Galois cisimleri ve en yüksek çözümlü 2 k-1 tasarmlarnn oluturulmas

Transkript

1 statistikçiler Dergisi 3 (00) statistikçiler Dergisi Galois cisimleri ve e yüksek çözümlü k- tasarmlar oluturulmas Naza Daacolu Siop Üiversitesi Fe-Ed. Fak. statistik Bölümü Osmaiye Köyü Yei Cezaevi Ya Siop, Türkiye azad@siop.edu.tr F. Zehra Muluk Ba(ket Üiversitesi Ticari Bilimler Fak. Sigortac l k ve Risk Yöetimi Bölümü 0680 Akara, Türkiye zmuluk@basket.edu.tr Özet Kesirli çok etkeli tasarmlar, uygulamada yayg olarak kullalmaktadr. Bu çal mada, solu cisim teoriside, Galois cisimleri üzerideki poliomlarda yararlaarak, e yüksek çözümlü k- tasarmlar asl olu turulabilecei gösterilmi tir. Aahtar sözcükler: Çok etkeli tasarmlar; Kesirli çok etkeli tasarmlar; Solu cisimler; Galois cismi; Poliomlar. Abstract Galois Fields Ad Costructio of k- Desigs with Highest Resolutio Fractioal factorialdesigs are commoly used i practice. I this article, the fiite flelds theory ad polyomials over Galois fields were used to desig k- desigs with highest resolutio. Keywords: Factorial desigs; Fractioal factorial desigs; Fiite fileds; Galois field; Polyomials.. Giri Çok etkeli ve kesirli çok etkeli (KÇE) (fractioal factorial desigs) tasarm teoriside pek çok soru; geometrik, cebirsel ya da birle imsel (combiatorial) yapya döü ür. Souç olarak; gruplar, halkalar (rigs), cisimler (fields), Öklid ve izdü ümsel (projective) geometri gibi solu matematiksel yaplar, çok etkeli ve KÇE tasarmlarla ilgili pek çok soruu çözümüde, geelle tirilmeside ve aydlatlmasda ba aryla kullalmaktadr. Çok etkeli tasarmlar olu turma yötemleride literatürde bulua bazlar; dikey dizimler (orthogoal arrays), solu geometriler (fiite geometries), cebirsel ayr ma (algebraic decompositio), etki kar m (cofoudig), Hadamard matrisleri ve solu grafikler olarak sralaabilir. KÇE tasarmlar cebirsel yaps bugüe kadar pek çok çal mada yer alm tr. Shirakura, Suetsugu ve Tsuji [0], Hadamard matris ve Galois cismide (GF) (Galois field) yaralaarak m tasarmlar olu turma yötemi öermi ler; Pistoe ad Rogarti [9], KÇE tasarmlarda, düzey kodlar içi cebirsel istatistikleri icelemi, Xu [3], GF, dorusal kodlar ve izdü ümsel geometride yararlaarak KÇE tasarmlar içi bir algoritma olu turmu lardr.

2 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) Bu çal mada, katsaylar GF üzeride bulua poliomlarda yararlaarak, çok etkeli tasarmlar ve bular e yüksek çözümlü yar kesirlerie asl ula lacayla ilgileilmi tir.. Geel bilgiler Bilidii gibi, etkeleri p düzeyli olduu bir KÇE tasarm, p büyüklüüde GF kullalarak olu turulabilir ve p asal bir say olduuda, solu cisim aritmetii, p modülüde tam say aritmetiie e ittir. Bu edele modüler aritmetik ile ilgili baz tamlar üzeride durulacaktr:.. Deklikler ve Euler foksiyou Tam. > 0 ve a, b Z olsu. Eer a-b (, a-b yi böler) ise, a says modülüe göre b ye dektir deir ve a b (mod ) eklide gösterilir [6]. Tam. x a (mod ) gibi bir deklik bats içi tae deklik sf vardr ve her biri 0,,..., sflarda birie e ittir. Bu deklik sflar açk olarak yazlm; 0= { 0, ±, ±,... }, = {,±,±,... }. ().. = {,( ) ±, ( ) ±,... } eklidedir ve modülüe göre kala sflar olarak adladrlr. { } Z = 0,,,..., kümesie, modülüe göre kala sflar kümesi deir [3]. p asal bir say olmak üzere, Z p i p- tae sfrda farkl her öesi tersiirdir (p asal olduuda, Z p i sfrda farkl her öesii Z p içide bir tersi vardr). Tam 3, rastgele bir > tam says içi Z i tersiir öelerii says bulmaya yöeliktir [6]. Tam 3. > içi, Z içideki tersiir öeleri says () ile gösterilir ve () batsa ya da ksaca () ye Euler foksiyou deir [,6]. () ile gösterile say; Z i öeleride, de küçük ya da e it olup, ile aralarda asal ola tam saylar saysdr. Örei, (8)=4 tür; çükü,,3,5, 7, 8 ile aralarda asaldr. Özellik. (Euler), a Z ve >0 olsu. (,a)= ise, a () (mod ) dir [6]. Souç. (Fermat) p, a Z olsu. p asal ve p a (p, a y bölmez) ise, a p- (mod p) dir [4]. Souç. (Fermat) p asal ise, her a Z içi, a p a (mod p) dir [4].

3 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) Solu cisimler Gerçel saylar, rasyoel saylar ve kompleks saylar cisimlere örek olarak verilebilir ve her biri sosuz sayda elemaa sahiptir. Sadece, solu sayda elema içere bir cisim, solu cisim (fiite field) olarak adladrlr. Örei, tamsay modülü Z ile gösterildiide, mod de yapla stadart toplama ve çarpma i lemlerie göre, Z solu bir cisimdir [,]. Teorem. Z yalz ve yalz asal say ise solu bir cisimdir. Tam 4. F bir cisim olsu. F cismii karakteristii; m = = 0 e itliii salaya e küçük pozitif m tamsaysdr. Eer m yoksa, karakteristik 0 olarak tamlar []. Teorem. F, p karakteristiie sahip solu bir cisimse, bu durumda F, pozitif tamsays içi, p elemaldr. F, q elemal solu bir cisimse, geellikle GF(q) ile gösterilir ve q elemal GF olarak adladrlr. Buradaki q, p biçimidedir ve bir asal say ya da asal say kuvvetidir. GF( p ), p karakteristikli bir cisimdir ve Z p cismi, GF(p) olarak gösterilir [3, ]. i=... Galois cismi p bir asalsa, F p = <F p, + p,. p > sistemi, F p = {0,,,..., p- } olmak üzere, bir GF dir ve GF(p) ile gösterilir. Gerçekte, F p, e basit GF dir [3]. Tam 5. r, x r = yapa e küçük pozitif tamsay olsu. Bu durumda r, x i derecesidir ve r e büyük deeri, p- i aldda; x e GF(p) i ilkel elema (primitive elemet) deir. Her GF(p) de ilkel bir elema vardr. x ilkel elemasa, GF(p) i sfr olmaya bütü elemalar, a adaki diziye dahildir [3]. x 0 =, x, x,..., x p- () Tam 6. GF(p)[x], a i } katsaylar GF(p) cismide ola, rastgele dereceli a 0 + a x +a x a - x -, a i {0,}, poliomlar birle imidir [7]. Tam 7. GF(p)[x] de dü ük derecede poliomlar çarpm eklide yazlamaya f(x) foksiyoua, GF(p) de idirgeemez deir [3,7]. f(x), GF(p) de idirgeemezse, GF(p ) i elemalar olu turmak içi e küçük foksiyodur. E küçük foksiyo f(x) uygu olarak seçilirse; x ile gösterile sf, GF(p ) i ilkel elema olacaktr ve bu durumda, GF(p ) i sfr olmaya bütü elemalar a adaki gibi ifade edilebilir. x 0 =, x, x,..., p x (3) E itlik (3) teki ifade, x i güç dögüsü (power cycle) olarak adladrlr. Baz güç dögüleri Çizelge de verilmektedir [3]. GF( ) içi güç dögüsü olu turulsu. GF( ) i cisim elemalar buluurke, Tam 6 da, derecesi = ola bir poliomda yararlalr. p(x)= a 0 + a x ya da p(x) =a x + a 0, a i Z, i=0,, a 0 olmak üzere;

4 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) p(x)= a x + a (4) 0 x x+ dir. GF( ) içi Çizelge de verile e küçük poliom, +x+x dir ve Tam 7 de, ay zamada idirgeemez bir poliomdur (Bkz. Çiz. ) olarak gösterilmi tir. E itlik (3) teki güç dögüsü kullaldda; x 0 =, x, x,..., p x, x, x = x, x, x elde edilir. Acak x x+ (mod x +x+) olduuda, güç dögüsü;, x, x+ (5) olacaktr. Görüldüü gibi, cismi 0 d daki elemalar, güç dögüsüü olu turmaktadr. Çizelge. Baz GF( ) cisimleri içi e küçük poliomlar ve güç dögüleri p E küçük poliom Güç dögüsü x +x+,x,x+ 3 x 3 +x +,x,x, x +, x +x+,x+,x +x 4 x 4 + x 3 +,x, x, x 3, x 3 +, x 3 +x+, x 3 +x +x+, x +x+, x 3 +x +x, x +, x 3 +x, x 3 +x +,x+, x +x, x 3 +x GF( 3 ) içi güç dögüsü olu turulsu. Tam 6 da, GF( 3 ) ü elemalar buluurke, derecesi = ola bir poliomda yararlalr. p(x)= a x + a x +a 0, a i Z, i=0,, a 0 olmak üzere; p(x)= a x + a x + a x 0 x+ (6) 0 0 x 0 x + 0 x +x x +x+ elde edilir ki, GF( 3 ) içi, Çizelge. de verile e küçük foksiyo x 3 +x + kullalarak, E itlik (3) te bulua güç dögüsü; x 0 =, x, x,...,, x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 olmak üzere, p x, x, x, x +, x +x+, x+, x +x (7) dir (Bkz. Çiz. ). GF( 4 ) içi güç dögüsü olu turulsu. GF( 4 ) ü elemalar buluurke, derecesi =3 ola bir poliomda yararlalr. p(x)= a 3 x 3 + a x + a x +a 0, a i Z, i=0,, a 3 0 olmak üzere,

5 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) p(x)= a 3 x 3 + a x + a x + a x 0 0 x x 0 0 x x +x 0 x +x+ (8) x x x 3 +x 0 x 3 +x+ 0 0 x 3 +x 0 x 3 +x + 0 x 3 +x +x x 3 +x +x+ elde edilir. Çizelge deki x 4 + x 3 + e küçük foksiyou kullalarak E itlik (3) te güç dögüsü; p x x 0 =, x, x,...,, x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 0, x, x, x 3, x 4 tür., x, x, x 3, x 3 +, x 3 +x+, x 3 +x +x+, x +x+, x 3 +x +x, x +, x 3 +x, x 3 +x +, x+, x + x, x 3 +x (9) dir ve Çizelge de de görülebilir.... dirgeemez poliomlar Bilidii üzere, p elemal bir cisim olu turmak içi, GF(p)[x] de. derecede bir idirgeemez polioma ihtiyaç vardr. Asl soru, GF(p)[x] de her pozitif says içi,. derecede bir poliomu olup olmaddr. Gerçekte baklmas gereke, moik bir idirgeemez poliomdur. Moik poliom, x i e yüksek kuvvetii sfr olmaya katsays demektir [3]. Tam 8. ( ya da 3. dereceler içi idirgeebilirlik testi) F bir cisim olsu. f(x)f[x] ve degf(x)= ya da 3 ise; f(x), yalz ve yalz F de sfr deerii alyorsa, F de idirgeebilirdir [4]. Örei, +x+x 3, Z de idirgeemezdir; çükü, Z de ve dr. Souç 3. Herhagi bir p asal içi, p x p p p ( x) = = x + x x +, Z[x] (0) x Q (rasyoel saylar) üzeride ve dolaysyla Z de idirgeemezdir [4]. Çizelge de, mod içi, dereceleri = de 5 e kadar ola idirgeemez poliomlar listelemektedir [3].

6 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) Çizelge. Mod de. derecede idirgeemez poliomlar dirgeemez poliomlar +x, x +x+x 3 +x+x 3, +x +x 3 4 +x+x 4, +x+x +x 3 +x 4, +x 3 +x 4 5 +x +x 5, +x+x +x 3 +x 5, +x 3 +x 5, +x+x 3 +x 4 +x 5, +x +x 3 +x 4 +x 5, +x+x +x 4 +x 5... E küçük poliom Tam 9. F, p karakteristikli bir cisim olsu ve F * 0 olmaya cisim elemalar göstersi. F * olsu. GF(q) ya göre e küçük poliomu m(x) dir ve m() = 0 dr [7]. Tam 0. Bir elema e küçük poliomu tektir [5]. Teorem 3. F * içi, e küçük poliomu m (x), idirgeemezdir ve m (x) x q -x tir [5,7]. Tam. F içi, t, (cojugates) kümesi; t p t { } p p p = yapa e küçük pozitif tamsay olsu. GF(q) ya göre çekimler C( ) =,,,..., () i ve p karakteristikli F cismide, bütü i ler içi, C( ) C( ) p = dir [5,]. Teorem 4. F, p karakteristikli bir cisim ve F * olduuda, ( x ) m(x) = C( ) olsu. C(), GF(q) ya göre çekimler kümesi () katsaylar GF(q) üzeride e küçük poliomudur []. F=GF( ) cismi olu turulsu. Öcelikle, Z de idirgeemez kübik bir polioma ihtiyaç vardr ve Çizelge de, f(x)= x + x + alm tr. F i elemalar; {[0], [], [x], [+x]}(bkz. E.4) ve karakteristii de dir (Bkz. Tam 4). Elemalar çarpmlar f(x) poliom modudadr. x + x + 0 (mod f(x)) ve E itlik () de Z de - olduuda, x -x- = x+(mod f(x)) dir. =x, F i ilkel elema ya da üretecidir. Gerçekte, Tam 5 te, bu cisim içi d daki 0 olmaya her elema (Bkz. E.5), cismi üretecidir. t p Tam de = yapa e küçük elema; x x+ (mod x +x+), x 4 = x ya da =, olduuda dir. E itlik () de çekimler kümesi; C ( ) = {, } dir. E itlik () deki e küçük poliom içi, kar klk olmamas amacyla x yerie y kullalrsa, ( y ) m(y) = C( )

7 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) eklide yazlabilir. E itlik (4) ve (5) te, =(0)= als. ( ) ( )( ) ( ) 3 m(y) = y = y y = y+ y + + C( ) (3) ( ) ( ) ( ) + = + = x+ + x = olduuda, e küçük poliom, m(y) = y + y+ dir. Çizelge 3 te GF( 3 ) ü elemalar e küçük poliomlar, üreteç içi verilmektedir []. Çizelge 3. E küçük poliomu f(x)=x 3 + x + ala GF( 3 ) cismi GF( 3 ) cismi içi f(x)=x 3 + x + ve =x aldda =(00) = x = =(00) = x = m (y)= y 3 + y + =() = x +x+ = 4 =(0) = +x = 3 =(0) = x += 5 m (y)= y 3 + y + =(0) = x +x= 6 Çizelge de Z de idirgeemez dier bir kübik poliom f(x)= x 3 +x+ aldda, GF ( 3 ) elemalar ve kar lk gele e küçük poliomlar da bulumu tur (Bkz. []). Çizelge 3 te verile ve GF( 3 ) ü olu tururke kullala e küçük poliomlar her biri, x 8 -x i bölmelidir ve derecelerii toplam 8 olmaldr (Bkz. Teo.3). GF( 3 ) içi, x 8 -x= x(x+)(x 3 +x+)(x 3 +x +) (4) dir. =x olduuda e küçük poliomlar; x, x+, (x 3 +x+), (x 3 +x +) dir. 3. k- Tasarmlar Bilidii üzere, k-p deeme içere bir k tasarma, k tasarm / p kesiri ya da k-p KÇE tasarm deir. Burada; k: etke says, p: üreteç ya da tamlayc bat saysdr. Bu düze içi tamlayc bat yaps (defiig costrast patter), ba lagçta seçile p tae üreteç ve bular p - p - tae geelle tirilmi etkile imide (geeralized iteractio) olu ur. p= olduuda, çok etkeli bir tasarm yar kesrie kar lk gelir [8]. KÇE tasarm çözümü (resolutio) ise, tamlayc bat yapsdaki e ksa kelime uzuluu olarak tamlaabilir ve burada, Rome rakamyla, alt idis olarak gösterilmi tir. Tamlayc bats I=ABC ola 3 III KÇE tasarm Çizelge 4 te gösterilmektedir. Çizelge 4. 3 III Tasarm (I=ABC) a b c=a+b Deemeler Bu tasarm tamlayc bats, I=ABC= x +x+=() olarak da gösterilebilir. x +x+ GF( 3 ) ü elemadr (Bkz. E. 5) ve idirgeemez bir e küçük poliomdur (Bkz. Çiz. ve Çiz. ).

8 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) Teorem 3 ve Souç 3 te, m (x) = x +x+ x 4 -x dir. Ba ka bir deyi le, ( )( ) 4 x x = x x+ x + x+ ve ( )( ) 3 x = x+ x + x+ (5) olduu söyleebilir. x +x+, ay zamada e küçük poliomdur. x ve x+ ise GF( 3 ) ü. derecede e küçük poliomlardr. E itlik (4) te verile GF( ) i elemalar, Çizelge 4 te a ve b sütularyla gösterile tamamlam çok etkeli tasarma kar lk gelmektedir. 3- tasarma, yai çok etkelisii yar kesrie ula mak içi, bir alamda, GF( 3 ) ü yar kesri elde edilmelidir. Buu içi, E itlik (5) te tamlayc baty göstere poliom d daki x+ poliomuda yararlalabilir. GF( 3 ) ü yar kesri ya da 3- tasarm Çizelge 5 te gösterilmi tir. GF( ) Çizelge 5. GF( ) de elde edile ( )( ) 3 x = x+ x + x+ 3 III tasarm Elemalar (x+) poliomuyla çarpm 3 III tasarm deemeleri 0 0 (0) (x+) 0.x+= () (x+). (x+)=x+ 0 0 (x) (x+) x(x+)=x +x 0 (x+) (x+) (x+)(x+)= x + 0 Çizelge 5 te so sütudaki deemeler poliom derecesie göre sralarsa, Çizelge 4 ü so sütuudaki deeme srasa ula labilir. Çizelge 6 da, I=ABCDE=()=x 4 +x 3 +x +x+ tamlayc batl olu turulduu gösterilmektedir. 5 V tasarm asl Çizelge 6. GF( 4 ) te elde edile 5 V tasarm GF( 4 ) Elemalar (x+) poliomuyla çarpm 5 V tasarm deemeleri (0) 0. (x+)= (). (x+)= x (x) x. (x+)= x +x (x+) (x+).(x+)= x (x ) x.(x+)= x 3 + x (x +) (x +).(x+)= x 3 +x +x (x +x) (x +x).(x+)= x 3 +x (x +x+) (x +x+) (x+)= x (x 3 ) x 3.(x+)= x 4 +x (x 3 +) (x 3 +).(x+)= x 4 +x 3 +x (x 3 +x) (x 3 +x).(x+)= x 4 +x 3 +x +x 0 0 (x 3 +x+) (x 3 +x+).(x+)= x 4 +x 3 +x (x 3 +x ) (x 3 +x ).(x+)= x 4 +x (x 3 +x +) (x 3 +x +).(x+)= x 4 +x +x+ 0 0 (x 3 +x +x) (x 3 +x +x).(x+)= x 4 +x (x 3 +x +x+) (x 3 +x +x+).(x+)= x Souç 3 te x 4 +x 3 +x +x+ poliomu idirgeemezdir ve GF( 5 ) i elemadr. Teorem 3 te, m (x) = x 4 +x 3 +x +x+ x 5 -x dir. Burada,

9 N. Daacolu, F. Z. Muluk / statistikçiler Dergisi 3 (00) ( )( ) x = x+ x + x + x + x+ yazlabilir. Böylelikle, E itlik 8 de verile GF( 4 ) elemalar (x+) poliomuyla çarplmas soucu 5 V tasarm deemelerie ula lm tr (Bkz. Çiz. 6). 4. Souç ve öeriler Bilidii üzere, KÇE, özellikle -düzeyli tasarmlar ( k-p ), belli etkile imleri olmad-öemsiz olduuvarsaym yaplabildii durumlarda; sadece etkelerde bazlar öemli olduu dü üüle ö (screeig) çal malarda yararl olup, uygulamada yayg olarak kullalmaktadr. Bir k-p KÇE tasarm mümkü e yüksek çözüme sahip olmas isteir. Bu çal mada, k-p tasarmlarda p= olduu zama, e yüksek çözümlü yar kesirli tasarmlara GF kullalarak ula lm tr. Burada yer verilmeye dier yar kesirler de ay ekilde elde edilebilmektedir. MATLAB program GF foksiyolar kullaarak e küçük poliomlara, poliom köklerie veya GF elemalara ula mak mümküdür. Poliom çarpmlar el ile yaplmas zor olduuda MATLAB 4 programda yararlalabilir. Etke says çift olduuda, örei, IV tasarm olu turulmak isteirse, p asal olmadda Souç 3 salamamaktadr. Bu tasarm içi tamlayc bat I=ABCD= x 3 +x +x+ dir ve poliom GF( 3 ) te idirgeebilir bir poliomdur (Bkz. Tam 8). Bua rame, x 4 -= (+x) (x 3 +x +x+) olduuda, verile yötem kullalarak olu turulabilmektedir. Yar tekrarlar d daki KÇE tasarmlar içi poliomlar matrislerle gösterimi gerekecektir. Daacolu [], Hammig kodlarda yer ala, üreteç matrisi (geerator matrix) ve deklik-kotrol matrislerii (parity-cotrol matrix) kullaarak, KÇE tasarmlara ula m ve tasarmlar kod kar lklar bulmu tur. Xu [3], r=-k olmak üzere, GF() deki sfr olmaya (u, u r ) T r kümede olu a r ( r -) boyutlu G matris olduuda; düzeli (regular) her -k KÇE tasarm sütuuu GF() deki G i bütü satr kombiasyolarda olu a bir r ( r -) matrisi olarak dü üülebileceii belirtmi tir. Kayaklar [] F. Çallalp, (999), Say lar Teorisi, Ystabul. [] N. Daacolu, (005), Kesirli Çok Etkeli Deeylerde Çözüm ve E Az Sapma Kavram, H.Ü. Ystatistik Bölümü Doktora Tezi. [3] A. Dey, (985), Orthogoal Fractioal Factorial Desigs, New Delhi, Wiley Easter. [4] J. A. Gallia, (986), Cotemporary Abstract Algebra, D.C.Health ad Compay. [5] W. C. Huffma, V. Pless, (003), Fudematals of Error Correctig Codes, Cambridge Uiversity Pres. [6] A. Kaya, (988), Say lar Kuram a Giri(, Yzmir. [7] A. J. Meezes, S. A. Vastoe, P. C. Oorschot va, (997), Hadbook of Applied Cryptography, CRC Pres. [8] D. C. Motgomery, (984), Desig ad Aalysis of Experimets, Secod Editio, Joh Wiley&Sos, NY. [9] G. Pistoe, M. P. Rogarti, (007), Algebraic Statistics of Level Codigs for Fractioal Factorial Desigs, Joural of Statistical Pla. ad If.,38, [0] T. Shirakura, T. Suetsugu, T. Tsuji, (00), Costructios of Mai Effect Plus Two Plas for m Factorials, Joural of Statistical Pla. ad If., 05, [] S. A. Vastoe, P. C. Oorschot va, (989), A Itroductio to Error-Correctig Codes with Applicatio,s Kluwer Academic Publishers. [] D. Wiggert, 978, Error-Cotrol Codig ad Applicatios, Artech House. [3] H. Xu, (009), Algorithm costructio of efficiet fractioal factorial desigs with large sizes, Techometrics, 5,3,6-77.