T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

Transkript

1 T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

2

3 T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

4

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... iii ABSTRACT... iv TEŞEKKÜR... v SEMBOLLER VE KISALTMALAR LİSTESİ... vi. GİRİŞ... 2.TEMEL TANIMLAR ve TEOREMLER (N,p,q)- METODU GeelleĢtirilmiĢ Nörlud Toplaabilirlik p M ve 3.3, q Pozitif Diziler Ġçi Limitleme Teoremleri... 7 p q Reel veya Kompleks Diziler Ġçi Limitleme Teoremleri Regülerlik ġartı Ġçi Limitleme Teoremleri GeelleĢtirilmiĢ Nörlud Toplaabilirlik Ġçi Etkisizlik Teoremleri FOURİER SERİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLMESİ SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 68

6 GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Bozok Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Yüksek Lisas Tezi 202; Sayfa: 68 Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Abdullah SÖNMEZOĞLU ÖZET Dört bölümde oluģa bu çalıģmaı amacı, (N,p) - Nörlud toplaabilme ile Riesz toplaabilmei geel hali ola geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilme metoduu icelemektir. Bu edele birici bölümde; bir limitleme metodu ola matris döüģümleri ile ilgili açıklamalar, ikici bölümüde ise çalıģmamızda kullaıla temel taım ve teoremler verilmiģtir. Üçücü bölümde ise; geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilme içi etkisizlik ve limitleme teoremleri ispatı icelemiģtir. Dördücü bölümde ise; Fourier serilerii geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilmesi ile ilgili bir teoremi ispatı icelemiģtir. Aahtar Kelimeler:Nörlud toplaabilme, Riesz toplaabilme, GeelleĢtirilmiĢ Nörlud toplaabilme, Fourier serisi iii

7 THE METHOD OF GENERALİZED NÖRLUND SUMMABİLİTY Elif SERİN Bozok Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Master of Sciece Thesis 202; Page: 68 Thesis Supervisor: Assoc. Yrd. Doç. Dr. Abdullah SÖNMEZOĞLU ABSTRACT The purpose of this study which composed of four parts, is to ivestigate (N,p) - Nörlud summability ad Riesz summability which has geeralised. The descriptios of matrix trasformatios as a method of limitig are i the first chapter, the basic defiitio ad teorems used i this study are give i the secod oe. I the third sectio; the proof of ieffectiveess ad limitatio theorems are studied for geeralised Nörlud summability. I the fourth sectio; the proof theorem related to geeralized Nörlud summability of Fourier series is studied. Key Words: Nörlud summability, Riesz totally, Geeralized Nörlud summability, Fouries series iv

8 TEŞEKKÜR Bu çalıģmaı belirlemesi ve yürütülmesi esasıda ve ortaya çıka her türlü bilimsel problemi çözümüde yardımlarıı gördüğüm tez daıģmaım Yrd. Doç. Dr. Abdullah SÖNMEZOĞLU a, bölüm baģkaımız Doç. Dr. Akı Osma ATAGÜN e, hocalarım Prof. Dr. Mammad MUSTAFAYEV ile Yrd. Doç. Dr. Yusuf Ali TANDOĞAN a, ayrıca baa her zama destek ola aileme ve arkadaģlarıma sosuz teģekkür ederim. v

9 SEMBOLLER VE KISALTMALAR LİSTESİ (N,p) : Nörlud Toplaabilme (N,p,q) : GeelleĢtirilmiĢ Nörlud Toplaabilme : Kompleks Sayılar Cümlesi k a : Satır ve Sütu Sayısı Sosuz Ola Kompleks Terimli Bir Matris a a o : a O : a dizisii limiti sıfır dizisi sıırlı p p p : p i simetrik fark vi

10 . GİRİŞ ;, k N 0,... A a k satır ve sütu sayısı sosuz ola kompleks terimli bir matris ve U, V; bütü kompleks terimli dizileri oluģturduğu S uzayıı alt cümleleri ola C0 s S k : lim Sk 0, Sk, k C s S k : lim Sk var, Sk, k s S : S p, S p k k k k0 s S k : M 0 öyleki k N içi Sk M,Sk dizi uzaylarıda herhagi ikisii temsil etsi. Buradaki her bir cümle kompleks s S U sayılar cismi üzeride birer lieer uzay olduğuda her S0 s S dizisii, vektörel formda yazabiliriz. Böylece A a k sosuz matrisi ile S dizisie bildiğimiz klasik matris çarpımıı uygulayarak, a0ksk k0 a00 a0 a02 a0k S0 a0 a a2 a k S aks k k0 a0 a a2 ak Sk aksk k0 dizisii elde ederiz. Burada içi olduğuu kabul ediyoruz. Bu Ģekilde elde edile A s A s a S serilerii yakısak k0 k k A s dizisie, s S

11 s S U dizisii A matrisi ile yapıla döüģüm dizisi deir. Her terimi bir sosuz seri ola içi her bir A s dizileri V dizi uzayıı elemaları ise, A a k sosuz matrisie U da V ye bir matris döüģümü taımlar deir ve A U,V ile gösterilir. Yukarıda taımladığımız biçimde bir döüģüm içi özel döüģümler ola matrisler yerie, ede geel bir lieer döüģüm alımadığı sorusu aklımıza gelebilir. Matrisleri seçiģimizi edei, çoğu hallerde iki dizi uzayı arasıdaki e geel döüģümü bir matrisle verilebilmesidedir. Dizilerle matris döüģümleri arasıdaki iliģki, toplaabilme teorisiyle bulua bazı özel souçlarla doğmuģtur. Toplaabilme teorisideki temel amaç, Cauchy alamıdaki yakısaklık kavramıı geiģletmektir. Bu durumu, Euler i verdiği Ģu klasik örekle biraz daha açıklayalım: Euler, 2 3 x x x x... formülüde x alarak,... 2 garip soucuu elde etti. Biz biliyoruz ki yukarıdaki formül x içi geçerlidir.... serisi veya kısmi toplamlar dizisi ola s S,0,,0,... 0 dizisi Cauchy alamıda ıraksaktır. Bu durumda bildiğimiz (Cauchy alamıdaki) yakısaklık taımıa göre s,0,,0,... dizisii limiti /2 olamaz. Euler i yaptığı iģlem garip görümekte ise de bizim içi baģka bir yakısaklık fikrii ortaya çıkarmaktadır. serisii toplamıı S ġimdi de, 0 k dizisii limiti olarak değil k0 k S k k0 2 2

12 dizisii içi limiti olarak taımlarsak, serisi bu yei taıma göre yakısak ve limiti /2 olur. Gerçekte; S k 2 k 0 k 0 S S... S p ;, çift p, tek dır. Yukarıdaki iģleme dikkat edilirse üzere S dizisii, k a k, k 2 0, k dizisi, s S,0,,0,... olmak Ģeklide taımlamıģ A a k matrisiyle, baģta taımladığımız biçimde s S döüģümde ibarettir. Yie baģta verdiğimiz gösterimlere göre, A s C olduğuda özel bir A matrisiyle sıırlı (fakat ıraksak) bir diziyi, yakısak bir diziye döüģtürmüģ olduk. Bu durumda bizim esas amacımız ortaya çıkmıģ olmaktadır. Bir S dizisi ile bir s sayısıı birleģtirme amacıı oluģtura ve bilie yakısaklık kavramıı yerii alabile pek çok sayıda taım vardır. Buları her biri daha öce ifade ettiği alamı koruyarak diğeride ayrılır. Yukarıdaki örekte olduğu gibi, Cauchy alamıda ıraksak ola e az bir dizi yei taımla yakısak olmaktadır. 3

13 Diğer tarafta; Cauchy alamıda yakısak ola her S dizisi, yei taımla da yakısaktır. Yai; ise lim S s olmak üzere k a k, k 2 0, k S dizisii A döüģümü ola aksk dizisi içi k0 lim lim S k s 2 k k0 dır. Gerçekte; S dizisi Cauchy alamıda yakısak olduğuda, 0 içi N N : N içi S s dır. Ayrıca Sk s s k 2 k k0 2 k0 Ģeklide yazılır. U S s k 2 k 0 k ile taımlası. (.) N U Sk s S k s 2 k k k0 2 kn N N k ; M sup S k s k k k0 k0 k0 k M 2 2 U N k0 M k 2 4

14 buluur. O halde kullaılırsa, lim lim U 0 s elde edilir. dır. Öte yada 2 k k0 olduğu (.) de Böylece bu yei taımla Cauchy alamıda yakısak ola her dizi yie yakısak olmaktadır. Yai yei taım, bilie yakısaklık taımıda daha geiģ bir uygulama alaıa sahiptir. ĠĢte bu durum bize, Cauchy alamıda ıraksak ola bu tip dizileri yakısak yapabile ve üstelik Cauchy alamıdaki yakısaklığı da koruya taımları taımlama fikrii vermiģtir. Geel olarak, taımlaacak yei metodları aģağıdaki özelliklere sahip olmaları gerekir: ) Cauchy alamıda yakısak ve limiti s ola bir dizi, yei alamda da yakısak olmalıdır. Özellikle ayı s limitie yakısaması gerekir. 2) Cauchy alamıda ıraksak ola e az bir dizi, yei metodla yakısak olmalıdır. 3) Eğer bir S dizisie farklı iki metod uygulaır ve bu dizi bu iki metodla da yakısak ise her iki metod içi S i limiti ayı olmalıdır. ) ve 2) koģulları temel koģullardır fakat bütü metodlar 3) koģuluu sağlamak zoruda değildir. Acak biz bu üç koģulu sağlaya metodları ve bulara ek olarak Cauchy alamıda yakısak serileri cebirsel iģlemlerii temel kurallarıı; yai; A ) a s a s 0 0 (her sabit içi) A 2) a s, b t a b s t A 3) a s a s a0 0 aksiyomlarıı sağlaya toplama metotlarıı iceleyeceğiz. 5

15 Bilie yakısaklık taımıa göre açıklık getirilmemiģ bazı problemler, yei taıma göre açıklığa kavuģturulmuģtur. ġöyle ki; Cauchy çarpımı C a kbk k0 a A 0, b B ve bu iki serii 0 olmak üzere C serisii e zama 0 yakısayacağı, öemli güçlükler arz ede bir problemdir. Fakat 890 yılıda E. Cesa ro, Cesa ro Teoremi olarak bilie teoremi ispatlamıģtır. Görüldüğü gibi Cesa ro burada Cauchy alamıda yakısaklık taımıı kullamamıģ, adıa Aritmetik Ortalama diyeceğimiz yei bir toplama metodu kullamıģtır. Ülü Alma matematikçisi O. Toeplitz (88 940) bize her toplaabilme metoduu özel bir matris döüģümü olduğuu göstermiģtir. Toeplitz, yakısak diziler uzayıı kedisie resmede ve her bir yakısak dizii limitii koruya bıraka bütü A a k,k 0,,... Toeplitz, baģta taımladığımız biçimdeki sosuz matrislerii karekterize etmiģtir. A s a S serilerii her bir k0 k k =0,,2, içi yakısaması durumuda S k olduğuda A s olması içi A üzerideki gerekli ve yeterli koģulları araģtırmıģtır. Böylece matris döüģümleri ile toplaabilme metodları arasıdaki iliģki, 9 yıllarıda O.Toeplitz tarafıda kurulmuģtur. ġimdi yukarıdaki örekte taımladığımız k a k, k 2 0, k Ģeklideki A a k matrisii göz öüe alalım. Herhagi bir k S dizisii A döüģümü olmak üzere aksk idi. Dolayısıyla k0 S k 2 k 0 k 6

16 dır. Bu metod, Euler metodu E toplama metodu olarak adladırılır. BaĢta verile örekte bu metodu S,0,,0,... görmüģtük. dizisii /2' ye limitlediğii Aslıda bu E toplama metodu, adıa Nörlud ortalaması diyeceğimiz baģka bir toplama metoduu özel bir halidir. ġöyle ki; N ile göstereceğimiz Nörlud p k matrisi Ģu Ģekilde taımlaır: P p 0... p 0 olmak üzere pk, k Np P k,k 0,,... 0, k dır. k içi pk N P k seçilirse k pk, k P 0, k P 2 k k0 olacağıda, k, k 2 0, k E k elde edilir. Bu ise E metoduu, Np Nörlud metoduu özel bir hali olduğuu gösterir. Np Nörlud metodu üçgesel bir matristir ( A a k matriside, her k içi ak 0 ise A matrisie üçgesel matris deir. Burada (N,p,q) u q= içi özel hali icelemiģtir. Yai (N,p,q) metodu (N,p) i geellemesi olmaktadır. Bu çalıģmada geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilme ile ilgili taım ve teoremler verilecektir 7

17 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Bu bölümde geel olarak çalıģmamızda faydalaacağımız temel taım ve teoremleri vereceğiz. Taım 2.: F, reel ve ya kompleks sayıları bir cismi v=0,,2, içi ( av) olmak üzere bir A= ( a v) sosuz matrisi ve ( s ) de F de bir dizi olsu. Bu takdirde ( s ) diziside ( t ) dizisie bir döüģüm, t a s (=0,,2, ) (2.) v v v0 F olarak taımlası. ( t ) dizisie ( s ) dizisii A- döüģüm dizisi deir. A`ya da dizide diziye bir döüģüm deir. Bu döüģümü var olabilmesi içi (2.)`deki toplamı her içi yakısak olması gerekir []. Taım 2.2: Bir A= ( a v) matrisi verilmiģ olsu. Eğer A matrisi yakısak her diziyi yakısak diziye döüģtürüyor ve ayı zamada limitide koruyorsa A matrisie regülerdir deir []. Teorem 2.: Bir A= ( av) matrisii regüler olması içi gerek ve yeter Ģartları:. Her v içi lim a 0 lim av 2. v 0 v 3. Her içi vardır. v0 a v M olacak Ģekilde `de bağımsız bir M pozitif reel sayısı Bu teoreme Silverma-Teoplitz teoremi adı verilir [].

18 Taım 2.3: Reel veya kompleks terimli bir B= b sosuz matrisi verilmiģ olsu. v 0 a serisi t b a (2.2) v v v0 olacak Ģekilde taımlaa ( t ) dizisie, a serisii B-döüĢüm dizisi deir ve 0 B`ye seride-diziye bir döüģüm adı verilir. Bu döüģümü taımlı olması içi (2.2)`deki serii her içi yakısak olması gerekir []. Taım 2.4: Verile bir a serisii kısmi toplamlar dizisi ( ) 0 s olsu. Ayrıca a serisii veya ( ) 0 s dizisii A ( a v ) matrisi yardımıyla ( t ) döüģüm dizisi, t a s v v v0 olarak taımlası. Eğer lim t = lim dizisie s-değerie A-toplaabilirdir deir []. avsv s ise, v 0 a serisie veya ( s ) 0 Taım 2.5: Kısmi toplamlar dizisi ( s ) ola bir a serisi verilmiģ olsu. 0 A a v ile a serisii veya ( ) 0 s dizisii ( t ) döüģüm dizisi t a s v v v0 olacak Ģekilde taımlamıģ olsu. Eğer ( t) a serisie veya ( ) 0 BV yai t sıırlı salıımlı ise, s dizisie Mutlak A-toplaabilir deir veya A -toplaabilir 9

19 deir. Eğer a serisi A -toplaabilir ise, 0 sembolleride biri ile gösterilir []. a A veya ( ) 0 s A Taım 2.6: Hepsi birde sıfır olmaya, o-egatif sayıları bir ( p ) dizisi verilmiģ olsu. P p p p p, p0 0, (=0,,2,3, ) olmak üzere bir ( s ) diziside bir ( U ) dizisie v v P v0 U p s (2.3) ile verile döüģüme, Nörlud döüģümü veya Nörlud ortalaması deir ve (N, ile gösterilir. (N, p ) ortalamasıı matrisii elemaları, p ) a v pv, v P 0, v (2.4) Ģeklide taımlıdır []. Teorem 2.2: (N, p ) ortalamasıı regüler olması içi gerek ve yeter Ģart lim p 0 P olmasıdır []. 0

20 Taım 2.7: Hepsi birde sıfır olmaya o-egatif sayıları bir ( p ) dizisi verilmiģ olsu. P p p p p, p0 0, (=0,,2,3, ) olmak üzere bir ( s ) diziside bir ( T ) dizisie T pvsv P v 0 (2.5) ile verile döüģüme Riesz döüģümü veya Riesz ortalaması deir ve ( N, p ) ile gösterilir. ( N, p ) Riesz ortalamasıı matrisii elemaları, a v pv, v P 0, v (2.6) Ģeklide taımlaır []. Teorem 2.3: ( N, p ) ortalamasıı regüler olması içi gerek ve yeter Ģart lim P olmasıdır []. k Taım 2.8: Bir ( s ) diziside ( t ) dizisie t k v k sv k (2.7) v0 k k

21 Ģeklide tarif edile döüģüme k. mertebede Ceso`ra döüģümü deir. Bu döüģüme karģılık gele matris, a v v k k, v k k 0, v (2.8) Ģeklide tarif edilir[]. Taım 2.9: Bir regüler metot toplamsallık özelliğie sahip olduğuda total regülerdir deir. Yai; her solu veya sosuz s içi s s t s ise bu reel döüģüme total regülerdir deir [2]. Teorem 2.4: Bir ( ) s diziside bir t dizisie, t c s (v> içi cv 0 ) (2.9) v v v0 ile taımlaa reel döüģümü total regüler olması içi gerek ve yeter Ģart bu döüģümü pozitif ve regüler olmasıdır [2]. Taım 2.0: 0 Eğer 0 içi, p olmak üzere s dizisii N p döüģüm dizisi, U olsu. P U U (2.0) 0 p ise s dizisie. mertebede mutlak Nörlud toplaabilir veya toplaabilir deir [3]. 2 N, p -

22 Taım 2.: 0 q olmak üzere s dizisii Nq döüģüm dizisi Eğer 0 içi, Q q0 q... q olmak üzere, v olsu. Q V V (2.) 0 q ise s dizisie. mertebede mutlak Riesz toplaabilir veya Nq, -toplaabilir deir [3]. Taım 2.2: 0 içi i) p 0 p p2 ii) p p olacak Ģekilde taımlaa p dizilerii cümlesi, Mile gösterilir4. p0 0 olmak üzere P p ile taımlası. Bu durumda c dizisi de, v0 v, 0 pvcv v0 0, 0 (2.2) olarak tarif edilir. Ayı zamada c c v0 v olarak kabul edilir [4]. 3

23 Taım 2.3: a ve b verile iki dizi olmak üzere, a, b i iki pozitif sabit ile çarpımları arasıda kalıyorsa, bu otasyo a b otasyou ile gösterilir. Yai; k b a k b 2 olacak Ģekilde k, k 2 pozitif reel sabitleri varsa, bu a b otasyou ile gösterilir [5]. Taım 2.4: (A) ve (B) iki toplaabilme metodu olmak üzere; her (A) toplaabile dizi ayı değere (B) toplaabiliyorsa, (A) toplaabilme metodu (B) toplaabilme metoduu gerektirir deir. A B ile gösterilir [5]. Taım 2.5: (A) ve (B) iki toplaabilme metodu olmak üzere bu iki metotta biri diğerii gerektiriyorsa, (A) ve (B) metotlarıa dektir deir. (A) ve (B) gibi iki toplaabilme metoduu dekliği A B A B B A ile gösterilir [4]. 4

24 3. (N,p,q) METODU Bu bölümde geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilirlik taımıı vererek, bu metot ile ilgili etkisizlik ve limitlime teoremlerii ifade ve ispat edeceğiz. 3.. GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLİRLİK Taım 3..: p, q ve r birer dizi 0 içi r 0 ve r 0 olmak üzere r p q (3..) v v v0 olacak Ģekilde reel veya kompleks sayıları dizileri olsu. Bu takdirde verile bir a serii kısmi toplamlar dizisi v0 s olmak üzere s diziside t dizisie v v v r v0 t p q s (3..2) ile verile döüģüme geelleģtirilmiģ Nörlud ortalaması veya geelleģtirilmiģ Nörlud döüģümü deir ve (N,p,q) ile gösterilir. Eğer lim t s ise, bu takdirde a serisie ya da 0 s dizisie s değerie geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilir deir ve s s( N, p, q) Ģeklide gösterilir [2]. (3..2) ile verile döüģümde; i) Her içi q alıırsa,

25 r p q p P v v v v0 v0 t p q s p s v v v v v r v0 P v0 olduğuda (N,p,q) toplaabilirlik, (N, p ) toplaabilirliğe idirgeir. ii) Her içi p = alıırsa, r p q q Q v v v v0 v0 t p q s q s v v v v v r v0 Q v0 olduğuda (N,p,q) toplaabilirlik, ( N, q ) toplaabilirliğe idirgeir. iii) Her k Z olmak üzere her içi q ve p vk k seçersek, v k k r pvqv v0 v0 k k vk t p q s s k k k v v v v r v0 v0 olduğuda (N,p,q) toplaabilirlik (C,k) toplaabilirliğe idirgeir [5]. 6

26 Taım 3..2: Eğer (A) metodu yakısaklığa dekse (A) metodua etkisizdir deir. Yai; (A) metoduu döüģüm ve ters döüģüm matrisleri regülerse (A) metodua etkisizdir deir [4] p M ve q Teorem 3.2.: Her Pozitif Diziler İçi Limitleme Teoremleri 0 içi 0 q ve p M olmak üzere s cvrv tv dir [4]. q v0 0 İspat: Her içi 0 içi, p q q q r q q ve p M olsu. Bu takdirde her 0 v v vk k cvrv tv cvrv sk cv pvkqk sk v0 v0 k0 v v0 k0 c p q s p q s... p q s q v v 0 0 v 0 v v c p q s c p q s p q s c p q s p q s q q v c p0... c0 p q0s0 c p0... c0 p qs c0 p0 qs q cv pv0 q0s0 cv pv qs... cv pv qs v0 v v c p q s q k 0 vk q q q q s v vk k k v v k 0 vk v k k0 v0 v0 k v k k k c p q s c p q s k 0 k 0 k ck v pv qksk c0 poqs c 0. q s k v s k k cp pv q s q s 0 0 k k q 7

27 yazılabilir. Bua göre; 0 içi s cvrv tv elde edilir. q v0 Lemma 3.2.: 0 içi s j, vtv olsu. t 0 s 0 olması içi gerek ve yeter Ģart: i) 0 v0 içi jv, K olacak Ģekilde e az bir pozitif K sabiti vardır. v0 ii) v 0 içi lim jv, 0 olmasıdır [6]. Teorem 3.2.2: p M, q 0 olsu. Bu takdirde;,, ( c oq G ve r Oq G s s N p q s s o G ) dir [5]. İspat: Kabul edelim ki s sn, p, q s s og olsu. Geelliği bozmaksızı s=0 alabiliriz. Bua göre t 0 s G 0 yazılabilir. Teorem 3.2. de dolayı içi s G q G v0 c r t o v v v yazılabilir. Bua göre Lemma 3.2. de dolayı s G c q G v0 r t v v v olduğuda, i) 0 içi 8

28 c G r q v v K cvrv OqG (3.2.) v0 v v0 ii) Her v ve içi, cvrv o Gq (3.2.2) yazılabilir. Eğer r OG q alıırsa bu takdirde (3.2.) ifadesi sağlaır. Çükü p M olması, c0 0, içi c 0 olduğuu gerektirir [2]. Bu yüzde c r c r c r c r c r c r c r v v 0 v v 0 v v 0 v v v0 v0 v0 v0 c r c r c r c r v v v0 2c r c r (3.2.3) 0 v0 v v yazabiliriz. Diğer tarafta v c r c p q v v v vk k v0 v0 k0 v0 c p q p q... p q v v 0 v 0 v c p q c p q p q c p q p q c p q c p q c p q... c p q... c p q c p c p c p q c p c p q c p q c p q c p q... c p q v v0 0 v v v v v0 v v c p q k0 vk v vk k 9

29 v vk k v v k 0 vk v k 0 q c p q c p q k vk c p q c p q vk v k 0 0 olduğuda cvrv q (3.2.4) v0 dir. (3.2.4) eģitliği (3.2.3) eģitliğide yerie yazılırsa, cv 2c0r q (3.2.5) v0 elde edilir. r Oq G olduğuda v 0 K 0 vardır. O halde (3.6) eģitliği r içi qg K olacak Ģekilde v0 c r 2c r q 2c KG q q 2c KG q v v 0 0 o cvrv OGq (3.2.6) v0 elde edilir. Diğer tarafta eğer c Oq G ise (3.4) ifadesi sağlaır. Gerçekte; p c p c p c p c p c p c p c v v 0 v v v v v0 v v 2p c p c 2p c (3.2.7) 0 v v 0 v0 20

30 yazılabilir. Bua göre p c p c p c c p (3.2.8) v v 0 v v 0 v0 v olduğuda (3.2.7) ve (3.2.8) de, p c p c p c c p v v 0 v v 0 v0 v p c p c c p 0 v v 0 v c p p c p c (3.2.9) 0 0 v v v yazılabilir. p M olduğuda 0 v içi p p v p p olduğuda v p p p p c p p p p v v v v v pp p c c v v v v p pp 2 2 v pv cv cv v v p pp p c p c p c p c c p c 2 2 v 0 v v 0 v v v p pp p c p c p c c p c 2 v 0 v v 0 v v v p (3.2.0) c v elde edilir. (3.2.9) eģitliği (3.2.0) da 2 p p0 c pc0 pv cv p c (3.2.) p v elde edilir. Her içi geçerli olduğuda özel olarak (-) içide geçerlidir. 2

31 2 c p p c p c (3.2.2) 0 0 v v v yazılabilir. Bu yüzdede p p p c p c p c p c p p c p p (3.2.3) elde edilir. (3.2.3) ifadeside köģeli paratez o-egatif ve azalmayadır. Gerçekte p M olduğuda p p içi dır. Bua göre p p 0 p0 p p p p p0 0 p p p0 p p azalmayadır. Bu yüzdede her elde edilir. Yai; (3.2.3) de köģeli paratez o-egatiftir. ġimdi buu azalmaya olduğuu gösterelim. p 0 p p p p 0 ile taımlaa dizisii göz öüe alırsak, v 0 içi p p p p p p p0 p0 p0 0 p p0 p p0 p p dır. Bu ise dizisii azalmaya olduğuu gösterir. dizisi, arta ve oegatif olduğuda 0 içi >0 dır. Bu yüzdede 0 içi 22

32 c p0 c olduğuda dolayı c c p0 c 0 yazılabilir. Bu ise her 0 içi c O c olduğu gösterilir. Bu ifade her 0 içi geçerli olduğuda özel olarak, -, -2,, -v+ içide geçerlidir. Bua göre, c c c c c c 0 0 0, 2,..., v v p0 p0 p0 elde edilir. Bu yüzde c c c c v p0 p0 p0 v (3.2.4) yazılabilir. Bua göre, v c c c p c c r p r c v v v v v p v v c r O c o q G (3.2.5) v v elde edilir. Tersie olarak; (3.2.) ve (3.2.2) sağlaırsa, bu takdirde; 23

33 i) (3.2.) de v= alıırsa c r c r O q G v v v v v0 elde edilir. Bu ise c r Oq G r Oq G olduğuu gösterir. 0 ii) (3.2.) de özel olarak v=0 alıırsa c r oq G c oq G elde edilir. 0 Souç 3.2.: p M, q 0 olsu. Bua göre,, s s N p q s s o r q c o r olmasıdır [5]. İspat: p M, 0 seçilirse, q olsu. Eğer Teorem 3.2.2`de v 0 r içi G = q r c=o q =oq =o r G q göre Teorem de ve r =Oq G =O q =Or q r yazılabilir. Bua,, s s N p q s s o r q c o r olduğu görülür. Souç 3.2.2: AĢağıdaki Ģartları herhagi birii sağlaya p M, q 0 olsu. (a) (N,p,q) regüler (b) P (c) Q bu takdirde s sn, p, q s s or q dır [7]. 24

34 İspat: Souç (3.2.) de (a), (b), (c) i her birii c or olduğuu göstermek yeterlidir. ġimdi kabul edelim ki (a) sağlamıģ olsu. Yai (N,p,q) regüler olsu. Bu takdirde v v v r v0 t p q s ile verile döüģüme karģılık gele matrisi elemaları a v pvqv, v r 0, v ile gösterilsi. Bu Silverma-Teoplitz teoremii Ģartlarıı sağlar. Bu yüzde de Silverma-Teoplitz teoremii (b) özelliğide her v içi lim a v = lim p q v v 0 r yazılabilir. Bu yüzdede her v içi p q o r p o r v v v elde edilir. Bu ifade her v geçerlidir. Bu yüzde içi geçerli olduğuda özel olarak v=0 içide p o r (3.2.6) yazılabilir. (3.2.7) de dolayı pvcv 2 pc0 olduğuda v0 25

35 p c p c p c 2p c p c p c v v 0 v v 0 0 v v v0 v v p c p c (3.2.7) 0 v v v yazılabilir. Diğer tarafta c p p c c p p c p c (3.2.8) v v 0 v v 0 0 v0 v olduğuda (3.2.7) ve (3.2.8) de dolayı p c c p p c (3.2.9) 0 v v 0 v c c0 elde edilir. Bu yüzde K olacak Ģekilde K 0 sayısı vardır. O halde p p 0 c O p (3.2.20) yazılabilir. (3.2.6) ve (3.2.20) yi kullaarak, c O p O o r o r c o r elde edilir. ġimdi kabul edelim ki (b) sağlamıģ olsu. >0 içi pvcv 0 dır. p v0 artmaya bir dizi olduğuda her v, içi v ise p v p yazılabilir. Bu yüzdede 0 içi c 0 olduğuda her v, içi pvcv pcv elde edilir. Bua göre 26

36 pvcv pcv p cv pc (3.2.2) v0 v0 v0 yazılabilir. (3.2.7) yı kullaarak, p c p c p c 2p c p c p c p c v v 0 v v v v v0 v0 v p c p c p c 0 0 v v v 0 p c p c (3.2.22) v v v0 buluruz. (3.2.2) ve (3.2.22) yi kullaarak (3.2.23) p c p c p c p c p c 0 v v 0 v elde edilir. Diğer tarafta v p c p c p c c... c v v v k v 0 v0 v0 k0 v p c p c c p c c c p c p c... p c p c... p c... p c pvcv pvcv... pvcv v0 v v pvcv k k0 vk k pvkcv p0c (3.2.24) 0 k0 v0 27

37 elde edilir. Her v içi v ve c c c v k v k 0 p artmaya dizi olduğuda v v v v v v v v v v0 v0 v0 c p c p c p c p c p cv pv cv p p cv pc (3.2.25) v0 v0 v0 yazılabilir. (3.2.24) ve (3.2.25) ifadelerii kullaarak, v j cv p v p v c j c j p v c jp j c j Pj v0 v0 j0 j0 v j j0 j0 Pj KP c KP c j j j j0 P olacak Ģekilde K 0 sayısı vardır. Bu yüzde pc (3.2.26) K yazılabilir. p ise c 0 dır. Bu yüzde c o p (3.2.27) elde edilir. Ayrıca, r p q p q p q p q v v v v 0 0 v0 v 0 r p q p O r (3.2.28) olduğuda (3.2.27) ve (3.2.28) ifadesii kullaarak, 28

38 c o p o O r o r c o r elde edilir. ġimdi kabul edelim ki Q olsu. p artmaya bir izi olduğuda p Q p q p q p q r v v v v v0 v0 v0 c c pq r (3.2.29) r p Q r p Q yazılabilir. Q ve c O p olduğuda (3.3.) ifadeside c Or elde edilir. Souç 3.2.3: p M, q 0 olsu.bu takdirde s sn, p, q s s c oq ver Oq dır [5]. İspat: Teorem de özel olarak her içi G seçilirse istee elde edilir. 3.3., p q Reel veya Kompleks Diziler İçi Limitleme Teoremleri Teorem 3.3.: c ve rv O r max 0 v olsu. Bu takdirde s sn, p, q s s og r O q G dir [5]. İspat: Kabul edelim ki r O q G olsu. Bu takdirde 3.2. ve i Ģartlarıı sağladığıı göstermeliyiz. Eğer r O q G ise 0 içi 29

39 r qg K olacak Ģekilde K 0 sayısı vardır. Diğer tarafta c yakısak olduğuda kısmi toplamlar diziside yakısaktır. Yakısak her dizii bir toplamı var olduğuda, c r c r max r c O r O O O q G O O q G v v v v v v 0x v0 v0 v0 yazılabilir. Bua göre baģka r 0max v v r c v K olacak Ģekilde K 0 v0 qg c yakısak olduğuda 0 sayısı vardır. Buda c dır. r O r 0max v olduğuda v h h dersek K r yapacak Ģekilde K 0 sayısı vardır. Bua göre h K 0 yazılabilir. Bu yüzde de v K c sıfır dizisi ve r sıırlı dizi olduğuda c v or yazılabilir. Diğer tarafta r O q G ve c v or olduğuda, c v o r o O qg o qg (3.3.) elde edilir. Tersie olarak; c ve rv O r max 0 v ve s s N, p, q s s o( G ) olsu. Teorem de dolayı c oq G ve r Oq G yeter Ģarttır. Bu ise, i) Her içi c r Oq G v0 v v olması gerek ve 30

40 ii) Her v ve c içi c oq G v yazılabilir. Buradada r Oq G elde edilir. Uyarılar: ) Eğer G,max G OG v 0v dizi ise, bu takdirde Teorem 3.3. i r Or q 0max v O q ile değiģtirilebilir. Gerçekte; v ile verile reel veya kompleks terimli bir 0max v Ģartı, soucu etkilemeksizi v r r q q q q q q OG OG OG (3.3.2) r q r r q r q r v v v v v v v v v v yazılabilir. Diğer tarafta q q q r q p... q p q p p olduğuda q r sıırlı bir dizidir. G OG ve q Oq 0max v v 0max v v oluğuda her 0 v içi Gv K G olacak Ģekilde K 0 vardır. Her 0 v içi qv K2 q olacak Ģekilde K2 0 vardır. Bua göre her 0 v içi (3.3.2) ifadeside rv KK2 G K max r O r r p v 0 v 0 elde edilir. 2) Kabul edelim ki G, reel veya kompleks azalmaya bir dizi olsu. Bu takdirde r 0max v v Or ile q Oq 0max v Ģartları değiģtirilebilir. Gerçekte, v 3

41 G azalmaya dizisi ise her 0 v içi Gv G yazılabilir. Bua göre Gv max 0vG olduğuda G OG döüģtüğüü gösterir. 0max v elde edilir ki bu bize () ifadesie v 3) r c0 ve r mooto olmak üzere her bir durumda r O r gerçekleģtirilebilir. Gerçekte; 0max v Ģartı v i) Kabul edelim ki r c0 ve içi; r 0 r v r oluğuda r Or r mooto arta olsu. Bu takdirde her 0 v 0max v yazılabilir. v ii) ġimdi kabul edelim ki r c0 ve 0 v içi; r 0 r v r olduğuda r Or 4) Eğer N, r regüler ise, r O r r mooto azala olsu. Bu takdirde her 0max v elde edilir. v 0max v sağlaır. Gerçekte; her 0 v içi; v v rk r0 r... rv r0 r r r0... rv rv rv (3.3.3) k0 olduğuda max r max rk (3.3.4) v 0v 0v k 0 v yazılabilir. Üçge eģitsizliğide her 0 v içi; v v rk rk (3.3.5) k0 k0 32

42 elde edilir. Bua göre her 0 v içi; v rk rk (3.3.6) k0 k0 olduğuda dolayı v max rk rk 0v k (3.3.7) 0 k 0 elde edilir. Ayrıca N, r regüler olduğuda Teorem 2.. i (i) özelliğide her 0 v içi; v O (3.3.8) v0 r r yazılabilir. (3.3.8) eģitliğide her 0 v içi; r v O r (3.3.9) v0 elde edilir. (3.3.4), (3.3.5), (3.3.7) ve (3.3.8) ifadelerii kullaarak, v v max r max r max r r O r v v k k 0v 0v 0v k0 k0 k0 elde edilir. Souç 3.3.: c ve rv O r max 0 v olsu. Bu takdirde,, s s N p q s s o r q dır [5]. 33

43 İspat: Kabul edelim ki c ve rv O r olsu. Teorem 3.3. de r v 0 içi G q seçilirse OG r q Ģartı sağlaır. Bua göre Teorem3.3. de,, s s N p q s s o r q elde edilir. Souç 3.3.2: olsu. Bu takdirde; c, rv O r max 0 v veya qv O q max 0 v,, s s N p q s s r O q dir [5]. İspat: Teorem 3.3. de özel olarak her içi G seçilirse, istee souç elde edilir Regülerlik Şartı İçi Limitleme Teoremleri Teorem 3.4.: q r O ve N, r regüler olsu. Bu takdirde G,, s s N p q s s o G r q O G ve c dır [5]. 34

44 İspat: N, r regüler olduğuda Teorem 3.3. i 3. Uyarısıda dolayı r 0max v O r yazılabilir. Bu yüzde c olduğuu ispatlamak yeterlidir. v Teorem 3.3. de cvrv O q G (3.4.) v0 elde etmiģtik. Hipotezde q r O G olduğuda q G O r (3.4.2) yazılabilir. (3.4.2) yi (3.4.) de yerie koulursa, v0 c r O q G O O r O r v v elde edilir. Ayrıca N, r regüler olduğuda 0 içi rk O rv v k0 yazılabilir. Bua göre v rk rv olduğuda k 0 v v c r c r c r O r v v v k v k v0 v0 k0 v0 k0 yazılabilir. Bu yüzdede v v c r c r O r v k v k v0 k0 v0 k0 elde edilir. Bua göre 35

45 v k k c r r c r c r c v k k v k v k v v0 k0 k0 vk k0 v0 k0 v0 elde edilir. Bu ise, k r c O r k v k0 v0 olduğuu gösterir. N, r total regüler olduğuda c sıırlı değilse, aģikar olarak bu so durum sağlamaz [2]. Bu yüzde c Uyarı 3.4.: N, G regülerse N, r regülerliği yerie Teorem 3.4. de N, q regülerliği yazılabilir. Yai; N, q ve N, G regülerliği N, qg regülerliğii gerektirir. Gerçekte; N, q, N, G ve N, qg döüģümlerie karģılık gele matrisleri elemaları sırasıyla a v qv, v q b 0, v v Gv, v G c 0, v qvgv, v qg 0, v v ile verilsi. qvg v qvg v qv G v q G q G q G q G v v v v v v v v q G G G q q v v v v v v q G G q v v v v olduğuda 36

46 c v qg v Gvq v, v qg 0, v elde edilir. Bua göre; i) N, q ve N, G regüler olduğuda her v içi, qv G v lim av lim 0 lim bv lim 0 q G olduğuda q v q ve G v G dır. Ayrıca v v göre, sıırlıdır. Bua q G G q v v v v lim cv lim 0 qg elde edilir. ii) Her içi c c c v v v v0 v0 v q G G q qg v v v v v0 q G q G q q G G q v v v v v (3.4.3) v0 v0 yazılabilir. N, özelliğide, q ve N, G regüler olduğuda Teorem 2.. i (i) 37

47 q q v v O O (3.4.4) v=0 v0 G G yazılabilir. q q ve G v G v kullaarak, her içi diziler sıırlı olduğuda ve (3.4.3) de (3.4.4) ü q G q G q O v v v v v cv v0 v0 q G v0 G q eģitsizliği elde edilir. Bu yüzdede sup cv elde edilir. v0 iii) Her içi v v cv v0 v0 qg qg q G v v v v v0 v0 q G q G q G q G qg v v v v v v0 q G q G q G qg qg qg q G q G v v v v v v olduğuda lim c lim c lim v v v0 v0 elde edilir. O halde N, qg regülerdir. 38

48 Souç 3.4.: Kabul edelim ki N, r regüler olsu. Bu takdirde,, s s N p q s s o r q c dır [5]. İspat: Kabul edelim ki N, G r seçilirse, q q r r regüler. Eğer Teorem de 0 O G sağlaacağıda dolayı, Teorem de r q ve OG içi Ģartlarıı her ikisi de,, s s N p q s s o r q c elde edilir. Souç 3.4.2: Kabul edelim ki q O r, N, q veya N, r takdirde regüler olsu. Bu s sn, p, q s s r O q ve c dır [5]. İspat: Eğer N, r regüler ise, Teorem 3.4. de özel olarak her içi G seçilirse, Teorem de q O r ve r O q q r O G r q ve OG Ģartları sırasıyla, Ģartlarıa döüģür. Bu durumda her içi G seçilirse, Teorem 3.3.2, Souç ye idirgeir. 39

49 Eğer N, q regüler ise, Teorem 3.4. i ispatıda soraki açıklamalarda dolayı; N, q ü regülerliği N, r ü regülerliği ile yer değiģtirilmesi içi N, G regüler olmalıdır. Buu içi özel olarak; geel terimi her içi G 2 ola G dizisii göz öüe alalım. Bua göre G ve sıırlıdır. G dizisii döüģüm matrisii elemaları G dizileri a v Gv, v G 0, v ile verilsi. Bu döüģümü regüler olduğuu göstermek içi Teorem 2.. i uygulayalım. i) f x x x2 x2 f x 0 x 2 alıırsa 2 olduğuda f foksiyou 0 arta foksiyodur. Dolayısıyla içi G dizisi arta dizidir. Bu yüzde 0 v G G G yazılabilir. Dolayısıyla her içi, v v 0 2 ile taımlaa G ve 0 içi G v av av av 0 G v v0 v0 v v0 G v G v0 v v G v 2 v v0 v v G v0 v 2 v v v G v0 v 2 v0 v 40

50 v v G v0 v 2 v v 2 v v G 2 v v 2 v v olduğuda sup cv elde edilir. v0 ii) Her içi G v v G G v 2 v v av av av 0 v0 v0 v v0 v v0 v v G v0 v 2 v0 v v v G v0 v 2 v v 2 v v G 2 v v 2 v v olduğuda lim a lim a lim v v v0 v0 elde edilir. Bu yüzde Teorem 2. i bütü Ģartları sağladığıda dolayı N, G regülerdir. Diğer tarafta sıırlı olduğuda q O r dır. Bu ise q O r olduğuu gösterir. 4

51 p ve q pozitif diziler ike, q O r aģağıdaki souç çıkarılabilir. ihmal edilebilir. Bu teoremde Teorem 3.4.2: Her içi p 0 ve 0 takdirde q, N, q veya N, r regüler olsu. Bu,, ( s s N p q s s dır [5]. P dizisi sıırlı ve c ) İspat: Teorem 3.4. i Souç 3.4. de dolayı her içi p 0, 0 veya N, q, N, q '' r regüler olmak üzere s sn, p, q s s r O q ve '' c öermesi yazılabilir. Bu yüzde de bu teoremi ispat etmek içi '' r Oq olması acak ve acak kafidir. ġimdi kabul edelim ki p dizisii yakısak '' olduğuu göstermek p dizisi yakısak olsu. bu takdirde p dizisii limiti pozitif olmak zorudadır. Çükü p ve c i her ikiside mutlak yakısak ve v v px cx pvx cvx pvcvx v0 0 v0 0 pvcv x p0c0x 0. x. v0 elde edilir. i) ġimdi eğer N, q regüler ve toplama formülüde p dizisi yakısak olduğuda ve Abel kısmi 42

52 v v (3.4.5) r q p q p q p q p q P q P v v v j j v j 0 v v v0 v0 j0 j0 v0 j0 v0 yazılabilir. Bua göre r q qvpv L q v0 elde edilir. Tersie olarak, eğer N, q regüler ve r Oq olsu. Bu takdirde Teorem 2.. de dolayı v qk Kqv olacak Ģekilde K>0 sayısı vardır. Bu ifadei her iki k 0 tarafıı alırsak p vile çarpar, daha sorada her iki tarafı v=0 da ye kadar toplamıı v v p q Kp q p q K p q v k v v v k v v k0 v0 k0 v0 q p Kr k 0 k 0 k v vk q P Kr k k qv Pk Kr (3.4.6) k0 elde edilir. (3.4.6) ı her iki tarafıı q ile bölüürse, r Oq olduğuda, q r qk P K O Pk O q q q k k k0 k0 43

53 elde edilir. Bu yüzde N, yüzde de p yakısaktır. q, total regüler olduğuda P O yazılabilir. Bu ii) Eğer N, ise, bu takdirde r regüler ve P de P L 0 olacak Ģekilde yakısak bir dizi p x P x x (3.4.7) x c x c x (3.4.8) yazılabileceğide dolayı (3.4.7) ve (3.4.8) taraf tarafa çarpılırsa x içi 2 x p x c x x P x c (3.4.9) elde edilir. Ayrıca, ve 0 p x c x P x P x 0 c x c x olduğuda, Pxc x 2 Px c x x x v V P vcv x x X 0 v0 0 v0 P vcv x x 0 v içi v0 P c v v 0 içi P vcv (3.4.0) v0 elde edilir. Bu yüzdede v 0,,2,..., takdirde içi lim cv P v olmalıdır. Aksi v 44

54 lim cv P v v (v=0,,2,,) ise, lim P vcv elde edilir ki bu (3.4.0) soucu ile çeliģir. v0, 0 P L a yakısaya bir dizi olduğuda v 0,,2,..., yakısaya bir dizidir. Bu yüzdede, içi P v, L 0 a v r c r c c r c r r v v v k k k k k k v0 v0 k0 k0 kv k0 kv ck r k r k ck r v r k r k r k0 kv kv k0 kv kv c r c p q k v k vk k k0 k0 k0 k0 c p q p q... p q k v 0 v 0 v c p q c p q p q c p q p q k0 v0 k c p c p c p q c p c p q c p q c p q c p q 0. q. q k vk v k 0 0 q (3.4.) elde edilir. (3.4.) ve N, r regüler olduğuda c q r L r r L v v cv v0 yazılabilir. 45

55 Tersie, eğer r Oq ise, 0 sayısı vardır. Bu yüzde de, içi r Kq olacak Ģekilde K 0 pvrv pvkqv K pvqv pvrv pvqv v0 v0 v0 K v0 v0 (3.4.2) rv yazılabilir. N, r regüler olduğuda dolayı K2 olacak Ģekilde K2 0 r sayısı vardır. Bu yüzde de, 0 içi v0 rv K2 r (3.4.3) v0 yazılabilir. (3.4.3) ü (3.4.2) de yerie yazılırsa, v v r p q p r p r r M p r (3.4.4) v v v v v k v k v 0 K v 0 KK 2 v0 k0 v0 k0 elde edilir. Ayrıca, v p r r p r P (3.4.5) v k k v k k v0 k0 k0 vk k0 olduğuda (3.4.5), (3.4.4) de yerie yazılırsa, r r p q M r P r P K K r P O k v v k k k k 2 k v0 k0 k0 k0 r elde edilir. N, r regüler olduğuda P O yazılabilir. Bu yüzde de P yakısaktır. 46

56 3.5. Geelleştirilmiş Nörlud Toplaabilirlik İçi Etkisizlik Teoremleri Teorem 3.5.: p M, q 0 olsu. Bu takdirde; (N,p,q) etkisizdir acak ve acak r Oq dır [5]. İspat: Kabul edelim ki r Oq olsu. s dizisii (N,p,q) döüģüm dizisi t ile gösterelim. Bua göre v v v v v r v0 v0 (3.5.) t p q s b s olup, bu döüģüme karģılık gele matrisleri elemaları b v pvqv, v r 0, v (3.5.2) ile taımlaır. B b v matrisi regülerdir. Gerçekte, i) Her içi olduğuda b b b p q v v v v v v0 v0 v r v0 sup bv dır. v0 ii) p M ve p artmaya bir dizi ise v v içi o p p yazılabilir. p M ve Q ise, (3.2.29) da olduğu gösterildi. r p Q (3.2.29) u her iki tarafı p vqv ile çarpılırsa, 47

57 pvqv pv K K o (3.5.3) r p Q Q yazılabilir. (3.5.3) de de her v içi, pvqv limbv lim 0 r elde edilir. iii) p q v v bv pvqv r v0 v0 r r v0 r olduğuda lim b lim v elde edilir. B b v matrisi Teorem 2. i bütü Ģartlarıı sağladığıda dolayı, B regülerdir. Dolayısıyla (N,p,q) regülerdir. ġimdi (N,p,q) metoduu ters döüģümüü regüler olduğuu gösterelim. (N,p,q) metoduu ters döüģümü; t, s dizisii (N,p,q) döüģümü dizisi olmak üzere t diziside s dizisie, v v v v v q v0 v0 (3.5.4) s r c t a t ile verile bir döüģüm olduğu Teorem 3.2. de gösterildi. (N,p,q) metoduu etkisiz olduğu içi, (3.5.4) döüģümüe karģılık gele, ve matris elemaları a v rc v v, v q 0, v 48

58 ile verile A a v matrisii regüler olduğuu gösterelim. (N,p,q) metodu regüler olduğuda Souç de dolayı,, s s N p q s s o r q yazılabilir. Souç 3.2. de dolayı da s sn, p, q s s or q c or yazılabileceğide hipotezde dolayı r Oq olması edeiyle elde edilir. Bu yüzde de c oq ve r Oq c o r o O q o q olduğuda souç ü yeterlilik kısmıda dolayı s s N, p, q s s yazılabilir. Bu ise t s s s olduğuu gösterir. Bu yüzde de (3.5.4) ile verile döüģüm regüler bir döüģümdür. Souç 3.5.: Kabul edelim ki p acak p yakısaktır [5]. İspat: Kabul edelim ki p içi q seçilirse, M olsu bu takdirde (N,p) etkisizdir acak ve M olsu. Bu takdirde Teorem 3.5. de özel olarak her r p q p. P v v v v0 v0 ve t p q s p s v v v v v r v0 P v0 olduğuda (N,p,q) metodu (N,p) metodua idirgeir. Ayrıca 49

59 r O q P O elde edilir. Bu yüzde de p M olduğuda Teorem 3.5. de dolayı (N,p,)=(N,p) etkisizdir yazılabilir. Diğer tarafta P O p M ve p sıırlı dizi olduğuda P yakısaktır. Teorem 3.5.2: r O r c, p, ya q O q v ya da 0max v 0max v olsu. Bu takdirde (N,p,q) etkisizdir acak ve acak r q v olmasıdır [5]. İspat: c, p, ya q O q ya da r O r v 0max v 0max v v sağlası. Bu takdirde (N,p,q) etkisiz ise (N,p,q) ve (N,c,r) regülerdir. Bu yüzde de Souç de dolayı,, r o q s s N p q s s ve,, q o r t s N c r t s yazılabilir. Bua göre,,,, s s N p q s s t s N c r t s r o q q o r elde edilir. Bu yüzde de (N,p,q) etkisizdir (,,,, s s N p q s s t s N c r t s r o q q o r r q dır. Böylece teoremi ispatı tamamlamıģ olur. 50

60 4. FOURİER SERİLERİNİN GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLMESİ Bu kısımda Fourier serilerii geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilmesi ile ilgili bir teorem ispatlamıģtır. Taım 4.: olmak üzere p, a, kısmi toplamlar dizisi 0 dizii kovolisyou p dizisii göstersi yai s ola bir sosuz seri olsu. p 0 p p olsu. Verile p ve q gibi iki p* q p q (4.) k0 k k ile taımlaır. Herhagi bir s dizisi içi t p q s pq, v v v * p q v0 olsu. içi p* q 0 ise bu durumda, döüģümü t pq dizisidir. Eğer ike ve s dizisii geelleģtirilmiģ Nörlud t pq, s ise bu durumda s dizisie s değerie (N,p,q) geelleģtirilmiģ Nörlud metoduyla toplaabilirdir deir ve s sn, p, q ile gösterilir [8]. Bir (N,p,q) metoduu regüler olması içi gerek ve yeter Ģartlar

61 k0 p q O p* q k k ve ike k 0 sabiti içi 0 q olmak üzere p o p* q k k olmasıdır. içi q ise (N,p,q) metodu N, p metodua idirgeir. içi p ise (N,p,q) metodu Nq, Riesz metodua idirgeir. 0 olmak üzere metodua idirgeir. p p olduğuda, N p metodu iyi bilie C, özel durumuda Nörlud ortalaması harmoik ortalama olarak biliir ve N, Ģeklide yazılır. Taım4.2: f, 2 periyotlu periyodik foksiyo ve, aralığıda Lebesgue alamıda itegralleebilir olsu. f foksiyoua karģılık getirile Fourier serisi a0 2 a cos t b si t A t (4.2) ile taımlaır. Bu bölüm boyuca aģağıdaki gösterimleri kullaacağız. t x, t f x t f x t 2f x t x, t f x t f x t P P t t, q q t t, R R t t, t, ' t i tam kısmıı gösterir. R p* q 53

62 Buları dıģıda M, her durumda ayı olmaya bir sabiti gösterecektir. Yakısaklık kavramıı aslıda her yerde yoğu olabile oktalar kümeside yakısak olmaya sürekli foksiyoa bile karģılık gele Fourier serisi kadar yetersiz güçte olduğu iyi biliir. Böylece seriler bu oktalarda bir foksiyo temsili içi baģarısız olur. Bu eksikliği kaldıra öemli ispat bu ifadeyi alamlı yapa f x f x değerie düzgü olarak (C,) toplaabile f x değeri içi x i Fourier serisii oluģtura Fejer 9 tarafıda yapılmıģtır. Özel olarak f x i her süreklilik oktasıda Fourier serisi tam olarak f x e (C,) toplaabilirdir.. tür süreksizlik ve süreklilik oktalarıda Fourier serisii (C,) toplaabilme problemii çözdükte sora burada 2. tür süreklilik ve süreksizlik oktasıda sağlaabile kriteri bulma problemi ortaya çıkmıģtır. Bu daha geel teoremi ispatlaya Lebesgue0 ı dikkatii çekmiģtir. Dikkat çekicidir ki Lebesgue kriteri bütü. tip süreklilik ve süreksizlilik oktalarıda uygulaabilir, hatta bu kriteri 2. tip süreksizlilik oktalarıda geçerlidir. Lebesguei soucu, serileri C,, 0 toplaabilmesi Hardy2 tarafıda geelleģtirilmiģtir. Serileri, C,, 0 tarafıda tartıģılmıģtır. da daha zayıf ola Harmoik toplaabilmesi Siddiqi 2 Siddiqi i soucuu geellemeleri Nörlud ortalamaları içi bir çok yazar tarafıda elde edilmiģtir. Ġlgili souçlar içi Sigh 3, 4, Tripathi 7, Rajagopal 5 vs. bakıldığıda bu yazarları hepsii Ģartları t P dt op, (4.3) t t 54

63 Ģartıı gerektirir. Bu yüzde (4.3) Ģartı Sigh3, 4, Tripathi 7, Rajagopal 5 vs. ı Ģartlarıda daha zayıftır. Burada içi q olması durumuda (4.3) özel durumuu içere (3.2) Ģartı altıda (4.2) serisii (N,p,q) toplaabilmesi üzerie bir souç oluģturuyoruz. Bu yüzde bizim souçta yukarıdaki bütü souçlar souç olarak elde edilebilir. Teoremi ifade ve ispatıa geçmede öce ispatta kullaılacak ola lemmaları verelim. Lemma 4.: R qp dır. (4.4) İspat: Gerçekte R p q p q... p q 0 0 q azalmaya olduğuda R p0q p q... p q R p0 p... p q R P q elde edilir. Lemma 4.2: olsu. Bu durumda si k t 2 N t pkq k 2 R k 0 si t 2 0 t ise N t O (4.5) 55

64 qp t ise t N t O Rt dır. İspat: 0 t içi k t 2 N t pk q k dır. Gerçekte R t k 0 2 (4.6) si k t 2 N t pkq k 2 R k 0 si t 2 si k t t 2 pq. 2 k k R k 0 si t t 2 2 k t 2 pq k k R t k 0 2 pkqk 2 K R k0 olup N t O dır. Mc Fadde olmak üzere 8 de düzgü olarak 0 t, 0 a b si k t p 2 t p k O (4.7) k a si t t 2 dır. Ayrıca sabitlemiģ içi q kpozitif artmaya olduğuda 56

65 k 0 pq k k si k t 2 si t 2 si m k t 2 q max p k 0m k 0 si t 2 elde ederiz. Bu teoremdeki N t yi k N t pkqk cos vt R k0 2 v Ģeklide yazabiliriz. Çükü si t 2 cos kt dır. t 2 k 2si 2 Böylece (4.7) istee soucu verir. Lemma 4.3: (4.2) de t u du o t, t 0 (4.8) 0 İspat: t u F t p du u u olsu. Ft artmaya olduğuda (4.2) de t içi düzgü olarak 57

66 R F t F o q (4.9) elde edilir. p artmaya dizi olduğuda R p q p q p q k k 0 k k k0 k p q p q 0 k k k 0 q p p q 0 k k k 0 olup R R R p p q q q 0 0 dır. Fakat R p q p q... p q p q (4.0) dır. (4.9) ve (4.0) u kullaarak R R p q R 2R p q q q q 0 0 R yai q R O q (4.) 58

67 dır. (4.8) ve (4.) da R R t F t o o q q t (4.2) elde edilir. Böylece t u du t df u udf u p u olup kısmi itegrasyola u p u u olduğuda tf t F F udu u du uf ud p p p p t u u t t t elde edilir. 0 içi limit alarak tf t F udu u du uf ud p 0 p 0 p t u u t t t (4.3) o elde ederiz. Çükü Lemma 4. de 0 ike R F o o p q p 59

68 dır. Ayrıca u 0 ike R Fu u o O p q p u u u (4.4) t F u du dır. Böylece orjide yakısaktır. ġimdi (4.4) ü kullaarak (4.3) i sağ 0 p u tarafıdaki ilk iki terim ot ye eģit olduğu görülür.. Ayrıca u içi p p P u u u olup P p u ve u içi p u P elde edilir. Böylece u de sıçramasıa sahiptir. p, P P P P p u Böylece (4.3) ı sağıdaki 3. ifade t 0 F p uf ud P P p u t olur. Gerçekte u döüģümü yapılırsa u 0 dır. 60

69 t 0 F d t P uf ud P u t t F d P P F d P P F p P P t dır. Böylece Lemma 4. i kullaarak R F P q F p p P P P t t elde edilir. O halde souç olarak F p P P t toplamı yakısak ve ot ye eģittir. Teorem 4.: Regüler geelleģtirilmiģ (N,p,q) Nörlud metodu aģağıdaki gibi taımlası. p o-egatif, reel sabitleri mooto artmaya dizisi ve q 6

70 oegatif, reel sabitleri mooto azalmaya dizisi olsu. Eğer 0 Ģartıı sağlaya içi ike t R G P dt O (4.5) t t q ise bu durumda (4.2) serisi t x oktasıda f x ' e (N,p,q) toplaabilirdir. İspat: S x A x k k diyelim ki tsi tdt 2 S x f x 2 0 si t 2 olup bu yüzde si, k tdt pq 2 t f x t pkq k 2 R 0 k 0 si t 2 t N tdt 0 dır. Teoremi ispatlamak içi kabuller altıda ike I t N tdt o olduğuu göstermeliyiz. 0 içi 0 I t N t dt 0 0 = I I 2 I 3 62

71 yazılabilir. (4.5) de I t N t dt t N t dt I O t dt ve Lemma 4.3 te I O t dt O t dt 0 0 I o elde edilir. Ayrıca (4.6) da (4.5) de ike t q I2 O P dt R t t I q 2 O R R q, o elde edilir. 3 I t N t dt si v t 2 t pvq v dt 2 R v0 si t 2 olup Riema-Lebesgue teoremi ve metodu regülerliğide ike dır. Bu ise teoremi ispatıı tamamlar. I 3 o 63

72 Not: () Teorem 4. de ederiz. içi q seçerek aģağıdaki Teorem 4.2 yı elde Teorem 4.2: p o-egatif, artmaya dizi ve (4.3) sağlaıyorsa bu takdirde (2.) Fourier serisi t=x oktasıda Teorem 4.2 Iyegar 7, Rajagopal ' f x e N p toplaabilirdir., 6 tarafıda verilmiģtir. Teorem 4.2, Sigh 5 v.s çalıģmaları üzerie bir geellemedir. 3, 4, Tripathi (2) Heme heme t 0, içi Ģartlar 0 4. i doğru olduğu bazı durumlarda bahsedilebilir. Eğer Gt ike sağlaacağıda Teorem lim if R q (4.6) ise Teorem sağlaır. Bu edele (4.5) deki itegral, keyfi küçük değerler almak üzere yeteri derece keyfi büyük ler içi vardır. Fakat bu itegral i azalmaya foksiyoudur. Çükü itegral o-egatif olduğuda ve değerii arttırdığımızda itegrali değerii de arttırmıģ oluruz. Böylece itegral özdeģ olarak sıfır olacaktır. Özel olarak P Q O (4.7) O q (4.8) Ģartları sağladığıda (4.6) ı sağladığıı belirtmek gerekir. (4.7) i (4.6) yı gerektirdiği soucu Lemma 4. de çıkar. Diğer tarafta (4.8) sağlaıyorsa bu takdirde R p q p q... p q 0 0 p q q q p Q O Q O q ,, 64

73 lim if R q olduğuda (4.6) sağlaır. (3) Lemma 4. de (4.5), (4.3) ü gerektirir. Bu yüzde Iyegei teoremide Fourier serisii N, p toplaabildiği soucu çıkar. N, p ( N, p, q) (4.9) olması durumuda Teorem 4. i soucu çıkar. Buula beraber (4.9) u sağlaya durumlar olmasıa rağme Khare ve Tripathi 7 deki gibi sağlamaya durumlar da vardır. Bu edele bu yolla (4.9) u sağlaması halide Teorem 4. i bize yei bir Ģey vermeyeceği kousuda uzlaģırız. 65

74 SONUÇ Bu çalıģmada özel bir toplaabilme metodu ola N, p Nörlud toplaabilme metoduu N, p, q geelleģtirilmiģ Nörlud toplaabilme metodu iceledi. Bu metodu regülerliği yardımıyla etkisizlik ve limitleme teoremlerii ispatları ve N, p metoduu geellemesi olduğuu teoremlerle iceleyerek elde edile souçlar tartıģıldı. Bazı regüler metotlar yardımıyla etkisizlik ve limitleme teoremlerii souçları karģılaģtırılması iceledi. p dizisi ile q dizisie koula bazı Ģartlar altıda N, p, q ile ilgili teoremleri ispatı iceledi. So olarak ise Fourier serilerii N, p, q toplaabilmesi ile ilgili bir teoremi ispatı iceledi. Fourier serisii toplaabilmesi araģtırılırke özellikle C, kazadırdığı bilgileri ve metotları N, p, q toplaabilmei toplaabilme ispatıı icelemede büyük yararlar sağladığı gözlemledi. Fourier serilerii N, p, q toplaabilmeside (4.3) Ģartıı bu metodu araģtıra yazarlar tarafıda koula Ģartlarda daha zayıf Ģart olduğu gözlemledi. Fourier serilerii N, p, q toplaabilmesii araģtırmak içi bazı lemmalara ve özellikle de Lemma 4. e çok ihtiyaç duyulduğu görüldü. Çükü diğer lemmaları ispatıda bile Lemma 4. de faydalaıldığı gözlemledi. Ayrıca (4.6) Ģartıı sağlaması halide Teorem 4. i doğru olduğu soucu iceledi. Yie Lemma 4. de bazı Ģartları birbirii gerektirmesi soucuda özellikle de N, p N, p, q olması durumuda Teorem 4. i doğru olduğu gözlemledi. Sosuz bir serii N, p, q toplaabilmesii araģtırabilmek içi ilk olarak bu serii C, -aritmetik ortalama metoduyla toplaabilmesii iceleme yapmak gerektiği gerçeği görüldü. Fourier serisi ile ilgili icelee Teorem 4. ve lemmalarda yararlaarak Fourier serilerii cojugate(eģleik) serilerii N, p, q toplaabilmesii de iceleebileceği soucua varıldı. KAYNAKLAR 66

75 . Peterse, G. M., Regular Matrix Trasformatios, Camridge, Hardy, G. H., Diverget Series, Oxford, Bor, H., A Note o Two Summability Methods. Proc. Amer. Math. Soc., 98, 8-84, Triphaty, L. M. Ad Ojha, M. A., A Theorem o the Nörlud Summability of the Double Fourier Series, J. Sci. Res., 33, , Nurcome, J. R., Limitatio ad Ġeffectives Theorems for Absolute ad Strog Geeralized Nörlud Summability, Aalysis, 9, , Mears, F. M., Absolute Regularity ad Nörlud Mea. A. Of Math., 38, , Taaka, M., Limitatio Theorems for Some Methods of Summability, Bull. Australia Math. Soc., 22, , Borwei, D., J. Lod. Math. Soc., 33, 22-20, Fejer, L., Math. Aale, 58, 5-69, Lebesgue, H., Math. Aale, 6, 25-80, Hardy, G. H., Proc. Lod. Math. Soc., 2, 2, , Siddiqi, J. A., Proc. Camb. Phil. Soc., 59, 47-53, Sigh, T., Proc. Nat Ist. Sci. Ġdia, 29(A), 67-73, Sigh, T., Aali di Mathematica Pure ed Applicata, 6, 23-32, Rajagol, C. T., Proc. Camb. Phil. Soc., 59, 47-53, Iyegar, K. S. K., Proc. Ġdia Acad. Sci., 8, 3-20, Khare, S. P., ad Tripathi, S. K., Idia J. Pure appl. Math., 9, , Mc Fadde, L., Duke Math. J., 9, , 943. ÖZGEÇMİŞ 67

76 987 yılıda Mersi`i Erdemli ilçeside doğa Elif SERĠN ilköğreimii ArpaçbahĢiĢ Yeimahalle Ġlköğretim Okulu`da, orta öğreimii Sulta Akı Ġlköğretim Okulu`da, lise öğreimii Erdemli Lisesi`de ve yüksek öğreimii ise yılları arasıda Erciyes Üiversitesi Yozgat Fe-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümüde tamamlamıģtır. ġubat 200 yılıda yüksek lisas eğitimie Bozok Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalıda baģladı. Yrd. Doç. Dr. Abdullah SÖNMEZOĞLU daıģmalığıda hazırladığı GeelleĢtirilmiĢ Nörlud Toplaabilme Metodu baģlıklı tezi ile Yüksek Lisas öğreimie devam etmektedir 2008 yılıda beri özel bir kurumda Matematik Öğretmei olarak çalıģmaktadır. İletişim Bilgileri ArpaçbahĢiĢ kasabası zeytilik caddesi o: Erdemli/MERSĠN Cep: (506) E-posta: elfsr@hotmail.com 68