4.57) kadar değşecektr (Koch, 999; s. 303). Buna göre vektörünün sıfıra eşt olup olmadığının test çn, T= R/h F(h, f ) (4.58) /f kullanılır. yı bulmak çn (4.56) model çözülmeldr. Ancak, (4.53) dek dönüşüme benzer br dönüşüm uygulanırsa, / / f T R/h (h, f-h) (4.59) fh ht /f (4.56) modelnn çözülmesne gerek kalmaz ((h,fh), Tau-dağılımını fade eder). Bazı problemler çn R artığı kolayca elde edlr; bunlardan lk br öncek bölümde Pope 46

49 yöntemne göre uyuşumsuz ölçü test çn elde edlmştr. Br dğer problem, k boyutlu koordnat dönüşümlernde uygulanan uyuşumsuz nokta test dr. Benzerlk dönüşümü yapıldıktan sonra. noktanın düzeltmeler, v x ve y v, bunların ağırlık katsayıları se, Q olsun. Buna göre, test büyüklüğü, (4.59) dan, v v v v y (xy) (h=, f) (4.60) s Q x 0 vv bçmnde elde edlr. Test büyüklüğü çn Tau-dağılımının güven sınırı, (4.55) e benzer bçmde,,f, f F,f f F,,f, / (4.6) bulunur. Benzerlk dönüşümünde f=p4 tür (p: eşlenk nokta sayısı). Dğer yandan, brnc serbestlk dereces se f F,f, = (4.6) /f eştlğ geçerldr (Koch, 999; s. 30). (4.6), (4.6) de düşünülürse, /(p 3),f, (p )( ) (4.63) bulunur. Uyuşumsuz ölçü araştırmasında olduğu gb, burada da her br nokta çft tek tek kuşkulu görülür. Bu nedenle, test şlemnde toplam yanılma olasılığı yerne 0 =/p kullanılmalıdır. Böylece, uyuşumsuz nokta testnde kullanılan (4.60) test büyüklüğü çn güven sınırı olarak aşağıdak büyüklük kullanılır. /(p 3),f, /p (p )( ( /p) ) (4.64) 47

50 Eğer, <,f, /p se. nokta uyuşumludur; aks durumda, lgl nokta eşlenk nokta (xy) kümesnden çıkarılarak, yen br benzerlk dönüşümü yapılmalıdır. Uygulama: Brnc koordnat sstemndek nokta koordnatları aşağıda verlen eşlenk nokta kümes yardımıyla, knc ssteme dönüştürülmek stenmektedr: NN x (m) y (m) x (m) y (m) a) Benzerlk dönüşümü uygulayarak dönüşüm parametrelern hesaplayınız. b) Ölçek faktörünün den sapmasının anlamlı olup olmadığını test ednz. c) Uyuşumsuz nokta olup olmadığını test ednz. d) Afn dönüşümü uygulayarak dönüşüm parametrelern hesaplayınız. e) Afn dönüşümden elde edlen k ölçek faktörün ve k dönüklüğün brbrne eşt olup olmadığını ayrı ayrı test ednz. f) Afn dönüşümü yerne benzerlk dönüşümü uygulanablr m? Test ednz. Not: Tüm test şlemlernde toplam yanılma olasılığı; =%5. 48

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır.

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır. UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ Posson: H o: Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmektedr. H a : Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmemektedr. Böyle br hpotez test edeblmek çn, önce Posson dağılım parametres

Detaylı

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

Korelasyon ve Regresyon

Korelasyon ve Regresyon Korelasyon ve Regresyon 1 Korelasyon Analz İk değşken arasında lşk olup olmadığını belrlemek çn yapılan analze korelasyon analz denr. Korelasyon; doğrusal yada doğrusal olmayan dye kye ayrılır. Korelasyon

Detaylı

HAFTA 13. kadın profesörlerin ortalama maaşı E( Y D 1) erkek profesörlerin ortalama maaşı. Kestirim denklemi D : t :

HAFTA 13. kadın profesörlerin ortalama maaşı E( Y D 1) erkek profesörlerin ortalama maaşı. Kestirim denklemi D : t : HAFTA 13 GÖLGE EĞİŞKENLERLE REGRESYON (UMMY VARIABLES) Gölge veya kukla (dummy) değşkenler denen ntel değşkenler, cnsyet, dn, ten reng gb hemen sayısallaştırılamayan ama açıklanan değşkenn davranışını

Detaylı

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır.

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır. KONU : DUAL MODELİN EKONOMİK YORUMU Br prmal-dual model lşks P : max Z cx D: mn Z bv AX b AV c X 0 V 0 bçmnde tanımlı olsun. Prmal modeln en y temel B ve buna lşkn fyat vektörü c B olsun. Z B B BB c X

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür.

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür. Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Kİ-KAR TSTLRİ A) Kİ-KAR DAĞILIMI V ÖZLLİKLRİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk gösterp

Detaylı

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON HAFTA 4 PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYO Gölge değşkenn br başka kullanımını açıklamak çn varsayımsal br şrketn satış temslclerne nasıl ödeme yaptığı ele alınsın. Satış prmleryle satış hacm Arasındak varsayımsal

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeler http://ocm.mt.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında blg almak çn http://ocm.mt.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresn zyaret ednz. 18.102

Detaylı

Doğrusal Korelasyon ve Regresyon

Doğrusal Korelasyon ve Regresyon Doğrusal Korelasyon ve Regresyon En az k değşken arasındak lşknn ncelenmesne korelasyon denr. Kşlern boyları le ağırlıkları, gelr le gder, öğrenclern çalıştıkları süre le aldıkları not, tarlaya atılan

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

Sıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler

Sıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler Sıklık Tabloları ve Tek Değşkenl Grafkler Sıklık Tablosu Ver dzsnde yer alan değerlern tekrarlama sayılarını çeren tabloya sıklık tablosu denr. Sıklık Tabloları tek değşken çn marjnal tablo olarak adlandırılır.

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın...

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın... KARMAŞIK SAYILAR Derse grş çn tıklayın A Tanım B nn Kuvvetler C İk Karmaşık Sayının Eştlğ D Br Karmaşık Sayının Eşlenğ E Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama - Çıkarma Çarpma Bölme F Karmaşık Dülem ve

Detaylı

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Ekonometr 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekm 2011) http://www.ackders.org.tr SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler

Detaylı

Tek Yönlü Varyans Analizi

Tek Yönlü Varyans Analizi Tek Yönlü Varyan Analz Nedr ve hang durumlarda kullanılır? den fazla grupların karşılaştırılmaı öz konuu e, çok ayıda t-tet nn kullanılmaı, Tp I hatanın artmaına yol açar; Örneğn, eğer 5 grubu kşerl olarak

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

Sistemde kullanılan baralar, klasik anlamda üç ana grupta toplanabilir :

Sistemde kullanılan baralar, klasik anlamda üç ana grupta toplanabilir : 5 9. BÖLÜM YÜK AKIŞI (GÜÇ AKIŞI) 9.. Grş İletm sstemlernn analzlernde, bara sayısı arttıkça artan karmaşıklıkları yenmek çn sstemn matematksel modellenmesnde kolaylık getrc bazı yöntemler gelştrlmştr.

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 005 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına

Detaylı

A İSTATİSTİK. 4. X kesikli rasgele (random) değişkenin moment çıkaran. C) 4 9 Buna göre, X in beklenen değeri kaçtır?

A İSTATİSTİK. 4. X kesikli rasgele (random) değişkenin moment çıkaran. C) 4 9 Buna göre, X in beklenen değeri kaçtır? . Br torbada 6 syah, 4 beyaz top vardır. Bu torbadan yerne koyarak top seçlyor. A İSTATİSTİK KPSS/-AB-PÖ/006. Normal dağılıma sahp br rasgele (random) değşkenn varyansı 00 dür. Seçlen topların ksnn de

Detaylı

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri Asmetr ve Basıklık Ölçüler Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartllere dayanan (Bowley) omentlere dayanan asmetr ve basıklık ölçüler Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr III. Asmetr ve Basıklık

Detaylı

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = σ i2. Eşit Varyans. Hata. Zaman

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = σ i2. Eşit Varyans. Hata. Zaman Farklı Varyans Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = σ Eşt Varyans Y X Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = σ Farklı Varyans Zaman Farklı Varyans le Karşılaşılan Durumlar Kest Verlernde. Kar dağıtım

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ 1 Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı, F Dağılışı, gb br dağılışa uygun olduğu durumlarda

Detaylı

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 Eşit Varyans

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 Eşit Varyans Farklı Varyans Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Eşt Varyans Y X 1 Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Farklı Varyans Zaman EKKY nn varsayımlarından br anakütle regresyon fonksyonu u lern

Detaylı

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan

Detaylı

Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA)

Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) VARYANS ANALİZİ İ örne ortalaması arasında farın önem ontrolü, örne büyülüğüne göre z veya testlernden bryle yapılır. Bu testlerle, den fazla örne ortalamasını brlte test etme ve aralarında farın önem

Detaylı

BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER

BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER Blmn amaçlarından br yaşanılan doğa olaylarını tanımlamak ve olayları önceden tahmnlemektr. Bu amacı başarmanın yollarından br olaylar üzernde etkl olduğu

Detaylı

Cebir Notları. Karmaşık Sayılar Testi z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır?

Cebir Notları. Karmaşık Sayılar Testi z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? Cebr Ntları Karmaşık Sayılar Test. + se Re() + Im()?. ( x y) + + ( x+ y ) se x + y tplamı kaçtır?. x + y ( x ) ve se y kaçtır?. ve se y x kaçtır?. sayısı kaça eşttr?. sayısı kaça eşttr? 7. x+ + ( y ) y

Detaylı

SEK Yönteminin Güvenilirliği Sayısal Bir Örnek. Ekonometri 1 Konu 11 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

SEK Yönteminin Güvenilirliği Sayısal Bir Örnek. Ekonometri 1 Konu 11 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Yöntemnn Güvenlrlğ Ekonometr 1 Konu 11 Sürüm,0 (Ekm 011) UADMK Açık Lsans Blgs İşbu belge, Creatve Commons Attrbuton-Non-Commercal ShareAlke 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0)

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesr Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölüü uutokkan@balkesr.edu.tr İSTATİSTİK DERS OTLARI Yrd. Doç. Dr. Uut OKKA Hdrolk Anabl Dalı Balıkesr Ünverstes Balıkesr Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölüü İnşaat Mühendslğ

Detaylı

ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi

ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi ÖZE Yüksek Lsans ez Knematk Modelde Kalman Fltreleme Yöntem le Deformasyon Analz Serkan DOĞANALP Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Jeodez ve Fotogrametr Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Bayram URGU

Detaylı

11. z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? 14. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı kaçtır? 15.

11. z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? 14. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı kaçtır? 15. GD. + se Re() + Im()? www.gkhandemr.rg, 007 Cebr Ntları Gökhan DEMĐR, gdemr@yah.cm.tr Karmaşık sayılar 9. + + sayısı kaça eşttr? 7 890. ( x y) + + ( x + y) se x + y tplamı kaçtır?. x + y ( x) ve se y kaçtır?.

Detaylı

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet :

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ. Biyoistatistik (Ders 7: Olasılık) OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI

OLASILIĞA GİRİŞ. Biyoistatistik (Ders 7: Olasılık) OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI OLASILIĞA GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Sakarya Ünverstes Tıp Fakültes Byostatstk Anablm Dalı uerkorkmaz@sakarya.edu.tr OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI Br olayındoğal koşullar altında toplumda

Detaylı

Bağımsız Model Blok Dengeleme için Model Oluşturma ve Ön Sayısal Bilgi İşlemleri

Bağımsız Model Blok Dengeleme için Model Oluşturma ve Ön Sayısal Bilgi İşlemleri Bağımsız Model Blok Dengeleme çn Model Oluşturma ve Ön Sayısal Blg İşlemler Emnnur AYHAN* 1. Grş Fotogrametrk nreng çeştl ölçütlere göre sınıflandırılablr. Bu ölçütler dengelemede kullanılan brm, ver toplamada

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler 6.4.7 NÜMERİK ANALİZ Yrd. Doç. Dr. Hatce ÇITAKOĞLU 6 Müendslk sstemlernn analznde ve ugulamalı dsplnlerde türev çeren dferansel denklemlern analtk çözümü büük öneme saptr. Sınır değer ve/vea başlangıç

Detaylı

5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili

5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili 5.3. Tekne Yüzeylernn atematksel Temsl atematksel yüzey temslnde lk öneml çalışmalar Coons (53) tarafından gerçekleştrlmştr. Ferguson yüzeylernn gelştrlmş hal olan Coons yüzeylernde tüm sınır eğrler çn

Detaylı

Bilgisayarla Görüye Giriş

Bilgisayarla Görüye Giriş Blgsayarla Görüye Grş Ders 8 Görüntü Eşleme Alp Ertürk alp.erturk@kocael.edu.tr Panorama Oluşturma Görüntüler eşlememz / çakıştırmamız gerekmektedr Panorama Oluşturma İk görüntüden özntelkler çıkar Panorama

Detaylı

Sabit Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2

Sabit Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 X Sabt Varyans Y Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Eşt Varyans EKKY nn varsayımlarından br anakütle regresyon fonksyonu u lern eşt varyanslı olmasıdır Her hata term varyansı bağımsız değşkenlern verlen değerlerne

Detaylı

Sorunun varlığı durumunda hata terimi varyans-kovaryans matrisi Var, Cov(u) = E(uu') = σ 2 I n şeklinde yazılamıyor fakat

Sorunun varlığı durumunda hata terimi varyans-kovaryans matrisi Var, Cov(u) = E(uu') = σ 2 I n şeklinde yazılamıyor fakat 8. DEĞİŞEN VARYANS SORUNU (HETEROSCEDASTICITY) 8.. Değşen Varyans Sorunu Nedr? Matrslerle yan Y = β u Y = β β β 3 3 β k k u, = n genel doğrusal modeln ele alalım. Hata term çn yapılan varsayımlardan brs

Detaylı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı Açık Polon Dzsnde Koordnat Hesabı Problem ve numaralı noktalar arasında açılacak tüneln doğrultusunu belrlemek amacıyla,,3,4, noktalarını çeren açık polon dzs tess edlmş ve şu ölçme değerler elde edlmştr.

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya

Detaylı

NİTEL TERCİH MODELLERİ

NİTEL TERCİH MODELLERİ NİTEL TERCİH MODELLERİ 2300 gözlem sayısı le verlen değşkenler aşağıdak gbdr: calsma: çocuk çalışıyorsa 1, çalışmıyorsa 0 (bağımlı değşken) Anne_egts: Anne eğtm sevyes Baba_egts: Baba eğtm sevyes Kent:

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

Bulanık Mantık ile Hesaplanan Geoid Yüksekliğine Nokta Yüksekliklerinin Etkisi

Bulanık Mantık ile Hesaplanan Geoid Yüksekliğine Nokta Yüksekliklerinin Etkisi Harta Teknolojler Elektronk Dergs Clt: 5, No: 1, 2013 (61-67) Electronc Journal of Map Technologes Vol: 5, No: 1, 2013 (61-67) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com e-issn: 1309-3983 Makale

Detaylı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış

Detaylı

DEFORMASYONLARIN MODELLENMESİ. Levent TAŞÇI 1 ltasci@firat.edu.tr

DEFORMASYONLARIN MODELLENMESİ. Levent TAŞÇI 1 ltasci@firat.edu.tr DFORMSYOLRI MODLLMSİ Levent TŞÇI 1 ltasc@frat.edu.tr Öz: Deformasyonların belrleneblmes çn farklı çalışma grupları tarafından ortaya konulmuş farklı yaklaşımlar söz konusudur. Deformasyon analznde, bloklar

Detaylı

Makine Öğrenmesi 10. hafta

Makine Öğrenmesi 10. hafta Makne Öğrenmes 0. hafta Lagrange Optmzasonu Destek Vektör Maknes (SVM) Karesel (Quadratc) Programlama Optmzason Blmsel term olarak dlmze geçmş olsa da bazen en leme termle karşılık bulur. Matematktek en

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

3. Parçaları Arasında Aralık Bulunan Çok Parçalı Basınç Çubukları

3. Parçaları Arasında Aralık Bulunan Çok Parçalı Basınç Çubukları 3. Parçaları Arasında Aralık Bulunan Çok Parçalı Basınç Çubukları Basınç çubukları brden fazla profl kullanılarak, bu profller arasında plan düzlemnde bell br mesafe bulunacak şeklde düzenleneblr. Bu teşklde,

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ. χ 2 Kİ- KARE TESTLERİ. Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIBAY PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ- KARE TESTLERİ Doç.Dr. Al Kemal ŞEHİRLİOĞLU Araş.Gör. Efe SARIAY Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı,

Detaylı

ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRMESİ. Burak ŞİMŞEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRMESİ. Burak ŞİMŞEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRMESİ Burak ŞİMŞEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEMMUZ 2007 ANKARA

Detaylı

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatstkler Tanımlayıcı İstatstkler Br ver setn tanımak veya brden fazla ver setn karşılaştırmak çn kullanılan ve ayrıca örnek verlernden hareket le frekans dağılışlarını sayısal olarak

Detaylı

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007 Yrd. Doç. Dr. Atlla EVİN Afyon Kocatepe Ünverstes 007 ENERJİ Maddenn fzksel ve kmyasal hal değşm m le brlkte dama enerj değşm m de söz s z konusudur. Enerj değşmler mler lke olarak Termodnamğn Brnc Yasasına

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre 1 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cnemre 2 BİRİNCİ BÖLÜM HEDEF PROGRAMLAMA 1.1 Grş Karar problemler amaç sayısına göre tek amaçlı ve çok amaçlı

Detaylı

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri .7 Bezer eğrler, B-splne eğrler Bezer eğrler ve B-splne eğrler blgsaar grafklernde ve Blgsaar Destekl Tasarım (CAD) ugulamalarında çok kullanılmaktadır.. B-splne eğrler sadece br grup ver noktası çn tanımlanan

Detaylı

Kİ-KARE VE KOLMOGOROV SMİRNOV UYGUNLUK TESTLERİNİN SİMULASYON İLE ELDE EDİLEN VERİLER ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI

Kİ-KARE VE KOLMOGOROV SMİRNOV UYGUNLUK TESTLERİNİN SİMULASYON İLE ELDE EDİLEN VERİLER ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI C.Ü. İktsad ve İdar Blmler Dergs, Clt 4, Sayı 1, 3 6 Kİ-KARE VE KOLMOGOROV SMİRNOV UYGUNLUK TESTLERİNİN SİMULASYON İLE ELDE EDİLEN VERİLER ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI H. BİRCAN, Y. KARAGÖZ ve Y. KASAPOĞLU

Detaylı

2.a: (Zorunlu Değil):

2.a: (Zorunlu Değil): Uygulaa 5-7:.7 6 7 Baar Yarıyılı Jeodezk Ağlar e Uygulaaları UYGULAMA FÖYÜ,..7.a: (Zorunlu Değl: Yanına arılaayan br kule yükeklğnn trgonoetrk yükeklk belrlee yönteyle eaplanaı UYGULAMA.b : (Zorunlu C3

Detaylı

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI V. Ulusal Üretm Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Tcaret Ünverstes, 5-7 Kasım 5 ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN

Detaylı

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlık ve Ters Ağırlık (Kofaktör) Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 016 AĞIRLIK

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1-2

OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1-2 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1- Doç.Dr.Erol YAVUZ İstanbul 01 HATA KURAMI Jeodezik Amaçlı Ölçüler ve Hataları Dengeleme

Detaylı

EKONOMETRİYE GİRİŞ II ÖDEV 4 ÇÖZÜM

EKONOMETRİYE GİRİŞ II ÖDEV 4 ÇÖZÜM EKONOMETRİYE GİRİŞ II ÖDEV 4 ÇÖZÜM (Örgün e İknc Öğretm çn) 1. 754 hanehalkına at DOMerset sml Excel dosyasında yer alan erler kullanarak tahmnlenen DOM sonuçları: Dependent Varable: CALISANKADIN Sample:

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ QUANTILE REGRESYON ve BİR UYGULAMA İlkay ALTINDAĞ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Ağustos-1 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

REGRESYON ANALİZİ BÖLÜM 1-2

REGRESYON ANALİZİ BÖLÜM 1-2 REGRESYON ANALİZİ BÖLÜM 1- Yayın Tarh: 17-08-008 REGRESYON ANALİZİ NEDİR? MODELLEME 1. GİRİŞ İstatstk blmnn temel lg alanlarından br: br şans değşkennn davranışının br model kullanılarak tahmnlenmesdr.

Detaylı

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr.

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr. Deprem Tepksnn Sayısal Metotlar le Değerlendrlmes (Newmark-Beta Metodu) Sunum Anahat Grş Sayısal Metotlar Motvasyon Tahrk Fonksyonunun Parçalı Lneer Interpolasyonu (Pecewse Lnear Interpolaton of Exctaton

Detaylı

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatstkler Tanımlayıcı İstatstkler Br ver setn tanımak veya brden fazla ver setn karşılaştırmak çn kullanılan ve örnek verlernden hareket le frekans dağılışlarını sayısal olarak özetleyen

Detaylı

ANOVA. CRD (Completely Randomized Design)

ANOVA. CRD (Completely Randomized Design) ANOVA CRD (Completely Randomzed Desgn) Örne Problem: Kalte le blgnn, ortalama olara, br urumun üç farlı şehrde çalışanları tarafından eşt olara algılanıp algılanmadığını test etme amacıyla, bu üç şehrde

Detaylı

OLASILIK. Bölüm 4. Temel Tanımlar ve Kavramlar-I. Olasılık

OLASILIK. Bölüm 4. Temel Tanımlar ve Kavramlar-I. Olasılık ölüm 4 Olasılık OLSILIK opulasyon hakkında blg sahb olmak amacı le alınan örneklerden elde edlen blgler bre br doğru olmayıp heps mutlaka br hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebeb

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular Basel II Geçş Sürec Sıkça Sorulan Sorular Soru No: 71 Cevaplanma Tarh: 06.03.2012 İlgl Hüküm: --- Konu: Gayrmenkul İpoteğyle Temnatlandırılmış Alacaklar İçn KR510AS Formunun Doldurulmasına İlşkn Örnek

Detaylı

Fizik 101: Ders 15 Ajanda

Fizik 101: Ders 15 Ajanda zk 101: Ders 15 Ajanda İk boyutta elastk çarpışma Örnekler (nükleer saçılma, blardo) Impulse ve ortalama kuvvet İk boyutta csmn elastk çarpışması Önces Sonrası m 1 v 1, m 1 v 1, KM KM V KM V KM m v, m

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz SAYISAL ANALİZ SAYISAL TÜREV Numercal Derentaton Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz İÇİNDEKİLER Sayısal Türev Ger Farklar

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3 Yıldız Teknk Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü Deneyn Amacı İşlemsel kuvvetlendrcnn çalışma prensbnn anlaşılması le çeştl OP AMP devrelernn uygulanması ve ncelenmes. Özet ve Motvasyon.. Operasyonel Amplfkatör

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU İÇ İLİŞKİ VE EKOLOJİK REGRESYON İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU İÇ İLİŞKİ VE EKOLOJİK REGRESYON İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Berrn GÜLTAY YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇOKLU İÇ İLİŞKİ VE EKOLOJİK REGRESYON İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 9 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ

Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ Giriş ve Amaç Hata Teorisi, Hata Türleri Ölçü ve Hata Hata Türleri Doğruluk Ölçütleri Kovaryans ve Korelasyon Hata Yayılma Kuralı Ölçülerin Dengelenmesi Dolaysız Ölçüler

Detaylı

T.C TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Burç BAYRAK TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ANABİLİM DALI T.C TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v

uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v 1. Temel Form: Brnc temel form geometrk olarak yüzeyn çnde blndğ zayına gtmeden yüzey üzernde ölçme yamamızı sağlar. (Eğrlern znlğ, teğet ektörlern açıları, bölgelern alanları gb) S üzerndek ç çarım, br

Detaylı

OLASILIK KURAMI. Temel Tanımlar ve Kavramlar-III. Temel Tanımlar ve Kavramlar-II. Temel Tanımlar ve Kavramlar-I OLASILIK

OLASILIK KURAMI. Temel Tanımlar ve Kavramlar-III. Temel Tanımlar ve Kavramlar-II. Temel Tanımlar ve Kavramlar-I OLASILIK Dr. Mehmet KSRYLI OLSILIK OLSILIK KURMI Dokuz Eylül Ünverstes Ekonometr Böl. www.mehmetaksarayl.com Populasyon hakkında blg sahb olmak amacı le alınan örneklerden elde edlen blgler bre br doğru olmayıp

Detaylı

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Dengeleme Hesabı Adımları, En Küçük Kareler İlkesine Giriş, Korelasyon Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Öğretm üyes: Doç. Dr. S. Özoğuz Tel: 85 36 9 e-posta: serdar@ehb.tu.edu.tr Ders saat: Pazartes,.-3. / D-4 İçndekler. Dere teors, toplu parametrel dereler, Krchhoff un gerlm e akım

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değşkenl doğrusal olmayan karar modelnn çözümü Hazırlayan Doç. Dr. Nl ARAS Anadolu Ünverstes, Endüstr Mühendslğ Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Ders - Öğretm Yılı

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ

İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESON MODELİ Regresyon le ( ler) arasındak ortalama lşknn matematk fonksyonla fadesdr. f ( ) b b Bu lşk eğrselde olablr. Ortalama lşk aşağıdak gb fade edlr: E( ) f ( )

Detaylı