( ) (0) ( ) (2 )... ( )...

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "( ) (0) ( ) (2 )... ( )..."

Transkript

1 Hatırlanacağı gibi, analog kontrol sistemlerinde tüm sistemler diferansiyel denklemlerle modelleniyordu. Bu diferansiyel denklem Laplace Dönüşümü yoluyla s karmaşık değişkeninin cebirsel bir denklemine dönüştürülüp, verilen bir giriş sinyali için sistemin geçici durum cevabı, kararlılığı ve kalıcı durum cevabı inceleniyordu. Bener bir modelleme ve kontrol yaklaşımı sayısal kontrol sistemlerinde de mevcuttur. Sayısal kontrol sistemleri Fark Denklemleri ile modellenir. Daha sonra bu fark denklemleri - Dönüşümü yoluyla karmaşık değişkeninin cebirsel bir denklemine dönüştürülerek, verilen bir giriş sinyali için sistemin analii yapılır. Bu nedenle sayısal kontrol sistemlerinin analii ve tasarımında -Dönüşümü önemli bir araçtır ve analog kontrol sistemlerinde Laplace Dönüşümünün sahip olduğu rolü, sayısal kontrol sistemlerinde üstlenir. Bu derste ilk önce -dönüşümü tanıtılacak ve daha sonra sırasıyla Ters -Dönüşümü ve fark denklemlerinin -dönüşümü yoluyla çöümü anlatılacaktır. Ayrık-amanlı sinyaller, bir sürekli-aman sinyalinde örnekleme işlemi olduğunda ortaya çıkar. T örnekleme periyodunu göstermek üere, örneklenmiş sinyal x(0), x(t), x(t), x(3t), şeklinde bir dii ile ifade edilir ve bu diinin genel ifadesi x(kt) şeklindedir. Bu ifade baen örnekleme periyodu T yaılmaksıın x(k) şeklinde de gösterilir. -DÖNÜŞÜMÜ Ayrık-amanlı sinyallerle çalışmak için -dönüşümü oldukça güçlü bir yöntemdir. Zamanın bir fonksiyonu olan x(t) fonksiyonunun -dönüşümü hesaplanırken, bu fonksiyonun sadece her bir T örnekleme anındaki örneklerini temsil eden x(0), x(t), x(t), x(3t), diisi gö önünde bulundurulur. Bir x(t) fonksiyonunun (ya da onun örneklenmiş halini temsil eden x(kt) diisinin) -dönüşümü, X ( ) x( t) x( kt ) x( kt ) k 0 k ile tanımlanır. Burada, -dönüşüm operatörüdür. Dikkat edilirse yukarıdaki serinin açılımı, şeklindedir. X x x T x T x kt k ( ) (0) ( ) ( )... ( )...

2 Temel Baı Fonksiyonların -Dönüşümü Birim Adım Fonksiyonu: Zaman domenindeki ifadesi ( t), t 0 xt () 0, t 0 şeklinde olan birim adım fonksiyonunun -dönüşümünü hesaplayalım. k X ( ) [( t)] k0 k0 k 3... Diilerden hatırlayacağımı üere, +r+r +r 3 + serisi, /(-r) değerine yakınsar ( r > için). Dolayısıyla yukarıdaki seri /(- - ) e yakınsar. Yani, X ( ) [( t)] Birim Rampa Fonksiyonu: Zaman domenindeki ifadesi t, t 0 xt () 0, t 0 şeklinde olan birim rampa fonksiyonunun -dönüşümünü hesaplayalım. Dikkat edilirse, x(kt)=kt dir. t

3 X ( ) [ t] x( kt ) kt T k k k k k 0 k 0 k 0 3 T 3... Diilerden hatırlayacağımı üere, r+r +3r 3 + serisi, r/(-r) Dolayısıyla yukarıdaki seri /(- - ) e yakınsar. Yani, değerine yakınsar ( r > için). X ( ) [ t] T T Polinomial Fonksiyon a k : Genel ifadesi k a, k 0,,, 3,... xk ( ) 0, k 0 (a sabit) şeklinde olan polinomial fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayalım. k k k k X ( ) a x( k) a k0 k0 3 3 a a a... Diilerden hatırlayacağımı üere, +r+r +r 3 + serisi, /(-r) değerine yakınsar ( r > için). Dolayısıyla yukarıdaki seri /(-a - ) e yakınsar. Yani, X ( ) [( t)] a a 3

4 Üstel Fonksiyon: Zaman domenindeki ifadesi at e, t 0 xt () 0, t 0 (a sabit) şeklinde olan üstel fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayalım. Dikkat edilirse, x(kt)=e -akt dir at k akt k X ( ) e x( kt ) e k0 k0 at at 3aT 3 e e e... Diilerden hatırlayacağımı üere, +r+r +r 3 + serisi, /(-r) değerine yakınsar ( r > için). Dolayısıyla yukarıdaki seri /(-e -at - ) e yakınsar. Yani, at X () e at at e e Sinüsoidal Fonksiyon: Zaman domenindeki ifadesi xt () sin t, t 0 0, t 0 şeklinde olan sinüsoidal fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayalım. Bunun için önce Euler in kulaklarını çınlatalım: Bu durumda olur. Üstel fonksiyonun -dönüşümünün jt e cost jsint jt e cost jsint jt sint e e j jt 4

5 e at e at olduğunu aten biliyoru. Bu durumda sinüsoidal fonksiyonun -dönüşümü şu şekilde bulunur: jt X ( ) [sin t] e e j jt j e e [sin t] jt jt jt e e jt j e e jt jt sint sint cost cost Ör: Zaman domenindeki ifadesi cos t, t 0 xt () 0, t 0 olarak verilen kosinüs fonksiyonunun -dönüşümünü hesaplayını. C: Sinüsoidal fonksiyonun -dönüşümünün hesaplanmasına bener bir yaklaşım kullanırsak: olarak bulunur. jt X ( ) [cos t] e e jt e e [cos t] jt jt jt e e jt e e jt jt cos sin T T cost cost 5

6 Ör: Frekans domenindeki ifadesi X() s ss ( ) olarak verilen fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayını. C: Frekans domenindeki ifadesi verilmiş bir fonksiyonun -dönüşümünü bulmak için gennellikle bu frekans domeni ifadesi önce aman domenine çevrilir ve daha sonra bu aman domenindeki fonksiyonun -dönüşümünü hesaplanır. Soruda verilen fonksiyonun aman domeni ifadesi x( t) e t şeklindedir. Zaman domenindeki bu fonksiyonun -dönüşümünü ise olarak bulunur. t X ( ) e e T e T e T e T e T Tıpkı Laplace Dönüşümü için, yaygın olarak kullanılan baı fonksiyonların Laplace dönüşümlerini içeren bir Laplace Dönüşüm Tablosu oluşturulduğu gibi, bener şekilde -dönüşümü için de, yaygın olarak kullanılan baı fonksiyonların -dönüşümünü gösteren bir -Dönüşümü Tablosu oluşturulabilir. Aşağıda bu tablo görülmektedir. Tabloda ayrıca baı fonksiyonların hem Laplace Dönüşümü hem de -Dönüşümü gösterilmiştir. 6

7 7

8 8

9 -Dönüşümünün Baı Önemli Öellikleri ve Teoremleri Bir Sabitle Çarpma: X(), x(t) nin -dönüşümü ve a bir sabit olmak üere, ax( t) a x( t) ax ( ) Doğrusallık: X(), x(k) nın (ya da x(t) nin) -dönüşümü ve a ve b bir sabit olmak üere, x(k) fonksiyonu x( k) af ( k) bg( k) şeklinde (ya da daha fala) fonksiyonun toplamı şeklinde bir fonksiyon olsun. Bu durumda, X( ) af( ) bg( ) olur. Burada F() ve G(), sırasıyla f(k) ve g(k) fonksiyonlarının (diilerinin) -dönüşümleridir. a k ile Çarpma: X(), x(k) nın -dönüşümü ve a bir sabit olmak üere, k k k k a x( k) a x( k) x( k) İspat: a X a k0 k0 Reel Öteleme Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü ve n bir poitif tamsayı ya da sıfır olmak üere, ve Bu teoremin ispatını yapabilir misini? k a x( k) n x( t nt ) X ( ) n n x( t nt ) X ( ) x( kt ) k 0 X a k 9

10 X(), x(kt) nin -dönüşümünü göstermek üere, X() i ile çarpmak, x(kt) yi bir örnekleme periyodu ileriye taşımak demektir. Bener şekilde X() i - ile çarpmak, x(kt) yi bir örnekleme periyodu geciktirmek demektir. Buna ilişkin basit bir örneğe bakalım: Ör: Birim adım fonksiyonunun aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi sırasıyla örnekleme periyodu ve 4 örnekleme periyodu geciktirilmiş formunun -dönüşümünü bulunu. C: Birim adım fonksiyonunun -dönüşümünün [( t)] olduğunu biliyoru. Bu fonksiyonu örnekleme periyodu geciktirmek demek, örnekleme periyodu T nin değerinden bağımsı olarak fonksiyonun -dönüşümünü - ile çarpmak demektir. Yani, 0 [( t T)] [( t)] olur. 4 örnekleme periyodu kaydırıldığında ise 4 [( t 4 T)] [( t)] 4

11 Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun -dönüşümünü bulunu. C: Polinomial fonksiyonun -dönüşümünün k a, k,, 3,... f( k) 0, k 0 a k a olduğunu biliyoru. Soruda verilen fonksiyon, bu fonksiyonun örnekleme periyodu geciktirilmiş halidir. Bu nedenle k k a a a Kompleks Öteleme Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü olmak üere, at e x() t X e at akt k at k at e x( t) x( kt ) e x( kt ) İspat: e X e k0 k0 at Ör: e at sint ve e at cost fonksiyonlarının -dönüşümünü bulunu. C: sin t fonksiyonunun -dönüşümünün sint [sin t] cost fonksiyonunun -dönüşümünü bulunu. olduğunu biliyoru. Soruda verilen fonksiyon, bu fonksiyonun e -at ile çarpılmış halidir. Bu nedenle ve bener şekilde Alıştırma: at te at e sint at e sint e cost e at at at at e cost e cost e cost e at at

12 Başlangıç Değer Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü ve x(0) ise x(t) nin veya x(k) nın başlangıç koşulu olmak üere, İspat: -dönüşümünün tanımına göre; x(0) lim X ( ) k ( ) ( ) (0) () ()... X x k x x x k0 Yukarıdaki denklemde yerine sonsu konursa sadece x(0) terimi kalır ve diğer bütün terimler sıfıra eşit olur. x(0) ise X() in başlangıç değeridir. Ör: Aşağıda verilen X() fonksiyonunun başlangıç değerini bulunu. C: Başlangıç Değer Teoremi kullanılırsa; X() T e T e T e T e x(0) lim 0 Dikkat edilirse soruda verilen X() fonksiyonu, daha önce bir örnekte aman domenindeki x( t) e t fonksiyonunun -dönüşümü olarak elde ettiğimi fonksiyondur. Zaman domenindeki bu x( t) e t fonksiyonunun başlangıç değeri (t=0 için) sıfıra eşittir. Sonucun doğruluğu bu şekilde de test edilebilir. Diğer bir önemli ayrıntı, Başlangıç Değer Teoreminin ancak ve ancak lim X( ) limitinin mevcut olması durumunda kullanılabilmesidir.

13 Son Değer Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü ve x( ) ise x(t) nin veya x(k) nın son değeri olmak üere, lim x( k) x( ) lim X ( ) k Teoremin ispatı öğrenciye bırakılmıştır. Bu teorem ancak ve ancak X() in bütün kutuplarının birim çember (yarıçapı birim olan çember) içersinde olması ve yukarıdaki limitin mevcut olması durumunda uygulanabilir. Ör: Aşağıda verilen X() fonksiyonunun son değerini bulunu. C: Son Değer Teoremi kullanılırsa; X ( ), a 0 at e x X ( ) lim ( ) lim at e lim at e Dikkat edilirse soruda verilen X() fonksiyonu, aman domenindeki x( t) e at fonksiyonunun - dönüşümü olan fonksiyondur. Zaman domenindeki bu x( t) e at fonksiyonunun son değeri (t= için) sıfıra eşittir. Sonucun doğruluğu bu şekilde de test edilebilir. Tıpkı Laplace Dönüşümünün önemli öelliklerinin ve teoremlerinin bir tabloda toplu halde gösterilmesi gibi, -dönüşümünün de önemli öellikleri ve teoremleri aşağıdaki gibi bir tabloda toplu halde gösterilebilir. 3

14 4

15 TERS -DÖNÜŞÜMÜ Ters -Dönüşümü, verilen bir X() için x(k) ya da x(kt) yi bulmaya yarar. Dikkat edilirse Ters - Dönüşümü aman domeni sinyali olan x(t) yi bulma, sadece onun örnekleme anlarındaki değerleri olan x(kt) yi bulur. Aşağıdaki grafikten de görüleceği üere birbirinden oldukça farklı iki sinyal, örnekleme anlarında aynı değerlere sahip olabilir. Hatırlanacağı üere Ters Laplace Dönüşümü hesaplanırken, ilgili fonksiyon kısmi kesirlerine ayrılıp her bir terim, Laplace Dönüşüm Tablosundaki terimlere benetilmek suretiyle, verilen fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü bulunuyordu. Bener bir yaklaşım Ters -Dönüşümünü hesaplarken de kullanılabilir. Ancak -domenindeki fonksiyon karmaşıklaştıkça bu yöntemi kullanmak da orlaşır, baen kullanılama. Bu nedenle Ters -Dönüşümünü hesaplamak için ek baı yöntemlere ihtiyaç vardır Bu alt bölümde bu yöntemler tanıtılacaktır. Ancak bu yöntemlerin tanıtılmasından önce, kısaca -domeninde kutuplar ve sıfırlardan bahsedelim. 5

16 Mühendislik uygulamalarında X() genellikle in poitif üstleri cinsinden 0 m p p p b X() şeklinde ifade edilir. Burada i ler (i=,, 3,, m) X() in sıfırları ve p j ler (j=,, 3,, n) X() in kutuplarıdır. Sinyal işleme ve kontrol mühendisliği uygulamalarında ise X() genellikle in negatif üstleri cinsinden b b b X() ( nm) ( nm) n 0 m n a a an şeklinde yaılır, ira - bir örnekleme periyodu geciktirme operatörü olarak yorumlanır. Bu ders boyunca bi her iki gösterim türünü de kullanacağı. Çünkü her bir gösterim türünün belli işlemler için avantajları ve deavantajları mevcuttur. Örneğin X() in kutuplarını ve sıfırlarını bulmak için in poitif üstlerini kullanmak daha uygundur. Bunun nedenini basit bir örnekle açıklayalım: Aşağıdaki fonksiyonu gö önünde bulunduralım; n X() 0.5 ( 0.5) 3 ( )( ) Açıkça görüleceği üere X() =- ve =- noktalarında kutuplara ve =0 ile =-0.5 noktalarında sıfırlara sahiptir. Şimdi aynı fonksiyonu in negatif üstleri cinsinden yaalım. Payı ve paydayı - ile çarparsak, X() 3 elde ederi. Bu denklemden de X() in =- ve =- noktalarında kutuplara sahip olduğunu buluru. Ancak bu denklemde görülebilen tek sıfır, =-0.5 noktasındaki sıfırdır. Yani =0 noktasındaki sıfır bu denklemden bulunama. Bu durum tasarım hatasına sebep olabilir. Bu nedenle kutuplar ve sıfırlar bulunurken, X() i in poitif üstleri cinsinden yamak gerekir. Bu kısa açıklamadan sonra, şimdi Ters -Dönüşümünün bulunması için kullanılan yöntemlere geçebiliri. 6

17 Genel olarak, Ters -Dönüşümünün hesaplanması için 4 farklı yöntemden bahsedilebilir: Doğrudan Bölme Yöntemi Hesaplamalı Yöntem Kısmi Kesirlere Ayrıma Yöntemi Ters İntegral Yöntemi Doğrudan Bölme Yöntemi: Bu yöntem, verilen bir X() fonksiyonunun Ters -Dönüşümü olan x(k) nın sadece ilk birkaç terimini bulmak gerektiği aman kullanışlıdır, x(k) nın genel ifadesini bulmak için genelde pek kullanılma. Yöntemi uygulayabilmek için, verilen X() fonksiyonunun payı ve paydası in negatif üstlerine göre yaılır. Daha sonra fonksiyonun payı paydasına bölünür! Bölme işlemi sonucu elde edilen ifadenin terimleri x(0), x(), x(), değerlerini verir. Örnek olarak aşağıdaki fonksiyonu gö önünde bulunduralım: 0 5 X() ( )( 0.) Doğrudan Bölme Yöntemi ile bu fonksiyonun Ters -Dönüşümünü bulmak için, önce fonksiyonun payını ve paydasını in negatif kuvvetleri cinsinden yaalım: 0 5 X(). 0. Sonra da aşağıdaki gibi klasik bölme işlemi yapalım: 7

18 Bölme işleminin sonucunda elde edilen ifadeye göre; X 3 4 ( ) şeklindedir. Şimdi -dönüşümünü tanımlayan seriyi hatırlayalım: k k ( ) ( ) (0) () ()... ( )... X x k x x x x k k0 Dolayısıyla son iki denklem karşılaştırıldığında, x(0) 0 x() 0 x() 7 x(3) 8.4 x(4) 8.68 olduğu görülür. Yani aman domenindeki sinyalin örneklenmiş halini temsil eden diide ilk beş terimin değeri bulunuş olur. Daha önce de vurgulandığı gibi yöntem, sadece belli sayıda örneğin değerini hesaplamak yoluyla Ters -Dönüşümü yapar. Serinin bütün terimlerinin değerlerini bulmak için, baı öel durumlar dışında, pek kullanılma. Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun Ters -Dönüşümünü doğrudan bölme yöntemi ile bulunu. X() C: Verilen fonksiyonu in negatif üstlerine göre yaıp, doğrudan bölme işlemi yaparsak; X 3 4 ( )... elde ederi. Yine bu seriyi, X() in seri açılımı olan k X ( ) x( k) serisi ile karşılaştırırsak; k0 x(0) 0 x() x() x(3) x(4)... 8

19 olduğunu görürü. Dolayısıyla bu fonksiyonun Ters -Dönüşümünü, grafiği aşağıda görülen bir alternatif sinyaldir. Alıştırma: Aşağıda verilen fonksiyonun Ters -Dönüşümünü bulunu. X ( ) Hesaplamalı Yöntem: Bir sistemin transfer fonksiyonunun Y( ) G () X ( ) olduğunu düşünelim. -domenindeki bir transfer fonksiyonunun Ters -Dönüşümünü hesaplamalı yöntemle bulmak için giriş, X(), olarak Kronecker Delta Fonskiyonu ( kt) 0 kullanılır. Bu fonksiyonun genel ifadesi şeklindedir. Bu fonksiyonun -dönüşümü ise şeklindedir. Dolayısıyla bu durumda çıkış, Y(), k 0 0( kt ) 0, k 0 X( ) olur. Bu noktadan itibaren, Ters -Dönüşümünün hesaplanması için alternatif sö konusudur:

20 a. MATLAB b. Fark Denklemi Yaklaşımı a. MATLAB ya da başka herhangi bir paket program kullanılarak Ters -Dönüşümü şu şekilde hesaplanır (sarı eminli satırlar MATLAB kodlarını ve onların çıktılarını göstermektedir): Öncelikle Kronecker Delta Fonksiyonu, MATLAB ortamında aşağıdaki gibi tanıtılır: x=[ eros(,n)] Burada N, örnek sayısıdır. Yani çıkışın ters -dönüşümünün kaç örnek için hesaplanacağını belirler. Daha sonra ters -dönüşümü alınacak fonksiyonun pay ve payda polinomları tanıtılır. pay = [ ] payda = [ ] filter fonksiyonu ise, çıkışın ters -dönüşümünü, x tanımlanırken belirtilen örnek sayısı kadar hesaplar. filter(pay,payda,x) Örneğin aşağıdaki kod parçası, yukarıda verilen Y() fonksiyonunun ters -dönüşümünü 40 örnek için hesaplar: x=[ eros(,40)] ; % Kronecker Delta girisinin tanımlanması pay = [ ] ; % pay polinomunun tanımlanması payda = [ ] ; % payda polinomunun tanımlanması filter(pay,payda,x) % ters -dönüşümünün hesaplanması Bu kod çalıştırıldığında, aşağıdaki çıktıyı üretir: 0

21 Yani Y() fonksiyonunun ters -dönüşümü, y(0) 0 y() y() y(3) y(40) şeklindedir. y(k) nın, k ya göre değişimi çidirilmek istenirse, koda aşağıdaki satır eklenir ve sonuçta şekildeki gibi bir grafik elde edilir. plot(y,k)

22 b. Fark Denklemi Yaklaşımı Daha önce örnek olarak verilen G () Y( ) X ( ) denklemi, içler-dışlar çarpımı yoluyla aşağıdaki şekilde yaılabilir: Y( ) X( ) Dersin başlarında, - in bir örnekleme periyodu geciktirme operatörü, in ise bir örnekleme periyodu ileri öteleme operatörü olarak yorumlandığını söylemiştik. Dolayısıyla bu denklem, aşağıdaki gibi Fark Denklemi formunda yaılabilir: y( k ).537 y( k ) y( k) x( k ) x( k) Giriş Kronecker Delta fonksiyonu olduğu için, x(0) ve k 0 için xk ( ) 0 dır. Çıkış için ise k 0 için yk ( ) 0 dır. Giriş ve çıkış için bu hatırlatmalar gö önünde bulundurularak, y (0) ve y () değerleri, k ya değer verilerek kolaylıkla bulunabilir. Eğer bu denklemde k değeri verilirse, y(0).537 y( ) y( ) x( ) x( ) olur. xk ( ) ve yk ( ) için yukarıda hatırlatılan bilgiler gö önünde bulundurulduğunda y(0) 0 bulunur. Eğer bu denklemde k değeri verilirse, y().537 y(0) y( ) x(0) x( ) olur. xk ( ) ve yk ( ) için yukarıda hatırlatılan bilgiler gö önünde bulundurulduğunda y() bulunur. Artık bundan sonra yk ( ) nın diğer değerleri, herhangi bir programlama dili ya da paket program kullanılarak bir for döngüsü içinde (ya da el ile) hesaplanabilir. Program yaılırken kullanılacak denklem ve gerekli başlangıç koşulları aşağıda öetlenmiştir. y( k ).537 y( k ) y( k) x( k ) x( k) y(0) 0, y() , x(0), ve k 0 için x( k) 0.

23 Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Tıpkı Ters Laplace Dönüşümünde olduğu gibi, Ters - Dönüşümünde de Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi oldukça yaygın olarak kullanılır. Ancak metodun uygulanabilmesi için, -domenindeki fonksiyonun, -dönüşüm tablosundaki çiftlere benetilebilir olması gerekmektedir. Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi, Ters Laplace Dönüşümü anlatılırken detaylandırıldığı için burada tekrar detaylarıyla açıklanmayacaktır. Ancak Laplace Dönüşümündeki detaylara ek olarak, -dönüşümünde kısmi kesirlere ayırma yönteminin kullanılmasına ilişkin ek bir detay, -domenindeki fonksiyonun orijinde bir sıfır içermesi halinde ortaya çıkar. Genellikle - domeninde orijinde bir ya da birden çok sıfır içeren X() gibi bir fonksiyonun Ters -Dönüşümü X( ) hesaplanırken önce kısmi kesirlerine ayrılır, daha sonra elde edilen ifade ile çarpılarak X() in kısmi kesirlere ayrılmış hali elde edilir. Bu yaklaşım çoğu aman kısmi kesirlere ayırma işlemini kolaylaştırmakla beraber, uygulanması bir orunluluk değildir. Ör: a bir sabit ve T örnekleme periyodu olmak üere, aşağıda verilen fonksiyonun ters - dönüşümünü bulunu. X( ) C: Fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış hali: Bu durumda, Her bir terimin ters -dönüşümü: at e at e X( ) e at X() e at ve e at e akt Sonuç olarak, verilen fonksiyonun ters -dönüşümü: akt x( kt) e, k 0,,,... Bu örnekte verilen fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış halini, -dönüşümü tablosundaki çiftlere benetmek kolaydı. Bir de şunu deneyin: X() 3 ( ).

24 Ters İntegral Yöntemi: Verilen bir X() fonksiyonunun ters -dönüşümünü bulmak için kullanılan integral X ( ) x( kt ) x( k) X ( ) d j C k şeklindedir. Burada C, merkei -düleminin orijininde olan ve X () k in tüm kutuplarını çevreleyen çemberdir. Bu integralin doğrudan hesabı yerine, kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinin argümanları kullanılarak, aşağıdaki gibi hesaplanır: x( kt ) x( k) K K K m k X ( ) 'in i kutbundaki reidüleri i Burada K, K,..., K m değerleri, X () k çarpımının,,..., m kutuplarındaki reidüleridir. Yani kaç tane kutup varsa o kadar reidü vardır. Reidülerin nasıl bulunacağını aslında Kısmi Kesirlere Ayırma yönteminden biliyoru. Örneğin X () k in noktasında katlı olmayan bir kutbu varsa, bu kutba ilişkin reidü i i m k K lim i X ( ) formülüyle bulunur. Eğer reidü ise X () k in noktasında q katlı bir kutbu varsa, bu kutba ilişkin j q d q K lim j X ( ) q q! j d formülüyle hesaplanır. Tüm bu denklemlerde k, negatif olmayan bir tam sayıdır. Verilen herhangi bir X() fonksiyonunun ters -dönüşümü hesaplanırken, eğer k X () k, orijinde yani =0 noktasında bir kutup içermiyorsa, bu X() fonksiyonunun ters -dönüşümü Ters İntegral Metodu ile daha kolay bulunabilir. Ancak eğer X () k, orijinde katlı ya da katlı olmayan kutup içeriyorsa bu durumda Ters İntegral Metodu aşırı hesap yükü gerektirir ve Kısmi Kesirlere Ayırma yöntemi daha kolay ve görece daha a ahmetli sonuç verir. Örneklere bakalım: 4

25 Ör: a bir sabit ve T örnekleme periyodu olmak üere, aşağıda verilen fonksiyonun ters - dönüşümünü Ters İntegral Yöntemi ile bulunu. X( ) at e at e C: Öncelikle X () k ifadesine bakalım: X () k at k e at e k=0,,,. için X() k- ifadesi iki adet katlı olmayan kutba sahiptir: = ve =e -at. Dolayısıyla iki tane de reidü olacaktır. Bunları bulalım: x( k) K K i at k e at e 'in i kutbundaki reidüleri Birinci reidü: K noktasındaki reidü at k e at e lim ( ) İkinci reidü: at K e noktasındaki reidü at k e at e at lim e e at e at Bu durumda, verilen fonksiyonun ters -dönüşümü: at x( k) x( kt ) K K e, k 0,,, 3,... (Aynı örneği kısmi kesirlere ayırma yöntemi ile de çömüştük). 5

26 Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun ters -dönüşümünü Ters İntegral Yöntemi ile bulunu. X() at e C: Öncelikle X () k ifadesine bakalım: X () k k at e k=0,,,. için X() k- ifadesi: = = e -at noktasında bir adet katlı olmayan kutba ve = = noktasında iki katlı bir kutba sahiptir. Dolayısıyla iki tane reidü olacaktır. Bunları bulalım: x( k) K K i k at e 'in i kutbundaki reidüleri Birinci reidü: K e at noktasındaki reidü e lim at e k a( k) T at e at e at e İkinci reidü: K noktasındaki iki katlı reidü k d lim d e at ( )! k d lim at d e k at k at at e e e d ( k ) e k e lim d at at Bu durumda, verilen fonksiyonun ters -dönüşümü: a( k) T at e k e x( k) x( kt ) K K, k 0,,, 3,... at at e at e e 6

27 Fark Denklemlerinin -Dönüşümü ile Çöümü Daha önce vurgulandığı gibi sürekli amanda sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Örneğin u(t) giriş ve y(t) çıkış olmak üere, bir sistemin diferansiyel denklemi d y t ( ) dy( t) 5 y( t).4 u( t) dt dt olsun. Bu diferansiyel denklemi çömek demek, verilen bir u(t) girişi için, y(t) nin ifadesini bulmak demektir. Laplace Dönüşümü Yöntemi, yukarıdaki gibi doğrusal diferansiyel denklemlerin çöümü için oldukça yaygın olarak kullanılır. Bener şekilde, ayrık aman sistemleri Fark Denklemleri ile modellenir. Örneğin u(k) giriş ve x(k) çıkış olmak üere, ayrık amanlı bir sistemi modelleyen fark denkleminin genel ifadesi x( k) a x( k )... a x( k n) b u( k) bu( k )... b u( k n) n 0 şeklindedir. Bu fark denklemini çömek demek, verilen bir u(k) girişi için, x(k) çıkışının k ıncı iterasyondaki değerini bulmak demektir. Herhangi bir programlama dilinde ya da paket programda yaılmış bir kod ile, bu x(k) değeri bulunabilir. Ancak bilgisayar programı ile x(k) nın genel ifadesini bulmak, baı öel durumlar haricinde, pek mümkün değildir. -Dönüşümü Yöntemi, ayrık amanlı doğrusal sistemleri modelleyen fark denklemlerini çömek için yaygın olarak kullanılır. Bu yöntem çıkışın genel ifadesini de verir. Daha önce yaptığımı gibi, x( k) X ( ) olarak gösterelim. Bu durumda x( k ), x( k ), x( k 3),... terimleri ve x( k ), x( k ), x( k 3),... terimleri X() cinsinden, başlangıç koşulları da gö önünde bulundurularak, ifade edilebilir. Bu terimlerin -dönüşümleri, daha önce -Dönüşüm Tablosunda verilmişti, aşağıda tekrar hatırlatılmıştır. Tablonun hemen ardından, fark denklemlerinin -dönüşümü ile çöülmesine ilişkin bir örnek sunulmuştur. n 7

28 Ör: Aşağıda verilen fark denklemini -dönüşümü yöntemiyle çöünü. x( k ) 3 x( k ) x( k) 0, x(0) 0, x() C: Terimlerin her birinin -dönüşümünü yaalım: x k X x x ( ) ( ) (0) () x( k ) X ( ) x(0) x( k) X ( ) Verilen fark denkleminin her iki tarafının -dönüşümü alınırsa: X x x X x X ( ) (0) () 3 ( ) 3 (0) ( ) 0 Başlangıç koşulları için verilen değerler yerine yaılırsa: X() 3 ( )( ) 8

29 Ters -dönüşümü alınırsa: ( ) k ( ) olduğundan, soruda verilen fark denkleminin çöümünün genel ifadesi, k k x( k) ( ) ( ), k 0,,,... şeklinde olur. k 9

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ayrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.

Ayrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır. Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı

Detaylı

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ 1 EEM304 MM306

Detaylı

Bu uygulama saatinde, ders kapsamında şu ana kadar bahsedilen konulara ilişkin MATLAB fonksiyonları tanıtılacaktır.

Bu uygulama saatinde, ders kapsamında şu ana kadar bahsedilen konulara ilişkin MATLAB fonksiyonları tanıtılacaktır. Bu uygulama saatinde, ders kapsamında şu ana kadar bahsedilen konulara ilişkin MATLAB fonksiyonları tanıtılacaktır. Polinomial Bir Fonksiyonun Tanıtılması P s s s şeklindeki bir fonksiyona ilişkin nesne,

Detaylı

f(t)e st dt s > 0 Cebirsel denklem s- tanım bölgesi L 1 Unutulmamalıdır ki, farklı türden tanım ve değer uzayları arasında

f(t)e st dt s > 0 Cebirsel denklem s- tanım bölgesi L 1 Unutulmamalıdır ki, farklı türden tanım ve değer uzayları arasında Bölüm #2 Laplace Dönüşümü F (s) = f(t)e st dt s > şeklinde tanımlanan dönüşüme LAPLACE dönüşümü adı verilir ve kısaca L{f(t)} ile sembolize edilir. Diferansiyel denklemlerin Çözümünde Laplace dönüşümü

Detaylı

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı İşaret Akış Diyagramları Mason Kuralı Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları Durum Uzayında Alternatif Gösterimler 1 Birçok kontrol

Detaylı

Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri

Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri Elektronik Mühendisliği Devreler ve Sistemler Haberleşme Sistemleri Elektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-düzleminde ANALİZİ

SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-düzleminde ANALİZİ SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-düzleminde ANALİZİ Bu derste ve takip eden derste, sayısal kontrol sistemlerinin z-düzleminde analizi ve tasarımı için gerekli materyal sunulacaktır. z-dönüşümü Yönteminin

Detaylı

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 50 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı

Detaylı

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI KARARLILIK Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur: Geçici Durum Cevabı Kararlılık Kalıcı Durum Hatası Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

Dijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.

Dijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. u(t):kuvvet u(t) F yay F sönm Yay k:yay sabiti m kütle Sönümlirici b:ösnümlirme sabiti y(t):konum 1 1 3

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma 1 Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel

Detaylı

Transfer Fonksiyonu. Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında

Transfer Fonksiyonu. Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında Z DÖNÜŞÜMÜ Transfer Fonksiyonu Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında Burada toplamı n ye bağımlı olmayıp sadece sistemin dürtü yanıtı ve z değerine bağlı bir katsayıdır. şeklinde

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Ayrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli

Ayrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli Bölüm 3 z-dönüşümü 6 Bölüm 3. z-dönüşümü 3.1 GİRİŞ Ayrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli z-dönüşümü ile üzerindeü-ze-rin-de

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli. Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012

Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli. Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012 Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012 Matematik Modele Olan İhtiyaç Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki

Detaylı

10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması

10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması 10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Laplace Devre Çözümleri Aşağıdaki devrenin

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

Enerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü

Enerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü YALOVA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ Enerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü ESM 413 Enerji Sistemleri Laboratuvarı-II RL, RC ve RLC DEVRELERİNİN AC ANALİZİ Puanlandırma Sistemi: Hazırlık Soruları:

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Kontrolü Bütünleme 26 Ocak 2017 Süre: 1.45 Saat. Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası :

Sistem Dinamiği ve Kontrolü Bütünleme 26 Ocak 2017 Süre: 1.45 Saat. Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası : Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası : SORU 1 Fiziki bir sistem yandaki işaret akış grafiği ile temsil edilmektedir.. a. Bu sistemin transfer fonksiyonunu Mason genel kazanç bağıntısını kullanarak

Detaylı

Mekanik Titreşimler ve Kontrolü. Makine Mühendisliği Bölümü

Mekanik Titreşimler ve Kontrolü. Makine Mühendisliği Bölümü Mekanik Titreşimler ve Kontrolü Makine Mühendisliği Bölümü s.selim@gtu.edu.tr 10.10.018 Titreşim sinyalinin özellikleri Daimi sinyal Daimi olmayan sinyal Herhangi bir sistemden elde edilen titreşim sinyalinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ MM306 EEM304 SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya

Detaylı

Sistem Dinamiği. Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Sistem Dinamiği. Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN Sistem Dinamiği - Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü Doç. Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Tüm uygulamalar için aşağıdaki

Detaylı

HAFTA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ. İçindekiler

HAFTA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ. İçindekiler HAFA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ İçindekiler 4.4. Fourier serisinin özellikleri... 2 4.4.1 Doğrusallık özelliği (Linearity property)... 2 4.4.2 Zamanda tersine çevirme özelliği (ime Reversal Property)...

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME

ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME Bölüm 6 ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME VE ÖRTÜŞME 12 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme 6.1 GİRİŞ Bu bölümün amacı, verilen bir işaretin zaman veya frekans domenlerinden

Detaylı

Ayrık-Zaman Sistemler

Ayrık-Zaman Sistemler Ayrık-Zaman Sistemler Bir ayrık-zaman sistemi, bir giriş dizisi x[n] yi işleyerek daha iyi özelliklere sahip bir çıkış dizisi y[n] oluşturur. Çoğu uygulamalarda ayrık-zaman sistemi bir giriş ve bir çıkıştan

Detaylı

Sinyaller ve Sistemler (EE 303) Ders Detayları

Sinyaller ve Sistemler (EE 303) Ders Detayları Sinyaller ve Sistemler (EE 303) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sinyaller ve Sistemler EE 303 Güz 3 0 2 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i EE 206 (FD),

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.

Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir. .. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

Sembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011

Sembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011 Sembolik Programlama 1. Gün Şenol Pişkin 20 Eylül 2011 Sunum Kapsamı MuPAD İçerik Başlangıç 1. Bölüm: Cebirsel işlemler 2. Bölüm: Denklem çözümleri MuPAD Kısaca MuPAD Bilgisi ve Tarihçesi MuPAD Diğer Araçlar

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR Test -1

KARMAŞIK SAYILAR Test -1 KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI. DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU. Kasım 2014. BAU MMF Makine Müh. Bölümü

OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI. DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU. Kasım 2014. BAU MMF Makine Müh. Bölümü 1 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU BAU MMF Makine Müh. Bölümü Kasım 2014 2 BÖLÜM-1 OTOMATİK KONTROLE GİRİŞ Kontrol Mühendisliği Kontrol Mühendisliği hedef odaklı sistemlerin

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans

2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans FİZİKSEL MATEMATİK II 1 Ders Adi: FİZİKSEL MATEMATİK II 2 Ders Kodu: FZK2004 3 Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 2 6 Dersin Verildiği Yarıyıl 4 7 Dersin AKTS Kredisi: 8.00

Detaylı

Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi

Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle bulunabiliri. Ancak, sayısal işaret işlemenin pratik uygulaması, sonsuz bir x(n)

birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle bulunabiliri. Ancak, sayısal işaret işlemenin pratik uygulaması, sonsuz bir x(n) Bölüm 7 AYRIK-FOURİER DÖNÜŞÜMÜ 14 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 7.1 GİRİŞ Ayrık x(n) dizisinin Fourier dönüşümü, z-dönüşümü X(z) nin birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle

Detaylı

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı