( ) (0) ( ) (2 )... ( )...
|
|
- Bariş Aydoğan
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Hatırlanacağı gibi, analog kontrol sistemlerinde tüm sistemler diferansiyel denklemlerle modelleniyordu. Bu diferansiyel denklem Laplace Dönüşümü yoluyla s karmaşık değişkeninin cebirsel bir denklemine dönüştürülüp, verilen bir giriş sinyali için sistemin geçici durum cevabı, kararlılığı ve kalıcı durum cevabı inceleniyordu. Bener bir modelleme ve kontrol yaklaşımı sayısal kontrol sistemlerinde de mevcuttur. Sayısal kontrol sistemleri Fark Denklemleri ile modellenir. Daha sonra bu fark denklemleri - Dönüşümü yoluyla karmaşık değişkeninin cebirsel bir denklemine dönüştürülerek, verilen bir giriş sinyali için sistemin analii yapılır. Bu nedenle sayısal kontrol sistemlerinin analii ve tasarımında -Dönüşümü önemli bir araçtır ve analog kontrol sistemlerinde Laplace Dönüşümünün sahip olduğu rolü, sayısal kontrol sistemlerinde üstlenir. Bu derste ilk önce -dönüşümü tanıtılacak ve daha sonra sırasıyla Ters -Dönüşümü ve fark denklemlerinin -dönüşümü yoluyla çöümü anlatılacaktır. Ayrık-amanlı sinyaller, bir sürekli-aman sinyalinde örnekleme işlemi olduğunda ortaya çıkar. T örnekleme periyodunu göstermek üere, örneklenmiş sinyal x(0), x(t), x(t), x(3t), şeklinde bir dii ile ifade edilir ve bu diinin genel ifadesi x(kt) şeklindedir. Bu ifade baen örnekleme periyodu T yaılmaksıın x(k) şeklinde de gösterilir. -DÖNÜŞÜMÜ Ayrık-amanlı sinyallerle çalışmak için -dönüşümü oldukça güçlü bir yöntemdir. Zamanın bir fonksiyonu olan x(t) fonksiyonunun -dönüşümü hesaplanırken, bu fonksiyonun sadece her bir T örnekleme anındaki örneklerini temsil eden x(0), x(t), x(t), x(3t), diisi gö önünde bulundurulur. Bir x(t) fonksiyonunun (ya da onun örneklenmiş halini temsil eden x(kt) diisinin) -dönüşümü, X ( ) x( t) x( kt ) x( kt ) k 0 k ile tanımlanır. Burada, -dönüşüm operatörüdür. Dikkat edilirse yukarıdaki serinin açılımı, şeklindedir. X x x T x T x kt k ( ) (0) ( ) ( )... ( )...
2 Temel Baı Fonksiyonların -Dönüşümü Birim Adım Fonksiyonu: Zaman domenindeki ifadesi ( t), t 0 xt () 0, t 0 şeklinde olan birim adım fonksiyonunun -dönüşümünü hesaplayalım. k X ( ) [( t)] k0 k0 k 3... Diilerden hatırlayacağımı üere, +r+r +r 3 + serisi, /(-r) değerine yakınsar ( r > için). Dolayısıyla yukarıdaki seri /(- - ) e yakınsar. Yani, X ( ) [( t)] Birim Rampa Fonksiyonu: Zaman domenindeki ifadesi t, t 0 xt () 0, t 0 şeklinde olan birim rampa fonksiyonunun -dönüşümünü hesaplayalım. Dikkat edilirse, x(kt)=kt dir. t
3 X ( ) [ t] x( kt ) kt T k k k k k 0 k 0 k 0 3 T 3... Diilerden hatırlayacağımı üere, r+r +3r 3 + serisi, r/(-r) Dolayısıyla yukarıdaki seri /(- - ) e yakınsar. Yani, değerine yakınsar ( r > için). X ( ) [ t] T T Polinomial Fonksiyon a k : Genel ifadesi k a, k 0,,, 3,... xk ( ) 0, k 0 (a sabit) şeklinde olan polinomial fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayalım. k k k k X ( ) a x( k) a k0 k0 3 3 a a a... Diilerden hatırlayacağımı üere, +r+r +r 3 + serisi, /(-r) değerine yakınsar ( r > için). Dolayısıyla yukarıdaki seri /(-a - ) e yakınsar. Yani, X ( ) [( t)] a a 3
4 Üstel Fonksiyon: Zaman domenindeki ifadesi at e, t 0 xt () 0, t 0 (a sabit) şeklinde olan üstel fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayalım. Dikkat edilirse, x(kt)=e -akt dir at k akt k X ( ) e x( kt ) e k0 k0 at at 3aT 3 e e e... Diilerden hatırlayacağımı üere, +r+r +r 3 + serisi, /(-r) değerine yakınsar ( r > için). Dolayısıyla yukarıdaki seri /(-e -at - ) e yakınsar. Yani, at X () e at at e e Sinüsoidal Fonksiyon: Zaman domenindeki ifadesi xt () sin t, t 0 0, t 0 şeklinde olan sinüsoidal fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayalım. Bunun için önce Euler in kulaklarını çınlatalım: Bu durumda olur. Üstel fonksiyonun -dönüşümünün jt e cost jsint jt e cost jsint jt sint e e j jt 4
5 e at e at olduğunu aten biliyoru. Bu durumda sinüsoidal fonksiyonun -dönüşümü şu şekilde bulunur: jt X ( ) [sin t] e e j jt j e e [sin t] jt jt jt e e jt j e e jt jt sint sint cost cost Ör: Zaman domenindeki ifadesi cos t, t 0 xt () 0, t 0 olarak verilen kosinüs fonksiyonunun -dönüşümünü hesaplayını. C: Sinüsoidal fonksiyonun -dönüşümünün hesaplanmasına bener bir yaklaşım kullanırsak: olarak bulunur. jt X ( ) [cos t] e e jt e e [cos t] jt jt jt e e jt e e jt jt cos sin T T cost cost 5
6 Ör: Frekans domenindeki ifadesi X() s ss ( ) olarak verilen fonksiyonun -dönüşümünü hesaplayını. C: Frekans domenindeki ifadesi verilmiş bir fonksiyonun -dönüşümünü bulmak için gennellikle bu frekans domeni ifadesi önce aman domenine çevrilir ve daha sonra bu aman domenindeki fonksiyonun -dönüşümünü hesaplanır. Soruda verilen fonksiyonun aman domeni ifadesi x( t) e t şeklindedir. Zaman domenindeki bu fonksiyonun -dönüşümünü ise olarak bulunur. t X ( ) e e T e T e T e T e T Tıpkı Laplace Dönüşümü için, yaygın olarak kullanılan baı fonksiyonların Laplace dönüşümlerini içeren bir Laplace Dönüşüm Tablosu oluşturulduğu gibi, bener şekilde -dönüşümü için de, yaygın olarak kullanılan baı fonksiyonların -dönüşümünü gösteren bir -Dönüşümü Tablosu oluşturulabilir. Aşağıda bu tablo görülmektedir. Tabloda ayrıca baı fonksiyonların hem Laplace Dönüşümü hem de -Dönüşümü gösterilmiştir. 6
7 7
8 8
9 -Dönüşümünün Baı Önemli Öellikleri ve Teoremleri Bir Sabitle Çarpma: X(), x(t) nin -dönüşümü ve a bir sabit olmak üere, ax( t) a x( t) ax ( ) Doğrusallık: X(), x(k) nın (ya da x(t) nin) -dönüşümü ve a ve b bir sabit olmak üere, x(k) fonksiyonu x( k) af ( k) bg( k) şeklinde (ya da daha fala) fonksiyonun toplamı şeklinde bir fonksiyon olsun. Bu durumda, X( ) af( ) bg( ) olur. Burada F() ve G(), sırasıyla f(k) ve g(k) fonksiyonlarının (diilerinin) -dönüşümleridir. a k ile Çarpma: X(), x(k) nın -dönüşümü ve a bir sabit olmak üere, k k k k a x( k) a x( k) x( k) İspat: a X a k0 k0 Reel Öteleme Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü ve n bir poitif tamsayı ya da sıfır olmak üere, ve Bu teoremin ispatını yapabilir misini? k a x( k) n x( t nt ) X ( ) n n x( t nt ) X ( ) x( kt ) k 0 X a k 9
10 X(), x(kt) nin -dönüşümünü göstermek üere, X() i ile çarpmak, x(kt) yi bir örnekleme periyodu ileriye taşımak demektir. Bener şekilde X() i - ile çarpmak, x(kt) yi bir örnekleme periyodu geciktirmek demektir. Buna ilişkin basit bir örneğe bakalım: Ör: Birim adım fonksiyonunun aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi sırasıyla örnekleme periyodu ve 4 örnekleme periyodu geciktirilmiş formunun -dönüşümünü bulunu. C: Birim adım fonksiyonunun -dönüşümünün [( t)] olduğunu biliyoru. Bu fonksiyonu örnekleme periyodu geciktirmek demek, örnekleme periyodu T nin değerinden bağımsı olarak fonksiyonun -dönüşümünü - ile çarpmak demektir. Yani, 0 [( t T)] [( t)] olur. 4 örnekleme periyodu kaydırıldığında ise 4 [( t 4 T)] [( t)] 4
11 Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun -dönüşümünü bulunu. C: Polinomial fonksiyonun -dönüşümünün k a, k,, 3,... f( k) 0, k 0 a k a olduğunu biliyoru. Soruda verilen fonksiyon, bu fonksiyonun örnekleme periyodu geciktirilmiş halidir. Bu nedenle k k a a a Kompleks Öteleme Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü olmak üere, at e x() t X e at akt k at k at e x( t) x( kt ) e x( kt ) İspat: e X e k0 k0 at Ör: e at sint ve e at cost fonksiyonlarının -dönüşümünü bulunu. C: sin t fonksiyonunun -dönüşümünün sint [sin t] cost fonksiyonunun -dönüşümünü bulunu. olduğunu biliyoru. Soruda verilen fonksiyon, bu fonksiyonun e -at ile çarpılmış halidir. Bu nedenle ve bener şekilde Alıştırma: at te at e sint at e sint e cost e at at at at e cost e cost e cost e at at
12 Başlangıç Değer Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü ve x(0) ise x(t) nin veya x(k) nın başlangıç koşulu olmak üere, İspat: -dönüşümünün tanımına göre; x(0) lim X ( ) k ( ) ( ) (0) () ()... X x k x x x k0 Yukarıdaki denklemde yerine sonsu konursa sadece x(0) terimi kalır ve diğer bütün terimler sıfıra eşit olur. x(0) ise X() in başlangıç değeridir. Ör: Aşağıda verilen X() fonksiyonunun başlangıç değerini bulunu. C: Başlangıç Değer Teoremi kullanılırsa; X() T e T e T e T e x(0) lim 0 Dikkat edilirse soruda verilen X() fonksiyonu, daha önce bir örnekte aman domenindeki x( t) e t fonksiyonunun -dönüşümü olarak elde ettiğimi fonksiyondur. Zaman domenindeki bu x( t) e t fonksiyonunun başlangıç değeri (t=0 için) sıfıra eşittir. Sonucun doğruluğu bu şekilde de test edilebilir. Diğer bir önemli ayrıntı, Başlangıç Değer Teoreminin ancak ve ancak lim X( ) limitinin mevcut olması durumunda kullanılabilmesidir.
13 Son Değer Teoremi: X(), x(t) nin -dönüşümü ve x( ) ise x(t) nin veya x(k) nın son değeri olmak üere, lim x( k) x( ) lim X ( ) k Teoremin ispatı öğrenciye bırakılmıştır. Bu teorem ancak ve ancak X() in bütün kutuplarının birim çember (yarıçapı birim olan çember) içersinde olması ve yukarıdaki limitin mevcut olması durumunda uygulanabilir. Ör: Aşağıda verilen X() fonksiyonunun son değerini bulunu. C: Son Değer Teoremi kullanılırsa; X ( ), a 0 at e x X ( ) lim ( ) lim at e lim at e Dikkat edilirse soruda verilen X() fonksiyonu, aman domenindeki x( t) e at fonksiyonunun - dönüşümü olan fonksiyondur. Zaman domenindeki bu x( t) e at fonksiyonunun son değeri (t= için) sıfıra eşittir. Sonucun doğruluğu bu şekilde de test edilebilir. Tıpkı Laplace Dönüşümünün önemli öelliklerinin ve teoremlerinin bir tabloda toplu halde gösterilmesi gibi, -dönüşümünün de önemli öellikleri ve teoremleri aşağıdaki gibi bir tabloda toplu halde gösterilebilir. 3
14 4
15 TERS -DÖNÜŞÜMÜ Ters -Dönüşümü, verilen bir X() için x(k) ya da x(kt) yi bulmaya yarar. Dikkat edilirse Ters - Dönüşümü aman domeni sinyali olan x(t) yi bulma, sadece onun örnekleme anlarındaki değerleri olan x(kt) yi bulur. Aşağıdaki grafikten de görüleceği üere birbirinden oldukça farklı iki sinyal, örnekleme anlarında aynı değerlere sahip olabilir. Hatırlanacağı üere Ters Laplace Dönüşümü hesaplanırken, ilgili fonksiyon kısmi kesirlerine ayrılıp her bir terim, Laplace Dönüşüm Tablosundaki terimlere benetilmek suretiyle, verilen fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü bulunuyordu. Bener bir yaklaşım Ters -Dönüşümünü hesaplarken de kullanılabilir. Ancak -domenindeki fonksiyon karmaşıklaştıkça bu yöntemi kullanmak da orlaşır, baen kullanılama. Bu nedenle Ters -Dönüşümünü hesaplamak için ek baı yöntemlere ihtiyaç vardır Bu alt bölümde bu yöntemler tanıtılacaktır. Ancak bu yöntemlerin tanıtılmasından önce, kısaca -domeninde kutuplar ve sıfırlardan bahsedelim. 5
16 Mühendislik uygulamalarında X() genellikle in poitif üstleri cinsinden 0 m p p p b X() şeklinde ifade edilir. Burada i ler (i=,, 3,, m) X() in sıfırları ve p j ler (j=,, 3,, n) X() in kutuplarıdır. Sinyal işleme ve kontrol mühendisliği uygulamalarında ise X() genellikle in negatif üstleri cinsinden b b b X() ( nm) ( nm) n 0 m n a a an şeklinde yaılır, ira - bir örnekleme periyodu geciktirme operatörü olarak yorumlanır. Bu ders boyunca bi her iki gösterim türünü de kullanacağı. Çünkü her bir gösterim türünün belli işlemler için avantajları ve deavantajları mevcuttur. Örneğin X() in kutuplarını ve sıfırlarını bulmak için in poitif üstlerini kullanmak daha uygundur. Bunun nedenini basit bir örnekle açıklayalım: Aşağıdaki fonksiyonu gö önünde bulunduralım; n X() 0.5 ( 0.5) 3 ( )( ) Açıkça görüleceği üere X() =- ve =- noktalarında kutuplara ve =0 ile =-0.5 noktalarında sıfırlara sahiptir. Şimdi aynı fonksiyonu in negatif üstleri cinsinden yaalım. Payı ve paydayı - ile çarparsak, X() 3 elde ederi. Bu denklemden de X() in =- ve =- noktalarında kutuplara sahip olduğunu buluru. Ancak bu denklemde görülebilen tek sıfır, =-0.5 noktasındaki sıfırdır. Yani =0 noktasındaki sıfır bu denklemden bulunama. Bu durum tasarım hatasına sebep olabilir. Bu nedenle kutuplar ve sıfırlar bulunurken, X() i in poitif üstleri cinsinden yamak gerekir. Bu kısa açıklamadan sonra, şimdi Ters -Dönüşümünün bulunması için kullanılan yöntemlere geçebiliri. 6
17 Genel olarak, Ters -Dönüşümünün hesaplanması için 4 farklı yöntemden bahsedilebilir: Doğrudan Bölme Yöntemi Hesaplamalı Yöntem Kısmi Kesirlere Ayrıma Yöntemi Ters İntegral Yöntemi Doğrudan Bölme Yöntemi: Bu yöntem, verilen bir X() fonksiyonunun Ters -Dönüşümü olan x(k) nın sadece ilk birkaç terimini bulmak gerektiği aman kullanışlıdır, x(k) nın genel ifadesini bulmak için genelde pek kullanılma. Yöntemi uygulayabilmek için, verilen X() fonksiyonunun payı ve paydası in negatif üstlerine göre yaılır. Daha sonra fonksiyonun payı paydasına bölünür! Bölme işlemi sonucu elde edilen ifadenin terimleri x(0), x(), x(), değerlerini verir. Örnek olarak aşağıdaki fonksiyonu gö önünde bulunduralım: 0 5 X() ( )( 0.) Doğrudan Bölme Yöntemi ile bu fonksiyonun Ters -Dönüşümünü bulmak için, önce fonksiyonun payını ve paydasını in negatif kuvvetleri cinsinden yaalım: 0 5 X(). 0. Sonra da aşağıdaki gibi klasik bölme işlemi yapalım: 7
18 Bölme işleminin sonucunda elde edilen ifadeye göre; X 3 4 ( ) şeklindedir. Şimdi -dönüşümünü tanımlayan seriyi hatırlayalım: k k ( ) ( ) (0) () ()... ( )... X x k x x x x k k0 Dolayısıyla son iki denklem karşılaştırıldığında, x(0) 0 x() 0 x() 7 x(3) 8.4 x(4) 8.68 olduğu görülür. Yani aman domenindeki sinyalin örneklenmiş halini temsil eden diide ilk beş terimin değeri bulunuş olur. Daha önce de vurgulandığı gibi yöntem, sadece belli sayıda örneğin değerini hesaplamak yoluyla Ters -Dönüşümü yapar. Serinin bütün terimlerinin değerlerini bulmak için, baı öel durumlar dışında, pek kullanılma. Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun Ters -Dönüşümünü doğrudan bölme yöntemi ile bulunu. X() C: Verilen fonksiyonu in negatif üstlerine göre yaıp, doğrudan bölme işlemi yaparsak; X 3 4 ( )... elde ederi. Yine bu seriyi, X() in seri açılımı olan k X ( ) x( k) serisi ile karşılaştırırsak; k0 x(0) 0 x() x() x(3) x(4)... 8
19 olduğunu görürü. Dolayısıyla bu fonksiyonun Ters -Dönüşümünü, grafiği aşağıda görülen bir alternatif sinyaldir. Alıştırma: Aşağıda verilen fonksiyonun Ters -Dönüşümünü bulunu. X ( ) Hesaplamalı Yöntem: Bir sistemin transfer fonksiyonunun Y( ) G () X ( ) olduğunu düşünelim. -domenindeki bir transfer fonksiyonunun Ters -Dönüşümünü hesaplamalı yöntemle bulmak için giriş, X(), olarak Kronecker Delta Fonskiyonu ( kt) 0 kullanılır. Bu fonksiyonun genel ifadesi şeklindedir. Bu fonksiyonun -dönüşümü ise şeklindedir. Dolayısıyla bu durumda çıkış, Y(), k 0 0( kt ) 0, k 0 X( ) olur. Bu noktadan itibaren, Ters -Dönüşümünün hesaplanması için alternatif sö konusudur:
20 a. MATLAB b. Fark Denklemi Yaklaşımı a. MATLAB ya da başka herhangi bir paket program kullanılarak Ters -Dönüşümü şu şekilde hesaplanır (sarı eminli satırlar MATLAB kodlarını ve onların çıktılarını göstermektedir): Öncelikle Kronecker Delta Fonksiyonu, MATLAB ortamında aşağıdaki gibi tanıtılır: x=[ eros(,n)] Burada N, örnek sayısıdır. Yani çıkışın ters -dönüşümünün kaç örnek için hesaplanacağını belirler. Daha sonra ters -dönüşümü alınacak fonksiyonun pay ve payda polinomları tanıtılır. pay = [ ] payda = [ ] filter fonksiyonu ise, çıkışın ters -dönüşümünü, x tanımlanırken belirtilen örnek sayısı kadar hesaplar. filter(pay,payda,x) Örneğin aşağıdaki kod parçası, yukarıda verilen Y() fonksiyonunun ters -dönüşümünü 40 örnek için hesaplar: x=[ eros(,40)] ; % Kronecker Delta girisinin tanımlanması pay = [ ] ; % pay polinomunun tanımlanması payda = [ ] ; % payda polinomunun tanımlanması filter(pay,payda,x) % ters -dönüşümünün hesaplanması Bu kod çalıştırıldığında, aşağıdaki çıktıyı üretir: 0
21 Yani Y() fonksiyonunun ters -dönüşümü, y(0) 0 y() y() y(3) y(40) şeklindedir. y(k) nın, k ya göre değişimi çidirilmek istenirse, koda aşağıdaki satır eklenir ve sonuçta şekildeki gibi bir grafik elde edilir. plot(y,k)
22 b. Fark Denklemi Yaklaşımı Daha önce örnek olarak verilen G () Y( ) X ( ) denklemi, içler-dışlar çarpımı yoluyla aşağıdaki şekilde yaılabilir: Y( ) X( ) Dersin başlarında, - in bir örnekleme periyodu geciktirme operatörü, in ise bir örnekleme periyodu ileri öteleme operatörü olarak yorumlandığını söylemiştik. Dolayısıyla bu denklem, aşağıdaki gibi Fark Denklemi formunda yaılabilir: y( k ).537 y( k ) y( k) x( k ) x( k) Giriş Kronecker Delta fonksiyonu olduğu için, x(0) ve k 0 için xk ( ) 0 dır. Çıkış için ise k 0 için yk ( ) 0 dır. Giriş ve çıkış için bu hatırlatmalar gö önünde bulundurularak, y (0) ve y () değerleri, k ya değer verilerek kolaylıkla bulunabilir. Eğer bu denklemde k değeri verilirse, y(0).537 y( ) y( ) x( ) x( ) olur. xk ( ) ve yk ( ) için yukarıda hatırlatılan bilgiler gö önünde bulundurulduğunda y(0) 0 bulunur. Eğer bu denklemde k değeri verilirse, y().537 y(0) y( ) x(0) x( ) olur. xk ( ) ve yk ( ) için yukarıda hatırlatılan bilgiler gö önünde bulundurulduğunda y() bulunur. Artık bundan sonra yk ( ) nın diğer değerleri, herhangi bir programlama dili ya da paket program kullanılarak bir for döngüsü içinde (ya da el ile) hesaplanabilir. Program yaılırken kullanılacak denklem ve gerekli başlangıç koşulları aşağıda öetlenmiştir. y( k ).537 y( k ) y( k) x( k ) x( k) y(0) 0, y() , x(0), ve k 0 için x( k) 0.
23 Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Tıpkı Ters Laplace Dönüşümünde olduğu gibi, Ters - Dönüşümünde de Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi oldukça yaygın olarak kullanılır. Ancak metodun uygulanabilmesi için, -domenindeki fonksiyonun, -dönüşüm tablosundaki çiftlere benetilebilir olması gerekmektedir. Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi, Ters Laplace Dönüşümü anlatılırken detaylandırıldığı için burada tekrar detaylarıyla açıklanmayacaktır. Ancak Laplace Dönüşümündeki detaylara ek olarak, -dönüşümünde kısmi kesirlere ayırma yönteminin kullanılmasına ilişkin ek bir detay, -domenindeki fonksiyonun orijinde bir sıfır içermesi halinde ortaya çıkar. Genellikle - domeninde orijinde bir ya da birden çok sıfır içeren X() gibi bir fonksiyonun Ters -Dönüşümü X( ) hesaplanırken önce kısmi kesirlerine ayrılır, daha sonra elde edilen ifade ile çarpılarak X() in kısmi kesirlere ayrılmış hali elde edilir. Bu yaklaşım çoğu aman kısmi kesirlere ayırma işlemini kolaylaştırmakla beraber, uygulanması bir orunluluk değildir. Ör: a bir sabit ve T örnekleme periyodu olmak üere, aşağıda verilen fonksiyonun ters - dönüşümünü bulunu. X( ) C: Fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış hali: Bu durumda, Her bir terimin ters -dönüşümü: at e at e X( ) e at X() e at ve e at e akt Sonuç olarak, verilen fonksiyonun ters -dönüşümü: akt x( kt) e, k 0,,,... Bu örnekte verilen fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış halini, -dönüşümü tablosundaki çiftlere benetmek kolaydı. Bir de şunu deneyin: X() 3 ( ).
24 Ters İntegral Yöntemi: Verilen bir X() fonksiyonunun ters -dönüşümünü bulmak için kullanılan integral X ( ) x( kt ) x( k) X ( ) d j C k şeklindedir. Burada C, merkei -düleminin orijininde olan ve X () k in tüm kutuplarını çevreleyen çemberdir. Bu integralin doğrudan hesabı yerine, kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinin argümanları kullanılarak, aşağıdaki gibi hesaplanır: x( kt ) x( k) K K K m k X ( ) 'in i kutbundaki reidüleri i Burada K, K,..., K m değerleri, X () k çarpımının,,..., m kutuplarındaki reidüleridir. Yani kaç tane kutup varsa o kadar reidü vardır. Reidülerin nasıl bulunacağını aslında Kısmi Kesirlere Ayırma yönteminden biliyoru. Örneğin X () k in noktasında katlı olmayan bir kutbu varsa, bu kutba ilişkin reidü i i m k K lim i X ( ) formülüyle bulunur. Eğer reidü ise X () k in noktasında q katlı bir kutbu varsa, bu kutba ilişkin j q d q K lim j X ( ) q q! j d formülüyle hesaplanır. Tüm bu denklemlerde k, negatif olmayan bir tam sayıdır. Verilen herhangi bir X() fonksiyonunun ters -dönüşümü hesaplanırken, eğer k X () k, orijinde yani =0 noktasında bir kutup içermiyorsa, bu X() fonksiyonunun ters -dönüşümü Ters İntegral Metodu ile daha kolay bulunabilir. Ancak eğer X () k, orijinde katlı ya da katlı olmayan kutup içeriyorsa bu durumda Ters İntegral Metodu aşırı hesap yükü gerektirir ve Kısmi Kesirlere Ayırma yöntemi daha kolay ve görece daha a ahmetli sonuç verir. Örneklere bakalım: 4
25 Ör: a bir sabit ve T örnekleme periyodu olmak üere, aşağıda verilen fonksiyonun ters - dönüşümünü Ters İntegral Yöntemi ile bulunu. X( ) at e at e C: Öncelikle X () k ifadesine bakalım: X () k at k e at e k=0,,,. için X() k- ifadesi iki adet katlı olmayan kutba sahiptir: = ve =e -at. Dolayısıyla iki tane de reidü olacaktır. Bunları bulalım: x( k) K K i at k e at e 'in i kutbundaki reidüleri Birinci reidü: K noktasındaki reidü at k e at e lim ( ) İkinci reidü: at K e noktasındaki reidü at k e at e at lim e e at e at Bu durumda, verilen fonksiyonun ters -dönüşümü: at x( k) x( kt ) K K e, k 0,,, 3,... (Aynı örneği kısmi kesirlere ayırma yöntemi ile de çömüştük). 5
26 Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun ters -dönüşümünü Ters İntegral Yöntemi ile bulunu. X() at e C: Öncelikle X () k ifadesine bakalım: X () k k at e k=0,,,. için X() k- ifadesi: = = e -at noktasında bir adet katlı olmayan kutba ve = = noktasında iki katlı bir kutba sahiptir. Dolayısıyla iki tane reidü olacaktır. Bunları bulalım: x( k) K K i k at e 'in i kutbundaki reidüleri Birinci reidü: K e at noktasındaki reidü e lim at e k a( k) T at e at e at e İkinci reidü: K noktasındaki iki katlı reidü k d lim d e at ( )! k d lim at d e k at k at at e e e d ( k ) e k e lim d at at Bu durumda, verilen fonksiyonun ters -dönüşümü: a( k) T at e k e x( k) x( kt ) K K, k 0,,, 3,... at at e at e e 6
27 Fark Denklemlerinin -Dönüşümü ile Çöümü Daha önce vurgulandığı gibi sürekli amanda sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Örneğin u(t) giriş ve y(t) çıkış olmak üere, bir sistemin diferansiyel denklemi d y t ( ) dy( t) 5 y( t).4 u( t) dt dt olsun. Bu diferansiyel denklemi çömek demek, verilen bir u(t) girişi için, y(t) nin ifadesini bulmak demektir. Laplace Dönüşümü Yöntemi, yukarıdaki gibi doğrusal diferansiyel denklemlerin çöümü için oldukça yaygın olarak kullanılır. Bener şekilde, ayrık aman sistemleri Fark Denklemleri ile modellenir. Örneğin u(k) giriş ve x(k) çıkış olmak üere, ayrık amanlı bir sistemi modelleyen fark denkleminin genel ifadesi x( k) a x( k )... a x( k n) b u( k) bu( k )... b u( k n) n 0 şeklindedir. Bu fark denklemini çömek demek, verilen bir u(k) girişi için, x(k) çıkışının k ıncı iterasyondaki değerini bulmak demektir. Herhangi bir programlama dilinde ya da paket programda yaılmış bir kod ile, bu x(k) değeri bulunabilir. Ancak bilgisayar programı ile x(k) nın genel ifadesini bulmak, baı öel durumlar haricinde, pek mümkün değildir. -Dönüşümü Yöntemi, ayrık amanlı doğrusal sistemleri modelleyen fark denklemlerini çömek için yaygın olarak kullanılır. Bu yöntem çıkışın genel ifadesini de verir. Daha önce yaptığımı gibi, x( k) X ( ) olarak gösterelim. Bu durumda x( k ), x( k ), x( k 3),... terimleri ve x( k ), x( k ), x( k 3),... terimleri X() cinsinden, başlangıç koşulları da gö önünde bulundurularak, ifade edilebilir. Bu terimlerin -dönüşümleri, daha önce -Dönüşüm Tablosunda verilmişti, aşağıda tekrar hatırlatılmıştır. Tablonun hemen ardından, fark denklemlerinin -dönüşümü ile çöülmesine ilişkin bir örnek sunulmuştur. n 7
28 Ör: Aşağıda verilen fark denklemini -dönüşümü yöntemiyle çöünü. x( k ) 3 x( k ) x( k) 0, x(0) 0, x() C: Terimlerin her birinin -dönüşümünü yaalım: x k X x x ( ) ( ) (0) () x( k ) X ( ) x(0) x( k) X ( ) Verilen fark denkleminin her iki tarafının -dönüşümü alınırsa: X x x X x X ( ) (0) () 3 ( ) 3 (0) ( ) 0 Başlangıç koşulları için verilen değerler yerine yaılırsa: X() 3 ( )( ) 8
29 Ters -dönüşümü alınırsa: ( ) k ( ) olduğundan, soruda verilen fark denkleminin çöümünün genel ifadesi, k k x( k) ( ) ( ), k 0,,,... şeklinde olur. k 9
İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
DetaylıBÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ
BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.
Detaylı1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere
KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıAyrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.
Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı
DetaylıZaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ 1 EEM304 MM306
DetaylıBu uygulama saatinde, ders kapsamında şu ana kadar bahsedilen konulara ilişkin MATLAB fonksiyonları tanıtılacaktır.
Bu uygulama saatinde, ders kapsamında şu ana kadar bahsedilen konulara ilişkin MATLAB fonksiyonları tanıtılacaktır. Polinomial Bir Fonksiyonun Tanıtılması P s s s şeklindeki bir fonksiyona ilişkin nesne,
Detaylıf(t)e st dt s > 0 Cebirsel denklem s- tanım bölgesi L 1 Unutulmamalıdır ki, farklı türden tanım ve değer uzayları arasında
Bölüm #2 Laplace Dönüşümü F (s) = f(t)e st dt s > şeklinde tanımlanan dönüşüme LAPLACE dönüşümü adı verilir ve kısaca L{f(t)} ile sembolize edilir. Diferansiyel denklemlerin Çözümünde Laplace dönüşümü
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı İşaret Akış Diyagramları Mason Kuralı Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları Durum Uzayında Alternatif Gösterimler 1 Birçok kontrol
DetaylıElektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri
Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri Elektronik Mühendisliği Devreler ve Sistemler Haberleşme Sistemleri Elektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıSAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-düzleminde ANALİZİ
SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-düzleminde ANALİZİ Bu derste ve takip eden derste, sayısal kontrol sistemlerinin z-düzleminde analizi ve tasarımı için gerekli materyal sunulacaktır. z-dönüşümü Yönteminin
DetaylıDers #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever
Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ
DetaylıNazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =
Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme
DetaylıSayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU
Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 50 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
KARARLILIK Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur: Geçici Durum Cevabı Kararlılık Kalıcı Durum Hatası Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer
DetaylıSAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER
SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad
DetaylıDijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.
Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. u(t):kuvvet u(t) F yay F sönm Yay k:yay sabiti m kütle Sönümlirici b:ösnümlirme sabiti y(t):konum 1 1 3
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıB ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I
Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıZaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma
Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma 1 Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel
DetaylıTransfer Fonksiyonu. Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında
Z DÖNÜŞÜMÜ Transfer Fonksiyonu Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında Burada toplamı n ye bağımlı olmayıp sadece sistemin dürtü yanıtı ve z değerine bağlı bir katsayıdır. şeklinde
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıAyrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli
Bölüm 3 z-dönüşümü 6 Bölüm 3. z-dönüşümü 3.1 GİRİŞ Ayrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli z-dönüşümü ile üzerindeü-ze-rin-de
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıFiziksel Sistemlerin Matematik Modeli. Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012
Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012 Matematik Modele Olan İhtiyaç Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıOtomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri
Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki
Detaylı10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması
10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Laplace Devre Çözümleri Aşağıdaki devrenin
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıTOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.
TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.
DetaylıEnerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü
YALOVA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ Enerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü ESM 413 Enerji Sistemleri Laboratuvarı-II RL, RC ve RLC DEVRELERİNİN AC ANALİZİ Puanlandırma Sistemi: Hazırlık Soruları:
Detaylı7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I
7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi
DetaylıSistem Dinamiği ve Kontrolü Bütünleme 26 Ocak 2017 Süre: 1.45 Saat. Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası :
Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası : SORU 1 Fiziki bir sistem yandaki işaret akış grafiği ile temsil edilmektedir.. a. Bu sistemin transfer fonksiyonunu Mason genel kazanç bağıntısını kullanarak
DetaylıMekanik Titreşimler ve Kontrolü. Makine Mühendisliği Bölümü
Mekanik Titreşimler ve Kontrolü Makine Mühendisliği Bölümü s.selim@gtu.edu.tr 10.10.018 Titreşim sinyalinin özellikleri Daimi sinyal Daimi olmayan sinyal Herhangi bir sistemden elde edilen titreşim sinyalinin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıOkut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.
Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ MM306 EEM304 SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıSistem Dinamiği. Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN
Sistem Dinamiği - Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü Doç. Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıOtomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin
Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Tüm uygulamalar için aşağıdaki
DetaylıHAFTA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ. İçindekiler
HAFA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ İçindekiler 4.4. Fourier serisinin özellikleri... 2 4.4.1 Doğrusallık özelliği (Linearity property)... 2 4.4.2 Zamanda tersine çevirme özelliği (ime Reversal Property)...
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
Detaylı8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıFizik Dr. Murat Aydemir
Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME
Bölüm 6 ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME VE ÖRTÜŞME 12 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme 6.1 GİRİŞ Bu bölümün amacı, verilen bir işaretin zaman veya frekans domenlerinden
DetaylıAyrık-Zaman Sistemler
Ayrık-Zaman Sistemler Bir ayrık-zaman sistemi, bir giriş dizisi x[n] yi işleyerek daha iyi özelliklere sahip bir çıkış dizisi y[n] oluşturur. Çoğu uygulamalarda ayrık-zaman sistemi bir giriş ve bir çıkıştan
DetaylıSinyaller ve Sistemler (EE 303) Ders Detayları
Sinyaller ve Sistemler (EE 303) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sinyaller ve Sistemler EE 303 Güz 3 0 2 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i EE 206 (FD),
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıToplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı
FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
Detaylı4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
Detaylıfonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun
. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
DetaylıSembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011
Sembolik Programlama 1. Gün Şenol Pişkin 20 Eylül 2011 Sunum Kapsamı MuPAD İçerik Başlangıç 1. Bölüm: Cebirsel işlemler 2. Bölüm: Denklem çözümleri MuPAD Kısaca MuPAD Bilgisi ve Tarihçesi MuPAD Diğer Araçlar
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıKARMAŞIK SAYILAR Test -1
KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
DetaylıOTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI. DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU. Kasım 2014. BAU MMF Makine Müh. Bölümü
1 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU BAU MMF Makine Müh. Bölümü Kasım 2014 2 BÖLÜM-1 OTOMATİK KONTROLE GİRİŞ Kontrol Mühendisliği Kontrol Mühendisliği hedef odaklı sistemlerin
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
Detaylı2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans
FİZİKSEL MATEMATİK II 1 Ders Adi: FİZİKSEL MATEMATİK II 2 Ders Kodu: FZK2004 3 Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 2 6 Dersin Verildiği Yarıyıl 4 7 Dersin AKTS Kredisi: 8.00
DetaylıGözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi
JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylıbirim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle bulunabiliri. Ancak, sayısal işaret işlemenin pratik uygulaması, sonsuz bir x(n)
Bölüm 7 AYRIK-FOURİER DÖNÜŞÜMÜ 14 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 7.1 GİRİŞ Ayrık x(n) dizisinin Fourier dönüşümü, z-dönüşümü X(z) nin birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
Detaylı8.SINIF CEBirsel ifadeler
KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
Detaylı