IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR"

Hande Atalar
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold kavrama götürecek ola atlas veya diferesiyelleebilir yap kavramlar takdim edece iz. Kavramlar > 2, 3 boyutlar içi de geçerlidir. Suumu kolayla³trmak içi, boyutu 2 veya 3 alacaktr. Tam Bir topolojik uzay, 1 ) Haussdor uzaydr, 2 ) rtibatldr, 3 ) Her oktas, R i bir açk alt cümlesie homeomork ola bir kom³ulu a sahiptir. özelli ie sahip boyutlu topolojik maifold olarak adladrlr. (M ³eklide gösterilir.) 1

2 2 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR M V P j z y x ekil 1.1: M bir boyutlu topolojik maifoldu göstersi. M i açk alt cümlelerii umaralam³ (idexed) bir cümlesi V = {V α } olsu. E er, M i her oktas içi bu oktay ihtiva edee azda bir V α var ve V α = M α ise V ye M i bir açk örtüsü deir. V = {V α } açk örtüsü verildi ide, herbir V α içi V α y R i bir α sa irtibatladra bir de φ α homeomorzmi vardr. Böylece, V = {V α } da hareketle bir A = {(V α,φ α ) φ α : V α α } koleksiyou elde edilir. A koleksiyoudaki herbir (V α, φ α ) ikilisie M içi koordiat döü³ümü veya harita deir. A koleksiyoudaki herhagi iki (V α,φ α ), (V β,φ β ) haritalar içi, V α V β ike, φ α φ 1 β : φ β (V α V β ) φ α (V α V β ) bile³ke döü³ümleri r mertebede diferesiyelleebilir ise A = {(V α,φ α )} koleksiyoua M içi "diferesiyelleebilir atlas" ad verilir. Bir M diferesiyelleebilir maifoldu üstüdeki tüm diferesiyelleebilir yaplar cümlesi A ile gösterilsi. A üstüde bir ba ty ³öyle tamlayalm. A i A j A i A j A ba ts A üstüde bir deklik ba tsdr. Böylece, A bölüm uzay deklik sar söz kousudur. Herbir deklik sfa bir ". mertebede diferesiyelleebilir yap" deir. Tam boyutlu bir topolojik maifold üzerideki diferesiyelleebilir yapyla birlikte boyutlu diferesiyelleebilir maifold olarak adladrlr. Not Not: Deklik sar, cümlei cümlei herhagi bir elemayla temsil edilebilece ide bir M, topolojik maifoldu üzeride bir diferesiyelleebilir yap bulmak içi, M i bir diferesiyelleebilir atlas bulmak yeterlidir.

3 3 Özet Bir M ( ) cümlesii boyutlu diferesiyelleebilir maifold olmas içi sa lamas gereke tüm ³artlar toplu olarak ³öyledir: Topolojik maifold olma ³artlar (1-4): 1 ) M bir topolojik uzaydr. Yai, M i alt cümlelerii bir kolleksiyou τ olmak üzere; 1.1.,M τ, 1.2. α τ, α α τ, 1.3. α τ, α=1 α τ α ³artlar sa layor. 2 ) M bir Haussdor uzaydr. Yai; p,q M, p q içi, p V p, q V q açklar V p V q = olacak ³ekilde vardr. 3 ) M irtibatldr. Yai, M ayrk iki açk alt cümlei birle³imi olarak yazlamaz. 4 ) p M içi V p M, p V p ve ϕ homeomorzmi ϕ : V p M R (1-1, örte, sürekli, ϕ 1 sürekli) olacak ³ekilde vardr (, R de açk). 5 ) M üzerideki bir A = {(V α,φ α )} atlas içi; ³eklide görüle M Va Vb w fa fb fb o fa -1 fa(w) fa o fb -1 fb(w) ekil 1.2:

4 4 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR φ β φ 1 α : φ α (V α V β ) φ β (V α V β ) döü³ümleri diferesiyelleebilirdir (diferesiyelleebilir yap ³art). 1.1 Maifold Örekleri Örek M = R seçilsi. R üzeride seçile satdart topolojiye göre, topolojik uzay, irtibatl ve Haussdor uzay olma özelliklerie sahiptir. M üzerideki bir kolleksiyou, V = R, ϕ = I R olmak üzere; olarak seçelim. A = {(R, I)} I I I oi -1 =I -1 I oi =I ekil 1.3: I I 1 = I 1 I : R R döü³ümleri diferesiyelleebilirdir. Dolaysyla A = {(R,I)}, R üzeride bir diferesiyelleebilir yap tamlar ve bu yapyla birlikte R, boyutlu diferesiyelleebilir maifolddur.

5 1.1 Maifold Örekleri 5 Örek M = S 1 = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 = 1} = B 1 0(1) oriji merkezli r = 1 yarçapl birim çemberi ele alalm. ekil 1.4: S 1 üzerideki bir topoloji, S 1 i açklar; R 2 i açklar R 2 ler olmak üzere; S 1 alt cümleleri olarak tamlar. Bu açklar S 1 üzeride bir topoloji i³a ederler. Ayrca S 1 topolojik uzay, R 2 de idirgee bu topolojiyle Haussdor uzaydr ve irtibatldr. imdi S 1 üzeride topolojik maifold yaps olu³turalm. V2 V1 j2 j ekil 1.5:

6 6 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR S 1 i açk alt cümleleri olarak; (x,y) S 1 olmak üzere; ³eklide seçilsi. V 1 = {(x,y) x > 0} V 2 = {(x,y) y > 0} V 3 = {(x,y) x < 0} V 4 = {(x,y) y < 0} 4 V i = S 1 i=1 oldu u a³ikardr. V i ler üzeride ϕ i ler birer homeomorzmdirler. Mesela; ϕ 1 i iceleyelim. ϕ 1, 1 1 dir: ϕ 1 (x,y) = ϕ 1 (x 1,y 1 ) y = y 1 1 y 2 = 1 y1 2 x = x 1 (x,y) = (x 1,y 1 ) ϕ 1, örtedir: y ( 1, 1) 1 y 2 (0, 1) ve 1 y 2 = x deirse, ( 1 y 2,y) V 1 dir ve ϕ 1 ( 1 y 2,y) = y dir. ϕ 1 süreklidir. ϕ 1 i tersi, ϕ 1 1 (y) = ( 1 y 2,y) olup, (y ±1 oldu uda) süreklidir. (Sürekli foksiyolar cebirsel i³lem altdaki souç döü³ümleri süreklidir. ) (ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 içi bezer i³lemler yaplabilir.) imdi bu ³ekilde olu³turula A = {(V α,φ α )} kolleksiyouu (atlas) diferesiyelleebilir atlas oldu uu gösterelim. V 1 V 2 oldu uda, ilk olarak, (V 1,ϕ 1 ), (V 2,ϕ 2 ) ikilisii ele alalm. ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (V 1 V 2 ) ϕ 2 (V 1 V 2 ), V 1 V 2 = {(x,y) S 1 / x > 0, y > 0} (ϕ 2 ϕ 1 1 )(y) = ϕ 2(ϕ 1 1 (y)) = ϕ 2 ( 1 y 2 ) = 1 y 2, 0 < y < 1

7 1.1 Maifold Örekleri 7 ve görüldü ü gibi ϕ 2 ϕ 1 1 diferesiyelleebilirdir. Bezer ³ekilde ϕ 1 ϕ 1 2 diferesiyelleebilirdir. O halde (V 1, ϕ 1 ), (V 2,ϕ 2 ) istee ³art sa larlar. Bezer i³lemler (V 2,ϕ 2 ), (V 3,ϕ 3 ) (V 3,ϕ 3 ), (V 4,ϕ 4 ) (V 4,ϕ 4 ), (V 1,ϕ 1 ) koordiat kom³uluklar ikilileri içi de kotrol edilmi³tir ve souç olumludur. Souç olarak, A = {(V i,φ i )} i=1,...,4 atlas bir diferesiyelleebilir yap tamlar ve bu yapyla birlikte S 1 bir 1 boyutlu diferesiyelleebilir maifolddur. Herhagi bir cümle üzeride diferesiyelleebilir maifold yaps ara³trlrke cümle üzeride mevcut ola özellikler -do al olarak-atlar. Ayrca maifold olma iceleirke kullala ve kolaylk sa laya baz kriterler problemler içide ele alacaktr. Bir di er yötem ise verile oktalar ile maifold yaps bilie bir cümlei oktalar arasdaki 1 : 1 e³leme tesis etmektir. Öce bu so duruma örek verelim. Örek P = {(x, y) R 2 y = x 2 } ile verile cümle üzerideki diferesiyelleebilir maifold yaps ara³tralm. R i bir diferesiyelleebilir maifold yapsa sahip oldu uu biliyoruz. = 1 içi R bir 1 boyutlu diferesiyelleebilir maifolddur. π : P (x,y) R π(x,y)=x olarak tamlaa döü³üm 1 : 1 ve örtedir. O halde P ve R 1 arasda bu 1:1 tekabülde dolay P bir 1 boyutlu diferesiyelleebilir maifolddur. Örek M bir boyutlu diferesiyelleebilir maifold, M bir açk alt cümle olsu. " da boyutlu diferesiyelleebilir maifolddur" öermesii do ru oldu uu gösteriiz., M de idirgee topolojiye ba l olarak, topolojik uzaydr, Haussdor uzaydr, irtibatldr. M üzerideki bir atlas A = {(V i,ϕ i )} i ise, de üstüde bir atlastr. öyle ki; A = {(V i,ϕ i Vi )}

8 8 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR M Vi ji ji Vi ekil 1.6: i, V i bir açk alt cümledir. Aaliz dersleride bilidi i gibi, ϕ i homeomorzmii, tam cümlesii her açk alt cümlesie kstlamas da homeomorzmdir. Dolaysyla, A, içi bir atlastr ve bu atlasla birlikte bir boyutlu topolojik maifolddur ( i (V i ) = oldu u a³ikardr). imdi bu A atlas diferesiyelleebilir yap olu³turdu uu gösterelim.

9 1.1 Maifold Örekleri 9 M Vj Vi w ji jj ji(vi) jj oji -1 w w jj(vj) ji(w) jj(w) ji ojj -1 w w ekil 1.7: ϕ j w ϕ 1 i ϕ i w ϕ 1 j w : ϕ i (w) ϕ j (w) w : ϕ j (w) ϕ i (w) döü³ümleri ile ilgili açk alt cümleler üzeride diferesiyelleebilirdir. Dolaysyla, A atlas içi bir diferesiyelleebilir atlastr ve bu atlasla birlikte bir boyutlu diferesiyelleebilir maifolddur. Örek M = M m (R), m tipide bütü matrisleri cümlesii bir m boyutlu diferesiyelleebilir maifold oldu uu gösteriiz. π : M [aij ] M = {A = [a ij ] m a ij R}, R m π(a ij )=(a 11,a 12,...,a 1,a 21,a 22,...,a 2,...a m1,...a m ) döü³ümü 1 : 1 ve örtedir. Bu 1 : 1 tekabülde dolay, M cümlesi R m deki maifold yaps ta³arak bir m boyutlu maifold yapsa kavu³turulabilir. Örek GL(, R) = {A M, deta 0} cümlesii 2 boyutlu bir diferesiyelleebilir maifold oldu uu gösteriiz.

10 10 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR M, 2 boyutlu bir diferesiyelleebilir maifolddur. Ayrca; det : M R, deta = S S a σ(1)1 a σ(2)2...a σ() olarak taml det foksiyou süreklidir. {0} R kapal oldu uda, det{0} 1 M kapaldr. det{0} 1 i tümleyei açktr. Yai GL(, R), M (R) de açktr ve dolaysyla 2 boyutlu bir diferesiyelleebilir maifolddur.

Benzer belgeler

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x