Uzay Geometri TMOZ-OZEL Mustafa YAĞCI

Transkript

1 UZY GEOMETRİ aşlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bile, işimiz gücümüz gezegenlerle değil, noktalar, doğrular ve düzlemlerle olacak. P Geometride tüm noktalar kümesine uzay denir. Uzayın bir alt kümesi olan düzlem de yine bir noktalar kümesi gibi düşünülebilir. Masanın yüzeyi, duvarın yüzeyi, kitabın yüzü gibi. Düzlem genel olarak bir paralelkenar çizerek ve P, E, F gibi büyük harflerle gösterilir. Yalnız çizime aldanıp düzlemin sonlu olduğu zannedilmesin, düzlem sınırlı olmayıp, burada sadece çizim olarak gösterilmiştir. P düzlemi ile notlarımızın bu sayfası aynı düzlemi göstermektedir.

2 d P ir doğru ile bir düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğru düzlemi kesiyordur. Şeklimizde d doğrusu ile P düzleminin ara kesiti şekilde gösterildiği üzere noktasıdır. Zaten bir doğru ile bir düzlem arasında üç ilişki olabilir, ya doğru düzlemin içindedir ya kesiyordur ya da dışındadır. 2

3 P Eğer bir doğru ile bir düzlemin ortak iki noktası varsa, doğru düzlemin içindedir. Doğru düzlemi kesseydi eğer, tek noktada keserdi. İki ortak noktaları varsa, kesmiyor da olamaz. Dolayısıyla ortak iki nokta varsa, tek bir şans kalıyor, doğrunun o düzlemde olması. Sonuç olarak, ortak iki nokta varsa, aslında ortak sonsuz nokta vardır. 3

4 P E arakesit doğrusu İki düzlem eğer kesişiyorlarsa bir doğru boyunca kesişirler. u doğruya arakesit doğrusu denir. Gazetelikleri ve Kur an-ı Kerim rahlelerini hayal edebilirsiniz. Fakat, bu örnekler sınırlı olduğundan arakesit doğru parçası gibi olur. una aldanmayın. Gerçek düzlemler sınırsız olduğundan kesişim de sınırsızdır. 4

5 l d P ynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. Şeklimizde d l = olup d ile l aykırı doğrulardır. Küpün ayrıtlarından kaç çiftin aykırı olduğunu hesaplamaya çalışınız. 5

6 P C Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir. ynen tek bir üçgen belirttikleri gibi unları şöyle düşünmekte fayda olabilir: ir kağıda doğrusal olmayan üç farklı nokta çizin. O noktaları köşe kabul eden üçgeni kim gelirse gelsin aynı çiziyorsa, demek ki o noktalar tek bir üçgen belirtir. yrıca bir kağıda kondurulmuş 3 nokta, o kağıdın yüzeyi dışında bir düzlem belirtemez. Her üç noktayı içeren bir başka düzlemi gösteremeyeceğinize ikna oluncaya kadar çizmeye çalışınız. Zira bir aksiyom olduğundan kanıtı yoktur. 6

7 P d k Kesişen iki doğru bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir. Doğruların üzerindeki tüm noktaları içeren başka bir düzlem olmadığına ikna olana kadar araştırmaya devam ediniz. Sonunda hidayete ereceksiniz. 7

8 P d ir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir. Hem bu noktayı hem de doğrunun üzerinde bulunan tüm noktaları içeren başka bir düzlem çizmeye veya hayal etmeye çalışınız, başaramayacaksınız. 8

9 P d k Paralel iki doğru da diğerleri gibi sadece tek bir düzlem belirtir. slında bu üstteki kuralın bir versiyonudur. Üst şekildeki noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstünde farzederseniz, bahsi geçen şartları sağlayan P düzleminden başka düzlem olmadığını göreceksiniz. 9

10 T C Dördü aynı düzlemde olmayan birbirinden farklı en az dört nokta uzay belirtir. Uzay belirtmeyi aklınızda şöyle canlandırabilirsiniz. Verilen tüm noktaları ya da doğruları içeren bir düzlem bulamayınca, yani bu verileri bir düzleme sığdıramayınca anlıyoruz ki, hepsini içine alan bir şey ancak üç boyutlu olabilir. Örneğin, yandaki şekilde C düzlemi T yi içermiyor, CT düzlemi yı içermiyor, CT düzlemi yi içermiyor, T düzlemi de C yi içermiyor. 10

11 P ir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir. Zaten kanıt teoremin içinde gibi. noktası P düzleminin içinde olmadığından, hem düzlemdeki sonsuz noktayı hem de noktasını içeren bir düzlem çizmenin mümkünatı yoktur. Var diyorsanız gösterin. 11

12 P ir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir. u da üstteki kuralın bir başka versiyonudur. Üst şekildeki noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstündeymiş gibi düşününüz. ynı çıkarım kurallarını burada da uygularsınız. d 12

13 E P Kesişen ya da paralel olan iki düzlem uzay belirtir. Her ikisinin de sebebi aşikar sanırım. Hem P deki, hem de E deki tüm noktaları içine alan tek bir düzlem olmasına imkan olmaması. 13

14 E P S ir noktadan birden fazla düzlem geçer. Geçer dediysek geçebilir manasında dedik. Mesela şekildeki E, P ve S düzlemlerinin ortak noktası noktasıdır. u noktadan geçen başka bir düzlemi de siz gösteriniz. 14

15 T S P ir doğruyu barındıran 1 den çok düzlem vardır. E Yani, bu doğruyu içeren sonsuz farklı düzlemin varlığından sözediliyor. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere doğrunun noktalarının tümü T, S, E ve P düzlemlerinin hepsinde de bulunuyor. Düzlem sayısını istediğimiz kadar arttırabileceğimizi çoktan anlamış olmalısınız. 15

16 d P E Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa, bu noktalardan geçen doğru, her iki düzlemin arakesit doğrusudur. Zaten o olmayacaktı da ben mi olacaktım? rakesit doğrusu iki düzlemin tüm ortak noktalarını barındırdığından ve noktalarını da mecburen içerir. 16

17 C E P İki düzlemin doğrusal olmayan, ortak üç noktası varsa bu iki düzlem çakışıktır. Doğrusal olmayan üç değişik noktanın sadece tek bir düzlem belirteceğini sezgisel de olsa kanıtlamıştık. O halde bu P ve E düzlemleri aynı düzlemdir aslında, biz de böyle aslında aynı olan şeylere matematikte çakışık deriz. 17

18 l d P E ir d doğrusu P ve E düzlemlerinin arakesit doğrusuna paralel ise her iki düzleme de paraleldir. Şeklimizden bakınız: d // l ise d // (P) ve d // (E) olur. Hatta bu arakesit doğrusunu içeren başka düzlemler de çizersek, o düzlemlere de paralel olur. irinin de içinde olur. 18

19 P ir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa, doğru düzleme paraleldir. unu zaten daha önce olabilecek üç şıktan biri olarak açıklamıştık. Yineleyelim: Tek bir ortak nokta doğru düzlemi kesiyordur, en az iki ortak nokta varsa, doğru düzlemin içindedir. d 19

20 P d k ynı düzlemde bulunan iki doğrunun ortak noktaları yoksa, bu iki doğru paraleldir. u zaten direkt olarak düzlem geometrinin tanımlarından biridir. Kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir. 20

21 P E ir düzleme, dışında alınan bir noktadan yalnız bir paralel düzlem çizilebilir. çıklayalım: Düzlemimiz her zamanki gibi P, noktamız da olsun. noktasından, P düzleminde kaç farklı paralel doğru çizebiliriz? Sonsuz değil mi? İşte o sonsuz doğrunun oluşturduğu tek düzlem olan E düzlemi istenen düzlemdir. aşka böyle bir düzlem yoktur. 21

22 S E P Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir. Düzlemlerde paralellik bağıntısının geçişken olduğunu söylüyor. (P) // (E) ve (E) // (S) ise (P) // (S) dir. Haklı da. ksi düşünülebilir mi? E düzlemi ile P düzlemi arasındaki uzaklık sabittir. E ile S düzleminin de. O halde sonuç olarak P ile S düzlemleri arasındaki uzaklık da sabit çıktı. u da istediğimize kavuştuk demek! 22

23 S P E İki düzlem ya paraleldir ya da kesişir. ir de çakışık olabilirlerdi hani? E, çakışıklarsa paralellerdir zaten. Unutma, her şey kendine paraleldir. Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem, diğerini de keser. P ile S düzlemleri paralel olsun. E düzlemi P düzlemini kesiyormuş, o halde P ye paralel değil, o halde mecburen S ye de paralel değil. Paralel değilse keseceğini söylemiştik zaten. 23

24 P E d Paralel iki düzlemden birini kesen doğru, diğer düzlemi de keser. Yukardaki çıkarım kurallarının hepsi burada da geçerlidir. Uğraşın, yapamazsanız gelin. 24

25 d P Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme yalnız bir dik doğru çizilebilir. unu da tersten kanıtlayalım. noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağına deyin. aşka bir dik daha indirin (yok ama siz yine de indirin), onun ayağına da C deyin. C üçgeninin iç açılar toplamı 180 o den büyük çıktığı için başka bir dikin indirilemeyeceğini anlamış olmalısınız. 25

26 d P Düzlem dışındaki bir noktadan, düzleme dik çizilen bir doğru, düzlemi kestiği noktadan geçen doğruların tümüne dik olur. Düzlemdeki doğruları bir kalemmiş gibi düşünün ve ufak ufak kalemi çevirmeye başlayın. Her zaman d doğrusuna dik olduğuna ikna olursunuz. ir parşömen kağıdını hayal edin, kaç derece döndürürseniz döndürün, köşe açılarının dikliği bozulmuyor, değil mi? 26

27 P Düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan birden fazla düzlem vardır. Şeklimizdeki noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağından geçen ve P üzerinde olan sonsuz doğru olduğunu söylemiştik. İnen dikme ile o sonsuz doğrunun her birinin oluşturduğu düzlemler istenen düzlemlerdir. 27

28 P d Paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerini ya dik keser ya da dik durumlu olur. Yeni bir kavram var: Dik durumlu olmak. u, tam üstünde olsaydım, seni dik keserdim demek. ma değilim. Dik durumlu doğrular, aykırıdır. 28

29 d ir doğrunun üzerindeki bir noktadan, bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir. ulunduğunuz odada üç duvarın kesiştiği yeri inceleyin. Sigara paketi, kibrit kutusu gibi cisimlerin herhangi bir köşesini göz önüne getirin. n tane doğru bir düzlemi en az n + 1 bölgeye, en çok 2 n + n+ 2 2 bölgeye ayırır. unun kanıtını permutasyon-kombinasyon notlarında yapmıştık. Unutan tekrar oradan öğrenebilir. 29

30 UZYD ZI GEOMETRİK YERLER d l k İki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesi, orta dikme düzlemidir. ir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz farklı doğru çizebileceğimizi söylemiştik. O halde bir doğru parçasının tam orta noktasından, doğruyu dik kesen sonsuz doğru çizilebilir. u doğruların hepsini taşıyan öyle bir düzlem vardır ki ona orta dikme düzlemi deriz. Şekilden görebilirsiniz. 30

31 T P C,, C gibi üçü aynı doğru üzerinde olmayan sabit üç noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin merkezinden çember düzlemine çıkılan dik doğrudur.,, C noktaları doğrusal değilse, üçgen belirtirler. Her üçgenin çevrel çemberi olduğu gibi bu üçgenin de vardır. u çember, noktaların bulunduğu P düzlemindedir. Çemberin merkezinden P düzlemine çıkılan dikme OT olsun. TO, TO ve TOC birer eş dik üçgen olduklarından hipotenüsleri eşit boyda olmalıdır. O halde T = T = TC. 31

32 P T S Kesişen düzleme eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki düzlemin oluşturduğu iki düzlemli açının açıortay düzlemidir. S düzlemi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın, o noktanın P ve E düzlemlerine olan uzaklıkları eşittir. E 32

33 R O R C Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine düzlemde çember, uzayda küre denir. Üst şekildeki küre, R yarıçaplı olup, O merkezlidir. C küre üzerinde bir nokta ve [] çap ise m(c) = 90 dir. unu zaten çember derslerimizde etraflıca görmüştük. 33

34 O r Kürenin bir düzlemle arakesiti bir çemberdir. Küre kesitinin yüzeyi merkezi O ve yarıçapı r olan bir dairedir. 34

35 DİK İZDÜŞÜM f P ' f ' P ' ' ir noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düzlemi kestiği noktasına, noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir. ir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kümesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir şeklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için şeklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir. 35

36 P E D C α ' E' D' ' C' Q Yandaki izdüşüm şekillerini inceleyiniz. noktasını dik izdüşümü noktası f eğrisinin dik izdüşümü f eğrisi, [] doğru parçasının izdüşümü [ ] doğru parçasıdır. İki düzlem arasındaki açıya ölçek denir. (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α dır. 36

37 (P) düzlemindeki CD dörtgeninin (Q) düzlemindeki izdüşümü C D dörtgenidir. CD ve C D dörtgenleri eş zannedilmesin, değildir! Yani (P) düzlemindeki bir çemberin izdüşümü, (Q) düzleminde bir çember olmayabilir. Olmayabilir dedik, çünkü bazen olur. Örneğin, (P) ve (Q) düzlemleri paralel olursa, (P) düzlemindeki bir şeklin izdüşümü, (Q) düzleminde yine kendisi olur. 37

38 İzdüşüm Uzunluğunun ve lanının ulunması P α ' ' Q (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemi içindeki [] nin (Q) düzlemindeki dik izdüşümü [ ] ise = cos α olur. slında sebebi çok basit. noktasından doğrusuna bir paralel çizin. doğrusunu kestiği nokta K olsun. K bir dikdörtgen olacağından = K olur. K dik üçgeninde kosinüs tanımı gereği K = = cos α. 38

39 P S α S' Q (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemindeki bir bölgenin alanı S, bu bölgenin (Q) düzlemindeki izdüşümünün alanı S ise S = S cos α olur. unu da şöyle açıklayalım: ir an için P ve Q düzlemlerinin şekilde paralelkenarlarla gösterildiği gibi sınırlı olduklarını farzedelim. Q düzlem parçası da P düzlem parçasının izdüşümü olsun. S şekli o paralelkenarın kaçta kaçıysa, S şekli de aşağıdaki sınırlı Q paralelkenarının da o kadar da o kadarıdır. 39

40 Q düzlem parçasının alanının P düzlem parçasının alanının cosα katı olduğunu biliyoruz. Kısa kenar uzunluklarının değişmediğine, uzun kenarların da cosα katına çıktığına dikkat ediniz. O halde istenen kanıtlanmıştır. PRLELLİK KSİYOMLRI 1. Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir. 2. Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. 3. Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düzlem, diğer doğruyu da keser. 4. ynı doğruya paralel olan farklı iki doğru paraleldir. 40

41 5. ir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan ve bu düzlemin dışında bulunan bir doğru bu düzleme paraleldir. 6. ir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düzlemin içindedir. 7. ir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düzlemin içindedir. 8. Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan bir doğru, bu düzlemlerin arakesit doğrusuna paraleldir. 9. ynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem ilk düzleme paraleldir. 41

42 10. Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır. 11. Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir. 12. Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğerine de paraleldir. 13. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de keser ve arakesit doğruları paraleldir. 14. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser. 42

43 UZYD DOĞRULRIN VE DÜZLEMLERİN DİKLİĞİ 1. ir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir. 2. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru diğer düzleme de diktir. 3. ynı doğruya farklı noktalardan dik olan iki düzlem birbirine paraleldir. 4. ir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düzlem vardır. 5. Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta dikme düzlemidir. 6. ynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir. 7. Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir. 43

44 8. ir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. 9. ir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. 10. (Üç Dikme Teoremi): ir düzlemin dışında bulunan bir noktadan bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir. 11. ir düzleme dik olan bir doğruyu içinde bulunduran düzlemler bu düzleme diktir. 12. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğerine de diktir. 13. ir doğru iki düzlemden birine paralel, diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir. 44

45 UZY KVRMI VE KONUM KSİYOMLRI 1. Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. 2. Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta bir düzlem belirtir. 3. Uzayda kesişen farklı iki doğru bir düzlem belirtir. 4. ir doğru, üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesiti bir noktadır. 5. Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak doğru üzerindedir. 6. Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır. 7. Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir tek doğrudur. 45

46 CEVPLI TESTLER 1. şağıdakilerden hangisi kesin olarak bir düzlem belirtmez? ) Üç nokta ) İki nokta C) İki doğru D) Kesişen iki doğru E) ir nokta ile bir doğru

47 2. eş farklı nokta en çok kaç doğru belirtir? ) 12 ) 11 C) 10 D) 8 E) 6 47

48 3. eş farklı nokta en çok kaç düzlem belirtir? ) 12 ) 11 C) 10 D) 8 E) 6 48

49 4. 3 de herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta kaç düzlem oluşturur? ) 25 ) 24 C) 20 D) 18 E) 16 49

50 5. ynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru düzlemi en az kaç düzlemsel bölgeye ayırır? ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 50

51 6. ynı düzlemde bulunan 10 doğru düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır? ) 56 ) 54 C) 52 D) 50 E) 48 51

52 7. Uzayda birbirine paralel 3 doğru ile herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem belirtir? ) 16 ) 18 C) 19 D) 24 E) 32 52

53 8. dedi sabit bir miktar doğru düzlemi en az 9 bölgeye ayırıyorsa en çok kaç bölgeye ayırır? ) 35 ) 36 C) 37 D) 38 E) 39 53

54 9. dedi sabit bir miktar doğru bir düzlemi en çok 46 bölgeye ayırıyorsa, bu doğrular bu düzlemi en az kaç bölgeye ayırır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 10 54

55 10. ir doğru parçasının bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ir nokta ) Doğru C) İki nokta D) Işın E) Üçgen 55

56 11. ir doğru ile bu doğru üzerinde bulunmayan dört farklı nokta en çok kaç düzlem belirtebilir? ) 8 ) 9 C) 10 D) 12 E) 15 56

57 12. Uzayda aykırı iki doğru ve bunların dışında bir nokta veriliyor. Verilen noktadan geçen ve aykırı iki doğrunun her birini de kesen kaç doğru çizilir? ) 0 ) 1 C) 2 D) 4 E) Sonsuz çoklukta 57

58 13. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ir doğru üzerinde sonsuz nokta vardır. ) ir düzlem üzerinde sonsuz nokta vardır. C) Paralel iki düzleme dik sonsuz doğru vardır. D) ir noktadan geçen sonlu sayıda doğru vardır. E) ir düzlem üzerinde sosuz doğru vardır. 58

59 14. şağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? ) ir düzleme içindeki bir P noktasından sadece bir dik doğru çizilebilir. ) ir doğruya üzerindeki noktadan 3 dik düzlem çizilebilir. C) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen bir doğru varsa üç doğru da aynı düzlemdedir. D) ir düzleme dışındaki bir noktadan bir dikme inilir. E) ir doğru bir düzleme dik ise, doğruyu içine alan her düzlemde bu düzleme diktir. 59

60 15. şağıdaki koşullardan hangisi, farklı iki doğrunun paralel olmasına yeter? ) irbirine paralel farklı iki düzlemin içinde bulunması. ) irbirine dik iki düzlemin içinde bulunmaları. C) ynı doğruya dik olmaları. D) rakesitlerinin boş küme olması E) ynı doğruya paralel olan iki doğru olması. 60

61 16. şağıdakilerden hangisi doğru değildir? ) ir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. ) ir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. C) ynı düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir. D) Uzayda bir doğru parçasının, uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi orta dikme doğrusudur. E) Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir. 61

62 17. Uzay ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) Herhangi bir doğru üzerinde sınırlı sayıda nokta vardır. ) Düzlemde bir noktadan sınırlı sayıda doğru geçer. C) Uzayda bir doğrudan sınırlı sayıda düzlem geçer. D) Uzayda bir noktadan sınırlı sayıda düzlem belirlenir. E) Düzlemde bir doğruya paralel sınırsız doğru vardır. 62

63 18. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tane paralel doğru çizilebilir. ) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek dikme çizilebilir. C) Düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir. D) Düzlemde birbirine paralel olan doğrulardan birbirine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. E) Düzlemde kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. 63

64 19. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dikme çıkılır. ) Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. C) Farklı iki noktadan bir doğru geçer. D) Kesişen farklı iki düzlemin bir ortak doğrusu vardır. E) Yalnız bir ortak noktası olan doğrular kesişen doğrulardır. 64

65 20. 3 de aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? ) ynı düzleme dik iki düzlem birbirine paraleldir. ) Paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem diğerine paralel olur. C) ynı düzlemde olup birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. D) İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar aynı düzlem üzerindedir. E) ir doğru bir düzleme dik değilse doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır. 65

66 21. şağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir. III. ynı doğruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir. IV. Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerine ya dik, ya da dik durumludur. ) 0 ) 1 C) 2 D) 3 E) 4 66

67 22. 3 de aşağıdakilerden hangileri yanlıştır? I. Üç düzlemin arakesit doğruları en fazla 2 tanedir. II. ir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem belirtir. III. ir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz tane dikme çıkılır. IV. Düzlem üzerinde olmayan bir doğru düzlem içindeki bir doğruya dik ise düzlemle arakesiti bir noktadır. ) I, II, IV ) I, III, IV C) I, IV D) I, II E) II, IV 67

68 23. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhangi bir doğru diğerine de paraleldir. ) ynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir. C) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. D) Paralel iki düzlemi üçüncü bir düzlem kesiyor ise oluşan arakesitler birbirine paraleldir. E) Paralel iki doğrudan geçerek kesişen iki düzlemin arakesiti, bu doğrulara dik doğrudur. 68

69 24. Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrudan 5 cm uzaklıkta bir noktası veriliyor. noktasına 8 cm, d doğrusuna 3 cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? ) Doğru parçası ) Çember yayı C) Üç nokta D) İki nokta E) Dört nokta 69

70 25. 2 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir. ) Paralel iki doğruya paralel olmayan üçüncü doğru mutlaka diğer doğruları keser. C) Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru vardır. D) Paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine de paraleldir. E) Doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir. 70

71 26. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Paralel iki doğrudan birini dik kesen düzlem diğerine diktir. ) Çakışık doğruların ortak en az iki noktası vardır. C) Paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir. D) İki doğrunun ortak bir noktası var ise bu doğruları üzerinde bulunduran bir düzlem vardır. E) irbirini kesmeyen iki doğrunun içinde bulundukları düzlemler birbirine daima paraleldir. 71

72 27. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir? ) ir doğrunun iki düzlem üzerindeki izdüşümü aynı ise bu doğru iki düzlemin açıortay düzlemi içindedir. ) İki noktanın ortak doğruları çakışıktır. C) ir şeklin verilen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü kendisiyle aynı ise şekil düzleme paraleldir. D) iki doğrunun bir düzlemdeki dik izdüşümleri kesişiyorsa doğrularda kesişiyordur. E) ir doğru kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik ise düzlemlerin içinde olmayabilir. 72

73 28.,, C uzayda verilen doğrular ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? ) ve C ise // C dir. ) ve C ise C dir. C) // ve C ise C dir. D) // ve C ise C = E) // C ve ise C 73

74 29. 2 de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? ) ynı doğruya paralel olan iki doğru, birbirine paraleldir. ) ynı doğruya dik olan iki doğru, birbirine paraleldir. C) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine de diktir. D) ynı düzlemde kesişen iki doğrunun iki tane ortak noktası vardır. E) Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bunlara dik olan doğru parçasının uzunluğudur. 74

75 30. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ir düzleme dışındaki bir noktadan sadece 1 tane paralel düzlem çizilir. ) İki paralel doğrudan biri kesen doğru diğerini kesmeyebilir. C) Dört düzlem uzayı en çok 14 bölgeye ayırır. D) Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir. E) Farklı iki düzlem kesişirse bu düzlemlerin arakesiti bir noktadır. 75

76 31. ir E düzlemine teğet ve yarıçap uzunlukları 4 cm olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? ) E ye dik bir düzlem. ) E ye paralel bir düzlem. C) E ye 4 cm uzaklıkta paralel iki düzlem. D) E ye 4 cm uzaklıkta paralel iki doğru. E) E ye dik bir doğru. 76

77 32. 2 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ir noktadan sonsuz doğru geçer. ) Düzlemde farklı üç doğru farklı üç noktada kesişebilir. C) Düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir ya da kesişir. D) ir düzlemde üç doğru düzlemi en az 4, en çok 8 bölgeye ayırır. E) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. 77

78 33. 3 de iki doğru aynı düzlemin elemanı iseler aşağıdakilerden hangisi söylenemez? ) İki doğru tek noktada kesişebilir. ) İki doğru dik olabilir. C) İki doğru aykırı olabilir. D) İki doğru paralel olabilir. E) İki doğru düzlemi 4 bölgeye ayırabilir. 78

79 34. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Paralel iki düzlem uzay belirtir. ) Kesişen iki düzlem uzay belirtir. C) ir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizilebiir. D) Kesişen iki düzlemin bir ortak noktası varsa, düzlemler çakışıktır. E) Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem, diğerine de paraleldir. 79

80 35. 3 de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. ) ir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. C) İki düzlem bir noktada kesişir. D) ir doğru düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara da paraleldir. E) ykırı iki doğru bir düzlem içindedir. 80

81 36. I. Farklı iki düzlemin arakesiti varsa bu bir doğrudur. II. ir doğrudan sonsuz tane düzlem geçer. III. Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa bu iki düz lem çakışıktır. Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II C) I ve II D)Yalnız III E) I ve III 81

82 37. 3 de verilen üç düzlem için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Üç düzlemin arakesiti yalnız iki nokta olabilir. ) İki düzlem dikse üçüncüsü her ikisine de dik olabilir. C) Düzlemlerin arakesiti bir doğru olabilir. D) Düzlemler üç paralel doğru boyunca kesişebilir. E) Düzlemlerin arakesiti yalnız bir nokta olabilir. 82

83 38. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem diğerini de keser. ) Paralel iki düzlemden birin kesen doğru diğerini de keser. C) Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir. D) ynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem bu düzlemi keser. E) Uzayda bir noktadan geçen ve verilen bir düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır. 83

84 39. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır. ) Doğru ile düzlemin bir ortak noktası varsa doğru düzlem içindedir. C) Her doğru üzerinde olmayan en az bir nokta vardır. D) Düzlemde farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. E) Farklı iki doğrunun, ortak noktası bu doğruların kesişme noktasıdır? 84

85 40. ir düzlemdeki farklı doğrularla ilgili ifadelerden hangisi her zaman yanlıştır? ) ir düzlemdeki beş doğru bir noktada kesişebilir. ) ir düzlemdeki dört doğru ikişer ikişer kesişebilir. C) ir düzlem içindeki dört doğrudan üçü kesişirse, dördüncü doğru bunlara paralel olabilir. D) ir düzlemdeki dört doğru birbirine paralel olabilir. E) ir düzlem içindeki doğruların ortak ikişer noktaları varsa bu doğrular çakışıktır. 85

86 41. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de diktir. ) ir düzleme paralel olan bir doğru düzlemin içindeki bir doğruya paraleldir. C) Paralel düzlemlerin üçüncü bir düzlemle arakesitleri birbirine paraleldir. D) ir düzleme paralel bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü noktadır. E) ir düzleme dik bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü bir noktadır. 86

87 42. I. Paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir. II. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. III. 4 paralel doğru ikişer ikişer seçilirse 5 farklı düzlem oluşur. Yukarıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 87

88 43. 3 de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? ) ir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar silindirik bir yüzey oluşturur. ) Uzayda iki aykırı doğruya bir ortak dikme çizilebilir. C) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine paraleldir. D) ynı düzleme dik olan paralel iki düzlemin üçüncü düzlemle arakesitleri paraleldir. E) ir düzleme dik olmayan bir doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü yine bir doğrudur. 88

89 44. 3 de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna paralel olan bir doğru düzlemlere de ayrı ayrı paraleldir. ) Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser. C) ir düzleme dik olan düzlemler birbirine paraleldir. D) ir doğru bir düzlem içindeki bir doğruya dikse düzleme de diktir. E) ir düzleme dik olan d doğrusundan geçen düzlemler diğer düzleme paraleldirler. 89

90 45. 3 de aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? I. Dik düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine diktir. II. Paralel iki doğrudan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir. III. İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir. IV. ir düzlem bir doğruya dik ise bu doğrudan geçen sonsuz düzleme de diktir. ) 0 ) 1 C) 2 D) 3 E) 4 90

91 46. ir düzlem içindeki farklı üç doğrunun birbirine göre durumu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Üç doğru bir noktada kesişebilir. ) Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir. C) İkisi paralel olup, üçüncü doğru bunlardan birine dik ve diğerine paralel olabilir. D) Üç doğru birbirine paralel olabilir. E) u üç doğrunun kesim noktaları iki tane olabilir. 91

92 47. 3 de aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? I. ynı düzleme dik iki düzlem birbirine paralel ise üçüncü düzlemle arakesitleri de paraleldir. II. ir doğru paralel iki doğrudan birini kesiyor ise diğerini de keser. III. İki düzlem bir düzleme dik ise birbirlerine paraleldir. IV. ir düzlem içindeki bir şeklin başka bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aynı ise iki düzlem birbirine paraleldir. V. Kesişen iki düzlem aynı düzleme dik ise bunların arakesiti de aynı düzleme diktir. ) I, II, IV ) I, IV, V C) I,V D) I, II, III E) I, III, V 92

93 48. şağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Dördü aynı düzlemde olmayan dört nokta uzay belirtir. II. ir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir. III. ir düzlemle dışındaki bir doğru uzay belirtir. IV. Farklı iki düzlem uzay belirtir. V. Paralel iki düzlem uzay belirtir. ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 93

94 49. 3 de aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. Paralel iki düzlemden birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. II. irbirine dik olan iki düzlemden birini kesen doğru diğer düzleme diktir. III. Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser. ) I ) II C) I III D) III E) II III 94

95 50. 3 deki Q ve P düzlemleri için hangisi yanlıştır? ) Q ve P nin en az bir ortak noktaları varsa bu iki düzlemin arakesiti bir doğrudur? ) Q ve P nin doğrusal olmayan üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlemin başka ortak noktaları yoktur. C) Q P ise ancak ve ancak Q = P dir. D) Q ve P farklı düzlemler ise (Q P) kümesinin sonsuz çoklukta elemanı olabilir. E) Q ve P nin doğrusal üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlem eşit olmayabilir. 95

96 51. Ölçek açısı 45 o olan iki düzlemden birinin içinde bir nokta alınıp, diğer düzleme dikme çiziliyor. Noktanın düzleme uzaklığı 4 birim olduğuna göre noktanın arakesit doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? ) 7 2 ) 6 2 C) 5 2 D) 4 2 E)

97 52. Ölçek açısı 45 o olan iki düzlemden birinde 6 br yarıçaplı dairenin diğer düzlem üzerindeki izdüşümünün alanı kaç π birimkaredir? ) 14 2 ) 16 2 C) 18 2 D) 20 2 E)

98 53. P ve E düzlemleri arasındaki ölçek açı 30 o dir. P düzlemi içinde alınan 8 cm çaplı bir dairenin E düzlemi üzerindeki izdüşümünün alanı kaç cm 2 dir? ) 4π ) 8π C) 12π D) 8 3π E) 16 3π 98

99 54. ir düzlemle 30 o lik açı yapan 10 birim uzunluğundaki bir doğru parçasının bu düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir? ) 5 3 ) 4 3 C) 3 3 D) 2 3 E) 3 99

100 55. P ve E düzlemleri arasındaki açı 30 o dir. P düzleminde bulunan CD dikdörtgeninin E düzlemi üzerindeki izdüşüm alanı 30 birimkare olduğuna göre lan(cd) kaç birimkaredir? ) 20 ) 20 3 C) 30 D) 30 3 E)

101 56. Dik kenarı 3 2 br olan C ikizkenar dik üçgeninde dik köşesinden C düzlemine çizilen dikme üzerinde P = 4 br olan P noktası alınıyor. PC üçgeninin alanı kaç cm 2 dir? ) 15 ) 18 C) 28 D)30 E)

102 57. CD dikdörtgeninin den geçen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü C D karesidir. 2 (CD) = 3 (C D ) ise iki düzlem arasındaki açı kaç derecedir? ) 15 ) 30 C) 45 D) 60 E)

103 58. Kenar uzunluğu 6 3 br olan C eşkenar üçgeni ve üçgen düzlemi dışında bir O noktası alınıyor. G üçgenin ağırlık merkezi olup, [OG] (C) ve OG = 8 br ise O kaç birimdir? ) 8 ) 9 C) 10 D) 12 E)

104 59. Dik köşesi ve dik kenarları 3 2 cm olan C ikiz kenar dik üçgeninin düzlemine aynı tarafta ve C köşelerine dikler çiziliyor. = CC = a alındığında C üçgeni eşkenar ise a kaç cm olur? ) 9 ) 8 C) 6 2 D) 6 E)

105 60. ir C eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin O merkezinden üçgen düzlemine bir OK dikmesi çiziliyor. Üçgenin bir kenarı 10 3 cm ve OK = 69 cm olduğuna göre K kaç cm dir? ) 18 ) 16 C) 15 D) 13 E)

106 61. ir E düzlemi ve E düzlemine 15 cm uzakta bir P noktası alınıyor. P noktasının dikme ayağı O merkez olmak üzere düzlemde O merkezli 9 cm yarıçaplı bir çember çiziliyor. Çemberin üzerindeki bir noktasına = 3 2 br olan [] teğeti çizilirse P kaç br olur? ) 15 ) 16 C) 18 D) 20 E)

107 62. = C = 6 br olan C ikizkenar üçgeninde m(c) = 120 dir. noktasında C düzlemine çıkılan dikme üzerinde P = x olmak üzere P noktası alınıyor. m(cp) = 90 ise x kaçtır? ) 3 ) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 6 107

108 63. Yandaki şekilde (E) // (F) ve d 1 (E) d 2 (F) olmak üzere aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? F E d 2 d 1 ) d 1 doğrusu (F) ye paraleldir. ) d 2 doğrusu (E) ye paraleldir. C) (E) ve (F) nin ortak noktası yoktur. D) d 1 ve d 2 doğruları paralel olabilir. E) d 1 ve d 2 doğruları daima aykırıdır. 108

109 64. [] doğru parçası (E) düzlemi tarafından C : C = 3 : 5 olacak şekilde C noktasında kesilmektedir. Doğru ile düzlem arasındaki açı 45 o dir. [C] nin düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu 3 2 br ise [C] kaç birimdir? E C ) 6 ) 8 C) 10 D) 12 E)

110 C 65. Yandaki şekilde [C] nin (E) üzerindeki izdüşüm uzunluğu 5 br dir. d K L C = L = 10 br ise C kaç br dir? E ) 20 ) 30 C) 35 D) 40 E)

111 66. P Şekilde CD kare, [P] (CD) D olduğuna göre bu şekilde kaç tane dik üçgen vardır? C ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 111

112 67. Yanda verilen üç boyutlu şekilde kaç tane iki düzlemli açı vardır? P D ) 20 ) 16 C) 14 D) 12 E) 10 C 112

113 68. Şekilde (C) E [O] E = C C = 6 2 br. PC üçgeninin eşkenar olması için P kaç br olmalıdır? E P C 6 2 ) 3 ) 3 2 C) 3 3 D) 3 5 E) 6 113

114 69. Şekilde [] F [CD] E = 3 cm C = 6 cm CD = 5 cm olduğuna göre düzlemler üzerinde hareket eden bir karınca dan D ye en az kaç cm yol alır? E 3 C 6 5 F D ) 10 ) 11 C) 12 D) 13 E)

115 70. Şekilde, [] F ve [DC] E = 2 cm C = 5 cm CD = 3 cm olduğuna göre E ve F düzlemleri çakışık değilse, düzlemler üzerinde hareket etmek koşuluyla ile arası en kısa kaç cm dir? E 2 C 5 3 F D ) 13 ) 15 C) 17 D) 18 E)

116 71. d doğrusu E ve F düzlemlerinin arakesit doğrusudur. Düzlemlerin ölçek açısı 120 o dir. [] d, [C] d, = 3 cm, C = 5 cm Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi nin değeridir? E 3 5 d 120 o C F ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 116

117 72. [P] (E) [C] [] C = 3 cm PC = 6 cm P = 3 2 cm E C Yukarıda verilenlere göre kaç cm dir? P ) 2 ) 3 C) 3 2 D) 3 3 E)

118 73. Şekildeki düzlemde; [] (E) [DC] (E) = 6 br CD = 9 br C = 8 br olduğuna göre D kaç br dir? E C D P ) 13 ) 15 C) 17 D) 19 E)

119 74. Şekilde [P] (E) mp ( ) = 29 mpc ( ) = 31 o mpd ( ) = 58 P, PC ve PD için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? o o E 29 o C 31 o P 58 o D ) P > PC > PD ) P > PD > PC C) PD > PC > P D) PD > P > PC E) PC > P > PD 119

120 75. Şekilde; [P] (E), PD < PC < P olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? P D ) C < < D ) < C < D C) D < < C D) < D < C E) D < C < E C 120

121 76. P Şekildeki üç farklı paralelkenar düzlem par- M L 13 x çasının P kenarları ortaktır. PM = 13 cm PK = 6 cm C olduğuna göre E PL = x değerinin alabileceği tamsayı değerleri toplamı kaçtır? 6 K D ) 76 ) 70 C) 60 D) 57 E)

122 77. Şekilde [P] (E) P [C] d P = 13 br P = 12 br PC = 200 br olduğuna göre C kaç birimdir? E C d ) 14 ) 13 C) 12 D) 11 E) 9 122

123 78. Şekilde [P] (E) [] [C] şağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? E C P d k I. P = II. P = 3 III. [P] [PC] IV. [P] [] V. = 2 P ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 123

124 79. Şekilde [] (E) [D] [DC] mc ( ) = 30 mdc ( ) = 60 DC = 2 3 br olduğuna göre D kaç br dir? o o E P o o C ) 8 ) 6 C) 3 13 D) 2 13 E)

125 80. Şekildeki (E) düzlemi [] nin orta dikme düzlemidir. [P] (E) = D ve D = 4 br DP = 6 br olduğuna göre [P] kaç br dir? E C D P ) 10 ) 12 C) 13 D) 14 E)

126 81. C üçgeninde E düzlemi [] nin orta dikme düzlemidir. P C [D] [] D = 34 br, E = 30 br olduğuna göre D PC kaç br dir? ) 8 ) 9 C) 10 D) 12 E)

127 82. [P] E, d E ve P [PH] d CH = 5 cm P = 10 cm PH = 2 61 cm Yukarıda verilenlere göre C kaç cm dir? E C H d ) 18 ) 16 C) 15 D) 14 E)

128 83. Şekilde bir kenarı K P N 4 2 m olan kare 1 şeklindeki bahçenin tam ortasına 5 5 D m uzunluğunda bir G 4 2 direk ve köşelerine L M de 1 m uzunluğunda dört direk dikiliyor. C Direklere şekildeki gibi gerilen elektrik kablosu kaç metredir? ) 20 ) 24 C) 28 D) 32 E)

129 84. P C eşkenar üçgeninin G ağırlık merkezinden üçgen düzlemine dik PG dikmesi çiziliyor. PG = 8 br G = 6 3 br olduğuna göre PC + P + P toplamı kaçtır? C ) 10 ) 20 C) 30 D) 40 E)

130 85. Şekildeki C eşkenar üçgeninde CD CD = 2 3 cm D = 3 cm ve [P] (C) olduğuna göre CH kaç cm dir? E D P C ) 10 ) 5 C) 5 3 D) 4 E)

131 86. Şekilde CD bir karedir. P [PQ] (CD) 4 Q = QC E = 4 2 birim PQ = 4 birim Q C olduğuna göre lan(pd) kaç birimkaredir? 4 2 D ) 4 6 ) 16 C) 32 D) 8 6 E)

132 87. Şekilde; = C = 10 br C = 12 br DEC kare ise noktasının E köşesine uzaklığı kaç cm dir? E D o 12 C ) 3 2 ) 3 C) D) 2 3 E)

133 88. Şekilde C eşkenar üçgeninin (E) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü KC 30 K üçgenidir. L L = LC, E L = 2 3 cm o mlk ( ) = 30 F olduğuna göre KC üçgeninin alanı kaç cm 2 dir? C ) 4 3 ) 4 2 C) 3 2 D) 3 3 E)

134 C C ikizkenar üçgeninde 10 = C = 10 cm K 12 C = 12 cm E K = 6 cm F [K] E olduğuna göre Çevre(KC) kaç cm dir? ) 20 ) 24 C) 28 D) 32 E)

135 90. C eşkenar üçgeninin köşesinin E düzlemi D üzerindeki dik izdüşümü K dir. [K] [KC] E C = 6 2 br F olduğuna göre K kaç birimdir? K 6 2 C ) 3 ) 2 3 C) 6 D) 6 2 E)

136 91. Şekildeki C üçgeni bir kenarı D C 12 cm olan bir eşkenar üçgendir. K 12 C üçgen düzlemiyle (E) düzlemi arasındaki F E 60 o açı 60 o dir. C üçgeninin dik izdüşümü KC üçgeni olduğuna göre KC üçgeninin çevresi kaç birimdir? ) ) 18 C) D) E)

137 92. C eşkenar üçgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü bir dik üçgendir. K = 12 cm olduğuna göre K kaç cm dir? F E D K C ) 12 ) 12 2 C) 13 2 D) 16 2 E)

138 93. [PO], CD eşkenar dörtgen düzlemine diktir. P = = 4 cm o md ( ) = 30 olduğuna göre P kaç cm dir? P O C D ) 12 ) 8 C) 4 3 D) 4 2 E)

139 94. CD dikdörtgen düzlemi ile DE ikizkenar üçgen düzlemi birbirine diktir. D = 10 cm E = 39 cm (DE) = 30 cm 2 olduğuna göre EC kaç cm dir? E C D ) 16 ) 12 C) 10 D) 8 E) 4 139

140 95. Şekilde tepe noktası P olan PC ikizkenar üçgen düzlemi, C eşkenar üçgen düzlemi ile 30 o lik açı yapmaktadır. PC = 6 2 cm ve P noktasından inilen dikme eşkenar üçgenin yüksekliğinin ortasından geçmektedir. una göre eşkenar üçgenin çevresi kaç cm dir? P C ) 30 ) 32 C) 36 D) 4 E)

141 96. Şekildeki kare düzlem parçaları kesi- şiyorlar. P K P : orta nokta 3 G L 4 2 G : ağırlık merkezi E C = 4 2 cm C PG = 3 cm olduğuna göre K ile arasındaki uzaklık kaç cm dir? D ) 1 ) 2 C) 3 D) 2 E) 5 141

142 97. CD dikdörtgen düzlemi, CE ikizkenar dik üçgen düzlemine diktir. E = C = 6 br D EF = F lan(fd) = 15 br 2 olduğuna göre DC kaçtır? E ) 3 ) 4 C) 5 F C D) 6 E) 8 142

143 98. C dik üçgeni E düzlemi ile 60 o lik açı yapmaktadır. C = 6 cm, o m= ( ) 30 ise C üçgeninin dik izdüşümünün alanı nedir? E C K ) 8 3 ) 9 3 C) 12 3 D) 16 3 E)

144 99. P = P olan P P ikizkenar üçgeninin E düzlemi üzerine dik T izdüşümü K eşkenar üçgenidir. K E [PT] [], PK = 4 cm, PT = 8 cm ise K üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 12 ) 15 C) 18 D) 21 E)

145 100. Şekilde CD bir kenarı 12 cm olan bir kare, (EC) üçgeninin taban düzlemi ile ölçek açısı 60 o olan bir eşkenar üçgendir. G noktası EC üçgeninin ağırlık merkezi ise lan(dg) kaç cm 2 dir? P o 60 C G 12 D ) 3 21 ) 6 21 C) D) 5 10 E)

146 E Şekildeki CD düzlemi bir karedir. D CE düzlemi ile CD düzlemi o lik açı yapmaktadır. EC = E = C = 6 2 br C ise ED kaç br dir? ) 2 5 ) 3 2 C) 4 2 D) 5 E) 6 146

147 102. E ve F düzlemleri arasındaki ölçek açı K F 30 o L dir. F düzlemindeki yarıçapı 6 cm olan C E dairenin E düzlemine dik izdüşümünün alanı kaç π cm 2 dir? 30 o D ) 18 3 ) C) 18 2 D) E)

148 103. Şekildeki CD dikdörtgeni P düzlemi d üzerinde ve [] // D d dir. C CD dikdörtgenin (E) üzerindeki izdüşümü bir karedir. α D = 2 = 8 br ise düzlemler arasındaki açı kaç derecedir? F E ) 75 ) 60 C) 45 D) 30 E)

149 104. Şekildeki (F) ve (E) düzlemleri arasında 45 o lik açı vardır. (F) üzerindeki CD eşkenar dörtgeninin (E) üzerindeki dik izdüşümü C D karesidir. Karenin bir 45 ο kenarı 6 cm ise eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç cm dir? d C D F E ) 2 6 ) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 8 149

150 105. d E P = 15 cm = 9 cm PC = 153 cm Yukarıda verilenlere göre lan(pc) kaç cm 2 dir? E P d C ) 18 ) 20 C) 24 D) 26 E)

151 106. [P] (E) P Şekilde, O merkezli [] çaplı çember E düzlemindedir. Dairenin alanı 25π cm 2 CD = 6 cm E C P = 6 cm Yukarıda verilenlere göre lan(pcd) kaç cm 2 dir? ) 42 ) 36 C) 32 D) 30 E)

152 107. (E) düzlemine [] çaplı çember çizilmiştir. [P] E = 2 26 cm P = C = 5 cm olduğuna göre lan(pc) kaç cm 2 dir? E P 5 5 C ) 24 2 ) 20 2 C) 19 2 D) 16 2 E)

153 108. P düzleminin içinde bulunan O merkezli çember, d doğrusu ile ve de kesişmektedir. [DO] P, P [OC] d, = 8 br, D = 5 br d OC = 5 br O olduğuna göre OD kaç br dir? E ) 2 ) 5 C) 7 D) 2 2 E) 3 153

154 109. P P düzlemi içinde O merkezli bir çemberin merkezinden düzleme çıkılan dikme üzerinde O OP = 8 br olan bir P noktası alınıyor. E çembere teğet, = 3 br, P = 10 br olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? ) 3 2 ) 4 C) 3 3 D) 2 3 E) 5 154

155 110. E düzleminde; O merkezli çemberin yarıçapı 3,5 br dir. [] [O] O [O] = 12,5 br = 12 br E olduğuna göre noktasını çember üzerindeki noktalara birleştiren doğru parçalarından en uzun ve en kısa olanlarının toplamı kaçtır? ) 20 ) 35 C) 40 D) 45 E)

156 111. Şekilde (E) (E) P (E) [] (E) C 13 5 C d P E P = 13 birim PC = 5 birim C = 15 birim olduğuna göre lan(c) kaç birimkaredir? 9 d ) 60 ) 56 C) 54 D) 52 E)

157 112. Şekilde [PH] (E) [HK] [K] P = 13 br mhpk = HK = 6 br ( ) 30 olduğuna göre (PK) kaç br 2 dir? o E P H 6 13 K ) 20 ) 25 C) 30 D) 35 E)

158 113. Şekildeki E düzleminin içinde bir nok- tası dışında bir noktası veriliyor. X Düzlem içinde dan ' K geçen doğrulardan biri X olsun. E den X e çizilen dik doğrunun X i kestiği nokta K, nin izdüşüm noktası olduğuna göre K noktalarının geometrik yeri nedir? ) [] çaplı çember ) [K] çaplı çember C) [ ] çaplı çember D) X doğrusu E) [ ] çaplı çember 158

159 DİKDÖRTGENLER PRİZMSI 114. Eni 3!, boyu 5!, yüksekliği 7! cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm 3 tür? ) 105 ) 8! C) 9! D) 10! E) 105!

160 115. ir dikdörtgenleri prizmasında bulunan köşe adedi a, ayrıt adedi b, yüzey adedi c olsun. una göre a + b + c toplamı kaça eşittir? ) 22 ) 24 C) 26 D) 27 E)

161 116. ir dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegenlerinin adedi, cisim köşegenlerinin adedinden kaç fazladır? ) 10 ) 8 C) 6 D) 4 E) 2 161

162 117. Eni ile boyunun uzunlukları 3 ve 4 br olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu yüksekliğin uzunluğundan 1 birim fazlaysa, bu prizmanın hacmi kaç br 3 tür? ) 144 ) 121 C) 108 D) 96 E)

163 118. şağıdakilerden hangisi farklı ayrıtlarının uzunlukları a, b, ve c birim olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanıyla özdeştir? ) (a + b + c) 2 a 2 b 2 c 2 ) (a + b + c) 2 a 2 b 2 c 2 C) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 D) (a + b + c) 2 + a 2 b 2 c 2 E) (a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 163

164 119. ir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 2, 1 ve 3 sayılarıyla orantılıdır. u prizmanın tüm alanı 88 br 2 olduğuna göre cisim köşegeninin uzunluğu kaç birimdir? ) 2 14 ) 2 15 C) 2 17 D) 2 19 E)

165 120. Farklı ayrıtlarının toplamı 6 cm, cisim köşegeni 3 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam alanı kaç cm 2 dir? ) 54 ) 45 C) 36 D) 30 E)

166 cm uzunluğunda bir telden yüzeyleri olmayan ve içi boş bir dikdörtgenler prizması yapılıyor. u prizmanın içi dolu olsaydı hacmi en çok kaç cm 3 olabilirdi? ) 216 ) 125 C) 64 D) 27 E) 8 166

167 122. ir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 12 br 2, 15 br 2, 20 br 2 ise bu prizmanın hacmi kaç br 3 tür? ) 36 ) 45 C) 50 D) 60 E)

168 123. ir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a, b ve c birimdir = a b c 4 ve prizmanın tüm alanı 864 br 2 olduğuna göre prizmanın hacmi kaç br 3 tür? ) 576 ) 570 C) 564 D) 558 E)

169 124. Eni 3 cm, boyu 4 cm ve hacmi 60 cm 3 olan bir dikdörtgenler prizmasının iç bölgesinde alınan herhangi bir noktanın alt ve üst yüzeylere olan uzaklıklarının toplamı kaç cm dir? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 8 169

170 125. Farklı ayrıtları 10, 15, 20 br olan dikdörtgenler prizması şeklinde içi dolu bir cisim hiç parça artmayacak şekilde en çok kaç eş kübe ayrılabilir? ) 64 ) 24 C) 20 D) 12 E) 6 170

171 126. ir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa toplam alanı kaç kat artar? ) 2 ) 3 C) 4 D) 8 E) 9 171

172 127. ir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa hacmi kaç katına çıkar? ) 3 ) 8 C) 9 D) 26 E)

173 128. ir dikdörtgenler prizmasının tüm köşeleri kaç farklı dikdörtgen belirtirler? ) 6 ) 8 C) 10 D) 12 E)

174 129. Yandaki dikdörtgenler prizmasında = 9 birim F = 12 birim FK = 16 birim P = PD olduğuna göre FP uzunluğu kaç birimdir? 12 F 9 E 16 P C K D L ) 13 ) 14 C) 15 D) 16 E)

175 130. Yandaki dikdörtgenler prizmasında LK = 2 birim KF = 4 birim F = 3 birim P = P olduğuna göre PK kaç birimdir? 3 F P E 4 C K 2 D L ) 5 ) 26 C) 3 3 D) 2 7 E) 6 175

176 131. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P = PD = 4 birim DL = 3 birim LK = 4 birim FQ =6 birim olduğuna göre PQ kaç birimdir? F 6 E 4 Q P C K 4 4 D 3 L ) 5 ) 26 C) 3 3 D) 2 7 E)

177 132. Yandaki dikdörtgenler prizmasında F = 10 birim FK = 11 birim KL = 23 birim LP = PD olduğuna göre FP kaç birimdir? 10 F E 11 C K D P L 23 ) 12 ) 13 C) 15 D) 17 E)

178 133. Yandaki dikdörtgenler prizmasında = 3 birim F = 4 birim FK = 12 birim 7 EP = 5 PL olduğuna göre CP kaç birimdir? 4 F 3 E 12 P C K D L ) 74 ) 61 C) 5 2 D) 7 E) 6 178

179 134. Yandaki dikdörtgenler prizmasında = 4 birim F = 5 birim FK = 6 birim FP = PE olduğuna göre CP kaç birimdir? 5 F 4 P E 6 C K D L ) 65 ) 61 C) 5 2 D) 7 E) 6 179

180 135. Yandaki dikdörtgenler prizmasında FP L F = 5 birim FK = 8 birim KL = 6 birim olduğuna göre FP kaç birimdir? 5 F P E C K 6 D L ) 5 ) 10 C) 4 D) 2 5 E)

181 136. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası prizmanın ağırlık merkezidir. una göre PE = a, PK = b ve P = c değerleri hangi şıkta doğru sıralanmıştır? F E P K C D L ) a < b < c ) a < c < b C) a < b = c D) a = b < c E) a = b = c 181

182 137. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası [D] üzerindedir. = 3 cm F = 4 cm FK = 6 cm olduğuna göre lan(kpf) kaç cm 2 dir? 4 F 3 E 6 P C K D L ) 15 ) 18 C) 24 D) 30 E)

183 138. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası [KL] üzerinde hareketli bir noktadır. = 2 cm F = 3 cm FK = 4 cm olduğuna göre lan(p) kaç cm 2 dir? 3 F 2 E 4 K C P D L ) 4 ) 5 C) 6 D) 8 E)

184 139. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası EFKL dikdörtgeninin ağırlık merkezidir. P = 5 br ve D = 6 br ise taralı PD üçgensel bölgesinin alanı kaç br 2 dir? ) 36 ) 30 C) 24 D) 12 E) 11 F E P C K D L 184

185 140. Yandaki dikdörtgenler prizmasında taralı üçgenin bir köşesi EK ve FL köşegenlerinin kesim noktasıdır. DL = LK = 6 cm FK = 8 cm olduğuna göre taralı üçgensel bölgenin alanı kaç cm 2 dir? F E 8 C K 6 D 6 L ) 15 ) 18 C) 24 D) 30 E)

186 141. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P ve Q alt ve üst yüzeylerin ağırlık merkezleridir. F = 18 cm = 10 cm D = 24 cm olduğuna göre taralı üçgenin alanı kaç cm 2 dir? 18 F 10 E 24 P C Q K D L ) 112 ) 117 C) 121 D) 124 E)

187 142. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası FE, Q noktası da CD dörtgeninin ağırlık merkezleridir. Eğer prizmanın tüm ayrıtları eşit uzunluktaysa PQ üçgeni aşağıdakilerden hangisidir? F P E Q C K D L ) Dik üçgen ) Eşkenar üçgen C) Geniş açılı üçgen D) 30º-60º-90º üçgeni E) üçgeni 187

188 143. Yandaki dikdörtgenler prizmasında = 3 birim F = 4 birim FK = 6 birim DP = PL olduğuna göre lan(pf) kaç birimkaredir? 4 F 3 E 6 C K D P L ) 14 ) 3 26 C) 15 D) 4 21 E)

189 144. Yandaki dikdörtgenler prizmasının içinde bulunan taralı dikdörtgen piramidin hacmi, dikdörtgenler prizmasının hacminin kaçta kaçıdır? F E K C D L ) 1 2 ) 1 3 C) 1 4 D) 2 3 E)

190 145. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası CD yüzeyi üzerindedir. una göre taralı üçgen piramidin hacmi dikdörtgenler prizmasının hacminin kaçta kaçıdır? F P E C K D L ) 1 2 ) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E)

191 146. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P, Q, R, S noktaları bulundukları ayrıtların orta noktaları olup, T noktası CD yüzeyindedir. una göre taralı piramidin hacmi prizmanın hacminin kaçta kaçıdır? P F T S E Q C K D R L ) 1 2 ) 1 3 C) 1 4 D) 1 6 E)

192 147. Yandaki dikdörtgenler prizmasında DL = 9 birim LK = 12 birim KF = 16 birim olduğuna göre cos LF kaça eşittir? F E 16 K C 12 D 9 L ) 3 5 ) 4 5 C) 7 25 D) E)

193 148. oyutları a, b, c birim olan yandaki dikdörtgenler prizmasının içinde rastgele bir P noktası alınıyor. u P noktasının küpün tüm yüzeylerine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir? b F a P E c C K D L ) a b c ) a + b + c C) 2a + 2b + 2c D) a 2 + b 2 + c 2 E) ab + ac + bc 193