T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
|
|
|
- Özlem Çatlı
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK
2 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK
3
4 Bu tez çalışması PAUBAP tarafından 2013 FBE043 nolu proje ile desteklenmiştir.
5
6 ÖZET LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: YARD. DOÇ. DR. ŞAHİN CERAN) DENİZLİ, OCAK Bu tezde latislerde tanımlanmış olan türevlerin tanımı verilip türevler hakkında detaylı bilgiler ele alınmıştır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde latislerde bazı türevlerin tanımları ve o türevle ilgili daha önceden yapılmış çalışmalar verilmiştir. Üçüncü bölümde ise; latislerde permuting n-türevler üzerinde detaylı olarak durulmuş olup üçüncü bölümün son kısmında ise yapılan çalışmadan elde ettiğimiz sonuçlar üzerinde durulmuştur. ANAHTAR KELİMELER: Latis, Türev, Modüler, Dağılmalı, İzoton i
7 ABSTRACT DERİVATİONS OF LATTİCES MSC THESIS UTKU PEHLİVAN PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATİCS (SUPERVISOR:ASSİST. PROF. DR. ŞAHİN CERAN) DENİZLİ, JANUARY 2015 In this thesis the definitions of derivations which are defined in lattices are given. About these derivations, detailed informations are also given. In the first chapter the definitions are some basic theorems are which will be used in the other chapters. In the second chapter the definitions, some properties and theorems of the derivations in lattices are given without proof. In the third chapter the definitions of permuting n- derivations are given. About these deivations detailed informations are given. Finally in the last part of the thesis some conclusions from these researchers are given that we have proved. KEYWORDS: Lattice, Derivation, Modular, Distributive, Isotone ii
8 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...i ABSTRACT...ii İÇİNDEKİLER..iii SEMBOL LİSTESİ...iv ÖNSÖZ...v 1.GİRİŞ Temel Tanım ve Teoremler ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Latislerde Türevler Latislerde Türev Latislerde f- Türev Latislerde Simetrik Bi- Türevler Latislerde Simetrik Bi- Türev Latislerde Simetrik Bi-f- Türev Latislerde Permuting Tri- Türevler Latislerde Permuting Tri- Türev Latislerde Permuting Tri-f- Türev Latislerde Permuting Tri-(f,g)- Türev LATİSLERDE PERMUTİNG n- TÜREVLER Latislerde Permuting n- Türev Latislerde Permuting n-f- Türev Latislerde Permuting n-(f,g)- Türev SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iii
9 SEMBOL LİSTESİ : Join, Veya : Meet, Ve D : Türev d : İz iv
10 ÖNSÖZ Bu tezi hazırlarken, değerli vakitlerini ve yardımlarını esirgemeyen, her safhasında bilgi ve tecrübelerine başvurduğum Sayın Hocam Yard. Doç. Dr. Şahin CERAN a, Sayın Hocam Doç. Dr. Mustafa AŞÇI ya ve tezi yazmamda bana maddi olanak sağlayan PAUBAP a teşekkür ederim. Ayrıca maddi ve manevi her türlü desteği veren babam Lütfü Pehlivan, annem Nevin Pehlivan, kardeşim Erinç Pehlivan ve dedem Salih Tunç a teşekkürü bir borç bilirim. v
11 1 G IR IŞ Latis cebiri teorisi; bilgi ekonomisi, bilgi edinimi, bilgi erişimi kontrolü ve kriptanaliz gibi çeşitli dallarda önemli bir rol oynar. Szazs latis türevi kavram n tan tt ve ilgili sonuçlar verdi Ayr ca latis türevinde çal şt. Xin ve arkadaşlar bir latis için türevi geliştirdiler ve ilgili sonuçlar tart şt lar. Bir türevin modüler ve da¼g lmal latisler için izoton oldu¼gu alt nda denk koşullar verdiler. Çeven latisler üzerinde simetrik bi- türevi, Öztürk ve Çeven f - türevi tan tt. Bu türevle modüler ve da¼g lmal latisleri karakterize etti. Ayr ca near halkalar nda simetrik bi-(; )- türevi tan tt ve ilgili özellikler verdi. Özbal ve F rat latislerin simetrik bi-f- türev kavram n tan tt lar. Bu türev ile modüler ve da¼g lmal latisleri karakterize ettiler. Yazarl ve Öztürk latislerde permuting tri-türevi tan tt lar. Bu türevi permuting tri-f- türeve geliştirdi. Aşç, Ceran ve Keçilio¼glu latislerde permuting tri-(f; g)- türevi, Aşç ve Ceran latislerde genelleştirilmiş (f; g)- türev kavramlar n tan tt. Bu türevler ile modüler ve da¼g lmal latisi karakterize etti. Bu tezde latislerin permuting tri- türev, tri-f- türev ve tri-(f; g)- türev kavram ndan permuting n- türev, n-f- türev ve n-(f; g)- türev kavram n tan tt k ve ilgili örnekler verdik. Bu türevlede modüler ve da¼g lmal latisi karakterize ettik. 1.1 Temal Tan m ve Teoremler Bu bölümde ikinci ve üçüncü bölümlerde kullan lan temel tan m ve teoremler verilmektedir. Tan m 1.1.1: Boştan farkl bir X kümesinde yans ma, ters simetri ve geçişme özellikleri olan bir ba¼g nt ya k smi s ralama ba¼g nt s veya s ralama ba¼g nt s denir. S ralama ba¼g nt s ile gösterilir. (X; ) ikilisi, X kümesinin ba¼g nt s yla s raland ¼g n gösterir. Bu durumda X kümesine k smi s ralanm ş küme veya poset denir. Buna göre 8 x; y; z 2 X için (1) x 2 X ) x x 1
12 (2) x y, y x ) x = y (3) x y, y z ) x z Örnek 1.1.1: R de adi s ralama ba¼g nt s = f(x; y) : x y, x 2 R, y 2 Rg şeklinde tan mlans n. 8 x; y; z 2 R için (1), (2) ve (3) özellikleri sa¼gland ¼g ndan k smi s ralama ba¼g nt s ve (R; ) bir posettir. Örnek 1.1.2: A herhangi bir küme ve P (A) da alt küme ba¼g n t s = f(x; Y ) : X Y, X 2 P (A), Y 2 P (A)g olarak tan mlans n. 8 X; Y; Z 2 P (A) için (1), (2) ve (3) özellikleri sa¼gland ¼g ndan k smi s ralama ba¼g nt s ve (P (A); ) bir posettir. Örnek 1.1.3: N de bölünebilme ba¼g nt s j = f(x; y) : xjy, x 2 N, y 2 Ng şeklinde tan mlans n. 8 x; y; z 2 N için (1), (2) ve (3) özellikleri sa¼gland ¼g ndan k smi s ralama ba¼g nt s ve (N; j) bir posettir. Tan m 1.1.2: L, ^ ve _ işemleri ile belirlenmiş boştan farkl bir küme olsun. E¼ger 8 x; y; z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan rsa bu durumda L ye latis denir. (L; ^; _) ile gösterilir. (1) x ^ x = x; x _ x = x (2) x ^ y = y ^ x; x _ y = y _ x (3) (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z) ; (x _ y) _ z = x _ (y _ z) (4) (x ^ y) _ x = x; (x _ y) ^ x = x Örnek 1.1.4: C, \ ve [ işlemleri ile tan ml kümelerin bir kolleksiyonu olsun. Bu takdirde 8 X; Y; Z 2 C için (C; \; [) bir latistir. (1) X \ X = X, X [ X = X (2) X \ Y = Y \ X, X [ Y = Y [ X (3) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) \ Z, X [ (Y [ Z) = (X [ Y ) [ Z (4) X \ (X [ Y ) = X, X [ (X \ Y ) = X Örnek 1.1.5: (N; ^; _), 8 a; b 2 N için a ^ b = (a; b) ve a _ b = [a; b] işlemleri alt nda latistir. 2
13 (1) a ^ a = (a; a), a _ a = [a; a] (2) a ^ b = (a; b) = (b; a) = b ^ a, a _ b = [a; b] = [b; a] = b _ a (3) (i) (a ^ b) ^ c = ((a; b) ; c) = (a; (b; c)) = a ^ (b ^ c) (ii) (a _ b) _ c = [[a; b] ; c] = [a; [b; c]] = a _ (b _ c) (4) a ^ (a _ b) = (a; [a; b]) = a, a _ (a ^ b) = [a; (a; b)] = a Tan m 1.1.3: (5) ve (6) özellikleri sa¼glan rsa L latisi da¼g lmal d r. (5) x ^ (y _ z) = (x ^ y) _ (x ^ z) (6) x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z) Tan m 1.1.4: Aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa L latisi modülerdir. E¼ger x z ise x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ z. Tan m 1.1.5: bir idealdir. L latisinin boştan farkl bir alt kümesi I, aşa¼g daki özelliklerle (i) x y, y 2 I ) x 2 I (ii) x; y 2 I ) x _ y 2 I Tan m 1.1.6: (L; ^; _) bir latis olsun. x y ile tan ml ikili ba¼g nt d r ancak ve ancak 8 x; y 2 L için x ^ y = x ve x _ y = y dir. Lemma 1.1.1: (L; ^; _) bir latis olsun. ikili ba¼g nt tan mlans n. Bu durumda (L; ) bir posettir ve 8 x; y 2 L için x ^ y, fx; yg nin ebob u ve x _ y, fx; yg nin ekok udur: Tan m 1.1.7: L bir latis olsun.8 x; y 2 L için D(x; y) = D(y; x) sa¼glan rsa D : L L! L dönüşümüne simetrik dönüşüm denir. Tan m 1.1.8: L bir latis olsun. n 3 için (1); (2); :::; (n) birer permutasyonlar olmak üzere 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D x (1) ; x (2) ; :::; x (n) sa¼glan rsa D : L L ::: L! L dönüşümüne permuting dönüşüm denir. Tan m 1.1.9: D permuting dönüşüm oldu¼gunda d(x) = D (x; x; ::; x) ile tan ml d : L! L dönüşümüne D nin izi denir. 3
14 Tan m : (L; ^; _) ve (M; ^; _ ) iki latis olsun. 8 x; y 2 L için f(x ^ y) = f(x) ^ f(y) f(x _ y) = f(x) _ f(y) sa¼glan rsa f : L! M fonksiyonu latis homomor zmidir. 4
15 2 ÖNCEK I ÇALIŞMALAR Bu bölümde çal şt ¼g m z konuyla ilgili, daha önceden yay nlanm ş makalelerin özetleri, yazar ad ve yay nland ¼g y l belirtilerek uygun bir s ra içinde ispats z olarak verilmektedir. 2.1 Latislerde Türevler (Xin ve di¼g. 2008) latislerde türev üzerinde ve (Ceven ve Ozturk 2008) latislerde f-türev üzerinde çal şm şt r Latislerde Türev Tan m : L bir latis ve D : L! L bir dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin türevi denir. D(x ^ y) = (D(x) ^ y) _ (x ^ D(y)) Önerme : L bir latis ve D : L! L bir türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x) x (ii) D(x) ^ D(y) D(x ^ y) D(x) _ D(y) (iii) L nin en küçük eleman 0 ise D(0) = 0 (iv) D 2 (x) = D(x) Önerme : L bir latis ve D : L! L bir türev olsun. y x ve D(x) = x ise D(y) = y dir. Tan m : L bir latis ve D : L! L bir türev olsun. (i) x y iken D(x) D(y) ise D ye izoton türev denir. (ii) D 1-1 ise D ye monomorf türev denir. (iii) D örten ise D ye epik türev denir. 5
16 Teorem : L bir da¼g lmal latis ve D : L! L bir türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler denktir: (i) D izotondur. (ii) D(x ^ y) = D(x) ^ D(y) (iii) D(x _ y) = D(x) _ D(y) Latislerde f- Türev Tan m : L bir latis, D : L! L bir dönüşüm ve f : L! L fonksiyon olsun. E¼ger 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin f-türevi denir. D(x ^ y) = (D(x) ^ f(y)) _ (f(x) ^ D(y)) Önerme : L bir latis ve D : L! L bir f-türev olsun. Böylece 8x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x) f(x) (ii) D(x ^ y) f(x) _ f(y) (iii) L nin en küçük eleman 0 ve f(0) = 0 ise D(0) = 0 Önerme : L en büyük eleman 1 olan bir latis, D : L! L bir f-türev ve f(1) = 1 olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) x D(1) ise D(x) = f(x) (ii) x D(1) ise D(x) D(1) Teorem : L bir modüler latis ve D : L! L bir f-türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D izoton f-türev, D(x ^ y) = D(x) ^ D(y) (ii) D izoton f-türev ve f(x _ y) = f(x) _ f(y) oldu¼gunda D(x) = f(x) ise D(x _ y) = D(x) _ D(y) 6
17 2.2 Latislerde Simetrik Bi- Türevler (Ceven 2009) latislerde simetrik bi- türev üzerinde ve (Ozbal ve F rat 2010) latislerde simetrik bi-f - türev üzerinde çal şm şt r Latislerde Simetrik Bi- Türev Tan m : L bir latis ve D : L L! L bir simetrik dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin simetrik bi- türevi denir. D(x ^ z; y) = (D(x; y) ^ z) _ (x ^ D(z; y)) Ayr ca D simetrik bi-türevi aşa¼g daki özelli¼gi de sa¼glar. D(x; y ^ z) = (D(x; y) ^ z) _ (y ^ D(x; z)) Önerme : L bir latis ve D : L L! L simetrik bi- türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y) x ve D(x; y) y (ii) D(x; y) x ^ y (iii) d(x) x (iv) d 2 (x) = d(x) Tan m : L bir latis ve D : L L! L simetrik dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye joinitiv dönüşüm denir. D(x _ y; z) = D(x; z) _ D(y; z) Önerme : L bir latis ve d, D : LL! L joinitiv simetrik bi-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sla¼glan r: d(x _ y) = d(x) _ d(y) _ D(x; y) Teorem : L bir latis ve d, D : L L! L simetrik bi-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (y ^ d(x)) _ (x ^ d(y)) _ D(x; y) 7
18 2.2.2 Latislerde Simetirk Bi-f- Türev Tan m : L bir latis, D : L L! L bir dönüşüm ve f : L! L bir fonksiyon olsun. E¼ger 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin simetrik bi-f- türevi denir. D(x ^ z; y) = (D(x; y) ^ f(z)) _ (f(x) ^ D(z; y)) Ayr ca D simetrik bi-f- türevi aşa¼g daki özelli¼gi de sa¼glar. D(x; y ^ z) = (D(x; y) ^ f(z)) _ (f(y) ^ D(x; z)) Önerme : L bir latis ve D : L L! L simetrik bi-f- türev olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y) f(x) ve D(x; y) f(y) (ii) D(x; y) f(x) ^ f(y) (iii) d(x) f(x) Teorem : L bir latis ve d, D : L L! L simetrik bi-f- türevinin izi ve f(x ^ y) = f(x) ^ f(y) olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (f(y) ^ d(x)) _ (f(x) ^ d(y)) _ D(x; y) Önerme : L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D : L L! L simetrik bi- f-türev ve f(1) = 1 olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) f(x) d(1) ise d(x) = f(x) (ii) f(x) d(1) ise d(x) d(1) (iii) x y ve f artan fonksiyon iken d(y) = f(y) ise d(x) = f(x) 2.3 Latislerde Permuting Tri- Türevler (Ozturk ve di¼g. 2009) latislerde permuting tri-türev üzerinde, (Khan ve Chaudhry 2011) latislerde permuting tri-f-türev üzerinde ve (Asc ve di¼g. 2011) latislerde permuting tri-(f; g)-türev üzerinde çal şm şt r. 8
19 2.3.1 Latislerde Permuting Tri- Türev Tan m : L bir latis ve D : L L L! L bir dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting tri-türevi denir. D(x ^ w; y; z) = (D(x; y; z) ^ w) _ (x ^ D(w; y; z)) Ayr ca D permuting tri-türevi aşa¼g dakileri de sa¼glar. D(x; y ^ w; z) = (D(x; y; z) ^ w) _ (y ^ D(x; w; z)) D(x; y; z ^ w) = (D(x; y; z) ^ w) _ (z ^ D(x; y; w)) Önerme : L bir latis ve D : L L L! L permuting tri-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y; z) x, D(x; y; z) y ve D(x; y; z) z (ii) D(x; y; z) x ^ y ^ z (iii) d(x) x (iv) d 2 (x) = d(x) Tan m : L bir latis ve D : L L L! L permuting dönüşüm olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye joinitiv dönüşüm denir. D(x _ w; y; z) = D(x; y; z) _ D(w; y; z) Önerme : L bir latis ve d, D : L L L! L joinitiv permuting tri-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x _ y) = d(x) _ d(y) _ D(x; x; y) _ D(x; y; y) Teorem : L bir latis ve d, D : L L L! L permuting tri-türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (y ^ d(x)) _ (x ^ d(y)) _ D(x; x; y) _ D(x; y; y) 9
20 2.3.2 Latislerde Permuting Tri-f- Türev Tan m : L bir latis, D : L L L! L bir permuting dönüşüm ve f : L! L bir fonksiyon olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting tri- f-türevi denir. D(x ^ w; y; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (f(x) ^ D(w; y; z)) Ayr ca D permuting tri- f-türevi aşa¼g dakileri de sa¼glar. D(x; y ^ w; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (f(y) ^ D(x; w; z)) D(x; y; z ^ w) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (f(z) ^ D(x; y; w)) Önerme : L bir latis ve D : L L L! L permuting tri- f-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikleri sa¼glan r: (i) D(x; y; z) f(x), D(x; y; z) f(y) ve D(x; y; z) f(z) (ii) D(x; y; z) f(x) ^ f(y) ^ f(z) (iii) d(x) f(x) Teorem : L bir latis ve d, D : L L L! L permuting tri- f- türevinin izi olsun. Böylece 8 x,y 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x ^ y) = (f(y) ^ d(x)) _ (f(x) ^ d(y)) _ D(x; x; y) _ D(x; y; y) Latislerde Permuting Tri-(f; g)- Türev Tan m : L bir latis, D : L L L! L bir permuting dönüşüm ayr ca f : L! L ve g : L! L fonksiyonlar olsun. E¼ger 8 x,y,z,w 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting tri-(f; g)-türevi denir. D(x ^ w; y; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (g(x) ^ D(w; y; z)) Ayr ca D permuting tri-(f; g)-türevi aşa¼g dakileri de sa¼glar. D(x; y ^ w; z) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (g(y) ^ D(x; w; z)) D(x; y; z ^ w) = (D(x; y; z) ^ f(w)) _ (g(z) ^ D(x; y; w)) 10
21 Önerme : L bir latis ve D : LLL! L permuting tri-(f; g)-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) D(x; y; z) f(x)_g(x), D(x; y; z) f(y)_g(y) ve D(x; y; z) f(z)_g(z) (ii) D(x; y; z) (f(x) _ g(x)) ^ (f(y) _ g(y)) ^ (f(z) _ g(z)) (iii) d(x) f(x) _ g(x) Önerme : L bir latis ve D : LLL! L permuting tri-(f; g)-türev olsun. Böylece 8 x,y,z 2 L için aşa¼g daki özellikler sa¼glan r: (i) f(x) D(1; y; z) ve g(x) D(1; y; z) ise D(x; y; z) = f(x) _ g(x) (ii) f(x) D(1; y; z) ve g(x) D(1; y; z) ise D(x; y; z) D(1; y; z) 11
22 3 LAT ISLERDE PERMUT ING n- TÜREVLER Bu bölümde latislerde permuting n- türevlerin tan m yap larak baz önemli özellikler ispatl olarak verilmektedir. Bu bölümün son k sm nda önceki çal şmalar n ş ¼g nda elde etti¼gimiz sonuçlar verilmektedir. 3.1 Latislerde Permuting n- Türev Tan m 3.1.1: L bir latis ve D : L L ::: L! L, n tane L nin kartezyen çarp m ndan L ye bir permuting dönüşüm olsun. E¼ger 8 x 1 ; x j 1; x 2 ; :::; x n ; x j n 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D ye L nin permuting n-türevi denir. D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) Aç kça bir permuting n-türev aşa¼g daki özelli¼gi de sa¼glar. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ^ x j n) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j n) _ (x n ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x j n)) Şimdi permuting n- türev için birkaç özellik ve örnekler verelim. Örnek 3.1.1: L bir latis olsun ve L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n şeklinde verilsin. Böylece D permuting n- türevdir. Çözüm: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = ((x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ (x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n )) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) oldu¼gundan D permuting n- türevdir. Örnek 3.1.2: L bir latis ve a 2 L olsun. L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a şeklinde verilsin. Böylece D permuting n- türevdir. Çözüm: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (((x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a) ^ x j 1) _(x 1 ^ ((x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) ^ a)) 12
23 böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) oldu¼gundan D permuting n- türevdir. Örnek 3.1.3: L bir latis olsun ve L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x 2 _ ::: _ x n şeklinde verilsin. Böylece D permuting n- türev de¼gildir. Çözüm: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x 2 _ ::: _ x n oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x j 1) _ x 2 _ ::: _ x n Ayr ca (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) = ((x 1 _ x 2 _ ::: _ x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ (x j 1 _ x 2 _ ::: _ x n )) Böylece D(x 1 ^ x j 1x 2 ; :::; x n ) 6= (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) oldu¼gundan D permuting n- türev de¼gildir. Önerme 3.1.1: L bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Bu durumda8 x; x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1,..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x n (ii) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) (iii) d(x) x (iv) d 2 (x) = d(x) Ispat: (i) x 1 = x 1 ^ x 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) _ (x 1 ^ D(x 1 ; x 2 ; ::; x n )) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 13
24 Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 elde edilir. Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 2,..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x n oldu¼gu da görülür. (ii) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1,..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x n oldu¼gundan ^ işlemi uygulan rsa böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ ::: ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n elde edilir. (iii) x = x ^ x oldu¼gundan d(x) = D(x; x; :::; x) = D(x ^ x; x; :::; x) = (D(x; x; :::; x) ^ x) _ (x ^ D(x; x; :::; x)) = (d(x) ^ x) elde edilir. Böylece d(x) x olur. (iv) d 2 (x) = d (d(x)) d(x) x oldu¼gundan olur ve böylece d(x) = d (x ^ d(x)) = D(x ^ d(x); :::; x ^ d(x)) d(x) = (D(x; x ^ d(x); :::; x ^ d(x)) ^ d(x)) elde edilir. Bu şekilde devam edersek _ (x ^ D(d(x); x ^ d(x); :::; x ^ d(x))) d 2 (x) = d(x) _ (x ^ D(x; d(x); :::; d(x)) ^ d(x)) _::: _ (x ^ D(d(x); x; :::; x) ^ d(x)) _ x ^ d 2 (x) olur ve Önerme (i) den olur. d 2 (x) = d(x) _ D(x; d(x); :::; d(x)) _ ::: _ D(d(x); x; :::; x) _ d 2 (x) d 2 (x) = d(x) Sonuç 3.1.1: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Ayr ca L nin en büyük eleman 1 ve en küçük eleman 0 olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: 14
25 (i) D(0; x 2 ; :::; x n ) = 0 (ii) D(1; x 2 ; x 3 ; ::x i ; :::; x n ) x i (i = 2; 3; :::; n) Ispat: (i) Önerme (i) den D(0; x 2 ; :::; x n ) 0 ve 0 en küçük eleman oldu¼gundan D(0; x 2 ; :::; x n ) 0 D(0; x 2 ; :::; x n ) D(0; x 2 ; :::; x n ) = 0 elde edilir. (ii) Önerme (ii) den D(1; x 2 ; :::; x i ; :::; x n ) 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n ve 1 en büyük eleman oldu¼gundan D(1; x 2 ; :::; x i ; :::; x n ) 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n olur. 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n = x 2 ^ ::: ^ x i ^ ::: ^ x n x i oldu¼gundan böylece D(1; x 2 ; :::; x i ; :::; x n ) x i elde edilir. Önerme 3.1.2: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (ii) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 Ispat: (i) Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1 15
26 elde edilir. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (x 1^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ))_(D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1) Böylece (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Ayr ca D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olup (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1)_(x 1^D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) D(x j 1; x 2 ; :::; x n )_D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. (ii) Tan mdan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) olur. (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 elde edilir. Önerme 3.1.3: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. E¼ger D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x j 1) ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) olup latis tan m ndan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) ^ (x j 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) 16
27 böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Teorem 3.1.1: L bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Bu takdirde8 x 1 ; x j 1 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan r: d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) Ispat: Iz tan m ndan d(x 1 ^ x j 1) = D(x 1 ^ x j 1; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1) Türev tan m ndan d(x 1 ^ x j 1) = (D(x 1 ; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1)) Bu şekilde devam edersek d(x 1 ^ x j 1) = (d(x 1 ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) ^ x j 1) _::: _ (x j 1 ^ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) ^ x 1 ) _ (d(x j 1) ^ x 1 ) Önerme (i) den D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x 1 ve D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x j 1 böylece ^ işlemi uygulan rsa D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x 1^x j 1 benzer durum D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) için de görülür. Böylece d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) Sonuç 3.1.2: L bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Böylelikle 8 x 1 ; x j 1 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) (ii) d(x j 1) ^ x 1 d(x 1 ^ x j 1) ve d(x 1 ) ^ x j 1 d(x 1 ^ x j 1) (iii) d(x 1 ) ^ d(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) Ispat: (i) Teorem den d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) 17
28 oldu¼gundan D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) (ii) Teorem den d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) oldu¼gundan d(x j 1)^x 1 (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) olup böylece d(x j 1) ^ x 1 d(x 1 ^ x j 1) Benzer şekilde d(x 1 ) ^ x j 1 d(x 1 ^ x j 1) oldu¼gu da görülür. (iii) Sonuç (ii) den d(x j 1) ^ x 1 d(x 1 ^ x j 1) ve d(x 1 ) ^ x j 1 d(x 1 ^ x j 1) oldu¼gundan ^ işlemi uygulan rsa (d(x j 1) ^ x 1 ) ^ (d(x 1 ) ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ x j 1) ^ (d(x 1 ) ^ x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) d(x 1 ) ^ d(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) Dikkat edersek (i) ve (ii) özelliklerinde L nin en büyük eleman 1 olmak üzere x j 1 yerine x j 1 = 1 ald ¼g m zda D(1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ :::: _ D(x 1 ; 1; 1; :::; 1) d(x 1 ^ 1) = d(x 1 ) (d(1) ^ x 1 ) d(x 1 ^ 1) = d(x 1 ) eşitsizliklerini elde ederiz. Sonuç 3.1.3: L en büyük eleman 1 ve en küçük eleman 0 olan bir latis ve L üzerindeki D permuting n-türevinin izi d olsun. Bu durumda aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) x d(1) ise d(x) d(1) (ii) x d(1) ise d(x) = x (iii) x 1 x j 1 ve d(x j 1) = x j 1 ise d(x 1 ) = x 1 Ispat: 18
29 (i) x d(1) ise d(1) = x ^ d(1) olur. Ayr ca sonuç (ii) den d(1) = x ^ d(1) d(x ^ 1) = d(x) d(x) d(1) (ii) x d(1) ise x = x ^ d(1) olur. Ayr ca sonuç (ii) ve Önerme (iii) den x = x ^ d(1) d(x ^ 1) = d(x) x d(x) = x (iii) x 1 x j 1 ve d(x j 1) = x j 1 ise x 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) elde edilir. Teorem den d(x 1^x j 1) = (d(x j 1)^x 1 )_D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1)_:::_D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 )_(d(x 1 )^x j 1) elde edilir. Önerme (iii) den d(x 1 ) x 1 x j 1 = d(x j 1) olur. Böylece d(x 1 ^ x j 1) = x 1 _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ d(x 1 ) sa¼glan r. Ayr ca Önerme (i) den D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) x 1 olur. Benzer durum D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) için de geçerlidir. Böylece _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) x 1 olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) = x 1 elde edilir. Sonuç 3.1.4: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 (ii) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: (i) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 olur. Ayr ca 1 en büyük eleman oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ 1 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ 1) _ (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) 19
30 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ x 1 = x 1 (ii) 1, L nin en büyük eleman oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ 1 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Türev tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ 1) _ (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) x 1 D(1; x 2 ; :::; x n ) ise x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) = D(1; x 2 :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ 1) _ D(1; x 2 :::; x n ) elde edilir. 1, Lnin en büyük eleman oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(1; x 2 :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 :::; x n ) elde edilir. Önerme 3.1.4: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. x j 1 x 1 ve D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ise D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 Ispat: x j 1 x 1 ise x j 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Türev tan m ndan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (x 1 ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olup Önerme (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 x 1 = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 elde edilir. Tan m 3.1.2: L bir latis ve L üzeinde D : L L ::: L! L, n tane L nin kartezyen çarp m ndan L ye bir permuting dönüşüm olsun. E¼ger 8 x 1 ; x j 1; x 2 ; :::; x n ; x j n 2 L için aşa¼g daki özellik sa¼glan rsa D joinitivdir D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) 20
31 Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n _ x j n) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 ; x 2 ; :::; x j n) dönüşümünün de joinitiv oldu¼gu görülür. Teorem 3.1.2: L bir latis olsun. L üzerindeki her permuting n- türev joinitiv ise L da¼g lmal latistir. Ispat: Örnek deki D permuting n- türevini göz önüne ald ¼g m zda x 1 yerine x 1 _ x j 1 al n rsa D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 _ x j 1) ^ x 2 ^ ::: ^ x n elde edilir. D joinitiv oldu¼gundan D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) _ (x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) olur. Bu durumda (x 1 _ x j 1) ^ x 2 ^ ::: ^ x n = (x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) _ (x j 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) Böylece L da¼g lmal d r. Sonuç 3.1.5: L bir latis olsun. L üzerindeki her permuting n- türev joinitiv ise L modüler latistir. Ispat: Teorem den L da¼g lmal d r. Ayr ca her da¼g lmal latis modüler oldu¼gundan L modülerdir. Tan m 3.1.3: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. (i) x 1 x j 1 iken D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) oluyorsa D ye izoton permuting n- türev denir. (ii) D bire bir ise D ye monomor k permuting n- türev denir. (iii) D örten ise D ye epik permuting n- türev denir. Önerme 3.1.5: L bir latis ve D, L üzerinde izoton permuting n-türev olsun. E¼ger D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 oldu¼gunda aşa¼g daki sa¼glan r: D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x j 1 21
32 Ispat: D izoton olsun. Böylece x 1 x 1 _ x j 1 ve x j 1 x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. _ işlemi uygulan rsa ayr ca Önerme (i) den biliyoruz ki D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 dir. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x j 1 D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x 1 _ x j 1 D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ x j 1 elde edilir. Önerme 3.1.6: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D dönüşümü için D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) (ii) D izoton dönüşüm ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) (iii) D izoton dönüşümdür ancak ve ancak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: (i) x 1 x j 1 _ x 1 oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ) olur. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ); x 2 ; :::; x n ) Türev tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ (x j 1 _ x 1 )) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) Bir D dönüşümü için D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 x j 1 _ x 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) 22
33 elde edilir. (ii) x 1 x j 1 _ x 1 oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ) olur. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ (x j 1 _ x 1 ); x 2 ; :::; x n ) Türev tan m mdan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ (x j 1 _ x 1 )) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) D izoton dönüşüm olsun. Bu durumda x 1 x 1 _ x j 1 ve Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 _ x 1 olur. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) elde edilir. (iii) D izoton dönüşüm olsun. x 1 x 1 _ x j 1 ve x j 1 x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Tersine olarak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olsun. Ayr ca x 1 x j 1 olsun. Böylece x j 1 = x j 1 _ x 1 olur. Böylece D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. O halde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olup bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Böylece D izoton dönüşümdür. 23
34 Önerme 3.1.7: L bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Bu takdirde aşa¼g daki sa¼glan r: D izoton dönüşümdür ancak ve ancak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: D izoton dönüşüm olsun. x 1 ^ x j 1 x 1 ve x 1 ^ x j 1 x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ işlemi uygulan rsa D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ayr ca Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) x j 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x 1 )^(D(x j 1; x 2 ; :::; x n )^x j 1) latis tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1)^(D(x j 1; x 2 ; :::; x n )^x 1 ) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )^x j 1)_(D(x j 1; x 2 ; :::; x n )^x 1 ) elde edilir. Böylece (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ x j 1) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 ) = D(x j 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. O halde D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Tersine olarak D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) 24
35 olsun. Ayr ca x 1 x j 1 olsun. O halde x j 1 ^ x 1 = x 1 dir. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) O halde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece D izoton dönüşümdür. Önerme 3.1.8: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. Bu durumda aşa¼g daki sa¼glan r: D, L üzerinde izoton permuting n-türev ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: D, L üzerinde izoton permuting n-türev olsun. Önerme (i) den ve 1 en büyük eleman oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ), D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) x 1 ^ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 olur. Ayr ca Önerme (ii) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (x 1 ^ D(x 1 _ 1; x 2 ; :::; x n )) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (x 1 ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) Böylece D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(1; x 2 ; :::; x n ) ^ x 1 elde edilir. Önerme 3.1.9: L bir latis ve L üzerindeki D joinitiv permuting n-türevinin izi d olsun. Bu durumda 8x 1 ; x j 1 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) d(x 1 _ x j 1) = d(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x 1 ; x 1 ; ; :::; x 1 ; x j 1) _ d(x j 1) (ii) d(x 1 ) _ d(x j 1) d(x 1 _ x j 1) Ispat: 25
36 (i) D joinitiv olsun. Böylece d(x 1 _ x j 1) = D(x 1 _ x j 1; x 1 _ x j 1; :::; x 1 _ x j 1) = D(x 1 ; x 1 _ x j 1; :::; x 1 _ x j 1) _ D(x j 1; x 1 _ x j 1; :::; x 1 _ x j 1) Bu şekilde devam edersek d(x 1 _ x j 1) = D(x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ D(x j 1; x j 1; x j 1; :::; x j 1) olur. Böylece d(x 1 _ x j 1) = d(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x 1 ; x 1 ; ; :::; x 1 ; x j 1) _ d(x j 1) (ii) Önerme (i) den d(x 1 ) _ d(x j 1) d(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x 1 ; x 1 ; ; :::; x 1 ; x j 1) _ d(x j 1) olur. Böylece d(x 1 ) _ d(x j 1) d(x 1 _ x j 1) Önerme : L bir modüler latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. D izoton ve D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ise D joinitivdir. Ispat: D izoton dönüşüm olsun. Önerme (ii) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) D izoton ve x j 1 x 1 _ x j 1 oldu¼gundan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Ayr ca L modüler oldu¼gundan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ x j 1) ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece Önerme (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x 1 _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) 26
37 L modüler oldu¼gundan ve Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 _ x j 1) ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Böylece D joinitivdir. Önerme : L bir da¼g lmal latis ve D, L üzerinde permuting n-türev olsun. D izotondur ancak ve ancak D joinitivdir. Ispat: D izoton dönüşüm olsun. Önerme (ii) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) olur. L da¼g lmal oldu¼gundan D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ x j 1) ^ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) olur. D izoton, x j 1 x 1 _ x j 1 ve Önerme (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = x 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (x j 1 ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n )) L da¼g lmal oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 _ x j 1) ^ D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece D joinitivdir. 27
38 Tersine olarak D joinitiv olsun. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Ayr ca x 1 x j 1 olsun. Böylece x 1 _ x j 1 = x j 1 dir. Bu durumda D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. O halde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Böylece D izoton dönüşümdür. 3.2 Latislerde Permuting n-f- Türev Tan m 3.2.1: L bir latis ve D : L L ::: L! L, n tane L nin kartezyen çarp m ndan L ye bir permuting dönüşüm olsun. 8 x 1 ; x j 1; x 2 ; :::; x n ; x j n 2 L için D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olacak şekilde f : L! L fonksiyonu varsa D ye permuting n-f-türev denir. Aç kça L üzerindeki bir D permuting n-f-türev aşa¼g daki ba¼g nt y da sa¼glar. D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ^ x j n) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j n)) _ (f(x n ) ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x j n)) Şimdi L üzerindeki permuting n- f-türev için birkaç özellik ve örnekler verelim. Örnek 3.2.1: L bir latis ve L üzerinde8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) şeklinde verildi¼ginde f : L! L fonksiyonu için f(x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) sa¼glan rsa D, L üzerinde bir permuting n-f-türevdir Çözüm: D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ^ x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ (f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ))) _ (f(x j 1) ^ (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ))) 28
39 olur. Bu durumda D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) Böylece D permuting n-f-türevdir. Örnek 3.2.2: L bir latis ve a 2 L olsun. L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) ^ a şeklinde verildi¼ginde f : L! L fonksiyonu için f(x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) oldu¼gunda D, L üzerinde bir permuting n-f-türevdir. Çözüm: Örnek dekine benzer şekilde çözülür. Örnek 3.2.3: L bir latis ve L üzerinde 8 x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için D dönüşümü D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) _ f(x 2 ) _ ::: _ f(x n ) şeklinde verildi¼ginde f : L! L fonksiyonu için f(x 1 ^ x 2 ^ ::: ^ x n ) = f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) sa¼gland ¼g nda D, L üzerinde bir permuting n-f-türev de¼gildir. Çözüm: Örnek dekine benzer şekilde çözülür. Önerme 3.2.1: L bir latis ve L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi d olsun. Bu durumda 8 x; x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 L için aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ),...,D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x n ) (ii) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (f(x 1 ) ^ ::: ^ f(x n )) (iii) d(x) f(x) Ispat: (i) x 1 = x 1 ^ x 1 oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x 1 ; x 2 ; :::; x n ) türev tan m ndan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x 1 )) _ (f(x 1 ) ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )) olur. Bu durumda D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n )) Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ). Benzer şekilde D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 2 ),..., D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x n ) oldu¼gu da görülür. 29
40 (ii) Önerme (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (iii) Önerme (iii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Sonuç 3.2.1: D, en büyük eleman 1 ve en küçük eleman 0 olan bir L latisi üzerinde permuting n-f-türev olsun. Ayr ca f(0) = 0 ve f(1) = 1 olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r : (i) D(0; x 2 ; :::; x n ) = 0 (ii) D(1; x 2 ; x 3 ; ::x i ; :::; x n ) f(x i ) (i = 2; 3; :::; n) Ispat: (i) 0 = 0 ^ 0 oldu¼gundan D(0; x 2 ; :::; x n ) = D(0 ^ 0; x 2 ; :::; x n ) türev tan m ndan D(0; x 2 ; :::; x n ) = (D(0; x 2 ; :::; x n ) ^ f(0)) _ (f(0) ^ D(0; x 2 ; :::; x n )) f(0) = 0 oldu¼gundan ve 0 en küçük eleman oldu¼gundan D(0; x 2 ; :::; x n ) = (D(0; x 2 ; :::; x n ) ^ 0) _ (0 ^ D(0; x 2 ; :::; x n )) = 0 _ 0 = 0 elde edilir. (ii) Sonuç (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Önerme L bir latis ve D, L üzerinde bir permuting n-f-türev olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (ii) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) _ f(x j 1) Ispat: (i) Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) ve D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1) 30
41 olur. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) Türev tan m ndan (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) _ (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) olup böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Ayr ca türev tan m ndan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) olup bu durumda D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) _ D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. (ii) Önerme (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Önerme 3.2.3: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-f-türev, D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) ve f(x 1 ) ^ f(x j 1) = f(x 1 ^ x j 1) olsun. Bu takdirde aşa¼g daki sa¼glan r: D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) ise Ispat: D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 )^D(1; x 2 ; :::; x n ) ve f(x 1 )^f(x j 1) = f(x 1^x j 1) D(x 1^x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1^x j 1)^D(1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 )^f(x j 1)^D(1; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) ^ (f(x j 1) ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) olup bu durumda D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. 31
42 Teorem 3.2.1: L bir latis ve L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi d olsun. 8 x 1 ; x j 1 2 L için f(x 1 ^ x j 1) = f(x 1 ) ^ f(x j 1) oluyorsa bu durumda aşa¼g daki sa¼glan r: d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) Ispat: Iz tan m ndan d(x 1 ^ x j 1) = D(x 1 ^ x j 1; x 1 ^ x j 1; :::; x 1 ^ x j 1) türev tan m ndan d(x 1 ^x j 1) = (D(x 1 ; x 1 ^x j 1; :::; x 1 ^x j 1)^f(x j 1))_(f(x 1 )^D(x j 1; x 1 ^x j 1; :::; x 1 ^x j 1)) Bu şekilde devam edersek d(x 1 ^ x j 1) = (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) ^ f(x j 1)) _ ::: ::: _ (f(x j 1) ^ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) ^ f(x 1 )) _ (d(x j 1) ^ f(x 1 )) Önerme (i) den D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x j 1) ve D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 ) oldu¼gundan ^ işlemi uygulan rsa D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 )^f(x j 1) olur. Böylece d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) elde edilir. Sonuç 3.2.2: L bir latis ve L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi d olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ :::_ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) (ii) d(x j 1) ^ f(x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) ve d(x 1 ) ^ f(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) (iii) d(x 1 ) ^ d(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) Ispat: (i) Sonuç (i) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (ii) Teorem den d(x j 1) ^ f(x 1 ) (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) 32
43 olup d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) oldu¼gundan d(x j 1) ^ f(x 1 ) d(x 1 ^ x j 1) elde edilir. Benzer şekilde d(x 1 ) ^ f(x j 1) d(x 1 ^ x j 1) oldu¼gu da görülür. (iii) Sonuç (iii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Sonuç 3.2.3: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve d, L üzerindeki bir D permuting n-f-türevinin izi olsun. Böylece aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) f(x) d(1) ise d(x) d(1) (ii) f(x) d(1) ise d(x) = f(x) (iii) x 1 x j 1 ve f bir artan fonksiyon iken d(x j 1) = f(x j 1) ise d(x 1 ) = f(x 1 ) Ispat: (i) Sonuç (i) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (ii) Sonuç (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. (iii) x 1 x j 1 ise x 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) olup Teorem den d(x 1 ^ x j 1) = (d(x j 1) ^ f(x 1 )) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ (d(x 1 ) ^ f(x j 1)) Ayr ca d(x 1 ) f(x 1 ) f(x j 1) = d(x j 1) oldu¼gundan d(x 1 ^ x j 1) = f(x 1 ) _ D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) _ d(x 1 ) Önerme den D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) f(x 1 ) ve D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 ) olur. _ işlemi uygulan rsa D(x 1 ; x j 1; x j 1; :::; x j 1) _ ::: _ D(x j 1; x 1 ; x 1 ; :::; x 1 ) f(x 1 ) olur. Böylece d(x 1 ) = d(x 1 ^ x j 1) = f(x 1 ) elde edilir. 33
44 Sonuç 3.2.4: L en büyük eleman 1 olan bir latis ve D, L üzerinde permuting n-f-türev ayr ca f(1) = 1 olsun. Bu takdirde aşa¼g dakiler sa¼glan r: (i) f(x 1 ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) (ii) f(x 1 ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ise D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) D(1; x 2 ; :::; x n ) Ispat: (i) f(x 1 ) D(1; x 2 ; :::; x n ) ise f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) olur. Ayr ca 1 en büyük eleman oldu¼gundan x 1 = x 1 ^ 1 dir. Böylece D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Türev tan m ndan D(x 1 ^ 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(1)) _ (f(x 1 ) ^ D(1; x 2 ; :::; x n )) olup f(1) = 1 oldu¼gundan ve 1 en büyük eleman oldu¼gundan D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ f(x 1 ) Bu durumda f(x 1 ) D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) olur. Önerme (i) den D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) f(x 1 ) böylece f(x 1 ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. (ii) Sonuç (ii) nin ispat na benzer şekilde ispatlan r. Önerme 3.2.4: L bir latis, f bir artan fonksiyon olmak üzere D, L üzerinde bir permuting n-f-türev olsun. E¼ger x j 1 x 1 ve D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 ) ise D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x j 1) Ispat: x j 1 x 1 ise x j 1 = x 1 ^ x j 1 olur. Böylece D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) türev tan m ndan D(x 1 ^ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ^ f(x j 1)) _ (f(x 1 ) ^ D(x j 1; x 2 ; :::; x n )) 34
45 f artan fonksiyon oldu¼gundan ve Önerme (ii) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) f(x 1 ) olur. Böylece Bu durumda D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x j 1) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) Ayr ca Önerme (i) den D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) f(x j 1) Böylece f(x j 1) = D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) elde edilir. Teorem 3.2.2: L bir latis olsun. f(x 1 _ x j 1) = f(x 1 ) _ f(x j 1) oldu¼gunda L üzerindeki her permuting n-f-türev joinitiv ise L da¼g lmal latistir. Ispat: Örnek den biliyoruz ki D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 )^f(x 2 )^:::^f(x n ) bir permuting n-f- türevdir. x 1 yerine x 1 _ x j 1 ald ¼g m zda D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = f(x 1 _ x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) = (f(x 1 ) _ f(x j 1)) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) D joinitiv oldu¼gundan D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = D(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) _ D(x j 1; x 2 ; :::; x n ) olur. Böylece D(x 1 _ x j 1; x 2 ; :::; x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) _ (f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) Bu durumda (f(x 1 ) _ f(x j 1)) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n ) = (f(x 1 ) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) _ (f(x j 1) ^ f(x 2 ) ^ ::: ^ f(x n )) Böylece L da¼g lmal d r. Sonuç 3.2.5: L bir latis olsun. f(x 1 _ x j 1) = f(x 1 ) _ f(x j 1) oldu¼gunda L üzerindeki her permuting n-f-türev joinitiv ise L modüler latistir. 35
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.
1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;
Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.
BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı
Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d
Kafes Yapıları. Hatırlatma
Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,
Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700
SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.
SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi
Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI
Soyut Cebir Prof. Dr. Dursun TAŞCI Ankara 2007 674 ÖNSÖZ Bu kitap; Selçuk Üniversitesi ve Gazi Üniversitesinde uzun yıllar okutmuş olduğum Soyut Cebir ve Cebire Giriş ders notlarının düzenlenmesi ve daha
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41
İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ
Yüksek Lisans Tezi Tezi Hazırlaуan Kalima MOLDOKULOVA Matematik Anabilim Dalı 2014 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI
T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:
1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE. Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi
Ders 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak
7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi
ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi
1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
![Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50](/thumbs/62/48180402.jpg "Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50")
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE
Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,
Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14
İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi
İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
Parametric Soft Semigroups
Ordu Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi / Ordu University Journal of Science and Technology Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., 2018; 8(1): 91-99 Ordu Univ. J. Sci. Tech., 2018; 8(1): 91-99 e-issn: 2146-6459
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
TEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin. konu anlatımlı
KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS 206 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 204 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 00'ün üzerinde soruyu kolaylıkla
FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.
1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Nuray GÜL İKİ TOPOLOJİLİ UZAYLARDA BAZI AYIRMA AKSİYOMLARI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi
EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com
1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
Yarı-asal Halkalarda Ortogonal Yarı-türevler Üzerine Öznur GÖLBAŞI 1*, Fatih BİLGİN 1. On The Orthogonal Semi Derivatives in Semi Principal Rings
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 37, No. 2 (2016) ISSN: 1300-1949 Cumhuriyet University Faculty of Science Science Journal (CSJ), Vol. 37, No. 2 (2016) ISSN: 1300-1949
olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı
İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg
Genel Topolojiye Giriş I Ara S nav Sorular 30 Kas m 2010 1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. 2 (a) Ikinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. A; e A; A ve @A kümelerini tan mlay
0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı
0 dan matematik 0 dan matematik 1 çalışma kitabı Sıfırdan başlanarak matematik ile ilgili sıkıntı yaşayan herkese hitap etmesi, Akıllı renklendirme ile göz yoran değil ayrım yapmayı, istenileni bulmayı
Leyla Bugay Haziran, 2012
Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l
KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ. Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Hakkı Saklıdır Anne ve Babam a ÖZET Yüksek Lisans
GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
L-BULANIK ESNEK GRUPLAR
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:7, Sayı:, 207,98-0/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:7, No:,207,98-0 L-BULANIK ESNEK RUPLAR Yıldıray ÇELİK *, Sevgi DEMİR Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN
Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010
Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) R n uzay n n aç k olmayan her alt kümesi kapal d r. (b) A = fx 2 [0; 1]
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.
Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR. Sevda SAĞIROĞLU PEKER
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR Sevda SAĞIROĞLU PEKER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi
1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni
TO-ETÜ, Iktisat ölümü Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni Ortalamas 0, standart sapmas 1 olan normal da¼g l ma standart normal da¼g l m denir ve bu da¼g l m n de¼gerleri z ile gösterilir.
L-BULANIK ESNEK GRUPLAR
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:7, Sayı:, 207,98-0/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:7, No:,207,98-0 L-BULANIK ESNEK GRUPLAR Yıldıray ÇELİK *, Sevgi DEMİR Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik
Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler
2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?
MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu
ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS
Asal Yak n Halkalar Üzerine C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi ISSN 135-1385 C.B.U. Journal of Siene 2.2 (26) 135 139 2.2 (26) 135 139 ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE Ak n Osman ATAGÜN* Eriyes Üniversitesi, Yozgat
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
Güz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 2010 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI
DÜCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 00-0 Güz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 00 Süre: 90 akika CEVAP ANAHTARI. (0p) y e x (x + 9) fonksiyonunun y 0 y e
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI
11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç
1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
Tanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir.
BÖLÜM 3 Karakter Dizgileriil i Tanım 3.1.1 Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki öğelerden oluşan bir sonlu dizidir. Hiç bir öğesi olmayan bir karakter dizgisine boş karakter
DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü
DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,
Notes on Lie Ideals with Generalized Derivations in Semiprime Rings
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 37, No. 4 (2016) ISSN: 1300-1949 Cumhuriyet University Faculty of Science Science Journal (CSJ), Vol. 37, No. 4 (2016) ISSN: 1300-1949
1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1999 ULUSL NTLY MTMT IK L IMP IYTI IR IN I ŞM SRULRI Lise 1- S nav Sorular 1. f1; ; 3; :::; 1999g kümesinin, eleman say s tek say olan kaç tane alt kümesi vard r? ) 1999 ) 1998 ) 1998-1 ) 999 ) hiçbiri.
9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.
9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara,
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6
NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA
T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2017 ÖZET NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK Gülşah KAYA Ordu Üniversitesi